Vorlesung Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen - 2 ...

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Vorlesung Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen - 2 ...

Vorlesung

Numerische

Berechnung

von Leichtbaustrukturen

Dr.-Ing. H.

Köppe

2. Vorlesung

Folie 1 -

Flächentragwerke

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Flächentragwerke

Folie 3 -

Elastische

Platten

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Klassische

Plattentheorie

Folie 5 -

Klassische

Plattentheorie

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Klassische

Plattentheorie

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Klassische

Plattentheorie

Vorlesung Numerische Berechnung von

Leichtbaustrukturen

2. Vorlesung

Dr.-Ing. H. Köppe

Institut für Mechanik

9. November 2012


Flächentragwerke

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Plattentheorie

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Plattentheorie

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Plattentheorie

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Klassische

Plattentheorie

Definition

Dies ist eine Sammelbezeichnung für Tragwerke deren

Konstruktionselemente Flächen sind. Eine geometrische

Ausdehnung einer Vorzugsrichtung ist klein gegenüber den

beiden anderen Richtungen. Es wird unterschieden in ebene und

gekrümmte Flächentragwerke bzw. in Faltwerke und Schalen.

Scheiben


Flächentragwerke

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Platten

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Plattentheorie

Schalen


Elastische Platten

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Numerische

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von Leichtbaustrukturen

Dr.-Ing. H.

Köppe

Definition

Eine Platte ist ein ebenes Flächentragwerk, bei dem die zunächst

ebene Mittelfläche durch eine Belastung senkrecht zu ihr

bzw. durch Biegemomente eine Krümmung erfährt.

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Platten

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Plattentheorie

Rechteckplatte

Kreisplatte


Klassische oder Kirchhoffsche Plattentheorie

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Plattentheorie

Annahmen

Belastungen

- p(x, y), q(x, y), F – Senkrecht (normal) zur Plattenmittelfläche

- M x , M y – Biegemomentenbelastungen

- T (x, y, z) – Temperaturbelastungen (Die Temperaturbelastung

muss eine lineare Funktion in z sein (linear über

die Plattendicke h ))

Plattendicke

- Die Plattendicke h


Klassische oder Kirchhoffsche Plattentheorie

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Plattentheorie

Annahmen

Bernoulli Hypothese

- Punkte auf einer Normalen zur unverformten Mittelfläche

liegen auch nach der Verformung auf einer Normalen zur

verformten Mittelfläche - Querschnitte bleiben eben

Materialverhalten

- Linearelastisches, homogenes, isotropes Material

(Hookesche Gesetz)

Die Materialkonstanten (E, G, ν, α) sind unabhängig von

den Koordinaten

Spannungszustand

- Für die Kirchhoffsche Platte ergibt sich ein ebener

Spannungszustand mit den Spannungen σ x , σ y , τ xy


Klassische oder Kirchhoffsche Plattentheorie

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Plattentheorie

Anmerkung

Verzerrungen und Dehnungen in der Plattenmittelfläche infolge von

w(x, y) werden vernachlässigt

Gleichgewichtbedingungen am unverformten differentiellen Element

(Theorie 1. Ordnung).

Die Annahmen γ xz = γ yz = 0 und ɛ z = 0 und der daraus folgende

ebene Spannungszustand (σ z = 0 , τ xz = τ zx = 0,

τ yz = τ zy = 0) in der Platte bedeutet nicht, dass diese Spannungen

nicht auftreten.

Die Voraussetzungen lassen lediglich die Berechnung dieser

Spannungen nicht mehr aus dem Hookeschen Gesetz zu

Sie müssen aus gesonderten Gleichgewichtsbedingungen ermittelt

werden.

Die Spannung σ z nimmt Werte zwischen der Belastung p(x, y) und

Null.


