Inhaltsverzeichnis - Pearson Studium

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort 12

Teil I Mathematik 13

Kapitel 1 Algebra 14

1.1 AufbaudesZahlensystems............................. 14

1.2 Ganzzahlige Potenzen ................................ 17

1.3 Wichtige Regeln der Algebra ........................... 18

1.4 Bruchrechnung . . . .................................. 19

1.5 WurzelnundPotenzenmitgebrochenemExponenten.......... 19

1.6 Reihenfolge der Rechenoperationen in R ................... 21

1.7 Ungleichungen ..................................... 22

1.8 IntervalleundAbsolutbetrag............................ 23

Kapitel 2 Gleichungen 25

2.1 Lösen einer Gleichung ................................ 25

2.2 LineareGleichungen ................................. 26

2.3 QuadratischeGleichungen ............................. 26

2.4 ZweilineareGleichungenmitzweiUnbekannten............. 28

2.5 Nichtlineare Gleichungen.............................. 29

Kapitel 3

Summen, Produkte, Logik, Mengen,

Abbildungen 30

3.1 Summen.......................................... 30

3.2 WichtigeSummenundnützlicheFormelnfürSummen ........ 31

3.3 Doppelsummen..................................... 33

3.4 Produkte ......................................... 34

3.5 FakultätenundBinomialkoeffizienten ..................... 35

3.6 Aussagenlogik ...................................... 37

3.7 MathematischeBeweise............................... 40

3.8 Mengen .......................................... 41

3.9 Abbildungen,Relationen .............................. 45


Inhaltsverzeichnis

Kapitel 4 Funktionen einer Variablen 47

4.1 Grundlegende Definitionen ............................. 47

4.2 Graph einer Funktion ................................ 48

4.3 Lineare Funktionen . ................................. 49

4.4 Quadratische Funktionen .............................. 52

4.5 Polynome......................................... 55

4.6 Potenzfunktionen ................................... 58

4.7 Exponentialfunktionen................................ 61

4.8 Logarithmusfunktionen ............................... 63

4.9 Trigonometrische Funktionen ........................... 65

4.10 VerschiebungvonGraphen............................. 75

4.11 Verknüpfung von Funktionen ........................... 76

4.12 Inverse Funktion . . . ................................. 77

4.13 Graph einer Gleichung ................................ 78

4.14 Abstand in der Ebene, Kreise, Ellipsen und andere Kegelschnitte . . 78

Kapitel 5 Differentialrechnung 83

5.1 SteigungvonKurven,AbleitungundTangenten.............. 83

5.2 Monoton wachsende und fallende Funktionen ............... 84

5.3 Änderungsraten..................................... 84

5.4 Grenzwerte........................................ 85

5.5 Regeln der Differentiation ............................. 86

5.6 Ableitungen höherer Ordnung .......................... 88

5.7 AbleitungderExponentialfunktionen ..................... 89

5.8 Ableitung der Logarithmus-Funktionen .................... 89

5.9 Implizites Differenzieren .............................. 90

5.10 Differentiation der Inversen ............................ 90

5.11 LineareApproximationen.............................. 91

5.12 PolynomialeApproximationen .......................... 92

5.13 Elastizitäten ....................................... 94

5.14 Stetigkeit ......................................... 95

5.15 MehrüberGrenzwerte................................ 97

5.16 Zwischenwertsatz,Newton-Verfahren,Regulafalsi ............ 100

5.17 UnendlicheFolgen .................................. 101

5.18 Unbestimmte Formen und Regeln von L’Hôspital . . . .......... 101

Kapitel 6 Univariate Optimierung 103

6.1 Globale Extrempunkte ................................ 103

6.2 Extremwertsatz ..................................... 104

6.3 Lokale Extrempunkte ................................. 105

6.4 Wendepunkte ...................................... 106

6


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Kapitel 7 Integration 108

7.1 UnbestimmteIntegrale................................ 108

7.2 FlächenundbestimmteIntegrale ........................ 112

7.3 Integrationsmethoden................................. 117

7.4 Multiple Integrale . .................................. 119

7.5 Differentialgleichungen ............................... 122

Kapitel 8 Finanzmathematik 123

8.1 ZinsperiodenundeffektiveRaten ........................ 123

8.2 GeometrischeReihen................................. 130

8.3 Gesamtbarwert ..................................... 131

8.4 Hypothekenrückzahlungen............................. 133

