Quantencomputer: Einführung

www2.tcs.ifi.lmu.de

Quantencomputer: Einführung

Quantencomputer: Einführung

Martin Lange

Institut für Informatik

Ludwig-Maximilians-Universität München

Quantencomputer: Einführung – p.1/29


Einleitung

Quantencomputer: Einführung – p.2/29


Geschichte

Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den

Gesetzen der Physik

Quantencomputer: Einführung – p.3/29


Geschichte

Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den

Gesetzen der Physik

was sind die Gesetze der Physik?

Quantencomputer: Einführung – p.3/29


Geschichte

Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den

Gesetzen der Physik

was sind die Gesetze der Physik?

klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei

Quantencomputer: Einführung – p.3/29


Geschichte

Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den

Gesetzen der Physik

was sind die Gesetze der Physik?

klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei

Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik

Quantencomputer: Einführung – p.3/29


Geschichte

Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den

Gesetzen der Physik

was sind die Gesetze der Physik?

klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei

Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik

Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik

Quantencomputer: Einführung – p.3/29


Geschichte

Computer sind physikalische Geräte, unterliegen den

Gesetzen der Physik

was sind die Gesetze der Physik?

klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei

Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik

Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik

Nachteil: nicht sonderlich intuitiv

Quantencomputer: Einführung – p.3/29


Die Church-Turing-These

allgemein akzeptiert in der Informatik:

Quantencomputer: Einführung – p.4/29


Die Church-Turing-These

allgemein akzeptiert in der Informatik:

Jeder Algorithmus kann als (probabilistische)

Turing-Maschine dargestellt werden.

Quantencomputer: Einführung – p.5/29


Die Church-Turing-These

allgemein akzeptiert in der Informatik:

Jeder Algorithmus kann als (probabilistische)

Turing-Maschine dargestellt werden.

wichtiger Aspekt des Modells Turing-Maschine:

Quantencomputer: Einführung – p.6/29


Die Church-Turing-These

allgemein akzeptiert in der Informatik:

Jeder Algorithmus kann als (probabilistische)

Turing-Maschine dargestellt werden.

wichtiger Aspekt des Modells Turing-Maschine:

Satz: Es gibt eine universelle Turing-Maschine.

Quantencomputer: Einführung – p.7/29


Die Church-Turing-These

allgemein akzeptiert in der Informatik:

Jeder Algorithmus kann als (probabilistische)

Turing-Maschine dargestellt werden.

wichtiger Aspekt des Modells Turing-Maschine:

Satz: Es gibt eine universelle Turing-Maschine.

Idee wird in jedem Computer benutzt, geht auf von Neumann

zurück

Quantencomputer: Einführung – p.8/29


Deutschs Idee

Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen Begriff

Algorithmus

Quantencomputer: Einführung – p.9/29


Deutschs Idee

Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen Begriff

Algorithmus

Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar

Quantencomputer: Einführung – p.9/29


Deutschs Idee

Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen Begriff

Algorithmus

Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar

Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine

simulieren.

Quantencomputer: Einführung – p.9/29


Deutschs Idee

Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen Begriff

Algorithmus

Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar

Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine

simulieren.

Aber was ist ?

Quantencomputer: Einführung – p.9/29


Deutschs Idee

Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen Begriff

Algorithmus

Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar

Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine

simulieren.

Aber was ist ?

Quantencomputer, da die Welt quantenmechanisch ist

Quantencomputer: Einführung – p.9/29


Von Interesse für die Informatik

Quantencomputer ist Berechnungsmodell

Quantencomputer: Einführung – p.10/29


Von Interesse für die Informatik

Quantencomputer ist Berechnungsmodell

Wie verhält er sich zu anderen (z.B. TM, Schaltkreisen,

Prog.-sprachen, . . . ) bzgl. der Berechnungsstärke?

Antwort:

Quantencomputer: Einführung – p.10/29


Von Interesse für die Informatik

Quantencomputer ist Berechnungsmodell

Wie verhält er sich zu anderen (z.B. TM, Schaltkreisen,

Prog.-sprachen, . . . ) bzgl. der Berechnungsstärke?

