Skriptum

0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
Binomial
Poisson
0
0 5 10 15 20
Abbildung 13: Vergleich von B 20,
1 und P
4 20· 1 = P 5 .
4
E(X 2 ) =
∞∑
k 2 λk
k=0
∞∑
k! e−λ = e −λ λ
= e −λ λ
∞∑
(k − 1)! = e−λ λ (k + 1) λk
k=0
k!
( )
∞∑
k λk ∞∑
k=0
k! + λ k
k=0
k!
k λk−1
k=1
V(X ) = E(X 2 ) − E(X ) 2 = λ 2 + λ − λ 2 = λ.
= e −λ λ(e λ λ + e λ ) = λ 2 + λ.
6.2 Stetige Verteilungen
Die Rolle der Wahrscheinlichkeitsfunktion übernimmt bei stetigen Verteilungen
die Dichtefunktion.
Definition 6.32. Die Dichtefunktion oder Dichte einer stetigen Zufallsvariable
X ist eine Funktion f X : R −→ R, deren Integral die Verteilungsfunktion ergibt:
∫ x
−∞
f X (u)du = F X (x).
Die Dichtefunktion ist nicht-negativ, weil sonst die Verteilungsfunktion nicht
monoton steigend wäre und es negative Wahrscheinlichkeiten gäbe. Wo F differenzierbar
ist, ist natürlich f X (x) = F ′ X (x).
Satz 6.33.
∫ b
P(a ≤ X ≤ b) = f X (x)dx = F X (b) − F X (a).
a
31