Klassische oder Kirchhoffsche Plattentheorie

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Plattentheorie

Anmerkung

Werden bestimmte Voraussetzungen weggelassen, so erhalten wir

eine verschärfte Plattentheorie:

- Plattentheorie für große Verformungen

- Plattentheorie für dicke Platten

- Reißnersche Plattentheorie (Wegfall der Bernoullischen

Hypothese)


Grundgleichungen in kartesischen Koordinaten

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Scheibenschnittgrößen

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Differentielles Plattenelement

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Plattentheorie

=⇒

+

Plattenschnittgrößen


Schnittgrößen

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Plattentheorie

Definition

Scheibenschnittgrößen

F Rx = ∫ h 2

− h σ x dydz =⇒ n x = F Rx

dy =∫ h 2

2

− h σ x dz

2

F Ry = ∫ h 2

− h σ y dxdz =⇒ n y = F Ry

dx =∫ h 2

2

− h σ y dz

2

n xy = ∫ h 2

− h τ xy dz

2

n yx = ∫ h 2

− h τ yx dz

2


Schnittgrößen

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Plattentheorie

Definition

Plattenschnittgrößen

F Rx = ∫ h 2

− h σ x dydz =⇒ m x = F Rx

dy z=∫ h 2

2

− h σ x z dz

2

F Ry = ∫ h 2

− h σ y dxdz =⇒ m y = F Ry

dx z=∫ h 2

2

− h σ y z dz

2

m xy = ∫ h 2

− h τ xy z dz m yx = ∫ h 2

2

− h τ yx z dz

2

q x = ∫ h 2

− h τ xz dz q y = ∫ h 2

2

− h τ yz dz

2


Gleichgewichtsbedingungen

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Plattentheorie

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Klassische

Plattentheorie

≪ x M:

−(q y +q y,y dy)dx dy 2 −qy dx dy +(my +my,y dy)dx

2

−m y dx+(m xy +m xy,x dx)dy−m xy dy=0

m y,y +m xy,x −q y =0

m x,x +m yx,y −q x =0

q x,x +q y,y +p n(x,y)=0


Gleichgewichtsbedingungen

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Plattentheorie

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Plattentheorie

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Plattentheorie

Anmerkungen

Scheiben- und Plattengleichgewichtsbedingungen sind

nicht miteinander gekoppelt

⇒ Scheiben- und Plattenproblem sind für kleine

Verformungen unabhängig voneinander.

Plattenschnittgrößen treten nur dann auf, wenn die

Belastung senkrecht zur Mittelfläche wirkt und

Scheibenschnittgrößen sind nur vorhanden, wenn eine

Belastung parallel zur Mittelfläche erfolgt.

Trennung von Scheiben- und Plattenproblem ist nur

möglich, weil das Flächentragwerk eben ist, die

Gleichgewichtsbedingungen aufgrund kleiner Verformungen

am unverformten System ( Theorie 1.Ordnung) ermittelt

werden.


Gleichgewichtsbedingungen

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Plattentheorie

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Plattentheorie

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Plattentheorie

Anmerkungen

Diese Trennung tritt nicht auf bei großen Verformungen

(Gleichgewicht am verformten System) und bei

gekrümmten Flächentragwerken (Schalen).

Bei Betrachtung des reinen Plattenproblems erkennt man

an den Gleichungen für die Plattenschnittgrößen , dass in

den 3 Gleichgewichtsbedingungen 5 unbekannte

Schnittgrößen auftreten.

⇒ das Plattenproblem ist innerlich statisch

unbestimmt (2-fach).

⇒ Verformungsbetrachtungen sind notwendig.


Verzerrungs - Verformungsbeziehungen

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Plattentheorie

Annahmen

Bernoullische Hypothese (Normalenhypothese) -

Querschnitte bleiben bei der Verformung eben.

Verformungen sind klein.

Verzerrungen der Schalenmittelfläche können

vernachlässigt werden.

Keine Änderung der Plattendicke h während der

Verformung ( ɛ(z) = 0).

⇒ Somit ist die Plattenverformung w nur von den

Koordinaten x und y der Plattenmittelfläche

abhängig.


Verzerrungs - Verformungsbeziehungen

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Annahmen

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Plattentheorie

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Plattentheorie

v x (z)=−zw ,x

v y (z)=−zw ,y

ɛ x = dvx (dx+vx +vx,x dx−vx )−dx

= dx dx

ɛ x =v x,x =−zw ,xx

ɛ y = dvy (dy+vy +vy,y dy−vy )−dy

= dy dy

ɛ y =v y,y =−zw ,yy

γ xy =γ yx =v x,y +v y,x =−2zw ,xy


Stoffgesetz

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Plattentheorie

Annahmen

Das Stoffgesetz stellt einen Zusammenhang zwischen den

Verzerrungen, Temperaturdehnungen und Spannungen her.

