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Das anomale magnetische Moment des Myons im minimalen ...

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<strong>Das</strong> <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong><br />

<strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

<strong>im</strong> min<strong>im</strong>alen supersymmetrischen<br />

Standardmodell für tan β = ∞<br />

Diplomarbeit<br />

zur Erlangung <strong>des</strong> wissenschaftlichen Gra<strong>des</strong><br />

Diplom-Physiker<br />

vorgelegt von<br />

Markus Bach<br />

geboren am 14.05.1988 in Weißenfels<br />

Institut für Kern- und Teilchenphysik<br />

der Technischen Universität Dresden<br />

2013


Eingereicht am 12.12.2013<br />

1. Gutachter: Prof. Dr. Dominik Stöckinger<br />

2. Gutachter: Prof. Dr. Burkhard Kämpfer<br />

iii


Kurzdarstellung<br />

<strong>Das</strong> <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> wurde exper<strong>im</strong>entell mit einer sehr<br />

hohen Präzision best<strong>im</strong>mt. Allerdings besteht eine Diskrepanz zwischen dem Messergebnis<br />

und demjenigen Wert, den das Standardmodell der Teilchenphysik vorhersagt.<br />

Diese Abweichung gilt als Hinweis auf Physik jenseits <strong>des</strong> Standardmodells<br />

und ist unter best<strong>im</strong>mten Bedingungen durch supersymmetrische Erweiterungen<br />

erklärbar.<br />

In der vorliegenden Arbeit werden zusätzliche Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> berechnet, die <strong>im</strong> min<strong>im</strong>alen supersymmetrischen<br />

Standardmodell für tan β = ∞ auf Einschleifenniveau entstehen. Außerdem wird<br />

untersucht, in welchen Parameterbereichen das betrachtete Szenario dazu in der Lage<br />

ist, die Differenz zwischen Messwert und Standardmodellvorhersage zu erklären.<br />

Abstract<br />

The anomalous magnetic moment of the muon has been measured with a very<br />

high precision. However, there exists a discrepancy between the exper<strong>im</strong>ental result<br />

and the value predicted by the Standard Model of particle physics. This deviation<br />

is considered as an evidence for physics beyond the Standard Model and can be<br />

explained by supersymmetric extensions under certain constraints.<br />

This thesis presents the calculation of additional contributions to the muon anomalous<br />

magnetic moment, which are generated in the Min<strong>im</strong>al Supersymmetric Standard<br />

Model for tan β = ∞ at one-loop level. Furthermore, the parameter regions in which<br />

the examined scenario is capable of explaining the difference between measurement<br />

and Standard Model prediction will be identified.<br />

v


Inhaltsverzeichnis<br />

1 Einleitung 1<br />

2 Standardmodell 3<br />

2.1 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />

2.2 Teilchen und Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />

2.3 Higgs-Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<br />

2.4 Grenzen <strong>des</strong> Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />

3 Min<strong>im</strong>ales supersymmetrisches Standardmodell 13<br />

3.1 Supersymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />

3.1.1 Supersymmetriealgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />

3.1.2 Superraum und Superfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />

3.1.3 Supersymmetrische Lagrange-Dichte . . . . . . . . . . . . . . 16<br />

3.2 Min<strong>im</strong>ale supersymmetrische Erweiterung <strong>des</strong> Standardmodells . . . . 18<br />

3.2.1 Superfelder und Superpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . 19<br />

3.2.2 Sanfte Supersymmetriebrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />

3.2.3 Elektroschwache Symmetriebrechung und Massenterme . . . . 23<br />

4 MSSM für tan β = ∞ 27<br />

4.1 Vakuumerwartungswerte und Myonmasse . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />

4.2 Massen der Superteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28<br />

4.3 Freie Parameter der Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />

5 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> 31<br />

5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />

5.2 Exper<strong>im</strong>entelle Best<strong>im</strong>mung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />

5.3 Vorhersage <strong>des</strong> Standardmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />

5.4 Supersymmetrische Beiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />

6 Berechnungen <strong>im</strong> MSSM für tan β = ∞ 37<br />

6.1 Relevante Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37<br />

6.2 Selbstenergie <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />

6.2.1 Charginobeitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />

6.2.2 Neutralinobeitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />

6.2.3 Gesamtresultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43<br />

6.3 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> . . . . . . . . . . . . . . 44<br />

6.3.1 Charginobeitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44<br />

6.3.2 Neutralinobeitrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />

vii


6.3.3 Gesamtresultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />

6.4 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />

7 Näherung der Ergebnisse 49<br />

7.1 Massen und Hilfsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />

7.2 Selbstenergie <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<br />

7.3 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> . . . . . . . . . . . . . . 52<br />

7.4 Darstellung mit Wechselwirkungseigenzuständen . . . . . . . . . . . . 56<br />

8 Auswertung 59<br />

8.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />

8.1.1 Skalierungsverhalten der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />

8.1.2 Forderungen an die Yukawa-Kopplungen der Leptonen . . . . 60<br />

8.2 Untersuchung der möglichen Parameterszenarien . . . . . . . . . . . . 62<br />

8.2.1 Szenario 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />

8.2.2 Szenario 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />

8.2.3 Szenario 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />

8.2.4 Szenario 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77<br />

9 Zusammenfassung 81<br />

A Konventionen und Notation 83<br />

A.1 Summenkonvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />

A.2 Einheitensystem und Minkowski-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />

A.3 Weyl-Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84<br />

A.4 Graßmann-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />

B Hilfsmittel für die Berechnungen 87<br />

B.1 Feynman-Regeln der Vertizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87<br />

B.2 Komponenten von Vielfachen der Neutralinomassenmatrix . . . . . . 88<br />

Literaturverzeichnis 91<br />

viii


1 Einleitung<br />

<strong>Das</strong> Standardmodell der Teilchenphysik ist eine relativistische Quantenfeldtheorie,<br />

die auf dem Prinzip der lokalen Eichinvarianz beruht. Es beinhaltet alle bekannten<br />

Elementarteilchen und beschreibt die zwischen ihnen auftretende elektro<strong>magnetische</strong>,<br />

schwache sowie starke Wechselwirkung, wobei die ersten beiden in der elektroschwachen<br />

Wechselwirkung vereinheitlicht sind. Weiterhin werden den Materie- und Eichfeldern<br />

über den Higgs-Mechanismus Massen verliehen, sodass ein realistisches Modell<br />

zustande kommt. In den vergangenen Jahrzehnten hat sich das Standardmodell durch<br />

präzise Vorhersagen in verschiedensten Bereichen durchgesetzt. Allerdings liefert<br />

es nur eine unvollständige Beschreibung der Realität, da beispielsweise weder die<br />

Existenz dunkler Materie erklärt noch die gravitative Wechselwirkung beschrieben<br />

werden kann.<br />

Einen weiteren Hinweis für die Unvollständigkeit <strong>des</strong> Standardmodells findet man<br />

bei der Betrachtung <strong>des</strong> <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong>s <strong>des</strong> <strong>Myons</strong>, welches die<br />

Stärke der Wechselwirkung mit einem homogenen Magnetfeld charakterisiert. Diese<br />

Observable ist sowohl exper<strong>im</strong>entell als auch theoretisch eine der am präzisesten<br />

best<strong>im</strong>mten Größen der Teilchenphysik. Die Standardmodellvorhersage unterscheidet<br />

sich jedoch vom Messwert um mehr als drei Standardabweichungen. Unter der<br />

Annahme, dass Physik jenseits <strong>des</strong> Standardmodells diese Diskrepanz erklären kann,<br />

spielt das <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> eine wichtige Rolle bei der<br />

Einschränkung neuer physikalischer Modelle.<br />

Auf der Suche nach physikalischen Theorien, die über das Standardmodell hinausgehen,<br />

hat es sich als nützlich erwiesen, die Raumzeitsymmetrien mithilfe von<br />

theoretischen Überlegungen zu erweitern. Man gelangte so zum Konzept der Supersymmetrie,<br />

die eine Verbindung zwischen Fermionen und Bosonen herstellt. Aus der<br />

einfachst möglichen supersymmetrischen Erweiterung <strong>des</strong> Standardmodells resultiert<br />

das min<strong>im</strong>ale supersymmetrische Standardmodell (MSSM). In diesem vergrößert sich<br />

das Teilchenspektrum um einen bosonischen bzw. fermionischen Superpartner für<br />

je<strong>des</strong> bekannte elementare Fermion bzw. Eichboson. Durch diese Superteilchen erfolgt<br />

eine Modifikation der theoretischen Vorhersagen, sodass das MSSM einige Probleme<br />

<strong>des</strong> Standardmodells lösen kann.<br />

Im Gegensatz zum Standardmodell werden für die Konsistenz <strong>des</strong> min<strong>im</strong>alen<br />

supersymmetrischen Standardmodells zwei Higgs-Dubletts benötigt, die <strong>im</strong> Rahmen<br />

der elektroschwachen Symmetriebrechung beide einen Vakuumerwartungswert<br />

erhalten. <strong>Das</strong> Verhältnis dieser beiden Werte wird mit tan β bezeichnet und stellt<br />

einen wichtigen Parameter <strong>des</strong> Modells dar. Szenarien mit sehr großem tan β wurden<br />

bereits untersucht und sind auf der konzeptionellen Ebene interessant, da sie die <strong>im</strong><br />

Vergleich zum Tauon und Bottom-Quark sehr hohe Masse <strong>des</strong> Top-Quarks durch<br />

eine Hierarchie der Vakuumerwartungswerte erklären können [1, 2]. Außerdem sind<br />

1


1 Einleitung<br />

die relevanten MSSM-Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

durch tan β verstärkt, 1 weshalb die angesprochenen Szenarien gut zur Erklärung der<br />

Differenz zwischen dem gemessenen und dem vom Standardmodell vorhergesagten<br />

Wert geeignet sind.<br />

In dieser Arbeit wird das MSSM <strong>im</strong> bisher noch nicht untersuchten Szenario<br />

tan β = ∞ betrachtet, für das nur eines der beiden Higgs-Dubletts einen nichttrivialen<br />

Vakuumerwartungswert erhält. Daraus resultiert, dass dem Myon (ebenso<br />

wie auch den anderen geladenen Leptonen und down-artigen Quarks) erst durch<br />

Schleifenkorrekturen eine Masse verliehen wird. Es erfolgt die Berechnung der<br />

supersymmetrischen Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong>,<br />

die in einer Form dargestellt werden, bei der die Abhängigkeit von den MSSM-<br />

Parametern direkt ersichtlich und nicht mehr in Mischungsmatrizen versteckt ist.<br />

<strong>Das</strong> Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, herauszufinden, ob und falls ja in welchen<br />

Parameterbereichen diese zusätzlichen Beiträge die Diskrepanz zwischen Messwert<br />

und Standardmodellvorhersage erklären können. Es besteht die Hoffnung, dass dies <strong>im</strong><br />

Vergleich zum gewöhnlichen MSSM auch mit größeren Superteilchenmassen möglich<br />

ist. Da für die Untersuchungen keine hochpräzise Rechnung benötigt wird, ist eine<br />

Betrachtung auf Einschleifenniveau ausreichend.<br />

Die vorliegende Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut. In Kapitel 2 wird zunächst<br />

das Standardmodell der Teilchenphysik vorgestellt. Kapitel 3 beschäftigt sich einerseits<br />

allgemein mit dem Konzept der Supersymmetrie und andererseits speziell<br />

mit dem min<strong>im</strong>alen supersymmetrischen Standardmodell, welches <strong>im</strong> Kapitel 4 auf<br />

das Szenario tan β = ∞ spezifiziert wird. <strong>Das</strong> <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> und<br />

verschiedene Aspekte bei seiner Best<strong>im</strong>mung für das Myon werden in Kapitel 5<br />

vorgestellt. Danach erfolgt in Kapitel 6 die konkrete Berechnung der Selbstenergie<br />

und <strong>des</strong> <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong>s <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> <strong>im</strong> MSSM für tan β = ∞,<br />

bevor die gewonnenen Ergebnisse in Kapitel 7 zunächst genähert und schließlich in<br />

Kapitel 8 ausgewertet werden. Es sei außerdem auf Anhang A hingewiesen, der die<br />

in dieser Arbeit verwendeten Konventionen und Notationen sowie insbesondere die<br />

auftretenden Indizes einführt.<br />

1 Wie sich zeigen wird, sind sie <strong>im</strong> Grenzfall tan β → ∞ aber endlich.<br />

2


2 Standardmodell<br />

<strong>Das</strong> Standardmodell der Teilchenphysik hat sich als geeignete Theorie zur Beschreibung<br />

von Elementarteilchen und deren Wechselwirkungen erwiesen [3, 4]. In<br />

diesem Kapitel erfolgt seine theoretische Beschreibung <strong>im</strong> Rahmen <strong>des</strong> Lagrange-<br />

Formalismus. Für die vollständige Charakterisierung <strong>des</strong> Modells genügt hierbei die<br />

Angabe der Lagrange-Dichte L. Mithilfe <strong>des</strong> Hamiltonschen Prinzips 2 ermittelt man<br />

daraus für die auftretenden Felder ω die Bewegungsgleichungen<br />

2.1 Symmetrien<br />

∂L<br />

∂ω − ∂ ∂L<br />

µ<br />

∂(∂ µ ω) = 0 . (2.1)<br />

Raumzeitsymmetrien<br />

Be<strong>im</strong> Standardmodell handelt es sich um eine relativistische Feldtheorie, d. h. die<br />

Wirkung ist invariant unter Poincaré-Transformationen. Diese bilden eine zehnd<strong>im</strong>ensionale<br />

Lie-Gruppe mit den Generatoren P µ der Translationen <strong>im</strong> Minkowski-<br />

Raum und J µν = −J νµ der Lorentz-Transformationen. Letztere beschreiben neben<br />

den Rotationen <strong>im</strong> dreid<strong>im</strong>ensionalen Raum auch verallgemeinerte Rotationen <strong>im</strong><br />

Minkowski-Raum, bei denen räumliche und zeitliche Koordinaten gemischt werden.<br />

Die Generatoren erfüllen die Lie-Algebra<br />

[P µ , P ν ] = 0 , (2.2)<br />

[P µ , J ρσ ] = i (g µρ P σ − g µσ P ρ ) , (2.3)<br />

[J µν , J ρσ ] = i (g νρ J µσ − g µρ J νσ + g µσ J νρ − g νσ J µρ ) . (2.4)<br />

Nicht-abelsche Eichtheorien<br />

Für die Beschreibung von Wechselwirkungen hat sich eine weitere Symmetrie der<br />

Lagrange-Dichte als äußerst hilfreich erwiesen, nämlich die Invarianz unter lokalen<br />

Eichtransformationen [5]. Diese wird als Konstruktionsprinzip verwendet und<br />

schränkt die Zahl der Terme, die in der Lagrange-Dichte auftauchen dürfen, deutlich<br />

ein. Zunächst werden n Dirac-Spinoren zu einem sogenannten Eichmultiplett<br />

2 δS = 0 mit der Wirkung S = ∫ d 4 x L(x)<br />

⎛ ⎞<br />

ψ 1<br />

Ψ = ⎜ ⎟<br />

⎝ . ⎠ (2.5)<br />

ψ n<br />

3


2 Standardmodell<br />

zusammengefasst. 3 Dieses Multiplett soll der Eichtransformation<br />

Ψ(x) → U(x) Ψ(x) = exp(−i g θ a (x)T a ) Ψ(x) (2.6)<br />

unterliegen, wobei die (n × n) -Transformationsmatrix U Element einer unitären<br />

Lie-Gruppe mit den Generatoren T a sei. Eine wichtige Rolle spielen Theorien mit<br />

nicht-abelschen Eichgruppen, sogenannte Yang-Mills-Theorien [6]. Die Lokalität der<br />

Transformation wird durch die reellen Funktionen θ a gewährleistet, die vom Raumzeitpunkt<br />

abhängen. Der Koeffizient g bezeichnet die sogenannte Eichkopplung und<br />

die hermiteschen Generatoren erfüllen die Algebra<br />

[T a , T b ] = i f abc T c (2.7)<br />

mit den total antisymmetrischen Strukturkonstanten f abc .<br />

Der Ausdruck ¯ΨΨ ist lokal eichinvariant, der kinetische Term ¯Ψγ µ ∂ µ Ψ allerdings<br />

nicht, da auch Ableitungen der Funktionen θ a auftreten. Dieses Problem wird durch<br />

die Einführung der kovarianten Ableitung<br />

D µ := ∂ µ + i g T a A a µ (2.8)<br />

behoben, die Vektorfelder A a µ enthält, die sogenannten Eichfelder. Wenn man für diese<br />

Felder die Eichtransformation<br />

A a µ(x) → A a µ(x) + ∂ µ θ a (x) + g f abc θ b (x)A c µ(x) (2.9)<br />

fordert, so folgt das Transformationsverhalten<br />

D µ Ψ(x) → U(x) D µ Ψ(x) (2.10)<br />

der kovarianten Ableitung, d. h. der Ausdruck ¯Ψγ µ D µ Ψ ist lokal eichinvariant. Neben<br />

kinetischen Termen für die Spinorfelder werden hierdurch auch Terme für die Wechselwirkung<br />

mit den Eichfeldern eingeführt.<br />

Da es sich bei den Eichfeldern um physikalische Felder handelt, wird auch für sie ein<br />

kinetischer Term gefordert. Für <strong>des</strong>sen Konstruktion führt man den Feldstärketensor<br />

mit den Komponenten<br />

F µν = F a µνT a := 1<br />

i g [D µ, D ν ] (2.11)<br />

F a µν = ∂ µ A a ν − ∂ ν A a µ − g f abc A b µA c ν (2.12)<br />

ein. Der Ausdruck F a µνF aµν beschreibt die Dynamik der Eichfelder und ist invariant<br />

unter lokalen Eichtransformationen, was gemäß dem Konstruktionsprinzip für alle<br />

Terme in der Lagrange-Dichte gefordert wird.<br />

3 Dirac-Spinoren werden hier <strong>im</strong> Gegensatz zu späteren Kapiteln mit Kleinbuchstaben bezeichnet.<br />

4


2.2 Teilchen und Quantenzahlen<br />

2.2 Teilchen und Quantenzahlen<br />

Die Materieteilchen <strong>des</strong> Standardmodells sind allesamt Spin- 1 -Fermionen, deren<br />

2<br />

Beschreibung in diesem Kapitel durch Dirac-Spinoren erfolgt. Sie werden gemäß ihrer<br />

Teilnahme an der starken Wechselwirkung in Leptonen und Quarks unterschieden.<br />

Man hat bisher drei Teilchengenerationen entdeckt, die jeweils zwei Leptonen (ein<br />

geladenes sowie das zugehörige Neutrino) und zwei Quarks (ein up-artiges sowie ein<br />

down-artiges) enthalten. Der Tabelle 2.1 sind die Fermionfelder der verschiedenen<br />

Generationen zu entnehmen.<br />

Tabelle 2.1: Materiefelder <strong>des</strong> Standardmodells<br />

Feld 1. Generation 2. Generation 3. Generation<br />

Leptonen<br />

Quarks<br />

ν i<br />

ν e ν µ ν τ<br />

Elektron-Neutrino Myon-Neutrino Tauon-Neutrino<br />

e i<br />

e − µ − τ −<br />

Elektron Myon Tauon<br />

u i<br />

u c t<br />

up charm top<br />

d i<br />

d s b<br />

down strange bottom<br />

<strong>Das</strong> Standardmodell vereint die Quantenchromodynamik [7] mit der Theorie der<br />

elektroschwachen Wechselwirkung [8, 9, 10] und besitzt daher die kombinierte Eichgruppe<br />

SU(3) c × SU(2) L × U(1) Y . In Tabelle 2.2 sind die Generatoren, Kopplungen<br />

und Eichfelder der drei Untergruppen aufgeführt, auf die <strong>im</strong> Folgenden noch näher<br />

eingegangen wird.<br />

Die abelsche Eichgruppe U(1) Y besitzt als Generator den Operator Ŷ der schwachen<br />

Hyperladung. Die zugehörigen Eigenwerte der verschiedenen Felder werden mit<br />

Y bezeichnet. Zur Eichtransformation unter der SU(2) L führt man für die Fermionen<br />

Tabelle 2.2: Eichstruktur <strong>des</strong> Standardmodells (a ∈ {1, 2, 3}, d ∈ {1, . . . , 8},<br />

s dient zur Bezeichnung und nicht als Index). Die Eichfelder transformieren in<br />

der adjungierten Darstellung ihrer Eichgruppe und trivial bezüglich der anderen<br />

beiden.<br />

Gruppe Generatoren Kopplung Felder<br />

U(1) Y Ŷ g 1 B µ<br />

SU(2) L T a g 2 W a µ<br />

SU(3) c T d s g 3 G d µ<br />

5


2 Standardmodell<br />

durch Projektion links-chirale und rechts-chirale Felder 4 ein gemäß<br />

f L (x) := 1 2 (1 − γ 5) f(x) und f R (x) := 1 2 (1 + γ 5) f(x) . (2.13)<br />

Lediglich die Neutrinos erhalten wegen fehlender exper<strong>im</strong>enteller Beobachtung kein<br />

rechts-chirales Feld. Die links-chiralen Felder werden zu den SU(2) L -Dubletts<br />

l iL =<br />

( )<br />

νiL<br />

e iL<br />

und q iL =<br />

( )<br />

uiL<br />

d iL<br />

(2.14)<br />

zusammengefasst, welche unter der fundamentalen Darstellung transformieren. Hierbei<br />

gilt für die in Gleichung (2.6) einzusetzenden, sogenannten schwachen Isospingeneratoren<br />

T a = σ a /2 mit den Pauli-Matrizen σ a . Die Eigenwerte der Felder<br />

bezüglich <strong>des</strong> Operators σ 3 /2 werden mit I 3 bezeichnet. Weiterhin transformieren<br />

die rechts-chiralen Felder als SU(2) L -Singuletts unter der trivialen Darstellung was<br />

durch den Isospin I 3 = 0 charakterisiert wird.<br />

Die starke Wechselwirkung basiert auf der Eichgruppe SU(3) c , deren Quantenzahl<br />

als Farbladung bezeichnet wird. 5 Man fasst die Quarkfelder mit den verschiedenen<br />

Farbladungen r, g und b zu Tripletts<br />

⎛ ⎞<br />

q r<br />

⎜ ⎟<br />

q = ⎝q g ⎠ (2.15)<br />

q b<br />

zusammen, die unter der fundamentalen Darstellung der SU(3) c transformieren.<br />

Hierbei gilt für die in Gleichung (2.6) einzusetzenden Generatoren Ts d = λ d /2 mit den<br />

Gell-Mann-Matrizen λ d . Leptonen nehmen nicht an der starken Wechselwirkung teil,<br />

d. h. sie transformieren unter der SU(3) c als Singuletts und tragen keine Farbladung.<br />

In den folgenden Betrachtungen sei die Farbstruktur der Quarks stets <strong>im</strong>plizit enthalten.<br />

Tabelle 2.3 gewährt abschließend einen Überblick über die <strong>im</strong> Standardmodell<br />

enthaltenen Materiefelder und deren Quantenzahlen bezüglich der Eichgruppe.<br />

Zur Konstruktion der Lagrange-Dichte wird die auf die Produkt-Eichgruppe verallgemeinerte<br />

Version der kovarianten Ableitung aus Gleichung (2.8) benötigt, welche<br />

die Form<br />

D µ = ∂ µ + i ( )<br />

g 1 Ŷ B µ + g 2 T a Wµ a + g 3 Ts d G d µ<br />

(2.16)<br />

ann<strong>im</strong>mt. Bei den Eichfeldern handelt es sich um Spin-1-Bosonen, die analog zu<br />

Gleichung (2.9) in der adjungierten Darstellung ihrer Eichgruppe transformieren. Der<br />

Materieanteil<br />

L Materie = i ¯l iL /Dl iL + i ē iR /De iR + i ¯q iL /Dq iL + i ū iR /Du iR + i ¯d iR /Dd iR (2.17)<br />

der Lagrange-Dichte ist eichinvariant und enthält für die Fermionen neben kinetischen<br />

4 Diese Dirac-Spinoren enthalten die links- und rechts-chiralen Weyl-Spinoren aus Anhang A.3.<br />

5 Die Kennzeichnung c ist vom englischen Wort color abgeleitet.<br />

6


2.3 Higgs-Mechanismus<br />

Tabelle 2.3: Materiefelder <strong>des</strong> Standardmodells und ihre Eichladungen (Generationsindex<br />

i ∈ {1, 2, 3}). Der Wert 0 kennzeichnet hierbei eine Transformation<br />

unter der trivialen Darstellung der entsprechenden Eichgruppe. Ansonsten transformieren<br />

die Multipletts unter der fundamentalen Darstellung mit den Pauli-<br />

Matrizen σ a /2 als Generatoren der SU(2) L und den Gell-Mann-Matrizen λ d /2<br />

als Generatoren der SU(3) c .<br />

Leptonen<br />

Quarks<br />

Feld Farbladung Isospin I 3 Hyperladung Y<br />

( )<br />

νiL<br />

1/2<br />

l iL =<br />

0<br />

−1/2<br />

e iL −1/2<br />

e iR 0 0 −1<br />

( )<br />

uiL<br />

1/2<br />

q iL =<br />

r, g, b<br />

1/6<br />

d iL −1/2<br />

u iR r, g, b 0 2/3<br />

d iR r, g, b 0 −1/3<br />

Termen auch Wechselwirkungsterme mit den Eichbosonen. Der Eichanteil der<br />

Lagrange-Dichte hat die Form<br />

L Eich = − 1 4 B µνB µν − 1 4 W a µνW aµν − 1 4 Gd µνG dµν , (2.18)<br />

wobei die Komponenten der Feldstärketensoren gemäß Gleichung (2.12) durch<br />

B µν = ∂ µ B ν − ∂ ν B µ , (2.19)<br />

W a µν = ∂ µ W a ν − ∂ ν W a µ − g 2 ɛ abc W b µW c ν , (2.20)<br />

G d µν = ∂ µ G d ν − ∂ ν G d µ − g 3 f def G e µG f ν (2.21)<br />

gegeben sind. Die hierbei auftretenden Strukturkonstanten der SU(2) L entsprechen<br />

dem total antisymmetrischen Tensor dritter Stufe.<br />

Die Eichbosonen sind bisher masselos, da entsprechende explizite Massenterme die<br />

Eichinvarianz verletzen würden. Wie dennoch die exper<strong>im</strong>entell beobachteten Massen<br />

der W - sowie Z-Bosonen und auch der Fermionen erzeugt werden können, wird <strong>im</strong><br />

folgenden Abschnitt behandelt.<br />

2.3 Higgs-Mechanismus<br />

Spontane Brechung der elektroschwachen Eichsymmetrie<br />

Im Standardmodell erhalten die Fermionen und massiven Eichbosonen ihre Massen<br />

über den sogenannten Higgs-Mechanismus [11, 12, 13]. In diesem wird zunächst ein<br />

zusätzliches SU(2) L -Dublett h von komplexen Skalarfeldern postuliert, welches die<br />

7


2 Standardmodell<br />

Hyperladung Y = 1/2 besitzt und keine Farbladung trägt. Dynamik und Selbstwechselwirkung<br />

dieses Higgs-Dubletts werden durch den Anteil<br />

L Higgs = (D µ h) † (D µ h) − V Higgs (h) (2.22)<br />

der Lagrange-Dichte beschrieben. Analog zur Behandlung der Fermionen sorgt die<br />

Verwendung der kovarianten Ableitung hierbei für die Eichinvarianz <strong>des</strong> kinetischen<br />

Terms. <strong>Das</strong> Higgs-Potential<br />

V Higgs (h) = −µ 2 h † h + λ ( h † h ) 2<br />

(2.23)<br />

enthält alle erlaubten Terme, die Poincaré- und eichinvariant sowie renormierbar sind.<br />

Durch die Bedingung λ > 0 wird gewährleistet, dass V Higgs (h) nach unten beschränkt<br />

ist. Weiterhin fordert man µ 2 > 0, sodass die Min<strong>im</strong>ierung <strong>des</strong> Potentials durch den<br />

nicht-trivialen Vakuumerwartungswert<br />

〈0|h|0〉 =<br />

(<br />

0<br />

v)<br />

mit v =<br />

√<br />

µ<br />

2<br />

2 λ<br />

(2.24)<br />

erreicht werden kann. Da dieser Zustand <strong>im</strong> Gegensatz zur Lagrange-Dichte nicht<br />

mehr invariant unter der elektroschwachen Eichgruppe SU(2) L × U(1) Y ist, spricht<br />

man von einer spontanen Brechung der Symmetrie. Es verbleibt die ungebrochene<br />

elektro<strong>magnetische</strong> Eichgruppe U(1) em .<br />

Die Entwicklung <strong>des</strong> Higgs-Dubletts um seinen Vakuumerwartungswert liefert<br />

h =<br />

(<br />

G +<br />

v + √ 1<br />

2<br />

(h 0 + i G 0 )<br />

)<br />

, (2.25)<br />

wobei die Felder G + und G 0 unphysikalische Goldstone-Bosonen sind [14], die man<br />

durch eine geeignete Eichtransformation entfernen kann. Im Gegensatz dazu wird mit<br />

dem reellen Skalarfeld h 0 ein ungeladenes, massives Spin-0-Teilchen vorhergesagt. Die<br />

Entdeckung eines solchen Higgs-Bosons am LHC [15, 16] hat die Gültigkeit <strong>des</strong> Higgs-<br />

Mechanismus bestätigt.<br />

Massen der Eichbosonen<br />

Die Eichfelder der elektroschwachen Wechselwirkung erhalten Massenterme durch<br />

Einsetzen <strong>des</strong> Higgs-Vakuumerwartungswerts (2.24) in den kinetischen Term aus<br />

Gleichung (2.22). Daraus resultieren die geladenen W -Bosonen<br />

W µ ± = √ 1 ( )<br />

W<br />

1<br />

µ ∓ i Wµ<br />

2 2<br />

mit der Masse M W = g 2<br />

√ v . (2.26)<br />

2<br />

Die ungeladenen Eichbosonen können durch die orthogonale Transformation<br />

( ) ( ) ( )<br />

Aµ cos θW sin θ<br />

= W Bµ<br />

Z µ − sin θ W cos θ W Wµ<br />

3<br />

(2.27)<br />

8


2.3 Higgs-Mechanismus<br />

in Masseneigenzustände überführt werden, wobei θ W den über die Beziehungen<br />

s W ≡ sin θ W =<br />

g 1<br />

√<br />

g 2 1 + g 2 2<br />

und c W ≡ cos θ W =<br />

g 2<br />

√<br />

g 2 1 + g 2 2<br />

(2.28)<br />

eingeführten Weinberg-Winkel bezeichnet. Für die zugehörigen Massen erhält man<br />

M Z =<br />

√<br />

g 2 1 + g 2 2<br />

2<br />

v = M W<br />

c W<br />

und M A = 0 . (2.29)<br />

<strong>Das</strong> masselose Eichfeld A µ entspricht dem Photon der ungebrochenen Eichgruppe<br />

U(1) em und besitzt die Eichkopplung<br />

e = g 1 g<br />

√ 2<br />

g1 2 + g2<br />

2<br />

= g 2 s W = g 1 c W . (2.30)<br />

Der entsprechende Generator<br />

Nishij<strong>im</strong>a-Formel die Gestalt<br />

ˆQ der elektrischen Ladung hat gemäß Gell-Mann-<br />

ˆQ = Ŷ + σ3<br />

2 , (2.31)<br />

durch welche nachträglich die bisher eingeführten Hyperladungen motiviert werden.<br />

Denn diese sind bewusst so gewählt, dass man in Kombination mit dem schwachen<br />

Isospin I 3 die richtigen elektrischen Ladungen der Teilchen erhält.<br />

Massen der Fermionen<br />

Die Wechselwirkungen der Fermionen mit dem Higgs-Dublett werden durch die<br />

allgemeinen Yukawa-Kopplungen in<br />

L Yukawa = −y e ij ¯l iL h e jR − y u ij ¯q iL h C u jR − y d ij ¯q iL h d jR + h. c. (2.32)<br />

beschrieben, wobei h C = i σ 2 h ∗ das ladungskonjugierte Dublett bezeichnet. Durch<br />

die Verwendung zweier Generationsindizes i und j ist eine Mischung zwischen den<br />

verschiedenen Generationen enthalten. Mithilfe <strong>des</strong> Vakuumerwartungswerts aus<br />

Gleichung (2.24) folgen die Massenmatrizen<br />

m e ij = y e ij v , m u ij = y u ij v , m d ij = y d ij v (2.33)<br />

für geladene Leptonen, up-artige und down-artige Quarks. Aufgrund <strong>des</strong> Fehlens der<br />

rechts-chiralen Felder für die Neutrinos wird diesen durch den Higgs-Mechanismus<br />

keine Masse verliehen.<br />

Lagrange-Dichte <strong>des</strong> Standardmodells<br />

Durch Kombination der einzelnen Anteile aus den Gleichungen (2.17), (2.18), (2.22)<br />

und (2.32) erhält man für das Standardmodell die Lagrange-Dichte<br />

L SM = L Materie + L Eich + L Higgs + L Yukawa . (2.34)<br />

9


2 Standardmodell<br />

Bei der Quantisierung dieser Theorie werden weitere Terme benötigt, die eine Eichfixierung<br />

gewährleisten und die Faddeev-Popov-Geistfelder [17] der nicht-abelschen<br />

Eichgruppen beschreiben. Wegen der geringen Relevanz für diese Arbeit wird darauf<br />

aber nicht näher eingegangen.<br />

2.4 Grenzen <strong>des</strong> Standardmodells<br />

<strong>Das</strong> Standardmodell beschreibt die bekannten Elementarteilchen und die elektroschwache<br />

sowie starke Wechselwirkung mit einer hohen Präzision, was in vielen<br />

Bereichen exper<strong>im</strong>entell bestätigt werden konnte [18, 19]. Es ist bemerkenswert, dass<br />

es Teilchen vorhergesagt hatte, die später an Beschleunigern tatsächlich entdeckt<br />

wurden. Beispiele hierfür sind neben einem neutralen Higgs-Boson auch das Z- und<br />

die W -Eichbosonen [20, 21, 22, 23]. Allerdings gibt es einige theoretische Überlegungen<br />

und exper<strong>im</strong>entelle Beobachtungen, die das Standardmodell nicht oder nur<br />

unzureichend erklären kann. Auf die wichtigsten dieser Grenzen wird <strong>im</strong> Folgenden<br />

kurz eingegangen.<br />

• Vereinheitlichung der Wechselwirkungen<br />

Es gibt Bestrebungen, die Theorien der elektroschwachen und starken Wechselwirkung<br />

in einer gemeinsamen Eichtheorie zu vereinheitlichen. <strong>Das</strong> Standardmodell<br />

kann dies nicht leisten, da die drei laufenden Kopplungen auf keiner<br />

Renormierungsskala denselben Wert annehmen.<br />

• Fehlende Gravitation<br />

Die gravitative Wechselwirkung zwischen massiven Teilchen kann <strong>im</strong> Rahmen<br />

