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Quantenmechanik


David J. Griffiths

Quantenmechanik

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Formalismus

3.1 Der Hilbert-Raum ....................................... 122

3

3.2 Observable ................................................ 126

3.3 Eigenfunktionen

eines hermiteschen Operators ..................... 130

3.4 Die verallgemeinerte

statistische Interpretation ........................... 137

3.5 Die Unschärferelation ................................. 141

ÜBERBLICK

3.6 Die Dirac-Notation ..................................... 150


3 Formalismus

3.1 Der Hilbert-Raum

In den letzten beiden Kapiteln sind wir über eine Anzahl von interessanten Eigenschaften

einfacher quantenmechanischer Probleme gestolpert. Einige davon sind

„zufällige“ Merkmale spezieller Potentiale (beispielsweise der gleichmäßige Abstand

zwischen den Energieniveaus beim harmonischen Oszillator), doch andere sind

grundlegender Natur; es wäre gut, wenn man sie ein für allemal beweisen könnte

(hierzu gehören beispielsweise die Unschärferelation und die Orthogonalität der stationären

Zustände). Mit Blick darauf geht es in diesem Kapitel darum, die Theorie

in eine leistungsstärkere Form umzugestalten. Ich werde also kaum etwas vorstellen,

was wirklich neu wäre; es geht mir eher darum, die vielen Einzelaspekte, die wir aus

verschiedenen Spezialfällen gewonnen haben, in einer großen Linie zusammenzufassen.

Die Quantenmechanik basiert auf zwei Konstrukten: den Wellenfunktionen und den

Operatoren. Der Zustand eines Systems wird durch seine Wellenfunktion beschrieben,

Observablen werden durch Operatoren dargestellt. Mathematisch gesehen erfüllen

Wellenfunktionen die Anforderungen an abstrakte Vektoren, und Operatoren

wirken auf sie wie lineare Transformationen. Die natürliche Sprache der Quantenmechanik

ist also die der linearen Algebra. 1

Doch es handelt sich hier um eine Form der linearen Algebra, von der ich vermute,

dass Sie nicht unmittelbar damit vertraut sind. In einem N-dimensionalen Raum ist

es am einfachsten, einen Vektor |a〉 durch das N-Tupel seiner Komponenten bezüglich

einer bestimmten Orthonormalbasis in der Form {a n } darzustellen:

⎛ ⎞

a 1

a 2

|α〉 →a = ⎜ .



. ⎠ . (3.1)

a N

Das innere Produkt 〈α|β〉 zweier Vektoren (mit dem man das Punktprodukt zweier

Vektoren in drei Dimensionen verallgemeinert), ist die komplexe Zahl

〈α|β〉 =a ∗ 1 b 1 + a ∗ 2 b 2 +···+a ∗ N b N . (3.2)

Lineare Transformationen T werden bezüglich einer bestimmten Orthonormalbasis

durch Matrizen dargestellt, die auf einen Vektor wirken (und dabei einen neuen

Vektor erzeugen); dabei gelten die gewöhnlichen Regeln der Matrizenmultiplikation:


⎞ ⎛ ⎞

t 11 t 12 ··· t 1N a 1

t 21 t 22 ··· t 2N

a 2

|β〉 =T|α〉 →b = Ta = ⎜


.

.

⎟ ⎜ .

. ⎠ ⎝


. ⎠ . (3.3)

t N1 t N2 ··· t NN a N

1 Wenn Sie bislang noch nichts über lineare Algebra gehört haben, sollten Sie den Anhang

durcharbeiten, bevor Sie weiterlesen.

122


3.1 Der Hilbert-Raum

Die „Vektoren“, denen wir in der Quantenmechanik begegnen, sind jedoch (zumindest

zum größten Teil) Funktionen, die in unendlich-dimensionalen Vektorräumen

leben. Für sie wäre die Schreibweise mit N-Tupeln im besten Falle ungeschickt, und

Manipulationen, die sich im endlich-dimensionalen Fall „gutartig“ verhalten, können

recht problematisch werden. (Der eigentliche Grund dafür ist, dass zwar die

endliche Summe in Gleichung 3.2 immer existiert, eine unendliche Summe – oder

ein Integral – aber muss nicht unbedingt konvergieren; in diesem Fall existiert das

innere Produkt nicht, und jeder Beweis, in dem innere Produkte vorkommen, wird

sofort unseriös.) Auch wenn Ihnen der größte Teil der Terminologie und Schreibweisen

vertraut vorkommt, wird es sich also auszahlen, wenn Sie bei diesem Thema

äußerste Vorsicht walten lassen.

Die Gesamtheit aller Funktionen in x bildet einen Vektorraum, doch für unsere Zwecke

ist der viel zu groß. Um einen möglichen physikalischen Zustand zu repräsentieren,

muss die Wellenfunktion Ψ normiert werden:


|Ψ | 2 dx = 1 .

Die Menge aller quadratintegrablen Funktion f (x) über einem bestimmten Intervall,

für die gilt 2 ∫ b

f (x) mit |f (x)| 2 dx < ∞ ‚ (3.4)

a

bildet ebenfalls einen (viel kleineren) Vektorraum (vgl. Aufgabe 3.1a). Die Mathematiker

nennen ihn L 2 (a‚ b), die Physiker sprechen vom Hilbert-Raum 3 . In der Quantenmechanik

gilt demnach

Wellenfunktionen leben im Hilbert-Raum. (3.5)

Wir definieren das innere Produkt zweier Funktionen f (x) und g(x) folgendermaßen:

∫ b

〈f |g〉 ≡ f (x) ∗ g(x)dx. (3.6)

a

2 Für uns werden die Grenzen fast immer ±∞ sein, aber wir können das Ganze hier auch

ohne Weiteres etwas allgemeiner behandeln.

3 Technisch gesehen ist ein Hilbert-Raum ein vollständiger Vektorraum mit einem inneren

Produkt, und die Menge der quadratintegrablen Funktionen ist nur ein Beispiel für einen

Hilbert-Raum – beispielsweise ist auch jeder endlich-dimensionale Vektorraum trivialerweise

ein Hilbert-Raum. Doch da L 2 die Manege für die Quantenmechanik bildet, ist bei

den Physikern immer dieser Vektorraum gemeint, wenn vom „Hilbert-Raum“ die Rede ist.

Der Begriff vollständig bedeutet hier, dass jede Cauchy-Folge von Funktionen im Hilbert-

Raum gegen eine Funktion konvergiert, die ebenfalls zum Hilbert-Raum gehört; es gibt also

keine „Lücken“, so wie es auch in der Menge der reellen Zahlen keine Lücken gibt (dagegen

hat der Vektorraum aller Polynome, genau wie auch die Menge der rationalen Zahlen,

durchaus einige Lücken.) Leider gibt es eine doppelte Verwendung des Begriffs „vollständig“:

Die Vollständigkeit eines Vektorraums im oben beschriebenen Sinne hat nichts zu tun

mit der Vollständigkeit einer Menge von Funktionen, d. h. der Eigenschaft, dass sich eine

beliebige andere Funktion als Linearkombination aus ihnen darstellen lässt.

123


3 Formalismus

Wenn beide Funktionen f und g quadratintegrabel sind (d. h. wenn sie beide im

Hilbert-Raum leben), existiert ihr inneres Produkt auf jeden Fall (das Integral in Gleichung

3.6 konvergiert gegen eine endliche Zahl). 4 Dies folgt aus der Schwarz’schen

Ungleichung: 5

∣ ∣∣∣∣∣∣ b ∫

a

f (x) ∗ ∫b

∫ b

g(x)dx

≤ √ |f (x)| 2 dx |g(x)| 2 dx. (3.7)

∣ a

a

Sie können selbst überprüfen, dass Gleichung 3.6 alle Bedingungen erfüllt, die an

das innere Produkt gestellt werden (Aufgabe 3.1b). Achten Sie insbesondere auf die

Identität

〈g|f 〉=〈f |g〉 ∗ . (3.8)

Darüber hinaus ist das innere Produkt von f (x) mit sich selbst

stets reell und nicht-negativ; null ist es nur 6 für f (x) = 0.

∫b

〈f |f 〉= |f (x)| 2 dx (3.9)

a

Eine Funktion heißt normiert, wenn ihr inneres Produkt mit sich selbst 1 ist; zwei

Funktionen heißen orthogonal, wenn ihr inneres Produkt 0 ist; und eine Menge {f n }

von Funktionen heißt orthonormal, wenn sie normiert und paarweise orthogonal

zueinander sind:

〈f m |f n 〉=δ mn . (3.10)

4 In Kapitel 2 waren wir gelegentlich gezwungen, mit nicht-normierbaren Funktionen zu

arbeiten. Solche Funktionen liegen außerhalb des Hilbert-Raums, und wie Sie bald sehen

werden, müssen wir sie mit besonderer Sorgfalt behandeln. Fürs Erste werde ich annehmen,

dass alle Funktionen, denen wir begegnen, im Hilbert-Raum liegen.

5 Einen Beweis findet man beispielsweise bei F. Riesz und B. Sz.-Nagy, Functional Analysis

(Unger, New York, 1955), Abschnitt 21 (deutsch: Frigyes Riesz und Béla Szőkefalvi-Nagy,

Vorlesungen über Funktionalanalysis, Harri Deutsch, Thun und Frankfurt, 1982). In einem

endlich-dimensionalen Vektorraum lässt sich die Schwarz’sche Ungleichung |〈α|β〉| 2 ≤

〈α|α〉〈β|β〉 leicht beweisen (vgl. Aufgabe A.5). Aber dieser Beweis setzt die Existenz des

inneren Produkts voraus, das wir ja hier gerade einführen wollen.

6 Man könnte sich ja beispielsweise ein Funktion vorstellen, die überall – außer an ein paar

isolierten Punkten – null ist. Das Integral (Gleichung 3.9) würde dann auch verschwinden,

die Funktion selbst aber nicht. Wenn Sie so etwas stört, sollten Sie lieber Mathematik studieren.

In der Physik kommen solche pathologischen Funktionen nicht vor. Auf jeden Fall

betrachtet man zwei Funktionen im Hilbert-Raum als äquivalent, wenn das Absolutquadrat

ihrer Differenz verschwindet. Technisch repräsentieren die Vektoren im Hilbert-Raum Äquivalenzklassen

von Funktionen.

124


3.1 Der Hilbert-Raum

Schließlich heißt ein Satz von Funktionen vollständig, wenn eine beliebige andere

Funktion (im Hilbert-Raum) sich als eine Linearkombination von ihnen darstellen

lässt:

∞∑

f (x) = c n f n (x) . (3.11)

n=1

Wenn die Funktionen {f n (x)} orthonormal sind, sind die Koeffizienten durch den

Fourier-Trick gegeben:

c n =〈f n |f 〉 ‚ (3.12)

wie Sie leicht selbst überprüfen können. Ich habe diese Terminologie bereits in Kapitel

2 benutzt. (Die stationären Zustände für den unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf

(Gleichung 2.28) bilden einen vollständigen orthonormalen Satz von Funktionen

über dem Intervall (0‚ a); die stationären Zustände des harmonischen Oszillators

(Gleichung 2.67 oder 2.85) bilden einen orthonormalen Satz über dem Intervall

(−∞‚ +∞).)

Aufgabe 3.1

a

b

Zeigen Sie, dass die Menge aller quadratintegrablen Funktionen ein Vektorraum

ist (schlagen Sie die Definition im Anhang A.1 nach).

Hinweis: Das Hauptproblem besteht darin zu zeigen, dass die Summe zweier

quadratintegrablen Funktionen selbst auch quadratintegrabel ist. Wenden

Sie Gleichung 3.7 an. Ist auch die Menge aller normierten Funktionen ein

Vektorraum?

Zeigen Sie, dass das Integral in Gleichung 3.6 die Bedingungen für ein inneres

Produkt erfüllt (vgl. Anhang A.2).

∗ Aufgabe 3.2

a

b

Für welchen Bereich von ν gehört die Funktion f (x) = x ν über dem Intervall

(0‚ 1) zum Hilbert-Raum? ν soll eine reelle, aber nicht unbedingt positive

Zahl sein.

Liegt f (x) für den Spezialfall ν = 1/2 im Hilbert-Raum? Wie sieht es mit

xf (x) aus? Was können Sie zu (d/dx)f (x) sagen?

125


3 Formalismus

3.2 Observable

3.2.1 Hermitesche Operatoren

Der Erwartungswert einer Observablen Q(x‚ p) lässt sich sehr geschickt in einer

Schreibweise ausdrücken, die das innere Produkt ausnützt: 7


〈Q〉 = Ψ ∗ ̂Q Ψ dx =〈Ψ |̂Q Ψ 〉 . (3.13)

Nun muss aber das Ergebnis einer Messung immer reell sein, und daher gilt für den

Mittelwert vieler Messungen erst recht:

〈Q〉 =〈Q〉 ∗ . (3.14)

Doch das Konjugiert-Komplexe eines inneren Produkts dreht die Reihenfolge um

(vgl. Gleichung 3.8), also gilt

〈Ψ |̂Q Ψ 〉=〈̂Q Ψ |Ψ 〉 ‚ (3.15)

und zwar für beliebige Wellenfunktionen Ψ . Also haben Operatoren, die Observable

repräsentieren, die ganz spezielle Eigenschaft

Wir nennen solche Operatoren hermitesch.

