¨Ubungsblatt 1

4 (10 Punkte) Sei K ein Körper und seien X,Y ∈ M(m×n,K) Matrizen. Zeigen Sie: die beiden Matrizen sind
genau dann äquivalent, wenn sie dieselbe lineare Abbildung bezüglich verschiedener Basen beschreiben.
Das heißt: Es gibt einen n-dimensionalen K-Vektorraum V mit zwei geordneten Basen A,A ′ und einen m-
dimensionalen K-Vektorraum W mit zwei geordneten Basen B,B ′ und eine lineare Abbildung Φ : V → W,
so dass gilt
X = MB A (Φ) und Y = MA′
B ′ (Φ) .
Lösungshinweis
“⇐” folgt sofort aus Satz 2.7.4.
“⇒” Seien X,Y äquivalente m × n Matrizen:
Y = SXT −1
mit S ∈ GL(m,K) und T ∈ GL(n,K). Sei A = (v 1 ,...,v n ) eine beliebige geordnete Basis von V und
B = (w 1 ,...,w m ) eine beliebige geordnete Basis von W. Betrachte die durch
Φ(v i ) =
m
∑ X ji w j
j=1
definierte lineare Abbildung. Finde nun die geordnete Basis A ′ von V mit Elementen v ′ i , die durch
v j =
n
∑
i=1
T i j v ′ i
definiert ist; analog finde eine geordnete Basis B ′ von W mit
w j =
m
∑
i=1
S i j w ′ i
und rechne
Φ(v ′ i ) = Φ(∑ j Tji
−1 v j ) = ∑ j Tji −1 Φ(v j )
= ∑ j,k X k j Tji
−1 w k = ∑ jkl S lk X k j Tji
−1 w ′ l = ∑ l Y li w ′ l