EINSTEIN – DE HAAS E F F E K T

EINSTEIN – DE HAAS
E F F E K T
Historischer Aufbau des Einstein - de Haas Experiments in der PTB
(Physikalisch-Technische Bundesanstalt)

INHALT: EINSTEIN - DE HAAS EFFEKT
Deckblatt .....................................................................................................................................................1
Inhalt: Einstein-de-Haas-Effekt ..............................................................................................................2
Stichworte und Literaturhinweise ...............................................................................................................3
1. Einleitung und historischer Zusammenhang……......................................................................................4
2. Gyromagnetisches Verhältnis und Landé-Faktor……..............................................................................7
3. Berechnung des Landé-Faktors mit experimentellen Größen ................................................................9
4. Torsionsschwingungen…........................................................................................................................10
4.1 Die Schwingung………….........................................................................................................10
4.2 Die Differentialgleichung…………….......................................................................................11
5. Die Magnetisierung……….....................................................................................................................13
5.1 Die Magnetisierung eines Stoffes..............................................................................................13
5.2 Die Hysterese ...........................................................................................................................13
5.3 Berechnung des Magnetfeldes einer Spule...............................................................................14
5.3.1 Durchflutungsgesetz - das Ampèresche Gesetz…...........................................................14
5.3.2 Magnetfeld eines geraden Leiters…................................................................................14
5.3.3 Magnetfeld einer Zylinderspule.......................................................................................15
5.4 Mathematischer Einschub - Fourier-Analyse..........................................................................15
5.5 Berechnung von M &
max
…........................................................................................................16
5.5.1 Herleitung von (dM/dt) 1 aus der Sättigungsmagnetisierung M s ……...............................17
5.5.2 Herleitung von (dM/dt) 1 aus genauerer Betrachtung von dM / dt…...….........................19
6. Das Erdmagnetfeld…...............................................................................................................................20
6.1 Das Magnetfeld der Erde…......................................................................................................20
6.2 Das resultierende Drehmoment…............................................................................................20
6.3 Die Abschirmung des Erdmagnetfeldes…...............................................................................21
7. Zusammenfassung……............................................................................................................................22
8. Der Versuchsaufbau…….........................................................................................................................23
9. Aufgabenstellung: Einstein - de Haas Effekt………...............................................................................26
2

Stichworte
gyromagnetisches Verhältnis, Landé-Faktor, erzwungene Schwingungen, Magnetisierung, Hysterese,
Induktionsgesetz, Erdmagnetfeld, Fourieranalyse, ballistisches Galvanometer
Literatur
[1] Paul A. Tipler - Physik
[2] Westphal - Physikalisches Praktikum
[3] Richard P. Feynman - Vorlesungen über Physik, Band II [4] Halliday/Resnick - Physik 2
[5] Bergmann/Schäfer - Elektromagnetismus
[6] A. Einstein und W.J. de Haas - Verh. d. dtsch. Phys. Ges. 1915
Maximilian Schuster /2005
3

1. EINLEITUNG UND HISTORISCHER ZUSAMMENHANG
Um 1820 entdeckte H. C. Oerstedt, dass ein
elektrischer Strom durch einen Leiter zu einer
Auslenkung einer in der Nähe befindlichen
Magnetnadel führt; dass also ein
stromdurchflossener Leiter von einem
Magnetfeld umgeben ist.
Man sah sich nun mit dem Problem
konfrontiert zwei „Arten“ von Magnetismus
unterscheiden zu müssen. Zum einen war es
die magnetische Wirkung, die von einem
stromdurchflossenen Leiter ausgeht - Magnetismus
durch bewegte Ladung - andererseits
waren da die ferromagnetische Stoffe wie
Eisen, Kobalt und Nickel, die offenbar
magnetisiert werden konnten und somit ein
magnetisches Feld besaßen, ohne dafür
irgendeinen fließenden Strom zu benötigen.
Um gleiche Wirkungen auf gleiche Ursachen zurückzuführen, begab man sich nun auf die Suche nach
den elektrischen Strömen (sich bewegende Ladungsträger; im Inneren der ferromagnetischen Stoffe.
Kurz nach Oerstedts Entdeckung stellte A. M. Ampère sein Modell der Molekularströme vor. Diese
Hypothese postulierte elektrische Ströme in den Molekülen der Ferromagnetika. Damit ließ sich zwar der
Ferromagnetismus auf bewegte Ladungsträger zurückführen, aber es gab ein großes Problem: diese
Ströme hätten widerstandslos fließen müssen und da dies nach damaligem Kenntnisstand unmöglich
schien, verwarf man die Idee wieder.
In Anlehnung an Rutherfords Vorstellung des Atoms - der
Atomkern ist winzig klein im Vergleich zu den Ausmaßen des
ganzen Atoms - formulierte Niels Bohr 1913 sein Atommodell
in Analogie zum Aufbau unseres Planetensystems. Demnach
würden sich die Elektronen auf stationären, kreisförmigen
Bahnen um den Atomkern herum bewegen. Elektronen jedoch,
die sich auf einer Kreisbahn um den Kern bewegen, stellen einen
reibungsfreien, geschlossenen Stromkreislauf dar und laut
Oerstedt erzeugt jeder elektrische Strom auch ein magnetisches
Feld. Die Richtung des erzeugten magnetischen Momentes ist
für ein negativ geladenes Teilchen
antiparallel zum Bahndrehimpuls (also
antiparallel zur Rotationsachse des
Elektrons). Aus der Kopplung dieser zwei
Achsen folgt, dass wenn man eine davon
dreht, die jeweils andere automatisch mitgedreht wird. Mit Hilfe dieses Modells, so
schien es, hatte man endlich die sich bewegenden Ladungsträger, somit die
elektrischen Ströme und vor allem die elementaren magnetischen Momente im
Inneren der ferromagnetischen Stoffe gefunden und man hatte auch das Problem mit
dem Widerstand nicht mehr. Aus heutiger Sicht handelt es sich dabei um das mit
dem Bahndrehimpuls verknüpfte magnetische Moment der Elektronen.
Von Bohrs Modell inspiriert, entwarfen A. Einstein 1 und W. J. de Haas ein
gyromagnetisches 2 Experiment, das sie 1915 in Deutschland durchführten. Dieser Versuch sollte
beweisen, dass sich das Phänomen des Ferromagnetismus tatsächlich auf die magnetischen Momente der
einzelnen Elektronen (auf ihren Bahnen um die Kerne) zurückführen lässt. In einfachen Worten kann man
1 Dies war Einsteins einziges veröffentlichtes Experiment. Seine Veröffentlichungen betrafen üblicherweise die theoretische Physik.
2 gyromagnetisch : kreiselmagnetisch; gyros Kreis, Drehung
4

