Teil VII Relativistische Invarianz der Elektrodynamik

ct
ct
x(t)
x
Koordinatentransformationen Für freie Teilchen sind die Weltlinien Geraden. Die gesuchten
Transformationen A müssen also nach dem Trägheitsgesetz geradentreu sein und
sogar affin (Geraden werden auf Geraden abgebildet, parallele Geraden bleiben parallel,
Teilverhältnisse bleiben erhalten), wenn kein Ereignis ins Unendliche abgebildet werden
soll,
x ′ = Ax + a; (detA ≠ 0; a ∈ R 4 ) . (18.5)
Koordinatendifferenzen ξ = x − x 0 transformieren sich homogen,
ξ ′ = Aξ .
Metrischer Tensor
Invarianz von
Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit verlangt nach (18.4) die
0 = c 2 (t − t 0 ) 2 − (⃗x − ⃗x 0 ) 2 3∑
= (ξ 0 ) 2 − (ξ i ) 2 = ξ T g ξ , (18.6)
i=1
unter Lorentz-Transformationen, wobei ξ T der transponierte 4-er Vektor ist und wir mit
g =
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
den „metrischen Tensor“ g im R 4 definiert haben.
Minkowski-Raum Der metrische Tensor g führt via
⎞
⎟
⎠
(18.7)
(ξ 1 , ξ 2 ) ≡ ξ T 1 g ξ 2 (18.8)
zu einem Skalarprodukt (ξ 1 , ξ 2 ), welches allerdings nicht positiv definit ist. Den R 4 mit
dem Skalarprodukt (18.8) bezeichnet man als den Minkowski-Raum.
Invarianz der Lichtgeschwindigkeit Die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit ist mit
der Invarianz von (18.6) unter einer Lorentz-Transformation ξ → ξ ′ = Aξ äquivalent,
0 = (ξ ′ ) T g ξ ′ = ξ T A T g A ξ ,
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