〈f |̂Qf〉=〈̂Qf|f 〉 für alle f (x) . (3.16)

Die meisten Lehrbücher erfordern sogar Voraussetzungen, die noch stärker aussehen:

〈f |̂Qg〉=〈̂Qf|g〉 für alle f (x) und alle g(x) . (3.17)

Es stellt sich aber heraus, dass diese Bedingungen dem Anschein zum Trotz genau

äquivalent sind zu der Definition, die ich in Gleichung 3.16 angegeben habe; Sie

werden das in Aufgabe 3.3 beweisen. Verwenden Sie also die Bedingungen, die Sie

mögen. Der wesentliche Punkt ist, dass ein hermitescher Operator mit demselben

Ergebnis entweder auf den ersten oder den zweiten Teil eines inneren Produkts angewendet

werden kann, und dass hermitesche Operatoren ganz selbstverständlich in

der Quantenmechanik auftauchen, weil ihre Erwartungswerte reell sind:

Observable werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert. (3.18)

7 Denken Sie daran, dass wir den Operator ̂Q durch die Ersetzung p →ˆp ≡ (¯h/i)d/dx konstruiert

haben. Solche Operatoren heißen linear in dem Sinn, dass für beliebige Funktionen f

und g und beliebige komplexe Zahlen a und b gilt:

̂Q [af(x) + bg(x)] = âQf(x) + b̂Qg(x) .

Sie stellen lineare Transformationen (vgl. Anhang A.3) auf dem Raum aller Funktionen dar.

Allerdings überführen sie manchmal eine Funktion von innerhalb des Hilbert-Raums nach

außerhalb (vgl. Aufgabe 3.2b); in einem solchen Fall muss der Gültigkeitsbereich des Operators

eventuell beschränkt werden.

126


3.2 Observable

Nun, das werden wir jetzt nachprüfen. Ist beispielsweise der Impulsoperator hermitesch?

〈f |ˆpg〉 =

∫ ∞

−∞

f ∗ ¯h

i

dg

dx dx = ¯h i f ∗ ∞ ∫ ∞ (

g

¯h

∣ +

−∞ i

−∞

)

df ∗

g dx =〈ˆpf |g〉 . (3.19)

dx

Ich habe hier natürlich die partielle Integration angewendet und aus dem üblichem

Grund die Randbedingungen weggeworfen: Wenn nämlich f (x) und g(x) quadratintegrabel

sind, dann müssen sie für ±∞ gegen null gehen. 8 Machen Sie sich nur

klar, dass das Konjugiert-Komplexe von i gerade das Minuszeichen kompensiert, das

durch die partielle Integration hineingerät – der Operator d/dx (ohne das i) ist jedenfalls

nicht hermitesch und repräsentiert keine mögliche Variable.

∗ Aufgabe 3.3

Zeigen Sie: Wenn 〈h|̂Qh〉 = 〈̂Qh|h〉 für alle Funktionen h (im Hilbert-Raum)

gilt, dann gilt auch 〈f |̂Qg〉=〈̂Qf|g〉 für alle f und g. (Im Klartext heißt das: Die

beiden Definitionen für „hermitesch“ in den Gleichungen 3.16 und 3.17 sind

äquivalent.)

Hinweis: Setzen Sie zuerst h = f + g und dann h = f + ig.

Aufgabe 3.4

a

b

c

Zeigen Sie, dass die Summe zweier hermitescher Operatoren ebenfalls hermitesch

ist.

̂Q ist ein hermitescher Operator, α ist eine komplexe Zahl. Welche Bedingungen

muss man an α stellen, damit auch α ̂Q hermitesch ist?

Wann ist das Produkt zweier hermitescher Operatoren ebenfalls Hermite’sch?

d Zeigen Sie, dass der Ortsoperator ( ˆx = x) und der Hamilton-Operator (Ĥ =

−(¯h 2 /2m)d 2 /dx 2 + V(x)) hermitesch sind.

Aufgabe 3.5

Das hermitesch Konjugierte (oder Adjungierte) eines Operators ̂Q ist der Operator

̂Q † , für den gilt:

〈f |̂Qg〉=〈̂Q † f |g〉 (für alle f und g) . (3.20)

8 Eigentlich ist das nicht ganz richtig. Wie in Kapitel 1 erwähnt, gibt es einige pathologische

Funktionen, die zwar quadratintegrabel sind, aber dennoch im Unendlichen nicht gegen

null gehen. Solche Funktionen kommen jedoch in der Physik nicht vor, und wenn Sie in

dieser Hinsicht etwas befürchten sollten, dann beschränken wir einfach den Gültigkeitsbereich

unserer Operatoren, um sie auszuschließen. Auf endlichen Intervallen aber müssen

Sie wirklich vorsichtig sein mit den Randbedingungen, denn ein auf dem Intervall (−∞‚ ∞)

hermitescher Operator kann sehr wohl auf den Intervallen (0‚ ∞) oder (−π‚ π) nicht hermitesch

sein. Wenn Sie sich über den unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopf wundern,

stellen Sie sich diese Wellenfunktionen am besten so vor, also ob sie auf der unendlichen

Linie sitzen – außerhalb (0‚ a) sind sie halt null.

127


3 Formalismus

(Ein hermitescher Operator ist demnach gleich seinem hermitesch Konjugierten:

̂Q = ̂Q † .)

a

Bestimmen Sie das hermitesch Konjugierte zu x, i und d/dx.

b Konstruieren Sie das hermitesch Konjugierte für den Aufsteigeoperator a +

des harmonischen Oszillators (vgl. Gleichung 2.47).

c Zeigen Sie: (̂Q ˆR) † = ˆR † ̂Q † .

3.2.2 Determinierte Zustände

Wenn Sie eine Observable Q an einem Ensemble von identisch präparierten Systemen

messen, die sich alle im selben Zustand Ψ befinden, erhalten sie normalerweise

nicht bei jeder Messung dasselbe Ergebnis – dies ist die Unbestimmheit (Unschärfe)

der Quantenmechanik. 9

Frage: Kann man möglicherweise einen Zustand so präparieren, dass jede Messung

von Q mit Sicherheit denselben Wert (wir nennen ihn q) ergibt? Damit hätten wir,

wenn Sie so wollen, einen determinierten Zustand für die Observable Q. (Wirkennen

sogar schon ein Beispiel: Stationäre Zustände sind determinierte Zustände des

Hamilton-Operators; eine Messung der Gesamtenergie an einem Teilchen im stationären

Zustand Ψ n ergibt mit Sicherheit die entsprechende „erlaubte“ Energie E n .)

In einem determinierten Zustand müsste die Standardabweichung von Q null sein,

mit anderen Worten

σ 2 =〈(Q −〈Q〉) 2 〉=〈Ψ |(̂Q − q) 2 Ψ 〉=〈(̂Q − q)Ψ |(̂Q − q)Ψ 〉=0 . (3.21)

(Wenn jede der Messungen q ergibt, dann ist natürlich auch ihr Mittelwert q: 〈Q〉 =q.

Um einen Faktor in den ersten Term des inneren Produkts zu schieben, habe ich

außerdem benutzt, dass ̂Q (und damit auch ̂Q − q) einhermitescher Operator ist.)

Aber die einzige Funktion, deren inneres Produkt mit sich selbst verschwindet, ist 0,

also

̂Q Ψ = qΨ . (3.22)

Dies ist die Eigenwertgleichung für den Operator ̂Q . Ψ ist eine Eigenfunktion von ̂Q ,

und q ist der zugehörige Eigenwert. Demnach gilt:

Determinierte Zustände sind Eigenfunktionen von ˆQ . (3.23)

Die Messung von Q an einem solchen Zustand ergibt mit Sicherheit den Eigenwert q.

Machen Sie sich klar, dass der Eigenwert eine Zahl ist (kein Operator, keine Funktion).

Man kann eine beliebige Eigenfunktion mit einer Konstante multiplizieren,

und sie bleibt immer noch eine Eigenfunktion mit demselben Eigenwert. Null gilt

9 Ich spreche natürlich von fachgerechten Messungen – man kann durch inkompetente Messung

immer einen Messfehler machen und schlicht das falsche Ergebnis erhalten, aber das

ist dann kein Fehler der Quantenmechanik.

128


3.2 Observable

nicht als Eigenfunktion (sie ist per Definition ausgeschlossen, sonst wäre nämlich

jede Zahl ein Eigenwert, denn es gilt ̂Q 0 = q 0 = 0 für einen beliebigen linearen

Operator ̂Q und für alle q). Allerdings kann null sehr wohl ein Eigenwert sein. Die

Menge aller Eigenwerte eines Operators wird dessen Spektrum genannt. Manchmal

haben zwei (oder mehr) linear unabhängige Eigenfunktionen denselben Eigenwert;

in diesem Fall nennt man das Spektrum entartet.

Beispielsweise sind die determinierten Zustände der Gesamtenergie Eigenfunktionen

des Hamilton-Operators:

Ĥ ψ = Eψ ‚ (3.24)

und das ist genau die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. In diesem Zusammenhang

verwenden wir den Buchstaben E für den Eigenwert und das kleine Psi

(ψ) für die Eigenfunktion (wenn Sie mögen, können Sie den Faktor exp(iEt/¯h) dazufügen

und erhalten Ψ ; doch es bleibt dann immer noch eine Eigenfunktion von Ĥ ).

Beispiel 3.1: Eigenfunktionen und Eigenwerte

eines Operators

Betrachten Sie den Operator

̂Q ≡ i d

dφ ‚ (3.25)

wobei φ die übliche Polarkoordinate in zwei Dimensionen angibt. (Dieser Operator

taucht im physikalischen Kontext beispielsweise bei der Untersuchung einer

Perle auf einer Drahtschleife auf, vgl. Aufgabe 2.46.) Ist ̂Q hermitesch? Berechnen

Sie seine Eigenfunktionen und seine Eigenwerte.

Lösung:

Hier arbeiten wir mit Funktionen f (φ) auf dem endlichen Intervall 0 ≤ φ ≤ 2π

und fordern

f (φ + 2π) = f (φ) ‚ (3.26)

denn φ und φ + 2π beschreiben denselben Punkt. Durch partielle Integration

erhalten wir

∫2π

(

〈f |̂Q g〉= f ∗ i dg )

dφ = if ∗ g∣ 2π ∫2π

( df ∗ )


0 − i g dφ =〈̂Q f|g〉 ‚


0

0

d. h. ̂Q isthermitesch (diesmal verschwindet der Randterm wegen Gleichung 3.26).

Die Eigenwertgleichung

i d dφ f (φ) = qf (φ) (3.27) 129


3 Formalismus

Beispiel 3.1 (Fortsetzung)

hat die allgemeine Lösung

Gleichung 3.26 beschränkt die möglichen Werte für q:

f (φ) = Ae −iqφ . (3.28)

e −iq2π = 1 ⇒ q = 0‚ ±1‚ ±2‚ ... (3.29)

Das Spektrum dieses Operators ist also die Menge der ganzen Zahlen, und es ist

nicht entartet.

Aufgabe 3.6

Betrachten Sie den Operator ̂Q = d 2 /dφ 2 ; wie in Beispiel 3.1 ist φ der Azimutwinkel

bei den Polarkoordinaten, und für die Funktionen gilt ebenfalls Gleichung

3.26. Ist ̂Q hermitesch? Bestimmen Sie die Eigenfunktionen und die Eigenwerte.

Was ist das Spektrum des Operators? Ist das Spektrum entartet?

3.3 Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators

Nach dem letzten Abschnitt richtet sich unser Interesse auf die Eigenfunktionen hermitescher

Operatoren (physikalisch: auf die determinierten Zustände von Observablen).

Wir unterscheiden zwei Kategorien: Wenn das Spektrum diskret ist (d. h. die

Eigenwerte sind voneinander getrennt), dann liegen die Eigenfunktionen im Hilbert-

Raum und bilden physikalisch realisierbare Zustände. Wenn das Spektrum dagegen

kontinuierlich ist (d. h. die Eigenwerte erstrecken sich über einen ganzen Bereich),

dann sind die Eigenfunktionen nicht normierbar, und sie repräsentieren keine mögliche

Wellenfunktion (allerdings können ihre Linearkombinationen sehr wohl normierbar

sein; dies ist aber notwendigerweise mit einer Verschmierung der Eigenwerte

verbunden). Einige Operatoren haben ausschließlich ein diskretes Spektrum

(beispielsweise der Hamilton-Operator für den harmonischen Oszillator), bei anderen

ist das Spektrum ausschließlich kontinuierlich (beispielsweise beim Hamilton-

Operator für das freie Teilchen), und einige Operatoren haben sowohl ein diskretes

als auch ein kontinuierliches Teilspektrum (beispielsweise der Hamilton-Operator

für den endlich tiefen rechteckigen Potentialtopf). Der diskrete Fall ist leichter zu

behandeln, weil die maßgeblichen inneren Produkte garantiert existieren – damit

haben wir ein ganz ähnliches Problem wie in der endlich-dimensionalen Theorie

(die Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix). Ich stelle zunächst den diskreten

Fall vor, danach den kontinuierlichen.

130


3.3 Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators

3.3.1 Diskrete Spektren

Mathematisch haben die normierbaren Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators

zwei wichtige Eigenschaften:

Ihre Eigenwerte sind reell:

Satz 1

Beweis

Es sei

̂Q f= qf ‚

(d. h. f (x) ist eine Eigenfunktion von ̂Q mit dem Eigenwert q), und es gilt 10

(d. h. ̂Q ist hermitesch). Dann gilt

〈f |̂Q f〉=〈̂Q f|f 〉

q 〈f |f 〉=q ∗ 〈f |f 〉

(q ist eine Zahl, die man vor das Integral ziehen kann, und weil die erste Funktion

in dem inneren Produkt konjugiert-komplex ist (Gleichung 3.6), muss das

auch für das q auf der rechten Seite gelten). Aber 〈f |f 〉 kann nicht null sein (denn

f (x) = 0 ist keine zulässige Eigenfunktion), also gilt q = q ∗ , und somit ist q

reell.


Das ist beruhigend: Wenn Sie eine Observable für ein Teilchen in einem determinierten

Zustand messen, bekommen Sie wenigstens immer eine reelle Zahl.

Satz 2

Eigenfunktionen, die zu unterschiedlichen Eigenwerten gehören, sind orthogonal.

Beweis

Es sei

̂Q f= qf ‚ und ̂Q g= q ′ g ‚

und ̂Q ist hermitesch. Dann gilt 〈f |̂Q g〉=〈̂Q f|g〉 und damit

q ′ 〈f |g〉 =q ∗ 〈f |g〉

10 An dieser Stelle verlangen wir, dass die Eigenfunktionen im Hilbert-Raum liegen – andernfalls

könnte das innere Produkt unter Umständen gar nicht existieren.

