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Vorlesung

Aufbau und Entwicklung rotierender Sterne

H.-P. Gail, W. M. Tscharnuter

Institut für Theoretische Astrophysik, Heidelberg

WS 2009/10


Teil 3

Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten


3.1 Gleichgewichtsfiguren

Sterne und Planeten sind Objekte, bei denen eine sehr große Masse

durch die wechselseitige Schwereanziehung ihrer einzelnen Teile zusammengehalten

wird.

• Im Fall der Sterne ist die Materie ein heißes Gas. Dessen Elemente

sind frei gegeneinander verschiebbar.

• Im Fall der Planeten ist die Materie entweder ganz im festen Zustand

oder ein geschmolzener Kern ist von einem festen Mantel

umgeben. Bei Festkörpern sind die einzelnen Teile normalerweise

nicht frei gegeneinander verschiebbar. Beim Versuch einer Deformation

werden starke innere Spannungen aufgebaut, die den angreifenden

Kräften entgegenwirken. Wirken die Kräfte aber über

sehr lange Zeiträume, dann beginnt das Material durch innere Diffusionsvorgänge

langsam plastisch zu fließen und verhält sich wie

eine sehr zähe Flüssigkeit

Sterne und Planeten verhalten sich deswegen hinsichtlich von Prozessen,

deren charakteristische Zeitskalen sehr lang sind, grundsätzlich

wie Flüssigkeiten.

Seite: 3.1


Gleichgewichtsfiguren

Im Prinzip können sie als große, selbstgravitierende Flüssigkeitskörper

aufgefaßt werden. Unter dem Einfluß der wechselseitigen Schwereanziehung

werden die einzelnen Teile sich in einen Zustand entwickeln,

in dem die gesamte Energie des Systems ein Minimum ist und der

Körper wird — wenn keine äußeren Einflüsse vorliegen — nach Erreichung

dieses Zustands in diesem verharren. Es stellt sich dann eine

bestimmte Gleichgewichtsfigur ein.

Wenn keine anderen Kräfte als nur die Gravitation und der Druck im

Spiel sind, dann stellt sich ein hydrostatischer Gleichgewichtszustand

ein, in dem in jedem Punkt die einwärts gerichtete lokale Schwerebeschleunigung

vom Druckgradienten kompensiert wird. Bei beiden

Kräften gibt es keine irgendwie ausgezeichneten Richtungen in dem

System.

Seite: 3.2


Gleichgewichtsfiguren

Die Massenverteilung im Körper kann man durch das System der

Multipolmomente der Massenverteilung bezüglich des Schwerpunkts

beschreiben. Das Moment nullter Ordnung ist die Gesamtmasse, das

Moment erster Ordnung verschwindet identisch, das Multipolment

zweiter Ordnung ist der Trägheitstensor. Dieser hat drei ausgezeichnete

Richtungen, die Trägheitsachsen, und auch die höheren Multipolmomente

charakterisieren ausgezeichnete Richtungen. Da es keine

physikalisch irgendwie ausgezeichneten Richtungen in den wirkenden

Kräften in dem System gibt, muß das auch für die Multipolmomente

der Massenverteilung gelten, d.h. alle müssen isotrop sein. Es ist danach

zu erwarten, daß die einzige mögliche Figur des gesamten Körpers

dann eine Kugel ist. Das muß aber bewiesen werden, und der Beweis

dieser eigentlich offensichtlichen Tatsache ist keineswegs trivial.

Seite: 3.3


Gleichgewichtsfiguren

Wenn der Gesamtdrehimpuls des Körpers nicht verschwindet, dann

sind neben Gravitation und Druck auch noch Zentrifugalkräfte im

Spiel. Dann kommt durch die Richtung des Vektors des Gesamtdrehimpulses

eine ausgezeichnete Richtung ins Spiel. Dann wird eine der

Trägheitsachsen des Körpers (die des kleinsten Trägheitsmoments)

mit dem Drehimpulsvektor zusammenfallen. Die anderen beiden sind

senkrecht dazu orientiert. Aus Gründen des stetigen Übergangs in

den Grenzfall verschwindender Rotation werden die entsprechenden

Trägheitsmomente bei sehr langsamer Rotation einander gleich sein.

