Leseprobe - Pearson Studium

pearson.studium.de

Leseprobe - Pearson Studium

Geometrie

Punkte in Bewegung

3


3

Punkt und ebene Figuren

Geometrie

Mathematik zum Anschauen

Punkt und ebene Figuren

Zu sehen ist er nicht, und wenn man die Darstellung noch so sehr vergrößern

wür de. Denn ein mathematischer Punkt hat keine Ausdehnung.

Damit man sich aber eine Vorstellung machen kann, machen wir

ihn ein bisschen größer und zeichnen einen mehr oder weniger dicken

Batzer (in diesem Büchlein sogar ein kleines Wesen):

Der Punkt hat eine ähnliche Bedeutung wie die Zahl Null in der Algebra.

Ohne Punkt keine Geometrie. Weil der Punkt sich in keine Richtung

ausdehnt, sagt man auch, er habe die Dimension 0. Aber warte nur ...

56

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944


Geometrie

3

Wenn sich der Punkt in eine Richtung bewegt, entsteht etwas Neues:

die Gerade.

Sie hat nur in einer Richtung eine Ausdehnung. Deshalb ist sie unendlich

dünn. Man sagt auch, sie habe die Dimension 1.

Mit zwei Punkten ist eine Strecke eindeutig definiert. Damit man sich

bequemer über alles unterhalten kann, bekommen die Elemente in der

Geometrie Namen. Sie sind meist nur einen Buchstaben lang − wohl

wegen der Schreibfaulheit der Mathematiker.

Die Ebene hat zwei Ausdehnungen, also zwei Dimensionen. Zweidimensionale

Geometrie ist ganz praktisch, denn sie hat genauso viele

Dimensionen wie ein Blatt Papier.

59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384

57


3

Punkt und ebene Figuren

Der Unterschied ist, dass die Ebene als abstrakte mathematische Idee

unbegrenzt ist, das Blatt Papier aber irgendwo anfängt und aufhört. Es

ist sogar verschieden lang in die beiden Richtungen.

Miss die Seiten dieses Büchleins ab; es misst ca. 21 cm in der Länge und

ist 14,85 cm breit. Das ist das DIN-Format A 5.

Warum diese krummen Zahlen und warum A 5? Dieses Rätsel lösen wir

bei den Gleichungen auf Seite 103.

Eine ebene Figur mit

nur zwei Eckpunkten

gibt es nicht.

Eine Figur mit drei

Eckpunkten heißt

Dreieck

58


Geometrie

3

Von solchen Dreiecken gibt es etliche Sonder formen. Zum Beispiel das

gleichschenklige Dreieck.

Ähnlichkeit

Dreiecke können verwandt sein. Wenn wir das gleichschenklige Dreieck

in der Mitte falten, entstehen zwei deckungsgleiche Dreiecke. Der Fachmann

sagt kongruente Drei ecke. Das ist der höchste Verwandtschaftsgrad

bei Dreiecken.

Wenn nur die Winkel gleich sind, heißen die Dreiecke ähnlich. Bei ähnlichen

Dreiecken sind die Seiten zwar nicht gleich, aber die entsprechenden

Seiten stehen im gleichen Verhältnis zueinander. Das kann

man in der Praxis viel fältig ausnutzen.

46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489

59


3

Ähnlichkeit

Die Ähnlichkeit von Dreiecken lässt sich zum Beispiel sehr schön zur

Ent fernungs messung verwenden.

Du stehst am Ufer eines Sees und würdest gern herausfinden, wie

weit es bis zum anderen Ufer ist. Denn du traust dir zu, 200 Meter

weit zu schwimmen. Mehr ist dir zu gefährlich. Entfernungen auf

dem Wasser sind schwer zu schätzen. Da siehst du am gegenüberliegenden

Ufer mehrere Autos parken.

Hier kannst du den „Daumensprung“ und das Wissen über die Ähnlichkeit

für die Entfernungsmessung einsetzen. Das Verfahren beruht

darauf, dass du jedes Auge abwechselnd zukneifen kannst und dass

du weißt: Dein Arm ist 65 cm lang und deine Pupillen haben einen Abstand

von 6,5 cm.

