Differentialgleichungen

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Beispiel: y ⋅ y'
= mit dem AWP y(1)=1 , für x gelte x>0 . Umgeschrieben ergibt sich
x
1 1
y'
= 2
y
⋅ x
, d.h. f ( x)
= 1/
x und 2
g ( y)
= 1/ y .
1. g(y) besitzt keine Nullstelle.
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2. Trennung der Variablen ergibt y dy = dx .
x
2 1 3
3. Unbestimmtes Integrieren ergibt G ( y ) =
∫
y dy = y + K1
und
3
1
F ( x)
=
∫
dx = ln( x)
+ K 2 . Die allgemeine Lösung lautet somit 1 y 3 − ln( x)
= C .
x
3
4. Das AWP führt dann zu
1 1
1 3 − ln(1) = C = . Somit lautet die gesuchte partikuläre
3
3
3
3
Lösung y − 3ln( x)
= 1 bzw. explizit y = 3 ⋅ln(
x)
+ 1 .
Diese sind von der allgemeinen Form
Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
y '(
x)
+ a(
x)
y(
x)
= f ( x)
.
Ist f ( x ) ≠ 0so handelt es sich um eine inhomogene DGL, anderenfalls um eine homogene
DGL. Man muss unbedingt beachten, dass der Faktor vor y’(x) in dieser Darstellung gleich 1
ist, weil nur dann die folgenden Lösungsverfahren angewendet werden können. Die
zugeordnete homogene DGL lautet
y '(
x)
+ a(
x)
y(
x)
= 0 ,
welche durch Trennung der Variablen auf die Form
dy(
x)
dy(
x)
= −a(
x)
y(
x)
⇒ = −a(
x)
dx
dx
y(
x)
gebracht werden kann. Wie bei den trennbaren DGLn beschrieben, kann die zugeordnete
homogene DGL leicht gelöst werden und ergibt
mit der Stammfunktion
− A(
x)
yh ( x)
= c ⋅ e = c ⋅ ~ yh(
x),
c ∈R ,
∫
A ( x)
= a(
x)
dx .
Die allgemeine vollständige Lösung y(x) der inhomogenen DGL ergibt sich aus
y(
x)
=
− A(
x)
yh ( x)
+ y
p(
x)
= c ⋅ e + y
p
( x)
,
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