Vortrag - Universität Trier

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Vortrag - Universität Trier

Kapitel 15:

Robustness and Resilience

Robustheit und Zuverlässigkeit

Universität Trier

Proseminar Netzwerkanalyse SS2005

Prof. Näher

Referent: Dirk Harnack


Inhalte:

15.1 Worst-Case Connectivity Statistics

15.2 Worst-Case Distance Statistics

15.3 Average Robustness Stastistics

15.4 Probablilistic Robustness Statistics


15.1 Worst-Case Connectivity Statistics

„Wie groß ist die kleinste Anzahl von Knoten bzw. Kanten, die

man entfernen muss, so daß das resultierende Netzwerk nicht

mehr zusammenhängend ist ?“

Diese sind Schlechtester Fall Statistiken, weil das willkürliche

Löschen mehrer Knoten und Kanten nicht immer den selben

Effekt nach sich zieht.

Den größten Effekt erzielt man durch gezielte und nicht durch

zufällige Ausfällen von Knoten und Kanten.


15.1.1 Cassical Connectivity

Der klassische Zusammenhang ist die Basis vieler

Statistiken in Bezug auf Widerstandsfähigkeit.

Knotenzusammenhang bzw. Kantenzusammenhang

(s. Kap. 7) ist ein gutes Maß für die

Widerstandsfähigkeit, wenn ein Netzwerk seinen Zweck

verliert, sobald es nicht mehr „verbunden“ ist.

Allerdings sollte das Netzwerk nicht auf den Verlust

einiger Knoten bzw. Kanten reagieren, ist dieses Maß

eher nebensächlich.


15.1.2 Cohesiveness

Definition 15.1.1:

Sei k(G) der Knotenzusammenhang

von G und sei G-v das resultierende

Netzwerk von G aus dem der

Knoten v entfernt wurde. So ist für

alle Knoten v von G der

Zusammenhalt folgendermaßen

definiert:

c(v)=k(G)-k(G-v)


Beispiel 15.1:

Vor dem Löschen des Knotens 7 hat das

Netzwerk einen Knotenzusammenhang von 1.


Beispiel 15.1:

Nach dem Löschen des Knotens 7 hat das

Netzwerk einen Knotenzusammenhang von 3.


Beispiel 15.1:

15.1a: Knoten 7 hat Zusammenhalt -2 15.1b: Knoten 6 hat Zusammenhalt 1


Einige Eigenschaften des Zusammenhaltes:






Aus der Definition folgt, dass der Zusammenhalt eines

Knotens nicht größer als 1 sein kann.

Knoten mit negativen Zusammenhalt sind außenliegend.

Knoten mit Zusammenhalt 1 sind zentral.

Durch Löschen des Nachbars von einem Knoten mit

negativen Zusammenhalt kann das Netzwerk getrennt werden.

Es existiert ein Algorithmus zur Berechnung des

Zusammenhaltes (siehe Kapitel 7 )


15.1.3 Minimum m-Degree

Minimum m-Degree befasst sich mit dem Status des

Netzwerkes nach der Trennung:

Definition: Der minimale m-Grad x ( m)

ist die

kleinste Anzahl von Kanten die

entfernt werden muss, um das

Netzwerk in zwei verbundene

Netzwerke, G 1

und G , zu

trennen. Wobei G genau 2

1

m Knoten

enthält.


Beispiel 15.2:

1-degree

2-degree

3-degree

4-degree

5-degree

1

2

3

3

3


Eigenschaften von Minimum m-Degree:

Sei G = (V,E) mit |V| = n dann gilt:


x( m) = x( n-m)


x( m) ³ m( d( G) - m+

1)

wobei

ist.

d

( G)

der kleinste Grad für jeden Knoten im Netzwerk

n> m³

l


Sei G regulär und vom Grad r£

n/2 , 2und .

Dann gilt:

³ êë úû + éê ùú

r x ( m) / m x ( l ) / l


Berechnung:



Teste für alle m-elementigen Teilmengen V´ von V

ob V` und V \ V` zusammenhängend sind.

Falls ja zähle alle Kanten e=(u,v) mit u ÎV´ und

V Î V \ V´


Laufzeit:

O

n ö

E

m

ææ

ö

ç ÷

ç ç ÷

è ø ÷

è ø


Langsam, falls


n\2


Beispiel 15.3:

Netzwerk ist 3-Degree, obwohl wir nur zwei Kanten löschen.