Der Trick: Du schätzt die Länge einer Strecke am anderen Ufer und

kannst daraus berechnen, wie weit du von dieser Strecke entfernt bist.

Ein normal großes Auto ist etwa 4,50 Meter lang. Mit Parkabstand

rechnen wir der Einfachheit halber 6 Meter. Dann sind 5 Autos grob

gerechnet 30 Meter.

Das Dreieck, das zwischen deinem Daumen und deinen Pupillen ist, ist

ähnlich dem Dreieck vom Daumen zu den beiden Punkten der Autoschlange,

die dir der Daumensprung angibt. Den Verhältnisfaktor aus

dem ersten Dreieck kannst du ausrechnen: 65 cm : 6,5 cm = 10.

60

54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648


Geometrie

3

Die geschätzte Länge des Daumensprungs ist 30 m. Da die Dreiecke

ähnlich sind, muss die Seebreite ca. 300 m sein, damit der Verhältnisfaktor

der Seiten im großen Dreieck auch wieder 10 beträgt.

Der See ist also etwa 300 Meter breit − bei deinen Schwimmkünsten

wäre es also klüger, den Teich nicht zu durchqueren.

In Zukunft musst du nicht mehr so ausführlich rechnen. Du kannst dir

einfach merken: Geschätzte Daumensprung-Strecke mal 10 ist gleich

Entfernung.

Zurück zu den geometrischen Figuren: Eine ganz spezielle Sonderform

eines gleichschenkligen Dreiecks ist das gleichseitige Dreieck. Es hat

drei gleich lange Seiten und daher auch drei gleiche Winkel. Auf Seite 70

werden wir das brauchen.

Auch das rechtwinklige Dreieck ist ein ganz berühmter Sonderfall

eines Dreiecks.

Pythagoreischer Lehrsatz

56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817

61


3

Pythagoreischer Lehrsatz

Pythagoras von Samos hat sich um diese Dreiecksform in besonderer

Weise verdient gemacht.

Er erforschte einen Spezialfall des rechtwinkligen Dreiecks, das schon

bei den Baumeistern Ägyptens verwendet wurde. Steckte man das Seil

mit den 3, 4 und 5 Knoten, wie abgebildet, in den Sand, entstand an

einer Ecke stets ein bildschöner rechter Winkel.

Pythagoras tüftelte, bis er das Gesetz herausgefunden hatte, das dem

ägyptischen Handwerkszeug zu Grunde lag. Er errichtete über jeder der

drei Seiten ein Quadrat. Die Quadrate der beiden Seiten links und rechts

vom rechten Winkel sind zusammengezählt genauso groß wie das Quadrat

über der langen Seite.

Das gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke, nicht nur für die praktische

ägyptische 3-4-5-Knotenschnur: Aus der einzelnen Beobachtung ist

der allgemeine Lehrsatz des Pythagoras geworden. Er kann heutzutage

ganz kurz und praktisch mit Hilfe von Variablen geschrieben werden:

Es gibt über 100 verschiedene Be weise für diesen Lehrsatz. Einen besonders

originellen in Puzzle form zeige ich dir hier.

62

48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841


Geometrie

3

Die Flächen der beiden Quadrate sind gleich groß, denn die Seiten sind

jeweils a + b. Da beide Quadrate 4 mal dasselbe rechtwinkelige Dreieck

enthalten, muss die Fläche des schraffierten Quadrats links mit der

Summe der schraffierten Quadratflächen rechts übereinstimmen.

Flächenberechnungen

Ist das nicht alles wunderbar einfach: Eine Figur mit vier Eckpunkten

heißt − jawoll − Viereck.

Wieder gibt es allerhand Sonder mo del le − das Parallelogramm zum Beispiel.

46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548

63


3

Flächenberechnungen

Ein spezielles Modell eines Parallelo gramms ist das Rechteck. Hier stehen

die Seiten rechtwinklig aufeinander.

