Mechanik 1

www6.physik.uni.greifswald.de

Mechanik 1

2.1 aus gkg … pharm. Prüf.

2 Mechanik 2.1 Bewegungen

2.1.1 Geschwindigkeit, Beschleunigung: Definitionen, vektorielle

Zusammensetzung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen

2.1.2 Geradlinige Bewegungen: Zusammenhang von Beschleunigung,

Geschwindigkeit, Weg und Zeit; einfache Beispiele mit konstanter

Beschleunigung

2.1.3 Rotationsbewegungen: Zusammenhang von

Winkelbeschleunigung, Winkelgeschwindigkeit, Winkel und Zeit;

einfache Beispiele mit konstanter Drehzahl (Darstellung mittels

Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz und

Umfangsgeschwindigkeit)

2.1.4 Zeitabhängige Vorgänge: Nichtperiodische, allgemeinperiodische

und harmonische Vorgänge, Periodendauer und

Frequenz, Einordnung einfacher Beispiele; Überlagerung von

harmonischen Schwingungen in einfachen Fällen

2.1.5 Momentanwert und Mittelwert: Definitionen, Vergleich bei

einfachen Vorgängen, z.B. beschleunigter Bewegung,

harmonischem Vorgang


24./25. Okt. 2007 Experimente

– Meßgeräte zur Bestimmung von Länge, Fläche etc.

– Zeitmessung auf Luftkissenbahn

– s-t - Diagramme

– Grundgesetz der Mechanik: F = m a

Messung der Beschleunigung bei unterschiedlicher Kraft bzw. Masse

– konstante Beschleunigung beim freien Fall (mit Messwerten)

– Fallröhre mit Luft bzw. unter Vakuum

– Im freien Fall: Wegziehen von Papier zwischen zwei Gewichten

– Trägheit:

- Wegziehen von Papier unter Münze auf Becher

- Hammerschläge auf Hand (bzw. Klotz dazwischen)

- „Einstein-Versuch“ (Kugel an Feder soll in Trichter)


Kinematik 1

Strecke s

Δs

Kinematik ist die Lehre von den Bewegungen

im Raumunter Absehung von den Kräften.

(mit Kräften „Dynamik“, folgt in Kürze!)

v

=

lim

Δs

Δt

v

=

lim

Δt→0

Δt→0

Δs

Δt

=

ds

dt

=

v

Δt

Zeit t

Translation:

„Strecke“, besser: Ort (in m)

s

Geschwindigkeit (in m/s)

ds

v =

dt

Beschleunigung (in m/s 2 )

dv

a =

dt

=

2

d s

2

dt


Kinematik 2

Translation (Bewegung von einem Ort zum anderen):

„Strecke“, besser: Ort (in m)

Geschwindigkeit (in m/s)

Beschleunigung (in m/s 2 )

analog

Rotation (Drehbewegung um eine Achse):

s

v

a

ds

=

dt

dv

=

dt

=

2

d s

2

dt

Winkel (in rad)

Winkelgeschwindigkeit (in rad/s)

Winkelbeschleunigung

(in rad/s 2 )

φ

ω =

d ω

dt

d φ

dt

2

d φ

=

2

dt


Kinematik 3

Bisherige Beschreibung der Bewegung eindimensional.

Tatsächlich finden die Bewegungen im dreidimensionalen Raum statt.

Das bedeutet für die

Translationen:

Es gibt jeweils drei Orts-, Geschwindigkeitsund

Beschleunigungskomponenten

der entsprechenden Vektoren.

Man unterscheidet hier auch zwischen

dem Vektor der Geschwindigkeit (engl. velocity)

und seinem Betrag, der Bahngeschwindigkeit (engl. speed)

Rotationen:

Die entsprechenden Achsen

(für Winkel, Winkelgeschwindigkeiten

und –beschleunigungen)

werden ebenfalls durch Vektoren ausgedrückt

(die in ihren Richtungen nicht übereinstimmen müssen!)


2.2 aus gkg … pharm. Prüf.