Man erwartet dann wenigstens Achsialsymmetrie für den Körper. Bei

rascher Rotation gibt es aber keinen besonderen Grund dafür warum

der Trägheitstensor achsialsymmetrisch sein sollte. Es hängt dann von

der Massenverteilung und der Verteilung der Rotationsgeschwindigkeit

im Körper ab, ob Figuren mit mit nicht achsialsymmetrischem

Trägheitstensor eventuell kleinere Geamtenergie haben als achsialsymmetrische

Figuren.

Seite: 3.4


Gleichgewichtsfiguren

Man erwartet hiernach:

• Kugelförmige Figur bei verschwindender Rotation

• Achsialsymmetrische Figur bei langsamer Rotation

• Eventuell unsymmetrische Figuren bei rascher Rotation

Die Bestimmung dieser Figuren, die ein Körper unter dem Einfluß

seiner eigenen Gravitation und der Zentrifugalkräfte bei der Rotation

annimmt, ist Genstand der Theorie der Gleichgewichtsfiguren rotierender

Flüssigkeiten.

Sehr viele der bekanntesten Mathematiker haben dieses Problem untersucht

und eine große Zahl von Sätzen bewiesen, um die möglichen

Figuren zu charakterisieren, zu finden und ihre Stabilität zu untersuchen.

Anwendung findet die Theorie gleichermaßen auf Planeten und

Sterne.

Seite: 3.5


Gleichgewichtsfiguren

Trotz der grundsätzlichen Gleichheit des Grundproblems bei der Bestimmung

der Gleichgewichtsfigur bei Sternen und Planeten besteht

aber zwischen beiden Fällen ein erheblicher Unterschied hinsichtlich

der Kompressibilität der Materie:

• Bei Sternen ist die Materie unter der Einwirkung von Druck sehr

stark komprimierbar. Die Verdichtung kann ohne weiteres 20 Zehnerpotenzen

erreichen.

• Bei Planeten ist die Materie unter der Einwirkung von Druck nur

schwer zu komprimieren. Selbst bei extremem Druck erreicht man

nur Verdichtungen um kaum mehr als einen Faktor 2 ... 3.

Danach ist unmittelbar klar, daß durch starke gravitative Kräfte das

Gas der Sterne stark komprimiert wird und eine sehr inhomogene

Dichteverteilung im Stern entsteht, während Planeten nur mäßige

Dichtevariationen aufweisen, abgesehen von Inhomogenitäten der stofflichen

Zusammensetzung (z.B. Eisenkern und Silikatmantel).

Seite: 3.6


Gleichgewichtskonfigurationen

Durch die unterschiedliche Kompressibilität ergeben sich einige Unterschiede

im Aufbau der Planeten und der Sterne. Im übrigen gibt

es aber sehr viele Gemeinsamkeiten, sodaß die hier zu entwickelnde

Theorie auf beide Fälle angewendet werden kann.

Seite: 3.7


3.2 Ein allgemeines Theorem

Wir beginnen mit einer allgemeinen Eigenschaft mechanischer Systeme:

Für eine gegebene Dichteverteilung und gegebenen Gesamtdrehimpuls

hat die Gesamtenergie für gleichförmige Rotation ein

Minimum.

Zunächst ist festzustellen, daß bei einer gegebenen Dichteverteilung

die innere Energie und die Gravitationsenergie festliegen. Es muß nur

die kinetische Energie untersucht werden. Diese ist



T = 1 dV ρ⃗u 2 = 1 2

2

Der Betrag des Drehimpulses ist

dm ⃗u 2 . (1)

H = ∫ dm suϕ . (2)

uϕ ist die ϕ-Komponente der Geschwindigkeit in einem zylindersymmetrischen

Koordinatensystem, dessen Achse mit der Richtung des

Drehimpulsvektors zusammenfällt. s ist der Abstand von der Achse.