Laut Voraussetzungen gilt das Hookesche Gesetz für den

ebenen Spannungszustand.

Auflösung nach den Dehnungen

ɛ x = 1 [σx −νσy ]+αT

E

ɛ y = 1 [σy −νσx ]+αT

E

γ xy =γ yx = 2(1+ν) τ E xy = τxy

G

Auflösung nach den Spannungen

σ x =

E

E

1−ν2 [ɛx +νɛy ]− 1−ν αT

σ y =

E

E

1−ν2 [ɛy +νɛx ]− 1−ν αT

τ xy =τ yx = E) γxy =Gγxy

2(1+ν


Temperaturdehnugen

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Annahmen

Das Temperaturglied αT darf auf Grund der Voraussetzungen

(Normalenhypothese, d. h. die Querschnitte

bleiben eben) maximal eine lineare Funktion von z sein.

Liegt ein davon abweichender Verlauf vor, so bleibt der

Querschnitt nicht mehr eben, da ɛ x und ɛ y einen

nichtlinearen Verlauf annehmen

Beschreibung der linearen Temperaturverteilung über die Plattendicke h

⇒ T (x, y, z) = n + mz

T (x,y,z) = t m(x,y)+∆t(x,y) z h

T (x,y,z) = t 1 +t 2

2 +(t 2 −t 1 ) z h


Temperaturdehnugen

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Plattentheorie

Anmerkung

Die lineare Verteilung der Temperaturerhöhung über h ist in einen

konstanten Anteil und einen linear verlaufenden Anteil aufgeteilt

Der konstante Anteil t m(x, y) ruft nur Scheibenschnittgrößen (n x , n y , , nxy)

hervor.

Der lineare Temperaturanteil ∆t(x, y) z beansprucht somit allein die Platte

h

und geht deshalb in das Temperaturglied ein

Auch im Temperaturmoment m T fällt der Anteil t m(x, y) automatisch

heraus, wenn dort über T (x, y, z) = t m (x, y) + ∆t(x, y)∆ z h integriert

wird.

m T = Eh2 α∆t

12(1−ν)

Für dünne Platten können mit dieser Funktion T (x, y, z) fast alle

praktischen Temperaturbelastungen behandelt werden.

In vielen Fällen sind nur t 1 und t 2 bekannt.

Über den Verlauf im Inneren der Platte sind oft keine Werte bekannt.

Messungen schwierig oder unmöglich; Berechnung aufwendig und zum Teil

nur näherungsweise möglich. In den Fällen bleibt nur die Annahme einer

linearen Temperaturverteilung übrig.


Plattendifferentialgleichung

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Plattentheorie

Ableitung einer Gleichung für die Plattenverschiebung w(x, y) durch

Eliminierung aller Unbekannten aus den obigen Gleichungen.

1 Ersetzen der Dehnungen im Hookeschen Gesetz

z. B.

σ x = E

1−ν2 [ɛx +νɛy ]−

1−ν E αT

ɛ x = v x,x =−zw ,xx

ɛ y = v y,y =−zw ,yy

T (x,y,z) = ∆t(x,y) z h

σ x = − Ez

1−ν2 [w,xx +νw,yy ]−

1−ν E α∆t z h

σ y = − Ez

1−ν2 [w,yy +νw,xx ]−

1−ν E α∆t z h

τ xy = τ yx =−

1+ν Ez w,xy =−2Gw,xy


Plattendifferentialgleichung

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Plattentheorie

2 Berechnen der Schnittmomente

z. B.

m x =

∫ h 2

− h σ x z dz = ∫ h 2


2

h (− Ez

1−ν2 [w,xx +νw,yy ]−

1−ν E α∆t z )z dz

h

2

m x = − E

1−ν 2 [w,xx +νw,yy ] ∫ h 2

− h z 2 dz− Eα∆t ∫ h 2

(1−ν)h


2

h z 2 dz

2

m x = − Eh3

12(1−ν 2 ) [w,xx +νw,yy ]− Eh2 α∆t

12(1−ν)

mit

K = Eh 3

12(1−ν 2 )