Antwort:

mindestens so stark:

kann per Definition TM simulieren

Quantencomputer: Einführung – p.10/29


Von Interesse für die Informatik

Quantencomputer ist Berechnungsmodell

Wie verhält er sich zu anderen (z.B. TM, Schaltkreisen,

Prog.-sprachen, . . . ) bzgl. der Berechnungsstärke?

Antwort:

mindestens so stark:

kann per Definition TM simulieren

höchstens so stark:

kann auf TM simuliert werden

Quantencomputer: Einführung – p.10/29


Das ist aber noch nicht alles . . .

Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell!

Quantencomputer: Einführung – p.11/29


Das ist aber noch nicht alles . . .

Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell!

Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn:

Quantencomputer: Einführung – p.11/29


Das ist aber noch nicht alles . . .

Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell!

Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn:

bekannte Komplexitätsklassen (P, NP, PSPACE, EXPTIME)

robust weil unabhängig von Maschinenmodell

Quantencomputer: Einführung – p.11/29


Das ist aber noch nicht alles . . .

Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell!

Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn:

bekannte Komplexitätsklassen (P, NP, PSPACE, EXPTIME)

robust weil unabhängig von Maschinenmodell

gilt das auch für Quantencomputer?

Quantencomputer: Einführung – p.11/29


Begriffsbildung

Überblick über das Seminar

Quantencomputer: Einführung – p.12/29


Begriffsbildung

Überblick über das Seminar

der Quantencomputer als Berechnungsmodell

(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )

Quantencomputer: Einführung – p.12/29


Begriffsbildung

Überblick über das Seminar

der Quantencomputer als Berechnungsmodell

(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )

Quanten-Komplexitätsklassen

Quantencomputer: Einführung – p.12/29


Begriffsbildung

Überblick über das Seminar

der Quantencomputer als Berechnungsmodell

(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )

Quanten-Komplexitätsklassen

Algorithmen für Quantencomputer

Quantencomputer: Einführung – p.12/29


Begriffsbildung

Überblick über das Seminar

der Quantencomputer als Berechnungsmodell

(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )

Quanten-Komplexitätsklassen

Algorithmen für Quantencomputer

Anwendung: Kryptographie

Quantencomputer: Einführung – p.12/29


Begriffsbildung

Überblick über das Seminar

der Quantencomputer als Berechnungsmodell

(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )

Quanten-Komplexitätsklassen

Algorithmen für Quantencomputer

Anwendung: Kryptographie

Programmiersprachen für Quantencomputer

Quantencomputer: Einführung – p.12/29


Begriffsbildung

Quantencomputer: Einführung – p.13/29


Quanten-Bits

QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer

Bit

QuBit

Zustand

Messung

liefert

Zustand

danach

Quantencomputer: Einführung – p.14/29


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Quanten-Bits

QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer

Bit

QuBit

Zustand

Messung

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danach

Quantencomputer: Einführung – p.14/29


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QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer

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Messung

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danach

Quantencomputer: Einführung – p.14/29


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Quanten-Bits

QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer

Bit

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Messung

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danach

Quantencomputer: Einführung – p.14/29


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QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer

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mit

Messung

liefert

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mit

Zustand

danach

Quantencomputer: Einführung – p.14/29


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QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer

Bit

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Messung

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danach

Quantencomputer: Einführung – p.14/29


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QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer

Bit

QuBit

Zustand

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Messung

liefert

mit

mit

mit

Zustand

danach

Quantencomputer: Einführung – p.14/29


Operationen auf QuBits . . .

. . . sind immer linear,

Quantencomputer: Einführung – p.15/29


Operationen auf QuBits . . .

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. . . sind immer linear, d.h. beschrieben durch Matrix

Quantencomputer: Einführung – p.15/29


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Quantencomputer: Einführung – p.15/29


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Operationen auf QuBits . . .

. . . sind immer linear, d.h. beschrieben durch Matrix

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Quantencomputer: Einführung – p.15/29


Welche Operationen sind zugelassen?

nur unitäre,

Quantencomputer: Einführung – p.16/29


Welche Operationen sind zugelassen?

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nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix

, wobei

mit

Quantencomputer: Einführung – p.16/29


Welche Operationen sind zugelassen?

