Gitterschwingungen

Gitterschwingungen
Fortgeschrittenen-Praktikum (FP oder P III)
Institut für Angewandte Physik
Allgemeine Vorbemerkung: Mehrere der Versuche im FP des Instituts für Angewandte
Physik zielen auf das Verständnis verschiedener Effekte und Phänomene aus dem Bereich
Halbleiterphysik in Übereinstimmung mit der Hauptarbeitsrichtung des Instituts und der
Anwendung in der Industrie, wie z.B. die Versuche pn-Übergang, Solarzelle, Halleffekt,
Lumineszenzspektroskopie, Photoleitfähigkeit oder Halbleiterspektroskopie. Die Mehrzahl
der Studierenden führt die Versuche zum FP im 5. oder 6. Semester durch. Das ist im
Hinblick auf die Dauer des Studiums sinnvoll, hat aber das Problem, dass die
Festkörperphysik (Physik V) oft erst im gleichen Semester gehört wird, sodass insbesondere
zu Beginn dieses Semesters noch kaum Festkörperkenntnisse vorliegen. Dieses Problem
sollen die nachfolgenden Ausführungen beheben. Der Aufbau ist folgendermaßen:
Die Kenntnis der hier dargestellten Grundlagen ist Voraussetzung für die sinnvolle
Durchführung des Versuchs und wird in der Besprechung vor Versuchsbeginn mit dem
Assistenten überprüft. Der Text der Vorbereitung soll selbst verfasst sein, kurz auf die
Grundlagen und auf die zu Beginn des Aufgabenblattes gestellten Fragen eingehen. Es ist
nicht nötig, den ganzen Text aus der Vorbereitungsmappe abzuschreiben oder zu kopieren. Es
ist verboten, Vorbereitungstexte „alter Meister“ aus dem Netz auszudrucken, da der
Lerneffekt dieses Verfahrens Null ist und die Texte im Netz erfahrungsgemäß mit Fehlern
behaftet sind.
Einleitung
In diesem Versuch werden die Eigenschaften von Schwingungen in einem Gitter an Hand
eines mechanischen Modells untersucht. Von Gitterschwingungen spricht man, wenn die
Ruhelagen der Massen ein periodisches Punktgitter bilden. Ein bekanntes Beispiel sind
Festkörpergitter, deren Atome oder Moleküle um ihre Gitterpositionen schwingen. Die
Normalschwingungen eines solchen Systems können als Quasiteilchen mit (Quasi-) Impuls
Ñ k und Energie Ñω betrachtet werden mit dem Wellenvektor k und der Kreisfrequenz ω der
Normalschwingung. Sie heißen Phononen.
Der Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz ω und dem Wellenvektor k wird als
Dispersionsrelation ω(k) bezeichnet. Alle wesentlichen Eigenschaften der
Gitterschwingungen lassen sich hieraus ableiten.
Im Versuch wird die Dispersionsrelation eines eindimensionalen Modellkristalls bestimmt.
Die Kristallatome sind durch Gleiter realisiert, die sich auf einer Luftkissenschiene bewegen.
Die Kräfte zwischen den „Atomen“ werden durch Zugfedern zwischen den Gleitern simuliert.
Auf der Luftkissenschiene befinden sich insgesamt 12 Gleiter. Das Modell repräsentiert somit
die longitudinalen Schwingungen einer linearen Kette von 12 Atomen.
Massen, Wellenlängen und Schwingungsfrequenzen haben im Modellkristall Werte im
Bereich kg, Meter und Hertz. In einem echten Atomkristall liegen diese Werte im Bereich
Zeptogramm, Mikrometer und Terahertz. Trotz dieser sehr großen Unterschiede wird die
Dispersionsrelation atomarer Gitterschwingungen sehr gut wiedergegeben.
1

1. Kristallstruktur
Wir betrachten zunächst und im Folgenden, soweit nicht anders vermerkt, kristalline
Festkörper, die sich durch eine räumlich periodische Anordnung der Atome auszeichnen. Die
(primitive) Einheitszelle wird aufgespannt durch drei nicht koplanare Basisvektoren a r i. Eine
Translation, die den Kristall in sich selbst überführt, lässt sich schreiben als
R r =
3
∑
i=
1
ni
a r i
mit n i =0, ±1, ±2,… (1)
Die a r
i spannen ein abstraktes Punktgitter im Ortsraum auf, das sog. Kristallgitter. Die
Kristallstruktur besteht aus diesem abstrakten Punktgitter und der sog. Basis, die angibt, an
welchen Plätzen in der Einheitszelle die einzelnen Atome sitzen. Es können unterschiedliche
Kristallstrukturen für das gleiche Punktgitter auftreten, so haben z.B. Diamant, Zinkblende
oder Kochsalz ein kubisch flächenzentriertes Punktgitter, aber durchaus unterschiedliche
Kristallstrukturen.
Neben dem abstrakten Punktgitter im Ortsraum definiert man ein Punktgitter im reziproken
Raum, das sog. reziproke Gitter, aufgespannt durch die Vektoren b r i mit
b r 2π
r r
= a 2 × a3
1
VEZ
sodass gilt:
r
a
i ⋅b j
und zyklisch, (2)
r
= 2πδij
. (3)
Dabei ist V EZ das Volumen der Einheitszelle im Ortsraum. Ein Translationsvektor G r im
reziproken Gitter schreibt sich somit
r
G =
3
∑
i=
1
r
h i
b i
mit h i =0,±1,±2,… (4)
Man definiert im reziproken Gitter sogenannte Brillouin-Zonen (BZ). Die erste Zone besteht
aus allen Punkten des reziproken Raumes, die dem Ursprung (dem sog. Γ-Punkt) näher liegen
als allen anderen Punkten G r .
Für eine einfache kubische Kristallstruktur mit der Gitterkonstanten a erstreckt sich die erste
BZ in alle drei Richtungen des reziproken Raumes von
π
− ≤
a
ki
≤
π
a
i=x,y,z (5)
2

2. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit, Dispersion von Wellen
Eine Welle ist charakterisiert durch Kreisfrequenz ω und Wellenvektor k bzw. Frequenz ν
und Wellenlänge λ. Sie besitzt die Phasengeschwindigkeit
ω
v ph = = λν , (6)
k
und ein Wellenpaket die Gruppengeschwindigkeit
v gr
dω
= . (7)
dk
Ein einfacher Fall ist die
elektromagnetische Welle im Vakuum,
bei der gilt:
Kreisfrequenz ω
Elektromagnetische Welle im Vakuum
lineare Dispersion ω = c k
ω dω
= = c
k dk
(ω 1
,k 1
)
Δ ω
ω = c k.
ω wächst linear in k. In diesem Fall
fallen Phasengeschwindigkeit und
Gruppengeschwindigkeit zusammen und
sind gleich der Porportionalitätskonstante
c
ω 1
k 1
Δ k
ω 1
Δ ω
=
k 1
Δ k
Wellenvektor k
ω dω
v ph ≡ = vgr
≡ = c .
k dk
Die Propagation von Wellen durch Materie hebt die Linearität zwischen ω und k auf. Die
Folge ist das Auftreten von Dispersion: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit werden
abhängig von der Frequenz bzw. von der
Wellenlänge. Insbesondere unterscheiden
Nichtlineare Dispersion
sie sich :
v = v ( ω)
≠ v = v ( ω)
.
ph
ph
gr
gr
(ω 1
,k 1
)
dω
dk
k 1
Normalerweise ist die Gruppengeschwindigkeit
kleiner als die
Phasengeschwindigkeit, v < v
(« normale Dispersion »).
gr
ph
ω 1
Kreisfrequenz ω
ω(k)
Δ k
Δ ω
ω 1
k 1
>
Δ ω dω
Δ k
=
dk
k 1
k 1
Wellenvektor k
Die Funktion ω = f(k) heißt Dispersionsrelation oder Dispersionsbeziehung. Die
Gruppengeschwindigkeit entspricht der Steigung der Dispersionskurve.
3

