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17 Exponentialfunktion und Logarithmus

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Wir notieren ein weitere Konsequenz aus der Funktionalgleichung, die wir im Folgenden<br />

verallgemeinern werden.<br />

(<strong>17</strong>.3) Für alle k ∈ Z gilt exp(k) = e k .<br />

Beweis. Übung!<br />

<br />

Nun können wir wenigstens einige Punkte der <strong>Exponentialfunktion</strong> skizzieren <strong>und</strong> bekommen<br />

schon einen Eindruck des Graphen. Das wird in der Vorlesung gemacht.<br />

Der natürliche <strong>Logarithmus</strong><br />

Die Aussage (<strong>17</strong>.1.7) beinhaltet, dass exp : R → R >0 eine bijektive Funktion ist. Nach<br />

dem ersten Semester existiert dann eine (eindeutig bestimmte) Umkehrfunktion<br />

ln : R >0 → R. Diese Funktion heißt natürlicher <strong>Logarithmus</strong>.<br />

Der natürliche <strong>Logarithmus</strong> ist also definiert durch<br />

ln : R >0 → R, y = ln(x) ⇐⇒ exp(y) = x.<br />

Insbesondere gilt exp ◦ ln = id R >0 <strong>und</strong> ln ◦ exp = id R .<br />

Wir leiten einige wichtige Eigenschaften ab.<br />

(<strong>17</strong>.4) Satz. Für alle x, y ∈ R >0 gilt<br />

(1) ln(xy) = ln(x) + ln(y) (Funktionalgleichung)<br />

(2) ln(1) = 0 <strong>und</strong> ∀k ∈ Z : ln(x k ) = k · ln(x)<br />

(3) ln(x) ≤ x − 1<br />

(4) ln ist streng monoton wachsend, also injektiv.<br />

(5) ln : (R >0 , · ) → (R, +) ist ein Gruppenisomorphismus.<br />

Beweis. (1) Es gilt<br />

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />

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(2) folgert man aus (<strong>17</strong>.1.2) <strong>und</strong> mit Induktion aus (1); vgl. auch (<strong>17</strong>.3).<br />

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