Operations Management 2. Auflage

pearson.studium.de

Operations Management 2. Auflage

Standortplanung

3.1 Beliebige Standorte .................... 95

3.1.1 Ein Standort ........................ 95

3.1.2 Mehrere Standorte .................... 106

3

3.2 Bestimmte Standorte ................... 112

3.2.1 Formulierung Basismodell ............... 113

3.2.2 Lösung Basismodell ................... 115

3.2.3 Erweiterungen Basismodell .............. 119

3.3 Zusammenfassung und Ausblick .......... 123

3.4 Anwendungen und Übungsaufgaben ...... 124

3.4.1 Bestimmung der asiatischen Lagerstandorte

der RHM .......................... 124

3.4.2 Bestimmung des Zentrallagerstandorts

bei OmegaJet ........................ 126

3.4.3 Übungsaufgaben ..................... 129

3.5 Beweise .............................. 136

ÜBERBLICK


3 Standortplanung


Concern for man himself and his fate must always form the chief interest of all

technical endeavors, concerns for the great unsolved problems of the organization of

labor and the distribution of goods …. „

Albert Einstein in einer Ansprache am California Institute of Technology, 1931

In Berlin, Mailand und Paris. Oder Frankfurt, München und Hamburg. An welchen

Standorten sollte produziert und gelagert werden? Die Wahl der Produktions- und

Lagerstandorte bestimmt zu einem großen Teil die Kosten, die Lieferzeit und die

Lieferzuverlässigkeit. Wenn ein Standort erst einmal ausgewählt ist und eine Produktions-

oder Lagerstätte errichtet wurde, dann ist es kostspielig, diese Entscheidung

rückgängig zu machen. Auch geht es bei Standortentscheidungen häufig um hohe

Investitionsvolumina. So hat Infineon beispielsweise rund 1,1 Milliarden Euro in die

Chip-Fertigung am Standort Dresden investiert. Die richtige Wahl der Standorte ist

also wichtig.

Welches die richtigen Standorte sind, wird von einer Reihe von Faktoren beeinflusst.

Die wesentlichen Faktoren sind in Abbildung 3.1 dargestellt. Einer der wichtigsten

Einflussfaktoren ist die Zielsetzung. Wenn Lagerstandorte zur Bevorratung

kritischer Ersatzteile für medizintechnische Anlagen oder Computerserver bestimmt

werden, ist es wichtig, dass die Ersatzteile innerhalb kurzer Zeit vom Lager zum

Kunden transportiert werden können. Abbildung 3.2 zeigt ein Beispiel, in dem 7 500

Kunden in Deutschland von 90 Lagerstandorten aus in durchschnittlich 18 Minuten

erreicht werden können. Wenn hingegen Standorte für die Produktion und Lagerung

von Unterhaltungselektronik bestimmt werden, stehen die Kosten in der Regel mehr

im Vordergrund als die Lieferzeit. Die Kosten sind bei der Standortplanung generell

ein wichtiger Einflussfaktor. In den Kosten sind die Investitionskosten an den Stand-

Standortfaktoren

Abbildung 3.1

92


Abbildung 3.2

Beispiel zur Standortplanung

orten enthalten, aber auch die Betriebskosten der Standorte, wie Personalkosten und

Energiekosten, und die Transportkosten.

Ein weiterer Entscheidungsfaktor ist die Verfügbarkeit der benötigten Ressourcen,

wie Mitarbeiter und Infrastruktur. Denn nicht an jedem Standort der Welt sind beispielsweise

qualifizierte Ingenieure und eine stabile Infrastruktur vorhanden. Und

nicht überall gibt es in ausreichender Menge gut ausgebildete Facharbeiter, die kostengünstig

arbeiten. Weitere wichtige Entscheidungsfaktoren sind die Expansionsmöglichkeiten

an den Standorten. Wenn beispielsweise der Markteintritt zunächst

mit einer kleinen Produktionsmenge erfolgt, diese aber bei erfolgreichem Geschäft

weiter ausgebaut werden soll, ist es wichtig, dass genügend Raum und Ressourcen

zur Expansion zur Verfügung stehen. Auch Regulierungen sind ein wesentlicher Entscheidungsfaktor.

Zu diesen zählen beispielsweise Arbeitszeitregelungen und Umweltschutzbestimmungen.

Schließlich werden Standortentscheidungen auch durch

die Kultur eines Landes und das politische Klima mit beeinflusst.

In diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf analytische Verfahren zur Standortplanung,

das heißt auf Verfahren, die auf quantitativen Daten beruhen. Wenn auch

qualitative Faktoren ein wichtiges Entscheidungskriterium sind, so können diese vor

Anwendung der analytischen Verfahren berücksichtigt werden. Beispielsweise, indem

nur Standorte bei der Optimierung betrachtet werden, die sich in einem Land

mit einem stabilen politischen Klima befinden. Außerdem fokussieren wir uns in diesem

Kapitel auf das Ziel, das im Operations Management am häufigsten angestrebt

wird: Die Minimierung der Kosten. In diesem Kapitel werden Sie lernen,

■ wie optimale Standorte bestimmt werden, wenn für diese jeder beliebige Ort ausgewählt

werden kann und

■ wie optimale Standorte bestimmt werden, wenn aus einer Menge potenzieller,

vom Anwender vorgegebener, bestimmter Orte die optimalen ausgewählt werden

müssen.

93


3 Standortplanung

Exkurs

Metro MGL Logistik

Das MGL-Konzept (MGL = Metro Gruppen Logistik) der Metro AG verdeutlicht,

wie wichtig eine gute Standortplanung für den Erfolg eines Unternehmens sein

kann. Die Metro AG hat mehr als 1 Million Artikel in ihrem Produkt-Portfolio und

bezieht die Waren für die über 1 700 Groß- und Einzelhandelsfilialen von circa

8 000 Lieferanten. Dabei unterscheiden sich die Elemente dieses Logistik-Systems

erheblich, zum Beispiel in der Filialgröße, Lage et cetera. Um diese Komplexität

effizient zu managen, wurde die MGL Logistik GmbH gegründet. Die MGL Logistik

GmbH ist verantwortlich für die Logistik bei der Metro AG und nutzt externe Logistikdienstleister,

um die Produkte von den Lieferanten abzuholen. Dabei werden

die Waren großer Lieferanten direkt in Verteilerknoten (Cross-Docking-Terminals)

des Zielgebiets gebracht. In diesen Verteilerknoten werden im Idealfall keine Produkte

gelagert, sondern nur auf andere Fahrzeuge umgeladen. Sind die Lieferanten

hingegen klein, werden die Produkte zuerst in Verteilerknoten in der Nähe der

Lieferanten gesammelt und erst dann an die Verteilerknoten des Zielgebiets geliefert.

Die Bestimmung der richtigen Standorte dieser Cross-Docking-Terminals

ist ein Standortplanungsproblem.

Durch das MGL-Konzept können viele Lieferungen gebündelt werden. Beispielsweise

werden je LKW-Stopp durchschnittlich 30 Paletten ausgeliefert. Vor

der Einführung des MGL-Konzepts wurde hingegen nur eine Palette je LKW-Stopp

ausgeliefert. Durch die geringere Zahl von LKW, die die Filialen anfahren, werden

die Filialen entlastet, da sie pro Lieferung eine größere Anzahl Paletten erhalten

als mit dem alten Konzept. Weiterhin fahren nur noch nahezu voll ausgelastete

LKW. Insgesamt belaufen sich die Einsparungen durch dieses System auf circa

150 Millionen Euro pro Jahr. Quellen: Logistik Heute [5] und Thonemann et al. [8].

In Abschnitt 3.1 untersuchen wir die Optimierung der Standorte, wenn wir beliebige

Orte als Standorte verwenden können. So kann der Standort beispielsweise zwischen

zwei Städten auf dem Land liegen oder sich auf einem hohen Berg befinden. Wir ermitteln

Standorte, die die Transportkosten zu den jeweiligen Kunden minimieren. Die

Transportkosten berechnen wir auf Basis einer einfachen Abschätzung der Entfernung

der Standorte zu den Kunden. Weil wir beliebige Orte als Standorte zulassen und ein

einfaches Verfahren zur Abschätzung der Transportkosten einsetzen, ist es möglich,

das Standortoptimierungsproblem mit geringem Datenbedarf zu modellieren und es

mit wenig Aufwand zu lösen. Mit diesem Verfahren lässt sich grob abschätzen, wo

sich die optimalen Standorte befinden sollten, wenn die wesentlichen Kosten die

Transportkosten sind. Die Verfahren sind jedoch nicht sinnvoll einsetzbar, wenn außer

den Transportkosten noch andere Kosten entscheidungsrelevant sind oder wenn

nur bestimmte Orte zur Auswahl stehen.

In Abschnitt 3.2 untersuchen wir daher die Optimierung der Standorte, wenn nur

bestimmte Standorte ausgewählt werden können, die vom Anwender im Vorfeld als

potenzielle Standorte zugelassen wurden. Bei der Vorauswahl kann der Anwender

auch qualitative Entscheidungskriterien einsetzen. Neben den Transportkosten berücksichtigen

wir auch fixe und variable Standortkosten.

94


3.1 Beliebige Standorte

In Abschnitt 3.3 fassen wir die Ergebnisse zusammen und geben einen Ausblick. In

Abschnitt 3.4 zeigen wir, wie RHM ein Regionallager für den asiatisch-pazifischen

Raum auswählt und OmegaJet den optimalen Standort für ein Ersatzteillager bestimmt.

3.1 Beliebige Standorte

In diesem Abschnitt gehen wir davon aus, dass wir eine bestimmte Anzahl Standorte

an beliebigen Orten errichten können und dass die einzigen Kosten, die wir berücksichtigen

müssen, die Transportkosten sind. Als weitere Vereinfachung der Realität

nehmen wir an, dass die Transportkosten ausschließlich von der Entfernung zwischen

Produktionsstandort und Lager beziehungsweise zwischen Lager und Kunde und der

transportierten Menge abhängen. Wir nehmen also an, dass der Transportkostensatz

pro Stück pro Entfernungseinheit konstant ist. Mit diesen Annahmen abstrahieren

wir recht stark von der Realität. Sie erlauben es uns aber, das Standortplanungsproblem

mit wenig Datenbedarf zu modellieren und mit einfachen Verfahren zu lösen.

Da das Abstraktionsniveau, auf dem wir arbeiten, recht hoch ist, werden die Lösungen,

die mit den Verfahren dieses Abschnitts erzielt werden, häufig nicht unmittelbar

umgesetzt. Sie dienen vielmehr dazu, in einem ersten Schritt gute Standorte zu

finden und dann in einem zweiten Schritt auf Basis weiterer Entscheidungskriterien

die endgültigen Standorte auszuwählen.

Als Nächstes zeigen wir, wie der optimale Standort für ein einzelnes Lager gefunden

werden kann. Danach erläutern wir, wie gute Standorte für mehrere Lager gefunden

werden können.

3.1.1 Ein Standort

Wir widmen uns nun der Aufgabe, den optimalen Standort für ein einzelnes Lager zu

finden. Von diesem Lager aus werden J Kunden bedient.

Abbildung 3.3 zeigt ein Beispiel mit zehn Kunden und einem Lager. Die x-Koordinaten

der Kundenstandorte bezeichnen wir mit a j , die y-Koordinaten bezeichnen wir

mit b j . Die Nachfrage von Kunde j beträgt w j . Kunde 1 hat beispielsweise Standort

a 1 = 7 und b 1 = 6 und eine Nachfrage von w 1 = 44.

Unser Ziel ist es, den optimalen Standort (x, y) des Lagers zu finden, der die Transportkosten

zwischen dem Lager und allen Kunden minimiert. x und y sind also

die Entscheidungsvariablen unseres Optimierungsproblems und (a 1 , b 1 ), (a 2 , b 2 ), … ,

(a J , b J )sowiew 1 , w 2 , … , w J sind bekannte Parameterwerte. Mathematisch ausgedrückt

lautet unser Optimierungsproblem

min

x,y

Z(x, y) = min

x,y

J∑

w j d j (x, y), (3.1)

wobei d j (x, y) die Entfernung von Lagerstandort (x, y) zum Kundenstandort (a j , b j )

bezeichnet. Sie wird mit der Nachfrage w j gewichtet, so dass Z(x, y) für die gesamten

Transportkosten steht.

Wie groß diese Entfernung ist, hängt davon ab, wie wir sie messen. Die beiden

gängigsten Verfahren, die rechtwinklige Entfernungsmessung und die euklidische

j=1

95


3 Standortplanung

Abbildung 3.3

Lager- und Kundenstandorte

Entfernungsmessung, sind in Abbildung 3.4 dargestellt. Bei der rechtwinkligen Entfernungsmessung

gehen wir davon aus, dass man sich nur horizontal oder vertikal

fortbewegen kann, nicht aber gleichzeitig in beide Richtungen. Um vom Lagerstandort

(x, y) zum Kundenstandort (a j , b j ) zu gelangen, müssen also die horizontale Ent-

Rechtwinklige und euklidische Entfernungsmessung

Abbildung 3.4

Rechtwinklige Entfernungsmessung

Euklidische Entfernungsmessung

y

x

b j

d j (x,y)=|a j –x|+|b j –y|

b j

y

a j

x

a j

d j (x,y)= (a j –x) 2 +(b j –y) 2

96


3.1 Beliebige Standorte

fernung vom Lager zum Kunden, |a j − x|, plus die vertikale Entfernung vom Lager

zum Kunden, |b j − y|, zurückgelegt werden. Die Entfernung vom Lager zum Kunden j

beträgt dann

d j (x, y) =|a j − x|+|b j − y| . (3.2)

Mit der rechtwinkligen Entfernungsmessung lässt sich die Entfernung zwischen Lager

und Kunden in Städten häufig gut abschätzen. Dieses Entfernungsmaß wird auch

Manhattan-Entfernung genannt, da die Straßen von Manhattan schachbrettartig angeordnet

sind und daher dieses Entfernungsmaß gute Ergebnisse liefert.