sagen, dass sie ein Magnetfeld auf einen Eisenstab wirken ließen, und dann eine Rotation des Stabes
feststellten (Abb.1.2). Die Rotation des Stabes resultiert aus der Erhaltung des
Drehimpulses. Wenn sich die magnetischen Momente an dem äußeren Magnetfeld
ausrichten, dann drehen sich wegen der Richtungskopplung auch die Achsen der
Bahndrehimpulse mit und der Eisenstab muss darauf, makroskopisch sichtbar, mit
einer Rotation reagieren um den Gesamtdrehimpuls zu erhalten. Aus dieser
Rotation und dem angelegten Magnetfeld konnten sie den Landé-Faktor im
gyromagnetischen Verhältnis 33 berechnen, erhielten aber nur sehr ungenaue Werte,
die sie als g = 1 interpretierten.
Da in diesen Jahren der erste Weltkrieg die westliche Welt in Atem hielt, wussten
Einstein und de Haas nicht, dass S. J. Barnett in den USA bereits 1914 ein ganz
ähnliches Experiment durchgeführt hatte. Barnett ging allerdings von dem
umgekehrten Ansatz aus. Er rotierte einen entmagnetisierten Eisenstab und stellte dann, wiederum wegen
der Achsenkopplung von magnetischem Moment und Drehimpuls, eine zwar schwache aber dennoch
messbare Magnetisierung des Eisenstabes fest. Der von ihm berechnete Landé-Faktor betrug jedoch g = 2
(±12%).
Wiederholungen des von Einstein und de Haas konzipierten Experimentes zwischen 1918 und 1920
bestätigten Barnetts Ergebnis.
Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass Einstein und de Haas die richtige Idee hatten, wie man den
Ursachen des Ferromagnetismus experimentell näher kommt, sie irrten sich jedoch bei der Interpretation
ihrer Ergebnisse, denn sie gingen davon aus, dass das magnetische Moment von der Bewegung des
Elektrons um den Kern herrührt, dies erklärt auch warum sie g = 1 interpretiert hatten.
Tatsächlich verhält es sich aber so, dass der Effekt hauptsächlich durch den Elektronenspin
hervorgerufen wird (g = 2!). M. Abraham hatte zwar bereits 1903 gezeigt, dass ein um seine Mittelachse
rotierendes, kugelförmiges Teilchen mit homogener Oberflächenladungsdichte einen g-Faktor von 2 hat,
der Elektronenspin als solcher war 1915 aber noch unbekannt.
Als W. Pauli 1925 den Elektronenspin s = ħ / 2 einführte, erntete er zunächst Widerspruch, da sich
Teile des Elektrons mit Überlichtgeschwindigkeit hätten bewegen müssen. Heute betrachtet man den Spin
3 Das gyromagnetische Verhältnis y ist der Quotient aus magnetischem Moment und Drehimpuls. Dieses Verhältnis enthält den so genannten
Lande• Faktor. Für ein Elektron auf einer Kreisbahn bekommt man einen Landé-Faktor von g = 1; für den Spin des Elektrons g = 2. (-> Kap. 2)
5

als inneren Freiheitsgrad des Elektrons und verzichtet auf die makroskopische Vorstellung einer
rotierenden Kugel.
Im Prinzip gleicht das Einstein-de-Haas-Experiment der bekannten
Vorlesungsdemonstration mit Drehstuhl und Schwungrad zur Erhaltung des
Drehimpulses. Eine Person sitzt auf dem ruhenden Stuhl während eine andere
das Rad in Schwung bringt. In dem Augenblick in dem die Person auf dem
Stuhl das Rad mit vertikaler Drehachse übernimmt, passiert noch nichts.
Wenn aber die Drehachse nun um 180° gedreht wird, dann fängt auch die
Person auf dem Stuhl an sich zu drehen. Durch eine weitere Drehung der
Drehachse - diesmal um -180° - ändert sich auch der Drehsinn des Systems
Stuhl/Person. Man kann nun eine Resonanzschwingung anregen indem man
immer dann die Drehachse des Rades umkehrt wenn der Stuhl durch seine
Ruheposition geht.
In unserem Fall entspricht das Schwungrad den elementaren magnetischen
Momenten der Elektronen und das System Stuhl/Person dem ferromagnetischen Stab.
Abb 1.3 Analogie zum
Einstein - de Haas Effekt
Der Einstein-de-Haas-Effekt ist wegen g ≈ 2 der makroskopische Beweis dafür, dass der Ferromagnetismus
zu ungefähr 95% auf den magnetischen Spinmomenten einzelner Elektronen beruht. Die
restlichen 5% rühren von den magnetischen Bahnmomenten dieser Elektronen.
Zum theoretischen Konzept des Experimentes
Obwohl der Ferromagnetismus und damit der Einstein-de-Haas-Effekt eigentlich vorwiegend quantenmechanische
Phänomene sind, beruhen die zum Durchführen des Experimentes notwendigen
theoretischen Grundlagen auf der klassischen Physik.
Der gedankliche rote Faden - sowohl durch die Mappe als auch durch den Versuch - ist, dass man bei
der Vorbereitung - genauso wie Einstein und de Haas - davon ausgeht, dass der beobachtete Effekt durch
die Drehung der Elektronen um die Atomkerne verursacht wird. Aufbauend auf diese Vorbereitung
berechnet man dann den Landéschen g-Faktor und erwartet den Wert g = 1. Unter idealen Bedingungen
würde man aber g = 2 erhalten.
Dieses laut Vorbereitung 'falsche' Resultat ist dennoch richtig wenn man eben nicht mehr von der Bahndrehbewegung
der Elektronen ausgeht, sondern von der Eigendrehbewegung (Quantenmechanik!). Die
für diesen Versuch notwendigen, klassisch hergeleiteten Formeln sind auch quantenmechanisch korrekt.
(siehe auch die Bemerkung am Ende des 2. Kapitels)
Alle Daten, die man zur Berechnung des Landéschen g-Faktors braucht, erhält man aus dem Magnetfeld
der Spule, in der sich der Stab befindet und der Drehung des Stabes.
6

2. GYROMAGNETISCHES VERHÄLTNIS UND LANDÉ-FAKTOR
Das gyromagnetische Verhältnis ist der Quotient aus dem magnetischen Moment und dem Gesamtdrehimpuls
eines geladenen Teilchens. Für ein gegebenes Teilchen und eine bestimmte Rotation - entweder
auf einer Kreisbahn oder um sich selbst - ist das Verhältnis zwischen dem Drehimpuls und dem
magnetischen Moment unabhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens oder dem Radius der
Kreisbahn. Es hängt nur von der Ladung und der Masse des Teilchens ab.
Für ein Elektron auf seiner Bahn um den Atomkern (ohne Berücksichtigung seines Spins) berechnet sich
das gyromagnetische Verhältnis folgendermaßen:
Magnetisches Bahnmoment
Da jedes sich bewegende, geladene Teilchen 4 einen
elektrischen Strom darstellt, erzeugt es ein
magnetisches Feld dessen Richtung durch das
magnetische Moment gegeben ist. Dieses
magnetische Moment berechnet sich aus dem Strom
und der von der Elektronenbahn eingeschlossenen
Fläche:
r r
μ = I ⋅ A (Def .) (2.1)
l
Die Stromstärke ist nach Definition die Ladung pro
Zeit. Für das Elektron gilt demnach:
ω
I r = ( −e)
⋅ν
mit ν =
(2.2)
2π
Wenn man davon ausgeht, dass die
eingeschlossene Fläche ein Kreis ist (A = π r 2 ),
ergibt sich für das magnetische Moment die
skalare Größe:
1 2
I ⋅ A
r = μl = ( −e)
r ω (2.3)
2
Abb. 2.1 Das magnetische Moment eines
geladenen Teilchens auf einer Kreisbahn
Bahndrehimpuls
Der Bahndrehimpuls eines Elektrons auf einer
Kreisbahn ist definiert als
r r r
L = × p (Def.) (2.4)
r r = ⋅ × v
.
m e
wobei m e die Masse des Elektrons ist, r der Abstand
des Elektrons vom Kern, v der
Geschwindigkeitsvektor und p der Impuls. Da man
die Größen skalar betrachten kann und außerdem
r r r
v = ω ×
(oder eben skalar v = ω r) gilt, folgt
daraus:
2
L = m r ω
(2.5)
e
Abb. 2.2 Der Bahndrehimpuls eines Teilchens auf
einer Kreisbahn
4 Das Neutron (elektrisch neutral) ist überraschenderweise magnetisch nicht neutral. Sein magnetisches Spinmoment entspricht dem einer
rotierenden negativen Ladung.
7