3. Stehende Wellen: Schwingungsmoden und Wellenvektor
3.1 Kontinuierliche Massenverteilung (schwingende Saite)
Im Folgenden betrachten wir eindimensionale Systeme. Ein eindimensionaler Strang mit
kontinuierlicher, homogener Massenverteilung sei zwischen feste Enden mit Abstand L
eingespannt. Der Strang sei dehnbar und ist
somit schwingungsfähig. Auf Grund der
L
Kontenbedingung am Rand sind nur stehende
Wellen möglich. Dabei muss eine ganzzahlige
Anzahl n von Schwingungsbäuchen in die
Länge L eingepasst werden.
n = 1 n = 3
λ
!
n ⋅ = L,
n = 1,2, ... ∈ N . (8)
2
Es sind also nur die Wellenlängen λ n = 2L/n
möglich.
Die zugehörigen Wellenvektoren sind
n = 2
k
n
2π = =
λ
n
nπ
L
(9)
Die zu jeder Welle λ n gehörenden Frequenzen ω n heißen Eigenfrequenzen, n heißt auch
Modenzahl und man spricht von der n-ten Eigenschwingung, der n-ten Mode oder der n-ten
Eigenmode.
Die Zahl der Eigenfrequenzen ist im Idealfall eines unendlich dünnen Strangs unbegrenzt.
Denn ein beliebig dünner Strang kann auf beliebig kleinen Strecken gedehnt werden, so dass
beliebig kleine Wellenlängen möglich sind.
3.2 Diskontinuierliche, diskrete Massenverteilung
Wir denken uns die Masse des eindimensionalen Strangs zu diskreten Punktmassen
zusammengezogen, die zunächst einen festen Abstand a voneinander haben.
Bei einem physikalischen Gitter muss nun die Wechselwirkung zwischen den diskreten
Massen derart sein, dass a gerade der sich von selbst einstellende Gleichgewichtsabstand ist.
In diesem Fall können die Massen um ihre Gleichgewichtspositionen schwingen. Eine
derartige Reihe von miteinander gekoppelten Massepunkten heißt lineare Kette.
Bei festen Enden sind wieder nur stehende Wellen möglich, für die die gleiche Knotenrandbedingung
gilt wie zuvor. Die Auslenkung ist jedoch nur noch an den Stellen der
Massepunkte, d.h. an diskreten Koordinatenpunkten definiert. Dazwischen existiert keine
Materie, so dass die „Auslenkung“ der Welle zwischen den Massepunkten lediglich eine
mathematische Konstruktion darstellt. Das hat zur Folge, dass zu jeder möglichen Welle mit λ
a
4

2a eine langwellige Welle mit λ > 2a existiert, die ein identisches Auslenkungsmuster der
Punktmassen besitzt.
Auslenkung
m=1
2a
λ 2
= 7a
λ 1
= 0,875 a
1
2
Fig. 3.1:
Auslenkungsmuster des eindimensionalen
Punktmassegitters.
Zu jeder Welle mit λ < 2a
existiert eine Welle identischer
Auslenkung mit λ > 2a.
Dabei muss gelten:
λ −1 lang = λ
−1
kurz − m a ,
mit m = trunc( a λ kurz ) ∈ N ,
bzw. k 2 = k1
− 2π
m / a .
(trunc = ganzzahliger Anteil)
Ortskoordinate
In Fig. 3.1 zeigt ein Beispiel für diesen Sachverhalt. Der obere Teil 1 zeigt eine Welle mit
einer Wellenlänge λ 1 < 2a und die dazugehörige Auslenkung der Punktmassen. Der Mittelteil
zeigt das Auslenkungsmuster der Punktmassen alleine. Der untere Teil 2 zeigt eine Welle
mit λ 2 > 2a, die genau das gleiche Auslenkungsmuster hat. Offensichtlich existieren mehrere
Wellen, die an den Orten der Punktmassen ein und dasselbe Auslenkungsmuster aufweisen.
Da nun lediglich die Punktmassen materiell existierende Objekte sind, sind die Wellen 1 und
2 physikalisch ununterscheidbar. Sie beschreiben ein und denselben physikalischen Zustand,
nämlich eine bestimmte Auslenkung der Punktmassen. Zur Beschreibung dieses Zustands
genügt es vollständig, sich auf eine Welle beschränken. Man wählt diejenige mit λ > 2a, da
hier nur eine passende Welle für ein gegebenes Auslenkungsmuster existiert, während es im
kurzwelligen Bereich λ < 2a unendlich viele sind. Die kleinste benötigte Wellenlänge ist
daher λ = 2a. Diese Schranke bedeutet, dass die Zahl der stehenden Wellen zur Beschreibung
der diskreten Auslenkungsmuster endlich ist.
In einer linearen Kette diskreter Massepunkte ist die Anzahl physikalisch unterscheidbarer
Schwingungen endlich. Die kleinste Wellenlänge ist das Zweifache der Gitterkonstante.
Alle Wellenlängen der unterscheidbaren Schwingungen mit λ ≥ 2a müssen im Intervall
[2a, 2L] liegen:
λ min = 2a
2a
und
λ max = 2L
L
5

Mit der Modennummer n = 2L/λ n aus (8) folgt die Gesamtzahl der Moden aus der größten
Modenzahl n max zu
2L
L
n max = = .
λmin
a
L L , genauer der ganzzahlige Anteil von , ist gerade die Anzahl der Gitterabstände a, die in
a
a
der Länge L Platz haben. Sie ist gleich der Anzahl der Massenpunkte.
Die Anzahl der (unterscheidbaren) Schwingungsmoden der linearen Kette entspricht der
Anzahl ihrer Massenpunkte.
Für den maximalen Wellenvektor folgt:
k
max
2π π =
λ a
=
min
(10)
Der maximale Wellenvektor ist somit identisch zum maximalen reziproken Gittervektor der
ersten Brillouin-Zone des Kristallgitters, siehe Gleichung (5). Anders gesagt: Die
Beschränkung auf physikalisch unterscheidbare Wellen entspricht der Beschränkung auf die
erste Brillouin-Zone im k-Raum. Die erste Brillouin-Zone enthält somit bereits alle k-
Vektoren, die zur Beschreibung der Gesamtheit der physikalisch unterscheidbaren Zustände
nötig sind.
6