Ein noch spezielleres Modell ist das Quadrat. Es ist ein Parallelogramm

mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln.

Das Quadrat ist die ideale Figur schlech hin und ist deshalb auch das

Maß für die Flächenberechnung.

Damit kann man sehr praktisch die Fläche eines Rechtecks messen. Die

Formel dafür kennen wir ja schon.

Aber wie kann man damit die Fläche eines Drei ecks messen? Hier hilft

ein Trick namens Flächenverwandlung.

64

07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065


Geometrie

3

Die Fläche eines Dreiecks ist also gleich der Fläche eines Rechtecks, das

die Grundlinie als Länge und seine halbe Höhe als Breite hat.

Bei Flächenberechnungen stoßen wir aber sehr bald auf Probleme. Es ist

leider nicht immer so, dass sich eine Fläche als ganzzahliges Vielfaches

einer anderen darstellen lässt.

Oder umgekehrt: Eine Fläche ist zum Beispiel doppelt so groß wie eine

andere − das gilt aber nicht für die Seiten.

Schon die alten Griechen

sind auf dieses Problem

gestoßen.

65


3

Flächenberechnungen

Der gelehrte Sokrates hat damit den mathematisch nicht vorgebildeten

Sklaven Menon aufs Glatteis geführt: „Ein Quadrat hat eine

Seiten länge von einem Fuß. Wie lang ist die Seite eines Quadrats

mit der doppelten Fläche?“ Natürlich war die Antwort zunächst:

„Zwei Fuß.“

Doch ein solches Quadrat hätte natürlich nicht die doppelte, sondern

die vierfache Fläche.

Der Trick des Sokrates: Er betrachtet das Quadrat als vier gleichschenklig-rechtwinklige

Dreiecke. Noch mal die vier außen angeklebt − und

schon ist das Quadrat mit der doppelten Fläche da, auf der Spitze stehend.

66

66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523


Geometrie

3

Die neue Seite ist ganz offensichtlich nicht einfach doppelt so lang. Die

zwei Seiten können miteinander nicht durch ganze Zahlen verglichen

werden. Das war für die alten Griechen schon ein Problem (denn nur

die ganzen Zahlen sind göttlich ...).

Die Lösung ist wieder einmal eine Zahl mit unendlich vielen nicht periodischen

Dezimalstellen.

Das regelmäßige 6-Eck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken. So kann

man weitermachen mit dem regelmäßigen 7, 8, 9, 10...-Eck bis zu unendlich

vielen Ecken. Dann gibt es nur noch Ecken und keine Seiten

mehr. Nun ist das Ganze ein Kreis. So ähnlich musste wohl Archimedes

gedacht haben, wie du zwei Seiten weiter sehen wirst.

Der Kreis und die Zahl π

Wie kann ich den Umfang eines Kreises berechnen? Und wie kann ich

seine Fläche messen? Das wirft Probleme auf.

84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637

67


3

Der Kreis und die Zahl Pi

Die Lösung ist eine Formel mit einer Kon stanten, eben der Kreiszahl π

(„Pi“), die uns schon seit längerem im Fußtext begleitet. Der Umfang

eines Kreises ist das Doppelte des Radius multipliziert mit dieser unbekannten

Zahl. Die Fläche des Kreises ist das Quadrat des Radius (Radius

mal Radius) multipliziert mit π.

68

17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611


Geometrie

3

Der Grieche Archimedes lebte zu Beginn des dritten Jahrhunderts vor

Christus in Syrakus (Sizilien).

Als die Stadt von den Römern erobert wurde, saß der greise Mathematiker

im Garten und zeichnete Figuren in den Sand. Sein Leben lang war

er auf der Suche nach An näherungen für die Kreiszahl π. Ein römischer

Legionär betrat mit festem Schritt den Garten. Der Greis bemerkte, dass

ein Fuß in seine Linien tritt und er sprach die berühmten Worte: „Störe

meine Kreise nicht.“

Fast im gleichen Augenblick setzt das Schwert des Legionärs seinem

Leben ein Ende.

