Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

und assoziativ sein
3.3 Cliord- und Lie-Algebra 13
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z (3.3.3)
und ist demnach eine bilineare Abbildung. Ein Spezialfall sind hierbei die Bilinearformen, bezeichnet
mit q : V × V → K. Eine Abbildung Q : V → K heiÿt dann quadratische Form, falls
es eine solche, zugeordnete symmetrische Bilinearform q gibt, mit Q(v) = q(v,v) = 〈v, v〉, v ∈ V .
Das klassische Kreuzprodukt des R 3 , z = (x × y) ist z.B. solch ein bilineares Produkt und
der Vektorraum R 3 somit eine Algebra. Auch für die innitesimalen Matrizen J 1 , J 2 , J 3 der
Gruppe SO(3), welche eine Basis des dreidimensionalen Vektorraumes V 3 bilden, kann ein solches
Produkt gefunden werden:
J i ∗ J j = J i J j − J j J i = [J i , J j ] , (3.3.4)
genannt Kommutator von J i und J j . Das Produkt der beiden ergibt dann ein neues Element von
V 3 und ist aus der Quantemechanik des Drehimpulses bestens bekannt:
[J i , J j ] = iɛ ijk J k . (3.3.5)
(3.3.5) ist ebenfalls eine bilineare Operation und V 3 somit eine Algebra genannt so(3).
Denition 3.3.1 Eine Lie-Algebra 1 ist ein Vektorraum g = (V,[·,·]) über einem Körper K
zusammen mit einer Verknüpfung [·,·] : g × g → g, mit (x,y) ↦→ [x,y], welche Lie-Klammer
genannt wird und den folgenden Bedingungen genügt:
1. Sie ist bilinear. Also gilt [αx + βy,z] = α[x,z] + β[y,z] und [z,αx + βy] = α[z,x] + β[z,y]
für alle α, β ∈ K und alle x,y,z ∈ g
2. Sie genügt der Jacobi-Identität. Also gilt [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]] = 0 für alle x,y,z ∈ g.
3. Es gilt [x,x] = 0 für alle x ∈ g.
Zu jeder Lie-Gruppe 2 G mit den Basiselementen {B i (ϕ)} i=1,..,n kann eine Lie-Algebra g deniert
werden. Diese wird durch die innitesimalen Erzeugenden der Lie-Gruppe am neutralen Element
[ dBi (ϕ i )
X i =
dϕ i
]ϕ i =0
erzeugt. Mittels der innitesimalen Erzeugenden werden über
(3.3.6)
[X i ,X j ] = ξ ijk X k (3.3.7)
die Strukturkonstanten ξ ijk der Lie-Algebra deniert. Sie charakterisieren die Lie-Algebra, da
diese nur Lie-Algebra einer einzigen, einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe sind. So gehört
z.B. die Lie-Algebra su(2) (kleine gothischen Buchstaben) zur Lie-Gruppe SU(2) (fett gedruckte
Groÿbuchtaben). Alle weiteren Lie-Gruppen mit gleicher Lie-Algebra, werden von der einfach
zusammenhängenden überlagert. Dann sind zwei Lie-Algebren isomorph falls es Basen gibt, so
dass die Strukturkonstanten ξ ijk gleich sind.
Beispiele für eine Lie-Algebra wurden oben angegeben. In der Basis der J 1 , J 2 , J 3 entsprechen
die Strukturkonstanten ξ ijk also dem bekannten Levi-Civita-Symbol ɛ ijk .
1Benannt nach Sophus Lie (norwegischer Mathematiker, „1899)
2Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur, so dass das Produkt als Abbildung von G × G → G ∈ C ∞ ist, d.h. eine
glatte Mannigfaltigkeit endlicher Dimension n