<strong>des</strong> Standardmodells nicht beschrieben werden. Da auf der Skala der reduzierten<br />

Planck-Masse M P = 1/ √ 8π G Newton = 2,4 · 10 18 GeV Quanteneffekte der Gravitation<br />

relevant werden, muss hier eine andere physikalische Theorie gelten.<br />

• Feinabst<strong>im</strong>mungsproblem<br />

Die Masse <strong>des</strong> Higgs-Bosons erhält Schleifenkorrekturen, die quadratisch in der<br />

hohen Energieskala von Physik jenseits <strong>des</strong> Standardmodells sind [24]. Um den<br />

exper<strong>im</strong>entell beobachteten Wert an der elektroschwachen Skala zu erklären, ist<br />

bei der Renormierung daher eine starke Feinabst<strong>im</strong>mung notwendig, die sehr<br />

künstlich erscheint.<br />

• Dunkle Materie<br />

Die Struktur der kosmischen Hintergrundstrahlung und einige gravitative Effekte,<br />

wie beispielsweise die Rotationsgeschwindigkeit von Sternen um ein Galaxiezentrum<br />

in Abhängigkeit vom Abstand, können nicht mit der sichtbaren Materie<br />

<strong>des</strong> Universums erklärt werden. 6 Daher geht man davon aus, dass es große<br />

Mengen sogenannter dunkler Materie gibt, die höchstens schwach wechselwirkt.<br />

<strong>Das</strong> Standardmodell kann hierfür aber keinen geeigneten Kandidaten liefern.<br />

6 Eine Zusammenfassung der exper<strong>im</strong>entellen Befunde ist in Referenz [25] zu finden.<br />

10


2.4 Grenzen <strong>des</strong> Standardmodells<br />

• Neutrinomassen<br />

Die zuerst <strong>im</strong> Homestake-Exper<strong>im</strong>ent [26] beobachteten Neutrinooszillationen<br />

deuten darauf hin, dass min<strong>des</strong>tens zwei der bisher bekannten drei Neutrinos<br />

eine nicht verschwindende Masse besitzen. Wie die Massen erzeugt werden, ist<br />

allerdings noch unklar.<br />

• Baryonasymmetrie <strong>des</strong> Universums<br />

Die CP-Verletzung <strong>des</strong> Standardmodells ist zu klein, um den Überschuss von<br />

Materie gegenüber Ant<strong>im</strong>aterie <strong>im</strong> Universum zu erklären.<br />

• Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

Bei dieser Präzisionsobservablen existiert eine Abweichung zwischen dem gemessenen<br />

Wert und demjenigen, den das Standardmodell vorhersagt. Darauf<br />

wird <strong>im</strong> Kapitel 5 näher eingegangen.<br />

Für viele der aufgeführten Probleme können supersymmetrische Theorien eine Erklärung<br />

liefern [27]. Die Grundlagen der Supersymmetrie und die min<strong>im</strong>ale supersymmetrische<br />

Erweiterung <strong>des</strong> Standardmodells werden <strong>im</strong> folgenden Kapitel vorgestellt.<br />

11


3 Min<strong>im</strong>ales supersymmetrisches<br />

Standardmodell<br />

Bei der Suche nach Antworten auf die <strong>im</strong> Standardmodell noch ungeklärten Fragen<br />

hat sich eine Symmetrie zwischen Fermionen und Bosonen, die sogenannte Supersymmetrie,<br />

als vielversprechend erwiesen. Dieses Konzept soll <strong>im</strong> Folgenden zunächst<br />

allgemein vorgestellt werden, bevor anschließend eine Einführung <strong>des</strong> min<strong>im</strong>alen<br />

supersymmetrischen Standardmodells stattfindet.<br />

3.1 Supersymmetrie<br />

Als Grundlage supersymmetrischer Theorien dient eine Erweiterung der Poincaré-<br />

Algebra, die zu Beginn dieses Abschnitts behandelt wird. Darauf folgt die Einführung<br />

<strong>des</strong> Superraums und der verschiedenen Sorten von Superfeldern, mit deren<br />

Hilfe sich die allgemeine supersymmetrische Lagrange-Dichte konstruieren lässt. Die<br />

hierbei benötigten Definitionen aus dem Bereich der Weyl-Spinoren und Graßmann-<br />

Koordinaten sind den Anhängen A.3 und A.4 zu entnehmen.<br />

3.1.1 Supersymmetriealgebra<br />

Auf der Suche nach zusätzlichen Symmetrien zur Erweiterung der Poincaré-Invarianz<br />

haben Coleman und Mandula gezeigt, dass die Lie-Algebra der Symmetriegeneratoren<br />

eine direkte Summe aus Poincaré-Algebra und den Generatoren der hinzugefügten<br />

internen Symmetrien sein muss [28]. Demnach verschwinden die Kommutatoren<br />

zwischen Letzteren und den Generatoren der Poincaré-Gruppe, d. h. Raumzeitsymmetrien<br />

und interne Symmetrien lassen sich nur trivial kombinieren.<br />

<strong>Das</strong> soeben geschilderte Problem lässt sich durch die Verallgemeinerung von Lie-<br />

Algebren auf graduierte Lie-Algebren umgehen, die neben den bosonischen Generatoren<br />

auch fermionische enthalten. <strong>Das</strong> Haag-Łopuszański-Sohnius-Theorem trifft<br />

Aussagen zur allgemeinsten Form solcher Supersymmetriealgebren [29]. Es werden die<br />

neuen Generatoren {Q n α, ¯Q ṅ α} n∈{1,...,N} eingeführt, bei denen es sich um Weyl-Spinoren<br />

handelt. Die Anzahl N kann dabei prinzipiell Werte von 1 bis 8 annehmen. Da<br />

N = 1 die min<strong>im</strong>ale Wahl darstellt und nur dadurch die exper<strong>im</strong>entell beobachteten<br />

chiralen Fermionen beschrieben werden können [30], beschränken sich die folgenden<br />

Betrachtungen auf supersymmetrische Theorien mit nur einem Satz fermionischer<br />

Generatoren. Die Poincaré-Algebra aus den Gleichungen (2.2) bis (2.4) wird durch<br />

13


3 Min<strong>im</strong>ales supersymmetrisches Standardmodell<br />

die folgenden (Anti-)Vertauschungsrelationen zur Supersymmetriealgebra erweitert<br />

[Q α , J µν ] = 1 2 (σµν ) α β Q β , (3.1)<br />

[ ¯Q ˙α , J µν ] = 1 2 (¯σµν ) ˙α ˙β<br />

¯Q<br />

˙β<br />

, (3.2)<br />

[Q α , P µ ] = [ ¯Q ˙α , P µ ] = 0 , (3.3)<br />

{Q α , Q β } = { ¯Q ˙α , ¯Q ˙β} = 0 , (3.4)<br />

{Q α , ¯Q ˙α } = 2 σ µ α ˙αP µ . (3.5)<br />

Hierbei bringen die Kommutatoren mit den J µν das Transformationsverhalten<br />

der Weyl-Spinoren in den entsprechenden Darstellungen der Lorentz-Gruppe zum<br />

Ausdruck und verdeutlichen weiterhin, dass die Supersymmetriegeneratoren durch<br />

Veränderung <strong>des</strong> Spins um den Wert 1/2 Fermionen in Bosonen überführen und<br />

umgekehrt. Teilchen, die über eine solche Beziehung miteinander verbunden sind,<br />

werden in sogenannten Supermultipletts zusammengefasst und besitzen ferner dieselben<br />

Eichquantenzahlen, da die Operatoren Q mit den Generatoren der Eichgruppen<br />

vertauschen.<br />

3.1.2 Superraum und Superfelder<br />

Supersymmetrietransformationen auf dem Superraum<br />

Um eine Darstellung der Supersymmetriealgebra in Form von Differentialoperatoren<br />

auf einem Funktionenraum zu finden, erweitert man den Minkowski-Raum mit den<br />

vier Koordinaten x µ um weitere vier Koordinaten θ α und ¯θ ˙α , einen links-chiralen und<br />

einen rechts-chiralen Weyl-Spinor, zum sogenannten Superraum. Globale Supersymmetrietransformationen<br />

mit den Parametern ξ α und ¯ξ ˙α der Generatoren Q α und ¯Q ˙α<br />

äußern sich für die Koordinaten gemäß<br />

(<br />

x µ , θ α , ¯θ ˙α) → ( x µ − i θσ µ ¯ξ + i ξσ<br />

µ¯θ, θα + ξ α , ¯θ ˙α + ¯ξ ˙α) . (3.6)<br />

Allgemeine Superfelder werden als Funktionen F(x, θ, ¯θ) eingeführt und man<br />

kann sie wegen der Nilpotenz der antikommutierenden Koordinaten als endliche<br />

Potenzreihen in θ und ¯θ schreiben. Die Koeffizienten sind hierbei Funktionen auf dem<br />

Minkowski-Raum und werden als Komponentenfelder bezeichnet. Die infinites<strong>im</strong>alen<br />

Supersymmetrietransformationen<br />

F → F + i ( ξQ + ¯Q¯ξ ) F (3.7)<br />

der Superfelder können durch die Darstellung<br />

Q α = i ( ∂ α + i σ µ α ˙α¯θ ˙α ∂ µ<br />

)<br />

, ¯Q ˙α = −i (¯∂ ˙α + i θ α σ µ α ˙α∂ µ<br />

)<br />

(3.8)<br />

der Generatoren in Form von Differentialoperatoren verwirklicht werden. Mit<br />

P µ = i ∂ µ lassen sich dann die Vertauschungsrelationen (3.3) bis (3.5) verifizieren.<br />

14


3.1 Supersymmetrie<br />

Chirale Superfelder<br />

Um irreduzible Supermultipletts zu erhalten, muss die allgemeine Form von Superfeldern<br />

eingeschränkt werden. Dafür definiert man zunächst die supersymmetriekovarianten<br />

Ableitungen<br />

welche die Relationen<br />

D α := ∂ α − i σ µ α ˙α¯θ ˙α ∂ µ und ¯D ˙α := −¯∂ ˙α + i θ α σ µ α ˙α∂ µ , (3.9)<br />

{D α , Q β } = {D α , ¯Q ˙β} = 0 und { ¯D ˙α , Q β } = { ¯D ˙α , ¯Q ˙β} = 0 (3.10)<br />

erfüllen. Es werden chirale Superfelder Φ bzw. die entsprechenden antichiralen Superfelder<br />

Φ † über die Bedingung<br />

¯D ˙α Φ = 0 bzw. D α Φ † = 0 (3.11)<br />

definiert. Mithilfe der obigen Antikommutatorrelationen ist ersichtlich, dass die Menge<br />

der (anti-)chiralen Superfelder invariant unter Supersymmetrietransformationen<br />

ist. Unter Verwendung der modifizierten Superraumkoordinaten y µ = x µ − i θσ µ¯θ<br />

erhalten chirale Superfelder die allgemeine Form<br />

Φ(x, θ, ¯θ) = φ(y, θ) = exp(−i θσ µ¯θ∂µ ) φ(x, θ)<br />

= ( 1 − i θσ µ¯θ∂µ − 1 4 θθ ¯θ¯θ ∂ µ ∂ µ<br />

)<br />

φ(x, θ) (3.12)<br />

mit φ(x, θ) = A(x) + √ 2 θψ(x) + θθ F (x) . (3.13)<br />

Hierbei sind die Komponentenfelder A und F komplexe Skalarfelder, während es<br />

sich bei ψ um einen links-chiralen Weyl-Spinor handelt. Analoge Gleichungen gelten<br />

für das antichirale Superfeld Φ † mit dem rechts-chiralen Weyl-Spinor ¯ψ = ψ † als<br />

Komponente. Bei F handelt es sich um ein Hilfsfeld, das keine Dynamik besitzt und<br />

daher in der Lagrange-Dichte el<strong>im</strong>iniert werden kann (siehe Abschnitt 3.1.3). Im<br />

Gegensatz dazu bilden A und ψ ein physikalisches Supermultiplett, durch welches<br />

Fermionen bzw. Higgs-Bosonen und die jeweiligen Superpartner beschreibbar sind.<br />

Vektorsuperfelder<br />

Vektorsuperfelder sind definitionsgemäß reelle Superfelder, d. h. für sie gilt<br />

V (x, θ, ¯θ) = V † (x, θ, ¯θ) . (3.14)<br />

Ausgehend von einem chiralen Superfeld Λ kann man das Vektorsuperfeld i ( Λ − Λ †)<br />

konstruieren, wodurch die abelsche Supereichtransformation<br />

V → V + i ( Λ − Λ †) (3.15)<br />

motiviert ist. Durch geeignete Wahl von Λ kann je<strong>des</strong> Vektorsuperfeld so umgeeicht<br />

werden, dass in der Potenzreihenentwicklung die Terme der Ordnungen 1, θ, ¯θ, θθ und<br />

¯θ¯θ verschwinden [31]. Diese Eichfixierung wird als Wess-Zumino-Eichung bezeichnet<br />

15


3 Min<strong>im</strong>ales supersymmetrisches Standardmodell<br />

und führt dazu, dass sich Vektorsuperfelder als<br />

V (x, θ, ¯θ) = θσ µ¯θAµ (x) + i θθ ¯θ¯λ(x) − i ¯θ¯θ θλ(x) + 1 2 θθ ¯θ¯θ D(x) (3.16)<br />

darstellen lassen. 7 Hierbei ist das reelle Skalarfeld D ein unphysikalisches Hilfsfeld<br />

und kann über seine Bewegungsgleichung el<strong>im</strong>iniert werden (siehe Abschnitt 3.1.3).<br />

<strong>Das</strong> reelle Vektorfeld A µ sowie die Weyl-Spinoren λ und ¯λ = λ † hingegen dienen zur<br />

Beschreibung von Eichbosonen und deren Superpartnern.<br />

3.1.3 Supersymmetrische Lagrange-Dichte<br />

Superpotential<br />

Eine Quantenfeldtheorie heißt supersymmetrisch, falls die zugehörige Lagrange-<br />

Dichte unter den von Q α und ¯Q ˙α erzeugten Transformationen invariant ist bis<br />

auf totale Ableitungen nach x µ , die bei der Berechnung der Wirkung mithilfe <strong>des</strong><br />

Raumzeitintegrals keine Rolle spielen. Weil die (θθ)-Komponente<br />

∫<br />

d 2 θ Φ(x, θ, ¯θ) ∣ ∣ ∣¯θ=0<br />

(3.17)<br />

eines chiralen Superfel<strong>des</strong> Φ diese Bedingung erfüllt, kann sie bei der Konstruktion<br />

der Lagrange-Dichte einer supersymmetrischen Theorie verwendet werden. Davon<br />

ausgehend erfolgt eine Verallgemeinerung hin zu dem reellen Ausdruck<br />

∫<br />

d 2 θ W(Φ) ∣ ∣ ∣¯θ=0<br />

+ h. c. , (3.18)<br />

wobei W(Φ) als beliebige analytische Funktion von chiralen Superfeldern wieder ein<br />

chirales Superfeld ist. Diese Funktion wird als Superpotential bezeichnet und mit der<br />

Forderung nach Renormierbarkeit der Theorie auf das Polynom dritten Gra<strong>des</strong><br />

W(Φ) = c r Φ r + m rs<br />

2 Φ rΦ s + y rst<br />

Φ r Φ s Φ t (3.19)<br />

3!<br />

eingeschränkt. Die Koeffizienten m rs und y rst seien hierbei total symmetrisch. Unter<br />

Benutzung der Zerlegung (3.13) der chiralen Superfelder in ihre Komponenten erhält<br />

man schließlich<br />

∫<br />

d 2 θ W(Φ) ∣ ∣ ∣¯θ=0<br />

= F r<br />

∂W(A)<br />

∂A r<br />

− 1 2 ψ rψ s<br />

∂ 2 W(A)<br />

∂A r ∂A s<br />

. (3.20)<br />

Supereichinvarianz<br />

Zur Verallgemeinerung der Eichtransformationen aus Abschnitt 2.1 erfolgt die Einführung<br />

<strong>des</strong> Multipletts<br />

V := 2g T a V a (3.21)<br />

7 A µ ist nicht zu verwechseln mit dem skalaren Komponentenfeld A aus Gleichung (3.13).<br />

16


3.1 Supersymmetrie<br />

von Vektorsuperfeldern V a , wobei T a die Generatoren der verwendeten unitären Eichgruppe<br />

und g die zugehörige Eichkopplung bezeichnen. Als generalisierte Eichparameter<br />

dienen die von den Superraumkoordinaten abhängigen chiralen Superfelder Λ a .<br />

Die lokalen Supereichtransformationen für Eichmultipletts Φ und Φ † von chiralen und<br />

antichiralen Superfeldern sowie für die Vektorsuperfelder werden gemäß<br />

mit Λ := 2g T a Λ a definiert. Da die (θθ ¯θ¯θ)-Komponente<br />

Φ → e −iΛ Φ , (3.22)<br />

Φ † → Φ † e iΛ† , (3.23)<br />

e V → e −iΛ† e V e iΛ (3.24)<br />

∫<br />

d 4 θ F(x, θ, ¯θ) (3.25)<br />

eines allgemeinen Superfel<strong>des</strong> F supersymmetrisch ist, kann sie als Bestandteil der<br />

Lagrange-Dichte einer supersymmetrischen Theorie Verwendung finden. Die weitere<br />

Forderung nach Supereichinvarianz führt schließlich zu dem reellen Term<br />

∫<br />

d 4 θ Φ † e V Φ , (3.26)<br />

der das Eichmultiplett Φ chiraler Superfelder an die Eichsuperfelder V a koppelt.<br />

Mithilfe der Darstellung (3.16) der Vektorsuperfelder in Wess-Zumino-Eichung und<br />

der chiralen Komponenten aus Gleichung (3.13) berechnet man 8<br />

∫<br />

d 4 θ Φ † e V Φ = (D µ A) † (D µ A) + i ¯ψ¯σ µ D µ ψ + F † F<br />

+ i √ 2g ( A † T a ψλ a − ¯λ a ¯ψ T a A ) + g D a A † T a A .<br />

(3.27)<br />

Hierbei steht D µ für die kovariante Ableitung aus Formel (2.8).<br />

Die bisher konstruierte Lagrange-Dichte enthält bereits kinetische Terme für die<br />

Komponenten der chiralen Superfelder und Terme für deren Wechselwirkung mit den<br />

Eichfeldern. Um auch die Dynamik der Eichfelder zu beschreiben, wird die chirale<br />

Feldstärke<br />

W α := − 1 4 ¯D ¯D ( e −V D α e V ) (3.28)<br />

eingeführt, deren Komponenten W a α man durch die Ersetzung V → 2g V a erhält.<br />

Dann liefert der supereichinvariante und supersymmetrische Ausdruck<br />

∫<br />

1<br />

16g 2<br />

d 2 θ W aα Wα<br />

a ∣<br />

+ h. c. = − 1 ∣¯θ=0 4 F µνF a aµν + 1 2 Da D a<br />

+ i (¯λa¯σ µ (D µ λ) a + λ a σ µ (D ) (3.29)<br />

a<br />

µ¯λ)<br />

2<br />

8 Die Eichmultiplettstruktur sei hier und in den folgenden Betrachtungen bei den chiralen Komponentenfeldern<br />

<strong>im</strong>plizit berücksichtigt.<br />

17


3 Min<strong>im</strong>ales supersymmetrisches Standardmodell<br />

die gewünschten kinetischen Terme. Dabei ist Fµν<br />

a der Feldstärketensor aus Gleichung<br />

(2.12) und die in D µ enthaltenen Eichgruppengeneratoren nehmen bei Wirkung<br />

auf λ die adjungierte Darstellung (T a ) bc = −i f abc an.<br />

Allgemeine Lagrange-Dichte<br />

Die betrachtete Theorie möge die Eichmultipletts Φ r chiraler Superfelder und das<br />

Vektorsuperfeldmultiplett V = 2g V a T a enthalten. Dann ergibt sich durch Kombination<br />

der bisher eingeführten Terme die allgemeine supersymmetrische, supereichinvariante<br />

und renormierbare Lagrange-Dichte<br />

∫<br />

[ ∫<br />

L = d 4 θ Φ † r e V Φ r + d 2 θ<br />

(<br />

W(Φ) + 1<br />

)∣<br />

16g W aα W a 2 α + h. c.]<br />

. (3.30)<br />

∣∣∣¯θ=0<br />

<strong>Das</strong> Superpotential W(Φ) aus Gleichung (3.19) muss dabei die chiralen Eichmultipletts<br />

in einer supereichinvarianten Form verknüpfen. Weitere Terme sind nicht<br />

erlaubt, da sie gegen eine der Forderungen verstoßen würden.<br />

Wie bereits zuvor erwähnt, besitzen die Hilfsfelder F und D keine kinetischen<br />

Terme und können daher über ihre Bewegungsgleichungen<br />

0 = ∂L<br />

∂F r<br />

=<br />

∂ (<br />

)<br />

F † ∂W(A)<br />

s F<br />

∂F s + F s = F r † + ∂W(A) , (3.31)<br />

r ∂A s ∂A r<br />

0 = ∂L<br />

∂D a = ∂<br />

∂D a ( 1<br />

2 Db D b + g D b A † r T b A r<br />

)<br />

= D a + g A † r T a A r (3.32)<br />

el<strong>im</strong>iniert werden. Damit und unter Verwendung der Komponentenfelder ergibt sich<br />

die allgemeine supersymmetrische Lagrange-Dichte zu<br />

L = (D µ A r ) † (D µ A r ) + i ¯ψ r¯σ µ D µ ψ r<br />

− 1 4 F µνF a aµν + i (¯λa¯σ µ (D µ λ) a + λ a σ µ (D ) a<br />

µ¯λ)<br />

2<br />

+ i √ 2g ( A † rT a ψ r λ a − ¯λ<br />

)<br />

a ¯ψr T a A r<br />

− ∂W(A) ( ) †<br />

∂W(A)<br />

− g2 ( ) ( )<br />

A<br />

†<br />

∂A r ∂A r 2 r T a A r A<br />

†<br />

r T a A r<br />

( 1<br />

−<br />

2 ψ ∂ 2 )<br />

W(A)<br />

rψ s + h. c. . (3.33)<br />

∂A r ∂A s<br />

3.2 Min<strong>im</strong>ale supersymmetrische<br />

Erweiterung <strong>des</strong> Standardmodells<br />

Mithilfe <strong>des</strong> <strong>im</strong> vorhergehenden Abschnitt behandelten Superfeldformalismus wird<br />

nun das min<strong>im</strong>ale supersymmetrische Standardmodell eingeführt [32]. Dabei erfolgt<br />

zunächst die Betrachtung der relevanten Superfelder und <strong>des</strong> supersymmetrischen<br />

Teils der Lagrange-Dichte. Im Anschluss daran werden Terme hinzugefügt, die die<br />

Supersymmetrie brechen und somit für eine realistische Theorie sorgen. Zuletzt folgt<br />

18


3.2 Min<strong>im</strong>ale supersymmetrische Erweiterung <strong>des</strong> Standardmodells<br />

die Untersuchung <strong>des</strong> Übergangs von Wechselwirkungs- zu Masseneigenzuständen<br />

der Felder. Konventionsgemäß gewinnt man die Bezeichnungen für die Superpartner<br />

zu den Fermionen <strong>des</strong> Standardmodells durch Voranstellen <strong>des</strong> Buchstaben “S”<br />

(z. B. Smyon, Sneutrino) und zu den Bosonen <strong>des</strong> Standardmodells durch Anhängen<br />

der Endung “ino” (z. B. Higgsino, Wino).<br />

3.2.1 Superfelder und Superpotential<br />

Vektorsuperfelder<br />

Unter Beibehaltung der Eichgruppe SU(3) c × SU(2) L × U(1) Y <strong>des</strong> Standardmodells<br />

werden bei der supersymmetrischen Erweiterung Vektorsuperfelder für die drei Untergruppen<br />

eingeführt. Diese sind zusammen mit den bereits bekannten Generatoren<br />

und Eichkopplungen sowie ihren Komponentenfeldern in Tabelle 3.1 erfasst. Die<br />

enthaltenen reellen Vektorfelder beschreiben die Eichbosonen und die Weyl-Spinoren<br />

deren Superpartner, die sogenannten Gauginos. Analog zu Gleichung (3.21) erhält<br />

man das Gesamtmultiplett der kombinierten Eichfelder über<br />

V g := 2g 1 Ŷ V ′ + 2g 2 T a V a + 2g 3 T d s V d<br />

s . (3.34)<br />

Die chiralen Feldstärken W ′ α, W α und W sα der Eichsuperfelder ergeben sich gemäß<br />

Gleichung (3.28).<br />

Tabelle 3.1: Eichstruktur <strong>des</strong> MSSM (a ∈ {1, 2, 3}, d ∈ {1, . . . , 8}). Die<br />

Eichsuperfelder transformieren in der adjungierten Darstellung ihrer Eichgruppe<br />

und trivial bezüglich der anderen beiden.<br />

Gruppe Generatoren Kopplung Superfelder<br />

Komponentenfelder<br />

Spin 1 2<br />

Spin 1<br />

U(1) Y Ŷ g 1 V ′ λ ′ B µ<br />

SU(2) L T a g 2 V a λ a W a µ<br />

SU(3) c T d s g 3 V d<br />

s λ d s G d µ<br />

Chirale Superfelder<br />

Zur Einführung der Supersymmetrie werden die Materiefelder <strong>des</strong> Standardmodells<br />

aus Tabelle 2.3 zu chiralen Superfeldern verallgemeinert. Deren Komponentenfelder<br />

und Quantenzahlen bezüglich der Eichgruppe sind <strong>im</strong> oberen Teil von Tabelle 3.2<br />

aufgeführt. Die Dirac-Spinoren der <strong>im</strong> Standardmodell enthaltenen geladenen Leptonen<br />

und Quarks erhält man durch Kombination zweier Weyl-Spinoren aus den<br />

Superfeldern gemäß<br />

Ψ ei =<br />

( )<br />

( )<br />

( )<br />

eiL<br />

uiL<br />

diL<br />

, Ψ<br />

ē<br />

ui = , Ψ<br />

iR ū<br />

di = . (3.35)<br />

iR<br />

¯d iR<br />

19


3 Min<strong>im</strong>ales supersymmetrisches Standardmodell<br />

Die mit einer Tilde kenntlich gemachten komplexen Skalarfelder sind die Superpartner<br />

zu den Standardmodellfermionen. Davon gibt es jeweils zwei, 9 bezeichnet durch ein<br />

tiefgestelltes L bzw. R, sodass die Anzahl der bosonischen Freiheitsgrade in den<br />

Supermultipletts mit der der fermionischen übereinst<strong>im</strong>mt.<br />

Bei der Supersymmetrisierung <strong>des</strong> Higgs-Sektors muss ein zweites Higgs-Dublett<br />

eingeführt werden. Denn während die Massen der Fermionen <strong>im</strong> Standardmodell<br />

durch die Yukawa-Wechselwirkungen in Gleichung (2.32) mit einem Dublett h und<br />

<strong>des</strong>sen ladungskonjugierter Form h C erzeugt werden konnten, ist dies in supersymmetrischer<br />

Weise nicht mehr möglich, weil das Superpotential als analytische<br />

Funktion chiraler Superfelder keine antichiralen Superfelder enthalten darf [32]. Ein<br />

weiterer Grund für die Notwendigkeit <strong>des</strong> zweiten Higgs-Dubletts ist die Tatsache,<br />

dass eine mögliche Eichanomalie nur dann verschwindet, wenn die Summe über die<br />

Hyperladungen der Higgsinos Null ergibt [27]. Die Higgs-Superfelder sind <strong>im</strong> unteren<br />

Teil von Tabelle 3.2 zusammen mit ihren Komponentenfeldern und Quantenzahlen<br />

erfasst.<br />

Tabelle 3.2: Chirale Superfelder <strong>des</strong> MSSM und ihre Eichladungen (Generationsindex<br />

i ∈ {1, 2, 3}). In der 3-Darstellung der SU(3) c dienen die Gell-Mann-<br />

Matrizen λ d /2 als Generatoren und in der ¯3-Darstellung die Matrizen −(λ d ) ∗ /2.<br />

Für die SU(2) L -Dubletts sind die Generatoren durch die Pauli-Matrizen σ a /2<br />

gegeben.<br />

Superfeld<br />

( )<br />

Lνi<br />

L i =<br />

L ei<br />

Komponentenfelder<br />

Spin 0 Spin 1 2<br />

)<br />

( )<br />

(˜νiL<br />

νiL<br />

˜l iL = l<br />

ẽ iL =<br />

iL e iL<br />

SU(3) c I 3 Y<br />

1<br />

1/2<br />

−1/2<br />

−1/2<br />

E i ẽ † iR e iR 1 0 1<br />

( )<br />

)<br />

( )<br />

Qui<br />

(ũiL<br />

uiL<br />

1/2<br />

Q i = ˜q<br />

Q iL = q<br />

di<br />

˜d iL =<br />

3<br />

1/6<br />

iL d iL −1/2<br />

U i ũ † iR u iR<br />

¯3 0 −2/3<br />

D i<br />

H u =<br />

(<br />

H<br />

+<br />

u<br />

H 0 u<br />

H d =<br />

(<br />

H<br />

0<br />

d<br />

H − d<br />

)<br />

)<br />

˜d† iR d iR<br />

¯3 0 1/3<br />

( )<br />

( )<br />

h<br />

+<br />

h u = u<br />

ψ<br />

+<br />

h 0 ψ Hu = Hu<br />

1/2<br />

u<br />

ψH 0 1<br />

1/2<br />

u<br />

−1/2<br />

h d =<br />

(<br />

h<br />

0<br />

d<br />

h − d<br />

)<br />

( )<br />

ψ<br />

0<br />

ψ Hd = Hd<br />

ψH − d<br />

1<br />

1/2<br />

−1/2<br />

−1/2<br />

9 mit Ausnahme der Sneutrinos, da es <strong>im</strong> MSSM keine rechts-chiralen Neutrinos gibt<br />

20


3.2 Min<strong>im</strong>ale supersymmetrische Erweiterung <strong>des</strong> Standardmodells<br />

R-Parität<br />

Im Superpotential <strong>des</strong> MSSM wären prinzipiell Terme denkbar, die zu Wechselwirkungen<br />

mit Veränderung der Baryonzahl B bzw. Leptonzahl L führen. Allerdings<br />

würden diese einen Zerfall <strong>des</strong> Protons ermöglichen und somit <strong>des</strong>sen Lebensdauer<br />

verkürzen, wogegen starke exper<strong>im</strong>entelle Befunde sprechen [19]. Daher führt man<br />

eine weitere, diskrete Symmetrie ein, die solche Wechselwirkungen verbietet und auf<br />

der Ebene der Superfelder durch die multiplikative Materieparität<br />

P M := (−1) 3(B−L) (3.36)<br />

realisiert ist. Die Vektor- und Higgs-Superfelder haben demnach den Wert +1 als<br />

Materieparität und die chiralen Materiesuperfelder den Wert −1. Unter Berücksichtigung<br />

<strong>des</strong> Spins S lässt sich auf der Ebene der Komponentenfelder die dazu<br />

äquivalente, ebenfalls multiplikativ zu kombinierende R-Parität als<br />

P R := (−1) 3(B−L)+2S (3.37)<br />

einführen. Somit besitzen die Standardmodellteilchen eine R-Parität von +1, während<br />

für deren Superpartner P R = −1 gilt.<br />

Um die Stabilität <strong>des</strong> Protons zu gewährleisten, wird <strong>im</strong> MSSM explizit die<br />

Erhaltung der R-Parität gefordert. Als Konsequenz daraus muss an jedem Vertex<br />

eine gerade Zahl von Superteilchen auftauchen. Daher ist <strong>im</strong> MSSM das leichteste<br />

supersymmetrische Teilchen stabil und stellt somit einen Kandidaten für die Erklärung<br />

der dunklen Materie dar, falls es höchstens schwach wechselwirkt.<br />

Supersymmetrische Lagrange-Dichte<br />

Die Forderung nach Erhaltung der soeben eingeführten R-Parität schränkt die Zahl<br />

der möglichen Superpotentialterme ein. Weiterhin wird in dieser Arbeit zugunsten der<br />

Min<strong>im</strong>alität auf eine Mischung zwischen den verschiedenen Generationen verzichtet.<br />

Zur Gewährleistung der Supereichinvarianz definiert man das Produkt zweier<br />

SU(2) L -Dubletts A und B als A · B := ɛ ab A a B b = A 1 B 2 − A 2 B 1 . Damit erhält das<br />

Superpotential <strong>des</strong> min<strong>im</strong>alen supersymmetrischen Standardmodells unter Berücksichtigung<br />

aller erlaubten Ausdrücke die Form<br />

3∑<br />

W MSSM = (y ei H d · L i E i + y ui H u · Q i U i + y di H d · Q i D i ) − µ H d · H u . (3.38)<br />

i=1<br />

Bei den ersten drei Termen handelt es sich um die supersymmetrisierten Yukawa-<br />

Wechselwirkungen, in denen das Higgs-Dublett H u an die up-artigen Quarksuperfelder<br />

und H d an die Superfelder der geladenen Leptonen sowie down-artigen Quarks<br />

koppelt. Darüber hinaus stellt der µ-Term eine Verbindung zwischen den beiden<br />

Higgs-Dubletts her.<br />

Durch Einsetzen der konkreten Superfelder und <strong>des</strong> Superpotentials in den allgemeinen<br />

Ausdruck (3.30) erhält man die vorläufige, supersymmetrische, supereichinvariante<br />

und renormierbare Lagrange-Dichte<br />

21


3 Min<strong>im</strong>ales supersymmetrisches Standardmodell<br />

∫<br />

L susy =<br />

d 4 θ ( L † i e Vg L i + E † i e Vg E i + Q † i e Vg Q i + U † i e Vg U i + D † i e Vg D i<br />