4. Gitterschwingungen: Eindimensionales Modell für ein Gitter realer
Atome
Die Abbildung eines realen Atomgitters in einer Dimension auf eine lineare Kette von
Punktmassen erfordert zum einen die Kenntnis der Wechselwirkung zwischen den Atomen,
zum anderen muss klar sein, ob Atome als Punktmassen behandelt werden dürfen.
Das Letztere kann bejaht werden, denn die Masse des Atoms ist ganz überwiegend im Kern
konzentriert und der Kernradius beträgt nur etwa ein Hunderttausendstel eines typischen
Gitterabstands. Auf der Längenskala der linearen Kette schrumpft die Masse des Atoms also
zu einem Punkt zusammen. Die Ausdehnung des Atoms wird jedoch von der Elektronenhülle
bestimmt und liegt in der Größenordnung der Gitterkonstante.
Die Wechselwirkung zwischen Atomen beruht auf dem Überlapp der Wellenfunktionen der
Elektronen der äußeren Schale. Die inneren, abgeschlossenen Schalen samt dem Kern
bezeichnet man als Atomrumpf. Bewirkt der Überlapp eine Absenkung der Energie der
äußeren (Valenz-) Elektronen, so entsteht eine chemische Bindung: Die Gesamtenergie des
Systems aus Valenzelektronen und positiven Atomrümpfen besitzt ein Minimum bei einem
bestimmten Atomkernabstand x 0 . Dieser Abstand ist der Gleichgewichtsabstand und identisch
zur Bindungslänge. Eine Auslenkung des Atoms aus der Minimumslage erhöht die
Zustandsenergie der Valenzelektronen. Die Erhöhung ist aber viel zu klein, um höhere
Zustände anregen zu können. Sie wird daher beim Rückgang der Auslenkung reversibel
zurückgewonnen. Der Atomrumpf schwingt daher im Potenzial der Valenzelektronen um
seine Gleichgewichtslage x 0 . Die Schwingung ist reibungsfrei.
Das Paarpotenzial, d.h. das Potenzial zwischen zwei Atomen einer Kette, hat qualitativ
folgende Form:
Potenzialenergie
0
Parabelnäherung
aus Taylor-Entwicklung
x 2 x 0
0
Kernabstand x
Paarpotenzial
Fig. 4.1:
Paarpotenzial zwischen zwei Atomen als
Funktion des Kernabstands. Den steilen
Anstieg zu kleinen Abständen bewirkt das
Pauli-Prinzip, das eine Durchdringung
der abgeschlossenen Schalen ausschließt.
Die Parabelnäherung entspricht der
Taylor-Entwicklung um x 0 bis zur 2.
Ordnung.
Die genaue Form des Potenzials ist zunächst unbekannt, aber es kann offensichtlich um den
Gleichgewichtsabstand x 0 entwickelt werden
Φ
2
1 ∂ Φ
2
2 ∂x
2
( x) = Φ + ( x − x ) + K
0
xo
0
7

Das Paarpotenzial ist also um x 0 herum in erster Näherung parabolisch (der lineare Term
verschwindet aus Symmetriegründen).
Zur Beschreibung der Kräfte auf ein Atom machen wir daher folgende Näherungen:
1. Die harmonische Näherung: Wir gehen davon aus, dass die Atome nur wenig aus der
Gleichgewichtslage ausgelenkt werden. Dann genügt die Entwicklung des Schwingungspotenzials
bis zur 2. Ordnung in der Auslenkung. Die Kräfte zwischen den Atomen werden
damit linear in der Auslenkung.
2. Die Näherung der so genannten Nächste-Nachbar-Wechselwirkung: Es wird nur die
Wechselwirkung mit den direkten Nachbarn berücksichtigt. Die mit dem Abstand rasch
abnehmende Wechselwirkung entfernterer Atome wird vernachlässigt. Auf ein Atom in der
eindimensionalen Kette wirken also nur Kräfte des jeweils rechten und linken Nachbarn.
Mit diesen Näherungen ist eine Punktmasse der linearen Kette nur an ihre jeweils rechten und
linken Nachbarn gekoppelt, und zwar mit harmonischer Kopplung. Die Kräfte auf die
Punktmasse reduzieren sich somit auf zwei Hookesche Federkräfte.
Die Schwingungsdynamik des eindimensionalen Atomgitters lässt sich im Rahmen der
Nächste-Nachbar-Wechselwirkung und der harmonischen Näherung durch ein sehr einfaches
Modell darstellen: Linear angeordnete Punktmassen verbunden mit idealen Federn.
Die Auslenkung erfolgt dabei längs der Kette. Es handelt sich also um longitudinale
Schwingungen.
Anmerkung 1:
Die „Federkonstante“ der Hookeschen Kraft F −Dx
= −∇Φ( x)
= entspricht gerade dem
Entwicklungskoeffizienten ∂ 2 Φ/∂x 2 | xo mit der Dimension N/m. Dieser
Entwicklungskoeffizient heißt auch Kopplungskonstante.
Anmerkung 2:
Effekte bei realen Kristallen, die aus der Nichtharmonizität des Potenzials resultieren, heißen
anharmonische Effekte. Ein Beispiel hierfür ist die thermische Ausdehnung.
8

5. Gitterschwingungen: Die lineare einatomige Kette
5.1 Koordinatensystem
Wir betrachten ein eindimensionales Atomgitter mit einem Atom in der Basis. Die Masse des
Atoms sei m. Der Gitterabstand sei a. Die lineare Kette, die dieses Atomgitter repräsentiert,
heißt lineare einatomige Kette. Sie besteht aus Punktmassen der Masse m mit dem
Ruheabstand a, verbunden durch identische, masselose Hookesche Federn mit der
Federkonstante D.
m
a
D
x
Zur mathematischen Behandlung werden die Massenpunkte mit dem Index j indiziert. Als
Koordinatenachse wählen wir eine x-Achse parallel zur Kette, da sich die Massepunkte nur
längs x bewegen können (longitudinale Auslenkung). x j (t) ist dann die momentane Position
des Massepunkts mit der Nummer j. Sie lässt sich zerlegen in die Gleichgewichtsposition x o,j
und in die Auslenkung aus dieser Gleichgewichtsposition, s j (t):
x ( t)
= x , s ( t)
.
j o j +
j
9

5.2 Die Bewegungsgleichung
Die Newtonsche Bewegungsgleichung für einen herausgegriffenen Massepunkt j kann damit
wie folgt aufgestellt werden
() t = F rechte Feder)
F ( linke )
m & x
j j, j+ 1( + j,
j−1
Feder .
F j,j+1 ist die Kraft auf den Massepunkt j durch die rechte Feder, die j mit j+1 verbindet. F j,j-1
ist die Kraft auf j durch die linke Feder, die j mit j-1 verbindet.
Sind die Massen in Ruhe, d.h. die Federlänge ist gleich a, so ist die Summe dieser Kräfte
Null. Sie spielen daher für die Dynamik keine Rolle. Ein Dynamikbeitrag resultiert nur aus
einer Änderung der Federlänge. Die Federlänge ändert sich auf Grund der Positionsänderung
der beiden Massenpunkte an den Federenden.
Die Kraft der rechten Feder auf die Masse j ist demnach
F
j, j+ 1 = − D ⋅ s j + D ⋅ s j+
1
Stauchung für Dehnung für
s j > 0 s j+1 > 0
=> Kraft zeigt in => Kraft zeigt in
negative x-Richtung positive x-Richtung
a
j j+1
a
j j+1
s j
s j+1
F
F
x
Die Kraft der linken Feder auf j ist entsprechend
F
( − s )
j, j−1
= − D ⋅ s j + D ⋅ s j−1
= − D s j j−1
Die Newtonsche Bewegungsgleichung kann jetzt ausgeschrieben werden
( s + s s )
m & s
2 .
j = D j+
1 j−1
−
Dabei wurde benutzt, dass aufgrund der Koordinatenzerlegung gilt: x&
( t) & s
( t)
j
& = .
j
j
5.3 Die Dispersionsrelation
i( kx −ω t )
Zur Lösung werden eindimensionale harmonische ebene Wellen ∝ e angesetzt. Dabei
sind die Auslenkungen x nur an den diskreten Gitterpunkten x o,j definiert. Diese können als
Vielfache des Gitterabstands geschrieben werden: x o,j = a⋅ j. Der Ansatz lautet dann explizit
i( k⋅
a⋅
j −ω
t)
s k, ω,
t = s e .
j
( )
( )
o
Die zweifache Zeitableitung kann sofort berechnet werden:
Einsetzen in die Bewegungsgleichung liefert
2
& s j = −ω s .
j
10