131


3 Formalismus

(wieder existieren die inneren Produkte, weil die Eigenfunktionen nach Voraussetzung

im Hilbert-Raum liegen). Doch nach Satz 1 ist q reell, also muss für den

Fall q ′ ̸= q gelten: 〈f |g〉 =0.


Das ist der Grund dafür, dass die stationären Zustände beispielsweise des unendlich

tiefen rechteckigen Potentialtopfs oder des harmonischen Oszillators orthogonal

sind – sie sind Eigenfunktionen des Hamilton-Operators mit eindeutigen Eigenwerten.

Aber diese Eigenschaft ist keine nur ihnen oder auch nur ausschließlich dem

Hamilton-Operator eigene Besonderheit, dasselbe gilt für determinierte Zustände

von beliebigen Observablen.

Leider verrät uns Satz 3.3.1 nichts über die entarteten Zustände (q = q ′ ). Wenn

jedoch zwei (oder mehr) Eigenfunktionen denselben Eigenwert haben, dann ist auch

eine beliebige Linearkombination von ihnen eine Eigenfunktion mit demselben Eigenwert

(vgl. Aufgabe 3.7a), und wir können mithilfe des Gram-Schmidt’schen Orthogonalisierungsverfahrens

(vgl. Aufgabe A.4) orthogonale Eigenfunktionen innerhalb

jedes entarteten Unterraums konstruieren. Es ist – Gott sei dank! – praktisch nie

nötig, das auch explizit durchzuziehen, aber es ist immer zumindest im Prinzip möglich.

Daher kann man selbst im Fall von Entartung die Eigenfunktionen als orthogonal

ansetzen, und beim weiteren Aufbau der Quantenmechanik werden wir davon

ausgehen, das sei so geschehen. Damit können wir auch den Fourier-Trick anwenden,

der auf der Orthonormalität der Basisfunktionen beruht.

In einem endlich-dimensionalen Vektorraum haben die Eigenvektoren einer hermiteschen

Matrix noch eine dritte grundlegende Eigenschaft: Sie spannen den Raum

auf (d. h. jeder Vektor lässt sich als Linearkombination von ihnen ausdrücken). Leider

lässt sich der Beweis nicht auf unendlich-dimensionale Vektorräume erweitern.

Diese Eigenschaft wäre aber wesentlich für die innere Widerspruchsfreiheit der Quantenmechanik,

und daher übernehmen wir sie (einem Vorschlag von Dirac 11 folgend)

als Axiom (genauer: als eine Beschränkung der Klasse von hermiteschen Operatoren,

die Observable repräsentieren können):

Axiom

Die Eigenfunktionen des Operators einer Observablen sind vollständig: Eine beliebige

Funktion (im Hilbert-Raum) lässt sich als Linearkombination von ihnen ausdrücken.

12

11 P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, New York

(1958).

12 In einigen speziellen Fällen lässt sich die Vollständigkeit auch beweisen (wir wissen wegen

des Dirichlet’schen Satzes, dass beispielsweise die stationären Zustände des unendlich tiefen

rechteckigen Potentialtopfs vollständig sind). Es mag ein wenig ungeschickt sein, eine

Aussage ein „Axiom“ zu nennen, wenn man sie in einigen Fällen beweisen kann, aber mir

fällt kein besserer Weg ein, damit umzugehen.

132


3.3 Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators

Aufgabe 3.7

a

b

f (x) und g(x) sind zwei Eigenfunktionen eines Operators ̂Q mit demselben

Eigenwert q. Zeigen Sie, dass jede Linearkombination von f und g ebenfalls

eine Eigenfunktion von ̂Q mit dem Eigenwert q ist.

Prüfen Sie, dass f (x) = exp(x) und g(x) = exp(−x) Eigenfunktionen des

Operators d 2 /dx 2 mit demselben Eigenwert sind. Konstruieren Sie zwei

Linearkombinationen von f und g, die über dem Intervall (−1‚ 1) orthogonale

Eigenfunktionen sind.

Aufgabe 3.8

a Überprüfen Sie, dass die Eigenwerte des hermiteschen Operators in Beispiel

3.1 reell sind. Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen (zu verschiedenen

Eigenwerten) orthogonal sind.

b Wiederholen Sie dies für den Operator aus Aufgabe 3.6.

3.3.2 Kontinuierliche Spektren

Wenn das Spektrum eines hermiteschen Operators kontinuierlich ist, sind die Eigenfunktionen

nicht normierbar, und die Beweise von Satz 3.3.1 und 3.3.1 (vgl. Seite

131) scheitern, weil die inneren Produkte unter Umständen nicht existieren. In

gewissem Sinne gelten jedoch die drei wesentlichen Eigenschaften (die Eigenwerte

sind reell, die Eigenfunktionen sind orthogonal und vollständig) immer noch. Ich

halte es für das Beste, sich diesem raffinierten Fall durch einige spezielle Beispiel zu

nähern.

Beispiel 3.2: Eigenfunktionen und Eigenwerte

des Impulsoperators

Bestimmen Sie die Eigenfunktionen und Eigenwerte für den Impulsoperator.

Lösung:

Es sei f p (x) die Eigenfunktion und p der Eigenwert:

Die allgemeine Lösung ist

¯h

i

d

dx f p(x) = pf p (x) . (3.30)

f p (x) = Ae ipx/¯h .

133


3 Formalismus

Beispiel 3.2 (Fortsetzung)

Dies ist für beliebige (komplexe) Werte von p nicht quadratintegrabel – der Impulsoperator

hat im Hilbert-Raum keine Eigenfunktionen. Doch wenn wir uns

auf reelle Eigenwerte beschränken, entdecken wir eine Art von „Ersatz-Orthonormalität“.

Bezugnehmend auf die Aufgaben 2.24(a) und 2.26 gilt

∫ ∞

∫∞

fp ∗ ′ (x)f p (x)dx =|A| 2 e i(p−p′ )x/¯h dx =|A|

2 2π¯hδ(p − p ′ ) . (3.31)

−∞

−∞

Wenn wir A = 1/ √ 2π ¯h auswählen, sodass gilt

f p (x) = 1 √

2π ¯h

e ipx/¯h ‚ (3.32)

dann ist

〈f p ′|f p 〉=δ(p − p ′ ) ‚ (3.33)

und dass erinnert verblüffend an die Bedingung für die richtige Orthonormalität

(Gleichung 3.10): Die Indizes sind nun stetige Variable, und aus dem Kronecker-

Delta ist eine Dirac’sche Deltafunktion geworden, aber sonst sieht es genauso

aus. Ich werde Gleichung 3.33 die Dirac’sche Orthonormalität nennen.

Am wichtigsten ist, dass die Eigenfunktionen vollständig sind, wenn man die

Summe (in Gleichung 3.11) durch ein Integral ersetzt: Eine beliebige (quadratintegrable)

Funktion f (x) lässt sich in der Form

f (x) =

∫ ∞

−∞

c(p) f p (x)dp = 1 √

2π¯h

∫∞

−∞

c(p)e ipx/¯h dp (3.34)

schreiben. Dabei erhält man den Entwicklungskoeffizienten (in diesem Fall die

Funktion c(p)) wie immer mithilfe des Fourier-Tricks:

〈f p ′|f 〉=

∫ ∞

−∞

c(p)〈f p ′|f p 〉dp =

∫ ∞

−∞

c(p)δ(p − p ′ )dp = c(p ′ ) . (3.35)

Alternativ kann man auch den Satz von Plancherel (Gleichung 2.102) anwenden,

denn die Entwicklung nach Gleichung 3.34 ist nichts anderes als eine Fourier-

Transformation.

Die Eigenfunktionen für den Impuls (Gleichung 3.32) sind sinusförmig mit der Wellenlänge

λ = 2π¯h

p . (3.36)

134


3.3 Eigenfunktionen eines hermiteschen Operators

Das ist die alte De-Broglie-Formel (Gleichung 1.39), von der ich ja versprochen hatte,

sie zu passender Zeit zu beweisen. Es stellt sich heraus, dass die Beziehung noch ein

wenig raffinierter ist, als de Broglie sich das seinerzeit vorstellte, denn wir wissen

heute, dass es ein Teilchen mit einem eindeutig bestimmten Impuls gar nicht gibt.

Aber wir können uns ein normierbare Wellenpaket mit einem schmalen Impulsbereich

vorstellen, und auf ein solches Objekt lässt sich die De-Broglie-Formel tatsächlich

anwenden.

Und was lernen wir nun aus Beispiel 3.2? Obwohl keine der Eigenfunktionen von

ˆp im Hilbert-Raum lebt, hat eine bestimmte Familie von ihnen (nämlich die mit

den reellen Eigenwerten) ihren Sitz in den nahegelegenen „Vororten“ mit einer Art

von Quasi-Normierbarkeit. Sie repräsentieren zwar keine möglichen physikalischen

Zustände, aber sie sind dennoch ziemlich nützlich (wie wir schon bei unserer Untersuchung

der eindimensionalen Streuung gesehen haben). 13

Beispiel 3.3: Eigenfunktionen und Eigenwerte

des Ortsoperators

Bestimmen Sie die Eigenfunktionen und Eigenwerte des Ortsoperators.

Lösung:

Sei g y (x) die Eigenfunktion und y der Eigenwert:

xg y (x) = yg y (x) . (3.37)

Hier ist y eine feste Zahl (für eine beliebige gegebene Eigenfunktion), aber x

ist eine stetige Variable. Welche Funktion in x hat die Eigenschaft, dass eine

Multiplikation mit x zum selben Ergebnis führt wie eine Multiplikation mit der

Konstante y? Offenbar muss sie null sein, außer in dem einen Punkt x = y – und

das ist nichts anderes als die Dirac’sche Deltafunktion:

g y (x) = Aδ(x − y) .

13 Und was ist mit den Eigenfunktionen, die nicht-reelle Eigenwerte haben? Sie sind nicht

einfach nur nichtnormierbar, sie explodieren regelrecht für ±∞. Funktionen in den von mir

so genannten „Vororten“ des Hilbert-Raums (den ganzen Ballungsraum könnte man dann

„zusammengefrickelter Hilbert-Raum“ nennen; vgl. beispielsweise Leslie Ballentine, Quantum

Mechanics: A Modern Development, World Scientific, 1998) haben die Eigenschaft, dass

es zwar kein (endliches) inneres Produkt mit ihnen selbst gibt, dass sie aber sehr wohl innere

Produkte mit allen Mitgliedern des Hilbert-Raums bilden. Das gilt nicht für Eigenfunktionen

mit nicht-reellen Eigenwerten. Insbesondere habe ich gezeigt, dass der Impulsoperator

für Funktionen im Hilbert-Raum hermitesch ist, aber der Beweis beruht darauf, dass der

Randterm (in Gleichung 3.19) entfallen kann. Dieser Term ist auch null, wenn g eine Eigenfunktion

von ˆp mit einem reellen Eigenwert ist (solange nur f im Hilbert-Raum lebt), das

gilt aber nicht, wenn der Eigenwert einen imaginären Anteil hat. In diesem Sinne ist eine

beliebige komplexe Zahl ein Eigenwert des Operators ˆp, doch nur reelle Zahlen sind Eigenwerte

des hermiteschen Operators ˆp – die anderen liegen außerhalb des Bereichs, über dem

ˆp hermitesch ist.

135


3 Formalismus

Beispiel 3.3 (Fortsetzung)

Diesmal muss der Eigenwert reell sein; die Eigenfunktionen sind nicht quadratintegrabel,

aber sie erlauben die Dirac’sche Orthonormalität:

∫ ∞

−∞

g ∗ y ′ (x)g y (x)dx =|A| 2

∫∞

−∞

Wenn wir A = 1 auswählen, sodass

gilt, dann haben wir

Auch diese Eigenfunktionen sind vollständig:

mit

f (x) =

∫ ∞

−∞

δ(x − y ′ )δ(x − y)dx =|A| 2 δ(y − y ′ ) . (3.38)

g y (x) = δ(x − y) (3.39)

〈g y ′|g y 〉=δ(y − y ′ ) . (3.40)

c(y)g y (x)dy =

∫ ∞

−∞

c(y)δ(x − y)dy (3.41)

c(y) = f (y) (3.42)

(in diesem Fall ist das trivial, aber Sie können das Ergebnis auch mit dem Fourier-

Trick erhalten, wenn Sie unbedingt wollen).

Wenn das Spektrum eines hermiteschen Operators kontinuierlich ist (d. h. die Eigenwerte

werden durch eine stetige Variable gekennzeichnet – in den Beispielen waren

das p oder y, allgemein und im Folgenden wird das die Variable z sein), dann sind

die Eigenfunktionen nicht normierbar, sie liegen nicht im Hilbert-Raum, und sie

repräsentieren keine möglichen physikalischen Zustände. Dennoch sind die Eigenfunktionen

mit reellen Eigenwerten Dirac-orthonormierbar und vollständig (nur dass

statt der Summe jetzt ein Integral verwendet wird). Glücklicherweise ist das alles,

was wir wirklich benötigen.

Aufgabe 3.9

a

b

c

Nennen Sie einen Hamilton-Operator aus Kapitel 2 (einen anderen als den

für den harmonischen Oszillator), der nur ein diskretes Spektrum hat.

Nennen Sie einen Hamilton-Operator aus Kapitel 2 (einen anderen als den

für das freie Teilchen), der nur ein kontinuierliches Spektrum hat.

Nennen Sie einen Hamilton-Operator aus Kapitel 2 (einen anderen als den

für den endlich tiefen rechteckigen Potentialtopf), der in seinem Spektrum

sowohl einen diskreten als auch einen kontinuierlichen Anteil hat.

136


3.4 Die verallgemeinerte statistische Interpretation

Aufgabe 3.10

Ist der Grundzustand des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs eine Eigenfunktion

des Impulsoperators? Wenn das so sein sollte, was ist dann der Impuls?