+ H † u e Vg H u + H † d eVg H d<br />

)<br />

[ ∫ ( 1<br />

+ d 2 θ W ′α W ′<br />

16g1<br />

2 α + 1 W aα W a<br />

16g2<br />

2 α + 1<br />

]<br />

W dα<br />

16g3<br />

2 s Wsα)∣ ∣∣∣¯θ=0 d + h. c.<br />

[ ∫<br />

∣ ]<br />

+ d 2 θ W MSSM + h. c. . (3.39)<br />

∣∣¯θ=0<br />

3.2.2 Sanfte Supersymmetriebrechung<br />

Aus der Vertauschungsrelation (3.3) lässt sich die Beziehung<br />

[P µ P µ , Q α ] = [P µ P µ , ¯Q ˙α ] = 0 (3.40)<br />

ableiten, welche deutlich macht, dass in supersymmetrischen Theorien die Teilchen<br />

eines Supermultipletts dieselbe Masse besitzen. Da exper<strong>im</strong>entell allerdings noch<br />

keine Superpartner zu den Standardmodellteilchen entdeckt wurden [19], kann Supersymmetrie<br />

in der Natur höchstens in gebrochener Form realisiert sein. Eine spontane<br />

Brechung analog zum Higgs-Mechanismus hat sich als kompliziert erwiesen, 10<br />

weshalb die Brechung üblicherweise explizit erfolgt, indem nicht-supersymmetrische<br />

Terme zur Lagrange-Dichte hinzugefügt werden. Eine notwendige Bedingung für die<br />

Renormierbarkeit der Theorie ist dabei, dass die Massend<strong>im</strong>ension der enthaltenen<br />

Kombinationen von Feldern unterhalb von vier liegt. Falls dies der Fall ist, so spricht<br />

man von sanfter Supersymmetriebrechung [34].<br />

Ausgehend vom supersymmetrischen Teil L susy der Lagrange-Dichte lassen sich<br />

sanfte Brechungsterme konstruieren, indem man ein weiteres chirales Superfeld η, das<br />

sogenannte Spurionfeld, in allen erlaubten Kombinationen mit den bereits vorhandenen<br />

Feldern einführt [35]. Zur Brechung der Supersymmetrie wird dann η = θθ f 0 mit<br />

konstantem f 0 gesetzt. Für das MSSM erhält man durch diese Prozedur den Anteil<br />

L soft = −<br />

3∑ (<br />

m |˜l<br />

2˜li iL | 2 + m 2 ẽ i<br />

|ẽ iR | 2 + m 2˜q i<br />

|˜q iL | 2 + m 2 ũ i<br />

|ũ iR | 2 + m 2˜di | ˜d iR | 2)<br />

i=1<br />

− m 2 h u<br />

|h u | 2 − m 2 h d<br />

|h d | 2<br />

+ 1 (<br />

M1 λ ′ λ ′ + M<br />

2<br />

2 λ a λ a + M 3 λ d sλ d s + h. c. )<br />

[ 3∑ (<br />

− Aei y ei<br />

h d · ˜l iL ẽ † iR + A ui<br />

y ui<br />

h u · ˜q iL ũ † )<br />

iR + A di<br />

y di<br />

h d · ˜q iL ˜d† iR<br />

i=1<br />

]<br />

− Bµ h d · h u + h. c.<br />

(3.41)<br />

der Lagrange-Dichte, welcher keine quadratischen Divergenzen in Schleifenkorrekturen<br />

erzeugt. Die ersten drei Zeilen enthalten Massenterme für alle Skalarfelder<br />

und die Gauginos, wobei wie schon <strong>im</strong> Superpotential auf eine Mischung zwischen<br />

10 Referenz [33] liefert dazu eine Übersicht.<br />

22


3.2 Min<strong>im</strong>ale supersymmetrische Erweiterung <strong>des</strong> Standardmodells<br />

den Materiegenerationen verzichtet wurde. In der vierten und fünften Zeile sind die<br />

Brechungsterme <strong>des</strong> Superpotentials zu finden, die die R-Parität erhalten und deren<br />

Kopplungen an diejenigen aus Gleichung (3.38) angelehnt wurden. Insgesamt ergibt<br />

sich damit die supereichinvariante und renormierbare Lagrange-Dichte<br />

L MSSM = L susy + L soft . (3.42)<br />

3.2.3 Elektroschwache Symmetriebrechung und<br />

Massenterme<br />

Higgs-Vakuumerwartungswerte, Eichbosonen und Fermionen<br />

In das Higgs-Potential <strong>des</strong> MSSM fließen alle Terme aus der Lagrange-Dichte ein, die<br />

nur die beiden skalaren Higgs-Dubletts h u und h d enthalten. Analog zur Betrachtung<br />

für das Standardmodell in Abschnitt 2.3 wird die Min<strong>im</strong>ierung <strong>des</strong> Potentials durch<br />

die Vakuumerwartungswerte<br />

〈0|h u |0〉 =<br />

(<br />

0<br />

v u<br />

)<br />

und 〈0|h d |0〉 =<br />

( )<br />

vd<br />

0<br />

(3.43)<br />

erreicht. Diese brechen wieder die SU(2) L ×U(1) Y -Eichsymmetrie, sodass die elektro<strong>magnetische</strong><br />

Eichgruppe U(1) em verbleibt. <strong>Das</strong> Verhältnis<br />

tan β := v u<br />

v d<br />

(3.44)<br />

der beiden Higgs-Vakuumerwartungswerte ist ein bedeutender Parameter <strong>des</strong> MSSM.<br />

Die Masseneigenzustände der Eichbosonen ergeben sich über dieselben Formeln<br />

(2.26) und (2.27) wie <strong>im</strong> Standardmodell, die Massen werden allerdings gemäß<br />

den Beziehungen<br />

M W = g 2<br />

√<br />

√vu 2 + vd 2 und M Z =<br />

2<br />

√<br />

g1 2 + g2<br />

2 √<br />

vu 2<br />

2 + vd 2 = M W<br />

(3.45)<br />

c W<br />

berechnet. <strong>Das</strong> Photon A µ bleibt, ebenso wie die Gluonen G d µ, weiterhin masselos.<br />

Die Massenterme der Fermionen lassen sich unter Zuhilfenahme der Dirac-Spinoren<br />

aus Gleichung (3.35) in der Form<br />

3∑ ( )<br />

L m,f = − mei<br />

¯Ψei Ψ ei + m ui<br />

¯Ψui Ψ ui + m di<br />

¯Ψdi Ψ di<br />

i=1<br />

(3.46)<br />

schreiben, wobei die Fermionmassen ohne Berücksichtigung von Schleifenkorrekturen<br />

gegeben sind als<br />

m ei = y ei v d , m ui = −y ui v u , m di = y di v d . (3.47)<br />

23


3 Min<strong>im</strong>ales supersymmetrisches Standardmodell<br />

Für die Superteilchen ist in den folgenden Teilabschnitten der Übergang von<br />

Wechselwirkungs- zu Masseneigenzuständen zu finden.<br />

Sfermionen<br />

Die Massenterme der Sfermionen lassen sich in der Form<br />

[ )<br />

3∑ (ẽ†<br />

L m, ˜f = − iL ẽ † )<br />

iR M<br />

(ẽiL 2ẽi + ˜ν † iL m 2˜ν ẽ i ˜ν iL<br />

i=1<br />

iR<br />

+ ( )<br />

ũ † iL ũ † )<br />

iR M<br />

(ũiL 2ũi + ( ( ) ] (3.48)<br />

˜d† iL<br />

ũ ˜d † ) ˜diL<br />

iR M<br />

2˜di iR<br />

˜d iR<br />

schreiben mit den hermiteschen Massenmatrizen<br />

⎛<br />

Mẽ 2 i<br />

= ⎝ m2 e i<br />

+ m 2˜li + MZ 2 cos 2β ( ) (<br />

s 2 W − 1 m<br />

2<br />

ei A<br />

∗<br />

ei<br />

− µ tan β ) ⎞<br />

(<br />

m ei Aei − µ ∗ tan β )<br />

⎠ , (3.49)<br />

m 2 e i<br />

+ m 2 ẽ i<br />

− MZ 2 s 2 W cos 2β<br />

M 2 ũ i<br />

=<br />

M 2˜di =<br />

⎛<br />

⎝ m2 u i<br />

+ m 2˜q i<br />

+ MZ 2 cos 2β ( 1<br />

− )<br />

2<br />

( 2 3 s2 W<br />

m ui Aui − µ ∗ cot β )<br />

⎛<br />

⎝ m2 d i<br />

+ m 2˜q i<br />

+ MZ 2 cos 2β ( )<br />

1<br />

3 s2 W − 1 ( 2<br />

m di Adi − µ ∗ tan β )<br />

(<br />

m ui A<br />

∗<br />

ui<br />

− µ cot β ) ⎞<br />

m 2 u i<br />

+ m 2 ũ i<br />

+ 2 M ⎠ , (3.50)<br />

2<br />

3 Z s 2 W cos 2β<br />

(<br />

m di A<br />

∗<br />

di<br />

− µ tan β ) ⎞<br />

m 2 d i<br />

+ m 2˜di − 1 M ⎠ (3.51)<br />

2<br />

3 Z s 2 W cos 2β<br />

der geladenen Sleptonen und Squarks sowie den Sneutrinomassen<br />

m 2˜ν i<br />

= m 2˜li + 1 2 M 2 Z cos 2β . (3.52)<br />

Es tritt also eine Mischung zwischen den beiden skalaren Superpartnern eines jeden<br />

geladenen Standardmodellfermions f i auf (f ∈ {e, u, d}). Mithilfe unitärer Matrizen<br />

U ˜f i<br />

werden die Massenmatrizen über<br />

U ˜f i<br />

M 2˜fi U ˜f i † = diag(m 2˜fi1 , m 2˜fi2 ) ≡ M 2˜fi (3.53)<br />

in Diagonalform gebracht. Die zu den beiden Eigenwerten m 2˜fi1 und m 2˜fi2 gehörenden<br />

Masseneigenzustände ergeben sich dann gemäß<br />

( ) ( )<br />

˜fi1<br />

= U ˜f ˜f i<br />

˜fiL<br />

. (3.54)<br />

i2<br />

˜f iR<br />

Damit erhält man schließlich die diagonalisierten Sfermionmassenterme<br />

3∑ (<br />

L m, ˜f = − m<br />

2ẽi1<br />

|ẽ i1 | 2 + m 2 ẽ i2<br />

|ẽ i2 | 2 + m 2˜ν i<br />

|˜ν iL | 2<br />

i=1<br />

+ m 2 ũ i1<br />

|ũ i1 | 2 + m 2 ũ i2<br />

|ũ i2 | 2 + m 2˜di1 | ˜d i1 | 2 + m 2˜di2 | ˜d i2 | 2) .<br />

(3.55)<br />

24


3.2 Min<strong>im</strong>ale supersymmetrische Erweiterung <strong>des</strong> Standardmodells<br />

Charginos<br />

Analog zu den geladenen W -Bosonen werden die geladenen Gauginos der SU(2) L -<br />

Eichgruppe gemäß<br />

λ ± := 1 √<br />

2<br />

(<br />

λ 1 ∓ i λ 2) (3.56)<br />

eingeführt. Bei Betrachtung der Massenterme für die geladenen Higgsinos und Gauginos<br />

fällt auf, dass diese zu den sogenannten Charginos mischen. Nach Definition<br />

der Vektoren<br />

( )<br />

( )<br />

−i λ<br />

ψ − −<br />

−i λ<br />

:=<br />

ψH − und ψ + +<br />

:=<br />

d<br />

ψ H + (3.57)<br />

u<br />

lässt sich derjenige Teil der Lagrange-Dichte, der die zugehörigen Massen erzeugt, als<br />

L m,χ ± = −(ψ − ) T X ψ + + h. c. (3.58)<br />

schreiben. Dabei ist die Charginomassenmatrix gegeben durch<br />

(<br />

√ )<br />

M<br />

X = √ 2 2 MW sin β<br />

. (3.59)<br />

2 MW cos β µ<br />

Deren Diagonalisierung kann unter Zuhilfenahme zweier geeigneter unitärer Matrizen<br />

U und V mit<br />

U ∗ X V −1 = diag(m χ<br />

−<br />

1 , m χ − 2 ) ≡ M C (3.60)<br />

erreicht werden. 11 Die Weyl-Spinoren der Charginos, also die entsprechenden Masseneigenzustände,<br />

erhält man aus denen der Higgsinos und Gauginos über die Transformationen<br />

( )<br />

( )<br />

χ<br />

−<br />

1<br />

χ<br />

= U ψ − +<br />

und<br />

1<br />

= V ψ + . (3.61)<br />

χ − 2<br />

Durch Verknüpfung eines links-chiralen und eines rechts-chiralen Weyl-Spinors lassen<br />

sich zur Beschreibung der Charginos die Dirac-Spinoren<br />

Ψ χ<br />

−<br />

l<br />

=<br />

(<br />

χ<br />

−<br />

l<br />

¯χ + l<br />

)<br />

und Ψ χ<br />

+<br />

l<br />

= ( Ψ χ<br />

−<br />

l<br />

χ + 2<br />

) C<br />

=<br />

(<br />

χ<br />

+<br />

l<br />

¯χ − l<br />

)<br />

(l ∈ {1, 2}) (3.62)<br />

gewinnen. Mit deren Hilfe können letztendlich die Charginomassenterme in der<br />

diagonalisierten Form<br />

L m,χ ± = − ( m χ<br />

−<br />

¯Ψ<br />

1 χ<br />

− Ψ<br />

1 χ − + m 1 χ<br />

¯Ψ −<br />

2 χ<br />

− Ψ )<br />

2 χ − (3.63)<br />

2<br />

geschrieben werden.<br />

11 Die Bezeichnung der Massen mit den negativ statt positiv geladenen Charginos ist willkürlich.<br />

25


3 Min<strong>im</strong>ales supersymmetrisches Standardmodell<br />

Neutralinos<br />

Die elektrisch neutralen Gauginos der U(1) Y und SU(2) L fasst man mit den neutralen<br />

Higgsinos <strong>im</strong> Vektor<br />

⎛<br />

−i λ ′ ⎞<br />

ψ 0 −i λ<br />

=<br />

3<br />

⎜<br />

⎝ ψH 0 ⎟<br />

⎠<br />

d<br />

ψH 0 u<br />

zusammen, mit dem sich die zugehörigen Massenterme in der Form<br />

(3.64)<br />

L m,χ 0 = − 1 2 (ψ0 ) T Y ψ 0 + h. c. (3.65)<br />

schreiben lassen. Die hierin enthaltene Massenmatrix, die eine Mischung der Gauginos<br />

und Higgsinos zu den sogenannten Neutralinos beschreibt, ist gegeben durch<br />

⎛<br />

⎞<br />

M 1 0 −M Z s W cos β M Z s W sin β<br />

0 M<br />

Y = ⎜<br />

2 M Z c W cos β −M Z c W sin β<br />

⎟<br />

⎝−M Z s W cos β M Z c W cos β 0 −µ ⎠<br />

M Z s W sin β −M Z c W sin β −µ 0<br />

und kann mithilfe einer unitären Matrix N über<br />

(3.66)<br />

N ∗ Y N −1 = diag(m χ 0<br />

1<br />

, m χ 0<br />

2<br />

, m χ 0<br />

3<br />

, m χ 0<br />

4<br />

) ≡ M N (3.67)<br />

diagonalisiert werden. Die Weyl-Spinoren der Masseneigenzustände, die zu den Neutralinomassen<br />

m χ 0<br />

1<br />

bis m χ 0<br />

4<br />

gehören, erhält man mit der Transformation<br />

⎛<br />

χ 0 ⎞<br />

1<br />

χ 0 2<br />

⎜<br />

⎝χ 0 ⎟<br />

3⎠ = N ψ0 . (3.68)<br />

χ 0 4<br />

Durch Kombination eines links-chiralen Weyl-Spinors mit dem zugehörigen rechtschiralen<br />

werden die Majorana-Spinoren<br />

Ψ χ 0 m<br />

= ( ( )<br />

) C χ<br />

0<br />

Ψ χ 0 m = m<br />

¯χ<br />

0<br />

m<br />

(m ∈ {1, . . . , 4}) (3.69)<br />

der Neutralinos gebildet, die schließlich eine Darstellung der entsprechenden Massenterme<br />

in der Diagonalform<br />

L m,χ 0 = − 1 2<br />

(<br />

mχ 0<br />

1<br />

¯Ψχ 0<br />

1<br />

Ψ χ 0<br />

1<br />

+ m χ 0<br />

2<br />

¯Ψχ 0<br />

2<br />

Ψ χ 0<br />

2<br />

+ m χ 0<br />

3<br />

¯Ψχ 0<br />

3<br />

Ψ χ 0<br />

3<br />

+ m χ 0<br />

4<br />

¯Ψχ 0<br />

4<br />

Ψ χ 0<br />

4<br />

)<br />

(3.70)<br />

ermöglichen.<br />

26


4 MSSM für tan β = ∞<br />

Während das MSSM für große Werte von tan β bereits Untersuchungsgegenstand<br />

einiger Arbeiten war, wurde der Grenzübergang zu einem unendlichen Wert, der<br />

qualitative Unterschiede in Aussicht stellt, bisher noch nicht betrachtet. Die allgemeinen<br />

Ausführungen <strong>des</strong> vorherigen Kapitels werden daher <strong>im</strong> Folgenden auf<br />

das Szenario tan β = ∞ spezifiziert. Dabei beschränken sich die Betrachtungen<br />

<strong>im</strong> Materiesektor auf die zweite Leptongeneration, weil nur diese in den später<br />

untersuchten Einschleifendiagrammen auftritt. Für die anderen Materieteilchen und<br />

deren Superpartner gelten analoge Ergebnisse.<br />

4.1 Vakuumerwartungswerte und Myonmasse<br />

Unter Beachtung von Definition (3.44) lässt sich die Bedingung tan β = ∞ durch<br />

v u =<br />

√<br />

2 MW<br />

g 2<br />

und v d = 0 (4.1)<br />

realisieren, womit auch gewährleistet ist, dass die richtigen Eichbosonmassen (3.45)<br />

bei der elektroschwachen Symmetriebrechung erzeugt werden. Für weitere trigonometrische<br />

Funktionen <strong>des</strong> Winkels β erhält man<br />

sin β = 1 , cos β = 0 , cos 2β = −1 . (4.2)<br />

Da der Vakuumerwartungswert <strong>des</strong> Higgs-Dubletts h d trivial ist, verschwindet die<br />

Masse <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> auf der Ebene der Lagrange-Dichte<br />

m 0 µ = y µ v d = 0 . (4.3)<br />

Die exper<strong>im</strong>entell beobachtbare Myonpolmasse muss also gemäß<br />

m µ = −Σ µ (4.4)<br />

komplett auf Schleifenniveau durch die <strong>Myons</strong>elbstenergie Σ µ erzeugt werden. Die<br />

Berechnung und Diskussion der dabei relevanten Beiträge erfolgt in Kapitel 6.<br />

Weiterhin ergibt sich die nützliche Relation<br />

m 0 µ tan β = y µ v d<br />

v u<br />

v d<br />

= y µ<br />

√<br />

2 MW<br />

g 2<br />

. (4.5)<br />

27


4 MSSM für tan β = ∞<br />

4.2 Massen der Superteilchen<br />

Myon-Sneutrino und Smyonen<br />

Die Bezeichnungen für die sanften Brechungsparameter der Smyonen werden zu<br />

m˜l2 ≡ m L sowie mẽ2 ≡ m R (4.6)<br />

vereinfacht, sodass für das Myon-Sneutrino aus Gleichung (3.52) die quadrierte Masse<br />

m 2˜ν µ<br />

= m 2 L − 1 2 M 2 Z (4.7)<br />

folgt. Die Massenmatrix der Smyonen erhält nach Spezifizierung von Ausdruck (3.49)<br />

die Form<br />

( (<br />

m<br />

M 2˜µ 2<br />

= L + MZ<br />

2 1 − ) √ )<br />

2 s2 W − 2 yµ µ M W /g 2<br />

− √ , (4.8)<br />

2 y µ µ ∗ M W /g 2 m 2 R + MZ 2 s 2 W<br />

wobei die aus der sanften Brechung stammenden Terme proportional zum Parameter<br />

A µ wegen m 0 µ = 0 weggefallen sind. Mit den Eigenwerten dieser Matrix erhält man<br />

die quadratischen Smyonmassen<br />

⎛<br />

m 2˜µ 1/2<br />

= 1 ⎝m 2 L + m 2 R + 1 2<br />

2 M Z<br />

2 [<br />

( )]<br />

± √<br />

1 2<br />

m 2 L − m 2 R + MZ 2 2 − 2 s2 W + 8 yµ 2 |µ| M 2 2 W<br />

g2<br />

2<br />

⎞<br />

⎠ .<br />

(4.9)<br />

Die Diagonalisierung der Massenmatrix und der Übergang von den Wechselwirkungseigenzuständen<br />

˜µ L , ˜µ R zu den Masseneigenzuständen ˜µ 1 , ˜µ 2 der Smyonen werden<br />

mithilfe der unitären Mischungsmatrix U ˜µ erreicht.<br />

Charginos<br />

Aus Gleichung (3.59) folgt, dass für tan β = ∞ die Massenmatrix der Charginos die<br />

Gestalt<br />

( √ )<br />

M2 2 MW<br />

X = (4.10)<br />

0 µ<br />

ann<strong>im</strong>mt. Da diese nicht hermitesch ist, wird zur Massenbest<strong>im</strong>mung die hermitesche<br />

Kombination X † X betrachtet. Deren Diagonalisierungsvorschrift<br />

V X † X V −1 = M 2 C = diag(m 2 , m 2 ) (4.11)<br />

χ − 1 χ − 2<br />

kann man herleiten, indem man Formel (3.60) verwendet sowie die Unitarität der<br />

Mischungsmatrizen U und V ausnutzt. Die Eigenwerte von X † X entsprechen den<br />

28


4.2 Massen der Superteilchen<br />

quadrierten Charginomassen<br />

(<br />

m 2 χ − 1/2<br />

= 1 2<br />

|µ| 2 + |M 2 | 2 + 2 M 2 W<br />

±<br />

√ (|µ|2<br />

+ |M 2 | 2 + 2 M 2 W<br />

) 2<br />

− 4 |µ|2 |M 2 | 2 )<br />

.<br />

(4.12)<br />

Neutralinos<br />

Gemäß Gleichung (3.66) ergibt sich <strong>im</strong> Szenario tan β = ∞ die Massenmatrix<br />

⎛<br />

⎞<br />

M 1 0 0 M Z s W<br />

0 M<br />

Y = ⎜<br />

2 0 −M Z c W<br />

⎟<br />

⎝ 0 0 0 −µ ⎠<br />

M Z s W −M Z c W −µ 0<br />

(4.13)<br />

der Neutralinos. Diese ist zwar symmetrisch, da die Parameter µ, M 1 und M 2 komplex<br />

gewählt werden können aber <strong>im</strong> Allgemeinen nicht hermitesch. Deshalb dient zur<br />

Massenbest<strong>im</strong>mung die hermitesche Kombination Y † Y , welche unter Verwendung<br />

der Beziehung (3.67) und der Unitarität von N die Diagonalisierung<br />

N Y † Y N −1 = M 2 N = diag(m 2 χ 0 1 , m2 χ 0 2 , m2 χ 0 3 , m2 χ 0 4 ) (4.14)<br />

besitzt. Die quadratischen Neutralinomassen sind also die Eigenwerte von Y † Y und<br />

somit die Nullstellen <strong>des</strong> charakteristischen Polynoms, d. h. sie erfüllen die Gleichung<br />

mit den Koeffizienten<br />

0 = λ 4 − k 3 λ 3 + k 2 λ 2 − k 1 λ + k 0 (4.15)<br />

k 0 = |µ| 4 |M 1 | 2 |M 2 | 2 , (4.16)<br />

k 1 = |µ| ( 4 |M 1 | 2 + |M 2 | 2) + MZ<br />

4 ∣<br />

∣M 1 c 2 W + M 2 s 2 W∣ 2<br />

+ 2 |µ| ( ) (4.17)<br />

2 |M 1 | 2 |M 2 | 2 + |M 1 | 2 MZ 2 c 2 W + |M 2 | 2 MZ 2 s 2 W ,<br />

k 2 = |µ| 4 + MZ 4 + 2 |µ| ( )<br />

2 |M 1 | 2 + |M 2 | 2 + MZ<br />

2 ( (4.18)<br />

+ |M 1 | 2 |M 2 | 2 + 2 MZ<br />

2 |M1 | 2 c 2 W + |M 2 | 2 sW) 2 ,<br />

k 3 = 2 |µ| 2 + |M 1 | 2 + |M 2 | 2 + 2 M 2 Z . (4.19)<br />

Nach Einführung der Abkürzungen<br />

a = 27 k 0 k 2 3 − 72 k 0 k 2 + 27 k 2 1 − 9 k 1 k 2 k 3 + 2 k 3 2 , (4.20)<br />

b = 12 k 0 − 3 k 1 k 3 + k2 2 , (4.21)<br />

c = b (<br />

) 1/3<br />

2<br />

3 a + √ + 1 ( √ ) 1/3<br />

a + a2 − 4 b 3<br />

− 2 a 2 − 4 b 3 3 2<br />

3 k 2 + 1 4 k2 3 (4.22)<br />

29


4 MSSM für tan β = ∞<br />

erhält man schließlich<br />

⎛<br />

m 2 χ<br />

= 1 ⎝ 2 √ c + k 0<br />

1/2 4<br />

3 ± √ −4 c − 8 k 2 + 3 k3 2 + 8 k 1 − 4 k 2 k 3 + k3<br />

√ 3 c<br />

⎛<br />

m 2 χ<br />

= 1 ⎝−2 √ c + k 0<br />

3/4 4<br />

3 ± √ −4 c − 8 k 2 + 3 k3 2 − 8 k 1 − 4 k 2 k 3 + k3<br />

√ 3 c<br />

⎞<br />

⎠ , (4.23)<br />

⎞<br />

⎠ . (4.24)<br />

4.3 Freie Parameter der Theorie<br />

Bei Betrachtung der soeben eingeführten Massenformeln fällt auf, dass neben bekannten<br />

Standardmodellgrößen nur sechs weitere Parameter auftauchen, wenn man sich<br />

<strong>im</strong> Materiesektor auf die zweite Leptongeneration beschränkt und der Higgssektor<br />

nicht berücksichtigt werden muss. Dies sind der Higgsino-Massenparameter µ und<br />

die Yukawa-Kopplung y µ aus dem Superpotential sowie die sanften Brechungsparameter<br />

M 1 , M 2 , m L und m R . Wie später gezeigt wird, kann man y µ mithilfe<br />

der <strong>Myons</strong>elbstenergie el<strong>im</strong>inieren, sodass die MSSM-Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> für tan β = ∞ nur von den fünf verbleibenden<br />

Parametern abhängen. Hierbei sind m 2 L und m 2 R reell, während µ, M 1 und M 2 <strong>im</strong><br />

Allgemeinen komplexe Werte annehmen können. Abschließend sei zumin<strong>des</strong>t erwähnt,<br />

dass kompliziertere Formeln und weitere Parameter auftreten, wenn eine Mischung<br />

zwischen den Materiegenerationen zugelassen wird.<br />

30


5 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong><br />

<strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

<strong>Das</strong> <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> ist bereits seit einigen Jahrzehnten<br />

eine wichtige Observable, die zur Überprüfung von Quantenfeldtheorien, zuerst für<br />

die Quantenelektrodynamik (QED) und heute für das Standardmodell, dient [36]. In<br />

diesem Kapitel wird das <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> zunächst allgemein für geladene<br />

Fermionen eingeführt. Darauf folgt konkret für das Myon ein kurzer Überblick<br />

über die exper<strong>im</strong>entelle Messung und die theoretische Berechnung <strong>im</strong> Standardmodell<br />

inklusive Vergleich der beiden resultierenden Werte. Abschließend werden zusätzliche<br />

Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> diskutiert, die in supersymmetrischen<br />

Theorien auftreten.<br />

5.1 Definition<br />

In Analogie zur Erzeugung durch einen Dreh<strong>im</strong>puls wird auch durch den quantisierten<br />

Spin ⃗s eines Fermions f mit der Ladung Q e und der Masse m ein <strong>magnetische</strong>s<br />

<strong>Moment</strong><br />

⃗µ = g Q e ⃗s (5.1)<br />

2 m c<br />

generiert [37]. Man bezeichnet den hierbei eingeführten Faktor g als gyro<strong>magnetische</strong>s<br />

Verhältnis. Die Wechselwirkung <strong>des</strong> Fermions mit einem äußeren Photon wird durch<br />

die Streuamplitude<br />

A ρ (q)<br />

= −i Q e ū(p ′ ) Λ ρ u(p) (5.2)<br />

f(p) f(p ′ )<br />

beschrieben, wobei für den einlaufenden Photon<strong>im</strong>puls q = p ′ − p gilt und die<br />

Fermion<strong>im</strong>pulse die Bedingung p 2 = p ′2 = m 2 erfüllen. Unter Verwendung <strong>des</strong> Tensors<br />

S ρσ aus Gleichung (A.4) lässt sich die Kovariantenzerlegung<br />

ū(p ′ ) Λ ρ u(p) = ū(p ′ ) [ γ ρ F E (q 2 ) − 2 i S ρσ q σ F M (q 2 ) + . . . ] u(p)<br />

= ū(p ′ ) [ γ ρ<br />

(<br />

FE (q 2 ) − 2 m F M (q 2 ) ) + (p + p ′ ) ρ F M (q 2 ) + . . . ] u(p) (5.3)<br />

31


5 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

mit dem elektrischen und <strong>magnetische</strong>n Formfaktor F E (q 2 ) und F M (q 2 ) durchführen.<br />

Die Auslassungspunkte stehen hierbei für Terme proportional zu γ 5 und be<strong>im</strong><br />

Übergang von der oberen zur unteren Zeile wurde eine Gordon-Identität benutzt.<br />

Im klassischen Grenzfall q 2 → 0 kann man das gyro<strong>magnetische</strong> Verhältnis<br />

g = 2 ( 1 − 2 m F M (0) ) (5.4)<br />

berechnen, wobei der führende Wert g = 2 der Vorhersage aus der Dirac-Theorie<br />

entspricht [38]. Abweichungen davon kommen durch Schleifenkorrekturen zustande<br />

und werden durch das <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong><br />

a := g − 2<br />

2<br />

= −2 m F M (0) (5.5)<br />

parametrisiert. Diese d<strong>im</strong>ensionslose Größe lässt sich also aus dem <strong>magnetische</strong>n<br />

Formfaktor und somit aus demjenigen Term in der Streuamplitude (5.2) ermitteln,<br />

der proportional zur Summe der beiden Fermion<strong>im</strong>pulse ist.<br />

5.2 Exper<strong>im</strong>entelle Best<strong>im</strong>mung<br />

Die Messung <strong>des</strong> <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong>s <strong>des</strong> <strong>Myons</strong>, die in einem Speicherring<br />

durchgeführt werden kann, beruht auf der Präzession der <strong>Myons</strong>pinrichtung<br />

in einem externen Magnetfeld ⃗ B. Diese erfolgt für ein Myon der Geschwindigkeit<br />

⃗β = ⃗v/c mit der Winkelfrequenz<br />

⃗ω =<br />

⎡<br />

e<br />

(<br />

⎣a µ B ⃗ − a µ − 1 ) ⎤ ⃗β × E ⃗<br />

⎦ (5.6)<br />

m µ γ 2 − 1 c<br />

relativ zur Impulsrichtung. Hierbei wurde vorausgesetzt, dass sowohl das Magnetfeld<br />

als auch das für die Strahlfokussierung benötigte elektrische Quadrupolfeld ⃗ E<br />

senkrecht zu ⃗ β stehen. Der relativistische Lorentz-Faktor ist über γ = 1/ √ 1 − β 2<br />

definiert. Um den Einfluss <strong>des</strong> elektrischen Fel<strong>des</strong> zu el<strong>im</strong>inieren, legt man den Impuls<br />

der Myonen auf den “magischen” Wert von 3,094 GeV fest, bei dem der Vorfaktor<br />

<strong>des</strong> Vektorprodukts verschwindet [36]. Dann lässt sich a µ aus den Messwerten für die<br />

Frequenz und das Magnetfeld best<strong>im</strong>men.<br />

Die max<strong>im</strong>ale Paritätsverletzung der schwachen Wechselwirkung wird bei den<br />

Exper<strong>im</strong>enten an zwei Stellen ausgenutzt [39]. Einerseits sorgt sie bei der Myonproduktion<br />

über den Zerfall geladener Pionen dafür, dass der Spin der Myonen in<br />

Impulsrichtung zeigt, was einen wohldefinierten Anfangszustand garantiert. Andererseits<br />

bedingt sie die Tatsache, dass be<strong>im</strong> Myonzerfall ein Elektron entgegen der<br />

Spinrichtung <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> ausgesandt wird, 12 sodass man diese Richtung und somit<br />

die Frequenz der Präzession über die Detektion <strong>des</strong> Elektrons best<strong>im</strong>men kann.<br />

Die aktuellsten Messungen von a µ wurden <strong>im</strong> Rahmen <strong>des</strong> Exper<strong>im</strong>ents E821 am<br />

12 Be<strong>im</strong> Myonzerfall entstehen außerdem zwei Neutrinos: µ − → e − + ¯ν e + ν µ .<br />

32


5.3 Vorhersage <strong>des</strong> Standardmodells<br />

Brookhaven National Laboratory durchgeführt und liefern das Ergebnis [19, 40]<br />

a exp<br />

µ = (11 659 208,9 ± 6,3) · 10 −10 , (5.7)<br />

<strong>des</strong>sen Unsicherheit größtenteils statistischer Natur ist.<br />

5.3 Vorhersage <strong>des</strong> Standardmodells<br />

QED-Beiträge<br />

Bei den QED-Beiträgen zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> unterscheidet<br />

man zwischen zwei Sorten. Einerseits gibt es die universellen Beiträge,<br />

deren Feynman-Diagramme lediglich Myonen sowie Photonen enthalten und daher<br />

von keiner Masse abhängen. Der dadurch erzeugte Teil <strong>des</strong> <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong>s besitzt also für das Elektron und Tauon dieselbe Größe wie für das Myon.<br />

