Elektrische Leitfähigkeit von Festkörpern bei tiefen Temperaturen im ...

Elektrische Leitfähigkeit von Festkörpern
bei tiefen Temperaturen
im Fortgeschrittenenpraktikum des Physikstudiums
Staatsexamensarbeit in Physik
von Matthias Klaus Sickmüller
Referent: Prof. Dr. Hilbert νοn Löhneysen
Physikalisches Institut Universität Karlsruhe (TH)
März 1999

Inhaltsverzeichnis
1 EINLEITUNG............................................................................................................................................................ 3
2 GRUNDLAGEN......................................................................................................................................................... 4
2.1 ELEKTRISCHER WIDERSTAND VON METALLEN ................................................................................................. 4
2.2 SUPRALEITUNG.................................................................................................................................................. 7
2.3 LEITFÄHIGKEIT VON HALBLEITERN................................................................................................................. 12
Leitfähigkeit intrinsischer Halbleiter .................................................................................................................. 12
Leitfähigkeit extrinsischer Halbleiter.................................................................................................................. 14
3 VERSUCHSABLAUF ............................................................................................................................................. 16
3.1 AUFGABENSTELLUNG...................................................................................................................................... 16
3.2 VERSUCHSAUFBAU.......................................................................................................................................... 17
3.2.1
4 He-Kryostat.......................................................................................................................................... 17
3.2.2 Die Proben ............................................................................................................................................ 22
3.2.3 Heizer.................................................................................................................................................... 22
3.2.4 Thermometer ......................................................................................................................................... 23
3.2.5 Supraleitende Spule............................................................................................................................... 25
3.2.6 Die Meßmethode ................................................................................................................................... 26
3.3 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG ............................................................................................................................ 27
3.3.1 Abkühlen des Kryostaten....................................................................................................................... 27
3.3.2 Messungen............................................................................................................................................. 29
4 AUSWERTUNG....................................................................................................................................................... 30
LITERATURVERZEICHNIS................................................................................................................................... 31
ANHANG..................................................................................................................................................................... 32
1. WIDERSTANDSVERLAUF DES PLATINTHERMOMETERS PT100:......................................................................... 32
2. WIDERSTANDSVERLAUF DES KOHLETHERMOMETERS: .................................................................................... 33
3. STROM-MAGNETFELDSTÄRKE ZUSAMMENHANG DER SUPRALEITENDEN SPULE:............................................ 34
2

1 Einleitung
Die Messung der Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit bzw. des elektrischen
Widerstands ist eine der am häufigsten verwendeten Methoden zur Charakterisierung der
elektrischen Eigenschaften von Festkörpern. Obwohl sie zu den experimentell einfachsten
Methoden gehört, erlaubt sie eine Vielzahl von Möglichkeiten zur Ermittlung von
Materialeigenschaften. In Metallen gibt zum Beispiel der Restwiderstand bei tiefen Temperaturen
Aufschluß über Probenreinheit oder das mögliche Vorliegen magnetischer Störstellen. In
Supraleitern läßt sich die supraleitende Übergangstemperatur und durch Anlegen eines äußeren
Magnetfeldes der Verlauf des oberen kritischen Magnetfeldes bestimmen. In Halbleitern
schließlich läßt sich in Verbindung mit der Messung des Hall-Effekts die Mobilität und
Konzentration der Ladungsträger, sowie die Energielücke zwischen Valenz- und Leitungsband
bestimmen.
Der hier beschriebene Versuch soll nicht nur den Aspekt der Ermittlung der supraleitenden
Übergangstemperatur Τ c behandeln, sondern außerdem den Einfluß äußerer Magnetfelder auf die
Stabilität der supraleitenden Phase. Damit wird zugleich durch die im Versuchsaufbau verwendete
supraleitende Magnetspule ein praktisches Anwendungsbeispiel von Supraleitern zur Erzeugung
von hohen Magnetfeldern geliefert. Überdies wird die elektrische Leitfähigkeit eines Halbleiters
bestimmt.
Zur Einführung in die Tieftemperaturphysik wurde im Rahmen dieser Arbeit ein Versuchsaufbau
im Fortgeschrittenenpraktikum aufgebaut. Den Studierenden werden praktische Grundlagen zur
Erzeugung und Handhabung tiefer Temperaturen vermittelt. Somit entstand ein Versuch mit dem
Titel: „Elektrische Leitfähigkeit von Festkörpern bei tiefen Temperaturen".
In dieser Arbeit wird der experimentelle Aufbau sowie die im Praktikum durchzuführenden
Messungen und deren Auswertung beschrieben. Als weiteres wird ein Überblick über die
Theorien der elektrischen Leitfähigkeit von Metallen und Halbleitern und des Phänomens der
Supraleitung gegeben.
3

2 Grundlagen
2.1 Elektrischer Widerstand von Metallen
Die elektrische Leitfähigkeit von Festkörpern, insbesondere von Metallen, stellte schon sehr früh
eine ihrer wichtigsten und interessantesten Eigenschaften dar. So ist es durch die experimentell
leicht zu bestimmende Größe des elektrischen Widerstandes möglich, Leiter bzw. Isolatoren
quantitativ zu charakterisieren. Dies in einem derart weiten Bereich von 10 -8 Ω bis 10 20 Ω, „wie es
für keinen anderen physikalischen Parameter der Fall ist" [1].
Die Theorien hierzu wurden, wie alle physikalischen Theorien, immer wieder weiterentwickelt.
Auf eine klassische Beschreibung folgten quantenmechanische Modelle (freies Elektronengas,
Bloch-Welle, Bändertheorie) und die Theorien zur Supraleitung.
Der elektrische Widerstand kann bereits klassisch aus einfachen Annahmen hergeleitet werden.
Drude ging davon aus, daß die Elektronen in einem elektrischen Feld Ε beschleunigt werden und
nach einer mittleren freien Weglänge, die vom Abstand der Gitteratome abhängig ist, an den
Atomrümpfen gestreut werden. Dabei verlieren die Elektronen die aus dem elektrischen Feld
aufgenommene Energie. Es stellt sich eine konstante Driftgeschwindigkeit V D ein. Aus der
Bewegungsgleichung
m
ν
τ
D
= −eE
folgt mit
j = −enν
D
2
e τ n
= E = σE
m
⇒
2
ne τ
σ =
m
Hierbei bezeichnet τ die Relaxationszeit und m die Masse des Elektrons. Somit konnte das
Ohmsche Gesetz sehr einfach auf mikroskopischer Ebene erklärt werden. Um nun den Einfluß der
Temperatur auf das Verhalten der Leitfähigkeit zu beschreiben, benötigt man eine allgemeinere
Sichtweise.
Da bei Metallen die Ladungsträgerkonzentration n temperaturunabhängig ist, muß man, um die
Temperaturabhängigkeit des Widerstands zu erklären, lediglich das Temperaturverhalten der
Relaxationszeit τ bzw. der Beweglichkeit der Elektronen µ betrachten. τ ist die Zeit, die benötigt
wird, damit nach einem Abschalten des elektrischen Feldes die Impulsverteilung wieder in den
Gleichgewichtszustand übergegangen ist.
Ein Leitungselektron kann sowohl an den lonenrümpfen der Metallatome gestreut werden, als
auch an den Gitterschwingungen (Phononenstreuung). Ein weiterer Einfluß sind Stöße an
unmagnetischen Fremdatomen und strukturellen Gitterfehlern (Störstellenstreuung). Diese
4