[ ]
2 i( k⋅( a⋅
j)
−ω
t) i( k ⋅a( j+
1)
−ω
t) i ( k ⋅a( j−1)
−ω
t ) i( k⋅
( a⋅
j ) −ω
t )
− mω
s e = D s e + e − 2e
o
o
i( ) ( a j t) i ka i( a j t )
[ ]
k ⋅a⋅
j −ω
t ika i
D s e e e
k ⋅ ⋅ −ω
( − )
e e
k ⋅ ⋅ −ω
= +
− 2 .
o
Nach Kürzen mit
s i( k a j t )
o e ⋅ ⋅ −ω
verbleibt
2
ika −
[ ( e + e )]
ika
mω = D 2 −
.
Wir erhalten somit eine Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ω und dem Wellenvektor k.
Mit den Identitäten
ix ix
e + e
− = 2 cos( x)
und
1 − cos( x ) = 2sin
2 x 2
( )
kann nach ω 2 und schließlich nach ω aufgelöst werden, so dass wir die Dispersionsrelation
ω(k) der linearen einatomigen Kette erhalten
4D
⎛ ka ⎞
ω ( k) = sin⎜
⎟ (11)
m ⎝ 2 ⎠
ω(k)
4D
m
- 2π
a
π
-
a
0 π
2π
a
a
k
Fig. 5.1: Dispersionsrelation der linearen einatomigen Kette.
ω ist offensichtlich periodisch im Wellenvektor k mit der Periode 2π/a. Zu Wellenvektoren
größer π/a gehören Kreisfrequenzen, die bereits im Intervall [-π/a, π/a] enthalten sind. Die
Dispersionsrelation (11) drückt daher das Ergebnis aus Kap. 4 aus, wonach keine neuen
Moden für Wellenvektoren größer π/a zu finden sind (Glg. 10).
Da jede Kette eine endliche Länge hat, ist auch die Anzahl N der diskreten Massen endlich.
Die Dispersionskurve besteht daher im k-Intervall [0, π/a] in Wirklichkeit aus N diskreten
Punkten, der Zahl der unterscheidbaren Moden. Die zugehörigen k-Werte ergeben sich aus
Glg. (9). Allerdings ist bei einem realen Kristall die Zahl der Atome sehr, sehr groß, so dass
die Dispersionskurve realer Kristalle einen quasi-kontinuierlichen Verlauf zeigt. Dem
entspricht Fig. 5.1. Der Modellkristall unseres Versuchs besitzt aber nur 12 Massen, so dass
die „Kurve“ in diesem Fall auch nur aus 12 Punkten besteht.
11

5.4 Grenzfälle für kleine und große k (Zentrum und Rand der Brillouin-Zone)
k
0 (Zonenzentrum)
k 0 bedeutet λ ∞: die Wellenlänge wird wesentlich größer als die Gitterkonstante. Dann
gilt
ka

Die maximale Wellenausbreitungsgeschwindigkeit der linearen Kette, die für kleine k oder
lange Wellen auftritt, ist die Schallgeschwindigkeit.
Die Schallgeschwindigkeit ist also die größte in einem Kristall auftretende Wellenausbreitungsgeschwindigkeit.
Typische Werte sind einige wenige Kilometer pro Sekunde
(Silizium: 8,9 km/s, Gold: 1,7 km/s). Da die Wellen, die mit Schallgeschwindigkeit laufen,
gleichzeitig die geringste Energie besitzen, denn ω geht gegen Null für k gegen Null, werden
solche Wellen auch sehr leicht erzeugt. Jede mechanische Anregung erzeugt diese Wellen.
Ein Weg-Zeit-Experiment zur Messung der Geschwindigkeit der Wellenausbreitung in einem
kristallinen Material liefert daher stets die dispersionsfreie Schallgeschwindigkeit v S .
k
π/a (Zonenrand)
In diesem Fall geht die Steigung der Dispersionskurve gegen Null. Im Punkt k = π/a wird also
die Gruppengeschwindigkeit Null.
Die Frequenz ist maximal und die Wellenlänge ist die kürzest mögliche, nämlich λ = 2a.
5.5 Die Schwingungsmoden des Modellkristalls
Aus dem Realteil der Lösung
s
j
i( k⋅( a⋅
j)
−ω t )
= s e erhält man durch Addition einer hinlaufenden
o
und einer mit Phasensprung π zurücklaufenden Welle eine stehende Welle der Form
s
j
( t) ⋅sin( k a ⋅ j)
= 2 so
⋅ sin ω n 1 .
Der Index von a 1 steht für „einatomig“.
nπ
Die Wellenzahl k n mit der Modenzahl n folgt aus (9) zu k n = .
L
Im Modellkristall mit 12 Massen ist die Länge L gegeben durch 12+1 Federlängen = 12+1
Gitterkonstanten. Daher ist L = 13a1
und k n wird zu
k n
nπ
= . (13)
13a 1
Da nur 12 Massen vorhanden sind, gibt es maximal 12 Moden, d.h. insgesamt 12 k-Werte.
Das bedeutet
n max = 12 .
Der zeitunabhängige Sinus-Term der stehenden Welle beschreibt das ortsabhängige
Amplitudenmuster:
⎛ nπ
⎞
s j ∝ sin⎜
j⎟
⎝ 13 ⎠
mit dem Gitterplatzindex oder Positionsindex j , j = 1 … 12.
Fig. 5.2 zeigt das Amplitudenmuster der Punktmassen für alle 12 Moden. Die
„mathematische“ Sinuswelle ( = Amplitude für „unendlich“ viele Massenpunkte) ist mit
eingezeichnet. Zur Verdeutlichung ist die Amplitude transversal dargestellt.
13

n =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
j =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Fig. 5.2:
Amplituden der stehenden Wellen der linearen einatomigen Kette mit 12 Punktmassen.
5.6 Zusammenfassung
• Die Dispersionsrelation der einatomigen Kette ist sinusförmig.
• Sie ist periodisch im Wellenvektor k mit der Periodizität 2π/a.
• Wellenvektor k und Modennummer n sind äquivalent: sie unterscheiden sich nur um
den Faktor π/L.
• Die Steigung im Ursprung der Dispersionskurve entspricht der Schallgeschwindigkeit.
14