Seite: 3.8


Starre Rotation

Das Trägheitsmoment ist definiert als

I = ∫ dV ρ s 2 = ∫ dms 2 . (3)

Nach der Schwarzschen Ungleichung gilt


dm u 2 ϕ · I = ∫ dm u 2 ϕ


dm s 2 ≥ ( ∫ dm suϕ) 2 = H 2 , (4)

wobei das Gleichheitszeichen gilt, wenn uϕ = const · s. Es gilt dann


T = 1 dm u 2 ≥ 1 dm u 2 ϕ ≥ 1 2 2 2 I . (5)

In der ersten dieser Ungleichungen gilt das Gleichheitszeichen für Rotation

um eine Achse und in der zweiten für starre Rotation. Damit

ist die obige Behauptung bewiesen.


H 2

Seite: 3.8


Starre Rotation

Diese läßt sich zu folgender Aussage Verallgemeinern:

Das gilt auch dann noch, wenn die Dichteverteilung nicht vorgegeben

ist

Falls es nämlich eine Konfiguration gäbe, die nicht starr rotierte und

deren Gesamtenergie ein noch tieferes Minimum hätte als bei starrer

Rotation, dann könnten deren Dichteverteilung und Gesamtdrehimpuls

vorgeben werden. Dann hätte aber nach obigem die Energie für

diese Konfiguration bei starrer Rotation ein Minimum und die Energie

für diese Konfiguration mit nicht starrer Rotation wäre nicht das

tiefste Energieminimum gewesen, im Gegensatz zur Annahme.

Damit ist bewiesen, daß in einem rotierenden mechanischen System

die Energie ihr tiefstes Minimum annimmt, wenn das System starr

rotiert.

Seite: 3.10


Starre Rotation

Angewandt auf den Fall des rotierenden Körpers besagt das Theorem,

daß unter allen möglichen Verteilungen der Rotationsgeschwindigkeit

im Körper das Geschwindigkeitsgesetz

⃗v = ⃗ Ω × ⃗r (6)

mit konstantem Vektor Ω ⃗ der Winkelgeschwindigkeit zum Zustand geringster

Energie gehört. Diesem Zustand würde das System zustreben,

wenn es sich selbst überlassen wäre und durch dissipative Prozesse in

den Zustand geringster Energie übergehen könnte.

Dieses Rotationsgesetz spielt bei allen Überlegungen zur Rotation eine

große Rolle, vor allem natürlich, weil es besonders einfach ist. Darüber

hinaus ist es auch der natürliche Endzustand bei Relaxation zum Energieminimum.

Ob dieses Rotationsgesetz im konkreten Fall aber auch

realisiert werden kann, ist eine ganz andere Frage.

Seite: 3.11


3.3 Bewegungsgleichung im rotierenden System

Es soll die Bewegung eines kleinen Probekörpers mit der Masse m ≪ M

im Schwerefeld einer Masse M untersucht werden. Die Masse sei so

klein, daß die Bewegung der Masse M durch den Probekörper nicht

beeinflußt wird.

Es wird ein raumfestes Koordinatensystem eingeführt, dessen Ursprung

mit dem Schwerpunkt S des Körpers zusammenfällt. Die z-

Achse wird parallel zur Drehachse Ω ⃗ gewählt. Die x-Achse wird so

gewählt, daß die Richtung zum Beobachter in der x-z-Ebene liegt, und

die y-Achse ist senkrecht zur x- und z-Achse.

