Versuchsanleitung

W9
Physikalisches Grundpraktikum
Abteilung Wärmelehre
C p
C V
von Luft, Kohlendioxid undArgon
Vorbereitung
1. Zustandsgleichung idealer Gase
2. Erster Hauptsatz der Wärmelehre
3. Definition der spezifischen Wärmekapazitäten C p und C V
4. Gaskinetische Deutung der molaren Wärmekapazitäten, siehe W+
5. Adiabate Zustandsänderungen, Poisson-Gleichung (Adiabatengleichung)
6. Erzwungene Schwingung 1 : Resonanzkurve, Amplitude, Phase
C.D.Bredl
Literatur:
Demtröder I; Gerthsen; Dransfeld/Kienle I; Hering/Martin/Stohrer; Hahn; Kuypers
W+ Hintergrundinfos (ab Version H); Tipler/Mosca §18.8 (zum Gleichverteilungsprinzip)
Mitzubringen:
Diagrammpapier DIN A4 für Aufg. 7 (siehe dort), also mind. 1 Blatt Millimeterpapier; (Tesafilm, Schere)
Grundlagen
w9
Spezifische Wärmekapazitäten C p und C V ,
Gleichverteilungsprinzip, Freiheitsgrade
In der kinetischen Gastheorie erhält man die innere
Energie U
U= n·
2· f R· T , (1)
mit n=Molzahl, f= Anzahl thermodynamischer
Freiheitsgrade, R= allg. Gaskonstante,
T= abs. Temperatur.
Daraus lässt sich die molare Wärmekapazität C V
ableiten:
C V = f 2· R (2)
DerHarmonische Oszillator:
Bei Vernachlässigung der Dämpfung ergibt sich
die Bewegungsgleichung
mẍ=−Dx (4)
, wobei − Dx=F (5)
die rückstellende Kraft ist und m=Masse, D= Federkonstante,
x= Auslenkung aus der Ruhelage
bedeuten. F und x sind Koordinaten von Vektoren
(gemeinsame Basis im Eindimensionalen).
Daraus ergibt sich die Periodendauer
Für ideale Gase erhält man den Zusammenhang
m
C p = C V + R= f+ 2
T= 2π
D
· R (3)
2
1
siehe z.B. Halliday et al. Physik (2003/2005) Kapitel 16-9 (und 16-8); Gerthsen 24. Aufl., Seiten 158 ff.;
und/oder den thematisch passenden Grundpraktikumsversuch der Abteilung Mechanik
(6)
W9|Seite1von6|2013-10-22 1

C.D.Bredl
w9
Herleitung derFederkonstanten D
einerGas-Säule:
Ein Gas befinde sich im unteren Volumen V 0 , das
„oben“ von einem beweglichen Kolben verschlossen
ist. Es steht unter dem Druck p 0 (infolge des
äußeren Luftdruckes). Der Kolben übernimmt die
Rolle der „schwingenden Masse“ m, die durch ihn
abgesperrte Gasmenge die der „Feder“. In der Versuchsanordnung
soll die x-Achse von der Ruhelage
des Kolben aus nach oben zeigen, damit eine
positiv gezählte Auslenkung x das Volumen auf
V 0 +∆V vergrößert. Auf die untere Kolbenfläche
A übt das Gas die Kraft p 0·A aus – sie und der Flächenvektor⃗A
weisen in das Kolbeninnere (nach
oben), haben positive Koordinaten.
Die Federkonstante bestimmt man durch Umformulieren
des Hooke’schen Gesetzes für die rückstellende
Kraft F=−Dx auf diese Volumenänderung∆V
:
F=− Dx=− D ∆V
A
D=− F A
∆V
(7)
(8)
Die rückstellende Kraft wird durch Druckänderung∆p
verursacht:
F= A·∆p (9)
, wobei die Druckänderung adiabatisch erfolgt
(warum?). Deswegen gilt die Poisson-Gleichung:
pV κ = p 0 V κ
0
bzw. p= p Vκ 0
0·
V κ (10)
mit κ= C p
C V
Näherungsweise gilt:
(Adiabatenexponent)
∆p= dp
dV
(11)
V0·∆V
(warum näherungsweise – wann verschlechtert
sich die Näherung?)