Wie weit wäre die Mathematik heute, hätte er länger leben dürfen?

So funktioniert die Berechnung mit An nähe rung. Man konstruiert Vielecke

mit 6, 12, 24, 48, ... oder noch mehr Ecken. Also eine Art Rosette,

die einem Kreis sehr ähnlich wird. Die Fläche der Dreiecke in der Rosette

lässt sich berechnen.

21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780

69


3

Der Kreis und die Zahl Pi

Mit einer sechseckigen Rosette wird π noch sehr schlecht angenähert.

Mit einem 12-Eck kommt man der Sache schon näher ...

Im Gegensatz zum 6-Eck müssen wir hier wirklich rechnen. Wir verwenden

wieder einen Kreis mit dem Radius 1. π ist dann der halbe Kreisumfang,

wie die obere Formel zeigt. Der Umfang des 12-Ecks ist 12-mal

die Seite. Um die 12-Eck-Seite zu berechnen, brauchen wir zweimal die

Formel von Pythagoras.

70

49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035


Geometrie

3

Erst bei ziemlich vielen Ecken wird der Näherungswert annehmbar genau.

Noch genauer wird es, wenn man mit zwei Vielecken arbeitet, die den

Kreis außen und innen umgeben: Außen und innen um den Kreis herum

wird jeweils eine Rosette gezeichnet und berechnet. Der Umfang des

Kreises muss zwischen den Umfängen der beiden Rosetten liegen. Je

mehr Ecken man den Roset ten gönnt, umso genauer wird das Ganze.

Archimedes fing ebenfalls mit einem Sechseck an. Er verdoppelte diesen

Wert viermal (bis zum 96-Eck) und engte den Wert von π damit auf das

Intervall von bis ein. Bis Mitte des 17. Jahrhun derts griffen fast

alle Ver suche, π zu berechnen, auf diese Methode zurück.

26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825

71


3

Der Kreis und die Zahl Pi

π ist eine Zahl mit unendlich vielen Dezimalstellen. Du findest die ersten

1000 am unteren Rand dieses Kapitels.

Zur Veranschaulichung, wie wahnsinnig eine derart hohe Genauigkeit

von π ist, folgende absurde Hand werker geschichte:

Stell dir vor, du bekommst von der amerikanischen Regierung den Auftrag,

einen Edelstahlring um unser gesamtes Milchstraßensystem zu legen

(der Zweck dieses Unternehmens ist strengste Geheimsache!). Der

Ring muss äußerst präzise sein und auf einen millionstel Millimeter genau

stimmen. Bevor du den Auftrag annimmst, solltest du ausrechnen,

ob der Edelstahlvorrat unseres Planeten überhaupt ausreicht und willst

natürlich auch noch ein paar äußerst genaue Berechnungen und Pläne

beilegen. Wie viele Nachkommastellen von π wirst du benötigen, damit

das Stück auch wirklich auf den millionstel Millimeter genau berechnet

wird? Allerhöchstens 35 Stellen!

Da kannst du mal sehen, welche absolut außerirdische und sogar außergalaktische

Genauigkeit in diesem preiswerten Büchlein steckt!

Beispiel 3.1: Deine Daumenbreite als Entfernungsmessgerät

Beispiel 3.2: Die Kunst der ägyptischen Pyramidenbauer − weitere

Knotenschnüre

Beispiel 3.3: Die Möndchen des Hippokrates

72

34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066


Geometrie

3

Die Grundelemente der Geometrie sind Punkt, Strecke, ebene

Figur (z.B. Dreieck).

Die Regeln für die Ähnlichkeit lassen interessante Berechnung zu.

Ist im Dreieck ein Winkel 90°, kann mit Hilfe des Pythagoreischen

Lehrsatzes aus zwei Seiten die dritte berechnet werden.

Auch wenn die Einheit der Flächenmessung ein Quadrat ist, kann

für jede durch Strecken begrenzte Fläche wie Dreieck, Fünfeck etc.

eine Maßzahl gefunden werden. Die wichtigste Grundformel ist die

für das Dreieck, weil sich Vielecke in Dreiecke zerlegen lassen.

