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Bigalke / Köhler 

Mathematik 

Gymnasiale Oberstufe 

Nordrhein-Westfalen 

Qualifikationsphase 

Leistungskurs 

Teildruck 

mit CD-ROM

Inhalt 

Basis 

Basis/Erweiterung 

Vertiefung 

VII. Integrationsmethoden 

1. Die Produktintegration . . . . . . 176 

2. Die Substitutionsmethode . . . . 180 

IX. Logarithmusfunktionen 

1. Die Differentiation 

der Umkehrfunktion . . . . . . . . . 244 

2. Die natürliche 

Logarithmusfunktion . . . . . . . . 246 

3. Die Ableitung von f (x) = ln x/ 

Logarithmische Integration . . . 250 

4. Elementare Funktionsuntersuchungen 

. . . . . . . . . . . . 255 

5. Kurvendiskussionen . . . . . . . . . 258 

X. Weiterführung 

der Integralrechnung 

1. Das Volumen von 

Rotationskörpern . . . . . . . . . . . 272 

2. Uneigentliche Integrale . . . . . . 278 

3. Numerische Integrationsverfahren 

. . . . . . . . . . . . . . . . . 284 

XIV. Skalarprodukt 

und Vektorprodukt 

5. Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . 390 

XVII. Kugeln 

1. Kugelgleichungen . . . . . . . . . . 466 

2. Kugeln, Geraden und 

Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 

XXII. Die Normalverteilung 

1. Die Normalverteilung . . . . . . . 600 

2. Anwendung der Normalverteilung 

. . . . . . . . . . . . . . . . . 606 

Kapitel des Leistungskursbandes 

I. Funktionsuntersuchungen 

II. Anwendungen der Differentialrechnung 

III. Grundlagen der Integralrechnung 

IV. Anwendungen der Integralrechnung 

V. Ableitungsregeln 

VI. Untersuchung weiterer Funktionen 

VII. Integrationmethoden 

VIII. Exponentialfunktionen 


X. Weiterführung der Integralrechnung 

XI. Lineare Gleichungssysteme 

XII. Vektoren 

XIII. Geraden 

XIV. Skalarprodukt und Vektorprodukt 

XV. Ebenen 

XVI. Winkel und Abstände 

XVII. Kugeln 

XVIII. Matrizen 

XIX. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 

XX. Zufallsgrößen 

XXI. Die Binomialverteilung 


XXIII. Das Testen von Hypothesen 

XXIV. Schätzen 

XXV. Komplexe Aufgaben 

Tabellen zur Stochastik


y 

Im Kapitel III wurden bereits einfache Integrationsregeln 

direkt aus entsprechenden Regeln zur Differentiation 

gewonnen. Im Folgenden wird aus der Produktregel 

der Differentiation eine entsprechende Methode für die 

Produktintegration hergeleitet. Mit dieser Methode 

können komplizierte Integrale auf einfachere zurückgeführt 

werden. Auch die Substitutions methode 

verfolgt dieses Ziel. Sie lässt sich sehr einfach 

durchführen, wenn man mit Differentialen 

(vgl. Abbildung) arbeiten. 

Graph 

Tangente 

P (x | y) 

d y = y' · d x 

d x 

x

176 


1. Die Produktintegration 

„Integriert“ man die Produktregel der Differentialrechnung 

beidseitig, so erhält man 

im Endergebnis eine Gleichung, die zwei 

Integrale miteinander verbindet, deren Integrationsterme 

Produkte sind, sodass man 

auch von Produktintegration spricht. 

Wenn man eines dieser Integrale ausrechnen 

kann, so kann man auch das andere 

möglicherweise schwierigere Integral bestimmen. 

Produktregel der Differentialrechnung: 

(u ·v) 0 =(u 0 ·v) +(u·v 0 ) 

Integration beider Seiten: 

ð 

ð ð 

(u·v) 0 dx = u 0 ·v dx + u·v 0 dx 

Ausrechnen der linken Seite: 

ð ð 

u·v+C = u 0 ·v dx + u·v 0 dx ) 

ð 

ð 

u 0 ·vdx =u·v– u·v 0 dx 

 

Das Verfahren der Produktintegration 

führt also im Idealfall eine schwere Integrationsaufgabe 

auf eine leichte Integrationsaufgabe 

zurück, mehr nicht. 

Regel zur Produktintegration 

ð 

ð 

u 0 ·v dx= u·v– u·v 0 dx 

Die Regel zur Produktintegration gilt dann, wenn die beteiligten Faktoren u(x) und v(x) differenzierbar 

und ihre Ableitungen u 0 (x) und v 0 (x) stetig sind. 

Oft wird die Produktintegration auch als partielle Integration bezeichnet. Die gegebene Integrationsaufgabe 

wird zunächst nur teilweise, d. h. partiell gelöst, denn das gesuchte Integral wird 

nicht direkt bestimmt, sondern nur auf ein weiteres, evtl. einfacheres Integral zurückgeführt. 

Wir behandeln nun zwei Integraltypen, welche mittels Produktintegration beherrschbar sind. 

Aus Gründen der Übersichtlichkeit lassen wir im Folgenden – auch wenn dies formal nicht ganz 

korrekt ist – in allen Zwischenrechnungen die Integrationskonstante weg und notieren diese erst 

wieder im Endergebnis. 

Typ 1: Abräumen von Polynomen 

Ist einer der Faktoren des Integranden ein Polynom und wird der andere Faktor beim Integrieren 

nicht komplizierter, so kann man das Polynom durch mehrfache Anwendung der Produktintegration 

„abräumen“, da sich sein Grad mit jedem Differentiationsvorgang erniedrigt. 

* Bei dieser Gleichung benötigt man keine Integrationskonstante mehr, da sowohl auf der rechten als auch 

auf der linken Gleichungsseite die Menge aller Stammfunktionen dargestellt ist.

1. Die Produktintegration 177 

c 

........................................................................................................................................ 

Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral 

ð 

sin x ·x 2 dx. 

Lösung: 

Wir wenden auf das gegebene Integral zunächst die Produktintegration an, wobei wir u 0 ðxÞ¼sin und 

vðxÞ¼x 2 setzen. Wir erhalten 

ð 

sin x · x 2 dx ¼ (– cos x)·x 2 – 

ð 

(– cos x)·2x dx 

u 0 v u v u v 0 

ð 

¼ (– cos x)·x 2 + 2 cos x·x dx. 

Das rechtsseitige Integral ist ähnlich strukturiert wie das Ausgangsintegral, jedoch etwas einfacher, da 

der Grad des Polynomfaktors um 1 gesunken ist. 

Wir wenden die Produktintegration nun noch einmal an, und zwar auf das rechtsseitige Integral. 

Dieses wird so auf ein einfaches Grundintegral zurückgeführt. 

ð 

coxx·x dx ¼ sin x·x – 

ð 

sin x ·1 dx 

u 0 v u v u v 0 

¼ sinx·x + cos x 

Wir setzen das Ergebnis dieser letzten Produktintegration nun in die obige Gleichung ein und erhalten 

das gesuchte unbestimmte Integral. 

Resultat: 

ð 

sin x ·x 2 dx ¼ (– cosx) ·x 2 + 2 (sin x · x + cos x) + C 

c ¼ 2 x ·sin x + cos x·(2 – x 2 )+C 

Typ 2: Wiederentstehung des Ausgangsintegrals 

Wenn beide Faktoren beim Integrieren oder Differenzieren nach einer Anzahl von Schritten wieder 

auftreten, dann kann man so oft Produktintegrationen ausführen, bis das Ausgangsintegral 

selbst wieder auftritt. Die sodann entstandene Gleichung löst man nach dem Ausgangsintegral 

auf. Oftmals müssen zusätzlich jedoch kleine Tricks, wie z.B. einfache Termumformungen, angewendet 

werden.

178 


c 

............................................................... .................................................................................... 

c 

c 

c 

Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral 

ð 

cos 2 x dx. 

Lösung: 

Produktintegration des Ausgangsintegrals: 

ð 

ð 

ð 

ð 

cos 2 xdx= cos x ·cos x dx = sin x·cos x – sin x ·(– sin x) dx = sin x ·cos x + sin 2 x dx. 

u 0 v u v u v 0 

Man gewinnt den Eindruck, dass die Produktintegration nicht weiterführt. Das Integral auf der 

rechten Seite ist anscheinend genauso kompliziert wie das Ausgangsintegral. Wendet man allerdings 

den trigonometrischen Pythagoras an, so entsteht rechtsseitig das Ausgangsintegral wieder: 

ð 

ð 

ð 

cos 2 x dx = sin x ·cos x · (1 – cos 2 x) dx = sin x ·cos x + x – cos 2 x dx. 

Auflösen nach dem Ausgangsintegral liefert das Resultat: 

ð 

2 cos 2 x dx = x + sin x ·cos x + C und somit 

ð 

cos 2 xdx = 1 (x + sin x ·cos x) + C. 

2 

Mithilfe der Produktintegration können Rekursionsformeln ermittelt werden. 

Beispiel: Weisen Sie die folgende Rekursionsformel nach: 

ð 

ð 

x n sin x dx ¼ –x n cos x + n x n–1 cos x dx 

Lösung: 

Produktintegration des Ausgangsintegrals: 

ð 

x n sin x dx ¼ –x n cos x + 

ð 

nx n–1 cos x dx 

u v 0 u v u 0 v 

ð 

¼ –x n cos x + n x n–1 cos x dx 

ðn 2 NÞ. 

ð 

Das Restintegral x n–1 cos x dx ist von demselben Typ wie das Ausgangsintegral, allerdings 

von niedrigerer Ordnung. 

Übung 1 

Weisen Sie die folgende Rekursionsformel nach: 

ð 

ð 

x n cos x dx ¼ x n sinx – n x n–1 sinx dx 

ðn 2 NÞ.

1. Die Produktintegration 179 

Übungen 

Produktintegration 

2. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration vom Typ 1 „Abräumen“. 

ð 

ð 

a) x ·cos x dx b) x 2·cos ð 

x dx c) (ax+b) ·sin x dx 

d) 

ð 

ð 

ð 

(ax 2 +bx+c) ·cos x dx e) x ·cos ax dx ða 2 RÞ f) x 4·sin x dx 

3. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration vom Typ 2 „Wiederentstehung 

des Ausgangsintegrals“. 

ð 

ð 

ð 

a) sin x ·cos x dx b) sin 3 xdx c) sin 2 x ·cos 1 2 xdx 

4. Beweisen Sie, dass für eine differenzierbare Funktion u(x) gilt: 

ð 

a) u·u 0 dx ¼ 1 2 u2 +C, 

b) 

ð 

u n·u 0 dx ¼ 1 

n þ 1 un+1 +C 

ðn 2 NÞ. 

5. Weisen Sie die folgenden Rekursionsformeln nach. 

ð 

ð 

a) cos n xdx¼ 1 n cosn–1 x ·sin x + n 1 cos n–2 xdx 

n 

ð 

ð 

b) sin n xdx¼ – 1 n sinn–1 x ·cos x + n 1 sin n–2 xdx 

n 

ðn 2 NÞ 

ðn 2 NÞ 

Knobelaufgabe 

Tim und Tom sind gute Freunde. Nach dem (in vollen Lebensjahren angegebenen) 

Alter gefragt, antwortet Tim: „Ich bin jetzt doppelt so alt, wie Tom 

war, als ich so alt war, wie Tom jetzt ist. Wenn Tom so alt sein wird, wie ich 

jetzt bin, dann werden wir zusammen 63 Jahre alt sein.“ 

Wie alt ist Tim? Wie alt ist Tom? Überprüfe deine Ergebnisse durch eine 

Probe.

180 


2. Die Substitutionsmethode 

Ein Hauptproblem der Integralrechnung ist das Auffinden von Stammfunktionen zu gegebenen 

Funktionen. 

Die Errechnung einer Stammfunktion kann im Einzelfall auch für einen Mathematiker zu einem 

schwierigen Unterfangen werden. Daher gibt es umfangreiche Integraltafeln, in denen zu einer 

großen Zahl von Funktionen die zugehörigen Stammfunktionen verzeichnet sind, die im Laufe 

der Zeiten in mühevoller Arbeit gefunden wurden. 

Einige dieser Integrale wurden mit der bereits behandelten Produktintegration (oder partiellen 

Integration) bestimmt. 

Eine weitere Integrationsmethode, die auf der Kettenregel der Differentialrechnung beruht, wird 

als Substitutionsmethode bezeichnet. 

Dieses Verfahren lässt sich besonders einfach 

durchführen, wenn man mit Differentialen 

arbeitet. 

Anschaulich sind Differentiale die KathetenlängeninSteigungsdreieckeneinerKurventangente. 

dxist derTangentenzuwachs in x-Richtung 

und dy der Tangentenzuwachs in y-Richtung. 

Der Quotient dy dieser Differentiale 

dx 

ist gleich der Steigung der Kurve im entsprechenden 

Kurvenpunkt P: dy 

dx ¼ y0 . 

y 

P 

Graph 

f 

dy 

dx 

Tangente 

x 

c 

............................................................... 

. 

Typ 1: Substitution eines Teilterms des Integranden 

ð 

Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral ð4xþ 1Þ 3 dx. 

Lösung: Wir substituieren (ersetzen) einen 

Teilterm des Integranden durch eine neue 

Variable z. Hier ersetzen wir 4x þ 1 durch 

z. Anschließend versuchen wir, die restlichen 

Teile des Integrals ebenfalls in 

Abhängigkeit von z darzustellen. Dabei 

verwenden wir die Differentialquotientengleichung 

z 0 ¼ dz 

dx ¼ 4. 

Wir erhalten ein Integral, dessen Integrand 

nur noch von z abhängt. Entscheidend ist, 

dass es leichter zu bestimmen ist als das 

Ausgangsintegral. Die errechnete Stammfunktion 

ist wieder eine Funktion von z. 

(1) Substitution: 4xþ 1 ¼ z 

ð 

ð 

ð4xþ 1Þ 3 dx ¼ z 3 dx 

(2) Differentialquotient: z 0 ¼ dz 

dx ¼ 4 

dx ¼ dz 

4 

(3) Einsetzen von (2) in (1): 

ð 

ð ð 

ð4xþ 1Þ 3 dx ¼ z 3 dz 

4 ¼ 

¼ 1 

16 z4 þ C 

1 

4 z3 dz

1. 2. Die Produktintegration Substitutionsmethode 

181 

.......................................................................... ......... 

c 

c 

c 

Die Resubstitution z ¼ 4xþ 1 liefert nun 

eine Stammfunktion unseres Ausgangsintegranden, 

womit die Aufgabe gelöst ist. 

ð4Þ Resubstitution: z ¼ 4xþ 1 

ð 

ð4xþ 1Þ 3 dx ¼ 1 16 ð4xþ 1Þ4 þ C 

Es kommt also darauf an, einen geeigneten Teilterm des Integranden so geschickt zu substituieren, 

dass das Ausgangsintegral in ein einfacheres Integral umgewandelt wird. 

Übung 1 

Berechnen Sie das unbestimmte Integral mithilfe der Substitutionsmethode. 

a) 

ð 

ð2xþ 1Þ 3 dx b) 

ð 

cosð4xÞdx c) 

Typ 2: Substitution der Integrationsvariablen 

ð 

4 

dx d) 

ð5 3xÞ 2 

ð 

1 

Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

dx, 0 < x < 1. 

Lösung: 

Hier könnte man zunächst die Substitutionen 

z ¼ x 2 ,z¼ 1 x 2 oder z ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 x 2 

p 

versuchen. Keine führt zum Ziel. 

Wenn man allerdings die Integrationsvariable 

x selbst durch den Term sin z substituiert 

und das Differential dx dementsprechend, 

so hat man Erfolg. Dann vereinfacht 

sich das Ausgangsintegral nach 

Anwendung des trigonometrischen Pythagoras 

in verblüffender Weise. 

Abschließend müssen wir mithilfe der 

Umkehrfunktion des Sinus die Substitution 

rückgängig machen. 

Wir erhalten als Resultat die nebenstehende 

wichtige Integrationsformel. 

1 x 2 

ð 

sin 5 x cos x dx 

(1) Substitution: x ¼ sin z, 0 < z 

(2) Differentiale: x 0 ¼ dx 

dz ¼ cos z 

dx ¼ cos z dz 

(3) Einsetzen von (1) und (2): 

ð 

ð 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 

1 

dx ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

cos z dz 

¼ 

¼ 

1 x 

ð 

2 


1 

cos 2 z 

ð 

dz ¼ z þ C 

1 sin 2 z 

ð 

cos z dz ¼ 

1 

cos z 

(4) Resubstitution : z ¼ arcsin x 

ð 


1 

dx ¼ arcsin x þ C 

1 x 2 

cos z dz 

Übung 2 

Berechnen Sie das unbestimmte Integral. Wenden Sie die Variante der Substitutionsmethode an, 

bei der die Integrationsvariable x selbst durch einen geeigneten Term substituiert wird. 

ð 

x 

aÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

dx ð0 < x < 1Þ Substituieren Sie x so durch einen trigonometrischen Term, dass die 

1 x 4 

Wurzel wegf€allt: 

ð 

x 

bÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

dx ð0 < x < 1Þ Substituieren Sie x so durch einen quadratischen Term, dass die Wurzel 

1 x 

wegf€allt: 

* Die Umkehrfunktion der Sinusfunktion ist die Arkussinusfunktion (arcsin). Auf einigen Taschenrechnern 

gibt es dafür die Taste sin 1 .

182 


Bemerkungen zur Substitutionsmethode 

Die folgenden eher theoretischen Ausführungen kann der praktisch Interessierte ohne Bedenken 

übergehen. Wir raten ihm, sich die Zeit vielmehr mit dem Lösen von Übungsaufgaben zu vertreiben, 

denn nur so lernt man, Substitutionsintegrationen durchzuführen. 

Begründung zur Typ-1-Substitution: 

Eine Typ-1-Substitution kann versucht werden, wenn das Integral – abgesehen von konstanten 

Faktoren – die Gestalt Ð fðgðxÞÞ g 0 ðxÞdx besitzt. Man substituiert dann gðxÞ¼z und erhält das 

Integral Ð fðzÞdz. Anschließend bestimmt man eine Stammfunktion F(z) von f(z) und resubstituiert 

z=g(x), sodass man im Ergebnis F(g(x)) als Stammfunktion des Ausgangsintegranden 

erhält. 

Dass F(g(x)) tatsächlich eine Stammfunktion von fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ ist, weist man durch eine Differentiation 

mithilfe der Kettenregel nach: ½FðgðxÞÞŠ 0 ¼ F 0 ðgðxÞÞ g 0 ðxÞ=fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ: 

Bemerkung zur Typ-2-Substitution: 

In der Regel liegt der Integrand nicht in reiner Typ-1-Form fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ vor. Dann kann man 

eine Typ-2-Substitution versuchen, bei welcher die Integrationsvariable x selbst durch einen 

Term t(z) substituiert wird, sodass das Integral Ð fðxÞdx in das Integral Ð fðtðzÞÞ t 0 ðzÞdz transformiert 

wird, das dann im günstigsten Fall einfacher zu lösen ist als das Ausgangsintegral. Diese 

Vorgehensweise hat den Vorteil, dass man nicht an eine bestimmte Form der Substitution gebunden 

ist, sondern mit beliebigen Substitutionstermen frei experimentieren kann. Allerdings 

wählt man den Substitutionsterm meistens so, dass ein besonders unangenehmer Teil des Integranden 

– wie z:B: ein Quadrat oder eine Wurzel – wegfällt. Beliebte Substitutionsterme sind 

x ¼ z 2 ,x¼ 1 ,x¼ sin z. 

z 

Knobelaufgabe 

Frau Klug hat drei Töchter. Als ihr Nachbar Herr Schlau sie nach dem Alter 

ihrer Töchter fragt, sagt sie: 

„Das Produkt ihrer Alter ergibt 36. Die Summe ihrer Alter ist meine Hausnummer.“ 

Daraufhin antwortet Herr Schlau: „Diese Angaben genügen noch nicht. 

Die Antwort ist nicht eindeutig.“ 

Daraufhin sagt Frau Klug: „Meine älteste Tochter heißt Julia.“ 

Wie alt sind die drei Töchter?


183 

Anwendung auf bestimmte Integrale 

Die Substitutionsmethode lässt sich auch auf bestimmte Integrale anwenden. Hierfür sind zwei 

Wege möglich. Entweder bestimmt man wie oben eine Stammfunktion des Integranden und 

setzt anschließend die Grenzen ein oder man arbeitet sofort mit bestimmten Integralen wie unten 

in der 2. Lösung dargestellt. 

c 

.................................................................................................................................. 

c 

Beispiel: Berechnen Sie das bestimmte Integral 

1. Lösung: 

Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion 

des Integranden und verwenden 

hierzu die Typ-1-Substitution z ¼ 1 þ x 2 . 

Wir gehen wie im obigen Beispiel vor. 

Einsetzen der Integrationsgrenzen in eine 

Stammfunktion des Integranden liefert 

dann das Ergebnis des gesuchten bestimmten 

Integrals. 

2. Lösung: 

Arbeitet man von Anfang an mit dem bestimmten 

Integral, so muss beachtet werden, 

dass die Integrationsgrenzen bei der 

Substitution ebenfalls zu verändern sind. 

Läuft ursprünglich die Integrationsvariable 

x von 2 bis 3, so läuft die neue Integrationsvariable 

z ¼ 1 þ x 2 monoton von 5 

bis 10. Wichtig ist hierbei die Monotonie 

des Substitutionsterms 1 þ x 2 im betrachteten 

Bereich, die ausschließt, dass die Integrationsvariable 

etwa zurückläuft. 

Man erhält selbstverständlich bei beiden 

Lösungswegen dasselbe Ergebnis für das 

gesuchte bestimmte Integral. 

ð 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

x 

1 þ x 2 

2 

dx mittels Substitution. 

Substitution: z ¼ 1 þ x 2 

Differentiale: z 0 ¼ dz 

dz 

¼ 2x) dx ¼ 

dx 2x 

Stammfunktion: 

ð 

ð p 


x 

1 

dx ¼ p dz ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 þ x 2 þ C 

1 þ x 2 

2 ffiffi z 

Einsetzen der Integrationsgrenzen: 

hpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffii 3 


x 

dx ¼ 1 þ x 2 0,93 

2 

ð 3 2 

1 þ x 2 

Integrationsgrenzen: 

x läuft von 2 bis 3 

z läuft von 5 bis 10 

z 

10 

5 

1 

Rechnung: 


x 

1 þ x 2 

2 

10 

ð 

dx ¼ 

z = 1 + x 2 

1 2 3 x 

p 

p dz ¼ ½ ffiffi zŠ 10 

5 0,93 

1 

2 ffiffi z 

5 

Übung 3 

Berechnen Sie das bestimmte Integral mittels Substitution auf zwei Arten. 

p 

a) 

0 

ffip 

2 

ð 

ð 3 

xcosðx 2 Þdx b) 

0 

1 

ð1 þ xÞ 2 dx c) 

ð 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

x 

x þ 2 

1 

dx

184 


Bemerkung zur Substitution bei bestimmten Integralen: 

Substituiert man bei bestimmten Integralen die Integrationsgrenzen mit, so ist darauf zu achten, 

dass der Substitutionsterm über dem Integrationsintervall monoton ist. Wir wollen an einem 

Gegenbeispiel demonstrieren, dass eine Nichtbeachtung der Monotonie zu einem falschen Ergebnis 

führt. 

Hierzu bearbeiten wir das bestimmte Integral 

1 x 2 dx mithilfe der Substitutions- 

Ð 

1 

methode. Mit der Substitution z ¼ x 2 erhält 

man die nebenstehende Rechnung. Ersetzt 

man nun die Integrationsgrenzen einfach 

durch die entsprechenden Randwerte, 

wie rechts dargestellt, so ergibt sich als Ergebnis 

0. 

Substitution: z ¼ x 2 p 

) x ¼ ffiffi z 

Differentiale: z 0 ¼ dz 

dz 

¼ 2x) dx ¼ 

dx 2x 

Integrationsgrezen: xl€auft von 1 bis 1 

zl€auft von 1 bis 1 

Rechnung: 

ð 1 ð 1 

x 2 dx ¼ 

1 1 

ð 1 

z dz p 

2 ffiffi ¼ 1 z 2 

1 

pffiffi 

z dz ¼ 0 

Dies widerspricht aber der nebenstehenden 

Berechnung des bestimmten Integrals 

mithilfe der Potenzregel der Integration. 

Bei der Lösung mithilfe der Substitutionsmethode 

wurde bei der Ersetzung 

der Integrationsgrenzen die Monotonie 

des Substitutionsterms im gegebenen Integrationsintervall 

nicht sichergestellt, sodass 

man ein falsches Ergebnis erhielt. 

Denn während x alle Werte von 1 bis 1 

annimmt, durchläuft z alle Werte von 1 bis 

0 und von 0 bis 1. Dieser Prozess muss bei 

der Substitution berücksichtigt werden. 

Man kann das Integrationsintervall in zwei 

Teilintervalle unterteilen, über denen jeweils 

die Monotonie des Substitutionsterms 

vorliegt. Beim vorliegenden Beispiel 

muss man also zunächst von 0 bis 1 

integrieren und dann das Doppelte bilden. 

Lösung mithilfe der Potenzregel: 

ð 1 h i 1 

x 2 dx ¼ 1 3 x3 ¼ 1 1 

1 3 3 

1 

ð 1 x 2 dx ¼ 

1 

ð 1 0 

1 

z 

¼ 2 3 

z = x 2 

-1 1 x 

pffiffi 

h pffiffiffiffii 1 

z dz ¼ 

2 

z 

3 

3 ¼ 2 0 3 

Bestimmt man jedoch zunächst wie im 1. 

Verfahren auf S.275 eine Stammfunktion 

von x 2 und bildet erst nach der Resubstitution 

das bestimmte Integral, so ergibt sich, 

da die Stammfunktion von x abhängt, das 

richtige Ergebnis. 

ð ð 

x 2 dx ¼ 1 pffiffi 

pffiffiffiffi 

z 

2 dz ¼ 

1 

z 

3 

3 þ C ¼ 

1 

3 x3 þ C 

ð 1 h i 1 

x 2 dx ¼ 1 3 x3 ¼ 1 1 3 

1 

 

1 

3 

 

¼ 2 3


185 

Kombination von Substitutionsmethode und Produktintegration 

Wir behandeln nun exemplarisch eine Aufgabe, bei welcher das involvierte Integral nur noch 

durch den geballten Einsatz gleich mehrerer Integrationsmethoden gelöst werden kann. 

c 

........................................................................................... 

ð 

Beispiel: Gesucht ist das unbestimmte Integral arcsin x dx. 

Lösung: 

Wir kennen weder eine Stammfunktion von arcsin x, noch sind Ansatzpunkte für eine erfolgversprechende 

Substitution in Sicht. Jedoch ist uns aufgrund des Beispiels auf Seite 273 die Ableitung 

von arcsin x bekannt: ðarcsin xÞ 0 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 . Ist eine Funktion zu integrieren, deren Ableitung 

1 x 2 

relativ einfach ist, so kann man den Integranden gewissermaßen „künstlich“ als Produkt mithilfe 

des Faktors 1 darstellen und dann eine Produktintegration vornehmen (Typ 3 der Produktintegration: 

Faktor 1). Wir zeigen dieses Verfahren im Folgenden: 

ð 

ð 

ð 

1 

arcsin x dx ¼ 1 arcsin x dx ¼ x arcsin x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

dx 

1 x 2 

u 0 v u v u v 0 

Im Restintegral zeichnet sich nun eine offensichtliche Substitutionsmöglichkeit ab: 

Substitution: z ¼ 1 x 2 dz 

dz 

, ¼ 2x, dx¼ 

dx 2x 

ð 

ð ð 

1 

x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

dx ¼ x p 1 pffiffi 

ffiffi 

dz 

1 

¼ p 

z 2x 2 ffiffi dz ¼ z 

z þ C ¼ 

1 x 2 


1 x 2 þ C 

c Wir erhalten als eindrucksvolles Resultat: Ð p 

arcsin x dx ¼ x arcsin x þ 


1 x 2 þ C. 

Übung 4 

Versuchen Sie, die folgenden Integrale zu „knacken“. 

aÞ 

ð 

x sinð3xÞdx 

bÞ 

ð 

x 2 

ð1 þ x 2 Þ 2 dx 

Hinweis: ðarctanxÞ 0 ¼ 1 

1 þ x 2 

Knobelaufgabe 

1. Wie lauten die beiden letzten Ziffern von 7 777 7 7 ? 

2. Alle Zahlen der Form 

1331 

1030301 

1003003001 usw. sind Kubikzahlen. Weisen Sie dies nach.

186 


............................................................................................................................................................................ 

Der Flächeninhalt eines Kreises bzw. eines Kreissegments 

Mithilfe der Integralrechnung können wir die aus der Sekundarstufe I bekannten Formeln für den 

Inhalt einer Kreisfläche und eines Kreissegments herleiten. Wir werden zunächst den Flächeninhalt 

des Einheitskreises bestimmen. 

c Beispiel: Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Einheitskreises (Radius r ¼ 1). 

Lösung: 

Aus Symmetriegründen kann zunächst der 

Flächeninhalt der oberen Hälfte des Einheitskreises 

berechnet werden. 

1. Aufstellen der Halbkreisfunktion: 

Die Koordinaten x und y eines Punktes des 

oberen Halbkreises genügen der Gleichung 

x 2 þ y 2 ¼ 1. 

2. Flächeninhalt des Halbkreises: 

Wir berechnen zunächst den Flächeninhalt 

des Halbkreises. p Da dieser durch die Funktion 

fðxÞ¼ 


1 x 2 , 1 x 1, darstellbar 

ist, gilt für den Inhalt der Halbkreisfläche: 

A Halbkreis ¼ 

ð 1 1 


1 x 2 dx: 

3. Berechnung des bestimmten Integrals: 

Wir berechnen das bestimmte Integral mittels 

Substitution. Dabei verwenden wir die 

Typ-2-Substitution x ¼ sin z. 

Durchläuft die ursprüngliche Integrationsvariable 

x Werte von 1 bis 1, so durchläuft 

die neue Integrationsvariable z monoton 

p 

2 bis p 2 : 

Wir erhalten schließlich ein Integral, das 

durch Produktintegration bestimmt werden 

kann. 

4. Flächeninhalt des Einheitskreises: 

Für den Flächeninhalt des gesamten Einheitskreises 

gilt: A Kreis ¼ 2 A Halbkreis . 

c Somit erhalten wir insgesamt A Kreis ¼ p. 

-1 

x 2 þ y 2 ¼ 1 ðSatz des PythagorasÞ 

Halbkreisfunktion: 

p 

fðxÞ¼ 


1 ¼ x 2 , 1 x 1 

Flächeninhalt des Halbkreises: 

A Halbkreis ¼ 

ð 1 1 

y 

1 

1 

x 

. 


1 x 2 dx 

Substitution: x ¼ sin z 

dx 

Differentiale: ¼ cos z, dx ¼ cos z dz 

dz 

Integrationsgrenzen: 

xl€auft von 1 bis 1 

zl€auft von 

ð 1 1 

¼ 

¼ p 4 


1 x 2 dx ¼ 

ð p 2 

p 

2 

ð p 2 

p 

2 

y 

1 

x 

p 

2 bis p 2 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 sin 2 z cos z dz 

h 

cos 2 zdz¼ 1 ðz þ sin z cos zÞ 

2 

 

p 

4 

 

¼ p 2 

A Kreis ¼ 2 A Halbkreis 

¼ 2 p 2 ¼ p 

i p 

2 

p 

2


187 

c 

..................................................................................................................................................................................... 

c 

Wir wollen nun eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreisabschnitts entwickeln. 

Hierzu beschränken wir uns erneut auf den Einheitskreis. 

A ¼ 1 2 ðb sin bÞ: A ¼ 2 A 1 ¼ 1 2 ðb sin bÞ 

y 

Beispiel: Bestimmen Sie den Flächeninhalt 

1 

eines Kreissegments über dem 

Winkel a, dessen Bogenmaß b ist, im 

Einheitskreis. 

-1 

b 

1 x 

Lösung: 

y 

p 

1. Aufstellen des bestimmten Integrals: 

1 y ¼ 


1 x 2 ,0 x 1 

Um den Flächeninhalt eines Kreissegments 

zu berechnen, können wir auch hier 

b 

2 

aus Symmetriegründen zunächst den Inhalt 

/2 . 

A 1 

der halben Fläche A 1 (rot) berechnen, 

1 x 

cos 

die die Halbkreisfunktion h mit ider x-Achse 

2 

über dem Intervall cos b 2 , 1 einschließt. Flächeninhalt des Kreissegments: 

Diese lässt sich durch das folgende bestimmte 

Integral darstellen: 

A ¼ 2 A 1 



A 1 ¼ 1 x 2 dx 

A 1 ¼ 1 x 2 dx: 

cos b 2 

cos b 2 

2. Berechnung des bestimmten Integrals: Substitution: x ¼ sin z, z ¼ arcsin x 

Wir berechnen zunächst eine Stammfunktion 

des Integranden mithilfe der Substitu- 

1 x 2 dx ¼ 1 sin 2 z cos z dz 

ðpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

ðpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

tion x ¼ sin z analog zum vorigen Beispiel. 

ð 

¼ cos 2 zdz¼ 1 ðsin z cos z þ zÞþC 

2 

Durch Resubstitution von z ¼ arcsin x erhalten 

Resubstitution: z ¼ arcsin x, sin z ¼ x 

wir unter Berücksichtigung der Ei- 

sinðarcsinÞ x ¼ x 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

genschaften einer Umkehrfunktion und 

p 

cos z ¼ 1 sin 

des trigonometrischen Pythagoras die nebenstehende 

Stammfunktion des Integran- 

ðarcsin xÞ ¼ 


1 x 2 

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 x 

den. 

dx ¼ 1 2 x 

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 x 2 þ 1 2 arcsin x þ C 

Das Einsetzen der Integrationsgrenzen liefert 

nun das bestimmte Integral in Abhän- 

Einsetzen der Integrationsgrenzen: 

h 

gigkeit des Winkels im Bogenmaß b. 

A 1 ¼ 1 2 x 

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i 1 

1 x 2 þ 1 2 arcsin x 

cos b 2 

 

¼ p 1 

4 2 cos b 2 sin b 1 

2 2 arcsin sin p b 

2 2 

 

3. Flächeninhalt des Kreissegments: 

¼ p 1 

4 4 sin b 1 p b 

2 2 2 

¼ 1 4 ðb sin bÞ 

Für den Flächeninhalt des gesamten Kreissegments 

erhalten wir somit 

Flächeninhalt des Kreissegments:

188 


Übungen 

5. Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels Substitution (Typ 1). 

ð 

ð 

ð 

a) ð3xþ 5Þ 4 dx b) cosð2x þ 3Þdx c) ð1 xÞ 2 dx 

ð 

ð 

ð 

d) sinx cos 2 x 

xdx e) 

3 

sin x 

dx f) 

ð1 þ x 4 Þ 2 cos 4 x dx 

6. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale. 

a) 

d) 

ð 1 0 

ð 2 1 

1 

dx b) 

ð1 þ xÞ 2 


x 

1 þ x 2 

3p dx e) 

ð 4 0 

ð 5 1 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

9 2xdx c) 

p 

x 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

5 x dx f) 

0,5 

ð 

x 2 


1 x 3 

0 

ð 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

x 

5xþ 1 

0 

7. Berechnen Sie die aufgeführten Integrale mit der angegebenen Substitution. 

ð 

ð 

1 

a) p 

x 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx Substitution: x ¼ 1 b) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

x 

dx Substitution: z ¼ a 2 x 2 

x 2 1 

z 

a 2 x 2 

ð 

ð 

1 

c) dx Substitution: z ¼ tanx d) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

9 x 2 dx Substitution: x ¼ 3sinz 

sin 2 x 

8. Die folgenden Integrale sind nicht ganz einfach zu knacken. Versuchen Sie es. 

ð 

ð 

ð 

1 

a) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

dx b) sin 3 x cos 3 x 

xdx c) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

2 

dx 

pffiffi 

x þ 1 

9. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt eines Kreises mit einem beliebigen Radius r (r > 0) 

die bekannte Formel A ¼ pr 2 gilt. 

Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

a) Begründen Sie: A ¼ 2 r 2 x 2 dx 

ð r r 

1 x 2 

dx 

dx 

b) Berechnen Sie das bestimmte Integral mit Hilfe der Substitution x ¼ rsinz. 

10. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt eines Kreissegments über dem Winkel a (im Bogenmaß 

b) in einem Kreis mit einem beliebigen Radius r die Formel A ¼ r2 ð 2 b sinbÞ 

gilt. 

11. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt 

einer Ellipse A ¼ pab gilt. 

y 

b 

Hinweis: Die Koordinaten x, y eines 

Punktes der Ellipse genügen der Gleichung 

x2 þ y2 

¼ 1. 

a 2 b 2 

-a 

-b 

a x

VII. Integrationsmethoden 189 

Überblick 

Regel zur Produktintegration 

ð 

ð 

u 0 vdx¼ uv u v 0 dx 

Substitutionsmethode 

Typ-I-Substitution 

Besitzt das Integral die Gestalt Ð fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ dx, dann substituiert man gðxÞ¼z und erhält das 

Integral Ð fðzÞ dz. Ist FðzÞ Stammfunktion von fðzÞ, dann ergibt sich nach Rücksubstitution 

z ¼ gðxÞ im Ergebnis FðgðxÞÞ als Stammfunktion des Ausgangsintegranden fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ. 