Beiträge sind oft in guter Näherung voneinander unabhängig, so daß für die Gesamtstreurate τ -1
gilt:
1 1 1
= +
τ τ Ph τ St
−1
−1
mit τ Ph der mittleren Streurate für Phononenstreuung bzw. τ St der Streurate für
Störstellenstreuung. Nicht betrachtet werden hier Streuprozesse an magnetischen
Verunreinigungen, die z.B. zum Kondo-Effekt führen.
In isotropen Medien kann der spezifische Widerstand ρ aus der Leitfähigkeit mit ρ=1/σ
geschrieben werden als
ρ = ρ
( ) + ρ st
Ph T
geschrieben werden. Dieser zuerst experimentell gefundene Zusammenhang ist als
Matthiesensche Regel bekannt.
Da die Störstellenstreuung temperaturunabhängig ist, führt dies zu einem ebenfalls
temperaturunabhängigen Anteil am spezifischen Widerstand ρ st , dem sog. spezifischen
Restwiderstand. Dieser temperaturunabhängige Beitrag ist bei sehr niedrigen Temperaturen, bei
denen der Anteil der Phononenstreuung näherungsweise Null ist, zu erkennen.
Wie sieht nun die Temperaturabhängigkeit der Streuung an Phononen aus? Für die
Phononenstreuung kann man den Streuquerschnitt für Streuung an einem Phonon als proportional
2 r
s q des betreffenden Phonons mit
zum mittleren Quadrat der Schwingungsamplitude ( )
Wellenvektor q r ansetzen [2]. Im klassischen Grenzfall höherer Temperaturen, d.h. Τ » Θ ergibt
sich:
2 2 r
Mω q s =
( q) k T
B
Hierbei bezeichnet Μ die Masse der Atomrümpfe, ω ρ die Phononenfrequenz und Θ die Debye-
Temperatur. (Die Debye-Temperatur Θ bezeichnet diejenige Temperatur, ab der alle möglichen
Zustände gerade besetzt sind). Somit folgt
1
τ
Ph
~
s
2
r
kT
( q) ~
2
Mω
q
Ersetzt man die Phononenfrequenz ω q durch die Debyesche Abschneidefrequenz ω D = k B Θ / ћ,
so folgt für Τ » Θ:
τ
Ph
~
MΘ
T
2
bzw.
ρ ~ T .
5

Für Temperaturen Τ < Θ nimmt die Anregung von Phononen stark ab. In einer exakten Theorie
konnte Grüneisen [3] einen für alle Metalle universellen Ausdruck für den spezifischen
Widerstand p Ph infolge von Phononenstreuung angeben
ρ
Ph
( T ) = A( T Θ )
Θ T
5
⋅
∫
0
x
5
dx
x
−x
( e −1)( 1−
e )
der für tiefe Temperaturen (Θ/Τ -> ∞) wie Τ 5 mit der Temperatur geht.
Die drei wesentlichen Temperaturbereiche des Restwiderstands, des T 5 -Zusammenhangs sowie
den linearen Anstieg des Widerstands bei höheren Temperaturen sind sehr gut im Experiment zu
beobachten (siehe dazu Kapitel 5).
Aus der Matthiesenschen Regel folgt für den gemessenen Widerstand R:
R = R Rest + R T (Τ)
wobei bei Supraleitern derjenige Wert als Restwiderstand angesehen wird, der direkt oberhalb der
Sprungtemperatur gemessen wird. Für R T gilt nach Grüneisen-Borelius [3] folgender
Zusammenhang:
R T
R
Θ
Θ
= 1 ,17⋅
⋅T
− 0, 17
⋅ R
Θ
wobei Θ die Debye-Temperatur bezeichnet. Damit erlaubt eine Messung von R T die Bestimmung
der Debye-Temperatur Θ.
6

2.2 Supraleitung
Bei der Supraleitung, die experimentell 1908 von Heike Kamerlingh Onnes (1853-1926) an
Quecksilber entdeckt wurde, vermutete man schon sehr bald, daß es sich aufgrund der auffallenden
Änderung der elektrischen Leitfähigkeit, um einen Ordnungsvorgang im System der
Leitungselektronen handelt. „Es mußte also eine Wechselwirkung gefunden werden, die
ungeachtet der hohen Energien der Elektronen (einige eV, was einer mittleren thermischen
Energie k B T von etwa 11 000 Grad entspricht) zu einer Ordnung im System führen konnte" [4].
Eine anziehende Wechselwirkung der Elektronen wurde 1950/51 von Fröhlich und Bardeen
theoretisch beschrieben, als eine indirekte Wechselwirkung der Leitungselektronen über die
Gitterschwingungen des Atomgitters, d.h. eine Elektron-Phonon-Wechselwirkung. Hieraus
formulierten Bardeen, Cooper und Schrieffer 1957 eine mikroskopische Theorie der Supraleitung.
Bekannt ist diese unter der Abkürzung „BCS-Theorie".
Betrachtet man vereinfacht zwei Elektronen im Atomgitter, deren Atomrümpfe aus ihrer Ruhelage
ausgelenkt werden können und bei endlichen Temperaturen Schwingungen ausführen, so werden
diese positiven Rümpfe durch das erste Elektron angezogen. Man sagt: Das Gitter wird durch die
negative Ladung polarisiert [4]. Das zweite Elektron kann die durch das erste hervorgerufene
Polarisation spüren und erfährt somit eine Anziehung in Richtung des Ersten. Somit kann eine
indirekte anziehende Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen stattfinden.
Abb. 0. Zur Polarisation des Gitters der Atomrümpfe durch die Elektronen.
Cooper konnte als erster zeigen, daß die Korrelation zweier solcher Elektronen mit entgegengesetzten,
gleich großen Impulsen und entgegengesetzten Eigendrehimpulsen (Spin) zu einer
Absenkung der Gesamtenergie führen. Ein sogenanntes „Cooper-Paar" läßt sich schreiben als:
r r
Cooper-Paar: { p ↑,
− p ↓}
7