Problem: Durch Löschen der Kanten entstehen drei und

nicht zwei zusammenhängende Netzwerke.


15.1.4 Toughness:

Toughness oder Stärke gibt an, in wie viele

Komponenten ein Netzwerk zerfällt, sobald eine

beliebige Menge an Knoten entfernt wird.

Definition: Sei S eine Teilmenge von Knoten aus G

und sei K(G-S) die Anzahl der untereinander

verbundener Komponenten, in welche sich

G teilt, sobald S entfernt wird.

t( G)

=

min

S ÍV , K( G- S) > 1

ì S ü

í ý

î

K( G-S)

þ

Gilt analog für Kanten.


Eigenschaften von Toughness:


Stärke eines vollständigen Graphen ist unendlich.


Stärke ist hoch, sobald der Graph in wenige Teile zerfällt,

obwohl viele Knoten entfernt wurden.


Stärke ist niedrig, sobald der Graph in viele Teile zerfällt,

obwohl nur wenige Knoten entfernt wurden.


Der Graph mit der niedrigsten Stärke ist ein Stern.


Beispiel:

Löscht man Knoten 0, teilt sich der Graph in viele

Komponenten.

1

Toughness = für Stern mit n Knoten.

n-1


Toughness eines Baumes:

t( G)

1

( G)

mit Maximalgrad

D ( G )

t( G ) = 1

4


Toughness von Kreisen:

Toughness = t(G) = 1

Es folgt, dass ein Hamiltonian Graph auch t(G)=1

besitzt.


t(G) von vollständigen bipatiten Graphen:

Vollständig bipatiten Netzwerk K m , n ,

m

falls m £ n und

n ³ 2 gilt:

t( G)

=

n


Bedingter Zusammenhang:


Stellt Bedingungen an Komponenten, die nach Löschen von

Knoten vorhanden sind.


P-Zusammenhang ist die kleinste Anzahl von Knoten, die man

Löschen muss damit…

1. G´ ist nicht mehr verbunden.

2. Jede verbundene Komponente von G´ hat Eigenschaft P


Standard-Zusammenhang P={ }


Minimum m-Degree P=„Menge von m Knoten abgespaltet.“


Analog Kantenzusammenhang.


Gradueller Zerfall:


Definiere Folge P1

bis Pn

von Eigenschaften des

Netzwerkes aufsteigend sortiert nach deren negativem

Einfluss auf die Anwendung.


Dabei muss gelten: Eigenschaft P impliziert

i

Eigenschaften P1

bis Pi

- 1


Definiert Vektor bedingter Eigenschaften:

( k( G : P1

),..., k( G: P k

))


Modelliert Graduellen Zerfall


Vor- und Nachteile:


+ Kann auf Anwendung angepasst werden.


+ Kann Verlauf des Zerfalls wiederholter

Knotenausfälle modellieren.


+ Potenziell sehr nützlich.


- Es ist kein Algorithmus bekannt.


15.2 Worst-Case Distance Statistics

Dieser Abschnitt befasst sich mit der Vergrößerung von

Distanzen durch Löschen von Knoten und Kanten.

Wiederum Worst-Case, da es die minimale Anzahl von

Knoten und Kanten angibt, die gelöscht werden müssen,

um die Distanz zu vergrößern.

Alle Statistiken sind definiert bis das Netzwerk

unverbunden ist.


15.2.1 Persistence:


Durchmesser: Maximale Länge der kürzesten Pfade

zwischen Knoten in G.


Persistenz: Die Hartnäckigkeit ist die kleinste

Anzahl von Knoten, die entfernt

werden muss, um den Durchmesser

zu erhöhen.


Analog: Kanten-Persistenz.


Knotenpersistenz:


Durchmesser = 3


Persistenz = 1


Vor- und Nachteile:


+ Durchmesser oft wichtig für Anwendungen.


- Kein effizienter Algorithmus im allgemeinen Fall.


- Steigerung des Durchmessers betrifft ein Paar von

unwichtigen Knoten.


15.2.2 Distanz-Zuwachs und Durchmesser Sequenzen

Definition 15.2.1: Sei d ( u, v) = dG

( u, v)

die Distanz

zwischen zwei Knoten u, v in G.

Sei weiter d( G)

der Durchmesser von G,

m die Knotenverbundenheit von G und

l die Kantenverbundenheit von G.