2.2 Kraft, Drehmoment

2.2.1 Kräfte: Vektorielle Addition von Kräften, Zerlegung einer Kraft in

Komponenten vorgegebener Richtung (Kräfteparallelogramm)

2.2.2 Newton’sche Prinzipien: Trägheitsprinzip; Zusammenhang

zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung; Prinzip der Gleichheit

von Wirkung und Gegenwirkung (actio = reactio)

2.2.3 Kräfte und Bewegungen: Einfache Beispiele (konstante

Beschleunigung oder Verzögerung); Zusammenhang von Masse

und Gewichtskraft, Fallbeschleunigung, freier Fall; Reibungskräfte

(Richtung, Bremswirkung)

2.2.4 Drehmoment, Hebelgesetz: Zusammenhang des Drehmoments

mit Kraft und Hebelarm, Gleichgewichtsbedingung, Behandlung

einfacher Beispiele, z.B. Hebel, Waage

2.2.5 Fliehkraft: Betrag und Richtung der Zentrifugalkraft bei einer

gleichförmigen Kreisbewegung (s.a. 2.5.7); Zentrifuge

2.2.6 Verformungen: Zusammenhang zwischen Kraft und

Längenänderung einer elastischen Feder (Federkonstante);

plastische Verformungen

2.2.7 Dichte:Dichte, relative Dichte, mittlere Dichte von Haufwerken

(Pulvern); Porosität


Newtonsche Axiome

1. Newtonsches Axiom: Ein Körper verharrt im

Zustand der Ruhe oder der geradlinigen,

gleichförmigen Bewegung, solange die

Summe der einwirkenden Kräfte Null ist.

2. Newtonsches Axiom: Die Beschleunigung ist

proportional der angreifenden Kraft,

r

F

r

m⋅a

Die Proportionalitätskonstante ist die Masse m.

Bemerkung: Hier ist die „träge Masse“ gemeint.

=

3. Newtonsches Axiom: actio=reactio; die Erfahrung zeigt, daß,

wenn ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft F AB

ausübt, der

Körper B umgekehrt auch eine Kraft F BA

ausübt. Die Kräfte sind

entgegengesetzt und gleich groß, also

r r

F AB

= −F BA

1642-1747


Beschleunigung von Luftkissenwagen

Luftkissenwagen der Masse M wird beschleunigt

durch Schwerkraft, die über eine Rolle an einem

kleinen Gewicht der Masse m angreift.

m

M

≈ g

a


0,05 m/s

2

10 m/s

2

( M + m) a

F = m g = 2

Kraft

Masse M + m + m

(zweites Gewicht auf dem Wagen)

≈ 0,5 %

Verdopplung der Kraft: 2 m g = ( M + 2m) a

Erhöhung (fast Verdopplung) der Trägheit (durch zweiten Wagen):

Kombination:

( 2 M + m) a

( 2M

m) a

m g = 2

2 m g = + 2

Bemerkung: Auch die Rolle wird beschleunigt!

a = 0,05 m/s 2

Wiegen ergibt M = 194 g

m = 1 g

a = 0,10 m/s 2

a = 0,03 m/s 2

a = 0,055 m/s 2


Massenstandard

Das Ur-Kilogramm im Bureau International

des Poids at Mesures in Paris

Zylinder aus Pt-Ir-Legierung

Kugel aus

hochreinem,

einkristallinem

Silizium

Zählen von Atomen


Gravitation

F =

γ =

m1m

2

γ

2

r

6.67 ⋅ 10

Gravitations-Gesetz

−11

3 -2

m s

kg

-1

1N(Newton)

=

kg ⋅ m

1

2

s

Ein Feld ordnet jedem Punkt des Raumes

eine bestimmte physikalische Größe zu.

Hier: Schwerefeld (der Erde)

Bemerkung:

Mit diesem Versuch wurde gamma

und damit die Masse der Erde bestimmt!

„Gravitations-Waage“


Fallbeschleunigung

Kann die Reibung vernachlässigt werden, so gelten für alle Körper

die gleichen Fallbeschleunigungen im Gravitationsfeld der Erde.