6. Gitterschwingungen: Die lineare zweiatomige Kette
6.1 Koordinatensystem
Wir betrachten ein eindimensionales Atomgitter mit zwei Atomen pro Basis, die
unterschiedliche Masse haben. Die Masse des leichteren Atoms sei m, die des schwereren
Atoms sei M. Der Gitterabstand sei wieder a. Die lineare Kette, die dieses Gitter repräsentiert,
heißt lineare zweiatomige Kette. Sie besteht aus Punktmassen, die durch ideale Hookesche
Federn im Abstand a/2 verbunden sind und die abwechselnd die Massen m und M haben.
a/2
a
.
m
M
Die Auslenkungen sind wieder relativ zu den Ruhelagen definiert
a/2
x
s
j-2
s
j-1 s
j
s
j+1
s
j+2
s
j+3
x j-2 x j-1 x j x j+1 x j+2 x j+3
x( t)
x 0,j-2
x 0,j-1
x 0,j
x 0,j+1
x 0,j+2
x 0,j+3
= a 2
(j-2) = a (j-1) = a j = a (j+1) = a (j+2) = a (j+3)
2 2 2 2 2
Die Ruhelagen
x 0,
j ergeben sich wegen der verdoppelten Gitterkonstante zu
x0,
j
a
= j ⋅ .
2
6.2 Die Bewegungsgleichungen
Die Kraft auf einen Massepunkt resultiert wieder aus der Änderung der Federlänge der jeweils
rechten und linken Federn. Auf den Massepunkt j wirkt somit die Kraft
F
( − s ) − D( s s )
j = − D s j j+ 1 j − j−1
rechte Feder
linke Feder
15

Auf den rechts benachbarten Massepunkt j+1 wirkt die Kraft
F
( − s ) − D( s − s )
j+ 1 = − D s j+
1 j+
2 j+
1
j
rechte Feder
linke Feder
Der Massepunkt an der Position j habe die kleine Masse m (analog zur obigen Abbildung).
Dann hat der benachbarte Massepunkt j+1 die große Masse M. Für beide Massenpunkte folgt
je eine Newtonsche Bewegungsgleichung
( s + s s )
m & s
j = D j+
1 j−1
− 2
(14a).
( s + s s )
M & s
, (14b)
j + 1 = D j + 2 j − 2 j + 1
die jedoch gekoppelt sind, da beide s j und s j+1 enthalten. Zur Lösung setzen wir für die
insgesamt vier Auslenkungen s j−1 , s j , s j+1 , s j+2 wieder harmonische ebene Wellen an. Im
Unterschied zur einatomigen Kette erhalten die zwei verschiedenen Massen aber nun zwei
verschiedene Amplituden: s o,m für die leichten Massen und s o,M für die schweren Massen. Die
Auslenkungen sind wieder nur bezüglich der diskreten Ruhelagen = j ⋅ 2 definiert.
s
s
s
s
⎛
⎞
i⎜
k⋅( j−1) −ω
t ⎟
⎝ 2
, ω s e
⎠
schwere Masse j-1
( k t)
j− 1 , =
j
( k , t)
o,
M
a
⎛ a ⎞
i⎜
k⋅
j −ω
t ⎟
⎝ 2 ⎠
, ω = so,
m e
leichte Masse j
⎛
⎞
i⎜
k⋅( j+
1) −ω
t ⎟
⎝ 2
, ω s e
⎠
schwere Masse j+1
( k t)
j+ 1 , =
( k t)
o,
M
a
⎛
⎞
i⎜
k⋅( j+
2) −ω
t ⎟
⎝ 2
, ω s e
⎠
leichte Masse j+2
j+ 2 , =
o,
m
a
j
x o , j a
Damit die Amplituden für beliebige j den richtigen Gitterplätzen zugeordnet sind, müssen wir
noch fordern, dass j entweder stets geradzahlig oder stets ungeradzahlig ist, je nach dem, ob
die leichten Massen auf den Positionen j = 2, 4, 6, … oder j = 1, 3, 5, … liegen.
6.3 Die Dispersionsrelation
Einsetzen des Ansatzes in (14) und kürzen durch
(14b) liefert
i
e
⎛ a ⎞
⎜ k⋅
⋅ j −ω
t ⎟
⎝ 2 ⎠
bei (14a) und
i
e
⎛ a
⎜ k⋅
⎝ 2
⎞
⋅( j+
1) −ω
t ⎟ ⎠
bei
− ω
− ω
⎡
= D ⎢s
⎢⎣
⎛
⎜e
⎜
⎝
⎞
⎟ − 2s
⎟
⎠
⎤
⎥
⎥⎦
a a
ix
+
−ix
ik −ik
e e = 2cos x
2
m s
2
o m o M + e
2
,
,
o,
m =
o,
M
o,
m
⎡
= D ⎢s
⎢⎣
⎛
⎜e
⎜
⎝
⎞
⎟ − 2s
⎟
⎠
⎤
⎥
⎥⎦
⎡
2D⎢s
⎣
⎡
2D⎢s
⎣
⎛ a ⎞
cos⎜k
⎟ − s
⎝ 2 ⎠
a a
ix
+
−ix
ik −ik
e e = 2cos x
2
M s
2
o M o m + e
2
,
,
o,
M =
o,
m
o,
M
⎛ a ⎞
cos⎜k
⎟ − s
⎝ 2 ⎠
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
16

Alles auf eine Seite gebracht ergibt
2
cos ⎛ a ⎞ ⎛ mω
⎞
⎜k
⎟ so
M + ⎜ 1⎟
2
−
⎝ ⎠ 2
so
⎝ D ⎠
,
, m =
2
cos ⎛ a ⎞ ⎛ Mω
⎞
⎜k
⎟ so
m + ⎜ 1⎟
2
−
⎝ ⎠ 2
so
⎝ D ⎠
,
, M =
0
0
(15a)
(15b)
Das sind Bestimmungsgleichungen für die Amplituden s o,m , s o,M . Sie bilden ein lineares
Gleichungssystem A x = 0 mit
⎛ s
x =
⎜
⎝ s
o,
m
o,
M
⎞
⎟
⎠
und
⎛ mω2
⎜ − 1
⎜ 2D
A =
⎜ ⎛ a ⎞
⎜cos⎜k
⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠
⎛ a ⎞⎞
cos⎜k
⎟⎟
⎝ 2 ⎠⎟
2
.
Mω
⎟
−1⎟
2D
⎠
Dieses hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante von A verschwindet,
d.h. wenn gilt:
2
2
⎛ mω
⎞⎛
Mω
⎞
2⎛
ka
⎜
⎞
1⎟⎜
1⎟
−
− cos ⎜ ⎟ = 0
2
−
2
. (16)
⎝ D ⎠⎝
D ⎠ ⎝ 2 ⎠
Gleichung (16) ist eine Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ω und dem Wellenvektor k.
Ausmultiplizieren ergibt eine quadratische Gleichung in ω 2 mit den zwei Lösungen
2
2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 4 2⎛
ka ⎞
ω + = D ⎜ + ⎟ + D ⎜ + ⎟ − sin ⎜ ⎟
(17a)
⎝ m M ⎠ ⎝ m M ⎠ mM ⎝ 2 ⎠
2
2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 4 2⎛
ka ⎞
ω − = D ⎜ + ⎟ − D ⎜ + ⎟ − sin ⎜ ⎟ . (17b)
⎝ m M ⎠ ⎝ m M ⎠ mM ⎝ 2 ⎠
Dabei wurde die Idendität 1 − cos 2 = sin 2 benutzt. Die beiden Gleichungen (17a) und (17b)
sind die Dispersionsrelation der zweiatomigen Kette (in quadratischer Form). Es gibt also
zwei Lösungen: zu jedem k-Wert gibt es zwei ω-Werte, ω + und ω − . Die verschiedenen
Lösungen werden „Zweige“ oder „Äste“ genannt.
17