Das Verhältnis des magnetischen Momentes zum Bahndrehimpuls lautet damit:
Diese klassische Herleitung gilt für ein Elektron ohne Spin auf einer Kreisbahn. Wenn man nun ein
Elektron betrachtet, welches sich nur um sich selbst dreht, ohne sich auf einer Kreisbahn zu bewegen, so
erhält man aus rein quantenmechanischen Gründen - es gibt dafür keine klassische Erklärung - ein
gyromagnetisches Verhältnis, das doppelt so groß ist:
Das gyromagnetische Verhältnis eines Teilchens hängt also zum einen von dessen Ladung q und Masse
m q ab und zum anderen von der Art der Drehbewegung. Die Art der Drehbewegung spiegelt sich im
Landé-Faktor - oder auch g-Faktor - wider. g, steht für eine Kreisbahnbewegung und g s für eine
Eigendrehbewegung 5 . g j steht für die Kombination der beiden Rotationsarten 6 , mit J= L+ S.
Das allgemeine Verhältnis y l,s,j > für ein Teilchen lautet dann:
Bei einem Elektron, welches sich um einen Atomkern bewegt, überlagern sich das magnetische
Bahnmoment und das Spinmoment aber letzteres dominiert (~95%). Deshalb haben wir in der Einleitung
gesagt der Ferromagnetismus sei ein 'vorwiegend' quantenmechanisches Phänomen.
Bemerkung
Eine quantenmechanische Herleitung der Gleichungen (2.7) bzw. (2.10) würde vertiefte Kenntnisse der
Quantenelektrodynamik voraussetzen, wir wissen aber, dass sie korrekt sind. Die Gleichungen (2.6) bzw.
(2.9) sind - wie in der Einleitung bereits erwähnt - ebenfalls quantenmechanisch korrekt sind, obwohl wir
sie klassisch hergeleitet haben.
Dies ist der Grund warum wir die ganze Herleitung klassisch - und damit einfacher zu verstehen -
gehalten haben, denn das Ergebnis ist auch quantenmechanisch richtig. Und das ist auch der Grund
warum das klassisch 'falsche' Resultat g = 2 so einfach quantenmechanisch als richtig interpretiert werden
kann.
5 Zahlenwerte für gs : theoretisch g s = 2,002 319 304 76 ; experimentell g s = 2,002 319 304 82
6 Der Bahndrehimpuls L und der Eigendrehimpuls S addieren sich zum Gesamtdrehimpuls J.l , s und j sind die zugehörigen Quantenzahlen.
8

3. BERECHNUNG DES LANDÉ-FAKTORS MIT
EXPERIMENTELLEN GRÖSSEN
Da sich das magnetische Moment und der Drehimpuls eines Elektrons nicht unmittelbar messen lassen,
muss man zur Berechnung des Landé-Faktors auf andere, experimentell bestimmbare Meßgrößen
zurückgreifen. Dazu gehen wir von der Gleichung (2.9) 7 aus:
g
l
me
µ
l
= 2 (3.1)
− e L
Die Magnetisierung M eines ferromagnetischen Stabes ist gleich dem Quotienten aus dem gesamten
magnetischem Moment und dem Volumen des Stabes (siehe Gl.(5.1)). In unserem Fall ist das gesamte
magnetische Moment r μ Stab = N· r μ l, wobei r μ l das magnetische Bahnmoment eines einzelnen Elektrons
ist. N ist die Anzahl der ungepaarten Elektronen im Stab deren Spin- beziehungsweise Bahndrehimpulse
nicht kompensiert sind; die anderen Elektronen sind in tieferen, abgeschlossenen Schalen der Atome, wo
sich deren Impulse zu Null summieren. Demnach gilt für die Magnetisierung:
r
r
µ
r
r
Stab
N ⋅ µ
M = (Def.)
l
→ M =
(3.2)
VStab
VStab
Für den Gesamtdrehimpuls des Stabes gilt:
r r
= N ⋅ L ( L r ist der Bahndrehimpuls eines einzelnen Elektrons) (3.3)
L Stab
Wenn man nun die Gleichungen (3.2) und (3.3) nach r μ beziehungsweise L r auflöst und die Beträge in
Gleichung (3.1) einsetzt, so erhält man:
me
M ⋅VStab
gl
= 2 (3.4)
− e L
Stab
Man beachte, dass die Anzahl N der ungepaarten Elektronen durch diese Quotientenbildung wegfällt.
Aufgrund der Torsionsschwingung des Stabes in unserem Experiment sind die Magnetisierung und der
Drehimpuls des Stabes Funktionen der Zeit, also M(t) und L Stab (t). Was man also in Gleichung (3.4)
eigentlich betrachtet, sind die zeitlichen Änderungen dieser Größen:
2m
M&
e
max
d
gl
= VStab
⋅ mit D ( t)
= L & ( t)
= L(
t)
(Def.) (3.5)
− e D
dt
max
Somit hätten wir den Landé-Faktor auf die experimentell bestimmbaren Größen 'zeitliche Änderung der
Magnetisierung' dM(t)/dt und Drehmoment D(t) das auf den Stab wirkt, zurückgeführt, da alles andere
Konstanten sind. Zur expliziten Berechnung des g-Faktors in Gleichung (3.5) betrachten wir die zwei
Größen zu dem Zeitpunkt in dem die jeweiligen Amplituden maximal sind - also M & max
und D max
2m
M&
e
max
gl
= ⋅VStab
⋅
− e Dmax
(3.6)
M & max
und D max werden in den nun folgenden Kapiteln 4 bzw. 5 hergeleitet.
7 An der Vektorform der Gleichung (2.9) kann man sehen, dass das magnetische Bahnmoment und der Bahndrehimpuls des Elektrons
antiparallel zueinander sind, und es wird klar, dass eine Richtungsänderung des magnetischen Momentes zu einer Änderung des Drehimpulses,
also zu einem Drehmoment D führt:
r − e
µ
l
= gl
2m
e
r
L
9

4. TORSIONSSCHWINGUNGEN
Ziel dieses Kapitels ist es, die für uns notwendigen theoretischen Grundlagen der Torsionsschwingungen
zu verdeutlichen und eine Formel für das maximale Drehmoment D., welches man zur Berechnung des g-
Faktors braucht (→ Gl. (3.6)), zu finden.
Wie schon in der Einleitung erwähnt, beruht der Einstein - de Haas Effekt darauf, dass sich der Stab
aufgrund der Drehimpulserhaltung dreht. Man schickt also einen Strom durch die Spule, in der der Stab
hängt; durch das äußere Magnetfeld werden die elementaren magnetischen Momente ausgerichtet und
dadurch auch die Bahn- beziehungsweise Spindrehimpulse der Elektronen. Diese Änderung der
Drehimpulse führt zu einem Gesamtdrehmoment, auf das der Stab mit einer makroskopischen Drehung in
umgekehrter Richtung reagiert.
Einstein und de Haas benutzten in ihrem Versuch einen großen Kondensator, der bei seiner Entladung
den Strom für die Spule zur Verfügung stellte. Die daraus resultierende Drehung des ferromagnetischen
Stabes war aber wegen des kurzzeitigen Stromstosses ziemlich klein und die Magnetisierung des Stabes
erst recht. Eine diesbezügliche Verbesserung des Versuchsaufbaus besteht darin, die Spule mit
Wechselstrom zu betreiben. Der Vorteil dabei ist, dass der Stab zu einer Torsionsschwingung angeregt
wird und im Falle der Resonanzschwingung wird die Drehung des Stabes so verstärkt, dass die
gemessenen Daten um einiges präziser werden.
4.1 Die Schwingung
Die hier betrachtete Schwingung ist eine erzwungene,
harmonische Torsionsschwingung mit schwacher
Dämpfung. Erzwungen ist die Schwingung, weil das
System von außen durch einen cosinusförmigen Strom
angeregt wird und die schwache Dämpfung beruht auf
den Torsionseigenschaften des Glasfadens an dem der
ferromagnetische Stab hängt.
Nach der Einschwingphase dreht sich der Stab mit der
Anregefrequenz der Spule. Je weiter die Anregefrequenz
ω err von der Eigenfrequenz ω 0 der ungedämpften
Schwingung entfernt ist, desto kleiner wird die
Amplitude der Drehung. Nähert man sich hingegen mit
der Erregerfrequenz der Eigenfrequenz, so wird die
2
Amplitude immer größer und für eine schwache Dämpfung (ω 0 » β 2 ), wie hier der Fall, erreicht man für
ω err → ω 0 die maximal mögliche Amplitude (→ Abb. 4.1). Die Resonanzkurve hat eine Breite von D ω =
2 ß bei der Amplitude ˆ α 2 .
Nach Abschalten des Spulenstroms fällt die
Erregerschwingung weg und der Stab geht mit
einer gedämpften Schwingung langsam zurück in
seine Ruheposition. Die Drehamplitude nimmt
dabei exponentiell ab und wird deshalb durch ihre
Einhüllende beschrieben, wie man in Abbildung
4.2 sehen kann:
α t
e
−β
t
( ) α ⋅
(4.1)
= ˆ
Dabei ist α der Winkel um den sich der Stab
dreht und ß die Dämpfungs- oder
Abklingkonstante. Die Dämpfungskonstante lässt
sich mit Hilfe von Gleichung (4.1) oder alternativ
aus der Breite der Resonanzkurve bestimmen.
10