Bei der euklidischen Entfernungsmessung wird die Länge der direkten Verbindungslinie

vom Lagerstandort (x, y) zum Kundenstandort (a j , b j ) gemessen. Die Entfernung

beträgt dann

d j (x, y) =

√ (aj

− x ) 2 +

(

bj − y ) 2 . (3.3)

Mit der euklidischen Entfernungsmessung lässt sich die Entfernung zwischen Lager

und Kunde gut abschätzen, wenn Lager und Kunde weit entfernt sind, sich also

beispielsweise das Lager in Berlin und der Kunde in München befindet. Denn dann

kann angenommen werden, dass Verkehrswege existieren, die annähernd auf der

direkten Verbindungslinie liegen.

Im Folgenden zeigen wir zunächst, wie der optimale Standort des Lagers bei rechtwinkliger

Entfernungsmessung bestimmt werden kann und danach, wie er bei euklidischer

Entfernungsmessung bestimmt werden kann.

Rechtwinklige Entfernungen

Zunächst betrachten wir ein vereinfachtes eindimensionales Problem, bei dem sich

alle Kunden auf einer Linie befinden. Mit den Erkenntnissen, die wir aus der Lösung

dieses Problems gewinnen, ist es dann einfach, den optimalen Standort für den

zweidimensionalen Fall zu finden.

Im eindimensionalen Fall muss ein Lager auf einer Geraden angeordnet werden.

Abbildung 3.5 zeigt ein Beispiel mit drei Kunden. Im eindimensionalen Fall lautet

das Optimierungsproblem

J∑

min Z(x) = min w j |a j − x| . (3.4)

x

x

Dieses Optimierungsproblem minimiert die Gesamtstrecke, über die die Kundenbestellungen

transportiert werden, also die Summe der Produkte aus Kundennachfrage

und Entfernungen der Kunden zum Lager.

Betrachten wir nun einen beliebigen Term w j |a j − x| der Kostenfunktion Z(x). Für

xa j

lautet dieser Term w j (x − a j ), er steigt also linear in x mit Steigung w j . Der Graph der

Funktion hat daher eine V-Form mit einem Minimum von null an der Stelle x = a j .

In unserem Beispiel besteht die Kostenfunktion aus der Summe von drei Termen

der Form w j |a j − x|: Z(x) = w 1 |1 − x| +w 2 |5 − x| +w 3 |8 − x|. Diese Kostenfunktion

Z(x) heißt stückweise linear, da sie zwischen den a j -Werten jeweils linear ist. Da in

unserem Beispiel alle w j = 1 sind, beträgt die Steigung −1 − 1 − 1 =−3fürx


3 Standortplanung

Abbildung 3.5

Beispiel mit rechtwinkliger Entfernung

die Steigung +1 + 1 + 1 =+3fürx>8. Aus der Grafik der Kostenfunktion können

wir die optimale Lösung ablesen: x ∗ = 5.

Aber wie können wir generell die optimale Lösung finden? Um diese Frage zu

beantworten, betrachten wir zunächst ein beliebiges x (x ̸= a j ) und bestimmen die

Steigung der Kostenfunktion an dieser Stelle. Die Steigung der Kostenfunktion an

dieser Stelle ist die Summe der Steigungen der Terme w j |a j − x|. Für Terme mit a j xbeträgt sie −w j . Wir können also die Steigung

an der Stelle x bestimmen, indem wir die Nachfragen w j der Kunden, die links von

x liegen (Kunden mit a j x), mit einem negativen

Vorzeichen versehen und dann diese Nachfragen aufsummieren. In unserem Beispiel

können wir so die Steigung an der Stelle x = 7 berechnen: Kunden 1 und 2 liegen

links von x = 7 und Kunde 3 liegt rechts von x = 7. Die Steigung an der Stelle x = 7

beträgt also +1 + 1 − 1 =+1. Würde die Nachfrage von Kunde 1 w 1 = 3 betragen,

wäre die Steigung +3 + 1 − 1 =+3.

Wir fassen nun unsere Erkenntnisse über die Kostenfunktion zusammen und nutzen

diese Erkenntnisse dann, um ein einfaches Verfahren zu entwerfen, mit dem wir den

optimalen Standort x ∗ für unser Lager finden können. Zur einfacheren Erläuterung

gehen wir davon aus, dass die a j aufsteigend sortiert sind, also a 1


3.1 Beliebige Standorte

Diesen optimalen Standort bestimmen wir, indem wir zunächst für jeden Standort j

die kumulierte Nachfrage von Standort j und allen Standorten links von j berechnen:

W j = w 1 + w 2 +···+w j . (3.5)

Wenn sich das Lager am Standort von Kunde j befindet, dann liegen W j−1 = w 1 +

w 2 +···+w j−1 Nachfragen links vom Lager und W J − W j = w j+1 + w j+2 +···+w J

Nachfragen rechts vom Lager. Der optimale Standort für das Lager befindet sich bei

dem Kunden j, von dem aus nicht mehr als 50 Prozent der Nachfrage links und nicht

mehr als 50 Prozent der Nachfrage rechts liegen. Warum? Dann beträgt die Steigung

der Kostenfunktion links von Standort a j (x>a j−1 , xa j , x


3 Standortplanung

Tabelle 3.2

Bestimmung des optimalen Lagerstandortes

Kunde Standort Nachfrage Kumulierte

j a j w j Nachfrage

3 0 19 19

1 5 31 50

4 6 53 103⇐

2 8 28 131

6 10 41 172

5 14 32 204

Standort liegen 50 ≤ 204/2 = 102 Nachfragen. Und rechts von diesem Standort liegen

101 ≤ 204/2 = 102 Nachfragen. Der optimale Wert der Zielfunktion beträgt

Z(x ∗ ) =

J∑

w j |a j − x ∗ |

j=1

= 31 |5 − 6|+28 |8 − 6|+19 |0 − 6|+···+41 |10 − 6|

= 621 .

Es kann vorkommen, dass mehrere Standorte optimal sind. Zum Beispiel, wenn vier

Kunden mit gleichen Nachfragen von einem Lager aus bedient werden müssen.

Beispiel mit vier Kunden und rechtwinkliger Entfernung

Abbildung 3.6

100


3.1 Beliebige Standorte

Abbildung 3.6 zeigt die Standorte der Kunden und die Kostenfunktion. In diesem

Beispiel sind Standorte a 2 = 4 und a 3 = 7 optimal: Die Nachfrage links von

Standort a 2 beträgt w 1 = 1, also nicht mehr als 50 Prozent der Gesamtnachfrage, und

die Nachfrage rechts von Standort a 2 beträgt w 3 + w 4 = 2, also auch nicht mehr

als 50 Prozent der Gesamtnachfrage. Standort a 2 ist also optimal. Mit einer analogen

Rechnung finden wir heraus, dass auch Standort a 3 optimal ist. Die Betrachtung der

Kostenfunktion zeigt, dass diese zwischen 4 und 7 flach ist, das heißt die Steigung

null hat. In diesem Beispiel sind daher alle Standorte 4 ≤ x ≤ 7 optimal.

Bisher haben wir uns nur mit dem eindimensionalen Fall beschäftigt. Als Nächstes

betrachten wir den zweidimensionalen Fall, also das Problem, ein Lager in einer

Ebene anzuordnen. Abbildung 3.7 zeigt sechs Händler, die von einem Lager aus bedient

werden sollen. Unser Ziel ist es, einen Standort für das Lager zu finden, so dass

die Transportkosten minimiert werden. Mathematisch formuliert lautet das Optimierungsproblem

min

x,y

Z(x, y) = min

x,y

J∑ (

w j |aj − x|+|b j − y| ) . (3.7)

j=1

Dieses Optimierungsproblem können wir umformulieren als

J∑

J∑

Z(x, y) = min w j |a j − x|+ w j |b j − y| (3.8)

min

x,y

x,y

= min x

j=1

J∑

j=1

j=1

w j |a j − x|+min y

J∑

w j |b j − y| . (3.9)

Diese Umformung ist zulässig, weil die Terme w j |a j − x| und w j |b j − y| voneinander

unabhängig sind: Der erste Term hängt von x ab, aber nicht von y. Der zweite

j=1

Kundenstandorte und -nachfragen

Abbildung 3.7

101


3 Standortplanung

Term hängt hingegen nur von y ab, aber nicht von x. Wir können das Optimierungsproblem

daher als zwei voneinander unabhängige Optimierungsprobleme betrachten

und erst die optimale x-Koordinate für unser Lager bestimmen und dann die optimale

y-Koordinate.

Die optimale x-Koordinate für unser Lager finden wir, indem wir das Optimierungsproblem

min x

J∑

w j |a j − x| (3.10)

j=1

lösen. Wenn wir Formeln (3.4) und (3.10) vergleichen, sehen wir, dass dies genau das

Optimierungsproblem ist, das wir bereits im eindimensionalen Fall gelöst haben. Die

optimale x-Koordinate des Lagers entspricht also der x-Position des Kunden, von der

aus nicht mehr als 50 Prozent der Nachfrage links liegen und von der aus nicht mehr

als 50 Prozent der Nachfrage rechts liegen.

Die optimale y-Koordinate für unser Lager finden wir, indem wir das Optimierungsproblem

min y

J∑

w j |b j − y| (3.11)

j=1

lösen. Dieses Optimierungsproblem entspricht Formel (3.10), nur mit y statt x und

mit b j statt a j . Die optimale y-Koordinate des Lagers entspricht somit der y-Position

des Kunden, unter der nicht mehr als 50 Prozent der Nachfrage liegen und über der

nicht mehr als 50 Prozent der Nachfrage liegen.

Tabelle 3.3 und Abbildung 3.7 zeigen sechs Kundenstandorte und deren Nachfragen.

Die optimalen Werte für die x-Koordinate und die y-Koordinate des Lagers finden

wir, indem wir zunächst nur die x-Koordinaten der Standorte betrachten, diese in

aufsteigender Reihenfolge der a j sortieren und dann den Standort finden, von dem

aus nicht mehr als 50 Prozent der Nachfrage links und nicht mehr als 50 Prozent der

Nachfrage rechts liegen.

Beispiel Kundenstandorte

Tabelle 3.3

Kunde Standort Nachfrage

j a j b j w j

1 5 13 31

2 8 18 28

3 0 0 19

4 6 3 53

5 14 20 32

6 10 12 41

102


3.1 Beliebige Standorte

Tabelle 3.4

Bestimmung des optimalen Lagerstandortes

Kunde Standort Nachfrage Kumulierte

j a j w j Nachfrage

3 0 19 19

1 5 31 50

4 6 53 103 ⇐

2 8 28 131

6 10 41 172

5 14 32 204

Kunde Standort Nachfrage Kumulierte

j b j w j Nachfrage

3 0 19 19

4 3 53 72

6 12 41 113 ⇐

1 13 31 144

2 18 28 172

5 20 32 204

Mit dem gleichen Vorgehen bestimmen wir den optimalen Wert der y-Koordinate

des Lagers. Tabelle 3.4 zeigt die Ergebnisse. Der optimale Standort für das Lager ist

also x ∗ = 6 und y ∗ = 12. Als Wert für die Zielfunktion ergibt sich

Z(x ∗ , y ∗ ) =

J∑ (

w j |aj − x ∗ |+|b j − y ∗ | )

j=1

= 31 (|5 − 6|+|13 − 12|) +···+41 (|10 − 6|+|12 − 12|) = 1 781 .

Ein schneller Weg, die optimalen x-Koordinaten und y-Koordinaten in den Tabellen

zu identifizieren, ist es übrigens, nach der kleinsten kumulierten Nachfrage zu suchen,

die größer oder gleich der halben Gesamtnachfrage ist. In unserem Beispiel würden

wir mit diesem Vorgehen nach der kleinsten kumulierten Nachfrage suchen, die größer

oder gleich 204/2 = 102 ist.

Wie der optimale Standort für ein Lager mit rechtwinkliger Entfernungsmessung

bestimmt wird, haben wir gerade gesehen. Wie der optimale Standort bei euklidischer

Entfernungsmessung bestimmt wird, untersuchen wir im folgenden Abschnitt.

103


3 Standortplanung

Euklidische Entfernungen

Bei der euklidischen Entfernungsmessung entspricht die Entfernung zwischen Lager

und Kunde der Länge der direkten Verbindungslinie zwischen Lager und Kunde. Das

Optimierungsproblem lautet

min

x,y

Z(x, y) = min

x,y

J∑ √ (aj

w j − x ) 2 (

+ bj − y ) 2 . (3.12)

j=1

Die Lösung zu diesem Optimierungsproblem kann nicht mehr separat für x und y

gefunden werden wie bei der rechtwinkligen Entfernungsmessung. Die Wurzel verhindert,

dass zwei unabhängige Terme gebildet werden können, von denen der eine

nur von x und der andere nur von y abhängt. Um die optimale Lösung zu finden,

werden die partiellen Ableitungen der Zielfunktion Z(x, y) nach x und y gebildet und

gleich null gesetzt. Da die partiellen Ableitungen nicht nach x und y aufgelöst werden

können, wird ein numerischer Lösungsalgorithmus genutzt, um die optimalen Werte

für x und y zu bestimmen.

Die partiellen Ableitungen von Z(x, y) nach x und y lauten


J∑

Z(x, y) =

∂x

j=1

w j

(x − a j )

√ (aj

− x ) 2 +

(

bj − y ) 2

und (3.13)


J∑

Z(x, y) =

∂y

j=1

w j

(y − b j )

√ (aj

− x ) 2 +

(

bj − y ) 2 . (3.14)

Zur Vereinfachung der Schreibweise definieren wir eine Funktion

g j (x, y) =

w j

√ (aj

− x ) 2 +

(

bj − y ) 2

(3.15)

und setzen diese Funktion in die Formeln (3.13) und (3.14) ein. Außerdem setzen wir

die partiellen Ableitungen gleich null:


J∑

Z(x, y) =

∂x


J∑

Z(x, y) =

∂y

Die partiellen Ableitungen lösen wir nun nach x und y auf:

j=1

j=1

g j (x, y)(x − a j ) = 0 und (3.16)

g j (x, y)(y − b j ) = 0 . (3.17)

∑ J

j=1

x =

a jg j (x, y)

∑ J

j=1 g , (3.18)

j(x, y)

∑ J

j=1

y =

b jg j (x, y)

∑ J

j=1 g . (3.19)

j(x, y)

104


3.1 Beliebige Standorte

Um die optimalen Werte für x und y zu finden, können wir nicht einfach die Parameterwerte

des Problems in Formeln (3.18) und (3.19) einsetzen, denn die Formeln

für x und y hängen von den Variablen x und y selbst ab. Um die optimalen Werte für

x und y zu finden, können wir aber einen iterativen Lösungsalgorithmus verwenden,

den wir anhand der gleichen Beispieldaten, die wir auch bei der Optimierung mit

rechtwinkligen Entfernungen verwendet haben, erläutern. Die Kundenstandorte und

Kundennachfragen sind in Tabelle 3.3 dargestellt.

