Renormierungstheorie und die Berechnung von Quantenkorrekturen

Kapitel 5
Renormierungstheorie und
die Berechnung von
Quantenkorrekturen
In den bisherigen Kapiteln haben wir einen allgemeinen Formalismus zur
Quantisierung von klassischen Lagrange-Dichten, einschließlich Fermionen,
und zur Berechnung von Green-Funktionen und Streumatrixelementen entwickelt.
Dabei traten bei der Störungsentwicklung zwei Arten von Feynman-
Diagrammen auf, Baum-Diagramme und Schleifen-Diagramme. Bei ersteren
handelt es sich um Diagramme der Form
Baum-Graphen sind dadurch charakterisiert, dass sie keine inneren Schleifen
enthalten und treten beispielsweise auf, wenn man einen Streuprozess
in niedrigster Ordnung der Störungstheorie berechnet. Die weitere diagrammatische
Entwicklung eines solchen Streuprozesses führt in der Regel auf
Diagramme, die innere Schleifen enthalten, z.B. für den Prozess q¯q → gg:
202

p 1
p
k
3
p 2 p 4
Die Renormierungstheorie befasst sich mit der Berechnung und Deutung
von Schleifen-Diagrammen. Da das obige Diagramm relativ zum führenden
Prozess von der Ordnung g 2 ist, spricht man in diesem Zusammenhang auch
von Quantenkorrekturen.
Bei der Berechnung von Schleifen-Diagrammen mit Hilfe der Feynman-Regeln
bleiben nach Elimination aller δ-Funktionen so viele Impulsintegrationen
übrig, wie das Diagramm Schleifen enthält. Für das obige Beispiel erhält
man also einen Ausdruck der Form
∫ d 4 k
(2π) 4 I(p 1,p 2 ,p 3 ,k). (5.1)
Diese Schleifenintegrale sind im allgemeinen divergent. Dies verlangt nach
einer sorgfältigen Interpretation der Störungsentwicklung, was letztlich zur
sog. renormierten Strörungstheorie führt.
5.1 Regularisierung und Renormierung
In diesem Unterkapitel behandeln wir das zweite in der Einleitung erwähnte
Problem, nämlich dass Schleifendiagramme in der Regel divergieren. Die Interpretation
dieser “Divergenzen” ist Gegenstand der Renormierungstheorie.
Als Beispiel werden drei Modelltheorien behandelt:
φ 4 -Theorie
L = 1 2
Yukawa-Theorie
L = 1 2
QED (in kovarianter Eichung)
(
∂µ φ 0 ∂ µ φ 0 − M 2 0 φ2 0)
−
λ 0
4! φ4 0 (5.2)
(
∂µ φ 0 ∂ µ φ 0 − M0φ 2 2 )
0 + ¯ψ0 (i̸∂ − m 0 )ψ 0 − g 0 ¯ψ0 ψ 0 φ 0 (5.3)
L = − 1 4 (∂ µA 0ν − ∂ ν A 0µ ) (∂ µ A ν 0 − ∂ ν A µ 0 ) − 1 2ξ (∂ µA µ 0 ) (∂ νA ν 0)
203

+ ¯ψ 0 (i̸∂ − m 0 )ψ 0 + e 0 ¯ψ0 γ µ ψ 0 A 0µ (5.4)
Der Index “0” dient der Unterscheidung der “nackten” bzw. “unrenormierten”
Größen von den später einzuführenden renormierten Größen.
5.1.1 Beispiel: Selbstenergie in der φ 4 -Theorie
Bei der Selbstenergie Π(p 2 ,M 2 ) handelt es sich um die Einteilchen-irreduziblen
Anteile der Zwei-Punkt-Funktion, wobei die äußeren Propagatoren
amputiert werden, d.h.
−iΠ(p 2 ,M 2 0) =
1PI
= + + + O(λ 3 0)
= − iλ 0
2
∫
d 4 k
(2π) 4
i
k 2 − M 2 0 + iε + O(λ2 0 ) (5.5)
Der Faktor 1/2 ergibt sich aus dem Symmetriefaktor für das erste Diagramm
der zweiten Zeile. Dieses Schleifenintegral kann berechnet werden, indem
man zunächst die k 0 -Integration mit Hilfe des Residuensatzes ausführt und
anschließend die Integration über ⃗ k separat behandelt.
Im Folgenden führen wir ein Verfahren zur Berechnung von Schleifenintegralen
ein, die sog. Wick-Rotation, welches sich als günstiger erweist, da es alle
Komponenten des Vierervektors k µ in gleicher Weise behandelt und somit
die relativistische Invarianz erhält. Im Wesentlichen handelt es sich dabei
um eine Rotation der Integrationskontur.
Das Integral (5.5) hat Pole in k 0 bei
k 0 2
= ⃗ k 2 + M 2 0 − iε. (5.6)
Da der Integrand im Unendlichen schnell genug abfällt, kann die Integrationskontur
in der komplexen k 0 -Ebene beliebig deformiert werden, so lange
man dabei keine Pole überschreitet. Insbesondere können wir den Integrationsweg
entlang der imaginären Achse wählen, d.h.
204

k 0
q
k 0 = − ⃗k 2 +M
0 2 + iε
q
⃗k 2 +M0 2 − iε = k0
Für das Integral einer Funktion f(k 2 ) erhält man dann
∫
d 4 k f(k 2 ) =
∫ ∞
−∞
dk 0 ∫
d 3 ⃗ k f(k 2 ) =
∫ +i∞
−i∞
dk 0 ∫
d 3 ⃗ k f(k 2 ), (5.7)
wobei vorausgesetzt werden muss, dass f(k 2 ) im Unendlichen schnell genug
verschwindet. Nun nehmen wir die Umbenennungen ⃗ k E = ⃗ k und k 0 E = −ik0
vor und definieren k 2 E ≡ k0 E2 + ⃗ kE 2 = −k 2 . Dies entspricht einem Skalarprodukt
mit euklidischer Metrik, d.h. k E ist ein euklidischer Vierervektor.
Damit folgt aus (5.7)
∫
d 4 k f(k 2 ) = i
∫ ∞
dkE
0
−∞
∫
∫
d 3 ⃗ k f(−k
2
E ) = i
d 4 k E f(−kE 2 ). (5.8)
Unter Verwendung der Wick-Rotation geht das Schleifenintegral (5.5) in
∫ d 4 k E
i
(2π) 4
i
−kE 2 − M2 0 + iε = −iλ ∫
0 d 4 k E
2
−iΠ(p 2 ,M0 2 ) = −iλ 0
1
2
(2π) 4 kE 2 + M2 0
(5.9)
über, wobei die iε-Vorschrift jetzt weggelassen werden kann, da der Nenner
nie nahe bei Null ist. Aufgrund der kE 2 -Abhängigkeit des Integranden ist es
zweckmäßig, sphärische Koordinaten einzuführen, d.h.
∫ ∫ ∞ ∫
d 4 k E = dkE
2 1
2 k2 E dΩ (4) . (5.10)
0
Die Oberfläche einer vierdimensionalen Kugel ∫ dΩ (4) ist 2π 2 , so dass
−iΠ(p 2 ,M0) 2 = − iλ ∫ ∞
0
32π 2
0
dk 2 E
k 2 E
k 2 E + M2 0
= ∞, (5.11)
205

d.h. das Integral ist formal divergent. Da der Wert des Integrals für große
Werte von k 2 E mit der zweiten Potenz der Integrationsvariablen k E wächst,
spricht man hier von quadratischer Divergenz.
Man definiert das Integral zunächst durch eine Regularisierung, z.B. durch
einen cut-off:
|k E | < Λ. (5.12)
Das Integral (5.11) ist dann endlich und kann explizit berechnet werden:
−iΠ(p 2 ,M0 2 ) = − iλ ∫ Λ 2
0
32π 2
= (−i)
0
dk 2 E
k 2 E
(
λ 0
32π 2 Λ 2 − M0 2 ln
kE 2 + M2 0
( Λ 2 − M0
2 ))
M 2 0
(5.13)
Der Cut-off-Parameter Λ sei so gewählt, dass er großgegenüber allen physikalischen
Skalen (→ M 0 ) ist, so dass wir in dem Verhältnis M 0
Λ
entwickeln
können. Wir erhalten dann das folgende Resultat für die Selbstenergie in
der φ 4 -Theorie:
(
( ))
−iΠ(p 2 ,M0 2 ) = −i λ 0
32π 2 Λ 2 − M0 2 Λ2 M
4
ln
M0
2 + O 0
Λ 2 . (5.14)
Mit der Zwei-Punkt-Funktion bzw. der Selbstenergie Π erhält man aus der
Bedingung
M 2 − M 2 0 − Π(p 2 = M 2 ,M 2 0) = 0 (5.15)
die physikalische Masse
M 2 = M0 2 + λ (
0
32π 2 Λ 2 − M0 2 Λ2
ln
M0
2
)
+ ... + O(λ 2 0 ). (5.16)
Außerdem folgt für die (on-shell) Feldrenormierungskonstante
Z =
1
1 − ∂Π
∂p 2 ∣
∣p 2 =M 2 = 1 + O(λ 2 0). (5.17)
An dieser Stelle wollen wir die Resultate dieses einführenden Kapitels kurz
festhalten und überlegen, wie diese zu interpretieren sind. Wir haben festgestellt,
dass die Selbstenergie eines (punktförmigen) skalaren Teilchens (für
Λ → ∞) quadratisch divergent ist. Insbesondere gilt dies auch für die Relation
M = M(M 0 ,λ 0 ) zwischen der physikalischen und der nackten Masse.
206

Der formal divergente Beitrag kommt von dem Integrationsbereich, in dem
der Schleifenimpuls k wesentlich größer ist, als die im System auftretenden
physikalischen Skalen, d.h. Massen und externe Impulse. Das Auftreten solcher
virtuellen Zustände mit beliebig großem k ist letztlich eine Konsequenz
der relativistischen Invarianz, welche fordert, dass das Spektrum der Theorie
beliebig hohe Energien und Zustände mit beliebig großen Impulsen enthält.
Eng damit verknüpft ist auch die Lokalität der Wechselwirkungen. Aus der
Unschärferelation folgt, dass eine große Impulsunschärfe mit einer kleinen
Ortsunschärfe verbunden ist, bzw. dass man mit großen Impulsen kleine
Abstände auflösen kann. Die Tatsache, dass man über beliebig große Impulse
integrieren muss, ist also darauf zurückzuführen, dass die Theorie bzw.
deren Wechselwirkungen lokal sind. (Angemerkt sein allerdings, dass das
Problem der divergenten Selbstenergie eines punktförmigen skalaren Teilchens
schon in der klassischen Elektrodynamik für das Elektron auftritt.)
L(φ 0 ;M 0 ,λ 0 ) beschreibt eine Theorie, die für alle Energien relativistisch invariant
und lokal ist. Die Unschärferelation besagt jedoch auch, dass man bei
einem Streuexperiment von Teilchen mit Maximalenergie E max (∼ höchste
bisher erreichte Streuenergie) höchstens Distanzen x max ∼ 1
E max
auflösen
kann. Empirisch gesprochen bedeutet dies aber, dass man die Lokalität einer
Theorie niemals experimentell überprüfen kann.
Vom empirischen Standpunkt aus gesehen können Relationen zwischen Observablen,
die man aus Experimenten bei Energien ≤ E max gewinnt, nicht
(wesentlich) von der Physik bei viel kleineren Abständen beeinflusst werden.
Die beobachtbare Physik darf also nicht davon abhängen, was bei sehr
großen inneren Impulsen stattfindet. Anderenfalls könnte man mit endlicher
Energie beliebig kleine Strukturen auflösen.
Wir schließen also, dass, sofern L(φ 0 ;M 0 ,λ 0 ) eine sinnvolle Theorie beschreibt,
die Relationen zwischen physikalischen Größen unabhängig von
der Regularisierung sein müssen. M 0 , λ 0 sind aber keine physikalisch direkt
messbaren Größen, sondern nur M, Streuquerschnitte, etc.
Daraus ergibt sich folgende Hypothese: Ausgehend von der Lagrange-Dichte
der Theorie L(φ 0 ;M 0 ,λ 0 ), welche die Parameter M 0 , λ 0 enthält, bestimmen
wir die Zusammenhänge M(M 0 ,λ 0 ) bzw. λ(M 0 ,λ 0 ) zwischen den Parametern
der Lagrange-Dichte und der physikalischen Masse, bzw. dem physikalischen
Analog der Kopplungskonstante. Diese Relationen hängen von der
207

Regularisierung ab. Berechnet man nun Zusammenhänge zwischen physikalischen
Observablen und drückt diese durch die Größen M und λ aus, so
sind diese Relationen unabhängig von der Regularisierung, d.h.
f Obs = f Obs (M,λ). (5.18)
Bei Kenntnis von M und λ liefern diese Relationen Vorhersagen der Theorie.
Die nackten Parameter M 0 ,λ 0 sind dann nur Hilfsgrößen. Wenn diese Hypothese
bzw. Interpretation richtig ist, kann man beliebige Regularisierungen
wählen. Man wählt dann diejenige, für die die Rechnungen (Integrale) am
einfachsten sind.
5.1.2 Regularisierungsmethoden und Feynman-Parameter
Um die verschiedenen Regularisierungsmetheoden zu illustrieren, betrachten
wir das Integral
∫
A(a;∆) ≡
d 4 k 1
(2π) 4
(k 2 − ∆ + iε) a Wick-
Rotation
= (−1) a i
∫ d 4 k E
(2π) 4 1
(
k
2
E
+ ∆ ) a ,
(5.19)
welches typischerweise bei Einschleifendiagrammen auftritt. Für a ≤ 2 ist
das Integral offensichtlich divergent.
Cut-off Regularisierung
Wie zuvor beschränken wir bei der cut-off-Regularisierung den Betrag des
euklidischen Vierervektors k E nach oben durch einen Abschneidepararmeter
Λ, welcher groß gegenüber allen auftretenden externen Skalen zu wählen ist.
Da der Integrand nur von kE 2 abhängt, empfiehlt sich die Einführung von
sphärischen Koordinaten, d.h.
so dass das Integral (5.19) in
∫
∫ Λ 2
d 4 k E → π 2 dkE 2 k2 E , (5.20)
∫
A(a,∆) = (−1)a i Λ 2
(4π) 2
0
0
dk 2 E
k 2 E
(
k
2
E
+ ∆ ) a. (5.21)
208

übergeht. Den Fall a = 1 haben wir bereits in Kap. 5.1.1 behandelt. Für
a = 2 erhält man
(
i
A(2;∆) =
(4π) 2 ln ∆ + )
Λ2
∆ − Λ2
∆ + Λ 2
=
( ( ))
i
(4π) 2 ln Λ2 ∆
∆ − 1 + O Λ 2 . (5.22)
Für a > 2 ist das Integral im Limes Λ → ∞ endlich.
Dimensionale Regularisierung
Diese Form der Regularisierung ist weit weniger physikalisch, vereinfacht
aber die Rechnungen in der Praxis erheblich. Bei der dimensionalen Regularisierung
stellen wir uns k E als einen d-dimensionalen Vektor vor. Auf diese
Weise wird das Integral (5.19) als analytische Funktion von komplexem d
definiert und konvergiert für a > d 2
. Die Idee der dimensionalen Regularisierung
ist nun, das Integral bei einem Wert von d zu berechnen, bei dem
es existiert, d.h. endlich ist, und anschließend die analytische Fortsetzung
zu d = 4 zu konstruieren, indem man d = 4 − 2ǫ setzt und den Grenzwert
ǫ → 0 bildet.
Wir führen also zunächst im Integral (5.19) die Ersetzung
∫ d 4 k E
(2π) 4
−→
(√
e
γ
4π · µ ) 4−d ∫ d d k E
(2π) d (5.23)
durch. Die Einführung des Parameter µ mit der Massendimension 1 ist notwendig,
damit die Dimension des Integrals erhalten bleibt. Der Faktor eγ
4π ,
mit der Euler-Mascheroni-Konstanten γ = 0.5772... ist Konvention, und
wir definieren
√
e γ
˜µ ≡
4π · µ . (5.24)
Analog zum Vorgehen bei der Cut-off Regularisierung führen wir zur Berechnung
des Integrals d-dimensionale sphärische Koordinaten ein, d.h.
(√ ) 4−d ∫ e
γ d d ∫
4π · µ k ∞
E
(2π) d = ˜µ4−d dk 2 1 ∫
2 (k2 ) d dΩ
2 −1 (d)
(2π) d . (5.25)
0
209