Newton:

F

m⋅

m

= m⋅a

= γ

r

Erde

2

träge bzw. schwere Masse sind gleich

(Einstein, allg. Relativitätsth.)

Fallbeschleunigung

an der Erdoberfläche

g

= γ

m

r

Erde

2

Erde


m

9.81

2

s

Aus g, r Erde und γ

folgt die Erdmasse!

Genauer Wert ist ortsabhängig!

(Abstand vom Erdmittelpunkt

plus „Zentrifugalkraft“)


Fallversuch

Gemessen wird die Fallzeiten t für die Fallhöhen 0,2 m bzw. 0,8 m.

Die Bestimmung der Fallgeschwindigkeit v erfolgt

nach der Beziehung v = Δs / Δt.

Hierbei ist Δt die Zeitspanne, die beim Verdunkeln der Lichtschranke

durch den Fallkörper vergeht.

(Länge des Fallkörpers Δs = 20 mm)

s in m 0,2 0,8

t in s 0,2 0,4 δt = 0,2 s

Δt in ms 10 5

υ in m/s 2 4 δυ = 2 m/s

Mithilfe dieser Werte erhält man für die

Fallbeschleunigung den Wert g = δv/δt = (2 m/s) / (0,2 s) = 10 m/s 2 .


In gewissem Sinne paradox:

Im „freien Fall“

erfährt man

„Schwerelosigkeit“

Schwerelosigkeit

„Parabelflug“


Ohne Beschleunigung (a = 0):

Gleichförmige Bewegung, v = const.

Damit (Integrieren!) Ort x (manchmal auch s genannt)

x = v t

bzw. allgemeiner x = v t + x 0

(x 0 heißt Anfangswert)

Freier Fall

Beim freien Fall

konstante Beschleunigung

Damit

und durchfallene Höhe

a = g

v = g t

h = (g/2) t 2


Wurfparabel

a) „Fallgesetz“, wobei zunächst Bewegungsrichtung nach oben

b) zwei-dimensionale Bewegung, da auch „nach der Seite“

ad a) konst. Beschleunigung führt durch Integration und Einsetzen

der Anfangsbedingungen zum Ort

ad b) Analog für die gleichförmige

Bewegung in x-Richtung:

Vereinfachung mit „horizontalem Wurf“ und

Auflösen nach t und Einsetzen in

y-Gleichung führt zur Parabelform:

Beim „schiefen Wurf“ werden eine

Anfangsgeschwindigkeiten in x- und

y-Richtung angenommen und oft

durch den Winkel gegen die Horizontale

ausgedrückt.

y

=

2

v

v

2

y = t + v0,

y

t +

x

g

v

2

0, x

0, y

g

2

x = + v0,

x

t + x0

0

= y0

= v0,

y

=

0, x

=

=

x

v

2

v

0

0

v = v + v

y

cosα

y

sinα

2 2 2

0 0, x 0, y

0

y

0

x

x


1./7./8. Nov. 2007 Experimente

– Federpendel, Fadenpendel

– (Luftballon-)Rakete an Faden

– Reibungskräfte

– Schwerpunkt (Massenmittelpunkt)

– Gleichgewicht

– Rotationskräfte (Zentrifugalkraft, Corioliskraft)

Vorführung von Kreiseln


2

d x

2

dt

F

m⋅a

k

+ x

m

υ

= −

(Feder-) Schwingung

k ⋅ x Rückstellkraft F proportional zur

Auslenkung s. Proportionalität mit

k ⋅ x Federkonstante k.

