Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

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Die Dirac-Gleichung in gekrümmter Raumzeit - Fachbereich Physik

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1 Einleitung

Die Geometrisierung der Raumzeitstruktur durch die allgemeine Relativitätstheorie (ART) revolutionierte

die Vorstellung des bis dato noch von Newton geprägten Bildes der Gravitation.

Insbesondere bezüglich der parallel und kurz darauf entwickelten Quantentheorie, ging diese Revolution

jedoch nicht weit genug. Da die Gravitation eine der fundamentalen Wechselwirkungen

in der Physik darstellt, ndet dieser Umstand Ausdruck in der Abwesenheit des Gravitationsphänomens

in der heute etablierten Quantenfeldtheorie (QFT). Alle physikalischen Felder werden

ab einer bestimmten Gröÿenordnung durch die Prinzipien der QFT beschrieben. Ist der Zustand

eines Systems kein Eigenwert des relevanten Operators, gibt es keinen festen Wert für die durch

ihn beschriebene Observable, sondern einzig eine Wahrscheinlichkeit des Messergebnisses. Die

ART ist hingegen eine klassische Theorie und die betrachteten Quantitäten, wie z.B. die der Metrik,

nehmen immer eindeutig determinierte Werte an. Sollen die Aussagen der Quantentheorie

auch für das Gravitationsfeld zutreen, kann die ART somit nur Grenzfall einer grundlegenderen

Theorie sein. Ein erster Schritt zu einer Quantentheorie der Gravitation besteht dann darin, die

QFT auf gekrümmte Raumzeiten zu verallgemeinern. Dort tritt die Gravitation nur als klassisches

Hintergrundfeld auf und wird zunächst nicht quantisiert, also von keiner Rückwirkung

der quantisierten Felder beeinusst. Diese Näherung ist insofern sinnvoll, als dass die quantengravitativen

Eekte erst in Gröÿenordnungen der Planck-Länge (10 −33 cm) eine Rolle spielen,

wohingegen die gewöhnliche Wirkungsskala der QFT (≥ 10 −17 cm) um ein Vielfaches gröÿer ist.

Damit zählen Umgebungen wie die des frühen Universums und die schwarzer Löcher zu den

potentiellen Anwendungsgebieten. Obwohl in den letzten Jahrzehnten auch einige andere vielversprechende

Ansätze, wie z.B. die Quantenloopgravitation oder die Stringtheorie, stark verfolgt

wurden und werden, kann die Untersuchung einer semiklassischen Theorie als Grenzfall wichtige

Erkenntnisse liefern.

Die Implementierung der speziell relativistischen, quantenmechanischen Gleichungen in gekrümmter

Raumzeit ist hierbei Ausgangspunkt. Die Dirac-Gleichung nimmt dabei im historischen sowie

aktuellen Kontext eine maÿgebliche Rolle ein, da die um sie aufgebaute Dirac-Theorie die

relativistische Weiterentwicklung der klassischen Quantemechanik darstellt und sie somit auch

zentraler Bestandteil einer Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit ist. Obwohl die so aufgebaute

Theorie im besten Fall nur die Näherung einer evtl. vorhandenen, rigoroseren Formulierung

darstellt, können die durch sie vorhergesagten Eekte Aufschluss über zu erwartende Quantenphänomene

in starken Gravitationsfeldern geben. Konkrekt wurde mit der Methode z.B. die

Hawking-Strahlung postuliert, welche auch aktueller Forschungsgegenstand ist. Wird ein schwarzes

Loch betrachtet, emittiert dieses bei Teilchenerzeugung, laut Postulat, ein thermisches Spektrum

von Teilchen mit der Temperatur kT = κ/2π, wobei κ für die Gravitationsbeschleunigung

an der Oberäche des schwarzen Loches steht. Als Folge des enormen Verlusts von potenzieller

Energie nimmt die Masse des Schwarzen Loches dabei ab. In einem im September 2010 veröffentlichten

Paper wurde zum ersten Mal der experimentelle Nachweis der Hawking-Strahlung

behauptet [1].

In dieser Arbeit werden die Grundlagen für eine Einführung von Spin-(1/2) Teilchen (nicht

Feldern) in gekrümmter Raumzeit gegeben. Es sollen daher nur die relevanten Konzepte zur

Herleitung einer allgemein kovarianten Dirac-Gleichung Erwähnung nden, eine Untersuchung

der Gleichung für spezielle Metriken würde den Rahmen dieser Arbeit bei weitem sprengen.

Besonderes Augenmerk wird auf die darstellungstheoretische Entwicklung von Spinoren gelegt,

da hierdurch die auftretenden Probleme bei der Vereinigung von ART und Quantentheorie verdeutlicht

werden. Auf die Notation wird zu Beginn des jeweiligen Kapitels eingegangen. Eine

Wiederholung der allgemein relativistischen Dierentialgeometrie erfolgt in Anhang A.

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