= −K[w ,xx +νw ,yy ]−m T

Biegesteifigkeit der Platte [Nmm]

m T = Eh 2 α∆t

12(1−ν)

Temperaturmoment der Platte [N]

m T = K(1+ν) α h) (t 2−t 1 )

m y = − Eh3

12(1−ν 2 ) [w,yy +νw,xx ]− Eh2 α∆t

12(1−ν)

m xy = m yx = −(1−ν)Kw ,xy

= −K[w ,yy +νw ,xx ]−m T


Plattendifferentialgleichung

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Klassische

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Plattentheorie

3 Ersetzen der Querkräfte

Gleichgewichtsbedingungen :

m y,y + m xy,x − q y = 0

m x,x + m yx,y − q x = 0

q x,x + q y,y + p n(x, y) = 0

q y = +m y,y + m xy,x

q x = +m x,x + m yx,y

q y,y = +m y,yy + m xy,xy

q x,x = +m x,xx + m yx,yx

+m x,xx + m yx,yx + m y,yy + m xy,xy + p n(x, y) = 0

+m x,xx + m y,yy + 2m xy,xy + p n(x, y) = 0


Plattendifferentialgleichung

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Plattentheorie

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Klassische

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Plattentheorie

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Klassische

Plattentheorie

3 Ersetzen der Querkräfte

m y,yy = −K[w ,yyyy + νw ,xxyy ] − m T ,yy

m x,xx = −K[w ,xxxx + νw ,yyxx ] − m T ,xx

m xy,xy = −(1 − ν)Kw ,xxyy

+m x,xx + m yx,yx + m y,yy + m xy,xy + p n(x, y) = 0

− K[w ,xxxx + νw ,yyxx ] − m T ,xx − K[w ,yyyy + νw ,xxyy ] − m T ,yy −

2((1 − ν)Kw ,xxyy ) + p n(x, y) = 0

K(w ,xxxx + 2w ,xxyy + w ,yyyy ) = p n(x, y) − m T ,xx − m T ,yy


Plattendifferentialgleichung

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4 Plattendifferentialgleichung in kartesischen Koordinaten

Anmerkung

Laplace (Delta)-Operator : ∆(...) = (...) ,xx + (...) ,yy

Plattendifferentialgleichung : K∆∆w(x, y) = p n(x, y) − ∆m T (x, y)

Die Plattendifferentialgleichung ist eine lineare, inhomogene, partielle

Differentialgleichung 4. Ordnung (inhomogene Bipotentialgleichung).

Die Lösungsfunktion , die die Differentialgleichung erfüllt enthält maximal 8

Integrationskonstanten.

Die Bestimmung der Integrationskonstanten erfolgt über die Auswertung

der Randbedingungen des jeweiligen Problems.

Ist die Lösung w(x, y) bekannt, so sind die Schnittgrößen und die

Spannungen σ x , σ y und τ xy berechenbar.


Plattendifferentialgleichung

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Randbedingungen

Die Lösung der Plattendifferentialgleichung kann 8 Integrationskonstanten

enthalten. Diese müssen so bestimmt werden, dass die Randbedingungen

des jeweils vorliegenden Plattenproblems erfüllt werden.

Mit drei Randschnittgrößen (Biegemoment, Drillmoment und Querkraft) an

jedem Rand ist z. B. bei einer Rechteckplatte die vollständige Erfüllung der

Randbedingungen für die Randschnittgrößen an allen vier Rändern im

Allgemeinen nicht möglich (8 Integrationskonstanten ≠ 12 Schnittgrößen

an den vier Rändern) .

Ausnahmen: spez. Randbedingungen, vgl. z. B. eingespannten Rand und

rotationssymmetrisch belastete und gelagerte Kreisplatte.

Diese Tatsache hängt mit den getroffenen Vereinfachungen bzw. Annahmen

(Vernachlässigung der Querkraftschubverzerrungen) zusammen.