Ferner ist es zweckmäßig, ein mitrotierenden Koordinatensystem einzuführen,

dessen Ursprung ebenfalls mit dem Schwerpunkt S des

Körpers zusammenfällt. Die z-Achse wird wieder parallel zur Drehachse

Ω ⃗ gewählt. Die x-Achse wird so gewählt, daß sie zu einem bestimmten

Anfangszeitpunkt mit der x-Achse des raumfesten Koordinatensystems

zusammenfällt und die y-Achse ist wiederum senkrecht

zur x- und z-Achse.

Seite: 3.12


Bewegungsgleichung im rotierenden System

In dem raumfesten System ist die Geschwindigkeit des Testteilchens

⃗v = ˙⃗r + ⃗ Ω × ⃗r , (7)

wobei ˙⃗r die Geschwindigkeit des Testteilchens in Bezug auf das rotierende

Koordinatensystem ist, und der zweite Term die Geschwindigkeit

des Punktes mit dem Ortsvektor ⃗r im raumfesten System ist.

Entsprechend ist die Beschleunigung ⃗a des Testteilchens im raumfesten

System

⃗a = ˙⃗v + Ω ⃗ × ⃗v , (8)

wobei ˙⃗v die Beschleunigung des Testteilchens im rotierenden System

ist. Es folgt

⃗a = ˙⃗v + 2 Ω ⃗ × ˙⃗r + Ω ⃗ × ( )

Ω ⃗ × ⃗r . (9)

Der erste Term auf der rechten Seite ist die Coriolisbeschleunigung,

der zweite Term die Zentrifugalbeschleunigung.

Seite: 3.13


Bewegungsgleichung im rotierenden System

Der Zentrifugalterm in der Beschleunigung (9) kann als Gradient eines

Potentials geschrieben werden. In dem oben definierten kartesischen

Koordinatensystem gilt

⃗ Ω = (0, 0, Ω) , ⃗r = (x, y, z) .

Es folgt

( )

Ω ⃗ × Ω ⃗ × ⃗r = Ω ⃗ ( )

Ω ⃗ · ⃗r − ⃗r Ω 2 = ( 0, 0, Ω 2 z ) − ( Ω 2 x, Ω 2 y, Ω 2 z ) = −Ω 2 (x, y, 0)

oder

( )

Ω ⃗ × Ω ⃗ × ⃗r = − Ω ∂ x 2 + y 2

. (10)

2 ∂ ⃗r

Man definiert deswegen folgendes Zentrifugalpotential

UZ = Ω2

2

(

x 2 + y 2) . (11)

Seite: 3.14


Bewegungsgleichung im rotierenden System

Die Beschleunigung ˙⃗v im rotierenden System ist durch den Druckgradienten

und die Schwerebeschleunigung gegeben. Andere Kräfte (z. B.

Magnetfelder, Strahlungsdruck) werden vernachlässigt. Dann gilt

1 ˙⃗v = −

ρ

∂ p

∂ ⃗r − ∂ Φ

∂ ⃗r . (12)

Die Bewegungsgleichung des Probekörpers im raumfesten System lautet

dann

¨⃗r + 2 Ω ⃗

1 ∂ p

× ˙⃗r = −

ρ ∂ ⃗r − ∂ Φ R

∂ ⃗r . (13)

Hier ist das Zentrifugalpotential mit dem Gravitationspotential des

Körpers zu dem sog. Rochepotential

ΦR = Φ grav

+ Ω2

2

(

x 2 + y 2) (14)

zusammengefaßt. Für das Rochepotential gilt folgende Potentialgleichung

∆ΦR = −4πGρ + 2Ω 2 (15)

Seite: 3.15


3.4 Das von Zeipelsche Theorem

3.4.1 Integrabilitätsbedingungen

Es sei jetzt angenommen, das sich der Stern in einem hydrostatischen

Gleichgewichtszustand befindet. Dann gilt nach Gl. (13)

Komponentenweise gilt dann

1

ρ

∂ p

∂ ⃗r = − ∂ Φ R

∂ ⃗r . (16)

∂ p

∂ x = −ρ ∂ Φ R

∂ x , ∂ p

∂ y = −ρ ∂ Φ R

∂ y , ∂ p

∂ z = −ρ ∂ Φ R

∂ z . (17)

Damit eine Lösung dieses partiellen Differentialgleichungssystems existieren

kann, müssen gewisse Verträglichkeitsbedingungen oder Integrabilitätsbedingungenerfüllt

sein, nämlich die, daß sich durch Berechnung

der gemischten partiellen Differentialquotienten zweiter Ordnung

aus den verschiedenen Gleichungen keine Widersprüche ergeben.