Tabelle 3.5 zeigt die Lösung des Problems. Dabei ist t der Iterationsindex.

Abbildung 3.8 zeigt, wie sich die Lösung von Iteration zu Iteration verändert. Wir

finden die Lösung folgendermaßen:

1. Auswahl Anfangslösung Zunächst wird eine Anfangslösung x 0 und y 0 gewählt. Je

besser diese Anfangslösung ist, desto schneller wird die optimale Lösung gefunden.

Als gute Anfangslösung kann beispielsweise die Lösung des Problems mit

rechtwinkligen Entfernungen genutzt werden. Diese kennen wir bereits für unser

Beispiel: x 0 = 6, y 0 = 12.

2. Update-Lösung Auf Basis der aktuellen Werte x t und y t werden die neuen Werte

x t+1 und y t+1 berechnet. Dazu werden die aktuellen Werte x t und y t in die Formeln

(3.18) und (3.19) eingesetzt. In Tabelle 3.5 werden die neuen Werte x t+1 und

y t+1 berechnet, indem zunächst die Funktionen g j (x t , y t )fürj = 1, … ,6 mit den

aktuellen Werten von x t und y t berechnet werden. Dann werden die g j (x t , y t )-Werte

in die Formeln (3.18) und (3.19) eingesetzt, um die neuen Werte x t+1 und y t+1 zu

berechnen.

Lösung Standortproblem

Tabelle 3.5

t g 1 () g 2 () g 3 () g 4 () g 5 () g 6 () x t y t

0 6,000 12,000

1 21,9 4,4 1,4 5,9 2,8 10,3 6,900 12,024

2 14,5 4,6 1,4 5,8 3,0 13,2 7,489 11,932

3 11,4 4,6 1,3 5,9 3,1 16,3 7,867 11,879

4 10,1 4,6 1,3 5,8 3,1 19,2 8,106 11,866

5 9,4 4,6 1,3 5,8 3,2 21,6 8,261 11,870

6 9,0 4,6 1,3 5,8 3,2 23,5 8,365 11,878

7 8,7 4,6 1,3 5,8 3,2 25,0 8,436 11,855

8 8,6 4,6 1,3 5,8 3,3 26,1 8,486 11,891

9 8,5 4,6 1,3 5,7 3,3 27,0 8,522 11,895

10 8,4 4,6 1,3 5,7 3,3 27,7 8,548 11,898

105


3 Standortplanung

Abbildung 3.8

Iterationen

3. Terminierung Algorithmus Wenn x t+1 näherungsweise x t entspricht und y t+1 näherungsweise

y t entspricht, wählen wir x t+1 und y t+1 als optimale Lösung. Ansonsten

erhöhen wir t um 1 und wiederholen Schritt 2. Was näherungsweise bedeutet,

bestimmt der Anwender, also Sie. In Tabelle 3.5 haben wir nach zehn Iterationen

den Algorithmus abgebrochen, da sich die Werte für x und y von Iteration 9 nach

Iteration 10 nur um maximal 0,026, also nur in der zweiten Nachkommastelle

unterscheiden.

Die Kosten dieser Lösung betragen

Z(8,548, 11,898) =

J∑ √ (aj

w j − 8,548 ) 2 ( + bj − 11,898 ) 2

j=1

(3.20)

= 1 427,8 . (3.21)

Mit diesem Algorithmus kann der optimale Standort eines Lagers bei euklidischer

Entfernungsmessung gefunden werden. Da bei einer guten Wahl der Anfangslösung

meist nur wenige Iterationen notwendig sind, bis der Algorithmus terminiert, kann er

auch bei einer sehr großen Anzahl Kunden problemlos eingesetzt werden.

Bisher haben wir uns auf die Bestimmung des optimalen Standorts eines Lagers

konzentriert. Wie die optimalen Standorte mehrerer Lager bestimmt werden können,

untersuchen wir im folgenden Abschnitt.

3.1.2 Mehrere Standorte

Häufig werden nicht alle Kunden aus einem einzigen Lager bedient, sondern aus unterschiedlichen

Lagern. So haben beispielsweise die meisten High-Tech-Unternehmen

106


3.1 Beliebige Standorte

mindestens drei Ersatzteilzentrallager, aus denen sie Kundennachfragen erfüllen: Eins

in Europa, eins in Asien und eins in Nordamerika. Wenn I>1 Lager positioniert

werden sollen, müssen nicht nur die Lagerstandorte bestimmt werden, sondern es

muss auch entschieden werden, welche Kunden von welchem Lager aus bedient werden

sollen. Dieses Optimierungsproblem ist mathematisch recht komplex und es ist

schwierig, es optimal zu lösen. Daher werden anstatt optimaler Lösungsverfahren

häufig Heuristiken eingesetzt. Heuristiken finden Lösungen, die in der Regel gut, aber

nicht unbedingt optimal sind. Dafür lassen sie sich einfacher implementieren und

haben kürzere Laufzeiten als optimale Lösungsverfahren. Wir stellen als Nächstes

eine Heuristik zur Lösung des Problems vor, mit der sich in der Regel gute Ergebnisse

erzielen lassen.

Die Heuristik besteht aus zwei Optimierungen: Der Optimierung der Zuordnung

und der Optimierung der Standorte. Bei der Optimierung der Zuordnung werden die

Kunden den Lagerstandorten optimal zugeordnet. Bei der Optimierung der Standorte

werden die optimalen Standorte der Lager bestimmt. Die beiden Optimierungen

werden mehrfach nacheinander durchgeführt. Wir erläutern die Details der Heuristik

zunächst allgemein und dann anhand des Beispiels in Tabelle 3.6.

Abbildung 3.9 zeigt, wie sich die Lösung von Iteration zu Iteration verbessert. Die

Heuristik funktioniert folgendermaßen:

1. Auswahl Anfangslösung Als Erstes werden vorläufige Standorte für die I Lager

ausgewählt. Es können beispielsweise Lagerstandorte gewählt werden, die jeweils

in der Nähe einer Kundenansammlung liegen.

2. Optimierung Zuordnung Für die gegebenen Lagerstandorte werden die optimalen

Zuordnungen von Kunden zu Lagern ermittelt. Dazu wird für jeden Kunden das

am nächsten liegende Lager ausgewählt und der Kunde diesem Lager zugeordnet.

3. Optimierung Standorte Für die gegebene Zuordnung von Kunden zu Lagern werden

die optimalen Lagerstandorte ermittelt. Dazu wird für jedes Lager der optimale

Zuordnungsoptimierung: Erste Iteration

Tabelle 3.6

Kunde Standort Nachfrage Entfernung

j a j b j w j d j (8, 8) d j (15, 15)

1 1 1 17 14⇐ 28

2 2 5 21 9⇐ 23

3 4 4 32 8⇐ 22

4 10 15 45 9 5⇐

5 12 10 15 6⇐ 8

6 15 10 31 9 5⇐

7 17 18 19 19 5⇐

107


3 Standortplanung

Abbildung 3.9

Iterationen bei mehreren Standorten

Anfangslösung Nach erster Iteration Nach zweiter Iteration

Kosten: 1248 Kosten: 850 Kosten: 718

Standort ausgewählt, und zwar unter der Annahme, dass genau die Kunden von

dem Lager aus versorgt werden, die dem Lager bei der Optimierung der Zuordnung

zugewiesen wurden.

4. Terminierung Algorithmus Schritte 2 und 3 werden so lange abwechselnd durchgeführt,

wie sich die Lagerstandorte von einer Iteration zur nächsten ändern. Dann

terminiert der Algorithmus mit den aktuellen Lagerstandorten und der aktuellen

Zuordnung von Kunden zu Lagern als Lösung.

Wenden wir nun den Algorithmus auf unser Beispiel an. Als Anfangslösung wählen

wir x 1 = 8, y 1 = 8 und x 2 = 15, y 2 = 15 als Standorte für die Lager 1 und

2, da diese Standorte jeweils in der Nähe mehrerer Kunden liegen. Für diese Lagerstandorte

bestimmen wir für den Fall der rechtwinkligen Entfernung die optimale

Zuordnung von Kunden zu Lagern. Tabelle 3.6 zeigt, dass die Kunden 1, 2, 3

und 5 dem Lager 1 und die Kunden 4, 6 und 7 dem Lager 2 zugeordnet werden.

Für die gegebenen Lagerstandorte kennen wir nun die optimalen Kundenzuordnungen.

Als Nächstes optimieren wir die Standorte der Lager. Wir nehmen die Zuordnung

von Kunden zu Lagern als gegeben an und optimieren die Lagerstandorte. Tabelle 3.7

zeigt, dass sich als optimaler Standort für Lager 1 der Standort x 1 = 4, y 1 = 4 ergibt.

Mit dem gleichen Vorgehen ergibt sich für Lager 2 als optimaler Standort x 2 = 15,

y 2 = 15.

Eine Terminierung des Algorithmus erfolgt nicht, da sich der Standort von Lager 1

gegenüber der Anfangslösung geändert hat. Wir durchlaufen den Algorithmus deshalb

erneut.

Wir beginnen mit der Zuordnung von Kunden zu Lagern. Da sich der Standort

von Lager 1 bei der letzten Standortoptimierung verändert hat, haben sich auch die

108


3.1 Beliebige Standorte

Tabelle 3.7

Standortoptimierung: Erste Iteration

Kunde Standort Nachfrage Kumulierte

j a j w j Nachfrage

1 1 17 17

2 2 21 38

3 4 32 70⇐

5 12 15 85

Kunde Standort Nachfrage Kumulierte

j b j w j Nachfrage

1 1 17 17

3 4 32 49⇐

2 5 21 70

5 10 15 85

Entfernungen der Kunden zum Lager 1 verändert. In Tabelle 3.8 sind die Entfernungen

der Kunden zum neuen Standort von Lager 1, x 1 = 4, y 1 = 4, dargestellt. Für jeden

Kunden suchen wir nun wieder das am nächsten liegende Lager. Für die gegebenen

Lagerstandorte ist es optimal, Kunden 1, 2 und 3 von Lager 1 und Kunden 4, 5,

6 und 7 von Lager 2 aus zu beliefern. Die Zuordnung der Kunden zu den Lagern

hat sich gegenüber der vorigen Zuordnung geändert. Kunde 5 wurde bei der vorigen

Zuordnung von Lager 1 aus beliefert und wird bei der aktuellen Zuordnung von

Lager 2 aus beliefert. Die Standorte der Lager sind daher wahrscheinlich nicht mehr

optimal.

Deshalb optimieren wir die Standorte erneut. Wir nehmen die Zuordnung von

Kunden zu Lagern als gegeben an und suchen für diese Zuordnung die optimalen

Lagerstandorte. Tabelle 3.9 zeigt, dass sich als optimaler Standort für Lager 1 der

Standort x 1 = 2, y 1 = 4 ergibt. Mit dem gleichen Vorgehen ergibt sich für Lager 2 der

optimale Standort x 2 = 12, y 2 = 15.

Wieder erfolgt keine Terminierung des Algorithmus, da sich der Standort eines

Lagers verändert hat. Wir durchlaufen den Algorithmus also erneut.

Wir beginnen wieder mit der Optimierung der Zuordnung. Für die gegebenen Lagerstandorte

bestimmen wir die optimale Zuordnung von Kunden zu Lagern. Da sich

die Standorte beider Lager bei der letzten Standortoptimierung geändert haben, haben

sich auch die Entfernungen der Kunden zu den beiden Lagern verändert. In

Tabelle 3.10 sind die Entfernungen der Kunden zum neuen Standort von Lager 1,

x 1 = 2, y 1 = 4, und zum neuen Standort von Lager 2, x 2 = 12, y 2 = 15, dargestellt.

Für die gegebenen Lagerstandorte ist es optimal, Kunden 1, 2 und 3 von Lager 1 aus

zu beliefern und Kunden 4, 5, 6 und 7 von Lager 2 aus zu beliefern. Das ist die gleiche

Zuordnung von Kunden zu Lagern wie in der vorigen Zuordnung. Da sich die

109


3 Standortplanung

Tabelle 3.8

Zuordnungsoptimierung: Zweite Iteration

Kunde Standort Nachfrage Entfernung

j a j b j w j d j (4, 4) d j (15, 15)

1 1 1 17 6⇐ 28

2 2 5 21 3⇐ 23

3 4 4 32 0⇐ 22

4 10 15 45 17 5⇐

5 12 10 15 14 8⇐

6 15 10 31 17 5⇐

7 17 18 19 27 5⇐

Zuordnung nicht geändert hat, ist es einfach, die optimalen Standorte zu bestimmen.

Es sind die gleichen wie zuvor, x 1 = 2, y 1 = 4 und x 2 = 12, y 2 = 15. Da sich die

Standorte nicht geändert haben, erfolgt die Terminierung des Algorithmus.

Wir können nun die Kosten der Lösung berechnen. Diese betragen

Z = 17 · 4 + 21 · 1 + 32 · 2 + 45 · 2 + 15 · 5 + 31 · 8 + 19 · 8 = 718 .