Auch Kreise lassen sich vermessen. Die Grundlage bildet die irrationale

Zahl π, mit deren Hilfe der Umfang und die Fläche zu berechnen

sind.

13001 92787 66111 95909 21642 01989 − die ersten 1000

73


Grundlegende Differenziationsregeln

3

Grundlegende

Differenziationsregeln

Die ersten neuen Maschinen

Um es kurz zu sagen: Mit der Differenzialrechnung ging in der Physik

und Technik die Post ab. Aber die Anwendung verlangt Verallgemeinerungen

d.h. Regeln.

Bisher hatten wir t für die Zeit und s bzw. s (t) für den Weg geschrieben.

Abstrakt verwendet der Mathematiker die Buchstaben x und y bzw.

y (x) oder f (x).

Die Voraussetzung für das Differenzieren ist, dass die Funktion

y = f (x) „glatt“ ist. Das ist genau dort der Fall, wo eine eindeutige

Tangente existiert!

Ich kann keine Tangenten ziehen, wenn die Funktion eine Lücke

hat oder springt oder einen Knick hat.

Wenn diese Voraussetzungen für das Differenzieren erfüllt sind,

können wir ab (g)leiten.

37


I

Differenzialrechnung

Jetzt geht’s los: Wir suchen die Verallgemeinerung, d.h. die Regeln.

Dazu erweitern wir unser Team:

Unseren stummen Diener „TRA-FO“ können wir oben mit einer Funktion

füttern und unten kommt die differenzierte Funktion heraus. Zugleich

zeigt er uns in der linken Hand das Piktogramm, das für diese

Regel steht. Ein rechteckiges Piktogramm zeigt eine Regel für eine spezielle

Funktion an (z.B. die Potenzfunktion oder den Sinus), ein rundes

steht für eine allgemeine Regel (z.B. Differenzieren einer Summe, eines

Produkts, etc.).

Beim freien Fall haben wir gesehen, dass aus der Funktion

y = 5 · x²

durch Differenzieren die Ableitungsfunktion

y’ = 10 · x

entsteht. Aus dieser haben wir wieder durch Differenzieren

y’’ = 10

erhalten.

Wenn wir uns diese drei Gesetze genauer ansehen, drängt sich die Frage

auf, ob nicht auch das Differenzieren selbst einer gewissen Gesetzmäßigkeit

gehorcht.

Wie entsteht aus 5 · x² die Funktion 10 · x und daraus wieder die konstante

Funktion 10?

38


Grundlegende Differenziationsregeln

3

Offensichtlich nimmt der Exponent der Potenzfunktion immer um eins

ab; aus x² wird x 1 = x und aus x 1 wird x 0 = 1. Wie aber wird aus 5 die

Zahl 10?

Die einzig vernünftige Erklärung, die schon die Ableitung des Fallgesetzes

nahe gelegt hat, ist: Die Konstante 5 bleibt und aus x² wird nicht

einfach x 1 , sondern x 1 wird noch mit dem alten Exponenten multipliziert,

also 2 · x 1 = 2 · x.

Wenn unsere Vermutung stimmt, müsste z.B. aus der Potenzfunktion

f (x) = x³ durch Differenzieren f’ (x) = 3 · x² entstehen. Mit dem Grenzwert

können wir das überprüfen.

Hier haben wir wieder eine binomische Formel verwendet, die wir durch

Ausmultiplizieren bestätigen können: (a - b) · (a² + a · b + b²) = a³ - b³

Tatsächlich gilt allgemein für Potenzfunktionen, dass f (x) = x n

die Ableitung f’ (x) = n · x n-1 hat. Mit dem Grenzwert und einer

binomischen Zerle gungs formel für a n – b n können wir

das auch bestätigen. Das Piktogramm zeigt eine Axt, die

andeutet, dass beim Differenzieren vom Exponenten ein

Scheibchen abgeschnitten wird.