ω(k)
ω +
Frequenzlücke
ω -
- 2π
a
π
-
a
0 π
2π k
a
a
Fig. 6.1: Dispersionsrelation der linearen zweiatomigen Kette.
Die Dispersionsrelation ist wiederum periodisch in k mit der k-Periode 2π/a. Der ω + -Ast heißt
„optischer Ast“, da hier, wie wir noch sehen werden, die leichten und schweren Massen
gegeneinander schwingen, so dass bei unterschiedlicher elektrischer Ladung die Atome m und
M einen schwingenden Dipol bilden. Da dieser elektromagnetische Strahlung absorbieren
oder emittieren kann, wird die Schwingung „optisch aktiv“. Die unterschiedliche Ladung
resultiert aus dem ionischen oder polaren Charakter der chemischen Bindung in vielen
Kristallen.
Der ω − -Ast heißt „akustischer Ast“, da er für k → 0 die größte Gruppengeschwindigkeit
innerhalb der Kette aufweist, d.h. die akustischen Schallgeschwindigkeit v S .
Zwischen den beiden Ästen existiert ein Frequenzbereich, der nicht überstrichen wird. Im
Frequenzspektrum der Schwingungsmoden existiert also eine Frequenzlücke.
Die zwei fundamentalen Unterschiede zur einatomigen Kette sind also: Ankopplung an
elektromagnetische Wellen und eine Frequenzlücke im Frequenzbereich der Schwingungen.
6.4 Grenzfälle für kleine und große k (Zentrum und Rand der Brillouin-Zone)
k
0 (Zonenzentrum)
Im langwelligen Grenzfall kann auf die Dispersionsrelation des akustischen Astes (17b)
wieder die Näherung sin(x) ≈ x angewandt werden. Entwickeln der Wurzel liefert dann
ω
mit der Schallgeschwindigkeit
D ka
⎯

Für den optischen Ast folgt aus (17a) mit k = 0
2 ⎛ 1 1 ⎞
ω + , k→0
= 2D⎜
+ ⎟
(19)
⎝ M m ⎠
k π/a (Zonenrand)
Einsetzen von k = π⁄a in (17) liefert nach Ausquadrieren der Wurzel
2
⎡⎛
1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤
ω + / − k = π / a = D ⎢⎜
+ ⎟ ± ⎜ − ⎟⎥
.
⎣⎝
m M ⎠ ⎝ m M ⎠⎦
d.h. für den optischen Ast ω +
und für den akustischen Ast ω −
2 2D
ω + , k→π
/ a =
m
(20)
2 2D
ω −, k→π
/ a =
M
(21)
Man nennt (19), (20) und (21) die „Grenzfrequenzen“ oder „charakteristische Frequenzen“
der Dispersionsrelation.
Einige interessante Aspekte sind:
• (19) ist die Summe von (20) + (21); die drei Grenzfrequenzen sind also linear
abhängig. Aus der Dispersion können daher die drei Größen m, M und D nicht
unabhängig voneinander bestimmt werden.
• Das Verhältnis der Grenzfrequenzen am Zonenrand hängt nur vom Verhältnis der
Massen M und m ab
ω
ω
+ , k=
π / a
−,
k=
π / a
=
M
m
Je größer das Massenverhältnis, desto größer ist das Verhältnis der Grenzfrequenzen
und damit auch die Frequenzlücke. Bei gleichen Massen werden die Grenzfrequenzen
(20) und (21) identisch, d.h. die Frequenzlücke verschwindet.
.
6.5 Die Schwingungsmoden des Modellkristalls
Im Modellkristall der zweiatomigen Kette ist die Länge L ebenfalls durch 12+1 Federlängen
gegeben, jedoch erstreckt sich die Gitterkonstante a 2 über 2 Federn. Daher ist L = 6,5 a 2 und
für k n folgt
π
Mit kmax
= folgt n max = 6 ,
a2
d.h. es gibt nur 6 k-Werte in der 1. Brillouin-Zone.
k n
nπ
= (22)
6,5
a
2
19

Die Modenzahl beträgt jedoch trotzdem 12, da jedem k-Wert zwei Moden zueignen.
Das Amplitudenmuster wird bestimmt vom Verhältnis der Amplitude der leichten Massen,
s o,m , zur Amplitude der schweren Massen, s o,M . Das Amplitudenverhältnis folgt aus (15) als
Funktion von ω 2 und k. Wird für ω 2 die Dispersionsrelation (17) eingesetzt, erhält man das
Amplitudenverhältnis als explizite Funktion von k, z.B. aus (15a) zu
s
s
o,
m
o,
M
=
1 + γ ⎡
1 − ⎢1
±
2γ
⎢⎣
⎛ ka
cos⎜
⎝ 2
1 −
2
4γ
⎞
⎟
⎠
( 1 + γ )
2
sin
2
( ka 2)
2
,
⎤
⎥
⎥⎦
M
γ = (23)
m
Dabei wurde zur Abkürzung das Massenverhältnis γ := M/m verwendet. Das Pluszeichen
gehört zum ω + -Ast und das Minuszeichen zum ω − -Ast.
Fig. 6.2 zeigt das Amplitudenverhältnis s o,m / s o,M für vier verschiedene Massenverhältnisse γ
über dem k-Intervall der 1. Brillouin-Zone.
Amplitudenverhältnis s o,m
/ s o,M
2
1
0
-1
-2
-3
-4
Parameter: γ = M/m
4
4 2 1,5 1
1
1,5
2
akustisch
optisch
γ = 1 akustisch
optisch
γ =1,5 akustisch
optisch
γ = 2 akustisch
optisch
γ = 4 akustisch
optisch
-5
Zonenzentrum
0
π
2 a
Wellenvektor k
π
a
Zonenrand
Fig. 6.2:
Verhältnis der Amplituden der leichten und schweren Massen in der 1. Brillouin-Zone für
verschiedene Massenverhältnisse γ.
Betrachten wir zunächst nur den Betrag des Amplitudenverhältnisses und ignorieren das
Auftreten negativer Werte. Bei den akustischen Moden ist der Betrag stets kleiner 1, d.h. die
leichten Massen schwingen stets weniger stark als die schweren. Die den optischen Moden ist
es umgekehrt, der Betrag ist stets größer als 1 und die leichten Massen schwingen immer
stärker als die schweren. Das Amplitudenverhältnis der akustischen Moden hängt nur
schwach vom Massenverhältnis ab. Das der optischen Moden hingegen zeigt eine ausgeprägte
Massenabhängigkeit.
Die Verhältnisse an den Rändern k → 0 und k → π/a zeigt die folgende Tabelle.
20