Der Gesamtimpuls eines solchen Paares ist selbstverständlich gleich Null.
Betrachtet man diesen Vorgang der Anziehung als Austauschwechselwirkung, so stellen die
Phononen (elementare Schwingungsformen des Atomgitters) die Austauschteilchen dar. Diese
haben eine wohl definierte Energie. Ihr Impuls beträgt p
r r r
= hk
, wobei | k | = 2π / λ , h = h / 2π
.
Man spricht auch von einer Elektron-Elektron-Wechselwirkung via Phononen [4], wobei diese
auch als „virtuelle Phononen" bezeichnet werden, da sie lediglich während des Austauschs von
einem Elektron zum anderen existieren. Dadurch ist natürlich noch nicht das Phänomen der
Supraleitung erklärt.
Der entscheidende Schritt zum Verständnis des vollständig veränderten Leitungsverhaltens beim
Eintritt in die supraleitende Phase ist die Forderung, daß alle die oben beschriebenen Cooper-
Paare nicht unabhängig voneinander, sonder starr korreliert sind. Und zwar in der Weise, daß alle
Paare einen einzigen quantenmechanischen Zustand besetzten. Da jedes einzelne Cooper-Paar den
Impuls p = 0 hat, ist somit auch der Gesamtimpuls gleich Null. Diese Korrelation geschieht über
Abstände der sog. BCS-Korrelationslänge ξ BCS , typisch einige 100Å.
Legt man nun an ein so beschaffenes System von Ladungsträgern ein äußeres elektrisches Feld
an, so werden diese beschleunigt und erhalten somit einen Impuls, der, da alle Paare im gleichen
Zustand sein müssen, für alle Paare gleich ist. Unsere Forderung verbietet also, daß ein Cooper-
Paar allein durch Wechselwirkung mit dem Gitter Impuls austauscht. Dies bedeutet aber nichts
anderes als die Existenz eines widerstandslosen Ladungstransports durch das Gitter [4].
Die Forderung, nach der alle Cooper-Paare den gleichen Zustand besetzen, erscheint zunächst
willkürlich und widerspricht sogar dem sog. Pauliprinzip, nach dem Teilchen mit halbzahligen
Spin (Fermionen, wozu auch Elektronen zählen) der Fermi-Statistik gehorchen und jeden
Quantenzustand nur einmal besetzen dürfen. Jedoch handelt es sich bei den Cooper-Paaren nicht
mehr um einzelne Elektronen, sondern um Elektronenpaare. Diese besitzen einen Gesamtimpuls
von Null (geradzahlig), sind somit also Bosonen und unterliegen der sog. Bose-Einstein-Statistik,
was zur Folge hat, daß ein bereits besetzter Zustand wieder besetzt wird, und zwar um so
wahrscheinlicher, je häufiger er bereits besetzt ist.
Die Stabilität dieses Teilchens ist natürlich nicht unbegrenzt. Soll ein einzelnes Paar aufgebrochen
werden, so ist hierfür die Bindungsenergie der Paarkorrelation erforderlich. Wird der gemeinsame
Impuls der Cooper-Paare gesteigert, erreicht man einen kritischen Wert, bei dem die aus dem
elektrischen Feld aufgenommene Energie dieser Bindungsenergie entspricht. Oberhalb dieses
kritischen Impulses (der gleichbedeutend mit einer kritischen Stromdichte ist) setzt die
Wechselwirkung mit dem Gitter wieder ein - der Supraleiter geht in den normalleitenden Zustand
über.
Der hier gegebene Überblick über die BCS-Theorie ist natürlich unvollständig. Für eine
weitergehende Behandlung wird auf die angegebene Literatur verwiesen.
Aus der oben erwähnten Existenz einer kritischen Stromdichte folgt unmittelbar die eines
kritischen Magnetfeldes. Da durch Anlegen eines äußeren Magnetfeldes im Supraleiter (R=0!)
8

Dauerströme induziert werden, kann auch bei einer Erhöhung der Magnetfeldstärke ein kritischer
Strom erreicht werden, der den supraleitenden Zustand zerstört. Diese Dauerströme bewirken, daß
das äußere Feld nicht in das Innere der Probe eindringen kann, dieser Effekt wird Meissner-
Ochsenfeld-Effekt genannt, bzw. Meissner-Phase. Von der Meissner-Phase sprechen wir immer
dann, wenn das Magnetfeld aus einem Supraleiter bis auf eine dünne Oberflächenschicht der
Dicke λ verdrängt wird.
Bei manchen Supraleitern gibt es bei höheren Feldern eine zusätzliche Phase, die sogenannte
Shubnikov-Phase. In diesem Zustand dringt das Feld in Flußschläuchen, sog. Vortices ein.
Man unterscheidet daher die folgenden zwei Arten von Supraleitern: [4]
1. „Supraleiter 1. Art" zeigen bis zu einem kritischem Feld B cth den Meissner-Effekt.
2. „Supraleiter 2. Art" zeigen bei genügend kleinen Feldern Β < Β c1 den Meissner-Effekt,
gehen aber für Felder Β c1 < Β < Β c2 (Β c2 >Β cth ) in die Shubnikov-Phase über.
Um dies besser zu verstehen, soll folgendes betrachtet werden: Die Dauer- oder Abschirmströme,
die das äußere Magnetfeld im Innern des Supraleiters kompensieren, geben dem Leiter ein
magnetisches Moment m r r
(bzw. eine Magnetisierung M m
r = V , V ist dabei das Volumen der
Probe). Diese Magnetisierung entspricht der eines idealen Diamagneten mit der Suszeptibilität
μ0M
χ = = −1 B .
Der Unterschied der oben beschriebenen Supraleiterarten 1 und 2 wird besonders deutlich,
betrachtet man die jeweiligen Magnetisierungen als Funktion eines äußeren Magnetfeldes B a . Eine
gleichwertige Aussage liefert selbstverständlich die Betrachtung des Magnetfeldes im Inneren des
Supraleiters in Abhängigkeit von B a .
So kann aus dem oben abgebildeten Verlauf (Abb.l-1) ersehen werden, daß bei einem Supraleiter
1. Art das Magnetfeld im Inneren durch den Abschirmstrom bis zum Erreichen eines kritischen
9

Feldes Β c gleich Null ist. Dies gilt natürlich nicht exakt bis zur Oberfläche der Probe, was
bedeuten würde, daß das Magnetfeld an dieser Stelle unstetig vom Wert Β a auf Null springen
würde. Die Abschirmströme fließen in einer dünnen Oberflächenschicht der Dicke λ (Londonsche
Eindringtiefe).
Anders verhalten sich Supraleiter 2. Art. Bei steigendem Magnetfeld zeigt auch dieser zuerst eine
völlige Verdrängung im Inneren. Bei einem Wert Β c1 beginnt allerdings das äußere Feld
einzudringen, wodurch die Magnetisierung des Supraleiters bei weiterer Erhöhung der Feldstärke
monoton abfällt, bis sie bei einem Wert Β c2 schließlich gleich Null ist. Hierbei werden B c1 und Β c2
auch als das obere und untere kritische Feld bezeichnet.
Eine phänomenologische Beschreibung der Beziehungen zwischen den Feldern Β c1 , Β c2 und Β cth
liefert die sogenannte GLAG-Theorie (benannt nach den Wissenschaftlern, die diese Theorie
entwickelten: Ginsburg, Landau, Abrikosov und Gorkov). Hierbei spielen die Begriffe der
Eindringtiefe λ und der Kohärenzlänge ξ GL , eine wesentliche Rolle.
Wie oben bereits erwähnt kann das Magnetfeld nicht unstetig an der Probenoberfläche auf Null
abfallen, da sonst eine unendlich hohe Stromdichte an der Oberfläche erforderlich wäre. Als
Eindringtiefe λ wird nun die Länge bezeichnet, bei der das Magnetfeld auf den e-ten Teil abfällt.
Die experimentell beobachtete Temperaturabhängigkeit wird sehr gut angenähert durch: [4]
λ
λ
( T )
( 0)
⎛
⎜ ⎛
= 1−
⎜
⎜
⎝ ⎝
T
T c
⎞
⎟
⎠
4
⎞
⎟
⎟
⎠
−1
2
Die sog. Ginsburg-Landau Kohärenzlänge ξ GL hingegen beschreibt eine charakteristische Länge,
die als minimale Länge auf der die Cooper-Paar-Dichte räumlich variieren kann, betrachtet
werden kann. Das obere kritische Feld Β c2 läßt sich dadurch schreiben als
B
( T )
=
0
c2
2
GL
2πξ
2
Hierbei kann 2πξ ( T ) als minimale Kreisfläche mit dem Radius ( T )
Gl
durch die ein Flußquant Φ 0 = 2,07. 10 -15 Vs [5] fließt. Weiter folgt aus
ξ
GL
( T )
Φ
( T )
0
ξGL
=
1 −T
T
c
ξ GL
2 betrachtet werden,
eine lineare Temperaturabhängigkeit
B
c2
Φ
0
( T ) = ⋅ ( 1−
T T )
2πξ
(0)2
GL
c
10