Differentialgleichung

0

( t)

= x0 sin( ωt

und x( t)

= x0 cos( ωt)

„Harmonische Bewegung“

k

ω =

m

Schwingungsdauer T

=

1

T = = 2 π

= −

=

Lösungen x

)

mit „Kreisfrequenz“

d.h. Frequenz

ω

2 π

=

1


k

m

υ

m

k


Bewegung auf Kreisbogen s

bei Pendellänge = l

2

d s

ma = m = −F 2 t

d t

= −F g

sinϕ

= −mg sinϕ

a = −g sinϕ

2

d s

+ g sinϕ = 0

2

dt

2

d s g

+ s ≈ 0

2

dt

l

sinϕ ≈

T

≈ 2π

s

l

l

g

ϕ

F t

kleine

Winkel

l

ϕ

F g

Fadenpendel

Im altenGebäude

des Inst. f. Physik

l

T

=

=

15.2m

7.8s

Foucaultsches Pendel

folgt der Coriolis-Kraft.

Bei Pendellänge l =1m

halbe Schwingungsperiode

von etwa T/2 = 1s .


2.3 aus gkg … pharm. Prüf.

2.3 Energie, Leistung, Impuls

2.3.1 Arbeit, Energie: Zusammenhang mit Kraft und Weg, auch bei

nicht konstanter Kraft und für den Fall, dass die Kraft nicht parallel

zum Weg angreift; kinetische Energie der Translation und Rotation;

potentielle Energie, Berechnung einfacher Beispiele wie senkrechte

Bewegung im Schwerefeld (Hubarbeit); Bewegung auf der schiefen

Ebene; Verformung einer Feder

2.3.2 Energieerhaltungssatz (s.a. 3.3.3): Kinetische Energie der

Translation; einfache Anwendungen des Energieerhaltungssatzes

aus der Mechanik (Energieformen und ihre Umwandlungen für die

senkrechte Bewegung im Schwerefeld, Energieformen und ihr

periodischer Wechsel beim Federpendel), Einfluss der Reibung

(Prinzip)

2.3.3 Leistung: Zusammenhang mit Energie, Arbeit und Zeit

2.3.4 Impuls, Impulserhaltungssatz: Zusammenhang mit Masse und

Geschwindigkeit; vektorielle Darstellung; Anwendung auf einfache

elastische und unelastische zentrale Stöße

2.3.5 Drehimpuls: Zusammenhang mit Trägheitsmoment und

Winkelgeschwindigkeit; Drehimpulserhaltungssatz


Arbeit, Energie und Leistung

Unter Arbeit versteht man das Produkt aus Kraft und Weg.

W

W

=

=

F

s

2


s

1


Einheit

s

r r

F(

s)

⋅ ds

J

=

Nm

bei konstanter Kraft

allgemeine

Formulierung

Leistung ist das Verhältnis von

geleisteter Arbeit zu benötigter Zeit

W

P =

t

[ P]

= J / s =

W

Joule

hier für Arbeit

hier Einheit Watt

Beispiele:

W

W

W

W

H

B

F

R

=

=

mgh

m as

1

= k s

2

= F s

R

2

=

m

2

v

W H

2

Reibungsarbeit

Hub-

Beschleu-

nigungs-

Verformungs-

≈ 600J


Energie-Erhaltung

Unter Energie versteht man die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.

(Einheit J = Nm)

"Fallkraft (heutiger Begriff: potentielle Energie), Bewegung

(kinetische Energie), Wärme, Licht und Elektrizität sind einund

dasselbe Objekt in verschiedenen Erscheinungsformen".

E

E

pot

kin

=

mgh

= potentielle Energie

1 mv

2

2

kinetische Energie

Energieerhaltungssatz der Mechanik: E + E const.

2

E = mc

pot kin

=

Energie und Masse sind zwei äquivalente

Erscheinungsformen der Materie

R. Mayer: 1814-1878


Geschwindigkeit nach freiem Fall

Wozu sind Energieerhaltungssätze gut?