Ob wir die optimale Lösung gefunden haben, wissen wir nicht. Die Lösung, die wir gefunden

haben, stellt für die gegebenen Lagerstandorte zwar eine optimale Zuordnung

Standortoptimierung: Zweite Iteration

Tabelle 3.9

Kunde Standort Nachfrage Kumulierte

j a j w j Nachfrage

1 1 17 17

2 2 21 38⇐

3 4 32 70

Kunde Standort Nachfrage Kumulierte

j b j w j Nachfrage

1 1 17 17

3 4 32 49⇐

2 5 21 70

110


3.1 Beliebige Standorte

Tabelle 3.10

Zuordnungsoptimierung: Dritte Iteration

Kunde Standort Nachfrage Entfernung

j a j b j w j d j (2, 4) d j (12, 15)

1 1 1 17 4⇐ 25

2 2 5 21 1⇐ 20

3 4 4 32 2⇐ 19

4 10 15 45 19 2⇐

5 12 10 15 16 5⇐

6 15 10 31 19 8⇐

7 17 18 19 29 8⇐

von Kunden zu Lagern dar. Und für die gegebene Zuordnung nutzt sie die optimalen

Standorte. Aber es könnte sein, dass durch gleichzeitige Optimierung der Zuordnung

und der Standorte eine bessere Lösung gefunden werden könnte.

Abbildung 3.10 verdeutlicht diese Aussage. In dem Standortoptimierungsproblem

mit drei Kunden sollen zwei Lagerstandorte bestimmt werden. Nehmen wir an, die

Heuristik wird mit Lösung 1 als Anfangslösung gestartet. Dann folgt die Zuordnungs-

Lokales und globales Optimum

Abbildung 3.10

111


3 Standortplanung

optimierung. Diese ordnet wieder Kunde 1 dem linken Lager und Kunden 2 und 3

dem rechten Lager zu. Danach folgt die Standortoptimierung. Da Lager 1 nur einen

Kunden hat, wird das Lager an dessen Standort positioniert. Lager 2 hat zwei Kunden

mit Nachfragen w 2 = 2 und w 3 = 1. Es ist daher optimal, das Lager am Standort

von Kunde 2 zu positionieren. Da sich die Standorte nicht von der Anfangslösung

unterscheiden, folgt die Terminierung mit der Anfangslösung. Und dies, obwohl

offensichtlich Lösung 2 besser wäre.

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt haben Sie gelernt, wie die Standorte für ein oder mehrere

Lager gefunden werden können, wenn diese Lager an beliebigen Orten positioniert

werden können. Für den Fall, dass für ein einzelnes Lager der optimale Standort

gefunden werden soll, haben wir die rechtwinklige und die euklidische Entfernungsmessung

untersucht. Zur Lösung des Optimierungsproblems wird bei rechtwinkliger

Entfernungsmessung zunächst der Kunde identifiziert, von dem aus nicht mehr als

50 Prozent der Nachfrage links und nicht mehr als 50 Prozent der Nachfrage rechts

liegen. Die horizontale Position dieses Kunden ist die optimale horizontale Position

des Lagers. Die optimale vertikale Position des Lagers wird analog bestimmt. Bei euklidischer

Entfernungsmessung können die optimale horizontale und vertikale Position

des Lagers nicht mehr nacheinander, sondern müssen gleichzeitig bestimmt werden.

Dazu wird ein iterativer Algorithmus eingesetzt, der die optimale Lösung numerisch

bestimmt.

Wenn für mehr als ein Lager die optimalen Standorte gefunden werden sollen, ist

es schwierig, die optimale Lösung zu finden. Es können aber Heuristiken eingesetzt

werden, die gute Lagerstandorte, allerdings nicht immer optimale Lagerstandorte finden.

Wir haben eine solche Heuristik vorgestellt. Die Heuristik optimiert zunächst

die Zuordnung von Kunden zu Lagern und optimiert danach die Standorte der Lager.

Diese Optimierungen werden so lange wiederholt, bis keine Verbesserungen mehr

gefunden werden. Wir haben bei der Anwendung der Heuristik die rechtwinklige

Entfernungsmessung eingesetzt. Die Heuristik kann aber auch bei euklidischer Entfernungsmessung

eingesetzt werden.

Wir sind bisher davon ausgegangen, dass Lager an beliebigen Standorten positioniert

werden können und wir haben nur die Transportkosten berücksichtigt. Mit diesen

Annahmen lassen sich gute Lagerstandorte zwar zügig identifizieren, doch bieten sich

für eine genauere und realitätsnähere Planung andere Verfahren an. Diese untersuchen

wir als Nächstes.

3.2 Bestimmte Standorte

Wir betrachten nun realitätsnähere Modelle als im vorigen Abschnitt. Diese berücksichtigen

zusätzlich zu den Transportkosten auch fixe und variable Produktionsbeziehungsweise

Standortkosten. Außerdem wählen wir nicht mehr beliebige Orte

als Lösung aus, sondern berücksichtigen nur Standorte aus einer gegebenen Menge

von Standorten. Diese vorgegebene Menge von Standorten wird durch den Anwender

ausgewählt, der bei der Auswahl auch qualitative Faktoren berücksichtigen

kann.

112


3.2 Bestimmte Standorte

Im Folgenden formulieren wir zunächst das Basismodell der Standortplanung, mit

dem sich die wichtigsten Standortentscheidungen modellieren lassen. Dieses Modell

enthält einige ganzzahlige Entscheidungsvariablen und lässt sich mit einem Branchand-Bound-Algorithmus

effizient lösen. Wir erläutern daher die Funktionsweise des

Branch-and-Bound-Algorithmus und wenden diesen dann auf die Lösung des Standortproblems

an. Danach stellen wir einige Erweiterungen des Basismodells vor, mit

denen sich beispielsweise Kapazitätsbeschränkungen der Standorte oder zweistufige

Lagersysteme berücksichtigen lassen.

3.2.1 Formulierung Basismodell

Im Basismodell (BSB) gehen wir davon aus, dass wir N potenzielle Standorte identifiziert

haben, an denen jeweils ein Lager betrieben werden kann. Wenn an Standort n

ein Lager betrieben wird, fallen fixe und variable Standortkosten an. Die fixen Standortkosten

betragen f n . Darin sind Mieten, Versicherungen, Overheadkosten und andere

Kosten enthalten, die unabhängig von der Menge sind, die von dem Lager ausgeliefert

wird. Die variablen Standortkosten betragen v n pro Einheit, die von dem Lager

ausgeliefert wird. In den variablen Standortkosten sind Materialhandhabungskosten

und alle anderen Kosten enthalten, die proportional zur ausgelieferten Menge sind.

Die Transportkosten von Lager n zu Kunde j betragen t nj je Einheit. In den Transportkosten

sind Fahrzeugkosten, Mautkosten und alle anderen Kosten enthalten, die

proportional zur Transportmenge vom Lager n zum Kunden j sind. Die Transportkosten

werden auf Basis der tatsächlichen Entfernungen zwischen Lagern und Kunden

bestimmt. Die Nachfrage von Kunde j beträgt w j .

Zur Vereinfachung der Notation fassen wir die variablen Standortkosten und die

Transportkosten unter dem Begriff Distributionskosten zusammen. Die Distributionskosten

c nj sind die Summe der variablen Kosten, die anfallen, um die gesamte Nachfrage

von Kunde j aus Lager n zu liefern:

c nj = ( v n + t nj

)

wj . (3.22)

Wenn also die variablen Lagerkosten von Lager 1 v 1 = 2,00 €/Stück betragen, t 13 =

1,00 €/Stück die Transportkosten von Lager 1 zum Kunden 3 sind und die Nachfrage

von Kunde 3 w 3 = 100 Stück/Tag beträgt, dann betragen die Distributionskosten

von Lager 1 zum Kunden 3 c 13 = (2,00 €/Stück + 1,00 €/Stück) 100 Stück/Tag =

300 €/Tag. Diese fallen natürlich nur dann an, wenn die gesamte Nachfrage von

Kunde 3 aus Lager 1 erfüllt wird.

Unser Optimierungsproblem enthält zwei Kostenarten: Distributionskosten und fixe

Standortkosten. Unser Ziel ist es, die Summe dieser beiden Kostenarten zu minimieren.

Dazu müssen wir zwei Entscheidungen treffen: Erstens müssen wir entscheiden,

an welchen Lagerstandorten Lager eröffnet werden sollen. Dazu definieren wir die

folgenden binären Entscheidungsvariablen, also Entscheidungsvariablen, die nur die

Werte 0 oder 1 annehmen können:

{

= 1 , wenn an Standort n ein Lager eröffnet wird,

y n =

= 0 , wenn nicht.

113


3 Standortplanung

Zweitens müssen wir entscheiden, welcher Kunde von welchem Lager aus beliefert

werden soll. Dazu definieren wir die folgenden binären Entscheidungsvariablen:

{

x nj =

= 1 , wenn Lager n Kunde j beliefert,

= 0 , wenn nicht.

Wir haben nun alle Parameter und Entscheidungsvariablen definiert, die wir benötigen,

um das Standortproblem als mathematisches Programm zu formulieren:

(BSB)

N.B.

min

x,y

N∑

n=1 j=1

J∑

N∑

c nj x nj + f n y n (3.23)

n=1

N∑

x nj = 1 j = 1, … , J (3.24)

n=1

x nj ≤ y n n = 1, … , N , j = 1, … , J (3.25)

x nj ∈{0, 1} (3.26)

y n ∈{0, 1} (3.27)

Die Zielfunktion (3.23) besteht aus den Distributionskosten und den fixen Standortkosten.

Distributionskosten fallen dann an, wenn Lager n Kunde j beliefert. Dann

ist die Entscheidungsvariable x nj = 1 und die Distributionskosten betragen c nj x nj =

c nj · 1 = c nj . Die fixen Standortkosten fallen für jedes Lager n an, das geöffnet ist

und von dem aus Kunden beliefert werden können. Ist Lager n geöffnet, dann ist

die Entscheidungsvariable y n = 1 und es fallen fixe Standortkosten in Höhe von

f n y n = f n · 1 = f n an.

Die Nebenbedingungen stellen sicher, dass nur zulässige Lösungen berechnet werden.

Nebenbedingungen (3.24) gewährleisten, dass alle Kundennachfragen erfüllt werden.

Dazu werden für jeden Kunden j die Lieferungen von allen Lagern aufsummiert

und gleich 1 gesetzt. Dadurch wird jeder Kunde von genau einem Lager beliefert. Für

Kunde 1 lautet die Nebenbedingung beispielsweise x 11 + x 21 +···+x N1 = 1.

Die Nebenbedingungen (3.25) stellen sicher, dass von einem Lager aus nur dann

Lieferungen ausgehen, wenn dieses auch geöffnet ist. Ist beispielsweise y 1 = 0, dann

lauten die Nebenbedingungen für Lager 1 x 11 ≤ 0, x 12 ≤ 0, … , x 1J ≤ 0. In Kombination

mit Nebenbedingungen (3.26) führt dies dazu, dass alle Entscheidungsvariablen

x 11 , x 12 , … , x 1J gleich 0 gesetzt werden. Ist hingegen y 1 = 1, dann lauten die Nebenbedingungen

für Lager 1 x 11 ≤ 1, x 12 ≤ 1, … , x 1J ≤ 1. In Kombination mit Nebenbedingungen

(3.26) führt dies dazu, dass die Entscheidungsvariablen x 11 , x 12 , … , x 1J

gleich 0 oder gleich 1 gesetzt werden können. Kunden können also von Lager 1 aus

beliefert werden (x 1j = 1), müssen aber nicht zwingend von Lager 1 aus beliefert

werden (x 1j = 0).

Die Nebenbedingungen (3.26) stellen sicher, dass keine Teillieferungen als Lösungen

ermittelt werden, dass also entweder die gesamte Bestellmenge von Lager n an Kunde j

geliefert wird (x nj = 1) oder aber keine Lieferung von Lager n an Kunde j erfolgt

(x nj = 0). Teillieferungen (0


3.2 Bestimmte Standorte

3.2.2 Lösung Basismodell

Wir erläutern nun die Lösung des Optimierungsproblems (BSB), das aus Zielfunktion

(3.23) und Nebenbedingungen (3.24) bis (3.27) besteht, anhand der Beispieldaten

in den Tabellen 3.11 und 3.12. In dem Beispiel können wir bis zu N = 3 Lager öffnen,

von denen aus J = 4 Kunden bedient werden. Unser Ziel ist es, die optimale Menge

zu öffnender Lager (y n ) und die optimale Zuordnung von Lagern zu Kunden (x nj )

zu finden, so dass alle Kundennachfragen zu minimalen Kosten erfüllt werden. Mit

N = 3 Lagern und J = 4 Kunden müssen wir N · J = 3 · 4 = 12 Werte für die Entscheidungsvariablen

x nj und N = 3 Werte für die Entscheidungsvariablen y n finden. Da

jedes x nj und jedes y n die Werte 0 und 1 annehmen kann, gibt es 2 12+3 = 32 768 mögliche

Kombinationen. Wir könnten nun die Kosten jeder dieser 32 768 Kombinationen

berechnen, um die kostenminimale Kombinationen zu ermitteln.

Doch es gibt ein intelligenteres Verfahren, bei dem nicht alle Lösungen untersucht

werden müssen. Dieses basiert auf der Überlegung, dass die optimalen Zuordnungen

von Kunden zu Lagern (x nj ) sehr einfach zu bestimmen sind, wenn bekannt ist, welche

Lager geöffnet und welche geschlossen sind (y n ). Denn dann können wir für jeden

der J = 4 Kunden einfach das kostengünstigste Lager wählen. Wenn beispielsweise

Fixkosten und Nachfrage

Tabelle 3.11

Fixkosten

Nachfrage

Lager €/Tag Kunde Stück/Tag

n f n j w j

1 85 1 42

2 60 2 39

3 65 3 51

4 45

Berechnung Distributionskosten (v n = 0,10 ¤ / Stück)

Tabelle 3.12

Transportkosten

Distributionskosten

Lager €/Stück €/Tag

n t n1 t n2 t n3 t n4 c n1 c n2 c n3 c n4

1 0,83 0,69 0,86 0,23 39 31 49 15

2 1,23 1,05 0,39 0,43 56 45 25 24

3 0,52 1,13 0,68 2,03 26 48 40 96

115


3 Standortplanung

Lager 1 und 2 geöffnet sind und Lager 3 geschlossen ist (y 1 = 1, y 2 = 1, y 3 = 0), dann

können Kunden ausschließlich von den Lagern 1 und 2 beliefert werden. Zur Minimierung

der Kosten werden Kunden von dem Lager aus beliefert, das die geringeren

Distributionskosten verursacht. Kunden 1, 2 und 4 werden von Lager 1 beliefert und

Kunde 3 wird von Lager 2 beliefert.

