Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.5. ANWENDUNGEN FÜR PRODUKTE VON VEKTOREN 19
oder in Determinantenschreibweise
∣ ⃗a a
(⃗a × ⃗ b) × (⃗c × d) ⃗ 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣∣ ⃗ b b1 b
=
2 b 3
.
⃗c c 1 c 2 c 3
∣ ⃗d d 1 d 2 d 3
• Skalarprodukt aus zwei Vektorprodukten (Lagrange’sche Identität):
(⃗a × ⃗ b) · (⃗c × ⃗ d) = ⃗a · ( ⃗ b × (⃗c × ⃗ d)) = (⃗a · ⃗c)( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d)( ⃗ b · ⃗c) .
• Quadrat eines Vektorproduktes (Spezialfall von Lagrange):
(⃗a × ⃗ b) 2 = a 2 b 2 − (⃗a ·⃗b) 2 .
1.5 Anwendungen für Produkte von Vektoren
§ 104 Produkte von Vektoren haben eine Vielzahl von Anwendungen, die von einfachen
geometrischen Zusammenhängen wie der Bestimmung eines Winkels zwischen zwei Vektoren
über physikalische Anwendungen wie der Bestimmung von Arbeit und Drehmoment bis hin
zu mathematischen Anwendungen wie der Definition von Räumen reichen.
1.5.1 Geometrische Interpretation und Anwendungen
§ 105 Die geometrischen Interpretation von Produkten von Vektoren umfasst einfache Aspekte
wie den Winkel zwischen Vektoren oder die Fläche des von zwei Vektoren aufgespannten
Parallelogramms bis hin zu weiter fortgeschrittenen Konzepten wie Projektionen.
Winkel zwischen zwei Vektoren
§ 106 Die Komponenten der beiden Vektoren ⃗a und ⃗ b sind in kartesischen Koordinaten gegeben.
Gesucht ist der von ⃗a und ⃗ b eingeschlossene Winkel α. In den Definitionsgleichungen
(1.3) und (1.6) von Skalar- und Vektorprodukt stecken sowohl die Vektoren als auch der Winkel;
um den Winkel zu erhalten muss also nur eine der beiden Gleichungen danach aufgelöst
werden:
( )
(
⃗a ·⃗b
⃗a ×
α = arccos
|⃗a| | ⃗ oder α = arcsin
⃗ )
b
b|
|⃗a| | ⃗ .
b|
In beiden Fällen wird als erstes der Quotient aus dem Produkt der Vektoren und dem Produkt
ihrer Beträge gebildet und anschließend die Umkehrfunktion der im entsprechenden Produkt
auftretenden Winkelfunktion angewendet.
§ 107 Häufigere Anwendungen beschränken sich auf die Spezialfälle Orthogonalität (der eingeschlossene
Winkel beträgt π/2) und Parallelität. Bei Orthogonalität verschwindet der Kosinus
des eingeschlossenen Winkels: zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr
Skalarprodukt verschwindet:
⃗a ⊥ ⃗ b ⇔ ⃗a ·⃗b = 0 .
Parallelität, d.h. ⃗a = λ ⃗ b, lässt sich mit Hilfe des Vektorprodukts überprüfen:
⃗a‖ ⃗ b ⇔ ⃗a × ⃗ b = 0 .
§ 108 Der Richtungswinkel zwischen einem Vektor ⃗a = ∑ a i ⃗e i und der Koordinatenachse ⃗e i
ergibt sich damit zu
( ) ( )
⃗a · ⃗ei
ai
( ai
)
α i = arccos = arccos = arccos .
|⃗a| |⃗e i |
|⃗a|
a
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007