4.2 Die Differentialgleichung
Die Bewegungsgleichung für eine erzwungene, harmonische Torsionsschwingung mit schwacher
Dämpfung lautet:
2 Dmax
& α + 2βα&
+ ω0α
= cos( ωerr
) (Def.) (4.2)
θ
D max bezeichnet die maximale, reelle Amplitude des Drehmomentes wie in Kapitel 3. Um einfacher
rechnen zu können, betrachten wir diese Gleichung als Realteil folgender Differentialgleichung:
Dabei bezeichnet ß die Dämpfungskonstante
D
θ
2 max iω
& errt
+ 2 βα&
+ ω0α
= e
(4.3)
α
ω 0 die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung
Dˆ die komplexe Amplitude des Drehmomentes
θ das Trägheitsmoment des Stabes
ω err die Erregerfrequenz.
Mathematisch gesehen ergibt sich die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung aus
der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung plus eine spezielle Lösung
der Inhomogenen. Um D max zu bestimmen, brauchen wir aber die allgemeine Lösung nicht, wenn wir
nach Einschalten des Wechselstromes nach (4.1) einige ß -1 warten (die Einheit von ß -1 ist [s]). Wir können
einen Ausdruck für D max aus der speziellen Lösung der Inhomogenen herleiten.
Nach der Einschwingphase schwingt der Stab mit der Erregerfrequenz. Die Funktion α(ω err , t), welche
diese Drehung beschreibt, ist die stationäre Lösung der Differentialgleichung (4.3) und man macht
folgenden Ansatz (α 0 ist die komplexe Amplitude):
iωerrt
α( ωerr
, t)
= α
0e
(4.4)
Die Gleichung (4.4) leiten wir zwei Mal nach der Zeit ab, setzten es in Gleichung (4.3) ein und kürzen
den Exponentialterm:
2
2 D
α
0ω
err
+ 2 βα
0iωerr
+ ω0α
=
(4.5)
θ
−
0
Umstellung nach Dˆ liefert:
2
( ω −ω
) + i βω )
ˆ 2
ˆθ
⋅
0 err
⋅
D = α 2
(4.6)
err
Der Betrag von Dˆ ist das in Kapitel 3 gesuchte, maximale, reelle Drehmoment D max :
D
2 2 2
( ω ) ( ) )
2
0
−ωerr
βωerr
= ˆ ˆ
(4.7)
2 2
max
D = α θ ⋅
+ 2
D
2 2 2
( ω −ω
) ( βω ) 2
= ˆ
.
max
α θ
0 err
+ 2
Wie wir in diesem Kapitel weiter oben bereits gesehen haben, ist nur die Resonanzschwingung für uns
interessant, weil in diesem Fall die Drehamplitude des Stabes sehr groß wird. Das heißt, daß wir uns nicht
für irgendeine Drehamplitude α 0 bei irgendeiner Erregerfrequenz ω 0 , interessieren, sondern für die
Drehamplitude im Resonanzfall - also α Res und ω Res .
Um diese zwei Größen mit D max in Verbindung zu bringen, stellen wir zuerst die Gleichung (4.7) nach α 0
um:
err
11

α
D
θ
max
0
= ⋅
(4.8)
2 2
2 2
( ω −ω
) + 4β
ω
0
err
1
Da die maximale Amplitude der Drehung von der Anregefrequenz abhängt, erhalten wir durch
Nullsetzung der ersten Ableitung von α 0 nach ω 0 , die Bedingung dafür, dass die Amplitude maximal wird
und somit die Schwingung in Resonanz ist - wir erhalten also die Resonanzfrequenz und die
Resonanzamplitude:
dα
0
= 0
dω
Re s
err
2
0
err
(4.9)
2
→ ωerr = ω = ω − 4β
(4.10)
Die Gleichung (4.10) in (4.8) eingesetzt liefert die Resonanzamplitude α Res :
α
D
1
max
Re s
= (4.11)
θ 2βω0
Da wir es mit einer schwach gedämpften Schwingung zu tun haben, gilt in Gleichung (4.10) ω 0
2
» β 2 und
somit folgt ω Res → ω 0 . Für die Gleichung (4.11) bedeutet das:
D
= βω α θ
(4.12)
max
2
Re s
Re s
Damit haben wir das maximale Drehmoment, wie wir es in Kapitel 3, Gleichung (3.6) gesucht hatten.
12

5. DIE MAGNETISIERUNG
Bevor wir in Kapitel 5.5 mit der Berechnung von M & max
beginnen, wollen wir zuerst ein paar Grundlagen
zum Thema Magnetisierung wiederholen, da wir später auf sie zurückgreifen werden.
5.1 Die Magnetisierung eines Stoffes
Wenn im Inneren eines Stoffes die elementaren, magnetischen Dipolmomente ausgerichtet werden, so
sagt man das Material sei magnetisiert. Diese Magnetisierung M v
ist definiert als resultierendes
magnetisches Moment pro Volumeneinheit:
r r
dµ
M = (Def.) (5.1)
dV
Dies bedeutet, dass ein magnetisierter ferromagnetischer Stab sein eigenes Magnetfeld hat. Wenn man
eine gleichmäßige Magnetisierung voraussetzt, so ergibt sich für das magnetische Feld des Stabes:
r r
= µ M
(5.2)
B Stab
0
Betrachten wir nun eine lange Zylinderspule. Bringt man den Stab in die Spule, so wird er durch das
H r -Feld der Spule magnetisiert und besitzt die Magnetisierung M r . Innerhalb der Spule setzt sich dann
das resultierende Magnetfeld B r Spule
aus dem von der Spule erzeugten Feld µ H
r
0 Spule
und dem Magnetfeld
des magnetisierten Stabes µ M
r
0
zusammen:
r r r
B = µ 0
H + M
(5.3)
Spule
( )
Spule
Dabei ist H r die durch den Spulenstrom hervorgerufene magnetische Erregung und B r die aus H r und
M r resultierende magnetische Flussdichte.
5.2. Die Hysterese
13