Typ-II-Substitution 

Liegt der Integrand nicht in der Typ-I-Form fðgðxÞÞ g 0 ðxÞ vor, dann kann man versuchen, 

mittels Substitution der Integrationsvariablen x durch einen Term tðzÞ das Integral Ð fðxÞ dx in 

das Integral Ð fðtðzÞÞ t 0 ðzÞ dz zu transformieren, das im günstigsten Fall einfacher zu lösen ist als 

das Ausgangsintegral. 

Differentiale dx und dy 

Der formale Umgang mit Differentialen leistet gute Dienste bei der Substitutionsmethode. 

Anschaulich sind die Differentiale dx und 

dy die Kathetenlängen in Steigungsdreiecken 

einer Kurventangente. Dabei ist dx 

der Tangentenzuwachs in x-Richtung und 

dy der Tangentenzuwachs in y-Richtung. 

Ist f 0 ðxÞ die Steigung des Funktionsgraphen 

im entsprechenden Kurvenpunkt 

PðxjfðxÞÞ, dann gilt für den Quotienten 

der Differentiale: 

y 

P 

Graph 

f 

dy 

dx 

Tangente 

dy 

dx ¼ f0 ðxÞ; 

also dy ¼ f 0 ðxÞdx: 

x

190 


Test 

Integrationsmethoden 

Berechnen Sie die folgenden Integrale. 

1Þ 

pffiffi 

ð 

3 


x 

dx 

7 x 2 

0 

2Þ 

ð p 0 

x sin x dx 

3Þ 

ð p 4 

0 

4 cosð2xþ pÞdx 

ð 

4Þ 3x 2 cos x þ p dx 

4 

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

5Þ a bx 

 

 

dx x < a b ,a,b> 0 

6Þ 

ð 

sin x cos xdx 

ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

pffiffi 

7Þ x þ 1 dx 

8Þ 

0,5 

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 x 2 dx 

0 

Lösungen unter 190-1


y 

In diesem Kapitel steht die natürliche 

Logarithmus funktion – 

die Umkehrfunktion der natürlichen 

Exponentialfunktion – 

im Zentrum. 

Differentiation und Integra tion 

werden eng verbunden 

behandelt. 

y = e x 

y = In x 

x

244 


1. Die Differentiation der Umkehrfunktion 

Die Steigung einer Funktion und die Steigung ihrer Umkehrfunktion hängen eng miteinander 

zusammen. Im Folgenden werden wir diesen Zusammenhang geometrisch-anschaulich herleiten 

und begründen. 

Wir betrachten den Punkt Px ð jfx 

ðÞÞ auf 

dem Graphen der Funktion f. 

P 0 ðfx 

ðÞx j Þist dann der Spiegelpunkt von P 

auf dem Graphen der Umkehrfunktion f 1 . 

In den Punkten P und P 0 zeichnen wir jeweils 

ein Tangentenstück mit Steigungsdreieck 

ein. Die beiden Steigungsdreiecke 

sind dann offensichtlich ebenfalls spiegelgleich. 

f hat im Punkt P die Steigung f 0 ðxÞ¼ b a . 

f 

1 dagegen hat im Spiegelpunkt P 0 die 

Steigung ðf 1 Þ 0 ðfx 

ðÞÞ¼ a b . 

Die erste Steigung ist also der Kehrwert 

des zweiten Steigungswertes. Daraus ergibt 

sich die nebenstehend aufgeführte 

Umkehrformel. 

y 

f(x) 

x 

P 

a 

x 

b 

f 

a 

b 

f(x) 

P' 

f -1 

f sei eine umkehrbare, an der Stelle x differenzierbare 

Funktion mit f 0 ðÞ6¼ x 0. Dann gilt 

die sogenannte 

Umkehrformel „1. Fassung“ 

f 0 ð 

1 

xÞ¼ . 

ðf 1 Þ 0 ðfx 

ð ÞÞ Die Ableitung einer Funktion an der Stelle x 

ist gleich dem Kehrwert der Ableitung ihrer 

Umkehrfunktion an der Stelle f(x). 

x 

c 

................................................................. 

c 

Die Umkehrformel kann die Differentiation einer Funktion vereinfachen, wenn ihre Umkehrfunktion 

in einfacher Weise differenziert werden kann. 

Beispiel: Berechnen Sie die Ableitung der Funktion fðxÞ¼ 

3p ffiffiffi x ðx > 0Þ. 

Lösung: 

Leicht zu differenzieren ist die Umkehrfunktion 

f 1 ðxÞ¼ x 3 . Deren Ableitung an 

der Stelle x ist ðf 1 Þ 0 ðÞ¼ x 3x 2 . 

In der Umkehrformel benötigen wir 

ðf 1 Þ 0 ðfðxÞÞ ¼ ðf 1 Þ 0 ffiffi 

ð 3p ffiffi 

x Þ¼3ð 3p 

x Þ 2 . 

Setzen wir dies in die Umkehrformel ein, 

so erhalten wir das Resultat: 

f 0 ðÞ¼ x 

1 

3 

ffiffi 3p 2 

. 

x 

Umkehrfunktion von f: 

fx ðÞ¼ 3p ffiffi x 

f 1 ðxÞ¼x 3 

Ableitung von f –1 : 

ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼3x 2 

Ableitung von f: 

f 0 1 

ðÞ¼ x 

ð 

f 1 

1 

¼ 

ðf 1 Þ 0 ffiffi 

3p 

x 

¼ 1 ffiffi 3 3p 2 

x 

Þ 0 ðfx 

ð ÞÞ

1. Die Differentiation der Umkehrfunktion 245 

Übung 1 

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f mithilfe der Umkehrformel (1. Fassung). 

p 

a) fx ðÞ¼ 

ffiffi 

ffiffiffi 

1 

x ,x> 0 b) fx ð Þ¼ 4p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

x ,x> 0 c) fx ðÞ¼ x 5 ,x> 0 d) fx ð Þ¼ 

3p 

2x 2,x> 1 

In manchen Fällen ist es von Vorteil, die 

rechts dargestellte zweite Fassung der 

Umkehrformel zu verwenden. Diese zweite 

Fassung ist völlig äquivalent zur ersten 

Fassung, und sie kann wie diese auch graphisch-anschaulich 

begründet werden. 

Umkehrformel „2. Fassung“ 

ðf 1 Þ 0 ðÞ¼ x 

1 

f 0 ðf 1 ðÞ x Þ 

Die Ableitung der Umkehrfunktion an der 

Stelle x ist gleich dem Kehrwert der Ableitung 

der Funktion an der Stelle f 

1 (x). 

c 

.................................................................................. 

c 

Beispiel: Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ x 3 2 ,x> 0. Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion 

f 

1 von f. 

Lösung: 

Wir bestimmen zunächst die Umkehrfunktion 

von f. 

Dies ist die Funktion f 1 ðxÞ¼ x 2 3 . 

Umkehrfunktion von f: 

fx ðÞ¼ x 3 2 

f 1 ðÞ¼ x x 2 3 

Wir können den Funktionsterm 

pffiffi 

von f als Ableitung von f: 

Produkt fx ðÞ¼ x x darstellen und hiervon 

mit Hilfe der Produktregel und Wur- 

fx ðÞ¼ x 3 1 pffiffi 

2 ¼ x x 2 ¼ x x 

zelregel die Ableitung f 0 ðÞ¼ x 

3 pffiffiffi 

x 

f 0 pffiffi 

p 

ðÞ¼ x 1 x þ x p 

1 

2 

2 ffiffi ¼ ffiffi x 

x þ 

bilden. 

f 0 ðÞ¼ x 

3 2 pffiffiffi 

x 

Dieses Ergebnis können wir nun in die Ableitung von f –1 : 

Umkehrformel (2. Fassung) einsetzen. 

ðf 

So erhalten wir die gesuchte Ableitung 

1 Þ 0 ðxÞ¼ 1 

f 0 ðf 1 ðxÞÞ ¼ 1 ¼ p 

1 

f 0 ðx 2 3Þ 3 

ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼ 2 3 x 1 3 . ¼ 2 ¼ 2 

3 x 1 3 3 x 1 3 

ffiffiffiffi 

2 x 2 3 

pffiffi 

x 

2 

Übung 2 

Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von f auf zwei Wegen. 

Weg 1: Bestimmen Sie zunächst f 

1 und anschließend (f 

1 ) 0 durch Differentiation von f 

1 . 

Weg 2: Bestimmen Sie (f 

1 ) 0 direkt mithilfe der 2. Fassung der Umkehrformel. 

p 

a) fx ðÞ¼ 2xþ 6 b) fx ð Þ¼ 2 þ 

ffiffi x ,x> 0 c) fx ðÞ¼ 

1 

2x ,x> 0 d) fx ð Þ¼ ðx þ 1Þ2 

,x> 1 

Übung 3 

p 

Bestimmen Sie mithilfe der Umkehrformel die Ableitung von fx ð Þ¼ 


x 1,x> 1, bzw. die 

Ableitung der Umkehrfunktion von fx ð Þ¼ x 2 p ffiffi 

x ,x> 0.

246 


2. Die natürliche Logarithmusfunktion 

Die Exponentialfunktion fðxÞ¼e x zur Eulerschen Basis e ist 

streng monoton steigend und daher umkehrbar. Ihre Umkehrfunktion, 

deren Graph durch Spiegelung des Graphen der Exponentialfunktion 

an der Winkelhalbierenden konstruiert werden 

kann, wird als natürliche Logarithmusfunktion bezeichnet. 

Man verwendet für den Funktionsterm dieser neuen Funktion 

die symbolische Schreibweise ln x (logarithmus naturalis). 

y/cm 

20 

2. Umrundung 

1. Umrundung 

f(x) = e x 

y 

1 

1 x 

f -1 (x) = ln x 

246-1 

Der Taschenrechner hat eine ln -Taste 

zur Berechnung von Funktionswerten 

der natürlichen Logarithmusfunktion. 

Eigenschaften von f(x) = ln x 

Definitionsmenge: R þ ðx > 0Þ 

Wertemenge: R ð 1 < x < 1Þ 

Monotonieverhalten: streng monoton steigend 

Besondere Funktionswerte: ln1 ¼ 0, lne ¼ 1 

10 

Der Graph der Funktion steigt zunächst dicht an der y-Achse 

verlaufend auf deren rechter Seite steil empor, um die x-Achse 

bei x=1 zu schneiden und dann schnell extrem abzuflachen. 

Sein weiteres Wachstum ist unglaublich gering. 

c 

............................................... 

Beispiel: Wir denken uns den Graphen der natürlichen Logarithmusfunktion 

fðxÞ¼lnx auf einen Papierstreifen aufgetragen, 

der die Erde auf der Höhe des ¾quators umspannt. Der 

¾quator sei die x-Achse, und eine Längeneinheit sei 1 cm. 

Welche Höhe hat der Funktionsgraph nach einer Erdumrundung 

erreicht, wie hoch ist er nach zwei Erdumrundungen? 

Lösung: 

Der Erdradius beträgt 6370 km, der Umfang also ca. 40 000 km, 

das sind 4 10 9 cm. 

Der Funktionswert beträgt fð4 10 9 Þ¼lnð4 10 9 Þ 22,11cm. 

c Nach einer weiteren Umrundung sind es gerade erst 22,80 cm. 

1 

1 

x/cm

1. 2. Die Differentiation natürliche Logarithmusfunktion 

der Umkehrfunktion 247 

Übungen 

1. Ergänzen Sie die Wertetabelle der natürlichen Logarithmusfunktion f(x)=ln x. 

x 0,1 0,25 0,5 1 2 e 3 5 10 100 1000 

f(x) = ln x 

2. An welcher Stelle x besitzt die natürliche Logarithmusfunktion den Funktionswert y? 

aÞ y ¼ 0,5 bÞ y ¼ 1 cÞ y ¼ 2 dÞ y ¼ 10 eÞ y ¼ 1 fÞ y ¼ 100 

Beispielrechnung für den Funktionswert y = 5: y = 5, ln x = 5, x ¼ e 5 ,x 148,41 

3. Welchen Funktionswert würde die Funktion f(x)=ln x erreichen, wenn man den positiven 

Teil der x-Achse von der Erde bis an die äußere Grenze des Weltalls legen würde? 

Die verwendete Maßeinheit auf den Achsen sei Zentimeter. 

Informationen: Nehmen Sie an, dass diese äußere Grenze 10 Milliarden Lichtjahre entfernt ist. Ein 

Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht in einem Jahr (365 Tage) zurücklegt. Das Licht legt in einer 

Sekunde im Vakuum ca. 300000 km zurück. 

4. Finden Sie durch Probieren mit dem Taschenrechner eine möglichst kleine natürliche Zahl N 

heraus, sodass im Intervall [N ; N þ 1] der Zuwachs der Funktion f(x)=ln x unter 0,01 liegt. 

5. Für das Rechnen mit natürlichen Logarithmen gelten die gleichen 

Rechengesetze wie für den Zehnerlogarithmus. Rechts sind 

diese Gesetze zur Erinnerung dargestellt. 

Vereinfachen Sie mithilfe dieser Rechengesetze den Funktionsterm 

der Funktion f. 

aÞ fðxÞ¼lnðe 2x pffiffi 

 

Þ bÞ fðxÞ¼lnð x Þ cÞ fðxÞ¼ln 

1 

x 

 

dÞ fðxÞ¼lnðx 2 Þ eÞ fðxÞ¼lnðx e x Þ fÞ fðxÞ¼ln x þ 1 

e 

 

gÞ fðxÞ¼e lnðxþ1Þ lnx hÞ fðxÞ¼e xln2 iÞ fðxÞ¼ln x 

e 

 

3x 

jÞ fðxÞ¼lnðx þ 1Þ lnx þ ln 1 x 

6. Berechnen Sie die folgenden Werte des natürlichen Logarithmus 

mithilfe der Rechengesetze bzw. der rechts abgebildeten Tabelle 

für die Logarithmen von 2, 3, 5 und 7. 

 

aÞ exakt: lnðe 2 Þ, ln 1 pffiffi 

, lnð e 

e 

Þ, lnðe e Þ 

bÞ gen€ahert: lnð6Þ, lnð125Þ, lnð10 6 Þ, lnð315 000Þ: 

Rechenregeln für ln 

lnða bÞ¼lna þ lnb 

 

¼ lna lnb 

ln a b 

lnða b Þ¼b lna 

lnðe x Þ¼x 

e lnx ¼ x 

ln 2 0,693 

ln 3 1,099 

ln 5 1,609 

ln 7 1,946 

7. Lösen Sie die logarithmische Gleichung. 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

aÞ ln x ¼ 2,5 bÞ ln x ¼ 3 cÞ lnð2xþ 1Þ¼0,5 dÞ lnð 1 xÞ¼3 

eÞ lnðx þ 1Þ¼1 þ ln x fÞ lnðx 2 Þ lnðx þ 4Þ¼ln2

248 Mathematische Streifzüge 

Wie Euler Logarithmen berechnete 

Heute ist es sehr einfach, den Logarithmus einer Zahl zu ermitteln. Jeder wissenschaftliche 

Taschenrechner verfügt über entsprechende Tasten. Bevor es Taschenrechner gab, wurden Logarithmen 

aus Tabelle – sogenannten Logarithmentafeln – abgelesen. Aber wie wurden diese 

Tafeln aufgestellt? 

Es sind verschiedene historische Verfahren 

zur Berechnung von Logarithmen bekannt. 

Eines beschreibt Leonhard Euler 

(1707–1783) in seinem berühmten Werk 

Introductio in Analysin Infinitorum. 

Die Schöpfer der ersten Logarithmentafeln mussten ihr Werk allein mithilfe der vier Grundrechenarten 

erledigen. Außerdem beherrschten sie die Berechnung von Quadratwurzeln beispielsweise 

mit dem Verfahren von Heron, bei dem nach der Vorschrift x n + 1 

= 1_ 

2 ( x n 

+ __ x a 

n 

) ausgehend 

von einem beliebigen Startwert x 0 

iterativ eine Zahlenfolge x 1 

, x 2 

, x 3 

, … erzeugt wird, die gegen 

__ 

die gesuchte Zahl √ a strebt. 

Das von Euler beschriebene Verfahren zur Berechnung von Logarithmen verwendet nur Multiplikationen 

und das Quadratwurzelziehen sowie die Bildung des arithmetischen Mittels zweier 

Zahlen. Es beruht im Wesentlichen auf der Anwendung zweier Rechengesetze für Logarithmen: 

__ 1_ 

ln(a · b) = ln a + ln b und ln √ c = ln c 

2 

= ___ ln c . (vgl. roten Kasten auf S. 247) 

2 

_____ 

Demnach gilt für zwei positive Zahlen A und B: ln √ A · B = ________ ln A + ln B 

. 

2 

Diese Beziehung bildet die Grundlage für Eulers Berechnungsverfahren für Logarithmen.

Wie Euler Logarithmen berechnete 

249 

Die Beziehung sagt aus: Kennt man die Logarithmen zweier Zahlen A und B, dann ist das arithmetische 

Mittel der beiden Logarithmen ln A und ln B gleich dem Logarithmus der Quadratwurzel 

aus dem Produkt der beiden Zahlen. 

Soll nun der Logarithmus einer Zahl Z berechnet ____ werden, die zwischen A und B liegt, dann kann 

ln A + ln B 

man den Logarithmus einer weiteren Zahl C = √ AB bestimmen durch die Mittelbildung ______ . 

2 

Anschließend wählt man von den drei Zahlen A, B, C diejenigen beiden Zahlen aus, zwischen 

denen Z liegt, und verfährt in gleicher Weise. 

Der nebenstehende Ausschnitt 

aus einer Seite der Introductio 

zeigt die Vorgehensweise von 

Euler bei der Berechnung des 

dekadischen Logarithmus von 5. 

Die Berechnung von log 10 

5 beginnt 

Euler mit den Zahlen A = 1 

und B = 10, deren Logarithmen 

bekannt sind; Euler schreibt daneben 

____ lA = 0 und lB = 1, setzt 

C = √ AB und notiert in der dritten 

Zeile den Wert dieser Wurzel. 

lC berechnet er als arithmetisches 

Mittel von lA und lB, 

usw. 

Als Ergebnis erhält Euler 

schließlich log 10 

5 = 0,6989700. 

Abschließend soll der natürlichen Logarithmus der Zahl 2 ermittelt werden. Als erste Näherungszahl 

wird A = 1 gewählt, als zweite B = e ≈ 2,718 281 828, denn ln e = 1 ist bekannt und 2 liegt 

zwischen 1 und e. Die Quadratwurzeln der ersten Spalte (ab Zeile 3) werden der Einfachheit 

halber nicht mit „Heron“, sondern mit einem zehnstelligen Taschenrechner bestimmt. Die Zahlen 

in der zweiten Spalte (ab Zeile 3) sind die Mittelwerte von zwei bereits berechneten Logarithmen. 

A = 1,000000000 ln A = 0,000000000 Es sei: ____ 

B = 2,718281828 ln B = 1,000000000 C = √ AB 

C = 1,648721271 

ln C = ________ ln A + ln B 

= 0,500000000 D = √ ___ 

BC 

2 

ln B + ln C 

D = 2,117000017 

ln D = ________ = 0,750000000 E = √ ____ 

CD 

2 

ln C + ln D 

E = 1,868245958 

ln E = ________ 

___ 

= 0,625000000 F = √ DE 

2 

F = 1,988737470 

ln F = ________ 

___ 

ln D + ln E 

= 0,687500000 G = √ DF 

2 

G = 2,051866774 

ln G = ________ ln D + ln F 

= 0,718750000 H = √ ___ 

FG 

2 

ln F + ln G 

H = 2,020055528 

ln H = ________ 

___ 

= 0,703125000 I = √ FH 

2 

I = 2,004335331 

ln I = ________ 

___ 

ln F + ln H 

= 0,695312500 J = √ FI 

2 

J = 1,996521168 

ln J = _______ ln F + ln I 

= 0,691406250 K = √ __ 

IJ 

2 

Setzen Sie das Verfahren fort, bis in der ersten Spalte 2,000 000 000 steht. Vergleichen Sie Ihren 

Wert für ln 2 mit dem Näherungswert, den Ihr Taschenrechner liefert.

250 


3. Die Ableitung von f(x) = ln x 

Logarithmische Integration 

A. Graphische Differentiation von f (x) = ln x 

Mithilfe des Differentialquotienten kann 

man Ableitungsregeln gewinnen. Bei der 

Logarithmusfunktion gelingt dies nicht, da 

der im Differenzenquotienten auftretende 

Term ln(x+h) nicht weiter umformbar ist. 

f 0 fðx þ hÞ fðxÞ 

ðxÞ¼lim 

h!0 h 

¼ lim 

lnðx þ hÞ lnðxÞ 

h!0 h 

Aus diesem Grund versuchen wir, die Ableitung der Funktion zeichnerisch zu gewinnen. 

¼ ? 

c 

....................................................................................................................................... 

c 

Beispiel: Gegeben sei die natürliche Logarithmusfunktion f(x) =ln x. Bestimmen Sie zeichnerisch 

die Ableitungsfunktion von f. 

Lösung: 

Wir zeichnen den Graphen von f und tragen 

in einigen Punkten die Tangenten an, 

deren Steigungen wir angenähert ablesen 

und tabellieren. Falls die Ablesungen zu 

ungenau erscheinen, können wir die Steigungen 

auch rechnerisch mithilfe des Differenzenquotienten 

ermitteln, wie rechts 

für das Beispiel f 0 ð2Þ dargestellt. 

x 0,5 1 2 3 

f 0 ðxÞ 2 1 0,5 0,3 

Mithilfe dieser Wertetabelle skizzieren 

wir die Ableitungsfunktion f 0 , deren Funktionswerte 

die Steigungen von f sind. 

Aufgrund des Verlaufs des Graphen von f 0 

liegt die Vermutung nahe, dass es sich hierbei 

um die Reziprokenfunktion handelt. 

Die Tabellenwerte bekräftigen diese Vermutung, 

denn offenbar gilt stets angenähert 

der Zusammenhang f 0 ðxÞ¼ 1 x . 

Dies verträgt sich auch mit der Beobachtung, 

dass die Logarithmusfunktion immer 

steiler wird, so dass ihre Steigung über alle 

Grenzen wächst, wenn man sich von rechts 

der Stelle x=0 nähert, und dass ihre Steigung 

für x !1gegen null tendiert. 

y 

3 

2 

1 

-1 

f 0 lnð2 þ hÞ lnð2Þ 

ð2Þ¼lim 

h!0 h 

lnð2 þ 0,01Þ 

lnð2Þ 

m = 2 

 

0,01 

0,6981 0,6931 

0,01 

0,5 

? 

f'(x) = 1 x 

m = 1 

m = 0,5 

m = 0,3 

f(x) = ln x 

1 2 3 4 x 

Logarithmische Ableitung 

Die natürliche Logarithmusfunktion 

f(x)=ln x ist für x >0 differenzierbar. 

Es gilt die sog. logarithmische Ableitungsregel: 

ðlnxÞ 0 ¼ 1 x :

3. Die Ableitung von fðxÞ¼ln x 251 

B. Rechnerische Differentiation von f (x) = ln x 

Der rechnerische Nachweis der Gültigkeit 

der Regel für die Ableitung der Funktion 

fx ðÞ¼ lnx kann mithilfe der Formel für 

die Ableitung der Umkehrfunktion geführt 

werden, denn die Ableitung der Umkehrfunktion 

f 1 ðÞ¼ x e x ist uns bekannt. Es 

gilt nämlich ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼ e x . 

Setzen wir diese drei Identitäten in die Umkehrformel 

ein, so erhalten wir laut nebenstehender 

Rechnung die logarithmische 

Ableitungsformel, die damit bewiesen ist. 

Beweis der logarith. Ableitungsregel: 

f 0 1 

ðÞ¼ x 

ð 

f 1 

Þ 0 ðfx 

ð ÞÞ 

fx ðÞ¼ lnx 

f 1 ðÞ¼ x e x 

ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼ e x 

ðf 1 Þ 0 ðfx 

ð ÞÞ¼ e lnx 

f 0 ðÞ¼ x 

1 ¼ 1 e ln x x 

Umkehrformel 

Übung 1 

a) Welche Steigung m und welchen Steigungswinkel a hat die Funktion fx ðÞ¼ ln x an den 

Stellen x ¼ 1 und x ¼ 2? 

b) An welcher Stelle x steigt die Funktion fx ð Þ¼ lnx unter einem Winkel von 30° gegen die 

Horizontale an? 

C. Ableitungsübungen 

Wir üben nun das Differenzieren von Funktionen, deren Gleichungen logarithmische Terme 

enthalten. Dabei wenden wir bereits bekannte Regeln wie Produkt- und Kettenregel an. 

............................... 

c Beispiel: Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f 0 von f. Dabei gelte stets x > 0. 

a) fðÞ¼ x lnð2xÞ b) fðxÞ¼ lnðx 3 Þ c) fðÞ¼ x x lnð2xÞ 

Lösung zu a und zu b: 

Wir verwenden hierbei die Kettenregel. 

a) f 0 ðÞ¼ x ½lnð2xÞŠ 0 ¼ 1 

2x 2 ¼ 1 x 

c b) f 0 ðÞ¼ x ½lnðx 3 ÞŠ 0 ¼ 1 3x 2 ¼ 3 x 3 x 

Lösung zu c: 

Wir verwenden Produkt- und Kettenregel. 

c) f 0 ðÞ¼ x ½x lnð2xÞŠ 0 

¼ 1 lnð2xÞþ x 1 

2x 2 

¼ lnð2xÞþ 1 

Übung 2 

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktionen f 0 und f 00 . Nennen Sie jeweils die Definitionsmenge. 

a) fx ð Þ¼ lnð5xÞ b) fx ðÞ¼ lnðx 2 Þ c) fx ð Þ¼ x þ lnð2xÞ 

d) fx ð Þ¼ x 2 lnðÞ 

x 

e) fx ðÞ¼ lnx 

pffiffiffi 

f) fx ð Þ¼ ln x 

x 

g) fx ð Þ¼ lnð2e 2x Þ h) fx ðÞ¼ ðlnxÞ 3 p 

i) fx ð Þ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffi 

ln x 

Übung 3 

h i 0 

Berechnen Sie ½lnðx n ÞŠ 0 , ln 1 x und ½lnðaxÞŠ 

0 auf zwei verschiedene Arten ðx > 0, a > 0, n 2 NÞ. 

Beispiel: Für x > 0 gilt ½lnðx 2 ÞŠ 0 ¼ 1 2x¼ 2 , aber auch ½lnð 

x 2 x2ÞŠ 0 ¼ ½2 lnxŠ 0 ¼ 2 1 x x ¼ 2 x .

252 


D. Die logarithmische Integration 

Die Funktion gx ð Þ¼ 1 x ¼ x 1 war die einzige Potenzfunktion, die sich nicht mithilfe der verallgemeinerten 

Potenzregel integrieren ließ. Das unbestimmte Integral dieser Funktion und das 

unbestimmte Integral einer Funktion der Form gx ð Þ¼ f 0 ðxÞ 

lassen sich jedoch mit Hilfe der 

fx ð Þ 

natürlichen Logarithmusfunktion darstellen. Wir begründen dies nun genauer. 

Für x > 0 gilt: ½lnxŠ 0 ¼ 1 x . 

Daher ist Fx ðÞ¼ lnx für x > 0 eine 

Stammfunktion von fx ð Þ¼ 1 x . 

Für x < 0 gilt: ½lnð 

xÞŠ 0 ¼ 1 x ð 1Þ¼ 

1 x . 

Also ist Fx ðÞ¼ lnð xÞ für x < 0 eine 

Stammfunktion von fx ð Þ¼ 1 x . 

Diese beiden Aussagen können wir folgendermaßen 

zusammenfassen: 

Die logarithmische Integration 

Für x 6¼ 0 ist fx ðÞ¼ 1 x integrierbar: 

ð 

1 

x 

dx ¼ ln jxj þ C. 

Für 

fx ðÞ> 0 gilt nach der Kettenregel 

½ln fðÞ 

x Š 0 ¼ 1 

fx ðÞ f 0 ðÞ¼ x 

f 0 ðxÞ 

fx ð Þ . 

Daher ist Fx ðÞ¼ lnðfðxÞÞfür fx ðÞ> 0 eine 

Stammfunktion von f 0 ðxÞ 

fx ð Þ . 

Für fx ðÞ< 0 ist analog Fx ð Þ¼ lnð 

fx ðÞÞ 

eine Stammfunktion von f 0 ðxÞ 

fx ð Þ . 

Dies führt auf die folgende Verallgemeinerung 

der logarithmischen Integration: 

Verallgemeinerte 

logarithmische Integration 

f sei eine differenzierbare Funktion, die 

nicht null wird. Dann gilt: 

ð 

f 0 ðÞ x 

dx ¼ ln jf ðÞjþC. x 

fx ðÞ 

.......................................................................... 

c Beispiel: Gesucht ist jeweils der Inhalt der abgebildeten Fläche A. 

y 

1 

f(x) = 1 x 

1 2 3 

Lösung: 

Fx ðÞ¼ lnjxj ist eine Stammfunktion von 

fx ðÞ¼ 1 . Daher gilt: 

x 

ð 3 1 

A ¼ 

x dx ¼½ln jxjŠ3 1 

1 ¼ ln3 ln1 

1,099 0 

c 1,1 

x 

y 

1 

f(x) = 2 

2x−3 

2 4 

x 

Lösung: 

Der Zählerterm 2 ist die Ableitung des 

Nennerterms 2x 3, daher kann logarithmisch 

integriert werden: 

A ¼ 

ð 4 2 

2 

2x 3 dx ¼½lnj2x 3jŠ4 2 

¼ ln5 ln1 ¼ ln5 1,609

3. Die Ableitung von fðxÞ¼ln x 253 

E. EXKURS: Flächeninhaltsbestimmungen mit logarithmischer Integration 

Mit der logarithmischen Integration lassen sich Flächenprobleme für den Fall lösen, dass die 

Randkurven einfache gebrochen-rationale Funktionen sind. 

c 

............................................................................................................... 

Beispiel: Gegeben sind die Funktionen 

gx ð Þ¼ 3 2 x und hðxÞ¼ 

6 ð 2xþ 2 x > 0Þ 

sowie 

die vertikale Gerade k mit der Gleichung 

x ¼ 4. 

Welchen Inhalt hat die Fläche A, die von 

den drei Graphen von g, h und k sowie 

der x-Achse umschlossen wird? 

Fertigen Sie zunächst eine Skizze an. 

Lösung: 

Anhand der Skizze erkennen wir, dass die 

Fläche A in die Teilflächen A 1 und A 2 zerlegbar 

ist. 

Die Schnittstelle der Funktionen g und h 

liegt bei x ¼ 1. 

A 1 hat den Inhalt 0,75. 

Zur Berechnung des Inhaltes von A 2 müssen 

wir im Integranden den Faktor 3 

6 

2xþ 2 

ausklammern, um einen Bruchterm der 

Form f0 ðxÞ 

zu erhalten, den wir mittels logarithmischer 

Integration behandeln können. 

fx ð Þ 

A 2 hat den Inhalt 2,75. 

c Als Gesamtinhalt erhalten wir A 3,5. 

1 

y 

A 

A 1 A 2 

1 

Schnittstellen von g und h: 

3 

2 x ¼ 6 

2xþ 2 

6x 2 þ 6x ¼ 12 

x 2 þ x 2 ¼ 0 

x ¼ 1, ðx ¼ 2Þ 

Flächeninhalte: 

h i 1 

3 

A 1 ¼ 

2 xdx¼ 3 4 x2 ¼ 0,75 

0 

ð 1 0 

ð 4 ð 4 

6 

A 2 ¼ 

2x þ 2 dx ¼ 3 

1 

1 

g 

4 

¼ 3 lnj2xþ 2j 

1 

2,75 

h 

2 

2xþ 2 dx 

k 

x = 4 

¼ 3ln10 ð ln4 Þ 

Resultat: A ¼ A 1 þ A 2 3,5 

x 

Übung 4 

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A unter dem Graphen von f über dem Intervall I. 

a) fx ð Þ¼ 1 ,I¼ ½0;4Š b) fx ðÞ¼ 

4x 

,I¼ ½0;3Š c) fx ð Þ¼ ex ,I¼ ½ 2;2 Š 

x þ 3 

x 2 þ 2 

e x þ 1 

Übung 5 

Die Graphen von f und g schließen eine Fläche A ein. Bestimmen Sie deren Inhalt. 

a) fx ð Þ¼ 10 

b) fx ðÞ¼ 1 

c) fx ð Þ¼ 3x 2 10x þ 9 

2x þ 1 

2x 

gx ðÞ¼ 5xþ 10 gðxÞ¼ 5 6 x þ 8 gx ðÞ¼ 2 3 

x 

Übung 6 

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die von den Graphen der Funktionen fx ðÞ¼ 12 

gx ð Þ¼ x 2 þ 2, der vertikalen Geraden x ¼ 3 und den Koordinatenachsen umschlossen wird. 

3xþ 1 und

254 


Übungen 

Ableitungsübungen 

7. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f 0 . 

aÞ fðxÞ¼lnðx 2 2xÞ bÞ fðxÞ¼ln ðln xÞ cÞ fðxÞ¼lnðe x þ e x Þ 

dÞ fðxÞ¼ 1 

p 

eÞ fðxÞ¼ 


p 

ln x 

fÞ fðxÞ¼ 

ffiffi x 

ln x 

ln x 

gÞ fðxÞ¼x 3 ln ð2xÞ hÞ fðxÞ¼ðx þ 1Þlnðx 2 1Þ iÞ fðxÞ¼ x2 

ln x 

 

 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

jÞ fðxÞ¼ln 1 þ x 

e 

kÞ fðxÞ¼ln 

x 

1 þ e 

lÞ fðxÞ¼ln 

x 

1 x 

1 þ e x 

1 e x 

8. a) Entwickeln Sie eine Ableitungsregel für die allgemeine Logarithmusfunktion 

fðxÞ¼log a x ða > 0, a 6¼ 1 und x > 0Þ. Verwenden Sie hierbei die aus der 10. Klasse 

bekannte Regel für die Basistransformation: log a x ¼ log b x 

ðb > 0, b 6¼ 1Þ. 

log b a 

b) Berechnen Sie mit der in a) entwickelten Ableitungsregel die Ableitung f 0 folgender 

Funktionen für x > 0: 

1: fðxÞ¼log 2 x 2: fðxÞ¼log 1 3: fðxÞ¼log x log 

x 

5 x 

9. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von fðxÞ¼x x für x > 0. 

Hinweis: Schreiben Sie den Funktionsterm als Potenz mit der Basis e. 

10. Welches ist die richtige Stammfunktion (für x > 0)? Weisen Sie Ihre Behauptung nach. 

B. f(x) = ln x +1 

A. f(x) = ln x + x 

C. f(x) = 2 x 

IV. F(x) = x · ln x 

II. F(x) = ln (x 2 ) 

I. F(x) = x(ln x + ln 2-1) 

D. f(x) = ln (2x) 

III. F(x) = x · ln x - x + 0,5x 2 

Die logarithmische Integration 

11. Berechnen Sie mittels logarithmischer Integration eine Stammfunktion von f. 

aÞ fðxÞ¼ 2x 

x 2 þ 3 

dÞ fðxÞ¼ 1 

x ln x 

bÞ fðxÞ¼ 6 

3x 9 

eÞ fðxÞ¼ 1 þ ex 

x þ e x 

cÞ fðxÞ¼ x3 þ x 

x 4 þ 2x 2 

fÞ fðxÞ¼ ex þ e x 

e x e x 

12. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A unter dem Graphen von f über dem Intervall I. 

aÞ fðxÞ¼ 1 

x þ 2 ,I¼½0;4Š 

6x 

e2x 

bÞ fðxÞ¼ ,I¼½0;3Š cÞ fðxÞ¼ ,I¼½10 ; 11Š 

x 2 þ 3 1 þ e 2x

3. 4. Die Elementare Ableitung Funktionsuntersuchungen 

von fðxÞ¼ln x 255 

4. Elementare Funktionsuntersuchungen 

In diesen Abschnitt werden unterschiedliche Problemstellungen aus der Differentialrechnung 

der Logarithmusfunktionen exemplarisch angesprochen, die später im Rahmen von umfassenderen 

Kurvenuntersuchungen als Teilaufgaben oder als Zusatzaufgaben wieder auftreten. 

c 

................................................................................... 

c 

Beispiel: Definitionsmenge und Graph 

Gegeben ist die Logarithmusfunktion 

fðxÞ¼lnð4 2xÞ. 

a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge 

der Funktion f. 

b) Wo liegt die Nullstelle von f ? 

c) Wo hat die Funktion f den Wert 2? 

d) Zeichnen Sie den Graphen von f. 

Lösung: 

Die Logarithmusfunktion gðxÞ¼ln x ist 

nur für x > 0 definiert. 

Daher muss auch bei der Funktion f das 

Funktionsargument, d.h. der innere Term 

4 2x, positiv sein. Dies ist für x < 2 der 

Fall. Daher gilt: D f ¼fx 2 R: x < 2g. 

Die Nullstelle von f liegt laut nebenstehender 

Rechnung bei x ¼ 1,5. 

Der Funktionswert y ¼ 2 wird an der Stelle 

x 1,7 angenommen. 

f 

-2 

-1 

Definitionsmenge: 

4 2x> 0 

4 > 2x 

x < 2 

y 

Nullstelle: Funktionswert 2: 

lnð4 2xÞ¼0 lnð4 2xÞ¼2 

4 2x¼ 1 4 2x¼ e 2 

x ¼ 1,5 x ¼ 4 e2 

2 

1,69 

2 

1 

x 

c 

................................................ 

c 

Beispiel: Steigung und Tangente 

Gegeben ist fðxÞ¼lnðx 2 Þ für x 6¼ 0. 

a) Welche Steigung und welchen Steigungswinkel 

hat f bei x ¼ 1? 

b) Wie lautet die Gleichung der Tangente 

t an den Graphen von f in 

Pðej2Þ? 