Da der Integrand nur von kE 2 abhängt, ergibt die Integration über den Raumwinkel
dΩ (d) gerade die Oberfläche einer d-dimensionalen Kugel. Um diese
zu berechnen, betrachten wir das Gauß-Integral
(∫
(√ ) ∞
) d
d
π = dx e −x2 , (5.26)
−∞
welches man auch als d-dimensionales Integral auffassen kann, so dass
∫ ( )
(√ ) d
d∑
∫ ∫
π = d d x exp − = dxx d−1 e −x2 dΩ (d) = 1 ∫
2 Γ(d 2 ) dΩ (d) .
i=1
x 2 i
Somit nimmt das Ausgangsintegral (5.19) die folgende Form an:
(5.27)
A(a;∆) =
i
(4π) d 2
(−1) a ∫ ∞
Γ( d 2 ) ˜µ4−d
0
dk 2 E
(k 2 E ) d 2 −1
(k 2 E
+ ∆)a
. (5.28)
Führt man nun die Variablensubstitution x = durch, so geht A(a;∆)
kE 2 +∆
in
A(a;∆) =
i (−1) a ∫ 1
(4π) d 2 Γ( d 2 ) ∆ d 2 −a ˜µ 4−d dx x a−1− d d
2 ¯x 2 −1 (5.29)
0
über, wobei wir die Notation ¯x ≡ 1 − x eingeführt haben. Das Integral in
(5.29) ist bekannt als die Eulersche β-Funktion, für die gilt
∫ 1
Damit erhalten wir das Resultat
0
∆
dx x α−1¯x β−1 = Γ(α)Γ(β)
Γ(α + β) . (5.30)
A(a;∆) =
i
(4π) d 2
(−1) a Γ(a − d 2 )
Γ(a)
˜µ 4−d ∆ d 2 −a
=
i Γ(a − d 2 ) ( ) d
∆ 2 −2
(4π) 2 Γ(a) 4π˜µ 2 (−∆) 2−a . (5.31)
Alle in der Vorlesung benötigten Schleifenintegrale können auf dieses Resultat
zurückgeführt werden. Um das Verhalten von A(a;∆) für verschiedene d
zu verstehen, müssen wir uns etwas genauer mit der Γ-Funktion beschäftigen.
Exkurs: Eigenschaften der Γ-Funktion Γ(x) =
210
∫ ∞
0
dt t x−1 e −t :

Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1)
Γ(n) = (n − 1)!
für n ∈ N
Γ(x) hat einfache Pole bei x = 0, −1, −2,...
(
)
∞∑ (−1) n
Γ(1+ε) = exp −γε + ζ(n)ε n mit der Euler-Mascheronin
n=2
Konstanten γ und der Riemannschen ζ-Funktion ζ(k) = ∑ ∞
m=1 1 .
m k
Der Ausdruck (5.31) hat also für d = 4 nur Pole für a = 1,2, obwohl
das Ausgangsintegral (5.19) für alle a ≤ 2 divergierte. Somit ist (5.31) als
analytische Fortsetzung des ursprünglichen Integrals für komplexe Werte
von d zu betrachten.
Uns interessiert vor allem der Fall d = 4. Um die entsprechenden Ausdrücke
für A(a;∆) zu erhalten, setzen wir d = 4 − 2ǫ und entwickeln um den
physikalischen Wert ǫ = 0. Für den Fall a = 1 erhält man:
A(1;∆) =
=
=
( )
i Γ(−1 + ǫ) ∆ −ǫ
(−∆)
(4π)
2
Γ(1) 4π˜µ 2
i
(4π) 2
(
(−∆)
ǫ(ǫ − 1) exp −γǫ +
)
∞∑ (−1) n
ζ(n)ǫ n + γǫ − ǫln ∆ n
µ 2
n=2
(
i 1
(4π) 2 (+∆) ǫ − ln ∆ )
µ 2 + 1 + O(ǫ) . (5.32)
Analog folgt für a = 2:
A(2,∆) = i
4π 2 ( 1
ǫ − ln ∆ µ 2 + O(ǫ) )
. (5.33)
Wie zu erwarten war, sind diese Ausdrücke im formalen Limes ǫ → 0 divergent.
Vergleicht man dies mit der cut-off-Regularisierung, dann sieht man
die Korrespondenz
1
ε − ln ∆ µ 2 ←→ ln Λ2
∆ . (5.34)
Die Resultate, die man mit den beiden Regularisierungsmethoden erhält,
sind offensichtlich verschieden. Zum einen sind die Konstanten verschieden,
und zum anderen treten in der dimensionalen Regularisierung keine quadratischen
Divergenzen auf, da das Ausgangsintegral (5.19) als Repräsentant
211

einer analytischen Funktion aufgefasst wird. Jedoch ist die Abhängigkeit
der beiden Resultate von den externen Skalen, d.h. Massen und Impulsen,
identisch, denn diese sind in ∆ enthalten.
γ-Matrizen in der dimensionalen Regularisierung: Für Fermionen treten
in Schleifenintegralen in der Regel γ-Matrizen auf. Deshalb wollen wir nun
klären, wie γ-Matrizen in d Dimensionen zu verstehen sind. Zunächst halten
wir fest, dass
{γ µ ,γ ν } = 2g µν (5.35)
als definierende Eigenschaft erhalten bleibt. Formal laufen die Indizes in
einem d-dimensionalen Raum von 1 bis d, so dass
γ µ γ µ = δ µ µ = d, (5.36)
γ µ γ ν γ µ = γ µ {γ ν ,γ µ } − γ µ γ µ γ ν = (2 − d)γ ν , (5.37)
usw. γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 und ε µνρσ sind intrinsisch vierdimensional und lassen
sich nicht natürlich auf d Dimensionen erweitern. Die Behandlung von γ 5
in der dimensionalen Regularisierung bedarf besonderer Sorgfalt. Auf diesen
Punkt gehen wir hier nicht ein (→ chirale Anomalie).
Feynman-Parameter
Eine nützliche Formel zur Berechnung von Schleifenintegralen mit mehreren
Propagatoren ist
1
P a 1
1 P a 2
2
...P
an
n
= Γ(a 1 + ... + a n )
Γ(a 1 )...Γ(a n )
×
∫ 1
0
dx 1 ... dx n δ(1 − x 1 − ... − x n )
x a 1−1
1 ...x an−1
n
(x 1 P 1 + ... + x n P n ) a 1+...+a n
, (5.38)
wobei man die x i als Feynman-Parameter bezeichnet. Mit dieser Formel
gelingt es in Schleifenintegralen, Produkte von Propagatornennern P i in eine
Summe umzuschreiben. (5.38) gilt für beliebige komplexe a i .
Die wichtigsten Spezialfälle sind
1
A a B b =
Γ(a + b)
Γ(a)Γ(b)
∫ 1
0
xa−1¯x b−1
dx
, (5.39)
a+b
(xA + ¯xB)
1 Γ(a + b + c)
A a B b =
Cc Γ(a)Γ(b)Γ(c)
mit ¯x ≡ 1 − x und ȳ ≡ 1 − y.
∫ 1
0
dxdy
x(xy) a−1 (xȳ)
b−1¯x
c−1
, (5.40)
a+b+c
(xyA + xȳB + ¯xC)
212

5.1.3 φφ → φφ Streuung in der φ 4 -Theorie
Im Folgenden soll an einem Beispiel illustriert werden, wie man die bisher
vorgestellten Techniken anwendet und zu physikalisch sinnvollen Resultaten
gelangt. Dazu betrachten wir den einfachsten Streuprozess in der φ 4 -Theorie,
nämlich
q 2
= 〈q 1 ,q 2 ; out|p 1 ,p 2 ; in〉 | connected . (5.41)
p 2
q 1
p 1
Gemäß dem LSZ-Reduktionsformalismus gilt für die Streuamplitude
〈q 1 ,q 2 ; out|p 1 ,p 2 ; in〉 = (2π) 4 δ (4) (q 1 + q 2 − p 1 − p 2 )
(√ ) 4
× Z ˜G(4) amp (q 1,q 2 , −p 1 , −p 2 ) ∣ q 2=M 2
i
, (5.42)
p 2 i =M2
(4)
mit der amputierten Vier-Punkt-Funktion ˜G amp, welche auf der Massenschale
bei der physikalischen Masse M auszuwerten ist.
Wir wollen die Streuamplitude einschließlich der Ordnung λ 2 0 der Störungstheorie
berechnen. Aus Kap. 5.1.1 ist bereits bekannt, dass die erste nichtverschwindende
Korrketur zur (on-shell) Feldrenormierungskonstante Z von
der Ordnung λ 2 0 ist, so dass √
Z = 1 + O(λ
2
0 ). (5.43)
In der Einschleifenordnung erhält man für die amputierte Vier-Punkt-Funktion
˜G amp den folgenden
(4)
Ausdruck:
˜G (4)
amp =
p 1
q 2
p 2
= −iλ 0 + (−iλ 0 ) 2 1 2
q 1 p 1 q
k 1
+
q 2
p 2
[∫ d 4 k
(2π) 4
+
p 1
q 2
p 2
i
k 2 − M 2 0 + iε
q 1
k +
p 1
q 2
p 2
q 1
k + O(λ 3 0)
i
(p 1 + p 2 + k) 2 − M 2 0 + iε
[ ] ] zwei weitere Terme mit
+
(5.44)
p 1 + p 2 → p 1 − q 1 und p 1 + p 2 → p 1 − q 2
213

Zur Berechnung der amputierten Green-Funktionen müssen Diagramme mit
Selbstenergiekorrekturen an den äußeren Beinen nicht berücksichtigt werden,
da dieser Effekt bereits in M 2 und Z enthalten ist.
Exkurs: Massendimension von Feldern und Kopplungskonstanten in der dimensionalen
Regularisierung
Zur Behandlung von Schleifenintegralen in der dimensionalen Regularisierung
ist es notwendig, die Theorie in d Dimensionen zu formulieren. Dies
beeinflusst die Massendimension der in der Lagrange-Dichte auftretenden
Objekte. Da die Wirkung S weiterhin im Exponenten des Pfadintegrals
steht, muss sie dimensionslos sein. Schreibt man sie allerdings als Raumintegral
über die Lagragne-Dichte, d.h.
e iS = e i R d d x L , (5.45)
so ist dieses Raumintegral nun d-dimensional. Dies hat zur Folge, dass die
Lagrange-Dichte die Massendimension d haben muss. Folglich gilt dies auch
für die kinetischen Terme, d.h.
[∂ µ φ 0 ∂ µ φ 0 ] = d,
[ ¯ψ̸∂ψ
]
= d. (5.46)
Wie zuvor ist [∂ µ ] = 1 und [m] = 1, so dass man für die Massendimensionen
der Felder abliest
[skalares Feld] = [Vektorfeld] = d 2 − 1, [
Spin-
1
-Feld] 2
= d − 1 . (5.47)
2
Damit können wir nun die Dimension der Kopplung in der φ 4 -Theorie bestimmen.
Als Teil der Lagrange-Dichte hat der Wechselwirkungsterm die
Massendimension d, so dass
( )
[
λ0 φ 4 ] d
0 = d =⇒ [λ0 ] = d − 4
2 − 1 = 4 − d = 2ǫ, (5.48)
d.h. die unrenormierte Kopplung ist in d Dimensionen dimensionsbehaftet.
(4)
Wir wenden uns nun der Berechnung der in ˜G amp auftretenden Schleifenintegralen
zu. Unter Verwendung der dimensionalen Regularisierung sind diese
von der Form
(
k 2 − M 2 0 + iε) ( (P + k) 2 − M 2 0
˜µ 4−d ∫ d d k
(2π) d 1
+ iε)
. (5.49)
214

Der erste Schritt besteht darin, das Produkt der Propagatoren mit Hilfe von
(5.39) in eine Summe umzuschreiben, d.h.
˜µ 4−d ∫ d d k
(2π) d 1
(
k 2 − M 2 0 + iε) ( (P + k) 2 − M 2 0 + iε)
= ˜µ 4−d ∫ 1
0
∫ d d k
1
dx
(2π) d (
xk 2 + ¯x(P + k) 2 − M0 2 + iε) 2 . (5.50)
Nun nehmen wir im Nenner des Integranden zunächst eine quadratische
Ergänzung vor, so dass
k 2 + 2¯xP · k + ¯xP 2 − M 2 0 + iε = (k + ¯xP) 2 + x¯xP 2 − M 2 0 + iε (5.51)
und führen anschließend die Variablentransformation k → k ′ ≡ k + ¯xP
durch. An dieser Stelle verdeutlichen sich die Vorteile der dimensionalen
Regularisierung, denn im Gegensatz zur Cut-off-Regularisierung führt die
Variablentransformation nicht zu einer Verschiebung der Integrationsgrenzen.
Somit geht (5.50) in
∫ 1
0
dx ˜µ 4−d ∫ d d k
(2π) d 1
(
k 2 − [M 2 0 − x¯xP 2 − iε] ) 2
(5.52)
über. Dieses Integral ist von der From (5.33) mit ∆ = M0 2 − x¯xP 2 − iε, so
dass
( ∫
i 1 1
(5.49) =
(4π) 2 ǫ − dx ln M2 0 − x¯xP 2 )
− iε
0 µ 2 + O(ǫ)
( ∫
i 1 1
=
(4π) 2 ǫ − ln M2 0
µ 2 − dx ln
(1 − x¯x P 2 ) )
0
M0
2 − iε + O(ǫ)
( )
i 1
≡
(4π) 2 ǫ − ln M2 0
µ 2 − A(P 2 ) + O(ǫ) . (5.53)
Würde man zur Berechnung der Integrale statt der dimensionalen Regularisierung
die Cut-off-Regularisierung verwenden, so wäre das Resultat bis auf
die Ersetzung
1
ǫ − ln M2 0
µ 2 −→ − ln M2 0
Λ 2 − 1 (5.54)
identisch. Insbesondere ist zu beachten, dass die Abhängigkeit von den externen
Größen, d.h. den Impulsen P, in beiden Regularisierungsmethoden
gleich ist.
215

Mit dem Resultat (5.53) erhalten wir letztlich folgenden Ausdruck für die
amputierte Vier-Punkt-Funktion:
˜G (4)
amp = (−iλ 0 )
(1 − λ 0˜µ −2ǫ [ ] )
3
32π 2 ǫ − 3ln M2 0
µ 2 − A(s) − A(t) − A(u) + ... ,
(5.55)
wobei wir die Mandelstam-Variablen s = (p 1 + p 2 ) 2 , t = (p 1 − q 1 ) 2 und
u = (p 1 − q 2 ) 2 eingeführt haben. ˜G(4) amp ausgedrückt durch die Parameter
der Lagrange-Dichte M 0 , λ 0 hängt offensichtlich von der Regularisierung ab
und ist im formalen Limes ǫ → 0 divergent. Entscheidend ist aber, dass der
divergente Anteil nicht von der externen Kinematik abhängt, die in A(P 2 )
enthalten ist. Bestimmt man also den Wirkungsquerschnitt durch experimentelle
Messung für eine einzige kinematische Konfiguration und drückt
λ 0 durch diese Observable aus, so sollte der Streuquerschnitt für alle anderen
kinematischen Konfigurationen vorhersagbar sein.
Wir definieren also eine physikalische Kopplung λ durch die Stärke der Wechselwirkung
an der Paarerzeugungsschwelle s = 4M 2 , t = u = 0, d.h.
(√ ) 4 ∣
Z ˜G(4) ≡ −iλ˜µ 2ǫ . (5.56)
amp
∣ s=4M 2
t=u=0
In der dimensionalen Regularisierung muss der Faktor ˜µ 2ǫ eingeführt werden,
damit λ dimensionslos bleibt. Wir verlangen, dass (5.56) zu allen Ordnungen
der Störungstheorie gilt, so dass aus Vergleich mit (5.55) der Zusammenhang
(
λ˜µ 2ε = λ 0 1 − λ 0˜µ −2ε [ ] )
3
32π 2 ε − 3ln M2 0
µ 2 − A(4M2 ) + ... (5.57)
zwischen der physikalischen Kopplung und dem Parameter λ 0 folgt. Analog
erhält man in der Cut-off-Regularisierung die Relation
(
λ = λ 0 1 − λ [
] )
0
32π 2 3ln Λ2
M0
2 − 3 − A(4M 2 ) + ... . (5.58)
Der Zusammenhang λ(λ 0 ,M 0 ) zwischen der physikalischen Kopplung und
den Parametern der Lagrange-Dichte hängt wie erwartet von der Regularisierung
ab. Wie bereits erwähnt, ist der divergente Term unabhängig von
der Kinematik. Wir nehmen deshalb an, dass die renormierten Größen M
und λ aus den definierenden Bedingungen experimentell bestimmt werden
und drücken die Streuamplitude durch M und λ aus, indem wir die Relation
(5.57) iterativ invertieren, so dass
(√
Z
) 4 ˜G(4) amp = (−iλ˜µ 2ε )
(
1 + λ
32π 2 [ 3
ε − 3ln M2 0
µ 2 − A(4M2 )
216
]
)
+ ...