Wird ein entmagnetisierter, ferromagnetischer Stoff einem oszillierenden äußeren Magnetfeld
ausgesetzt, so werden im Inneren die elementaren magnetischen Momente ausgerichtet und der Stoff wird
magnetisch. Mit steigendem Magnetfeld H r nimmt auch die Magnetisierung M r des Materials zu; bis zur
Sättigung (). Selbst wenn dann H r noch weiter zunimmt, bleibt die Magnetisierung dieselbe. Wird das
äußere Magnetfeld wieder auf Null zurückgefahren, stellt man fest, dass M r nicht ebenfalls bei Null ist.
Es ist ein Remanenzfeld und eine Remanenzmagnetisierung übrig geblieben (). Um die Magnetisierung
auf Null zu bringen, muss man das H r -Feld umpolen und bis zur Stärke des Koerzitivfeldes steigern ().
Mit zunehmendem äußerem Magnetfeld erreicht die Magnetisierung die umgekehrte Sättigung ().
(Abb. 5.1)
5.3 Berechnung des Magnetfeldes einer Spule
5.3.1 Durchflutungsgesetz - das Ampèresche Gesetz
In speziellen, symmetrischen Fällen, wie bei einem gerader Leiter oder einer Spule, kann das
Durchflutungsgesetz dazu benutzt werden, das erzeugte Magnetfeld in Abhängigkeit vom angelegten
Strom zu berechnen. Dabei verknüpft dieses Gesetz die Tangentialkomponente des magnetischen
Feldstärke H r mit dem Strom I c , der durch die Fläche hindurchfließt, die von einer Kurve C umrandet
wird ( dl
r ist ein infinitesimal kleines Stück auf dieser Kurve). Die Kurve C läuft entlang einer
Magnetfeldlinie. Die Formel wird klarer wenn man sich die Abbildung 5.2 zum geraden Leiter anschaut.
∫ H r r
dl = IC
; C ist eine beliebige, geschlossene Kurve (Magnetfeldlinie) (5.4)
C
Das Durchflutungsgesetz kann aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden:
r r
rot H = j + D
&v r r r r
→ Hdl = jdf (für D &r = 0) (5.5)
∫ ∫ =
C
F
I C
5.3.2 Magnetfeld eines geraden Leiters
Dieser Abschnitt soll dem besseren
Verständnis des Durchflutungsgesetzes
dienen.
Wie wir wissen, laufen die Magnetfeldlinien
immer senkrecht zum elektrischen Leiter
(Rechte-Hand-Regel). Das Durchflutungsgesetz
integriert nun die Tangentialkomponente
des Magnetfeldes entlang der
Kurve C - also entlang einer Magnetfeldlinie -
und setzt es gleich dem Strom, der durch die
Fläche fließt, die von C umrandet wird.
Die Stärke des radialen Magnetfeldes nimmt
mit dem Abstand r zum Leiter ab. Das
bedeutet, dass auf einem Kreis mit Radius r
um den Leiter das Feld konstant ist. Je größer
der Radius ist, desto schwächer wird das Feld.
Somit sind wir in der Lage das H r -Feld des geraden Leiters anzugeben. Da die Kurve C ein Kreis mit
Radius r um den Leiter ist und I der Strom im Leiter, ergibt sich aus dem Durchflutungsgesetz:
r r
I
∫ Hdl = H ⋅ 2πr
= I → H =
2πr
C
(5.6)
14

5.3.3 Magnetfeld einer Zylinderspule
Im Zusammenhang mit unserem Experiment interessiert uns nur das Magnetfeld innerhalb der Spule, da
der Stab in der Spule hängt. Das Feld außerhalb hat für uns keinerlei Bedeutung. Das Feld innerhalb der
Spule sollte jedoch möglichst homogen sein. Aus diesem Grund benutzen wir eine lange, dicht gewickelte
Spule, bei der die Länge groß ist, im Verhältnis zum Durchmesser.
Für eine solche Spule kann man das äußere Magnetfeld vernachlässigen. Dies bedeutet, dass nur der Teil
der Kurve C, der innerhalb der Spule läuft, zum Integral beiträgt - dies ist aber gerade die Länge 1 der
Spule. Der Strom, der durch die von C umrandete Fläche fließt, ist gleich dem angelegten Strom
multipliziert mit der Anzahl N der Windungen der Spule. Da der Integrationsweg wieder entlang einer
Magnetfeldlinie verläuft, ist H r entlang dieses Weges konstant.
Aus dem Durchflutungsgesetz folgt dann:
∫
C
r r
Hdl = H ⋅l
= N ⋅ I
Spule
→
N ⋅ I
H =
l
Spule
(5.7)
5.4 Mathematischer Einschub - Fourier-Analyse
Jede periodische Funktion f(t) kann durch eine Fourierzerlegung mathematisch als Fourierreihe
beschrieben werden, das heißt als Summe von sinus- beziehungsweise cosinusförmigen
Teilschwingungen.
f ( t)
=
∑ ∞
n=
0
( a ⋅cos(
n t)
+ b ⋅sin(
nω
t )
Die Fourierkoeffizienten a n und b n sind definiert wie folgt:
n
ω (5.8)
0 n
0
)
a
b
n
n
2
=
T
2
=
T
T
∫
0
T
∫
0
f ( t)cos(
nω
0
t)
dt
f ( t)sin(
nω
0
t)
dt
15

5.5 Berechnung von M &
max
Das Magnetfeld der Feldspule wird mit Hilfe eines cosinusförmigen Wechselstromes erzeugt, woraus
mit Gleichung (5.6) folgt, dass H(t) ebenfalls cosinusförmig sein wird:
N
H ( t)
= ⋅ Iˆ
⋅cos(
ω
Re st)
(5.9)
l
Aufgrund der Hystereseeigenschaft des ferromagnetischen Stabes wird die zeitliche Entwicklung der
Magnetisierung und von B r
, nicht ebenfalls cosinusförmig sein; vielmehr wird die Amplitude im
Spule
Bereich der Sättigung abgeplattet sein. Und das wiederum führt zu dem zackenförmigen Aussehen der
zeitlichen Ableitung der Magnetisierung. Die Spitzen der Kurve werden immer mehr zu δ-Peaks, je
weiter man den Stab in die Sättigung fährt. Wenn man also die maximale Amplitude des äußeren
Magnetfeldes so wählen würde, dass die Magnetisierung des Stabes an den Umkehrpunkten exakt die
Sättigungsmagnetisierung erreichen würde, dann wären alle drei Funktionen - das Magnetfeld der Spule,
die Magnetisierung des Stabes und dessen zeitliche Ableitung - ziemlich genau cosinus- beziehungsweise
sinusförmig (Abb. 5.1).
Da im Resonanzfall hauptsächlich nur die erste
Fourierkomponente des Drehmomentes als
Anregung wirkt, ist es günstig die zeitliche
Änderung der Magnetisierung in eine
Fourierreihe zu entwickeln und nur noch mit der
Grundschwingung (also n = 1) weiterzuarbeiten.
Wie man in Abb. 5.5 sieht, trägt die 2.
Fourierkomponente nicht zur Amplitude der
Magnetisierungsänderung bei und die weiteren
Komponenten haben bereits eine so kleine
Amplitude, dass man sie vernachlässigen kann.
Aus diesem Grund werden wir ab jetzt die
maximale Amplitude der Magnetisierungsänderung
M &
max
, mit der maximalen Amplitude
der ersten Fourierkomponente abschätzen. Das
heißt, wir werden diesen ersten
Fourierkoeffizienten anstelle von M & max
in die
Formel für den Landé-Faktor einsetzen (Gl. (3.6)).
Die Funktion dM/dt ist ungerade (d.h. dM/dt(t 0 )= - dM/dt(-t 0 )) und deshalb fällt der cosinusförmige Teil
der Fourierzerlegung weg; außerdem wird aus der Frequenz ω 0 in Gleichung (5.8) unsere
Resonanzfrequenz ω Res :
dM
dt
⎛ dM ⎞
= ∑ ∞ ⎜ ⎟
n=
1 ⎝ dt ⎠
n
⋅sin(
nω
Der uns interessierende erste Koeffizient ergibt sich für n=1 zu
⎛ dM ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
1
2
=
T
T
∫
0
dM
dt
Und unsere weiter oben gemachte Abschätzung liefert
Re s
t)
(5.10)
⋅sin(
ω t)
dt
(5.11)
1
Re s
⎛ dM ⎞
M & max
≈ ⎜ ⎟ (5.12)
⎝ dt ⎠
Um die Änderung der Magnetisierung messen zu können, müssen wir in unsere Feldspule (S l mit N l
Windungen) eine Induktionsspule (S 2 mit N 2 Windungen) bringen, um dann aus der Induktionsspannung
einen Ausdruck für die zeitliche Ableitung der Magnetisierung herleiten zu können.
16

