Klausur zur Vorlesung Statistik I und II, WS 2003/2004

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Blatt: 1 von 7
Klausur zur Vorlesung Statistik I und II,
WS 2003/2004
Aufgabe 1:
(40 Punkte)
Statistische Erhebungen für den Weg zur Arbeit oder Bildungsstätte ergaben für Deutschland
im Jahr 2000 folgende Verteilungen für die einfache Entfernung des Weges:
Entfernung
(km)
Erwerbstätige
(Millionen)
0 − 10 15.8
10 − 30 9.7
30 − 50 3.7
> 50 1.4
(a) Bestimmen Sie für die vier Klassen die relativen Häufigkeiten.
(b) Berechnen Sie die empirische Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion. Nehmen Sie
dabei als Obergrenze 100 km an. Zeichnen Sie die Funktionen in die folgenden Diagramme:
f D
0.06
0.055
0.05
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Arbeitsweg (km)
F
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Arbeitsweg (km)
(c) Beschreiben Sie (ohne Rechnung) die Form der Verteilung bezüglich Symmetrie und Modalität.
Handelt es sich um nominal-, ordinal- oder kardinalskalierte Daten? Ist die Verteilung
linkssteil oder rechtssteil?
(d) Nach einem (verworfenen) Vorschlag vom Bundesfinanzminister sollten künftig nur noch
Arbeitswege von mindestens 21 km Länge von der Steuer absetzbar sein. Wieviel Prozent
könnten auch unter dieser Regelung den Arbeitsweg von der Steuer absetzen?
(e) Erstellen Sie einen Box-and-Whisker Plot der Verteilung.
1

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Blatt: 2 von 7
Aufgabe 2
(30 Punkte)
Die Einwohner Sachsens waren 2003 wie folgt auf Städte und Gemeinden verschiedener Größe
aufgeteilt:
Größenklasse (Einwohner)
Anzahl der
Gemeinden
Gesamtzahl der Einwohner
(Tausend)
< 2 000 123 176.5
2 000 – 10 000 347 1491.2
10 000 – 100 000 65 1387.4
> 100 000 4 1329.2
(a) Berechnen Sie die Lorenzkurve und zeichnen Sie sie in untenstehendes Diagramm ein.
(b) Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten.
1
0.8
0.6
P
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
F
2

Name: Vorname: Matrikel-Nr.:
Blatt: 3 von 7
Aufgabe 3
(50 Punkte)
Eine S-Bahn Linie hatte in den letzten beiden Jahren die in der Tabelle angegebenen täglichen
Fahrgastzahlen (in Tausend):
Jahr Quartal 1 Quartal 2 Quartal 3 Quartal 4
2002 410 680 710 430
2003 440 720 710 460
Zur Abschätzung des zukünftigen Fahrgastaufkommens soll anhand dieser Daten eine Zeitreihenanalyse
vorgenommmen werden.
(a) Berechnen Sie den gleitenden Durchschnitt der Ordnung 1 Jahr (d.h. 4 Quartale). Begründen
Sie anschaulich, warum in diesem Durchschnitt die jährlichen Schwankungen
weitgehend verschwinden.
(b) Führen Sie eine exponentielle Glättung der Daten mit dem Glättungsparameter α = 1/2
durch. Verwenden Sie als Anfangswert den ersten Datenwert. Welcher Glättungszeitkonstante
(in Jahren oder Quartalen) entspricht obiger Glättungsparameter?
(c) Führen Sie an den Daten eine lineare Regression durch. Welchen Wert hat die Regressionsgerade
im 2. Quartal 2004?
(d) Zieht man von den Daten den durch die Regressionsgerade gegebenen Trend ab (additive
Aufspaltung), erhält man folgende stationäre Zeitreihe:
Jahr Quartal 1 Quartal 2 Quartal 3 Quartal 4
2002 -137 126 150 -137
2003 -133 140 124 -133
Berechnen Sie die Saisonfigur für die 4 Quartale.
(e) Geben Sie für alle 8 Zeitpunkte die Restkomponente bei einer additiven Aufspaltung an.
(f) Prognostizieren Sie die Fahrgastzahlen für die 4 Quartale des Jahres 2004 mit Hilfe der
Trend- und Saisonkomponente.
3