8.5 Investitionsprojekte .................................. 135

8.6 Kapitalaufbaubzw.-abbau ............................. 136

8.7 RentenmitveränderlichenRaten ........................ 136

Kapitel 9 Funktionen mehrerer Variablen 138

9.1 Funktionen von zwei Variablen, Ableitungen, Darstellungen ..... 138

9.2 FlächenundAbstand ................................ 138

9.3 Funktionen von mehreren Variablen, Ableitungen . . ........... 140

9.4 PartielleElastizitäten................................. 141

9.5 Kettenregel ........................................ 143

9.6 Implizites Differenzieren .............................. 144

9.7 Substitutionselastizität ................................ 145

9.8 Homogene und homothetische Funktionen .................. 145

9.9 Lineare Approximation und Differentiale ................... 146

9.10 Gleichungssysteme .................................. 149

Kapitel 10 Multivariate Optimierung 151

10.1 ZweiVariablen ..................................... 151

10.2 MehrVariablen..................................... 154

10.3 KomparativeStatikunddasEnvelope-Theorem .............. 156

10.4 OptimierungunterNebenbedingungen..................... 156

10.5 KomparativeStatik .................................. 160

10.6 Nichtlineare Programmierung ........................... 161

Kapitel 11 Matrizen und Vektoralgebra 163

11.1 SystemelinearerGleichungen........................... 163

11.2 MatrizenundMatrizenoperationen ....................... 163

11.3 Matrizenmultiplikation ................................ 164

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Inhaltsverzeichnis

11.4 DietransponierteMatrix............................... 167

11.5 Gauß’scheElimination................................ 168

11.6 Vektoren ......................................... 170

11.7 GeradenundEbenen................................. 174

11.8 Determinanten ..................................... 176

11.9 DieInverseeinerMatrix............................... 181

11.10 Cramer’sche Regel . . ................................. 183

11.11 DasLeontief-Modell.................................. 184

11.12 Partitionierte Matrizen ................................ 184

11.13 LineareUnabhängigkeit ............................... 187

11.14 Spur einer Matrix . . ................................. 190

11.15 EigenwerteundEigenvektoren .......................... 191

11.16 QuadratischeFormen................................. 194

Kapitel 12 Lineare Programmierung 197

12.1 DasallgemeinelineareProgrammierungsproblem ............ 197

12.2 Dualitätstheorie . . . ................................. 198

12.3 Simplexverfahren................................... 200

Kapitel 13 Differenzengleichungen 203

13.1 Differenzengleichungen erster Ordnung ................... 203

13.2 Differenzengleichungen zweiter Ordnung .................. 206

13.3 Gleichungen höherer Ordnung . . . ...................... 209

13.4 Systeme von Differenzengleichungen..................... 211

13.5 Stabilität nichtlinearer Differenzengleichungen .............. 213

Kapitel 14 Differentialgleichungen 214

14.1 Differentialgleichungen erster Ordnung in einer Variablen ...... 214

14.2 Differentialgleichungen zweiter Ordnung .................. 218

14.3 Differentialgleichungen höherer Ordnung .................. 226

Kapitel 15 Geometrie 237

15.1 Dreiecke......................................... 237

15.2 Vierecke......................................... 243

15.3 Vielecke ......................................... 247

15.4 Kreise........................................... 248

15.5 Körper .......................................... 251

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Teil II Statistik 255

Kapitel 1 Einführung 256

1.1 StatistischeEinheiten,Merkmale,Gesamtheiten .............. 256

1.2 Merkmalstypen..................................... 256

1.3 Stichproben ....................................... 257

Kapitel 2

Univariate beschreibende Statistik

und explorative Darstellungen 258

2.1 VerteilungenundihreDarstellungen...................... 258

2.2 BeschreibungvonVerteilungen.......................... 261

2.3 DichtefunktionenundNormalverteilung ................... 270

2.4 Kerndichteschätzer .................................. 271

Kapitel 3

Multivariate beschreibende Statistik

und explorative Darstellungen 273

3.1 ZweidiskreteMerkmale,Kontingenztafeln.................. 273

3.2 Graphische Darstellung quantitativer Merkmale . . . ........... 275

3.3 ZusammenfassendeKennzahlen ......................... 276

3.4 Regression ........................................ 279

Kapitel 4 Wahrscheinlichkeitsrechnung 282

4.1 Wahrscheinlichkeiten................................. 282