dp
dV =−κ· p V κ
0
0·
V κ+1 (12)
an der Stelle V 0 :
dp
V κ
0
dV =−κ· p 0· =−κ· p0
V0
V κ+1 V
0
0
. (13)
Eingesetzt in (11) ergibt sich die Druckänderung
aufgrund einer Volumenänderung
∆p=−κ· p0
V 0·∆V ; (14)
dieses eingesetzt in (9) ergibt die rückstellende
Kraft aufgrund einer Volumenänderung
F=−A·κ· p0
V 0·∆V . (15)
Hiermit liefert (8) die Federkonstante für ein einseitig
geschlossenes Rohr:
D= A2·κ· p 0
V 0
(16)
Bild der Apparatur
(beide Öffnungen verschlossen)
W9|Seite2von6|2013-10-22 2

Bestimmung desAdiabatenexponentenκ:
Gemäß Beziehung (6) folgt für ein einseitig geschlossenes
Rohr
T= 2π A
m·V0
κ· p 0
κ=ν 2 0·4π2· m· V 0
A 2·p 0
(17)
Hierbei istν 0 = 1/T die Schwingungsfrequenz.
Messverfahren
Bisher dargelegt wurde der Zusammenhang zwischen dem Adiabatenexponentenκund der Schwingungsfrequenzν
0 , d.h. der Eigenfrequenz für eine ungedämpfte freie Schwingung. Problem ist nun,
diese Eigenfrequenz experimentell zu ermitteln. Stößt man den Kolben an, so beendet er aufgrund der
Dämpfung den freien Schwingungsvorgang nach so kurzer Zeit, dass keine Messung mit vertretbarem
Aufwand möglich ist. Man regt daher den Kolben zu erzwungenen Schwingungen an und sucht die Resonanzfrequenzν
R der stationären Schwingung. Um die Resonanzstelle maximaler Amplitude zu finden,
muss man die Frequenz am RC-Oszillator verändern (durchstimmen).
Die erzwungene Schwingung wird angeregt durch das Magnetfeld einer Spule, die vom sinusförmigen
Strom durchflossen wird. Die Spule ist so anzuordnen, dass ihre Oberkante sich auf der Höhe der
Unterkante des Kolbens befindet. Ein Dauermagnet im Kolben erfährt dann eine oszillierende Kraft.
Grundsätzlich ist zu bedenken, dass mit wachsender Dämpfung folgende (Kreis-)Frequenzen immer weniger
übereinstimmen: Eigenfrequenzω 0 der freien ungedämpften Schwingung, Eigenfrequenzω δ der
freien gedämpften Schwingung, Resonanzfrequenzω R der erzwungenen Schwingung (siehe Aufg. 5).
C.D.Bredl
w9
Vorgehensweise
Durch von unten zugeführtes Gas wird der Kolben nahe ans obere Ende des vertikal stehenden Rohres
gebracht, dann der untere Glashahn geschlossen. Mehrere, zu unterschiedlichen Volumina gehörige
Resonanzfrequenzen werden nun in einem Durchlauf bestimmt:
Während der Kolben langsam absinkt, führt man mit einer Hand die Spulenoberkante entsprechend
nach. Man sucht laufend Resonanzstellen auf und notiert deren Frequenzenν R zusammen mit den dann
gültigen Volumina V 0 .
Wichtige Fehlerquelle hierbei: Die Resonanzamplitude stellt sich erst nach Abklingen von Einschwingvorgängen
ein – Geduld und etwas „Training“ sind essenziell.
Es sind so viele Durchläufe ( = Messreihen) über den in der Aufgabe genannten Volumenbereich auszuführen,
bis für jedes Gas etwa 20 – 30 Wertepaare vorliegen.
Technische Daten der Apparatur: 2
• Präzisions-Glasrohr: Innendurchmesser(14.00 +0.01
−0.00 ) mm
• Kolben (Aluminium): Durchmesser(13.97 +0.00 ) mm, Länge 20 mm, Masse(8.86±0.06) g.
−0.01
(Bitte nicht nachwiegen: Das Risiko mechanischer Schädigung ist zu hoch.