Akustischer Ast
Optischer Ast
k → 0 Zonenzentrum
s o,m / s o,M → 1
Leichte und schwere Massen
schwingen gleich stark
| s o,m / s o,M | → M/m
Die leichten Massen schwingen
stärker entsprechend dem
Verhältnis der Massen
k → π/a Zonenrand
s o,m / s o,M → 0
Die leichten Massen stehen still
| s o,m / s o,M | → ∞
Die schweren Massen stehen still
Das Auftreten negativer Amplitudenverhältnisse bedeutet, dass die Amplituden noch eine
iΔϕ
komplexe Phase enthalten, und somit das Verhältnis der Amplituden einen Phasenfaktor e
hat. Der Phasenfaktor muss reell sein, d.h. die relative Phasenlage Δ ϕ muss die Werte
iΔϕ
0,
π , 2π
,... annehmen, damit e die (reellen) Werte + 1 , −1,
+ 1, ... annimmt. Das bedeutet
• Der akustische Ast mit positivem Amplitudenverhältnis hat die Phasenlage Δϕ = 0
leichte und schwere Massen schwingen gleichphasig.
• Der optische Ast mit negativem Amplitudenverhältnis hat die Phasenlage Δϕ = π
leichte und schwere Massen schwingen gegenphasig.
Damit ist verständlich, warum der optische Ast die höheren Frequenzen hat: Die
Schwingungen gegeneinander müssen bei gleicher Federkonstante schneller sein als jene, bei
denen die Atome gleichphasig schwingen und sich der Abstand von Atom zu Atom nur wenig
ändert.
Weiterhin können die gegenphasigen Schwingungen nicht beliebig langsam werden: ω opt
kann also nicht gegen Null gehen, sondern muss endlich bleiben.
Die Amplituden der stehenden Wellen können jetzt konstruiert werden. Abbildung 6.3 zeigt
alle 12 Moden für die zweiatomige Kette mit 12 Massen bei einem Massenverhältnis von 1,5.
21

n =
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
optische Moden akustische Moden
γ = 1,5
5
6
j =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Fig. 6.3:
Amplituden der linearen zweiatomigen Kette mit 12 Punktmassen bei einem Massenverhältnis
M/m = 1,5. Durchgezogene Linie: Amplitude der schweren Massen bei „unendlich“ vielen
Massenpunkten. Gepunktete Linie: Amplitude der leichten Massen bei „unendlich“ vielen
Massenpunkten.
22

so,
m
Das Amplitudenverhältnis = f ( k)
ist unabhängig von der Position x, d.h. für eine
s
o,
M
gegebene Mode n überall längs der Kette gleich.
s 0,m
s 0,m
= f(x)
s 0,M
s 0,m
s 0,M
s 0,M
x
Für die Verhältnisbildung werden dabei s o,m und s o,M stets an derselben Position x betrachtet.
Die leichten und schweren Punktmassen liegen jedoch an unterschiedlichen Positionen.
s 0,m
( j )
s 0,m
( j +2)
s 0,m
( j )
s 0,M
( j +1)
=
s 0,m
s 0,M
x 0, j
s 0,M
( j +3)
s 0,M
( j +1)
x 0, j
x 0, j+1
x 0, j+2
x 0, j+3
x
Für die Amplitude der Punktmassen gilt
leichte Massen
schwere Massen
s
s
Punkt
o,
m
Punkt
o,
M
∝ s
∝ s
o,
m
o,
M
⎛ ka2
⎞
sin ⎜ j⎟
= so,
⎝ 2 ⎠
⎛ ka2
⎞
sin ⎜ j⎟
= so,
⎝ 2 ⎠
m
M
⎛ nπ
⎞
sin⎜
j⎟ ⎝ 13 ⎠
⎛ nπ
⎞
sin⎜
j⎟ ⎝ 13 ⎠
j = 1, 3, 5, 7, 9, 11.
j = 2, 4, 6, 8, 10, 12.
Dabei ist der Positionsindex j ungeradzahlig für die leichten Massen gewählt und geradzahlig
für die schweren Massen.
Für das Amplitudenverhältnis zweier benachbarter Massen gilt dann, wenn j der spezielle
Index einer leichten Masse und j−1 derjenige der links benachbarten schweren Masse ist:
s
Punkt
so,
m
Punkt
o,
M
( j)
s
=
( j − 1) s
o,
m
o,
M
⎛ nπ
⎞
sin⎜
j⎟
⎝ 13
⋅
⎠
. (24)
⎛ nπ
⎞
sin⎜
( j − 1) ⎟
⎝ 13 ⎠
s o,M (j−1) hat dabei ein negatives Vorzeichen gegenüber s o,m (j), wenn es sich um eine optische
Mode handelt. Liegt die schwere Masse rechts von der leichten, ist j−1 durch j+1 zu ersetzen.
23

Zum Vergleich der Amplituden der Massenpunkte mit dem Amplitudenverhältnis
⎛ nπ
⎞
sin⎜
j⎟
also durch den Korrekturfaktor
⎝ 13 ⎠
⎛ nπ
⎞
sin⎜
( j ± 1) ⎟
⎝ 13 ⎠
s
s
o,
m
o,
M
ist
zu dividieren. Die folgende Tabelle zeigt die Werte dieses Korrekturfaktors in der
Moden/Positions-Matrix für j = 3,5,7,11 und j−1 = 2,4,6,8,10.
n j 3 5 7 9 11
1 1,4269 1,1361 1,0000 0,8802 0,7008
2 1,2062 0,7092 -1,0000 1,4100 0,8290
3 0,8290 -1,9419 1,0000 -0,5150 1,2062
4 0,2559 1,4970 -1,0000 0,6680 3,9070
5 -0,7008 0,2411 1,0000 4,1481 -1,4269
6 -3,9070 -1,7709 -1,0000 -0,5647 -0,2559
6.6 Zusammenhang zwischen Grenzfrequenzen und Amplitudenmuster
Die nachfolgende Abbildung fasst die Ergebnisse des Kapitels „Die lineare, zweiatomige
Kette“ zusammen. Sie zeigt dabei den Zusammenhang zwischen den Grenzfrequenzen und
dem Amplitudenmuster im Zentrum und am Rand der Brillouin-Zone.
Frequenzlücke
Amplitudenmuster
die leichten
Massen
schwingen
um so stärker,
je größer
M/m ist
Grenzfrequenz
ω
op,
0
=
⎛ 1 1
2D
⎜ +
⎝ m M
um so stärker von m
bestimmt, je größer
M/m ist
⎞
⎟
⎠
ω
Amplitudenmuster
optischer Ast
M
m
= 2
Grenzfrequenz
ω
op, π a =
2D
m
vollständig von m
bestimmt
nur die leichten
Massen schwingen
m und M
schwingen
mit gleicher
Amplitude
dω
=
dk
D a
2( m + M )
von beiden Massen
gleich bestimmt
2
akustischer Ast
ω
ak, π a =
2D
M
vollständig von M
bestimmt
nur die schweren
Massen schwingen
k
0
π
2a
π
a
24