Die Lösung des Problems erfolgt über die Zusammenfassung zweier

Schnittgrößen zu einer Ersatzschnittgröße (Drillmoment und Querkraft

werden zu einer Ersatzquerkraft zusammengefasst).

Anmerkung


Plattendifferentialgleichung

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Klassische

Plattentheorie

Randbedingungen

Die Lösung der Plattendifferentialgleichung kann 8 Integrationskonstanten

enthalten. Diese müssen so bestimmt werden, dass die Randbedingungen

des jeweils vorliegenden Plattenproblems erfüllt werden.

Mit drei Randschnittgrößen (Biegemoment, Drillmoment und Querkraft) an

jedem Rand ist z. B. bei einer Rechteckplatte die vollständige Erfüllung der

Randbedingungen für die Randschnittgrößen an allen vier Rändern im

Allgemeinen nicht möglich (8 Integrationskonstanten ≠ 12 Schnittgrößen

an den vier Rändern) .

Ausnahmen: spez. Randbedingungen, vgl. z. B. eingespannten Rand und

rotationssymmetrisch belastete und gelagerte Kreisplatte.

Diese Tatsache hängt mit den getroffenen Vereinfachungen bzw. Annahmen

(Vernachlässigung der Querkraftschubverzerrungen) zusammen.

Die Lösung des Problems erfolgt über die Zusammenfassung zweier

Schnittgrößen zu einer Ersatzschnittgröße (Drillmoment und Querkraft

werden zu einer Ersatzquerkraft zusammengefasst).


Plattendifferentialgleichung

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Randbedingungen

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2. Vorlesung

Folie 1 -

Flächentragwerke

Folie 2 -

Flächentragwerke

Folie 3 -

Elastische

Platten

Folie 4 -

Klassische

Plattentheorie

Folie 5 -

Klassische

Plattentheorie

Folie 6 -

Klassische

Plattentheorie

Folie 7 -

Klassische

Plattentheorie

Ersatzquerkraft q x :

q x = q x + m xy,y = −K[w ,xxx + (2 − ν)w, xyy] − m T ,x

Ersatzquerkraft q x :

q y = q y + m xy,x = −K[w ,yyy + (2 − ν)w, xxy] − m T ,y

Ausnahmen: spez. Randbedingungen, vgl. z. B. eingespannten Rand und

rotationssymmetrisch belastete und gelagerte Kreisplatte.

Diese Tatsache hängt mit den getroffenen Vereinfachungen bzw. Annahmen


Plattendifferentialgleichung

Vorlesung

Numerische

Berechnung

von Leichtbaustrukturen

Dr.-Ing. H.

Köppe

2. Vorlesung

Folie 1 -

Flächentragwerke

Folie 2 -

Flächentragwerke

Folie 3 -

Elastische

Platten

Folie 4 -

Klassische

Plattentheorie

Folie 5 -

Klassische

Plattentheorie

Folie 6 -

Klassische

Plattentheorie

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Klassische

Plattentheorie

Anmerkung

Die geschlossene Integration der Plattendifferentialgleichung unter

Berücksichtigung der Randbedingungen ist nur für Sonderfälle möglich.

Die inhomogene Differentialgleichungen wird durch Überlagerung einer

partikulären Lösung w p und einer homogenen Lösung w h gelöst.

Die partikuläre Lösung w p ist eine spezielle Lösung der inhomogenen

Differentialgleichung (Erfassung des Einflusses der kontinuierlichen

Belastungen p n(x, y) und m T (x, y), muss aber keine Randbedingungen

erfüllen).

Die homogene Lösung w h ist eine Lösung der homogenen

Differentialgleichung mit entsprechenden Integrationskonstanten.

Die Integrationskonstanten müssen dann so bestimmt werden, dass die

Gesamtlösung alle Randbedingungen erfüllt.

Aufgrund der Gleichheit der homogenen Plattendifferentialgleichung

(∆∆w = 0) und der Scheibengleichung (∆∆F = 0), lassen sich die

Lösungen dieser Scheibengleichung als homogene Lösung des

Plattenproblems verwenden.

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