Wir müssen also nur 2 N = 2 3 = 8 unterschiedliche Kombinationen von geöffneten

und geschlossenen Lagern untersuchen und können dann die optimale Zuordnung

von Kunden zu Lagern durch einen einfachen Kostenvergleich bestimmen. Wenn die

Menge der potenziellen Lager groß ist, kann aber die Anzahl der möglichen Kombinationen

so groß werden, dass die optimale Lösung nicht in akzeptabler Rechenzeit

gefunden wird. Um eine Lösung in akzeptabler Rechenzeit von beispielsweise einigen

Stunden zu finden, verwenden wir daher einen Branch-and-Bound-Algorithmus.

Bei einem Branch-and-Bound-Algorithmus wird das Optimierungsproblem zunächst

in Unterprobleme aufgeteilt. Diese Unterprobleme werden dann so lange weiter

aufgeteilt, bis sie entweder einfach lösbar sind oder bis klar wird, dass sie die optimale

Lösung nicht enthalten können und dadurch das Unterproblem von weiteren

Betrachtungen ausgeschlossen werden kann.

Wir erläutern das Branch-and-Bound-Konzept anhand von Abbildung 3.11. Beginnen

wir mit dem Branching, der Aufteilung eines Problems in Unterprobleme. In

unserem Beispiel müssen wir die Werte von den drei Entscheidungsvariablen y 1 , y 2

und y 3 bestimmen. Um die Anzahl der Entscheidungsvariablen zu reduzieren, können

wir einigen der Entscheidungsvariablen feste Werte zuordnen. Als Erstes ordnen

wir y 1 einen festen Wert zu. Wir wählen für das erste Unterproblem y 1 = 1 und für

das zweite Unterproblem y 1 = 0. In jedem dieser beiden Unterprobleme müssen wir

dann nur noch zwei Entscheidungsvariablen bestimmen, y 2 und y 3 .Wirhabendas

Ursprungsproblem durch die Aufteilung in zwei Unterprobleme somit vereinfacht.

Das Branching ist in Abbildung 3.11 grafisch dargestellt. Die obere Zeile in den Rechtecken

bezeichnet das jeweilige Unterproblem. „1 −−“ bedeutet beispielsweise, dass

y 1 = 1 festgelegt ist, dass y 2 und y 3 aber noch nicht festgelegt sind. Und „0 1−“

bedeutet, dass y 1 = 0 und y 2 = 1 festgelegt sind, y 3 aber noch nicht festgelegt ist.

Das zweite Element des Branch-and-Bound-Konzeptes ist das Bounding, die Schrankenbildung.

Eine Schranke gibt an, welcher bestmögliche Zielfunktionswert in einem

Unterproblem gefunden werden kann, wobei nicht alle Nebenbedingungen erfüllt

sein müssen. Wir bilden eine untere Schranke S F für die fixen Standortkosten und

eine Schranke S D für die Distributionskosten. Der Wert der unteren Schranke für das

gesamte Unterproblem ist dann S = S F + S D .

Zur Berechnung der Schranke für die fixen Standortkosten berücksichtigen wir bei

den Kosten nur die Lagerstandorte, die als geöffnet festgelegt wurden, und ignorieren

Lagerstandorte, die als geschlossen festgelegt wurden oder unbestimmt sind. Das

heißt, wir berücksichtigen bei den Kosten nur Lagerstandorte mit y n = 1. Der Wert der

Schranke für die fixen Standortkosten des Unterproblems „1 −−“ beträgt beispielsweise

S F (1 −−) = 1 · f 1 + 0 · f 2 + 0 · f 3 = 85, der des Unterproblems „0 1 −“ beträgt

S F (0 1−) = 0 · f 1 + 1 · f 2 + 0 · f 3 = 60.

Zur Berechnung der Schranke für die Distributionskosten gehen wir davon aus, dass

Kunden von jedem Lagerstandort aus beliefert werden können, der nicht geschlossen

ist. Das heißt, Kunden können von allen Lagerstandorten mit y n = 1 und y n =−

beliefert werden. Bei Unterproblem „1 −−“ können beispielsweise alle Lagerstandorte

verwendet werden. Wir wählen also für jeden Kunden den Lagerstandort mit den

116


3.2 Bestimmte Standorte

Abbildung 3.11

Branch-and-Bound-Baum

---

97 nz

1--

182 nz

0--

120 nz

11-

242 nz

10-

197 nz

01-

180 nz

00-

210 nz

4a

101

262 z

100

219 z

011

245 z

010

210 z

001

275 z

000

4c

geringsten Distributionskosten, was zu einem Schrankenwert für die Distributionskosten

von S D (1 −−) = c 31 + c 12 + c 23 + c 14 = 26 + 31 + 25 + 15 = 97 führt. Bei

Unterproblem „0 1−“ können wir hingegen Kunden nur aus Lagerstandorten 2 oder

3 beliefern, da Lagerstandort 1 geschlossen ist. Wir wählen dann für jeden Kunden

entweder Lagerstandort 2 oder 3 aus, je nachdem, von welchem Lagerstandort der

Kunde günstiger beliefert werden kann. Dies führt zu einem Schrankenwert für die

Distributionskosten von S D (0 1−) = c 31 + c 22 + c 23 + c 24 = 26 + 45 + 25 + 24 = 120.

Die Summe der Schrankenwerte der fixen Lagerkosten S F und der Distributionskosten

S D ist der Schrankenwert S. In unseren Beispielen beträgt beispielsweise

S(1−−) = S F (1−−)+S D (1−−) = 85+97 = 182 und S(0 1−) = S F (0 1−)+S D (0 1−) =

60 + 120 = 180. Das heißt, dass alle Lösungen, bei denen am Standort 1 ein Lager

geöffnet ist, Kosten von mindestens S(1 −−) = 182 verursachen und die Lösungen,

bei denen am Standort 1 kein Lager geöffnet ist, aber am Standort 2 ein Lager geöffnet

ist, Kosten von mindestens S(0 1−) = 180 verursachen. Beachten Sie, dass die

Schrankenwerte Mindestkosten und nicht unbedingt zulässige Lösungen darstellen.

Bei Unterproblem „1 −−“ haben wir beispielsweise bei der Berechnung der fixen

Standortkosten keine Kosten für Lager 2 berücksichtigt und bei der Berechnung der

Distributionskosten trotzdem Lager 2 genutzt, um Kunde 3 zu beliefern.

Sie haben jetzt gesehen, wie mit dem Branching ein Problem in Unterprobleme

aufgeteilt werden kann, die einfacher lösbar sind als das Ursprungsproblem. Und

Sie haben gesehen, wie mit dem Bounding ein Schrankenwert berechnet werden

kann, der die Mindestkosten des Unterproblems angibt. Dieser Schrankenwert stellt

nicht notwendigerweise eine zulässige Lösung dar. Wir haben nun das grundlegende

Verständnis geschaffen, um den Branch-and-Bound-Algorithmus vorzustellen. Dieser

funktioniert folgendermaßen:

117


3 Standortplanung

1. Initialisierung

(a) Zur Initialisierung werden zunächst die Kosten einer beliebigen zulässigen

Lösung berechnet. Als zulässige Lösung wird eine Lösung bezeichnet, die alle

Nebenbedingungen erfüllt. Eine zulässige Lösung ist beispielsweise nur ein

Lager am Standort 1 zu eröffnen: y 1 = 1, y 2 = 0 und y 3 = 0. Die Kosten dieser

Lösung betragen Z = f 1 + c 11 + c 12 + c 13 + c 14 = 85 + 39 + 31 + 49 + 15 = 219.

Z = 219 ist dann der Wert der besten Lösung, die bisher gefunden wurde.

(b) Zur Initialisierung werden auch die Kosten der Schranke für das Gesamtproblem

„− −−“ berechnet. In unserem Beispiel betragen diese S(− −−) =

c 31 + c 12 + c 23 + c 14 = 26 + 31 + 25 + 15 = 97.

2. Terminierung Wenn alle Unterprobleme gelöst oder von der weiteren Betrachtung

ausgeschlossen sind, terminiert der Algorithmus. Der optimale Zielfunktionswert

ist Z.

3. Branching Beim Branching wird das Ursprungsproblem in Unterprobleme unterteilt

oder ein Unterproblem in weitere Unterprobleme unterteilt. Beispielsweise

kann das Unterproblem „1 −−“ in die Unterprobleme „1 1 −“ und „1 0 −“ unterteilt

werden. In unserem Fall lautet die Branching-Regel „Lege für den jeweils

nächsten Standort fest, ob ein Lager an ihm eröffnet werden soll (y n = 1) oder

nicht (y n = 0)“.

4. Bounding Für jedes Unterproblem wird eine Schranke S berechnet, die angibt,

wie hoch der optimale Zielfunktionswert des Unterproblems mindestens ist. Dann

wird entschieden, wie mit den Unterproblemen weiter fortgefahren wird:

(a) S ≥ Z: Dann ist der optimale Zielfunktionswert des Unterproblems nicht

geringer als Z, dem Wert der besten Lösung, die wir bisher gefunden haben.

Da wir an einer solchen Lösung kein Interesse haben, betrachten wir das

Unterproblem nicht weiter.

(b) S


3.2 Bestimmte Standorte

sind, dass kein Lager geöffnet ist, bei der Berechnung des Schrankenwertes für die

Distributionskosten jedoch Kunden von mehreren Lagerstandorten beliefert haben.

Zulässige Lösungen werden mit „z“ gekennzeichnet. Es erfolgt keine Terminierung

des Algorithmus, da das Problem „−−−“ nicht von weiteren Betrachtungen ausgenommen

wurde. Das erste Branching teilt dann das Problem „− −−“ in die beiden

Unterprobleme „1−−“ und „0−−“auf.BeimBounding ergeben sich Schrankenwerte

S(1 −−) = 182 nz und S(0 −−) = 120 nz. Keins der Kriterien 4a bis 4c ist erfüllt.

Es erfolgt keine Terminierung des Algorithmus. Das nächste Branching teilt das

Unterproblem „1 −−“ in die beiden Unterprobleme „1 1−“ und „1 0−“ auf.Beim

Bounding ergeben sich die Schrankenwerte S(1 1−) = 242 nz und S(1 0−) = 197 nz.

Für Unterproblem „1 1−“ ist Kriterium 4a erfüllt. Da S(1 1−) = 242 > 219 = Z gilt,

wissen wir, dass das Unterproblem „1 1−“ und alle Unterprobleme keine Lösungen

enthalten können, die besser als unsere beste bisher gefundene Lösung „1 0 0“ mit

Zielfunktionswert Z = 219 sind. Wir schließen also Unterproblem „1 1−“ von der

weiteren Betrachtung aus. Für Unterproblem „1 0−“ ist keins der Kriterien erfüllt.

Wir schließen es also nicht von der weiteren Betrachtung aus.

Der Algorithmus wird fortgesetzt, bis der Baum so aussieht, wie er in Abbildung 3.11

dargestellt ist. Dann sind alle Unterprobleme gelöst oder von der weiteren Betrachtung

ausgeschlossen. Die optimale Lösung lautet „0 1 0“ und verursacht Kosten in Höhe

von Z = 210.

In dem einfachen Beispiel wurden nur Kriterien 4a und 4c angewandt und relativ

wenige Unterprobleme von der Suche ausgeschlossen. In Abschnitt 3.4.1 zeigen wir

ein weiteres Beispiel, bei dem alle Kriterien mehrfach zutreffen, wodurch eine große

Anzahl von Unterproblemen von der Betrachtung ausgeschlossen werden kann.

In diesem Abschnitt haben wir das Basismodell der Standortplanung entwickelt

und es mit Hilfe des Branch-and-Bound-Verfahrens gelöst. Dazu wurde das Gesamtproblem

in mehrere Unterprobleme aufgeteilt und jedes für sich gelöst. Teilprobleme,

die nicht viel versprechend waren, wurden von der weiteren Betrachtung ausgeschlossen,

wodurch wir das ursprünglich sehr komplexe Problem mit einer überschaubaren

Anzahl von Schritten lösen konnten.

3.2.3 Erweiterungen Basismodell

Wir stellen nun einige Erweiterungen des Basismodells vor, mit denen sich Standortplanungsprobleme

realistischer modellieren lassen als mit dem Basismodell BSB.

Diese Erweiterungen erlauben es, Anforderungen in unser Modell aufzunehmen, die

ursprünglich noch nicht enthalten waren, aber für die Problemlösung von Bedeutung

sind. Zuerst stellen wir Erweiterungen des Basismodells vor, die lediglich zusätzliche

Nebenbedingungen erfordern: Die Begrenzung der Lageranzahl, die Begrenzung der

Kundenanzahl je Lager, die Beschränkung der Lagerkapazität und die Berücksichtigung

von Wenn-Dann-Beziehungen. Danach stellen wir zwei Modelle vor, die sich

sowohl in der Zielfunktion als auch in den Restriktionen vom Basismodell BSB unterscheiden.

Diese erlauben es, Lagerstrukturen für mehrere Produkte gleichzeitig zu

optimieren und zweistufige Lagersysteme zu modellieren.

Begrenzung Lageranzahl

Bei der Lösung des Basisproblems BSB kann es vorkommen, dass die Anzahl der

geöffneten Lager in der optimalen Lösung größer als gewünscht ist. Daher kann es

119


3 Standortplanung

erforderlich sein, die maximale Anzahl geöffneter Lager zu beschränken. Diese Beschränkung

kann durch Einfügen einer Nebenbedingung erzielt werden:

N∑

y n ≤ M . (3.28)

n=1

Diese Nebenbedingung wird zusätzlich zu den Nebenbedingungen (3.24) bis (3.27)

genutzt, um sicherzustellen, dass maximal M Lager geöffnet werden können. Wenn

genau M Lager geöffnet werden sollen oder mindestens M Lager geöffnet werden

sollen, muss das Kleiner-gleich-Zeichen lediglich durch ein Gleichheitszeichen beziehungsweise

ein Größer-gleich-Zeichen ersetzt werden.

