Übung 2

Übungen zu Aktivitätsanalyse und Kostenbewertung im Sommer 2013
Aufgabenblatt 2
Aufgabe 1: Produktionsprogrammplanung/Lineare Optimierung
(adaptiert aus Winston, Operations Research)
Sailco Corporation muss entscheiden, wie viel Segelboote in jedem der nächsten vier
Quartale produziert werden sollen (ein Quartal = drei Monate). Die Nachfrage während jedes
der nächsten vier Quartale ist wie folgt:
Quartal: 1 2 3 4
Nachfrage: (Segelboote) 40 60 75 25
Sailco muss die Nachfrage zeitgerecht erfüllen. Zu Beginn des ersten Quartals hat Sailco
einen Bestand von zehn Booten. Zu Beginn eines jeden Quartals muss entschieden werden,
wie viele Segelboote während dieses Quartals produziert werden sollen. Es sei unterstellt,
dass die Segelboote, die während eines Quartals gefertigt werden, noch im selben Quartal
abgesetzt werden können. In jedem Quartal kann Sailco bis zu 40 Segelboote für $400 in
Normal-Arbeitszeit herstellen. Im Rahmen von Überstunden können zusätzliche Boote zu
$450 je Boot hergestellt werden.
Am Ende eines jeden Quartals (nach Produktion und Erfüllung der Nachfrage) entstehen
Lagerkosten von $20 je Segelboot.
Formulieren Sie ein lineares Programm, um ein Produktionsprogramm zu bestimmen,
welches die Summe aus Produktions- und Lagerkosten minimiert!
Aufgabe 2: Produktionsprogrammplanung/Lineare Optimierung
Zwei Produkte werden auf drei Maschinen gefertigt. Der Deckungsbeitrag des ersten Produkts
beträgt € 400, der des zweiten Produkts € 900. Je Einheit beansprucht Produkt 1 eine
Maschinenstunde und Produkt 2 4 Maschinenstunden auf Maschine 1. Für Maschine 2 und
Maschine 3 sind die entsprechenden Zeitbedarfe durch (2h/1h) bzw. (1.5h/3h) gegeben. Pro
Monat steht die erste Maschine 40 h, die zweite Maschine 42 h und die dritte Maschine 36 h
zur Verfügung.
a) Formulieren Sie ein lineares Programm.
b) Bestimmen Sie grafisch das optimale Produktionsprogramm
c) Bestimmen Sie das optimale Produktionsprogramm mit Hilfe des Simplexalgorithmus.
Aufgabe 3: Lineare Optimierung
Die folgende Tabelle ist ein unvollständig ausgefülltes Endtableau zu dem LP:
max G(
x , x , x ) 15x
10x
10x
u.
d.
N.
2x
x
1
4x
1
1
x
x
4x
x , x
1
2
1
2
2
3x
2x
2
2
x
, x
3
3
3
3
3
29
74
0
9
1
2
3
x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3
1 0 0 -0,6 1,4 0,2 10
0 0 1 0,8 -1,2 -0,1 5
0 1 0 0,2 -0,8 0,1 6
0 0 0 1 1
a) Bestimmen Sie bitte die optimale Lösung, den optimalen Zielfunktionswert G* und den
Schattenpreis der dritten Nebenbedingung.
b) Wie hoch wären die Opportunitätskosten je Aktivitätsniveaueinheit, wenn das Management
dazu gezwungen würde, ohne Zielfunktionsbeitrag die Aktivität mit dem Vektor (3, 3, 1) (die
Koeffizientenspalte hier als Zeile geschrieben) aufzunehmen?

Aufgabe 4: Lineare Optimierung
Die folgende Tabelle
x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3
0,875 1 0 0,25 0 0,125 27
-2,125 0 0 -0,75 1 0,125
0,625 0 1 -0,25 0 0,375 21
12,875 0 0 0 4,125
ist ein unvollständig ausgefülltes Endtableau zu dem LP-Problem mit dem Ausgangstableau
x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 b
2 3 -1 1 0 0 60
-1 2 -1 0 1 0 80
3 2 2 0 0 1 96
-4 -15 -6 0 0 0 0
a) Wie groß ist der optimale Zielfunktionswert z*?
b) Wie groß ist der Wert der Schlupfvariablen s 2 in der optimalen Lösung?
c) Wie groß ist der optimale Schattenpreis u 1 der ersten Restriktion?
Aufgabe 5: Dualität
Betrachten Sie folgendes Programm:
max z x x
u.
d.
N.
4x
x
1
1
x , x
1
1
x x
2
2
2
x 40
80
0
1
100
2
a) Das optimale Simplextableau ist wie folgt:
Basis b i x 1 x 2
x 1 20/3 1 0 1/3 -1/3
x 2 220/3 1 -1/3 4/3 0
x 5 100/3 0 0 -1/3 1/3 1
Z 0 0 0 1
bezeichnen die Schlupfvariablen für die Nebenbedingungen 1, 2 und 3.
Vervollständigen Sie die leeren Felder des Tableaus, ohne den Simplexalgorithmus selbst
durchzurechnen!
b) Formulieren Sie das duale Programm zu der primalen Aufgabe in a).
c) Das optimale Tableau des dualen Programms ist gegeben durch
Basis b i y 1 y 2 y 3
y 1 0 1 0 1/3 -1/3 1/3
y 2 1 0 1 -1/3 1/3 -4/3
f’ -80 0 0 100/3 20/3 220/3
Lesen Sie aus diesem Tableau die Opportunitätskostenwerte (Schattenpreise) für die
beschränkt verfügbaren Güter des primalen Programms ab.
Lesen Sie zudem ab, wie viel dem Entscheider eine (marginalen) Lockerung der Restriktionen
des dualen Programms Wert ist.