Nahe der Sprungtemperatur ergibt sich aus der Steigung
dB
dT
c2
Tc
− Φ
=
2 πξ
0
( )
= : S
0 2
GL
T
c
die Kohärenzlänge
ξ
( ) −Φ
[ ] 1 2
0 0
GL
=
2π
S T c
( 0)
Die Kohärenzlänge ξ ist mit der mittleren freien Weglänge l für Niob im Grenzfall l«ξ BCS
verknüpft. [1]
GL
ξ
( 0)
= 39nm⋅l
GL
Der Zusammenhang zwischen dem oberen kritischen Feld eines Supraleiters 2. Art mit dem
thermodynamischen kritischen Feld des entsprechenden Supraleiters (siehe Abbildung 1-1 oben)
stellt sich in der GLAG-Theorie folgendermaßen dar:
B
= 2 ⋅κ
⋅
c2
B cth
Mann nennt den Parameter κ den Ginsburg-Landau-Parameter.
λ
κ =
ξ GL
Er charakterisiert somit den Typ des Supraleiters, 1. Art κ <
1
, 2. Art κ >
2
1
. Stellt man die
2
kritischen Felder als Funktion der Temperatur dar ergibt sich folgendes typisches Phasendiagramm
eines Supraleiters 2. Art (siehe z.B. [4]).
Den Eintritt in die supraleitende Phase, der mit der im Versuch angewandten Widerstandsmessung
beobachtet wird, entspricht dem in die Shubnikov-Phase beim oberen kritischen Feld
Β c2 , da der Widerstand Null wird, sobald sich ein supraleitender Pfad in der Probe ausgebildet hat.
Das untere kritische Feld Β c1 kann z.B. durch Magnetisierungsmessungen bestimmt werden.
ξ GL kann durch eine große Störstellenstreuung, d.h. Verkleinerung der mittleren freien Weglänge,
verkürzt werden. Deshalb sind Supraleiter aus Legierungen meist Typ 2. Art, wohingegen die
meisten Elemente (Pb, In, Α1) 1. Art sind. Eine Ausnahme bildet z.B. Nb, daß an der Grenze zum
1
Typ 2. Art steht, κ ≥ ≅ 1 in wenig gestörten Proben.
2
11

Außer acht gelassen wird bei diesen Überlegungen, daß eine Bewegung der Flußschläuche zu
Dissipation führen kann, wodurch sich ein Widerstand R ≠ 0 auch im supraleitenden Zustand
ergibt.
2.3 Leitfähigkeit von Halbleitern
Das Verhalten der elektrischen Leitfähigkeit eines Halbleiters unterscheidet sich wesentlich von
dem eines Metalls. Bei einer Betrachtung der elektronischen Eigenschaften von Halbleitern
müssen diese jedoch zuerst genauer spezifiziert werden.
Als intrinsisch werden reine Halbleiter bezeichnet (z.B. reines Silizium), im Unterschied zu
extrinsischen, die größere Mengen von Fremdatomen enthalten. Eine solche „Verschmutzung"
beeinflußt das elektrische Verhalten wie wir sehen werden sehr stark.
Leitfähigkeit intrinsischer Halbleiter
Das Bänderschema eines intrinsischen Halbleiters ist (bei Τ=0) durch ein vollbesetztes
Valenzband und ein leeres Leitungsband charakterisiert. Die dazwischen liegende Bandlücke
beträgt bei Silizium ca. 1,1 eV. Bei endlichen Temperaturen besteht immer eine
nichtverschwindende Wahrscheinlichkeit, daß einige Elektronen aufgrund ihrer thermischen
Energie k B T ins Leitungsband „springen" [1]. Die dafür notwendige Energie kann auch durch
Absorption eines Photons erbracht werden (optische Eigenschaften von Halbleitern, siehe z.B.
[1]). Die angeregten Elektronen, die sich dadurch im Leitungsband befinden, hinterlassen sog.
„Löcher" im Valenzband. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Elektron-Loch-Paaren.
Wird nun ein äußeres elektrisches Feld angelegt, so werden Elektronen und Löcher in
entgegengesetzter Richtung beschleunigt. Somit liefern beide Ladungsträgerarten einen Beitrag
12

zur Leitfähigkeit, wobei sich die unterschiedlichen Ladungen und die entgegengesetzten
Richtungen kompensieren, so daß beide zum Stromfluß beitragen [1].
Die gesamte Leitfähigkeit kann somit als Produkt der Einzelleitfähigkeiten der Elektronen (e) und
der Löcher (h „hole") aufgefaßt werden.
σ = σ + σ
ges
e
h
bzw.
ges
i
( μ μ )
σ = n e +
e
h
wobei n i ; die Dichte der Elektronen bzw. Löcher pro Einheitsvolumen und μ i ; die entsprechenden
Beweglichkeiten bezeichnet. Die Dichte der Elektronen erhält man aus der Fermi-Dirac-
Verteilung, die unter der Annahme kleiner Dichte und Ε C - Ε F » k B in die Bolzmann-Verteilung
übergeht:
3 2
n = Const ⋅ T ⋅exp
[ − ( E E ) kT ]
c −
F
wobei Ε F die Fermienergie und Ε C die obere Leitungsbandkante bezeichnet. Mit der Beziehung
Ε C - Ε F ≈ Ε g /2 für einen intrinsischen Halbleiter (Ε g : Bandlücke siehe oben) d.h. Ε F liegt etwa in
der Mitte der Lücke, ergibt sich für die Ladungsträgerdichte bzw. die Leitfähigkeit aufgrund der
Elektron-Loch-Paare:
⎡ ⎤
= ⋅
3 2
Eg
ni
Const T exp⎢
− ⎥
⎣ 2kT
⎦
E
σ i = Const ⋅ e e h ⎢
⎣ 2kT
⎡ ⎤
( + ) ⋅
3 2
g
μ μ T ⋅ exp − ⎥ ⎦
Somit resultiert die Temperaturabhängigkeit von σ i ; aus den Temperaturabhängigkeiten der
Übergänge von Elektronen ins Leitungsband und der temperaturabhängigen Beweglichkeiten. Für
letztere erwartet man einen Zusammenhang der Form µ ~ T -3/2 , für Phononenstreuung. Diese
Temperaturabhängigkeit wird aber bei intrinsischen Halbleitern von iner expotentiellen n(T)-
Abhängigkeit überlagert. Dies führt schließlich zu der folgenden Form der Leitfähigkeit
intrinsischer Halbleiter:
⎡ Eg
σ i = Ci
⋅ exp⎢
−
⎣ 2kT
Das bedeutet, daß sich σ i ; bei steigenden Temperaturen asymptotisch an C i ; annähert.
⎤
⎥
⎦
13