Seite: 3.16


Das von Zeipelsche Theorem

Zum Beispiel kann die erste Gleichung nach y und die zweite nach x

differenziert werden. Dann muß folgendes gelten

∂ 2 p

∂ y ∂ x = ∂2 p

∂ x ∂ y ⇒ ∂ ρ

∂ y

∂ ΦR

∂ x = ∂ ρ

∂ x

∂ ΦR

∂ y

und entsprechen für die anderen Kombinationen. Insgesamt muß also

folgendes gelten

∂ ρ

∂ x / ∂ Φ R

∂ x = ∂ ρ

∂ y / ∂ Φ R

∂ y = ∂ ρ

∂ z / ∂ Φ R

∂ z . (18)

Das bedeutet, daß die Flächen gleicher Dichte mit den Niveauflächen,

also den Flächen gleichen Potentials, zusammenfallen müssen.

Weiter folgt aus den Gleichungen (16)

dp = ∂ p

∂ x dx + ∂ p

∂ y dy + ∂ p

∂ z dz = −ρ ⎛

⎜ ⎜⎝

∂ ΦR

∂ x dx + ∂ Φ R

∂ y dy + ∂ Φ ⎞

R

∂ z dz ⎟ ⎟⎠

= −ρdΦR

oder

d p

d ΦR

= −ρ . (19)

Seite: 3.17


Das von Zeipelsche Theorem

Das bedeutet, das auch die Flächen gleichen Drucks mit den Flächen

gleichen Potentials zusammenfallen müssen.

Der Druck p und die Dichte ρ sind also nur Funktionen des Potentials.

Das ist eine notwendige Bedingung für die Existenz eines hydrostatischen

Gleichgewichtszustandes.

Wenn die Materie einer Zustandsgleichung der Form p = F (ρ, T ) genügt,

dann ist auch die Temperatur nur eine Funktion des Potentials ΦR,

wenn auch die Zusammensetzung der Materie längs einer Niveaufläche

konstant ist. Das gilt dann auch für alle anderen Variablen, die durch

ρ, p und T eindeutig bestimmt sind.

Seite: 3.18


Das von Zeipelsche Theorem

3.4.2 Energiestrom in Sternen

Als Anwendung betrachten wir den Energiefluß F ⃗ in einem Stern. Für

diesen gilt

ρε = ∇ ⃗ · ⃗F (20)

und

F ⃗

4σ = − ∇T 4 . (21)

3κR

Hier ist σ die Stefan-Boltzmann Konstante. Die Energieproduktionsrate

ɛ und das Rosselandmittel der Opazität κR sind nur Funktionen

von ρ und T , nach den bisherigen Ergebnissen also auf Niveauflächen

konstant. Entsprechendes gilt auch bei konvektivem Energietransport,

da in den entsprechenden Ausdrücken nur Größen auftreten, die auf

Niveauflächen konstant sind.

Seite: 3.19


Das von Zeipelsche Theorem

Dann folgt ganz allgemein

⃗ F = −F (Φ R)∇ΦR (22)

mit einer Funktion F , die auf den Niveauflächen konstant ist. Wenn

das in Gl. (20) verwendet wird, dann folgt

Für das Rochepotential gilt

ρε = −F (ΦR)∆ΦR − d F

d ΦR

(∇ΦR) 2 .

∆ΦR = −4πGρ + 2Ω 2 (23)

und dann

ρε = F (ΦR) ( 4πGρ − 2Ω 2) − d F

d ΦR

(∇ΦR) 2 .