Weiterhin erhöhen Staub, Fett und Schweiß die Reibung sehr effizient. . . )
• Spule: 500 Windungen, ca. 4.2Ω, max. zulässiger Strom 1 A
• RC-Oszillator: Verwenden Sie den Frequenzbereich 10 Hz≤ν≤ 100 Hz und den Sinus-Leistungsausgang (4 Watt
an 4Ω).
• Druckbestimmung: Es gibt ein Quecksilber-Barometer an der Wand eines Raumes des Wärmelehre-Praktikums
(Versuch W3);
1 mm Quecksilbersäule= 1.3332 hPa .
2
Der Anbieter Leybold Didactic nennt diese Apparatur „Gasfeder-Resonanzgerät“ – primär für Resonanzversuche in der
Mechanik konzipiert – mit variabler (positionsabhängiger) Federkonstante.
W9|Seite3von6|2013-10-22 3

Aufgabenzur Vorbereitungdaheim
1. Vorbereitung: Leitfaden zum Versuchsziel, orientieren Sie sich an W+
Erläutern Sie, welche und wieviele Freiheitsgrade theoretisch für jedes der drei Gase erwartet werden.
Kombinieren Sie Fließtext in sinnvoller Weise mit Skizzen und tabellarischen Übersichten.
a) Aufstellung der aus rein klassischer Sicht möglichen Fundamentalbewegungen anhand der Anordnung
der als Punktmassen gedachten Atom(kern)e im Molekül – und wie sich daraus
( 3 / 7 / 13 ) thermodynamische Freiheitsgrade für ( Argon / Luft / CO 2 ) ergeben.
b) Für jede Fundamentalbewegung ist anhand ihres Charakters zu klären, ob sie bei Raumtemperatur
„aktiv sein“ kann/könnte.
c) Die Zahl der bei Raumtemperatur aktiven Freiheitsgrade soll f theo heißen (Werte !).
d) Die zugehörigen Adiabatenkoeffizienten (Werte !) sollenκ theo heißen.
2. Vorbereitung: Die Apparatur wurde an der hiesigen Physik um Gasmanipulationshilfen ergänzt und
thematisch in die Thermodynamik platziert: Ein (spezialisiertes) Kalorimeter, mit einem Fluid zu
füllen – nicht mit Wasser wie bei den Versuchen W5, W8, W10, sondern mit einem Gas. Machen Sie
sich anhand von W+ vertraut mit der Kalorimeterkonstanten ˜K und den damit zusammenhängenden
Pseudo-Freiheitsgraden ˜f , d.h. mit den Grundlagen der Aufgabe 10.
3. Vorbereitung: Herleitung der Poisson-Gleichung (10), der Grundlage des Messverfahrens.
4. Vorbereitung: Betrachten Sie die wie folgt umgeschriebene Variante von Glchg (17):
C.D.Bredl
κ
ν 2 0· V 0
= G ; G def
= 4π2· m
A 2·p 0
(18)
Die Größe G aus (18) ist zentraler Bestandteil der Versuchsauswertung:
• Entscheiden Sie anhand der nachκaufgelösten Glchg (18), aus welcher der in Aufgabe 7 vorgeschlagenen
Auftragungen Sieκ„unmittelbarer“ ersehen können.
• Berechnen Sie G (exemplarisch mit p 0 = 1 000 hPa) und die für Luft bei V 0 = 50 cm 3 zu erwartende
Eigenfrequenzν 0 .
5. Vorbereitung: Die inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
ẍ+ 2δ· ẋ+ω 2 0· x=(F 0/m)·e iωt (19)
stellt die auf komplexe Zahlen verallgemeinerte Form 3 der Bewegungsgleichung für erzwungene
Schwingungen des gedämpften harmonischen Oszillators dar. In Abhängigkeit von der (Kreis-) Frequenzωder
anregenden Kraft F(t)= F 0 cos(ωt)=RF 0 e iωt ergibt sich die Amplitude stationärer
Schwingungen
w9
F 0 /m
A(ω)= (20)
(ω
2
0 −ω2 ) 2 +(2δ·ω) 2
• Berechnen Sie daraus die Resonanzfrequenzω R der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit
vom Abklingkoeffizientenδ und von der Eigenfrequenzω 0 der ungedämpften freien Schwingung.