Begrenzung Kundenanzahl

Es ist möglich, dass nach der Lösung des Basisproblems BSB ein Lager nur eine

sehr geringe Anzahl von Kunden beliefert. Im Extremfall kann es sein, dass nur ein

Kunde beliefert wird. Wenn dieser Kunde nun seinen Bedarf bei einer anderen Firma

deckt, muss das Lager geschlossen werden, da ihm kein Kunde mehr zugeordnet

ist. Um dieses Risiko zu reduzieren, können wir die minimale Anzahl von Kunden,

die aus einem Lager beliefert werden, begrenzen. Dies geschieht durch Einfügen der

Nebenbedingungen

J∑

x nj ≥ R n n = 1, … , N . (3.29)

j=1

Beschränkung Kapazität

In unserem Basismodell BSB haben wir implizit angenommen, dass die Standorte

über eine unendliche Kapazität verfügen. Das heißt, dass jeder Lagerstandort in der

Lage ist, eine beliebige Menge auszuliefern. Diese Annahme ist oftmals nicht zutreffend,

da die Lagerkapazität häufig begrenzt ist. Wir können das Basismodell aber um

Kapazitätsrestriktionen erweitern, damit das Modell die Realität genauer abbildet. Die

Nebenbedingungen

J∑

x nj ≤ K n n = 1, … , N (3.30)

j=1

stellen sicher, dass jedes Lager nicht mehr als K n Kunden beliefert. Wir können also

für jedes potenzielle Lager die maximale Kapazität individuell festlegen. Wenn nicht

die Anzahl der Kunden beschränkt werden soll, sondern die ausgelieferte Menge,

kann die Nebenbedingung

verwendet werden.

J∑

w j x nj ≤ K n n = 1, … , N (3.31)

j=1

Wenn-Dann-Beziehungen

Durch eine einfache Erweiterung des Basismodells können auch Wenn-Dann-Beziehungen

modelliert werden. Beispielsweise kann gefordert werden, dass Lager m geschlossen

sein muss, wenn Lager n geöffnet wird und umgekehrt, um in einer Region

120


3.2 Bestimmte Standorte

nicht zu viele Lager zu öffnen. Diese Forderung kann durch die zusätzliche Nebenbedingung

y n + y m ≤ 1 (3.32)

realisiert werden. Andererseits kann durch die Nebenbedingung

y n = y m (3.33)

erreicht werden, dass Lager n und Lager m immer den gleichen Zustand haben, das

heißt, entweder sind beide geöffnet oder beide geschlossen.

Mehrere Produkte

Bislang haben wir uns nur mit der Standortoptimierung für ein Produkt auseinander

gesetzt, was eine gewisse Abstraktion von der Realität darstellt. Wenn wir die

Standortplanung detailgetreuer auf Produktebene durchführen möchten, können wir

die Produkte nicht einzeln optimieren, da beispielsweise bei der Optimierung eines

Produkts ein Lager geöffnet werden könnte, aber bei einem anderen Produkt geschlossen

werden könnte. Die Fixkosten fallen aber unabhängig vom gewählten Produkt an.

Daher müssen wir unser Basismodell BSB für den Mehrproduktfall MSB erweitern,

indem wir einige Variablen und Parameter um einen Index p für jedes der p unterschiedlichen

Produkte erweitern:

P∑ N∑ J∑

N∑

(MSB)

c pnj x pnj + f n y n (3.34)

N.B.

min

x,y

p=1 n=1 j=1

n=1

N∑

x pnj = 1 j = 1, … , J , p = 1, … , P (3.35)

n=1

x pnj ≤ y n n = 1, … , N , j = 1, … , J , p = 1, … , P (3.36)

x pnj ∈{0, 1} (3.37)

y n ∈{0, 1} (3.38)

Die Zielfunktion summiert die Distributionskosten aller Produkte und addiert die

Fixkosten für jedes geöffnete Lager. Wir gehen davon aus, dass in jedem Lager n

jedes Produkt p gelagert werden kann. Nebenbedingungen (3.35) stellen sicher, dass

die Bedarfe aller Kunden für alle Produkte erfüllt werden. Nebenbedingungen (3.36)

stellen sicher, dass ein Produkt p nur dann aus einem Lager n geliefert werden kann,

falls das Lager auch geöffnet ist. Nebenbedingungen (3.37) und (3.38) garantieren

schließlich die Ganzzahligkeit von x pnj und y n .

Zweistufiges Lagersystem

Viele Unternehmen betreiben neben regionalen Lagern auch ein oder mehrere zentrale

Lager, die die regionalen Lager beliefern. Kunden können dann mit geringer

Zeitverzögerung aus Regionallagern beliefert werden, was beispielsweise im Bereich

der Ersatzteilversorgung von enormer Bedeutung ist. Um diese Situation zu modellieren,

führen wir eine neue Entscheidungsvariable ein, die angibt, ob ein Zentrallager

geöffnet ist oder nicht:

{

= 1 , wenn an Standort s ein Zentrallager eröffnet wird ,

Y s =

= 0 , wenn nicht .

121


3 Standortplanung

Zweitens müssen wir entscheiden, von welchem Zentrallager s das Regionallager n

die Waren beziehen soll. Dafür benutzen wir

{

= 1 , wenn Zentrallager s Regionallager n versorgt ,

X sn =

= 0 , wenn nicht .

Die fixen Kosten eines Zentrallagers sind F s . Es fallen im Zentrallager wieder variable

Standortkosten sowie Transportkosten für den Transport zwischen Zentral- und

Regionallager an. Diese können in C sn = V s + T sn zusammengefasst werden. Dieser

variable Kostenanteil muss mit der Gesamtmenge multipliziert werden, die aus Regionallager

n ausgeliefert wird. Diese ist durch ∑ J

j=1 x njw j gegeben. Das erweiterte

Modell für den zweistufigen Fall ist daher


N∑ J∑

S∑ N∑

(ZSB) min c nj x nj + ⎣C sn X nj

N.B.

x,y,X,Y

n=1 j=1

s=1 n=1

J∑

j=1

w j x nj


⎦ (3.39)

N∑

x nj = 1 j = 1, … , J (3.40)

n=1

S∑

X sn = y n n = 1, … , N (3.41)

s=1

x nj ≤ y n n = 1, … , N , j = 1, … , J (3.42)

X sn ≤ Y s s = 1, … , S , n = 1, … , N (3.43)

x nj ∈{0, 1} n = 1, … , N , j = 1, … , J (3.44)

y n ∈{0, 1} n = 1, … , N (3.45)

X sn ∈{0, 1} s = 1, … , S , n = 1, … , N (3.46)

Y s ∈{0, 1}. s = 1, … , S . (3.47)

Die Nebenbedingung (3.41) stellt sicher, dass jedes Regionallager von genau einem

Zentrallager versorgt wird. Weiterhin erlaubt Nebenbedingung (3.43) die Versorgung

nur dann, wenn das Zentrallager geöffnet ist. Schließlich wird durch die weiteren

Nebenbedingungen die Ganzzahligkeit garantiert. Auch dieses Problem können wir

mit Hilfe des Branch-and-Bound-Verfahrens effizient lösen.

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt haben Sie gelernt, wie optimale Standorte aus einer Menge von

vorgegebenen potenziellen Standorten ausgewählt werden. Dazu haben wir zunächst

ein mathematisches Programm entwickelt, das das Problem formal darstellt. Dabei

haben wir neben Transportkosten auch variable und fixe Standortkosten berücksichtigt.

Das mathematische Programm haben wir mit Hilfe eines Branch-and-Bound-

Algorithmus gelöst.

Anschließend haben wir einige Erweiterungen des Basismodells vorgestellt, die

es uns ermöglichen, zusätzliche Restriktionen in unser Modell aufzunehmen. Beispielsweise

können wir nun die maximale Lagerzahl festlegen, eine Minimalzahl

von Kunden je Lager fordern und auch Wenn-Dann-Beziehungen darstellen. Weiterhin

konnten wir unser Modell erweitern, so dass wir nun auch den Mehrprodukt-

122


3.3 Zusammenfassung und Ausblick

fall lösen können. Schließlich haben wir ein zweistufiges Problem präsentiert, bei

dem Regionallager von mehreren Zentrallagern beliefert werden können. Es existiert

eine Vielzahl von anderen Erweiterungen. Den interessierten Leser verweisen wir an

Love [6].

3.3 Zusammenfassung und Ausblick

In diesem Kapitel haben wir uns mit der optimalen Planung von Standorten beschäftigt.

Wir haben zunächst gezeigt, wie sich mit geringem Datenbedarf und geringem

Aufwand die optimalen Standorte bestimmen lassen, wenn die wesentlichen Kosten

die Transportkosten sind und beliebige Orte als Standorte gewählt werden können.

Das Ergebnis dieser Optimierung liefert einen ersten Anhaltspunkt dafür, wo die

Standorte errichtet werden sollten. Zur Berechnung der Transportkosten haben wir

angenommen, dass diese proportional zur Entfernung zwischen Lager und Kunden

sind. Die Entfernungen haben wir mit Hilfe der rechtwinkligen Entfernungen sowie

mit euklidischen Entfernungen gemessen. Rechtwinklige Entfernungen eignen sich

gut zur Abschätzung von innerstädtischen Entfernungen, euklidische Entfernungen

eignen sich eher zur Abschätzung von Entfernungen zwischen Städten.

Teilweise entsprechen jedoch weder die rechtwinkligen noch die euklidischen Entfernungen

der wirklichen Distanz. Dann können wir ein allgemeineres Entfernungsmaß

verwenden, die l p -Entfernung. Diese ist definiert als

d j (x, y, p) = ( |a j − x| p +|b j − y| p) 1/p . (3.48)

Für p = 1 erhalten wir die rechtwinklige Entfernung und für p = 2 die euklidische

Entfernung. Wir sehen also, dass es sich bei der rechtwinkligen und euklidischen

Entfernung um Spezialfälle des l p -Maßes handelt. Nur welches p müssen wir wählen?

Die Lösung liegt im Vergleich der berechneten und der beobachteten Entfernungen.

Wir müssen das p so anpassen, dass die Differenz zwischen den berechneten und den

beobachteten Entfernungen minimiert wird. Mit diesem Vorgehen kann häufig eine

bessere Schätzung der Entfernungen erreicht werden als mit den rechtwinkligen und

euklidischen Entfernungen (Drezner [2]).

Wenn neben den Transportkosten noch andere Kosten entscheidungsrelevant sind,

oder qualitative Faktoren bei der Standortwahl berücksichtigt werden sollen, ist die

Optimierung mit beliebigen Orten ungeeignet. Eine bessere Alternative ist dann die

Optimierung mit im Voraus bestimmten Orten. Bei der Optimierung mit bestimmten

Orten wird zunächst unter Berücksichtigung qualitativer Faktoren eine Menge

von Orten ausgewählt, die sich prinzipiell als Standorte eignen. Dann werden die

Transportkosten sowie die variablen und fixen Standortkosten dieser Orte bestimmt

und als Parameter in einem mathematischen Modell genutzt. Das Modell lässt sich

dann mit einem Branch-and-Bound-Algorithmus lösen. Die Leistung des Branch-and-

Bound-Algorithmus hängt wesentlich von der Qualität der Schrankenberechnung ab.

Wir haben eine sehr einfache Schrankenberechnung vorgestellt. Es gibt jedoch noch

andere Verfahren, mit denen sich bessere Schranken berechnen lassen. Wir verweisen

den interessierten Leser an Francis et al. [3].

Branch-and-Bound-Algorithmen lassen sich nicht nur zur Lösung von Standortproblemen

einsetzen, sondern sind recht vielseitig verwendbar, wenn einige oder alle

Entscheidungsvariablen eines Problems ganzzahlig sind. So lassen sich beispielsweise

123


3 Standortplanung

auch die Mitarbeitereinsatzplanung und die Tourenplanung mit einem Branch-and-

Bound-Verfahren optimieren (Hillier und Lieberman [4]). Das Vorgehen ist dabei das

gleiche wie bei der Standortplanung. Es wird zunächst entschieden, wie das Branching

aussehen sollte, also wie ein Problem sinnvoll in Unterprobleme aufgeteilt werden

kann. Dann wird entschieden, wie das Bounding ausgestaltet sein sollte, also wie

sich sinnvolle Schrankenwerte für die Unterprobleme berechnen lassen. Danach wird

der Branch-and-Bound-Algorithmus so eingesetzt, wie Sie ihn kennen gelernt haben.

Zur Lösung der Standortprobleme existieren mehrere Software-Produkte. Beispielsweise

ermöglicht der IBM Warehouse Site Planner (WSP) die Optimierung von Distributionsnetzwerken.

Der WSP berücksichtigt sowohl die einkommenden Lieferungen

von der Produktion zum Lager als auch die ausgehenden Sendungen zum Kunden.

Weiterhin können Kapazitätsrestriktionen und standortabhängige Lagerkosten angegeben

werden. Zusätzlich ist der IBM Warehouse Site Planner in der Lage, unterschiedliche

Transportmittel zu berücksichtigen. Diese und andere Software-Produkte

basieren auf den Verfahren, die Sie in diesem Kapitel kennen gelernt haben. Das

Verständnis dieser Verfahren erlaubt es Ihnen, Standortplanungsprobleme richtig zu

modellieren und die richtigen Verfahren zu deren Lösung einzusetzen.

3.4 Anwendungen und Übungsaufgaben

3.4.1 Bestimmung der asiatischen Lagerstandorte der RHM

Die RHM GmbH ist mit ihren Produkten bislang nur in Europa, Nordamerika und

Australien vertreten. Der Geschäftsführer Karsten Prinkens hat aber schon seit längerer

Zeit ein Auge auf den asiatischen Markt geworfen, um dort seine Haushaltsgeräte

aus dem Niedrigpreissegment zu vertreiben. Aus seiner Sicht scheint dieser

große und schnell wachsende Markt viel versprechend zu sein und er erwartet vom

wirtschaftlichen Aufschwung Chinas auch Impulse für die Märkte der umliegenden

Länder. Zuerst plante Herr Prinkens den Aufbau einer Produktionsstätte in China, um

dort die günstigen Arbeitskosten zu nutzen. Er hatte aber große Bedenken wegen des

hohen bürokratischen Aufwands, der möglicherweise schlechteren Qualität der Produkte

und der politischen und wirtschaftlichen Risiken. Daher verwarf Herr Prinkens

diese Idee recht schnell und entschied, dass seine Produkte auch weiterhin in Köln

und Ljubljana produziert und dann nach Asien geliefert werden sollten.