Wenn nicht, warum nicht?

3.4 Die verallgemeinerte statistische Interpretation

In Kapitel 1 habe ich Ihnen gezeigt, wie man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet,

ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden, und wie man den Erwartungswert

für eine beliebige messbare Größe bestimmt. In Kapitel 2 haben Sie gelernt, wie man

die möglichen Ergebnisse einer Energiemessung und deren Wahrscheinlichkeiten

bestimmt. Nun sind wir genügend gerüstet, dass ich die verallgemeinerte statistische

Interpretation darlegen kann, die all dies zusammenfasst und es Ihnen gestatten

wird, die möglichen Ergebnisse einer beliebigen Messung und deren Wahrscheinlichkeiten

zu berechnen. Zusammen mit der Schrödinger-Gleichung (die Ihnen verrät,

wie sich die Wellenfunktion mit der Zeit entwickelt) ist das die Grundlage der

Quantenmechanik.

Verallgemeinerte statistische Interpreation: Wenn Sie eine Observable Q(x‚ p) an

einem Teilchen im Zustand Ψ(x‚ t) messen, erhalten Sie mit Bestimmtheit einen der

Eigenwerte des hermiteschen Operators ̂Q (x‚ −i ¯hd/dx). Wenn das Spektrum von ̂Q

diskret ist, erhält man den bestimmten Eigenwert q n , der mit der orthonormierten

Eigenfunktion f n (x) verbunden ist, mit der Wahrscheinlichkeit

|c n | 2 mit c n =〈f n |Ψ 〉 . (3.43)

Wenn das Spektrum kontinuierlich ist und man reelle Eigenwerte q(z) für die zugehörigen

Dirac-orthonormierten Eigenfunktionen f z (x) hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit

für ein Ergebnis im Bereich dz

|c(z)| 2 dz mit c(z) =〈f z |Ψ 〉 . (3.44)

Ganz gleich, ob das Spektrum diskret oder kontinuierlich ist: Bei einer Messung

„kollabiert“ die Wellenfunktion zum entsprechenden Eigenzustand. 14

Die statistische Interpretation unterscheidet sich vollständig von allem, dem wir in

der klassischen Physik begegnet sind. Ein etwas anderer Blickwinkel macht dies vielleicht

etwas einleuchtender: Die Eigenfunktionen des Operators einer Observablen

sind vollständig, also lässt sich die Wellenfunktion als Linearkombination von ihnen

schreiben:

Ψ(x‚ t) = ∑ n

c n f n (x) . (3.45)

(Aus Gründen der Einfachheit werde ich annehmen, dass das Spektrum diskret ist;

man kann den Gedankengang aber leicht auf den kontinuierlichen Fall erweitern.)

Da die Eigenfunktionen orthonormal sind, erhält man die Koeffizienten mithilfe des

14 Im Fall kontinuierlicher Spektren vollzieht sich der Kollaps auf einen schmalen Bereich um

den Messwert, dessen Breite von der Genauigkeit der Messapparatur abhängt.

137


3 Formalismus

Fourier-Tricks: 15 ∫

c n =〈f n |Ψ 〉=

f n (x) ∗ Ψ(x‚ t)dx. (3.46)

Qualitativ können Sie aus c n ablesen, „wie viel f n in Ψ enthalten ist“; angesichts dessen,

dass eine Messung immer einen der Eigenwerte von ̂Q ergeben muss, scheint

es plausibel, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, einen ganz bestimmten Eigenwert

q n zu erhalten, durch den „Gehalt an f n “inΨ festgelegt wird. Doch weil die Wahrscheinlichkeiten

aus dem Betrag des Quadrats der Wellenfunktion berechnet werden,

erhält man aus einer genauen Messung eigentlich |c n | 2 . Das ist die wesentliche

Bürde der verallgemeinerten statistischen Interpretation. 16

Natürlich muss die Gesamtwahrscheinlichkeit (summiert über alle möglichen Ergebnisse)

gerade eins sein:


|c n | 2 = 1 ‚ (3.47)

n

und wirklich folgt dies aus der Normierung der Wellenfunktion:

〈 ⎛

1 =〈Ψ |Ψ 〉= ⎝ ∑ ( )〉

c n ′f n ′⎞


∑ c

∣ n f n = ∑ ∑

cn ∗ ′ c n 〈f n ′|f n 〉

n ′ n

n ′ n

= ∑ ∑

cn ∗ ′ c n δ n ′ n = ∑ cn ∗ c n = ∑ |c n | 2 . (3.48)

n ′ n

n

n

Entsprechend sollte der Erwartungswert von Q die Summe aller möglichen Ergebnisse

von Eigenwerten mal der Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Eigenwerte sein:

〈Q〉 = ∑ n

q n |c n | 2 . (3.49)

Und in der Tat haben wir

〈 ⎛

〈Q〉 =〈Ψ |̂Q Ψ 〉= ⎝ ∑ (

c n ′f n ′⎞


̂Q ∑ ∣

n ′ n

)〉

c n f n ‚ (3.50)

aber es gilt ja ̂Qf n = q n f n , und damit ist

〈Q〉 = ∑ ∑

cn ∗ ′ c n q n 〈f n ′|f n 〉= ∑ ∑

cn ∗ ′ c n q n δ n ′ n = ∑ q n |c n | 2 . (3.51)

n ′ n

n ′ n

n

So weit zumindest sieht doch alles ganz widerspruchsfrei aus.

Könnten wir in dieser Schreibweise auch die ursprüngliche statistische Interpretation

wiedergeben? Aber ja, auch wenn das des Guten ein wenig zu viel ist; doch es

15 Beachten Sie, dass die Zeitabhängigkeit – die hier jedoch kein Thema ist – durch die Koeffizienten

eingebracht wird; eigentlich müsste man also zur Verdeutlichung c n (t) schreiben.

16 Wieder einmal vermeide ich peinlich genau die allzu verbreitete Aussage „|c n | 2 ist die

Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Teilchen sich im Zustand f n befindet“. Das ist nämlich

Unsinn. Das Teilchen ist im Zustand Ψ , Punkt. Eher kann man sagen, dass |c n | 2 die Wahrscheinlichkeit

dafür angibt, dass eine Messung von Q den Wert q n ergibt. Es ist richtig, dass

eine solche Messung den Zustand zur Eigenfunktion f n kollabieren lässt; man müsste also

eigentlich korrekt sagen „|c n | 2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen, dass sich jetzt

im Zustand Ψ befindet, sich nach der Messung von Q im Zustand f n befinden wird“ – aber

das ist eine völlig andere Aussage.

138


3.4 Die verallgemeinerte statistische Interpretation

lohnt sich, das zu überprüfen. Eine Messung von x an einem Teilchen im Zustand

Ψ muss einen der Eigenwerte des Ortsoperators ergeben. Nun, in Beispiel 3.3 hatten

wir gesehen, dass jede (reelle) Zahl y ein Eigenwert von x ist, und die zugehörige

(Dirac-orthonormierte) Eigenfunktion ist g y (x) = δ(x − y). Offenbar ist

c(y) =〈g y |Ψ 〉=

∫∞

−∞

δ(x − y)Ψ (x‚ t)dx = Ψ(y‚ t) ; (3.52)

also ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis im Bereich dy zu erhalten, gerade

|Ψ(y‚ t)| 2 dy, und das ist genau die ursprüngliche statistische Interpretation.

Und wie sieht es mit dem Impuls aus? In Beispiel 3.2 hatten wir herausgefunden,

dass die Eigenfunktionen des Impulsoperators f p (x) = (1/ √ 2π¯h) exp(ipx/¯h) sind,

also

c(p) =〈f p |Ψ 〉= 1 √

2π¯h

∫∞

−∞

e −ipx/¯h Ψ(x‚ t)dx. (3.53)

Das ist eine solche wichtige Größe, dass wir ihr einen eigenen Namen und ein Symbol

geben: die Impulsraum-Wellenfunktion Φ(p‚ t). Es handelt sich dabei im Wesentlichen

um die Fourier-Transformierte der (Ortsraum-)Wellenfunktion Ψ(x‚ t), die

nach dem Satz von Plancherel ja gerade deren Fourier-Umkehrtransformierte ist:

Φ(p‚ t) = 1 √

2π¯h

Ψ(x‚ t) = 1 √

2π¯h

∫∞

e −ipx/¯h Ψ(x‚ t)dx ; (3.54)

−∞

∫∞

e ipx/¯h Φ(p‚ t)dp. (3.55)

−∞

Nach der verallgemeinerten statistischen Interpretation erhält man für die Wahrscheinlichkeit,

dass eine Impulsmessung einen Wert im Bereich dp ergibt,

|Φ(p‚ t)| 2 dp. (3.56)

Beispiel 3.4: Ortsraum- und

Impulsraum-Wellenfunktion

Ein Teilchen der Masse m ist durch einen Deltafunktions-Potentialtopf mit V(x) =

−αδ gebunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung

einen Wert größer als p 0 = mα/¯h ergibt?

Lösung:

Die (Ortsraum-)Wellenfunktion ist (vgl. Gleichung 2.129)

√ mα

Ψ(x‚ t) =

¯h e−mα|x|/¯h2 e −iEt/¯h 139


3 Formalismus

Beispiel 3.4 (Fortsetzung)

(mit E =−mα 2 /2¯h 2 ). Die Impulsraum-Wellenfunktion ist demnach

Φ(p‚ t) = √ 1 √ ∫∞


e−iEt/¯h

2π¯h ¯h

−∞

e −ipx/¯h e −mα|x|/¯h2 dx =


2

π

p 3/2

0 e −iEt/¯h

p 2 + p 2 0

(das Integral habe ich in einem Tabellenwerk nachgeschlagen). Die Wahrscheinlichkeit

ist dann


2


[

1

π p3 0

(p 2 + p 2 dp = 1 ( ) ]∣ pp 0

p 0 )2 π p 2 + p 2 + tan −1 p

∣∞

∣∣∣

p

0

0

0 p 0

= 1 4 − 1 2π = 0‚0908

(auch hier habe ich das Integral wieder nachgeschlagen).

Aufgabe 3.11

Bestimmen Sie die Impulsraum-Wellenfunktion Φ(p‚ t) für ein Teilchen im

Grundzustand des harmonischen Oszillators. Geben Sie (auf zwei signifikante

Stellen) die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine Messung von p an einem Teilchen

in diesem Zustand einen Wert außerhalb des klassisch erlaubten Bereichs

(für dieselbe Energie) ergibt.

Hinweis: Schlagen Sie die benötigten Zahlenwerte in einem Tabellenwerk unter

den Stichworten „Normalverteilung“ bzw. „(Gauß’sche) Fehlerfunktion“ nach,

oder wenden Sie Mathematica an.

Aufgabe 3.12

Zeigen Sie


〈x〉 =

(

Φ ∗ − ¯h )


Φ dp. (3.57)

i ∂p

Hinweis: Beachten Sie, dass x exp(ipx/¯h) =−i¯h(d/dp) exp(ipx/¯h).

Im Impulsraum ist dann der Ortsoperator durch i¯h∂/∂p gegeben. Allgemeiner

gilt

⎧∫ (

⎨ Ψ

∗ ̂Q x‚ ¯h ∂

i ∂x

〈Q(x‚ p)〉 = ∫ (

⎩ Φ

∗ ˆQ − ¯h i

)


∂p ‚ p

)

Ψ dx im Ortsraum ;

Φ dp im Impulsraum .

(3.58)

Im Prinzip können Sie alle Rechnungen im Impulsraum genauso gut (wenn auch

vielleicht nicht so einfach) durchführen wie im Ortsraum.

140


3.5 Die Unschärferelation

3.5 Die Unschärferelation

Ich habe die Unschärferelation (in der Form σ x σ p ≥ ¯h/2) ganz am Anfang, in Abschnitt

1.6, eingeführt und sie in den Aufgaben mehrfach überprüft. Aber wir haben

sie bis jetzt nie bewiesen. In diesem Abschnitt will ich eine verallgemeinerte Form

der Unschärferelation beweisen und einige der Folgerungen daraus untersuchen. Der

Beweis ist schön, aber recht abstrakt, passen Sie also gut auf.

3.5.1 Beweis der verallgemeinerten Unschärferelation

Für eine beliebige Observable A haben wir (vgl. Gleichung 3.21)

σA 2 =〈(Â −〈A〉)Ψ |(Â −〈A〉)Ψ 〉=〈f |f 〉

mit f ≡ (Â −〈A〉)Ψ . Entsprechend gilt für eine beliebige andere Observable B,

σB 2 =〈g|g〉 mit g ≡ (̂B −〈B〉)Ψ .

Daher gilt wegen der Schwarz’schen Ungleichung (Gleichung 3.7)

σA 2σ B 2 =〈f |f 〉〈g|g〉 ≥|〈f |g〉|2 . (3.59)

Nun gilt für eine beliebige Zahl z

[ ]

|z| 2 = [Re(z)] 2 + [Im(z)] 2 ≥ [Im(z)] 2 1 2

=

2i (z − z∗ ) . (3.60)

Wenn wir nun z =〈f |g〉 setzen, dann haben wir daher

σ 2 A σ 2 B ≥ ( 1

2i [〈f |g〉−〈g|f 〉] ) 2

. (3.61)

Aber

〈f |g〉 =〈(Â −〈A〉)Ψ |(̂B −〈B〉)Ψ 〉=〈Ψ |(Â −〈A〉)(̂B −〈B〉)Ψ 〉

=〈Ψ |(Â ̂B − Â 〈B〉−̂B 〈A〉+〈A〉〈B〉)Ψ 〉

=〈Ψ |Â ̂B Ψ 〉−〈B〉〈Ψ |Â Ψ 〉−〈A〉〈Ψ |̂B Ψ 〉+〈A〉〈B〉〈Ψ |Ψ 〉

=〈Â ̂B 〉−〈B〉〈A〉−〈A〉〈B〉+〈A〉〈B〉

=〈Â ̂B 〉−〈A〉〈B〉 .

