Skriptum

Satz 4.9. Die Anzahl der Variationen mit Zurücklegen ist n k .
Beweis. Für jedes der k ausgewählten Elemente gibt es n Möglichkeiten. Die Gesamtanzahl
ist daher n · n ···n = n k .
Beispiel 4.10.
|{a,b,c} 2 | = |{(x 1 , x 2 ) | x i ∈ {a,b,c}}| = |{(a, a),(a,b),(a,c),(b, a),...,(c,c)}| = 3 2 = 9
Beispiel 4.11. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer PS-Gruppe mit
30 Studenten mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben? Schaltjahre sind
der Einfachheit halber zu ignorieren.
Die Menge der möglichen Geburtstagslisten ist Ω = {1.1.,...,31.12.} 30 , also eine
Variation mit Wiederholung, und daher ist |Ω| = 365 30 . Mit G =„mindestens
zwei gleiche Geburtstage“ ist Ḡ =„keine zwei gleichen Geburtstage“ eine Variation
ohne Wiederholung. Daher ist
P(G) = 1 − P(Ḡ) = 1 −
365!
(365−30)!
365 30 ≈ 1 − 0.294 = 70.6%.
Definition 4.12. Als Kombination ohne Wiederholung bezeichnet man die Menge
der Auswahlen von je k aus n Elementen.
{A ⊆ {b 1 ,b 2 ,...,b n } | |A| = k}
Das entspricht der Ziehung von k Kugeln aus n ohne Zurücklegen, wobei die
Reihenfolge der Kugeln keine Rolle spielt.
Satz 4.13. Die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung ist
( )
n n!
=
k k!(n − k)! .
Beweis. Die Variationen ohne Wiederholung sind gerade die Permutationen aller
Kombinationen ohne Wiederholung, wobei man auf diese Weise keine Variation
doppelt erzeugt. Die Anzahl der Kombinationen ist also die der Variationen
dividiert durch die Permutationen der k Elemente, also dividiert durch k!, also
n!
(n−k)!k! .
Beispiel 4.14.
|{x ⊆ {a,b,c,d} | |x| = 2}| = |{{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}}|
( )
4 4!
= =
2 2!(4 − 2)! = 4!
2!2! = 4 · 3 · 2
2 · 2 = 6
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