(
× 1 − λ [ ] )
3
32π 2 ε − 3ln M2 0
µ 2 − A(s) − A(t) − A(u) + ...
(
= −iλ 1 + λ [
A(s) + A(t) + A(u) − A(4M 2
32π 2 ) ] )
+ O(λ 2 )
(5.59)
Da sich die divergenten Terme gerade herausheben, kann der Limes ǫ → 0
nun durchgeführt werden. Die renormierte Streuamplitude, d.h. die Streuamplitude
ausgedrückt durch die renormierten Parameter M, λ, ist also
endlich und unabhängig von der Regularisierung. Die funktionale Form der
Amplitude hängt von der Definition der Kopplung λ ab, nicht aber ihr numerischer
Wert. Somit ist der Wirkungsquerschnitt dσ
dΩ
einschließlich der
Quantenkorrekturen, in Abhängigkeit der externen Impulse, eine Vorhersage
der Theorie.
Eine alternative Definition der Kopplung wäre
(√
Z
) 4 ˜G(4) amp | s=t=u=−4ν 2 ≡ −iλ ′˜µ 2ε , (5.60)
mit einen beliebigen Parameter ν. Dann nimmt die Streuamplitude die From
(√ ) (
4
Z ˜G(4) amp = −iλ ′ 1 + λ′ [
A(s) + A(t) + A(u) − 3A(−4ν 2
32π 2 ) ])
+ O(λ ′ 3 ) (5.61)
an, was aber wegen
(
λ ′ = λ 1 + λ [
3A(−4ν 2
32π 2 ) − A(4M 2 ) ] )
+ O(λ 2 )
(5.62)
mit dem Ausdruck (5.59) bis auf Terme der Ordnung λ 3 übereinstimmt.
(5.62) erhält man aus (5.58) und einer entsprechenden Beziehung zwischen
λ ′ und λ 0 durch Elimination von λ 0 .
5.1.4 Nackte und renormierte Störungstheorie;
Skalenabhängige Parameter
In diesem Unterkapitel werden wir die renormierte Störungstheorie einführen,
welche die Renormierung auf eine alternative Weise organisiert.
217

Renormierte Felder
Wie wir bereits wissen hat die Fourier-transformierte Zwei-Punkt-Funktion
des unrenormierten Feldes φ 0 im Limes p 2 → M 2 einen einfachen Pol, d.h.
〈Ω|T(φ 0 (x 1 )φ 0 (x 2 )) |Ω〉
p 2 →M 2
−→
iZ
p 2 + [nicht singuläre Terme] .
− M2 (5.63)
Das Residuum an der Stelle p 2 = M 2 definiert die (on-shell) Feldrenormierungskonstante
Z, welche im Allgemeinen divergent ist. Aus diesem Grund
definieren wir das (on-shell) renormierte Feld durch
φ 0 ≡ √ Zφ. (5.64)
Berechnet man nun die Zwei-Punkt-Funktion mit φ statt mit φ 0 , so hebt
sich für p 2 → M 2 das Residuum gerade heraus.
Desweiteren führen wie die renormierten Green-Funktionen ein, welche sich
von den unrenormierten dadurch unterscheiden, dass man sie aus den renormierten
Feldern bestimmt, d.h.
G (n) (x 1 ,...,x n ) = 〈Ω|T(φ(x 1 )... φ(x n )) |Ω〉
=
(√
Z
) −n
G
(n)
0 (x 1,...,x n ) =
(√
Z
) −n
〈Ω|T(φ0 (x 1 )... φ 0 (x 2 )) |Ω〉.
(5.65)
Zur Berechnung von Streumatrixelementen benötigen wir die amputierte
n-Punkt-Funktion. Diese erhält man aus G (n) indem man die renormierte
Zwei-Punkt-Funktion n-mal herausdividiert, so dass
G (n)
amp(x 1 ,...,x n ) =
(√
Z
) n
G
(n)
0 amp (x 1,... ,x n ). (5.66)
Die rechte Seite ist genau die Kombination die im LSZ-Theorem auftritt,
d.h. man benötigt keinen Faktor √ Z in der LSZ-Gleichung, wenn man mit
der renormierten Green-Funktion arbeitet.
Die Berechnung der renormierten Green-Funktionen in der “nackten” Störungstheorie
gliedert sich in folgende Schritte:
(1) Zunächst berechne man die Zusammenhänge M(M 0 ,λ 0 ), λ(M 0 ,λ 0 )
und Z(M 0 ,λ 0 ) bis zu der benötigten Ordnung in λ 0 unter der Verwendung
irgendeiner Regularisierung. (λ ist durch eine physikalische
Größe zu definieren.)
218

(2) Man berechne G (n)
0 (x 1,... ,x n ) in der Störungstheorie in Abhängigkeit
von M 0 , λ 0 .
(3) Man eliminiere in G (n)
0 (x 1,... ,x n ) M 0 , λ 0 zugunsten von M, λ indem
man die Relationen aus (1) iterativ invertiert und multipliziere
( √Z ) −n
mit wobei Z = Z(M0 (M,λ),λ 0 (M,λ)). Die renormierten
Green-Funktionen sind frei von Divergenzen und unabhängig von der
Regularisierung.
Häufig verwendet man auch ein alternatives Verfahren, die sog. renormierte
Störungstheorie, in der kein expliziter Gebrauch von nackten Größen gemacht
wird. Dazu ersetzt man direkt in der Lagrange-Dichte die nackten
durch die renormierten Größen, welche wie folgt definiert werden:
φ 0 = √ Z φ, (5.67)
M 2 0 = M2 + δM 2 , (5.68)
λ 0 = Z λ λ ˜µ 2ǫ . (5.69)
Der zusätzliche Faktor µ 2ε ist notwendig, damit die renormierte Kopplung
λ dimensionslos ist. Ausgedrückt durch die renormierten Größen nimmt die
Lagrange-Dichte die Form
L = 1 2
(
∂µ φ 0 ∂ µ φ 0 − M 2 0φ 2 0)
−
λ 0
4! φ4 0
= 1 2 Z∂ µφ∂ µ φ − 1 2 Z ( M 2 + δM 2) φ 2 − Z λ Z 2˜µ 2ǫ λ 4! φ4 (5.70)
an. Da Z − 1, Z λ − 1 und δM 2 von der Ordnung λ sind, behandeln wir die
jeweiligen Terme als Wechselwirkungen, so dass
L = 1 2 ∂ µφ∂ µ φ − 1 2 M2 φ 2 − λ˜µ2ǫ φ 4 + 1 4! 2 (Z − 1)∂ µφ∂ µ φ
− 1 (
(Z − 1)M 2 + ZδM 2) φ 2 − ( Z λ Z 2 − 1 ) λ˜µ 2ǫ
2
4!
≡ L r + L ct . (5.71)
Mit L r bezeichnen wir den Teil der Lagrange-Dichte, der dieselbe funktionale
Form wie L aufweist. Die restlichen Terme fassen wir in der Gegenterm-
Lagrange-Dichte L ct zusammen. L ct wird als Teil von L int aufgefasst und
φ 4
219

führt zu weiteren Wechselwirkungsvertices. Der Propagator ist demnach gegeben
durch
i
p 2 − M 2 + iε , (5.72)
mit der physikalischen Masse M, statt wie bisher M 0 . Bei den aus der
Lagrange-Dichte (5.71) berechneten Green-Funktionen handelt es sich direkt
um renormierte Green-Funktionen, ausgedrückt durch M,λ.
Die Gegenterme δ Z ≡ Z−1, δ M ≡ (Z−1)M 2 +ZδM 2 , δ λ ≡ Z λ Z 2 −1 müssen
dabei Ordnung für Ordnung aus drei geeigneten Renormierungsbedingungen
bestimmt werden. Wie zuvor wählen wir die on-shell-Bedingungen, d.h. wir
betrachten zunächst die renormierte Zwei-Punkt-Funktion und verlangen
=
i
p 2 − M 2 − Π(p 2 ,M 2 )
p 2 →M 2
−→
i
p 2 − M 2 . (5.73)
Diese Forderung ist konsistent mit den Überlegungen zu Beginn diese Kapitels,
bei denen wir festgestellt haben, dass das Residuum der (on-shell)
renormierten Zwei-Punkt-Funktion bei p 2 = M 2 gerade 1 ist. Aus (5.73)
folgt dann, dass die renormierte Selbstenergie Π(p 2 ,M 2 ) folgenden Bedingungen
genügen muss:
Π(p 2 ,M 2 )| p 2 =M2 = 0, (5.74)
dΠ
dp 2 ∣
∣p 2 =M 2 = 0. (5.75)
Diese Bedingungen legen δ M und δ Z fest. Zusätzlich benötigt man eine Renormierungsbedingung
für die Kopplung. Beispielsweise fordert man für die
renormierte Vier-Punkt-Funktion:
q 2
p 2
q 1
∣
∣∣∣amputiert
= −iλ (2π) 2 δ (4) (q 1 + q 2 − p 1 − p 2 ). (5.76)
p 1
s = 4M 2 , t = u = 0
Analog zu Kap. 5.1.1 wollen wir nun die Selbstenergie Π(p 2 ,M 2 ) in der Ordnung
λ der φ 4 -Theorie berechnen. Neben dem bereits bekannten Diagramm
ist in der renormierten Störungstheorie ein Gegentermvertex zu berücksichtigen,
so dass
−iΠ = +
220

(
(
λ
= (−i)
32π 2 Λ 2 − M 2 ln Λ2 M
4))
M 2 + O Λ 2 + i ( δ Z p 2 )
− δ M .(5.77)
(5.14)
Unter Verwendung der Renormierungsbedingungen (5.74) und (5.75) erhält
man
δ Z M 2 − δ M =
λ (
)
32π 2 Λ 2 − M 2 ln Λ2
M 2 , (5.78)
δ Z = 0. (5.79)
In der Ordnung λ ist also δ M = δM 2 , so dass
δM 2 = −
λ (
)
32π 2 Λ 2 − M 2 ln Λ2
M 2
(5.80)
in Übereinstimmung mit (5.16). Analog bestimmt man δ λ aus der Vier-
Punkt-Funktion in der Ordnung λ 2
∣ = + + + + (5.81)
amp
wobei man auch hier im Vergleich zu (5.44) einen zusätzlichen Gegentermvertex
−iδ λ λ˜µ 2ǫ berücksichtigen muss.
Die Vorteile der renormierten Störungstheorie werden besonders bei der Behandlung
höherer Schleifenordnungen deutlich. In der Zweischleifenordnung
muss man für die Selbstenergie beispielsweise folgende Diagramme berücksichtigen:
−iΠ (2) = + + +
+ . (5.82)
Im dritten und vierten Diagramm müssen lediglich die schon bekannten
Einschleifengegentermvertizes eingesetzt werden, so dass der Zwei-Schleifen-
Gegenterm im letzten Diagramms aus der Renormierungsbedingungen (5.74)
und (5.75) bestimmt werden kann. Auf diese Weise lässt sich das Verfahren
zu beliebigen Ordnungen der Störungstheorie fortsetzen.
221

Skalenabhängige Parameter und Renormierungsschemata
Bisher hatten wir die Feldrenormierungskonstante Z und die renormierte
Masse M stets aus dem Residuum bzw. dem Pol der Zwei-Punkt-Funktion
bestimmt. Um zu verdeutlichen, dass es sich dabei um die on-shell Feldrenormierungskonstante
und die physikalische Masse handelt, werden wir
diese Größen im Folgenden mit Z OS bzw. M phys bezeichnen.
Man kann jedoch allgemeinere Renormierungsbedingungen stellen, indem
man z.B. in (5.74) statt 0 einen anderen Wert festlegt oder einen Wert nicht
bei p 2 = M 2 vorgibt. Dies bedeutet nur eine Reparametrisierung der Theorie
durch anders normierte Felder und Parameter. Die einzige Forderung die
man an Z und M stellen muss ist die Berechenbarkeit der Zwei-Punkt-
Funktion. Wir schreiben also:
φ 0 = √ Z OS φ OS = √ Z φ, (5.83)
M 2 0 = M 2 phys + δM2 phys = M 2 + δM 2 . (5.84)
Jede dieser Gleichungen definiert einen Zusammenhang zwischen den renormierten
und den nackten Größen, welche verwendet werden können um die
physikalische Masse als Vorhersage der Theorie durch die Parameter M und
λ auszudrücken. Dabei ist die Relation
stets endlich und berechenbar.
M phys = M phys (M,λ) (5.85)
Bei der Berechnung von Streumatrixelementen sind dann zusätzlich folgende
Punkte zu beachten:
Z OS
Z
• Man muss – unabhängig von den Renormierungsbedingungen – weiterhin
G amp on shell, d.h. bei p 2 = Mphys 2 berechnen.
(√ ) n
• Man muss G amp mit multiplizieren, um die Streuamplituden
gemäßdem LSZ-Theorem zu erhalten, wenn man mit den nicht
on-shell renormierten Feldern φ arbeitet.
Ein sehr gebräuchliches Schema, wenn man die dimensionale Regularisierung
verwendet, ist das MS-Schema (“modifizierte minimale Subtraktion”). In
diesem werden die in den Gegentermen auftretenden Größen δ Z , δ M und δ λ
so bestimmt, dass sie nur die divergenten Polterme in ǫ enthalten.
222