Entsprechend gilt

〈g|f 〉=〈̂B Â 〉−〈A〉〈B〉

und damit

〈f |g〉−〈g|f 〉=〈Â ̂B 〉−〈̂B Â 〉= 〈[ Â ‚ ̂B ]〉 ;

141


3 Formalismus

dabei ist


‚ ̂B ] ≡ Â ̂B − ̂B Â

der Kommutator der beiden Operatoren (vgl. Gleichung 2.48).

Schlussfolgerung:

σ 2 A σ 2 B ≥ ( 1

2i

〈[Â

‚ ̂B ]〉) 2

. (3.62)

Dies ist die (verallgemeinerte) Unschärferelation. Sie könnten meinen, das i würde

die Sache einigermaßen trivial machen – i 2 ist ja schließlich −1, sollte da die rechte

Seite nicht negativ sein? Doch so einfach ist es nicht, denn der Kommutator von zwei

hermiteschen Operatoren enthält ebenfalls einen Faktor mit i, und dann kürzen sich

die beiden gegenseitig heraus. 17

Als ein Beispiel wollen wir annehmen, dass die erste Observable der Ort ist (Â = x)

und die zweite der Impuls (̂B = (¯h/i)d/dx). Den Kommutator dieser beiden Operatoren

haben wir bereits in Kapitel 2 erarbeitet (Gleichung 2.58):

[ ]

ˆx‚ ˆp = i¯h.

Also ist

( )

σx 2 σp 2 1 2 ( ) ¯h 2

≥ 2i i¯h =

2

oder, da die Standardabweichung ihrer Definition nach immer positiv ist,

σ x σ p ≥ ¯h 2 . (3.63)

Das ist die Originalform der Heisenberg’schen Unschärferelation, aber wir wissen

jetzt, dass es sich nur um die Anwendung eines weit allgemeineren Zusammenhangs

handelt.

Eigentlich gibt es sogar eine Unschärferelation für jedes Paar von Observablen, deren

Operatoren nicht kommutieren – wir nennen sie inkompatible Observable. Inkompatible

Observable haben keine gemeinsamen Eigenfunktionen – zumindest können

sie keinen vollständigen Satz von gemeinsamen Eigenfunktionen haben (vgl. Aufgabe

3.15). Dagegen erlauben kompatible (d. h. kommutierende) Observable einen

vollständigen Satz von gleichzeitigen Eigenfunktionen. 18 Beispielsweise sind (wie

wir in Kapitel 4 sehen werden) im Wasserstoffatom die Hamilton-Funktion, der Drehimpulsbetrag

und die z-Komponente des Drehimpulses miteinander kompatible Observable,

und wir werden gemeinsame Eigenfunktionen für alle drei konstruieren,

17 Genauer gesagt ist der Kommutator von zwei hermiteschen Operatoren selbst antihermitesch

(̂Q † =−̂Q ), und sein Erwartungswert ist imaginär (vgl. Aufgabe 3.26).

18 Dies entspricht dem Befund, dass nichtkommutierende Matrizen nicht gleichzeitig diagonalisiert

werden können (d. h. sie können nicht beide mit derselben Ähnlichkeitstransformation

auf Diagonalform gebracht werden), wogegen kommutierende hermitesche Matrizen

sich sehr wohl gleichzeitig diagonalisieren lassen. Vgl. Abschnitt A.5.

142


3.5 Die Unschärferelation

die jeweils mit den entsprechenden Eigenwerten gekennzeichnet sind. Aber es gibt

keine Eigenfunktion des Ortes, die auch eine Eigenfunktion des Impulses ist, weil

diese Operatoren inkompatibel sind.

Beachten Sie, dass die Unschärferelation in der Quantenmechanik keine zusätzliche

Annahme ist, sondern eher eine Folgerung aus der statistischen Interpretation. Sie

könnten sich fragen, wie sich dies im Labor Geltung verschafft – warum sollte man

denn nicht (beispielsweise) sowohl Ort als auch Impuls eines Teilchen bestimmen

können? Sie können natürlich den Ort des Teilchens messen, aber durch den Akt der

Messung kollabiert die Wellenfunktion zu einer schmalen Spitze, die notwendigerweise

einen breiten Bereich an Wellenlängen (und damit Impulsen) in ihrer Fourier-

Zerlegung enthält. Wenn Sie dann den Impuls messen, kollabiert der Zustand zu

einer langen sinusförmigen Welle mit einer (jetzt) wohldefinierten Wellenlänge –

aber das Teilchen befindet sich dann nicht mehr an dem Ort, den Sie in der ersten

Messung bestimmt haben. 19 Das Problem ist dabei einfach, dass die zweite Messung

das Ergebnis der ersten hinfällig macht. Nur wenn die Wellenfunktion für beide

Observable gleichzeitig ein Eigenzustand ist, kann man eine zweite Messung ohne

Störung des Teilchenzustands durchführen (der zweite Kollaps der Wellenfunktion

ändert in diesem Fall nichts). Doch das ist nur möglich, wenn die beiden Observablen

kompatibel sind.

∗ Aufgabe 3.13

a

Beweisen Sie die folgende Identität der Kommutatoren:

[AB‚ C] = A[B‚ C] + [A‚ C]B. (3.64)

b

Zeigen Sie, dass gilt:

[x n ‚ p] = i¯hnx n−1 .

c

Zeigen Sie allgemeiner, dass für eine beliebige Funktion f (x) gilt:

[f (x)‚ p] = i¯h df

dx . (3.65)

19 Niels Bohr hat sich sehr darum bemüht, den Mechanismus ausfindig zu machen, durch den

die Messung beispielsweise von x den vorher existierenden Wert von p zerstört. Die Krux

bei der Sache ist, dass man, um den Ort eines Teilchens bestimmen zu können, irgendwie

nach dem Teilchen „stochern“ muss – beispielsweise mit einem Lichtstrahl. Doch diese

Photonen übertragen einen Impuls auf das Teilchen, dessen Größe Sie nicht beeinflussen

können. Sie kennen dann zwar den Ort des Teilchens, aber den Impuls eben nicht mehr.

Bohrs berühmte Debatten mit Einstein enthalten einige reizvolle Beispiele, die im Einzelnen

zeigen, wie experimentelle Nebenbedingungen der Unschärferelation Geltung verschaffen.

Einen begeisterten Bericht finden Sie in Bohrs Artikel in Albert Einstein: Philosopher-

Scientist, Hrsg. P.A. Schilpp, Tudor, New York (1949).

143


3 Formalismus

∗ Aufgabe 3.14

Beweisen Sie die berühmte „(Ihr Name)-Unschärferelation“, in der die Unschärfe

des Ortes (A = x) und die Unschärfe der Energie (B = p 2 /2m + V) in Beziehung

gesetzt werden:

σ x σ H ≥ ¯h

2m |〈p〉| .

Für stationäre Zustände verrät Ihnen diese Relation nicht viel. Warum nicht?

Aufgabe 3.15

Zeigen Sie, dass zwei nichtkommutierende Operatoren keinen vollständigen Satz

an gemeinsamen Eigenfunktionen haben können.

Hinweis: Zeigen Sie, dass [̂P ‚ ̂Q ]f = 0 für eine beliebige Funktion im Hilbert-

Raum gelten muss, wenn ̂P und ̂Q einen vollständigen Satz von gemeinsamen

Eigenfunktionen haben.

3.5.2 Das Wellenpaket mit minimaler Unschärfe

Wir sind jetzt zweimal Wellenfunktionen begegnet, die die Unschärfegrenze genau

treffen (d. h. die Unschärfe wird bei ihnen minimal mit σ x σ p = ¯h/2): der Grundzustand

des harmonischen Oszillators (Aufgabe 2.11) und das Gauß’sche Wellenpaket

für das freie Teilchen (Aufgabe 2.22). Das wirft eine interessante Frage auf: Was ist

denn das allgemeinste Wellenpaket mit mimimaler Unschärfe? Wenn wir uns den

Beweis für die Unschärferelation noch einmal anschauen, bemerken wir, dass an

zwei Stellen Ungleichungen ins Spiel kommen: in Gleichung 3.59 und 3.60. Nehmen

wir an, dass an diesen beiden Stellen jeweils eine Gleichung erforderlich wäre,

und schauen wir uns nun an, was wir damit über Ψ erfahren.

Die Schwarz’sche Ungleichung wird zu einer Gleichung, wenn eine Funktion ein

Vielfaches der anderen ist: g(x) = cf (x) für irgendeine komplexe Zahl c (vgl. Aufgabe

A.5). Allerdings habe ich in Gleichung 3.60 den Realteil von z weggeworfen;

das Gleichheitszeichen gilt für Re(z) = 0, d. h. für Re〈f |g〉 =Re(c〈f |f 〉) = 0. Nun

ist 〈f |f 〉 mit Sicherheit reell, das bedeutet also, dass die Konstante c rein imaginär

sein muss – nennen wir sie ia. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die

minimale Unschärfe ist dann also

g(x) = iaf (x) mit einem reellen a. (3.66)

Für die Unschärfe von Ort und Impuls wird aus diesem Kriterium:

( )

¯h d

i dx −〈p〉 Ψ = ia(x −〈x〉)Ψ ‚ (3.67)

und das ist eine Differentialgleichung für Ψ als Funktion in x. Ihre allgemeine Lösung

(vgl. Aufgabe 3.16) ist

Ψ(x) = Ae −a(x−〈x〉)2 /2¯h e i〈p〉x/¯h . (3.68)

144


3.5 Die Unschärferelation

Offenbar ist das Wellenpaket mit minimaler Unschärfe gaußförmig, und die beiden

Beispiele, die wir bislang kennengelernt haben, sind tatsächlich Gauß’sche Wellenpakete.

20

Aufgabe 3.16

Beweisen Sie Gleichung 3.67 für Ψ(x). Achten Sie darauf, dass 〈x〉 und 〈p〉 Konstanten

sind.

3.5.3 Die Unschärferelation für Zeit und Energie

Die Unschärferelation für Ort und Impuls wird oft in der Form

x p ≥ ¯h 2

(3.69)

angegeben. x (die „Unbestimmtheit“ in x) ist eine liederliche Schreib- und saloppe

Sprechweise für die Standardabweichung der Ergebnisse von wiederholten Messungen

an identisch präparierten Systemen. 21 Gleichung 3.69 wird oft gekoppelt mit der

Unschärferelation für Zeit und Energie:

t E ≥ ¯h 2 . (3.70)

Im Kontext der speziellen Relativitätstheorie kann man sicher die Zeit-Energie-Form

als eine Folge aus der Ort-Impuls-Form der Unschärferelation ansehen, weil x und t

(oder besser ct) zusammen in den Raumzeit-Vierervektor eingehen, während p und E

(bzw. E/c) zusammen in den Energie-Impuls-Vierervektor eingehen. In einer relativistischen

Theorie wäre also Gleichung 3.70 eine unumgängliche Begleiterscheinung.

Aber wir betreiben hier keine relativistische Quantenmechanik. Die Schrödinger-

Gleichung ist explizit nichtrelativistisch: Sie behandelt t und x höchst ungleich

(als eine Differentialgleichung erster Ordnung in t und zweiter Ordnung in x), und

Gleichung 3.70 folgt ausdrücklich nicht aus Gleichung 3.69. Ich will die Unschärferelation

für Zeit und Energie nun herleiten und Sie dabei davon überzeugen, dass

sie ein völlig anderes Kaliber ist, auch wenn die vordergründige Ähnlichkeit mit der

Ort-Impuls-Form der Unschärferelation in dieser Hinsicht in die Irre führt.

Letzten Endes sind Ort, Impuls und Energie allesamt dynamische Variable – messbare

Merkmale des Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt. Doch die Zeit selbst ist

keine dynamische Variable (jedenfalls nicht in einer nichtrelativistischen Theorie):

Sie können nicht hingehen und die „Zeit“ eines Teilchens messen, so wie Sie dessen

20 Beachten Sie, dass es hier nur um die Abhängigkeit der Wellenfunktion Ψ von x geht – die

„Konstanten“ A, a, 〈x〉 und 〈p〉 können durchaus allesamt Funktionen in der Zeit sein, und

was das betrifft, kann sich Ψ dann vom Minimum fortentwickeln. Ich behaupte nur, dass –

sofern die Wellenfunktion zu einem bestimmten Zeitpunkt gaußförmig in x ist – dann (in

demselben Moment) das Unschärfeprodukt minimal wird.

21 Viele zwanglose Anwendungen der Unschärferelation beruhen (oft unbeabsichtigt) hingegen

auf einem völlig anderen – und manchmal ungerechtfertigten – Maß für die „Unbestimmheit“.

Umgekehrt verwenden manchmal auch ganz strenge Beweise andere Definitionen der

„Unbestimmtheit". Vgl. dazu Jan Hilgevoord, Am. J. Phys. 70, 983 (2002).

145


3 Formalismus

Ort oder dessen Energie bestimmen können. Die Zeit ist eine unabhängige Variable,

und die dynamischen Größen sind Funktionen von ihr. Insbesondere ist das t

in der Zeit-Energie-Form der Unschärferelation eben nicht die Standardabweichung

einer Vielzahl von Zeitmessungen; ins Unreine gesprochen (ich werde das gleich

präzisieren) ist es die Zeit, die verstreichen muss, bis sich das System wesentlich

verändert.

Als ein Maß dafür, wie schnell sich ein System verändert, berechnen wir die Zeitableitung

für den Erwartungswert irgendeines Operators Q(x‚ p‚ t):

d

dt 〈Q〉 = d 〈 ∂Ψ

dt 〈Ψ |̂Q Ψ 〉=

∂t

∣ ̂Q Ψ

〉 〈

+ Ψ

Nun besagt aber die Schrödinger-Gleichung, dass


∂ ̂Q

∂t

Ψ



+ Ψ


∣̂Q ∂Ψ

∂t


.

i¯h ∂Ψ

∂t

= Ĥ Ψ

gilt (darin ist H = p 2 /2m + V die Hamilton-Funktion). Also ist

〈 〉

d

〈Q〉 =−1

dt i¯h 〈Ĥ Ψ |̂Q Ψ 〉+ 1


i¯h 〈Ψ |̂Q ̂Q

Ĥ Ψ 〉+ .