Leitfähigkeit extrinsischer Halbleiter
Durch Zugabe kleiner Mengen geeigneter Fremdatome kann die Leitfähigkeit eines Halbleiters
stark erhöht werden. Dabei werden zu den Halbleiterelementen der IV. Hauptgruppe (Silizium
und Germanium) entweder Elemente der ΙΙΙ. Hauptgruppe (z.B. Bor, Indium) oder Elemente der
V. Hauptgruppe (z.B. Arsen, Phosphor) beigegeben.
Als n-dotierte oder n-leitende Halbleiter werden hierbei jene benannt, bei denen fünfwertige
Elemente („Donatoren") eingebaut wurden. Dabei nehmen vier der Außenelektronen an der
kovalenten Bindung des Siliziumkristalls teil und das fünfte bleibt schwach am Fremdatom
gebunden. Diese schwach gebundenen Elektronen liegen im Bandschema sehr dicht unterhalb des
Leitungsbands (in den sogenannten Donatoren-Niveaus). Durch Zuführung der Energie Ε α kann
ein solches Elektron an das Leitungsband abgegeben werden. Dies geschieht bereits bei geringer
thermischer Anregung (bei Si:P Ε d ≈ 0,045eV).
Bei sogenannten p-dotierten (oder p-leitenden) Halbleitern werden dreiwertige Fremdatome
(„Akzeptoren") eingebaut, was dazu führt, daß bei der Bindung im Kristall eine Leerstelle
entsteht. Diese ist an den Akzeptor gebunden und darf somit nicht mit einem Loch (siehe oben)
verwechselt werden. Die Akzeptoren-Niveaus liegen nun im Bandschema sehr dicht oberhalb des
Valenzbandes. Durch Aufbringung der Energie Ε a kann nun das Akzeptorniveau Elektronen aus
dem Valenzband aufnehmen, wodurch das Fremdatom ionisiert wird und als negative Störstelle
zurückbleibt. Dies geschieht ebenfalls bereits durch geringe thermische Anregung (für Bor in
Silizium ist Ε a = 0, 036 eV).
Daher muß nun bei der Beschreibung der Leitfähigkeit im Gegensatz zum intrinsischen Halbleiter
noch der Einfluß angeregter Ladungsträger aus den Störstellen hinzukommen. Für die
Beweglichkeit gilt zum einen
μ ~ T
−3
2
als Beitrag durch Phononenstreuung bei hohen Temperaturen, sowie
3
μ ~ T
2
als Beitrag durch Streuung an geladenen Störstellen bei niedrigen Temperaturen. Insgesamt ergibt
sich für
σ = enµ
ein kompliziertes Temperaturverhalten.
14

Die vollständige Temperaturabhängigkeit der Ladungsträgerdichte soll hier am Beispiel eines
n-dotierten Halbleiters erläutert werden. Das folgende Bild zeigt die Elektronendichte im
Leitungsband und die Lage des Fermi-Niveaus als Funktion der reziproken Temperatur [8, 11]:
Abb. 2: Elektronendichte im Leitungsband eines n-Halbleiter (oben) und Lage des Fermi-Niveaus (unten) als
Funktion der reziproken Temperatur.
α- Bereich sehr tiefer Temperaturen: Lage des Fermi-Niveaus durch Störstellen (Donatoren)
bestimmt, Ladungsträgerdichte nimmt exponentiell mit steigender Temperatur, d.h. abnehmender
T -1 , zu.
β− Bereich tiefer Temperaturen: Fermi-Niveau etwa in der Mitte zwischen Leitungsband und
Donatoren-Niveau (E D ), Anstieg der Leitungselektronendichte verringert sich um den Faktor 2.
γ− Raumtemperatur Bereich: Man spricht hier vom Erschöpfungszustand, da alle Störstellen
ionisiert sind.
δ− Bereich hoher Temperaturen: Verhalten wie ein intrinsischer Halbleiter (Eigenleitung).
15

3 Versuchsablauf
3.1 Aufgabenstellung
In diesem Versuch soll sowohl das Temperaturverhalten des elektrischen Widerstandes von
Metallen und Halbleitern als auch der Einfluß eines äußeren Magnetfelds auf den Widerstand
eines Normalleiters und auf die supraleitende Phase untersucht werden.
1. Messung der Temperaturabhängigkeit der elektrischen Widerstände von Kupfer, Niob und
Silizium im Bereich 4Κ - 300Κ.
2. Messung des supraleitenden Übergangs von Nb. Bestimmung der Sprungtemperatur Τ C ohne
äußeres Magnetfeld und in Abhängigkeit des äußeren Feldes.
16

3.2 Versuchsaufbau
Der Aufbau besteht aus den Komponenten Kryostat mit Pumpsystem, Probentank mit
Thermometern, Proben, supraleitendem Magnet und elektronischer Meßeinheit (Stromquellen,
Voltmeter).
3.2.1
4 He-Kryostat
Der Kryostat (Abb. 3, 4) setzt sich aus einem doppelwandigen äußeren Glasdewar zur Aufnahme
von flüssigem Stickstoff und einem doppelwandigen, inneren Glasdewar zusammen. Der innere
Dewar wird mit flüssigem Helium gefüllt und enthält die Probenkammer mit Magnetspule. Den
oberen Abschluß des Heliumdewars bildet ein Glas-Metallübergang (Firma Larson) an den ein
Edelstahldeckel angeschweißt ist. Von diesem aus verzweigt sich die Heliumrückleitung, der
Anschluß der Spulenzuleitung, das Ventil zur Probenkammer, ein Pirani-Meßröhre für den
Probenkammerdruck sowie die Buchse für die elektrischen Meßleitungen. Hier befindet sich auch
der Einlaß für den Helium-Heber.
Zur Evakuierung und Spülung des inneren Dewars, sowie zum Pumpen am Heliumbad und zur
Verbindung mit dem Helium-Rückgewinnungssystem ist der Kryostat mit dem schematisch
dargestellten Pumpenstand verbunden.
17

Im inneren Dewar befindet sich der Edelstahl-Probenbecher. Dieser ist mit einer Indium-
Drahtdichtung He-dicht verschlossen und kann zur thermischen Entkopplung des Probenhalters
vom Heliumbad (Τ = 4,2Κ) über das Edelstahlrohr evakuiert werden. Um die Wärmeeinstrahlung
über das Edelstahlrohr in den Probenbecher möglichst gering zu halten wurde das Rohr am
unteren Ende mit einem Knick versehen. Zusätzlich sind am Rohr zwei Kupfer-Wärmeschilde
angebracht.
Die Zuleitungsdrähte für die Proben, die Thermometer sowie den Heizer befinden sich im Inneren
des Edelstahlrohrs. Dabei handelt es sich um Manganindrähte mit einem Durchmesser von 80 μm.
Μanganin wurde wegen seiner, im Vergleich zu Kupfer, schlechten Wärmeleitung verwendet,
was wiederum den Wärmeeintrag in die Probenkammer vermindert.
Die Zuleitung der Spule liegt außerhalb des Rohrs und besteht bis zum Anschluß an den NbTi-
Draht, der sich ca. 10 cm oberhalb des Probenkammerdeckels befindet, aus flexiblen
Kupferleitungen mit einer Querschnittsfläche von 2,5 mm 2 .
Der Probenhalter (Abb. 5 und 6) besteht aus Cu-Vollmaterial, was ein thermisches Gleichgewicht
zwischen Probe, Heizer und Thermometer gewährleistet. Um eine schwache thermische
Ankopplung an den Probenbecher und damit an das Heliumbad zu haben wurde zwischen dem
Edelstahldeckel des Probenbechers und dem Probenhalter ein Kupferbügel als sog. „weak-link"
angebracht (siehe Abb. 5). Der Durchmesser des Kupferbügels beträgt 1 mm.
21