MS-Masse
Zur Berechnung der renormierten Masse betrachtet wir wie üblich die Selbstenergie
Π. Unter Verwendung der dimensionalen Regularisierung erhält man
in der Einschleifenordnung
(−i)Π = − iλ ( )
1
32π 2 (−M2 M2
) − ln
ε µ 2 + 1 + i ( δ Z p 2 )
− δ M . (5.86)
Im on-shell-Schema folgt mit der Renormierungsbedingung Π| p 2 =M 2 = 0
δ M = + λ ( )
1
32π 2 M2 M2
− ln
ǫ µ 2 + 1 . (5.87)
Im MS-Schema verwenden wir eine andere Renormierungsvorschrift. Zum
einen soll der divergente Term herausgehoben werden, so dass die Zwei-
Punkt-Funktion endlich wird und zum anderen soll δ M keine endlichen Terme
erhalten. Somit folgt
δ M =
λ
32π 2 M2 1 ǫ . (5.88)
Mit dieser Wahl ist aber Π| p 2 =M2 ≠ 0, so dass die MS-Masse nicht mit der
physikalischen Masse übereinstimmt. Um den Zusammenhang zu bestimmen
betrachten wir
M0 2 = M2 phys + δM2 phys
(
= Mphys
2 1 + λ [ ] )
1 M2
32π 2 − ln
ǫ µ 2 + 1 + ...
(5.89)
woraus folgt
M 2 phys = M2 (µ)
= M 2 (µ) + δM 2 (µ)
(
= M 2 (µ) 1 + λ [ ] ) 1
32π 2 + ... , (5.90)
ǫ
(
[ ]
1 + λ
32π 2 ln M2 (µ)
µ 2 − 1
+ O(λ 2 )
)
. (5.91)
Die rechte Seite dieser Relation hängt explizit von dem Parameter µ ab,
während dies für die physikalische Masse offensichtlich nicht der Fall ist.
Die MS-Masse muss also auch von µ abhängen und zwar so, dass sich die
µ-Abhängigkeit gerade mit der expliziten heraushebt.
223

MS-Kopplung
Analog zur MS-Masse wollen wir nun die renormierte Kopplung im MS-
Schema bestimmen. Dazu betrachten wir die amputierte Vier-Punkt-Funktion
∣ = ( −iλ˜µ 2ε) ( 1 −
λ [ 3 M2
amp 32π 2 − 3ln
ε µ 2
] )
− A(s) − A(t) − A(u) + δ λ . (5.92)
Zuvor hatten wir die physikalische Kopplung durch den Wert der Vier-
Punkt-Funktion an einem festen kinematischen Punkt definiert, beispielsweise
für s = 4M 2 und t = u = 0, so dass
δ λ =
λ [ ]
3 M2
32π 2 − 3ln
ǫ µ 2 − A(4M2 ) . (5.93)
Aus der Renormierungsvorschrift des MS-Schemas folgt
δ λ =
λ [ ] 3
32π 2 , (5.94)
ǫ
und man erhält den Zusammenhang
λ = Z¯λ ¯λ(µ) = (1 +
Z
δ¯λ − δ λ + ...)¯λ(µ)
λ
(
= ¯λ(µ) 1 + ¯λ(µ) [
]
32π 2 3ln M2
µ 2 + A(4M2 )
)
+ ... , (5.95)
Wie die MS-Masse hängt auch die MS-Kopplung notwendigerweise von µ
ab. Ein ähnliches Resultat ergab sich auch für λ ′ (vgl. (5.62)). Dort war λ ′
ν-abhängig.
Das MS-Schema hat in der Praxis verbreitete Anwendung. Die Tatsache,
dass die µ-Abhängigkeit von M bzw. λ durch die Relationen (5.90) bzw.
(5.95) vollständig festgelegt ist führt auf ein zentrales Konzept in der Quantenfeldtheorie,
nämlich dem der sog. laufenden Parameter bzw. Kopplungen.
Dies hat beispielsweise zur Folge, dass die Kopplungsstärke in der starken
Wechselwirkung von einer Energieskala abhängt (siehe Kap. 5.5).
224

5.1.5 Renormierung der Yukawa-Theorie
Um einige weitere Aspekte der Renormierung zu illustrieren, wenden wir
uns nun der Yukawa-Theorie zu, welche aus reellen skalaren Feldern φ 0
und Dirac-Fermionen ψ 0 bzw. ¯ψ 0 besteht. Die auftretenden Parameter sind
die Massenparameter M 0 und m 0 , sowie der Kopplungsparameter g 0 . Ausgedrückt
durch die renormierten Größen lautet die Lagrange-Dichte der
Yukawa-Theorie
L = 1 2 Z φ
(
∂µ φ∂ µ φ − ( M 2 + δM 2) φ 2) + Z ψ ¯ψ (i̸∂ − Zm m)ψ
− Z ψ
√
Zφ Z g g ¯ψψφ (5.96)
Die Vorgehensweise ist nun völlig analog zum Fall der φ 4 -Theorie. Zunächst
spaltet man die Lagrange-Dichte in der bekannten Weise auf, d.h.
L = L r + L ct . (5.97)
Die Gegenterme müssen nun durch geeignet gewählte Bedingungen festgelegt
werden. Beispielsweise verwendet man die Zwei-Punkt-Funktionen
φ
φ
bzw.
ψ
¯ψ
(5.98)
um mittels geeigneter Vorschriften Z φ , δM 2 , bzw. Z ψ , Z m zu bestimmen. Die
renormierte Kopplung g könnte, sofern M > 2m, durch die Zerfallsamplitude
φ → ¯ψψ im MS-Schema über die Forderung, dass die Drei-Punkt-Funktion
φ
ψ ∣
∣∣amp
= + + +O(g 3 ) (5.99)
¯ψ
endlich ist definiert werden. Für den Vertexfaktor des Gegenterms erhält
man ( Z ψ
√
Zφ Z g − 1 ) g. Alternativ könnte man die Kopplung durch die ψψ-
Streuung definieren.
Im Gegensatz zur φ 4 -Theorie genügt dies jedoch nicht, um alle physikalischen
Größen divergenzfrei zu machen. Dazu betrachten wir die φφ → φφ
Streuung in dieser Theorie. In der Einschleifenordnung
p 1
p ′ 2 k
∣
∣∣amp
=
p 2
p 1 p ′ 1
k
p ′ 2
p 2
p ′ 1
+
[
Terme mit Permutationen
der äußeren Impulse
]
(5.100)
225

Man beachte, dass es keine Gegentermdiagramme in der Ordnung g 4 gibt.
Das erste Diagramm liefert beispielsweise folgenden Ausdruck:
(−ig) 4 ∫
d 4 k i(̸k + m) i(̸k− ̸p 1 + m)
(2π) 4 k 2 − m 2 (k − p 1 ) 2 − m 2
× i(̸k− ̸p 1− ̸p 2 + m)
(k − p 1 − p 2 ) 2 − m 2 i(̸k− ̸p ′ 1 + m)
(k − p ′ 1 )2 − m 2
∫ d
= g 4 4 k k 4
(2π) 4 (k 2 − m 2 + endliche Terme . (5.101)
) 4
Dieses Integral ist aber logarithmisch divergent, so dass die Theorie in dieser
Form also nicht wohldefiniert ist. Wir addieren zur Lagrange-Dichte einen
Gegenterm
−¯δ λ
4! φ4 (5.102)
und bestimmen ¯δ λ durch eine weitere Renormierungsbedingung für die φφ →
φφ Streuamplitude. Definiert man dann
¯δ λ ≡ Z 2 φ Z λλ (5.103)
so folgt daraus, dass dies äquivalent dazu ist, dass die Yukawa-Theorie von
Beginn an einen Term
− λ 0
4! φ4 0 (5.104)
enthält, d.h. einen zusätzlichen, unabhängigen Parameter, der nicht vorhersagbar
ist (sondern aus der φφ → φφ-Streuung experimentell bestimmt
werden muss). Ein analoges Resultat gilt für die Dreipunktfunktion der φ-
Felder, die einen weiteren Gegenterm
−¯δ λ3
3!
φ 3 (5.105)
erfordert. Nur mit dieser Ergänzung ist die Yukawa-Theorie renormierbar,
d.h. alle Green-Funktionen werden nach Reskalierung der Felder und Parameter
berechenbar.
An dieser Stelle drängt sich natürlich die Frage auf, wie man feststellt, welche
Terme addiert werden müssen, bzw. welcher Systematik dieses Verfahren
folgt. Außerdem ist zu prüfen, ob die Green-Funktionen wirklich zu allen
Ordnungen der Störungstheorie berechenbar sind.
226

Die Antwort auf diese Fragen gibt die allgemeine Renormierungstheorie, die
wir in Kap. 5.3 behandeln. Um die Antwort bereits vorwegzunehmen, sei
an dieser Stelle erwähnt, dass die Theorie renormierbar ist, wenn L nur
Terme mit einer Massendimension kleiner oder gleich vier enthält. Eventuell
muss man Terme zu L hinzufügen, so dass L alle möglichen Terme der
Dimension ≤ 4 enthält, die mit den Symmetrien der Theorie verträglich
sind. Dies war für die Yukawa-Theorie nötig, die ursprünglich keine φ 3 bzw.
φ 4 -Wechselwirkung enthielt.
Bevor wir dies näher betrachten, wenden wir uns einigen klassischen Quantenkorrekturen
in der Elektrodynamik zu.
5.2 Renormierung und Quanteneffekte der Quantenelektrodynamik
Nach den bisher behandelten Modelltheorien wenden wir uns nun der Renormierung
der Quantenelektrodynamik zu. Um ein tieferes Verständnis der
Renormierung zu erlangen betrachten wir vor allem zwei Effekte, die in der
Natur tatsächlich auftreten, nämlich zum einen die Abschirmung der elektrischen
Ladung durch die Quantenfluktuationen des Vakuums und zum
anderen das anomale magnetische Moment des Elektrons.
Wie üblich beginnen wir mit der Lagrange-Dichte der Theorie, welche für
die Quantenelektrodynamik in der kovarianten Eichung wie folgt lautet:
L = − 1 4 (∂ µA 0ν − ∂ ν A 0µ ) (∂ µ A ν 0 − ∂ν A µ 0 ) − 1
2ξ 0
(∂ µ A µ 0 )(∂ νA ν 0 )
+ ¯ψ 0 i̸∂ ψ 0 + (−e ψ )e 0 ¯ψ0 ̸A 0 ψ 0 − m 0 ¯ψ0 ψ 0 . (5.106)
Der Index “0” bezeichnet die unrenormierten Größen, welche von den später
einzuführenden renormierten Größen zu unterscheiden sind. Um zu verdeutlichen,
dass die Kopplungsstärke des Fermionfelds an das Eichfeld von der
Ladung abhängt, haben wir zunächst den Faktor (−e ψ ) eingeführt, der die
Ladung des Fermionfelds in Einheiten der Positronladung e angibt. Im Folgenden
gehen wir jedoch von einem Elektronfeld ψ aus, so dass e ψ = −1.
Die Renormierungskonstanten werden wie folgt definiert:
ψ 0 (x) ≡ √ Z 2 ψ(x), (5.107)
227

A µ 0 (x) ≡ √ Z 3 A µ (x), (5.108)
m 0 ≡ Z m m , (5.109)
e 0 ≡ Z e e, (5.110)
ξ 0 ≡ Z ξ ξ . (5.111)
Es ist a priori nicht klar, dass nur e 0 reskaliert wird und nicht auch e ψ ,
d.h., dass die Reskalierung der Kopplung von ψ abhängt. Später werden wir
sehen, dass dies nicht der Fall ist.
Wir drücken nun L wie üblich durch die reskalierten Größen aus und spalten
die Z i in Z i = 1 + (Z i − 1) auf. Da alle Z i von der Form Z i = 1 + O(e 2 )
sind, ist Z i − 1 proportional zur Kopplungskonstanten e, weshalb wir die
entsprechenden Terme als Wechselwirkungsterme behandeln. Dies führt auf
folgende Form der Lagrange-Dichte:
L = − 1 4 Z 3 (∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) (∂ µ A ν − ∂ ν A µ ) − Z 3
Z ξ
1
2ξ (∂ µA µ ) (∂ ν A ν )
+Z 2 ¯ψ i̸∂ ψ − Z2 Z m m ¯ψψ + Z e Z 2
√
Z3 e ¯ψ ̸Aψ
= − 1 4 F µνF µν − 1 2ξ (∂ µA µ ) (∂ ν A ν ) + ¯ψ (i̸∂ − m + e̸A) ψ
− 1 ( )
4 (Z 3 − 1) F µν F µν Z3 1
− − 1
Z ξ 2ξ (∂ µA µ ) (∂ ν A ν )
+ (Z 2 − 1) ¯ψ i̸∂ ψ − (Z 2 Z m − 1) m ¯ψψ +
( √ )
Z e Z 2 Z3 − 1 e ¯ψ ̸Aψ
≡ L r + L ct . (5.112)
L r bezeichnet wieder den Teil der Lagrange-Dichte, welcher in den reskalierten
Größen dieselbe funktionale Form wie (5.106) hat und L ct die Lagrange-
Dichte der Gegenterme (“counterterms”). Wie bereits erwähnt, wird L ct
zusammen mit e ¯ψ ̸Aψ aus L r als Wechselwirkungsanteil L int aufgefasst.
An dieser Stelle wollen wir folgendes festhalten:
• Im Verlauf dieses Kapitels werden wir zeigen, dass
Z 3
Z ξ
− 1 = 0, Z e Z 2
√
Z3 = Z 2 . (5.113)
228

• Durch die Einführung der Renormierungskonstanten entsteht in L ct
kein Term der Form
A µ A µ , (5.114)
d.h. kein Photonmassenterm.
• Unter der Voraussetzung, dass die Regularisierung die Eichsymmetrie
respektiert, folgt aus der Symmetrie, dass man nicht alle Terme mit
Massendimension ≤ 4 der Form
A µ A µ , (∂ µ A ν ) A ν A µ , A µ A ν A µ A ν (5.115)
zu L hinzuaddieren muss. Der Unterschied zur Yukawa-Theorie, bei der
wir die skalare Drei-Punkt- und Vier-Punkt-Wechselwirkung einführen
mussten, um die Renormierbarkeit sicherzustellen, besteht darin, dass
die Yukawa-Theorie keiner Symmetrie unterliegt, die die Existenz solcher
Terme verbietet.
Aus diesen Überlegungen folgt, dass das Photon weiterhin masselos bleibt
und dass die Vier-Punkt-Funktion der Photon-Photon-Streuung
ohne die Einführung zusätzlicher Gegenterme zu allen Ordnungen der Störungstheorie
berechenbar ist.
Definition von Z 2 , Z m im on-shell Schema
Zur Bestimmung der Renormierungskonstanten im on-shell Schema betrachtet
man die Zwei-Punkt-Funktion des jeweiligen Feldes in der Nähe des
Teilchenpols p 2 = m 2 phys
, wobei die renormierte Masse m in diesem Schema
gerade der physikalischen Masse m phys des Teilchens entspricht.
Nach dem LSZ-Theorem nimmt die Fourier-transformierte Elektron-Zwei-
Punkt-Funktion, ausgedrückt durch die unrenormierten Felder, für p 2 → m 2
die folgenden Form an:
∫
d 4 (x − y) e ip(x−y) 〈Ω|T ( ψ 0α (x) ¯ψ 0β (y) ) |Ω〉
229

p 2 →m
−→ 2 i(̸p + m) αβ
Z 2 ·
p 2 − m 2 + [nicht singuläre Terme] (5.116)
+ iε
Lage und Residuum des Pols definieren die physikalische Masse m = Z −1
m m 0
und die Feldrenormierungskonstante Z 2 .
Analog zur Behandlung des skalaren Feldes in Kap. 3.2 wollen wir die (onshell)
Feldrenormierungskonstante Z 2 und die physikalische Masse m durch
die Selbstenergie Σ 0 (p,m 0 ) des Elektrons, d.h. die Einteilchen-irreduziblen
Anteile der (unrenormierten) Zwei-Punkt-Funktion ausdrücken. Auf dem
Einschleifenniveau ist die Matrix Σ 0 (p,m 0 ) durch
−iΣ 0 (p,m 0 ) ≡ 1PI = + O(e 3 0 ). (5.117)
gegeben. Die Ableitung der Bestimmungsgleichungen für Z 2 und m verläuft
analog zum Vorgehen für den skalaren Fall. Dazu zerlegen wir die Elektron-
Zwei-Punkt-Funktion zunächst in ihre Einteilchen-irreduziblen Anteile, d.h.
∫
d 4 (x − y) e ip(x−y) 〈Ω|T ( ψ 0α (x) ¯ψ 0β (y) ) |Ω〉 =
p p
=
p
+ p
1PI + p
1PI 1PI + ...
=
i
̸p − m 0 + iε +
i
̸p − m 0 + iε (−iΣ(p,m 0))
i
+ ... . (5.118)
̸p − m 0 + iε
Die einzelnen Terme addieren sich zu einer geometrischen Reihe auf, so dass
∫
d 4 (x − y) e ip(x−y) 〈Ω|T ( ψ 0α (x) ¯ψ 0β (y) ) i
|Ω〉 =
̸p − m 0 − Σ 0 (p,m 0 ) .
(5.119)
Aus der Forderung, dass die Zwei-Punkt-Funktion im on-shell-Schema einen
Pol bei p 2 = m 2 hat, folgt dann
̸p − m 0 − Σ(p,m 0 ) ∣ ∤p=m
= 0. (5.120)
Um das Residuum zu bestimmen, entwickeln wir um den Teilchenpol p 2 =
m 2 und erhalten
(
i
̸p→m i
−→ 1 − ∂Σ
) −1 [ ]
∣
+ nicht singuläre
Terme
.
̸p − m 0 − Σ 0 (p,m 0 ) ̸p − m ∂̸p
∤p=m
(5.121)
230