<strong>Das</strong> Einschleifendiagramm<br />

γ<br />

liefert mit<br />

a QED,1L<br />

µ = e2<br />

8 π 2 (5.8)<br />

µ − µ −<br />

γ<br />

den deutlich größten unter allen Standardmodellbeiträgen, welcher von Schwinger in<br />

der ersten quantenfeldtheoretischen Schleifenrechnung best<strong>im</strong>mt wurde [41, 42].<br />

Die zweite Sorte von QED-Beiträgen wird von Feynman-Diagrammen ab Zweischleifenniveau<br />

erzeugt, bei denen auch Schleifen von Elektronen oder Tauonen<br />

auftauchen. Dadurch sind diese Anteile abhängig von Massenverhältnissen und nicht<br />

mehr universell für alle drei Leptonen. Insgesamt wurden die QED-Beiträge bisher<br />

auf Fünfschleifenniveau numerisch berechnet [43].<br />

Hadronische Beiträge<br />

Auch <strong>im</strong> Bereich der hadronischen Beiträge kann zwischen zwei verschiedenen Sorten<br />

unterschieden werden. Auf der einen Seite stehen diejenigen Anteile, in welche die<br />

hadronische Vakuumpolarisation virtueller Photonen einfließt. Unter Zuhilfenahme<br />

<strong>des</strong> optischen Theorems können diese Anteile indirekt aus Messungen <strong>des</strong> Wirkungsquerschnitts<br />

für die Hadronenproduktion bei der Annihilation zwischen Elektronen<br />

und Positronen best<strong>im</strong>mt werden.<br />

Auf der anderen Seite gibt es Beiträge aus der hadronischen Photon-Photon-<br />

Streuung, bei der drei von der Myonlinie ausgehende, virtuelle Photonen über eine<br />

Hadronschleife an das äußere Photon koppeln. Da <strong>im</strong> Bereich niedriger Energien die<br />

Störungsentwicklung der Quantenchromodynamik versagt, muss man zur Berechnung<br />

dieser Beiträge auf effektive Theorien, wie beispielweise die chirale Störungstheorie,<br />

zurückgreifen. Durch die Schwierigkeiten bei der Best<strong>im</strong>mung der hadronischen<br />

33


5 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

Beiträge zu a µ bringen diese den Großteil der theoretischen Unsicherheit mit sich.<br />

Aktuelle Ergebnisse sind in den Referenzen [44, 45, 46] zu finden.<br />

Elektroschwache Beiträge<br />

Die elektroschwachen Beiträge kommen durch Feynman-Diagramme zustande, deren<br />

Schleifen ein W -, Z- oder Higgs-Boson enthalten, und sind wegen der großen Massen<br />

der genannten Bosonen klein gegenüber den beiden zuvor behandelten Gruppen.<br />

Mithilfe der gemessenen Masse <strong>des</strong> am LHC entdeckten Higgs-Bosons konnte die<br />

Unsicherheit dieses Anteils deutlich reduziert werden [47].<br />

Gesamtergebnis<br />

Nach Kombination aller aufgeführten Beiträge liefert das Standardmodell gemäß<br />

Referenz [45] die Vorhersage<br />

a SM<br />

µ = (11 659 180,2 ± 4,9) · 10 −10 . (5.9)<br />

Bei Vergleich mit dem Messwert (5.7) erhält man die Diskrepanz<br />

a exp<br />

µ − a SM<br />

µ = (28,7 ± 8,0) · 10 −10 (5.10)<br />

zwischen Standardmodelltheorie und Exper<strong>im</strong>ent von mehr als drei Standardabweichungen.<br />

13 Ob dieser Unterschied real oder doch nur von Ungenauigkeiten bzw.<br />

statistischen Fluktuationen bedingt ist, muss durch eine Verbesserung der theoretischen<br />

Vorhersage, vor allem <strong>im</strong> Bereich der hadronischen Beiträge, und durch neue<br />

Exper<strong>im</strong>ente mit einer höheren Präzision [48, 49] aufgeklärt werden.<br />

5.4 Supersymmetrische Beiträge<br />

Mit der Abweichung (5.10) liefert die Präzisionsobservable a µ einen der stärksten<br />

Hinweise auf Physik jenseits <strong>des</strong> Standardmodells an der elektroschwachen Energieskala,<br />

nach welcher am LHC bereits gesucht wird. Falls dort Anzeichen neuer Physik<br />

gefunden werden, gilt es herauszufinden, welches Modell für deren Beschreibung<br />

geeignet ist und welche Parameter insbesondere realisiert sind. Die Exper<strong>im</strong>ente am<br />

LHC können dies alleine nicht bewältigen, weil eine konkrete Menge von Signaturen<br />

in verschiedenen Parameterszenarien zustande kommen kann [50]. Einen Ausweg für<br />

dieses Problem bietet das <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong>, das komplementär<br />

zu den LHC-Messungen ist und somit Mehrdeutigkeiten aufzulösen vermag.<br />

Es dient also nicht nur als Hinweis auf, sondern auch als Einschränkung für neue<br />

Physik und je<strong>des</strong> Modell muss sich daran messen lassen, ob es die Differenz zwischen<br />

Exper<strong>im</strong>ent und Standardmodellvorhersage erklären kann.<br />

<strong>Das</strong> <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> ist eng verknüpft mit <strong>des</strong>sen<br />

Selbstenergie, weil beide, abgesehen von der Ankopplung eines äußeren Photons<br />

bei Ersterem, von denselben Feynman-Diagrammen erzeugt werden. Czarnecki und<br />

13 Falls man die Vorhersage aus Referenz [46] zugrunde legt, ergibt sich eine Differenz a exp<br />

µ − a SM<br />

µ =<br />

(26,1 ± 8,0) · 10 −10 von ebenfalls mehr als drei Standardabweichungen.<br />

34


5.4 Supersymmetrische Beiträge<br />

Marciano haben diese Verbindung genutzt, um eine allgemeine Beziehung zwischen<br />

dem Anteil ∆m µ (NP), den ein neues physikalisches Modell zur Myonmasse m µ<br />

beisteuert, und <strong>des</strong>sen Beitrag a NP<br />

µ zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> herzuleiten<br />

[51]. Falls das neue Modell die Massenskala M NP besitzt, gilt demnach<br />

( ) ( )<br />

a NP<br />

mµ 2 ∆mµ (NP)<br />

µ = O(1) × × . (5.11)<br />

M NP m µ<br />

Daraus lässt sich einerseits ableiten, dass M NP max<strong>im</strong>al <strong>im</strong> TeV-Bereich liegen<br />

darf, wenn das Modell die Differenz (5.10) begründen soll. Die neue Physik müsste<br />

sich also an der elektroschwachen Skala zeigen. Andererseits sind die Beiträge a NP<br />

µ<br />

und ∆m µ (NP) proportional zueinander, weshalb große Schleifenkorrekturen zur<br />

Myonmasse die Erklärbarkeit der Abweichung (5.10) begünstigen. Da <strong>im</strong> MSSM für<br />

tan β = ∞ die Relation ∆m µ = m µ gilt, bietet sich demzufolge eine Untersuchung<br />

<strong>des</strong> <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong>s in diesem Szenario an.<br />

Es ist schon seit Längerem bekannt, dass in Eichtheorien mit ungebrochener<br />

Supersymmetrie der <strong>magnetische</strong> Formfaktor F M (0) und somit auch das <strong>anomale</strong><br />

<strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> verschwindet [52]. Eine Supersymmetriebrechung, welche beispielsweise<br />

<strong>im</strong> MSSM durch die Terme (3.41) verursacht wird, ist für die Vereinbarkeit<br />

von Exper<strong>im</strong>ent und Theorie also notwendig. Es gibt noch eine weitere Symmetrie,<br />

die gebrochen sein muss, damit ein nicht-triviales a µ existieren kann. Hierbei<br />

handelt es sich um die chirale Symmetrie, die eine Invarianz unter der diskreten<br />

Transformation beschreibt, bei der je<strong>des</strong> rechts-chirale Fermion- bzw. Sfermionfeld<br />

mit (−1) multipliziert wird [53]. Deren Brechung wird <strong>im</strong> MSSM einerseits durch die<br />

Yukawa-Wechselwirkungen <strong>im</strong> Superpotential und andererseits durch die zugehörigen<br />

sanften Brechungsterme erreicht. Aus der Betrachtung der chiralen Symmetrie folgt,<br />

dass in jedem Feynman-Diagramm, welches einen nicht-verschwindenden Beitrag zu<br />

a µ erzeugen soll, eine Änderung der Myonchiralität, ein sogenannter Chiralitätsflip,<br />

stattfinden muss. 14 In Abbildung 5.1 sind diejenigen Vertizes zu sehen, welche <strong>im</strong><br />

µ L µ R<br />

∝ yµ v d = m 0 µ<br />

˜µ L ˜µ R<br />

∝ µ yµ v u = µ m 0 µ tan β<br />

H d<br />

⎫⎪ ⎬<br />

⎪ ⎭<br />

∝ y µ ∝ m 0 µ tan β<br />

µ L , ν µ µ R<br />

µ L , ν µ ˜µ R<br />

˜H d<br />

˜H d<br />

˜µ L , ˜ν µ µ R<br />

Abbildung 5.1: Vertizes <strong>des</strong> MSSM mit Chiralitätsflip entlang der Myonlinie<br />

14 Dies gilt wegen der engen Verbindung auch für alle Feynman-Diagramme, die zur <strong>Myons</strong>elbstenergie<br />

beitragen.<br />

35


5 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

MSSM einen Chiralitätsflip entlang der Myonzahl tragenden Linie ermöglichen.<br />

Hierbei steht H d für ein Element <strong>des</strong> Higgs-Dubletts und ˜H d für ein Element <strong>des</strong><br />

Higgsino-Dubletts, das jeweils entweder ungeladen oder einfach negativ geladen ist.<br />

Die angegebenen Proportionalitäten folgen direkt aus der Lagrange-Dichte und die<br />

Beziehung y µ ∝ m 0 µ tan β gilt für große tan β, wobei der Proportionalitätsfaktor die<br />

bekannten Standardmodellgrößen M W und g 2 enthält. Im Gegensatz zu den anderen<br />

Möglichkeiten ist ein direkter Chiralitätsflip von µ L zu µ R nicht durch tan β verstärkt<br />

und kann daher bei den folgenden Betrachtungen vernachlässigt werden.<br />

Die allgemeinen Einschleifenergebnisse für die MSSM-Beiträge zum <strong>anomale</strong>n<br />

<strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> sind schon seit einiger Zeit bekannt [54]. Unter<br />

der Annahme, dass alle Superteilchen die gemeinsame Masse M S besitzen, lässt sich<br />

die Näherung<br />

a MSSM,1L<br />

µ ≈ 1,3 · 10 −9 sgn(µM 2 ) tan β<br />

( 100 GeV<br />

M S<br />

) 2<br />

(5.12)<br />

ableiten [53]. <strong>Das</strong> Vorzeichen <strong>des</strong> Beitrags entspricht also dem der Parameterkombination<br />

µM 2 und die Proportionalität zu tan β folgt daraus, dass einer der Chiralitätsflips<br />

aus Abbildung 5.1 notwendig ist. Um damit die Diskrepanz (5.10) erklären zu können,<br />

benötigt man neben einem positiven Vorzeichen auch einen großen Wert für tan β und<br />

vergleichsweise leichte Superteilchen. Letztere müssten zu erkennbaren Signaturen<br />

am LHC führen, nach denen bereits gesucht wird [55]. Die Proportionalität der<br />

Näherung (5.12) zu tan β wirft die Frage auf, wie sich das Ergebnis <strong>im</strong> L<strong>im</strong>es<br />

tan β → ∞ verhält und ob dann auch mit höheren Superteilchenmassen der Messwert<br />

von a µ erklärbar ist. Diese Frage soll in der vorliegenden Arbeit beantwortet werden.<br />

36


6 Berechnungen <strong>im</strong> MSSM<br />

für tan β = ∞<br />

In diesem Kapitel werden die relevanten Einschleifenbeiträge zur Selbstenergie<br />

und zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> <strong>im</strong> MSSM für das Szenario<br />

tan β = ∞ berechnet. Als Näherung kann man die vorkommende Polmasse<br />

m µ = 105,6583715 ± 0,0000035 MeV (6.1)<br />

<strong>des</strong> <strong>Myons</strong> [19] ohne Probleme gegenüber den freien Massenparametern aus Abschnitt<br />

4.3 vernachlässigen, da sie um min<strong>des</strong>tens drei Größenordnungen kleiner ist.<br />

Im folgenden Abschnitt werden zunächst die benötigten Wechselwirkungen und<br />

damit verbundenen Feynman-Regeln vorgestellt. Anschließend erfolgen die eigentlichen<br />

Berechnungen, wobei die in Zwischenresultaten auftretenden Mischungsmatrizen<br />

der Superteilchen so ersetzt werden, dass <strong>im</strong> Endergebnis die Abhängigkeit von den<br />

MSSM-Parametern direkt ersichtlich ist.<br />

6.1 Relevante Wechselwirkungen<br />

Mit der Einführung von Smyonen, Charginos und Neutralinos als Masseneigenzustände<br />

wurde erreicht, dass die zugehörigen Propagatoren diagonal sind, wodurch<br />

die kommenden Rechnungen vereinfacht werden. Allerdings tauchen die entsprechenden<br />

Mischungsmatrizen U ˜µ , U, V und N dadurch in der Lagrange-Dichte auf.<br />

Unter Verwendung der zuvor eingeführten Dirac-Spinoren lassen sich die benötigten<br />

Wechselwirkungen, bei denen Charginos und Neutralinos beteiligt sind, mit<br />

L int,1 = ¯Ψ χ<br />

−<br />

l<br />

( )<br />

c<br />

L<br />

l P L + c R l P R Ψµ ˜ν † µL + ¯Ψ<br />

( )<br />

χ 0 m n<br />

L<br />

mk P L + n R mk P R Ψµ ˜µ † k + h. c. (6.2)<br />

beschreiben. Hierbei bezeichnen P L und P R die in Gleichung (A.6) definierten<br />

Projektionsoperatoren und die auftretenden Koeffizienten<br />

c L l = −g 2 Vl1 ∗ , (6.3)<br />

c R l = y µ U l2 , (6.4)<br />

n L mk = √ 1 (g 1 Nm1 ∗ + g 2 Nm2) ∗ U ˜µ k1 − y µ Nm3 ∗ U ˜µ k2 , 2 (6.5)<br />

n R mk = − √ 2g 1 N m1 U ˜µ k2 − y µ N m3 U ˜µ k1 (6.6)<br />

37


6 Berechnungen <strong>im</strong> MSSM für tan β = ∞<br />

enthalten Einträge der erwähnten Mischungsmatrizen. Die resultierenden Feynman-<br />

Regeln der Vertizes sind <strong>im</strong> Anhang B.1 zu finden.<br />

Zur Best<strong>im</strong>mung <strong>des</strong> <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong>s <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> werden außerdem<br />

die Wechselwirkungen der geladenen Superteilchen, also Charginos und<br />

Smyonen, mit Photonen benötigt. Diese sind durch<br />

L int,2 = e A ρ ¯Ψχ −γ ρ Ψ<br />

l χ<br />

− + i e A ρ<br />

(˜µ † ( ) (<br />

k ∂ρ˜µ<br />

l<br />

k − ∂ρ˜µ † k<br />

)<br />

˜µk<br />

)<br />

(6.7)<br />

charakterisiert, wobei die elektro<strong>magnetische</strong> Eichkopplung e aus Gleichung (2.30)<br />

Verwendung findet. Die zugehörigen Feynman-Regeln sind <strong>im</strong> Anhang B.1 aufgeführt.<br />

6.2 Selbstenergie <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

Im Folgenden werden die wesentlichen MSSM-Einschleifenbeiträge Σ MSSM<br />

µ zur Selbstenergie<br />

<strong>des</strong> <strong>Myons</strong> <strong>im</strong> Szenario tan β = ∞ berechnet, welche durch ein Paar virtueller<br />

Superteilchen zustande kommen. Die beiden dafür relevanten Feynman-Diagramme<br />

sind in Abbildung 6.1 zu sehen. In der Schleife treten be<strong>im</strong> Charginoanteil aus<br />

Abbildung 6.1a ein Chargino sowie ein Myon-Sneutrino und be<strong>im</strong> Neutralinoanteil<br />

aus Abbildung 6.1b ein Neutralino sowie ein Smyon auf. Um das Gesamtergebnis<br />

zu erhalten, muss über die verschiedenen Masseneigenzustände der Superteilchen<br />

summiert werden. Terme proportional zu γ 5 werden nicht berücksichtigt, weil sie<br />

eine Verletzung der CP-Symmetrie mit sich bringen würden.<br />

χ − l<br />

χ 0 m<br />

µ − µ −<br />

˜ν µ<br />

(a) Charginobeitrag: i Σ χ−<br />

µ<br />

µ − µ −<br />

˜µ − k<br />

(b) Neutralinobeitrag: i Σ χ0<br />

µ<br />

Abbildung 6.1: Signifikante MSSM-Einschleifenbeiträge zur <strong>Myons</strong>elbstenergie<br />

6.2.1 Charginobeitrag<br />

Die Berechnung <strong>des</strong> Diagramms aus Abbildung 6.1a unter Verwendung der Vertex-<br />

Feynman-Regeln (B.1) und (B.2) führt zum Charginoanteil<br />

Σ χ−<br />

µ = 1<br />

32π 2<br />

2∑<br />

l=1<br />

m χ<br />

−<br />

l<br />

= − 1<br />

16π 2 y µ g 2<br />

( )<br />

c<br />

L<br />

l (c R l ) ∗ + (c L l ) ∗ c R l B0 (m 2˜ν µ<br />

, m 2 )<br />

χ − l<br />

2∑<br />

l=1<br />

m χ<br />

−<br />

l<br />

Re(U l2 V l1 ) B 0 (m 2˜ν µ<br />

, m 2 ) (6.8)<br />

χ − l<br />

38


6.2 Selbstenergie <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

der <strong>Myons</strong>elbstenergie. Hierbei steht B 0 für ein Einschleifenintegral, bei dem der<br />

einlaufende Impuls p aufgrund der Bedingung p 2 = m 2 µ gegenüber den Massen der<br />

Superteilchen vernachlässigbar ist. In d<strong>im</strong>ensionaler Regularisierung (Raumd<strong>im</strong>ension<br />

D = 4 − 2 ɛ) gilt damit<br />

∫ (<br />

1<br />

µ 2 )<br />

R<br />

B 0 (q a , q b ) = ∆ + dx ln<br />

+ O(ɛ)<br />

0 q a (1 − x) + q b x<br />

= ∆ + 1 + 1 (<br />

q<br />

q b − q a ln q a<br />

− q<br />

a µ 2 b ln q )<br />

b<br />

+ O(ɛ) , (6.9)<br />

R µ 2 R<br />

wobei q a sowie q b allgemeine quadratische Massen und µ R die Regularisierungsskala<br />

mit Massend<strong>im</strong>ension 1 bezeichnen. 15 Man kann erkennen, dass B 0 symmetrisch unter<br />

Vertauschung der beiden Argumente ist. Die verwendete Abkürzung<br />

∆ = 1 ɛ + ln 4π − γ E (6.10)<br />

enthält einen Term zur Beschreibung von UV-Divergenzen und die Euler-Mascheroni-<br />

Konstante γ E ≈ 0,577.<br />

Die in Gleichung (6.8) auftretenden Mischungsmatrizen sollen explizit mithilfe der<br />

Parameter µ und M 2 ausgedrückt werden. Dazu gewinnt man aus Formel (3.60) mit<br />

der Unitarität von U und V sowie der konkreten Massenmatrix (4.10) die Beziehung<br />

0 = X 21 = [ U T M C V ] 21 = m χ − 1 U 12V 11 + m χ<br />

−<br />

2 U 22V 21 . (6.11)<br />

Weiterhin lässt sich mit denselben Hilfsmitteln zeigen, dass<br />

√<br />

2 µ M2 M W = X 22 X † 21 X 11 = [ X X † X ] 21<br />

= [ (U T M C V ) (V † M C U ∗ ) (U T M C V ) ] = [ U T M 3<br />

21<br />

C V ] 21<br />

= m 3 U<br />

χ − 1 12 V 11 + m 3 U<br />

χ − 2 22 V 21 (6.12)<br />

gilt. Eine Kombination der beiden vorhergehenden Gleichungen liefert schließlich die<br />

Relation<br />

m χ<br />

−<br />

1<br />

U 12 V 11 = −m χ<br />

−<br />

2<br />

U 22 V 21 =<br />

√<br />

2 µ M2 M W<br />

m 2 χ − 1<br />

− m 2 χ − 2<br />

, (6.13)<br />

mit deren Hilfe der Charginoanteil in Übereinst<strong>im</strong>mung mit Referenz [56] zu<br />

Σ χ−<br />

µ =<br />

=<br />

√<br />

2<br />

16π y B 0 (m 2˜ν µ<br />

, m 2 ) − B<br />

χ 2 µ g 2 Re(µ M 2 ) M − 0 (m 2˜ν µ<br />

, m 2 )<br />

2<br />

χ − 1<br />

W<br />

m 2 − m 2 χ − 1 χ − 2<br />

√<br />

2<br />

16π y 2 µ g 2 Re(µ M 2 ) M W I(m 2˜ν µ<br />

, m 2 , m 2 ) (6.14)<br />

χ − 1 χ − 2<br />

15 Die Terme der Ordnung ɛ spielen bei den folgenden Betrachtungen keine Rolle.<br />

39


6 Berechnungen <strong>im</strong> MSSM für tan β = ∞<br />

umgeschrieben werden kann. Die dabei neu eingeführte Funktion I hat für quadrierte<br />

Massen q a , q b und q c die allgemeine Form<br />

I(q a , q b , q c ) = B 0(q a , q c ) − B 0 (q a , q b )<br />

q b − q c<br />

= q a q b ln q a<br />

qb<br />

+ q b q c ln q b<br />

+ q<br />

q c c q a ln q c<br />

q a<br />

(q a − q b ) (q b − q c ) (q a − q c )<br />

, (6.15)<br />

ist also symmetrisch unter allen Vertauschungen der drei Argumente. Im Spezialfall<br />

zweier bzw. dreier identischer Massen erhält man<br />

I(q a , q a , q b ) = q a − q b − q b ln q a<br />

qb<br />

,<br />

(q a − q b ) 2 (6.16)<br />

I(q a , q a , q a ) = 1 .<br />

2 q a<br />

(6.17)<br />

Abschließend ist noch anzumerken, dass das Ergebnis (6.14) sowohl endlich als auch<br />

unahbängig von µ R ist, weil sich die entsprechenden Terme in der Differenz der beiden<br />

B 0 -Funktionen gegenseitig ausgelöscht haben.<br />

6.2.2 Neutralinobeitrag<br />

<strong>Das</strong> Diagramm aus Abbildung 6.1b lässt sich mithilfe der Feynman-Regeln (B.3)<br />

sowie (B.4) berechnen und erzeugt den Neutralinoanteil<br />

Σ χ0<br />

µ = 1<br />

32π 2<br />

4∑ 2∑ (<br />

m χ 0 m<br />

n<br />

L<br />

mk (n R mk) ∗ + (n L mk) ∗ nmk) R B0 (m 2˜µ k<br />

, m 2 χ ) (6.18)<br />

0 m<br />

m=1 k=1<br />

der <strong>Myons</strong>elbstenergie. Hierin ist die B 0 -Funktion aus Gleichung (6.9) enthalten und<br />

für die Kombination der Koeffizienten (6.5) und (6.6) gilt 16<br />

(n L mk) ∗ n R mk = − 1 √<br />

2<br />

y µ (g 1 N m1 N m3 + g 2 N m2 N m3 ) (U ˜µ k1 )∗ U ˜µ k1<br />

− ( g 2 1 N m1 N m1 + g 1 g 2 N m1 N m2<br />

)<br />

(U ˜µ<br />

k1 )∗ U ˜µ k2<br />

+ y 2 µ N m3 N m3 (U ˜µ k2 )∗ U ˜µ k1 + √ 2 y µ g 1 N m1 N m3 (U ˜µ k2 )∗ U ˜µ k2 . (6.19)<br />

Die Lösung beinhaltet also Produkte von Einträgen der Smyon- und Neutralinomischungsmatrix<br />

und die Abhängigkeit von den MSSM-Parametern ist somit nicht<br />

direkt ersichtlich. Daher wird <strong>im</strong> Folgenden untersucht, wie man die Mischungsmatrizen<br />

<strong>im</strong> Ergebnis ersetzen kann.<br />

Zur Mischungsmatrix der Smyonen<br />

Aus der Unitarität der Smyonmischungsmatrix folgen durch Betrachtung der verschiedenen<br />

Komponenten die Relationen<br />

(U ˜µ 11) ∗ U ˜µ 11 + (U ˜µ 21) ∗ U ˜µ 21 = 1 , (6.20)<br />

16 In dieser Gleichung wird nicht über die Indizes k und m summiert.<br />

40


6.2 Selbstenergie <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

(U ˜µ 11) ∗ U ˜µ 12 + (U ˜µ 21) ∗ U ˜µ 22 = 0 , (6.21)<br />

(U ˜µ 12) ∗ U ˜µ 12 + (U ˜µ 22) ∗ U ˜µ 22 = 1 . (6.22)<br />

Weiterhin ergibt sich infolge der Diagonalisierungsvorschrift (3.53) die Beziehung<br />

U ˜µ† M 2˜µ U ˜µ = M 2˜µ , (6.23)<br />

deren einzelne Komponenten unter Verwendung der konkreten Matrix (4.8) die Form<br />

( ) 1<br />

m 2˜µ 1<br />

(U11) ˜µ ∗ U ˜µ 11 + m 2˜µ 2<br />

(U21) ˜µ ∗ U ˜µ 21 = m 2 L + MZ 2 2 − s2 W , (6.24)<br />

m 2˜µ 1<br />

(U ˜µ 11) ∗ U ˜µ 12 + m 2˜µ 2<br />

(U ˜µ 21) ∗ U ˜µ 22 = − √ 2 y µ<br />

g 2<br />

µ M W , (6.25)<br />

m 2˜µ 1<br />

(U ˜µ 12) ∗ U ˜µ 12 + m 2˜µ 2<br />

(U ˜µ 22) ∗ U ˜µ 22 = m 2 R + M 2 Z s 2 W (6.26)<br />

annehmen. Durch Kombination der bisher in diesem Abschnitt betrachteten Gleichungen<br />

kann man ableiten, dass die in Formel (6.19) enthaltenen Produkte zweier<br />

Einträge der Smyonmischungsmatrix als<br />

( 1<br />

2 − s2 W)<br />

(U21) ˜µ ∗ U ˜µ 21 = 1 − (U11) ˜µ ∗ U ˜µ 11 = m2˜µ 1<br />

− m 2 L − MZ<br />

2 , (6.27)<br />

m 2˜µ 1<br />

− m 2˜µ 2<br />

(U ˜µ 21) ∗ U ˜µ 22 = − (U ˜µ 11) ∗ U ˜µ 12 =<br />

√<br />

2 yµ µ M W /g 2<br />

m 2˜µ 1<br />

− m 2˜µ 2<br />

, (6.28)<br />

(U ˜µ 12) ∗ U ˜µ 12 = 1 − (U ˜µ 22) ∗ U ˜µ 22 = m2 R + M 2 Z s 2 W − m 2˜µ 2<br />

m 2˜µ 1<br />

− m 2˜µ 2<br />

(6.29)<br />

darstellbar sind. Damit lässt sich der Beitrag (6.18) umformen zu<br />

√<br />

2<br />

Σ χ0<br />

µ =<br />

16π y 2 µ<br />

⎧<br />

4∑ ⎨<br />

m χ 0 m ⎩ I(m2 χ , 0 m2˜µ m 1<br />

, m 2˜µ 2<br />

)<br />

m=1<br />

[ ( )<br />

g<br />

2<br />

Re − 1<br />

N<br />

g m1 N m1 + g 1 N m1 N m2 µ M W<br />

2<br />

+ y2 µ<br />

(<br />

N<br />

g m3 N m3 µ ∗ M W + g 1 N m1 N m3 m<br />

2˜µ2 − m 2 R − MZ 2 s 2 W<br />

2<br />

− 1 (<br />

( )) ] 1<br />

2 (g 1 N m1 N m3 + g 2 N m2 N m3 ) m 2˜µ 1<br />

− m 2 L − MZ 2 2 − s2 W<br />

− 1 2 Re(g 1 N m1 N m3 + g 2 N m2 N m3 ) B 0 (m 2˜µ 1<br />

, m 2 χ 0 m )<br />

)<br />

+ g 1 Re(N m1 N m3 ) B 0 (m 2˜µ 2<br />

, m 2 χ 0 m ) ⎫<br />

⎬<br />

⎭ . (6.30)<br />

41


6 Berechnungen <strong>im</strong> MSSM für tan β = ∞<br />

Zur Mischungsmatrix der Neutralinos<br />

Die Einträge der Neutralinomischungsmatrix treten in der typischen Kombination<br />

x m,12 := m χ 0 m<br />

N m1 N m2 (6.31)<br />

auf, wobei das Indexpaar (1, 2) exemplarisch verwendet wird und analoge Definitionen<br />

für (1, 1), (1, 3), (2, 3) und (3, 3) gelten. Diese vorkommenden Paare von Indizes seien<br />

in den folgenden Ausführungen durch die allgemeine Bezeichnung J repräsentiert.<br />

Außerdem werden in einigen Formeln die Abkürzungen<br />

q m := m 2 χ 0 m<br />

(6.32)<br />

für die quadrierten Neutralinomassen benutzt. Aus der Diagonalisierung (3.67) lassen<br />

sich die Gleichungen<br />

A := Y = N T M N N , (6.33)<br />

B := Y Y † Y = (N T M N N) (N † M N N ∗ ) (N T M N N) = N T M 3 N N , (6.34)<br />

C := Y Y † Y Y † Y = N T M 5 N N , (6.35)<br />

D := Y Y † Y Y † Y Y † Y = N T M 7 N N (6.36)<br />

herleiten, in denen nebenbei Bezeichnungen für Produkte der Massenmatrix Y und<br />

ihrer adjungierten Matrix eingeführt werden. Die Rechnungen für C und D verwenden<br />

analog zu der von B die Unitarität der Mischungsmatrix N. Bei Betrachtung der<br />

einzelnen Komponenten, gekennzeichnet durch das Indexpaar J, erhält das obige<br />

Gleichungssystem die Form<br />

A J = x 1,J + x 2,J + x 3,J + x 4,J , (6.37)<br />

B J = q 1 x 1,J + q 2 x 2,J + q 3 x 3,J + q 4 x 4,J , (6.38)<br />

C J = q 2 1 x 1,J + q 2 2 x 2,J + q 2 3 x 3,J + q 2 4 x 4,J , (6.39)<br />

D J = q 3 1 x 1,J + q 3 2 x 2,J + q 3 3 x 3,J + q 3 4 x 4,J . (6.40)<br />

Die hierin auftretenden Einträge der Matrizen A bis D können mithilfe der konkreten<br />

Massenmatrix (4.13) berechnet werden und die resultierenden, teilweise umfangreichen<br />

Polynome in den MSSM-Parametern sind <strong>im</strong> Anhang B.2 zu finden. Nach<br />

Umformung der vier Gleichungen findet man die Lösung<br />

x 1,J = −A J q 2 q 3 q 4 + B J (q 2 q 3 + q 2 q 4 + q 3 q 4 ) − C J (q 2 + q 3 + q 4 ) + D J<br />

(q 1 − q 2 ) (q 1 − q 3 ) (q 1 − q 4 )<br />

, (6.41)<br />

welche symmetrisch unter Permutationen von q 2 , q 3 und q 4 ist. Analoge Formeln für<br />

x 2,J , x 3,J und x 4,J entstehen durch Vertauschung <strong>des</strong> jeweiligen Index mit 1, sodass<br />

das Gesamtergebnis die Symmetrie <strong>des</strong> Gleichungssystems widerspiegelt.<br />

Durch das Auftreten der B 0 -Funktion in Gleichung (6.30) scheint der Neutralinoanteil<br />

der Selbstenergie divergent und abhängig vom Regularisierungsparameter µ R<br />

42


6.2 Selbstenergie <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

zu sein. Für die Aufklärung der tatsächlichen Struktur wird zunächst der Ausdruck<br />

y 12,J := q 3 q 4 (B J q 3 q 4 − C J (q 3 + q 4 ) + D J )<br />

(q 1 − q 3 ) (q 1 − q 4 ) (q 2 − q 3 ) (q 2 − q 4 )<br />

(6.42)<br />

eingeführt, welcher symmetrisch unter Vertauschung der Indizes 1 und 2 bzw. 3<br />

und 4 ist. Analoge Definitionen, z. B. für y 13,J , erhält man durch Permutation der<br />

auftretenden Zahlen 1 bis 4. Falls J nicht das Indexpaar (1, 1) bezeichnet, was bei<br />

den entsprechenden Termen in Formel (6.30) der Fall ist, gilt<br />

4∑<br />

− x m,J B 0 (m 2˜µ k<br />

, m 2 χ ) = 0 m<br />

m=1<br />

4∑<br />

n,p=1<br />

n≠p<br />

1<br />

2 y np,J I(m 2˜µ k<br />

, m 2 χ 0 n , m2 χ 0 p ) . (6.43)<br />

Die B 0 -Funktionen und somit die Terme, die Divergenzen bzw. den Regularisierungsparameter<br />

µ R enthalten, lassen sich also zugunsten der Funktion I aus Gleichung<br />

(6.15) el<strong>im</strong>inieren.<br />

6.2.3 Gesamtresultat<br />

Die Selbstenergie <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> lässt sich <strong>im</strong> MSSM für tan β = ∞ mit der Formel<br />

