Skriptum

1
25%
5
75%
1
4
10%
5
90%
5% 15% 8% 72%
(a) B = „Montag“, A = „Defekt“
13%
38.5% 61.5%
1
87%
17.2% 82.8%
5% 8% 15% 72%
(b) A und B vertauscht.
Abbildung 10: Beispiel für Entscheidungsbaum.
bzw. für n = 2
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A| ¯B)P( ¯B).
Beweis. P(A|B 1 )P(B 1 ) + ... + P(A|B n )P(B n ) = P(A ∩ B 1 ) + ... + P(A ∩ B n ) B i ∩B j =
========
⋃
Bi =Ω
P(A ∩ B 1 ∪ ... ∪ A ∩ B n ) = P(A ∩ (B 1 ∪ ... ∪ B n )) ======= P(A).
Beispiel 5.6. P(„Auto nicht am Montag produziert“) = P( ¯B) = 4 5
. Es sei P(„Nichtmontagsauto
hat Defekt“) = P(A| ¯B) = 10%. Dann ist P(„Auto hat Defekt“) = P(A)
= P(A|B)P(B)+P(A| ¯B)P( ¯B) = 25%· 1
5 +10%· 4
5
= 5%+8% = 13%. Abbildung 10(b)
zeigt den Zusammenhang im Entscheidungsbaum mit vertauschten Ereignissen
A und B.
Da man den Entscheidungsbaum quasi „umdrehen“ kann, bietet es sich an,
auch die bedingte Wahrscheinlichkeit „umzudrehen“, d.h. P(B i |A) aus P(A|B i )
zu berechnen.
Satz 5.7 (Bayes).
bzw. für n = 2
P(B i |A) = P(A|B i )P(B i )
P(A)
P(B|A) =
=
P(A|B i )P(B i )
P(A|B 1 )P(B 1 ) + ... + P(A|B n )P(B n ) ,
P(A|B)P(B)
P(A|B)P(B) + P(A| ¯B)P( ¯B) .
Beweis. Aus der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich
Umgeformt wird das zu
P(A ∩ B i ) = P(A|B i )P(B i ) = P(B i |A)P(A).
P(B i |A) = P(A|B i )P(B i )
.
P(A)
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