Da es sich um Geräte des Niedrigpreissegments handelt und ein Lufttransport hohe

Kosten verursacht, müssen die Geräte per Seefracht verschickt werden. Die Transportzeit

ab Deutschland in den asiatisch-pazifischen Raum beträgt sechs bis acht Wochen.

Aufgrund dieser langen Transportzeit ist es notwendig, einen Teil der Ware in einem

oder mehreren Lagern in Asien zwischenzulagern. Aus diesen Lagern können dann

Kundennachfragen mit kurzer Lieferzeit erfüllt werden. Darum hat sich Herr Prinkens

für eine Lagerung im asiatischen Raum entschieden, auch wenn dies Investitionen in

den Bau und Unterhalt der Lagerstandorte bedeutet. Diese Investitionen werden sich

aber aus Herrn Prinkens Sicht relativ schnell auszahlen.

Nun bleibt nur noch zu klären, wo diese Lager eröffnet werden sollen. Zunächst

wurden dazu potenzielle Lagerstandorte identifiziert, die aufgrund von Faktoren wie

Verkehrs- und Kommunikationsinfrastruktur und politischer Stabilität als geeignet

erscheinen. Die Lagerstandorte und ihre Fixkosten sind in Tabelle 3.13 dargestellt.

124


3.4 Anwendungen und Übungsaufgaben

Tabelle 3.13

Fixkosten in Tausend Euro pro Monat

n Lager Fixkosten

1 Tokyo 143

2 Singapur 121

3 Hongkong 49

4 Manila 28

Der Vertrieb konnte die wesentlichen Märkte identifizieren. Auf Basis der Einwohnerzahlen

und der wirtschaftlichen und demographischen Situation wurden die

zukünftigen Nachfragen der Märkte mit Hilfe einer Kausalanalyse abgeschätzt. Die

Kunden von RHM sind Großabnehmer, die die Ware in die einzelnen Regionen verteilen

und in oder in der Nähe der asiatischen Handelszentren angesiedelt sind. Um

die Transportkosten von den Lagern zu den Kunden abzuschätzen, hat Herr Prinkens

einen ehemaligen Studienkollegen kontaktiert, der nach dem Studium nach Asien

ausgewandert ist und dort in der Bekleidungsindustrie als Supply Chain Manager

Karriere gemacht hat. Mit Hilfe der Informationen seines ehemaligen Kommilitonen

konnten die Distributionskosten von den potenziellen Lagerstandorten zu den Abnehmern

berechnet werden. Diese sind in Tabelle 3.14 dargestellt und enthalten neben

Nachfragen und Transportkosten auch länderspezifische Kostenunterschiede in variablen

Kosten, Zollabfertigung et cetera.

Die Kundenzentren und potenziellen Lagerstandorte sind in Abbildung 3.12 zusammenfassend

dargestellt. Es müssen also von vier potenziellen Lagerstandorten dieje-

Distributionskosten in Tausend Euro pro Monat

Tabelle 3.14

Distributionskosten ab Lager

j Kunde Tokyo Singapur Hong Kong Manila

1 Tokyo 4 24 30 28

2 Singapur 24 1 16 29

3 Hongkong 12 19 3 20

4 Manila 23 11 24 2

5 Peking 16 14 21 19

6 Shanghai 19 13 17 18

7 Bangkok 21 14 18 13

125


3 Standortplanung

Abbildung 3.12

Kundenzentren und potenzielle Lagerstandorte der RHM

nigen bestimmt werden, die die Summe aus fixen Standortkosten und Distributionskosten

minimieren. Herr Prinkens muss also ein Standortoptimierungsproblem mit

bestimmten Standorten lösen. Dazu setzt er einen Branch-and-Bound-Algorithmus

ein. Als Startlösung öffnet er ein einziges Lager in Hongkong. Diese Startlösung hat

Kosten von Z = f 3 + c 31 + c 32 + c 33 + c 34 + c 35 + c 36 + c 37 = 178. Den Branchand-Bound-Baum

bauen wir analog dem Vorgehen in Abschnitt 3.2 auf. Der Baum

ist in Abbildung 3.13 dargestellt. Man kann erkennen, dass die Möglichkeiten der

Lageröffnung in Tokyo und Singapur sehr früh ausgeschlossen werden, da die Schranken

S(1 −−−) = 193 nz beziehungsweise S(0 1 −−) = 191 nz den Kostenwert

unserer Startlösung Z überschreiten. Daher müssen wir diese Teilbäume nicht weiter

betrachten. Als erste zulässige Lösung finden wir „0 0 1 1“ mit Kosten von

Z = f 3 + f 4 + c 41 + c 32 + c 33 + c 44 + c 45 + c 36 + c 47 = 175 z, das heißt, die Lager

Hongkong und Manila sind unsere neue beste Lösung. Die nächste zulässige Lösung

„0 0 1 0“ entspricht unserer Ausgangslösung. Da die Kosten jedoch höher als unsere

bisherige beste Lösung sind, brauchen wir diese Konfiguration nicht weiter zu betrachten.

Schließlich finden wir noch eine letzte zulässige Lösung „0 001“,diemit

den Kosten Z = f 4 + c 41 + c 42 + c 43 + c 44 + c 45 + c 46 + c 47 = 157 z besser ist als alle

bislang gefundenen zulässigen Lösungen. Da nun alle Teilbäume ausgewertet sind,

wissen wir, dass Herr Prinkens ein neues Lager in Manila errichten sollte.

3.4.2 Bestimmung des Zentrallagerstandorts bei OmegaJet

Die OmegaJet wartet ihre 14 Flugzeuge durch ein eigenes Wartungsteam an den

drei Heimatstandorten Köln, Hamburg und Berlin. Diese Wartungen werden über

Nacht durchgeführt, falls die erforderlichen Reparaturen nicht dringend sind und

den laufenden Flugbetrieb beeinträchtigen. Bislang werden viele hochwertige Teile

126


3.4 Anwendungen und Übungsaufgaben

Abbildung 3.13

Branch-and-Bound-Lösung

----

50 nz

1---

193 nz

4a

01--

191 nz

4a

0---

70 nz

001-

147 nz

00--

98 nz

000-

129 nz

0011

175 z

0010

178 z

0001

157 z

0000

4c

an jedem Heimatstandort vorgehalten. Beispielsweise liegen teure Bordelektronik-

Komponenten an allen drei Flughäfen. Dem zuständigen Controller ist jetzt aber aufgefallen,

dass diese Teile nur sehr wenig oder bislang noch gar nicht nachgefragt

wurden und dadurch hohe Kosten durch die Kapitalbindung verursachen. Er schlägt

daher vor, dass diese Ersatzteile in Zukunft nur an einem Ort gelagert werden und

alle Reparaturstätten von diesem Ort beliefert werden, falls ein Teil benötigt wird.

Natürlich muss auch weiterhin sichergestellt sein, dass die Ersatzteile rechtzeitig am

entsprechenden Flughafen sind, um die Reparatur zeitgerecht durchführen zu können,

so dass das Flugzeug am nächsten Morgen auch wieder flugbereit ist. Auch sollte

der Transport von dem zentralen Lager zu den einzelnen Flughäfen nicht zu hohe

Kosten verursachen.

Die Frage ist nun, wo dieses Zentrallager errichtet werden soll. In Köln, Hamburg,

Berlin oder an einem beliebigen Ort zwischen diesen Flughäfen? Um eine optimale

Lösung zu finden, betrachten wir zuerst die Anzahl der an den entsprechenden Flughäfen

gewarteten Flugzeuge. Das Ergebnis ist in Tabelle 3.15 dargestellt.

Weiterhin müssen wir die Positionen der Flughäfen bestimmen. Da Köln der Flughafen

ist, der im Südwesten aller anderen liegt, können wir die Positionen relativ zu

Köln bestimmen, das heißt Köln hat die Koordinaten (0, 0) und die Positionen der

anderen Flughäfen werden relativ in östlicher und nördlicher Distanz gemessen. Mit

Hilfe einer Deutschlandkarte können wir die Standorttabelle 3.16 erstellen.

Beispielsweise liegt Hamburg 222 km östlich und 259 km nördlich von Köln. Mit

diesen Werten können wir nun den optimalen Standort bestimmen. Wir benutzen die

euklidische Distanz, da diese große Entfernungen innerhalb Deutschlands besser als

das rechtwinklige Distanzmaß approximiert. Der optimale Standort wird nun mit Hilfe

des in Abschnitt 3.1 vorgestellten Verfahrens durch Anwendung der Formeln (3.18)

und (3.19) iterativ bestimmt. Als Startlösung verwenden wir x 0 = 250 und y 0 = 120,

127


3 Standortplanung

Tabelle 3.15

Anzahl Wartungen je Woche

Flughafen

Flugzeuge

j

Köln 6

Hamburg 3

Berlin 5

w j

Tabelle 3.16

Entfernung der Flughafenstandorte von Köln in Kilometern

Flughafen

Standort

j a j b j

Köln 0 0

Hamburg 222 259

Berlin 454 148

Lösung Standortproblem OmegaJet

Tabelle 3.17

t g 1 (x t , y t ) g 2 (x t , y t ) g 3 (x t , y t ) x t y t

0 250,00 120,00

1 0,0216 0,0212 0,0243 234,38 135,27

2 0,0222 0,0241 0,0227 227,08 139,26

3 0,0225 0,0250 0,0220 223,55 140,02

4 0,0227 0,0252 0,0217 221,73 139,85

5 0,0229 0,0252 0,0215 220,70 139,48

6 0,0230 0,0251 0,0214 220,09 139,15

7 0,0230 0,0250 0,0214 219,70 138,89

8 0,0231 0,0250 0,0213 219,44 138,71

da wir vermuten, dass der optimale Standort irgendwo in der Mitte zwischen den drei

Flughäfen liegen muss. Tabelle 3.17 stellt die Ergebnisse der Iterationen dar.

128


3.4 Anwendungen und Übungsaufgaben

OmegaJet-Flughäfen und optimaler Zentrallagerstandort

Abbildung 3.14

Wir stoppen nach der achten Iteration, da sich der Standort nicht mehr wesentlich

verändert. Nach unserer Analyse liegt also der optimale Standort ca. 219 km östlich

und 139 km nördlich von Köln.

Ein Blick auf die Abbildung 3.14 verrät, dass wir unser Zentrallager in Hannover

oder Umgebung errichten sollten, um eine Lieferung der Ersatzteile mit minimalen

Kosten sicherzustellen. Weiterhin sehen wir auch, dass die zentrale Lage eine zeitgerechte

Anlieferung von kritischen Teilen erlaubt.

3.4.3 Übungsaufgaben

Ausführliche Musterlösungen zu allen Übungsaufgaben finden Sie auf der Companion

Website unter www.pearson-studium.de.

Aufgabe 1 – Allgemein

a. Diskutieren Sie, welche Faktoren in die Standortentscheidung einbezogen werden

sollten!

b. Diskutieren Sie, wie sich die Ausprägungen der verschiedenen Standortfaktoren

verhalten, wenn Sie eine Investition in China mit einer Investition in Deutschland

vergleichen!

c. Vergleichen Sie die Verfahren zur Optimierung beliebiger und bestimmter Standorte!

Aufgabe 2 – Getränkelieferant

Ein mittelständischer Getränkehändler beliefert in einer Studentenstadt sechs Kneipen

mit Getränken. Um sich von der Konkurrenz zu differenzieren, sollen die Kneipen

129


3 Standortplanung

zu möglichst niedrigen Preisen versorgt werden. Zurzeit liefert das Unternehmen die

Getränke aus einem Lager am Rande der Stadt mit folgenden Mengen an die Kneipen:

Kneipe Standort Nachfrage

j a j b j w j

1 4 9 4

2 7 3 7

3 12 2 9

4 1 5 4

5 3 7 3

6 5 1 5

Um auch in Zukunft exzellente Getränke zu unschlagbar günstigen Preisen liefern

zu können, will der Getränkehändler nun seinen Lagerstandort optimieren, um mit

minimalem Transportaufwand die Kneipen zu beliefern. Bevor aber die Suche nach einer

möglichen Immobilie beginnen kann, möchte sich die Geschäftsführung zunächst

einen Eindruck verschaffen, wo das Lager entstehen soll.

a. Welches Verfahren würden Sie zum Auffinden des optimalen Lagerstandorts wählen

und warum?

b. Finden Sie den optimalen Standort des Lagers!

Aufgabe 3 – Cross-Docking-Positionierung

Ein großes Handelsunternehmen will zur Bündelung der Transporte zwei Cross-

Docking-Terminals errichten, um seine sechs Filialen zu versorgen. In Cross-Docking-

Terminals werden im Normalfall keine Produkte gelagert, sondern nur zwischen den

LKW umgeladen. In dem betrachteten Fall werden die Waren von den Zulieferern zu

den Terminals gebracht und dort auf Transporte zu den Filialen verteilt. Als Kriterium

für die Standortwahl kommt nach Ansicht des Logistikleiters nur die Minimierung

der Transportkosten zwischen den Terminals und den Filialen in Frage. Weiterhin

soll die rechtwinklige Distanz verwendet werden. Die Positionen der Filialen und die

nachgefragten Paletten sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Filiale Standort Nachfrage

j a j b j w j

1 2 9 31

2 3 10 28

3 0 1 19

4 7 6 53

5 1 3 32

6 9 5 41

130


3.4 Anwendungen und Übungsaufgaben

a. Positionieren Sie die beiden Lager! Verwenden Sie dabei als Startpunkte (x 1 , y 1 ) =

(3, 5) und (x 2 , y 2 ) = (8, 8). Berechnen Sie auch die gesamten Transportkosten!

b. Positionieren Sie die beiden Lager und verwenden Sie als Startpunkte (x 1 , y 1 ) =

(5, 3) und (x 2 , y 2 ) = (5, 8)! Berechnen Sie die gesamten Transportkosten!

c. Wie kommen die Unterschiede in den optimalen Lösungen von a) und b) zustande

und wie würden Sie dieses Problem lösen?