4.2 ZufallsstichprobenundKombinatorik ..................... 284

4.3 BedingteWahrscheinlichkeiten.......................... 284

4.4 UnabhängigkeitvonEreignissen ......................... 285

4.5 TotaleWahrscheinlichkeitundSatzvonBayes............... 286

Kapitel 5 Diskrete Zufallsvariablen 287

5.1 Grundlegende Definitionen ............................. 287

5.2 Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion einer

diskretenZufallsvariablen ............................. 288

5.3 UnabhängigkeitvondiskretenZufallsvariablen............... 288

5.4 ErwartungswerteinerdiskretenZufallsvariablen.............. 289

5.5 Weitere Lageparameter ................................ 290

5.6 Varianz und Standardabweichung . ....................... 290

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Inhaltsverzeichnis

Kapitel 6 Stetige Zufallsvariablen 292

6.1 StetigeZufallsvariablenundDichten...................... 292

6.2 VerteilungsfunktioneinerstetigenZufallsvariablen ............ 292

6.3 UnabhängigkeitvonstetigenZufallsvariablen................ 293

6.4 Erwartungswert,VarianzundandereKennzahle.............. 293

Kapitel 7 Mehr über Zufallsvariablen und Verteilungen 296

7.1 ErgänzungenzuZufallsvariablenundihrenVerteilungen........ 296

7.2 SpeziellediskreteVerteilungsmodelle ..................... 300

7.3 SpeziellestetigeVerteilungsmodelle ...................... 304

7.4 Grenzwertsätze ..................................... 311

7.5 ApproximationvonVerteilungen......................... 314

Kapitel 8 Mehrdimensionale Zufallsvariablen 316

8.1 ZweidimensionalediskreteZufallsvariablen................. 316

8.2 ZweidimensionalestetigeZufallsvariablen.................. 318

8.3 Erwartungswerte,KovarianzundKorrelation ................ 319

8.4 Verteilung von n Zufallsvariablen........................ 321

Kapitel 9 Parameterschätzung 325

9.1 Punktschätzung ..................................... 325

9.2 EigenschaftenvonSchätzstatistiken....................... 326

9.3 KonstruktionvonSchätzfunktionen....................... 329

9.4 Intervallschätzung................................... 332

Kapitel 10 Testen von Hypothesen 334

10.1 PrinzipiendesTestens................................ 334

10.2 SpezielleTestproblemefürdenEin-Stichprobenfall............ 336

10.3 VergleicheausunabhängigenStichproben .................. 340

10.4 Verbundene Stichproben .............................. 343

10.5 Zusammenhangsanalyse............................... 344

Kapitel 11 Regressionsanalyse 346

11.1 LineareEinfachregression.............................. 346

11.2 Multiple lineare Regression ............................ 351

11.3 BinäreRegression ................................... 355

10


Inhaltsverzeichnis

Kapitel 12 Varianzanalyse 356

12.1 EinfaktorielleVarianzanalyse ........................... 356

12.2 ZweifaktorielleVarianzanalysemitfestenEffekten ............ 357

Kapitel 13 Zeitreihen 361

13.1 Indizes........................................... 361

13.2 Komponentenmodelle ................................ 362

13.3 GlobaleRegressionsansätze............................. 363

13.4 LokaleAnsätze ..................................... 364

13.5 ExponentiellesGlätten................................ 365

Kapitel 14 Stochastische Prozesse und Zeitreihenmodelle 366

14.1 Grundlegende Definitionen ............................. 366

14.2 Moving-Average-Prozesse .............................. 368

14.3 AutoregressiveProzesse............................... 369

14.4 PrognosenmitAR-Modellen............................ 372

14.5 ARMA-undARIMA-Modelle ........................... 372

Tabellenanhang 374

Literatur 386

Register 387

11


Inhaltsverzeichnis

Vorwort ......................................... 13

Vorwort zur 3. deutschen Auflage ........................ 17

Kapitel 1 Einführung, I: Algebra ................... 19

1.1 Die reellen Zahlen .............................. 20

1.2 Ganzzahlige Potenzen ........................... 23

1.3 Regeln der Algebra ............................. 29

1.4 Brüche ...................................... 34

1.5 Potenzen mit gebrochenen Exponenten ................ 39

1.6 Ungleichungen ................................ 44

1.7 Intervalle und Absolutbeträge ...................... 50

Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen ............... 57

2.1 Lösen einfacher Gleichungen ...................... 58

2.2 Gleichungen mit Parametern ....................... 61

2.3 Quadratische Gleichungen ........................ 64

2.4 Lineare Gleichungen in zwei Unbekannten ............. 69

2.5 Nichtlineare Gleichungen ......................... 71

Kapitel 3 Einführung, III: Verschiedenes ............. 77