Sequenzen A und B:


Knoten Löschungs Folge:

ì

ü

a

i

= max íd G V

( u, v) - d( u, v) | u, vÎV - V

i ý für1 £ i £ l -1

V

i

= i - î i

þ


Kanten Löschungs Folge:

ì

ü

b

i

= max íd G E

( u, v) - d( u, v) ý für1 £ i £ m -1

E

i

= i î

-

i

þ


Sequenzen D und T:


Knoten Löschungs Durchmesser Folge:

d

i

= max { d( G - V )}

i

für1 £ i £ l -1

V = i

i


Kanten Löschungs Durchmesser Folge:

{ }

t

i

= max d ( G - Ei) für1 £ m £ l -1

E

i

= i


Beispiel 15.4:

A

B

D

T

(1,2)

(3,3)

(3,4)

(4,4)


Eigenschaften:




Die Folgen A,B,D und T sind monoton steigend.

Falls G vollständig:

A=(0,…,0)

B=(1,…,1)

D=(1,…,1,0)

T=(2,…,2)

Triviale Berechnung: Für jede i-elementige Teilmenge

berechne all pairs shortest path.


Schnellere Berechnung:




Es gibt für jeden Index i eine Knotenmenge V i

mit i Elementen und zwei Nachbarn u,v von V i

so

dass d(u,v) durch löschen von V i um A i

ansteigt.

Man muss für jede i-elementige Teilmenge nur

Distanzen der Nachbarn berechnen.

Vereinfachte Definition:

ì

ü

a

i

= max d

G V

( u, v) - d( u, v) | u, vÎ N( V

i

) für1 £ i £ l -1

V

i

= i

í -

ý

î i

þ

ì

ü

b

i

= max d

G E

( u, v) - d( u, v) | u, vÎ N( Ei

) für1 £ i £ m -1

E

i

= i

í -

ý

î i

þ


15.3 Averange Robustness Statistics

15.3.1 Durchschnittlicher Zusammenhang:


Lösche alle l Kanten aus Graph.


Füge Kanten in Reihenfolge s wieder ein.


Definiere x(

s)

als Anzahl der Kanten, die eingefügt

wurden, bis Graph zusammenhängend ist.


Definition 15.3.1:

1

M ( G) = l - å x ( s)

P ( G) s ÎP ( G )

Wobei P( G)

die Menge der Permutationen E.


Beispiel 15.5:



Für alle Reihenfolgen,

bei denen 1 nicht als

letztes eingefügt wird

gilt: x (3)

Für alle anderen

Reihenfolgen gilt:

x(4)


Durchschnittlicher

Zusammenhang:

1 3

4 - (6× 4 + 18× 3) =

24 4


Vergleich mit Kanten-Zusammenhang:

Folgende Schranken sind scharf:

l( G) - 1 £ M ( G) £ E - V + 1

Beispiele für untere Schranken:

Kreis: l ( G) = 2

Baum: l ( G) = 1

M ( G ) = 1

M ( G ) = 0


Weitere Eigenschaften:


Sei G´ ein aufgespannter Teilgraph von G dann gilt:

M ( G) ³ M ( G`)


Falls der Unterschied zwischen Kantenzusammenhang

und durchschnittlichen Zusammenhang groß ist, so kann

Robustheit von G gegen Kantenlöschung durch

Hinzufügen weniger Kanten vergrößert werden.


15.3.2 Mittlere Distanz und Fragmentierung

Definition 15.3.2 (Fragmentierung) :

Sei G ein Netzwerk mit k verbundenen

Komponenten S1,..., Sk.

Die Fragmentierung ist durch zwei Parameter

definiert…

frag( G) = ( frag ( G), frag ( G))

1 2


Definition 15.3.2:

frag( G) = ( frag ( G), frag ( G))

1 2

Relative Größe der größten Komponente:

frag

max k i

= 1 k

1

=

å

k

S

i=

1 k

k

k

å S max

1 k

-

i

i=

1

S

=

k

2

=

Durchschnittliche Größe einer isolierten Komponente:

S k

frag

Wobei die Anzahl der Knoten in der k-ten

Komponente angibt

S

k -1


Mittlere Distanz und Fragmentierung:


Mittlere Distanz und Fragmentierung:


Mittlere Distanz und Fragmentierung:


15.3.3 Balanced-Cut Resilience:


Definition 15.3.3: Sei G =(V,E) ein Netzwerk mit n

Knoten und die Kapazität von jeder

Kante gleich 1.