- Verständnis der fundamentalen Zusammenhänge

- Erleichterung bei der Berechnung konkreter Größen

Beispiel: Geschwindigkeit nach freiem Fall

aus Lösung der DGL bzw. über den

Energie(erhaltungs)satz

jeweils

durch

Integrieren

ma = mg

υ = gt

υ

bzw. t =

g

2 2

g 2 g υ υ

h = t =

2 =

2 2 g 2g

υ =

2gh

E =

kin, nachher

E

pot, vorher

1

m υ

2

= mgh

2

1 υ

2

= gh

2

υ = 2gh


Stoß und Impuls

r

p =

r

mv

Impuls

2. Newtonsches Axiom: (Alternative Formulierung)

Die zeitliche Änderung des Impulses eines Körpers ist gleich der

Summe der angreifenden Kräfte r

r

r dp

F =

dt

r

+ p

r

+ K = ∑ p

r

= p

Impulserhaltung: p

const.

1 2

i ges

=

i

Bemerkung: Vorausgesetzt wird die Betrachtung eines „abgeschlossenen“ Systems.


Stossgesetze 1

Betrachte Körper 1 und 2 mit Massen m 1 bzw. m 2

und Geschwindigkeiten vorher v 1,2 nachher u 1,2

Impuls(erhaltungs)satz:

m

vorher

r

r

nachher

1

⋅v1

+ m2

⋅v2

= m1

⋅u1

+ m2

⋅u2

r

r

Beschränkung auf elastischen Stoß

(im Gegensatz zu inelastisch; vgl. auch „superelastisch“)

Dann Energie(erhaltungs)satz:

m

2

1

⋅v

2

1

+

m

2

2

⋅v

2

2

=

m

2

1

⋅u

2

1

+

m

2

2

⋅u

2

2

Zusätzlich Beschränkung auf zentralen Stoß (Gegensatz zu exzentrisch)

(dann 1-dim. Problem, d.h. es reicht die Betrachtung

einer Komponente der Vektoren)


Stossgesetze 2

m

2

1

⋅v

2

1

+

m

2

2

⋅v

2

2

=

m

2

1

⋅u

2

1

+

m2

2

2 2

2

⋅u

m ⋅ v

2

1

− u1

= m2

⋅ u2


2

m ⋅ v − u ⋅ v + u = m ⋅ u − v ⋅ u +

( ) (

2

)

1

v2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 2 2 2 2

v2

m

1

⋅v1

+ m2

⋅v2

= m1

⋅u1

+ m2

⋅u2

m

( v − u ) = m ⋅( u − )

1


1 1 2 2

v2

also

oder

v +

v

1

+ u1

= u2

v2

1

− v2

= u2

− u1

Der Betrag der Relativgeschwindigkeit ändert sich nicht.

Einsetzen von u 2 bzw. u 1 ergibt für die Endgeschwindigkeiten:

u

m


+

m

2m

2m

− m

1 2

2

1

2 1

1

= v1

+ v2

bzw. u2

= v1

+ v2

m1

m2

m1

+ m2

m1

+ m2

m1

+ m2

m


u

1

m


+

m

2m

2m

Stossgesetze 3

− m

1 2

2

1

2 1

= v1

+ v2

und u2

= v1

+ v2

m1

m2

m1

+ m2

m1

+ m2

m1

+ m2

m

Betrachte die Spezialfälle:

a) Bei gleichen Massen

u

1

= v 2

m m =

1

= 2

und u

2

= v1

m

d.h. Austausch der Geschwindigkeiten

b) Bei sehr großer Masse und

u



1

v 1

und

u

m >>

2

2

m 1

c) Bei sehr großer Projektilmasse und

u1 ≈ v 1


0

v

2

=

0

d.h. Übertrag des doppelten Impulses

aber keine Energie-Übertragung!

m >>

1

m 2

v 2 = 0

und u 2

≈ 2v 1

d.h. kaum Energie- und Impuls-

Übertrag, aber Teilchen 2 hat

nach dem Stoß die doppelte

Geschwindigkeit von Teilchen 1


Ballistisches Pendel

Ein Pendelkörper (Masse M = 44g) sei zunächst in Ruhe

und werde dann von einem Projektil (Masse m = 0,45 g) getroffen.

Die Geschwindigkeit des Projektils v wird aus der Höhe h bestimmt,

bis zu der der Pendelkörper (samt absorbiertem Projektil) schwingt.

Beachte: Die kinetische Energie ist hier keine Erhaltungsgröße!