3.1 Summennotation ............................... 78

3.2 Regeln für Summen. Newtons Binomische Formeln ....... 82

3.3 Doppelsummen ................................ 87

3.4 Einige Aspekte der Logik ......................... 89

3.5 Mathematische Beweise .......................... 95

3.6 Wesentliches aus der Mengenlehre .................. 97

3.7 Mathematische Induktion ......................... 104


Kapitel 4 Funktionen einer Variablen ............... 109

4.1 Einführung ................................... 110

4.2 Grundlegende Definitionen ........................ 111

4.3 Graphen von Funktionen ......................... 118

4.4 Lineare Funktionen ............................. 121

4.5 Lineare Modelle ............................... 128

4.6 Quadratische Funktionen ......................... 132

4.7 Polynome .................................... 138

4.8 Potenzfunktionen .............................. 146

4.9 Exponentialfunktionen ........................... 148

4.10 Logarithmusfunktionen ........................... 154

Kapitel 5 Eigenschaften von Funktionen ............ 163

5.1 Verschiebung von Graphen ........................ 164

5.2 Neue Funktionen aus alten ........................ 170

5.3 Inverse Funktionen ............................. 174

5.4 Graphen von Gleichungen ........................ 181

5.5 Abstand in der Ebene. Kreise ...................... 184

5.6 Allgemeine Funktionen .......................... 188

Kapitel 6 Differentialrechnung. .................... 195

6.1 Steigungen von Kurven .......................... 196

6.2 Ableitung, Tangenten ............................ 198

6.3 Monoton wachsende und fallende Funktionen .......... 204

6.4 Änderungsraten ................................ 207

6.5 Exkurs über Grenzwerte .......................... 211

6.6 Einfache Regeln der Differentiation .................. 217

6.7 Summen, Produkte und Quotienten .................. 221

6.8 Kettenregel ................................... 228

6.9 Ableitungen höherer Ordnung ...................... 234

6.10 Exponentialfunktionen ........................... 239

6.11 Logarithmusfunktionen ........................... 243

8


Kapitel 7 Anwendungen der Differentialrechnung .... 253

7.1 Implizites Differenzieren ......................... 254

7.2 Ökonomische Beispiele .......................... 260

7.3 Ableitung der Inversen ........................... 263

7.4 Lineare Approximationen ......................... 266

7.5 Polynomiale Approximationen ..................... 272

7.6 Taylor-Formel ................................. 276

7.7 Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen .............. 279

7.8 Stetigkeit .................................... 283

7.9 Mehr über Grenzwerte ........................... 288

7.10 Zwischenwertsatz. Newton-Verfahren ................. 297

7.11 Unendliche Folgen ............................. 301

7.12 Unbestimme Formen und Regeln von L’Hôspital ......... 303

Kapitel 8 Univariate Optimierung .................. 311

8.1 Einführung ................................... 312

8.2 Einfache Tests auf Extrempunkte .................... 315

8.3 Ökonomische Beispiele .......................... 319

8.4 Der Extremwertsatz ............................. 323

8.5 Weitere ökonomische Beispiele ..................... 329

8.6 Lokale Extrempunkte ............................ 335

8.7 Wendepunkte ................................. 341

Kapitel 9 Integralrechnung. ....................... 349

9.1 Unbestimmte Integrale ........................... 350

9.2 Flächen und bestimmte Integrale .................... 356

9.3 Eigenschaften bestimmter Integrale .................. 363

9.4 Ökonomische Anwendungen ....................... 367

9.5 Partielle Integration ............................. 374

9.6 Integration durch Substitution ...................... 377

9.7 Integration über unendliche Intervalle ................ 380

9.8 Ein flüchtiger Blick auf Differentialgleichungen .......... 387

9.9 Separierbare und lineare Differentialgleichungen ......... 392


Kapitel 10 Themen aus der Finanzmathematik ........ 403

10.1 Zinsperioden und effektive Raten ................... 404

10.2 Stetige Verzinsung .............................. 408

10.3 Barwert ..................................... 410

10.4 Geometrische Reihen ............................ 413

10.5 Gesamtbarwert ................................ 417

10.6 Hypothekenrückzahlungen ........................ 423

10.7 Interne Ertragsrate .............................. 428

10.8 Ein flüchtiger Blick auf Differenzengleichungen ......... 429

Kapitel 11 Funktionen mehrerer Variablen. ........... 437

11.1 Funktionen von zwei Variablen ..................... 438