Der minimum-balancierte Schnitt von G

ist die Kapazität eines Minimum-

Schnitts, so dass die zwei

resultierenden Netzwerke möglichst die

gleiche Anzahl von Knoten erhält.

ên

ú én

ù

Genauer

ê

und .

ë2

ú

û ê2

ú


Definition 15.3.3:


Der balanced Cut Resilience R(N(v,h)) ist die

durchschnittliche Größe von einem minimumbalancierte

Schnitt innerhalb der h-Nachbarschaft

Neighh( v)

um jeden Knoten v.

1 æ

ö

R( N ( v, h)) = min. balanced _ cut _ in _ Neighh( v)

n ç å

÷

è v Î V

ø


Beispiel 15.9.:

Balacierter Schnitt für jeden Knoten:

1-Nachbarschaften 2-Nachbarschaften 3-Nachbarschaften


15.3.4 Effective Diameter:


Definition 15.3.4 : Exzentrizität und effektiver Durchmesser:

● Exzentrizität e eines Knotens v ist das kleinste

eff

( v, r),0 £ r £ 1

h, so dass die Anzahl von Knoten N(v,h) innerhalb einer h-

Nachbarschaft von v mindestens r-mal die Gesamtzahl der

Knoten ist:

e

eff

( v, r) = min h Î ¥ | N ( v, h)

³ rn

{ }


Definition 15.3.4 effektiver Durchmesser:



Der effektive Durchmesser eines Netzwerkes ist das

kleinste h, so dass die Anzahl der Paare innerhalb

einer h-Nachbarschaft mindestens r-mal die

Gesamtzahl der erreichbaren Paare ist:

{ ¥

}

diam ( r) = min h Î | P( h) ³ rP( ¥ )

eff

P bezeichnet die Anzahl der Paare innerhalb einer

bestimmten Nachbarschaft:

{

2

= Î £ } = å

P( h) : | ( u, v) V | d( u, v) h | N( v, h)

vÎV


Beispiel 15.10 und 15.11:


15.4 Probablistic Robustness Statistics:


15.4.1 Reliability Polynomial:

Definition 15.4.1: Sei G ein verbundener Graph

mit n Knoten und m Kanten.

Wir nehmen an, dass die

Kanten mit einer

Wahrscheinlichkeit von 1-p

ausfallen, es gilt .

0 £ p £ 1

Die polynomiale Zuverlässigkeit R(G,p) ist die

Wahrscheinlichkeit, dass G verbunden ist.


15.4.1 Eigenschaften Reliability Polynomial:



R( G,0) = 0, R( G,1) = 1.

p < p Þ R( G, p ) < R( G, p )

1 2 1 2

G -e


Sei G ein verbundener Graph und der entstehende Graph

von G durch löschen von e.

Sei G e

der entstehende Graph durch hinzufügen von e, dann erhält

man die folgende Gleichheit:


R( G, p) = (1 - p) R( G , p) + pR( G , p)

-e

Sei G ein Baum mit m Kanten, dann gilt:

R( G, p)

=

p

m

e


Beispiel 15.12:


15.4.2 Probalistic Resilience:


Die Wahrscheinlichkeit der Unverbundenheit:

P( G, i ) = Pr

[G unverbunden exakt nach i-tem Fehler]


Bei large-scale computer clusters wird die Familie der

k-regulären Graphen wie z.B. Torus und Hypercubes

untersucht. Die Unverbundenheits-Wahrscheinlichkeit

kann folgendermaßen genähert werden:

P [G unverbunden exakt nach i-tem Fehler

i

( G, i ) = Pr

und eine Komponente enthält genau einen Knoten]


Beispiel 15.13:


Definition 15.4.2 Probalistic Resilience:


Definition 15.4.2: Sei G ein Netzwerk mit n

Knoten. Dann ist die wahrscheinliche

Zuverlässigkeit größte Anzahl von

Knoten-Ausfällen, dass G mit der

Wahrscheinlichkeit res ( prob

G , p )

von 1-p noch verbunden ist:

I

ì

ü

res

prob

( G, p) = max íI | åP( G, i)

£ p ý

î i=

1 þ


Die relativ Probalistic Resilience bringt res ( prob

G , p ) mit der

Größe von G in Zusammenhang:

res

prob

( G, p)

=

res

prob

( G, p)

n


Ende

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