√<br />

2<br />

Σ MSSM<br />

µ =<br />

16π y 2 µ<br />

⎧<br />

⎨<br />

⎩ g 2 Re(µ M 2 ) M W I(m 2˜ν µ<br />

, m 2 , m 2 )<br />

χ − 1 χ − 2<br />

4∑<br />

+ I(m 2 χ , 0 m2˜µ m 1<br />

, m 2˜µ 2<br />

)<br />

m=1<br />

[ ( )<br />

g<br />

2<br />

Re − µ M 1<br />

W x<br />

g m,11 + g 1 x m,12<br />

2<br />

+ y2 µ<br />

(<br />

µ ∗ M<br />

g W x m,33 + g 1 x m,13 m<br />

2˜µ2 − m 2 R − MZ 2 s 2 W<br />

2<br />

− 1 ( ) ( ( 1<br />

g1 x<br />

2 m,13 + g 2 x m,23 m 2˜µ 1<br />

− m 2 L − MZ<br />

W)) ]<br />

2<br />

2 − s2<br />

)<br />

+<br />

4∑<br />

n,p=1<br />

n≠p<br />

[<br />

1<br />

Re(g<br />

4 1 y np,13 + g 2 y np,23 ) I(m 2˜µ 1<br />

, m 2 χ , 0 m2 n χ ) 0 p<br />

− 2 g 1 Re(y np,13 ) I(m 2˜µ 2<br />

, m 2 χ 0 n , m2 χ 0 p ) ] ⎫ ⎬<br />

⎭<br />

(6.44)<br />

berechnen, welche aus dem Charginoanteil (6.14) und dem Neutralinoanteil (6.30)<br />

zusammengesetzt wurde. Die auftretenden Funktionen sowie quadrierten Superteilchenmassen<br />

sind in den Gleichungen (6.15), (6.41) und (6.42) sowie Abschnitt 4.2 zu<br />

finden.<br />

43


6 Berechnungen <strong>im</strong> MSSM für tan β = ∞<br />

6.3 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

Im Folgenden sollen die MSSM-Einschleifenbeiträge a MSSM<br />

µ zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> in dem betrachteten Szenario tan β = ∞ berechnet<br />

werden. Die dafür relevanten Feynman-Diagramme sind Abbildung 6.2 zu entnehmen<br />

und entsprechen denen für die Selbstenergie aus Abbildung 6.1, bis auf ein äußeres<br />

Photon, welches an das geladene Superteilchen in der Schleife koppelt. Wie sich zeigen<br />

wird, führt diese enge Verbindung zu sehr ähnlichen Ergebnissen für a MSSM<br />

µ und<br />

Σ MSSM<br />

µ . Große Teile der folgenden Rechnungen können daher analog zu denen aus<br />

Abschnitt 6.2 durchgeführt werden.<br />

Die <strong>magnetische</strong>n Formfaktoren F M (0) und somit die Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong> werden aus den Streuamplituden ū(p ′ ) Λ χ−<br />

ρ u(p) und ū(p ′ ) Λ χ0<br />

ρ u(p)<br />

der beiden Feynman-Diagramme für den Fall p = p ′ entsprechend der Kovariantenzerlegung<br />

(5.3) abgelesen. Hierbei bezeichnet p den Impuls <strong>des</strong> einlaufenden sowie<br />

p ′ den <strong>des</strong> auslaufenden <strong>Myons</strong> und die Wellenfunktionen erfüllen die Beziehungen<br />

/p u(p) = m µ u(p) sowie ū(p ′ ) /p ′ = m µ ū(p ′ ).<br />

A ρ<br />

A ρ<br />

χ − l<br />

˜µ − k<br />

µ − µ −<br />

˜ν µ<br />

(a) für Charginobeitrag a χ−<br />

µ<br />

µ − µ −<br />

χ 0 m<br />

(b) für Neutralinobeitrag a χ0<br />

µ<br />

Abbildung 6.2: MSSM-Einschleifendiagramme, die signifikant zum <strong>anomale</strong>n<br />

<strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> beitragen<br />

6.3.1 Charginobeitrag<br />

Die Berechnung der Streuamplitude für das Diagramm aus Abbildung 6.2a mithilfe<br />

der Feynman-Regeln (B.1), (B.2) und (B.5) liefert den Charginobeitrag<br />

a χ−<br />

µ = m µ<br />

32π 2<br />

2∑<br />

l=1<br />

m χ<br />

−<br />

l<br />

= − m µ<br />

16π 2 y µ g 2<br />

( )<br />

c<br />

L<br />

l (c R l ) ∗ + (c L l ) ∗ c R l GC (m 2˜ν µ<br />

, m 2 )<br />

χ − l<br />

2∑<br />

l=1<br />

m χ<br />

−<br />

l<br />

Re(U l2 V l1 ) G C (m 2˜ν µ<br />

, m 2 ) (6.45)<br />

χ − l<br />

zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong>. Dieses Zwischenergebnis steht in<br />

Übereinst<strong>im</strong>mung mit den Referenzen [54, 57], der dort zusätzlich vorhandene Term<br />

mit einem weiteren Faktor m µ , welcher durch einen Chiralitätsflip auf einer der<br />

äußeren Myonlinien zustande kommt, ist für tan β = ∞ aber stark unterdrückt.<br />

44


6.3 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

Die auftretende Schleifenfunktion G C hat für quadratische Massen q a und q b die<br />

allgemeine Form<br />

∫ 1<br />

G C (q a , q b ) = 2 dx<br />

0<br />

x 2<br />

q a (1 − x) + q b x = −3 q2 a + 4 q a q b − qb 2 + 2 qa 2 ln q a<br />

qb<br />

. (6.46)<br />

(q a − q b ) 3<br />

Man kann die Elemente der Charginomischungsmatrizen so wie bei der Berechnung<br />

der Selbstenergie mit Gleichung (6.13) ersetzen und erhält das Ergebnis<br />

a χ−<br />

µ =<br />

=<br />

Hierbei wurde die Funktion<br />

√<br />

2<br />

16π m G C (m 2˜ν µ<br />

, m 2 ) − G<br />

χ 2 µ y µ g 2 Re(µ M 2 ) M − C (m 2˜ν µ<br />

, m 2 )<br />

2<br />

χ − 1<br />

W<br />

m 2 − m 2 χ − 1 χ − 2<br />

√<br />

2<br />

16π m 2 µ y µ g 2 Re(µ M 2 ) M W K C (m 2˜ν µ<br />

, m 2 , m 2 ) . (6.47)<br />

χ − 1 χ − 2<br />

K C (q a , q b , q c ) = G C(q a , q c ) − G C (q a , q b )<br />

q b − q c<br />

(6.48)<br />

mit drei allgemeinen, quadrierten Massen q a , q b und q c als Argumente eingeführt, die<br />

eine Symmetrie unter Vertauschung von q b und q c aufweist. <strong>Das</strong> erste Argument q a<br />

hingegen ist ausgezeichnet. Im Spezialfall mehrerer identischer Massen erhält man<br />

K C (q a , q a , q b ) = −11 q3 a + 18 q 2 a q b − 9 q a q 2 b + 2 q 3 b + 6 q 3 a ln q a<br />

qb<br />

3 q a (q a − q b ) 4 , (6.49)<br />

K C (q a , q b , q b ) = 2 q3 a + 3 q 2 a q b − 6 q a q 2 b + q 3 b − 6 q 2 a q b ln q a<br />

qb<br />

q b (q a − q b ) 4 , (6.50)<br />

K C (q a , q a , q a ) = 1 . (6.51)<br />

2 qa<br />

2<br />

6.3.2 Neutralinobeitrag<br />

Aus der Streuamplitude <strong>des</strong> Diagramms in Abbildung 6.2b, die mithilfe der Feynman-<br />

Regeln (B.3), (B.4) und (B.6) berechnet werden kann, lässt sich der Neutralinobeitrag<br />

a χ0<br />

µ = m µ<br />

32π 2<br />

4∑ 2∑ (<br />

m χ 0 m<br />

n<br />

L<br />

mk (n R mk) ∗ + (n L mk) ∗ nmk) R GN (m 2˜µ k<br />

, m 2 χ ) (6.52)<br />

0 m<br />

m=1 k=1<br />

zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> gewinnen. Auch dieses Zwischenergebnis<br />

entspricht dem Resultat aus den Referenzen [54, 57], wobei der dort zusätzlich<br />

vorhandene Term wie bereits be<strong>im</strong> Charginobeitrag für tan β = ∞ stark<br />

unterdrückt wird. Die vorkommende Schleifenfunktion G N ist über<br />

∫ 1<br />

G N (q a , q b ) = 2 dx<br />

0<br />

x (x − 1)<br />

q a x + q b (1 − x) = −q2 a + qb 2 + 2 q a q b ln q a<br />

qb<br />

(6.53)<br />

(q a − q b ) 3<br />

45


6 Berechnungen <strong>im</strong> MSSM für tan β = ∞<br />

definiert und somit symmetrisch unter Vertauschung der quadratischen Massen q a<br />

und q b . In Analogie zur Funktion I aus Gleichung (6.15) wird außerdem<br />

K N (q a , q b , q c ) = G N(q a , q c ) − G N (q a , q b )<br />

q b − q c<br />

(6.54)<br />

eingeführt. Dieser Ausdruck ist symmetrisch unter Vertauschung von q b und q c ,<br />

während q a eine ausgezeichnete Rolle einn<strong>im</strong>mt. Im Spezialfall identischer Massen<br />

gelten die Beziehungen<br />

K N (q a , q a , q b ) = −2 q3 a − 3 q 2 a q b + 6 q a q 2 b − q 3 b + 6 q 2 a q b ln q a<br />

qb<br />

3 q a (q a − q b ) 4 , (6.55)<br />

K N (q a , q b , q b ) = 5 q2 a − 4 q a q b − q 2 b − 2 q a (q a + 2 q b ) ln q a<br />

qb<br />

(q a − q b ) 4 , (6.56)<br />

K N (q a , q a , q a ) = − 1 . (6.57)<br />

6 qa<br />

2<br />

Ausgehend von Gleichung (6.52) erfolgt die Ersetzung der enthaltenen Mischungsmatrizen<br />

völlig analog zur Vorgehensweise in Abschnitt 6.2.2, womit die Berechnung<br />

<strong>des</strong> Neutralinobeitrags abgeschlossen werden kann.<br />

6.3.3 Gesamtresultat<br />

Die MSSM-Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> <strong>im</strong> Szenario<br />

tan β = ∞ erhält man mit der Formel<br />

√<br />

2<br />

a MSSM<br />

µ =<br />

16π m 2 µ y µ<br />

⎧<br />

⎨<br />

⎩ g 2 Re(µ M 2 ) M W K C (m 2˜ν µ<br />

, m 2 , m 2 )<br />

χ − 1 χ − 2<br />

4∑<br />

+ K N (m 2 χ , 0 m2˜µ m 1<br />

, m 2˜µ 2<br />

)<br />

m=1<br />

[ ( )<br />

g<br />

2<br />

Re − µ M 1<br />

W x<br />

g m,11 + g 1 x m,12<br />

2<br />

+<br />

4∑<br />

n,p=1<br />

n≠p<br />

+ y2 µ<br />

(<br />

µ ∗ M<br />

g W x m,33 + g 1 x m,13 m<br />

2˜µ2 − m 2 R − MZ 2 s 2 W<br />

2<br />

− 1 ( ) ( ( 1<br />

g1 x<br />

2 m,13 + g 2 x m,23 m 2˜µ 1<br />

− m 2 L − MZ<br />

W)) ]<br />

2<br />

2 − s2<br />

[<br />

1<br />

Re(g<br />

4 1 y np,13 + g 2 y np,23 ) K N (m 2˜µ 1<br />

, m 2 χ , 0 m2 n χ ) 0 p<br />

− 2 g 1 Re(y np,13 ) K N (m 2˜µ 2<br />

, m 2 χ 0 n , m2 χ 0 p ) ] ⎫ ⎬<br />

)<br />

⎭ . (6.58)<br />

46


6.4 Diskussion der Ergebnisse<br />

Darin enthalten sind die Funktionen aus den Gleichungen (6.41), (6.42), (6.48) und<br />

(6.54) sowie quadrierte Superteilchenmassen, die <strong>im</strong> Abschnitt 4.2 berechnet wurden.<br />

<strong>Das</strong> Ergebnis ist wegen der engen Verbindung zwischen dem <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong> und der Selbstenergie identisch zu dem aus Formel (6.44), abgesehen von<br />

zwei Unterschieden. Zum einen enthält a MSSM<br />

µ die Myonpolmasse m µ als zusätzlichen<br />

Faktor, welcher von der Best<strong>im</strong>mung aus dem <strong>magnetische</strong>n Formfaktor gemäß<br />

Beziehung (5.5) herrührt. Zum anderen wurde die Funktion I, die symmetrisch unter<br />

beliebiger Vertauschung der drei Argumente ist, <strong>im</strong> Charginoanteil durch K C und<br />

<strong>im</strong> Neutralinoanteil durch K N ersetzt. Man beachte, dass bei den K-Funktionen eine<br />

eingeschränkte Symmetrie vorliegt, weil jeweils das erste Argument gegenüber den<br />

anderen beiden vertauschbaren ausgezeichnet ist.<br />

6.4 Diskussion der Ergebnisse<br />

Die tan β-verstärkten supersymmetrischen Einschleifenbeiträge zur Selbstenergie <strong>des</strong><br />

<strong>Myons</strong> wurden in der Näherung M Z ≪ µ, M 1 , M 2 bereits veröffentlicht [56]. Außerdem<br />

ist das MSSM-Einschleifenergebnis für das <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

schon seit Längerem bekannt [54, 57]. Bei den in dieser Arbeit durch die Ersetzung aller<br />

Mischungsmatrizen gewonnenen Formeln (6.44) und (6.58) für das MSSM-Szenario<br />

tan β = ∞ jedoch handelt es sich um neue Ergebnisse. Sie haben den Vorteil, dass<br />

bisher lediglich die komplett unproblematische Annahme m µ ≪ µ, M 1 , M 2 , m L , m R<br />

gemacht wurde und die Abhängigkeit von den MSSM-Parametern direkt ersichtlich,<br />

wenngleich auch kompliziert ist.<br />

Bei Betrachtung der Endergebnisse (6.44) und (6.58) fällt einerseits auf, dass beide<br />

proportional zur Yukawa-Kopplung y µ sind. Dieser Zusammenhang folgt direkt aus<br />

der Notwendigkeit eines der Chiralitätsflips aus Abbildung 5.1 und war daher zu<br />

erwarten. Andererseits weist die Abhängigkeit von den Parametern µ, M 1 und M 2<br />

eine besondere Struktur auf. <strong>Das</strong> Vorzeichen von Σ MSSM<br />

µ bzw. a MSSM<br />

µ wechselt, wenn<br />

man entweder das Vorzeichen von µ umkehrt oder gleichzeitig das von M 1 und M 2 ,<br />

während der Betrag der Ergebnisse aber jeweils unverändert bleibt.<br />

Die häufig verwendete Einschränkung tan β 50 wird meist dadurch begründet,<br />

dass bei der Fermionmassenerzeugung auf der Ebene der Lagrange-Dichte<br />

die Yukawa-Kopplungen perturbativ bleiben sollen. Allerdings sind auch unter der<br />

Forderung nach Perturbativität Szenarien mit tan β ≫ 50 möglich, wenn man die<br />

durch tan β verstärkten Schleifenbeiträge zur Masse der geladenen Leptonen und<br />

down-artigen Quarks berücksichtigt [1, 2]. Dann berechnet sich beispielsweise die<br />

Myonmasse mithilfe der Selbstenergie gemäß<br />

m µ = m 0 µ − Σ µ = m 0 µ (1 + ∆ µ ) = y µ v d (1 + ∆ µ ) , (6.59)<br />

wobei der zusätzliche Term ∆ µ eine schleifeninduzierte Kopplung an das “falsche”<br />

Higgs-Dublett H u parametrisiert und demnach proportional zu tan β ist. Eine Näherungsformel<br />

für ∆ µ findet man in Referenz [56] und in Referenz [58] wurde gezeigt,<br />

dass die tan β-verstärkten Beiträge der höheren Schleifenordnungen verschwinden.<br />

47


6 Berechnungen <strong>im</strong> MSSM für tan β = ∞<br />

Also sind <strong>im</strong> Einschleifenergebnis der Selbstenergie bereits alle relevanten Beiträge<br />

berücksichtigt.<br />

In den bisher untersuchten Fällen bis tan β = 200 liegen die Schleifenbeiträge zu<br />

den Massen der geladenen Leptonen und down-artigen Quarks in der Größenordnung<br />

der Massen in der Lagrange-Dichte [2]. <strong>Das</strong> in dieser Arbeit betrachtete Szenario<br />

tan β = ∞ unterscheidet sich davon stark, weil Letztere wegen v d = 0 verschwinden.<br />

Die Polmassen der Teilchen aus dem down-Sektor müssen daher komplett durch die<br />

Einschleifenselbstenergie erzeugt werden, d. h. für die Myonmasse aus Gleichung (6.1)<br />

gilt konkret<br />

m µ = −Σ MSSM<br />

µ . (6.60)<br />

Diese Beziehung kann man nutzen, um die Yukawa-Kopplung y µ in Abhängigkeit<br />

von den MSSM-Massenparametern zu ermitteln. Eine analytische Umformung ist<br />

dabei ohne Näherungen allerdings nicht möglich, weil y µ in Formel (6.44) nicht<br />

nur direkt sichtbar, sondern auch in komplizierter Weise über die quadratischen<br />

Smyonmassen (4.9) einfließt. Daher muss eine numerische Best<strong>im</strong>mung erfolgen. Die<br />

so gewonnene Yukawa-Kopplung kann man anschließend bei der Berechnung von<br />

a MSSM<br />

µ mit Gleichung (6.58) verwenden, d. h. sie wurde mithilfe der obigen Massenerzeugungsvorschrift<br />

el<strong>im</strong>iniert. Als Resultat verbleiben für die MSSM-Beiträge zum<br />

<strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> <strong>im</strong> Szenario tan β = ∞ als freie Parameter<br />

nur noch µ, M 1 , M 2 , m L und m R .<br />

<strong>Das</strong> oben bereits angesprochene Verhalten der Ergebnisse bei Umkehrung verschiedener<br />

Vorzeichen führt zusammen mit der El<strong>im</strong>ination von y µ zu zwei Symmetrien.<br />

Die Beiträge a MSSM<br />

µ sind für tan β = ∞ einerseits invariant unter Vorzeichenwechsel<br />

von µ und andererseits invariant unter gleichzeitigem Vorzeichenwechsel von M 1<br />

und M 2 . Es besteht also ein wesentlicher Unterschied zum MSSM mit endlichem<br />

tan β, in dem das Vorzeichen der Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong>,<br />

wie in der Näherung (5.12) erkennbar, direkt durch die Wahl <strong>des</strong> Vorzeichens von<br />

µ festgelegt werden kann. Somit stellt sich die Frage, ob das für die Erklärung der<br />

Diskrepanz (5.10) benötigte positive Vorzeichen von a MSSM<br />

µ <strong>im</strong> Szenario tan β = ∞<br />

überhaupt möglich ist. Dem wird in Kapitel 8 nachgegangen.<br />

Die Neuartigkeit <strong>des</strong> MSSM-Szenarios, das in dieser Arbeit betrachtet wird, bringt<br />

mit sich, dass man die zugehörigen Berechnungen mit keinem der bisher entwickelten<br />

Computerprogramme durchführen kann. So scheitert beispielsweise auch das Programm<br />

SUSY_FLAVOR [59], welches tan β-verstärkte Schleifenkorrekturen berücksichtigt.<br />

Denn es geht davon aus, dass der wesentliche Teil der Myonmasse auf der Ebene<br />

der Lagrange-Dichte erzeugt wird, und verwendet daher den Ausdruck m µ tan β statt<br />

m 0 µ tan β auf den Nebendiagonalen der Smyonmischungsmatrix. Dies führt bei der<br />

Wahl zu hoher tan β-Werte unweigerlich zu einem tachyonischen Smyon.<br />

48


7 Näherung der Ergebnisse<br />

In den nachfolgenden Ausführungen erfolgt die Herleitung von Näherungsformeln<br />

für die Ergebnisse (6.44) und (6.58), welche die Auswertung in Kapitel 8 erleichtern<br />

werden. Es wird angenommen, dass die relevanten MSSM-Parameter reell sind, weil<br />

eine durch große Imaginärteile bedingte, signifikante CP-Verletzung von starken<br />

exper<strong>im</strong>entellen Schranken für elektrische Dipolmomente ausgeschlossen wird und<br />

kleinere Imaginärteile auf die hier untersuchten Ergebnisse nur einen geringen Einfluss<br />

hätten. Aus den <strong>im</strong> Abschnitt 6.4 angesprochenen Symmetrien der Beiträge zum<br />

<strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> folgt dann, dass neben m L und m R auch<br />

µ und M 1 als positiv angenommen werden können. Für M 2 sind positive und negative<br />

Werte möglich.<br />

Es besteht der Wunsch nach einer Erklärung der Diskrepanz (5.10) mit höheren<br />

Superteilchenmassen als <strong>im</strong> MSSM mit endlichem tan β. Dadurch ist die bei den<br />

kommenden Näherungen verwendete Annahme<br />

M Z ≪ µ, M 1 , |M 2 |, m L , m R (7.1)<br />

motiviert. Diese führt zu starken Vereinfachungen und erlaubt es schließlich, die<br />

verbleibenden Anteile der Selbstenergie und <strong>des</strong> <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong>s<br />

auf Feynman-Diagramme mit Wechselwirkungseigenzuständen zurückzuführen.<br />

7.1 Massen und Hilfsfunktionen<br />

Die <strong>im</strong> Abschnitt 4.2 berechneten Superteilchenmassen werden unter der Näherung<br />

(7.1) so weit vereinfacht, dass sie sich direkt aus den Massenmatrizen ablesen<br />

lassen. Man erhält<br />

m 2˜ν µ<br />

= m 2˜µ 1<br />

= m 2 L , m 2˜µ 2<br />

= m 2 R , (7.2)<br />

m 2 = µ 2 , m 2 = M<br />

χ − 1<br />

χ − 2 2 , (7.3)<br />

2<br />

m 2 χ = 0 m2 1 χ = 0 µ2 , m 2 2 χ = M 0 1 2 , m 2 3 χ = M 0 2 2 , (7.4)<br />

4<br />

wobei die bisher unbest<strong>im</strong>mte Reihenfolge, z. B. der Smyonmassen, aus Gründen<br />

der Anschaulichkeit festgelegt wurde. Es fällt auf, dass die Superteilchen in die<br />

entsprechenden Wechselwirkungseigenzustände übergehen.<br />

Unter der betrachteten Näherung werden auch die Hilfsfunktionen x m,J , welche sich<br />

mit Formel (6.41) aus den Neutralinomassen und den Matrixelementen in Anhang B.2<br />

berechnen lassen, stark vereinfacht. Die Ergebnisse hierfür in der führenden Ordnung<br />

O(M Z ) sind Tabelle 7.1 zu entnehmen. Dabei geben die unterschiedlichen Spalten die<br />

49


7 Näherung der Ergebnisse<br />

Möglichkeiten für m wieder und in den verschiedenen Zeilen werden die Indexpaare<br />

betrachtet, für die das Symbol J stehen kann.<br />

Tabelle 7.1: Näherungen für x m,J in O(M Z ). Im Spaltenkopf sind die jeweiligen<br />

Werte von m aufgetragen und <strong>im</strong> Zeilenkopf die Indexpaare, die jeweils durch J<br />

repräsentiert werden.<br />

1 2 3 4<br />

(1, 1) 0 0 M 1 0<br />

(1, 2) 0 0 0 0<br />

(1, 3) − µ M 1 M Z s W<br />

2 (µ 2 − M 2 1 )<br />

− µ M 1 M Z s W<br />

2 (µ 2 − M 2 1 )<br />

µ M 1 M Z s W<br />

µ 2 − M 2 1<br />

0<br />

(2, 3)<br />

µ M 2 M Z c W<br />

2 (µ 2 − M 2 2 )<br />

µ M 2 M Z c W<br />

2 (µ 2 − M 2 2 )<br />

0 − µ M 2 M Z c W<br />

µ 2 − M 2 2<br />

(3, 3) 0 0 0 0<br />

7.2 Selbstenergie <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

Mit den <strong>im</strong> vorherigen Abschnitt angegebenen Formeln kann nun die <strong>Myons</strong>elbstenergie<br />

(6.44) genähert werden. Hierbei entfallen mehrere Terme komplett und die<br />

Hilfsfunktionen y np,J lassen sich mit Gleichung (6.43) auf die x m,J zurückführen. <strong>Das</strong><br />

Ergebnis<br />

Σ MSSM<br />

µ ≈<br />

√<br />

2<br />

32π 2 y µ<br />

g 2<br />

µ M W<br />

[<br />

3 g 2 2 M 2 I(m 2 L, µ 2 , M 2 2 )<br />

− g 2 1 M 1 I(m 2 L, µ 2 , M 2 1 )<br />

+ 2 g1 2 M 1 I(m 2 R, µ 2 , M1 2 )<br />

]<br />

− 2 g1 2 M 1 I(M1 2 , m 2 L, m 2 R)<br />

(7.5)<br />

ist mit dem für ∆ µ aus Referenz [56] kompatibel, wenn man den Übergang zum<br />

unendlichen tan β über Beziehung (4.5) vorn<strong>im</strong>mt und die unterschiedliche Stärke<br />

der Näherungen beachtet. Im ersten Term sind der Charginobeitrag und ein Teil <strong>des</strong><br />

Neutralinobeitrags zusammengefasst.<br />

Es wird analog zu Referenz [1] die d<strong>im</strong>ensionslose Schleifenfunktion<br />

Î<br />

(<br />

ma<br />

, m )<br />

b<br />

:= m<br />

m c m a m b I(m 2 a, m 2 b, m 2 c) (7.6)<br />

c<br />

50


7.2 Selbstenergie <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

eingeführt, wobei m a , m b und m c drei allgemeine Massen bezeichnen, die natürlich<br />

positiv sein sollen. Diese Funktion lässt sich unter Verwendung der beiden Massenverhältnisse<br />

v a und v b umschreiben zu<br />

Î(v a , v b ) =<br />

v a v b<br />

v 2 a − v 2 b<br />

( v<br />

2<br />

a ln va<br />

2<br />

va 2 − 1 − v2 b ln vb<br />

2 )<br />

vb 2 − 1 . (7.7)<br />

Eine Symmetrie unter Vertauschung von v a und v b ist erkennbar und für alle<br />

möglichen Werte der Argumente gilt<br />

0 < Î(v a, v b ) < 1 . (7.8)<br />

In den Spezialfällen, bei denen mehrere der einfließenden Massen identisch sind, erhält<br />

man die Relationen<br />

Î(v a , v a ) = v2 a (v 2 a − 1 − ln v 2 a)<br />

(v 2 a − 1) 2 , (7.9)<br />

Î(v a , 1 ) = v a (1 − v 2 a + v 2 a ln v 2 a)<br />

(v 2 a − 1) 2 , (7.10)<br />

Î( 1 , 1 ) = 1 2 . (7.11)<br />

Den Verlauf der Funktion Î in Abhängigkeit von den beiden Argumenten kann man in<br />

Abbildung 7.1 nachvollziehen. Dort sind die Werte zum einen <strong>im</strong> linken Diagramm als<br />

Konturplot aufgetragen, wobei für die Massenverhältnisse v a und v b logarithmische<br />

Skalen gewählt wurden, um einen großen Definitionsbereich abzudecken. Zum anderen<br />

Abbildung 7.1: Verlauf der Funktion Î(v a, v b ). Links: als Konturplot in Abhängigkeit<br />

von den beiden Variablen. Rechts: für v a = v b , also entlang der Diagonalen<br />

<strong>des</strong> linken Diagramms<br />

51


7 Näherung der Ergebnisse<br />

ist <strong>im</strong> rechten Diagramm die Funktion Î(v a, v a ), also der Spezialfall zweier identischer<br />

Argumente zu sehen. Hier kann man einen streng monotonen Anstieg zwischen den<br />

Werten 0 und 1 erkennen.<br />

Mithilfe der d<strong>im</strong>ensionslosen Funktion Î bringt man die Näherungsformel (7.5) für<br />

die Selbstenergie <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> in die Form<br />

Σ MSSM<br />

µ ≈<br />

√<br />

2<br />

32π 2 y µ<br />

g 2<br />

M W<br />

[<br />

sgn(M 2 ) 3 g 2 2 Î<br />

( µ<br />

, |M )<br />

2|<br />

m L m L<br />

( µ<br />

− g1 2 Î , M )<br />

1<br />

m L m L<br />

( µ<br />

+ 2 g1 2 Î , M )<br />

1<br />

m R m R<br />

− 2 g 2 1 Î<br />

(<br />

M1<br />

m R<br />

, m L<br />

m R<br />

) µ<br />

m L<br />

]<br />

[ ( µ<br />

≈ y µ sgn(M 2 ) 0,705 GeV Î , |M )<br />

2|<br />

m L m L<br />

( µ<br />

− 0,067 GeV Î , M )<br />

1<br />

m L m L<br />

( µ<br />

+ 0,135 GeV Î , M )<br />

1<br />

m R m R<br />

(<br />

− 0,135 GeV Î<br />

M1<br />

, m ) ]<br />

L µ<br />

. (7.12)<br />

m R m R m L<br />

Dieses Ergebnis ist <strong>im</strong> Rahmen von Betrachtungen für ein hohes aber endliches tan β<br />

bereits best<strong>im</strong>mt worden [1] und der vierte Anteil erweist sich als symmetrisch unter<br />

Vertauschung von m L und m R . Die Zahlenwerte, die nach dem zweiten Approx<strong>im</strong>ationszeichen<br />

auftreten, wurden durch Einsetzen der bekannten Standardmodellparameter<br />

M W , g 1 und g 2 gewonnen [19].<br />

7.3 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

Für die Näherung von Formel (6.58) werden wie bereits bei der Selbstenergie die<br />

Approx<strong>im</strong>ationen aus Abschnitt 7.1 genutzt. Man erhält<br />

√ {<br />

2<br />

a MSSM y [ µ<br />

µ ≈ m<br />

32π 2 µ µ M<br />

g W g2 2 M 2 2 KC (m 2 L, µ 2 , M2 2 ) + K N (m 2 L, µ 2 , M2 2 ) ]<br />

2<br />

− g 2 1 M 1 K N (m 2 L, µ 2 , M 2 1 )<br />

+ 2 g 2 1 M 1 K N (m 2 R, µ 2 , M 2 1 )<br />

− 2 g 2 1 M 1 K N (M 2 1 , m 2 L, m 2 R)<br />

}<br />

, (7.13)<br />

52


7.3 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

wobei in der ersten Zeile der Charginoanteil und die von M 2 abhängige Komponente<br />

<strong>des</strong> Neutralinoanteils zusammengefasst sind.<br />

Um die auftretenden Schleifenfunktionen in einer d<strong>im</strong>ensionslosen Form schreiben<br />

zu können, werden analog zu Referenz [55] die Funktionen<br />

(<br />

qa<br />

ˆK N , q )<br />

b<br />

:= −q<br />

q c q a q b K N (q c , q a , q b ) , (7.14)<br />

c<br />

(<br />

qa<br />

ˆK W , q )<br />

b<br />

:= q<br />

q c q a q b [ 2 K C (q c , q a , q b ) + K N (q c , q a , q b ) ] (7.15)<br />

c<br />

eingeführt. 17 Wie schon an früherer Stelle stehen q a , q b und q c für allgemeine<br />

quadrierte Teilchenmassen. Man beachte, dass ˆK N <strong>im</strong> Vergleich zu Î aus Formel (7.6)<br />

ein negatives Vorzeichen besitzt, damit auch hierfür ein positiver Wertebereich<br />

sichergestellt wird. Wenn man die vorkommenden Verhältnisse der Massenquadrate<br />

mit w a und w b bezeichnet, ist eine Umformung zu<br />

ˆK N (w a , w b ) =<br />

ˆK W (w a , w b ) =<br />

w (<br />

a w b w<br />

2<br />

a − 1 − w a ln wa<br />

2 − w2 b − 1 − w b ln w 2 )<br />

b<br />

, (7.16)<br />

w b − w a (w a − 1) 3 (w b − 1) 3<br />

w (<br />

a w b w<br />

2<br />

a − 8 w a + 7 + (w a + 2) ln wa<br />

2<br />

w b − w a (w a − 1) 3<br />

− w2 b − 8 w b + 7 + (w b + 2) ln wb<br />

2 ) (7.17)<br />

(w b − 1) 3<br />

durchführbar. Es wird ersichtlich, dass ˆK N und ˆK W invariant unter Vertauschung<br />

der beiden Argumente sind. Für alle möglichen w a und w b lassen sich die Werte der<br />

d<strong>im</strong>ensionslosen Schleifenfunktionen einschränken durch<br />

0 < ˆK N (w a , w b ) < 1 , (7.18)<br />

0 < ˆK W (w a , w b ) < 1,155 , (7.19)<br />

wobei die eigentlich irrationale obere Schranke von ˆK W aufgerundet wurde.<br />

Falls zwei oder alle drei Massen, die in den Argumenten auftreten, identisch sind,<br />

kann man ˆK N zu<br />

ˆK N (w a , w a ) = w2 a [ w 2 a + 4 w a − 5 − (2 w a + 1) ln w 2 a ]<br />

(w a − 1) 4 , (7.20)<br />

ˆK N (w a , 1 ) = w a (w 3 a − 6 w 2 a + 3 w a + 2 + 3 w a ln w 2 a)<br />

3 (w a − 1) 4 , (7.21)<br />

ˆK N ( 1 , 1 ) = 1 6<br />

(7.22)<br />

vereinfachen. Der allgemeine Verlauf der Funktion ist <strong>im</strong> linken Diagramm von<br />

17 Die Bezeichnung W bei ˆKW steht für Wino und ist durch die zugehörigen Feynman-Diagramme<br />

aus Abschnitt 7.4 motiviert.<br />

53


7 Näherung der Ergebnisse<br />

Abbildung 7.2: Verlauf der Funktion ˆK N (w a , w b ). Links: als Konturplot in<br />

Abhängigkeit von den beiden Variablen. Rechts: für w a = w b , also entlang der<br />

Diagonalen <strong>des</strong> linken Diagramms<br />

Abbildung 7.2 als Konturplot zu sehen, wobei die beiden Argumente auf logarithmischen<br />

Skalen einen großen Zahlenbereich durchlaufen. Rechts davon kann die<br />

Abhängigkeit vom Argument <strong>im</strong> Spezialfall w a = w b betrachtet werden. Dabei fällt<br />

auf, dass die Funktion <strong>im</strong> Wertebereich zwischen 0 und 1 streng monoton wächst.<br />

Für die zweite d<strong>im</strong>ensionslose Funktion ˆK W gelten <strong>im</strong> Falle mehrerer identischer<br />

Massen die Beziehungen<br />

ˆK W (w a , w a ) = w a [ w 3 a − 16 w 2 a + 11 w a + 4 + w a (2 w a + 7) ln w 2 a ]<br />

(w a − 1) 4 , (7.23)<br />

ˆK W (w a , 1 ) = w a [ w 3 a − 4 w 2 a + 11 w a − 8 − (w a + 2) ln w 2 a ]<br />