Seite: 3.20


Das von Zeipelsche Theorem

Die linke Seite und der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung

sind nach den vorherigen Feststellungen auf Niveauflächen konstant.

Im zweiten Term auf der rechten Seite gilt das für (∇ΦR) 2 bei rotierenden

Sternen aber nicht. Deswegen muß

d F

d ΦR

= 0 (24)

sein oder F = const. Das wiederum hat zur Konsequenz

ε = 4πGF


⎜ ⎜⎝

1 − Ω2

2πGρ


⎟ ⎟⎠

. (25)

Dies ist das von Zeipelsche Theorem a von 1924. Danach müßten in

einem Stern im hydrostatischen Gleichgewicht bei gleichförmiger Rotation

die Energiequellen in der angegebenen Weise verteilt sein.

Seite: 3.21

a H. v. Zeipel 1924, MNRAS 84, 665


Das von Zeipelsche Theorem

Die nuklearen Energiequellen erfüllen dies natürlich nicht. Daraus

ist die Schlußfolgerung zu ziehen, daß ein gleichförmig rotierender

Stern nicht vollständig im hydrostatischen Gleichgewicht sein kann.

Die Energiequellen erzeugen Temperaturgradienten, die nicht mit

vollständigem hydrostatischem Gleichgewicht verträglich sind. Das

kleine nicht-Gleichgewicht zwischen effektiver Schwerebeschleunigung

und Druckgradienten treibt dann eine Strömung im Stern an. In rotierenden

Sternen treten deswegen Strömungen auf. Darauf wurde 1925

unabhängig voneinander durch H. Vogt und A.S. Eddington hingewiesen.

Die Sterne bleiben dabei praktisch immer noch hydrostatisch

aufgebaut, aber eben nicht mehr exakt.

Das kann leicht auf den Fall verallgemeinert werden, in dem Ω nicht

konstant ist sondern vom senkrechten Abstand s = √ x 2 + y 2 zur Rotationsachse

abhängt. Dabei ist in den Gleichungen folgende Ersetzung

vorzunehmen:


Ω 2 −→ Ω 2 ⎜ ⎝ 1 + d ln Ω


⎟ ⎠ .

d ln s

Seite: 3.22


Das von Zeipelsche Theorem

3.4.3 Oberflächentemperatur

Die Rotation führt zu einer ungleichmäßigen Helligkeitsverteilung über

die Oberfläche des Sterns. Für den Energiestrom F pro Flächeneinheit

und Zeiteinheit senkrecht zu einer Niveaufläche besagen die vorangehenden

Resultate

F = C d Φ R

d n , (26)

wobei C auf der Niveaufläche konstant ist und d/dn die Ableitung in

Normalenrichtung bedeutet.

Die Herleitung dieser Beziehung gilt eigentlich nicht mehr in der optisch

nicht mehr sehr dicken Atmosphäre, aber sie gilt bis unmittelbar

darunter. Es muß aber die gleiche Energie, die von der Oberfläche abgestrahlt

wird, durch die dicht darunter liegenden Niveauflächen hindurchströmen,

auf denen Gl. (26) gültig ist, sodaß die Beziehung auch

auf die Atmosphäre anwendbar ist.

Seite: 3.23


Das von Zeipelsche Theorem

Wegen F = 4πH = σT eff 4 haben wir das Ergebnis, daß die Effektivtemperatur

der Oberfläche (Photosphäre) eines Sterns an einer bestimmten

Stelle umgekehrt proportional zur Normalkomponente der effektiven

Schwerebeschleunigung an der betreffenden Stelle ist. Rotierende Sterne

sind deswegen am Äquator kühler als am Pol, weil am Äquator

wegen der Zentrifugalbeschleunigung die effektive Schwerebeschleunigung

kleiner als am Pol ist. Das wird als Rotationsverdunkelung bezeichnet.