Die induzierte Spannung wird erzeugt durch:
r &r ∂ r r
rot E = −B
= μ
0
( H + M )
(5.13)
∂t
Das Induktionsgesetz besagt, dass durch einen zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss eine
Spannung in der Induktionsspule induziert wird.
d
−U ind
= N 2
⋅ Φ
(5.14)
dt
Ganz allgemein ist der magnetisch Fluß Φ durch eine beliebig geformte Fläche F definiert als:
Φ = B
r
df
r
= B r
dF n
(Def.) (5.15)
∫
F
∫
F
Hierbei bezeichnet B n den Anteil des Magnetfeldes, der senkrecht auf dem Flächenelement dF steht. Da
in unserem Versuch auch die Änderung des magnetischen Flusses außerhalb des Stäbchens zu
berücksichtigen ist, ergibt sich
→
d
dt
⎛ r r ⎞
= μ ⎜ + ⎟
0
HdF MdF
(5.16)
⎜
⎟
⎝
FSpule
FStab
⎠
Φ ∫ ∫
( F H F M )
= µ 0 Spule
+
Stab
⎛ dH dM ⎞
Φ = μ
0⎜
FSpule
+ FStab
⎟
(5.17)
⎝ dt dt ⎠
F Spule und F Stab sind die Querschnittsflächen der Induktionsspule beziehungsweise des Stabes.
Für die Induktionsspannung ergibt sich damit:
dH
dM
− U
ind
= µ
0
N
2FSpule
+ µ
0N
2FStab
(5.18)
dt
dt
Wir werden in den folgenden zwei Kapiteln zwei Arten kennen lernen wie man (dM / dt) herleiten kann.
Einmal aus der Sättigungsmagnetisierung und einmal über den zeitlichen Verlauf der Magnetisierungsänderung.
Beide Varianten beginnen mit der Amplitude der Grundschwingung, also mit dem ersten
Fourierkoeffizienten wie er in der Gleichung (5.11) definiert ist. Die zweite Variante führt zu einem
genaueren Wert für (dM / dt).
5.5.1 Herleitung von (dM/dt) 1 aus der Sättigungsmagnetisierung M s
Unter der Annahme, dass die Peaks der Magnetisierungsänderung schmal sind gegenüber der
Periodendauer T, kann man (dM/dt) 1 aus der Sättigungsmagnetisierung ableiten. Der Ausgangspunkt
unserer Überlegungen ist die Definition des ersten Fourierkoeffizienten der Magnetisierungsänderung:
⎛ dM ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
1
2
=
T
T
∫
0
dM
dt
sin( ω t)
dt
(5.19)
Die schmalen Peaks bedeuten im Idealfall, daß dM/dt = 0 ist, außer für ω Res = π/2 (→ t = T/4) und
ω Res = 3π/2 (→ t = 3T/4). Daraus folgt
Re s
T
T / 2
T
dM
dM
dM
∫ sin( ω
Re st)
dt = ∫ sin( π / 2) dt +
dt
dt
∫ sin(3π
/ 2)
dt
0 0
T / 2
dt
17

=
T / 2
∫
0
dM −
T
∫
T / 2
dM
( M ( T / 2) − M (0)) − ( M ( T ) − M ( T / 2) )
= (5.20)
Mit M S = M(0) = M(T) = -M(T/2) folgt daraus
T
dM
∫ sin( ω
Re st)
dt = −4M
S
(5.21)
dt
0
Damit haben wir das Integral in Gleichung (5.19) gelöst und es ergibt sich:
⎛ dM ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
1
8M
= −
T
S
(5.22)
Nun muss man mit Hilfe der Induktionsspannung einen Ausdruck für die Sättigungsmagnetisierung
finden. Dazu gehen wir von Gleichung (5.18) aus und integrieren auf beiden Seiten von 0 bis T/2. Diese
Integrationsgrenzen ergeben sich aus der Bedingung, dass das Integral nicht Null wird.
−
T / 2
T / 2
∫ U
ind
dt = µ
0N
2FSpule
∫ dt +
0
0
dH
dt
µ
0
N
2
F
Stab
T / 2
∫
0
dM
dt
dt
= µ N
T / 2
N1
= −µ 0
N
2F
ˆ
Spule
Iω
Re s ∫ sin( ω
Re sT
) dt + µ
0N
l
F
0
⎛
⎞
⎜
⎟
N
⎜ ⎛ T ⎞
Iˆ cos⎜ω
⎟ − ⎟
Re s
cos(0) + µ N F
l ⎜ ⎝ ⎠ ⎟
14243 4
2
⎝ = ( −1)
⎠
2
F
Stab
T / 2
∫
0
dM
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜ ⎛ T ⎞
M ⎜ ⎟ − M (0 ⎟
⎜ ⎝ ⎠ ⎟
144
2
243
4
⎝ =−2M S ⎠
1
0 2 Spule
0 2 Stab
)
N1
= −2µ N FSpule
Iˆ
0 2
− 2µ
0N
2FStabM
S
(5.23)
l
Dadurch folgt für die Sättigungsmagnetisierung:
Iˆ
FSpule
→ M
S
=
2µ
N
∫ (5.24)
F
T / 2
1 N1
U
ind
dt −
0 2FStab
l
0
Stab
Mit Gleichung (5.22) ergibt sich daraus:
⎛ dM ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
1
= −
Tµ
0
ˆ F
T / 2
4 8N1I
Spule
U
inddt
F
∫ +
(5.25)
2 Stab
Tl F
0
Stab
N
Den Wert des Integrals in (5.25) kann man mit Hilfe eines Galvanometers bestimmen (→ Kap. 8).
18

5.5.2 Herleitung von (dM/dt) 1 aus genauerer Betrachtung von dM / dt
Wenn man die Bedingung der schmalen Peaks weglässt, kann man nicht mehr davon ausgehen, dass die
Magnetisierungsänderung für fast alle Zeitpunkte gleich Null ist. Stattdessen leiten wir aus der Gleichung
(5.17) einen Ausdruck für die zeitliche Änderung der Magnetisierung her
dM 1
=
dt µ F
0
Stab
⎛ dΦ
⎜ − µ
0F
⎝ dt
Spule
dH ⎞
⎟
dt ⎠
(5.26)
und setzen es in den 1. Fourierkoeffizienten (Gl. (5.11)) ein:
1
=
µ F
0
1
=
µ F
0
Stab
Stab
⎛ dM ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
1
2
=
µ F
0
Stab
T
T
⎛ dΦ
⎜ − µ
0F
⎝ dt
∫
0
Spule
dH
dt
⎞
⎟⋅sin(
ω
⎠
Re s
t)
dt
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
T
T
⎟
⎜ 2 dΦ
2 dH
−
⎟
⎜ ∫ sin( ω
Re st)
dt µ
0FSpule
∫ sin( ω
Re st)
dt
(5.27)
T dt
T dt
⎟
0
0
⎜ 1444
24443
1444
24443⎟
⎜
⎛ dΦ
⎞
⎛ BSpule
⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎟
⎝
⎝ dt ⎠1
⎝ dt ⎠1
⎠
⎛
⎜
⎜ 1
−
⎜ N
⎜
⎝
2
T
2
∫U
ind
sin( ω
Re st)
dt + µ
0F
T
0
1444
24443
Spule
2
Iˆ
ω
T
Re s
N
l
( Uind
) 1 T
1
⎞
T
⎟
2 ⎟
∫sin
( ω
Re st)
dt
⎟
0
144
243
4 ⎟
= / 2 ⎠
⎛ dM ⎞
N Iˆ
1 Re sFSpule
→ ⎜ ⎟ = −
1 ( U
ind
)
1
⋅
{
K +
ω
(5.28)
⎝ dt ⎠ µ N F
F l
1
0
2
Stab
Eichfaktor
Stab
Der erste Fourierkoeffizient der Induktionsspannung (U ind ) 1 in Gleichung (5.28) lässt sich über eine
Rechtecksumme anhand eines Oszilloskopbildes berechnen, jedoch muss der Wert mit Hilfe des Faktors
K geeicht werden, da die Auflösung des Oszilloskops nicht groß genug ist (→ Kap. 8).
Der Eichfaktor ergibt sich durch:
T / 2
∫
U
ind
0
T / 2
0
U
dt
dt
( gemessen mit dem Galvanometer)
K = (5.29)
∫
ind
( gemessen mit dem Oszilloskop)
19

