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Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

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32 4 <strong>Die</strong> <strong>Dirac</strong>-<strong>Gleichung</strong><br />

fällt auf, dass die Zusammenhangsformen ω µ des Levi-Civita-Zusammenhangs durch die schon<br />

gefundenen <strong>in</strong>nitesimalen Lorentztransformationen Λ ∗ = M ausgedrückt werden können, was<br />

ja genau durch (4.2.13) gefordert wird. <strong>Die</strong> Kommutatorrelationen der Rotations- und Boost-<br />

Erzeugenden werden aber von den Pauli-Matrizen erfüllt, so dass gilt (1/2)σ a σ b = M ab und ω ′ µ<br />

lässt sich somit schreiben als:<br />

ω ′ µ = 1 2 σa σ b ω µab . (4.2.15)<br />

<strong>Die</strong> Darstellungen ρ : SL(2, C) → Sp<strong>in</strong>(1, 3) über komplexe 4 × 4 Matrizen s<strong>in</strong>d von der Art<br />

(4.2.2) [17]:<br />

( )<br />

( )<br />

A 0<br />

h 0<br />

ρ(A) =<br />

0 A †−1 und ρ ∗ (h) =<br />

0 −h † mit h ∈ sl(2, C) . (4.2.16)<br />

Damit kann nun der Zusammenhang Γ µ = ρ ∗ ω µ ′ berechnet werden. E<strong>in</strong>setzen liefert:<br />

[<br />

]<br />

Γ µ = 1 2 ω σ a σ b 0<br />

µab<br />

0 −σ b σ a<br />

[ ] [<br />

]<br />

= 1 2 ω σ β 0<br />

µ0β<br />

0 −σ β + 1 2 ω σ α σ β 0<br />

µαβ<br />

0 −σ β σ α . (4.2.17)<br />

Da aber mit den <strong>Dirac</strong>-Matrizen γ i gilt:<br />

[ ]<br />

γ 0 γ β σ<br />

=<br />

β 0<br />

0 −σ β<br />

und γ α γ β =<br />

[<br />

]<br />

σ α σ β 0<br />

0 −σ β σ α , (4.2.18)<br />

ergibt sich Γ µ = (1/2)γ 0 γ β ω µ0β<br />

+(1/2)γ α γ β ω µαβ<br />

. Durch Zusammenfassen erhält man den Sp<strong>in</strong>-<br />

Zusammenhang im <strong>Dirac</strong>-Sp<strong>in</strong>or-Bündel:<br />

da ja ω µab<br />

= −ω µba<br />

gilt.<br />

4.2.3 Der <strong>Dirac</strong>-Operator <strong>in</strong> gekrümmter <strong>Raumzeit</strong><br />

Γ µ = 1 4 γa γ b ω µab = 1 8 ω µab [γa , γ b ] , (4.2.19)<br />

Wird Γ µ <strong>in</strong> <strong>Gleichung</strong> (4.2.12) e<strong>in</strong>gesetzt, ergibt sich für die kovariante Ableitung im Sp<strong>in</strong>or-<br />

Bündel:<br />

∇ µ Ψ = ∂ µ Ψ + 1 8 ω µab [γa , γ b ]Ψ . (4.2.20)<br />

Der <strong>Dirac</strong>-Operator <strong>in</strong> gekrümmter <strong>Raumzeit</strong> ist dann von folgender Form:<br />

γ µ (∂ µ + 1 8 ω µab [γa , γ b ]) = ∂/ + γ µ Γ µ = D/ , (4.2.21)<br />

wobei die <strong>Dirac</strong>-Matrizen nur lokale Gültigkeit besitzen und ihre Kovarianz dann über γ µ = e µ aγ a<br />

mit den Tetradenfeldern e µ a(x) gewährleistet ist. E<strong>in</strong> Vergleich mit <strong>Gleichung</strong> (4.1.13) ergibt:<br />

(iγ µ ∇ µ − m)Ψ(x) = 0 . (4.2.22)<br />

<strong>Die</strong>s ist die <strong>Dirac</strong>-<strong>Gleichung</strong> <strong>in</strong> gekrümmter <strong>Raumzeit</strong> (vgl. [17], [19], [20], [21]). E<strong>in</strong>e noch<br />

kompaktere Version schreibt sich:<br />

(iD/ − m)Ψ(x) = 0 . (4.2.23)<br />

Wie oben schon erwähnt, erfüllen natürlich auch die allgeme<strong>in</strong> kovarianten γ's die <strong>Dirac</strong>-Algebra<br />

(3.3.23):<br />

{γ µ ,γ ν } = 2g µν . (4.2.24)

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