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Blatt: 4 von 7
Aufgabe 4
(35 Punkte)
Aus statistischen Untersuchungen ist bekannt, dass alkoholisierte Autofahrer pro gefahrenen
Kilometer ein zehnmal so hohes Unfallrisiko haben wie nichtbetrunkene Fahrer. Ferner ist von
Fahrkontrollen her bekannt, dass 5% aller kontrollierten Fahrer alkoholisiert sind.
(a) Berechnen Sie mit dem Satz von Bayes die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Unfallverursacher
alkoholisiert ist.
Hinweis: In der Formel für den Satz von Bayes kürzen sich die nicht angegebenen absoluten
Zahlenwerte für die Unfallwahrscheinlichkeiten heraus. Sie können also z.B. die bedingten
Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein alkoholisierter Fahrer einen Unfall verursacht, zu 10%
annehmen.
(b) Die vor Ort verwendeten Alkoholtestgeräte sind nicht unfehlbar und zeigen nur bei 90%
aller Alkoholisierten ein positives Ergebnis an, während sie bei 5% der Nichtbetrunkenen
einen falschen Alarm geben. Nach einer Alkoholkontrolle mit positivem Ergebnis zweifelt
ein Betroffener das Ergebnis der Messung an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er Recht,
wenn die Messung
(i) im Rahmen einer gewöhnlichen Fahrerkontrolle,
(ii) nach einem von ihm verursachten Unfall
stattfand?
Hinweis: Falls Sie Teil (a) nicht gerechnet haben, verwenden Sie den Wert 34.5 % für die
Wahrscheinlichkeit der Alkoholisierung eines Unfallverursachers.
4

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Blatt: 5 von 7
Aufgabe 5
(45 Punkte)
Bei einem Kraftstoff-Verbrauchstest werden von 5 Fahrzeugen des Typs “3-Liter Auto” die
Verbrauchswerte bestimmt:
Fahrzeug-Nr 1 2 3 4 5
Verbrauch (l/100 km) 3.05 3.35 3.2 3.0 3.0
(a) Berechnen Sie zu einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 10% das Konfidenzintervall für den
Verbrauch.
(b) Der Fahrzeughersteller gibt den mittleren Kraftstoffverbrauch des “3-Liter Autos” mit
unter 3 Litern auf 100 km an. Kann man ihn bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 10%
der Falschaussage bezichtigen? Geben Sie außerdem die Fehlerwahrscheinlichkeit an, bei
der die Aussage gerade noch angenommen wird (es genügt, den nächsten angegebenen
Wert der Tabelle zu nehmen).
(c) Das in (a) errechnete Konfidenzintervall enthält den Wert der Nullhypothese des Aufgabenteils
(b), dennoch kann man in (b) die Nullhypothese verwerfen. Erläutern Sie diese
scheinbar widersprüchlichen Ergebnisse.
(d) Der Tank des “3-Liter Autos” fasst 25 l Kraftstoff. Geben Sie, bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit
von 10%, das Konfidenzintervall für die Reichweite mit einer Tankfüllung an.
Hinweis: Verwenden Sie das Ergebnis der Teilaufgabe (a). Falls Sie (a) nicht gelöst haben,
verwenden Sie das Verbrauchs-Konfidenzintervall [2.97 l/100km, 3.27 l/100km].
(e) Kann man bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 10% die Annahme verwerfen, dass die
Standardabweichung des Verbrauchs über 0.4 l/100 km ist?
Tipp: Es ist ein einseitiger Varianztest durchzuführen.
5

