deutsche Arbeitsanweisung - Pearson Studium

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Übungen zu den webbasierten Simulationen zum Buch:

Thomas Engel, Philip Reid, Physikalische Chemie

Aus dem Amerikanischen übersetzt von Carsten Biele

15.1 Das klassische Teilchen im Kasten

In dieser Simulation werden Sie die Bewegung eines Teilchens in einem

eindimensionalen Kasten simulieren, so wie sie durch die klassische Mechanik

beschrieben wird. Sie werden die Variationen der kinetischen Energie und der

Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in einem Kasten mit konstanter potenzieller

Energie und in einem Kasten mit unterschiedlichen potenziellen Energien in jeder Hälfte

bestimmen. Für ein Teilchen mit der kinetischen Energie K, der potenziellen Energie U

und der Gesamtenergie E schreibt die Erhaltung der Energie vor, dass E = K + U ist. Die

Aufenthaltswahrscheinlichkeit P des Teilchens in einem beliebigen kleinen Intervall ∆x

ist proportional zur Zeit, in der sich das Teilchen in diesem Intervall befindet. Die

Summe der Aufenthaltswahrscheinlichkeiten für alle Intervalle ist gleich Eins, weil das

Teilchen im Kasten eingesperrt ist.

1) Stellen Sie die Parameter der Simulation folgendermaßen ein: a = 10,0 cm und

b = –10,0 cm, E = 10 * 10 -7 J, U = 0 J für –10 cm < x < 10 cm und U = 20 * 10 -7 J im

übrigen Bereich. Wird das Teilchen in der Region mit a > 10 cm oder mit b < –10,0 cm

gefunden? Berechnen Sie die kinetische Energie in der Region mit a > 10 cm und die

zugehörige Geschwindigkeit v des Teilchens als Ausdruck seiner unbekannten Masse. Ist

Ihr Ergebnis für K und v physikalisch von Bedeutung?

2) Die Werte von x, bei denen U = E ist, werden klassische Umkehrpunkte genannt, und

die Region, in der U > E ist, nennt man die klassisch verbotene Region. Erklären Sie

diese Nomenklatur.

3) Der Blitz (Strobe) zeigt die Position des Teilchens an zufälligen Zeitpunkten. Gibt es

für die Parameter aus 1) einen Bereich, in dem die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des

Teilchens größer ist als in anderen Bereichen? Leiten Sie eine Beziehung zwischen der

Aufenthaltswahrscheinlichkeit P ( x ) ∆ x des Teilchens in einem Intervall ∆x und seiner

kinetischen Energie her, in der a die Länge des Kastens repräsentiert. Beginnen Sie mit

der Gleichung P x x = x , in der α eine noch zu bestimmende

v

Proportionalitätskonstante darstellt. Gewinnen Sie einen Wert für α, ausgedrückt durch

m, E, a und U, indem Sie berücksichtigen, dass P x x = 1 gilt, wenn x = a ist,

weil sich das Teilchen irgendwo im Kasten befinden muss. Nehmen Sie dabei eine über

T. Engel, P. Reid, Physikalische Chemie, Übungen Copyright © 2007 Pearson Studium


die Länge des Kastens hinweg konstante potenzielle Energie an.

4) Stellen Sie nun die Parameter der Simulation folgendermaßen ein: a = 10,0 cm und

b = –10,0 cm, E = 10 * 10 -7 J, U = 9.0 * 10 -7 J für –10 cm < x < 0 cm, U = 0 J für

0 cm < x < 10 cm und U = 20 * 10 -7 J für die übrigen Bereiche. Gibt es für diese

Parameter einen Bereich, in dem die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens größer

ist als in anderen Bereichen? Entwickeln Sie einen Ausdruck für P x x unter der

Annahme, dass die potenzielle Energie in der einen Hälfte des Kastens den Wert U 1 und

in der anderen Hälfte den Wert U 2 aufweist. Überprüfen Sie, ob Ihr Ergebnis mit

demjenigen übereinstimmt, das Sie für U 1 = U 2 in Aufgabe 3) erhalten haben.

T. Engel, P. Reid, Physikalische Chemie, Übungen Copyright © 2007 Pearson Studium

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