Aus Vergleich mit (5.116) folgt also für die (on-shell) Feldrenormierungskonstante
Z2 −1 = 1 − ∂Σ
∣
. (5.122)
∂̸p
∤p=m
Bei der oben verwendeten Schreibweise ist zu beachten, dass sowohl ̸ p als
auch m 0 = m 0 ·½als Matrizen im Spinorraum zu verstehen sind. Etwas
präziser lassen sich (5.120) und (5.122) formulieren, indem man die Matrix
Σ in die allgemeinstmöglichen Spinor-Strukturen wie folgt zerlegt
Σ(p,m 0 ) = m 0 Σ 1 (p 2 ,m 0 ) ·½+Σ 2 (p 2 ,m 0 )·̸p (5.123)
und Z m und Z 2 durch die skalaren Funktionen Σ 1 und Σ 2 ausdrückt (vgl.
Übungsaufgabe).
5.2.1 Z 3 , Z ξ – Photonvakuumpolarisation und die Abschirmung
der elektrischen Ladung
Grundsätzlich berechnet man Renormierungskonstanten, die mit Termen
der Lagrange-Dichte verknüpft sind, welche quadratisch in den Feldern sind,
aus der entsprechenden Zwei-Punkt-Funktion. Neben dem kinetischen Term
des Eichfeldes ist auch der Eichfixierungsterm quadratisch in A 0µ , so dass
sowohl die Feldrenormierungskonstante Z 3 als auch Z ξ mittels geeigneter
Bedingungen an die Photon-Zwei-Punkt-Funktion zu bestimmen sind.
Mit der Analyse der Zwei-Punkt-Funktion haben wir uns bereits in Kap.
4.3.2 beschäftigt. Dort hatten wir mit der BRS-Symmetrie verknüpfte Ward-
Identitäten für allgemeine Eichtheorien abgeleitet, mit Hilfe derer wir zeigen
konnten, dass der Teil der Zwei-Punkt-Funktion, welcher den Eichparameter
ξ 0 enthält, keine Korrektur in der Störungstheorie erfährt. Die (unrenormierte)
Photon-Zwei-Punkt-Funktion nimmt also, zerlegt in die allgemeinstmöglichen
Lorentzstrukturen, zu allen Ordnungen der Störungstheorie die
folgende Form an:
∫
G 0 µν ≡ d 4 (x − y) e ip(x−y) 〈Ω|T(A 0µ (x)A 0ν (y)) |Ω〉
=
([
i
k 2 −g µν + k ]
)
µk ν
+ iε k 2 A(k 2 k µ k ν
) − ξ 0
k 2 . (5.124)
231

Die Tatsache, dass der kµkν
-Term den Koeffizienten ξ
k 2 0 zu allen Ordnungen
behält, hat direkte Konsequenzen für die Renormierungskonstanten. Im onshell
Schema ist Z 3 so zu bestimmen, dass die renormierte Zwei-Punkt-
Funktion in der Nähe des Teilchenpols bei k 2 = M 2 = 0 die Form des freien
Photon-Propagators annimmt, d.h.
G 0 µν
k 2 →0
−→ Z 3 ·
i
k 2 + iε
(
−g µν + (1 − ξ) k )
µk ν
k 2 +[nicht singuläre Terme] .
(5.125)
Aus Vergleich mit der allgemeinen Form (5.124) liest man für die Renormierungskonstanten
Z 3 = A(k 2 = 0), (5.126)
Z ξ = Z 3 (5.127)
ab. (5.127) garantiert, dass die Zwei-Punkt-Funktion der renormierten Felder,
ausgedrückt durch den renormierten Eichparameter ξ = (Z ξ ) −1 ξ 0 , nahe
dem Pol dieselbe Form wie die freie Zwei-Punkt-Funktion annimmt. Aus der
Tatsache, dass der ξ 0 -Term aufgrund der Ward-Identität in der Störungstheorie
nicht modifiziert wird folgt also, dass die beiden Renormierungskonstanten
Z 3 und Z ξ zu allen Ordnungen identisch sind.
Zur weiteren Analyse führen wir wieder die Photon-Selbstenergie Π (0)µν ,
auch als Photonvakuumpolarisation bezeichnet, als die Einteilchen-irreduziblen
Anteile der (unrenormierten) Zwei-Punkt-Funktion ein, so dass
G 0 µν =
p
+ p
1PI + p
1PI 1PI + ...
=
(
i
k 2 −g µν + (1 − ξ 0 ) k ) (
µk ν i
+ iε
k 2 +
k 2 −g µρ + (1 − ξ 0 ) k )
µk ρ
+ iε
k 2
× iΠ (0)ρσ (k)
(
i
k 2 −g σν + (1 − ξ 0 ) k )
σk ν
+ iε
k 2 + ... (5.128)
Die Photonvakuumpolarisation kann nun selbst in die allgemeinst-möglichen
Lorentzstrukturen zerlegt werden, wobei, genau wie im Fall der Zwei-Punkt-
Funktion, Π (0)µν als Tensor zweiter Stufe nur von den beiden Strukturen g µν
und k µ k ν abhängen kann. Wir definieren also
Π (0) µν (k) ≡ ( k 2 g µν − k µ k ν
)
Π0 (k 2 ) + k µ k ν Π 2 (k 2 ). (5.129)
232

Setzt man diese allgemeine Zerlegung in (5.128) ein, so erhält man
(
i
G 0 µν =
k 2 −g µν + (1 − ξ 0 ) k )
µk ν
+ iε
k 2
(
i
+
k 2 −g µν + k )
µk ν
+ iε k 2 Π 0 (k 2 i
) +
k 2 + iε (−ξ 0) k µk ν
k 2 Π 2 (k 2 )
+ ... . (5.130)
k
Der dritte Term stellt eine Korrektur der ξ µk ν 0 Struktur dar, von der wir
k 2
aber aufgrund der Ward-Identität wissen, dass sie nicht modifiziert wird.
Aus Vergleich mit dem Endresultat (5.124) können wir also schließen, dass
Π 2 (k 2 ) zu allen Ordnungen der Störungstheorie verschwinden muss.
Führt man den Ausdruck (5.130) zu höheren Ordnung in Π 0 fort, so stellt
man fest, dass sich die Struktur des Zweiten Terms mit höheren Potenzen
von Π 0 reproduziert. Diese Terme summieren sich zu einer geometrischen
Reihe auf, so dass das Endresultat die folgende Form annimmt:
G 0 µν (k) =
i
k 2 + iε
([
−g µν + k ]
µk ν
k 2
Aus Vergleich mit dem allgemeinen Resultat (5.124) folgt
)
1
1 − Π 0 (k 2 ) − ξ k µ k ν
0
k 2 . (5.131)
A(k 2 ) =
1
1 − Π 0 (k 2 )
(5.132)
und somit erhält man für die on-shell Feldrenormierungskonstante des Photonfeldes
Z −1
3 = 1 − Π 0 (k 2 = 0). (5.133)
Damit die Photon-Zwei-Punkt-Funktion weiterhin einen Pol bei k 2 = 0 hat,
d.h. das Photon masselos bleibt, muss Π 0 (0) endlich sein, bzw. Π 0 (k 2 ) darf
keinen Pol bei k 2 = 0 haben. Dies ist plausibel, da Π 0 nur Einteilchenirreduzible
Diagramme enthält, die keine masselosen Zwischenzustände (als
solcher käme nur der 1-Photonzustand in Frage) erlauben (siehe allgemeines
LSZ-Theorem zu Polen von Green-Funktionen).
233

Berechnung von Π(q) in der Einschleifenordnung
Im Folgenden verwenden wir die renormierte Störungstheorie und bestimmen
direkt Π µν (q), d.h. die Einteilchen-irreduziblen Anteile der renormierten
Zwei-Punkt-Funktion. In der Einschleifenordnung erhält man
iΠ µν (q) ≡
q
1PI = q
k+q
k
+
q
+ O(e 3 )
= i ( q 2 g µν − q µ q ν
)
Π(q 2 ). (5.134)
Der Gegenterm ist durch den Zwei-Punkt-Vertex − 1 4 (Z 3 − 1)F 2 aus L ct
gegeben, welcher auf den Vertexfaktor (−i)(Z 3 − 1)(q 2 g µν − q µ q ν ) führt.
Gemäß der bekannten Feynman-Regeln lautet der Ausdruck für das Schleifenintegral
(−1)(ie) 2˜µ 2ǫ ∫ d d k
(2π) d
tr (γ µ i(̸k + m) γ ν i(̸k+ ̸q + m))
(k 2 − m 2 + iε)((k + q) 2 − m 2 + iε) . (5.135)
Auf die Berechnung des Integrals wird hier nicht im Detail eingegangen.
Die Vorgehensweise ist jedoch identisch zu der in Kap. 5.1, d.h. man führt
zunächst Feynman-Parameter ein, um die Propagatoren zu kombinieren,
ergänzt den Nenner quadratisch und berechnet letztlich das Schleifenintegral.
Aus dem Resultat, welches von der Form (5.134) sein muss, kann man
dann Π(q 2 ) direkt ablesen und erhält
Π(q 2 ) = Π 0 (q 2 ) − (Z 3 − 1)
= − 2α ∫ 1
( m 2
π Γ(ǫ) − x¯xq 2 ) −ǫ
− iε
dx x¯x
4π˜µ 2 − (Z 3 − 1), (5.136)
0
mit der Feinstrukturkonstanten α = e2
4π
. Nun können wir die on-shell Feldrenormierungskonstante
Z 3 bestimmen, welche durch (5.133) festgelegt ist.
In der Einschleifennäherung bedeutet dies
Z 3 = A(q 2 = 0) =
1
1 − Π 0 (q 2 = 0) = 1 + Π 0(q 2 = 0) + O(α 2 ), (5.137)
wobei hier die unrenormierte Photonvakuumpolarisation Π 0 auftritt. Mit
(5.136) folgt dann
Z 3 − 1 = − 2α ∫ 1
( ) m
2 −ǫ
π Γ(ǫ) dx x¯x
0 4π˜µ 2 = − α ( )
1 m2
− ln
3π ǫ µ 2 + O(ǫ) .
(5.138)
234

Das Zusammenfügen von (5.138) und (5.136) liefert letztlich folgenden Ausdruck
für die Photonvakuumpolarisation:
Π(q 2 ) = 2α π
∫ 1
0
dx x¯x ln m2 − x¯xq 2 − iε
m 2 . (5.139)
Π(q 2 ) ist nach Konstruktion im Limes ǫ → 0 endlich und spiegelt einen
physikalischen Effekt wieder, den wir im Folgenden diskutieren werden.
Interpretation des Resultats
Um die physikalischen Konsequenzen von Π(q 2 ) zu verstehen, betrachten wir
die Streuung zweier Elektronen durch Austausch eines Photons. Berücksichtigt
man dabei die Quantenkorrekturen zum Photon-Propagator, so tritt im
entsprechenden Feynman-Diagramm der volle Photon-Propagator auf, d.h.
⃗p 1
⃗p 2
⃗p ′ 1
⃗p ′ 2
In niedrigster Ordnung würde man naiv ein Resultat erwarten, welches sowohl
proportional zum Quadrat der Kopplungskonstanten (→ e 2 ) als auch
zum Photon-Propagator (→ 1 ) ist. Bei der Berücksichtigung von Quantenkorrekturen
muss das Resultat modifiziert werden, da nun zusätzlich die
q 2
Funktion A(q 2 ) im Photon-Propagator auftritt, d.h.
e 2
q 2 → e 2
q 2 (1 − Π(q 2 )) ≡ e2 eff (q2 )
q 2 (5.140)
Die Photonvakuumpolarisation Π(q 2 ) führt also zu einer effektiven Stärke
der Kopplung e eff (q 2 ) zwischen geladenen Teilchen, die vom virtuellen Impuls
des Photons abhängt.
Für nicht-relativistische Elektronen (m ≫ ⃗q, d.h. ⃗p 1 ≈ ⃗p 2 ) entspricht der
Photonaustausch in erster Näherung gerade dem statischen Coulomb-Potential.
Dies lässt sich leicht verifizieren, indem man die Fourier-Transformierte
des Photon-Propagators berechnet
∫ d 3 ⃗q −e2
V (r) =
3
ei⃗q·⃗x
(2π) ⃗q 2 = −α r , (5.141)
235

mit der Feinstrukturkonstanten α. In (5.141) haben wir verwendet, dass
der Impulsübertrag für nicht-relativistische Elektronen vom Dreierimpuls
⃗q dominiert wird, so dass wir den Energieübertrag vernachlässigen und q 2
durch −⃗q 2 ersetzen können. In dieser nicht-relativistischen Näherung ist
Π(−⃗q 2 ) stets positiv und wächst mit ⃗q 2 (vgl. (5.139)). Dann wächst auch
die effektive Kopplung e eff (q) mit ⃗q an, so dass das Potential für kleine
Abstände r gegenüber dem Coulomb-Potential verstärkt wird.
Diesen Effekt kann man so interpretieren, dass das Vakuum in dem sich
das Elektron befindet, durch virtuelle Quantenfluktuationen (e + e − -Paare)
polarisiert wird und diese Vakuumpolaristation die Ladung mit größerem
Abstand immer stärker abschirmt. Anschaulich kann man sich folgendes
Bild machen:
e eff (r) < e eff (r = 0)
−
− + −
+ +
+
+
−
+
−
−
Die Feinstrukturkonstante α = e2
Grenzfall r → ∞, bzw. q 2 → 0.
4π ≈ 1
137
entspricht dem “makroskopischen”
Diesen Effekt kann man inzwischen überzeugend experimentell messen, da
man mittlerweile Streuenergien zur Verfügung hat, die wesentlich größer als
Elektronmasse sind. Am deutlichsten ist der Effekt bei der hochenergetischen
Elektron-Positron-Vernichtung in Photonen oder Z-Bosonen nachzuweisen,
etwa bei dem Prozess
e −
e +
q
f
¯f
= + ... .
Quarks und Leptonen tragen ungefähr zu gleichen Teilen zur Fermionschleife
in der führenden Ordnung bei. Der Impulsübertrag q 2 ist gerade die Schwerpunktsenergie
s der Collision. Die Messungen liefern folgendes Resultat:
α eff (0) =
1
137.026...
−→ α eff (M z ) =
1
128.927... . (5.142)
Um die Definition der Renormierungskonstanten abzuschließen, wenden wir
uns der Renormierung der elektromagnetischen Ladung bzw. des Photon-
Fermion-Vertex zu.
236

