Murmeln oder Wellen?

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Murmeln oder Wellen?

Die Welt der Quanten

Murmeln oder Wellen ?

Max Camenzind

Senioren Uni

Würzburg @ WS2013


• Die Krise des mechanischen Weltbildes und die

Gründerväter der modernen Physik.

• Elektromagnetische Strahlung – Maxwell, Hertz

Feldbegriff als fundamentale Größe.

• Planksches Wirkungsquantum und Photoeffekt;

• Bohrsches Atommodell – genial, aber falsch;

• De Broglie Materiewellen – ein erster Hinweis;

• Die Schrödingergleichung – der Durchbruch;

• Die Schönheit des Wasserstoff-Atoms

Themen I


James Clerk Maxwell

Ludwig Boltzmann

Joseph John Thomson

Die Gründerväter

modernen Physik

Heinrich Hertz

Max Planck

Albert Einstein


Maxwell (1861-1864)


Die klassische Physik des 19. Jahrhunderts

• Mechanik

• Newton

• Einstein

• Newton

• Coulomb

/ Lorentz

dp

F

dt

p

F

m

mm


r

1 2

2

1

1

² / c²

F q( E

B)

• Elektrodynamik

• Maxwell-Gleichungen

div E

1


div B 0

0


B

rot E t

E

1


rot B j

t


0

(so zusammengefasst in Feynman Lectures on Physics; Bd. 2)


Feldbegriff: Elektrisches Dipolfeld

E(x)


Magnetischer Dipol Erde

Feld B(x)


Elektromagnetische Wellen

1

v


c


με

o

o

c 310 8

ms

-1

const.

Wellengleichung:

2 2 2 2

E E B B

μ ε and μ ε

2 o o 2 2 o o

x t x t

2


Wellen transportieren

Energie

Energiedichte

& Poynting-Fluss

1 B

u u εE

2


B E o

2 2μ

2

o

S


1

μ o

EB


Dipolstrahlung

Beschleunigte Ladungen strahlen


Hertzsche Dipolstrahlung


Elektromagnetische Wellen

c 310 8

ms

-1

const.


Das

elektromagnetische

Spektrum Universum

Sonnenstrahlung:

l = 100 nm - 4 mm

Terrestrische

IR-Strahlung:

l = 4 mm - 100 mm


Interferenz – typisch Welle

Doppelspalt-Versuch


Doppelspalt-Experiment Laser/CCD


Laser Beugung und Interferenz


Die Ultraviolett-

Katastrophe –

Krise im 19. Jhahrhundert


Geburt der Quantentheorie

Historische Höhepunkte:

1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h ( Wirkungsquantum )

Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung

1905 Einstein Einführung des Lichtquants ( Photon ), E h

Erklärung des Photoeffekts

1907 Einstein Einführung des Gitterschwingungsquants ( Phonon ), E vib h

Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper

1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h

Erklärung des Wasserstoffspektrums

1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p ħ k

Vorhersage von Materiewellen

1926 1925 Schrödinger Wellen-Quantenmechanik

1925 Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik

Geburt der modernen

Quanten(feld)theorie


Der Schwarze Körper

Absorbiert sämtliche Strahlung

Keine Transmission oder Reflexion

Thermische Emission mit bestimmter

Intensität und spektraler Verteilung

Plancksches

Strahlungsgesetz:

Wie sieht die Energie-

Verteilung u(l) aus?

u(l)?


1900: Plancks grundlegende

Annahme Oszillatoren

im Hohlraum nur diskrete Frequ

E


h

Planksche Wirkungsquantum:

h

(6,6256 0,0005) 10

27

Js

Energie Zeit


Plancksches Strahlungsgesetz

• ein schwarzer Körper der Temperatur T

emittiert Strahlung der Frequenz mit der

Intensität

2h

3

1

( )

.


c

2

e

h

/ kT

1

B T

• Max Planck (1900): Energie kann nur

gequantelt abgegeben bzw. aufgenommen

werden (sonst „UV-Katastrophe”).


Plancksches

Strahlungsgesetz

3

2h

1

B

( T)

.

2 h

/ kT

c e 1


Plancksches Strahlungsgesetz

Sonne

Erde


Wiensches Verschiebungsgesetz

• beschreibt die Lage des Maximums der

Schwarzkörperstrahlung

l

max

T



T

Hz

K

max

10

2898 mmK oder 5.8788 10 .