39


I

Differenzialrechnung

Diese Ableitungsregel gilt sogar dann, wenn die Exponenten keine natürlichen

Zahlen sind. Allerdings können wir das erst später mit der Exponentialfunktion

bestätigen. Zum Beispiel gilt sie für den Exponenten

0,5. x 0,5 ist aber nichts anderes als die Wurzel aus x und die Ableitung

ist 0,5 · x -0,5 oder .

Sehr selten steht eine Funktion allein – meistens kommt sie Hand in

Hand mit einem Faktor wie z.B. beim freien Fall der gerundete Wert 5.

Auch dafür gibt es eine Regel.

Versuchen wir F (x) = k · f (x) zu differenzieren, wobei wir annehmen,

dass f (x) differenzierbar ist und die Ableitung so aussieht

Jetzt können wir F (x) ableiten.

Der konstante Faktor k lässt sich aus dem Limes rausbefördern

und bleibt deshalb beim Differenzieren unverändert

erhalten. Der Faktor wird buchstäblich an der Hand mitgenommen.

Wird also eine Funktion f (x) auf 2 · f (x) gestreckt, dann hat sie auch

doppelt so große Tangentensteigungen.

40


Grundlegende Differenziationsregeln

3

Komplett verschieden vom konstanten Faktor und oft damit verwechselt

wird der konstante Summand c.

Als Funktion aufgefasst, ist das die konstante Funktion f (x) = c. Sie ist

eine Gerade parallel zur x-Achse und identisch mit ihrer Tangente. Daher

hat die Tangente in jedem Punkt den Anstieg null; die Ableitung der

konstanten Funktion ist daher null, also

f’ (x) = 0.

Die Regel: c’ = 0

In der Praxis tritt diese konstante Funktion selten allein auf.

Sie ist meist ein Summand wie z.B. in F (x) = 5 · x 2 + 15. Hier ist

15 der konstante Summand.

Dieser konstante Summand fällt beim Ableiten buchstäblich

in ein schwarzes Loch.

Differenzieren können wir den Ausdruck F (x) = 5 · x 2 + 15 allerdings noch

nicht, da wir nicht wissen, was mit einer Summe passiert.

Für die Summe oder Differenz zweier Funktionen

F (x) = f (x) ± g (x)

gilt eine einfache Regel (Summenregel, Differenzregel):

F’ (x) = f’ (x) ± g’ (x), wenn es die beiden Ableitungen f’ (x) und g’ (x) gibt.

Die Herleitung der Regel ist einfach: Beim Grenzwert einer Summe darf

die Summe der einzelnen Grenzwerte gebildet und summiert werden.

(Wenn ich z.B. einen Ausdruck, der sich 2 annähert, mit einem Ausdruck

addiere, der sich 3 annähert, dann ist es plausibel, dass sich die

Summe dem Wert 5 annähern muss.)

41


I

Differenzialrechnung

Die Ableitung einer Summe (Differenz) ist die Summe (Differenz)

der Ableitungen der einzelnen Summanden. Jeder

Summand wird einzeln durch die Ableitungsmühle gedreht.

Nun können wir die Funktion F (x) = 5 · x² + 15 differenzieren.

Hier kommt alles vor, was wir gerade gemacht haben. Die Kunst ist es

nun, zu wissen, wie ich es der Reihe nach anstellen kann. Welche Regel

– welcher Trafo – kommt zuerst? Die Piktogramme weisen durch die

nachfolgende Rechnung.

F’ (x) = (5 · x 2 + 15)’

(5 · x 2 )’ + (15)’

(5 · x 2 )’ + 0

5 · (x 2 )’

5 · 2 · x = 10 · x

42


Grundlegende Differenziationsregeln

3

Summen- bzw. Differenzregel

(f (x)+g (x))’ = f’ (x) + g’ (x)

Regel für den konstanten

Faktor

(k · f (x))’ = k · f’ (x)

Regel für den konstanten

Summanden

(c)’ = 0

Regel für die Potenzfunktion

(x n )’ = n · x n-1

43

Weitere Magazine dieses Users
Ähnliche Magazine