3.2.2 Die Proben
Verwendet werden folgende drei Proben:
a) Die Kupferprobe wurde aus einem isolierten Draht mit 0,1 mm Durchmesser angefertigt,
der auf einen 3 mm dicken Kupferzylinder aufgewickelt wurde. Der spezifische
Widerstand bei 291 Κ wird in der Literatur [6] mit ρ = 0, 017 - 10 -6 Ωm angegeben. Die
Kontakte für die 4-Punkt-Messung (siehe 3.6) wurden an den Drahtenden angelötet.
b) Die in Abb. 6 gezeigte Niobprobe besteht aus einem ca. 13,5 cm langen isolierten Nb-
Draht. Laut Herstellerangaben (Alfa, Karlsruhe) beträgt der Kerndurchmesser 0,05 mm
und die Dicke der Isolierschicht 0,023 mm. Der Draht wurde auf einen 3 mm dicken
Kupferträger aufgewickelt. Die Kontakte für die 4-Punkt-Messung (siehe 3.6) wurden an
den Drahtenden gelötet. Folgende Angaben über Sprungtemperatur und kritisches
Magnetfeld sind Literaturwerte [7]:
Sprungtemperatur: Τ c = 9,2 Κ
Oberes kritisches Magnetfeld bei Τ = 0 Κ: Β c2 (0) = 0,198 Τ
WICHTIG: Die in Abb. 6 gezeigte Niobprobe wurde zwischenzeitlich ausgetauscht gegen
eine aufgedampfte Niobschicht mit den Abmessungen: BxLxD = 0,9 mm x 8 mm x 40 nm
c) Bei der Halbleiterprobe handelt es sich um Ρ-dotiertes (n-leitendes) Silizium (Si:P). Die
Konzentration beträgt n ≅ 2,8 ⋅ 10 18 cm -3 . Die Kontakte bestehen aus Golddrähten, die an
die Probe mit Leitsilber geklebt wurden. Anordnung der Kontakte und Abmessungen siehe
Abb. 7. Die Siliziumprobe wurde auf Kaptonfolie aufgeklebt, um sie gegen den
Probenhalter elektrisch zu isolieren.
3.2.3 Heizer
Für den Heizer (siehe Abb. 5) wird ein Dehnungsmessstreifen verwendet. Der Widerstand des
Heizers beträgt bei Raumtemperatur 350 Ω. Er wird mit Hilfe eines Heizreglers betrieben, der
speziell hierfür in der elektrischen Werkstatt angefertigt wurde. Dieser Heizregler besteht aus
22

einem Proportionalregler und einem vorgeschalteten Kompensator, der die Spannung des
Kohlethermometers mit einem vorgegebenen Sollwert vergleich (siehe Abb. 8).
3.2.4 Thermometer
Bei der Temperaturmessung kommt, wie bei der supraleitenden Spule, eine Eigenschaft zum
tragen, die selbst Gegenstand des Versuches ist: Die Temperaturabhängigkeit des elektrischen
Widerstandes. Nach Messung des Temperaturverlaufs R(Τ) kann demnach aus der Bestimmung
des Widerstands die zugehörige Temperatur bestimmt werden. Diese Kalibrierung ist an den
vorhandenen Widerstandsthermometern vorgenommen worden. Die Tabelle der Eichpunkte ist im
Anhang wiedergegeben. Zur Messung über 4-300 Κ werden die unten beschriebenen Platin- bzw.
Kohlethermometer verwendet.
Das Platinthermometer (Pt100) besitzt bei Raumtemperatur einen Widerstand von ungefähr 100 Ω
und verhält sich im Wesentlichen bis ungefähr 50 Κ linear (siehe Abb. 9, vgl. Widerstandsverlauf
von Metallen, Kapitel 2.1). Um beliebige Zwischenwerte auszuwerten, empfiehlt sich folgende
lineare Interpolation.
Im linearen Bereich (Τ > 60 Κ)
Werte der linearen Regression:
A
B
1
1
=
=
( K ) = A B ( Ω)
T +
1 1R
( 31.
95 ± 0.
1083)
K
( 2.
353±
0.
005896) K Ω
Im Bereich von 30 Κ - 60 Κ:
2 3
( K ) = A + B R + C R D R R Ω
T +
2 2 2 2 in
23

A
B
C
D
2
2
2
2
= 16.
61 K
= 6.
262 K Ω
= −0.
3695 K
= 0.
01245 K
Ω
Ω
2
3
Dies zeigt, daß die Empfindlichkeit des Platinthermometers bei kleiner werdenden Temperaturen
abnimmt. Es empfiehlt sich also ab einer Temperatur von ca. 30 Κ auf das Kohlethermometer
überzugehen. Um Anschlußfehler zu erkennen und auszugleichen, sollte jedoch in einem
Übergangsbereich die Temperatur mit beiden Widerständen bestimmt werden.
Das Kohlethermometer zeigt ein mit fallender Temperatur anderes Verhalten. Besonders bei
Temperaturen unter 10 Κ steigt der Widerstand stark an, was eine genaue Temperaturmessung in
diesem Bereich ermöglicht. Folgende hyperbolische Spline-Funktion lieferte die beste
Annäherung an die Meßpunkte.
ln
[ T( K )]
=
A3
⋅ln
B + ln
3
( R)
( R)
C
+
D
3
3
⋅ln
+ ln
( R)
( R)
A
B
C
D
3
3
3
3
= 1.116
= −4.374
= −1231
= 9947
Bei tiefen Temperaturen (Τ < 10 Κ) ist die durch den großen Widerstand bedingte Joulesche
Wärme Ρ = RI 2 sehr groß. Daher sollte der Meßstrom möglichst gering gehalten werden, um ein
unnötiges Erwärmen des Thermometers zu vermeiden. D.h. bis zur Temperatur des flüssigen
Stickstoffs kann Ι TH = 1 mA betragen, sollte aber später auf 10-100 μΑ reduziert werden.
Nachfolgend ist das durch die Kalibrierung ermittelte Widerstands-Temperatur-Verhalten beider
verwendeter Thermometer abgebildet:
24

3.2.5 Supraleitende Spule
Der Aufbau der Spule ist im Wesentlichen von folgenden Bedingungen bestimmt: Die Stärke des
Magnetfeldes soll maximal ca. 0.5 Tesla betragen und der dafür notwendige Strom darf keine
Joulesche Wärme erzeugen, da sonst sofort das Heliumbad abdampfen würde. Diese
Voraussetzungen machen eine supraleitende Spule notwendig. Des weiteren sollte die
maßgebliche Feldstärke in einem ausreichend großen Bereich innerhalb der Meßzelle nahezu
25

