2.3 Die lineare Optimierung - Kantonsschule Solothurn

Kantonsschule Solothurn
Lineare Optimierung
RYS WS08/09
2.3.1 Lineare Ungleichungen
2.3 Die lineare Optimierung
Übung Nr. 1:
Welche Punktmengen werden durch folgende Ungleichungen dargestellt:
a) y ≤ x + 1 b) y > 3x – 1 c) 2x + 3y ≤ 1
2.3.2 Systeme linearer Ungleichungen
Eine Lösung eines Systems linearer Ungleichungen muss jede einzelne dieser Ungleichungen
erfüllen. Sie muss also in jeder der Lösungsmengen der einzelnen Ungleichungen
enthalten sein und damit auch in der Schnittmenge dieser Lösungsmengen.
y 1
< x + 2
Beispiel 1:
2
1
y < - x + 4
2
Beispiel 2:
1
y < x + 2
2
1
y < − x + 4
2
y < −x
+ 6
y > 0
x > 0
Übung Nr. 2:
Stelle die Lösungsmenge des Ungleichungssystems im Koordinatensystem graphisch dar:
a) x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ x + 2, y ≤ - 2x + 4
b) x ≤ 3, x – 2y < 4
c) x > 3, x < 6, x + 2y > 0, x – 2y > 0
d) x – 2y < 2, x + 2y < 2, x > - 1
1

Übung Nr. 3:
a) y < 3 x + 5
y > -2x
b) - x + 2y
< 2
x - y > 3
c)
2x - y + 2 > 0
x - 2y
- 2 < 0
y + 3 > 0
d)
y + x - 2 > 0
y - 2x
+ 10 > 0
3y
- x + 18 < 0
y > 0
x > 0
Übung Nr. 4:
Bestimme die linearen Ungleichungssysteme, deren Lösungsmengen durch die nicht
schraffierten Bereiche veranschaulicht werden:
a) b)
10
8
6
4
2
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-2
-4
-6
-8
-10
c) d)
2

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2.3.3 Die Lineare Optimierung
Während des 2. Weltkrieges und in den darauffolgenden Jahren ist eine Rechentechnik
entstanden, die heute zu einem sehr wichtigen Hilfsmittel der Unternehmungsplanung
geworden ist. Im Englischen nennt man sie:
operations research = Verfahrensforschung, Planungsberechnung.
Begründer war vor allem G.B. Dantzig, er nannte es 1949 Lineares Programmieren, da
man schematisch mittels sogenannter Programme Lösungen von linearen Gleichungen
und Ungleichungen sucht. Heute nennt man es lieber Lineare Optimierung, da man im
Grunde die beste (optimus) aller möglichen Lösungen sucht.
Beispiel: Ein Betrieb stellt zwei verschiedene Produkte X und Y her. Für die Anfertigung
von einem Stück X benötigt man 5 Std. und verbraucht Material im Wert von 5 DM,
wohingegen ein Y Material im Wert von 0,60 DM und eine Herstellungszeit von 6 Std.
benötigt. Pro Tag können bis zu 4000 Arbeitsstunden von der Belegschaft geleistet
werden. Der Finanzplan erlaubt es, täglich bis zu 1500 DM Material einzukaufen. Aus
technischen Gründen können von Y höchstens 550 Stück pro Tag produziert werden. Die
Lagerkapazität erlaubt es nicht, dass die Gesamtproduktion von X und Y 800 Stück
überschreitet. Nun bringt das Produkt X pro Stück einen Gewinn von 8 DM, Y hingegen
nur 5 DM. Welche Stückzahlen von X und Y soll der Fabrikant pro Tag herstellen lassen,
damit sein Gewinn maximal wird?
x: Anzahl Stücke des Produktes X
y: Anzahl Stücke des Produktes Y
Zielfunktion:
z = 8x + 5y
Nebenbedingungen (Einschränkungen):
I x ≥ 0
II y ≥ 0
III y ≤ 550 (Produktbeschränkung von Y)
IV x + y ≤ 800 (Lagerkapazität)
V 5x + 6y ≤ 4000 (Zeitbeschränkung)
VI 5x + 0,6y ≤ 1500 (Geldbeschränkung)
3