∂t

Doch Ĥ ist hermitesch, also gilt 〈Ĥ Ψ | ˆQΨ 〉=〈Ψ |Ĥ ̂Q Ψ 〉 und damit

d

dt 〈Q〉 = ī 〈 〉


h 〈[Ĥ ‚ ̂Q

̂Q ]〉+ . (3.71)

∂t

Das ist für sich ein interessantes und nützliches Ergebnis (vgl. Aufgabe 3.17 und

3.31). Im typischen Fall, wo der Operator nicht explizit von der Zeit abhängt, 22 lesen

wir daraus ab, dass die Änderungsgeschwindigkeit des Erwartungswerts durch den

Kommutator mit dem Hamilton-Operator bestimmt ist. Insbesondere ist 〈Q〉 konstant,

wenn ̂Q mit Ĥ kommutiert – und in diesem Sinn ist Q eine Erhaltungsgröße.

Wählen wir nun in der verallgemeinerten Unschärferelation (Gleichung 3.62) A = H

und B = Q und nehmen wir an, dass Q nicht explizit von t abhängt:

(

σH 2 σ Q 2 1 2 ( 1 ≥ 2i 〈[Ĥ ‚ ¯h

̂Q ]〉)

=

2i i

)

d〈Q〉 2 ( ¯h

=

dt 2

) 2 ( ) d〈Q〉 2

.

dt

Einfacher ausgedrückt:

σ H σ Q ≥ ¯h 2 ∣

d〈Q〉

dt

∣ . (3.72)

22 Operatoren, die explizit von t abhängen, sind recht selten, so dass fast immer ∂ ̂Q /∂t = 0

gilt. Als ein Beispiel für eine explizite Zeitabhängigkeit betrachten Sie die potentielle Energie

eines harmonischen Oszillators, dessen Federkonstante sich ändert (es könnte z. B. die

Temperatur steigen und die Feder dadurch flexibler werden): Q = (1/2)m[ω(t)] 2 x 2 .

146


3.5 Die Unschärferelation

Definieren wir nun E ≡ σ H und

t ≡

σ Q

|d〈Q〉/dt| . (3.73)

Dann haben wir

E t ≥ ¯h 2 ‚ (3.74)

und das ist genau die Unschärferelation für Energie und Zeit. Machen Sie sich aber

klar, was t hier bedeutet: Wegen

σ Q =

d〈Q〉

∣ dt ∣ t

gibt t hier die Zeitdauer an, in der sich der Erwartungswert von Q um eine Standardabweichung

ändert. 23 Insbesondere hängt t vollständig davon ab, welche Observable

(also Q) Sie gern beobachten möchten – die Änderungsgeschwindigkeit

kann für die eine Observable hoch, für eine andere dagegen recht gering sein. Doch

wenn E klein ist, dann ist die Änderungsgeschwindigkeit für alle Oberservable

nur gering. Anders gesagt: Wenn sich auch nur eine Observable schnell ändert, dann

muss die „Unschärfe“ in der Energie groß sein.

Beispiel 3.5: Zeitliche Entwicklung

der Erwartungswerte

Im Extremfall eines stationären Zustands, in dem die Energie eindeutig bestimmt

ist, sind alle Erwartungswerte zeitlich konstant (E = 0 ⇒ t = ∞)–das

haben wir schon vor geraumer Zeit festgestellt (vgl. Gleichung 2.9). Damit überhaupt

irgendetwas geschieht, brauchen Sie die Linearkombination von wenigstens

zwei stationären Zuständen, beispielsweise

Ψ(x‚ t) = aψ 1 (x)e −iE 1t/¯h + bψ2 (x)e −iE 2t/¯h .

Wenn a, b, ψ 1 und ψ 2 reell sind, gilt

( )

|Ψ(x‚ t)| 2 = a 2 (ψ 1 (x)) 2 + b 2 (ψ 2 (x)) 2 E2 − E 1

+ 2abψ 1 (x)ψ 2 (x) cos t .

¯h

Die Periode der Schwingung ist τ = 2π ¯h/(E 2 − E 1 ). Man kann also sagen, dass

E = E 2 − E 1 und t = τ gilt (die exakte Rechnung können Sie in Aufgabe 3.18

durchführen), also ist

und das ist ≥ ¯h/2.

Et = 2π¯h ‚

23 Dies wird manchmal als die „Mandelstam-Tamm-Formulierung“ der Unschärferelation für

Energie und Zeit bezeichnet. Eine Übersicht über alternative Ansätze findet sich z. B. in Paul

Busch, Found. Phys. 20, 1 (1990).

147


3 Formalismus

Beispiel 3.6: Unschärfe eines freien Teilchens

Wie lange braucht das zu einem freien Teilchen gehörende Wellenpaket, an einem

bestimmten Punkt vorbeizulaufen (vgl. Abbildung 3.1)? Qualitativ (die exakte

Rechnung folgt in Aufgabe 3.19) haben wir t = x/v = mx/p, aberE =

p 2 /2m, also gilt E = pp/m. Damit ist

Et = pp mx

= xp ‚

m p

und das ist größer als ¯h/2, dem Wert, der sich entsprechend der Orts-Impuls-

Unschärfe ergibt.

x

v

A

x

Abbildung 3.1: Ein zu einem freien Teilchen gehörendes Wellenpaket nähert sich dem Punkt A (Beispiel 3.6).

Beispiel 3.7: Massenunschärfe eines -Teilchens

Ein -Teilchen hat eine Lebensdauer von rund 10 −23 Sekunden, bevor es spontan

zerfällt. Wenn Sie ein Histogramm für alle Messungen seiner Masse anlegen,

erhalten Sie ein Art Glockenkurve um den Wert 1232 MeV/c 2 mit einer Breite

von etwa 120 MeV/c 2 (Abbildung 3.2). Warum erhält man manchmal eine Ruheenergie

von mehr und manchmal weniger als 1232 MeV/c 2 ? Ist das ein Messfehler?

Nein, denn wir haben

( ) 120

Et =

2 MeV (10 −23 s) = 6 · 10 −22 MeV s ‚

1100 1200 1300 1400

Masse (MeV/c 2 )

Abbildung 3.2: Histogramm für die Messungen der Masse des -Teilchens (Beispiel 3.7).

148


3.5 Die Unschärferelation

Beispiel 3.7 (Fortsetzung)

dagegen gilt ¯h/2 = 3 · 10 −22 MeV s. Die Unschärfe in m ist also gerade so gering,

wie die Unschärferelation erlaubt – ein Teilchen mit einer solch geringen Lebensdauer

hat eben keine wohldefinierte Masse. 24

Machen Sie sich die verschiedenen Bedeutungen klar, die in diesen Beispielen mit

dem Term t verbunden sind: In Beispiel 3.5 gibt er eine Schwingungsperiode an;

in Beispiel 3.6 die Zeit, in der ein Teilchen an einem bestimmten Punkt vorbeiläuft;

und in Beispiel 3.7 die Lebensdauer eines instabilen Teilchens. In jedem dieser Fälle

jedoch ist t die Zeit, in der sich das System „wesentlich“ ändert.

Es wird häufig gesagt, der Unschärferelation zufolge wäre die Energie in der Quantenmechanik

nicht streng erhalten – man könne sich also einen Energiebetrag E „leihen“,

wenn man ihn nur in der Zeit t ≈ ¯h/(2E) wieder „zurückzahlen“ würde;

und je größer der geliehene Energiebetrag, umso kürzer die Zeit, in der dies möglich

ist. Nun, es gibt viele seriöse Interpretationsmöglichkeiten der Unschärferelation in

Energie und Zeit, aber diese gehört nicht dazu. An keiner Stelle erlaubt die Quantenmechanik,

den Energieerhaltungssatz zu verletzen, und eine solche Möglichkeit ist

auch nirgends in die Ableitung von Gleichung 3.74 eingegangen. Doch die Unschärferelation

ist außerordentlich robust: Man kann sie missbrauchen, ohne dass sie zu

völlig falschen Ergebnissen führt, und infolgedessen haben sich die Physiker daran

gewöhnt, sie recht sorglos auszulegen.

∗ Aufgabe 3.17

Wenden Sie Gleichung 3.71 auf folgende Spezialfälle an: a) Q = 1; b) Q = H;

c) Q = x; d)Q = p. Kommentieren Sie in jedem dieser Fälle das Ergebnis, insbesondere

in Bezug auf die Gleichungen 1.27, 1.33, 1.38 und die Energieerhaltung

(siehe die Ausführungen im Anschluss an Gleichung 2.40).

Aufgabe 3.18

Überprüfen Sie die Unschärelation in Energie und Zeit für die Wellenfunktion

aus Aufgabe 2.5 und die Observable x, indem Sie σ H , σ x und d〈x〉/dt exakt

berechnen.

24 Streng genommen habe ich in Beispiel 3.7 etwas geschummelt. Man kann 10 −23 Sekunden

nicht mit einer Stoppuhr messen; tatsächlich wird die Lebensdauer aus der Massenschärfe

abgeleitet und benutzt dabei die Unschärferelation als Vorgabe. Dennoch ist die Aussage

des Beispiels stichhaltig, auch wenn die Logik gerade andersherum läuft. Darüber hinaus

ist eine Zeit von 10 −23 s – wenn Sie annehmen, dass das -Teilchen etwa dieselbe Größe

hat wie ein Proton (ca. 10 −15 m) – ungefähr die Zeitdauer, die das Licht benötigt, um an

dem Teilchen vorbeizukommen; man kann sich schwerlich vorstellen, dass die Lebensdauer

eines Teilchens viel geringer sein könnte.

149


3 Formalismus

Aufgabe 3.19

Überprüfen Sie die Unschärelation für das Wellenpaket eines freien Teilchens

aus Aufgabe 2.43 und die Observable x, indem Sie σ H , σ x und d〈x〉/dt exakt

berechnen.

Aufgabe 3.20

Zeigen Sie, dass sich die Unschärferelation in Energie und Zeit auf die „(Ihr

Name)-Unschärferelation“ (vgl. Aufgabe 3.14) reduziert, wenn die untersuchte

Observable x ist.

3.6 Die Dirac-Notation

Stellen Sie sich einen gewöhnlichen Vektor A in zwei Dimensionen vor (Abbildung

3.3a). Wir würden Sie jemandem diesen Vektor beschreiben? Der bequemste

Weg besteht darin, ein kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen x und y zu

bestimmen und dann darin die Komponenten von A anzugeben: A x = î ·A, A y = j ˆ·A

(Abbildung 3.3b). Natürlich könnte Ihre Schwester ein anderes Koordinatensystem

mit anderen Achsen x ′ und y ′ gewählt haben, und sie würde dann andere Komponenten

erhalten: A ′ x = î′·A, A ′ y = ĵ ′·A (Abbildung 3.3c). Aber in allen Fällen handelt

es sich um denselben Vektor – wir drücken ihn nur in Bezug auf zwei verschiedene

Basen ({î‚ j} ˆ und {î ′ ‚ j ˆ

′ }) aus. Der Vektor selbst „lebt draußen in seinem Vektorraum“,

unabhängig davon, welche (beliebigen) Koordinaten irgendjemand auswählen sollte.

Dasselbe gilt für den Zustand eines Systems in der Quantenmechanik. Es wird durch

einen Vektor ∣ ∣S(t) 〉 dargestellt, der „draußen im Hilbert-Raum“ lebt, aber ausdrücken

können wir ihn mithilfe einer beliebigen Anzahl von unterschiedlichen Basen. Die

Wellenfunktion Ψ(x‚ t) ist der Koeffizient in der Entwicklung von |S 〉 in der Basis

der Ortseigenfunktionen:

Ψ(x‚ t) =〈x|S(t)〉 (3.75)

(wobei |x〉 für die Eigenfunktion von ˆx mit dem Eigenwert x steht); 25 die Wellenfunktion

Φ(p‚ t) im Impulsraum dagegen ist der Koeffizient von |S〉 in der Basis der

y

y'

A

A y A

A x

x

A y

'

A

A x

'

x'

a b c

Abbildung 3.3: (a) Vektor A. (b) Komponenten von A bezüglich der x- und der y-Achse. (c) Komponenten von A

bezüglich der x ′ - und der y ′ -Achse.

25 Ich will hier nicht die Bezeichnung g x verwenden, die in Gleichung 3.39 eingeführt wurde,

150


3.6 Die Dirac-Notation

Impulseigenfunktionen:

Φ(p‚ t) =〈p|S(t)〉 (3.76)

(wobei |p〉 für die Eigenfunktion von ˆp mit dem Eigenwert p steht). 26 Wir können

|S〉 auch in der Basis der Energieeigenfunktionen entwickeln (dabei nehmen wir der

Einfachheit halber an, dass das Spektrum diskret ist):

c n (t) =〈n|S(t)〉 (3.77)

(dabei steht |n〉 für die n-te Eigenfunktion von Ĥ ), entsprechend Gleichung 3.46.

