Freitag 13.12.2013

Mathematik für Physiker I, WS 2013/2014 Freitag 13.12
Reihen existiert n 1 ∈ N mit
m∑
|a k | < ɛ
k=n
für alle n, m ∈ N mit m ≥ n ≥ n 1 . Wir setzen
n 0 := max{n 1 , π −1 (0), . . . , π −1 (n 1 )}.
Sei jetzt n ∈ N mit n ≥ n 0 gegeben. Dann sind
also auch
0, 1, . . . , n 1 − 1, π −1 (0), π −1 (1), . . . , π −1 (n 1 − 1) ∈ {0, . . . , n},
Bilden wir also die Differenz
0, 1, . . . , n 1 − 1 ∈ {π(0), π(1), . . . , π(n)}.
s n − s ′ n =
n∑
a k −
k=0
n∑
a π(k) ,
so kommt jeder der Summanden a 0 , . . . , a n1 −1 sowohl in s n als auch in s ′ n vor, und
verschwindet in der Differenz. Von s n und s ′ n verbleiben dann nur noch Summanden
der Form a k mit k ≥ n 1 und k ∈ {0, . . . , n, π(0), . . . , π(n)}. Diejenigen davon die in
s n und s ′ n vorkommen verschwinden in der Differenz, und die anderen bleiben mit
eventuellen Vorzeichen stehen. Setzen wir also
k=0
m := max{n, π(0), . . . , π(n)},
so ist m ≥ n 1 und es gibt eine Menge M ⊆ {n 1 , n 1 + 1, . . . , m} und Vorzeichen σ k ∈
{−1, 1} für k ∈ M mit
s n − s ′ n = ∑ k∈M
σ k a k .
Mit der Dreiecksungleichung folgt
∣ |s n − s ′ ∑ ∣∣∣∣
n| =
σ k a k ≤ ∑ m∑
|a k | ≤ |a k | < ɛ.
∣
k∈M k∈M k=n 1
Damit ist (s n − s ′ n) n∈N eine Nullfolge. Mit den Grenzwertsätzen §4.Satz 6.(a,b) folgt
schließlich
∞∑
a n −
n=0
∞∑
n=0
a π(n) = lim
n→∞
s n − lim
n→∞
s ′ n = lim
n→∞
(s n − s ′ n) = 0.
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