¨Ubungen zur Vorlesung “Relativistische Quantentheorie” – SS09

Aufgabe 7
Untersuchen Sie die Lebensdauer des 2s-Zustands des Wasserstoff-Atoms. Das Wasserstoff-
Atom soll in der üblichen Weise nicht-relativistisch behandelt werden. Die entsprechende
Rechnung wurde erstmals von Breit und Teller durchgeführt und ist in Astrophys. J. 91
(1940) 215 publiziert.
a) Warum existiert der Zerfall 2s → 1s + γ in keiner Ordnung der Multipolentwicklung?
Zeigen Sie, dass auch der Wechselwirkungsoperator H Spin = e m ⃗ S · ⃗B( ⃗ X) keinen Beitrag
liefert.
[Anmerkung: Wenn das Wasserstoff-Atom relativistisch behandelt wird, gibt es eine
kleine Korrektur, welche diesen Zerfall doch erlaubt. Die Übergangswahrscheinlichkeit
ist aber so klein, dass sie in der Praxis keine Rolle spielt – siehe z.B. Landau/Lifshitz
Bd. IV.]
b) Der Zerfall findet also durch die spontane Emission von zwei Photonen statt. Die Übergangsrate
ist durch
R 2s→1s+γγ = 1 2
∑
∫ d 3⃗ k1 ∑
∫ d 3⃗ k2 2π
(2π) 3 (2π) 3 |T |2 δ(E 2s − E 1s − ω k1 − ω k2 )
α 1 α 2
gegeben. Skizzieren Sie, wie diese Formel abgeleitet wird. Geben Sie das Übergangsmatrixelement
T in zweiter Ordnung in e an. Stellen Sie das Ergebnis graphisch dar.
(Folgen Sie so nah wie möglich der Behandlung der Streuung von Licht an Atomen.)
Aufgabe E3 (Bonus)
Führen Sie die Berechnung des T-Matrixelements und der Übergangsrate aus Aufgabe 7 zu
Ende.
a) Bringen Sie den Ausdruck für die Übergangsrate auf die Form
∫ ∣
R 2s→1s+γγ = 4α2 ω12 ∣∣∣∣ ∑
(
ω1n ω 2n
27πc 4 dω k1 ω k1 ω k2 R n + ω ) ∣ 2
1nω 2n ∣∣∣
ω 2n + ω k1 ω 2n + ω k2
0
n
ω k2 =ω 12 −ω k1
Hier ist α = e 2 /(4πǫ 0 c) die Feinstukturkonstante, ω AB = (E B − E A )/. Die R n
sind durch Matrixelemente von | X| ⃗ im Radialanteil der Wellenfunktionen ψ nlm (⃗x) =
χ nl (r)Y lm (⃗n) des Wasserstoffatoms gegeben:
(∫ ∞
)(∫ ∞
)
R n ≡ dr r 3 χ 10 (r)χ n1 (r) dr r 3 χ n1 (r)χ 20 (r)
Anleitung:
0
i) Verwenden Sie die Dipolnäherung e −i⃗ k i ⃗X ≈ 1.
ii) Zeigen Sie unter Verwendung der Auswahlregeln, dass nur p-Zustände |n1mm s 〉 in
der Summe über die Zwischenzustände beitragen können.
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