11.2 Partielle Ableitungen mit zwei Variablen .............. 442

11.3 Geometrische Darstellung ......................... 448

11.4 Flächen und Abstand ............................ 456

11.5 Funktionen von mehreren Variablen ................. 459

11.6 Partielle Ableitungen mit mehreren Variablen ........... 463

11.7 Ökonomische Anwendungen ....................... 467

11.8 Partielle Elastizitäten ............................ 469

Kapitel 12 Handwerkszeug für komparativ

statische Analysen ...................... 475

12.1 Eine einfache Kettenregel ......................... 476

12.2 Kettenregel für n Variablen ........................ 481

12.3 Implizites Differenzieren entlang einer Höhenlinie ....... 485

12.4 Allgemeinere Fälle ............................. 490

12.5 Substitutionselastizität ........................... 494

12.6 Homogene Funktionen von zwei Variablen ............. 497

12.7 Allgemeine homogene und homothetische Funktionen ..... 502

12.8 Lineare Approximationen ......................... 507

12.9 Differentiale .................................. 511

12.10 Gleichungssysteme ............................. 516

12.11 Differenzieren von Gleichungssystemen ............... 519

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Kapitel 13 Multivariate Optimierung ................ 529

13.1 Zwei Variablen: Notwendige Bedingungen ............. 530

13.2 Zwei Variablen: Hinreichende Bedingungen ............ 535

13.3 Lokale Extrempunkte ............................ 540

13.4 Lineare Modelle mit quadratischer Zielfunktion ......... 545

13.5 Der Extremwertsatz ............................. 553

13.6 Drei oder mehr Variablen ......................... 559

13.7 Komparative Statik und das Envelope-Theorem ......... 562

Kapitel 14 Optimierung unter Nebenbedingungen. .... 571

14.1 Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren ............. 572

14.2 Interpretation des Lagrange-Multiplikators ............. 579

14.3 Mehrere Lösungskandidaten ....................... 582

14.4 Warum die Methode der Lagrange-Multiplikatoren

funktioniert .................................. 584

14.5 Hinreichende Bedingungen ........................ 590

14.6 Mehrere Variablen und mehrere

Nebenbedingungen ............................. 593

14.7 Komparative Statik ............................. 599

14.8 Nichtlineare Programmierung: Ein einfacher Fall ......... 603

14.9 Mehr über nichtlineare Programmierung .............. 609

Kapitel 15 Matrizen und Vektoralgebra .............. 621

15.1 Systeme linearer Gleichungen ...................... 622

15.2 Matrizen und Matrizenoperationen .................. 626

15.3 Matrizenmultiplikation ........................... 630

15.4 Regeln für die Matrizenmultiplikation ................ 635

15.5 Die transponierte Matrix ......................... 642

15.6 Gauß’sche Elimination ........................... 644

15.7 Vektoren ..................................... 650

15.8 Geometrische Interpretation von Vektoren ............. 654

15.9 Geraden und Ebenen ............................ 659


Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen ...... 667

16.1 Determinanten der Ordnung 2 ..................... 668

16.2 Determinanten der Ordnung 3 ..................... 671

16.3 Determinanten der Ordnung n ..................... 675

16.4 Grundlegende Regeln für Determinanten .............. 678

16.5 Entwicklung nach Co-Faktoren ..................... 684

16.6 Die Inverse einer Matrix .......................... 687

16.7 Eine allgemeine Formel für die Inverse ............... 694

16.8 Cramer’sche Regel .............................. 698

16.9 Das Leontief-Modell ............................. 702

Kapitel 17 Lineare Programmierung ................. 709

17.1 Ein graphischer Ansatz .......................... 710

17.2 Einführung in die Dualitätstheorie ................... 716

17.3 Das Dualitätstheorem ............................ 720

17.4 Eine allgemeine ökonomische Interpretation ............ 723

17.5 Komplementärer Schlupf ......................... 726

17.6 Die Simplexmethode, erklärt an einem einfachen Beispiel. .. 731

17.7 Mehr über die Simplexmethode ..................... 734

17.8 Die Simplexmethode im allgemeinen Fall .............. 737

17.9 Dualität mit Hilfe der Simplexmethode ................ 746

17.10 Sensitivitätsanalyse .............................. 748

Anhang ......................................... 755

A.1 Geometrie .................................... 756

A.2 Das Griechische Alphabet ......................... 758

Antworten zu ausgewählten Aufgaben .............. 759

Index ........................................... 881

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