Lösung zu a: 

f hat die Ableitung f 0 ðxÞ¼ 2 . Die Steigung 

x 

an der Stelle 1 beträgt also f 0 ð1Þ¼ 2 1 ¼ 2. 

Steigungswinkel: a ¼ arctan 2 63,4 . 

y 

1 

P(e|2) 

1 2 3 

Lösung zu b: 

Die Tangente geht durch den Punkt Pðej2Þ 

des Graphen von f und hat dort die Steigung 

m ¼ f 0 ðeÞ¼ 2 . Ihre Gleichung lautet daher 

e 

tðxÞ¼f 0 ðeÞðx eÞþ2 ¼ 2 e x: 

t 

x 

f 

Übung 1 

Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ln ð0,5x þ 3Þ. Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f, skizzieren 

Sie den Graphen von f und stellen Sie die Gleichung der Normalen in der Nullstelle auf.

256 


c 

..................................................................................... 

c 

Beispiel: Tangente 

Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼lnx. 

Welche Ursprungsgerade gðxÞ¼m x 

berührt den Graphen von f als Tangente? 

Bestimmen Sie die Berührstelle x. 

Lösung: 

Die zeichnerische Lösung ist rechts dargestellt. 

Rechnerisch geht man davon aus, 

dass an der Berührstelle x sowohl die 

Funktionswerte als auch die Steigungen 

der beiden Funktionen übereinstimmen: 

fðxÞ¼gðxÞ und f 0 ðxÞ¼g 0 ðxÞ: 

Diese beiden Gleichungen bilden ein Gleichungssystem, 

das mit dem Einsetzungsoder 

dem Gleichsetzungsverfahren leicht 

gelöst werden kann. Wir erhalten eine Berührstelle 

bei x ¼ e. Hieraus folgt für die 

Geradensteigung m ¼ 1 . Die Tangentengleichung 

ist also gðxÞ¼ 1 e 

e x. 

y 

1 

1 

Ursprungsgerade 

2,8 

f(x) = ln x 

Berührstelle: 

fðxÞ ¼gðxÞ ) ln x ¼ mx ð1Þ 

f 0 ðxÞ¼g 0 ðxÞ ) 1 x ¼ m ð2Þ 

Einsetzen von (2) in (1): 

lnx ¼ 1 

x ¼ e 

Tangentengleichung: 

Einsetzen von x ¼ e in (2): 

m ¼ 1 ) gðxÞ¼ 1 e 

e x 

x 

c 

........................................................................ 

c 

Beispiel: Extremalproblem 

Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼2 lnx. 

Wie muss der Punkt PðzjfðzÞÞ des Graphen 

von f gewählt werden ð1 < z < eÞ, 

damit der Umfang des dargestellten 

Rechtecks möglichst groß wird? 

Lösung: 

Die Länge des Rechtecks beträgt ðe zÞ, 

die Höhe beträgt fðzÞ¼2 lnz. 

Damit gilt für den Umfang U die Beziehung: 

UðzÞ¼2 ðe zÞþ4 lnz. 

Mithilfe der Differentialrechnung können 

wir das Maximum der Funktion U errechnen. 

Es liegt nach nebenstehender Rechnung 

bei z ¼ 2. 

Der zugehörige Maximalumfang hat den 

Wert U MAX ¼ Uð2Þ4,21. 

y 

1 

P 

f 

1 z e 

Extremalrechnung: 

UðzÞ ¼2 ðe zÞþ4 lnz 

U 0 ðzÞ ¼ 2 þ 4 z 

U 00 ðzÞ¼ 8 z 2 

U 0 ðzÞ ¼0 ) 2 þ 4 z ¼ 0 , z ¼ 2 

U 00 ð2Þ¼ 2 < 0 ) Maximum 

U MAX ¼ Uð2Þ¼2 ðe 2Þþ4 ln2 4,21 

x 

Übung 2 

Die Graphen von fðxÞ¼x 2 und gðxÞ¼2 lnx schneiden aus der senkrechten Geraden 

x ¼ t ðt > 0Þ eine Strecke heraus. Für welchen Wert von t ist die Länge dieser Strecke am kleinsten? 

Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch und rechnerisch.

3. 4. Die Elementare Ableitung Funktionsuntersuchungen 

von fðxÞ¼ln x 257 

Übungen 

3. Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f. 

a) fx ð Þ¼ lnð2xÞ b) fx ð Þ¼ lnðx þ 3Þ c) fx ðÞ¼ lnð5 

xÞ d) fx ð Þ¼ lnð4 

6xÞ 

p 

e) fx ð Þ¼ lnðx 2 Þ f) fx ð Þ¼ lnðx 2 þ 1Þ g) fx ðÞ¼ lnð1 x 2 Þ h) fx ð Þ¼ 


ln x 

4. Welche Steigung hat der Graph der 

Funktion f an der Stelle x? 

a) fx ð Þ¼ lnð3xÞ,x¼ e 

b) fx ð Þ¼ lnðx 2 Þ,x¼ 1 

5. An welchen Stellen beträgt der Steigungswinkel 

von f 45°? 

a) fx ð Þ¼ lnð3xÞ 

b) fx ð Þ¼ lnðx 2 Þ 

6. Gesucht ist die Gleichung der Tangente 

t bzw. der Normalen n an den 

Graphen von f im Punkt P. 

a) Tangente in P2jln 4 ,fðxÞ¼ lnð2xÞ 

b) Normale in P1j0 ð Þ,fðxÞ¼ lnð2 

xÞ 

c) Tangente in Pej2 ,fðxÞ¼ lnðx 2 Þ 

d) Normale in P1j0 ð Þ,fðxÞ¼ x lnx 

7. Welche Parallele n zur eingezeichneten 

Geraden g ist Normale an den Graphen 

von fx ð Þ¼ lnx? 

Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch 

näherungsweise und rechnerisch exakt. 

y 

2 

1 

g 

n(x) = ? 

f(x) = ln x 

1 

x 

8. Die Graphen von fx ð Þ¼ ln x und 

gx ð Þ¼ x schneiden aus der senkrechten 

Geraden x ¼ z eine Strecke heraus. 

Für welchen Wert von z ist die 

Länge dieser Strecke minimal? Lösen 

Sie die Aufgabe zeichnerisch näherungsweise 

und rechnerisch exakt. 

y 

1 

1 

x = z 

g(x) = x 

f(x) = ln x 

x 

9. Gesucht ist der Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von fx ðÞ¼ lnð4 

Koordinatenachsen im 1. Quadranten umschlossen wird. 

a) Verwenden Sie eine Stammfunktion F von f. 

b) Verwenden Sie die Umkehrfunktion f 1 von f. 

xÞund den beiden 

10. Gesucht ist der Inhalt der abgebildeten 

Fläche A. 

1 

y 

A 

x 2 

ln x 

1 

x

258 


5. Kurvendiskussionen 

A. Kurvenuntersuchungen 

Im Folgenden werden Funktionen untersucht, deren Funktionsgleichungen logarithmische 

Terme enthalten. Dabei werden die Standarduntersuchungen (Definitionsmenge, Nullstellen, 

Extrema, Wendepunkte, Graph) durchgeführt und durch einige weitere Zusatzprobleme ergänzt. 

.............................................. 

c Beispiel: Betrachtet wirdfðxÞ¼x ln x: 

Skizzieren Sie die Graphen der Einzelterme 

x und ln x und entwickeln Sie hieraus 

den Graphen von f durch additive 

Überlagerung. 

c 

Lösung: 

Der Graph von f wird durch Differenzbildung 

aus den beiden Graphen der Einzelterme 

gewonnen. Es entsteht der abgebildete 

Graph, der außer einem Minimum 

keine weiteren Besonderheiten aufweist. 

y 

1 

f(x) = x- ln x 

1 

x 

ln x 

x 

.................................................................................................. 

c Beispiel: Diskutieren Sie fðxÞ¼x ln x (Definitionsmenge, Ableitungen, Nullstellen, Extrema, 

Wendepunkte, Verhalten für x !1, Verhalten für x ! 0). 

. 

Lösung: 

1. Definitionsmenge: 

Der Term x ist für x 2 R definiert, der Term ln x nur für x > 0. Daher ist der Differenzterm 

x ln x ebenfalls nur für x > 0 definiert: D f ¼ R þ : 

2. Ableitungen: 

f 0 1 

ðxÞ¼1 

x , f00 ðxÞ¼ 1 , f 000 ðxÞ¼ 2 x 2 x 3 

3. Nullstellen: 

f hat keine Nullstellen. Wir können die Gleichung x ln x ¼ 0 nicht nach x auflösen und 

müssen daher den Nachweis argumentativ führen. 

Fall 1: x 1: In diesem Bereich ist x > 0 und ln x 0, daher ist hier x ln x > 0. Es gibt 

also keine Nullstelle. 

Fall 2: x 1: In diesem Bereich ist 1 x 1 und damit f 0 1 

ðxÞ¼1 0. f ist hier also monoton 

steigend. Daher nimmt die Funktion ihren kleinsten Wert an der Stelle 

x 

x ¼ 1 an, nämlich fð1Þ¼1. Also hat f auch für x 1 keine Nullstelle. 

4. Extrema: 

Die Funktion besitzt ein Minimum an 

der Stelle x ¼ 1. Es handelt sich um einen 

Tiefpunkt Tð1j1Þ. 

f 0 ðxÞ ¼0: 1 

1 

x ¼ 0 , 1 x ¼ 1 , x ¼ 1 

y ¼ fð1Þ¼1 ln 1 ¼ 1 

f 00 ð1Þ¼1 > 0 ) Minimum

3. 5. Die Kurvendiskussionen 

Ableitung von fðxÞ¼ln x 259 

.................................................... 

c 

5. Verhalten für x À‘: 

Wir prüfen das Verhalten für x !1 

mithilfe einer Wertetabelle: 

x 1 10 100 1000 !1 

f(x) 1 7,7 95,4 993,1 !1 

f 0 ðxÞ 0 0,9 0,99 0,999 ! 1 

Für x!1wachsen die Funktionswerte 

ebenfalls gegen 1, während die Steigung 

f 0 sich dem Wert 1 nähert. Der 

Graph verläuft also dann fast parallel zur 

Winkelhalbierenden des 1. Quadranten. 

6. Verhalten für x À 0: 

Hier verwenden wir ebenfalls eine 

Wertetabelle: 

x 1 0,1 0,01 0,001 ! 0 

f(x) 1 2,4 4,6 6,9 !1 

f 0 ðxÞ 0 – 9 – 99 – 999 ! 1 

Für x ! 0 streben die Funktionswerte 

ebenfalls gegen 1, die Steigung f 0 dagegen 

strebt nach 1. Der Graph geht 

also fast senkrecht rechts neben der 

y-Achse in die Höhe. 

............................................................ ........................................................ 

c Beispiel: Gegeben ist wieder die 

Funktion fðxÞ¼x ln x. 

Wie lautet die Gleichung der Kurvennormalen 

im Punkt Pðeje 1Þ? 

c 

Lösung: 

Wir gehen von der allgemeinen Normalengleichung 

aus, die rechts dargestellt ist. 

Dort setzen wir z ¼ e, fðzÞ¼fðeÞ¼e 1 

und f 0 ðzÞ¼f 0 1 

ðeÞ¼1 

e ¼ e 1 ein. 

e 

Mit dem Näherungswert e 2,72 erhalten 

wir nðxÞ 1,58x þ 6,02 als Normalengleichung. 

c Beispiel: Gegeben sind fðxÞ¼x ln x 

sowie gðxÞ¼ln x. Die Graphen von f 

und g schneiden aus der senkrechten Geraden 

x ¼ z eine Strecke heraus. 

Für welchen Wert von z ist die Länge 

dieser Strecke am kleinsten? 

c 

Lösung: 

Die Länge dieser Strecke ist die Differenz 

der Funktionswerte von f und g an der Stelle 

x ¼ z, also lðzÞ¼z 2 ln z. 

Gesucht ist das relative Minimum dieser 

Funktion. Die Extremalberechnung zeigt, 

dass es bei z ¼ 2 liegt. Die minimale Streckenlänge 

beträgt dann l MIN 0,61: 

y 

1 

f(x) = x - ln x 

1 

nðxÞ¼ 

1 

f 0 ðzÞ ðx 

P 

e 

Normale 

zÞþfðzÞ 

e 

nðxÞ¼ ðx eÞþe 1 

e 1 

nðxÞ 1,58 ðx 2,72Þþ1,72 

nðxÞ 1,58 x þ 6,02 

y 

1 

1 

x = z 

f(x) = x- ln x 

lðzÞ ¼fðzÞ gðzÞ¼z 2 ln z 

l 0 2 

ðzÞ¼ 1 ¼ 0 

z 

z ¼ 2 

l MIN ¼ lð2Þ¼2 2 ln 2 0,61 

x 

g(x) = ln x 

x

260 


.................................................................................................................................................................................................. 

c Beispiel: Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ln x þ lnð4 xÞ. 

Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f. Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Ableitungen, 

Extrema und Wendepunkte. Wie verhält sich f an den Rändern der Definitionsmenge? 

Skizzieren Sie den Graphen von f. 

c 

Lösung: 

1. Definitionsmenge: 

Der Term ln x ist für x > 0 definiert, der Term lnð4 xÞ genau dann, wenn 4 x > 0 gilt, also 

für x < 4. Daher ist der Summenterm ln x þ lnð4 xÞ nur dann definiert, wenn beide Bedingungen 

zugleich gelten, also für 0 < x < 4. 


Die Berechnung der Nullstellen gestaltet 

sich relativ kompliziert. Bei den 

rechts dargestellten Umformungen benötigen 

 

wir an einer Stelle die Beziehung 

ln 1 ¼ ln 1 ln z ¼ ln z, um 

z 

weiter zu kommen. 

Es ergeben sich zwei Nullstellen bei 

x 0,27 und x 3,73. 


Bei der Berechnung der Ableitungen 

benötigen wir für das Differenzieren 

des Terms lnð4 xÞ die Kettenregel: 

ðlnð4 xÞÞ 0 ¼ 1 ð 1Þ: 

4 x 

4. Extrema: 

Die erste Ableitung hat nach nebenstehender 

Rechnung eine Nullstelle bei 

x ¼ 2. Hier liegt wegen f 00 ð2Þ < 0 ein 

Maximum: Hochpunkt Hð2j1,39Þ. 

5. Wendepunkte: 

Es gibt keine Wendepunkte, da die 

zweite Ableitung stets negativ ist. 

6. Verhalten für x À 0 bzw. x À 4: 

x 1 0,1 0,01 0,001 ! 0 

f(x) 1,1 – 0,94 – 3,22 – 5,52 ! 1 

x 3 3,9 3,99 3,999 ! 4 

f(x) 1,1 – 0,94 – 3,22 – 5,52 ! 1 

Nullstellen: 

fðxÞ¼0 

ln x þ lnð4 xÞ¼0 

ln x ¼ lnð4 xÞ 

ln x ¼ ln 1 

4 x ðda ln 1 ¼ ln zÞ 

z 

x ¼ 1 

4 x 

x 2 4xþ 1 ¼ 0 

p 

x ¼ 2 

ffiffi 

3 

x 0,27,x 3,73 

Ableitungen: 

1 

4 x 

f 0 ðxÞ ¼ 1 x 

f 00 ðxÞ¼ 1 1 

x 2 ð4 xÞ 2 

Extrema: 

f 0 ðxÞ¼ 1 1 

¼ 0 

x 4 x 

jx ð4 xÞ 

ð4 xÞ x ¼ 0 

4 2x ¼ 0 

x ¼ 2, y ¼ 2 ln 2 1,39 

f 00 ð2Þ¼ 

1 2 < 0 ) Maximum 

y 

1 

-1 

-2 

H 

1 2 3 

f(x) = ln x+ln (4-x) 

4 

x



Übungen 

1. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼x 2 ln x. 

a) Skizzieren Sie die Graphen der Einzelterme x 2 und ln x. Fertigen Sie anschließend eine 

Skizze des Graphen von f an, indem Sie die Einzelterme subtraktiv überlagern. 

b) Errechnen Sie den Tiefpunkt des Graphen von f. 

c) Begründen Sie anhand der Ergebnisse aus b), dass f keine Nullstellen besitzt. 

d) Wie verhält sich die Funktion für x ! 0? 

e) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt Pð1j1Þ. 

f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. 

g) Gesucht ist der Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von f, der Parabel gðxÞ¼x 2 , der 

senkrechten Geraden x ¼ e und der x-Achse im ersten Quadranten eingeschlossen wird. 

Fertigen Sie zunächst eine Skizze an. 

2. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ln x lnð6 xÞ: 

a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f. Wie verhält sich die Funktion an den Rändern 

der Definitionsmenge? 

b) Errechnen Sie die Ableitungen f 0 und f 00 : 

c) Wo liegt die Nullstelle von f ? 

d) Zeigen Sie, dass f keine Extremalstellen besitzt. 

e) Untersuchen Sie f auf Wendepunkte. Die dritte Ableitung von f hat die Funktionsgleichung 

f 000 ðxÞ¼ 2 þ 2 , die zur Untersuchung verwendet werden kann. 

x 3 ð6 xÞ 3 

f) Skizzieren Sie den Graphen von f. 

g) Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente t auf. 

h) Wo schneidet der Graph von f die horizontale Gerade gðxÞ¼1? 

i) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. 

j) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen dem Graphen von f, der horizontalen 

Geraden gðxÞ¼1 und den beiden Koordinatenachsen. 

Verwenden Sie die Ergebnisse aus c), h) und i). 

Knobelaufgabe 

Aus dem Buch „Vollständige Anleitung zur Algebra“, das 1770 von 

Leonard Euler herausgegeben wurde und mehr als 100 Jahre lang zu 

den beliebtesten und meist gelesenen Lehrbüchern gehörte, stammt die 

Problemstellung zu folgender Aufgabe: 

Ich habe einige (nicht unbedingt ganzzahlige) Ellen Tuch gekauft und 

dabei für je 5 Ellen 7 Taler bezahlt. Dann habe ich das gesamte Tuch 

wieder verkauft, wobei ich für je 7 Ellen 11 Taler bekam. Bei diesem 

Handel habe ich 100 Taler gewonnen. 

Wie viele Ellen Tuches habe ich gekauft und anschließend wieder verkauft? 

(Mathematik-Olympiade, Aufgabe 430722)

262 


c 

..................................................................................................................................................................... 

c 

Beispiel: Gegeben sei fðxÞ¼x ln x,x > 0: Führen Sie eine Kurvendiskussion von f durch. 

Lösung: 


Unter Verwendung der Produktregel 

bestimmen wir f 0 und f 00 . 


Wegen x > 0 kann der Faktor x des 

Funktionsterms nicht null werden, sondern 

nur der Faktor ln x. 

Dies führt zur einzigen Nullstelle x ¼ 1. 

3. Extrema: 

Die nebenstehende Extremalberechnung 

liefert ein relatives Minimum bei 

x ¼ e 1 . Es handelt sich um einen Tiefpunkt 

Tðe 1 j e 1 ÞTð0,37j 0,37Þ: 


Es gibt keine Wendepunkte, da der 

Graph von f wegen f 00 ðxÞ > 0 beständig 

mit Linkskrümmung verläuft. 

5. Verhalten für x À‘: 

x 1 10 100 1000 !1 

f(x) 0 23 461 6908 !1 

f 0 ðxÞ 1 3,3 5,6 7,9 

6. Verhalten für x À 0: 

x 1 0,1 0,01 0,001 ! 0 

fðxÞ 0 – 0,23 – 0,046 – 0,0069 ! 0 

f 0 ðxÞ 1 – 1,3 – 3,6 – 5,9 ! 1 

Der Funktionsgraph verläuft also in der 

Nähe des Ursprungs nahezu senkrecht. 

Ableitungen: 

f 0 ðxÞ ¼1 ln x þ x 1 x ¼ ln x þ 1 

f 00 ðxÞ¼ 1 x 

Nullstellen: 

fðxÞ¼0 

x ln x ¼ 0 j:x, dax> 0: 

ln x ¼ 0 

x ¼ 1 

Extrema: 

f 0 ðxÞ¼0 

ln x þ 1 ¼ 0 

ln x ¼ 1 

x ¼ e 1 0,37, y 0,37 

f 00 ðe 1 Þ¼e > 0 ) Minimum 

Wendepunkte: 

f 00 ðxÞ¼ 1 > 0 ) keine Wendepunkte 

x 

7. Graph: 

y 

1 

T 

f(x) = x·ln x 

1 2 

x 

Übung 3 

Führen Sie eine Kurvendiskussion von f durch. 

aÞ fðxÞ¼x 2 ln x,x > 0 bÞ fðxÞ¼x lnðx 2 Þ,x6¼ 0



Übungen 

4. Gegeben sei fðxÞ¼x 2 ðln x 1Þ,x> 0. 

Mithilfe eines Funktionsplotters wurde 

der abgebildete Graph von f erstellt. 

Folgende Fragen bleiben offen: 

a) die exakte Lage der Nullstelle, des 

Tiefpunktes, des Wendepunktes, 

b) das Steigungsverhalten von f bei 

der rechtsseitigen Annäherung an 

die Stelle x ¼ 0. 

Versuchen Sie, die Fragen zu klären. 

1 

y 

f(x) = x 2 · [ln (x)-1] 

1 2 3 x 

5. Gegeben sei wieder fðxÞ¼x 2 ðln x 1Þ,x> 0: 

a) Wie lautet die Gleichung der Wendetangente? 

b) Welche Steigung liegt in der Nullstelle vor, wie groß ist der Steigungswinkel? 

c) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. 

d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die vom Graphen von f, der x-Achse und den 

senkrechten Geraden x ¼ 1 und x ¼ e im 4. Quadranten eingeschlossen wird. 

6. Gegeben sei die Funktion 

fðxÞ¼ 2x ln x, 0 < x 1 

deren Graph rechts abgebildet ist. 

Wie muss der Punkt P des Graphen 

von f gewählt werden, damit der Inhalt 

des abgebildeten Dreiecks maximal 

wird? 

y 

P 

f(x) = -2x · ln x 

1 

x 

7. Die Funktion fðxÞ¼ 

 

x ln 

 

x, x > 0, 

hat einen Hochpunkt H 1 

1 

. 

e e 

Durch den Ursprung O und den Punkt H 

wird eine Sehne g gelegt. Die Graphen 

von f und g schneiden aus der senkrechten 

Geraden x ¼ z ð0 < z 1 e Þ eine 

Strecke heraus. 

Für welchen Wert von z ist die Streckenlänge 

maximal? 

y 

1 

O 

z 

H 

f(x) = -x · ln x 

1 

x

264 


c 

....................................................................................................................................................... 

Beispiel: Diskutieren Sie die Funktion fðxÞ¼5 ln x ,x> 0. 

x 

Lösung: 


Wir können die Ableitung mithilfe der 

Quotientenregel oder nach Umformung 

des Funktionsterms in ein Produkt 

mithilfe der Produktregel berechnen. 

Die zweite Vorgehensweise 

ist rechts dargestellt. 

Analog berechnen wir f 00 und f 000 . 

c 


Nullstelle: Nð1j0Þ 

3. Extrema: 

 

Hochpunkt: H e 

5 Hð2,72j1,84Þ 

e 


Wðe 3=2 j7,5e 3=2 ÞWð4,48 j1,67Þ 

5. Verhalten für x À‘ und x À 0: 

x 1 10 100 1000 !1 

fðxÞ 0 1,151 0,230 0,034 ! 0 

f 0 ðxÞ 5 – 0,07 – 0,002 – 0,00003 ! 0 

x 1 0,1 0,01 0,001 ! 0 

f(x) 0 – 115 – 2303 – 34 539 ! 1 

f 0 ðxÞ 5 1651 2,8 10 5 3,95 10 7 !1 

Ableitungen: 

fðxÞ ¼5 ln x 

x 

¼ 5 x 

 

lnx 

f 0 5 

ðxÞ ¼ ln x þ 5 x 2 

x 1 x ¼ 5 ð1 

x 2 

f 00 ðxÞ ¼ 5 ð2lnx 3Þ 

x 3 

f 000 ðxÞ¼ 5 x 4 ð11 

6lnxÞ 

ln xÞ 

Nullstellen, Extrema, Wendepunkte: 

fðxÞ ¼0 , 5 ln x 

x ¼ 0 

, ln x ¼ 0 , x ¼ 1 

f 0 ðxÞ ¼0 , 5 ð1 ln xÞ¼0 

x 2 

, 1 ln x ¼ 0 , x ¼ e 

y ¼ fðeÞ¼ 5 e 

f 00 ðeÞ ¼ 5 < 0 ) Maximum 

e 3 

f 00 ðxÞ ¼0 , 2lnx 3 ¼ 0 , x ¼ e 3=2 

y ¼ fðe 3=2 Þ¼7,5e 3=2 

f 000 ðe 3=2 Þ¼10e 6 > 0 ) R-1-WP 

6. Graph: 

y 

1 

N 

1 

h 

H 

g 

W 

f 

x 

Übung 8 

Gegeben sei wieder die Funktion fðxÞ¼5 ln x ,x> 0, aus dem obigen Beispiel. 

x 

a) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. 

b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen dem Graphen von f und der Geraden g durch 

die Nullstelle und den Hochpunkt von f. 

c) Eine Ursprungsgerade h berührt den Graphen von f im Punkt PðzjfðzÞÞ. Berechnen Sie die 

Abszisse z des Berührpunktes.



Übungen 

9. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼2 lnðx 1Þ x þ 2. 

a) Wie lautet die Definitionsmenge von f ? 

b) Bestimmen Sie die Ableitungen f 0 und f 00 . 

c) Weisen Sie nach, dass bei x ¼ 2 eine Nullstelle von f liegt. 

Zeigen Sie, dass zwischen x ¼ 4,4 und x ¼ 4,6 eine weitere Nullstelle liegt. 

d) Untersuchen Sie die Funktion f auf Extrema. 

e) Untersuchen Sie das Verhalten von f für x !1und x ! 1. 

f) Skizzieren Sie den Graphen von f für 1 < x 7. 

g) Wo schneidet die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x ¼ 2 die y-Achse? 

p ffiffi 

10. Gegeben sei die Funktion fðxÞ¼2x ln x ,x> 0. 

a) Bestimmen Sie f 0 und f 00 . 

b) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. 

c) Untersuchen Sie, wie sich fðxÞ und f 0 ðxÞ verhalten, wenn x gegen 0 strebt. 

d) Skizzieren Sie den Graphen von f für 0 < x 3. 

e) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. 

f) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die im 4. Quadranten von dem Graphen von f, 

der x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Tiefpunkt von f umschlossen wird. 

g) In welchem Punkt P hat der Graph von f eine Tangente, die parallel zur Winkelhalbierenden 

des 1. Quadranten ist? In welchem Punkt Q ist die Kurventangente parallel zur 

Winkelhalbierenden des 4. Quadranten? 

h) Wo schneiden sich die beiden Tangenten aus g)? 

11. Gegeben sei die Funktion fðxÞ¼x ðlnðx 2 Þ 2Þ. 

a) Wie lautet die Definitionsmenge von f ? 

b) Begründen Sie, weshalb x ¼ 0 keine Nullstelle von f ist, obwohl für x ¼ 0 ein Faktor des 

Funktionsterms null wird. 

c) Bestimmen Sie die Nullstellen von f. 

d) Untersuchen Sie f auf Extrema und Wendepunkte. 

e) Skizzieren Sie den Graphen von f für 4 x 4. 

f) Wo schneidet die Gerade gðxÞ¼ 2x den Graphen von f ? 

g) Die vertikale Gerade x ¼ z mit 0 < z 1 schneidet den Graphen von f im Punkt A und 

den Graphen von g im Punkt B. Wie muss z gewählt werden, damit die Länge der Strecke 

AB möglichst groß wird? 

h) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. 

i) Der Graph von f schließt mit den Koordinatenachsen im 4. Quadranten ein Flächenstück 

ein. Berechnen Sie dessen Inhalt. 

Knobelaufgabe 

Ein Hase und ein Spanferkel wiegen zusammen 20 Pfund. Hasen kosten pro 

Pfund 20 Cent weniger als Ferkel. Der Hase soll 8 Euro und 20 Cent 

kosten, für das Ferkel will der Bauer 27 Euro und 60 Cent haben. 

Berechnen Sie das Gewicht des Hasens und des Spanferkels.

266 


B. Kurvenscharen 

Im Folgenden werden logarithmisch dominierte Scharkurven untersucht. Dabei werden die 

Standardelemente der Kurvendiskussion verkürzt dargestellt zu Gunsten von scharbezogenen 

Problemstellungen wie z.B. Ortskurven. 

............................................................................................................................................ 

c Beispiel: Diskutieren Sie die Kurvenschar f a ðxÞ¼ln x þ a für a 1 und x > 0. 

x 

Skizzieren Sie die Graphen f 1 ,f 2 und f 3 , und bestimmen Sie die Ortskurve der Extrema. 

Lösung: 


f a ðxÞ ¼ln x þ a x 

f a 0 ðxÞ 

¼ 1 x 

a 

x 2 

f 00 a ðxÞ ¼ 1 þ 2a 

x 2 x 3 

f 000 a ðxÞ ¼ 2 6a 

x 3 x 4 

2. Extrema: 

f a 0 ðxÞ 

¼ 1 x 

a 

x 2 ¼ 0 

x a ¼ 0 

x ¼ a 

y ¼ fðaÞ¼ln a þ 1 

f 00 a ðaÞ ¼ 1 > 0 ) Minimum 

a 2 

Tiefpunkt Tðaj ln a þ 1Þ 


f 00 a ðaÞ ¼ 1 þ 2a ¼ 0 

x 2 x 3 

x þ 2a¼ 0 

x ¼ 2a 

y ¼ fð2aÞ¼lnð2aÞþ 1 2 

f 000 a ð2aÞ¼ 1 < 0 ) L-r-WP 

8a 3 

 

c Wendepunkt W 2alnð2aÞþ 1 2 


Die Nullstellenuntersuchung findet 

erst hier statt, weil die direkte Auflösung 

der Nullstellengleichung nicht 

möglich ist, sondern die Extremwerte 

zur Argumentation genutzt werden 

können. Da die Ordinate ln a þ 1 des 

Tiefpunktes wegen a 1 stets größer 

oder gleich 1 ist, gilt dies auch für alle 

anderen Funktionswerte: fðxÞ1 für 

alle x > 0. Daher hat die Funktion 

keine Nullstellen. 

5. Ortskurve der Tiefpunkte: 

Tiefpunktordinate: y ¼ ln a þ 1 ð1Þ 

Tiefpunktabszisse: x ¼ a ð2Þ 

Einsetzen von (2) in (1): 

Ortskurve: y ¼ ln x þ 1 

y 

f 3 

f 2 

1 f 1 

1 

Ortskurve der 

Tiefpunkte 

Übung 12 

Betrachtet wird die Schar f a ðxÞ¼ln x þ a aus dem obigen Beispiel. 

x 

a) Welche Scharfunktion besitzt einen Wendepunkt, der auf der Geraden gðxÞ¼2 liegt? 

b) Wie lautet die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte der Schar? 

c) Diskutieren Sie die Schar f a ðxÞ¼ln x þ a für 0 < a 1 bzw. für a < 0. 

x 

x 

266-1



........................................................................................................................................................................ 

c Beispiel: Gegeben sei die Kurvenschar f a ðxÞ¼ax ln x für a > 0 und x > 0. 

Untersuchen Sie die Schar auf Extrema und Wendepunkte. Untersuchen Sie das Verhalten 

von f a für x ! 0 und x !1. Skizzieren Sie die Graphen von f 1=2 ,f 1=3 ,f 1 und f 3 . 

c 

Lösung: 


Wir berechnen zunächst die Ableitungsfunktionen. 

2. Extrema: 

Die notwendige Bedingung für Extrema 

f 0 a ðxÞ¼0 ist für die Stelle x ¼ 1 a 

erfüllt. Der dazugehörige Funktionswert 

ist 1 þ ln a. 

Die Überprüfung der Stelle x ¼ 1 a mittels 

f 00 a ergibt dort eineLinkskrümmung, 

 

d. h. ein Minimum: T 1 1 þ ln a . 

a 


Es gibt keine Wendepunkte, da die notwendige 

Bedingung f a 00 ðxÞ¼0 für 

keine Stelle x erfüllt ist. 

4. Verhalten für x À 0 und x À‘: 

Für x ! 0 strebt der Teilterm ðaxÞ gegen 

0 und der Teilterm ln x gegen 1. 

Der Funktionsterm f a ðxÞ¼ax ln x 

strebt daher gegen 0 ð 1Þ¼1. 

lim f aðxÞ¼1 

x!0 

Für x !1strebt der Teilterm ðaxÞ gegen 

1: Der Teilterm ln x strebt ebenfalls 

gegen 1, allerdings aufgrund des 

extrem schwachen Wachstums des Logarithmus 

sehr langsam. 

Die Differenz ax ln x strebt daher 

auch gegen 1, was Tests bestätigen. 

lim f aðxÞ¼1 

x!1 

Ableitungen: 

f a 0 ðxÞ ¼a 

1 

x 

f a 00 ðxÞ ¼ 1 x 2 

Extrema: 

f 0 a ðxÞ ¼0 

1 

a 

x ¼ 0 

x ¼ 1 a 

y ¼ f 1 a 

¼ 1 ln 1 a ¼ 1 þ ln a 

 

¼ a 2 > 0 ) Mininum 

 

 

Tiefpunkt T 1 

1 þ ln a 

a 

f a 

00 1 

a 

Wendepunkte: 

f 00 a ðxÞ¼ 1 > 0 für alle x > 0 

x 2 

) keine Wendestellen 

5. Graphen: 

y 

1 

1 

f 3 

f 1 

f 1/2 

f 1/3 

x 

Übung 13 

Gegeben ist die Schar f a ðxÞ¼ax ln x für a > 0 und x > 0. 

a) Welche Funktion der Schar besitzt ein Extremum mit der Ordinate y ¼ 2? 

b) Wie lautet die Gleichung der Ortskurve der Extrema dieser Schar?

268 


Übungen 

14. Gegeben ist die Kurvenschar f a ðxÞ¼x ða ln xÞ,a> 0 und x > 0. 

a) Bestimmen Sie die Ableitungen f a 0 und f a 00 . 

b) Untersuchen Sie f a auf Nullstellen. 

c) Bestimmen Sie den Extremalpunkt von f a . Zeigen Sie, dass f a keine Wendepunkte besitzt. 

d) Untersuchen Sie, wie sich die Funktion f 1 für x !1bzw. für x ! 0 verhält. 

e) Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f 2 für 0 < x 8. 

f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f a . 

g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von f 1 , der 

x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Hochpunkt von f 1 umschlossen wird. 

h) Geben Sie den Inhalt der Fläche, die im 1. Quadranten vom Graphen von f a und den 

Koordinatenachsen begrenzt wird, in Abhängigkeit von a an. 

15. Gegeben ist die Kurvenschar f a ðxÞ¼a 2 x 2 a ln x, a > 0 und x > 0. 


b) Untersuchen Sie f a auf Extrema und Wendepunkte. 

c) Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f 2 . 

d) Zeigen Sie, dass der Graph von f 1 keine Nullstellen hat. Argumentieren Sie mit den 

bisher erhaltenen Vorergebnissen. 

e) Für welchen Wert von a liegt der Extremalpunkt von f a auf der x-Achse? 

16. Gegeben ist die Kurvenschar f a ðxÞ¼x 2 a ln x, a > 0 und x > 0. 


b) Zeigen Sie, dass f a Extremalpunkte, aber keine Wendepunkte besitzt. 

c) Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f 3 . 

d) Für welchen Wert von a liegt der Tiefpunkt von f a auf der x-Achse? 

e) Untersuchen Sie aufgrund des Ergebnisses von d) die Anzahl der Nullstellen von f a in 

Abhängigkeit von a. 

f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f a . 

g) Untersuchen Sie die Kurvenschar f a ðxÞ¼x 2 a ln x für a < 0. 

Wie ändert sich das Erscheinungsbild der Schar (Skizze) für nunmehr negative Parameterwerte 

a? 

17. Gegeben ist die Kurvenschar f a ðxÞ¼ðlnðaxÞÞ 2 a, a > 0 und x > 0. 

a) Bestimmen Sie die Ableitungen f 0 a und f 00 a . 

b) Untersuchen Sie f a auf Nullstellen und Extrema. 

c) Zeigen Sie, dass alle Funktionen der Schar f a bei x ¼ e eine Wendestelle besitzen. 

a 

d) Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f 2 . 

e) Wie verhält sich der Graph von f a für x !1bzw. x ! 0? 

f) Für welchen Wert von a schneidet die Wendetangente die y-Achse im Punkt Pð0j 4Þ? 

g) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Extremalpunkte von f a . 

h) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Wendepunkte von f a . 

i) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f a .

IX. Logarithmusfunktion 269 

Überblick 

Ableitung von Umkehrfunktionen: 

f sei eine umkehrbare, an der Stelle x differenzierbare Funktion 

mit f 0 ðxÞ 6¼ 0. Dann gelten die so genannten Umkehrformeln: 

1. Fassung 2. Fassung 

f 0 1 

ðxÞ¼ ðf 1 Þ 0 ðxÞ¼ 1 

ðf 1 Þ 0 ðfðxÞÞ 

f 0 ðf 1 ðxÞÞ 

Die Ableitung einer Funktion 

an der Stelle x ist gleich 

dem Kehrwert der Ableitung 

ihrer Umkehrfunktion 

an der Stelle f(x). 