5.2.2 Z e – Definition der physikalischen Kopplung und die
Struktur der Vertexfunktion
Wie üblich müssen wir zunächst eine Bedingung formulieren, welche die
renormierte Ladung definiert. Aus Kap. 5.1 ist uns aber bekannt, dass die
Wahl einer solchen Bedingung nahezu beliebig ist.
Physikalisch versteht man unter der elektromagnetischen Ladung bzw. der
Feinstrukturkonstanten die Stärke der Wechselwirkung eines Photons mit
einem Elektron, beispielsweise bei der Thomson-Streuung. Üblicherweise ist
die Energie des Photons, welches an einem Elektron gestreut wird, sehr
viel kleiner als die relevanten Skalen der QED (→ Elektronmasse). Es liegt
deshalb nahe, die physikalische Ladung als die Stärke der Elektron-Photon-
Kopplung bei kleinem Impulsübertrag ⃗q ≪ m durch die Bedingung
〈e − (p ′ ,s ′ )γ(q,λ); out|e − (p,s); in〉
q µ →0
≡ (2π) 4 δ (4)( p ′ + q − p ) ieū(p ′ ,s ′ )γ µ u(p,s)ε ∗ µ (q,λ) (5.143)
zu definieren. Wir verlangen also, dass das Matrixelement (5.143) zu allen
Ordnungen der Störungstheorie diesselbe Form wie in niedrigster Ordnung
hat. Dies definiert die Renormierungskonstante Z e .
Nach dem LSZ-Theorem ist ein Matrixelement der Form (5.143) mit der
amputierten Drei-Punkt-Funktion verknüpft. Im on-shell Schema erhält man
〈e − (p ′ ,s ′ )γ(q,λ); out|e − (p,s); in〉
= √ Z 3 Z 2 · amp
q
p p ′
[ ]
∣ · Spinoren und Polarisationsvektoren
unrenormiert
= (2π) 4 δ (4)( p ′ + q − p ) √
Z3 Z 2 ie 0 ū(p ′ ,s ′ )Γ µ 0 (p′ ,p)u(p,s)ε ∗ µ(q,λ)
(5.144)
Das Objekt Γ µ 0 bezeichnet man als die (unrenormierte) Vertexfunktion. In
niedrigster Ordnung gilt
Γ µ 0 (p′ ,p) =
q
p p ′
+ O(e 2 ) = γ µ + O(e 2 ). (5.145)
237

Aus Vergleich von (5.144) und (5.143) folgt dann für die Ladungsrenormierungskonstante:
Ze −1 = √ “ Γ
µ
0
Z 3 Z 2 ·
(p′ ,p)| p=p
”
′
γ µ . (5.146)
Dieser zunächst artifizielle Ausdruck wird später noch präzisiert.
Im Folgenden wollen wir die Vertexfunktion in der Einschleifenordnung bestimmen.
Vor Beginn der eigentlichen Rechnung ist es sinnvoll, die Vertexfunktion
allgemein zu charakterisieren. Dazu überlegen wir uns zunächst,
analog zur Photonselbstenergie, welche Struktur das Resultat haben muss,
bzw. welches die allgemeinsten Lorentzstrukturen sind, in die wir Γ µ 0 zerlegen
können.
Γ µ 0 ist eine 4 × 4-Matrix im Raum der Spinoren und gleichzeitig ein Vektor
bzgl. des Lorentz-Index µ. Wie wir wissen, bilden die 16 Matrizen
½, γ 5 , γ µ , γ µ γ 5 , [γ µ ,γ ν ] ≡ 2 i σµν (5.147)
eine Basis für sämtliche Ausdrücke, die γ-Matrizen enthalten (vgl “Relativistische
Quantentheorie”). Diese Basisgrößen kann man nun mit den vorhandenen
Vektoren p µ und p ′µ multiplizieren, so dass sich folgende mögliche
Strukturen ergeben:
p µ , p ′ µ , γ µ , ̸pp ′ µ , ̸p ′ p µ , ̸pp µ , ̸p ′ p ′ µ ,
[γ µ , ̸p] , [ γ µ , ̸p ′] , [̸p, ̸p ′] p µ , [̸p, ̸p ′] p ′ µ ,
ǫ µνρσ γ ν γ 5 p ρ p ′ σ . (5.148)
Pseudovektorielle Größen wie γ 5 p µ sind nicht möglich, da die elektromagnetische
Wechselwirkung die Parität erhält. In einer allgemeinen Zerlegung von
Γ µ 0 treten die Strukturen (5.148) zwischen den Spinoren u(p,s) und ū(p′ ,s ′ )
auf (vgl. (5.144)). Nun gilt aber aufgrund der Bewegungsgleichung
̸p u(p,s) = m u(p,s), (5.149)
ū(p ′ ,s ′ )̸p ′ = m ū(p ′ ,s ′ ), (5.150)
so dass Größen, welche ̸p oder ̸p ′ enthalten, in einer Zerlegung von Γ µ 0 nicht
unabhängig sind. Dasselbe Argument führt zu dem Schluss, dass wegen
ǫ µνρσ γ ν γ 5 ∝ γ µ γ ρ γ σ + [Permutationen von µ, ρ, σ] (5.151)
238

auch ǫ µνρσ γ ν γ 5 p ρ p ′ σ für Γ µ 0 keine unabhängige Struktur darstellt, so dass
sämtliche Terme auf p µ , p ′µ und γ µ zurückgeführt werden können. Folglich
können wir Γ µ 0 wie folgt zerlegen:
Γ µ 0 (p′ ,p) = H 1 (q 2 ,m 2 )γ µ + H 2 (q 2 ,m 2 ) ( p + p ′) µ + H3 (q 2 ,m 2 ) ( p − p ′) µ .
(5.152)
Der entscheidende Aspekt einer solchen Zerlegung ist, dass die Funktionen
H i keine Lorentz- oder Spinor-Indizes mehr tragen. Sie sind also skalar, und
können nur von p 2 = m 2 , p ′2 = m 2 und q 2 = (p − p ′ ) 2 abhängen, da dies die
einzigen Skalare sind, die man aus p µ und p ′µ bilden kann. Für ein reelles
Photon ist auch q 2 = 0 (on-shell). Dies muss aber bei einer allgemeineren
Definition von Γ µ 0 für ein “off-shell” Photon nicht vorausgesetzt werden. In
den folgenden Betrachtungen schließen wir den Fall q 2 ≠ 0 mit ein (aber
p 2 = p ′2 = m 2 ).
Wir können (5.152) allerdings noch weiter einschränken. Die Eichinvarianz
der Theorie impliziert, dass das Produkt eines Diagramms mit einer externen
Photonlinie und dem Impuls des Photons verschwindet (vgl. Kap. 4.2.3), d.h.
Da q = (p − p ′ ), liefert dies
q µ Γ µ 0 (p′ ,p) = 0. (5.153)
0 ! = (̸p − ̸p ′ )H 1 + (p + p ′ ) µ (p − p ′ ) µ H 2 + q 2 H 3
= ( (̸p − m) − (̸p ′ − m) ) H 1 + H 3 q 2 (5.154)
Der erste Term verschwindet, wenn man ihn zwischen den Spinoren u(p,s)
und ū(p ′ ,s ′ ) auswertet aufgrund der Gleichungen (5.149) und (5.150). Da
(5.153) auch im Fall q 2 ≠ 0 gilt, folgt somit
H 3 (q 2 ,m 2 ) = 0. (5.155)
Im letzten Schritt der Charakterisierung von Γ µ 0 verwenden wir die Gordon-
Identität
[ p ′µ
ū(p ′ ,s ′ )γ µ u(p,s) = ū(p ′ ,s ′ + p µ
)
2m − iσµν (p ν − p ′ ν ) ]
u(p,s) (5.156)
2m
um den (p + p ′ ) µ -Term durch γ µ und σ µν q ν zu ersetzen, was einem Übergang
von H 1 und H 2 zu einer neuen Linearkombination von p µ , p ′µ und γ µ
239

entspricht. Dies führt auf die folgende konventionelle Zerlegung der Vertex-
Funktion:
Γ µ 0 (p′ ,p) = γ µ F 0 1 (q 2 ,m) + iσµν (p ′ ν − p ν)
2m
F 0 2 (q 2 ,m). (5.157)
Wir haben also die Vertex-Funktion durch zwei unbekannte, skalare Funktionen
F1 0 und F 2 0 parametrisiert. Mit (5.157) können wir den Ausdruck
(5.146) für die Ladungsrenormierungskonstante Z e präzisieren. Da der F2 0-
Term offensichtlich für p ′ → p verschwindet, folgt
1
Z e
= √ Z 3 Z 2 F 0 1 (q 2 = 0,m). (5.158)
Ähnlich wie für den Renormierungsfaktor des Photonfeldes, bei dem wir Z 3
durch die skalare Vakuumpolarisation Π(q 2 ) ausgedrückt haben, haben wir
die Berechnung der Ladungsrenormierungskonstanten Z e auf die Berechnung
der Funktion F1 0 (0,m) zurückgeführt.
Tatsächlich gilt aufgrund der Ward-Identität, die aus der Erhaltung des
elektromagnetischen Stromes (d.h. der Eichinvarianz) folgt, dass
F 0 1 (q2 = 0,m) = 1 Z 2
. (5.159)
Bevor wir dies formal beweisen, wollen wir einige Folgerungen festhalten:
• Einsetzen von (5.159) in (5.158) liefert
Z e = 1 √
Z3
. (5.160)
Dies ist ein interessanter Aspekt der QED: Die drei a priori unabhängigen
Renormierungskonstanten Z 3 , Z ξ und Z e , die mit dem Photon und
der Kopplung an das Photon zusammenhängen, sind letztlich alle aufgrund
der Eichsymmetrie miteinander verknüpft.
• Das Produkt von Ladung und Photonfeld wird nicht renormiert, d.h.
e 0 A µ 0 = eAµ . (5.161)
240

• Wie eingangs bereits erwähnt, wird die Kopplungsstärke (−e ψ )e 0 des
Fermions an das Photon unabhängig von ψ, bzw. unabhängig von
1
der elektrischen Ladung e ψ des Fermions, universell mit √ Z3
reskaliert.
Daraus erklärt sich, dass Positronen, Protonen, Quarks etc. unabhängig
von der Renormierung immer gleiche elektrische Ladungsverhältnisse
tragen, denn Z e hängt nur von der Photonfeldreskalierung
ab.
Beweis von (5.159):
Offenbar benötigt man einen Zusammenhang zwischen der Zweipunktfunktion
des Fermionfeldes, da diese mit Z 2 verknüpft ist, und der Dreipunktfunktion,
welche die Vertex-Funktion definiert. Solche Relationen werden durch
die Ward-Identitäten hergestellt, die zu allen Ordnungen der Störungstheorie
Green-Funktionen mit verschiedener Anzahl von Feldern in Verbindung
setzen.
Wir benötigen die Ward-Identität für den elektromagnetischen Strom, der
mit der Eichsymmetrie verknüpft ist. Mit δψ 0 = iε(x)ψ 0 , der Variation des
Fermionfeldes unter einer infinitesimalen Eichtransformation, folgt für den
erhaltenen Noether-Strom:
j µ 0 =
∂L
∂ (∂ µ ψ 0 ) iψ 0 = − ¯ψ 0 γ µ ψ 0 (5.162)
wobei sich bei der hier verwendeten Konvention ein Minuszeichen ergibt.
Durch Einsetzung des Strom j µ 0 in eine Green-Funktion aus zwei Fermionen
können wir folgende off-shell Erweiterung (d.h. q 2 ≠ 0, p 2 ,p ′2 ≠ m 2 ) von Γ µ 0
definieren:
∫
(−1) d 4 xd 4 z 1 d 4 z 2 e iqx+ip′ z 1 −ipz 2
∂ µ (x) 〈Ω|T( j µ 0 (x)ψ 0α(z 1 ) ¯ψ 0β (z 2 ) ) |Ω〉
≡ (2π) 4 δ (4)( q + p ′ − p ) (−iq µ ) Sαα 0 ′(p′ ) ̂Γ µ 0 α ′ β
(p ′ ,p)S 0 ′ β ′ β (p), (5.163)
mit S 0 der vollen (unrenormierten) Elektron-Zweipunktfunktion. Diagrammatisch
bedeutet (5.163):
q
̂Γ
p p ′
241

Eine störungstheoretische Entwicklung von ˆΓ µ 0 führt auf
j µ + ... .
̂Γ =
j µ +
j µ +
Bis auf das letzte Diagramm stimmt das durch (5.163) definierte Objekt
̂Γ µ 0 mit der gesuchten Vertex-Funktion überein, allerdings verallgemeinert
auf den Fall p 2 ,p ′2 ≠ m 2 . Das letzte Diagramm ist jedoch proportional zu
q 2 g µν −q µ q ν (vgl. (5.134)) und fällt bei der Multiplikation mit q µ heraus. Dies
gilt für alle Diagramme dieses Typs. Die Identifikation von ̂Γ µ 0 in (5.163) mit
der Vertex-Funktion Γ µ 0 gilt also nur für q µ̂Γ µ 0 . Nur dies wird im Folgenden
benötigt.
Um die in (5.163) auftretende Dreipunktfunktion in Beziehung zur Zweipunkt-Funktion
des Fermionfeldes zu setzen verwenden wir nun die Ward-
Identität für den Strom (2.318) in der Form:
∂ (x)
µ 〈Ω|T( j µ 0 (x)ψ 0α(z 1 ) ¯ψ 0β (z 2 ) ) |Ω〉
= δ (4) (x − z 1 ) 〈Ω|T ( ψ 0α (z 1 ) ¯ψ 0β (z 2 ) ) |Ω〉
− δ (4) (x − z 2 ) 〈Ω|T ( ψ 0α (z 1 ) ¯ψ 0β (z 2 ) ) |Ω〉. (5.164)
Wie in Kapitel 2.4 kann diese Ward-Identität auch direkt abgeleitet werden.
Dazu verwendet man zunächst die Definition des zeitgeordneten Produkts
und erhält
∂ (x)
µ 〈Ω|T ( j µ 0 (x)ψ 0(z 1 ) ¯ψ 0 (z 2 ) ) |Ω〉
= ∂ (x)
µ 〈Ω|( θ(x 0 − z 0 1 )θ(z0 1 − z0 2 )jµ ψ ¯ψ − θ(x 0 − z 0 2 )θ(z0 2 − z0 1 )jµ ¯ψψ
+ θ(z 0 1 − x 0 )θ(x 0 − z 0 2)ψj µ ¯ψ − θ(z
0
2 − x 0 )θ(x 0 − z 0 1) ¯ψj µ ψ
+ θ(z 0 1 − z 0 2)θ(z 0 2 − x 0 )ψ ¯ψj µ − θ(z 0 2 − z 0 1)θ(z 0 1 − x 0 ) ¯ψψj µ) |Ω〉
(5.165)
Da im Pfadintegral-Formalismus das T-Produkt immer als T ∗ -Produkt zu
verstehen ist, kann man die Ableitung in den Vakuumerwartungswert hineinziehen.
Berücksichtigt man zusätzlich die Erhaltung des Stromes, d.h.
∂ µ j µ = 0, so folgt
∂ (x)
µ 〈Ω|T( j µ 0 (x)ψ 0(z 1 ) ¯ψ 0 (z 2 ) ) |Ω〉
242