homogen sein. Daher fiel die Dimensionierung so aus, daß die Spule die entsprechenden Proben
um einige Zentimeter überragt.
Als supraleitendes Material wurde NbTi-Draht (Durchmesser: 0,223 - 0,229 mm) verwendet. Dies
zeichnet sich durch eine Sprungtemperatur Τ C = 10 Κ und einem kritischen Stom von Ι C = 52 Α
bei 1 Τ aus (Angabe des Herstellers Vakuum-Schmelze, Hanau). Der Draht wurde auf einen
Aluminiumträger aufgewickelt. Trotz der vorhandenen Lackisolation des Drahtes wurden die
einzelnen Schichten sicherheitshalber mit Wachs vergossen.
Die resultierende Magnetfeldstärke ergibt sich aus:
B = µ
Daten der verwendeten Spule:
n = 4019 Windungen
1 = 10 cm Spulenlänge
0
n
⎛
⎜ x + l 2 x − l 2
I
−
2l
⎜ 2
⎝ r +
l
2 2
2
( x + l 2) r + ( x − 2) ⎟⎟ ⎠
r = r 2 – r 1 = (1,75 - 2,1) cm = 1,925 cm (Mittlerer Radius der einzelnen Lagen)
Als Stromquelle wird ein Netzteil mit einem maximalen Ausgangsstrom von 16 Α verwendet.
⎞
3.2.6 Die Meßmethode
Um eine möglichst genaue Messung zu gewährleisten und die Ergebnisse nicht durch die Beiträge
der Zuleitungen zu verfälschen, werden die Widerstände mit der sogenannten 4-Punkt-Messung
bestimmt. Dabei werden die zu messenden Widerstände mit vier Zuleitungen wie abgebildet
26

kontaktiert. Die Proben werden von einem durch die Stromquellen (Knick DC-Calibrator J152)
vorgegebenen Strom Ι durchflossen. Mit dem Spannungsabfall U an der Probe ergibt sich mit R =
U/Ι der Widerstand R. Der Probenstrom beträgt üblicherweise 1 mA (siehe dazu Kapitel 3.3
Versuchsdurchführung).
Abb. 12: Rechts: Schaltplan der Proben. Links: Schaltplan der Thermometer. Umschalter für wahlweise
Temperaturmessung mit dem Platinthermometer Pt 100 bzw. mit dem Kohlethermometer.
3.3 Versuchsdurchführung
3.3.1 Abkühlen des Kryostaten
1. Funktionsweise der Widerstands- und Temperaturmessung:
Zunächst werden die Widerstandswerte der Proben und Thermometer bei Raumtemperatur
kontrolliert. Als Richtwerte sollten bei Raumtemperatur gemessen werden:
R Kupfer
= 2,14 Ω
R Niob = 57,48 Ω
R si
= 0,078 Ω
R Pt100 = 105 Ω
R C
= 210 Ω
2. Evakuieren des Helium-Dewars und des Probentanks:
Zuerst wird die Doppelwand des inneren Helium-Dewar mit Hilfe einer Vorpumpe über
den Glashahn evakuiert. Dabei ist eine zu große mechanische Belastung des Glashahns zu
vermeiden. Die Pumpe sollte ewta 15 bis 20 Minuten laufen. Danach wird der Glashahn
geschlossen und die Pumpe ausgeschaltet.
Ebenso wird nun der Probentank bis ≤ 0,1 mbar evakuiert. Der Druckverlauf wird mit
Hilfe einer Pirani-Vakuummeßröhre gemessen.
3. Spülen des Dewar-Innenraums:
Das Innere der Helium-Dewars wird ebenfalls mit der Vorpumpe evakuiert. Der Druck
kann an einem Manometer kontrolliert werden. Ändert sich dieser nicht mehr, wird das
Dewar über die Heliumpumpe mit Heliumgas aus dem Rückgewinnungssystem (Ventil D
öffnen) gespült. Dieser Vorgang wird dreimal durchgeführt. Anschließend bleibt das
Helium-Dewar mit dem Rückgewinnungssystem in Verbindung.
27

4. Befüllen des Kryostaten mit flüssigem Stickstoff:
Zunächst wird flüssiger Stickstoff nur in kleinen Mengen eingefüllt, bis die Glaswände
sich der Temperatur des flüssigen Stickstoffs angepaßt haben. Dann wird soweit
aufgefüllt, bis der Flüssigkeitsspiegel sich im oberen Bereich befindet. Gegebenenfalls
wird nach einiger Zeit Stickstoff nachgefüllt, um dieses Niveau zu halten. Die Kühlung
des Probentanks auf Temperatur von flüssigem Ν 2 (77 Κ) dauert ungefähr 2 bis 3 Stunden.
Während dieser Zeit können Meßwerte der Proben und des Thermometers in nahezu
thermischem Gleichgewicht aufgenommen werden, da der Abkühlvorgang wegen der
großen spezifischen Wärme des Probentanks in diesem Temperaturbereich sehr langsam
erfolgt. (Siehe Kapitel 3.3.2 Messung).
5. Abkühlen auf Heliumtemperatur:
Sobald die Temperatur der Proben auf ungefähr 80 - 90 Κ gesunken, ist kann mit dem
Einfüllen des flüssigen Heliums begonnen werden. Es ist darauf zu achten, daß die
Heliumkanne mit dem Rückleitungssystem in Verbindung ist und die entsprechenden
Hähne geöffnet sind. Dann wird zuerst der Heber in den dafür vorgesehenen Einlaß (siehe
Skizze des Kryostaten) und in die Heliumkanne gebracht. Dieser Vorgang sollte unter
Mitwirkung eines Assistenten vorgenommen werden. Hierbei ist darauf zu achten, daß,
wie beim späteren Abkoppeln, die Öffnungen des Kryostaten und der Heliumkanne nicht
unnötig lange offen stehen.
Nun wird die Rückleitung an der Heliumkanne abgesperrt und das Ventil D geöffnet.
Mittels eines Gummiballs an der Kanne kann dann leichter Überdruck auf die
Heliumkanne gegeben werden. Dabei sollte am Barometer der Helium-Abgasleitung kein
Überdruck entstehen.
Daß zu Beginn die Temperatur des Probenhalters etwas ansteigt, sollte nicht verwundern,
da zuerst der Heber von Raumtemperatur bis auf Helium-Temperatur abgekühlt werden
muß.
Helium sollte so lange eingefüllt werden, bis der Pegel ungefähr 15 cm über dem Deckel
der Meßzelle liegt.
28

3.3.2 Messungen
1. Widerstandsverhalten bis ungefähr 85 Κ (siehe Abkühlen des Kryostaten):
Während des Kühlens mit Stickstoff kann die Temperatur mit dem Platinthermometer
bestimmt, und Widerstandswerte aller drei Proben aufgezeichnet werden. Es empfiehlt
sich eine Schrittweite von 1 mV (dies entspricht etwa 2,5 Κ). Während dieses Vorgangs
ist besonders auf das Widerstandsminimum der Halbleiterprobe zu achten (siehe Kapitel 5
Ergebnisse und Diskussion).
2. Nach dem Einfüllen des flüssigen Heliums sind weitere Meßwerte der Proben
aufzunehmen. Dabei ist darauf zu achten, daß sich die Temperatur nicht zu schnell ändert,
damit die Messungen in thermischem Gleichgewicht zwischen Proben und Thermometer
geschehen. Ab einer Temperatur von ca. 30 Κ ist das Kohlethermometer zu benutzen.
3. Messung der Sprungtemperatur T C und des oberen kritischen Magnetfelds Β C2 (Τ) von Nb.
Um das kritische Magnetfeld des Supraleiters zu bestimmen empfiehlt sich folgendes
Vorgehen:
Hierzu wird mit Hilfe des Plotters U Nb (U C-Thermometer ) aufgetragen.
Χ-Achse (U C-Thermometer ): 10 mV/cm
Y-Achse (U Nb ): 0,1 mV/cm
i
ii
iii
Magnetfeld konstant halten (I Spule : 0 / 1,5 / 3 / 4,5 / ... 15 Α).
Temperatur von ca. 10 Κ langsam durch Abnahme des Heizstroms absenken.
Dabei Widerstandsverlauf auftragen und nach beobachtetem Sprungpunkt den
Schreiber in den Stand-By-Modus setzen.
Temperatur wieder über 10 Κ erhöhen und Magnetfeld erhöhen.
Dabei ist darauf zu achten, daß sich die Spule ganz im Heliumbad befindet, damit der
NbTi-Draht der Spule supraleitend bleibt. (Sprungtemperatur des NbTi-Drahtes: ca. 10 Κ).
4. Beim Hochheizen von Badtemperatur mit Hilfe des Heizreglers konstante Temperaturen
einstellen und weitere Meßpunkte der Proben aufnehmen, bis sich die
Widerstandsverläufe an die Daten der Messung während des Abkühlens anschließen.
29