Aufgabe 4 – Poststelle

In einem Hochhaus, das von einem multinationalen Konzern als Zentrale verwendet

wird, soll eine Poststelle optimal positioniert werden. Als Daten haben Sie die Positionen

und das Briefaufkommen der einzelnen Abteilungen vorgegeben. Da Abteilungen

sich meist über größere Bereiche des Gebäudes erstrecken, sind zur Vereinfachung die

Sekretariate der Abteilungen angegeben. Da wir im Gebäude den Fluren folgen und

zum Wechsel der Stockwerke den Aufzug benutzen müssen, sollen rechtwinklige Distanzen

verwendet und diese außerdem mit dem Briefaufkommen gewichtet werden.

Die folgende Tabelle stellt die zur Verfügung stehenden Daten dar:

Abteilung Standort Briefaufkommen

j a j b j c j w j

1 3 6 1 23

2 8 9 3 19

3 1 4 2 9

4 6 2 1 29

5 5 7 4 14

6 7 1 5 31

Dabei werden die x-Koordinaten mit a j , die y-Koordinaten mit b j und die z-Koordinaten,

das heißt die Stockwerke, mit c j bezeichnet.

a. Wie können Sie das Problem generell lösen?

b. Positionieren Sie die Poststelle optimal innerhalb des Gebäudes!

c. Wie müssten Sie vorgehen, um zwei Poststellen optimal zu positionieren?

Aufgabe 5 – Ersatzteilversorgung

Ein Hersteller von Anlagen für die chemische Industrie möchte in Zukunft den gesamten

deutschlandweiten Ersatzteilbedarf aus einem Lager bedienen. Dazu soll ein

Lager optimal positioniert werden, um alle Abnehmer zu minimalen Kosten beliefern

zu können. Sie konnten fünf Hauptabnehmer identifizieren, deren Standorte und

jährliche Ersatzteilnachfrage in folgender Tabelle angegeben sind:

131


3 Standortplanung

Unternehmen Standort Nachfrage

j a j b j w j

1 6 4 17

2 14 12 16

3 2 8 18

4 4 1 10

5 2 2 27

a. Bestimmen Sie den optimalen Standort des Ersatzteillagers unter Verwendung von

euklidischen Distanzen! Nutzen Sie als Ausgangslösung x = 5 und y = 5.

b. Welche Entfernung wird pro Jahr insgesamt zurückgelegt, wenn Sie von Ihrer

optimalen Lösung ausgehen?

Aufgabe 6 – Papierproduktion

Ein Hersteller von Papier, dessen Produkte zum größten Teil in der Druckindustrie

verwendet werden, möchte zwei neue Lagerstandorte eröffnen, um sechs neu hinzugekommene

Druckereien zu möglichst minimalen Kosten beliefern zu können. Dazu

wurden zuerst die Standorte der Druckereien aus einer Karte abgelesen und danach

die prognostizierte Absatzmenge pro Jahr ermittelt. Das Ergebnis dieser Datenerhebung

finden Sie in folgender Tabelle:

Druckerei Standort Nachfrage

j a j b j w j

1 5 3 31

2 13 11 28

3 2 7 19

4 5 8 53

5 2 3 32

6 6 5 41

a. Bestimmen Sie die optimalen Standorte unter Verwendung von euklidischen

Distanzen!

b. Welche Entfernung wird pro Jahr insgesamt zurückgelegt, falls die prognostizierten

Nachfragen so eintreten?

c. Wie hoch ist die maximale Entfernung, die zu einer Druckerei zurückgelegt werden

muss?

Aufgabe 7 – Güterverkehr

Ein Transportunternehmen, das das Schienennetz der Deutschen Bahn AG nutzt,

will in Zukunft als Low-Cost-Güterverkehrsanbieter auftreten. Im letzten Jahr konnten

einige neue Großkunden im Rhein-Main- und im Ruhrgebiet erfolgreich akquiriert

132


3.4 Anwendungen und Übungsaufgaben

Abbildung 3.15

Zugnetz

werden. Es wird angenommen, dass die akquirierten Unternehmen ausschließlich untereinander

Lieferbeziehungen unterhalten. Dabei ist zwischen den Unternehmen des

Ruhrgebiets und denen des Rhein-Main-Gebiets mit einem großen Güterverkehrsaufkommen

zu rechnen. Damit nun nicht zwischen allen Unternehmen Züge verkehren

müssen, hat sich die Unternehmensleitung für eine Netzwerkstruktur entschieden,

die in der Abbildung 3.15 beispielhaft dargestellt ist.

Diese Architektur bündelt sowohl im Ruhrgebiet als auch im Rhein-Main-Gebiet

die Transporte in Regionalzentren. Nur zwischen diesen Regionalzentren verkehren

dann Ferngüterzüge, die dadurch eine hohe Auslastung der Güterwagen haben. Da

angenommen werden kann, dass diese Fernzüge nur Fixkosten verursachen, das heißt

die Kosten unabhängig von der beförderten Menge sind, führt die hohe Auslastung

zu geringeren Kosten pro Transporteinheit. Weiterhin müssen für die Regionalzentren

Fixkosten in Betracht gezogen werden. Diese sind in der folgenden Tabelle für beide

Regionen dargestellt:

n Zentrum (Ruhrgebiet) Fixkosten

1 Recklinghausen 143

2 Dortmund 121

3 Wuppertal 49

4 Duisburg 60

n Zentrum (Rhein-Main) Fixkosten

1 Frankfurt 151

2 Mannheim 133

3 Mainz 41

4 Rüsselsheim 34

Außerdem liegen die Kosten des gesamten Rangieraufkommens zwischen Kunde und

potenziellem Regionalzentrum vor. Die folgende Tabelle zeigt die Kunden und potenziellen

Zentren im Ruhrgebiet mit den entsprechenden Rangierkosten:

133


3 Standortplanung

Rangierkosten zum Zentrum

j Kunde Recklinghausen Dortmund Wuppertal Duisburg

1 Metallteile AG 4 24 30 28

2 Gras und Wiesen AG 24 1 16 29

3 Stofffabrik GmbH 12 19 3 20

4 Kabeldraht AG 23 11 24 2

5 Kunststoff GmbH 16 14 21 19

6 Knallgas AG 21 14 18 13

Im Rhein-Main-Gebiet sind folgende Kunden und potenzielle Regionalzentren identifiziert

worden:

Rangierkosten zum Zentrum

j Kunde Frankfurt Mannheim Mainz Rüsselsheim

1 Kleinwagen AG 34 28 32 3

2 Paper & Pulp GmbH 23 32 9 29

3 Holzschneiderei GmbH 19 27 2 22

4 Kisten&Co.KG 24 23 34 2

5 Steinbruch GmbH 18 19 35 7

a. Im ersten Schritt sollen die Rangierkosten innerhalb des Ruhrgebiets minimiert

werden. Welche Zentren sollen geöffnet werden und welcher Kunde soll von

welchem Zentrum versorgt werden?

b. Im nächsten Schritt sollen die Rangierkosten innerhalb des Rhein-Main-Gebiets

minimiert werden. Welche Zentren sollen geöffnet werden und welcher Kunde

soll von welchem Zentrum versorgt werden?

Aufgabe 8 – Das Klausurkaffee-Problem

Sie haben die ganze letzte halbe Stunde der Produktionsklausur an der Lösung eines

binären Branch-and-Bound-Problems gearbeitet. Leider haben Sie nach der erfolgreichen

Lösung vor Freude Ihren Kaffee umgestoßen, so dass einige Stellen des Baums

nicht mehr lesbar sind:

Die Aufsicht will Ihnen keine Verlängerung der Bearbeitungszeit gewähren und Sie

haben nur noch zwei Minuten bis zur Abgabe der Klausur, um einige Werte des nicht

mehr lesbaren Knotens A zu finden. Für die Beantwortung der folgenden Fragen können

Sie eindeutige Werte, beispielsweise x 1 = 1, oder Intervalle wie beispielsweise

Z ≥ 42 benutzen.

a. Wie viele Entscheidungsvariablen wurden in dem Problem verwendet?

b. Wie hoch war die Anfangslösung Z, mit der wir das Branch-and-Bound-Verfahren

initialisiert haben?

134


3.4 Anwendungen und Übungsaufgaben

Abbildung 3.16

Das Kaffeeproblem

c. Wie hoch war die untere Schranke S an Knoten A, wenn Sie davon ausgehen, dass

beim Branching zunächst die unteren Schranken von x 1 und erst dann die unteren

Schranken von x 2 bestimmt wurden?

d. War die untere Schranke S an Knoten A zulässig? Warum?

e. Wie hoch sind die Kosten Z der optimalen Lösung? Wie ist der Wert von x 1 in der

optimalen Lösung? Was ist mit den anderen Entscheidungsvariablen?

Aufgabe 9 – Maschinenbelegung

Ein Kunststoffproduktehersteller möchte die Produktion für die nächste Woche planen.

Es ist vorgesehen, dass insgesamt vier Produkte gefertigt werden. Weiterhin stehen

auch vier Maschinen zur Verfügung, die jedoch abhängig vom gefertigten Produkt

und Maschinentyp unterschiedliche Kosten verursachen, bedingt durch beispielsweise

ungleichen Energieverbrauch oder Wartungs- und Personalaufwand. Die angestrebte

Produktionsmenge eines jeden Produkts kann auf jeder Maschine in genau

einer Woche produziert werden. Um unnötige Umrüstzeiten zu vermeiden, muss jedes

Produkt genau einer Maschine zugeordnet werden und jede Maschine kann daher

während der betrachteten Woche nur genau ein Produkt fertigen. Die Produktionskostenmatrix

ist gegeben durch

Produkt

Produktionskosten

i c i1 c i2 c i3 c i4

1 13 15 34 23

2 32 2 4 34

3 13 23 6 54

4 23 3 3 4

135


3 Standortplanung

Lösen Sie das Zuordnungsproblem mit dem Ziel, die Produktionskosten zu minimieren,

und geben Sie an, welches Produkt auf welcher Maschine gefertigt werden

soll!

Aufgabe 10 – Innerstädtischer Arbeitsgeräte-Pool

Ein Stadtbauunternehmen muss innerhalb Berlins J beliebig positionierte Abstellstandorte

für hochwertige Arbeitsgeräte finden. Von diesen Standorten sollen die

Baustellen morgens die Geräte gestellt bekommen und diese abends wieder dorthin

zurückbringen. Nun sollen die Standorte gefunden werden, von denen aus die Geräte

mit einem minimalen Gesamttransportaufwand zu den Baustellen gebracht werden

können.

a. Um welches Problem handelt es sich in der dargestellten Situation?

b. Überführen Sie das Problem in ein mathematisches Modell! Entwickeln Sie dazu

unter Verwendung von rechtwinkligen Distanzen eine Zielfunktion und eine oder

mehrere Nebenbedingungen!

3.5 Beweise

Konvexität: Wir werden nun zeigen, dass die Zielfunktion Z(x, y) aus Gleichung 3.12

konvex ist und bedienen uns


dazu einiger Eigenschaften von Funktionen [1].

Eigenschaft 1: Die Funktion (a − x) 2 + ( b − y ) 2 beschreibt einen Kegel. Ein Kegel ist

eine konvexe Funktion.

Eigenschaft 2: f (x, y) sei eine konvexe Funktion und w eine positive Konstante. Dann

ist wf(x, y) eine konvexe Funktion.

Eigenschaft 3: Die Summe konvexer Funktionen ist konvex.

Kegel

Abbildung 3.17

d j

(x,y)

x

y

136


3.5 Beweise

Betrachten wir zunächst einen einzelnen Term der Zielfunktion

d j (x, y) =

√ (aj

− x ) 2 +

(

bj − y ) 2 .

Durch Eigenschaft 1 wissen wir, dass diese Funktion einen Kegel darstellt und dass

ein Kegel konvex ist. Für a j = 5 und b j = 5 ist der Kegel in Abbildung 3.17 dargestellt.

Da für alle Punkte (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ R 2 des Kegels die Ungleichung

λd j (x 1 , y 1 ) + (1 − λ)d j (x 2 , y 2 ) ≥ d j (λx 1 + (1 − λ)x 2 , λy 1 + (1 − λ)y 2 )

gilt, sehen wir, dass der


Kegel konvex ist. In der Zielfunktion des Standortproblems

(aj

wird der Distanz-Term − x ) 2 ( + bj − y ) 2 mit einer positiven Nachfrage wj multi-

√ (aj

pliziert. Durch Eigenschaft 2 wissen wir, dass auch w j − x ) 2 (

+ bj − y ) 2 konvex

ist.


Und durch Eigenschaft 3 wissen wir, dass auch die Summe aus den J Termen

(aj

w j − x ) 2 (

+ bj − y ) 2 konvex ist. Somit haben wir gezeigt, dass die Zielfunktion

konvex ist. Wir können daher die partiellen Ableitungen von Z(x, y) nach x und y

bilden und diese gleich null setzen, um die optimale Lösung für den Lagerstandort

zu finden.

Literaturverzeichnis

[1] Bronstein, I. N. (2000). Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch.

[2] Drezner, Z. (1995). Facility Location: A Survey of Applications and Methods.New

York: Springer.

[3] Francis, R. L., McGinnis, L. F. und White, J. A. (1992). Facility Layout and Location:

An Analytical Approach. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall.

[4] Hillier, F. S. und Lieberman, G. J. (2002). Introduction to Operations Research.

McGraw-Hill.

[5] Logistik Heute. November 2003.

[6] Love, R. F., Morris, J. G. und Wesolowsky, G. O. (1988). Facilities Location.

[7] Nahmias, S. (2005). Production and Operations Analysis. 5. Auflage. New York:

McGraw-Hill.

[8] Thonemann, U. W. et al. (2003). Supply Chain Champions. Financial Times

Deutschland/Gabler.

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