(w a − 1) 4 , (7.24)<br />

ˆK W ( 1 , 1 ) = 5 6 . (7.25)<br />

Abbildung 7.3 zeigt den Verlauf von ˆK W , der wie bei den anderen Schleifenfunktionen<br />

zuvor einmal allgemein als Konturplot auf der linken Seite und einmal speziell für<br />

w a = w b auf der rechten Seite dargestellt ist. Im Gegensatz zu den vorher untersuchten<br />

Funktionen kann die hier betrachtete auch Werte größer als 1 annehmen. Derjenige<br />

Teil <strong>des</strong> Definitionsbereichs, für den ˆK W (w a , w b ) sogar über 1,1 liegt, ist <strong>im</strong> Konturplot<br />

durch die hellste Schattierung gekennzeichnet. <strong>Das</strong> rechte Diagramm in Abbildung 7.3<br />

veranschaulicht den Verlauf von ˆK W für identische Argumente. Die Funktion steigt<br />

zunächst an bis zu einem lokalen und auch für w a ≠ w b globalen Max<strong>im</strong>um von etwa<br />

1,155, welches bei wa<br />

LM ≈ 11 erreicht wird. Anschließend fällt die Funktion wieder ab<br />

und strebt <strong>im</strong> Grenzwert eines unendlich großen w a gegen 1.<br />

Unter Zuhilfenahme der d<strong>im</strong>ensionslosen Funktionen ˆK N und ˆK W kann die Nä-<br />

54


7.3 Anomales <strong>magnetische</strong>s <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

Abbildung 7.3: Verlauf der Funktion ˆK W (w a , w b ). Links: als Konturplot in<br />

Abhängigkeit von den beiden Variablen. Rechts: für w a = w b , also entlang der<br />

Diagonalen <strong>des</strong> linken Diagramms<br />

herungsformel (7.13) in eine Gestalt gebracht werden, welche für die kommenden<br />

Diskussionen besser geeignet ist. Man erhält<br />

√ [<br />

( 2<br />

a MSSM<br />

y µ<br />

µ ≈<br />

m<br />

32π 2 µ M<br />

g W sgn(M 2 ) g2<br />

2 1 µ<br />

2<br />

ˆK W , M 2 )<br />

2<br />

2 µ |M 2 |<br />

+ g 2 1<br />

− 2 g 2 1<br />

+ 2 g 2 1<br />

m 2 L<br />

m 2 L<br />

)<br />

(<br />

1 µ<br />

2<br />

ˆKN , M 1<br />

2<br />

µ M 1 m 2 L m 2 L<br />

(<br />

1 µ<br />

2<br />

ˆKN , M 1<br />

2<br />

µ M 1 m 2 R m 2 R<br />

µ M 1<br />

m 2 L m 2 R<br />

[<br />

≈ y µ sgn(M 2 ) 2,483 · 10 −8 (1000 GeV) 2<br />

µ |M 2 |<br />

( m<br />

2<br />

ˆK L<br />

N , m2 R<br />

M1<br />

2 M1<br />

2<br />

)<br />

) ]<br />

( µ<br />

2<br />

ˆK W , M 2<br />

2 )<br />

m 2 L<br />

+ 0,712 · 10 −8 (1000 GeV) 2<br />

µ M 1<br />

ˆKN<br />

( µ<br />

2<br />

m 2 L<br />

− 1,425 · 10 −8 (1000 GeV) 2<br />

µ M 1<br />

ˆKN<br />

( µ<br />

2<br />

+ 1,425 · 10 −8 µ M 1 (1000 GeV) 2<br />

m 2 L m 2 R<br />

m 2 R<br />

m 2 L<br />

)<br />

, M 2 1<br />

m 2 L<br />

, M 2 1<br />

)<br />

m 2 R<br />

) ]<br />

( m<br />

2<br />

ˆK L<br />

N , m2 R<br />

M1<br />

2 M1<br />

2<br />

, (7.26)<br />

wobei, wie schon bei der Selbstenergie, nach dem zweiten Approx<strong>im</strong>ationszeichen die<br />

bekannten Standardmodellparameter eingesetzt wurden. Dieses Ergebnis entspricht<br />

55


7 Näherung der Ergebnisse<br />

dem aus Referenz [55], wenn man den Übergang zu einem unendlichen tan β mithilfe<br />

der Beziehung (4.5) verwirklicht. Durch die Abhängigkeiten von den MSSM-Größen<br />

verringert sich der Betrag eines Anteils fast <strong>im</strong>mer, wenn man einen Parameter erhöht<br />

und die restlichen konstant hält. Eine Ausnahme in dieser Hinsicht bildet aber die<br />

lineare µ-Abhängigkeit <strong>des</strong> vierten Anteils.<br />

Unter der Annahme, dass alle relevanten MSSM-Massenparameter denselben Betrag<br />

M S besitzen, lässt sich ein zu Formel (5.12) analoges Ergebnis für den Fall<br />

tan β = ∞ ableiten. Die Yukawa-Kopplung <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> taucht nach der Näherung nur<br />

noch linear in der Selbstenergie (7.12) auf und kann daher mithilfe der Massenerzeugungsvorschrift<br />

(6.60) direkt best<strong>im</strong>mt werden. Man erhält<br />

y µ ≈ √ 2 · 32π 2 g 2<br />

g 2 1 − sgn(M 2 ) 3 g 2 2<br />

m µ<br />

M W<br />

, (7.27)<br />

wobei ein Faktor 2 von Î(1, 1) = 1/2 stammt. Dieses Zwischenresultat kann in<br />

Gleichung (7.26) eingesetzt werden und führt zusammen mit den Spezialfällen<br />

ˆK N (1, 1) = 1/6 und ˆK W (1, 1) = 5/6 zu<br />

a MSSM<br />

µ ≈ 1 3<br />

≈<br />

m 2 µ<br />

M 2 S<br />

(1000 GeV)2<br />

M 2 S<br />

g1 2 + sgn(M 2 ) 5 g2<br />

2<br />

g1 2 − sgn(M 2 ) 3 g2<br />

2<br />

⎧<br />

⎨−7,25 · 10 −9 für M 2 > 0<br />

⎩−5,34 · 10 −9 für M 2 < 0 .<br />

(7.28)<br />

Im “natürlichen” Fall identischer Superteilchenmassen besitzt der MSSM-Beitrag zum<br />

<strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> für tan β = ∞ also unabhängig davon,<br />

ob M 2 positiv oder negativ gewählt wird, das falsche Vorzeichen <strong>im</strong> Hinblick auf<br />

die Erklärbarkeit der Diskrepanz (5.10). Dieses Verhalten ist dadurch bedingt, dass<br />

sowohl in der Selbstenergie (7.12) als auch <strong>im</strong> <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> (7.26)<br />

der jeweils erste Anteil stark dominiert, und steht <strong>im</strong> Gegensatz zu Gleichung (5.12)<br />

für endliches tan β, wo das Vorzeichen von a MSSM<br />

µ direkt durch das von µ und M 2<br />

beeinflusst werden kann. Bei der Auswertung in Kapitel 8 wird untersucht, wie <strong>im</strong><br />

Szenario tan β = ∞ durch geeignete Unterschiede zwischen den Beträgen der MSSM-<br />

Parameter ein positives Vorzeichen von a MSSM<br />

µ erreichbar ist.<br />

7.4 Darstellung mit<br />

Wechselwirkungseigenzuständen<br />

In der vorgenommenen Näherung (7.1) entsprechen die Masseneigenzustände der Superteilchen<br />

den Wechselwirkungseigenzuständen, was anhand der Gleichungen (7.2)<br />

bis (7.4) ersichtlich ist. Daher besteht die Möglichkeit, so wie in Referenz [54]<br />

die Feynman-Diagramme, die zur Selbstenergie und zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> beitragen, mithilfe dieser Wechselwirkungseigenzustände<br />

anzugeben. In Tabelle 7.2 sind die verschiedenen Diagramme zu sehen, welche die<br />

56


7.4 Darstellung mit Wechselwirkungseigenzuständen<br />

Tabelle 7.2: Anteile von Σ MSSM<br />

µ und a MSSM<br />

µ mit den zugehörigen Feynman-<br />

Diagrammen in Wechselwirkungseigenzuständen. Die Zeilennummer bezieht sich<br />

auf die zugehörige Position in den Formeln (7.5), (7.12), (7.13) sowie (7.26). In<br />

den Diagrammen für das <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> koppelt jeweils zusätzlich<br />

ein äußeres Photon an eines der geladenen Teilchen in der Schleife.<br />

Zeilennr. Bezeichnung Feynman-Diagramm(e)<br />

˜W −<br />

˜H− u<br />

˜W −<br />

˜H− d<br />

1 HW-Anteil<br />

µ − L µ − R<br />

˜ν µ<br />

˜W 0 ˜H0 u<br />

˜H0 d<br />

˜W 0<br />

µ − L µ − R<br />

˜µ − L<br />

˜B 0 ˜H0 u<br />

˜H0 d<br />

2 HBL-Anteil<br />

˜B 0<br />

µ − L µ − R<br />

˜µ − L<br />

˜H 0 u<br />

˜B 0<br />

3 HBR-Anteil<br />

˜H 0 d<br />

˜B0<br />

µ − L µ − R<br />

˜µ − R<br />

4 BLR-Anteil<br />

˜B 0<br />

˜B 0<br />

µ − L µ − R<br />

˜µ − L<br />

˜µ − R<br />

57


7 Näherung der Ergebnisse<br />

einzelnen Anteile aus den Gleichungen (7.5), (7.12), (7.13) und (7.26) erzeugen.<br />

Hierbei werden Higgsinos, Winos sowie das Bino anders als in Kapitel 3 mit ˜H u/d , ˜W<br />

sowie ˜B bezeichnet und die Ladung der Teilchen ist jeweils durch ein hochgestelltes<br />

Symbol kenntlich gemacht. Die Bezeichnungen der unterschiedlichen Anteile basieren<br />

auf den Superteilchen, die in den Schleifen der zugehörigen Feynman-Diagramme<br />

und somit in den Schleifenfunktionen auftauchen. Im HW-Anteil ist einerseits der<br />

Charginobeitrag und andererseits der Teil <strong>des</strong> Neutralinobeitrags enthalten, in <strong>des</strong>sen<br />

Diagramm Winos auftreten.<br />

Aus den verschiedenen Vertizes der Feynman-Diagramme in Tabelle 7.2 lässt sich<br />

direkt die Proportionalität zu den MSSM-Parametern ableiten. Die Dreiervertizes<br />

mit einem Higgsino, Wino bzw. Bino bringen gemäß der jeweiligen Kopplung in<br />

der Lagrange-Dichte einen Faktor y µ , g 2 bzw. g 1 mit sich. Weiterhin folgen die<br />

Faktoren der Zweiervertizes, bei denen ein Übergang zwischen zwei Superteilchen<br />

stattfindet, unmittelbar aus den Massenmatrizen (4.8), (4.10) sowie (4.13) und sind<br />

in Tabelle 7.3 aufgelistet. Wegen cos β = 0 gibt es keinen Übergang zwischen einem<br />

down-artigen Higgsino und einem Wino oder Bino. Der notwendige Chiralitätsflip<br />

erfolgt an den Vertizes, die proportional zu y µ sind, und die Übergänge zwischen zwei<br />

identischen Teilchen werden benötigt, um eine gerade Anzahl von γ-Matrizen entlang<br />

der Fermionlinien und somit ein Nicht-Verschwinden der Feynman-Diagramme<br />

sicherzustellen.<br />

Tabelle 7.3: Faktoren der Zweiervertizes für Wechselwirkungseigenzustände<br />

Übergang<br />

Vertexfaktor<br />

˜µ − L − ˜µ − R y µ µ M W /g 2<br />

˜W − ˜W M 2<br />

˜H u − ˜H d µ<br />

˜B − ˜B M 1<br />

˜H − u − ˜W −<br />

˜H 0 u − ˜W 0<br />

M W<br />

M Z c W = M W<br />

˜H 0 u − ˜B 0 M Z s W = M W g 1 /g 2<br />

58


8 Auswertung<br />

In diesem Kapitel sollen diejenigen Parameterbereiche <strong>des</strong> MSSM für tan β = ∞<br />

identifiziert werden, in denen die zusätzlichen Beiträge (6.58) zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> die Diskrepanz (5.10) erklären können. Von Interesse ist die<br />

Frage, ob dabei auch größere Superteilchenmassen als <strong>im</strong> MSSM mit endlichem tan β<br />

möglich sind. Bei der Diskussion helfen die <strong>im</strong> vorhergehenden Kapitel gewonnenen<br />

Näherungsformeln. Konkrete Zahlenwerte und Diagramme basieren aber, sofern nicht<br />

explizit anders angegeben, auf den kompletten Resultaten aus Kapitel 6. Wie bereits<br />

zuvor seien alle Massenparameter reell gewählt und bis auf M 2 positiv. Zunächst<br />

finden einige Vorbetrachtungen statt, die für Erleichterungen bzw. Einschränkungen<br />

bei den anschließenden Untersuchungen sorgen.<br />

8.1 Vorbetrachtungen<br />

Im Folgenden wird zunächst das Verhalten der MSSM-Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> unter Umskalierung der Massenparameter untersucht.<br />

Danach erfolgt die Betrachtung zweier wichtiger Forderungen, die man aus physikalischen<br />

Gründen an die Lepton-Yukawa-Kopplungen stellen muss. Abschließend werden<br />

daraus Ungleichungen für den Tauonsektor geschlussfolgert.<br />

8.1.1 Skalierungsverhalten der Ergebnisse<br />

In diesem Abschnitt steht die Transformation <strong>im</strong> Fokus, bei der alle fünf Massenparameter<br />

µ, M 1 , M 2 , m L und m R durch einen gemeinsamen Faktor k umskaliert werden.<br />

Unter der Näherung (7.1) folgt für die Abhängigkeit der Myon-Yukawa-Kopplung<br />

y µ (k µ, k M 1 , k M 2 , k m L , k m R ) ≈ y µ (µ, M 1 , M 2 , m L , m R ) , (8.1)<br />

weil in der Selbstenergie (7.12) nur Verhältnisse der Parameter auftreten und y µ daraus<br />

mithilfe von Gleichung (6.60) best<strong>im</strong>mt wird. Durch Einsetzen dieser Beziehung<br />

in Formel (7.26) erhält man<br />

a MSSM<br />

µ (k µ, k M 1 , k M 2 , k m L , k m R ) ≈ 1 k 2 aMSSM µ (µ, M 1 , M 2 , m L , m R ) . (8.2)<br />

Bei gleichzeitiger Vergrößerung aller Superteilchenmassen verkleinert sich der MSSM-<br />

Beitrag zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> also um den Faktor 1/k 2 ,<br />

was analog zu dem Fall ist, in dem alle Massenparameter denselben Betrag besitzen<br />

(siehe Gleichung (7.28) für unendliches bzw. (5.12) für endliches tan β). Dieses<br />

59


8 Auswertung<br />

Verhalten bestätigt sich auch bei Verwendung der exakten Formeln aus Kapitel 6<br />

mit einer sehr hohen Genauigkeit. Als Konsequenz daraus kann <strong>im</strong> Prinzip jeder<br />

Parameterpunkt, der bereits das richtige, positive Vorzeichen liefert, so umskaliert<br />

werden, dass a MSSM<br />

µ ≈ 3 · 10 −9 gilt und somit die Diskrepanz (5.10) auflösbar ist. Bei<br />

der Untersuchung der verschiedenen Parameterregionen genügt es daher teilweise,<br />

wenn ein positives Vorzeichen von a MSSM<br />

µ erreicht wird.<br />

8.1.2 Forderungen an die Yukawa-Kopplungen der Leptonen<br />

Vermeidung tachyonischer Sleptonen<br />

Die Formel (4.9) für die Quadrate der Smyonmassen lässt sich durch Anpassung<br />

der Yukawa-Kopplung und der sanften Brechungsparameter direkt auf Selektronen<br />

und Stauonen übertragen. Es fällt auf, dass jenes Massenquadrat, bei dem die Wurzel<br />

subtrahiert wird, für eine zu große Yukawa-Kopplung auch negative Werte annehmen<br />

kann. Dies würde zu einem unphysikalischen, tachyonischen Slepton führen und<br />

muss daher ausgeschlossen werden. Aus der Forderung nach positiven Quadraten<br />

der Smyonmassen lässt sich die Bedingung<br />

y 2 µ <<br />

g 2 2<br />

2 µ 2 M 2 W<br />

(<br />

( 1 (m<br />

m 2 L + MZ W)) 2<br />

2 − )<br />

s2 2<br />

R + MZ 2 s 2 W<br />

(8.3)<br />

für die Yukawa-Kopplung <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> ableiten, die analog auch für das Elektron und<br />

das Tauon gilt. Mit der bekannten Näherung M Z ≪ m L , m R und den konkreten<br />

Zahlenwerten von g 2 und M W folgt<br />

|y µ | <<br />

m L m R<br />

(174,1 GeV) µ . (8.4)<br />

Perturbativität der Yukawa-Kopplungen<br />

Bereits <strong>im</strong> MSSM mit hohem aber endlichem tan β treten <strong>im</strong> Vergleich zum Standardmodell<br />

deutlich größere Yukawa-Kopplungen bei den geladenen Leptonen sowie<br />

down-artigen Quarks auf [2] und es wird sich zeigen, dass dies auch <strong>im</strong> Szenario<br />

tan β = ∞ der Fall ist. Um eine Konvergenz der Störungstheorie prinzipiell zu ermöglichen,<br />

muss gefordert werden, dass die Yukawa-Kopplungen perturbativ bleiben,<br />

also betragsmäßig kleiner sind als √ 4 π ≈ 3,54.<br />

Folgerungen für die Yukawa-Kopplung <strong>des</strong> Tauons<br />

Die physikalische Polmasse<br />

m τ = 1776,82 ± 0,16 MeV (8.5)<br />

<strong>des</strong> Tauons [19] muss für tan β = ∞ analog zu der <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> komplett durch<br />

seine Selbstenergie erzeugt werden. Dabei gelten dieselben Formeln (6.44), (6.60)<br />

und (7.12), in denen lediglich eine Ersetzung der myonspezifische Größen durch<br />

die entsprechenden tauonspezifischen erfolgt. Die sanften Brechungsparameter der<br />

Stauonen seien insbesondere mit m L,τ und m R,τ bezeichnet. In der Näherungsformel<br />

60


8.1 Vorbetrachtungen<br />

für die Selbstenergie taucht die Yukawa-Kopplung y τ nur noch linear auf und lässt<br />

sich demnach durch einfache Umformung best<strong>im</strong>men mit dem Ergebnis<br />

y τ ≈<br />

[<br />

− sgn(M 2 ) 0,397 Î<br />

− 0,076 Î<br />

( µ<br />

, |M )<br />

( )<br />

2|<br />

µ<br />

+ 0,038<br />

m L,τ m Î M<br />

, 1<br />

L,τ m L,τ m L,τ<br />

( µ<br />

m R,τ<br />

,<br />

)<br />

M 1<br />

+ 0,076<br />

m R,τ<br />

µ<br />

m L,τ<br />

Î<br />

(<br />

M1<br />

m R,τ<br />

, m L,τ<br />

m R,τ<br />

) ] −1<br />

.<br />

(8.6)<br />

Für den Fall M 2 < 0 wird schnell klar, dass die Yukawa-Kopplung <strong>des</strong> Tauons nur<br />

positiv sein kann. Ansonsten würde wegen <strong>des</strong> Wertebereichs (7.8) der Schleifenfunktion<br />

Î die Ungleichung y τ < −13 gelten, d. h. y τ wäre nicht-perturbativ. Mit dieser<br />

Erkenntnis führt die Ungleichung (8.4) zu<br />

0 < 0,397 Î<br />

( µ<br />

, |M )<br />

(<br />

2|<br />

µ<br />

+ 0,038<br />

m L,τ m Î ,<br />

L,τ m L,τ<br />

+ µ<br />

m L,τ<br />

[<br />

0,076 Î<br />

)<br />

M 1<br />

m L,τ<br />

− 0,076 Î<br />

( ) µ M<br />

, 1<br />

m R,τ m R,τ<br />

(<br />

M1<br />

, m )<br />

]<br />

L,τ 174,1 GeV<br />

− .<br />

m R,τ m R,τ m R,τ<br />

Außerdem lässt sich aus der Forderung nach Perturbativität von y τ die Bedingung<br />

( µ<br />

0 < 1,407 Î , |M )<br />

( )<br />

2|<br />

µ<br />

+ 0,134<br />

m L,τ m Î M<br />

, 1<br />

− 0,269<br />

L,τ m L,τ m Î<br />

L,τ<br />

+ 0,269<br />

µ<br />

m L,τ<br />

Î<br />

( ) µ M<br />

, 1<br />

m R,τ m R,τ<br />

(<br />

M1<br />

, m )<br />

L,τ<br />

− 1<br />

m R,τ m R,τ<br />

(8.7)<br />

(8.8)<br />

ableiten. Für deren Erfüllung ist es vorteilhaft, wenn µ und |M 2 | große Werte<br />

gegenüber m L,τ annehmen, weil dann der HW- und der BLR-Anteil zusammen die<br />

negativen Terme ausgleichen können.<br />

Im Fall M 2 > 0 könnte man zunächst vermuten, dass für y τ sowohl positive als<br />

auch negative Werte möglich sind. Unter der Annahme eines positiven Vorzeichens<br />

gelten zwei Bedingungen, die sich von den Ungleichungen (8.7) und (8.8) nur darin<br />

unterscheiden, dass der HW-Anteil, also derjenige mit M 2 in der Schleifenfunktion,<br />

jeweils mit (−1) multipliziert ist. Dann sollte die eckige Klammer in der oberen<br />

Beziehung positiv sein, woraus für m R,τ und aus Symmetriegründen auch für m L,τ eine<br />

Untergrenze von etwa 2300 GeV folgt. Um außerdem die zweite Bedingung erfüllen zu<br />

können, müsste man µ noch deutlich größer als m L,τ wählen und weiterhin die anderen<br />

Parameter gezielt abst<strong>im</strong>men. Da ein solches Parameterszenario “unnatürlich” wäre,<br />

kann dieser Fall ausgeschlossen werden. Daher gilt für ein positives M 2 stets y τ < 0,<br />

womit sich die Bedingung<br />

0 < 0,397 Î<br />

( )<br />

( µ M<br />

, 2<br />

µ<br />

− 0,038<br />

m L,τ m Î ,<br />

L,τ m L,τ<br />

− µ<br />

m L,τ<br />

[<br />

0,076 Î<br />

)<br />

M 1<br />

m L,τ<br />

+ 0,076 Î<br />

( ) µ M<br />

, 1<br />

m R,τ m R,τ<br />

(<br />

M1<br />

, m )<br />

] (8.9)<br />

L,τ 174,1 GeV<br />

+<br />

m R,τ m R,τ m R,τ<br />

61


8 Auswertung<br />

aus der Forderung nach nicht-tachyonischen Stauonen herleiten lässt. Um die Yukawa-<br />

Kopplung <strong>des</strong> Tauons perturbativ zu halten, muss außerdem die Ungleichung<br />

0 < 1,407 Î<br />

( µ<br />

m L,τ<br />

,<br />

)<br />

(<br />

M 2<br />

µ<br />

− 0,134<br />

m Î ,<br />

L,τ m L,τ<br />

− 0,269<br />

)<br />

M 1<br />

m L,τ<br />

µ<br />

m L,τ<br />

( ) µ M<br />

, 1<br />

m R,τ m R,τ<br />

(<br />

M1<br />

, m )<br />

L,τ<br />

− 1<br />

m R,τ m R,τ<br />

+ 0,269 Î<br />

Î<br />

(8.10)<br />

gelten. Diese erfordert einerseits, dass µ und M 2 groß gegenüber m L,τ sind, damit<br />

der positive HW-Anteil überwiegen kann, und andererseits ein großes m R,τ , um den<br />

negativen BLR-Anteil zu unterdrücken.<br />

Die aus den beiden Forderungen nach nicht-tachyonischen Stauonen und einer<br />

perturbativen Tauon-Yukawa-Kopplung abgeleiteten Bedingungen in Form von Ungleichungen<br />

sorgen bei der kommenden Untersuchung der verschiedenen Parameterbereiche<br />

für wertvolle Einschränkungen. <strong>Das</strong>s die dritte Leptongeneration dazu am<br />

besten geeignet ist, liegt an der sehr hohen Tauonmasse <strong>im</strong> Vergleich zu der <strong>des</strong> <strong>Myons</strong><br />

bzw. Elektrons. Diese sorgt wegen y τ ∝ m τ <strong>im</strong> Allgemeinen für höhere Yukawa-<br />

Kopplungen und somit für größere Probleme bei der Vermeidung von Tachyonen und<br />

der Sicherung der Perturbativität.<br />

8.2 Untersuchung der möglichen<br />

Parameterszenarien<br />

Bei der Erforschung der verschiedenen Parameterbereiche wird systematisch vorgegangen,<br />

um alle Möglichkeiten für die Erzeugung <strong>des</strong> benötigten a MSSM<br />

µ ≈ 3 · 10 −9<br />

zu erkennen und somit die Vollständigkeit der Betrachtungen zu gewährleisten.<br />

Mit den Symmetrieüberlegungen aus Abschnitt 6.4 ist bei Beschränkung auf reelle<br />

Parameter klar, dass µ, M 1 , m L und m R ohne Einschränkung der Allgemeinheit positiv<br />

gewählt werden können. Zwei verschiedenartige Klassen von Parameterszenarien<br />

unterscheiden sich darin, ob M 2 positive oder negative Werte ann<strong>im</strong>mt. Außerdem<br />

spielt das Vorzeichen der Myon-Yukawa-Kopplung eine wichtige Rolle. Diese beiden<br />

Kriterien dienen zur Differenzierung zwischen den vier möglichen Fällen, die in<br />

Tabelle 8.1 benannt und <strong>im</strong> Folgenden anhand der Näherungsformeln (7.12) und<br />

(7.26) untersucht werden.<br />

Tabelle 8.1: Einführung der vier zu untersuchenden Parameterszenarien<br />

y µ > 0 y µ < 0<br />

M 2 < 0 Szenario 1 Szenario 2<br />

M 2 > 0 Szenario 4 Szenario 3<br />

62


8.2 Untersuchung der möglichen Parameterszenarien<br />

8.2.1 Szenario 1<br />

Als Folge von M 2 < 0 besitzen in der Selbstenergie sowohl der HW- als auch der<br />

HBL- und der BLR-Anteil ein negatives Vorzeichen. Da Ersterer zudem durch den<br />

größten Zahlenwert in der Regel dominiert, kann für die Yukawa-Kopplung, welche<br />

man mithilfe von Gleichung (6.60) best<strong>im</strong>mt, ohne Probleme y µ > 0 erreicht werden.<br />

Die Untersuchung <strong>des</strong> Parameterszenarios 1 konzentriert sich daher zunächst auf die<br />

Frage, wie sich für den MSSM-Beitrag (7.26) zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong><br />

<strong>des</strong> <strong>Myons</strong> ein positives Vorzeichen einrichten lässt. Dazu muss der HBL- oder der<br />

BLR-Anteil dominant werden, weil nur diese beiden positiv sind.<br />

Dominanz <strong>des</strong> HBL-Anteils<br />

Der HBR-Beitrag zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> unterscheidet sich vom HBL-<br />

Anteil lediglich darin, dass er einen zusätzlichen Faktor (−2) besitzt und dass in<br />

der Funktion ˆK N der Parameter m R statt m L steht. Also ist <strong>des</strong>sen Unterdrückung<br />

mit der Schleifenfunktion über die Bedingung m R ≫ m L notwendig, wenn man<br />

eine Dominanz <strong>des</strong> HBL-Anteils erreichen will. Außerdem darf der HW-Anteil nur<br />

geringfügig beitragen, was mithilfe der Forderung |M 2 | ≫ M 1 sichergestellt werden<br />

kann. Ob diese beiden starken Voraussetzungen ausreichen und der HBL-Anteil<br />

alleine dazu in der Lage ist, ein genügend großes a MSSM<br />

µ zu erzeugen, wird mit<br />

einem Parameterscan untersucht. Dabei erfolgt eine Festsetzung von m R auf den<br />

Wert 10 9 GeV, der eigentlich unphysikalisch ist, aber den gewünschten Extremfall<br />

bewerkstelligt, dass der ebenfalls positive BLR-Anteil überhaupt nicht beiträgt. Dies<br />

hat außerdem den vorteilhaften Nebeneffekt, dass auch der negative HBR-Anteil<br />

verschwindet. Da kleine Werte von m L den HBL-Anteil begünstigen, wird dieser<br />

Parameter auf 200 GeV festgelegt. Die Größen M 1 sowie M 2 werden zwischen 200 und<br />

1000 GeV sowie −10 000 und −1000 GeV variiert, wodurch die Bedingung M 1 < M 2<br />

bereits erfüllt wird. Außerdem erfolgt eine Vernachlässigung der Parameterpunkte<br />

mit einem tachyonischen Stauon oder einer nicht-perturbativen Tauon-Yukawa-<br />

Kopplung.<br />

Die mit dem beschriebenen Parameterscan gewonnenen, max<strong>im</strong>al erreichbaren<br />

Werte von a MSSM<br />

µ sind in Abbildung 8.1 gegen µ aufgetragen. Aus den Ergebnissen<br />

ist abzuleiten, dass der HBL-Anteil praktisch nie die Diskrepanz (5.10) erklären<br />

kann, da a MSSM<br />

µ <strong>im</strong> besten Fall den Wert 1 · 10 −9 nur geringfügig überschreitet. Die<br />

Ursache dafür wird deutlich, wenn man die Parameter M 2 betrachtet, bei denen<br />

für ein best<strong>im</strong>mtes µ der Beitrag zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> jeweils das<br />

in Abbildung 8.1 eingezeichnete Max<strong>im</strong>um erreicht. Obwohl ein möglichst hoher<br />

Betrag von M 2 für eine effektive Unterdrückung <strong>des</strong> negativen HW-Anteils erwünscht<br />

wäre, gilt stets |M 2 |/µ ≈ 5. Dies ist mit den beiden Einschränkungen aus dem<br />

Tauonsektor erklärbar. Die geforderten Ungleichungen (8.7) und (8.8) lassen sich nur<br />

dann gleichzeitig erfüllen, wenn der jeweils erste Term, der vom HW-Anteil stammt, in<br />

ausreichendem Maße beiträgt. Dafür ist es notwendig, dass zwischen |M 2 | und µ keine<br />

zu große Aufspaltung besteht. Es gibt also unphysikalische Parameterpunkte, für die<br />

der HBL-Anteil ein a MSSM<br />

µ von ungefähr 3 · 10 −9 erzeugen kann, diese müssen aber<br />

wegen eines tachyonischen Stauons oder einer nicht-perturbativen Tauon-Yukawa-<br />

63


8 Auswertung<br />

Abbildung 8.1: Max<strong>im</strong>ale Werte von a MSSM<br />

µ in Abhängigkeit von µ bei kompletter<br />

Unterdrückung <strong>des</strong> BLR- und HBR-Anteils durch m R = 10 9 GeV, Festsetzung<br />

von m L auf 200 GeV und Variation der Parameter M 1 sowie M 2 in den Intervallen<br />

(200 GeV, 1000 GeV) sowie (−10 000 GeV, −1000 GeV). Parameterpunkte<br />

mit einem tachyonischen Stauon oder einer nicht-perturbativen Tauon-Yukawa-<br />

Kopplung wurden verworfen, da sie unphysikalisch sind.<br />

Kopplung ausgeschlossen werden. Wenn µ kleiner als 500 GeV bzw. größer als<br />

2000 GeV ist, kann der Anteil nicht dominieren bzw. wird vom Betrag her generell<br />

zu klein, um die Abweichung (5.10) zu erklären.<br />

HBL- und BLR-Beitrag von vergleichbarer Größe<br />

Nachdem festgestellt wurde, dass der HBL-Anteil in Gleichung (7.26) unter den<br />

Randbedingungen aus dem Tauonsektor alleine nicht dazu in der Lage ist, ein<br />

a MSSM<br />

µ von etwa 3 · 10 −9 zu erzeugen, besteht <strong>im</strong>mer noch die Möglichkeit, dass der<br />

positive BLR-Anteil ebenfalls signifikant beiträgt. In diesem Fall sollten weiterhin<br />

die Hierarchien |M 2 | ≫ M 1 und m R ≫ m L gelten, damit einerseits der HW- und<br />

andererseits der HBR- gegenüber dem HBL-Anteil unterdrückt wird. Zusammen<br />

mit der bereits begründeten Forderung nach einem nicht zu kleinen µ lässt sich<br />

exemplarisch der Parameterpunkt<br />

P1a :<br />

(µ, M 1 , M 2 , m L , m R ) = (2000, 200, −8000, 200, 2000) GeV<br />

(8.11)<br />

mit y µ (P1a) ≈ 0,18 , a MSSM<br />

µ (P1a) ≈ 2,82 · 10 −9<br />

finden, welcher für die Erklärung der Diskrepanz (5.10) geeignet ist.<br />

Die zugehörigen Einschränkungen aus dem Tauonsektor sind in Abbildung 8.2 in<br />

der Parameterebene der beiden sanften Brechungsparameter der Stauonen veranschaulicht.<br />

Um ein tachyonisches Stauon, das in der dunkelgrauen Region auftritt,<br />

zu verhindern, dürfen m L,τ und m R,τ nicht gleichzeitig zu niedrig sein, damit der<br />

negative, an letzter Stelle stehende Term nicht die Erfüllung der Ungleichung (8.7)<br />

verhindert. Für die Perturbativität der Tauon-Yukawa-Kopplung, die in der hellgrauen<br />

Region verletzt wird, ist hingegen ein kleines m L,τ vorteilhaft, da dieses die<br />

64


8.2 Untersuchung der möglichen Parameterszenarien<br />

Abbildung 8.2: Darstellung <strong>im</strong> Rahmen der Tauon-Yukawa-Kopplung für<br />

(µ, M 1 , M 2 ) = (2000, 200, −8000) GeV mit den sanften Brechungsparametern<br />

m L,τ und m R,τ der Stauonen. Die dunkelgraue Region ist wegen eines tachyonischen<br />

Stauons und die hellgraue wegen der Nicht-Perturbativität von y τ ausgeschlossen.<br />

erwünschte Dominanz <strong>des</strong> HW- und BLR-Anteils in der Bedingung (8.8) sicherstellt.<br />

Nach Kombination der beiden Forderungen verbleibt die weiße Region als möglicher<br />

