Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

48 6 Anhang A
also, dieser Kurve (Geodäte) zu folgen.
Zur Veranschaulichung der Krümmung eines solchen Objektes stellt sich die Bertrachtung einer
Kugeloberäche als geeignet heraus. Die kürzeste Strecke von einem Punkt der Oberäche zu
einem anderen wird immer auf einem Groÿkreis liegen. Werden nun drei Punkte miteinander
verbunden entsteht ein Dreieck dessen Winkelsumme nicht mehr 180 ◦ entpricht. In der Zweidimensionalität
der Fläche bleibend, hat sich also die Geometrie dieser selbst verändert, man spricht
hierbei von innerer Krümmung. Äuÿere Krümmung kann hingegen nur festgestellt werden, indem
die Lage des Raums im umgebenen, höherdimensionalen Raum, die sogenannte Einbettung,
betrachtet wird. Äuÿere, jedoch keine innere Krümmung hat z.B. ein zweidimensionales, in die
dritte Dimension aufgerolltes Blatt Papier. Es wird allerdings ein von Einbettung unabhängiges
Abbildung 6.5.2: Parallelverschiebung
auf der Kugel
Krümmungskonzept gefordert, daher ist es notwendig
auf den oben eingeführten Paralleltransport zurückzugreifen.
Die Krümmung einer Kurve γ in einem Punkt
P gibt üblicherweise an, wie stark die Kurve in der
unmittelbaren Umgebung des Punktes von einer Geraden
abweicht. Diese Abweichung von Geradlinigkeit
wird jetzt als Grundlage eines Krümmungsbegries verwendet.
Dazu wird erneut die Kugeloberäche betrachtet,
mit einem, auf einer geschlossenen Kurve paralleltransportierten
Tangetialvektor an die Kugel. Dann
wird der Vektor nach einem vollständigen Umlauf nicht
mehr mit dem Ausgangsvektor identisch sein, die erhaltene
Abweichung (Schlieÿungsfehler) gibt ein Maÿ für
die Krümmung der Fläche an (siehe Abb.6.5). Zur Verallgemeinerung
betrachtet man nun eine innitesimale
geschlossene Kurve und drückt dies über den Kommutator
zweier kovarianter Ableitungen aus. Die kovariante
Ableitung eines Tensors in eine bestimmte Richtung
misst ja gerade die Abweichung relativ zu dessen Lage
im Falle eines Paralleltransports, da die kovariante Ableitung eines Tensors in die Richtung die
er paralleltransportiert wird gleich Null ist. Der Kommuntator misst dann genau die Dierenz,
die auftritt, wenn der Tensor erst entlang der einen Umlaufrichtung der geschlossenen Kurve
paralleltransportiert wird und dann entlang der anderen. Für ein Vektorfeld X k im Punkt P
ergibt sich damit:
[∇ i , ∇ j ]X k = ∇ i ∇ j X k − ∇ j ∇ i X k
= ∂ i (∇ j X k ) − Γ r ij∇ r X k + Γ k is∇ j X s − (i ←→ j) 1
= ∂ i ∂ j X k + (∂ i Γ k js)X s + Γ k js∂ i X s − Γ r ij∂ r X k
−Γ r ijΓ k rsX s + Γ k is∂ j X s + Γ k isΓ s jrX r − (i ←→ j)
= (∂ i Γ k js − ∂ j Γ k is + Γ k irΓ r js − Γ k jrΓ r is)X − 2Γ r [ij]
} {{ }
rX k . (6.5.4)
R k sij
Der letzte Term kann mit dem Torsionstensor identiziert werden und die linke Seite ist oensichtlich
ein Tensor, der Ausdruck in Klammern R k sij , muss daher auch ein Tensor sein.
Denition 6.5.2 Der Riemannsche Krümmungstensor R ist das (1, 3)-Tensorfeld, das dem
Punkt P ∈ M und den Tangentialvektoren x, y, z ∈ M p , den Tangetialvektor R(Y, Z)X(P ) mit
X(P ) = x, Y (P ) = y, Z(P ) = z zuordnet.