6.7 Zusammenfassung
• Die Dispersionsrelation der zweiatomigen Kette ähnelt einem Sinus, der in der Mitte
aufgespalten und dessen obere Hälfte in die 1. Brillouin-Zone zurückgespiegelt ist.
• Die Brillouin-Zone ist halb so groß wie bei der einatomigen Kette.
• Es gibt darin halb so viele Wellenvektoren wie bei der einatomigen Kette.
• Zu jedem Wellenvektor gibt es zwei Frequenzen.
• Das untere Frequenzband heißt „akustischer Ast“, das obere „optischer Ast“.
• Zwischen beiden Ästen existiert eine Frequenzlücke.
• Im akustischen Ast schwingen leichte und schwere Massen gleichphasig innerhalb
eines Schwingungsbauches, im optischen Ast gegenphasig.
• Die relative Amplitude der leichten und schweren Massen hängt vom Wellenvektor
bzw. der Modennummer ab. Am Rand der Brillouin-Zone schwingt jeweils nur noch
eine Massensorte.
7. Übergang von einatomiger zu zweiatomiger Basis
Obwohl die Dispersionsrelationen der einatomigen und der zweiatomigen Kette
unterschiedlich aussehen, müssen sie für den Grenzfall M m auseinander hervorgehen. Die
folgende Abbildung veranschaulicht den Übergang von der einatomigen Dispersion zu den
zwei Ästen der zweiatomigen Dispersion. Entscheidend ist die Halbierung der Brillouin-Zone
und damit die Halbierung des Translationsvektors, wodurch der obere Teil der Dispersion in
die 1. Brillouinzone „zurückgefaltet“ oder „zurückgeklappt“ erscheint (Bild 2). Die
Frequenzlücke wird dann durch Massenungleichheit geöffnet.
Der Übergang von zweiatomig zu einatomig ist auch formal vollziehbar. Für M = m werden
die zweiatomigen Beziehungen (15a) und (15b) identisch, da auch die Auslenkungen s o,M und
s o,m gleich werden. Mit a 2 = 2a 1 und 1-cos(x) = 2sin 2 (x/2) folgt
2
1
(
M ⎛ ⎞
⎯ ⎯ = m ka2 mω
2 2D
4D
ka
15)
→ cos⎜
⎟ + = 1 ⇔ ω =
1
⎜
⎝ 2 ⎠ 2D
m
m ⎝ 2
das ist die Dispersionsrelation (11) der einatomigen Kette.
2⎛
⎞
( 1 − cos( ka )) = sin ⎟ ⎠
Das gleiche Ergebnis folgt aus der zweiatomigen, akustischen Dispersion (17b), wenn M = m
gesetzt wird.
,
25

26

8. Erweiterung auf drei Dimensionen und transversale Schwingungen
In einem dreidimensionalen Kristall wird das Potenzial dreidimensional. Der Wellenvektor k
hat drei Komponenten.
Betrachten wir zunächst den Fall einer einatomigen Basis. Der vektorwertige Lösungsansatz
hat die Form s(k,ω,t) = ε(k) exp{i(k⋅R)-ωt} mit dem Polarisationsvektor ε(k). Der
mathematische Formalismus zeigt, dass es drei Polarisationsvektoren ε i , i=1,2,3, gibt, die
senkrecht aufeinander stehen und Einheitsvektoren sind. Sie geben die räumliche Richtung
der Auslenkung s an. In einem isotropen Medium kann der k-Vektor immer längs eines dieser
Vektoren gelegt werden (ε // k). Dies entspricht einer longitudinalen Auslenkung. Die zwei
dazu senkrechten Polarisationen (ε ⊥ k) entsprechen transversalen Auslenkungen. Die
Dispersion hängt nun im Allgemeinen vom Index i ab, so dass es drei Äste ω i = f i (k) gibt,
einen longitudinalen Ast und zwei transversale Äste.
ω
Longitudinal
Transversal
0 π
k
a
Oft sind diese Äste aber entartet, insbesondere die transversalen, auf Grund der
Kristallsymmetrie.
In anisotropen Kristallen treten rein longitudinale oder rein transversale Wellen nur bei
Ausbreitung längs einer Symmetrieachse auf. Eine Welle mit beliebiger Ausbreitungsrichtung
besitzt sowohl longitudinale als auch transversale Komponenten.
Bei der zwei- oder mehratomiger Basis ändert sich das Bild nicht grundlegend. Für jeden
Wert von k gibt es 3p Äste, wobei p die Zahl der Teilchen in der Elementarzelle ist. Für eine
zweiatomige Basis gibt es also sechs Äste, für eine dreiatomige Basis neun Äste, usw. Drei
dieser Äste sind stets akustischer Natur, alle anderen sind optischer Natur. Je einer dieser drei
Äste ist longitudinal polarisiert, die zwei anderen transversal.
Fig. 8.1:
Schematische Darstellung der akustischen
und optischen Äste eines dreidimensionalen
Kristalls mit zweiatomiger
Basis.
„LO“ bedeutet „Longitudinal optisch“,
„TO“ bedeutet „Transversal optisch“,
usw.
Aus C.F. Klingshirn, „Semiconductor
Optics“ 3. Auflage (2006).
27

Bei transversaler Auslenkung erfolgt die Rückstellkraft im Kontinuum durch Scherkräfte. Für
die Feder- oder Kopplungskonstante D ist daher nicht der Elastizitätsmodul maßgebend,
sondern der Schermodul. Dieser ist im Allgemeinen kleiner ist als der Elastizitätsmodul. Die
Frequenzen der transversalen Äste sind daher kleiner als die des longitudinalen Astes.
Gemessen werden Phonondispersionen mit unelastischer Neutronenstreuung. Thermische
Neutronen weisen Energien auf, die im Bereich typischer Phononenergien von einigen
wenigen bis einigen 10 meV liegen, bei gleichzeitig ausreichend großen Impulsen, um die
gesamte Brillouin-Zone auszumessen. Der Kristall wird dabei so orientiert, dass der
Impulsübertrag längs der gewünschten Raumrichtung stattfindet. Als Raumrichtung werden
Kristallachsen hoher Symmetrie gewählt, bei denen, soweit möglich, rein longitudinale und
transversale Moden vorliegen.
Phonondispersion von Natrium bei 90 K, gemessen mit unelastischer Neutronenstreuung
längs der Richtungen [100], [110] und [111] des kubisch flächenzentrierten Gitters von Na.
Aus: Ch. Kittel, Festkörperphysik, 9. Auflage, Seite 124.
28

9. Zur Fourier-Analyse (harmonische Analyse)
Die allgemeine Bewegung x(t) eines Massepunktes der Kette setzt sich aus den zwölf
harmonischen Eigenmoden ∼cos(ω n t) additiv zusammen. Daher ist auch die allgemeine
Bewegung x(t)
n 12
∑ =
n=1
( ω ) cos( ω t)
x(
t)
= a
mit den Amplituden a(ω n )
n
n
eine periodische Funktion der Zeit.
Nun kann jede periodische Funktion trigonometrisch, d.h. in eine Fourierreihe entwickelt
werden. Die Fourierreihe von x(t) ist (bis auf eine Konstante) identisch zur obigen Summe.
Sie enthält nur zwölf gerade Summanden und damit nur zwölf Fourierkoeffizienten a(ω n ).
Ist eine Funktion x(t) nur auf einem diskreten System von Punkten t bekannt, so können ihre
Fourierkoeffizienten mit dem Verfahren der so genannten schnellen Fouriertransformation
numerisch effizient berechnet werden (Bronstein 24. Auflage, S. 616).
Das Spektrum der Fourierkoeffizienten a(ω) hat nur an den Stellen ω n von Null verschiedene
Werte. Dieses sogenannte Fourierspektrum besteht für unsere Massenpunktbewegung x(t)
also aus zwölf Spikes an den Stellen der zwölf Eigenfrequenzen ω n . Die Höhe der Spikes
entspricht der Amplitude a(ω n ), mit der die Mode n zur Gesamtbewegung x(t) beiträgt.
Da im Versuch x(t) mit einer Kamera gemessen wird, die mit einer bestimmten Taktfrequenz
ausgelesen wird, besteht die Zeitachse tatsächlich aus äquidistanten Punkten und die schnelle
Fouriertransformation kann angewendet werden.
Die Ermittlung der Fourierkoeffizienten einer periodischen Funktion heißt Fourieranalyse
oder auch harmonische Analyse.
29