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2.¨Ubung zur Statistischen Mechanik 9. Maxwell'sche ...

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2.¨Ubung zur Statistischen Mechanik 9. Maxwell'sche

Institut für Theoretische Physik der Universität zu Köln - WS 2013/2014 Prof. Dr. J. Krug Dr. I. Szendro 2. Übung zur Statistischen Mechanik Abgabe: Donnerstag 31. Oktober bis 17:00 Uhr im Kasten vor dem Institut für Theoretische Physik 9. Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung (15 Punkte) Die Maxwell’schen Postulate für die Geschwindigkeitsverteilung in einem idealen Gas lauten: (i) Die Koordinaten und Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen sind statistisch unabhängig voneinander. (ii) Das System ist rotations- und translationsinvariant. (iii) Die Komponenten der Geschwindigkeit ⃗v = (v x , v y , v z ) eines Teilchens sind statistisch unabhängig voneinander. Zeigen Sie, dass aus diesen Postulaten die Gauss’sche Form der Geschwindigkeitsverteilung folgt: P (⃗v) = Ce −λ|⃗v|2 , wobei C und λ hier nicht zu bestimmende Konstanten sind. Tipp: An einer Stelle der Argumentation ist es sinnvoll die Ableitungen der Verteilung nach v x , v y und v z zu betrachten. 10. Diffusionsgleichung (15+10 = 25 Punkte) Der eindimensionale Irrpfad macht in jedem Zeitschritt mit Wahrscheinlichkeit p einen Sprung nach rechts, und mit Wahrscheinlichkeit q = 1 − p einen Sprung nach links. Die Position des Endpunkts x = n + − n − nach t Schritten ist eine Zusfallsvariable mit Mittelwert ⟨x⟩ = (p − q)t und Varianz (∆x) 2 = 4pqt. Für große t ergibt sich die Verteilung P (x, t) von x zur Zeit t aus dem zentralen Grenzwertsatz zu P (x, t) = 1 √ 8πpqt exp [−(x − (p − q)t) 2 /8pqt]. (1) a) Zeigen Sie, dass (1) eine Lösung der Drift-Diffusionsgleichung ∂P ∂t = D ∂2 P ∂x 2 − v ∂P ∂x ist, und bestimmen Sie den Diffusionskoeffizienten D und die Driftgeschwindigkeit v. Verifizieren Sie die Einstein-Relation (∆x) 2 = αDt und bestimmen Sie die Konstante α. b) Zeigen Sie, dass die Grösse Θ = ∫ ∞ −∞ ( ) ∂P 2 dx ∂x monoton mit der Zeit abnimmt, d.h. dass dΘ/dt ≤ 0. Dies zeigt, dass die Diffusion ein irreversibler Prozess ist. Trägt der Driftterm v∂P/∂x in (2) zur Irreversibilität bei? (2) 1

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