6. DAS ERDMAGNETFELD
In diesem Kapitel wollen wir zeigen warum und wie man bei unserem Experiment das Erdmagnetfeld
abschirmen sollte.
6.1 Das Magnetfeld der Erde
Bis heute ist es der Wissenschaft nicht
gelungen eine umfassende Erklärung für den
Erdmagnetismus zu finden. Man geht davon aus,
dass flüssige Materie im Erdkern durch
kreisende, so genannte Konvektionsströme das
Magnetfeld erzeugt.
Bereits im 17. Jahrhundert fand man heraus,
dass die Kompassnadel nicht überall auf der Erde
in die geographische Nordrichtung zeigte. Der
Winkel zwischen der geographischen
Nordrichtung und der magnetischen
Nordrichtung heißt Deklination. Man muss
zwischen zwei Polachsen unterscheiden: die
geographische Nord-Süd-Achse, die nichts
anderes ist als die Rotationsachse der Erde und die magnetische Nord-Süd-Achse, die durch die
magnetischen Pole der Erde festgelegt wird. Der Winkel zwischen den beiden Achsen beträgt ungefähr
12°. Aus einiger Entfernung von der Erde
betrachtet, lässt sich das Erdmagnetfeld mit dem
Feld eines Dipols vergleichen. Die
Magnetfeldlinien schließen an den magnetischen
Polen einen Winkel von 90° mit der Erdoberfläche
ein, wohingegen die Feldlinien am magnetischen
Äquator parallel zur selben verlaufen. Diesen
Winkel, den die Magnetfeldlinien mit der
Erdoberfläche einschließen, nennt man Inklination
und er hat an jedem Ort auf der Erde einen
charakteristischen Wert. An Orten auf dem
gleichen magnetischen Breitenkreis ist auch die
Inklination gleich. In Deutschland beträgt die
Deklination ungefähr l° in westlicher Richtung
und die Inklination ungefähr 60°.
Aufgrund der Neigung des Erdmagnetfeldes an der Erdoberfläche, kann man es in eine Horizontal- und
eine Vertikalkomponente zerlegen. Für unseren Versuch ist nur die Horizontalkomponente von
Bedeutung.
6.2 Das resultierende Drehmoment
Ein magnetisierter Stab erfährt in einem homogenen Magnetfeld ein Drehmoment, welches senkrecht zu
dem magnetischen Moment des Stabes und zu dem Magnetfeld steht:
r r r
D = µ × B
(6.1)
Diesen Effekt kennt man von der Kompassnadel. Die Nadel selbst ist ein magnetisierter Zeiger aus
Metall, der im lokal homogenen Erdmagnetfeld ein Drehmoment erfährt. Das Drehmoment wirkt solange
bis die zwei magnetischen Achsen antiparallel zueinander stehen.
Der Stab aus unserem Versuch reagiert auf das Magnetfeld der Erde sehr ähnlich. Er versucht sich
wegen seines magnetischen Momentes antiparallel zur horizontalen Komponente des Erdmagnetfeldes zu
drehen.
20

Da sein magnetisches Moment mit der Anregefrequenz
der Spule oszilliert, ändert sich auch
jedes Mal die Richtung des Drehmomentes und es
kommt zu einer transversalen Schwingung des
Stabes.
Wegen der Modenkopplung (Interferenz der
transversalen Schwingung mit der
Drehschwingung) wird dadurch die
Drehamplitude sehr groß. Dieser Effekt wird
zusätzlich noch verstärkt wenn der Stab nicht gut
in der Spule zentriert wird.
Um diese Probleme zu vermeiden, ist erstens auf
eine möglichst gute Zentrierung des Stabes zu
achten, und zweitens muss die horizontale
Komponente des Erdmagnetfeldes kompensiert
werden. Die vertikale Komponente des Feldes
kann man vernachlässigen, da ihre Richtung
bereits mit der Richtung des magnetischen
Momentes des Stabes übereinstimmt und es somit zu keiner Schwingung kommt.
6.3 Die Abschirmung des Erdmagnetfeldes
Um das Erdmagnetfeld zu kompensieren, benutzen wir
ein Paar Helmholtzspulen, deren Abstand dem Radius der
Spulen entspricht. Auf diese Weise erhält man im Zentrum
des Raumes, der von ihnen eingeschlossen wird, einen
faustgroßen Bereich in dem das Magnetfeld homogen ist.
Man muss die Spulen dann an der Horizontalkomponente
des Erdmagnetfeldes ausrichten und den Stab so
aufhängen, dass er sich in diesem zentralen Bereich
befindet. Die korrekte Richtung der Spulen kann man mit
Hilfe einer Kompaßnadel ermitteln. Die richtige
Feldstärke erhält man über die maximale Drehamplitude
des Stabes. Wie wir vorher schon gesehen haben, wird die
Drehamplitude durch den Einfluss des Erdmagnetfeldes
größer; das heißt, daß die maximale Drehamplitude ein
Minimum erreicht wenn das Feld gänzlich kompensiert
wurde. Man probiert also verschiedene Feldstärken an den
Spulen und versucht die Drehamplitude zu minimieren;
wenn man das Minimum erreicht hat, ist dies die richtige
von den Helmholtzspulen erzeugte Feldstärke.
21

7. ZUSAMMENFASSUNG
Fassen wir kurz die Schritte und Formeln zur Berechnung des g-Faktors zusammen. Die Herleitungen
der Formeln kann man in den vorangegangenen Kapiteln nachlesen.
Wir gehen vom gyromagnetischen Verhältnis aus, welches über das magnetische Bahnmoment und den
Bahndrehimpuls des Elektrons definiert ist.
µ
g
− e
l
γ
l
= =
l
(7.1)
L 2me
Da sich µ l und L nicht unmittelbar messen lassen, müssen wir den g-Faktor auf die experimentell
messbaren, zeitlich veränderlichen Größen Magnetisierung und Drehmoment zurückführen, die wir in
dem Augenblick betrachten, in dem sie ihren Maximalwert erreichen.
g
2m
V
M&
e
max
l
= ⋅
Stab
⋅
(7.2)
− e Dmax
Um das maximale Drehmoment aus der Torsionsschwingung des Stabes zu bestimmen, sehen wir uns
die dazugehörige Bewegungsgleichung
näher an und finden den Ausdruck:
2 Dmax
& α + 2βα&
+ ω0α
= cos( ω err
t)
(7.3)
θ
D
= βω α θ
(7.4)
max
2
Re s
Da die Magnetisierung, im Unterschied zum Magnetfeld der Feldspule, nicht cosinusförmig verläuft
sondern im Bereich der Sättigung ein Plateau aufweist, ist die Magnetisierungsänderung, genauso wie die
induzierte Spannung, durch Peaks charakterisiert, die umso schmaler werden je weiter man den Stab in
die Sättigungsmagnetisierung bringt. Mit Hilfe der Fourieranalyse können wir die maximale Änderung
der Magnetisierung durch den ersten Fourierkoeffizienten abschätzen:
Re s
⎛ dM ⎞
M & max
≈ ⎜ ⎟ (7.5)
⎝ dt ⎠
Wenn wir nun die letzten zwei Ergebnisse in Gl. (7.2) einsetzen, bekommen wir
g
l
meVStab
=
− eβω
α
Re s
Re s
1
⎛ dM ⎞
⎜ ⎟
θ ⎝ dt ⎠
Zur Erinnerung: das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders, der um seine Längsachse rotiert, ist
gegeben durch θ = 1/2mR 2 .
(dM/dt) 1 läßt sich anschließend auf zwei Arten bestimmen. Einmal aus der Sättigungsmagnetisierung:
1
(7.6)
⎛ dM ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
1
= −
Tµ
0
ˆ F
T / 2
4 8N1I
Spule
U
ind
dt
F
∫ +
(7.7)
2 Stab
Tl F
0
Stab
und zweitens, genauer aus dem zeitlichen Verlauf der Magnetisierungsänderung:
N
⎛ dM ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
1
N Iˆ
1 Re sF
= −
1 ( U
ind
)
1
⋅
{
K +
ω
µ N F
F l
0
2
Stab
Eichfaktor
Stab
Spule
(7.8)
Benutzen sie die Gleichung (7.6) als Ausgang für die Fehlerrechnung.
22