Übung Nr. 5:
1. Durch die Nebenbedingungen: x ≥ 0, y ≥ 0, 12 ≥ x + 2y, 11 ≥ 3x + y, 3 ≥ x, x + 2y ≥ 2
wird eine zulässige Menge beschrieben. Bestimme für die angegebene Zielfunktion z
den optimalen Punkt, so dass dort z maximal wird. Wie gross ist das Maximum?
a) z = x + 4y b) z = x + y c) z = 3x + y d) z = x - 2y
2. Ein Automobilwerk stellt zwei Wagentypen A und B her. Vom Typ A können täglich
maximal 600 Stück fertiggestellt werden, vom Typ B maximal 300 Stück, wegen Mangel
an Personal jedoch nicht mehr als 750 Stück insgesamt. Der Reingewinn für einen
Wagen vom Typ A beträgt durchschnittlich Fr. 2400.-, für einen Wagen vom Typ B Fr.
3600.-.
a) Wie viele Wagen werden täglich von jedem Typ produziert, wenn der Reingewinn
maximal werden soll? Wie gross ist dieser Reingewinn?
b) Wie ändert sich die Sachlage, wenn sich herausstellt, dass vom Typ B höchstens halb
so viele Wagen verkauft werden können wie vom Typ A? Wie gross ist nun der
Reingewinn?
3. Ein Privatmann besitzt einen Gutschein einer Weinhandlung im Wert von 850 Franken.
Er möchte Weisswein und Rotwein kaufen. Eine Flasche Weisswein kostet 11 Franken,
eine Flasche Rotwein 14 Franken. Die Anzahl Flaschen einer Sorte soll höchstens um
25 von der Anzahl Flaschen der andern Sorte abweichen.
Wie viele Flaschen jeder Sorte kauft er,
a) wenn er insgesamt möglichst viele Flaschen erwerben will?
b) möglichst viele Rotweinflaschen erwerben will?
4. Ein Montagewerk beschäftigt gelernte Arbeiter und Lehrlinge. Ein störungsfreier Ablauf
erfordert, dass mindestens 120 Arbeitsplätze besetzt sind; andererseits sind maximal
150 Arbeitsplätze verfügbar. Mindestens ein Fünftel aller Stellen ist durch Lehrlinge zu
besetzen; die Anzahl der Lehrlinge soll aber mindestens um 20 kleiner sein als die
Anzahl gelernter Arbeiter.
a) Wie viele gelernte Arbeiter kann das Werk maximal beschäftigen?
b) Wie viele Lehrlinge kann das Werk maximal beschäftigen?
c) Ein Arbeiter verdient 4500 Franken im Monat, ein Lehrling 1000 Franken. Wie viele
Arbeiter und Lehrlinge wird die Firma einstellen, wenn die Lohnsumme möglichst klein
sein soll?
5. Eine Papierfabrik stellt Papierrollen der Standardbreite 200 cm her. Es stehen zwei
Maschinen zur Verfügung, die eine solche Rolle folgendermassen in kleinere Rollen
zerschneiden:
Maschine I: 1 Rolle à 70 cm, 2 Rollen à 50 cm, 1 Rolle à 30 cm Breite
Maschine II: 1 Rolle à 50 cm, 5 Rollen à 30 cm Breite
Ein Kunde bestellt 15 Rollen à 70 cm, 60 Rollen à 50 cm und 75 Rollen à 30 cm Breite.
Wie viele Rollen der Standardbreite lässt man zerschneiden, wenn insgesamt möglichst
wenig Rollen zerschnitten werden sollen?
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6. Eine Bauer besitzt an Boden 220 Morgen. Er beabsichtigt, dieses Land mit Mais und
Flachs zu bebauen, und zwar sollen x Zentner Mais und y Zentner Flachs erzeugt
werden. Für die Erzeugung von einem Zentner Mais benötigt er 0,03 Morgen, für die
Erzeugung von einem Zentner Flachs 0,14 Morgen. Der Bauer hat für den Anbau ein
Betriebskapital von 8000 Fr. zur Verfügung (dazu 24000 Fr. für die fixen Kosten seines
Betriebes). Der Anbau für einen Zentner Mais kostet ihn 1,50 Fr., der Anbau für einen
Zenter Flachs 4,00 Fr. Der Ertrag eines Zentners Mais sei 6,50 Fr., der Ertrag eines
Zentners Flachs 16,00 Fr.
Berechne x und y so, dass der Gewinn maximal wird.
7. Eine Fabrik stellt ein Gerät in 2 Ausführungen her. Je nach Ausführung ist die
Zusammensetzung der zur Herstellung verwendeten Materialien verschieden, wie die
nachstehende Tabelle zeigt; diese gibt auch an, über welche Vorräte die Fabrik
verfügt.
Material Typ1 Typ2 Vorrat
A 8 12 620
B 10 4 390
C 5 10 500
D 4 0 140
Wie viele Geräte müssen von jedem Typ hergestellt werden, damit die Gesamtzahl
maximal wird?
8. Eine Mischung aus Nüssen und Rosinen soll als Studentenfutter verkauft werden. Die
Mischung soll zu mindestens 50% aus Rosinen und zu mindestens 30% aus Nüssen
bestehen. Der Kaufmann hat einen Vorrat von 10 kg Nüssen und 5 kg Rosinen.
Üblicherweise verkauft er die Nüsse für 20 Fr. pro kg, die Rosinen für 8 Fr. pro kg. In
welchem Verhältnis muss er Nüsse und Rosinen mischen, wenn er bei einem
Verkaufspreis für 1 kg Studentenfutter von 12 Fr. maximalen Erlös aus dem Verkauf
des gesamten Vorrates erzielen will? Wie gross ist dieser dann?
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