• je heißer der schwarze Körper ist, desto

höher ist die Frequenz und desto kürzer ist

die Wellenlänge der emittierten Strahlung


Stefan-Boltzmann-Gesetz

• Integration des Planckschen

Strahlungsgesetzes über alle Frequenzen

und Raumwinkel in einem Halbraum liefert




0

B ( T) d T .


Gesamtstrahlung eines schwarzen

Körpers (z.B. eines Sterns) hängt nur von

der vierten Potenz der Temperatur ab.

4


Stefan-Boltzmann Konstante

• Stefan-Boltzmann-Konstante kann durch

fundamentale Konstanten h, k und c

ausgedrückt werden:


5 4

2

k

5.6710 8 Wm

-2

K

-4

.

15ch

2 3


Einstein

1905


Photonen

Licht besteht ebenfalls aus Quanten. Es setzt

je nach seiner Wellenlänge mehr oder

weniger Elektronen frei, wobei kurze Wellen

mit höherenergetischen Quanten auch

höherenergetische Elektronen erzeugen.


Photovoltaik-Anlage


Diskrete Emissionslinien

Photonen werden nur in

diskreten Einheiten emittiert


1913 Bohr Quantisierung

Wirkungsintegral

Kräftegleichgewicht:

El. Kraft = Zentrifugal

Bohr Radius


1913 Bohr-Atom Energie

Quantisierung der Energie:

Energiedifferenzen sind diskret!

erklärt Wasserstoff-Spektren: Lyman, Balmer

erklärt nicht He-Spektrum!


1913 Bohr Atom-Modell

Elektronen können nur auf

ganz bestimmten Bahnen

(sog. Schalen) existieren.


Termschema

Wasserstoff

Atom


funktioniert

aber nicht für

kompliziertere

Atome,

wie He, …


1924 - De Broglie-Wellen

Praktisches Beispiel – „langsame“ Elektronen

p

E

l

m

0

2

p

2m

h

p

v


0

h

l


h

2m

0

12.24

l 10

U

E

p

10

Wellenlänge der Elektronen im Elektronenmikroskop

E

m

;

1

2

2m

2m

Elektronen können sich wie Wellen verhalten







U

m

h

0

0

0

in

v

E

eU

2

V


Die Bohrsche Quantisierung

Warum ist das Atom stabil ?

Es passen genau drei Wellen in einen Orbit


Elektronen verhalten

sich auch wie Wellen

1927 Davisson & Germer Experiment


Die Unschärferelation

Werner Heisenberg

p

E

x

t



h / 4

h /

4

h

p

l

h

l

x

2

l

p

h

h

l

2

l

x


2

l

l

Eine weitere Eigenheit der Quantenwelt tritt auf, wenn man

bestimmte Eigenschaften eines Teilchens gleichzeitig misst.

Gewisse physikalische Größen – Ort und Impuls –

lassen sich nicht gleichzeitig exakt angeben,

egal wie genau man auch zu messen trachtet.

Das heißt etwa:

Ist die Position eines Teilchens sehr genau bekannt,

ist seine Geschwindigkeit weitgehend unbestimmt.

Umgekehrt wissen wir kaum etwas von seinem Aufenthaltsort,

wenn wir seine Geschwindigkeit sehr genau kennen.


5. Solvay Konferenz 1927 / Brüssel

Erwin Schrödinger


1926 Schrödinger-Gleichung

E


p

2

2m


V

( x,

t)

E und p

Operatoren


2


2




2m

x

2


V

( x,

t)


i

t


Interpretation Wellenfunktion

Kopenhagener Interpretation

(t,x) kann keine physikalische Welle (Feld)

darstellen, da die Funktion komplex ist.

Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen am Ort

x zur Zeit t im Intervall dx zu finden:


*

( x , t)

(

x,

t)

dx (

x,

t)

dx P(

x,

t)

dx

* t,x) (t,x) : ist reell Wahrscheinlichkeitsdichte

pro Länge (Volumen in 3D).