= δ(x 0 − z 0 1) 〈Ω| ( θ(z 0 1 − z 0 2)j 0 ψ ¯ψ − θ(x 0 − z 0 2)ψj 0 ¯ψ − θ(z
0
2 − x 0 ) ¯ψj 0 ψ
+ θ(z 0 2 − z 0 1) ¯ψψj 0) |Ω〉 + δ(x 0 − z 0 2) 〈Ω| ( − θ(z 0 2 − z 0 1)j 0 ¯ψψ
+ θ(z 0 1 − x 0 )ψj 0 ¯ψ + θ(x 0 − z 0 1) ¯ψj 0 ψ − θ(z 0 1 − z 0 2)ψ ¯ψj 0) |Ω〉
= δ(x 0 − z 0 1 ) 〈Ω|T([ j 0 (x),ψ(z 1 ) ] ¯ψ(z2 ) ) |Ω〉
+ δ(x 0 − z 0 2 ) 〈Ω|T( ψ(z 1 ) [ j 0 (x), ¯ψ(z 2 ) ]) |Ω〉. (5.166)
Die auftretenden Kommutatoren kann man mit Hilfe der kanonischen Antivertauschungsregeln
berechnen und erhält z.B. [ j 0 (x),ψ(z i ) ] = −i ·iδ (3) (⃗x −
⃗z i )ψ(z i ). Somit ist die Ward-Identität (5.164) verifiziert.
Nun bilden wir die Fourier-Transformation der Ward-Identität (5.164). Nach
Elimination einer Integration durch die δ-Funktionen auf der rechten Seite
der Gleichung, liefern die verbleibenden Integrationen gerade die Fourier-
Transformierte der Zweipunktfunktion, d.h.
∫
(−1) d 4 xd 4 z 1 d 4 z 2 e iqx+ip′ z 1 −ipz 2
δ (4) (x − z 1 ) 〈Ω|T ( ψ 0 (z 1 ) ¯ψ 0 (z 2 ) ) |Ω〉
∫
= (−1)
d 4 z 1 d 4 z 2 e i(q+p′ )z 1 −ipz 2
〈Ω|T ( ψ 0 (z 1 ) ¯ψ 0 (z 2 ) ) |Ω〉
= (−1)(2π) 4 δ (4) (q + p ′ − p)S 0 (p) (5.167)
Auf der linken Seite von (5.164) integrieren wir zunächst partiell und verwenden
anschließend die Definition (5.163), so dass wir das folgende Resultat
erhalten:
(2π) 4 δ (4) (q + p ′ − p)(−iq µ ) S 0 (p ′ )Γ µ 0 (p′ ,p)S 0 (p)
= (2π) 4 δ (4) (q + p ′ − p)(−1) ( S 0 (p) − S 0 (p ′ ) ) . (5.168)
Multiplikation mit dem Inversen der Fermionpropagatoren liefert
(
p ′ − p ) µ Γµ 0 (p′ ,p) = iS 0 (p ′ ) −1 − iS 0 (p) −1 . (5.169)
Dies ist eine völlig allgemeine Relation zwischen den vollen Fermionpropagatoren
und der off-shell Vertex-Funktion. Wir benötigen (5.169) jedoch für
den Fall der speziellen kinematische Konfiguration p ′ → p und p 2 = p ′2 =
m 2 . Dazu entwickeln wir die rechte Seite in p ′ um p und vergleichen die
Terme proportional zu (p ′ − p) µ . Dies ergibt:
Γ µ 0 (p,p) = i ∂
∂p µ
S 0 (p) −1 . (5.170)
243

Im Grenzwert p 2 → m 2 ist der Propagator von der Form
S 0 (p)
−→
iZ 2
+ [nicht singuläre Terme] (5.171)
̸p − m + iε
und Γ µ 0 geht in die on-shell Vertex-Funktion (5.157) über. Da der F 2-Term
für p ′ → p verschwindet, folgt letztlich
γ µ F 0 1 (0,m) = 1 Z 2
Damit ist der gesuchte Zusammenhang gezeigt.
∂
∂p µ
(̸p − m) = 1 Z 2
γ µ . (5.172)
Dies schließt die Diskussion der Renormierungskonstanten in der QED ab.
Im folgenden Abschnitt 5.2.3 wollen wir einen Effekt diskutieren, der mit
der Vertexfunktion verknüpft ist.
✷
Definition des verbesserten elektromagnetischen Stroms
Wir präzisieren zunächst den im Anschluss an (5.163) erwähnten Unterschied
zwischen dem durch (5.163) definierten ̂Γ µ 0 αβ
und der off-shell Erweiterung
(q 2 ≠ 0; p 2 , p ′2 ≠ m 2 ) der in (5.144) definierten Vertex-Funktion.
Diagrammatisch können wir ̂Γ µ 0 wie folgt darstellen:
1PI
j µ 0
̂Γ
p p ′
q
= Γ +
∞∑
n=1
1
ie 0
·
1PI
.
Γ
wobei 1PI = iΠ (0)µν die in Kapitel 5.2.1 diskutierte Photonvakuumpolarisation
bezeichnet. Die zweite Klasse von Diagrammen auf der rechten Seite
244

enthält Diagramme vom Typ des letzten Diagramms in der Diskussion nach
(5.163). Völlig analog zur Behandlung des Photonpropagators können die
1PI-Einsetzungen aufsummiert werden. Man erhält
[ ] (
̂Γ µ 0 = Γµ 0 + 1
1 − Π 0 (q 2 ) − 1 g µν − qµ q ν )
q 2 Γ ν0 . (5.173)
Offensichtlich gilt q µ̂Γµ 0 = q µΓ µ 0 , was bei der Ableitung der Ward-Identität
(5.159) verwendet wurde. Π 0 (q 2 ) wird durch (5.129) definiert.
Die Gleichung (5.173) offenbart ein Problem mit der Definition der zu j µ 0 (x)
gehörenden Noether-Ladung. Um dies zu sehen, betrachten wir die mit
(5.163) eng verwandte Größe
∫
[ ]
d 4 x e iqx 〈e − (p ′ ,s ′ )| − j µ 0 (x) |e − (p,s)〉
= (2π) 4 δ (4)( q + p ′ − p ) Z 2 ū(p ′ ,s ′ ) ̂Γ µ 0 u(p,s), (5.174)
wobei ̂Γ µ 0 nun bei q2 ≠ 0, aber p 2 = p ′2 = m 2 ausgewertet wird. Für on-shell
Elektronen gilt q µ Γ µ 0 = 0, so dass
[ ])
̂Γ µ 0
(1 = 1
+
1 − Π 0 (q 2 ) − 1 Γ µ 0 (p 2 = p ′ 2 = m 2 ). (5.175)
Der Operator −j0 0(x) = ( ¯ψγ 0 ψ)(x) ohne den Ladungsfaktor ist gerade der
Elektrondichteoperator (ein Positron hat negative Elektronzahl). Der Elektronzahloperator
ist ∫
Q = d 3 ⃗x ( −j0 0 (x)) . (5.176)
Q ist eine erhaltene Noether-Ladung. Die Elektronzahl eines Einelektronzustands
muss – unabhängig von der Renormierung – Eins betragen. Die
Rechnung ergibt (bei x 0 = 0)
∫ dq
〈e − (p,s)|Q|e − 0
∫
[ ]
(p,s)〉 = lim d 4 x e iqx 〈e − (p ′ ,s)| − j 0
q→0 2π
0(x) |e − (p,s)〉
∫
(5.174) dq
0
= lim
q→0 2π (2π)4 δ (4)( q + p ′ − p ) Z 2 ū(p ′ ,s) ̂Γ 0 0 u(p,s)
= (2π) 3 δ (3) (0) Z 2 F 0 1 (q 2 = 0)ū(p ′ ,s)γ 0 u(p,s)
245
( [ ])
1
1 +
1 − Π 0 (0) − 1 ,
(5.177)

wobei ū(p ′ ,s)γ 0 u(p,s) = 2p 0 und Z 2 F 0 1 (q2 = 0) = 1, aufgrund der Ward-
Identität. Insbesondere findet man aber
〈e − (p,s)|Q|e − (p,s)〉 ≠ (2π) 3 δ (3) (0) 2p 0 = 〈e − (p,s)|e − (p,s)〉. (5.178)
Nicht nur ist der Eigenwert von Q ungleich Eins, er ist sogar divergent, da
Π 0 (0) divergent ist.
An dieser Stelle sei daran erinnert, dass man zu einem Noether-Strom immer
die Divergenz eines antisymmetrischen Tensors addieren kann, ohne die Stromerhaltung
zu verletzen. Davon haben wir in Kapitel 1.4 bei der Konstruktion
des symmetrischen Energie-Impuls-Tensors Gebrauch gemacht. Wir definieren
also den verbesserten Noether-Strom
−J µ 0 ≡ −jµ 0 + A∂ νF νµ
0 , (5.179)
worin F µν
0 den unrenormierten elektromagnetischen Feldstärketensor bezeichnet
und die Konstante A im Folgenden bestimmt wird.
Berechnet man jetzt die Green-Funktion (5.163) mit J µ 0 statt jµ 0 , erhält man
eine zusätzliche Klasse von Diagrammen, nämlich
q
Γ
p p ′
welche den vollen Photonpropagator (5.131) enthält und den neuen Vertex
q
µ ν
= (−A)(q 2 g µν − q µ q ν ). (5.180)
Der zusätzliche Beitrag zu ̂Γ µ 0 ist leicht berechnet. Statt (5.173) ergibt sich
̂Γ µ 0 = Γµ 0 + Π 0(q 2 ) − e 0 A
(g µν
1 − Π 0 (q 2 − qµ q ν )
) q 2 Γ ν0 . (5.181)
Entsprechend erhält man in (5.175) und (5.177)
1
1 − Π 0 (q 2 ) − 1 −→ Π 0(q 2 ) − e 0 A
1 − Π 0 (q 2 . (5.182)
)
246

Der verbesserte Noether-Strom J µ 0 liefert also die korrekte Elektronzahl,
wenn die Konstante
A = Π 0(0)
(5.183)
e 0
gewählt wird, d.h.
Man beachte, dass
−J µ 0 = −jµ 0 + Π 0(0)
e 0
∂ ν F νµ
0 . (5.184)
e 0 = 1 √
Z3
e, (5.185)
1
1 − Π 0 (q 2 ) = Z 3
1 − Π(q 2 ) , (5.186)
wobei Π(q 2 ) die renormierte Photonvakuumpolarisation ist. (Die letzte Gleichung
folgt aus der Reskalierung der Photon-Zweipunktfunktion mit Z 3 ).
Damit kann Π 0(0)
e 0
durch renormierte Größen und Z 3 ausgedrückt werden.
5.2.3 Das anomale magnetische Moment
Eng mit dem magnetischen Moment eines Teilchens ist der sogenannte g-
Faktor verbunden. Der g-Faktor des Elektrons nimmt nicht exakt den Wert
2 an, wie er aus der Betrachtung der Dirac-Gleichung folgt, sondern erfährt
Korrekturen durch Schleifendiagramme. Diese Korrekturen, die man auch
als das anomale magnetische Moment des Elektrons bezeichnet, wollen wir
im Folgenden in der Einschleifenordnung berechnen.
Um den Zusammenhang mit dem bisher Gesagten herzustellen, betrachten
wir nochmals das Matrixelement (5.143) ausdrückt durch die renormierten
Größen. Mit √ Z 3 e 0 = e erhält man
〈e − (p ′ ,s ′ )γ(q,λ); out|e − (p,s); in〉
= (2π) 4 δ (4)( p ′ + q − p ) ieū(p ′ ,s ′ )Z 2 Γ µ 0 (p′ ,p)u(p,s) · ε ∗ µ(q,λ).
(5.187)
Wir definieren Γ µ (p ′ ,p) ≡ Z 2 Γ µ 0 (p′ ,p) als die renormierte Vertexfunktion.
Verallgemeinert man Γ µ nun wieder auf off-shell Photonen q 2 ≠ 0 (aber
247

weiterhin p 2 = p ′2 = m 2 ), dann können wir Γ µ genau wie die unrenormierte
Vertexfunktion wie folgt zerlegen:
Γ µ (p ′ ,p) = γ µ F 1 (q 2 ,m) + iσµν (p ′ − p) ν
2m
Wie wir oben gezeigt haben, ist
F 2 (q 2 ,m). (5.188)
F 1 (q 2 = 0,m) = Z 2 F 0 1 (q 2 = 0,m) = 1 (5.189)
zu allen Ordnungen in der Feinstrukturkonstanten α. Im Allgemeinen erhält
man für q 2 ≠ 0 jedoch eine Korrektur, d.h.
F 1 (q 2 ,m) ≡ Z 2 F 0 1 (q2 ,m) = 1 + O(α), (5.190)
F 2 (q 2 ,m) ≡ Z 2 F 0 2 (q2 ,m) = O(α) (5.191)
da der Vertex in niedrigster Ordnung gerade γ µ ist.
Im Folgenden wollen wir zeigen, dass F 2 für q 2 = 0 gerade das anomale
magnetische Moment eines Fermions liefert. Experimentell kann man das
magnetische Moment eines Elektrons oder Muons beispielsweise bestimmen,
indem man die Spin-Präzession, welche mit dem magnetischen Moment verknüpft
ist, in einem äußeren Magnetfeld misst. Da es sich bei dem äußeren
Feld typischerweise um ein makroskopisches Feld mit kleiner Frequenz handelt,
wird die Kopplung des Elektrons an ein klassisches elektromagnetisches
Feld betrachtet. Auf dem Niveau der Lagrange-Dichte bedeutet dies, dass
wir einen zusätzlichen Wechselwirkungsterm der Form
L int = −eJ µ 0 A µ cl = e ¯ψ 0 ̸A cl ψ 0 + ... (5.192)
zur üblichen QED-Lagrange-Dichte addieren müssen, wobei ̸A cl als nicht
quantisiert aufgefasst wird. Wegen e 0 A µ 0 = eAµ tritt hier die renormierte
Kopplung an das klassische Feld im on-shell Schema auf. J µ 0 ist der oben
diskutierte verbesserte elektromagnetische Strom.
Da (5.187) die Streuung an einem quantisierten Photon beschreibt, betrachten
wir stattdessen das Matrixelement
∫
〈e − (p ′ ,s ′ )|H int |e − (p,s)〉 = e d 3 ⃗x 〈e − (p ′ ,s ′ )|J µ 0 (x) |e− (p,s)〉A µ cl (x),
(5.193)
248

wobei H int = ∫ d 3 ⃗x (−L int ). Wir nehmen an, dass A cl zeitunabhängig ist, so
dass wir A cl mittels Fourier-Transformation wie folgt darstellen können:
∫
A µ cl (⃗x) =
d 3 ∫
⃗q
e−i⃗q·⃗x
(2π) 3 Ã µ cl (⃗q) =
dx 0 ∫
d 4 q
(2π) 4 eiqx à µ cl (⃗q). (5.194)
Der letzte Ausdruck enthält zwei redundante Integrationen, da die δ-Funktion,
die aus der q 0 -Integration resultiert, gerade durch die x 0 -Integration
eliminiert wird. Einsetzen von (5.194) in (5.193) liefert dann
∫
e
d 4 ∫
q
(2π) 4 õ cl(⃗q)
∫
= −e
d 4 x e iqx 〈e − (p ′ ,s ′ )|J µ 0 (x) |e− (p,s)〉
d 4 q
(2π) 4 õ cl(⃗q)(2π) 4 δ (4)( p ′ + q − p ) 1
1 − Π(q 2 )
× ū(p ′ ,s ′ )Z 2 Γ µ 0 (p′ ,p)u(p,s), (5.195)
wobei wir das Matrixelement unter Verwendung von (5.174), (5.175) und
1
(5.177) ausgewertet haben. Der zusätzliche Faktor ergibt sich aus
1−Π(q 2 )
1 + Π 0(q 2 ) − Π 0 (0)
1 − Π 0 (q 2 )
= 1 − Π 0(0)
1 − Π 0 (q 2 ) = 1 − Π(0)
1 − Π(q 2 ) = 1
1 − Π(q 2 ) , (5.196)
da die renormierte Photonvakuumpolarisation im on-shell Schema bei q 2 = 0
verschwindet, vgl (5.139).
Weiter nehmen wir an, dass für den Impulsübertrag ⃗q gilt |⃗q | ≪ m. Dies
bedeutet, dass das externe Feld räumlich im Vergleich zur Compton-Wellenlänge
des Elektrons langsam variiert. Außerdem gehen wir von nichtrelativistischen
Elektronen aus, d.h. |⃗p |, |⃗p ′ | ≪ m.
Unter diesen Voraussetzungen, die bei Experimenten zur Messung des magnetischen
Moments üblicherweise erfüllt sind, können die in (5.195) auftretenden
Objekte nicht-relativistisch entwickelt werden. Dazu benötigen wir
die folgenden expliziten Ausdrücke der Spinoren:
u(p,s) =
̸p + m
√ u(0,s), (5.197)
2m(p 0 + m)
mit
u(0,s) =
( )
ξs
, ξ1
ξ s 2
( ) 1
=
0
, ξ −
1
2
=
( 0
1
)
. (5.198)
249