Die Ableitung einer Umkehrfunktion 

an der Stelle x ist 

gleich dem Kehrwert der Ableitung 

der Funktion an der 

Stelle f 1 ðxÞ. 

Die natürliche Logarithmusfunktion: 

fðxÞ¼lnx 

y 

1 

f(x) = ln x 

D ¼ R þ , W ¼ R, 

streng monoton steigend, 

lne ¼ 1, ln1 ¼ 0 

1 

x 

Logarithmengesetze: 

lnða bÞ¼lna þ ln b 

¼ lna ln b 

ln a b 

lnða b Þ 

lnðe x Þ 

e lnx 

¼b lna 

¼x 

¼ x 

Ableitungsregeln: 

ðlnxÞ 0 ¼ 1 x 

ðlnðaxÞÞ 0 ¼ 1 x 

ðx > 0Þ 

ðx > 0, a 2 R,a> 0Þ 

Logarithmische Integration 

ð 

1 

x 

dx ¼ lnjxjþC 

ðx 6¼ 0Þ 

ð 

Für eine differenzierbare Funktion, die nicht null wird, gilt: 

f 0 ðxÞ 

dx ¼ lnjfðxÞjþC 

fðxÞ

270 


Test 

Logarithmusfunktionen 

1. Bestimmen Sie die Definitionsmenge von f. 

aÞ fðxÞ¼lnðx 5Þ bÞ fðxÞ¼lnðx 2 4Þ cÞ fðxÞ¼ln 2 þ x 

4 x 

2. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion f 0 . 

aÞ fðxÞ¼0,5 lnðx 2 þ 1Þ bÞ fðxÞ¼x 2 lnð2xÞ cÞ fðxÞ¼ ln x 

x 2 

3. Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. 

aÞ fðxÞ¼x 3 lnð4xÞ bÞ fðxÞ¼ 1 

cÞ fðxÞ¼ 4e2x þ 2 

x ðlnxÞ 3 e 2x þ x 

4. Lösen Sie die Gleichung lnðexþ 2eÞ¼ 1 þ lnðx 2 Þ. 

5. Gesucht ist der Inhalt des abgebildeten 

Flächenstückes A. 

y 

f(x) = x 2 +1 

g(x) = 2 x 

A 

0 e 

x 

6. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼x ð2 ln xÞ,x> 0. 

a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktionen f 0 und f 00 . 

b) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. 

c) Skizzieren Sie den Graphen von f für 0 < x 8. 

d) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte fðxÞ und der Ableitungswerte f 0 ðxÞ, 

wenn x gegen null strebt. 

e) Wie lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f in dessen Nullstelle? 

f) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. 

g) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die im 1. Quadranten von dem Graphen von f, 

der x-Achse und der senkrechten Geraden durch den Hochpunkt von f begrenzt wird. 

h) Die Gerade gðxÞ¼ 1 4 x teilt die Fläche A aus g) in zwei Teile A 1 und A 2 . 

A 1 liegt oberhalb und A 2 unterhalb der Geraden g. 

Welche Teilfläche hat den größeren Flächeninhalt? 


X. Weiterführung 

der Integralrechnung 

Ebenso wie die Flächeninhaltsberechnung kann auch die Volumenberechnung 

von Körpern, die analytisch durch Funktionen beschrieben 

werden können, mithilfe der Integralrechnung erfolgen. 

Ein besonders einfaches Verfahren ergibt sich für Rotationskörper. 

Durch die Einführung sogenannter uneigentlicher Integrale kann 

nunmehr auch für bestimmte unbegrenzte Flächen ein Inhalt 

definiert und berechnet werden. 

Häufig gelingt es nicht, zu einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion 

zu finden. In solchen Fällen half bei der Berechnung 

bestimmter Integrale bisher nur eine Näherungsrechnung über 

Ober- bzw. Untersummen, die häufig erst bei großer Streifenzahl 

brauchbare Ergebnisse liefern. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels 

werden effektive Quadraturverfahren entwickelt. 

y 

x

272 


1. Das Volumen von Rotationskörpern 

A. Die Rotationsformel 

Flaschen, Vasen, Scheinwerfer und Kugeln 

sind rotationssymmetrische Körper, 

deren Form durch Rotation einer Randkurve 

um eine Achse erzeugt werden kann. 

Mit der Integralrechnung kann das Volumen 

solcher Körper rechnerisch bestimmt 

werden. 

y 

a 

f 

b 

x 

Die Grundidee stammt von Archimedes. Analog zur Einschachtelung von Flächen durch archimedische 

Rechteckstreifen kann ein Rotationsvolumen durch Zylinderscheiben eingeschachtelt 

werden. Die folgende Gegenüberstellung führt so zur Rotationsformel. 

y 

f 

y 

x 

f 

a = x 0 

x 1 

x 2 

x 3 

x n 

= b 

x 

x 

x 

Die Fläche A unter dem Graphen von f 

über dem Intervall [a ; b] wird nach Archimedes 

durch eine Treppenfläche aus n 

rechteckigen Streifen approximiert. 

Der Inhalt dieser Treppenfläche ist eine 

Produktsumme der Gestalt 

X 

fx ð i Þ D x; 

denn das Rechteck Nr. i besitzt den Inhalt 

fx ð i Þ Dx. 

Lässt man die Anzahl n der Rechteckstreifen 

gegen unendlich und ihre Breiten Dx 

gegen null streben, so strebt die Produktsumme 

gegen das bestimmte Integral von 

fx ðÞin den Grenzen von a bis b. 

Daher gilt für den Flächeninhalt A: 

Das Volumen V des durch Rotation des 

Graphen von f um die x-Achse über dem 

Intervall ½a;bŠ entstehenden Körpers wird 

durch einen Treppenkörper aus n zylindrischen 

Scheiben approximiert. 

Das Volumen dieses Treppenkörpers ist 

eine Produktsumme der Gestalt 

X 

p f 2 ðx i Þ Dx; 

denn die Scheibe Nr. i besitzt das Volumen 

p f 2 ðx i Þ Dx. 

Lässt man die Anzahl n der Scheiben gegen 

unendlich und ihre Höhe Dx gegen 

null streben, so strebt die Produktsumme 

gegen das bestimmte Integral von p f 2 ðÞ x 

in den Grenzen von a bis b. 

Daher gilt für das Rotationsvolumen V: 

ð b 

A ¼ fx ðÞdx: 

a 

ð b 

V ¼ p 

a 

fðxÞ 2 

dx:

1. Das Volumen von Rotationskörpern 273 

Wir erhalten als Resultat folgende Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern. 

Auf den Beweis verzichten wir. 

Die Rotationsformel 

f sei eine über dem Intervall [a ; b] differenzierbare und nicht negative Funktion. Rotiert der 

Graph von f über dem Intervall [a ; b] um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper mit dem 

Volumen 

ð b 

V ¼ p 

a 

fðxÞ 2 

dx: 

273-1 

B. Grundlegende Beispiele 

Mit dieser Formel kann man für konkrete Randfunktionen f Rotationsvolumina ebenso leicht 

wie ansonsten Flächeninhalte berechnen. Man kann darüber hinaus die uns schon bekannten 

Volumenformeln für Zylinder, Kegel und Kugel theoretisch herleiten. Wir rechnen im Folgenden 

einige Beispiele hierzu. 

c 

.................................................... 

c 

Beispiel: Berechnen Sie das Volumen 

V desjenigen Körpers, der durch Rotation 

des Graphen von fðxÞ¼ 1 2 x2 über 

dem Intervall I ¼½0;1Š um die x-Achse 

entsteht. 

Lösung: 

Es entsteht ein Rotationskörper, der die 

Gestalt eines Spitzhutes hat. 

Sein Volumen beträgt nach nebenstehend 

aufgeführter Rechnung V ¼ p 0,16 Volumeneinheiten 

20 

(VE). 

y 

ð b 

V ¼ p 

a 

f 

fðxÞ 2 

dx ¼ p 

ð 1 0 

 

1 

1 

2 x2 

ð 1 h i 1 

1 

¼ p 

4 x4 1 

dx ¼ p 

20 x5 

0 

0 

¼ p 0,16 VE 

20 

2dx 

x 

Übung 1 

Ein Behälter zur Herstellung von Eis hat 

ein parabelförmiges Profil mit den angegebenen 

Maßen. Stellen Sie zunächst die 

Gleichung der Profilkurve auf. 

p ffiffiffi 

Verwenden 

Sie den Ansatz fðxÞ¼a x . Errechnen 

Sie sodann das Fassungsvermögen des 

Behälters. 

y 

30 cm 

P o l y 

x 

F r e e z e 

20 cm

274 


c 

...................................... 

Beispiel: Ein Parabolscheinwerfer hat 

das Randkurvenprofil fðxÞ¼ 3 p ffiffi 

x 

2 . Der 

Scheinwerfer ist 4 cm lang. 

Wie groß ist sein Luftvolumen? 

Lösung: 

Das Rotationsvolumen berechnet sich folgendermaßen: 

c V ¼ p 

ð b a 

fðxÞ 2 

dx ¼ p 

ð 4 0 

 

pffiffiffi 

2dx ð 4 

3 

x 

2 ¼ p 

0 

y 

1 

9 

4 xdx¼ p 9 

8 x2 

f 

4 

h i 4 

0 ¼ p 18 56,55 cm3 . 

x 

Auch allgemeingültige Volumenformeln lassen sich mit der Rotationsmethode einfach gewinnen, 

wie das folgende Beispiel des Kreiskegels zeigt. 

c 

............................................................................. 

Beispiel: Die Formel für das Volumen 

eines geraden Kreiskegels mit dem Radius 

r und der Höhe h soll durch Anwenden 

der Volumenformel für Rotationskörper 

hergeleitet werden. 

Lösung: 

Wir legen einen Querschnitt des Kegels 

wie abgebildet in ein Koordinatensystem. 

Die Randkurve f ist dann eine Ursprungsgerade 

zu fðÞ¼ x m x, wobei für deren 

Steigung gilt: m ¼ r h . 

Also gilt: fðxÞ¼ r h x. 

Als zugehöriges Rotationsvolumen ergibt 

sich laut nebenstehender Rechnung die 

klassische Formel für das Kegelvolumen: 

c V ¼ p 3 r2 h. 

y 

r 

ð b 

V ¼ p 

a 

fðxÞ 2 

dx ¼ p 

ð h 0 

 

h 

r 

h x 

2 

dx 

ð h h i h 

r 

¼ p 

2 

x 2 r 

dx ¼ p 2 

1 h 2 h 2 3 x3 

0 

0 

¼ p r2 

h 2 1 3 h3 ¼ p 3 r2 h 

x 

Übung 2 

Gesucht ist das Volumen 

des Körpers, welcher durch 

Rotation der Randkurve 

fx ðÞ¼ x 2 þ 1 über dem Intervall 

½1;2Š entsteht. 

Übung 3 

Leiten Sie die klassische 

Formel für das Volumen 

des geraden Kreiszylinders 

mit dem Radius r 

und der Höhe h her. 

y 

r 

h 

x


c 

................................................................. ...................................................................................................... 

c 

c 

c 

Beispiel: Welches Volumen hat das 

rechts dargestellte Glas? Die Randkurve 

ist eine quadratische Parabel vom 

Typ fðÞ¼ x ax 2 . 

1. Bestimmung der Parabelgleichung 

Aus der Zeichnung kann man ablesen, dass 

der Punkt Pð8j2Þ auf der Parabel liegt. 

Daher gilt fðÞ¼ 8 2, d. h. 64 a ¼ 2. 

Hieraus folgt a ¼ 1 32 . 

Die Gleichung der Parabel lautet also 

fx ðÞ¼ 1 32 x2 . 

2. Berechnung des Rotationsvolumens 

Das Flüssigkeitsvolumen reicht von x ¼ 3 

bis maximal x ¼ 8. 

Daher ergibt sich der Inhalt des Glases 

nach der Rotationsformel. 

ð 8 2dx¼ ð 8 

1 

V¼ p 

32 x2 p 

3 

3 

h i 8 

1 

¼ p 

5120 x5 19,96 cm3 

3 

1 

1024 x4 dx 

Beispiel: Leiten Sie die Formel für das 

Volumen einer Kugel mit dem Radius r 

her. 

Lösung: 

Die Kugel lässt sich durch Rotation eines 

Halbkreises mit dem Radius r um die x- 

Achse über dem Intervall ½–r;rŠ gewinnen. 

Der Halbkreis hat die Funktionsgleichung 

fðÞ¼ 

x 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

r 2 x 2 . 

p 

Daher erhalten wir: 

ð r pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð r 2 

h 

V ¼ p r 2 x 2 dx¼ p ðr 2 x 2 Þdx¼ p r 2 1 

x 

r 

 

r 

2 

¼ p 

3 r3 2 3 r3 ¼ 4 3 pr3 . 

y 

i r 

3 x3 

r 

f(x) = ax 2 

1 

y 

x 

-1 

r 

y 

−2 

1 2 3 4 5 6 7 8 

x

276 


Übungen 

4. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Funktionsgraphen von f 

um die x-Achse über dem Intervall I entsteht. Fertigen Sie eine Skizze an. 

p 

aÞ fx ð Þ¼ 

ffiffi x , I¼½1;4Š bÞ fx ðÞ¼ x 

4 

x 2 , I¼½ 1;1Š 

cÞ fx ð Þ¼ 0,5x þ 2, I ¼½ 2;1Š dÞ fx ðÞ¼ ðx 2Þ 2 þ 4, I ¼½0;4Š 

p 

eÞ fx ð Þ¼ 


1 x 2 ,I¼½ 1;1Š fÞ fx ðÞ¼ xx ð 1Þ 2 , I¼½0;2Š 

5. Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph von f zwischen den 

angegebenen Grenzen um die y-Achse rotiert. 

a) fðxÞ¼ 3x 2, y ¼ 1 bis y ¼ 4 b) fðxÞ¼ x 2 1, y¼0 bis y ¼ 3 

c) fðxÞ¼ x 2 þ 1, y ¼ 1 bis y ¼ 2 d) fðxÞ¼ 1 x , y¼ 1 2 bis y ¼ 2 

6. Gesucht ist das Volumen des abgebildeten 

Footballs, der durch Rotation einer 

Parabel um die x-Achse entsteht. 

Bestimmen Sie zunächst die Gleichung 

der Randparabel f. 

y 

f(x) = ax 2 + b 

7. Kugelkappe 

Bestimmen Sie das Volumen der Kugelkappe 

in Abhängigkeit vom Radius 

r der Kugel und der Höhe h der Kugelkappe. 

y 

7 inch 

x 

r 

h 

x 

11 inch 

1 

4 

1 inch = 2,54 cm 

8. Kegelstumpf 

Die Formel für das Volumen 

des Kegelstumpfs mit 

den Radien R und r und der 

Höhe h soll hergeleitet werden. 

a) Das Kegelvolumen lässt 

sich als Rotationsvolumen 

darstellen. Begründen 

Sie dies anhand der 

Skizze. 

y 

R 

r 

a b x 

h 

b) Zeigen Sie, dass die als 

Randkurve verwendete Ursprungsgerade 

die Steigung 

m ¼ R r hat. 

h 

c) Weisen Sie nach, dass 

a ¼ r h 

R r und b ¼ R h die Integrationsgrenzen 

sind. 

R r 

d) Berechnen Sie das Rotationsvolumen 

des Kegelstumpfes. 

y 

9. Eine Kugel mit 

dem Radius 

R ¼ 4 wird durch 

eine ringartige 

Schale eingefasst, 

deren Volumen 

gesucht ist. 

5 

4 

1 1 

x 

10. fx ðÞ¼ x 2 þ 1 rotiert 

über [ 1;1] 

um die x-Achse. 

Ist die Maßzahl des 

Rotationsvolumens 

größer als 5? 

y 

x


11. Der Haupttreibstofftank des Space-Shuttle hat die Form eines Zylinders mit zwei Aufsätzen. 

Der untere Aufsatz ist näherungsweise halbkugelförmig, der obere Aufsatz hat parabolische 

Form. Die Maße sind gerundet in der Skizze enthalten. 277-1 

8 m 

Sauerstofftank 

Wasserstofftank 

a) Bestimmen Sie zunächst die 

Gleichung des parabolischen 

Teils. Verwenden 

p 

Sie den Ansatz 

fðxÞ¼ a 

ffiffi x . 

9 m 

b) Berechnen Sie das Volumen 

des parabolischen Teils mit 

der Rotationsformel. Wie groß 

ist das Gesamtvolumen des 

Tanks? 

30 m 4 m 

Booster 

12. Ein Glas mit Flüssigkeit rotiert. 

Dabei nimmt die Flüssigkeitsoberfläche 

unter 

dem Einfluss von Schwerkraft 

und Fliehkraft ein parabelförmiges 

Profil an. 

y 

x 

1 2 3 4 5 

a) Bestimmen Sie die Parabelgleichung. 

b) Berechnen Sie das Flüssigkeitsvolumen. 

c) Wie hoch steht die Flüssigkeit 

im Glas, wenn 

dieses nicht rotiert? 

−1 

−2 

−1 1 2 3 

13. Das abgebildete Fass hat ein parabelförmig 

gebogenes Daubenprofil. 

a) Der Mathematiker und Astronom 

Johannes Kepler (1571–1630) 

gab die dargestellte Formel für 

das Volumen eines solchen Fasses 

an. Führen Sie den Nachweis. 

b) Leiten Sie aus der Fassformel die 

Formel für das Zylindervolumen 

ab. 

R 

Kepler’sche Fassformel: 

V ¼ h 15 p ð 8R2 þ 4Rrþ 3r 2 Þ 

r 

y 

h 

x

278 


2. Uneigentliche Integrale 

In diesem Abschnitt werden wir den Inhalt von Flächen untersuchen, die unbegrenzt sind und 

sich bis ins Unendliche ausdehnen. 

Typ 1: Integral über einem unbeschränkten Intervall 

c 

.............................................................................................................................................. 

c 

Beispiel: Der Graph von fðxÞ¼ 1 x 3 , die 

Gerade x ¼ 1, die x-Achse und die Gerade 

x ¼ k mit k > 1 schließen eine Fläche 

ein. 

a) Berechnen Sie deren Inhalt AðkÞ in 

Abhängigkeit von k. 

b) Untersuchen Sie das Grenzwertverhalten 

des Flächeninhalts AðkÞ für 

k !1. 

Lösung zu a: 

1. Stammfunktion: 

Wir bestimmen zunächst eine Stammfunktion 

von f. 

2. Flächeninhaltsbestimmung: 

Der gesuchte Flächeninhalt kann nun als 

bestimmen Integral von f über dem Intervall 

½1;kŠðk > 1Þ berechnet werden. 

Resultat: AðkÞ¼ 1 2 

1 

2k 2 

zu b: Verhalten von A(k) für k !1: 

Mit zunehmendem k wandert die Gerade 

x ¼ k weiter nach rechts, und die Fläche 

AðkÞ dehnt sich immer weiter aus. 

Für k !1erstreckt sich die Fläche bis ins 

Unendliche. Man könnte vermuten, dass 

diese unendlich ausgedehnte Fläche einen 

unendlich großen Flächeninhalt hat. Dass 

dies nicht so ist, können wir durch Grenzwertbestimmung 

nachweisen. Der Inhalt 

der Fläche wächst nicht über alle Grenzen, 

sondern nähert sich überraschenderweise 

immer mehr der Zahl 0,5. 

y x = 1 x = k 

1 

fðxÞ¼ 1 x 3 

FðxÞ¼ 1 

2x 2 

ð k 1 

AðkÞ¼ dx ¼ FðkÞ 

x 3 

1 

¼ 1 þ 1 

2k 2 2 1 ¼ 1 2 

Grenzwertbestimmung: 

ð k 1 

lim AðkÞ¼ lim dx 

k!1 k!1 x 3 

1 

 

1 

¼ lim 

k!1 2 

1 

1 

2k 2 

¼ 1 2 

Fð1Þ 

1 

2k 2 

f(x) = 1 x 3 

x 

Unser Beispiel zeigt, dass auch Flächen, die nicht nach allen Seiten durch Randkurven begrenzt 

sind, sondern sich bis in alle Unendlichkeit erstrecken, unter bestimmten Umständen durchaus 

einen (endlichen) Flächeninhalt haben können.

2. Uneigentliche Integrale 279 

Im obigen Beispiel haben wir die obere 

Grenze der Fläche AðkÞ, also den Parameter 

k, weiter nach rechts wandern lassen 

und den Grenzwert bestimmt. Man 

bezeichnet diesen grenzwert auch als uneigentliches 

Integral von f über ½1;1½. 

Uneigentliches Integral: 

ð1 ð1 

1 

fðxÞdx ¼ 

1 

1 

x 3 dx ¼ lim 

k!1 

ð k 1 

1 

x 3 dx ¼ 1 2 

Definition X.1: Ist die Funktion f auf einem Intervall ½a; 1½ stetig und existiert der Grenzwert 

ð k 

lim 

k!1 

a 

fðxÞdx, dann definiert man diesen Grenzwert als uneigentliches Integral von f 

über ½a; 1½ und schreibt hierfür 

ð1 

a 

fðxÞdx. 

Existiert der Grenzwert nicht, so sagt man, dass das uneigentliche Integral nicht existiert. 

ð b 

Das uneigentliche Integral fðxÞdx wird in analoger Weise definiert. 

1 

Wir erläutern nun die Vorgehensweise zur Bestimmung eines uneigentlichen Integrals. 

c 

....................................................... 

c 

Beispiel: Berechnen Sie, sofern es existiert, das uneigentliche Integral 

Lösung: 

Zunächst schreiben wir das uneigentliche 

Integral als Grenzwert eines bestimmten 

Integrals und berechnen dieses für eine beliebige 

obere Grenze k mit k > 2. 

Anschließend lassen wir die obere Grenze 

k über alle Grenzen wachsen, d. h., wir bestimmen 

den Grenzwert des bestimmten 

Integrals für k !1. Dieser Grenzwert 

ist, sofern er existiert, das gesuchte uneigentliche 

Integral. 

ð1 

4 

2 

x 2 dx ¼ lim 

k!1 

ð k 2 

4 

x 2 dx 

ð1 

4 

2 

x 2 dx. 

h i k 

4 

¼ lim 

k!1 x 2 

 

4 

¼ lim 

k!1 k þ 2 

¼ 2 

Übung 1 

Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale. 

ð1 

aÞ 8x 5 dx 

2 

bÞ 

ð1 

1 ffiffi 

x 

1 

p dx cÞ 

ð 0 1 

1 

ð4 xÞ 3 dx dÞ 

ð 2 1 

x þ 1 

x 4 

dx

280 


Das folgende Beispiel zeigt die prinzipielle Vorgehensweise bei der Untersuchung des Inhalts 

von Flächen, die sich bis ins Unendliche ausdehnen. 

c 

................................................................................................................................................................. 

Beispiel: Bestimmen Sie den Inhalt 

der Fläche A, die sich – begrenzt vom 

Graphen der Funktion fðxÞ¼x 2 , vom 

Graphen der Funktion gðxÞ¼ 1 und 

x 2 

von der x-Achse – längs der positiven 

x-Achse ins Unendliche erstreckt. 

Lösung: 

1. Schnittpunktbestimmung: 

Wir bestimmen als erstes die Schnittstelle 

von f und g. Im 1. Quadranten finden wir 

die Schnittstelle bei x ¼ 1. Wir zerlegen 

die gesuchte Fläche A in zwei Teilflächen 

A 1 und A 2 . 

2. Der Inhalt der Fläche A 1 : 

A 1 ist die Fläche unter fðxÞ¼x 2 über dem 

Intervall ½0;1Š, die wir in gewohnter Weise 

berechnen können. 

3. Der Inhalt der Fläche A 2 (k): 

Wir bestimmen nun den Inhalt der Fläche 

A 2 ðkÞ unter dem Graphen von f über einem 

beliebigen Intervall ½1;kŠðk > 1Þ. 

4. Der Inhalt von A 2 (k) für k !1: 

Lassen wir die obere Grenze der Fläche 

A 2 ðkÞ, also den Parameter k, weiter nach 

rechts wandern, so dehnt sich die Fläche 

immer weiter aus. 

Allerdings wächst der Inhalt nicht über 

alle Grenzen, sondern er nähert sich immer 

mehr der Zahl 1: lim 

k!1 

A 2 ðkÞ¼1. 

5. Der Inhalt von A: 

Der Inhalt von A ist die Summe der Inhalte 

von A 1 und A 2 . 

y 

1 

g 

1 

f 

A 1 A 2 

fðxÞ¼gðxÞ 

x 2 ¼ 1 x 2 

x 4 ¼ 1 

x ¼ 1; x ¼ 1 

ð 1 h i 1 

A 1 ¼ x 2 dx ¼ 1 3 x3 ¼ 1 0 3 

0 

ð k h i k 

1 

1 

A 2 ðkÞ¼ dx ¼ 

x 2 x 

¼ 1 1 

1 k 

1 

ð k 

lim A 1 

2ðkÞ¼ lim dx 

k!1 k!1 x 2 

1 

 

1 

¼ lim 1 

k!1 k 

k 

¼ 1 

A ¼ A 1 þ lim 

k!1 

A 2 ðkÞ¼ 1 3 þ 1 ¼ 4 3 

c Resultat: A ¼ 4 3 < 1 

280-1 

Übung 2 

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die sich – begrenzt von den Graphen von fðxÞ¼ 1 3 x und 

gðxÞ¼ 1 und von der x-Achse – längs der positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt. 

ðx 2Þ 2 

x


Typ 2: Integral einer unbeschränkten Funktion 

Bisher haben wir ins Unendliche ausgedehnte Flächen betrachtet, die als bestimmte Integrale 

über unbeschränkten Intervallen darstellbar waren. Das folgende Beispiel zeigt, dass ins Unendliche 

ausgedehnte Flächen bei bestimmten Funktionen auch in anderen Zusammenhängen 

auftreten können. 

c 

.................................................................................................................... 

Beispiel: Berechnen Sie den Inhalt der 

Fläche A, die vom Graphen der Funktion 

fðxÞ¼p 1 ffiffi x 

, von der Geraden x ¼ 2 

und der x-Achse im 1. Quadranten begrenzt 

wird. 

Lösung: 

Die Funktion f ist für x ¼ 0 nicht definiert. 

Es gilt: lim p ¼1. 

1 ffiffi 

x!0 x 

Die Fläche A dehnt sich also „nach oben“ 

bis ins Unendliche aus, da f in der Nähe 

von 0 unbeschränkt ist. Um deren Flächeninhalt 

zu untersuchen, gehen wir prinzipiell 

wie in den obigen Beispielen mittels 

Grenzwertbestimmung vor. Als erstes berechnen 

wir den Inhalt der Fläche AðkÞ unter 

dem Graphen von f über einem beliebigen 

Intervall ½k;2Š mit 0 < k < 2. 

Lassen wir nun die untere Grenze der Fläche 

AðkÞ „nach links wandern“, so dehnt 

sich die Fläche immer weiter aus. Der Inhalt 

der Fläche A ergibt sich dann als 

Grenzwert des Flächeninhalts AðkÞ für 

k ! 0. 

p 

c Resultat: A ¼ 2 

ffiffi 

2 

y 

2 

1 

k 

A 

x = 2 

1 2 

1. Der Inhalt der Fläche A(k): 

ð 2 ð 2 

AðkÞ¼ fðxÞdx ¼ p 

1 ffiffi dx 

x 

k 

k 

p 

¼ ½2 

ffiffi xŠ 2 k ¼ 2 p ffiffi pffiffi 

2 2 k 

2. Der Inhalt der Fläche A(k) für k!0: 

lim AðkÞ¼lim 

k!0 k!0 

ð 2 k 

fðxÞdx 

p 

¼ lim ð2 ffiffiffi pffiffiffi 

2 2 k Þ¼2 

k!0 

x 

p 

ffiffi 

2 

Im obigen Beispiel konnten wir nicht direkt 

das Integral von 0 bis 1 bilden, da die 

Funktion f bei x ¼ 0 nicht definiert, sondern 

dort unbeschränkt ist. Auch in diesem 

Fall kann man den errechneten Grenzwert 

als uneigentliches Integral bezeichnen 

und hierfür die nebenstehende Schreibweise 

verwenden. 

Uneigentliches Integral: 

ð 2 ð 2 

A ¼ fðxÞdx ¼ lim fðxÞdx 

k!0 

0 

k 

ð 2 p 

¼ lim p 

1 ffiffi dx ¼ 2 ffiffi 

2 

k!0 x 

k

282 


Definition X.2: Ist die Funktion f an der Stelle a nicht definiert, aber auf dem Intervall Ša;bŠ 

stetig und existiert der Grenzwert lim 

k!a 

ð b k 

ð b a 

fðxÞdx, so definiert man diesen Grenzwert als uneigentliches 

Integral von f über Ša;bŠ und schreibt 

fðxÞdx. 

Analog definiert man ein uneigentliches Integral, wenn die Funktion f an der oberen Integrationsgrenze 

nicht definiert ist. 

Im folgenden Beispiel berechnen wir exemplarisch den Inhalt einer auf beiden Seiten unbegrenzten 

Fläche. 

c 

...................................................................................................... 

c 

Beispiel: Berechnen Sie den Inhalt der 

Fläche A, die der Graph der Funktion 

fðxÞ¼pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 mit der x-Achse über 

1 x 2 

dem Intervall ½ 1;1Š einschließt. 

Lösung: 

Die Funktion f ist sowohl für x ¼ 1 als 

auch für x ¼ 1 nicht definiert. Es gilt: 

lim fðxÞ¼1und lim fðxÞ¼1. 

x! 1 x!1 

Daher ist die Fläche A an beiden Rändern 

unbegrenzt. Mit Hilfe der mit Substitution 

ermittelten Stammfunktion von f berechnen 

wir zunächst den Inhalt der Fläche 

unter f (vgl. Band 1, S. 273) über dem Intervall 

½a;bŠ mit 1 < a 

Den Inhalt der gesuchten Fläche A erhalten 

wir dann als Grenzwert. Hierzu müssen 

wir zwei Grenzprozesse nacheinander 

durchführen, für b ! 1 und für a ! 1, 

wobei die Reihenfolge der Grenzwertbildung 

keine Rolle spielt. 

Wir erhalten als Resultat für den gesuchten 

Flächeninhalt schließlich A ¼ p. 

y 

1 

A 

-1 a b 1 

1. Inhalt der Fläche A über [a; b]: 

ð b a 

ð b 

fðxÞdx ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 

1 x 2 

a 

¼ arcsin b 

f 

dx ¼½arcsin xŠ b a 

arcsin a 

2. Grenzwertbestimmung: 

lim 

b!1 

ð b a 

lim 

a! 1 

 

fðxÞdx ¼ lim 

b!1 

ðarcsin b arcsin aÞ 

p 

2 

¼ p 2 

arcsin a 

 

arcsin a 

¼ p 2 

p 

2 

 

¼ p 

x 

Übung 3 

Berechnen Sie, sofern existent, die folgenden uneigentlichen Integrale. 

aÞ 

ð 1 3 


1 

x þ 3 

p dx bÞ 

ð 4 2 

1 

ðx 4Þ 2 dx cÞ 

ð 1 0 


x 

1 x 2 

p dx dÞ 

ð1 

0 

1 

x 2 dx


Übungen 

4. Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale. 

ð1 

aÞ 4x 6 dx 

2 

bÞ 

ð1 

1 

2 

3p ffiffi dx cÞ 

x 

ð 2 1 

1 

ðx þ 1Þ 2 dx 

ð 1 

ð 1 ð1 

dÞ x 2 þ 1 2x 

dx 

eÞ 

4 5 

x 

dx fÞ dx 

x 3 

x 4 ð4 þ x 2 Þ 2 

1 

1 

2 

5. a) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die sich – begrenzt vom Graphen der Funktion 

fðxÞ¼ 1 8 x2 , vom Graphen der Funktion gðxÞ¼ 2 und von der x-Achse – längs der 

ðx 3Þ 2 

positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt. 

b) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, die sich – begrenzt vom Graphen der Funktion 

fðxÞ¼1,5x 2 , vom Graphen der Funktion gðxÞ¼0,5x 2 þ 1 und von der x-Achse – längs 

der positiven x-Achse ins Unendliche erstreckt. 

c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, die rechts von x ¼ 2 zwischen den Graphen der 

Funktionen fðxÞ¼ 1 und gðxÞ¼ 1 liegt. Fertigen Sie zunächst eine Skizze an. 

x 3 x 2 

6. Berechnen Sie, sofern sie existieren, die folgenden uneigentlichen Integrale. 

aÞ 

ð 1 0 

 

x þ p 

1 ffiffi dx 

x 

bÞ 

7. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ cosx 

x 

a) Zeigen Sie, dass FðxÞ¼ sin x 

x 

ð p 2 

ð p 2 

1 

cos 2 x dx cÞ sin 2x 

0 

0 

sinx 

x 2 : 

b) Berechnen Sie das uneigentliche Integral 

cosx dx dÞ ð 9 0 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

x 

9 x 

für 0 < x 

2 

ð p 2 

0 

fðxÞdx. 

8. Überprüfen Sie, ob die folgende Rechnung richtig ist: 

dx 

h i 0 

1 

1 

dx ¼ 

ðx þ 1Þ 2 x þ 1 

¼ 1 1 

4 

ð 0 4 

3 ¼ 4 3 

9. Gegeben ist die Funktion fðxÞ¼ 1 : 

1 þ x 2 

a) Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe einer Wertetabelle für 3 x 3. 

b) Bestimmen Sie mithilfe der Substitution x ¼ tan z eine Stammfunktion von f. 

c) Berechnen Sie das uneigentliche Integral 

ð1 

1 

fðxÞdx.

284 


3. Numerische Integrationsverfahren 

Flächeninhalte und bestimmte Integrale können oft mithilfe exakter Integrationsmethoden errechnet 

werden. Allerdings gibt es auch Fälle, in denen dies nicht möglich oder unpraktisch ist: 

1. Der Integrand besitzt keine geschlossen darstellbaren Stammfunktionen. 

2. Die Stammfunktionen des Integranden sind schwierig zu bestimmen. 

3. Die Randkurve einer Fläche ist nicht durch eine mathematische Funktionsgleichung gegeben, 

sondern nur zeichnerisch oder durch Messwerte definiert. 

In solchen Fällen gibt es stets die Möglichkeit, das gesuchte bestimmte Integral wenigstens 

näherungsweise zu bestimmen. Man spricht von numerischer Integration. 

Alle numerischen Integrationsverfahren ähneln dem Archimedischen Streifenverfahren. Wir 

stellen die verschiedenen Verfahren zunächst im Überblick dar. Details werden später behandelt. 

1. Die Streifenmessung 

Über die Fläche wird ein Raster gleich breiter Streifen gelegt. 

Die Schnitte der Streifenmittellinien mit der Fläche definieren 

Rechteckshöhen, die ausgemessen werden. Die Rechtecksinhalte 

werden berechnet und aufsummiert. 

Das Verfahren ist stets anwendbar. Die Genauigkeit ist durch 

die zugrunde liegende Zeichnung begrenzt. 

2. Das Rechteckverfahren 

Die Fläche unter einem Funktionsgraphen wird in Streifen 

eingeteilt. Die Streifenmittellinien stellen Rechteckshöhen 

dar, die als Funktionswerte berechnet werden können. 

Je größer die Streifenanzahl, umso genauer approximieren die 

Rechtecksflächen die Fläche unter dem Graphen. 

y 

x 

3. Das Trapezverfahren 

Die Fläche unter einem Graphen wird wiederum in Streifen 

geteilt. Die Schnittpunkte der Streifenbegrenzungslinien mit 

dem Graphen werden geradlinig miteinander verbunden, so 

dass Trapeze entstehen, deren Flächeninhalte aufsummiert 

werden. 

Das Verfahren ist ähnlich genau wie das Rechteckverfahren. 

y 

x 

4. Parabel-Verfahren 

Die Schnittpunkte der beiden Streifenbegrenzungen und der 

Streifenmittellinie mit dem Graphen legen jeweils einen Parabelbogen 

fest. Die Flächeninhalte unter den Parabelbögen 

werden durch Integration bestimmt und aufsummiert. Das 

Verfahren ist wesentlich genauer als die drei oben charakterisierten 

Verfahren. 

y 

Parabel 

Parabel 

Parabel 

x

3. Numerische Integrationsverfahren 285 

A. Die Streifenmessung – eine Praxismethode 

Ein Maler benötigt für die Bestimmung seines Materialbedarfs den Flächeninhalt einer Wand, 

ein Glaser kalkuliert die Glasfläche eines Wintergartens, ein Straßenbauer schätzt die Größe der 

Pflasterfläche eines Platzes ab. 

Für solche Flächeninhaltsbestimmungen genügen in den meisten Fällen einfache Rechtecksoder 

Dreiecksberechnungen. Sind die Flächen jedoch krummlinig begrenzt, so funktioniert das 

nicht mehr. Man kann dann folgende Methode der Streifenmessung anwenden, die zwar vergleichsweise 

primitiv erscheinen mag, aber universal einsetzbar ist. 

c 

................................................................................................................ 

c 

Beispiel: Der Mitarbeiter einer Werbeagentur soll eine Broschüre über einen neuen 

Landschaftspark erstellen. Hierfür benötigt er den Oberflächeninhalt eines Sees, von 

dem nur eine maßstäbliche Architektenzeichnung vorliegt. Wie könnte er vorgehen? 