2


Erwartungswerte physikalisch

x

x

P

x

x

i

i

i


)

(












dx

t

x

x

dx

x

xP

x

x

2

)

,

(

)

(










dx

t

x

x

dx

x

P

x

x

2

2

2

2

)

,

(

)

(

Mittlere Position


Stationäre Zustände (Atom)

Ansatz:

(

x,

t)



( x)

T

( t)



( x)

e

iEt

/

Stationäre Schrödinger-Gleichung: Eigenwert-Glg



2

2m


2

x


2

V

( x)



E


or




E


Wahrscheinlichkeit ist auch zeitunabhängig

2

iEt

/

iEt /

P( x,

t)

(

x,

t)

*( x)

e ( x)

e ( x)

2


Der Harmonische Oszillator

Grundzustand

Nullpunktsenergie


Harmonischer Oszillator

ein Vergleich


Harmonischer Oszillator

klassischer Grenzfall: n sehr gross


Harmonischer Oszillator

Modell für Vibrationen H2 Molekül


Das Wasserstoffatom

in Kugelkoordinaten r, q, f

Separationsansatz:

Coulomb-

Potenzial

hängt nur

von r ab!

Eigenfunktionen:


Das Wasserstoffatom

Eigenwerte Die Quantenzahlen

Interpretation:

n: Hauptquantenzahl Elektronenschale Energie

l: Drehimpulsquantenzahl Unterschale s, p, d, f, g, …

m: magnetische Quantenzahl Drehimpuls L z = m h/2


Drehimpuls

z || B

des

Elektrons

Drehimpuls

ist quantisiert:

L = [l(l+1)] 1/2

h/2

L z = m h/2


Das Wasserstoffatom

Aufenthaltswahrscheinlichkeit Elektronen


Wasserstoffatom

Aufenthaltswahrscheinlichkeit


Radiale

Wellenfunktionen

= 2Zr/na 0


Kein Knoten

s: l = 0

1 Knoten

2 Knoten

Allgemein: n-l-1 Knoten


Aufenthaltswahrscheinlichkeit


Orbitale

Wellenfunktionen


Das Wasserstoffatom

1s, 2s, 2p Wellenfunktionen


Analogie: Stehende Wellen einer Trommel

1s 2s Sphärisch 3s

Frequenz:

2E/h ~ 10 16 Hz

2p 3p Dipole 4p

3d 4d Quadrupole 5d

Grafik: Wikipedia


Wasserstoff Orbitale W´keit

(2,1,0) (2,1,1)


Wasserstoff Orbitale W´keit

(3,1,0) (3,1,1)


Wasserstoff Orbitale W´keit

(3,2,0) (3,2,1)


(5,0,0) (5,1,0) (5,1,1)

(5,3,1)

(5,2,0)

(5,4,0)


Auschließungsprinzip von Pauli

Periodensystem Elemente

Zwei Teilchen mit halbzahligem

Spin (Fermionen) können sich

nie im selben Zustand befinden.

Keine Elektronen in einem

Atom können in allen

Quantenzahlen (n,l,m,s)

übereinstimmen, Schalenbau

salopp: Fermionen sind

Einzelgänger.


Bindungsenergien

Mehrelektronenatom

Wasserstoffatom


Atomarer Schalenaufbau


He-Atom Li-Atom B-Atom

Be-Atom

C-Atom


Schrödingers Katze 1935

Gleichzeitig tot und lebendig?

Zustand der Katze erst bekannt, wenn wir die Kiste öffnen.

Der Zustand kann nicht vorhergesagt werden - ist zufällig!


Die Quantenverschränkung

Ein Photon wird geteilt – beide korreliert


Zusammenfassung

• Planck führt 1900 das Wirkungsquantum h ein und erklärt

damit die Energieverteilung Hohlraumstrahlung.

• Das Atommodell von Niels Bohr (1913) ist noch zu

klassisch und kann vieles nicht erklären.

• Erst die Schrödinger Wellenfunktion bringt Klarheit und

kann die atomaren Strukturen erklären. Dies alles wurde

bereits von Erwin Schrödinger im Jahre 1926 eingeführt

und in seiner Zürcher Zeit in 6 Publikationen

veröffentlicht!

• Die Kopenhagener Interpretation (Wahrscheinlichkeits-

Interpretation) wird von meisten Physikern vertreten.

• Das Ausschließungsprinzip von Pauli erklärt den

Aufbau des Periodensystems der Atome.

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