Skriptum

11 Simulation
Sehr oft sind gewisse Fragestellungen in der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie
nicht oder nur schwer analytisch zu lösen. In diesem Fall können die
zugrunde liegenden Zufallsprozesse simuliert und daraus Erkenntnisse abgeleitet
werden. Dazu müssen zuerst Zufallszahlen erzeugt werden.
Definition 11.1. Gleichverteilte Pseudozufallszahlen können mit Hilfe von sogenannten
Kongruenz-Generatoren erzeugt werden. Dabei berechnet man eine
Folge x i von natürlichen Zahlen mittels x i+1 = (ax i + c) mod m (additiver Kongruenz-Generator)
oder x i+1 = ax i mod m (multiplikativer Kongruenz-Generator).
Dabei müssen die Parameter a, c und m gewisse Bedingungen erfüllen.
Kriterien für „gute“ Generatoren findet man in der Literatur. Bei geeigneten Parametern
sind die x i
m
gleichverteilt auf [0,1].
Beispiel 11.2. m = 714025, a = 1366, c = 150889. x 0 sei 400000 (random seed).
x
x 1 = 321764, x 2 = 555138, x 3 = 174847, x 4 = 507541,... .
m = (0.560204,0.450634,0.777477,0.244875,0.710817,...).
Satz 11.3. Nicht gleichverteilte Zufallszahlen können mittels der Methode der
inversen Transformation erzeugt werden. Da Verteilungsfunktionen (F ) bis auf
Teilintervalle mit konstantem Funktionswert bijektiv sind, können Umkehrfunktionen
(Quantilfunktionen) F −1 gebildet werden. Die konstanten Teilintervalle
werden bei der Umkehrung einfach zu Unstetigkeitsstellen. Ist nun (x 1 , x 2 ,...) eine
Folge von gleichverteilten Zufallszahlen, dann ist (F −1 (x 1 ),F −1 (x 2 ),...) eine
Folge von Zufallszahlen mit der Verteilungsfunktion F .
Beweis. Wenn X gleichverteilt ist auf [0,1], dann ist P(X ≤ x) = x und daher
P(F −1 (X ) ≤ x) = P(X ≤ F (x)) = F (x).
Beispiel 11.4. Exponentialverteilung: f (x) = βe −βx ,F (x) = 1 − e −βx für x > 0. Es
folgt F −1 (y) = − 1 β
ln(1 − y). Mit obigen Zufallszahlen erhalten wir für β = 1:
(0.8214,0.599,1.5027,0.281,1.2407).
Da Φ −1 (p) schwer berechenbar ist, gibt es für die Normalverteilung eine bessere
Lösung:
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