Lösung: 

Er zeichnet ein Streifenraster über die Karte. 

Er könnte auch eine Folie nehmen, um 

eineBeschädigungderKartezuvermeiden. 

Alle Streifen sind gleich breit, in unserem 

Beispiel wählte er die Breite von 0,9 cm. 

Nun markiert er die Schnittpunkte der 

Streifenmittellinien mit dem Seerand. 

Durch diese Punkte sind in den Streifen 

Rechtecke festgelegt, deren Flächeninhalte 

ein Näherungsmaß für die im jeweiligen 

Streifen liegende Seefläche ergeben. 

Die Rechteckshöhen werden mit dem Lineal 

gemessen und mit der Streifenbreite 

multipliziert. Die Summe aller Rechtecksinhalte 

approximiert den Flächeninhalt 

des Bildes des Sees auf der Karte. 

Durch eine Maßstabsumrechnung ergibt 

sich das reale Flächenmaß des Sees, in unserem 

Beispiel ca. 105300 m 2 . 

Übung 1 

Eine Mikrobe wurde bei 2000facher Vergrößerung 

fotografiert. Bestimmen Sie einen 

Näherungswert für ihren Flächeninhalt. 

Hinweis: Der Vergrößerungsfaktor beim 

Mikroskop gibt an, wie stark die beobachtete 

Fläche vergrößert wird. 

M = 1 : 10000 

Rechteck 

Nr. 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

Breite 

in cm 

0,9 

0,9 

0,9 

0,9 

0,9 

0,9 

Höhe 

in cm 

1,0 

1,9 

2,4 

2,7 

2,4 

1,3 

1cm ^¼10000cm ¼ 100 m 

1cm 2 ^¼ð100mÞ 2 ¼ 10000m 2 

10,53cm 2 ^¼105300m 2 

S 

Fläche 

in cm 2 

0,90 

1,71 

2,16 

2,43 

2,16 

1,17 

10,53 

N

286 


c 

........................................................................................ 

c 

B. Das Rechteckverfahren 

Das einfachste Näherungsverfahren zur beliebig genauen Approximation bestimmter Integrale 

ist das im Folgenden dargestellte Rechteckverfahren. 

Beispiel: 

Berechnen Sie einen Näherungswert ð 

5 5 

für das bestimmte Integral 

1 x dx. 

Approximieren Sie hierzu die Fläche 

unter dem Graphen von f durch vier 

gleich breite Rechtecke, so wie 

rechts graphisch dargestellt. 

Lösung: 

Das Integrationsintervall hat die Breite 4. 

Die einzelnen Rechtecke haben daher die 

Breite 1. 

Die Rechteckshöhen sind die Funktionswerte 

in den Streifenmitten, also an den 

Stellen 1,5, 2,5, 3,5 und 4,5. 

Wir errechnen die Summe der vier Rechtecksinhalte. 

Diese beträgt 7,87. 

Der wirkliche Wert des bestimmten Integrals 

beträgt ca. 8, 05. Die Abweichung 

beträgt also nur ca. 2%. 

y 

4 

3 

2 

1 

f(x) = 5 x 

1 2 3 4 5 

Näherungsrechnung für 4 Streifen: 

Rechteck Breite Höhe Inhalt 

1 

2 

3 

4 

1 

1 

1 

1 

fð1,5Þ3,33 

fð2,5Þ¼2 

fð3,5Þ1,43 

fð4,5Þ1,11 

Flächensumme: 7,87 

Genauer Wert des Integrals: 

ð 

5 

5 

dx 8,05 

1 x 

x 

3,33 

2,00 

1,43 

1,11 

Man kann die Approximationsgenauigkeit durch eine höhere Zahl von Rechtecken steigern, 

wobei natürlich auch der Rechenaufwand höher wird. Im obigen Beispiel ergibt sich so mit acht 

Rechtecken der Breite 0,5 der Näherungswert 8. Der Fehler beträgt dann nur noch ca. 0,5%. 

Übung 2 

Gesucht ist ein Näherungswert für das bestimmte 

Integral 

1 

2 x2 dx. 

ð 

2 

0 

a) Verwenden Sie das Rechteckverfahren 

mit 4 gleich breiten Rechtecken. 

Berechnen Sie anschließend zum Vergleich 

den exakten Wert des Integrals. 

b) Führen Sie schließlich eine genauere 

Näherung mit 8 Rechtecken durch. 

Übung 3 

Berechnen Sie den Inhalt der abgebildeten 

Fläche näherungsweise mithilfe von 

sechs Rechtecken. 

y 

f(x) = 

sin x 

p 

x


Das Rechteckverfahren liefert schon für kleine Streifenanzahlen brauchbare 

Näherungswerte. Das liegt daran, dass sich in der Regel schon innerhalb 

eines Streifens die Fehler teilweise ausgleichen. Durch das Rechteck 

nicht erfasste Flächenteile ð Þ werden durch überstehende Rechteckteile 

ðþÞ grob kompensiert. Dennoch werden größere Streifenzahlen erforderlich, 

wenn erhöhte Genauigkeit gewünscht wird oder das Integrationsintervall 

groß ist. Dann kann der Rechenaufwand so hoch werden, dass man 

programmierbare Systeme (Taschenrechner oder Computer) als Rechenhilfe 

einsetzt. Eine dafür geeignete Formel stellen wir nun dar. 

- 

+ 

Fehlerausgleich 

über einem 

Streifen 

Näherungsformel zum Rechteckverfahren 

f sei eine auf dem Intervall I ¼½a;bŠ stetige Funktion. Dann gilt die Näherungsformel 

ð 

a 

b 

b 

fðxÞ dx a 

n ðy 0 þ y 1 þ ...þ y n 1 Þ 

 

 

mit y i ¼ fðx i Þ¼f aþ i b a ,0 i n 1: 

n þ b a 

2n 

Zum Nachweis teilen wir das Integrationsintervall I ¼½a;bŠ in Teilintervalle I 0 ,...,I n 1 ein, 

die alle die gleiche Breite b a besitzen. x 

n 

i sei die Mitte des Teilintervalls I i . 

Von a aus erreichen wir x i durch i-fache Addition der Streifenbreite b a plus einer weiteren 

n 

halben Streifenbreite b a 

2n ,d.h.x i ¼ a þ i b a 

n þ b a 

2n : Die Höhe des Rechtecks über I i ist dann 

 

 

y i ¼ fðx i Þ¼f aþ i b n þ b a : Die Rechteckfläche ist b a 

n 2n 

n 

y i. Die Summe aller Rechteckflächen 

ist b a 

n ðy 0 þ y 1 þ ...þ y n 1 Þ. Solche Summen kann man leicht mit CAS berechnen. 

Zunächst wird dem Funktionseditor des 

CAS der Funktionswert übergeben, z. B. 

y1(x)=5/x. Soll später eine andere Funktion 

näherungsweise integriert werden, so ist 

nur der Term y1 zu ändern. 

Dann wird die Formel des Rechteckverfahrens 

in der Eingabezeile notiert und als 

Funktion rechv(a, b, n) im CAS gespeichert: 

P (y1(a+i(b-a)/n+(b-a)/(2n)),i,0,n-1)(b-a)/n § rechv(a,b,n) OENTER 

DasnebenstehendeBildzeigtimProtokollbereich 

noch die Formel, darunter die Näherungswerte 

für n ¼10, 100, 1000 Streifen 

zum Integrationsintervall [1;5]. 1 

Der exakte Integralwert ist 8,04718956 ..., 

der letzte Näherungswert ist also bereits 

auf 6 Dezimalen genau. Dies ist schon 

ein beachtliches Ergebnis. 

x 0 

x . . . 

1 

x n-1 

1 Man beachte, dass die Berechnung bei großer Streifenzahl n einige Zeit erfordert.

288 


C. Das Trapezverfahren 288-1 

c 

........................................................................................................ 

c 

SchonArchimedesverfolgtedieIdee,dieFläche 

unter einer Kurve durch trapezförmige Streifen 

zu approximieren (Trapezverfahren). Solche 

Streifen folgen dem Kurvenverlauf nämlich 

recht gut. Man erhält daher schon für kleine 

Streifenzahlen brauchbare Näherungen. 

ð 

5 

1 

5 

Beispiel: Das bestimmte Integral 

x dx 

soll mithilfe von Trapezstreifen approximiert 

werden. 

a) Verwenden Sie – wie abgebildet – vier 

Trapezstreifen. 

b) Steigern Sie die Genauigkeit durch 

Verwendung von acht Streifen. 

Lösung zu a: 

Die Trapeznäherung sieht schon graphisch recht 

genauaus.WirerrechnendievierTrapezstreifen 

mit der oben dargestellten Formel und erhalten 

die Inhaltssumme 8,42, die nur ca. 4,5% größer 

ist als der exakte Wert des Integrals. 

Lösung zu b: 

Bei doppelter Streifenzahl ist die Streifenbreite 

nur noch halb so groß und wir erhalten 

als Näherungswert 8,14. Der Fehler beträgt 

nun nur noch ca. 1,1%. 

Interessant ist, dass die Funktionswerte an den 

äußeren Teilungsstellen x ¼ 1 und x ¼ 5in 

einfacher Zählung eingehen, während die 

Funktionswerte x ¼ 1,5; x ¼ 2,5; ...;x¼ 4,5 

doppelt in die Summe eingehen. 

f(a) 

a 

f 

y 

1 

f(b) 

b 

Trapezfläche: 

A ¼ 1 2 ðb aÞ fðaÞþfðbÞ 

f(x) = 5 x 

1 2 3 4 5 x 

Approximation mit 

 

4 Streifen 

 

A 1 ¼ 1 2 ð2 1Þ 5 

1 þ 5 2 

 

A 2 ¼ 1 2 ð3 2Þ 5 

2 þ 5 3 

 

A 3 ¼ 1 2 ð4 3Þ 5 

3 þ 5 4 

 

A 4 ¼ 1 2 ð5 4Þ 5 

4 þ 5 5 

ð 5 

 

 

5 

1 x dx 1 2 1 5 

1 þ 2 5 2 þ 2 5 3 þ 2 5 4 þ 5 5 

8,42 

Approximation mit 8 Streifen 

ð 5 

 

 

5 

1 x dx 1 2 1 2 5 

1 þ 2 5 

1,5 þ ...þ 2 5 

4,5 þ 5 5 

8,14 

Übung 4 

aÞ Berechnen Sie 

ð 

4 

0 

pffiffi 

x dx mithilfe des Trapezverfahrens 

(4 Streifen und 8 Streifen). 

Vergleichen Sie mit dem exakten Wert. 

bÞ Berechnen Sie den Inhalt des rechts dargestellen 

Einheitsviertelkreises mit 5 

bzw. 10 Trapezstreifen näherungsweise. 

Welcher Näherungswert für die Zahl p 

ergibt sich hieraus? 

y 

1 

0,2 0,4 0,6 0,8 

f(x) = √ 1- x 2 

1 

x


Um das Trapezverfahren für beliebige Streifenzahlen mit CAS zu verwenden, benötigen wir 

eine Formel. Schon anhand der Beispiele ist leicht zu erkennen, wie eine solche Formel aussieht: 

Näherungsformel zum Trapezverfahren 

f sei eine auf dem Intervall I ¼½a;bŠ stetige Funktion. Dann gilt die Näherungsformel 

ð 

b fðxÞ dx 1 a 2 b a 

n ðy 0 þ 2y 1 þ 2y 2 þ ...þ 2y n 1 þ y n Þ 

 

mit y i ¼ fðx i Þ¼f aþ i b a , 0 i n: 

n 

x 0 

= a x 1 

x 2 

. . . x n 

= b 

c 

.................................................................................... 

c 

Beispiel: Trapezverfahren mit CAS 

Definieren Sie eine CAS-Funktion trapv(a, b, n) zum Trapezverfahren, wobei der Integrand 

unter dem Funktionsterm y1(x) im Funktionseditor zu speichern ist. 

Berechnen Sie dann Näherungswerte des bestimmten Integrals 

ð 

5 

1 

5 

dx für n ¼ 10, 100 und 

x 

1000 Trapezstreifen. Vergleichen Sie mit dem Rechteckverfahren von Seite 255. 

Lösung: 

Die Formel des Trapezverfahrens wird in der Eingabezeile notiert und als Funktion trapv(a, b, n) 

im CAS gespeichert: 

(y1(a)+2 P (y1(a+i(b-a)/n),i,1,n-1)+y1(b))(b-a)/(2n) § trapv(a,b,n) OENTER 

Das nebenstehende Bild zeigt im Protokollbereich 

noch Teile der Formel, darunter 

die Näherungswerte für n ¼ 10, 100 

und 1000 Trapezstreifen zum Integrationsintervall 

[1;5]. 

Ein Vergleich mit den Ergebnissen des 

Rechteckverfahrens (S. 255) zeigt, dass 

beide Verfahren etwa gleichwertig sind. 

Information zur Approximationsgüte in Abhängigkeit von der Streifenzahl: 

Bei Verwendung von archimedischen Untersummen oder Obersummen gewinnt man durch eine 

Verzehnfachung der Streifenzahl nur eine Dezimale Genauigkeit. Beim Rechteckverfahren und 

Trapezverfahren gewinnt man bei verzehnfachter Streifenzahl ca. 2 Dezimalen Genauigkeit. 

Übung 5 

Berechnen Sie einen Näherungswert 


für 

das bestimmte Integral 1 þ x 2 dx: 

ð 

1 

0 

a) Arbeiten Sie mit 4 Trapezstreifen und 

benutzen Sie Ihren Taschenrechner. 

b) Verwenden Sie n ¼ 10, 100 und 1000 

Streifen unter Einsatz des Computers. 

Übung 6 

Errechnen Sie 

den Inhalt der 

rechts dargestellen 

Fläche 

auf ca. zwei 

Nachkommastellen 

genau. 

y 

1 f(x) = tan x 

0 

p/4 

x

290 


D. Die Keplersche Fassregel 

Der bekannte Mathematiker und weltberühmteAstronom 

Johannes Kepler (1571 –1630) war ein Freund 

des Weines. Eines Tages überkam ihn der Verdacht, 

beim Weinkauf von den Händlern übervorteilt zu 

werden, da diese den Inhalt der Weinfässer mit Messstäben 

maßen, was Kepler suspekt war. Fortan beschäftigte 

er sich mit Verfahren zur Berechnung des 

Rauminhaltes von Fässern, und hierbei fand er auch 

ein Näherungsverfahren zur Berechnung bestimmter 

Integrale, die so genannte Kepler’sche Fassregel, 

die eine überraschende Genauigkeit besitzt. 

Die Grundidee des Kepler’schen Verfahrens ist 

es,diezuintegrierendeFunktion ineinem Streifen 

durch eine quadratische Parabel zu approximieren 

in der Erwartung, dass diese sich der 

Kurve noch besser anpassen kann als eine 

Strecke wie beim Trapezverfahren. 

Kepler wählte diejenige Parabel, welche durch 

diedreiKurvenpunkteAundBandenStreifenenden 

und M in der Streifenmitte geht. 

Der Inhalt der Fläche unter dieser Parabel lässt 

sich nach Keplers rechts aufgeführter Formel 

errechnen, die wir aber hier nicht beweisen. 

ð b 

a 

A 

f 

M 

a m b 

B 

Keplers Idee 

Die Keplersche Fassregel 

b 

fðxÞ dx a fðaÞþ4 fðmÞþfðbÞ 

6 

mit m ¼ a þ b 

2 

c 

............................... 

Beispiel: Gesucht ist der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von fðxÞ¼sin x über dem 

Intervall ½0;pŠ. Verwenden Sie zur Approximation die Kepler’sche Fassregel. 

Lösung: 

Wir wenden die Kepler-Formel mit a ¼ 0, b ¼ p und m ¼ p an. Wir erhalten: 

 

 

2 

p 0 

sin x dx sin 0 þ 4 sin p 6 

2 þ sin p ¼ p 6 4 ¼ 2 3 p 2,09: 

ð 

p 

0 

c Da der exakte Wert des Integrals tatsächlich 2 ist, beträgt der Fehler nur knapp 5%. 

Übung 7 

Die Kepler’sche Fassregel liefert für Polynomfunktionen 

bis dritten Grades erstaunlicherwei-se 

sogar exakte Ergebnisse. 

Prüfen Sie dies an folgenden Integralen 

nach. 

aÞ 

ð 2 x 3 dx 

0 

bÞ 

ð 4 ð 1 

ð2x 3Þ dx cÞ ðx 2 þ xÞ dx 

0 

0 

Übung 8 

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A mit 

der Fassregel von Kepler. 

1 y 

f(x) = 2 x−x 2 

A 

1 

x


E. Das Simpson-Verfahren 

259-1 

Der englische Mathematiker Thomas Simpson 

(1710 – 1761) entwickelte ein Näherungsverfahren, 

das auf der Mehrfachanwendung der 

Kepler’schen Fassregel beruhte. 

Dieses Verfahren liefert schon mit geringen 

Streifenzahlen sehr gute Näherungswerte. Es 

wird als Simpson-Verfahren bezeichnet. 

c 

............................................................................ 

c 

ð 

5 

5 

Beispiel: Berechnen Sie das bestimmte Integral dx mithilfe des Simpson-Verfahrens 

1 x 

näherungsweise. Verwenden Sie als Streifenzahl n ¼ 2. 

Lösung: 

Wir teilen die Fläche über dem Integrationsintervall 

½1;5Š in zwei Streifen ein, welche wir als Simpson- 

Streifen bezeichnen. In jedem der zwei Simpson- 

Streifen wird die Keplersche Fassregel angewandt. 

Der Integrand wird also streifenweise durch Parabelbögen 

approximiert. 

Durch zweimalige Anwendung von Keplers Formel 

erhalten wir dann: 

Inhalt des 1: Streifens: 

Inhalt des 2: Streifens: 

Inhalt der Gesamtfläche: 

ð 3 

5 

1 

ð 5 

5 

3 

x dx 3 1 fð1Þþ4 fð2Þþfð3Þ 5,555 

6 

y 

1 

f(x) = 5 x 

1 2 3 4 5 x 

x 0 x1 x2 x3 x4 

Parabelbögen 

x dx 5 3 fð3Þþ4 fð4Þþfð5Þ 2,555 

6 

ð 5 

5 

1 x dx 2 6 fð1Þþ4 fð2Þþ2 fð3Þþ4 fð4Þþfð5Þ 8,11 

Anhand des Beispiels können wir problemlos die verallgemeinerte Formel für das Simpson-Verfahren 

aufstellen. Wir gehen von einer Unterteilung a ¼ x 0 ,x 2 ,x 4 , ...,x 2n ¼ b des Intervalls 

½a;bŠ in n Simpson-Streifen aus, deren Mittelpunkt bei x 1 ,x 3 ,x 5 , ...,x 2n 1 liegen. Dann gilt: 

Näherungsformel zum Simpson-Verfahren 

f sei eine auf dem Intervall ½a; bŠ stetige Funktion. Dann gilt die Näherungsformel 

ð 

b fðxÞdx b a 

a 6n ðy 0þ4y 1 þ2y 2 þ4y 3 þ...þ2y 2n 2 þ4y 2n 1 þy 2n Þ 

 

mit y i ¼ fðx i Þ¼f aþ i b 

a 

2n 

,0 i 2n: 

x 0 

= a x 2 

. . . x 2n 

= b 

Übung 9 

Bestimmen Sie für das obige Beispiel die 

Funktionsgleichungen der beiden Kepler’- 

schen Näherungsparabeln explizit. 

Übung 10 

Errechnen Sie mit 2 Simpson-Streifen den 

Inhalt der Fläche unter dem Graphen von 

fðxÞ¼x 3 þ 1 über dem Intervall ½ 1;1Š.

292 


Das Simpson-Verfahren arbeitet schon für kleine Streifenzahlen erstaunlich exakt. Bei jeder 

Verzehnfachung der Streifenzahl steigt die Genauigkeit um ca. vier Dezimalstellen. Dennoch ist 

der manuelle Rechenaufwand groß, so dass auch hier die Anwendung von Computern vorteilhaft 

ist. Wie das Rechteck und das Trapezverfahren kann auch das Simpson-Verfahren als CAS- 

Funktion – etwa simpv(a, b, n) – definiert werden, wobei a und b wieder die Intervallgrenzen sind, 

n dagegen die Anzahl der „Doppelstreifen“ ist. 

c 

....................................................................................... 

c 

Beispiel: Simpson-Verfahren mit CAS 

Definieren Sie eine CAS-Funktion simpv(a, b, n) zum Simpson-Verfahren, wobei der Integrand 

unter dem Funktionsterm y1(x) im Funktionseditor zu speichern ist. Berechnen Sie dann 

ð 

5 

5 

Näherungswerte des bestimmten Integrals dx für n ¼ 5, 50 und 500 Streifen. 

1 x 

Lösung: 

In der Formel des Simpson-Verfahrens tritt der Faktor 4 bei den Summanden mit ungeradem 

Index i ¼ 1, 3, ...,2n 1 und der Faktor 2 bei den Summanden mit geraden Index 

i ¼ 2, 4, ...,2n 2 auf. Allgemein kann man diese alternierende Folge 4, 2, 4, 2, 4, ... durch 

3 ð 1Þ i darstellen. 

(y1(a)+ P ((1-(-1)^i)y1(a+i(b-a)/2n),i,1,2n-1)+y1(b))(b-a)/(6n) § simpv(a,b,n) OENTER 

Wir geben wieder y1(x) =5/x ein. Um einen 

realistischen Vergleich mit Rechteck- und 

Trapezverfahren zu gestatten, werden Näherungswerte 

für n ¼ 5, 50 und 500 Streifen 

zum Integrationsintervall [1 ;5] berechnet. 

Der letzte Näherungswert stimmt 

bereits in allen angezeigten Stellen mit 

dem exakten Wert überein. 

Übung 11 

Berechnen Sie mithilfe des Simpson-Verfahrens 

folgende bestimmte Integrale näherungsweise. 

Verwenden Sie Taschenrechner 

oder Computer. Vergleichen Sie 

mit dem exakten Resultat. Berechnen Sie 

den prozentualen Fehler. 

ð ð 

1 10 pffiffiffi 

aÞ 

0 x3 dx bÞ x dx 

cÞ 

5 Streifen und 10 Streifen 

ð 

2 

2 


4 x 2 dx 1 Streifen, 4 Streifen 

0 

Übung 12 


Die Funktion fðxÞ¼ðx 3Þ x 2 þ 1 soll 

über dem Intervall ½0;3Š näherungsweise 

mit dem Simpson-Verfahren integriert 

werden. 

a) Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe 

einer Wertetabelle. 

b) Berechnen Sie die Näherungswerte des 

Integrals durch 2 bzw. 10 Simpson- 

Streifen. 

Übung 13 

Schreiben Sie einen mathematischen Aufsatz mit dem Thema: Die Grundideen und die Genauigkeiten 

der numerischen Näherungsverfahren für Integrale im Vergleich.


Übung 14 Die Bogenlänge einer Kurve 

Die Fahrbahn der bekannten Golden-Gate- 

Brücke ist an dicken Stahlseilen aufgehängt. 

Die Seilkurve kann durch eine mathematische 

Funktion beschrieben werden, 

die so genannte Kettenlinie. Sie lässt sich 

angenähert durch eine Parabel beschreiben. 

Im Folgenden wird der Frage nachgegangen, 

wie man die Länge einer solchen 

gekrümmten Linie berechnen kann, deren 

Funktionsgleichung bekannt ist. 

Man sucht also die Bogenlänge einer Funktion f über dem Intervall [a ; b]. Um diese zu berechnen, 

wird das Intervall [a ; b] in n gleich große Teilintervalle der Breite D x unterteilt. 

Der Funktionsgraph von f über dem Intervall [a ; b] kann nun durch n Strecken l i approximiert 

werden. Die Bogenlänge L kann durch die Summe der Streckenlängen angenähert werden. 

Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die 

Länge der i-ten Strecke: 

l i ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

p 

2 

Dx 2 þ Dy 2 i 

¼ 1 þ D y i 

Dx. 

Dx 

Die Gesamtlänge erhält man durch Summation 

der n einzelnen Streckenlängen. 

L P l i ¼ P 

r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 

1 þ Dy i 

Dx 

Dx 

y 

l i 

Δx 

Δy i 

f 

a = x 0 

b = x n x 

Es handelt sich um eine Produktsumme, die sich im Grenzprozess Dx ! 0, n !1in ein Integral 

verwandelt. Da lim 

D y 

D x ¼ f0 ðxÞ gilt, erhalten wir folgende Formel für L. 

Dx!0 

Die Bogenlänge 

Für die Bogenlänge L des Graphen von f 

über dem Intervall ½a ;bŠ gilt: 

ð b 

L ¼ 

a 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1 þ f 0 ðxÞ 2 

dx 

261-1 

I. Berechnen Sie die Bogenlänge der Funktion f über dem Intervall I exakt. 

a) fðxÞ¼2x 1, I ¼½0;2Š b) fðxÞ¼ 1 8 x4 þ 1 , I¼½1;3Š 

4x 

p 2 

c) fðxÞ¼ ffiffiffiffi 

pffiffi 

x 3 

x ð4x 3Þ 

, I¼½0;4Š d) fðxÞ¼ , I¼½0;9Š 

6 

II. 

Meistens kann das Bogenlängenintegral nur durch Näherungsintegration berechnet werden. 

Führen Sie dies in den folgenden Fällen durch. 

a) fðxÞ¼x 2 , I¼½0;1Š; Rechteckverfahren: 5 Rechteckstreifen 

b) fðxÞ¼8 2x 2 , I¼½ 2;2Š; Trapezverfahren: 8 Trapezstreifen 

c) fðxÞ¼x 3 , I¼½ 1;1Š; Simpson-Verfahren: 10 Rechteckstreifen

294 


Übung 15 Ellipsen 

Eine Ellipse mit den Halbachsen a und b 

2þ 

hat die Gleichung 

x y 2¼ 

a b 1. 

a) Errechnen Sie den Flächeninhalt der 

abgebildeten Ellipse mit den Halbachsen 

a ¼ 3 und b ¼ 2. 

b) Welchen Umfang hat die Ellipse? 

Diese Aufgabe ist relativ schwierig. 

2a 

e 

F M F 

e 2 = a 2 - b 2 

2b 

Übung 16 Messwertkurven 

Bei einem Aufprallversuch wird die Kraft 

in zeitlichen Abständen von 10 ms gemessen, 

wobei sich folgende Messtabelle ergibt. 

Zeit t in ms 0 10 20 30 40 50 60 70 80 

Kraft F in N 2 5 15 37 50 60 55 35 0 

Wie groß ist die Fläche unter der Ausgleichskurve 

durch die Messwerte? Berechnen 

Sie diese numerisch-manuell mithilfe 

des 

aÞ Trapezverfahrens, 8 Trapezstreifen, 

bÞ Simpson-Verfahrens, 4 Simpson- 

Streifen. 

F/N 

50 

10 

Kraftstoß 

10 50 t/ms 

Übung 17 

Skizzieren und berechnen Sie den Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f über dem Intervall I 

(8 Trapezstreifen, 4 Simpson-Streifen oder Rechnereinsatz). 

p 

aÞ fðxÞ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

4x x 2 , I¼½0;4Š bÞ fðxÞ¼ 2 

x þ 1 

x2 

,I¼½1;2Š cÞ fðxÞ¼ ,I¼½ 1;1Š 

x 2 þ 1 

Übung 18 

Ein Schiff fährt mit einer Geschwindigkeit 

von 8 km/h auf dem abgebildeten Kurs. 

Wie lange dauert die Fahrt von A nach B? 

Übung 19 

Gesucht ist der Flächeninhalt unter der 

Kurve durch die gegebenen 7 Messwerte. 

a) 

y 

4 

y/km 

A 

50 

f(x) = 4 x 

10 

10 50 x 

1 

B 

b) 

x 0 2 4 6 8 10 12 

y 5 8 10 11 10 9 

1 4 

x/km

3. X. Numerische Weiterführung Integrationsverfahren der Integralrechnung 

295 

Überblick 

Rotationsvolumen 

Die Funktion f sei über dem Intervall ½a;bŠ differenzierbar und nicht negativ. Rotiert der Graph 

von f über ½a;bŠ um die x-Achse, so entsteht ein Rotationskörper mit dem Volumen 

ð b 

V ¼ p fðxÞ y 

f 

2 

dx: 

a 

a 

b x 

Uneigentliche Integrale 

Ist die Funktion f auf dem Intervall ½a; 1Š 

stetig und existiert der Grenzwert 

Ð 

lim 

k fðxÞdx, dann definiert man diesen 

k!1 a 

Grenzwert als uneigentliches Integral 

von f über ½a; 1½ und schreibt hierfür 

Ð1 

fðxÞdx. 

a 

Ist die Funktion f an der Stelle a nicht definiert, 

aber auf dem Intervall Ša; bŠ stetig 

Ð 

und existiert der Grenzwert lim 

b fðxÞdx, 

k!1 k 

dann definiert man diesen Grenzwert als 

uneigentliches Integral von f über Ša; bŠ 

und schreibt hierfür Ðb fðxÞdx. 

a 

Näherungsformeln für Integrale 

f sei eine auf dem Intervall ½a;bŠ stetige Funktion. 

 

Rechteckverfahren fðxÞdx b a 

n ðy 0 þ y 1 þ ...þ y n 1 Þ,y i ¼ f aþ i b a 

ð b a 

n þ b a 

2n 

 

Trapezverfahren 

ð b a 

 

fðxÞdx b a 

2n ðy 0 þ 2y 1 þ ...þ 2y n 1 þ y n Þ,y i ¼ f aþ i b a 

n 

Keplersche Fassregel 

Simpson-Verfahren 

ð b a 

ð b a 

fðxÞdx b a 

6 fðaÞþ4fðmÞþfðbÞ ,m¼ a þ b 

 

fðxÞdx b a 

6n ðy 0 þ 4y 1 þ 2y 2 þ ...þ 4y 2n 1 þ y 2n Þ,y i ¼ f aþ i b a 

2n 

2

296 


Test 

Weiterführung der Integralrechnung 

1. Der Graph von fðxÞ¼ax 2 þ 4ax schließt mit der x-Achse ein Flächenstück ein. 

Für welche Werte des Parameters a > 0 hat diese Fläche den Inhalt A ¼ 16 3 ? 

2. Gegeben sind die Funktionen fðxÞ¼x 3 und gðxÞ¼ x 2 þ 2x 

aÞ Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f und g. 

bÞ Skizzieren Sie die Graphen von f und g in ein gemeinsames Koordinatensystem. 

cÞ Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen f und g. 

3. Bestimmen Sie den Inhalt A der markierten 

Fläche. 

y 

fx ()= x 3 – 4x 

1 

x 

4. Berechnen Sie den Inhalt der gelben 

Fläche. Bestimmen Sie dazu die Funktionsgleichungen 

der Funktionen 1. und 

2. Grades, deren Graphen dargestellt 

sind und diese Fläche begrenzen. 

1 

y 

f 

g 

5 

x 

h 

5. Gegeben sind die beiden Funktionen fðxÞ¼ x 2 þ 6x 5 und gðxÞ¼ 1 3 x2 þ 4 3 x þ 5 3 für 

1 x 5. 

aÞ Führen Sie eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Extrema, Graphen skizzieren in 

einem gemeinsamen Koordinatensystem). 

bÞ Welchen Inhalt besitzt die Fläche, die von den Graphen von f und g im 1. Quadranten 

umschlossen wird? 

6. Abgebildet ist der Graph einer quadratischen 

Parabel. 

Wie muss die Zahl u > 0 gewählt werden, 

wenn der Inhalt der markierten Fläche 

36 betragen soll? 

y 

u 2 Lösungen unter 296-1 

u 

x

XIV. Skalarprodukt 

und Vektorprodukt 

Neben der Addition und der Vielfachenbildung 

erlauben die Verknüpfungen zweier Vektoren 

durch das Skalarprodukt und das Vektorprodukt 

zahlreiche Berechnungsmöglichkeiten von 

Objekten des dreidimensionalen Raumes. 

__ › 

c 

__ › 

b 

V = ( __ › 

a × __ › 

b )· __ › 

c 

__ › 

a

390 


5. Das Vektorprodukt 

A. Die Definition des Vektorprodukts 

Im 2. Abschnitt haben wir auf Seite 379 zu zwei gegebenen, linear unabhängigen Vektoren einen 

orthogonalen Vektor durch Lösen des zugehörigen Gleichungssystems ermittelt. Solche orthogonale 

Vektoren sind in der Geometrie und Technik häufig gesucht und werden im folgenden 

Kapitel benötigt. Daher entwickeln wir im Folgenden eine Formel, mit der man zu zwei gegebenen 

Vektoren des Raums schnell einen orthogonalen Vektor bestimmen kann. 

Gesucht ist ein Vektor ~x, der zu zwei gegebenen 

Vektoren ~a und ~b des Raums orthogonal 

ist. Daher müssen die Skalarprodukte~a 

~x und~b ~x null ergeben. Das zugehörige 

Gleichungssystem, das sich durch 

Einsetzen der Spaltenvektoren ergibt, hat 

unendlich viele Lösungen. 

Der Vektor ~x ¼ a 3 b 1 a 1 b 3 

a 2b 3 a 3 b 2 

a 1 b 2 a 2 b 1 

! 

ist eine Lösung, 

wie sich leicht beweisen lässt: 

! 

I ~a ~x ¼ a 1 

a 2 

a 3 

! 

II ~b ~x ¼ b 1 

b 2 

b 3 

! 

x 1 

x 2 ¼ 0 

x 3 

! 

x 1 

x 2 ¼ 0 

x 3 

I a 1 x 1 þ a 2 x 2 þ a 3 x 3 ¼ 0 

II b 1 x 1 þ b 2 x 2 þ b 3 x 3 ¼ 0 

I a 1 ða 2 b 3 a 3 b 2 Þþa 2 ða 3 b 1 a 1 b 3 Þþa 3 ða 1 b 2 a 2 b 1 Þ ¼ 

a 1 a 2 b 3 a 1 a 3 b 2 þ a 2 a 3 b 1 a 1 a 2 b 3 þ a 1 a 3 b 2 a 2 a 3 b 1 ¼ 0 

II b 1 ða 2 b 3 a 3 b 2 Þþb 2 ða 3 b 1 a 1 b 3 Þþb 3 ða 1 b 2 a 2 b 1 Þ ¼ 

a 2 b 1 b 3 a 3 b 1 b 2 þ a 3 b 1 b 2 a 1 b 2 b 3 þ a 1 b 2 b 3 a 2 b 1 b 3 ¼ 0 

Der obige Lösungsvektor ~x ist aus Koordinatenprodukten der Vektoren ~a und ~b aufgebaut. Er 

wird als Vektorprodukt der Vektoren ~a und ~b bezeichnet und symbolisch als ~a ~b dargestellt. 

Definition des Vektorprodukts 0 1 0 

a 1 

Für zwei Vektoren~a ¼ @ A und ~b ¼ @ 

a 2 

a 3 

b 1 

b 2 

b 3 

(gelesen: „a kreuz b“) das Vektorprodukt von~a und ~b. 

1 

0 

a 2 b 3 

1 

a 3 b 2 

A des Raums heißt~a ~b ¼ @ a 3 b 1 a 1 b 3 

A 

a 1 b 2 a 2 b 1 

390-1 

Während das Skalarprodukt für alle Vektoren gilt, also für Spaltenvektoren mit 2 Koordinaten, 3 

Koordinaten, 4 Koordinaten usw., ist das Vektorprodukt nur für Vektoren im dreidimensionalen 

Raum definiert. Ferner stellt das Vektorprodukt zweier Vektoren wieder einen Vektor dar im 

Unterschied zum Skalarprodukt, dessen Ergebnis eine reelle Zahl ist.

5. Das Vektorprodukt 391 

c 

.................... 

c 

Beispiel: Gegeben sind ~a ¼ 

! ! 

Lösung: 3 

2 1 1 

1 2 

! 

¼ a 1 

a 2 

a 3 

! 

! 

3 

2 

1 

und ~b ¼ 1 1 

2 

. Berechnen Sie ~a ~b. 

! 

b 1 

b 2 

b 3 

! 

¼ a 2b 3 a 3 b 2 

a 3 b 1 a 1 b 3 

a 1 b 2 a 2 b 1 

! 

¼ 2 2 ð 1Þ1 

ð 1Þ1 3 2 ¼ 

3 1 2 1 

! 

5 

7 

1 

Das nebenstehende Schema dient als 

Merkregel für das Vektorprodukt. Man erhält 

die 1. Koordinate des Vektorprodukts, 

indem man die 1. Koordinaten der gegebenen 

Vektoren streicht, die übrigen Koordinaten 

über Kreuz multipliziert und die Differenz 

der Produkte bildet. Analog erhält 

man die 2. und 3. Koordinate. Bei der 

Kreuzmultiplikation für die 2. Koordinate 

muss allerdings zusätzlich das Vorzeichen 

umgekehrt werden. 

Merkregel: 

1. Koordinate 3 

2 

1 

2. Koordinate 

3. Koordinate 

! 

1 1 

2 

! 

! ! 

3 

2 

1 

1 1 

2 

22 ð 1Þ1 ¼ 5 

ð32 ð 1Þ1Þ¼ 7 

! ! 

3 

2 

1 

1 1 

2 

3 1 2 1 ¼ 1 

Übung 1 

Berechnen Sie für die Vektoren~a und ~b das Vektorprodukt ~a ~b ohne und mit CAS. 

! ! 

! ! ! ! ! 