8. Der Versuchsaufbau
Spulen Laser Sinusgenerator Oszilloskop Galvanometer 2. Spiegel Rechner
Glasfaden
Feldspule
Skala
Helmholtz-
Spulen
Spiegel
23

Schaltung zur Eichung des Galvanometers:
Das ballistische Spiegelgalvanometer
Galvanometer sind im physikalischen Sinn fast ideale (rauschfreie und lineare) Messgeräte für kleinste
elektrische Signale. Das Funktionsprinzip beruht darauf, dass der zu messende Strom durch eine
Bändchenspule fließt, die sich dann in einem Magnetfeld verdreht. In unserem Experiment haben wir ein
Spiegelgalvanometer, welches statt eines Zeigers einen Spiegel zur Ablenkung eines Lichtstrahls hat.
Dadurch dass die Trägheit des Zeigers wegfällt, ist die Messgenauigkeit erheblich gesteigert.
24

Ein ballistisches Galvanometer ist so aufgebaut, dass es sehr träge in Relation zu dem ankommenden
elektrischen Impuls reagiert, das heißt, es mißt nur die Menge der ankommenden Ladungen, von der
zeitlichen Verteilung dieser Ladungen merkt es nichts und dementsprechend ist der Ausschlag A 0
proportional zur Ladung. Der Proportionalitätsfaktor (die so genannte Galvanometerkonstante) kann aber
nicht berechnet werden; sondern muß empirisch bestimmt werden. Die Kalibrierung wird anhand von
Messungen mit bekannten Ladungen nach der Formel Q = CU mit genau bekannten Spannungen
vorgenommen.
Man kann sagen, dass das Galvanometer über die Zeit integriert denn die Ladung, die es misst ist
1
Q = I ⋅t
= ∫ Idt = ∫U
inddt
R
Der Zeitraum, über den das Galvanometer bei der Messung in Aufgabe c) integriert, entspricht einer
Magnetfeldänderung von = Bˆ
bis B Spule = 0, also von t = 0 bis t = T /4. Der Wert, den man misst ist
B Spule
also (1/R) 0 ∫ T/4 U ind dt. Für die Bestimmung der Sättigungsmagnetisierung muss man danach nur noch
beachten, dass 0 ∫ T/2 U ind dt = 2 0 ∫ T/4 U ind dt ist.
Während der Messung besteht der Stromkreis aus der Induktionsspule, dem Widerstand und dem
Galvanometer und es gilt (Abb. 8.1):
T / 4
(8.1)
1
Q = k ⋅ A0
=
37Ω + 9,5Ω + 25Ω
∫U ind
dt
(8.2)
0
Graphische Auswertung mit Oszilloskop und Computer
In Aufgabenteil d.) sollen Sie (dM/dt) 1 aus dem
zeitlichen Verlauf der Induktionsspannung
anhand des Integrals 0∫ T |U ind sin(ω Res t)dt|
berechnen. Der Betrag ist wichtig, da sonst das
Integral gleich Null wäre; uns interessiert ja die
tatsächliche Fläche unter der Funktion.
Dazu ist das Oszilloskop an den Computer
angeschlossen und die Messdaten werden mittels
der Software FreeCapture gespeichert und
graphisch dargestellt. Das generierte Bild sollte
so, oder so ähnlich aussehen, wie in Abbildung
8.2 gezeigt. Dabei stellt die orangefarbene Kurve
die induzierte Spannung dar und die graue
Sinuskurve die Wechselspannung an der Feldspule.
Das Oszilloskop nimmt pro Kästchen 25 Werte in x- und in y-Richtung auf. Es hat also eine Auflösung
von jeweils 25 Einheiten pro Kästchen in beide Richtungen.
Um das Integral über der Induktionsspannung mittels einer Rechtecksumme berechnen zu können,
brauchen Sie die Messdaten für jeden Zeitpunkt. Diese Daten sollen Sie auf Diskette oder USB-Stick
abspeichern.
In der gespeicherten Datei finden Sie 500 Zahlenpaare, die durch ein Komma getrennt sind; dabei stellen
die linken Zahlen die Zeitschritte und die Rechten die dazugehörigen Spannungsmesswerte dar. Ganz
unten finden Sie die Einstellungen des Oszilloskops während der dargestellten Messung, denen Sie die
Eichung der x- bzw. y-Achse entnehmen können. Hierbei wird ein Kästchen mit der Abkürzung "DIV''
bezeichnet. Beispielsweise bedeutet die Angabe "TIME/DIV,10.00ms", dass jedes Kästchen in x-
Richtung 10ms lang ist und demnach zwischen zwei Messungen jeweils 10ms / 25 = 0,4ms vergehen.
Bringen Sie eine Diskette oder einen USB-Stick mit, um die Daten speichern zu können.
25

9. AUFGABENSTELLUNG: EINSTEIN - DE HAAS EFFEKT
Bitte beachten:
• Zentrierarbeiten nur unter Aufsicht des betreuenden Assistenten durchführen.
Der Torsionsfaden, an dem der Stab hängt ist aus Glas, mit einen Durchmesser von nur 0,5mm und
ist deswegen sehr empfindlich.
Die Hauptaufgabe bei diesem Experiment besteht darin den g-Faktor zu bestimmen. Die einzelnen
Teilaufgaben dienen dazu, die notwendigen Messdaten aufzunehmen, die man für diese Bestimmung
braucht.
a.) Zuerst sollen die mechanischen Eigenschaften des Systems, d.h. die Resonanzfrequenz der
Torsionsschwingung und die Dämpfungskonstante bestimmt werden.
Wählen Sie den Wechselstrom durch die Feldspule zu 0,6A eff . Suchen Sie die Resonanzfrequenz
und nehmen Sie die Resonanzkurve in der Umgebung dieser Frequenz auf.
Es darf dabei nur eine reine Torsionsschwingung angeregt werden, d.h. in vertikaler Richtung darf
keine Ablenkung des Lichtzeigers auftreten. Das Lichtband muss nach dem Einschwingen zeitlich
konstant bleiben und symmetrisch zum Nullpunkt liegen.
Da diese Messungen bei großer Resonanzamplitude genauer durchgeführt werden können, wird
das Erdmagnetfeld vorerst nicht kompensiert.
Bestimmen sie ebenfalls die Abklingzeit der Torsionsschwingung.
b.) Zur Messung der Resonanzamplitude muss der Stab gut justiert sein. Um die Justierung zu
kontrollieren, lassen Sie einen Gleichstrom durch die Feldspule fließen. Während Sie den Strom
langsam von 0 auf 0,7A erhöhen, darf sich der Stab nur wenig aus seiner Ruhelage wegbewegen.
Jetzt soll die Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes mit Hilfe der Helmholtzspulen
kompensiert werden. Die Richtung des kompensierenden Magnetfeldes stellen Sie mit der
Kompaßnadel fest, die Stärke mit Hilfe der Amplitude bei Resonanzfrequenz. Messen Sie die
Resonanzamplitude bei einem Wechselstrom durch die Feldspule von 0,6A eff in Abhängigkeit
vom Strom durch die Helmholtzspulen (I H