Bei rasch rotierenden Sternen können die Temperaturunterschiede

zwischen Äquator und Pol mehrere tausend Grad betragen. Dieser Effekt

muß bei genauen Analysen rotationsverbreiterter Linien berücksichtigt

werden.

Seite: 3.24


3.5 Konstanz des Drehvektors

Es gilt fogender Satz

Wenn für den inneren Aufbau des Körpers eine Beziehung ρ =

F (p) gilt (Barotrope) dann ist bei starrer Rotation der Vektor

Ω ⃗ der Winkelgeschwindigkeit zeitlich konstant

Bei starrer Rotation gilt ⃗v = ⃗ Ω × ⃗r und dann

d ¨⃗r = Ω

d t ⃗ × ⃗r = ˙⃗ Ω × ⃗r + Ω ⃗ × ( Ω ⃗ × r) . (27)

Mit einer barotropen Zustandsgleichung gilt

1

ρ ∇p = ∇ ∫ dp

F (ρ) . (28)

Die Bewegungsgleichung lautet


d

d t ⃗ω × ⃗r = ∇ ⎜ ⎜⎝

Φ − ∫ dp

F (ρ)

Hier ist Φ das Gravitationspotential.


⎟ ⎟⎠

. (29)

Seite: 3.25


Konstanz des Drehvektors

Man bildet auf beiden Seiten die Rotation. Die rechte Seite verschwindet

und man hat

d

d t ∇ × (⃗ Ω × ⃗r) = ⃗0 .

Es gilt

∇ × ( Ω ⃗ × ⃗r) = Ω(∇ ⃗ · ⃗r) − (Ω∇)⃗r = 2 Ω ⃗ .

Damit folgt aus Gleichung (29)

d

Ω

d t ⃗ = ⃗0 . (30)

Anders als bei einem rotierenden starren Körper wandert die Drehachse

bei einer starr rotierenden Flüssigkeit nicht!

Die Eulerschen Gleichungen für die Rotation eines starren Körpers

vereinfachen sich im vorliegenden Fall zu

(C − B)ω2ω3 = 0 (31)

(A − C)ω1ω3 = 0 (32)

(B − a)ω1ω2 = 0 . (33)

Seite: 3.26


Konstanz des Drehvektors

Hier sind A, B, C die Hauptträgheitsmomente des Körpers und ω1,

ω2, ω3 die Komponenten des Vektors der Winkelgeschwindigkeit der

Rotation bezüglich der Hauptträgheitsachse.

Wir haben folgende Fälle:

A ≠ B ≠ C : Zwei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit

müssen verschwinden. Die Rotation erfolgt um

die Hauptträgheitsachse der nicht verschwindenden

Winkelgeschwindigkeit

A = B ≠ C : Entweder ist ω1 = ω2 = 0 und ω3 ≠ 0, oder es ist

sind ω1 ≠ 0, ω2 ≠ 0 und ω3 = 0

A = B = C : Jede durch den Schwerpunkt gehende Richtung

kommt als Drehachse in Frage

Poincaré hat gezeigt, daß nur die Rotation um die Achse des kleinsten

Hauptträgheitsmoments stabil ist.

Seite: 3.27


3.6 Das Lichtensteinsche Theorem

Es wird hier eine inkompressible Flüssigkeit betrachtet, d.h. die Dichte

wird als konstant vorausgesetzt. Das ist natürlich eine starke Vereinfachung,

aber nur dieser Fall läßt sich einfach behandeln. Die Drehachse

ist eine Hauptträgheitsachse durch den Schwerpunkt des Körpers, die

Ebene senkrecht zur Drehachse, die den Schwerpunkt enthält, wird

als Äquatorebene E bezeichnet. Es seien kartesische Koordinaten mit

dem Schwerpunkt als Ursprung und der z-Achse parallel zur Drehachse

eingeführt. Als zusätzliche Voraussetzung wird eingeführt, daß der

Körper durch eine einfach zusammenhängende Fläche berandet wird.