! 

a) ~a¼ 2 1 

5 

,~b¼ 3 4 

2 

b) ~a¼ 1 3 

7 

,~b¼ 2 0 

1 

c) ~a¼ 1 8 

0 

,~b¼ 2 1 

1 

d) ~a¼ 2 1 

3 

,~b¼ 4 2 

6 

Der Vektor ~a ~b ist, wie oben bereits bewiesen, 

orthogonal zu~a und zu ~b. 

Die Vektoren~a,~b und~a ~b bilden ein sog. 

„Rechtssystem“ wie auch die KoordinatenachsenimräumlichenkartesischenKoordinatensystem. 

Die abgebildete „Rechte- 

Hand-Regel“ veranschaulicht diesen Begriff. 

Diese Eigenschaft ist in physikalischen 

Zusammenhängen wichtig. 

a × b 

a 

b 

Eigenschaften des Vektorprodukts: 

Für linear unabhängige Vektoren~a und ~b im Raum gilt: 

(1) ~a ~b ist orthogonal zu~a und zu ~b. 

(2) Die Vektoren~a, ~b und~a ~b bilden ein „Rechtssystem“. 

Übung 2 

Gegeben sind die Vektoren~a ¼ 

! 

1 

1 , ~b ¼ 

3 

! 

5 

2 und~c ¼ 

3 

! 

2 

3 . 

0 

Bilden Sie a) ~a ~b, b) ~a ~c, c) ~b ~c, d) ~c ~a, e) ~a ð~b ~cÞ.

392 


B. Rechengesetze für das Vektorprodukt 

Auch für das Vektorprodukt gelten einige Rechengesetze, von denen wir die wichtigsten auflisten 

und exemplarisch beweisen. 

Rechengesetze für das Vektorprodukt 

(1) ~a ~b ¼ ð~b ~aÞ Anti-Kommutativgesetz 

(2) ðr ~aÞ~b ¼ r ð~a ~bÞ für r 2 R Assoziativgesetz 

(3) ~a ð~b þ~cÞ¼ð~a ~bÞþð~a ~cÞ Distributivgesetz 

Exemplarischer Beweis zu (1): 

! 

b 2 a 3 b 3 a 2 

ð~b ~aÞ¼ b 3 a 1 b 1 a 3 ¼ 

b 1 a 2 b 2 a 1 

! 

b 2 a 3 þ b 3 a 2 

b 3 a 1 þ b 1 a 3 ¼ 

b 1 a 2 þ b 2 a 1 

! 

a 2 b 3 a 3 b 2 

a 3 b 1 a 1 b 3 ¼~a ~b 

a 1 b 2 a 2 b 1 

Übung 3 

Beweisen Sie die Aussagen (2) und (3) im obigen Kasten. 

Übung 4 

Beweisen Sie: Für jeden Vektor~a des Raumes gilt:~a ~a ¼~0. 

Übung 5 

Beweisen Sie folgende Eigenschaft des Vektorprodukts: 

Sind die Vektoren~a und ~b linear abhängig, dann gilt:~a ~b ¼~0. 

Übung 6 

Gilt für das Vektorprodukt das Assoziativgesetz ð~a ~bÞ~c ¼~a ð~b ~cÞ? 

Übung 7 

Wahr oder falsch? Überprüfen Sie die Richtigkeit folgender Gleichungen für beliebige Vektoren 

des Raumes! 

a) ~a ~b ~b ~a ¼~0 b) ð~a þ~bÞð~a þ~bÞ¼~a ~a þ~b ~b 

Knobelaufgabe 

Zwei Gläser sind mit gleichem Volumen gefüllt, ein Glas mit Rotwein, das andere mit Weißwein. 

Aus dem Rotweinglas wird ein Löffel Rotwein entommen und in das Weißweinglas 

gegeben. Anschließend wird, ohne sorgfältig umzurühren, aus dem 

Weißweinglas dieselbe Portion entnommen und in das Rotweinglas 

zurückgegeben. Befindet sich nun anteilig mehr Rotwein im 

Weißweinglas oder mehr Weißwein im Rotweinglas? Hätte eine 

sorgfältige Mischung zu einem anderen Ergebnis geführt?


C. Exkurs: Anwendungen des Vektorprodukts 393-1 

Auch mithilfe des Vektorprodukts lässt sich der Flächeninhalt eines Parallelogramms im dreidimensionalen 

Raum berechnen. 

Flächeninhalt eines Parallelogramms 

Für den Flächeninhalt des von den Vektoren 

~a und ~b im Raum aufgespannten 

Parallelogramms gilt: 

A ¼j~a ~bj¼j~ajj~bjsing: 

Beweis: 

Wir gehen von der Flächeninhaltsformel 

für Parallelogramme A ¼ g h ¼j~ajh 

aus und setzen für die Höhe h ¼j~bjsing 

ein, wobei g der von den Vektoren~a und~b 

eingeschlossene Winkel ist. Dann erhalten 

wir sofort den zweiten Term. 

Es bleibt zu zeigen: j~a ~bj¼j~ajj~bjsing. 

Hierzu betrachten wir zunächst j~a ~bj 2 ¼ð~a ~bÞ 2 . 

g 

b 

h 

a 

Flächeninhalt des Parallelogramms: 

A ¼j~ajh ¼j~ajj~bjsing,0° g 180° 

ð~a ~bÞ 2 ¼ a 2b 3 a 3 b 2 

a 3 b 1 a 1 b 3 

a 1 b 2 a 2 b 1 

! 2 

¼ða 2 b 3 a 3 b 2 Þ 2 þða 3 b 1 a 1 b 3 Þ 2 þða 1 b 2 a 2 b 1 Þ 2 

¼ a 2 2 b2 3 2a 2 b 3 a 3 b 2 þ a 2 3 b2 2 þ a2 3 b2 1 2a 3 b 1 a 1 b 3 þ a 2 1 b2 3 þ a2 1 b2 2 2a 1 b 2 a 2 b 1 þ a 2 2 b2 1 

¼ a 2 2 b2 3 þ a2 3 b2 2 þ a2 3 b2 1 þ a2 1 b2 3 þ a2 1 b2 2 þ a2 2 b2 1 2a 2 a 3 b 2 b 3 2a 1 a 3 b 1 b 3 2a 1 a 2 b 1 b 2 

þa 2 1 b2 1 þ a2 2 b2 2 þ a2 3 b2 3 a 2 1 b2 1 a 2 2 b2 2 a 2 3 b2 3 

¼ða 2 1 þ a2 2 þ a2 3 Þðb2 1 þ b2 2 þ b2 3 Þ ða 1b 1 þ a 2 b 2 þ a 3 b 3 Þ 2 

¼j~aj 2 j~bj 2 ð~a ~bÞ 2 

¼j~aj 2 j~bj 2 

¼j~aj 2 jbj 2 ð1 

¼j~aj 2 j~bj 2 sin 2 g 

j~aj 2 j~bj 2 cos 2 g 

cos 2 gÞ 

Da sin g 0 für 0° g 180° ist, folgt nun durch Wurzelziehen j~a ~bj¼j~ajj~bjsing. 

Übung 8 

Berechnen Sie mithilfe des Vektorprodukts den Flächeninhalt 

a) des Parallelogramms ABCD mit Að3; 0; 4Þ,Bð4; 6; 0Þ,Cð0; 7; 1Þ,Dð 1; 1; 5Þ, 

b) des Dreiecks ABC mit Að5; 0; 0Þ,Bð0; 4; 0Þ,Cð0; 0; 6Þ:

394 


Mithilfe der eben bewiesenen Flächeninhaltsformel für Parallelogramme lässt sich eine einfache 

Formel zur Volumenberechnung eines Spats bzw. einer dreiseitigen Pyramide herleiten. 

Volumen eines Spats 

Der von den Vektoren ~a, ~b, ~c aufgespannte 

Spat hat das Volumen 

V ¼jð~a ~bÞ~cj: 

Beweis: 

Wir gehen von der Volumenformel 

V ¼ G h für Prismen aus. Die Grundfläche 

kann mit dem Vektorprodukt als 

j~a ~bj dargestellt werden, da es sich um 

eine Parallelogrammfläche handelt. Für 

die Höhe des Spats h gilt h ¼j~cjcosg, 

wobei g der Winkel zwischen ~c und h ist. 

Da der Vektor~a ~b senkrecht zu~a und zu 

~b steht, verläuft er parallel zur Spathöhe h. 

a × b g 

c 

h 

b 

g 

a 

V ¼ G h 

Volumen eines Prismas 

¼j~a ~bjh, da G ¼j~a ~bj 

¼j~a ~bjj~cjcosg, da h¼j~cjcosg 

¼jð~a ~bÞ~cj Definition des SP 

Wir nehmen an, dass~a,~b,~c rechtssystemartig zueinander liegen (s. Abb.). Dann ist der Winkel 

zwischen den Vektoren ~a ~b und ~c ebenfalls g. Der Term j~a ~bjj~cjcosg stellt daher das 

Skalarprodukt von~a ~b und~c dar. 

Liegen ~a, ~b, ~c linkssystemartig zueinander, so ergibt sich die Rechnung V ¼j~a ~bjh ¼ 

j~a ~bjj~cjcosg ¼j~a ~bjj~cjð cosg 0 Þ¼ ð~a ~bÞ~c, wobei g 0 ¼ 180° g der Winkel zwischen 

~a ~b und~c ist. Insgesamt gilt also V ¼jð~a ~bÞ~cj. 

Bemerkung: Der Term ð~a ~bÞ~c wird auch als Spatprodukt bezeichnet. 394-1 

Volumen einer dreiseitigen Pyramide 

Eine von den Vektoren ~a, ~b, ~c aufgespannte 

dreiseitige Pyramide hat das 

Volumen 

V ¼ 1 6 jð~a ~bÞ~cj: 

Beweis: 

Die Pyramide hat bekanntlich ein Drittel 

des Volumens eines Prismas mit derselben 

Grundfläche und Höhe. Ein Prisma mit 

dreieckiger Grundfläche ist die Hälfte eines 

Spats. Daher ist das Pyramidenvolumen 

ein Sechstel des Spatvolumens. 

! ! ! 

Übung 9 

Berechnen Sie das Volumen des von den Vektoren ~a ¼ 8 0 ,~b ¼ 2 2 ,~c ¼ 1 1 aufgespannten 

Spats. 

0 

1 

3 

Übung 10 

Berechnen Sie das Volumen der dreiseitigen Pyramide mit den Eckpunkten Að4; 4; 3Þ, 

Bð1; 5; 2Þ,Cð1; 1; 4Þ, Dð1; 4; 6Þ. Fertigen Sie ein Schrägbild an.


Übungen 

11. Berechnen Sie für die Vektoren~a und ~b das Vektorprodukt ~a ~b. 

! ! 

! ! 

a) ~a ¼ , ~b ¼ b) ~a ¼ , ~b ¼ c) ~a ¼ 

0 

3 

5 

2 

1 

1 

3 

1 

2 

2 

2 

4 

! 

4 

1 , ~b ¼ 

2 

! 

2 

1 

2 

12. Gegeben sind die Vektoren~a ¼ 

! 

6 

1 , ~b ¼ 

1 

! ! 

3 

2 

1 

,~c ¼ 0 4 

1 

. 

a) Bilden Sie~a ~b, ~b ~a,~c ~a, ð~a ~bÞ~c, ð~a ~bÞ~c. 

b) Weisen Sie für die gegebenen Vektoren nach, dass~a ~b senkrecht zu~a und zu ~b ist. 

c) Beschreiben Sie die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede der Vektoren ~a ~b und 

~b ~a geometrisch-anschaulich. 

13. Beweisen Sie: 

Für die Vektoren~a und ~b des Raums gilt: ðr ~aÞðs ~bÞ¼r s ð~a ~bÞ,r,s2 R. 

14. Beweisen Sie: 

Für alle Vektoren~a, ~b und~c des Raums gilt: ð~a ~bÞ~c ¼ð~b ~cÞ~a ¼ð~c ~aÞ~b. 

15. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 

a) Að3; 0; 2Þ,Bð1; 4; 1Þ,Cð1; 3; 2Þ b) Að4; 1; 0Þ,Bð2; 4; 3Þ,Cð1; 1; 5Þ 

16. Gegeben sind die Punkte Að 1; 3; 6Þ,Bð5; 1; 8Þ,Cð3; 5; 2Þ und Dð 3; 3; 4Þ. 

a) Zeigen Sie, dass ABCD ein Parallelogramm bilden. 

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD. 

17. Berechnen Sie das Volumen des Spats ABCDEFGH mit Að4; 1; 1Þ, Bð4; 8; 1Þ, 

Cð1; 8; 1Þ und Eð3; 2; 3Þ. Fertigen Sie ein Schrägbild des Spats an. 

18. Berechnen Sie das Volumen einer dreiseitigen Pryramide mit den Eckpunkten 

a) Að5; 0; 0Þ,Bð0; 4; 0Þ,Cð0; 0; 0Þ,Dð2; 2; 6Þ 

b) Að4; 0; 1Þ,Bð1; 4; 1Þ,Cð 1; 1; 0Þ,Dð1; 1; 5Þ 

19. Berechnen Sie mithilfe des Spatprodukts das Volumen einer Pyramide mit viereckiger 

Grundfläche ABCD und der Spitze S. Die Eckpunkte lauten: Að4; 3; 1Þ, Bð1; 7; 1Þ, 

Cð 3; 2; 0Þ,Dð0; 0; 0Þ,Sð0; 3; 4Þ. Fertigen Sie ein Schrägbild der Pyramide an. 

20. a) Zeigen Sie:~a, ~b,~c sind linear unabhängig, wenn ð~a ~bÞ~c 6¼ 0 ist. 

b) Zeigen Sie: Wenn~a, ~b,~c linear unabhängig sind, dann gilt: ð~a ~bÞ~c 6¼ 0. 

c) Weisen Sie mithilfe des Spatprodukts die lineare Unabhängigkeit der Vektoren 

~a ¼ 1 2 

4 

! 

, ~b ¼ 

2 

3 

1 

! 

,~c ¼ 

2 

0 

3 

! 

nach.

396 


D. Zusammengesetzte Aufgaben 

1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Að5; 1Þ, Bð2; 4Þ und Cð 1; 1Þ 

gegeben. 

a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig ist. 

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 

c) Bestimmen Sie den Ortsvektor eines Punktes D so, dass ABCD ein Quadrat ist. 

d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes des Quadrats ABCD. 

2. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Að2; 2; 3Þ, Bð 2; 0; 3Þ und 

Cð 4; 2; 6Þ gegeben. 

ƒ! ƒ! 

a) Zeigen Sie, dass die Vektoren AB und AC nicht kollinear sind. 

b) Bestimmen Sie den Ortsvektor eines Punktes D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist. 

c) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC. 

3. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Að1; 1; 1Þ, Bð4; 5; 9Þ und 

C t ð1; t; 5Þ gegeben. 

ƒ! ƒ! 

a) Zeigen Sie, dass die Vektoren AB und ACt für kein reelles t kollinear sind. Für welchen 

ƒ! ƒ! 

Wert für t sind die Vektoren AC t und BCt kollinear? 

ƒ! ƒ! 

b) Für welchen Wert für t sind die Vektoren AB und ACt orthogonal? 

c) Berechnen Sie für t ¼ 2 den Flächeninhalt des Dreiecks ABC 2 . 

4. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Að3; 0; 0Þ,Bð0; 3; 0Þ,Cð 3; 0; 0Þ, 

Dð0; 3;0Þ,Eð0; 0; 3Þ und Fð0; 0; 3Þ gegeben. Sie bilden die Eckpunkte eines Oktaeders. 

a) Zeigen Sie, dass ABCD ein Quadrat ist. 

b) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Oktaeders. 

c) Berechnen Sie Volumen und Oberfläche des Oktaeders. 

5. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 2; 2; 2), B t ( 2; 1; 3t) und 

C t ð 2t 2; 5; 1Þ gegeben. 

a) Zeigen Sie, dass die Ortsvektoren OA 

ƒ! ƒ! ƒ! 

,OB t,OCt 

nur für t ¼ 1 paarweise orthogonal sind. 

b) Die Punkte O, A, B t ,C t sind Eckpunkte einer Pyramide. Zeichnen Sie für t ¼ 1 ein Schrägbild 

der Pyramide und berechnen Sie unter Verwendung von Aufgabenteil a das Volumen 

dieser Pyramide. 

c) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks AB 1 C 1 (für t ¼ 1). 

d) Zeigen Sie, dass die Seitenmittelpunkte des räumlichen Vierecks OAB t C t (in der angegebenen 

Reihenfolge) ein Parallelogramm bilden. 

! ! ! 

6. Die Vektoren~a ¼ 6 0 , ~b ¼ 2 4 ,~c ¼ 1 1 spannen einen Spat ABCDEFGH auf. 

0 

0 

3 

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild des Spats. 

b) M sei der Mittelpunkt der Strecke EH, L sei der Mittelpunkt der Strecke BC und K sei der 

Mittelpunkt der Raumdiagonalen AG. Bestimmen Sie die Ortsvektoren von M, L und K. 

c) In welchem Verhältnis teilt K die Strecke ML?

XIV. 5. DasSkalarprodukt Vektorprodukt und Vektorprodukt 

397 

Überblick 

Skalarprodukt: Kosinusformel: ~a ~b ¼j~ajj~bjcos g ð0 g 180 Þ 

 

Koordinatenform: ~a ~b ¼ a 

1 b 1 

¼ a 

a 2 b 1 b 1 þ a 2 b 2 

2 

0 1 0 1 

a 1 b 1 

~a ~b ¼ @ a 2 

A @ b 2 

A ¼ a1 b 1 þ a 2 b 2 þ a 3 b 3 

a 3 b 3 

Rechenregeln für das 

Skalarprodukt: 

Der Betrag eines Vektors: 

~a ~b ¼~b ~a Kommutativgesetz 

ðr~aÞ~b ¼ rð~a ~bÞ für r 2 R 

ð~a þ~bÞ~c ¼~a ~c þ~b ~c Distributivgesetz 

~a 2 ¼~a ~a > 0 für~a 6¼~0 

~a 2 ¼~a ~a ¼ 0 für~a ¼~0 

Für den Betrag (die Länge) eines Vektors~a gilt die Formel 

j~aj 2 p 

¼~a ~a bzw: j~aj¼ ~a ffiffiffiffiffiffiffi 

~a : 

Orthogonale Vektoren: ~a ?~b , ~a ~b ¼ 0 

Vektorprodukt: 

0 

a 2 b 3 

1 

a 3 b 2 

~a ~b ¼ @ a 3 b 1 a 1 b 3 

A 

a 1 b 2 a 2 b 1 

Rechengesetze für das 

Vektorprodukt: 

(1) ~a ~b ¼ ð~b ~aÞ Anti-Kommutativgesetz 

(2) ðr ~aÞ~b ¼ r ð~a ~bÞ für r 2 R Assoziativgesetz 

(3) ~a ð~b þ~cÞ¼ð~a ~bÞþð~a ~cÞ Distributivgesetz 

Flächeninhalt eines 

Parallelogramms: 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

A ¼ ~a 2 ~b 2 ð~a ~bÞ 2 

oder 

A ¼j~a ~bj¼j~ajj~bjsin g 

Volumen eines Spats: 

V ¼jð~a ~bÞ~cj 

Volumen einer 

dreiseitigen Pyramide: 

V ¼ 1 6 jð~a ~bÞ~cj

398 


Test 

Skalarprodukt und Vektorprodukt 

1. Berechnen Sie das Skalarprodukt von~a und ~b. 

a) a 

b) ~a ¼ 

b 

1 

0 

@ 

1 

1 

2 

2 

0 

A; ~b ¼ @ 

3 3A c) ~a ¼ @ 

1 a A; ~b ¼ @ 

2a 3 

2. Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren~a ¼ @ 

3 2A und ~b ¼ @ 

1 4A? 

3. Gegeben sind die Geraden g: ~x ¼ @ 

2 0A þ r 

0 

4 

1 

0 

@ 

1 

1 

2 

1 

0 

4 

1 

4 

1 

0 

0 

A und h: ~x ¼ @ 

2 1A þ s 

a) Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel von g und h. 

b) Fertigen Sie eine Skizze an. 

1 

1 

3 

0 

@ 

1 

1 

1 

1 

2 

A. 

0 

2 

1 

0 

1 

A 

a 

4. Vom abgebildeten Quader (Länge 8, 

Breite 4, Höhe 4) wurde ein Eckteil abgetrennt. 

a) Gesucht sind die Innenwinkel und 

der Flächeninhalt der Schnittfläche 

ABC. 

b) Welches Volumen hat das abgetrennte 

Eckstück? 

x 

4 

z 

4 

3 

C 

A 

B 

2 

8 

y 

5. Bestimmen Sie einen Vektor ~n, der zu den Vektoren~a ¼ @ 

4 6A, ~b ¼ @ 

1 4A orthogonal ist. 

6. Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC mit Að3j0j0Þ, Bð5j4j1Þ und Cð0j6j3Þ rechtwinklig ist. 

7. a) Welchen Winkel bildet die Ursprungsgerade g: ~x ¼ r@ 

4A mit der x-Achse, mit der 

y-Achse und mit der z-Achse? 

3 

0 1 

3 

b) Wie groß muss t > 0 gewählt werden, damit die Ursprungsgerade g: ~x ¼ r@ 

4 A mit der 

z-Achse einen Winkel von 45 bildet? 

t 

0 

2 

1 

0 1 

3 

8. Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit den Eckpunkten Að2j2j3Þ,Bð4j8j0Þ,Cð 1j6j1Þ 

und Dð2j5j6Þ. 

a) Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide. 

b) Berechnen Sie die Oberfläche der Pyramide. 

c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. 

0 

2 

1 


XVII. Kugeln 

Auch Kugeln im Raum können mithilfe von 

Vektoren analytisch beschrieben werden. 

Damit gelingt auf rechnerischem Wege sowohl 

die Unter suchung von Lagebeziehungen 

als auch die Bestimmung von Schnittmengen.

466 

XVII. Kugeln 

x 

1. Kugelgleichungen 

Kugeln im Raum können analog zu Kreisen in der Ebene sowohl 

durch eine Vektorgleichung als auch durch eine Koordinatengleichung 

dargestellt werden. 

z 

x$ 

m$ 

X 

M 

y 

Jeder Punkt X der Kugel hat den gleichen 

Abstand r vom Kugelmittelpunkt 

ƒ! 

M. Daher hat der Vektor MX ¼~x ~m 

stets den Betrag r. 

Die Gleichung j~x ~mj¼r bzw. die 

äquivalente Gleichung ð~x ~mÞ 2 ¼ r 2 

wird also genau von den Punkten erfüllt, 

die auf der Kugel liegen. 

Kugelgleichungen 

K sei eine Kugel um den Mittelpunkt Mðm 1 jm 2 jm 3 Þ mit 

dem Radius r. 

Ein Punkt X liegt genau dann auf der Kugel K, wenn eine 

der folgenden Gleichungen erfüllt ist: 

Vektorgleichung der Kugel 

K: j~x ~mj¼r oder K: ð~x ~mÞ 2 ¼ r 2 

Koordinatengleichung der Kugel 

K: ðx m 1 Þ 2 þðy m 2 Þ 2 þðz m 3 Þ 2 ¼ r 2 466-1 

Berliner Fernsehturm – Eröffnung: 3. Oktober 1969 – Höhe: 368 m – Kugel in 200-232 m Höhe – Kugeldurchmesser: 32 m 

c 

.............................................. 

c 

Beispiel: Kugelgleichung 

Wie lautet die Gleichung der Kugel K mit dem Mittelpunkt 

Mð2j3j1Þ und dem Radius r ¼ 3? 

Lösung: 

Durch Einsetzen des Ortsvektors bzw. der 

Koordinaten von M und des Radius in die 

obigen Gleichungen erhalten wir die 

rechts dargestellte Vektorgleichung und 

die Koordinatengleichung der Kugel. Die 

Koordinatengleichung lässt sich durch 

Klammerauflösung noch vereinfachen. 

K: ~x 

 

2 

3 

1 

! 

" !# 2 ¼ 3; K: ~x 2 

3 ¼ 9 

K: ðx 2Þ 2 þðy 3Þ 2 þðz 1Þ 2 ¼ 3 2 

K: x 2 4xþ y 2 6yþ z 2 2z¼ 5 

Übung 1 

Gesucht sind Gleichungen der Kugel K mit dem Mittelpunkt p M und dem Radius r. 

a) Mð4j2j 1Þ,r¼ 5 b) Mð2j1j4Þ,r¼ ffiffi 

3 c) Mð0j 4j0Þ,r¼ 16 

1

1. Kugelgleichungen 467 

c 

..................................................... ............................................................. 

c 

c 

c 

Beispiel: Punktprobe 

Prüfen Sie, ob die Punkte Að6j1j2Þ, Bð4j3j4Þ und Cð6j5j3Þ auf der Kugel K um den 

Mittelpunkt Mð2j1j5Þ mit dem Radius r=5 liegen. 

Lösung: 

Wir stellen zunächst die Koordinatengleichung 

der Kugel K auf. 

Anschließend setzen wir die Koordinaten 

der gegebenen Punkte in die linke Seite der 

Kugelgleichung ein. Nur der Punkt A erfüllt 

die Kugelgleichung. Er liegt auf der 

Kugeloberfläche. Der Punkt B liegt in der 

Kugel, da sein Abstand zum Mittelpunkt 

3 < 5 beträgt. Der Punkt C liegt außerhalb 

der Kugel, denn sein Abstand zum Mittelpunkt 

ist 6 > 5. 

Kugelgleichung: 

ðx 2Þ 2 þðy 1Þ 2 þðz 5Þ 2 ¼ 25 

Punktproben: 

A:ð6 2Þ 2 þð1 1Þ 2 þð2 5Þ 2 ¼ 25 

B: ð4 2Þ 2 þð3 1Þ 2 þð4 5Þ 2 ¼ 9 < 25 

C: ð6 2Þ 2 þð5 1Þ 2 þð3 5Þ 2 ¼ 36 > 25 

A liegt auf K. 

B liegt innerhalb von K. 

C liegt außerhalb von K. 

Übung 2 

Prüfen Sie, ob A und B auf der Kugel K mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r liegen. 

a) Mð2j 1j4Þ,r¼ 3 b) Mð1j1j5Þ,r¼ 5 c) Mð 2j4j3Þ,r¼ 6 

Að4j1j5Þ Að5j 2j5Þ Að0j0j0Þ 

Bð3j2j1Þ Bð 1j3j3Þ Bð4j1j5Þ 

Übung 3 

a) Für welche Werte des Parameters t liegt der Punkt Pðtj 2j12Þ auf der Kugel mit dem Mittelpunkt 

Mð1j3j2Þ und dem Radius r ¼ 15? 

b) Wie lautet die Gleichung der Kugel K um den Mittelpunkt Mð2j1j5Þ, die den Punkt 

Að 6j5j4Þ enthält? 

Beispiel: Radius und Mittelpunkt 

Eine Gleichung der Form x 2 þ axþ y 2 þ byþ z 2 þ cz ¼ d kann eine Kugel K darstellen. 

Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius der Kugel K: x 2 2xþ y 2 4yþ z 2 þ 8z¼ 15. 

Lösung: 

Die Kugelgleichung enthält drei quadratische 

Terme für x, y und z. Wir formen jeden 

dieser Terme mittels quadratischer Ergänzung 

in ein Binom um. Die rechte Seite der 

Gleichung ergänzen wir durch Addition entsprechend. 

Wir erhalten eine Gleichung der 

Form ðx aÞ 2 þðy bÞ 2 þðz cÞ 2 ¼ r 2 , 

aus der wir Mittelpunkt M und Radius r unmittelbar 

ablesen können. 

K: x 2 2xþy 2 4yþz 2 þ8z ¼ 15 

K: x 2 2xþ1þy 2 4yþ4þz 2 þ8zþ16 

¼ 15þ21 

K: ðx 1Þ 2 þðy 2Þ 2 þðzþ4Þ 2 ¼ 36 

K: ðx 1Þ 2 þðy 2Þ 2 þðzþ4Þ 2 ¼ 6 2 

Mittelpunkt: Mð1j2j 

Radius: r ¼ 6 

Übung 4 

Bestimmen Sie Mittelpunkt M und Radius r der Kugel K. 

a) K: x 2 þ 4xþ y 2 6yþ z 2 þ 10z ¼ 62 b) K: x 2 þ y 2 þ z 2 2xþ 4y¼ 11 

4Þ

468 

XVII. Kugeln 

Übungen 

5. Wie lautet die Gleichung der Kugel K um den Mittelpunkt p M mit dem Radius r? 

a) Mð2j 1j2Þ,r¼ 4 c) Mð0j1j1Þ,r¼ ffiffi 

5 e) Mð0j0j0Þ,r¼ 4 

b) Mð1j4j0Þ,r¼ 3 d) Mð2j1j 1Þ,r¼ 1 f) Mð1j1j1Þ,r¼ 2 

Vektorgleichung 

Koordinatengleichung 

beide Gleichungsarten 

6. Prüfen Sie, ob die Punkte A und B auf, innerhalb oder außerhalb der Kugel K liegen. 

" !# 2 " !# 2 

0 

6 

a) K: ~x ¼169, Að5j12j0Þ,Bð10j8j2Þ b) K: ~x ¼25, Að2j2j 2Þ,Bð3j 3j2Þ 

0 

0 

c) K: ðx 3Þ 2 þðy þ 1Þ 2 þðz 1Þ 2 ¼ 49, d) K: x 2 þ y 2 þðz þ 3Þ 2 ¼ 121, 

Að6j1j 5Þ,Bð4j5j 2Þ Að0j0j8Þ,Bð2j6j6Þ p 

e) K: Mð2j0j3Þ,r¼9, Að6j4j10Þ,Bð5j7j8Þ f) K: Mð0j0j 2Þ,r¼ ffiffiffiffiffi 

17 ,Að4j 1j 3Þ,Bð2j3j0Þ 

7. Die gegebene quadratische Gleichung stellt eine Kugel K dar. Bestimmen Sie Mittelpunkt 

und Radius dieser Kugel. 

a) K: x 2 þ y 2 2yþ z 2 þ 2z¼ 2 b) K: x 2 þ y 2 þ z 2 8xþ 4yþ 10z ¼ 4 

c) K: x 2 þ y 2 þ z 2 2 ¼ 4x 2yþ 8 d) K: ðx 1Þ 2 þ y 2 ¼ 2yþ 2z z 2 1 

e) K: x 2 þ y 2 þ z 2 ¼ 8x 4z f) K: x 2 2axþz 2 ¼ y 2 2azþ7a 2 ða>0Þ 

8. Gesucht ist die Gleichung einer Kugel K mit folgender Eigenschaft: 

a) K hat den Mittelpunkt Mð 1j2j 4Þ und geht durch den Punkt Að3j6j3Þ. 

b) K ist eine Ursprungskugel, welche die Ebene E: z=5 berührt. 

c) K ist eine Ursprungskugel, welche den Punkt Að6j17j6Þ enthält. 

9. Eine Gerade g durch den Mittelpunkt der Kugel K schneidet die Kugel in den Punkten A und 

B. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius der Kugel K. 

a) Að3j7j10Þ b) Að4j3j9Þ c) Að4j13 j12Þ 

Bð 1j 5j 8Þ Bð 4j 5j 5Þ Bð 6j 7j 8Þ 

10. Der Punkt A liegt auf der Kugel K. Welcher Punkt B der Kugel K liegt exakt gegenüber von 

Punkt A? 

a) K: ðx 6Þ 2 þðy þ 2Þ 2 þ z 2 ¼ 121, Að8j4j9Þ b) K: x 2 þðy 4Þ 2 þ z 2 ¼ 361, Að6j21j6Þ 

11. Die Kugeln K 1 und K 2 schneiden sich nicht. Welche beiden Punkte von K 1 bzw. K 2 haben 

den geringsten Abstand voneinander? 

a) K 1 :x 2 þ y 2 þ z 2 ¼ 81 b) K 1 : ðx 1Þ 2 þðy 1Þ 2 þðz 1Þ 2 ¼49 

K 2 : ðx 6Þ 2 þðy 12Þ 2 þðz 12Þ 2 ¼ 36 K 2 : ðx 9Þ 2 þðy 13Þ 2 þðz 25Þ 2 ¼196 

12. Die Kugel K um den Mittelpunkt M soll die Ebene E in einem Punkt B berühren. Welchen 

Radius r besitzt die Kugel? Wie heißt der Berührpunkt B? 

a) E: 4x 4yþ 7z¼ 81, Mð0j0j0Þ b) E: 2x þ 3yþ 6z¼ 42, Mð2j 4j 8Þ 

13. Bestimmen Sie eine Gleichung der Kugel K durch den Punkt Pð12j4j16Þ, welche die x-y- 

Ebene im Ursprung berührt. 

5 

2

2. Kugeln, Geraden und Ebenen 469 

2. Kugeln, Geraden und Ebenen 

A. Die gegenseitige Lage von 

Kugel und Gerade 

Eine Gerade g im Raum kann Passante, 

Tangente oder Sekante einer gegebenen 

Kugel sein. 

Man überprüft dies durch Einsetzen der 

Geradenkoordinaten in die Kugelgleichung. 

Sekante 

K 

Tangente 

Passante 

c 

.............................................................................................................. 

c 

Beispiel: Passante/Tangente/Sekante 

p 

Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt Mð5j1j0Þ mit Radius r ¼ 

ffiffiffiffiffi 

14 sowie die 

Geraden g 1 

! 

,g 2 und g 3 . 

! 

Welche gegenseitige 

! 

Lage besitzen 

! 

die Geraden 

! 

und die Kugel? 

! 

g 1 : ~x ¼ 6 1 

4 

2 

2 

1 

1 þ s 1 g 2 : ~x ¼ 4 þ s 4 g 3 : ~x ¼ 2 þ s 1 

7 

2 

3 

1 

1 

1 

Lösung: 

Wir stellen zunächst die Koordinatengleichung 

der Kugel auf. 

In diese setzen wir die allgemeinen Koordinaten 

x ¼ 6 þ s, y ¼ 1 s und z ¼ 7 þ 2s 

der Geraden g 1 ein. Wir erhalten eine quadratische 

Gleichung für den Geradenparameter 

s, die die beiden Lösungen s 1 ¼ 3 

und s 2 ¼ 2 hat. Die Gerade g 1 ist also Kugelsekante. 

Analog verfahren wir mit der Geraden g 2 . 

Sie hat nur einen gemeinsamen Punkt 

Bð2j0j2Þ mit der Kugel. Die Gerade g 2 

ist Kugeltangente. 

Die Gerade g 3 hat gar keine gemeinsamen 

Punkte mit der Kugel. Es ist eine Kugelpassante. 

Kugelgleichung: 

K: ðx 5Þ 2 þðy 1Þ 2 þ z 2 ¼ 14 

Lage von g 1 und K: 

ð6þs 5Þ 2 þð1 s 1Þ 2 þð7þ2sÞ 2 ¼ 14 

6s 2 þ 30s þ 50 ¼ 14 

s 1 ¼ 3 und s 2 ¼ 2 ) Sekante 

S 1 ð3j4j1Þ,S 2 ð4j3j3Þ 


21s 2 þ 42s þ 35 ¼ 14 

s ¼ 1 ) Tangente 

Bð2j0j2Þ 


3s 2 10s þ 51 ¼ 14 

unlösbar 

) Passante 

Übung 1 

p 

Gegeben sind die Kugel K mit dem Mittelpunkt Mð 2j1j3Þ und dem Radius r ¼ ffiffi 

6 sowie die 

Gerade g durch die Punkte A und B. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und K. 

a) Að 3j 7j8Þ b) Að 1j4j4Þ c) Að2j2j2Þ 

Bð 2j 4j6Þ Bð1j5j4Þ Bð 3j2j7Þ

470 

XVII. Kugeln 

B. Die gegenseitige Lage von Kugel und Ebene 

Eine Kugel K und eine Ebene E können prinzipiell drei verschiedene Lagen zueinander einnehmen. 

Dazu betrachtet man den Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E, den 

man mit der Abstandsformel (Hesse’sche Normalenform der Ebene) errechnet und mit dem 

Kugelradius r vergleicht. 

r 

M 

d 

E 

F 

r 

M 

d 

E 

F 

r 

M 

d 

F 

E 

Ist d > r, so schneiden sich Ebene 

E und Kugel K nicht. 

Der Lotfußpunkt F des Lotes von 

M auf E ist dann derjenige Ebenenpunkt, 

der den kleinsten Abstand 

zur Kugel K hat. 

Ist d ¼ r, so berührt die Ebene E 

die Kugel K im Fußpunkt F des 

Lotes von M auf E. 

E ist eine Tangentialebene von K. 

Ist d < r, so schneidet die Ebene E 

die Kugel K in einem Kreis k 0 , 

den man als Schnittkreis von Kugel 

und Ebene bezeichnet. 

Übung 2 

Prüfen Sie, ob die Ebene E die Kugel K schneidet, berührt oder verfehlt. 

" !# 

! 

a) E: ~x ¼ 0 b) E: 2x 4yþ 4z¼ 38 

4 

2 

5 

1 

2 

2 

K: x 2 þ y 2 þ z 2 ¼ 25 K: ðx 3Þ 2 þðy 3Þ 2 þðz 2Þ 2 ¼ 36 

C. Der Schnittkreis von Kugel und Ebene 

c 

................................................................... 

. 

Beispiel: Berechnung des Schnittkreises 

ZeigenSie,dassdieEbeneE: 2x y 2z¼ 7dieKugelK: ðx 2Þ 2 þðy þ1Þ 2 þðz 3Þ 2 ¼ 9 

schneidet. Bestimmen Sie den Radius r 0 und den Mittelpunkt M 0 des Schnittkreises k 0 . 