0½
Da nun Zweier-Spinoren auftreten, muss man auch die explizite Form der
γ-Matrizen verwenden. Diese lauten wie folgt:
( ) ( )
γ 0 = , γ i 0 σ
i
=
½0
−σ i , (5.199)
0
mit den Pauli-Matrizen σ i . Des weiteren benötigt man die folgenden Objekte:
( ) ( ) (
σ i0 σ
i
0
= i
0 −σ i , σ ij = ǫ ijk σ
k
0
0 σ k , γ j γ i σ
= −
j σ i )
0
0 σ j σ i .
(5.200)
Mit der Zerlegung (5.188) von Γ µ treten in (5.195) zwei Strukturen auf, die
wir bis zur ersten Ordnung in q µ entwickeln. Für den F 2 -Term erhält man
ū(p ′ ,s ′ ) −iσiν q ν
2m
u(p,s)
≈ m
(ξ † s
,ξ † ′ s
)γ 0 1 + γ0 (−iσ iν q ν ) 1 + γ 0
′
2 2m 2
( )
= m ξ † s
,ξ † (−i)σ iν ( )
q ν ξs
′ s ′ 2m ξ s
Analoge Überlegungen liefern für den F 1 -Term
(
ξs
ξ s
)
= 2m ξ † s ′ iǫ ijk q j σ k
2m ξ s . (5.201)
ū(p ′ ,s ′ )γ i u(p,s) ≈
1
√
2m(p ′0 + m)
1
√
2m(p 0 + m) · m
)
×
(ξ [ † s
,ξ † ′ s
γ 0 m(1 + γ 0 )γ i m(1 + γ 0 ) + (−p ′ j )γ j γ i m(1 + γ 0 )
′
] ( )
+ m(1 + γ 0 )γ i γ j (−p j ) + O(p 2 ξ
) s
ξ s
≈ 1 ( ) [ (
ξ †
2
s
,ξ † ′ s
p ′ j σ j σ i ) (
0
′
0 σ j σ i + p j σ i σ j )]( )
0 ξs
0 σ i σ j ξ s
= 2m ξ † s ′ [ (p + p ′ ) i
2m
+ iǫijk q i σ k
2m
]
ξ s , (5.202)
wobei wir die Relationen
σ i σ j = δ ij + iǫ ijk σ k ,
(
iǫ jik p ′ j + iǫ ijk p j) σ k = iǫ ijk q j σ k (5.203)
250

verwendet haben.
Da wir von einem externen Magnetfeld ausgehen, muss die Nullkomponente
des Vektorpotentials verschwinden, d.h. Ã 0 cl
≡ 0. Mit (5.201) und (5.202)
erhält man also die folgende nicht-relativistischen Näherung für das Matrixelement
(5.195):
〈e − (p ′ ,s ′ )|H int |e − (p,s)〉
∫ d 4 q
= e
(2π) 4 Ãi cl (⃗q)ū(p′ ,s ′ )Γ i (p ′ ,p)u(p,s)(2π) 4 δ (4)( p ′ + q − p )
∫ d 4 q
≈ e
(2π) 4 (2π)4 δ (4)( p ′ + q − p ) [
2m ξ † (p + p ′ ) i
s ′ 2m F 1(0)
+ iǫijk q j σ k
]
2m (F 1(0) + F 2 (0)) ξ s · Ãi cl (⃗q). (5.204)
1
Der Faktor
1−Π(q 2 ) kann in dieser Näherung (q2 → 0) zu Eins gesetzt werden.
Aufgrund der Ward-Identität ist F 1 (0,m) = 1 zu allen Ordnungen in α. Die
Struktur ǫ ijk q j à i cl kann man mit dem Magnetfeld B ⃗ identifizieren, denn
∫
B i = ǫ ijk ∇ j A k ⇒ ˜B i = d 4 x e i⃗q·⃗x ǫ ijk ∇ j A k = −iǫ ijk q j à k . (5.205)
Damit erhalten wir das Resultat
〈e − (p ′ ,s ′ )|H int |e − (p,s)〉
[
= 2m ξ † (⃗p + ⃗p ′ )e ⃗ ]
A cl (⃗p − ⃗p ′ )
s
+ e
′
2m 2m · 2(1 + F 2(0)) ⃗σ 2 · ⃗B cl (⃗p − ⃗p ′ ) ξ s .
(5.206)
Dies ist gerade die Wechselwirkung eines Elektrons mit einem magnetischen
Feld, wie sie in der nicht-relativistischen Quantenmechanik auftritt. Der erste
Term entspricht der nicht-relativistischen Dipolwechselwirkung aus
(
⃗P + e ⃗ Acl
) 2
2m
. (5.207)
Man beachte, dass die Dipol-Kopplung wegen F 1 (0) = 1 nicht durch Quantenfluktuationen
modifiziert wird. Der zweite Term in (5.206) entspricht der
Wechselwirkung −⃗µ · ⃗B mit dem magnetischen Moment
⃗µ = − e
2m · 2(1 + F 2(0)) · ⃗σ 2 . (5.208)
251

Für den Landé-Faktor des Elektrons liest man ab
g = 2(1 + F 2 (0)). (5.209)
Gegenüber dem Resultat der Dirac-Theorie (g = 2), erfährt also die Spinwechselwirkung
eine Korrektur durch Quantenfluktuationen. Man bezeichnet
g − 2 = 2F 2 (0) als das anomale magnetische Moment.
Berechnung von F 2 (0) zur Ordnung α
In der Ordnung α sind zur Berechnung der Vertex-Funktion folgende Diagramme
zu berücksichtigen:
p − k p ′ − k
+
→
p p ′ k
Der Gegenterm ist von der Struktur ie(Z e
√
Z3 Z 2 − 1)γ µ und trägt deshalb
nur zu F 1 bei. Da es aber im Folgenden das Ziel sein wird, F 2 zu berechnen,
werden wir alle Terme, die proportional zu γ µ sind, stets weglassen, weil
diese keinen Betrag zu F 2 liefern. Um dies in den folgenden Rechnungen zu
verdeutlichen führen wir das Symbol “∼” mit der Bedeutung “gleich bis auf
Terme, die nicht zu F 2 beitragen” ein.
Aus der Struktur des Gegenterms können wir also schließen, dass der Beitrag
des obigen Diagramms zu F 2 divergenzfrei ist und somit keiner Regularisierung
bedarf.
Unter Verwendung der bekannten Feynman-Regeln erhält man für das Diagramm
den folgenden Ausdruck
(ie) 2 ∫
d 4 k ū(p ′ ,s ′ )γ ν i(̸p ′ − ̸k + m)γ µ i(̸p− ̸k + m)γ ρ u(p,s)
(2π) 4 [(p ′ − k) 2 − m 2 + iε] [(p − k) 2 − m 2 + iε]
× (−i)
k 2 + iε
(
g νρ − (1 − ξ) k )
νk ρ
k 2 . (5.210)
252

Der Term proportional zu k ν k ρ ergibt keinen Beitrag zu F 2 . Da die äußeren
Linien on-shell sind, gilt (̸p − m)u(p,s) = 0, und wir können beispielsweise
schreiben
(̸p − ̸k + m)̸k u(p,s) = (̸p − ̸k + m) (−[̸p −̸k] + m) u(p,s)
= ( −(̸p −̸k) 2 + m 2) u(p,s) = ( −(p − k) 2 + m 2) u(p,s). (5.211)
Analog kann man mit k ν verfahren, so dass nur γ µ übrig bleibt. Im nächsten
Schritt vertauschen wir γ ν mit ̸p ′ bzw. γ ν mit ̸p und erhalten
∫ d
∼ −ie 2 4 k 1 ū(p ′ ,s ′ )(2p ′ν − γ ν̸k)γ µ (2p ν − ̸kγ ν ) u(p,s)
(2π) 4 k 2 + iε [(p ′ − k) 2 − m 2 + iε] [(p − k) 2 − m 2 + iε] .
(5.212)
Nun verwenden wir die on-shell Bedingungen p 2 = m 2 bzw. p ′2 = m 2 , um
den Nenner wie folgt zu vereinfachen:
(p − k) 2 − m 2 = p 2 − 2p · k + k 2 − m 2 = −2p · k + k 2 (5.213)
und entsprechend für den anderen Faktor. Die Einführung von Feynman-
Parameter führt dann auf den folgenden Ausdruck:
(5.212) = −2ie 2 ∫ 1
0
∫
dxdy x
d 4 k
(2π) 4
× ū(p′ ,s ′ )(2p ′ν − γ ν̸k) γ µ (2p ν − ̸kγ ν ) u(p,s)
(xy(k 2 − 2p · k) + xȳ(k 2 − 2p ′ · k) + ¯xk 2 ) 3 . (5.214)
Im Nenner ergänzen wir zunächst quadratisch und verwenden anschließend
−2p · p ′ = q 2 − 2m 2 , so dass
k 2 − 2xy p · k − 2xȳp ′ · k
= (k − xyp − xȳp ′ ) 2 − (xy) 2 m 2 − (xȳ) 2 m 2 − 2x 2 yȳp · p ′
= (k − xyp − xȳp ′ ) 2 + x 2 yȳ q 2 − x 2 (y + ȳ) 2 m 2 (5.215)
Nach der Variablentransformation k → k + xyp + xȳp ′ nimmt das Schleifenintegral
die folgende Form am:
∫ 1 ∫
(5.214) = −2ie 2 dxdy x
0
d 4 k ū(p ′ ,s ′ )(2p ′ν − γ ν (̸k + xy̸p + xȳ̸p ′ ))
(2π) 4 (k 2 + x 2 yȳ q 2 − x 2 (y + ȳ) 2 m 2 ) 3
× γ µ ( 2p ν − (̸k + xy̸p + xȳ̸p ′ )γ ν
)
u(p,s). (5.216)
253

Unter Verwendung von (̸p −m)u(p,s) = 0 werden wir den Zähler nun systematisch
vereinfachen. Auf diese Weise können wir die Zahl der γ-Matrizen
in den einzelnen Ausdrücken reduzieren, so dass viele Terme proportional zu
γ µ entstehen. Zusätzlich können wir alle Terme mit ungeraden Potenzen von
k weglassen, da diese bei der Integration verschwinden. Man erhält zunächst
Zähler ∼ ( 2p ′ ν − γ ν (xy̸p + xȳ̸p ′ ) ) γ µ ( 2p ν − (xy̸p + xȳ̸p ′ )γ ν
)
− γν̸kγ µ̸kγ ν .
(5.217)
Nach der Integration über k muss der letzte Term proportional zur Metrik
g ρσ sein, d.h. er ist von der Form
γ ν γ ρ γ µ γ σ γ ν g ρσ ∝ γ ν γ ρ γ µ γ ρ γ ν ∝ γ µ , (5.218)
und kann somit weggelassen werden. Weiter folgt
Unter Verwendung von
Zähler ∼ 2̸p(xy̸p + xȳ̸p ′ )γ µ − 2γ µ (xy̸p + xȳ̸p ′ )̸p ′
+ γ ν (xy̸p + xȳ̸p ′ )γ µ (xy̸p + xȳ̸p ′ )γ ν . (5.219)
̸p̸p ′ γ µ = 2p · p ′ γ µ − ̸p ′̸p γ µ = 2p · p ′ γ µ − 2mp µ + m 2 γ µ ∼ −2mp µ , (5.220)
was zwischen ū(p ′ ,s ′ )...u(p,s) gilt, erhält man
Zähler ∼ 4mxȳp µ + 4mxyp ′ µ + (xy) 2 γ ν̸pγ µ̸pγ ν
+ (xȳ) 2 γ ν̸p ′ γ µ̸p ′ γ ν + x 2 yȳ(γ ν̸pγ µ̸p ′ γ ν + γ ν̸p ′ γ µ̸pγ ν ). (5.221)
Die verbleibenden Objekte betrachten wir separat:
γ ν̸pγ µ̸pγ ν ∼ 2p 2 γ µ − mγ ν̸pγ µ γ ν ∼ −8mp µ + mγ ν γ µ̸pγ ν
∼ −8mp µ + 2m̸pγ µ ∼ −4mp µ , (5.222)
γ ν̸pγ µ ̸p ′ γ ν ∼ 2p µ γ ν̸p ′ γ ν − γ ν γ µ̸p̸p ′ γ ν ∼ −4mp µ + γ ν γ µ̸p ′̸pγ ν
∼ −4mp µ − mγ ν γ µ̸p ′ γ ν + 2̸pγ µ̸p ′ + 2̸pγ µ̸p ′
∼ −4mp µ − 8mp ′ µ + mγν̸p ′ γ µ γ ν + 4mp ′ µ − 2̸p̸pγ
µ
∼ −4mp µ − 4mp ′ µ + 2mγµ̸p ′ + 2m̸pγ µ
∼ 0, (5.223)
γ ν̸p ′ γ µ̸pγ ν ∼ 2̸p̸p ′ γ µ − mγ ν̸p ′ γ µ γ ν ∼ −2m̸pγ µ − 2mγ µ̸p ′
254

∼ −4mp µ − 4mp ′ µ . (5.224)
Somit folgt
Zähler ∼ 4mp µ (xȳ − (xy) 2 − x 2 yȳ) + 4mp ′ µ (xy − (xȳ) 2 − x 2 yȳ)
= 4mp µ (xȳ − x 2 y) + 4mp ′ µ (xy − x2ȳ). (5.225)
Zerlegt man dies in einen Anteil proportional zu (p µ + p ′µ ) = P µ und einen
Anteil proportional zu (p µ − p ′µ ) = q µ , so erhält man
Zähler = 2mP µ (xȳ − x 2 y + xy − x 2 ȳ) + (q µ -Term)
= 2mP µ x¯x + (q µ -Term). (5.226)
Der Term proportional zu q µ verschwindet, wenn er mit ǫ µ multipliziert wird
und trägt deshalb nicht zu F 2 bei. Unter Verwendung der Gordon-Identität
(5.156) folgt
Zähler ∼ (4m) 2 (−iσµν (p − p ′ ) ν )
x¯x. (5.227)
2m
Damit nimmt das Resultat die Form
∫ 1
∫ d
(5.216) = 2ie 2 4 k 4m 2 x¯xū(p ′ ,s ′ ) iσµν
2m
dxdy x
(p′ − p) ν u(p,s)
0 (2π) 4 (k 2 + x 2 yȳq 2 − x 2 m 2 ) 3 (5.228)
an und wir erhalten
∫ 1
F 2 (q 2 = 0) = +2ie 2 dxdy x 2¯x4m ∫
2
0
d 4 k
(2π) 4 1
(k 2 − x 2 m 2 ) 3 . (5.229)
Das Integral über k ist von der Form A(3,x 2 m 2 ) (siehe Kap. 5.1), so dass
F 2 (q 2 = 0) = − 2e2 Γ(1)
(4π) 2 Γ(3)
∫ 1
0
dxdy x2¯x · 4m 2
−x 2 m 2 = 2 ·
α
4π · 1
2 · 1
2 · 4 = α 2π .
(5.230)
Für das anomale magnetische Moment des Elektrons erhält man also
g − 2 = 2F 2 (0) = α π . (5.231)
Dieses Resultat wurde erstmals 1948 von Julian Schwinger berechnet.
Experimentell kann das anomale magnetische Moment sehr präzise bestimmt
werden. Die Messungenauigkeit δ(g −2) beträgt für das Muon 10 −9 , für das
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