4 Auswertung
1. Auftragung des Widerstandsverlaufs R(Τ) aller Proben.
2. Bestimmung des linearen R(T)-Anstiegs bei Kupfer und Niob, der Debye-Temperatur Θ und
des Widerstands R(Θ) (Beziehung nach Grüneisen-Borelius).
Auftragung des Widerstands dieser Proben in reduzierten Einheiten R(Τ) / R(Θ) über Τ / Θ
in einem Schaubild.
Qualitative Erklärung der drei Widerstandsbereiche für Metalle.
Bestimmung des spezifischen Widerstände ρ und der mittleren freien Weglängen.
3. Bestimmung der Sprungtemperatur bei Nb und Auftragung des oberen kritischen
Magnetfelds B c2 (Τ). Berechnung der Kohärenzlänge ξ GL (0) der Ginsburg-Landau Theorie
und der mittleren freien Weglänge l.
4. Auftragung von 1n(σ) über 1/T des Halbleiters und Bestimmung der
Aktivierungsenergie E 2 .
30

Literaturverzeichnis
[1] M.N.Rudden, J.Wilson: Elementare Festkörperphysik und Halbleiterelektronik, Spektrum
Akademischer Verlag, Heidelberg, 1995
[2] Η. Ibach, Η. Lüth: Festkörperphysik, Einführung in die Grundlagen, Springer Verlag,
Berlin 1995
[3] Ε. Grüneisen: Ann. Phys. 16, 530 (1933)
[4] Werner Buckel: Supraleitung, VCH Verlagsgesellschaft mbH, Weinheim 1990
[5] C. Weißmantel, C. Hamann: Grundlagen der Festkörperphysik, Johan Ambrosius Barth
Verlag, Leipzig, 1995
[6] C. Gerthsen, Η. Vogel: Physik, Springer Verlag, Heidelberg 1993
[7] C. Kittel: Einführung in die Festkörperphysik, Oldenburg Verlag, München, Wien, 1996
[8] Ν. W. Ashcroft, Ν. D. Mermin, Solid State Physics, Saunders College, Philadelphia 1976
[9] Η. W. Weber, F. Seidl, C. Laa, Ε. Schachinger, M.Prohammer, Α. Junod and D. Eckert,
Phys. Rev Β44, 7585 (1991)
[10] X. Liu, Α. Sidorenko, S. Wagner, Ρ. Ziegler, and Η. v. Löhneysen, Electronic Transport
Processes in Heavily Doped Uncompensated and Compensated Silicon as Probed by the
Thermoelctric Power, Phys. Rev Volume 77, Number 16 (1996)
[11] S. Hunklinger: Festkörperphysik. Skript zur Vorlesung, Universität Heidelberg, SS2002
31

Anhang
1. Widerstandsverlauf des Platinthermometers Pt100:
Τ [Κ]
R [Ω]
Τ [Κ]
R [Ω]
Τ [Κ]
R [Ω]
4,l969 0,614152
5,l972 0,616699
6,0428 0,619724
6,3l12 0,620902
7,3l14 0,627153
8,3l15 0,635169
9,3118 0,646049
10,312 0,660735
1l,313 0,679611
12,313 0,703275
13,314 0,732133
14,314 0,766929
15,3l6 0,807933
16,3l9 0,855921
17,3l9 0,911066
18,320 0,974301
19,32l 1,045832
20,321 1,126558
2l,321 1,216931
22,321 1,317078
23,32l 1,428459
24,32l 1,550910
25,32l 1,685568
26,322 1,832361
27,322 1,992102
28,322 2,165915
29,323 2,352521
30,324 2,543490
32,325 2,959168
33,325 3,182836
34,325 3,417365
35,325 3,662905
36,325 3,916725
37,325 4,181210
38,325 4,455549
39,325 4,738737
40,325 5,030435
41,325 5,330345
42,325 5,639259
43,325 5,956463
44,325 6,271128
45,325 6,598959
46,326 6,934301
47,328 7,274299
48,329 7,622393
49,329 7,975537
50,329 8,333793
5l,330 8,697774
52,331 9,064351
53,331 9,437255
54,331 9,813915
55,331 10,19567
56,334 10,58137
57,335 10,96938
58,338 11,36207
59,338 11,75677
61,338 12,55194
62,338 12,95719
63,338 13,36312
64,339 13,77086
65,339 14,18045
66,339 14,59313
67,339 15,00912
68,339 15,42421
69,339 15,84123
70,340 16,26360
71,340 16,68202
72,340 17,10782
73,340 17,53204
74,340 17,95427
75,340 18,38526
76,342 18,81591
77,173 19,17015
78,173 19,59876
79,l73 20,03026
80,173 20,46563
8l,174 20,98950
82,174 21,33042
83,174 21,76798
84,174 22,20685
85,l75 22,64636
86,175 23,08420
87,175 23,52568
88,l75 23,96395
31,325 2,745608
60,338 12,15226
32
89,176 24,40816

2. Widerstandsverlauf des Kohlethermometers:
Τ [Κ]
R [Ω]
Τ [Κ]
R [Ω]
1,7001 51798,54
1,9002 32561,97
2,1002 22249,31
2,3004 16170,51
2,5004 12309,85
2,7004 9736,681
2,9109 7529,325
2,9980 7228,583
3,1989 6085,077
3,3990 5228,031
3,5990 4557,442
3,7994 4022,661
3,9994 3592,846
4,1995 3238,647
4,3996 2945,176
4,5997 2698,205
4,7999 2487,494
4,9999 2307,390
5,l999 2150,963
5,4002 2014,607
5,6002 1894,938
5,8004 1789,242
6,0004 1695,420
5,9974 1696,954
6,4982 1501,218
6,9983 1350,575
7,4983 1230,492
7,9984 1133,255
8,4985 1052,743
8,9988 985,1456
9,4990 927,9371
10,001 878,6352
10,003 878,4474
12,503 710,2549
15,004 611,8741
17,504 547,1498
20,004 501,0436
22,504 466,1555
25,005 438,7639
27,505 416,3541
30,006 397,7308
32,506 382,5792 Ι
35,006 369,6339
37,506 358,3591
40,007 348,4999
42,507 339,7591
45,009 332,1488
47,509 325,0906
33

3. Strom-Magnetfeldstärke Zusammenhang der supraleitenden Spule:
I spule [Α]
Β [Τ]
1,5 0,071895
3 0,14379
4,5 0,215685
6 0,28758
7,7 0,359475
9 0,43137
10,5 0,503265
12 0,57516
13,5 0,647055
15 0,71895
34