Bereich. Es sei erwähnt, dass hier y τ nur geringfügig unter 3,2 gesenkt werden kann<br />

und somit <strong>im</strong>mer noch sehr hohe Werte ann<strong>im</strong>mt.<br />

Der Verlauf der einzelnen Beiträge zu a MSSM<br />

µ und <strong>des</strong> Gesamtwerts ist in Abbildung<br />

8.3 für die Fälle dargestellt, bei denen ausgehend vom Parameterpunkt P1a<br />

der Wert von M 1 oder m L erhöht wird. Hierbei sind die beiden negativen Terme zu<br />

einem gemeinsamen Beitrag kombiniert, in dem der HW-Anteil deutlich überwiegt.<br />

Zunächst fällt auf, dass der BLR-Anteil meist etwa doppelt so groß ist wie der HBL-<br />

Abbildung 8.3: Verlauf der verschiedenen Anteile und <strong>des</strong> gesamten a MSSM<br />

µ bei<br />

Erhöhung <strong>des</strong> Parameters M 1 (links) bzw. m L (rechts) ausgehend von P1a<br />

65


8 Auswertung<br />

Anteil. Mit steigendem M 1 bzw. m L sinken diese beiden Beiträge. Dies hat auch ein<br />

Abfallen <strong>des</strong> gesamten a MSSM<br />

µ zur Folge, welches jeweils ab einer best<strong>im</strong>mten Grenze<br />

negativ wird, da sich der HW-Anteil mit wachsendem M 1 oder m L nur geringfügig<br />

verändert. In letzterem Fall steigt er betragsmäßig sogar leicht, was an einer sich<br />

vergrößernden Yukawa-Kopplung y µ liegt.<br />

In Abbildung 8.4 ist nachzuvollziehen, wie sich der Beitrag a MSSM<br />

µ zum <strong>anomale</strong>n<br />

<strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> und <strong>des</strong>sen einzelne Anteile verändern, wenn man<br />

alle Parameter so wie bei P1a wählt und lediglich µ variiert. Es fällt auf, dass<br />

der Betrag <strong>des</strong> HBL- und <strong>des</strong> kombinierten HW-HBR-Anteils mit steigendem µ<br />

sinkt. Im Gegensatz dazu wächst der BLR-Anteil wegen der linearen Abhängigkeit<br />

in Gleichung (7.26) zusammen mit µ und übersteigt ab einem gewissen Punkt den<br />

HBL-Beitrag. Durch die gegenläufige Entwicklung der beiden positiven Anteile liegt<br />

a MSSM<br />

µ für weite Teile <strong>des</strong> Diagramms in der gewünschten Region von etwa 3 · 10 −9 .<br />

Im grau unterlegten Bereich, wo der HBL-Anteil stark beiträgt, tritt das zuvor bereits<br />

geschilderte Problem auf, dass wegen <strong>des</strong> zu großen Unterschieds zwischen |M 2 | und<br />

einem kleinen µ die Ungleichungen (8.7) und (8.8) nicht s<strong>im</strong>ultan erfüllbar sind. Es<br />

lässt sich also ein tachyonisches Stauon oder eine nicht-perturbative Tauon-Yukawa-<br />

Kopplung nicht vermeiden, weshalb diese Parameterregion ausgeschlossen werden<br />

kann. Abbildung 8.4 liefert <strong>im</strong> Bereich großer µ-Werte bereits einen Ausblick auf<br />

das Parameterszenario, welches von einem dominanten BLR-Anteil geprägt und <strong>im</strong><br />

Folgenden betrachtet wird.<br />

Abbildung 8.4: Verlauf der verschiedenen Anteile und <strong>des</strong> gesamten a MSSM<br />

µ bei<br />

Variation <strong>des</strong> Parameters µ ausgehend vom Parameterpunkt P1a. In der grau<br />

gekennzeichneten Region µ < 1520 GeV sind nicht-tachyonische Stauonen und<br />

eine perturbative Tauon-Yukawa-Kopplung nicht gleichzeitig möglich.<br />

Dominanz <strong>des</strong> BLR-Anteils<br />

Der BLR-Beitrag zu a MSSM<br />

µ n<strong>im</strong>mt eine Sonderstellung ein, weil er als einziger mit<br />

zunehmendem µ wächst, wohingegen alle anderen durch einen großen Higgsino-<br />

Massenparameter unterdrückt werden. Für M 2 < 0 kann man also einen positiven<br />

MSSM-Beitrag zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> erreichen, indem<br />

66


8.2 Untersuchung der möglichen Parameterszenarien<br />

man µ in ausreichendem Maße erhöht und dabei die anderen Parameter konstant<br />

hält. Durch diese Möglichkeit handelt es sich hierbei um das attraktivste Szenario <strong>im</strong><br />

Hinblick auf die Erklärung der Abweichung (5.10), welches <strong>im</strong> vorliegenden Abschnitt<br />

ausführlich untersucht werden soll.<br />

Da die Parameter m L und m R symmetrisch <strong>im</strong> BLR-Anteil von a MSSM<br />

µ auftreten<br />

und somit in ihrem Einfluss nicht unterscheidbar sind, werden diese bei den folgenden<br />

Betrachtungen stets gleichgesetzt. Sie sollten ebenso wie M 1 einen niedrigen Wert <strong>im</strong><br />

Vergleich zu µ besitzen, um die Dominanz <strong>des</strong> BLR-Anteils sicherzustellen. Für den<br />

Betrag von M 2 ist es hingegen sinnvoll, wenn er in der Größenordnung von µ liegt,<br />

weil dann einerseits der negative HW-Anteil stark unterdrückt wird und andererseits<br />

die Einschränkungen (8.7) und (8.8) aus dem Tauonsektor leichter zu erfüllen sind.<br />

Unter diesen Bedingungen lässt sich exemplarisch der Parameterpunkt<br />

P1b :<br />

(µ, M 1 , M 2 , m L , m R ) = (3000, 600, −3000, 600, 600) GeV<br />

(8.12)<br />

mit y µ (P1b) ≈ 0,11 , a MSSM<br />

µ (P1b) ≈ 3,23 · 10 −9<br />

finden. Dieser hat gegenüber P1a den Vorteil, dass die Aufspaltung zwischen den<br />

Parametern und somit auch zwischen den Superteilchenmassen deutlich geringer<br />

ausfällt, was einen “natürlicheren” Eindruck vermittelt. <strong>Das</strong>s eine solche Aufspaltung<br />

überhaupt notwendig ist, wurde bereits mithilfe der Gleichung (7.28) verdeutlicht.<br />

Durch die Wahl µ = |M 2 | verbessert sich die Situation bei den Einschränkungen<br />

aus dem Tauonsektor <strong>im</strong> Vergleich zum Parameterpunkt P1a deutlich, was anhand<br />

einer Gegenüberstellung der Abbildungen 8.5 und 8.2 nachvollzogen werden kann.<br />

Abbildung 8.5: Darstellung <strong>im</strong> Rahmen der Tauon-Yukawa-Kopplung für<br />

(µ, M 1 , M 2 ) = (3000, 600, −3000) GeV mit den sanften Brechungsparametern<br />

m L,τ und m R,τ der Stauonen. Die dunkelgraue Region ist wegen eines tachyonischen<br />

Stauons und die hellgraue wegen der Nicht-Perturbativität von y τ ausgeschlossen.<br />

67


8 Auswertung<br />

Für die Parameterwahl von P1b ist die zulässige, in weiß dargestellte Region sichtbar<br />

vergrößert, wobei auch das erweiterte m L,τ -Intervall beachtet werden sollte. Man kann<br />

die Tauon-Yukawa-Kopplung bis auf etwa 2,2 absenken, sie bleibt aber dennoch sehr<br />

hoch <strong>im</strong> Vergleich zum Standardmodellwert.<br />

Nun soll näher untersucht werden, welche Parameterregionen bei den folgenden<br />

Betrachtungen direkt ausgeschlossen werden können, da für sie nicht gleichzeitig<br />

eine perturbative Tauon-Yukawa-Kopplung und nicht-tachyonische Stauonen möglich<br />

sind. Dazu dienen die rechten Seiten der Ungleichungen (8.7) und (8.8), die <strong>im</strong><br />

physikalischen Fall beide positiv sein müssen. Der Max<strong>im</strong>alwert, den das Min<strong>im</strong>um<br />

dieser zwei Ausdrücke bei Variation von m L,τ und m R,τ annehmen kann, ist in der Abbildung<br />

8.6 als Konturplot in Abhängigkeit von µ und M 1 aufgetragen. Der Parameter<br />

M 2 wurde dabei, wie auch in den folgenden Untersuchungen, konstant auf −3000 GeV<br />

gesetzt. Durch hellere Grautöne sind die erlaubten Regionen gekennzeichnet, in denen<br />

Abbildung 8.6: Konturplot der unter Variation von m L,τ und m R,τ max<strong>im</strong>al<br />

erreichbaren Werte für das Min<strong>im</strong>um aus den beiden rechten Seiten der Ungleichungen<br />

(8.7) und (8.8). Hierbei ist M 2 auf den Wert −3000 GeV festgelegt.<br />

die Ungleichungen beide s<strong>im</strong>ultan erfüllt werden können. Die dunkleren Bereiche hingegen<br />

müssen ausgeschlossen werden, weil bei diesen ein negativer Funktionswert und<br />

somit für alle Kombinationen von m L,τ und m R,τ ein tachyonisches Stauon oder eine<br />

nicht-perturbative Tauon-Yukawa-Kopplung auftreten. Es fällt auf, dass die Grenze<br />

weitgehend unabhängig von M 1 innerhalb eines engen µ-Intervalls verläuft. Durch<br />

die Wahl µ > 500 GeV können <strong>im</strong> Folgenden alle von den Einschränkungen aus dem<br />

Tauonsektor nicht ausgeschlossenen Parameterregionen berücksichtigt werden, ohne<br />

dass ein zu großer Teil der verbotenen Parameterpunkte mit in die Betrachtungen<br />

einfließt.<br />

Die Abbildung 8.7 zeigt, wie sich a MSSM<br />

µ und <strong>des</strong>sen einzelne Anteile verhalten, wenn<br />

man ausgehend von P1b den Wert von µ senkt, während die restlichen Parameter<br />

konstant bleiben. Hierbei wurde die Summe <strong>des</strong> HBL- und HBR-Beitrags gebildet,<br />

68


8.2 Untersuchung der möglichen Parameterszenarien<br />

Abbildung 8.7: Verlauf der verschiedenen Anteile und <strong>des</strong> gesamten a MSSM<br />

µ bei<br />

Senkung <strong>des</strong> Parameters µ ausgehend vom Parameterpunkt P1b am rechten Rand<br />

die für m L = m R dem negativen HBL-Anteil entspricht. Man kann erkennen, dass<br />

bei kleiner werdendem µ wegen der linearen Abhängigkeit auch der BLR-Anteil sinkt,<br />

während die Unterdrückung der anderen Beiträge nachlässt und diese somit betragsmäßig<br />

anwachsen. Dieses Verhalten bringt bei etwa 1050 GeV einen Vorzeichenwechsel<br />

von a MSSM<br />

µ mit sich, da bei kleineren µ-Werten die negativen Anteile überwiegen.<br />

Um den Vorzeichenwechsel <strong>des</strong> MSSM-Beitrags zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong><br />

<strong>des</strong> <strong>Myons</strong> noch näher zu beleuchten, wird <strong>im</strong> Folgenden a MSSM<br />

µ in Abhängigkeit<br />

von jeweils zwei Parametern untersucht, so wie beispielsweise in Abbildung 8.8 für die<br />

Abbildung 8.8: Darstellung von a MSSM<br />

µ in der µ-M 1 -Parameterebene für<br />

M 2 = −3000 GeV und m L = m R . Links: mit m L/R = 600 GeV und den Bereichen<br />

a MSSM<br />

µ < 0 (dunkel), a MSSM<br />

µ > 0 (hell), |a MSSM<br />

µ − 3 · 10 −9 | < 1 · 10 −9 (weiß);<br />

der schwarze Punkt markiert P1b. Rechts: Flächen mit positivem (heller) bzw.<br />

negativem a MSSM<br />

µ für verschiedene Werte von m L/R<br />

69


8 Auswertung<br />

µ-M 1 -Parameterebene unter der Festlegung M 2 = −3000 GeV. <strong>Das</strong> linke Diagramm<br />

kennzeichnet für den Fall m L = m R = 600 GeV diejenige Region dunkelgrau, in der<br />

a MSSM<br />

µ ein negatives Vorzeichen besitzt. Der Vorzeichenwechsel findet ungefähr entlang<br />

der Linie µ = M 1 statt, <strong>im</strong> Bereich M 1 < µ wird der Wert also positiv. Innerhalb<br />

der weißen Region bei kleineren M 1 -Werten liegt a MSSM<br />

µ zwischen 2 · 10 −9 und 4 · 10 −9 ,<br />

womit es die Diskrepanz (5.10) gut erklären kann. <strong>Das</strong> rechte Diagramm zeigt zum<br />

Vergleich die Linien, entlang derer der Vorzeichenwechsel erfolgt, für verschiedene<br />

Werte von m L = m R . Die Region mit einem positiven Vorzeichen von a MSSM<br />

µ , welche<br />

heller dargestellt ist, verlagert sich mit steigenden sanften Brechungsparametern der<br />

Smyonen <strong>im</strong>mer weiter in Richtung kleinerer M 1 - und größerer µ-Werte. Außerdem<br />

sei erwähnt, dass sich der Bereich mit a MSSM<br />

µ > 0 ebenfalls verkleinert, wenn man den<br />

Betrag von M 2 senkt, weil dann der negative HW-Anteil an Bedeutung gewinnt.<br />

Eine analoge Darstellung ist in Abbildung 8.9 für die µ-m L -Parameterebene zu<br />

finden, wobei wie zuvor stets m L = m R erfüllt sein soll. Be<strong>im</strong> linken Diagramm gilt<br />

M 1 = 600 GeV und um dafür ein positives a MSSM<br />

µ zu erreichen, muss µ in etwa 2,5-mal<br />

so groß sein wie m L . Für einen Wert <strong>im</strong> gewünschten Intervall zwischen 2 · 10 −9 und<br />

4 · 10 −9 ist <strong>im</strong> Vergleich dazu ein noch deutlich kleineres m L vonnöten. Im rechten<br />

Diagramm sieht man die Linien <strong>des</strong> Vorzeichenwechsels für unterschiedliche Beträge<br />

von M 1 . Der jeweils heller dargestellte Parameterbereich mit a MSSM<br />

µ > 0 wird in die<br />

Richtung von kleineren m L - und größeren µ-Werten verschoben, wenn M 1 ansteigt.<br />

In die weiße Fläche für M 1 = 4000 GeV ist ein schmaler Streifen mit m L ≈ 200 GeV<br />

nicht einbezogen, da hier eines der Smyonen tachyonisch wird. Ferner verkleinert sich<br />

bei Verringerung <strong>des</strong> Betrags von M 2 durch den Einfluss <strong>des</strong> HW-Anteils wieder der<br />

Bereich mit positivem a MSSM<br />

µ .<br />

Abbildung 8.9: Darstellung von a MSSM<br />

µ in der µ-m L -Parameterebene für<br />

M 2 = −3000 GeV und m L = m R . Links: mit M 1 = 600 GeV und den Bereichen<br />

a MSSM<br />

µ < 0 (dunkel), a MSSM<br />

µ > 0 (hell), |a MSSM<br />

µ − 3 · 10 −9 | < 1 · 10 −9 (weiß);<br />

der schwarze Punkt markiert P1b. Rechts: Flächen mit positivem (heller) bzw.<br />

negativem a MSSM<br />

µ für verschiedene Werte von M 1<br />

70


8.2 Untersuchung der möglichen Parameterszenarien<br />

In den linken Diagrammen der Abbildungen 8.8 und 8.9 ist erkennbar, dass bei<br />

steigendem µ auch ein höheres M 1 bzw. m L = m R unter Fixierung <strong>des</strong> jeweils anderen<br />

Parameters zulässig ist, wenn a MSSM<br />

µ größer als Null sein oder <strong>im</strong> gewünschten Bereich<br />

zwischen 2 · 10 −9 und 4 · 10 −9 liegen soll. Diese Erkenntnis wirft die Frage auf, welches<br />

Verhalten bei gleichzeitiger Variation von M 1 und m L auftritt. Dem wird mithilfe von<br />

Abbildung 8.10 nachgegangen. <strong>Das</strong> linke Diagramm zeigt für µ = 3000 GeV diejenigen<br />

Regionen in der M 1 -m L/R -Parameterebene, für die a MSSM<br />

µ ein negatives oder positives<br />

Vorzeichen besitzt bzw. sich in der Nähe von 3 · 10 −9 befindet. Der Vorzeichenwechsel<br />

findet etwa an der Geraden M 1 = 5000 GeV − 3 m L statt, wobei der Bereich<br />

M 1 < 1000 GeV eine Ausnahme bildet, und die zur Erklärung der Diskrepanz (5.10)<br />

am besten geeignete Region erstreckt sich um die Gerade M 1 = 2000 GeV − 2 m L .<br />

Abbildung 8.10: Darstellung von a MSSM<br />

µ in der M 1 -m L -Parameterebene für<br />

M 2 = −3000 GeV und m L = m R . Links: mit µ = 3000 GeV und den Bereichen<br />

a MSSM<br />

µ < 0 (dunkel), a MSSM<br />

µ > 0 (hell), |a MSSM<br />

µ − 3 · 10 −9 | < 1 · 10 −9 (weiß);<br />

der schwarze Punkt markiert P1b. Rechts: Flächen mit positivem (heller) bzw.<br />

negativem a MSSM<br />

µ für verschiedene Werte von µ<br />

Es wird also deutlich, dass sich bei einer Steigerung von m L der Max<strong>im</strong>alwert für<br />

M 1 verringert, wenn man jeweils in der günstigen Region verbleiben möchte. Im<br />

rechten Diagramm von Abbildung 8.10 sind für verschiedene Werte von µ diejenigen<br />

Linien zu sehen, an denen der Vorzeichenwechsel von a MSSM<br />

µ erfolgt. Mit sinkendem<br />

µ verkleinert sich der Bereich positiven Vorzeichens in Richtung geringerer M 1 - und<br />

m L -Werte, was <strong>im</strong> Prinzip einer Parallelverschiebung der zuvor erwähnten Geraden<br />

entspricht und nebenbei bemerkt auch bei abnehmendem |M 2 | der Fall ist. Für ein<br />

großes M 1 und sehr kleines m L sind in beiden Diagrammen Regionen ausgespart, in<br />

denen jeweils ein tachyonisches Smyon auftritt.<br />

Wie oben bereits diskutiert, kann für a MSSM<br />

µ durch eine ausreichende Erhöhung <strong>des</strong><br />

Higgsino-Massenparameters µ bei gleichzeitiger Fixierung der anderen Größen stets<br />

ein positives Vorzeichen erreicht werden. Allerdings ist es bei zu hohen Superteilchenmassen<br />

nicht mehr möglich, den Betrag so groß zu gestalten, dass er eine Erklärung<br />

71


8 Auswertung<br />

für die Abweichung (5.10) liefert. Es stellt sich also die Frage, wie unter der Forderung<br />

a MSSM<br />

µ ≈ 3 · 10 −9 eine Max<strong>im</strong>ierung der kleinsten Superteilchenmasse erzielt werden<br />

kann. Im Hinblick auf eine möglichst starke Dominanz <strong>des</strong> BLR-Anteils erweist sich<br />

hierfür eine großes Verhältnis zwischen µ und den sanften Brechungsparametern der<br />

Smyonen als nützlich. Außerdem haben die vorherigen Betrachtungen gezeigt, dass<br />

die Forderung M 1 = m L = m R sinnvoll ist, denn eine Aufspaltung zwischen diesen<br />

Parametern würde bedeuten, dass einer kleiner gewählt werden muss als <strong>im</strong> Fall der<br />

Gleichheit. Damit kann man unter Vernachlässigung der drei anderen Anteile und<br />

Zuhilfenahme der Formeln (7.11), (7.12), (7.22) und (7.26) die Beziehungen<br />

√<br />

2<br />

Σ MSSM g1<br />

2 µ<br />

µ ≈ − M<br />

32π 2 g W y µ , (8.13)<br />

2 m<br />

√ L<br />

2<br />

a MSSM g1<br />

2 µ<br />

µ ≈ M<br />

96π 2 g W y µ m<br />

2 m 3 µ (8.14)<br />

L<br />

ableiten. Die Erzeugung (6.60) der Masse <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> über seine Selbstenergie ermöglicht<br />

die Berechnung von y µ und nach Einsetzung folgt<br />

a MSSM<br />

µ ≈ 1 3<br />

m 2 µ<br />

m 2 L<br />

−9 (1000 GeV)2<br />

≈ 3,72 · 10 . (8.15)<br />

m 2 L<br />

Aus dieser Gleichung lässt sich unmittelbar ableiten, dass m L und somit <strong>im</strong> Allgemeinen<br />

der kleinste der relevanten MSSM-Massenparameter nicht größer als 1364 GeV<br />

sein darf, wenn a MSSM<br />

µ einen Wert über 2 · 10 −9 erreichen soll. <strong>Das</strong>s eine solche<br />

Obergrenze existiert, kann man in Abbildung 8.11 nachvollziehen. Diese zeigt unter<br />

Abbildung 8.11: Darstellung von a MSSM<br />

µ in der µ-m L -Parameterebene für<br />

M 2 = −µ und M 1 = m L = m R . Im weißen Bereich liegt a MSSM<br />

µ zwischen 2 · 10 −9<br />

und 4 · 10 −9 und der schwarze Punkt markiert P1c.<br />

72


8.2 Untersuchung der möglichen Parameterszenarien<br />

den Festlegungen M 2 = −µ und M 1 = m L = m R diejenige Region in der µ-m L -<br />

Parameterebene, für die a MSSM<br />

µ zwischen 2 · 10 −9 und 4 · 10 −9 liegt. Dabei werden auch<br />

sehr hohe Werte von µ bis zu 100 000 GeV betrachtet, um dem Grenzfall nahezukommen,<br />

in dem der HW-, HBL- und HBR-Anteil komplett unterdrückt sind und auf dem<br />

die Gleichung (8.15) basiert. Es ist gut zu erkennen, wie sich bei wachsendem µ das<br />

m L -Intervall mit dem gewünschten Beitrag zu a MSSM<br />

µ <strong>im</strong>mer langsamer in Richtung<br />

höherer Werte verschiebt und dabei gegen einen Grenzwert strebt. Letzterer ist gemäß<br />

der Beziehung (8.15) durch das Intervall (965 GeV, 1364 GeV) gegeben.<br />

Im Hinblick auf die Erzeugung vergleichsweise hoher Superteilchenmassen bei<br />

gleichzeitiger Erklärung der Diskrepanz (5.10) kann mithilfe der bisherigen Betrachtungen<br />

exemplarisch der Parameterpunkt<br />

P1c :<br />

(µ, M 1 , M 2 , m L , m R ) = (40 000, 1000, −40 000, 1000, 1000) GeV<br />

(8.16)<br />

mit y µ (P1c) ≈ 0,03 , a MSSM<br />

µ (P1c) ≈ 2,99 · 10 −9<br />

gefunden werden. Für diesen sind auch große Werte von m L,τ und m R,τ <strong>im</strong> TeV-<br />

Bereich notwendig, damit kein tachyonisches Stauon auftritt. Bezüglich der Perturbativität<br />

der Tauon-Yukawa-Kopplung gibt es hier keine Probleme, y τ n<strong>im</strong>mt aber<br />

<strong>im</strong> Vergleich zum Standardmodell weiterhin sehr große Werte an, die nie unterhalb<br />

von 1 liegen.<br />

8.2.2 Szenario 2<br />

Da für M 2 < 0 in der Selbstenergie (7.12) alle Terme bis auf den HBR-Anteil negativ<br />

sind, bedarf es starker Einschränkungen <strong>des</strong> Parameterraumes, wenn y µ < 0 erfüllt<br />

werden soll. Zunächst muss m L ≫ µ, M 1 , |M 2 | gelten, damit die unerwünschten<br />

Anteile ausreichend unterdrückt werden. Außerdem benötigt man für einen möglichst<br />

großen HBR-Beitrag ein m R , das kleiner als µ und M 1 ist. Dann dominiert der HBR-<br />

Anteil nicht nur in der Selbstenergie, sondern auch <strong>im</strong> MSSM-Beitrag zum <strong>anomale</strong>n<br />

<strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong>. Unter Verwendung der obigen Forderungen lässt<br />

sich der Parameterpunkt<br />

P2 :<br />

(µ, M 1 , M 2 , m L , m R ) = (2000, 2000, −2000, 18 000, 1000) GeV<br />

(8.17)<br />

mit y µ (P2) ≈ −1,86 , a MSSM<br />

µ (P2) ≈ 3,14 · 10 −9<br />

finden, welcher mit dem betragsmäßig sehr hohen y µ eine typische Eigenschaft<br />

dieses Szenarios zeigt. Denn wegen <strong>des</strong> eingeschränkten Wertebereichs von Î und der<br />

Best<strong>im</strong>mung der Myon-Yukawa-Kopplung mithilfe von Gleichung (6.60) ist klar, dass<br />

der Betrag eines negativen y µ nicht kleiner als 0,78 werden kann und somit um mehr<br />

als einen Faktor 1000 über dem Standardmodellwert liegt. Eine derart große Yukawa-<br />

Kopplung ermöglicht auch bei vergleichsweise hohen Parametern, dass a MSSM<br />

µ für die<br />

Erklärung der Diskrepanz (5.10) betragsmäßig nicht zu klein wird. Bei Betrachtung<br />

der Bedingungen (8.7) und (8.8) aus dem Tauonsektor ergeben sich keine qualitativen<br />

Unterschiede <strong>im</strong> Vergleich zu den Darstellungen in den Abbildungen 8.2 und 8.5.<br />

73


8 Auswertung<br />

Wie bereits zuvor kann man y τ nicht unter einen Wert von 2 senken. Die Yukawa-<br />

Kopplungen <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> und <strong>des</strong> Tauons besitzen in jedem Fall unterschiedliche<br />

Vorzeichen, können durch geeignete Wahl der jeweiligen sanften Brechungsparameter<br />

also weitgehend unabhängig voneinander eingestellt werden.<br />

Die Änderungen, welche sich bei Variation von m L und m R ausgehend von P2<br />

ergeben, sind in Abbildung 8.12 nachzuvollziehen. Sobald die Aufspaltung zwischen<br />

den beiden Parametern zu klein wird, erreicht die Myon-Yukawa-Kopplung in der<br />

dunkelsten Region nicht-perturbative Beträge und ist <strong>im</strong> zweitdunkelsten Gebiet zwar<br />

perturbativ, aber auch positiv, was nicht dem hier untersuchten Szenario entspricht.<br />

Es ist erkennbar, dass für m L tatsächlich sehr hohe Werte notwendig sind, um<br />

Parameterpunkte zu gewährleisten, die nicht direkt ausgeschlossen werden müssen.<br />

In den beiden helleren Bereichen ist y µ perturbativ sowie negativ und in der weißen<br />

Region eignet sich a MSSM<br />

µ gut zur Erklärung der Abweichung (5.10). Hierfür darf m R<br />

bei extrem hohem m L nicht über 1000 GeV liegen.<br />

Abbildung 8.12: Verschiedene Regionen in der m L -m R -Parameterebene für<br />

(µ, M 1 , M 2 ) = (2000, 2000, −2000) GeV. Im dunkelsten Gebiet wird die Myon-<br />

Yukawa-Kopplung nicht-perturbativ und <strong>im</strong> zweitdunkelsten perturbativ, aber<br />

positiv. In den beiden helleren Bereichen ist y µ negativ sowie perturbativ<br />

und in der weißen Region liegt zusätzlich a MSSM<br />

µ <strong>im</strong> gewünschten Intervall<br />

(2 · 10 −9 , 4 · 10 −9 ). Der schwarze Punkt markiert P2.<br />

Die Abbildung 8.13 zeigt eine analoge Darstellung in der µ-m R -Parameterebene für<br />

µ = M 1 = −M 2 und m L = 18 000 GeV, bei der die Schattierung der verschiedenen<br />

Bereiche dieselbe Bedeutung wie zuvor hat. Man kann erkennen, dass eine negative,<br />

perturbative Myon-Yukawa-Kopplung nur unterhalb fester Werte für µ und m R möglich<br />

ist, da ansonsten die Aufspaltung zwischen diesen Parametern und dem fixierten<br />

m L nicht ausreicht. Ausgehend von der µ-Obergrenze bei knapp 4000 GeV steigt<br />

der max<strong>im</strong>al erlaubte m R -Wert mit fallendem µ zunächst an, weil die zunehmende<br />

Unterdrückung der unerwünschten Beiträge in der Selbstenergie <strong>im</strong> Vergleich zum<br />

74


8.2 Untersuchung der möglichen Parameterszenarien<br />

Absinken <strong>des</strong> HBR-Anteils überwiegt. Ab einem best<strong>im</strong>mten Punkt allerdings sind<br />

mit kleiner werdendem µ auch <strong>im</strong>mer geringere m R -Werte notwendig, um eine Min<strong>des</strong>tgröße<br />

bei der Schleifenfunktion Î <strong>des</strong> HBR-Anteils und somit ein perturbatives<br />

y µ zu gewährleisten. Interessanterweise befindet sich a MSSM<br />

µ für den größeren Teil<br />

der Fläche mit einer akzeptablen Myon-Yukawa-Kopplung <strong>im</strong> gewünschten Intervall<br />

um 3 · 10 −9 . Dadurch wird noch einmal veranschaulicht, dass die Probleme bei der<br />

Realisierung <strong>des</strong> vorliegenden Szenarios größtenteils von der Selbstenergie (7.12) und<br />

weniger vom <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> (7.26) herrühren.<br />

Abbildung 8.13: Verschiedene Regionen in der µ-m R -Parameterebene für<br />

µ = M 1 = −M 2 und m L = 18 000 GeV. Im dunkelsten Gebiet wird die Myon-<br />

Yukawa-Kopplung nicht-perturbativ und <strong>im</strong> zweitdunkelsten perturbativ, aber<br />

positiv. In den beiden helleren Bereichen ist y µ negativ sowie perturbativ<br />

und in der weißen Region liegt zusätzlich a MSSM<br />

µ <strong>im</strong> gewünschten Intervall<br />

(2 · 10 −9 , 4 · 10 −9 ). Der schwarze Punkt markiert P2.<br />

8.2.3 Szenario 3<br />

Für M 2 > 0 ist <strong>im</strong> MSSM-Beitrag (7.26) zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong><br />

<strong>Myons</strong> nur der HBR-Anteil negativ. Um mit y µ < 0 ein positives a MSSM<br />

µ zu erhalten,<br />

erweist sich also eine starke Unterdrückung der anderen Terme als notwendig, die<br />

man über die Bedingung m L ≫ m R erreichen kann. Damit nicht gleichzeitig auch der<br />

HBR-Anteil zu gering wird, sollte M 1 kleine Werte annehmen. Dafür wäre eigentlich<br />

auch ein kleines µ günstig, welches allerdings Probleme <strong>im</strong> Tauonsektor bereiten<br />

würde. Denn die Ungleichung (8.10), die aus der Forderung nach einer perturbativen<br />

Tauon-Yukawa-Kopplung abgeleitet wurde, bedarf eines annähernd max<strong>im</strong>al großen<br />

HW-Anteils, der nur mit µ ≈ M 2 ≫ m L,τ und daher einem ausreichend hohen<br />

µ möglich ist. Mithilfe der abgeleiteten Forderungen kann man exemplarisch den<br />

75


8 Auswertung<br />

Parameterpunkt<br />

P3 :<br />

(µ, M 1 , M 2 , m L , m R ) = (2400, 400, 2400, 10 000, 400) GeV<br />

(8.18)<br />

mit y µ (P3) ≈ −0,75 , a MSSM<br />

µ (P3) ≈ 2,79 · 10 −9<br />

für das hier betrachtete Szenario finden. Die zugehörigen Einschränkungen aus dem<br />

Tauonsektor sind in Abbildung 8.14 zu sehen, wobei die dunkelgraue Region wegen<br />

eines tachyonisches Stauons und die hellgraue wegen einer nicht-perturbativen Tauon-<br />

Yukawa-Kopplung ausgeschlossen werden müssen. Man kann erkennen, dass m L,τ ,<br />

wie oben bereits diskutiert, nur deutlich kleinere Werte als µ = M 2 = 2400 GeV<br />

annehmen darf und dass sich der Verlauf der Perturbativitätsgrenze qualitativ von<br />

dem aus den Abbildungen 8.2 und 8.5 unterscheidet, was auf die abweichenden<br />

Vorzeichen in den entsprechenden Ungleichungen (8.8) und (8.10) zurückführbar ist.<br />

Auch wenn y τ <strong>im</strong> perturbativen Bereich liegt, besitzt <strong>des</strong>sen Betrag stets hohe Werte<br />

oberhalb von 2,7.<br />

Abbildung 8.14: Darstellung <strong>im</strong> Rahmen der Tauon-Yukawa-Kopplung für<br />

(µ, M 1 , M 2 ) = (2400, 400, 2400) GeV mit den sanften Brechungsparametern m L,τ<br />

und m R,τ der Stauonen. Die dunkelgraue Region ist wegen eines tachyonischen<br />

Stauons und die hellgraue wegen der Nicht-Perturbativität von y τ ausgeschlossen.<br />

In Abbildung (8.15) kann für feste Werte von µ, M 1 und M 2 die große Aufspaltung<br />

nachvollzogen werden, die zwischen den sanften Brechungsparametern m L und m R<br />

der Smyonen auftreten muss, damit a MSSM<br />

µ ein positives Vorzeichen erhält. Außerdem<br />

ist mit weiß diejenige Parameterregion gekennzeichnet, in welcher sich der MSSM-<br />

Beitrag zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> gut für die Erklärung der Abweichung<br />

zwischen Standardmodellvorhersage und Messwert eignet. Hier besitzt das Verhältnis<br />

m L /m R Werte oberhalb von 20, was einem ebenso hohen Massenunterschied bei den<br />

Smyonen entspricht.<br />

76


8.2 Untersuchung der möglichen Parameterszenarien<br />

Abbildung 8.15: Darstellung von a MSSM<br />

µ in der m L -m R -Parameterebene für<br />

(µ, M 1 , M 2 ) = (2400, 400, 2400) GeV. In den unterschiedlichen Regionen gilt<br />

a MSSM<br />

µ < 0 (dunkel), a MSSM<br />

µ > 0 (hell) bzw. |a MSSM<br />

µ − 3 · 10 −9 | < 1 · 10 −9 (weiß)<br />

und der schwarze Punkt markiert P3.<br />

8.2.4 Szenario 4<br />

Im MSSM-Beitrag (7.26) zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> sind für<br />