Aus der Impulserhaltung

mv = ( M + m)u

Folgt die Geschwindigkeit des Pendelkörpers u unmittelbar

nach dem Aufprall. Die kinetische Energie wird danach in potentielle

Energie umgewandelt, sodass

2

M + m 2 M + m ⎛ m ⎞ m 2

u = ⎜ v⎟

= v

2 2 ⎝ M + m ⎠ 2( M + m)

Für h = 5cm liefert der Versuch

Einen Wert von ca. 100 m/s.

2

M + m

v = 2gh

m

= ( M + m)gh


Raketengleichung

- Rakete (Masse m(t), Geschwindigkeit v(t)) funktioniert nach

dem „Rückstoß-Prinzip“, das aus der Impulserhaltung folgt.

- Das Treibmittel wird mit großer Geschwindigkeit w in die Richtung

entgegen der eigenen Beschleunigung ausgestoßen.

- Damit ändert sich die Raketenmasse als Funktion der Zeit!

Impulserhaltung:

⎛ dm ⎞ dυ

w ⋅ ⎜ − ⎟ = m =

⎝ dt ⎠ dt

ma

„Schub“ (sei hier konstant)

1

m

dm

dt

1

= −

w


dt

Lösung der DGL:

d.h.

m

ln

m

0

υ

= −

w

υ(

m(

t))

= −wln

m(

t)

m

0

d.h.

m(

υ(

t))

=

m e

0

−υ

( t)/

w


Kräfte als Vektoren

Beispiel:

Hangabtriebskraft

H =

G sinα

Die „Normalkraft“

H =

G cosα

wird von der Unterlage aufgefangen.


Zentripetal-, Zentrifugalkraft

Für Kreisbewegung wird

eine Beschleunigung auf

den Kreismittelpunkt hin benötigt

d.h. die Richtung ändert sich

kontinuierlich.

Für den Betrag ergibt sich

2

2 v

a r

= ω ⋅ r =

r

F

Für die Zentripetalkraft ergibt sich also

r

2

= m⋅a

= mω

r

⋅r

=

v

r

2

Analog spüren die bei der

Kreisbewegung mitgeführten Körper

(bzw. die Verankerungen)

eine Zentrifugalkraft, die vom

Kreismittelpunkt weg gerichtete ist.


Wie kommt es zu der Formel?

Zentripetal-, Zentrifugalkraft 2

v 2

v 2

Δv

r 2

r 1

v 1

Δs

Δs

ds

dt

=

=

υ =

r

ds = r

r

Δϕ



dt

r ω

bzw.

υ

ω =

r

Δϕ


= υ −υ

≈υ

sin( dϕ)

2

1

≈υ


ω

a =



= υ = υω =

dt dt

2

υ

r


Corioliskraft

Ein mitbewegter Beobachter auf einem

rotierenden Bezugssystem beobachtet

zwei Trägheitskräfte:

• Zentrifugalkraft

• Corioliskraft

r

F z

r

F C

r r r

= −mω

× ( ω × r)

r

= 2m(

v ×

r ω)

Blick auf den Nordpol:

B

C

A

ω

Auf der Nordhalbkugel:

Ablenkung der

Luftmassen nach rechts!

Beispiel: Linksdrehung

bei Tiefdruckgebieten.

Auch: Foucaultsches Pendel


M r

r r r

M

× F

v r r r r

M =

⋅ F ⋅ sin(

, F)

r F r

= Drehmoment

Drehmoment

„Linienflüchtigkeit“der

Kräfte am starren Körper:

r r

r r

F r

Drehmoment bei

„folgsamer Spule“:

Fr

F r

Momentane

Drehachse


M

v

M

r r

× F

r r

=

⋅ F

= Drehmoment

r r

⋅ sin(

, F)

Zweiseitiger Hebel

Spezialfall:

