2.4 Summen und Produkte.pdf
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<strong>2.4</strong> <strong>Summen</strong> <strong>und</strong> <strong>Produkte</strong>
Rechnen mit <strong>Summen</strong> <strong>und</strong> <strong>Produkte</strong>n:<br />
- Indizes dürfen umbenannt werden<br />
- Indizes dürfen verschoben werden<br />
- <strong>Summen</strong> <strong>und</strong> <strong>Produkte</strong> dürfen aufgespalten <strong>und</strong> vereinigt werden<br />
- <strong>Summen</strong> können addiert werden<br />
- eine Summe kann mit einer Zahl multipliziert werden (analoge Regel gilt nicht für <strong>Produkte</strong>!)
Arithmetische <strong>Summen</strong>formel
Geometrische <strong>Summen</strong>formel
Rekursive Definitionen<br />
Potenzen:<br />
Fakultäten (Faktorielle):
Vollständige Induktion<br />
Die vollständige Induktion (Dominoprinzip) dient zum Beweis, dass eine Aussage A(n) für<br />
alle natürlichen Zahlen n richtig ist.<br />
- Induktionsanfang: Aussage A(1) ist richtig.<br />
- Schluss von n auf n+1: Man zeigt, dass aus der Aussage A(n) die Aussage A(n+1) folgt.
Beispiele:<br />
1. arithmetische <strong>Summen</strong>formel
Jakob Bernoulli (1655 - 1705)<br />
Schweizer Mathematiker<br />
Bernoulli'sche Ungleichung
Permutationen<br />
Eine Permutation ist eine Anordnung von n Elementen a,b,... in irgendeiner<br />
Reihenfolge<br />
Satz: Eine Menge von n Elementen besitzt n! verschiedene Anordnungen.
Kombinationen<br />
Kombination zur Klasse k: Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten um k Elemente aus n<br />
verschiedenen Elementen herauszugreifen.<br />
Binomialkoeffizient "n über k"
Eigenschaften von Binomialkoeffizienten:
Pascal'sches Dreieck
Der Name geht auf Blaise Pascal<br />
zurück. Das Pascalsche Dreieck war<br />
jedoch schon früher bekannt <strong>und</strong> wird<br />
deshalb auch heute noch nach<br />
anderen „Entdeckern“ benannt. In<br />
China spricht man vom Yang-Hui-<br />
Dreieck (nach Yang Hui), in Italien<br />
vom Tartaglia-Dreieck (nach Niccolò<br />
Fontana Tartaglia) <strong>und</strong> im Iran vom<br />
Chayyām-Dreieck (nach Omar<br />
Chayyām).
Binomischer Lehrsatz