Lösung: 

Wir stellen zunächst eine Hesse’sche Normalengleichung 

von E auf. Hierzu entnehmen 

wir der Koordinatengleichung einen 

Ebenenpunkt, z. B. Að0j7j0Þ, sowie einen 

Normalenvektor. 

Den Abstand des Kugelmittelpunktes 

Mð2j 1j3Þ zur Ebene E ermitteln wir 

durch Einsetzen in die linke Seite der Hesse’schen 

Normalengleichung. Wir erhalten 

d ¼ 2. Da dieser Wert kleiner als der 

Kugelradius r ¼ 3 ist, schneidet die Ebene 

E die Kugel K. 

Hessesche Normalengleichung von E: 

" !# 

! 

E: ~x ¼ 0 

0 

7 

0 

2=3 

1=3 

2=3 

Abstand des Mittelpunktes M von E: 

" ! !# 

! 

2 0 2=3 

d ¼ 

1 7 1=3 

3 0 2=3 ¼ 2 < 3 

) Die Ebene E schneidet die Kugel K.


......................................................... ................................................................................................. 

Der Radius r 0 des Schnittkreises k 0 von Kugel 

und Ebene kann mithilfe des Satzes von 

Pythagoras errechnet werden, was aus der 

nebenstehenden Grafik ersichtlich ist: 

ðr 0 Þ 2 p 

¼ r 2 d 2 . Wir erhalten r 0 ¼ ffiffi 

5 . 

Der Mittelpunkt M 0 des Schnittkreises k 0 

ist der Fußpunkt des Lotes von M auf die 

Ebene E. 

Als Stützpunkt der Lotgeraden g können 

wir den Mittelpunkt M verwenden und 

als Richtungsvektor einen Normalenvektor 

~n der Ebene. Dies führt auf: 

g: ~x ¼ 

2 

1 

3 

! 

þ s 

2 

1 

2 

! 

: 

Durch Einsetzung hiervon in die Ebenengleichung 

errechnen wir den Schnittpunkt 

M 0 von g und E. 

c Das Resultat ist M 0 ð 2 3j 1 3j 13 

3 Þ. 

c 

k' 

M 

M' 

d 

Der Radius r' des Schnittkreises k': 

p 

r 0 ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

r 2 d 2 ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

3 2 2 2 ¼ 

ffiffi 

5 

r 

Der Mittelpunkt M' des Schnittkreises k': 

" ! ! !# ! 

2 

2 

1 þ s 1 ¼ 0 

3 

2 

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 

Gerade g 

9sþ 6 ¼ 0, s ¼ 2 3 

M 0 ð 2 3j 1 3j 13 3 Þ 

Übung 3 

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebene E und der Kugel K. Bestimmen Sie ggf. Radius 

und Mittelpunkt des Schnittkreises. 

" !# 

a) E: ~x 

1 

0 

2 

2 

1 

2 

! " !# 2 

3 

¼ 0, K: ~x ¼ 25 

b) E: 2x þ 3yþ 6z¼ 21, K: ðx þ 1Þ 2 þðy 2Þ 2 þðz 4Þ 2 ¼ 100 

2 

1 

Beispiel: Spurkreise einer Kugel 

Die Kugel K um den Mittelpunkt Mð 2j4j3Þ mit dem Radius r ¼ 4 schneidet die y-z-Ebene. 

Bestimmen Sie den Mittelpunkt M 0 und den Radius r 0 des Schnittkreises k 0 von Kugel und 

y-z-Ebene, den man als Spurkreis der Kugel in der y-z-Ebene bezeichnet. 

Lösung: 

Der Spurkreismittelpunkt M 0 ist der Fußpunkt 

des Lotes vom Kugelmittelpunkt 

Mð 2j4j3Þ auf die y-z-Ebene, d.h. der 

Punkt M 0 ð0j4j3Þ. 

Der Abstand d des Kugelmittelpunktes 

von der y-z-Ebene ist der Abstand von M 

und M 0 , also d ¼ 2. 

Der pRadius r 0 des Spurkreises ist daher 

r 0 ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

r 2 d 2 ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

4 2 2 2 ¼ 


12 . 

x 

c 

z 

r 

r' M' 

r' 

K 

0 

7 

0 

k' 

M 

d 

E 

2 

1 

2 

K 

y

472 

XVII. Kugeln 

D. Tangentialebenen 

Besitzen eine Ebene E und eine Kugel K nur genau einen gemeinsamen Punkt B, so bezeichnet 

man die Ebene E als Tangentialebene von K im Punkt B. Der Punkt B heißt Berührpunkt von 

E und K. 

Der Vektor ƒ! BX, der vom Berührpunkt B zu 

einem beliebigen Ebenenpunkt X führt, ist 

ƒ! 

orthogonal zum Radiusvektor MB . Es gilt 

also: ƒ! ƒ! 

BX MB ¼0 bzw. ð~x ~bÞð~b ~mÞ¼0. 

Gleichung der Tangentialebene 

Die Tangentialebene E, welche die Kugel 

K um den Mittelpunkt M im Punkt B 

berührt, hat die Gleichung 

E: ð~x ~bÞð~b ~mÞ¼0. 

x 

z 

x 

X 

b 

m 

M 

B 

K 

E 

y 

c 

................................................. ................................................. 

c 

c 

. 

Beispiel: Gleichung einer Tangentialebene 

Gegeben ist die Kugel K um den Mittelpunkt Mð4j2j3Þ mit dem Radius r ¼ 3. 

Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene E, welche die Kugel im Punkt Bð3j0j5Þ 

berührt? 

Lösung: 

Wir setzen in die allgemeine Tangentialebenengleichung 

E: ð~x ~bÞð~b ~mÞ¼0 

die Ortsvektoren des Berührpunktes B 

und des Mittelpunktes M ein. Auf diese 

Weise erhalten wir die rechts dargestellte 

Normalengleichung, die wir in eine Koordinatengleichung 

umwandeln können. 

" !# 

" ! !# 

3 3 4 

E: ~x 0 0 2 ¼ 0 

5 5 3 

" !# 

! 

E: ~x ¼ 0 

3 

0 

5 

1 

2 

2 

E: x 2yþ 2z¼ 7 

Normalengleichung 

Koordinatengleichung 

Beispiel: Berechnung des Berührpunktes 

Weisen Sie nach, dass die Ebene E: 2xþ 2y z ¼ 26 eine Tangentialebene der Kugel K 

um den Mittelpunkt Mð2j2j1Þ mit dem Radius r ¼ 9 ist. 

Bestimmen Sie den Berührpunkt B von E und K. 

Lösung: 

Wir stellen eine Hesse’sche Normalengleichung 

von E auf und errechnen durch 

Einsetzung des Ortsvektors von M den Abstand 

d von M zur Ebene E. 

Wir erhalten d ¼ 9. Da dies genau der Radius 

r ¼ 9 ist, handelt es sich bei der Ebene 

E um eine Tangentialebene zur Kugel K. 

Hessesche 

" 

Normalengleichung 

!# 

! 

von E: 

E: ~x ¼ 0 

0 

0 

26 

Abstand " ! 

von M und 

!# 

E: 

d: 

 

 

2 

2 

1 

0 

0 

26 

2=3 

2=3 

1=3 

2=3 

2=3 

1=3 

! 

¼ 9


............................................................................................................. ................................... 

Der Berührpunkt B ist der Schnittpunkt 

der Lotgeraden g von M auf E. Als Stützvektor 

von g verwenden wir den Ortsvektor 

von M und als Richtungsvektor einen 

Normalenvektor von E. 

Die Schnittpunktberechnung erfolgt durch 

Einsetzung der Koordinaten von g in die 

Koordinatengleichung von E. 

c Resultat: Bð 4j8j 2Þ 

c 

c 

Lotgerade g von M auf E: 

! ! 

g: ~x ¼ 2 2 

2 þ s 2 

1 

1 

Schnittpunkt von g und E: 

2 ð2 2sÞþ2 ð2 þ 2sÞ ð1 sÞ¼26 

) s=3 

) Bð 4j8j 2Þ 

Übung 4 

Betrachtet werden die Kugel K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r sowie der Punkt B. 

Zeigen Sie, dass B auf K liegt, und bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene E, welche 

die Kugel K in B berührt. p 

a) Mð 1j 2j1Þ,r¼ ffiffi 

6 ,Bð0j0j2Þ b) Mð5j1j 2Þ,r¼ 6, Bð7j5j2Þ 

Übung 5 

Gesucht ist der Berührpunkt B der Kugel K um den Mittelpunkt M mit ihrer Tangentialebene E. 

a) Mð1j1j 2Þ,E:2xþ 3y 6z¼ 81 b) Mð 1j 1j2Þ,E:2x y þ z ¼ 13 

Beispiel: Zu einer Ebene parallele 

Tangentialebenen 

Gegeben sind die Kugel K um den 

Mittelpunkt Mð2j1j0Þ mit dem 

Radius r ¼ 6 sowie die Ebene 

E: 2x y þ 2z¼ 30. Wie lauten die 

Gleichungen der beiden Tangentialebenen 

von K, die zu E parallel sind? 

Lösung: 

Wir bestimmen zunächst eine Gleichung 

der zur Ebene E orthogonalen Geraden g, 

die durch den Kugelmittelpunkt M geht 

(Stützvektor: Ortsvektor von M, Richtungsvektor: 

Normalenvektor von E). 

Die Schnittpunkte B 1 und B 2 dieser Lotgeraden 

mit der Kugel sind die Berührpunkte 

der gesuchten Tangentialebenen an die 

Kugel. Wir errechnen sie durch Einsetzen 

der allgemeinen Koordinaten von g in die 

Kugelgleichung. 

Die Tangentialebenen E 1 und E 2 besitzen 

den gleichen Normalenvektor wie E und 

enthalten die Punkte B 1 bzw. B 2 , was auf 

die rechts dargestellten Gleichungen führt. 

n 

B 1 

E 

M 1 

B 2 

E 2 

Lotgerade g von M auf E: 

! ! 

g: ~x ¼ 2 2 

1 þ s 1 

0 

2 

Gleichung der Kugel K: 

K: ðx 2Þ 2 þðy 1Þ 2 þ z 2 ¼ 36 

Schnittpunkte von g und K: 

ð2 þ 2s 2Þ 2 þð1 s 1Þ 2 þð2sÞ 2 ¼ 36 

9s 2 ¼ 36 

s ¼ 2: B 1 ð6j 1j4Þ 

s ¼ 2: B 2 ð 2j3j 4Þ 

Tangentialebenen: 

E 1 :2x y þ 2z¼ 21 

E 2 :2x y þ 2z¼ 15 

E 

473-1

474 

XVII. Kugeln 

Übungen 

6. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugel K und der Geraden g. 

Berechnen Sie ggf. die gemeinsamen Punkte von Kugel und Gerade. 

p 

a) K: Mð6j1j4Þ,r¼ ffiffiffiffiffi 

p 

17 

b) K: Mð8j2j2Þ,r¼ ffiffiffiffiffi 

50 

! ! 

! ! 

g: ~x ¼ 4 1 

1 þ s 2 

g: ~x ¼ 6 

1 

10 þ s 1 

3 

1 

11 

3 

p 

c) K: Mð8j2j4Þ,r¼ 3 d) K: Mð2j1j6Þ,r¼ ffiffiffi 

5 

! ! 

! ! 

g: ~x ¼ 2 4 

8 þ s 4 

g: ~x ¼ 10 

2 

10 þ s 2 

7 

2 

4 

1 

7. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebene E und der Kugel K. 

Berechnen Sie hierzu den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene E. 

a) E: 2x þ 2y z ¼ 9 b) E: 2x 2y z ¼ 35 

K: Mð0j0j0Þ,r¼ 6 K:Mð5j 4j1Þ,r¼ 5 

" !# 

! 

c) E: 2x þ 3yþ 6z¼ 12 d) E: ~x 

7 1 

6 2 ¼ 0 

12 2 

K: Mð5j5j6Þ,r¼ 25 K: ðx 1Þ 2 þðy 1Þ 2 þðz 2Þ 2 ¼ 169 

" !# 

e) E: ~x 

19 

0 

0 

 

! 

! 

2 

4 

4 

¼ 0 f) E: ~x ¼ 10 6 

2 

þ s 

! 

0 

1 þ t 

4 

K: x 2 6xþ y 2 6yþ z 2 4z¼ 14 K: ðx 1Þ 2 þðy 3Þ 2 þðz 5Þ 2 ¼ 144 

! 

1 

2 

0 

8. Die Ebene E und die Kugel K schneiden sich. Weisen Sie dies nach und berechnen Sie 

Radius r 0 und Mittelpunkt M 0 des Schnittkreises k 0 . 

a) E: 8x þ 4yþ z ¼ 106 b) E: x 4y 4z¼ 33 c) E: x 2yþ 2z¼ 19 

K: Mð1j3j5Þ,r¼ 12 K: x 2 þ y 2 þ z 2 ¼ 49 K:ðx 3Þ 2 þðy 3Þ 2 þðz 2Þ 2 ¼36 

9. Die Ebene E und die Kugel K mit dem Radius r schneiden sich im Kreis k 0 mit dem Mittelpunkt 

M 0 und dem Radius r 0 . Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Kugel K. 

(Es gibt zwei Möglichkeiten M 1 und M 2 .) 

a) E: x 2yþ 2z¼ 1 b) E: 2x þ 3yþ 6z¼ 40 c) E: 3x 

p 

þ 4y¼ 25 

r ¼ 15, M 0 ð3j2j2Þ,r 0 ¼ 12 r ¼ 50, M 0 ð5j2j6Þ,r 0 ¼ 48 r ¼ ffiffiffiffiffi 

41 ,M 0 ð3j4j0Þ,r 0 ¼ 4 

10. Gegeben sind die Kugel K und die Ebene E. Gesucht sind Mittelpunkt M 0 und Radius r 0 des 

Spurkreises von k 0 in der Ebene E. 

a) K: Mð7j20j15Þ,r¼ 25 b) K: Mð4j4j12Þ,r¼ 13 c) K: Mð8j6j7Þ,r¼ 10 

E: y-z-Ebene E: x-y-Ebene E: x-z-Ebene


11. Gegeben ist die Kugel K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r. Zeigen Sie, dass der Punkt 

B auf der Kugel liegt, und bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene E, welche die 

Kugel in B berührt. 

a) Mð2j5j6Þ,r¼ 14, Bð6j 1j 6Þ b) Mð5j4j1Þ,r¼ 7, p Bð7j7j7Þ 

c) Mð4j5j1Þ,r¼ 9, Bð5j9j9Þ d) Mð0j 3j3Þ,r¼ ffiffi 

6 ,Bð1j 1j4Þ 

12. Die Kugel K um den Mittelpunkt M berührt die Ebene E im Punkt B. 

Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes B. 

a) Mð2j1j3Þ,E:2xþ 2yþ z ¼ 18 b) Mð3j5j7Þ,E:12xþ 3y 4z¼ 192 

" !# 

c) Mð4j8j2Þ,E: ~x 

10 

30 

25 

8 

1 

4 

! 

¼ 0 d) Mð6j12 j 4Þ,E:~x¼ 4 0 

6 

! 

þs 

0 

1 

3 

! 

þt 

! 

2 

1 

0 

13. Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r sowie die Ebene E. 

Gesucht sind die Gleichungen der zu E parallelen Tangentialebenen von K. 

a) K: Mð1j1j4Þ,r¼ 6 b) K: Mð2j0j1Þ,r¼ 14 

E: x þ 2yþ 2z¼ 38 E: 2x þ 3yþ 6z¼ 108 

14. Ein kugelförmiger Gasbehälter K (Durchmesser 10 m) berührt direkt eine senkrechte Mauer 

in 6 m Abstand vom linken Mauerende im Punkt Tð 6j0j5Þ. Er soll durch eine schräge 

Platte, die am Boden bei Að0j16,25j0Þ und Bð 12 j16,25j0Þ verankert ist und in den 

Punkten Cð0j5j15Þ und Dð 12j5j15Þ durch senkrechte Streben gestützt wird, abgedeckt 

werden. 

a) Wie lautet die Gleichung der Kugel K 

im gegebenen Koordinatensystem? 

z 

b) Wie lautet die Gleichung der Schutzplattenebene 

E? 

D 

c) Wie groß ist der Sicherheitsabstand 

zwischen Schutzplatte E und Kugel K? 

C 

d) Die Schutzplatte E soll aus Kostengründen 

durch eine parallele Platte H 

F 

ersetzt werden, welche die Kugel berührt. 

Wo liegt der Berührpunkt F? 

B 

Wo liegen nun die Bodenverankerungspunkte? 

Auf welche Länge müssen 

die Stützstreben verkürzt 

x 

A y 

werden? 

15. Gegeben ist die abgebildete Dreiecksfläche 

mit den Ecken Að4j0j0Þ, 

Bð0j4j0Þ, Cð0j0j2Þ. 

In dieser Fläche befindet sich ein kreisförmiges 

Loch um den Mittelpunkt 

M 0 ð1j1j1Þ mit dem Radius r 0 ¼ 1. 

In dieses Loch wird p eine Kugel K mit 

dem Radius r ¼ 


10 gelegt. 

Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der 

Kugel K. 

x 

z 

M' k' 

M 

K 

y

476 

XVII. Kugeln 

E. Zusammengesetzte Aufgaben 

1. Kugel und Ebene 

K 

E K' 

Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt 

Mð2j2j2Þ mit dem Radius 

M' 

M 

r ¼ 5 sowie die Ebene 

E: 2x y þ 2z¼ 11. 

a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung 

der Kugel K. 

r' g 

r . 

M' 

b) Welchen Abstand hat der Kugelmittelpunkt 

M von der Ebene E? 

M 

d 

c) Begründen Sie mit dem Ergebnis 

von b), dass K und E sich schneiden. 

d) Wie lautet die Gleichung der Geraden 

g, welche durch M geht und 

senkrecht auf E steht? 

Bestimmen Sie den Mittelpunkt M 0 des Schnittkreises als Schnittpunkt von g und E. 

e) Bestimmen Sie den Radius r 0 des Schnittkreises anhand der Vorergebnisse und der Abbildung. 

Schnittkreis K' 

2. Kugel und Tangentialebene 

F 

Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt 

Mð2j2j0Þ mit dem Radius 

F ' 

r ¼ 5 sowie der Punkt Pð2j6j3Þ. 

P 

M 

a) Zeigen Sie, dass der Punkt P auf der 

Kugel liegt. 

P' 

b) Bestimmen Sie die Gleichung der 

Tangentialebene F, welche die Kugel 

in P berührt. 

M* 

K* 

c) Wie lautet die Gleichung einer zweiten 

Tangentialebene F 0 , die parallel 

K M 

F 

zu F ist? 

Wo berührt sie die Kugel? 

d) Die Kugel K wird an der Ebene F gespiegelt. Wie lautet die Gleichung der Spiegelkugel 

K*? 

3. Eine kugelförmige Beobachtungsstation mit einem 

Durchmesser von 10 m und dem Mittelpunkt 

Mð0j0j12Þ wird von vier Stahlstützen wie dargestellt getragen. 

Die Stahlstützen verlaufen in Richtung der Kanten 

einer quadratischen Pyramide mit der Spitze M. 

a) Wo sind die Sützen mit der Kugel verbunden? 

b) In 16 m Höhe über dem Erdboden befindet sich die 

oberste Geschossebene der Station. Welche Grundfläche 

hat dieses Geschoss? 

−9 

x 

9 

z 

−9 

9 

y


4. Gegeben sind die Ebene E: 2xþ3yþ6z¼29, die Kugel K: ðxþ2Þ 2 þðy 5Þ 2 þðz 3Þ 2 ¼196 

sowie die Punkte Pð 2j7j23Þ und Qð4j9j15Þ. 

a) Bestimmen Sie den Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E. 

Welche gegenseitige Lage von E und K ergibt sich hieraus? 

b) Gesucht sind der Mittelpunkt M 0 und der Radius r 0 des Schnittkreises k 0 von E und K. 

c) Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden zu E parallelen Tangentialebenen E 1 und E 2 der 

Kugel K. 

d) Die Gerade h durch die Punkte P und Q durchdringt die Kugel K. 

Wie lang ist die Durchdringungsstrecke AB? 

e) Es gibt zwei Ebenen F 1 und Fp 

2 , ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi die parallel zur Ebene E verlaufen und die Kugel in 

Schnittkreisen mit dem Radius 183,75 schneiden. 

Bestimmen Sie Gleichungen von F 1 und F 2 . 

5. Ein Hersteller von Kugellagern hat auf 

dem geneigten Dach seiner Fabrikationshalle 

z 

ein riesiges Kugelmodell auf- 

gestellt. Die Dachfläche kann durch die 

Ebene E: x þ 2yþ 2z¼ 10 beschrieben 

C 

werden. 

a) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte 

A, B, C der Ebene E. 

B y 

b) Weisen Sie nach, dass der Punkt 

F 

Fð2j4j0Þ der Fußpunkt des Lotes 

vom Punkt C auf die Gerade g AB 

x 

durch die Punkte A und B ist. 

A 

c) Ein Kugelmodell mit r ¼ 3 m ist im Punkt C tangential an der Ebene E fixiert. Bestimmen 

Sie den Kugelmittelpunkt M. 

d) Beim Austauschen der Kugel rollt sie auf der Geraden g CF durch die Punkte C und F die 

Ebene E hinab. Auf welcher Geraden h bewegt sich dabei ihr Mittelpunkt? 

e) Die Kugel setzt schließlich auf der x-y-Ebene auf. Wie lauten die Koordinaten des Aufsetzpunktes? 

6. Gegeben sind die Kugel K: ðx 2Þ 2 þy 2 þðz 2Þ 2 ¼ 25 sowie die Ebene E: 2x 2yþz ¼ 15. 

a) Weisen Sie nach, dass die Ebene E die Kugel K schneidet. 

b) Bestimmen Sie den Mittelpunkt M 0 und den Radius r 0 des Schnittkreises k 0 von E und K. 

c) Gesucht ist die Gleichung einer zweiten Kugel K*, die den gleichen Radius wie K besitzt 

und E ebenfalls im Schnittkreis k 0 schneidet. 

d) Prüfen Sie, ob eine der beiden Kugeln K oder K* den Ursprung enthält. 

e) Bestimmen Sie z so, dass der Punkt Pð2j3jzÞ auf der Kugel K liegt. 

f) Gesucht ist derjenige Punkt A der Kugel K, welcher den geringsten Abstand zur Ebene 

F: 8x þ 6z¼ 103 besitzt. Welcher Ebenenpunkt B von F liegt dem Punkt A am nächsten?

478 

XVII. Kugeln 

7. Gasspeicher 

A 

P 

M 

T 

S 

B 

Am Flussufer liegt ein kugelförmiger Gasspeicher. 

(Mittelpunkt Mð22j 8j8Þ, Radius r ¼ 7, Angaben in m). 

a) Wo liegt der höchste bzw. der tiefste Punkt des Speichers? 

b) Vom Pumpwerk Pð 2j4j0Þ führt eine Pipeline in Richtung des Mittelpunktes M. 

Wo trifft sie auf den Speicher? Wie lang ist sie? Welche Neigung hat sie? 

c) Über der Strecke AB mit Að6j 10j0Þ und Bð14 j6j0Þ erhebt sich eine senkrechte Schutzmauer. 

Wie lautet ihre Ebenengleichung? Wie weit ist die Mauer von dem Kugelmittelpunkt 

entfernt? Wo durchdringt die Pipeline die Mauer? 

d) Der Speicher soll neu gestrichen werden.Die Farbschicht soll 1 mm dick sein. Ein Liter Farbe 

kostet 10 Euro. Reicht der Farbetat von 5000 Euro aus? 

8. Flugüberwachung 

D 

A 

B 

P 

Q 

NEW MEXIKO 

ARIZONA 

M 

C 

L 

Eine Raumfähre passiert bei ihrem Landeanflug die Koordinaten Að18j 13j12Þ und 

Bð10j 8j9Þ. Im Punkt Mð0j0j0Þ steht eine Radarstation, die einen halbkugelförmigen Raumbereich 

mit dem Radius r ¼ 7 erfasst. 

Die Fluggeschwindigkeit der Raumfähre beträgt 595 km/h. 1 LE entspricht 1 km. 

a) An welchen Koordinaten P und Q dringt die Fähre in den überwachten Radarbereich ein bzw. 

verlässt sie ihn? Wie lange dauert der Durchflug in Sekunden angenähert? 

b) In welchem Punkt L setzt die Fähre voraussichtlich auf? 

c) In welcher Höhe überfliegt die Fähre die Staatsgrenze, die zwischen Cð 13j 4,5j0Þ und 

Dð 7j13,5 j0Þ verläuft?

2. XVII. Kugeln, Kugeln Geraden und Ebenen 479 

Überblick 

Vektorgleichung der Kugel: 

Eine Kugel K mit dem Mittelpunkt Mðm 1 jm 2 jm 3 Þ 

und dem Radius r hat die Gleichung: 

K: j~x ~mj¼r oder K: ð~x ~mÞ 2 ¼ r 2 

Koordinatengleichung der Kugel: 

K: ðx m 1 Þ 2 þðy m 2 Þ 2 þðz m 3 Þ 2 ¼ r 2 x 

Relative Lage von Kugel und Gerade: 

Eine Gerade g im Raum kann Passante, Tangente 

oder Sekante einer gegebenen Kugel sein. 

Man prüft dies durch Einsetzen der Geradenkoordinaten 

in die Kugelgleichung. 

Relative Lage von Kugel und Ebene: 

Um die gegenseitige Lage der Kugel K (Mittelpunkt M, Radius r) und der Ebene E zu bestimmen, 

berechnet man den Abstand d des Kugelmittelpunktes von der Ebene E. 

1. Fall: kein Schnittpunkt 2. Fall: Berührpunkt 3. Fall: Schnittkreis 

z 

Sekante 

K 

x 

m 

X 

M 

Tangente 

Passante 

y 

r 

M 

d 

E 

F 

r 

M 

d 

E 

F 

r 

M 

d 

F 

E 

Ist d > r, so schneiden sich Ebene 

E und Kugel K nicht. 

Der Lotfußpunkt F hat den kleinsten 

Abstand zur Kugel K. 

Ist d ¼ r, so berührt die Ebene E 

die Kugel K im Fußpunkt F des 

Lotes von M auf E. 

E ist eine Tangentialebene von K. 

Ist d < r, so schneidet die Ebene E 

die Kugel K in einem Kreis k 0 , 

den man als Schnittkreis von Kugel 

und Ebene bezeichnet. 

Schnittkreis von Kugel und Ebene: 

Ist der Abstand d ¼jFMj einer Ebene vom Mittelpunkt M einer Kugel kleiner als derenpRadius r, 

so ist das Schnittgebilde ein Kreis k 0 mit dem Mittelpunkt M 0 ¼ F und dem Radius r 0 ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

r 2 d 2 . 

Die Koordinaten von M 0 berechnet man mit einem Lotfußpunktverfahren. 

(Das gesamte Berechnungsverfahren ist auf den Seiten 186–187 detailliert dargestellt.) 

Tangentialebene einer Kugel: 

Die Tangentialebene E, die die Kugel K um den 

Mittelpunkt M in Punkt B berührt, hat die Gleichung: 

E: ð~x ~bÞð~b ~mÞ¼0. 

x 

z 

x 

X 

b 

m 

M 

B 

K 

E 

y

480 

XVII. Kugeln 

Kugeln 

Test 

1. Stellen Sie eine Gleichung der Kugel K um den Mittelpunkt Mð1j4j2Þ mit dem Radius r ¼ 9 

auf. 

Prüfen Sie, ob die Punkte Að3j1j8Þ und Bð2j 4j6Þ innerhalb, auf oder außerhalb der Kugel 

K liegen. 

! 

2. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g: ~x ¼ 10 6 þ s 

K: x 2 þðy 3Þ 2 þðz þ 2Þ 2 ¼ 121: 

14 

! 

8 

3 und der Kugel 

7 

3. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebene E: 2x 6yþ 9z¼ 98 und der Kugel 

K: ðx þ 4Þ 2 þðy 4Þ 2 þðz 1Þ 2 ¼ 484: 

Berührt, verfehlt oder schneidet die Ebene die Kugel? 

4. Die Ebene E: 4xþ7yþ4z¼91 schneidet die Kugel K:ðx 2Þ 2 þðy 2Þ 2 þðz 1Þ 2 ¼324. Bestimmen 

Sie den Mittelpunkt M 0 und den Radius r 0 des Schnittkreises k 0 . 

5. Zeigen Sie, dass die Ebene E 1 : 3xþ 4y 12z ¼ 55 eine Tangentialebene der Kugel 

K: ðx 6Þ 2 þ y 2 þðz 8Þ 2 ¼ 169 ist. 

Bestimmen Sie den Berührpunkt von E 1 und K. 

Welche zur Ebene E 1 parallele Ebene E 2 ist ebenfalls Tangentialebene von K? 

6. Stellen Sie eine Gleichung derjenigen Kugel K auf, welche den Punkt Að1j5j8Þ enthält und 

die y-z-Ebene im Punkt Bð0j4j4Þ berührt. 



Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist 

die Normalverteilung. Es besteht ein enger Zusammenhang 

zur Binomialverteilung für große Stichprobenumfänge. 

In der Praxis bietet sich deshalb die Normalverteilung 

als Approximation für die Binomialverteilung an. 

y 

x

600 


1. Die Normalverteilung 

Die zur Auswertung von Bernoulli-Ketten verwendeten Tafelwerke zu Binomialverteilungen 

können nur eine kleine Auswahl von Kettenlängen abdecken. In diesem Buch sind Tabellen für 

Bernoulli-Ketten der Längen n ¼ 1 bis n ¼ 20 sowie n ¼ 50, n ¼ 80 und n ¼ 100 dargestellt. 

In der Praxis kommen natürlich auch Bernoulli-Ketten vor, die durch diese Tabellen nicht erfasst 

werden, z. B. sehr lange Bernoulli-Ketten. 

Soll beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt werden, dass beim 500-maligen 

Werfen einer fairen Münze höchstens 260-mal Kopf kommt, so ist der Wert F(500; 0,5; 260) 

der kumulierten Binomialverteilung zu berechnen. Eine Tabelle für die Kettenlänge n ¼ 500 

steht uns nicht zur Verfügung. Die direkte Berechnung des Wertes F(500; 0,5; 260) ist so zeitaufwändig, 

dass wir einen Computer einsetzen müssen. Aber auch der CAS-Taschenrechner 

benötigt für diese Berechnung bereits ca. 3 Minuten. Bei entsprechend langen Ketten ist schließlich 

auch ein CAS ohne Chance. 

Dennoch müssen wir nicht passen, denn es gibt die Möglichkeit, die Werte aller kumulierten 

Binomialverteilungen bei genügend großem Stichprobenumfang näherungsweise durch Funktionswerte 

einer einzigen relativ einfachen Funktion F darzustellen. Im Folgenden wird der 

nicht ganz einfache Prozess dargestellt, der schließlich zu dieser Funktion führt. 

A. Die Standardisierung der Binomialverteilung 

Die Gestalt des Histogramms zu einer 

binomialverteilen Zufallsgröße X hängt 

nur von den Parameters n und p ab. Diese 

bestimmen die Anzahl und die Höhe der 

Säulen sowie die Position der höchsten 

Säule, während die Säulenbreite stets 1 

ist, sodass die Fläche der Säule Nr. k gleich 

B(n; p; k) ist. 

Halten wir die Grundwahrscheinlichkeit p 

fest, so ist Folgendes zu beobachten: 

1. Mit wachsendem n rückt die höchste 

Säule des Histogramms weiter nach 

rechts. 

Der Erwartungswert m ¼ EðXÞ¼n p 

wächst mit n an. 

2. Mit wachsendem n wächst die Anzahl 

der Säulen des Histogramms an, das 

Histogramm wird breiter und flacher. 

Die Streuung, d.h. p die Standardabweichung 

sðXÞ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

n p ð1 pÞ wird mit 

n größer. 

P(X = k) 

0,2 

0,2 

0 1 2 3 4 k 

P(X = k) 

0,2 

0 1 2 3 4 5 6 7 k 

P(X = k) 

p = 0,5 

n = 4 

μ = 2 

s = 1 

p = 0,5 

n = 8 

μ = 4 

s = √2 

p = 0,5 

n = 12 

μ = 6 

s = √3 

0 2 4 6 8 10 k

1. Die Normalverteilung 601 

Wird der Stichprobenumfang n für eine 

feste Grundwahrscheinlichkeit p weiter 

vergrößert, so nähert sich die Form des Histogramms 

im Grenzfall einer „Glockenkurve“ 

an. 

Es ergeben sich dabei je nach Wert von p 

unterschiedliche Glockenkurven. 

P(X = k) 

0,1 

10 20 30 

p = 0,5 

n = 50 

k 

Allerdings kann man eine sogenannte Standardisierung durchführen. Dabei wird durch eine 

geeignete Transformation allen Histogrammen eine relativ einheitliche Form und Lage verpasst. 

Noch wichtiger ist, dass die transformierten Histogramme sich mit wachsendem n allesamt 

unabhängig von p ein und derselben „Glockenkurve“ anpassen. 

Der Standardisierungsprozess 

Schritt 1: Durch einen ersten Übergang 

von der Zufallsgröße X zur Zufallsgröße 

Y ¼ X m wird der Erwartungswert nach 

0 verschoben. Das mit wachsendem n zu 

beobachtende Auswandern des Histogramms 

nach rechts wird vermieden. 

Schritt 2: Anschließend sorgt ein weiterer 

Übergang zu Z ¼ X m dafür, dass die 

s 

Standardabweichung auf 1 normiert wird. 

Der wesentliche Teil des Histogramms 

bleibt dann unabhängig von n stets etwa 

gleich breit. 

Die Streifenbreiten verändern sich allerdings 

von 1 auf 

1 

sðXÞ . 

Der Erwartungswert wird nicht weiter beeinflusst. 

Er bleibt bei 0. 

Schritt 3: Zum Ausgleich der Streifenbreitenänderung 

werden die Streifenhöhen 

mit s(X) multipliziert. 

Dadurch erreicht man, dass die Streifenflächeninhalte 

gleich bleiben, sodass 

Streifen Nr. k auch in der standardisierten 

Form den Flächeninhalt B(n; p; k) besitzt. 

Die rechts dargestellte Bildfolge verdeutlicht 

das Verhalten einer standardisierten 

Zufallsvariablen für wachsendes n. 

Die unten dargestellten Histogramme sind 

die standardisierten Formen der auf der 

vorherigen Seite abgebildeten Histogramme. 

Beachten Sie die mit wachsendem 

n eintretende Annäherung an die eingezeichnete 

Glockenkurve. 

P(Z = z) 

0,4 

-3 -2 -1 1 2 3 z 

P(Z = z) 

0,4 

P(Z = z) 

0,4 

p = 0,5 

n = 4 

p = 0,5 

n = 8 

-3 -2 -1 1 2 3 z 

p = 0,5 

n = 12 

-3 -2 -1 1 2 3 

z

602 


B. Die Näherungsformel von Laplace und de Moivre 

Jede binomialverteilte Zufallsgröße X 

kann in der beschriebenen Weise standardisiert 

werden. Das Histogramm der zugehörigen 

standardisierten Zufallsgröße Z 

kann in jedem Fall durch ein und diesselbe 

Glockenkurve approximiert (angenähert) 

werden. Es handelt sich um die sogenannte 

Gauß’sche Glockenkurve. 

Sie ist nach dem Mathematiker und Astronomen 

Carl Friedrich Gauß (1777–1855) 

benannt, der sie im Zusammenhang mit 

der Fehlerrechnung entdeckte. 

Ihr Graph ist rechts abgebildet. Ihre Funktionsgleichung 

lautet: 

Gaußsche Glockenkurve 

jðtÞ¼ 

p 

1 ffiffiffiffiffiffi 

2 p 

e 1 2 t2 

Mithilfe der Funktion j kann das Histogramm 

einer binomialverteilten Zufallsvariablen 

mit hoher Genauigkeit angenähert 

werden, wenn die sogenannte 

Laplace-Bedingung erfüllt ist: 

ϕ 

ϕ(t) = 

1 

2π 

e −0,5t2 

Laplace-Bedingung 

p 

s ¼ 


n p ð1 pÞ > 3 

0,1 

−3 −2 −1 1 2 3 

Satz XXII.1: Die lokale Näherungsformel von Laplace und De Moivre p 

Die binomialverteilte Zufallsgröße X erfülle die Laplace-Bedingung s ¼ 


n p ð1 pÞ > 3. 

Dann giltp 

die folgende Näherungsformel für B(n; p; k), wobei m ¼ n p der Erwartungswert 

und s ¼ 


n p ð1 pÞ die Standardabweichung von X sind: 

PðX ¼ kÞ¼B(n;p; k) p 1 ffiffiffiffiffiffi e 1 2 z2 ¼ 1 k m 

jðzÞ mit z ¼ 

s 2 p s s 

602-1 

Übung 1 

p ffi 

Definieren sie auf einem CAS die Funktion j z. B. durch e^(–t^2/2)/ (2 p) § phi (t) und 

verwenden Sie phi (t) zur Darstellung des Graphen. Wie kann phi(t) für Berechnungen mit der 

lokalen Näherungsformel genutzt werden?


c 

................................................................................................................. 

c 

Beispiel: Geben Sie die Tabellenwerte und die Näherungswerte der Gauß’schen Glockenkurve 

für die folgenden Ereignisse an: 

a) Bei 100 Würfen einer Laplace-Münze erscheint genau 50-mal Wappen. 

b) 100 Würfe mit einem Laplace-Würfel ergeben exakt 20 Sechsen. 

