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Aufgabe S1 (4 Punkte)

Wie lang ist die kürzeste Höhe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13?

Lösung

Das Dreieck ist rechtwinklig, da 13 2 = 12 2 + 5 2 .

Also gilt für die gesuchte Höhe auf der Hypotenuse

1

2 · h · 13 = 1 60

· 5 · 12 und somit h =

2 13 .


Aufgabe S2

Die sieben Zwerge sitzen am Tisch und unterhalten sich. Jedesmal wenn einer Schneewittchen“

sagt, tauschen sie ihre Plätze nach folgender Regel:


Ampel setzt sich auf den Platz von Kumpel, Rumpel auf den von Lumpel,

Kumpel auf den Platz von Humpel, dieser setzt sich auf Bumpels Platz,

Bumpel rückt auf den Platz von Ampel, Lumpel bekommt den Platz von

Oberschlau, und der setzt sich auf den Platz von Rumpel.

Wie oft muss der Name Schneewittchen“ genannt werden, bis jeder Zwerg wieder auf


seinem ursprünglichen Platz sitzt?

Lösung:

Es entstehen zwei Kreise“: ”

Ampel – Kumpel – Humpel – Bumpel – Ampel

und

Rumpel – Lumpel – Oberschlau – Rumpel

Im ersten Kreis sitzen alle nach dem vierten Wechsel wieder am alten Platz, im zweiten

Kreis nach dem dritten.

Dies ist unabhängig voneinander.

Insgesamt sitzen nach dem zwölften Wechsel alle wieder am Ausgangsplatz.


Aufgabe S3 (4 Punkte)

Welche der Zahlen 4, 8, 12, 15, 24, 32 teilen für alle ungeraden Zahlen n und m das Produkt

m · n · (m + n) · (m − n) ?

Lösung:

Es sind die Zahlen 4, 8, 12, 24, nämlich die in der Liste vorkommenden Teiler von 24 =

3 · 1 · (3 − 1) · (3 + 1).

Jedenfalls scheiden 15 und 32 mit diesem Argument aus.

24 erfüllt die gewünschte Bedingung, denn für zwei ungerade Zahlen m und n sind m−n

und m+n gerade, und mindestens eine davon ist durch 4 teilbar. Außerdem ist 3, wenn

es nicht m oder n teilt, ein Teiler von m − n oder m + n.

Mit 24 leisten auch die Teiler von 24 das Gewünschte.


Aufgabe S5 (4 Punkte)

Auf dem folgenden Bild sind sechs Kreise und neun Kästchen zu sehen:

Verteile die Zahlen 1 bis 9 so auf die Kästchen, dass die Summe entlang jeder Kreislinie

die gleiche ist.

Lösung:

Bis auf durch Symmetrie gewonnene Lösungen gibt es die Lösung

3 8 1

4 5 6

9 2 7


Aufgabe S6 (4 Punkte)

In ein regelmäßiges Sechseck wird ein gleichseitiges

Dreieck so eingezeichnet, dass seine Ecken Mittelpunkte

von Sechsecksseiten sind.

Wie groß ist das Verhältnis der Flächeninhalte von

Dreieck und Sechseck?

✔ ✔❚ ❚

✔ ✔ ❚❚❚❚❚❚❚❚❚

✔ ✔

✔ ✔

✔ ✔




❚✔



❚ ✔ ✔✔✔✔

Lösung

Zeichnet man in das Sechseck zu allen Seiten die Parallelen durch die Eckpunkte und

die Seitenmitten, so zerlegt man das Sechseck in 24 kleine gleichseitige Dreiecke, die alle

gleich groß sind:

✔❚


✔❚ ❚



✔ ❚❚❚❚❚❚❚❚❚

✔❚


❚ ✔




✔ ❚

❚ ❚





❚ ❚

❚✔


❚✔ ✔✔✔✔✔✔✔✔✔



❚✔ ❚ ❚


❚✔ ✔✔✔✔

Das große gleichseitige Dreieck besteht aus 9 dieser Dreiecke, also ist das Verhältnis der

Flächeninhalte

9 : 24 = 3 8 .

Man kann natürlich auch die Flächeninhalte berechnen: Nennt man die Seitenlänge des

Sechsecks a, so setzt sich das Sechseck aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge a


zusammen, hat also Fläche 6 · a2

4 3. Das große Dreieck hat Seitenlänge

3

a (warum?)

2

(

und damit Fläche 1 3 a) 2 √

4 2 3. Das Verhältnis dieser beiden Zahlen ist wieder

3

. 8


Aufgabe S7

Die Funktion

f(x) = ax + b (mit reellen Zahlen a, b, c, d)

cx + d

habe einen Pol bei 0 und erfülle lim f(x) = 1. Außerdem sei f(1) eine Nullstelle von f .

x→∞

Berechne f(1).

Lösung:

Da x = 0 ein Pol ist, ist d = 0, b ≠ 0. Wegen f(x) → 1 für x → ∞ ist a = c.

Es folgt

f(1) = (a + b)/a, f(f(1)) = (a + 2b)/(a + b)

Da f(f(1)) = 0 gelten soll, erhalten wir a = −2b. Damit ist

f(1) = (−b)/(−2b) = 1/2.


Aufgabe S8 (4 Punkte)

Wieviele Punkte der Ebene mit ganzzahligen Koordinaten haben vom Nullpunkt einen

Abstand, der größer als 3 und kleiner als 4 ist?

Lösung:

Gesucht ist |{(m n) ∈ Z 2 | 9 < m 2 + n 2 < 16}|. Da m, n ganze Zahlen sein sollen, deren

Quadrate kleiner als 16 sind, müssen sie zwischen −3 und 3 liegen. Ihre Quadrate sind

also Elemente von {0, 1, 4, 9}.

Die einzig möglichen Summen dieser Quadrate zwischen 9 und 16 sind 1 + 9 und 4 + 9.

Durch Vorzeichenwahl und Reihenfolge ergeben sich 16 Punkte mit den gewünschten

Eigenschaften.


Aufgabe S4 (4 Punkte)

Man kann auf folgende Weise eine Spirale bilden:

An einen Halbkreis mit Radius r wird ein zweiter

Halbkreis mit halbem Radius angesetzt, daran ein

.


r

.

dritter Halbkreis mit Radius r 4 usw.

Wie lange ist die gesamte Spirale?

Lösung

Die Länge eines Halbkreises mit Radius r ist πr, also ist die Länge der Spirale

πr + π r 2 + πr 4 + · · · = πr(1 + 1 2 + 1 + . . .) = πr · 2.

4

(Wenn man die Formel für die geometrische Reihe nicht kennt, zeigt man mit Induktion

1 + 1 2 + 1 4 + · · · + 1 2 n = 2 − 1 2 n.)


Aufgabe S9 (4 Punkte)

Aus einem regelmäßigen Sechseck werden

gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke ausgeschnitten.

Übrig bleibt ein Stern (siehe Abbildung).

Wie groß ist der Winkel β an der Spitze des

Sterns?

.

.

.

β

.

.

.

.

.


.

.

Lösung

Der Innenwinkel im regelmäßigen Sechseck ist 120 ◦ ; er setzt sich zusammen aus β und

zwei Dreieckswinkeln à 45 ◦ , also ist

β = 120 ◦ − 2 · 45 ◦ = 30 ◦ .

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