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nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix

, wobei

mit

ist

-Einheitsmatrix

Quantencomputer: Einführung – p.16/29


Welche Operationen sind zugelassen?

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nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix

, wobei

mit

ist

-Einheitsmatrix

Quantencomputer: Einführung – p.16/29


Welche Operationen sind zugelassen?

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nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix

, wobei

mit

ist

-Einheitsmatrix

ist

mit Einträgen komplex-konjugiert

Quantencomputer: Einführung – p.16/29


Welche Operationen sind zugelassen?

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nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix

, wobei

mit

ist

-Einheitsmatrix

ist

ist

mit Einträgen komplex-konjugiert

transponiert

Quantencomputer: Einführung – p.16/29


Welche Operationen sind zugelassen?

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nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix

, wobei

mit

ist

-Einheitsmatrix

ist

ist

mit Einträgen komplex-konjugiert

transponiert

Aber auch: jede unitäre Operation ist zulässig!

Quantencomputer: Einführung – p.16/29


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Lineare Algebra

Vektorraum der Dimension

-Vektor

Quantencomputer: Einführung – p.17/29


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Lineare Algebra

Vektorraum der Dimension

-Vektor

-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen

Quantencomputer: Einführung – p.17/29


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Lineare Algebra

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Vektorraum der Dimension

-Vektor

-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen

inneres Produkt = Skalarprodukt

Quantencomputer: Einführung – p.17/29


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Lineare Algebra

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Vektorraum der Dimension

-Vektor

-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen

inneres Produkt = Skalarprodukt

äußeres Produkt,

-Matrix

Quantencomputer: Einführung – p.17/29


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Lineare Algebra

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Vektorraum der Dimension

-Vektor

-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen

inneres Produkt = Skalarprodukt

äußeres Produkt,

-Matrix

Tensorprodukt

Quantencomputer: Einführung – p.17/29


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Quantencomputer: Einführung – p.18/29



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Quantencomputer: Einführung – p.18/29



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Quantencomputer: Einführung – p.19/29


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Tensorprodukt zum Zusammenbauen größerer Systeme

Quantencomputer: Einführung – p.19/29


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und

Tensorprodukt zum Zusammenbauen größerer Systeme

Zustand eines 2-QuBit-System beschrieben durch

Quantencomputer: Einführung – p.19/29


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Operationen auf 2-QuBit-Systemen

unitäre Matrizen der Form

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Quantencomputer: Einführung – p.20/29


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Operationen auf 2-QuBit-Systemen

unitäre Matrizen der Form

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usw. für -QuBit-Systeme

Quantencomputer: Einführung – p.20/29


Quantenmechanik ist nicht intuitiv

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Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand


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Quantencomputer: Einführung – p.21/29


Quantenmechanik ist nicht intuitiv

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Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand


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messe

, dann

; Ergebnisse unabhängig voneinander

Quantencomputer: Einführung – p.21/29


Quantenmechanik ist nicht intuitiv

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Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand


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messe

, dann

; Ergebnisse unabhängig voneinander

aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand

Quantencomputer: Einführung – p.21/29


Quantenmechanik ist nicht intuitiv

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Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand


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messe

, dann

; Ergebnisse unabhängig voneinander

aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand

Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit

jeweils

Quantencomputer: Einführung – p.21/29


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Quantenmechanik ist nicht intuitiv

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Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand


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, dann

; Ergebnisse unabhängig voneinander

aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand

Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit

und Folgezustand

jeweils

Quantencomputer: Einführung – p.21/29


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Quantenmechanik ist nicht intuitiv

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Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand


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, dann

; Ergebnisse unabhängig voneinander

aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand

Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit

und Folgezustand

und Folgezustand

jeweils

Quantencomputer: Einführung – p.21/29


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Quantenmechanik ist nicht intuitiv

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Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand


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messe

, dann

; Ergebnisse unabhängig voneinander

aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand

Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit

und Folgezustand

und Folgezustand

jeweils

Messung von 2. QuBit liefert danach Wert des 1.!

Quantencomputer: Einführung – p.21/29


Schaltelemente

Lemma: Sei unitär. Dann ist unitär.

