Skriptum

1
0.75
0.5
0.25
0
0 2 4 6 8 10
Abbildung 6: Quantile als inverse Verteilungsfunktion.
Beispiel 1.20.
s 2 = 5.12 + ... + 6.3 2 − 7 · 6.5 2
6
= 3.32.
Definition 1.21. Das Quantil ˜x α ist der Wert, unter dem ein Anteil von α ∈ [0,1]
der Werte liegt. ˜x 1 heißt Median, ˜x 1 heißt erstes oder unteres Quartil, ˜x 3 heißt
2
4
4
drittes oder oberes Quartil. Wenn die Werte x i sortiert sind, dann ist ˜x α im Prinzip
der Wert an der Stelle α·n. Das kann man als die inverse empirische Verteilungsfunktion
auffassen. Für 0 < α < 1 gilt:
{
x⌈αn⌉ αn ∉ N
Beispiel 1.22.
˜x α :=
x αn +x αn+1
2
αn ∈ N
˜x 1 = x
4 ⌈
7
4 ⌉ = x 2 = 5.1, ˜x 1 = x 4 = 6.3, ˜x 3 = x 6 = 7.7, ˜x 2 = x 2 + x 3
= 5.5
2
4
7 2
{3.9, { 5.1
}} {
}{{}
,5.9,
}{{}
6.3 ,7.1,
}{{}
7.7 ,9.5}
Abbildung 6 zeigt, wie die Quantile an der Verteilungsfunktion abgelesen werden
können.
Satz 1.23. Sind die Daten als Häufigkeitstabelle gegeben, so gilt:
s 2 = 1 m∑
n − 1
i=1
¯x = 1 n
m∑
H i x i ,
i=1
((
H i (x i − ¯x) 2 = 1 m∑
H i x 2 i
n − 1
i=1
)
− n ¯x 2 )
7