Lösung: 

Die Werte B(n; p; k) der Binomialverteilung 

erhalten wir aus den Tabellen zur 

kumulierten Binomialverteilung, indem 

wir die dort notierten Wahrscheinlichkeiten 

der Ereignisse X k und X k 1 

voneinander subtrahieren: 

PðX ¼ kÞ¼PðX kÞ PðX k 1Þ. 

Für die Näherungslösung der Gauß’schen 

Glockenkurve berechnen wir zunächst den 

Wert, den die Hilfsgröße z ¼ k m annimmt. 

Dann setzen wir in die Näherungs- 

s 

formel ein. 

Im ersten Fall erhalten wir fast völlige 

Übereinstimmung der Näherungslösung 

mit der exakten Lösung. 

Im 2. Fall beträgt die Abweichung ca. 6 %. 

Das liegt daran, dass hier die Laplace- 

Bedingung nur knapp erfüllt ist. 

zu a: n ¼ 100; p ¼ 0;5; k ¼ 50 

m ¼ 50; s ¼ 5 

Tabelle: 

B(100; 0,5; 50) 

=F(100; 0,5; 50) – F(100; 0,5; 49) 

0,0796 

Gauß’sche Glockenkurve: 

z ¼ k m 50 50 

¼ ¼ 0 

s 5 

B(100; 0,5; 50) 

1 s jð0Þ¼ p 1 ffiffiffiffiffi ¼ 0,0798 

5 

2p 

zu b: n ¼ 100; p ¼ 1 ;k¼ 20 

6 

m 16,67; s 3,7268 

Tabelle: 

Bð100; 1 6 ;20Þ0,0678 

Gauß’sche Glockenkurve: 

z ¼ k m 20 16,67 

0,8935 

s 3,7268 

Bð100; 1 6 ;20Þ1 s jð0,8935Þ0,0718 

Übung 2 

a) 3 % der elektronischen Bauteile entsprechen nicht der Norm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit 

sind in einer Charge von 500 Teilen genau 12 defekt? 

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 1000 Roulette-Spielen genau 500-mal die 

Kugel auf einem schwarzen Feld liegen bleibt? 

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben genau 2 der 968 Schüler der Schule am 24. Dezember 

Geburtstag? Ermitteln Sie den exakten Wert sowie die Näherungslösung mithilfe der Gauß’- 

schen Glockenkurve. 

Übung 3 

X sei eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n ¼ 10 und p ¼ 0,4. 

Z sei die zugehörige standardisierte Zufallsgröße. 

a) Zeichnen Sie das Histogramm der Verteilung der Zufallsgröße X. 

b) Bestimmen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von X. 

c) Welche Werte kann die standardisierte Zufallsgröße Z annehmen? 

d) Stellen Sie das Histogramm der Verteilung der standardisierten Zufallsgröße Z und die 

Gauß’sche Glockenkurve in einem Diagramm dar.

604 


C. Die globale Näherungsformel von Laplace und de Moivre 

Eine Zufallsgröße, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung die Gauß’sche Glockenkurve ist, wird 

als normalverteilte Zufallsgröße bezeichnet. Binomialverteilte Zufallsgrößen sind für großes n 

annähernd normalverteilt. 

Im Folgenden betrachten wir die kumulierte 

Binomialverteilung. 

F(n; p; k) kann wegen 

F(n; p; k) ¼ B(n; p; 0) þ...þ B(n;p; k) 

als Summe der Flächeninhalte der Säulen 

Nr. 0 bis Nr. k der Binomialverteilung 

gedeutet werden. 

Man kann aber auch die entsprechenden 

Säulen der zugehörigen standardisierten 

Form verwenden, da diese inhaltsgleich 

sind (siehe auch Seite 601). 

Diese Fläche wiederum kann durch 

diejenige Fläche unter der Gauß’schen 

Glockenkurve approximiert werden, die 

sich von t ¼ 1bis t ¼ z erstreckt, wobei 

z ¼ k m þ 0,5 der rechte Randwert der standardisierten 

Säule Nr. k ist. 

s 

Der angegebene Wert der Hilfsgröße z ergibt 

sich, wenn zur Mitte der k-ten Säule – 

also zu k m 

1 

– die halbe Säulenbreite 

s 2s addiert 

wird. Diese Stetigkeitskorrektur ist 

notwendig, um die Fläche der k-ten Säule 

vollständig zu berücksichtigen. 

Den Flächeninhalt kann man als Integral 

von j berechnen. Für das entsprechende 

Integral von 1 bis z verwendet man abkürzend 

die Bezeichnung F(z). 

Die Funktion F heißt Gauß’sche Integralfunktion. 

604-1 

P(X = k) 

F(n;p;k) 

2 4 6 8 10 k 14 

F(n;p;k) 

F(n;p;k) 

P(Z = z) 

−4 −2 4 

k−μ 

σ 

Φ(z) 

ϕ(z) 

k−μ+0,5 

z = σ 

Gaußsche Integralfunktion 

ð z 

FðzÞ¼p 

1 ffiffiffiffiffi e 1 2 t2 dt 

2p 

1 

k 

z 

z 

Weil man F nicht durch elementare Funktionen ausdrücken kann, sind die Werte dieser wichtigen 

Funktion im Tabellenteil auf Seite 715 als „Normalverteilung“ tabelliert. Ein CAS ermittelt 

solche Integralwerte durch numerische Integration. In der folgenden Übung soll die Integralfunktion 

auf CAS definiert werden. Da der Flächeninhalt unter der Glockenkurve insgesamt 

gleich 1 ist, folgt Fð0Þ¼0,5. Diese Eigenschaft nutzen wir bei der neuen CAS-Funktion iphi (z). 

Übung 4 

Definieren Sie auf einem CAS die Funktion F z. B. durch 0.5+ Ð phi ((t),t,0,z) § iphi(z).


Möchte man für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parametern n und p die kumulierte 

Wahrscheinlichkeit PðX kÞ¼F(n; p; k) näherungsweise berechnen, so geht man in der 

Praxis nach folgendem Rezept vor, das als Näherungsformel von Laplace bekannt ist. 

Satz XXII.2: Die globale Näherungsformel von Laplace und de Moivre 

für Binomialverteilungen 

p 

1. Prüfe, ob die Laplace-Bedingung s ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

n pð1 pÞ > 3 grob erfüllt ist. 

2. Bestimme die obere Integrationsgrenze z ¼ k m þ 0,5 ¼ p k ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

n p þ 0,5 . 

s n p ð1 pÞ 

3. Lies aus der Tabelle der „Normalverteilung“ den Funktionswert F (z) ab. 

Dann gilt die Näherung: P(X k)=F(n; p; k) F(z) 605-1 

Anhand eines typischen Beispiels erkennt man, wie die Laplace’sche Näherungsformel unter 

Verwendung der Tabelle zur Gauß’schen Integralfunktion praktisch eingesetzt wird. 

c 

....................................................................................................................... 

c 

Beispiel: Einführendes Beispiel zur Näherungsformel von Laplace 

Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei 100 Würfeln mit einer fairen Münze 

höchstens 52-mal Kopf kommt. Verwenden Sie die Näherungsformel von Laplace. 

Lösung: 

X sei die Anzahl der Kopfwürfe beim 100- 

maligen Münzwurf. 

X ist binomialverteilt mit den Parametern 

n ¼ 100 (Länge der Bernoulli-Kette) und 

p ¼ 0,5 (Wahrscheinlichkeit für Kopf bei 

einmaligem Münzwurf). 

Gesucht ist PðX 52Þ¼F(100; 0,5; 52). 

Die Näherungsformel von Laplace und de 

Moivre ist anwendbar, da die Bedingung 

s > 3 erfüllt ist. 

Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 

annähernd gleich F(z), wobei der Wert 

des Arguments z mithilfe der angegebenen 

Formel errechnet werden muss. 

Wir erhalten z ¼ 0,50. 

Nun lesen wir aus der Tabelle zur Normalverteilung 

(Seite 715) den Funktionswert 

F(0,50) ab und erhalten folgendes Endresultat: 

PðX 52ÞFð0,50Þ0,6915 ¼ 69,15%. 

Das Ergebnis stimmt fast mit dem Tabellenwert 

F(100; 0,5; 52) ¼ 0,6914 überein. 

Gesuchte Wahrscheinlichkeit: 

X ¼ Anzahl der Kopfwürfe bei 100 

Münzwürfen 

PðX 52Þ¼Fð100; 0,5; 52Þ 

Anwendbarkeit der Näherungsformel: 

p 

s ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

n p ð1 pÞ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

100 0,5 0,5 

p 

¼ 


25 > 3 

Bestimmung der Hilfsgröße z: 

z ¼ k m þ 0,5 52 50 þ 0,5 

¼ 

s 

5 

¼ 2,5 

5 ¼ 0,50 

Bestimmung von F(z) mittels Tabelle: 

Fð0,50Þ0,6915 

Vergleich mit der Tabelle zur kumulierten 

Binomialverteilung: 

F(100; 0,5; 52) ¼ 0,6914

606 


2. Anwendung der Normalverteilung 

A. Bestimmung von P(X k) = F(n; p; k) für großes n 

Anhand eines typischen Beispiels kann man am besten erkennen, wie die globale Näherungsformel 

von Laplace und de Moivre für Binomialverteilungen unter Verwendung der Tabelle zur 

Gauß’schen Integralfunktion oder eines CAS praktisch eingesetzt wird. 

c 

....................................................................................................................... 

c 

Beispiel: Ein fairer Würfel wird 1200-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen 

a) höchstens 10 % mehr Sechsen als die zu erwartende Anzahl, 

b) mindestens 5 % weniger Sechsen als die zu erwartende Anzahl? 

Lösung: 

Theoretisch sind 200 Sechsen zu erwarten. 

Gesucht ist also 

a) PðX 220Þ, b) PðX 190Þ, 

wobei X die Anzahl der in den 1200 

Würfeln fallenden Sechsen sei. 

Die Näherungsformel ist anwendbar, denn 

es gilt: p 

s ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 

n p ð1 pÞ > ffiffiffiffiffiffiffi 

166 > 3. 

Nebenstehende Rechnung liefert: 

a) PðX 220ÞFð1,59Þ, 

b) PðX 190ÞFð 0,74Þ. 

Tritt ein negatives Argument auf, ist die 

Funktionalgleichung Fð zÞ¼1 FðzÞ 

hilfreich, so dass auch bei b) die Tabelle 

zur Normalverteilung (Seite 715) verwendet 

werden kann. Wir erhalten als Resultate: 

a) PðX 220Þ94,41%, 

b) PðX 190Þ22,97%. 

Die genauen Werte betragen übrigens 

a) 94,24 % und b) 23,21 %. 

Gesuchte Wahrscheinlichkeiten: 

 

 

PðX 220Þ¼F 1200; 1 6 ; 220 

 

 

PðX 190Þ¼F 1200; 1 6 ; 190 

Bestimmung der Hilfsgröße z: 

a) z ¼ 

b) z ¼ 

220 200 þ 0,5 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1200 1 6 5 6 

q 1,59 

190 200 þ 0,5 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1200 1 6 5 6 

q 0,74 

Anwendung der Näherungsformel: 

a) PðX 220ÞFð1,59Þ¼94,41% 

b) PðX 190ÞFð 0,74Þ 

¼ 1 Fð0,74Þ 

1 0,7703 

¼ 0,2297 ¼ 22,97% 

Übung 1 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt bei 500 Münzwürfen höchstens 260-mal Kopf? 

Übung 2 

Eine Maschine produziert Knöpfe mit einem Ausschussanteil von 3%. Ein Abnehmer macht 

eine Stichprobe, indem er 1000 Knöpfe prüft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet er 

a) nicht mehr als 42 ausschüssige Knöpfe, b) höchstens 25 ausschüssige Knöpfe?

2. Anwendung der Normalverteilung 607 

Übung 3 

In einem Spiel wird eine Münze 80-mal geworfen. Erzielt man höchstens 40-mal Kopf, so hat 

man gewonnen. Berechnen Sie zunächst die Gewinnwahrscheinlichkeit mithilfe der Formel von 

Laplace näherungsweise. Wie groß ist der exakte Wert? 

a) Die Münze ist fair. b) Die Münze ist gefälscht mit P(Kopf) ¼ 0,6. 

Die inhaltlichen Konsequenzen des folgenden Beispiels sind von großer Praxisrelevanz. Es 

zeigt, in welchem Maße eine entschlossene Minderheit Entscheidungsfindungen in ihrem Sinn 

beeinflussen kann. 

c 

.................................................................................................................. 

c 

Beispiel: Die Dominanz einer Minderheit über eine Mehrheit 

Die 200 Mitglieder des Tennis-Clubs möchten einen Pressesprecher wählen. Es melden sich 

nur zwei Bewerber, Hein und Johann. Es handelt sich um einfache Mehrheitswahl ohne die 

Möglichkeit der Enthaltung. Die beiden Kandidaten haben bisher kein Profil erworben, sodass 

die Wahlchancen ausgeglichen erscheinen. 

Kurz vor der Wahl gewinnt Hein die Clubmeisterschaft. Das beeindruckt 20 Clubmitglieder 

so sehr, dass diese spontan beschließen, ihre Stimmen geschlossen für Hein abzugeben. Wie 

verändern sich dadurch die Wahlchancen der beiden Kandidaten? 

Lösung: 

Hein wird gewählt, wenn er insgesamt 101 

Stimmen auf sich vereint. Da ihm 20 Stimmen 

ohnehin sicher sind, reichen ihm 81 

Stimmen der verbleibenden 180 Stimmberechtigten. 

Die Wahrscheinlichkeit, dass 

er diese Stimmen erhält oder übertrifft, 

ist gegeben durch 

PðX 81Þ¼1 PðX 80Þ 

¼ 1 Fð180; 0,5; 80Þ 

1 Fð 1,42Þ 

¼ Fð1,42Þ0,9222. 

Johann hat nur noch eine Restchance von 

7,78 % (exakte Rechnung: 7,83%). 

X: Anzahl der Stimmen für Hein aus dem 

Kreis der Unentschlossenen 

Binomialverteilung: n ¼ 180; p ¼ 0,5 

Berechnung der Hilfsgröße z: 

z ¼ k m þ 0,5 ¼ 

s 

Tabellenwert: 

80 90 þ 0,5 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

180 1 2 1 2 

q 1,42 

Fð1,42Þ¼0,9222 

Der kleinen 10%-Minderheit von 20 Personen ist es also gelungen, die zunächst ausgeglichenen 

Wahlchancen auf ca.12:1 zu Gunsten von Hein zu steigern. 

Übung 4 

Eine Volksabstimmung soll mit einfacher Mehrheit über eine Gesetzesänderung entscheiden, 

der die rund 4 Millionen Stimmberechtigten recht gleichgültig gegenüberstehen. Allerdings ist 

eine relativ kleine Interessengruppe von ca. 3000 Personen wild entschlossen, gegen die Gesetzesänderung 

zu stimmen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit setzt die Minderheit ihren Willen 

durch?

608 


B. Bestimmung von P(k 1 X k 2 ) für großes n 

In der statistischen Praxis sind häufig Wahrscheinlichkeiten der Form Pðk 1 X k 2 Þ zu berechnen. 

Auch in diesen Fällen kann die Näherungsformel von Laplace für binomialverteilte 

Zufallsgrößen angewandt werden, sofern die Laplace-Bedingung erfüllt ist. 

In solchen Fällen wendet man die Laplace-Formel zweimal an: 

Pðk 1 X k 2 Þ¼Fðn; p; k 2 Þ Fðn; p; k 1 1ÞFðz 2 Þ Fðz 1 Þ 

mit den Hilfsgrößen z 2 ¼ k 2 m þ 0,5 

s 

und z 1 ¼ k 1 1 m þ 0,5 

s 

¼ k 1 m 0,5 

. 

s 

c 

......................................................................................................................... 

Beispiel: Im Automobilwerk sind 300 Mitarbeiter in der Produktion beschäftigt. Der Krankenstand 

liegt bei 5 %. 

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12 und höchstens 20 Personen erkrankt 

sind? 

b) Die Produktion verläuft nur reibungslos, wenn an allen 300 Plätzen gearbeitet wird. Um 

die krankheitsbedingten Ausfälle zu kompensieren, gibt es eine „Springergruppe“, deren 

Mitglieder bei Bedarf einspringen. Wie viele Personen müssen bereitstehen, um mit mindestens 

99 % Sicherheit eine reibungslose Produktion sicherzustellen? 

Lösung: 

a) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit 

Pð12 X 20Þ, wobei X die Anzahl 

der erkrankten p Mitarbeiter ist. Wegen 

s ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 14,25 > 3 ist die Anwendung 

der Näherungsformel berechtigt. Die 

nebenstehende Rechnung liefert: 

Pð12 X 20ÞFð1,46Þ Fð 0,93Þ 

¼ Fð1,46Þ ð1 Fð0,93ÞÞ 

¼ 0,9279 ð1 0,8238Þ 

0,7517 ¼ 75,17%. 

c 

b) Die Tabelle zur Normalverteilung 

zeigt, dass FðzÞ0,99 für z 2,33 

gilt. 

Dieses erlaubt den Rückschluss, welche 

Werte k für die Zufallsgröße X 

nun erlaubt sind. 

Ergebnis: Stehen mindestens 24 Personen 

in Reserve, so ist die Produktion zu 

99% sichergestellt. 

Pð12 X 20Þ¼PðX 20Þ PðX 11Þ 

¼ F(300; 0,05;20) – F(300; 0,05; 11) 

Hilfsgrößen: 

m ¼ 15 

p 

s ¼ 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 14,25 

20 15 þ 0,5 

z 2 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

1,46 

z 1 ¼ 

Ansatz: 

14,25 

12 15 0,5 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

14,25 

p 0,93 

PðX kÞFðzÞ0,99 

) z 2,33 (Tabelle) 

) 

k 15 

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

þ 0,5 

14,25 

p 2,33 

) k 23,29 

Übung 5 

Die Wahrscheinlichkeit einer Jungengeburt beträgt bekanntlich 51,4%. 

In einem Bundesland werden jährlich ca. 50 000 Kinder geboren. 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwischen 25 500 und 26000 Jungen geboren?


Übungen 

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 

6. Eine Reißnagelsorte fällt mit Wahrscheinlichkeiten von 2 3 in Kopflage und von 1 in Seitenlage. 

Es werden 100 Reißnägel geworfen. 

3 

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird genau 66-mal die Kopflage erreicht? 

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Kopflage genau 50-mal erreicht? 

Approximation der kumulierten Binomialverteilung durch die Normalverteilung 

7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 6000 Würfelwürfen höchstens 950-mal 

die Augenzahl Sechs fällt? 

8. Eine Maschine produziert Schrauben. Die Ausschussquote beträgt 5 %. 

a) Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit die Normalverteilung anwendbar ist? 

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich in einer Stichprobe von 500 Schrauben 

mindestens 30 defekte Schrauben? 

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind weniger als 20 defekte Schrauben in der Probe? 

9. Die Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt beträgt ca. 51,4 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit 

befinden sich unter 500 Neugeborenen mehr Mädchen als Knaben? 

10. Bei einem gefälschten Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs auf 12 % reduziert. 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Würfel bis 150 Wurfversuchen dennoch 

mehr Sechsen zeigt als bei einem fairen Würfel zu erwarten wären? 

11. Eine Münze wird 1000-mal geworfen. 

a) Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung der Anzahl X der Kopfwürfe? 

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Abweichung der Kopfzahl X vom 

Erwartungswert nach oben/unten höchstens die einfache Standardabweichung beträgt? 

12. Ein Multiple-Choice-Test enthält 100 Fragen mit jeweils drei Antwortmöglichkeiten, wovon 

stets genau eine richtig ist. Befriedigend wird bei mindestens 50 richtigen Antworten 

vergeben. Ausreichend wird bei mindestens 40 richtigen Antworten vergeben. 

Ein Proband rät nur. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht er den Test mit Befriedigend 

bzw. besteht er nicht bzw. erzielt er 28 bis 38 richtige Antworten? 

13. Ein Reifenfabrikant garantiert, dass 95% seiner Reifen 

keine Unwucht aufweisen. Ein Großhändler nimmt 

500 Reifen ab. 

a) Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung 

für die Anzahl X der unwuchtigen Reifen? 

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weisen höchstens 

zehn der Reifen eine Unwucht auf? Mit welcher Wahrscheinlichkeit 

beträgt die Anzahl der unwuchtigen Reifen 

20–30?

610 


C. Exkurs: Normalverteilung bei stetigen Zufallsgrößen 

Eine Zufallsgröße, die nur ganz bestimmte isolierte Zahlenwerte annehmen kann, bezeichnet 

man als diskrete Zufallsgröße. Ein Beispiel ist die Augenzahl beim Würfeln. Sie kann als Werte 

nur die diskreten Zahlen 1 bis 6 annehmen. Im Unterschied hierzu spricht man von einer stetigen 

Zufallsgröße, wenn diese innerhalb eines bestimmten Intervalls jeden beliebigen reellen Zahlenwert 

annehmen kann. Beispiele hierfür sind die Körpergröße eines Tieres, die Länge einer 

Schraube oder das Gewicht einer Kirsche. 

Stetige Zufallsgrößen sind oft von Natur aus normalverteilt. Man stellt dies durch empirische 

Messreihen fest. Aus den Messwerten kann man dann auch den Erwartungswert m und die 

Standardabweichung bestimmen. Anschließend kann man mithilfe der Normalverteilungstabelle 

diverse Problemstellungen lösen. Dabei wendet man den folgenden Satz an. 

Satz XXII.3: Normalverteilte stetige Zufallsgrößen 

X sei eine normalverteilte stetige Zufallsgröße 

mit dem Erwartungswert m und der Standardabweichung 

s. 

Dann gilt für jedes reelle r die Formel 

PðX rÞ¼FðzÞ mit z ¼ r 

m 

s . 

ϕ 

P(X < – r) = Φ(z) 

z = r−μ 

s 

r 

c 

.................................................................................................. 

c 

Beispiel: Die Körpergröße 

Die Körpergröße X von erwachsenen männlichen 

Grizzlys ist eine normalverteilte Zufallsgröße. 

Aus empirischen Untersuchungen sind Mittelwert 

und Standardabweichung bekannt. 

m ¼ 240 cm, s ¼ 10 cm. 

Für einen zoologischen Garten wird ein Jungtier 

gefangen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit 

wird seine Körpergröße maximal 230 cm erreichen? 

Lösung: 

Wir möchten PðX 230Þ berechnen. Aus 

r ¼ 230, m ¼ 240 und s ¼ 10 erhalten wir den 

Wert der Hilfsgröße z. Er ist z ¼ 1. 

Nun können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit 

PðX 230Þ mithilfe der Normalverteilungstabelle 

bestimmen (vgl. rechts). 

Resultat: Der Grizzly wird mit einer Wahrscheinlichkeit 

von ca 16 % relativ klein bleiben, d. h. 

230 cm nicht überschreiten. 

Ursus Arctus Horribilis 

Berechnung der Hilfesgröße z: 

z ¼ r 

m 

s 

230 240 

¼ ¼ 1 

10 

Berechnung von PðX 230Þ: 

PðX 230Þ¼FðzÞ¼Fð 

¼ 1 Fð1Þ 

¼ 1 0,8413 

¼ 0,1587 

1Þ


Übung 14 

Eine Maschine produziert Schrauben mit einer durchschnittlichen Länge von m ¼ 80 mm und 

einer Standardabweichung von s ¼ 2 mm. 

a) Wie groß ist der Prozentsatz aller produzierten Schrauben, die länger sind als 78 mm? 

b) Wie groß ist der Prozentsatz der Schrauben, deren Längen zwischen 78 und 82 mm liegen? 

c) Nach längerer Laufleistung steigt die Standardabweichung auf s ¼ 4 mm. Welcher Prozentsatz 

der Schrauben liegt nun innerhalb des Toleranzbereichs von 78 mm bis 82 mm? 

Abschließende Bemerkungen 

Bei einer diskreten Zufallsgröße X gibt es zu jedem Wert k, den X annehmen kann, eine Säule im 

Verteilungsdiagramm, deren Fläche die Wahrscheinlichkeit PðX ¼ kÞ darstellt. Als Beispiel 

hierfür kann eine binomialverteilte Zufallsgröße gelten. 

Bei einer stetigen Zufallsgröße X hat jeder Einzelwert r die Wahrscheinlichkeit Null, denn ihm 

entspricht im Verteilungsdiagramm keine Säule, sondern nur noch ein Strich. Man betrachtet 

daher für stetige Zufallsgrößen keine Punktwahrscheinlichkeiten, sondern nur Intervallwahrscheinlichkeiten 

PðX rÞ, PðX > rÞ bzw. Pða X bÞ. 

Hieraus ergibt sich: Die Formel aus Satz XXII.3 benötigt keine Stetigkeitskorrektur im Gegensatz 

zu der Formel aus Satz XXII.2 für eine binomialverteilte Zufallsgröße. 

Übungen 

15. Ein Intelligenztest liefert im Bevölkerungsdurchschnitt einen Mittelwert von 

m ¼ 120 Punkten bei einer Standardabweichung von s ¼ 10 Punkten. 

a) Eine zufällig ausgewählte Person wird getestet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht 

sie weniger als 100 Punkte? 

b) 20 Personen werden getestet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht davon mindestens 

eine Person 130 oder mehr Punkte? 

16. Eine Maschine produziert Stahlplatten mit einer durchschnittlichen Stärke von 20 mm. Die 

Standardabweichung beträgt s ¼ 0,8 mm. Die Platten können nicht verwendet werden, 

wenn sie unter 19 bzw. über 22 mm stark sind. 

a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Platte verwendet werden kann. 

b) Ein Abnehmer kauft 500 Platten. Wie viele kann er voraussichtlich verwenden? 

c) Die Maschine wird neu justiert. Ihre Standardabweichung beträgt nun nur noch 0,6 mm. 

Wie viele brauchbare Platten enthält nun der Abnehmer von 500 Platten? 

17. Die EG-Richtlinie für Abfüllmaschinen besagt: Die tatsächliche Füllmenge darf im Mittel 

nicht niedriger sein als die Nennfüllmenge. Bei Literflaschen beträgt die Nennfüllmenge 

1000 ml. Ein Abfüllbetrieb hat seine Maschinen auf den Mittelwert m ¼ 1005 ml eingestellt. 

Die unvermeidliche Streuung beträgt s ¼ 3 ml. 

a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Kunde eine unterfüllte Flasche erhält, 

d.h. mit weniger als 1000 ml tatsächlicher Füllmenge. 

b) Eine neue Maschine hat eine Streuung von nur s ¼ 1 ml. Wie muss der Mittelwert eingestellt 

werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine Unterfüllung gleich bleiben soll?

612 


18. Die mittlere Windgeschwindigkeit an der westlichen Ostsee beträgt 18 km/h. Die Standardabweichung 

beträgt 6 km/h. Zur Vorbereitung von Segelregatten werden Messungen 

vorgenommen bzw. Wahrscheinlichkeiten berechnet. 

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei einer 

Messung eine Windgeschwindigkeit über 

25 km/h gemessen? 

b) Wie wahrscheinlich ist es, dass beim Start der 

Regatta der Wind mit einer Geschwindigkeit 

von über 15 km/h bläst? 

c) Es werden fünf zufällige Messungen vorgenommen. 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegen 

alle Messwerte über 15 km/h? 

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die 

Windgeschwindigkeit bei mindestens drei 

der zehn geplanten Regatten über 15 km/h liegen? 

Die Kieler Woche: Das größte Segelsport-Ereignis 

der Welt 

19. Das Durchschnittsgewicht eines Erwachsenen beträgt 70 kg mit einer Standardabweichung 

von 10 kg. 

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt eine 

zufällig ausgewählte Person mehr als 85 kg? 

b) Acht Personen besteigen einen Aufzug, der 

eine Tragfähigkeit von 650 kg besitzt. Mit 

welcher Wahrscheinlichkeit wiegt keine der 

Personen mehr als 80 kg, so dass die Tragfähigkeit 

in jedem Fall gewährleistet ist? 

c) Für einen Test werden zwanzig Personen mit 

einem Gewicht zwischen 65 kg und 75 kg benötigt. 

Wie viele Personen muss man überprüfen, 

um die zwanzig Testkandidaten zu finden? 

20. Die Strandstraße ist eine 30-km-Zone. Die Fahrgeschwindigkeit wurde durch Radarmessungen 

statistisch in der Hauptverkehrszeit zwischen 15 und 17 Uhr erfasst. Es ergab sich 

eine angenäherte Normalverteilung mit m ¼ 32 km/h und s ¼ 7 km/h. 

a) Welcher Prozentsatz der Fahrzeuge überschreitet 

das Geschwindigkeitslimit? 

b) Welcher Prozentsatz der Fahrer erhält ein 

Bußgeld, wenn dies ab 35 km/h verhängt 

wird? 

c) Die Geschwindigkeitsbegrenzung wird versuchsweise 

auf 50 km/h angehoben. Danach 

ergibt eine Messung, dass nur noch 30% der 

FahrerdasLimitüberschreiten.WelcheDurchschnittsgeschwindigkeit 

wird nun gefahren, 

wenn die Standardabweichung 10 km/h ist?

2. XXII. Anwendung Die Normalverteilung 

der Normalverteilung 613 

Überblick 

Die Gaußsche Glockenkurve 

ϕ(t) 

jðtÞ¼ 


2p 

ϕ 

p e 1 2 

t 2 t 

Die Gaußsche Integralfunktion 

ϕ(t) 

ð z 1 

FðzÞ¼ 

p 


2 p 

e 1 2 

t 2 

ϕ 

Φ(z) 

Tabelle Seite 715 

z 

t 

Die lokale Näherungsformel 

Approximation der Binomialverteilung mithilfe der Gauß’schen Glockenkurve 

X sei eine binomialverteilte Zufallsgröße. 

Dann kann PðX ¼ kÞ¼Bðn; p; kÞ mit der 

rechts aufgeführten Formel angenähert berechnet 

werden, wenn die sog. Laplace Bedingung 

s ¼ 


n p ð1 pÞ > 3 erfüllt 

p 

ist. 

PðX ¼ kÞ¼Bðn; p; kÞ 1 

z ¼ k 

m 

s 

pffiffiffiffiffiffi 

e 1 2 

z 2 

s 2 p 

mit 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

, m ¼ n p, s ¼ n p ð1 pÞ 

Die globale Näherungsformel 

Approximation der kumulierten Binomialverteilung mithilfe der Gauß’schen Integralfunktion 

X sei eine binomialverteile Zufallsgröße. 

Dann kann PðX kÞ¼Fðn; p; kÞ mit der 

rechts aufgeführten Formel angenähert berechnet 

werden, wenn die sog. Laplace Bedingung 

s ¼ 


n p ð1 pÞ > 3 erfüllt ist. 

p 

F ist die Gauß’sche Integralfunktion. 

Normalverteilung einer stetigen Zufallsgröße 

X sei eine normalverteilte stetige Zufallsgröße 

mit dem Erwartungswert m und der 

Standardabweichung s. 

Dann gilt für jedes reelle r die rechts aufgeführte 

Formel. 

PðX kÞ¼Fðn; p; kÞFðzÞ 

z ¼ k m þ 0,5 

s 

PðX rÞ¼FðzÞ 

mit 

z ¼ r 

m 

s 

mit 

p 

, m ¼ n p, s ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 

n p ð1 pÞ

614 


Test 

Normalverteilung 

1. Das abgebildete Glücksrad wird 200-mal gedreht. 

X sei die Anzahl der dabei insgesamt erzielten roten 

Sterne. 

a) Berechnen Sie den Erwartungswert m und die 

Standardabweichung s von X. 

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende 

Ergeignisse? 

A: Es kommt genau 80-mal ein roter Stern. 

B: Die Anzahl der roten Sterne ist nicht größer 

als die Anzahl der grünen Scheiben. 

C: Es gilt 60 X 100. 

2. a) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Binomialverteilung mit den Parametern n 

und p durch die Normalverteilung approximiert werden darf? 

b) Eine Maschine produziert mit einem Ausschussanteil von 5 %. Die Zufallsgröße X beschreibt 

die Anzahl der fehlerhaften Teile in einer Stichprobe. Welchen Umfang muss die 

Stichprobe mindestens haben, damit die Binomialverteilung von X durch die Normalverteilung 

approximert werden darf? 

3. Eine Maschine befüllt Flaschen. In 2 % der Fälle wird die Normfüllmenge unterschritten. 

Ein Großkunde führt eine Stichprobe durch, indem er 1000 Flaschen prüft. 

a) Welche Anzahl von unterfüllten Flaschen wird bei einer solchen Stichprobe im Durchschnitt 

erwartet? Wie groß ist die Standardabweichung? 

b) Ist die Stichprobe hinreichend groß, um die Normalverteilung anwenden zu können? 

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet der Kunde höchstens zwanzig unterfüllte Flaschen? 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet er dreißig oder mehr unterfüllte Flaschen? 

d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet der Kunde 20 bis 30 unterfüllte Flaschen? 

4. In der Schatztruhe des sagenhaft reichen Königs 

befinden sich zahllose Golddukaten und Silberlinge. 

Der Anteil der Golddukaten liegt bei 60 %. 

a) Der König lässt sich von seinem Schatzkanzler 

50 zufällig aus der Truhe gegriffene Geldstücke 

bringen. Wie viele Golddukaten kann er erwarten? 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, 

dass er genau 30 Golddukaten erhält? 

b) Für ein großes Festbankett werden der Schatztruhe zufällig 400 Geldstücke entnommen. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse. 

A: Unter den entnommenen Geldstücken sind mindestens 250 Golddukaten. 

B: Unter den Geldstücken sind mindestens 230 und höchstens 245 Golddukaten. 


Tabellen zur Stochastik 715 

Tabelle 3: Normalverteilung 

f (z) = 0, ... 

f (–z) = 1– f (z) 

f (t) 

f (t) 

F(z) 

1– F(z) 

F(–z) 

1 – F(z) 

0,1 

0,1 

–3 –2 –1 0 

z 

1 2 3 t 

–3 

–z 

–1 

0 

1 

z 

3 

t 

z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

0,0 5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 5359 

0,1 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 5753 

0,2 5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 

0,3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 

0,4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 

0,5 6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7157 7190 7224 

0,6 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549 

0,7 7580 7611 7642 7673 7703 7734 7764 7794 7823 7852 

0,8 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8133 

0,9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 

1,0 8413 8438 8461 8485 8508 8531 8554 8577 8599 8621 

1,1 8643 8665 8686 8708 8729 8749 8770 8790 8810 8830 

1,2 8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 9015 

1,3 9032 9049 9066 9082 9099 9115 9131 9147 9162 9177 

1,4 9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 

1,5 9332 9345 9357 9370 9382 9394 9406 9418 9429 9441 

1,6 9452 9463 9474 9484 9495 9505 9515 9525 9535 9545 

1,7 9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 

1,8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 

1,9 9713 9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767 

2,0 9772 9778 9783 9788 9793 9798 9803 9808 9812 9817 

2,1 9821 9826 9830 9834 9838 9842 9846 9850 9854 9857 

2,2 9861 9864 9868 9871 9875 9878 9881 9884 9887 9890 

2,3 9893 9896 9898 9901 9904 9906 9909 9911 9913 9916 

2,4 9918 9920 9922 9925 9927 9929 9931 9932 9934 9936 

2,5 9938 9940 9941 9943 9945 9946 9948 9949 9951 9952 

2,6 9953 9955 9956 9957 9959 9960 9961 9962 9963 9964 

2,7 9965 9966 9967 9968 9969 9970 9971 9972 9973 9974 

2,8 9974 9975 9976 9977 9977 9978 9979 9979 9980 9981 

2,9 9981 9982 9982 9983 9984 9984 9985 9985 9986 9986 

3,0 9987 9987 9987 9988 9988 9989 9989 9989 9990 9990 

3,1 9990 9991 9991 9991 9992 9992 9992 9992 9993 9993 

3,2 9993 9993 9994 9994 9994 9994 9994 9995 9995 9995 

3,3 9995 9995 9996 9996 9996 9996 9996 9996 9996 9997 

3,4 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9998 

Beispiele für den Gebrauch der Tabelle: 

f (2,37)=0,9911; f (– 2,37)=1 – f (2,37)=1 – 0,9911=0,0089; 

f (z)=0,7910 ) z=0,81; f (z)=0,2090 =1 – 0,7910 )z=– 0,81

Im Überblick 

Bigalke/Köhler Mathematik · Gymnasiale Oberstufe · Nordrhein-Westfalen 

Einführungsphase 

Schülerbuch mit CD-ROM 

Einzellizenz , 256 S. , Festeinband 

978 -3-06-041906-7 Q 21,95 

Lösungen 

96 S. , kartoniert 

978 -3-06-041907-4 27 17,00 


für den Grundkurs 

N Schülerbuch mit CD-ROM 

Einzellizenz , 560 S. , Festeinband 

978 -3-06-041908-1 Q 23,50 

N Lösungen 

(2. Quartal 2011) 

288 S. , kartoniert 

978 -3-06-041909-8 27 ca. 25,00 


für den Leistungskurs 

N Schülerbuch mit CD-ROM 

(2. Quartal 2011) 

Einzellizenz , ca. 720 S. , Festeinband 

978 -3-06-041910-4 Q 23,50 

N Lösungen 

(3. Quartal 2011) 

ca. 352 S. , geblockt 

978 -3-06-041911-1 27 ca. 25,00 

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