Quantencomputer: Einführung – p.22/29


Schaltelemente

Lemma: Sei unitär. Dann ist unitär.

Folgerung:

Operationen auf QuBits sind reversible

Schaltelemente haben gleiche Anzahl von Ein- und

Ausgängen

Quantencomputer: Einführung – p.22/29


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Schaltelemente

Lemma: Sei unitär. Dann ist unitär.

Folgerung:

Operationen auf QuBits sind reversible

Schaltelemente haben gleiche Anzahl von Ein- und

Ausgängen

z.B. CONTROLLED-NOT

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oder

Quantencomputer: Einführung – p.22/29


Schaltkreise . . .

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


Schaltkreise . . .

. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


Schaltkreise . . .

. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


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Schaltkreise . . .

. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


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Schaltkreise . . .

. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf

und

:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


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. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf

und

:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


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. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf

und

:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


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. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf

und

:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


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. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf

und

:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


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. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf

und

:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


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. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf

und

:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


§ § §

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Schaltkreise . . .

. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf

und

:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


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. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf

und

:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


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Schaltkreise . . .

. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verboten

ebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf

und

:

Quantencomputer: Einführung – p.23/29


Messen

Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen

Messen beeinflusst Zustand des Sytems

Quantencomputer: Einführung – p.24/29


Messen

Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen

Messen beeinflusst Zustand des Sytems

Messapparat ist ebenfalls physikalisches System

Quantencomputer: Einführung – p.24/29


Messen

Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen

Messen beeinflusst Zustand des Sytems

Messapparat ist ebenfalls physikalisches System

Sei

mögliches Resultat einer Messung

Quantencomputer: Einführung – p.24/29


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Messen

Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen

Messen beeinflusst Zustand des Sytems

Messapparat ist ebenfalls physikalisches System

Sei

mögliches Resultat einer Messung

Messung geg. durch unitären Operator

, d.h.

Messung ist

Quantencomputer: Einführung – p.24/29


Quantencomputer arbeiten anders

die Gesetze des Quantumcomputing lassen sich als Postulate

formulieren

Quantencomputer: Einführung – p.25/29


Quantencomputer arbeiten anders

die Gesetze des Quantumcomputing lassen sich als Postulate

formulieren

1. Postulat: (Zustandsraum)

Zu jedem isolierten, physikalischen System gehört ein Hilbertraum

(= komplexer Vektorraum mit innerem Produkt). Der Zustand

des Systems wird beschrieben durch einen Vektor der

Einheitslänge in diesem Raum.

Quantencomputer: Einführung – p.25/29


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2. Postulat: (Evolution)

Die Evolution eines isolierten Systems vom Zeitpunkt zu

wird durch einen unitären Operator in dem zug. Hilbertraum

beschrieben.

Quantencomputer: Einführung – p.26/29


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3. Postulat: (Messung)

Messungen sind gegeben durch eine Reihe

unitären Messoperatoren. Für diese gilt:

von

Quantencomputer: Einführung – p.27/29


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3. Postulat: (Messung)

Messungen sind gegeben durch eine Reihe

unitären Messoperatoren. Für diese gilt:

von

wird in

gemessen mit Wahrscheinlichkeit

Quantencomputer: Einführung – p.27/29


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3. Postulat: (Messung)

Messungen sind gegeben durch eine Reihe

unitären Messoperatoren. Für diese gilt:

von

wird in

gemessen mit Wahrscheinlichkeit

der Zustand nach dieser Messung ist

Quantencomputer: Einführung – p.27/29


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3. Postulat: (Messung)

Messungen sind gegeben durch eine Reihe

unitären Messoperatoren. Für diese gilt:

von

wird in

gemessen mit Wahrscheinlichkeit

der Zustand nach dieser Messung ist

die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1

Quantencomputer: Einführung – p.27/29


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4. Postulat: (Zusammengesetzte Systems)

Der Zustandsraum eines zusammengesetzten Systems ist

das Tensorprodukt der Zustandsräume seiner Komponenten.

D.h. sind Komponenten in Zuständen

das Gesamtsystem im Zustand

, dann ist

Quantencomputer: Einführung – p.28/29


The End

Quantencomputer: Einführung – p.29/29

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