Aber es handelt sich immer um denselben Zustand, die Funktionen Ψ und Φ und

die Menge {c n } der Koeffizienten enthalten genau dieselbe Information – es sind

einfach nur drei verschiedene Möglichkeiten, denselben Vektor zu beschreiben:


Ψ(x‚ t) =


Ψ(y‚ t)δ(x − y)dy =

1

Φ(p‚ t) √ e ipx/¯h dp

2π ¯h

= ∑ c n e −iE nt/¯h ψ n (x) . (3.78)

Operatoren (die Observable repräsentieren) sind lineare Transformationen, d. h. sie

„transformieren“ einen Vektor in einen anderen:

|β〉 =̂Q |α〉 . (3.79)

So wie man Vektoren in Bezug auf eine spezielle Basis {|e n 〉} darstellt, 27 indem man

ihre Komponenten angibt:

|α〉 = ∑ n

a n |e n 〉 mit a n =〈e n |α〉; |β〉 = ∑ n

b n |e n 〉 mit b n =〈e n |β〉 ‚ (3.80)

so werden Operatoren (in Bezug auf eine spezielle Basis) durch ihre Matrixelemente

28 dargestellt:

〈e m |̂Q |e n 〉≡Q mn . (3.81)

In dieser Schreibweise nimmt Gleichung 3.79 die Form


b n |e n 〉= ∑ a n ̂Q |e n 〉 (3.82)

n

n

denn diese Form bezieht sich auf die Ortsbasis, und der springende Punkt an dieser Stelle

ist ja, dass wir uns von einer speziellen Basis befreien wollen. Gewiss, als ich den Hilbert-

Raum zum ersten Mal als die Menge der quadratintegrablen Funktionen – in x – definiert

habe, war ich schon zu restriktiv, denn das legte uns auf eine spezielle Basis (die Ortsbasis)

fest. Sie sollten den Hilbert-Raum jetzt als einen abstrakten Vektorraum ansehen, dessen

Elemente sich in Bezug auf jede gewünschte Basis darstellen lassen.

26 Im Ortsraum wäre das f p (x) (vgl. Gleichung 3.32).

27 Ich werde annehmen, dass die Basis diskret ist; im anderen Fall wird n zu einem kontinuierlichen

Index, und die Summen werden durch Integrale ersetzt.

28 Diese Terminologie ist offensichtlich durch den endlich-dimensionalen Fall angeregt; typischerweise

hat die „Matrix“ nun aber unendlich viele Elemente, ja ihre Anzahl kann eventuell

sogar überabzählbar sein.

151


3 Formalismus

an; wir können auch das innere Produkt mit |e m 〉 bilden:


b n 〈e m |e n 〉= ∑ a n 〈e m |̂Q |e n 〉 (3.83)

n

n

und erhalten somit

b m = ∑ n

Q mn a n . (3.84)

Die Matrixelemente verraten Ihnen also, wie sich die Komponenten transformieren.

Später werden uns Systeme begegnen, die nur eine endliche Anzahl N von linear

unabhängigen Zuständen zulassen. In diesem Fall lebt |S(t)〉 in einem N-dimensionalen

Vektorraum; man kann ihn als Spaltenvektor mit N Komponenten (bezüglich

einer gegebenen Basis) darstellen, die Operatoren nehmen dann die Form gewöhnlicher

(N ×N)-Matrizen an. Dies sind die einfachsten Quantensysteme, in denen keine

der Feinheiten auftritt, die mit unendlich-dimensionalen Vektorräumen verbunden

sind. Das einfachste von ihnen ist das System mit nur zwei Zuständen, das wir im

folgenden Beispiel untersuchen wollen.

Beispiel 3.8: Einfaches System

aus zwei linear unabhängigen Zuständen

Wir betrachten ein System, in dem es nur zwei linear unabhängige Zustände

gibt: 29 ( 1

|1〉 =

0)

( 0

und |2〉 = .

1)

Der allgemeinste Zustand ist eine normierte Linearkombination:

( a

|S〉 =a|1〉+b|2〉 = mit |a|

b)

2 +|b| 2 = 1 .

Der Hamilton-Operator lässt sich als (hermitesche) Matrix ausdrücken; wir nehmen

an, dass sie die folgende spezielle Form hat:

( ) h g

H =

g h

(dabei sind g und h reelle Konstanten). Das System soll sich zum Zeitpunkt t = 0

im Zustand |1〉 befinden. In welchem Zustand befindet es sich zur Zeit t?

29 Technisch gesehen bedeuten die Gleichheitszeichen hier die Aussage „wird dargestellt

durch“, aber ich glaube, es wird nicht zu Verwirrung führen, wenn wir bei der üblichen

informellen Schreibweise bleiben.

152


3.6 Die Dirac-Notation

Beispiel 3.8: (Fortsetzung)

Lösung:

Nach der (zeitabhängigen) Schrödinger-Gleichung gilt

i¯h d |S〉 =H|S〉 . (3.85)

dt

Wie immer beginnen wir mit der Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-

Gleichung:

H|s〉 =E|s〉; (3.86)

Wir suchen also die Eigenvektoren und Eigenwert von H. Die charakteristische

Gleichung (die sollten Sie aus den Anfangssemestern der Mathematik kennen)

bestimmt die Eigenwerte:

( )

h − E g

det

= (h − E) 2 − g 2 = 0 ⇒ h − E =∓g ⇒ E

g h− E

± = h ± g.

Offenbar sind die erlaubten Energien (h + g) und (h − g). Um die Eigenvektoren

zu bestimmen, schreiben wir

( ) ( h g α α

= (h ± g) ⇒ hα + gβ = (h ± g)α ⇒ β =±α ‚

g h)(

β

β)

also sind die normierten Eigenvektoren

|s ± 〉= √ 1 ( ) 1

.

2 ±1

Nun entwickeln wir den Anfangszustand in eine Linearkombination von Eigenvektoren

des Hamilton-Operators:

( 1

|S(0)〉 = = √

0)

1 (|s + 〉+|s − 〉) .

2

Zum Schluss fügen wir noch die Standard-Zeitabhängigkeit exp(−iE n t/¯h) hinzu:

|S(t)〉 = √ 1 ]

[e −i(h+g)t/¯h |s + 〉+e −i(h−g)t/¯h |s − 〉

2

= 1 [ ( ) ( )]

e−iht/¯h e −igt/¯h 1

+ e igt/¯h 1

2 1

−1

(

)

= 1 e−iht/¯h e −igt/¯h + e igt/¯h

2 e −igt/¯h − e igt/¯h

= e −iht/¯h ( cos(gt/¯h)

−isin(gt/¯h)

Wenn Sie dieses Ergebnis bezweifeln, sollten Sie es unter allen Umständen nachprüfen:

Erfüllt dieser Ausdruck die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung? Passt

er zum Anfangszustand mit t = 0?

)

.

153


3 Formalismus

Beispiel 3.8 (Fortsetzung)

Dies ist ein recht grobes Modell für (unter anderem) die Neutrino-Oszillationen.

In diesem Fall repräsentiert |1〉 das Elektron-Neutrino und |2〉 das Myon-Neutrino.

Wenn der Hamilton-Operator einen nicht-verschwindenden Term g außerhalb

der Diagonalen hat, dann wandelt sich das Elektron-Neutrino im Lauf der Zeit

in ein Myon-Neutrino um (und wieder zurück).

Dirac schlug vor, die Klammer-Schreibweise 〈α|β〉 für das innere Produkt in zwei

Teile zu zerlegen. Nach dem englischen Wort „Bracket“ für Klammer sollten die beiden

Teile als Bra (〈α|) und Ket (|β〉) bezeichnet werden (was mit dem „c“ passiert,

ist nicht überliefert). Das Ket ist ein Vektor, doch was genau ist ein Bra? Hier handelt

es sich um eine lineare Funktion von Vektoren, und zwar in dem Sinne, dass das

Bra, sobald es auf einen Vektor (zu seiner Rechten) angewandt wird, eine (komplexe)

Zahl erzeugt – eben das innere Produkt. (Wenn ein Operator auf einen Vektor aufgewandt

wird, entsteht ein anderer Vektor; Wenn ein Bra auf einen Vektor angewandt

wird, entsteht eine Zahl.) In einem Funktionenraum kann man sich das Bra als eine

Anweisung zum Integrieren vorstellen:


〈f |= f ∗ [···]dx.

Darin stehen die Auslassungspunkte für eine beliebige Funktion, der das Bra in dem

Ket zu seiner Rechten begegnet. In einem endlich-dimensionalen Vektorraum, in

dem die Vektoren als Spalten

⎛ ⎞

a 1

a 2

|α〉 = ⎜



. ⎠

a n

dargestellt werden, ist das entsprechende Bra ein Zeilenvektor:

(3.87)

〈α| = ( a ∗ 1 a∗ 2 ...a∗ n)

. (3.88)

Die Menge aller Bras bildet einen weiteren Vektorraum – den sogenanten Dualraum.

Die Möglichkeit, die Bras als eigenständige Objekte behandeln zu können, gestattet

uns eine leistungsstarke und elegante Schreibweise (die ich in diesem Buch jedoch

nicht weiter ausnützen werde). Wenn beispielsweise |α〉 ein normierter Vektor ist,

dann pickt der Operator

̂P ≡|α〉〈α| (3.89)

den Anteil eines beliebigen anderen Vektors heraus, der entlang von |α〉 gerichtet ist:

̂P |β〉 =〈α|β〉|α〉 .

154


3.6 Die Dirac-Notation

Wir nennen ̂P den Projektionsoperator auf einen eindimensionalen Unterraum, der

durch |α〉 aufgespannt wird. Ist {|e n 〉} eine diskrete Orthonormalbasis, d. h. gilt

〈e m |e n 〉=δ mn ‚ (3.90)

dann haben wir


|e n 〉〈e n |=1 (3.91)

n

(der Identitäts- oder Einheitsoperator). Er heißt so, weil wir die Entwicklung von |α〉

in der {|e n 〉}-Basis wiedergewinnen, wenn wir diesen Operator auf einen beliebigen

Vektor |α〉 wirken lassen:


|e n 〉〈e n |α〉 =|α〉 . (3.92)

n

Entsprechend gilt, wenn {|e z 〉} eine Dirac-orthonormierte kontinuierliche Basis ist,

〈e z |e z ′〉=δ(z − z ′ ) ‚ (3.93)

und dann haben wir


|e z 〉〈e z |dz = 1 . (3.94)

Die Gleichungen 3.91 und 3.94 bieten die aufgeräumteste Möglichkeit, die Vollständigkeit

auszudrücken.

Aufgabe 3.21

Zeigen Sie, dass Projektionsoperatoren idempotent sind, d. h. es gilt ̂P 2 = ̂P .

Bestimmen Sie die Eigenwerte von ̂P und charakterisieren Sie seine Eigenwerte.

Aufgabe 3.22

Betrachten Sie einen dreidimensionalen Vektorraum, der durch die Orthonormalbasis

|1〉, |2〉, |3〉 aufgespannt wird. Die Kets |α〉 und |β〉 sind gegeben durch

Lösungshinweise

|α〉 =i|1〉−2|2〉−i|3〉 ‚ |β〉 =i|1〉+2|3〉 .

a Konstruieren Sie 〈α| und 〈β| (ausgedrückt mithilfe der dualen Basis 〈1|, 〈2|,

〈3|).

b

c

Bestimmen Sie 〈α|β〉 und 〈β|α〉 und bestätigen Sie, dass 〈β|α〉 =〈α|β〉 ∗ gilt.

Bestimmen Sie alle neun Matrixelemente des Operators  ≡|α〉〈β| in dieser

Basis, und konstruieren Sie die Matrix A. Ist sie hermitesch?

Aufgabe 3.23

Der Hamilton-Operator für ein bestimmtes Zwei-Niveau-System ist

Ĥ = ε (|1〉〈1|−|2〉〈2|+|1〉〈2|+|2〉〈1|) .

155


3 Formalismus

Darin ist |1〉, |2〉 eine Orthonormalbasis, und ε ist eine Zahl mit der Dimension

einer Energie. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren (als Linearkombinationen

von |1〉 und |2〉). Welche Matrix H repräsentiert Ĥ bezüglich dieser

Basis?

Aufgabe 3.24

̂Q ist ein Operator mit einem vollständigen Satz von Eigenvektoren:

̂Q |e n 〉=q n |e n 〉 (n = 1‚ 2‚ 3‚ ...).

Zeigen Sie, dass man ̂Q mithilfe seiner Spektralzerlegung schreiben kann:

̂Q = ∑ n

q n |e n 〉〈e n | .

Hinweis: Ein Operator wird durch seine Wirkung auf alle möglichen Vektoren

charakterisiert. Sie müssen also zeigen, dass

{ }


̂Q |α〉 = q n |e n 〉〈e n | |α〉

n

für beliebige Vektoren |α〉 gilt.

Weitere Aufgaben für Kapitel 3

Lösungshinweise

Aufgabe 3.25

Legendre-Polynome. Orthonormieren Sie mithilfe des Gram-Schmidt’schen Orthonormierungsverfahrens

(vgl. Aufgabe A.4) die Funktionen 1, x, x 2 und x 3 über dem

Intervall −1 ≤ x ≤ 1. Die Ergebnisse sollten Sie bereits kennen – bis auf die Normierung

30 handelt es sich um die Legendre-Polynome (Tabelle 4.1).

Aufgabe 3.26

Ein anti-hermitescher Operator (oder schief-hermitescher Operator) ist gleich dem

Negativen von dessen hermitesch Konjugierten:

̂Q † =−̂Q . (3.95)

a

b

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert eines anti-hermiteschen Operators imaginär

ist.

Zeigen Sie, dass der Kommutator von zwei hermiteschen Operatoren anti-hermitesch

ist. Was können Sie über den Kommutator von zwei anti-hermiteschen

Operatoren sagen?

30 Legendre konnte nicht wissen, welches die beste Konvention sein würde; er wählte seinerzeit

den Gesamtfaktor so, dass alle seine Funktionen bei x = 1 gegen 1 gehen – und wir

müssen heute mit dieser ungeschickten Wahl leben.

156


Aufgaben

Aufgabe 3.27

Aufeinanderfolgende Messungen. Ein Operator  , der die Observable A repräsentiert,

hat zwei normierte Eigenzustände ψ 1 und ψ 2 mit den Eigenwerten a 1 bzw.

a 2 . Der Operator ̂B , der die Observable B repräsentiert, hat zwei normierte Eigenzustände

ψ 1 und ψ 2 mit den Eigenwerten b 1 bzw. b 2 . Die Eigenzustände hängen

folgendermaßen zusammen:

ψ 1 = (3φ 1 + 4φ 2 )/5‚ ψ 2 = (4φ 1 − 3φ 2 )/5 .

a

b

c

Die Observable A wird gemessen, dabei erhält man den Wert a 1 . In welchem

Zustand befindet sich das System (unmittelbar) nach dieser Messung?