Lichtenstein hat folgenden Satz bewiesen:

Die Ebene z = 0 ist stets eine Symmetrieebene bei einer inkompressiblen

rotierenden Flüssigkeit.

Der Beweis wird durch Widerspruch geführt; wir nehmen also an, daß

E keine Symmetrieebene ist.

Seite: 3.28


Das Lichtensteinsche Theorem

Zerlegung in Elementarsäulen

Seite: 3.29


Das Lichtensteinsche Theorem

Wir denken uns den Körper in Säulen parallel zur z-Richtung zerlegt.

Die Mitten der Säulen liegen nach Annahme nicht auf E. Sie approximieren

eine Fläche Σ(x, y, Z), wobei Z der Abstand von Σ zu E im Punkt

(x, y) ist. Die Schnittpunkte der Säulen mit der Oberfläche des Körpers

seien P1(x, y, z1) und P2(x, y, z2) mit z1 > z2. Auf Σ gibt es einen Punkt

mit (x0, y0) mit größter z-Koordinate: Z0. Dazu gehören die Schnittpunkte

mit der Oberfläche P 0 1 und P 0 2.

Da auf der Fläche Σ die Mittelpunkte der Elementarsäulen liegen, ist

der senkrechte Abstand von P1 von Σ ebenso groß wie der senkrechte

Abstand von P2 von Σ.

Seite: 3.30


Das Lichtensteinsche Theorem

Das Gravitationspotential Φ in einem Punkt P setzt sich aus den Beiträgen

aller Elementarzylinder additiv zusammen. Da die Mitten aller

Elementarzylinder vom Aufpunkt P 0 1 weiter entfernt sind als von P 0 2,

ist der Beitrag jedes Elementarzylinders zum Potential in P 1 0 kleiner

als zum Potential in P 0 2. Also gilt für alle Säulen

|r(x, y, Z) − r(x0, y0, z1)| > |r(x, y, Z) − r(x0, y0, z2)| .

Deswegen gilt auch

Φ(P 0 1) < Φ(P 0 2) .

Da aber P 0 1 und P 0 2 auf der Oberfläche einer Gleichgewichtsfigur liegen,

und weil diese eine Niveaufläche ist, gilt andererseits

Φ(P 0 1) + 1 2 Ω2 (x 2 + y 2 ) = Φ(P 0 2) + 1 2 Ω2 (x 2 + y 2 )

und daraus

Φ(P 0 1) = Φ(P 0 2) .

Das ist im Widerspruch zu dem Ergebnis, das aus der Annahme folgt,

daß E keine Symmetrieebene ist. Also muß E Symmetrieebene sein.

Seite: 3.31


Das Lichtensteinsche Theorem

Es folgt auch, daß jede Gerade parallel zur z-Achse die Oberfläche in

nicht mehr als zwei Punkten schneiden kann. Wenn es nämlich oberhalb

E mindestens Schnittpunkte gäbe, dann wäre entsprechend den

vorangehenden Überlegungen die Gleichheit des Potentials in diesen

Punkten nicht erreichbar.

Es gilt also:

Jede Gleichgewichtsfigur einer homogenen, inkompressiblen Flüssigkeit

hat eine zur Drehachse senkrechte Symmetrieebene. Jede Parallele

zur Drehachse schneidet die Figur in höchstens zwei Punkten.

Seite: 3.32


Das Lichtensteinsche Theorem

Im Fall Ω = 0 kann jede Gerade als Drehachse durch den Schwerpunkt

aufgefaßt werden. Zu dieser existiert eine Symmetrieebene. Der einzige

Körper, der bezüglich jeder Ebene durch den Schwerpunkt symmetrisch

ist, ist die Kugel. Aus dem Theorem von Lichtenstein folgt

unmittelbar:

Die Gleichgewichtsfigur einer ruhenden, selbstgravitierenden Masse

konstanter Dichte ist eine Kugel.

Seite: 3.33

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