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Blatt: 6 von 7
Aufgabe 6
(40 Punkte)
Um Informationen über die Mund-zu-Mundwerbung für das Bahnfahren zu erhalten, erhebt eine
Bahngesellschaft bei 100 ihrer Kunden Stichproben
(i) über die Weiterempfehlungsabsicht,
(ii) und über tatsächliche Weiterempfehlungen
in Abhängigkeit von der Benutzungshäufigkeit. Folgende Tabellen zeigen die Ergebnisse:
Empfehlungsabsicht
ganz bestimmt
eher ja
vielleicht
eher
nicht
Vielfahrer 16 5 4 1 14
Wenigfahrer - 10 15 20 15
ganz bestimmt
nicht
Tatsächlich weiterempfohlen
ja
nein
Vielfahrer 25 15
Wenigfahrer 25 35
(a) Testen Sie mit dem χ 2 -Test bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von α = 1%, ob die Empfehlungsabsicht
unabhängig von der Benutzungshäufigkeit ist.
(b) Testen Sie nun (α = 1%), ob die tatsächliche Häufigkeit der Weiterempfehlungen von der
Benutzungshäufigkeit abhängt.
(c) Ermitteln Sie aus der Tabelle der χ 2 -Quantile die zwei Fehlerwahrscheinlichkeiten, bei
der im Aufgabenteil (b) die Abhängigkeit (i) gerade noch, (ii) gerade nicht mehr, gezeigt
werden kann. Falls Sie Teil (b) nicht gelöst haben, nehmen Sie als Realisierung der χ 2 -
verteilten Testvariablen den Wert 4.17 an.
(d) Warum ist es in dieser Untersuchung wichtig, bei der Erhebung der Empfehlungsabsicht
diese zu differenzieren, also mehr als zwei Stufen zuzulassen? Begründen Sie ihre Aussage,
indem Sie in obiger Tabelle die Stufen ”ganz bestimmt”, ”eher ja” und ”vielleicht”
zur Aussage ”ja” sowie die Stufen ”eher nicht” und ”ganz bestimmt nicht” zur Aussage
”nein” zusammenfassen und den Test wiederholen. Können Sie das Ergebnis anschaulich
begründen? (Hinweis: Welche Information ginge bei der Zusammenfassung verloren?)
6

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Blatt: 7 von 7
Tabellen
Quantile t (α)
n
der Studentschen t-Verteilung
n α = 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.975 0.990 0.995 0.999 0.9995
1 0.325 0.727 1.376 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 318.31 636.62
2 0.289 0.617 1.061 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.327 31.598
3 0.277 0.584 0.978 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.215 12.924
4 0.271 0.569 0.941 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.610
5 0.267 0.559 0.920 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.869
6 0.265 0.553 0.906 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.959
7 0.263 0.549 0.896 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.408
8 0.262 0.546 0.889 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.041
9 0.261 0.543 0.883 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781
10 0.260 0.542 0.879 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.587
15 0.258 0.536 0.866 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.073
20 0.257 0.533 0.860 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 3.850
25 0.256 0.531 0.856 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 3.725
30 0.256 0.530 0.854 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.646
∞ 0.253 0.524 0.842 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090 3.291
Quantile q (m)
α
der χ 2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden
n α = 0.990 0.975 0.950 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100
1 6.60 5.02 3.84 2.71 0.45 0.02
2 9.210 7.375 5.990 4.605 3.215 2.405 1.830 1.385 1.020 0.7100 0.4450 0.2100
3 11.20 9.285 7.780 6.230 4.630 3.655 2.940 2.360 1.860 1.415 1.000 0.5750
4 13.28 11.14 9.485 7.775 5.985 4.875 4.040 3.355 2.750 2.190 1.645 1.055
5 15.23 12.89 11.10 9.250 7.295 6.065 5.135 4.350 3.655 3.000 2.340 1.605
6 17.06 14.55 12.64 10.67 8.570 7.240 6.215 5.350 4.570 3.830 3.070 2.200
7 18.79 16.14 14.13 12.05 9.820 8.395 7.290 6.350 5.495 4.675 3.825 2.835
8 20.44 17.67 15.58 13.40 11.05 9.535 8.360 7.350 6.425 5.530 4.595 3.490
9 22.03 19.17 17.00 14.72 12.26 10.67 9.420 8.350 7.360 6.395 5.385 4.170
10 23.59 20.64 18.39 16.03 13.46 11.80 10.48 9.350 8.300 7.270 6.180 4.865
15 31.01 27.66 25.08 22.35 19.34 17.34 15.75 14.35 13.04 11.73 10.31 8.550
20 38.04 34.36 31.51 28.46 25.06 22.79 20.97 19.35 17.82 16.27 14.59 12.45
30 51.43 47.20 43.89 40.32 36.28 33.55 31.33 29.35 27.45 25.51 23.37 20.61
50 76.81 71.69 67.65 63.24 58.21 54.75 51.91 49.35 46.88 44.33 41.46 37.70
100 136.7 129.9 124.5 118.6 111.7 106.9 103.0 99.35 95.82 92.14 87.95 82.36
7