Nun wird B gemessen. Was sind die möglichen Ergebnisse, und welche Wahrscheinlichkeiten

gehören dazu?

Direkt nach der Messung von B wird A noch einmal gemessen. Wie groß ist

die Wahrscheinlichkeit, a 1 zu erhalten? (Beachten Sie, dass Ihre Antwort völlig

anders aussehen würde, wenn ich Ihnen das Ergebnis der Messung von B

verraten hätte.)

∗∗ Aufgabe 3.28

Bestimmen Sie die Impulsraum-Wellenfunktion Ψ n (p‚ t) für den n-ten stationären

Zustand des unendlich tiefen rechteckigen Potentialtopfs. Zeichnen Sie |Φ 1 (p‚ t)| 2

und |Φ 2 (p‚ t)| 2 als Funktion von p auf (achten Sie dabei besonders auf die Punkte

p =±nπ ¯h/a). Berechnen Sie den Erwartungswert von p 2 mithilfe von Φ n (p‚ t). Vergleichen

Sie Ihre Antwort mit dem Ergebnis von Aufgabe 2.4.

Aufgabe 3.29

Wir betrachten die Wellenfunktion

{

√ 1

e i2πx/λ −nλ


3 Formalismus

a

Bestimmen Sie A durch die Normierung von Ψ(x‚0).

b Bestimmen Sie 〈x〉, 〈x 2 〉 und σ x (zum Zeitpunkt t = 0).

c

d

e

Bestimmen Sie die Impulsraum-Wellenfunktion Φ(p‚0) und überprüfen Sie, ob

sie normiert ist.

Verwenden Sie Φ(p‚0) und berechnen Sie damit 〈p〉, 〈p 2 〉 und σ p (zum Zeitpunkt

t = 0).

Überprüfen Sie die Heisenberg’sche Unschärferelation für diesen Zustand.

∗ Aufgabe 3.31

Der Virialsatz.

Zeigen Sie mithilfe von Gleichung 3.71, dass


d

dt 〈xp〉 =2〈T〉− x dV 〉

dx

(3.96)

gilt (dabei ist T die kinetische Energie mit H = T + V). In einem stationären Zustand

ist die linke Seite der Gleichung null (warum?), sodass gilt:


2〈T〉 = x dV 〉

. (3.97)

dx

Diese Aussage wird als Virialsatz bezeichnet. Beweisen Sie mit seiner Hilfe, dass für

die stationären Zustände des harmonischen Oszillators 〈T〉 =〈V〉 gilt, und prüfen Sie

nach, dass dies vereinbar ist mit Ihren Ergebnissen aus den Aufgaben 2.11 und 2.12.

Aufgabe 3.32

In einer interessanten Fassung der Energie-Zeit-Unschärferelation 31 gilt T = τ/π

(dabei ist τ die Zeit, in der Ψ(x‚ t) in einen Zustand orthogonal zu Ψ(x‚ t) übergeht).

Prüfen Sie diese Aussage mithilfe einer Wellenfunktion nach, die Sie als eine gleichmäßige

Mischung von zwei (orthonormalen) stationären Zustände eines (beliebigen)

Potentials ansetzen: Ψ(x‚0) = (1/ √ 2)[ψ 1 (x) + ψ 2 (x)].

∗∗ Aufgabe 3.33

Bestimmen Sie die Matrixelemente 〈n|x|n ′ 〉 und 〈n|p|n ′ 〉 in der (orthonormalen) Basis

von stationären Zuständen des harmonischen Oszillators (|n〉 ≡ψ n (x), Gleichung

2.67). In Aufgabe 2.12 haben Sie bereits die „Diagonal“-Elemente (n = n ′ ) berechnet;

bedienen Sie sich nun desselben Verfahrens für den allgemeinen Fall. Konstruieren

Sie die entsprechenden (unendlichen) Matrizen X und P. Zeigen Sie, dass

(1/2m)P 2 + (mω 2 /2)X 2 = H in dieser Basis diagonal ist. Haben Sie diese Diagonalelemente

erwartet?

Teillösung:

〈n|x|n ′ 〉=


¯h

2mω

(√

n ′ δ n‚n ′ −1 + √ nδ n ′ ‚n−1)

. (3.98)

Aufgabe 3.34

Ein harmonischer Oszillator befindet sich in einem solchen Zustand, dass eine Messung

der Energie mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit entweder (1/2)¯hω oder

31 Einen Beweis findet man bei Lev Vaidman, Am.J.Phys.60, 182 (1992).

158


Aufgaben

(3/2)¯hω ergibt. Was ist der größte mögliche Wert für 〈p〉 in einem solchen Zustand?

Wenn dieser Maximalwert zum Zeitpunkt t = 0 eingenommen wird, was ist dann

Ψ(x‚ t)?

∗∗∗ Aufgabe 3.35

Kohärente Zustände des harmonischen Oszillators. Unter den stationären Zuständen

des harmonischen Oszillators (also |n〉 =ψ n (x), vgl. Gleichung 2.67) erreicht nur

n = 0 den Grenzfall der Unschärferelation (σ x σ p = ¯h/2). Im Allgemeinen gilt, wie

Sie in Aufgabe 2.12 ausgearbeitet haben, σ x σ p = (2n + 1)¯h/2. Doch auch bestimmte

Linearkombinationen (als kohärente Zustände bezeichnet) minimieren das Unschärfeprodukt.

Wie sich herausstellen wird, sind diese Zustände Eigenfunktionen des

Absteigeoperators a − : 32

a − |α〉 =α|α〉

(der Eigenwert α kann eine beliebige komplexe Zahl sein).

a

b

c

Berechnen Sie 〈x〉, 〈x 2 〉, 〈p〉 und 〈p 2 〉 im Zustand |α〉.

Hinweis: Wenden Sie das Verfahren aus Aufgabe 2.5 an und denken Sie daran,

dass a + das hermitesch Konjugierte zu a − ist. Nehmen Sie nicht an, dass α reell

ist.

Bestimmen Sie σ x und σ p ; zeigen Sie, dass σ x σ p = ¯h/2 ist.

Wie jede andere Wellenfunktion lässt sich auch ein kohärenter Zustand in den

Energieeigenzuständen entwickeln:

∞∑

|α〉 = c n |n〉 .

n=0

Zeigen Sie, dass die Entwicklungskoeffizienten folgendermaßen angegeben werden:

c n = αn √

n!

c 0 .

d

e

Bestimmen Sie c 0 , indem Sie |α〉 normieren.

Lösung: exp(−|α| 2 /2).

Setzen Sie nun die Zeitabhängigkeit ein:

|n〉 →e −iE nt/¯h |n〉

und zeigen Sie, dass |α(t)〉 ein Eigenzustand von α − bleibt, dass sich aber der

Eigenwert mit der Zeit ändert:

α(t) = e −iωt α .

Ein kohärenter Zustand bleibt also kohärent und minimiert weiterhin das Unschärfeprodukt.

32 Für den Aufsteigeoperator gibt es keine normierbaren Eigenfunktionen.

159


3 Formalismus

f

Ist auch der Grundzustand (|n = 0〉) selbst ein kohärenter Zustand? Falls ja, was

ist der Eigenwert?

Aufgabe 3.36

Die erweiterte Unschärferelation. 33

(Gleichung 3.62) gilt

Nach der verallgemeinerten Unschärferelation

σ 2 A σ 2 B ≥ 1 4 〈C〉2

mit Ĉ ≡−i[Â ‚ ̂B ].

a

Zeigen Sie, dass man dies in folgender Form verschärfen kann:

σ 2 A σ 2 B ≥ 1 4 (〈C〉2 +〈D〉 2 ) (3.99)

b

mit ˆD ≡ Â ̂B + ̂B Â − 2〈A〉〈B〉.

Hinweis: Behalten Sie den Term mit Re(z) in Gleichung 3.60 bei.

Überprüfen Sie Gleichung 3.99 für den Fall A = B (in diesem Fall ist wegen

Ĉ = 0 die „gewöhnliche“ Unschärferelation trivial; leider hilft die erweiterte

Unschärferelation auch nicht viel weiter).

Aufgabe 3.37

Der Hamilton-Operator für ein bestimmtes System mit drei Energieniveaus wird dargestellt

durch die Matrix


a 0


b

H = ⎝0 c 0⎠

b 0 a

mit den reellen Zahlen a, b und c (nehmen Sie a − c ̸= ±b an).

a

b

Das System befindet sich anfangs in dem Zustand

Was ist dann |S(t)〉?

⎛ ⎞

0

|S(0)〉 = ⎝1⎠ .

0

Das System befindet sich anfangs in dem Zustand

⎛ ⎞

0

|S(0)〉 = ⎝0⎠ .

1

Was ist dann |S(t)〉?

33 Interessante Kommentare und Literaturangaben findet man bei R.R. Puri, Phys. Rev. A 49,

2178 (1994).

160


Aufgaben

Aufgabe 3.38

Der Hamilton-Operator für ein bestimmtes System mit drei Energieniveaus wird dargestellt

durch die Matrix


1 0


0

H = ¯hω ⎝0 2 0⎠ .

0 0 2

Die beiden weiteren Observablen A und B werden durch die Matrizen


0 1


0


2 0


0

A = λ ⎝1 0 0⎠ und B = μ ⎝0 0 1⎠

0 0 2

0 1 0

mit den reellen Zahlen ω, λ und μ dargestellt.

a

b

c

Bestimmen Sie die Eigenwerte und die (normierten) Eigenvektoren von H, A

und B.

Das System befindet sich anfangs in dem Ursprungszustand

⎛ ⎞

c 1

|S(0)〉 = ⎝c 2 ⎠

c 3

mit |c 1 | 2 +|c 2 | 2 +|c 3 | 2 = 1. Bestimmen Sie die Erwartungswerte (für t = 0) von

H, A und B.

Was ist |S(t)〉? Welche Werte erhalten Sie, wenn Sie die Energie in diesem

Zustand messen (zum Zeitpunkt t), und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit

für jeden dieser Werte? Beantworten Sie diese Frage auch für die Observablen A

und B.

∗∗ Aufgabe 3.39

a

Eine Funktion f (x) lässt sich in einer Taylor-Reihe entwickeln. Zeigen Sie, dass

dann für einen beliebigen konstanten Abstand x 0 gilt:

f (x + x 0 ) = e i ˆpx 0/¯h f (x) .

b

Aus diesem Grund nennt man ˆp/¯h die Erzeugende von räumlichen Translationen.

Hinweis: Die Exponentialfunktion eines Operators ist durch die Potenzreihenentwicklung

definiert: êQ ≡ 1 + ̂Q + (1/2)̂Q 2 + (1/3!)̂Q 3 + ...

Ψ(x‚ t) erfüllt die (zeitabhängige) Schrödinger-Gleichung. Zeigen Sie, dass gilt:

Ψ(x‚ t + t 0 ) = e −iĤ t 0 /¯h Ψ(x‚ t)

(t 0 ist dabei eine beliebige konstante Zeit). – Man nennt Ĥ /¯h die Erzeugende

von zeitlichen Translationen.

161


3 Formalismus

c Zeigen Sie, dass man den Erwartungswert einer dynamischen Variable Q(x‚ p‚ t)

zum Zeitpunkt t + t 0 in folgender Form schreiben kann: 34

∗∗ Aufgabe 3.40

〈Q〉 t+t0 =〈Ψ(x‚ t)|e iĤt 0 /¯h ̂Q ( ˆx‚ ˆp‚ t + t 0 )e −iĤ t 0 /¯h |Ψ(x‚ t)〉 .

Leiten Sie damit die Gleichung 3.71 noch einmal her.

Hinweis: Setzen Sie t 0 = dt und entwickeln Sie in erster Ordnung in dt.

a

b

c

d

Schreiben Sie die zeitabhängige „Schrödinger-Gleichung“ im Impulsraum für

ein freies Teilchen nieder und lösen Sie sie.

Lösung: exp(−ip 2 t/2m¯h)Φ(p‚0).

Bestimmen Sie Φ(p‚0) für das sich ausbreitende Gauß’sche Wellenpaket (Aufgabe

2.43) und konstruieren Sie Φ(p‚ t) für diesen Fall. Konstruieren Sie auch

|Φ(p‚ t)| 2 und machen Sie sich klar, dass dieser Ausdruck nicht von der Zeit

abhängt.

Bestimmen Sie 〈p〉 und 〈p 2 〉, indem Sie die passenden Integrale berechnen, die

Φ enthalten. Vergleichen Sie Ihre Antworten mit den Ergebnissen von Aufgabe

2.43.

Zeigen Sie, dass 〈H〉 =〈p〉 2 /2m +〈H〉 0 gilt (der Index 0 bezeichnet hier die

stationäre Gauß-Form), und kommentieren Sie dieses Ergebnis.

34 Insbesondere gilt, wenn wir t = 0 setzen und den Index an t 0 fortlassen:

〈Q(t)〉 =〈Ψ(x‚ t)|̂Q |Ψ(x‚ t)〉 =〈Ψ(x‚0)|Û −1 ̂Q Û|Ψ(x‚0)〉

mit Û ≡ exp(−iĤt/¯h). Demnach können Sie also den Erwartungswert von Q berechnen

entweder, indem Sie ̂Q zwischen Ψ(x‚ t) ∗ und Ψ(x‚ t) einschieben (so haben wir es bislang

immer gemacht; die Zeitabhängigkeit liegt dann in der Wellenfunktion), oder indem

Sie Û −1 ̂Q Û zwischen Ψ(x‚0) ∗ und Ψ(x‚0) einschieben (dann wird die Zeitabhängigkeit

von dem Operator getragen). Die erste Möglichkeit wird als Schrödinger-Bild, die zweite

Möglichkeit als Heisenberg-Bild bezeichnet.

162


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