M 2 > 0 drei der vier Anteile mit einem positiven Vorzeichen versehen. Daher erweist<br />

es sich als unproblematisch, a MSSM<br />

µ positiv zu gestalten, falls y µ > 0 gilt. Allerdings<br />

erfordert Letzteres eine starke Aufspaltung zwischen den MSSM-Massenparametern,<br />

weil die Bedingung µ ≫ m L notwendig ist, um mit einem hohen BLR-Anteil in der<br />

Selbstenergie (7.12) die positiven Terme zu kompensieren. Man kann den unerwünschten<br />

HW-Beitrag nicht unterdrücken, sondern dieser ist annähernd max<strong>im</strong>al. Denn µ<br />

und M 2 müssen, wie schon be<strong>im</strong> vorherigen Szenario, etwa gleich groß sein, damit<br />

die Ungleichung (8.10) erfüllt und somit eine perturbative Tauon-Yukawa-Kopplung<br />

erreicht werden kann. Unter den genannten Forderungen lässt sich beispielsweise der<br />

Parameterpunkt<br />

P4a :<br />

(µ, M 1 , M 2 , m L , m R ) = (30 000, 2000, 30 000, 2000, 2000) GeV<br />

(8.19)<br />

mit y µ (P4a) ≈ 0,32 , a MSSM<br />

µ (P4a) ≈ 3,05 · 10 −9<br />

finden, welcher trotz sehr hoher Superteilchenmassen für die Erklärung der Abweichung<br />

(5.10) geeignet ist. Dies liegt daran, dass <strong>im</strong> Vergleich zum Parameterpunkt<br />

P1c, bei dem ebenfalls der BLR-Anteil in a MSSM<br />

µ dominiert, durch die entgegengesetzten<br />

Vorzeichen <strong>des</strong> HW- und BLR-Beitrags zur Selbstenergie eine deutlich höhere<br />

Yukawa-Kopplung zustande kommt.<br />

Im Folgenden soll untersucht werden, wie sich a MSSM<br />

µ unter einer Veränderung<br />

der Massenaufspaltung verhält. Es gelte wie bei P4a neben µ = M 2 auch die<br />

77


8 Auswertung<br />

Beziehung M 1 = m L = m R , welche durch die Symmetrie <strong>des</strong> BLR-Beitrags zum<br />

<strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> unter Vertauschung von m L und m R sowie <strong>des</strong>sen<br />

Unterdrückung mit wachsendem M 1 motiviert ist. Abbildung 8.16 zeigt dasjenige<br />

Gebiet in der Ebene der verbliebenen beiden Parameter dunkelgrau gefärbt, in dem<br />

keine positive Lösung für a MSSM<br />

µ gefunden werden kann. In den beiden helleren<br />

Regionen hingegen gibt es eine solche Lösung, die <strong>im</strong> weißen Bereich nahe bei 3 · 10 −9<br />

liegt. Für µ-Werte über 50 000 GeV treten am oberen Rand der helleren Gebiete nichtperturbative<br />

Myon-Yukawa-Kopplungen auf und die Grenzlinie zwischen den grauen<br />

Regionen ist ungefähr durch die Gerade µ = 8 m L gegeben. Der Vorzeichenwechsel von<br />

Abbildung 8.16: Darstellung von a MSSM<br />

µ in der µ-m L -Parameterebene mit<br />

µ = M 2 und M 1 = m L = m R . Im dunkelgrauen Gebiet existiert keine positive<br />

Lösung für a MSSM<br />

µ . In der hellgrauen Region gibt es eine solche und <strong>im</strong> weißen<br />

Bereich liegt sie zwischen 2 · 10 −9 und 4 · 10 −9 . Die schwarzen Punkte markieren<br />

P4a und P4b.<br />

a MSSM<br />

µ , welcher dort stattfindet, entsteht <strong>im</strong> Gegensatz zu den Szenarien 1 und 3 nicht<br />

direkt in Gleichung (7.26), sondern tritt bei der Myon-Yukawa-Kopplung auf, die<br />

man aus der Selbstenergie best<strong>im</strong>mt. Allerdings versagt die Näherungsformel (7.12)<br />

<strong>im</strong> Grenzbereich und die höheren Ordnungen von y µ in Gleichung (6.44), welche<br />

insbesondere von den Smyonmassen (4.9) herrühren, müssen berücksichtigt werden.<br />

Dies führt <strong>im</strong> Extremfall dazu, dass mehrere Werte für die Myon-Yukawa-Kopplung<br />

in Frage kommen, was am Beispiel <strong>des</strong> Parameterpunktes<br />

P4b : (µ, M 1 , M 2 , m L , m R ) = (30 000, 3600, 30 000, 3600, 3600) GeV (8.20)<br />

in Abbildung 8.17 veranschaulicht wird. Dort kann man die Summe aus der ungenäherten<br />

Selbstenergie und der Myonpolmasse in Abhängigkeit von y µ sehen. Gemäß<br />

Gleichung (6.60) ist bei den Nullstellen der Kurve eine Erzeugung der Myonpolmasse<br />

durch die MSSM-Einschleifenbeiträge zur Selbstenergie möglich. Für betragsmäßig<br />

78


8.2 Untersuchung der möglichen Parameterszenarien<br />

Abbildung 8.17: Darstellung der Funktion Σ MSSM<br />

µ + m µ in Abhängigkeit von<br />

y µ für den Parameterpunkt P4b. Die drei Yukawa-Kopplungen an den hervorgehobenen<br />

Nullpunkten erzeugen als Argumente der Selbstenergie die beobachtete<br />

Polmasse <strong>des</strong> <strong>Myons</strong>.<br />

kleine Werte der Yukawa-Kopplung verläuft die Kurve entsprechend der Formel (7.12)<br />

näherungsweise linear. Ab einem Betrag von etwa 1 machen sich jedoch die höheren<br />

Terme bemerkbar und führen zu drei Möglichkeiten für y µ , die alle perturbativ sind<br />

und keine tachyonischen Smyonen verursachen. Mit diesen unterschiedlichen Werten<br />

werden auch drei verschiedene Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong><br />

<strong>Myons</strong> vorhergesagt, nämlich<br />

y µ ≈ −2,00 ⇒ a MSSM<br />

µ (P4b) ≈ −4,32 · 10 −9 , (8.21)<br />

y µ ≈ −0,84 ⇒ a MSSM<br />

µ (P4b) ≈ −1,35 · 10 −9 , (8.22)<br />

y µ ≈ 2,43 ⇒ a MSSM<br />

µ (P4b) ≈ 7,58 · 10 −9 . (8.23)<br />

Im Rahmen der in dieser Arbeit vorgenommenen Untersuchungen ist eine Entscheidung<br />

hinsichtlich der “Richtigkeit” einer dieser Varianten nicht möglich. Mit<br />

zukünftigen Betrachtungen können solche Mehrdeutigkeiten aber eventuell aufgelöst<br />

werden.<br />

79


9 Zusammenfassung<br />

<strong>Das</strong> <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> wurde sowohl exper<strong>im</strong>entell als auch<br />

theoretisch <strong>im</strong> Rahmen <strong>des</strong> Standardmodells der Teilchenphysik mit einer sehr<br />

hohen Genauigkeit best<strong>im</strong>mt. Es existiert eine Diskrepanz von mehr als drei Standardabweichungen<br />

zwischen den beiden Werten, die auf die Unvollständigkeit <strong>des</strong><br />

Standardmodells hindeutet. Neue Modelle und deren Parameterbereiche müssen sich<br />

daran messen lassen, ob sie zur Erklärung dieser Abweichung fähig sind.<br />

In der vorliegenden Arbeit wurden Beiträge zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong><br />

<strong>des</strong> <strong>Myons</strong> untersucht, die <strong>im</strong> min<strong>im</strong>alen supersymmetrischen Standardmodell für<br />

tan β = ∞ auf Einschleifenniveau entstehen. Dazu erfolgte zunächst eine Einführung<br />

dieses bisher noch nicht betrachteten Szenarios und der resultierenden Superteilchenmassen<br />

auf Ebene der Lagrange-Dichte. Anschließend wurden die Feynman-<br />

Diagramme berechnet, von denen die wesentlichen supersymmetrischen Beiträge zur<br />

Selbstenergie und zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> stammen. Als<br />

Zwischenresultat konnten bereits bekannte Ergebnisse [54, 57] reproduziert werden.<br />

Ausgehend davon war es möglich, die auftretenden Mischungsmatrizen der Superteilchen<br />

durch Hilfsfunktionen zu ersetzen und somit die neuen Formeln (6.44) und (6.58)<br />

zu gewinnen, in denen die Abhängigkeit von den MSSM-Parametern direkt ersichtlich<br />

ist. Für diese Ergebnisse konnten kompakte Näherungsformeln abgeleitet werden, die<br />

übertragen auf ein endliches tan β auch in den Referenzen [1, 55, 56] zu finden sind.<br />

Die einzelnen Näherungsterme korrespondieren zu Feynman-Diagrammen, in denen<br />

die Wechselwirkungseigenzustände der Superteilchen vorkommen, und haben eine<br />

systematische Untersuchung <strong>des</strong> Parameterraumes ermöglicht.<br />

Da die Masse <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> auf der Ebene der Lagrange-Dichte <strong>im</strong> MSSM für<br />

tan β = ∞ verschwindet, muss die beobachtete Polmasse komplett durch die Selbstenergie<br />

erzeugt werden. Aus dieser Beziehung kann man die Myon-Yukawa-Kopplung<br />

ermitteln, sodass sie für die Berechnung <strong>des</strong> Beitrags zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong> zur Verfügung steht. Mit derselben Vorgehensweise erhält man auch die<br />

Yukawa-Kopplung <strong>des</strong> Tauons, welche Einschränkungen für den Parameterraum <strong>des</strong><br />

betrachteten Modells mit sich bringt. Wenn sie zu große Werte ann<strong>im</strong>mt, versagt<br />

einerseits die Störungstheorie und andererseits treten unphysikalische, tachyonische<br />

Stauonen auf.<br />

Nach El<strong>im</strong>ination der Myon-Yukawa-Kopplung über die Selbstenergie fließen mit µ,<br />

M 1 , M 2 , m L und m R noch fünf Parameter in den Beitrag zum <strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n<br />

<strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> ein. Mithilfe von Symmetrieüberlegungen konnten vier qualitativ<br />

unterschiedliche Parameterszenarien identifiziert werden, deren Untersuchung<br />

anhand der verschiedenen Anteile in den Näherungsformeln erfolgte. Es wurden für<br />

je<strong>des</strong> dieser Szenarien Parameterbereiche entdeckt, in denen der MSSM-Beitrag zum<br />

<strong>anomale</strong>n <strong>magnetische</strong>n <strong>Moment</strong> <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> die Abweichung zwischen Messwert und<br />

81


9 Zusammenfassung<br />

Tabelle 9.1: Gefundene Parameterpunkte, mit denen <strong>im</strong> MSSM für tan β = ∞<br />

durch a MSSM<br />

µ ∈ (2,79 · 10 −9 ; 3,23 · 10 −9 ) die Diskrepanz zwischen Messwert und<br />

Standardmodellvorhersage erklärt werden kann<br />

µ/GeV M 1 /GeV M 2 /GeV m L /GeV m R /GeV y µ<br />

P1a 2 000 200 −8 000 200 2 000 0,18<br />

P1b 3 000 600 −3 000 600 600 0,11<br />

P1c 40 000 1 000 −40 000 1 000 1 000 0,03<br />

P2 2 000 2 000 −2 000 18 000 1 000 −1,86<br />

P3 2 400 400 2 400 10 000 400 −0,75<br />

P4a 30 000 2 000 30 000 2 000 2 000 0,32<br />

Standardmodellvorhersage erklären kann. Die ermittelten, exemplarischen Parameterpunkte,<br />

bei denen stets eine signifikante Aufspaltung zwischen den Massenparametern<br />

auftritt, sind in Tabelle 9.1 zusammengefasst. Diese liefern teilweise auch mit<br />

einer höheren min<strong>im</strong>alen Superteilchenmasse das richtige a MSSM<br />

µ als es <strong>im</strong> MSSM für<br />

endliches tan β möglich ist. Ausgehend von den Parameterpunkten wurde untersucht,<br />

wie sich das Vorzeichen und der Betrag von a MSSM<br />

µ unter Variation der verschiedenen<br />

Parameter verhalten. Die Yukawa-Kopplungen <strong>des</strong> <strong>Myons</strong> und <strong>des</strong> Tauons nehmen<br />

generell deutlich höhere Werte als <strong>im</strong> Standardmodell an, die in manchen Fällen<br />

nicht-perturbativ werden. Daher besteht die Möglichkeit, dass Schleifen mit Higgs-<br />

Bosonen, die bei vielen Berechnungen vernachlässigt werden, signifikante Beiträge<br />

liefern.<br />

In der vorliegenden Arbeit wurde gezeigt, dass das min<strong>im</strong>ale supersymmetrische<br />

Standardmodell mit tan β = ∞ <strong>im</strong> Hinblick auf das <strong>anomale</strong> <strong>magnetische</strong> <strong>Moment</strong><br />

<strong>des</strong> <strong>Myons</strong> ein Modell ist, welches in der Natur realisiert sein könnte. Daher erscheint<br />

es vielversprechend, dieses Szenario zu renormieren und weitere Aspekte bzw. Observablen<br />

darin zu untersuchen. Dafür bietet sich beispielsweise der Higgs-Sektor oder<br />

die Frage an, ob das Phänomen der dunklen Materie mit einem leichten Neutralino<br />

erklärt werden kann.<br />

82


A Konventionen und Notation<br />

A.1 Summenkonvention<br />

Über doppelt auftretende Indizes wird gemäß der Einsteinschen Summenkonvention<br />

summiert, falls nichts anderes angegeben ist. Die verschiedenen Indizes, die in dieser<br />

Arbeit häufiger mit derselben Bedeutung Verwendung finden, sind Tabelle A.1 zu<br />

entnehmen. Die Buchstaben a, b, c und n dienen an einigen Stellen außerdem zur<br />

Bezeichnung anderer Indizes, was jeweils aus dem Kontext hervorgeht.<br />

Tabelle A.1: Definition der verwendeten Indizes<br />

Sorte Bezeichnung Wertebereich<br />

Lorentz-Index µ, ν, ρ, σ {0, 1, 2, 3}<br />

Weyl-Index<br />

α, β, γ {1, 2}<br />

˙α, ˙β, ˙γ {˙1, ˙2}<br />

Generationsindex i, j {1, 2, 3}<br />

Eichgruppenindex<br />

Index für Eichmultipletts<br />

chiraler Superfelder<br />

a, b, c {1, 2, 3}<br />

d, e, f {1, . . . , 8}<br />

r, s, t variabel<br />

Smyonindex k {1, 2}<br />

Charginoindex l {1, 2}<br />

Neutralinoindex m, n, p {1, 2, 3, 4}<br />

A.2 Einheitensystem und Minkowski-Metrik<br />

Unter Nutzung <strong>des</strong> Heaviside-Lorentz-Einheitensystems erfolgt die Vereinfachung von<br />

Lichtgeschwindigkeit und reduziertem Planckschen Wirkungsquantum zu c = = 1.<br />

Der metrische Tensor <strong>im</strong> Minkowski-Raum sei gegeben durch<br />

g µν = g µν = diag(1, −1, −1, −1) .<br />

(A.1)<br />

83


A Konventionen und Notation<br />

A.3 Weyl-Spinoren<br />

Bei der Beschreibung supersymmetrischer Theorien verwendet man üblicherweise die<br />

Weyl-Darstellung<br />

( )<br />

( )<br />

0 σ<br />

γ µ µ<br />

−1 0<br />

:=<br />

¯σ µ , γ<br />

0<br />

5 :=<br />

(A.2)<br />

0 1<br />

der γ-Matrizen. Für die darin enthaltenen Vierervektoren der erweiterten Pauli-<br />

Matrizen gelten die Beziehungen<br />

( )<br />

( )<br />

1 0<br />

0 1<br />

σ 0 = ¯σ 0 = , σ 1 = −¯σ 1 = ,<br />

0 1<br />

1 0<br />

( )<br />

( )<br />

0 −i<br />

1 0<br />

σ 2 = −¯σ 2 = , σ 3 = −¯σ 3 = .<br />

i 0<br />

0 −1<br />

(A.3)<br />

Die Darstellung der speziellen Lorentz-Gruppe auf dem Raum der vierkomponentigen<br />

Dirac-Spinoren ist gegeben durch die Generatoren<br />

S µν := i 4 [γµ , γ ν ] = i 4<br />

(<br />

σµ¯σ ν − σ ν ¯σ µ )<br />

0<br />

0 ¯σ µ σ ν − ¯σ ν σ µ , (A.4)<br />

anhand derer erkennbar wird, dass es sich um eine reduzible Darstellung handelt.<br />

Daher lässt sich ein jeder Dirac-Spinor Ψ gemäß<br />

( )<br />

ψα<br />

Ψ =<br />

¯χ ˙α (A.5)<br />

in seine Komponenten ψ α und ¯χ ˙α zerlegen, die aus den Darstellungsräumen der<br />

irreduziblen Darstellungen ( 1<br />

, 2 0) und ( )<br />

0, 1 2 stammen. Die hierdurch neu eingeführten,<br />

zweikomponentigen Spinoren werden als links-chiraler und rechts-chiraler Weyl-<br />

Spinor bezeichnet, was durch die Projektionsvorschriften<br />

P L Ψ := 1 2 (1 − γ 5) Ψ =<br />

motiviert ist. Mithilfe der Beziehungen<br />

( )<br />

ψα<br />

, P<br />

0<br />

R Ψ := 1 ( )<br />

2 (1 + γ 5) Ψ = 0¯χ ˙α<br />

(A.6)<br />

¯ψ ˙α = (ψ α ) † , ¯ψ ˙α = (ψ α ) † , (A.7)<br />

ψ α = ɛ αβ ψ β , ψ α = ɛ αβ ψ β , (A.8)<br />

¯ψ ˙α = ɛ ˙α ˙β ¯ψ<br />

˙β<br />

, ¯ψ ˙α = ɛ ˙α ˙β ¯ψ ˙β (A.9)<br />

kann man die verschiedenen Sorten von Weyl-Spinoren ineinander überführen. Hierbei<br />

werden die antisymmetrischen Tensoren als<br />

ɛ αβ = ɛ ˙α ˙β :=<br />

( )<br />

0 1<br />

, ɛ αβ = ɛ ˙α ˙β :=<br />

−1 0<br />

( )<br />

0 −1<br />

1 0<br />

(A.10)<br />

84


A.4 Graßmann-Koordinaten<br />

definiert, sodass die Bedingungen ɛ αβ ɛ βγ = ɛ γβ ɛ βα = δα γ und ɛ ˙α ˙βɛ ˙β ˙γ = ɛ ˙γ ˙βɛ ˙β ˙α = δ ˙γ˙α<br />

erfüllt sind. Für den adjungierten bzw. den ladungskonjugierten Spinor zum Dirac-<br />

Spinor aus Gleichung (A.5) ergibt sich<br />

¯Ψ := Ψ † γ 0 = ( ( )<br />

)<br />

χ α ¯ψ ˙α bzw. Ψ C := i γ 2 χα<br />

¯ΨT = ¯ψ ˙α . (A.11)<br />

Die Generatoren 1 2 σµν und 1 2 ¯σµν erzeugen die Darstellungen der speziellen Lorentz-<br />

Gruppe auf den Räumen der links-chiralen und rechts-chiralen Weyl-Spinoren. Aus<br />

Gleichung (A.4) kann man hierfür die Beziehungen<br />

(σ µν ) α β = i 2 (σµ¯σ ν − σ ν ¯σ µ ) α β , (A.12)<br />

(¯σ µν ) ˙α ˙β<br />

= i 2 (¯σµ σ ν − ¯σ ν σ µ ) ˙α ˙β<br />

(A.13)<br />

ableiten. Somit wird auch die Indexstruktur der erweiterten Pauli-Matrizen ersichtlich,<br />

die durch σ µ α ˙α und ¯σ µ ˙αα gegeben ist. Die Einträge der Weyl-Spinoren sind<br />

definitionsgemäß sogenannte Graßmann-Zahlen, d. h. sie antikommutieren untereinander<br />

und kommutieren mit komplexen Zahlen. Auf den Spinorräumen kann man<br />

lorentzinvariante Skalarprodukte über<br />

ψχ := ψ α χ α = −χ α ψ α = χ α ψ α = χψ ,<br />

¯ψ ¯χ := ¯ψ ˙α ¯χ ˙α = −¯χ ˙α ¯ψ ˙α = ¯χ ˙α ¯ψ ˙α = ¯χ ¯ψ<br />

(A.14)<br />

(A.15)<br />

einführen, wobei die Symmetrie durch das Transformationsverhalten der Spinoren<br />

und deren Graßmann-Natur zustande kommt.<br />

A.4 Graßmann-Koordinaten<br />

Im Superraumformalismus werden zusätzlich zu den vier Koordinaten der Raumzeit<br />

vier weitere Koordinaten in Form der beiden Weyl-Spinoren θ α und ¯θ ˙α eingeführt. Wie<br />

bei Weyl-Spinoren üblich seien diese neuen Koordinaten fermionisch, Antikommutatoren<br />

zwischen ihnen und Kommutatoren mit bosonischen Variablen verschwinden<br />

also. Daraus folgt, dass jede Funktion der Graßmann-Koordinaten in eine Potenzreihe<br />

entwickelt werden kann, die nach endlich vielen Gliedern abbricht. Die fermionischen<br />

Ableitungen definiert man als<br />

∂<br />

θ β ≡ ∂ α θ β := δβ α ,<br />

∂θ α<br />

∂<br />

∂ ¯θ<br />

¯θ ˙β ≡ ¯∂ ˙α¯θ ˙β := δ ˙α˙β ,<br />

˙α<br />

∂<br />

∂θ α θβ ≡ ∂ α θ β := δα β ,<br />

∂ ˙β<br />

∂ ¯θ<br />

¯θ ≡ ¯∂<br />

˙β<br />

˙α¯θ := δ ˙β<br />

˙α ˙α .<br />

(A.16)<br />

(A.17)<br />

Daraus ergeben sich die Transformationsregeln<br />

∂ α = −ɛ αβ ∂ β , ∂ α = −ɛ αβ ∂ β , ¯∂ ˙α = −ɛ ˙α ˙β ¯∂<br />

˙β<br />

, ¯∂ ˙α = −ɛ ˙α ˙β ¯∂ ˙β . (A.18)<br />

85


A Konventionen und Notation<br />

Unter der Forderung nach Linearität und Translationsinvarianz können Integrale über<br />

allgemeine Funktionen der neuen Koordinaten nur gemäß<br />

eingeführt werden.<br />

∫<br />

∫<br />

d 2 θ (a + b α θ α + c θθ) := c ,<br />

d 2¯θ (ā + ¯b ˙α¯θ ˙α + ¯c ¯θ¯θ) := ¯c ,<br />

∫ ∫<br />

d 4 θ := d 2 θ d 2¯θ<br />

(A.19)<br />

(A.20)<br />

(A.21)<br />

86


B Hilfsmittel für die<br />

Berechnungen<br />

B.1 Feynman-Regeln der Vertizes<br />

Die in dieser Arbeit benötigten Wechselwirkungen <strong>des</strong> MSSM unter Beteiligung von<br />

Charginos bzw. Neutralinos besitzen die Feynman-Regeln<br />

χ − l<br />

µ − ˜ν µ<br />

= i ( c L l P L + c R l P R<br />

)<br />

, (B.1)<br />

χ − l<br />

µ − = i ( (c L l ) ∗ P R + (c R l ) ∗ P L<br />

)<br />

, (B.2)<br />

˜ν µ<br />

χ 0 m<br />

µ − ˜µ − k<br />

= i ( n L mk P L + n R mk P R<br />

)<br />

, (B.3)<br />

χ 0 m<br />

µ − = i ( (n L mk) ∗ P R + (n R mk) ∗ P L<br />

)<br />

, (B.4)<br />

˜µ − k<br />

wobei die vorkommenden Koeffizienten in den Gleichungen (6.3) bis (6.6) eingeführt<br />

werden.<br />

87


B Hilfsmittel für die Berechnungen<br />

Die Feynman-Regeln für die Wechselwirkungen der geladenen Superteilchen mit<br />

Photonen lauten<br />

A ρ<br />

= i e γ ρ , (B.5)<br />

χ − l<br />

χ − l<br />

A ρ<br />

p p ′<br />

= i e (p + p ′ ) ρ . (B.6)<br />

˜µ − k ˜µ − k<br />

Im letzten Diagramm wird durch die Pfeile die Richtung der Impulse p und p ′<br />

gekennzeichnet.<br />

B.2 Komponenten von Vielfachen der<br />

Neutralinomassenmatrix<br />

Bei der Ersetzung von Ausdrücken der Form (6.31) mit Gleichung (6.41) werden<br />

best<strong>im</strong>mte Einträge von Vielfachen der Neutralinomassenmatrix (4.13), also von<br />

Produkten aus Y und Y † , benötigt. Diese sind <strong>im</strong> Folgenden aufgelistet.<br />

Für A := Y gilt:<br />

A 11 = M 1<br />

A 12 = A 13 = A 23 = A 33 = 0<br />

(B.7)<br />

(B.8)<br />

Für B := Y Y † Y gilt:<br />

( )<br />

B 11 = M 1 |M1 | 2 + 2 MZ 2 s 2 W<br />

B 12 = −MZ 2 s W c W (M 1 + M 2 )<br />

B 13 = −µ M Z s W M 1<br />

B 23 = µ M Z c W M 2<br />

B 33 = 0<br />

(B.9)<br />

(B.10)<br />

(B.11)<br />

(B.12)<br />

(B.13)<br />

88


B.2 Komponenten von Vielfachen der Neutralinomassenmatrix<br />

Für C := Y Y † Y Y † Y gilt:<br />

( )<br />

C 11 = M 1 |M 1 | 4 + MZ 2 sW[ 2 2 M1 |µ| 2 + 2 |M 1 | 2 + MZ<br />

2 ( ]<br />

+ MZ<br />

2 M1 s 2 W + M 2 cW) 2<br />

[<br />

C 12 = −MZ 2 s W c W (M1 + M 2 ) ( )<br />

|µ| 2 + |M 1 | 2 + |M 2 | 2 + MZ<br />

2 ( ]<br />

+ MZ<br />

2 M1 s 2 W + M 2 cW) 2<br />

[ ( ( )]<br />

C 13 = −µ M Z s W M1 |µ| 2 + |M 1 | 2 + MZ) 2 + M<br />

2<br />

Z M1 s 2 W + M 2 c 2 W<br />

[ ( ( )]<br />

C 23 = µ M Z c W M2 |µ| 2 + |M 2 | 2 + MZ) 2 + M<br />

2<br />

Z M1 s 2 W + M 2 c 2 W<br />

(<br />

C 33 = µ 2 MZ<br />

2 M1 s 2 W + M 2 cW)<br />

2<br />

(B.14)<br />

(B.15)<br />

(B.16)<br />

(B.17)<br />

(B.18)<br />

Für D := Y Y † Y Y † Y Y † Y gilt:<br />

D 11 = M 1 |M 1 | 6 + MZ 2 s 2 W<br />

{<br />

[<br />

6 M 1 |M 1 | 4 + MZ<br />

2 2 |M1 | ( ) 2 3 M 1 s 2 W + M 2 c 2 W + M<br />

∗<br />

2 (M 1 + M 2 ) 2 cW]<br />

2<br />

+ 2 ( |µ| 2 + M 2 Z) [<br />

M1<br />

(<br />

|µ| 2 + 2 |M 1 | 2 + M 2 Z)<br />

+ M<br />

2<br />

Z<br />

(<br />

M1 s 2 W + M 2 c 2 W) ] } (B.19)<br />

D 12 = −M 2 Z s W c W<br />

{(M 1 + M 2 ) ( |M 1 | 4 + |M 1 | 2 |M 2 | 2 + |M 2 | 4)<br />

+ M 2 Z<br />

[<br />

|M1 | 2 ( M 2 + (3 M 1 + M 2 ) s 2 W<br />

)<br />

+ |M2 | 2 ( M 1 + (M 1 + 3 M 2 ) c 2 W) ]<br />

+ ( [<br />

|µ| 2 + MZ) 2 (M1 + M 2 ) ( |µ| 2 + |M 1 | 2 + |M 2 | 2 + MZ<br />

2<br />

( ) ] }<br />

+ 2 MZ<br />

2 M1 s 2 W + M 2 c 2 W (B.20)<br />

D 13 = −µ M Z s W<br />

{<br />

[<br />

M 1 |M 1 | 4 + MZ<br />

2 |M1 | ( ) 2 3 M 1 s 2 W + M 2 c 2 W + |M2 | 2 (M 1 + M 2 ) cW]<br />

2<br />

+ ( |µ| 2 + M 2 Z) [<br />

M1<br />

(<br />

|µ| 2 + |M 1 | 2 + M 2 Z)<br />

+ 2 M<br />

2<br />

Z<br />

(<br />

M1 s 2 W + M 2 c 2 W) ] } (B.21)<br />

D 23 = µ M Z c W<br />

{<br />

[<br />

M 2 |M 2 | 4 + MZ<br />

2 |M2 | ( ) 2 M 1 s 2 W + 3 M 2 c 2 W + |M1 | 2 (M 1 + M 2 ) sW]<br />

2<br />

+ ( |µ| 2 + M 2 Z) [<br />

M2<br />

(<br />

|µ| 2 + |M 2 | 2 + M 2 Z)<br />

+ 2 M<br />

2<br />

Z<br />

(<br />

M1 s 2 W + M 2 c 2 W) ] } (B.22)<br />

)<br />

D 33 = µ 2 M 2 Z<br />

{<br />

M1 |M 1 | 2 s 2 W + M 2 |M 2 | 2 c 2 W<br />

+ 2 ( |µ| 2 + M 2 Z) (<br />

M1 s 2 W + M 2 c 2 W<br />

) }<br />

(B.23)<br />

89


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Muon g − 2 and EDM at J-PARC, AIP Conf. Proc. 1467, 45 (2012).<br />

[50] N. Arkani-Hamed, G. L. Kane, J. Thaler, and L.-T. Wang, Supersymmetry and<br />

the LHC Inverse Problem, JHEP 0608, 070 (2006).<br />

[51] A. Czarnecki and W. J. Marciano, The Muon Anomalous Magnetic <strong>Moment</strong>: A<br />

Harbinger for “New Physics”, Phys. Rev. D64, 013014 (2001).<br />

[52] S. Ferrara and E. Remiddi, Absence of the Anomalous Magnetic <strong>Moment</strong> in a<br />

Supersymmetric Abelian Gauge Theory, Phys. Lett. B53, 347 (1974).<br />

[53] D. Stöckinger, The Muon Magnetic <strong>Moment</strong> and Supersymmetry, J. Phys. G34,<br />

R45 (2007).<br />

[54] T. Moroi, The Muon Anomalous Magnetic Dipole <strong>Moment</strong> in the Min<strong>im</strong>al<br />

Supersymmetric Standard Model, Phys. Rev. D53, 6565 (1996).<br />

[55] M. Endo, K. Hamaguchi, S. Iwamoto, and T. Yoshinaga, Muon g − 2 vs LHC in<br />

Supersymmetric Models, (2013).<br />

[56] S. Marchetti, S. Mertens, U. Nierste, and D. Stöckinger, Tan β-Enhanced Supersymmetric<br />

Corrections to the Anomalous Magnetic <strong>Moment</strong> of the Muon, Phys.<br />

Rev. D79, 013010 (2009).<br />

[57] S. P. Martin and J. D. Wells, Muon Anomalous Magnetic Dipole <strong>Moment</strong> in<br />

Supersymmetric Theories, Phys. Rev. D64, 035003 (2001).<br />

[58] M. S. Carena, D. Garcia, U. Nierste, and C. E. M. Wagner, Effective Lagrangian<br />

for the ¯tbH + Interaction in the MSSM and Charged Higgs Phenomenology, Nucl.<br />

Phys. B577, 88 (2000).<br />

[59] A. Crivellin et al., SUSY_FLAVOR v2: A Computational Tool for FCNC and CP-<br />

Violating Processes in the MSSM, Comput. Phys. Commun. 184, 1004 (2013).<br />

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Danksagung<br />

An erster Stelle möchte ich Dominik Stöckinger danken. Er hat mich für Quantenfeldtheorien<br />

und Supersymmetrie begeistert und somit wesentlich zu meiner Entscheidung<br />

für die theoretische Teilchenphysik beigetragen. Außerdem schlug er das Thema<br />

dieser Arbeit vor und unterstützte mich in ausgedehnten Gesprächen tatkräftig bei<br />

<strong>des</strong>sen Bearbeitung.<br />

Ich bedanke mich herzlich bei Martin Philip Dießner, Christoph Gnendiger, Ulrik<br />

Günther, Marcus Sperling, Alexander Voigt sowie unseren drei Bacheloranden Tom,<br />

Patrick und Robert für die meist produktive, manchmal aber auch erfrischend<br />

unphysikalische Atmosphäre in unserem gemeinsamen Büro.<br />

Für das kritische Lesen dieser Arbeit und Anbringen von zahlreichen Verbesserungsvorschlägen<br />

möchte ich mich bei Philip Dießner und Marcus Sperling bedanken.<br />

Weiterhin danke ich der Studienstiftung <strong>des</strong> deutschen Volkes für die finanzielle,<br />

insbesondere aber auch ideelle Förderung während meines Studiums.<br />

Mein abschließender Dank gilt meiner Familie, ohne deren Unterstützung weder<br />

meine schulische noch universitäre Laufbahn in dieser Form möglich gewesen wäre.


Erklärung<br />

Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit ohne unzulässige Hilfe Dritter<br />

und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Hilfsmittel angefertigt habe. Die<br />

aus fremden Quellen direkt oder indirekt übernommenen Gedanken sind als solche<br />

kenntlich gemacht. Die Arbeit wurde bisher weder <strong>im</strong> Inland noch <strong>im</strong> Ausland in<br />

gleicher oder ähnlicher Form einer anderen Prüfungsbehörde vorgelegt.<br />

Markus Bach<br />

Dresden, Dezember 2013

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