Hebelgesetz

F

Hebelgesetz

r

⊥ F

r

1

⋅l1

= F2

⋅ l2

Einseitiger Hebel


Drehmomente am Fußgelenk

F S

a S

D

a B

F B

S

r D,S

r D,B

B

F

S

×

D,

S

=

B

×

D,

B

F

S

r


a

S

=

F

F

B


r

a

B


Gleichgewicht 1

Jede Bewegung eines starren Körpers kann man aus einer

Translations- und Rotationsbewegung zusammensetzen

Gleichgewicht:

r r

F + F2

+ K = ∑

1

F i

=

i

r

0

und

r

M

r

+ ∑

1

M2

+ K = M i

=

i

r

0

An einem Hebel herrscht Gleichgewicht, wenn die Summe der

rechtsdrehenden Momente gleich der der linksdrehenden Momente ist

Waage


stabil indifferent labil

Gleichgewicht 2

S S S

Im Gleichgewicht nimmt die potentielle Energie des Körpers

einen Extremwert an, d.h. δE pot =0


Schwerpunkt (Massenmittelpunkt)

Ein Körper, der in seinem Schwerpunkt unterstützt wird, bleibt in jeder

Lage im Gleichgewicht.

Die Summe der Drehmomente aller Massenelemente um die

Achse ist gleich Null.


r

Δm gr


Δm gr

r i

Δm i

i

j

14243 14243

S

rechtsdrehend linksdrehend

r r

r

Δm j

j

mkgrk

= →

i

i

=

∑ Δ 0 dm = 0

k

j


j

Drehmomente


Translationsbewegung

Rotationsbewegung

Ort

Analogie zw. Translationen und Rotationen

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Masse

Kraft

Impuls

x r (t) r

r dx

v =

dt

r 2 r

r dv d x

a = =

2

dt dt

E =

2

m

r d r r

F = p = ma

dt

r r

p = mv

1

kin mv

2

Impulserhaltung

r

p

1

+

r

p

2

r

+ K = ∑ = const.

k

p k

Winkel

Winkelgeschw.

Winkelbeschl.

Trägheitmoment

2 2

2 r

J = m r = r dm r ρ(

) dv

Drehmoment M = J

r

Drehimpuls L = J

kinetische Energie 1 E

2

kin = Jω

2

Drehimpulserhaltung

r

L

1

+

∑ k k ∫ = ∫

k

r

L

ϕ r (t)

2

r

r

r dϕ

ω =

dt dω r

dt

V

r


=

r

dt

ω

k

L k

r

dL

dt

r

+ K = ∑ = const.

V


Trägheitsmoment, Drehimpulserhaltung

Trägheitsmoment ist abhängig von der Massenverteilung

im Hinblick auf die Drehachse

2 2

J = m r = r dm


Experiment mit zwei Rollen mit

gleichem Radius und gleicher Gesamtmasse!

r r r

Drehimpulserhaltung: L + L + K = ∑ L k

= J ⋅ = const.

1 2

ω

k

Experiment: Pirouette (Arme Ausbreiten auf Drehstuhl)

k

k

k


V

Satz von Steiner:

J

=

J

s

+

m

ges

⋅ d

2

Abstand der (parallelen) Achsen

Schwerpunkt

Drehmoment von außen, das sich „mitdreht“:

=> Experiment zur Präzession

mit Fahrrad-Rad in Schlaufe


Kräftefreier Kreisel

Bei kardanischer Aufhängung

eines Gyroskops folgt

Drehimpulserhaltung

Nutation: Bewegung der Rotationsachse

des Kreisels um die Drehimpuls-Achse

(wenn Drehimpuls nicht parallel

zu einer Figurenachse ausgerichtet ist).

(aber Vorsicht: Nutation in Astronomie:

Zusätzliche Erdpräzession aufgrund des Mondes)


Präzession

Auf einen Kreisel, der nicht

im Schwerpunkt aufgehängt ist,

wirkt ein Drehmoment senkrecht

zum momentanen Drehimpuls

und wegen M = dL/dt kommt es

zur „Drehung der Drehachse“.

z.B. bei der Erde infolge der Abplattung und

Sonnengraviation: „Platonisches Jahr“

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