• Wie klingt die Amplitude der freien Schwingung ab (benötigen Sie für Aufgabe (9c)) ?
Welche Eigenfrequenzω δ hat diese freie Schwingung des gedämpften harmonischen Oszillators ?
3
der Realteil ihrer (komplexen) Lösung ist zugleich die (reelle) Lösung des Realteils der DGL
W9|Seite4von6|2013-10-22 4

Aufgabenzur Durchführung vorOrt
C.D.Bredl
w9
6. Präparieren Sie das „oben offene Rohr“ – der obere Gummistopfen soll ca. 1 cm Distanz von der
Rohröffnung entfernt befestigt werden.
• Bestimmen Sie Resonanzfrequenzν R und zugehöriges Gasvolumen V 0 mit eingesperrter Luft.
Sammeln Sie 20 bis 30 Wertetripel(V 0 ,ν R , 1/ν 2 R ). Volumina V 0 sollen den Bereich von ungefähr
65 cm 3 bis herab zu 15 cm 3 umfassen.
• Bestimmen Sie in gleicher Art Resonanzfrequenzen und Volumina für Kohlendioxid und Argon
als eingeschlossene Gase. Ihr Betreuer weist Sie in die Spülvorgänge beim Gaswechsel ein.
• Protokollieren Sie den aktuell herrschenden Luftdruck sowie die Masse „Ihres“ Kolbens.
Aufräumen: spülen Sie die Apparatur wieder mit Luft und verschließen sie (oberer Gummistopfen !).
7. Auftragungen für jedes Gas auf eigenem Blatt:
• Tragen Sie 1/ν 2 über das Volumen V 0 auf (oder V 0 gegenν −2 , falls Ihnen das besser gefällt).
• Grenzen Sie ein (möglichst schmales) Gebiet ein, welches bei normalverteilten Messpunkten
einem beidseitigenσ-Intervall für den Adiabatenkoeffizientκentspricht. Welche Gestalt hat
dieses Gebiet bzw. wozu benötigen Sie den Koordinatenursprung ?
Es ist zweckmäßig, diese Auftragungen auf transparenten Blättern mit deckungsgleichen Skalenteilungen
zu erstellen: Jedes Gas wird unabhängig von den anderen „graphisch ausgewertet“. In
Aufgabe 11 erfolgt der Vergleich durch Aufeinanderlegen. . .
Verwendbar (aber heutzutage schwer erhältlich) ist transparentes Millimeterpapier. Alternativ tun’s
zwei Blatt neutrales Transparentpapier 4 gemeinsam mit einem Blatt gewöhnlichem Millimeterpapier
als Referenz (Achsen durchpausen!).
8. Auswertung:
• Passen Sie G an die aktuellen Gegebenheiten an: Der mittlere Druck p 0 des eingeschlossenen
Gases ergibt sich aus dem äußeren Luftdruck und einem Beitrag des Kolbens.
• Für jedes Gas berechnen Sie die Intervallgrenzenκ−σ bzw.κ+σ anhand der Gebiete aus
Aufg. 7. Bestimmen Sie darausκundσ.
• Erstellen Sie eine Tabelle mit Plätzen für die Zahlenwerte vonκ ,σ ,κ theo , f theo , f min , f max und
(f theo + ˜f) . Werte für f min und f max bestimmen Sie ausκ±σ. Bestimmung von ˜f ist Thema der
Aufgabe 10.
• Ergänzen Sie die Graphen um Linien, welche den Erwartungenκ theo der Aufg. 1 entsprechen.
• Versehen Sie jede Linie Ihrer Graphen mit der zugehörigen f -Angabe (pro Gas also drei Linien).
9. Fehlerbetrachtung fürκ: Behandeln Sie folgende Fehler- und Störquellen getrennt voneinander:
(a) Statistische Unsicherheiten sind abhängig von Experimentator und Tagesform. Als relative Fehler
vonκanzugeben.
(b) Systematische und bei allen Gasen gleichartig aufκwirkende (relative) Fehler anhand von Toleranzen
in den Daten der Apparatur und ihres Umfeldes – einmalig zu quantifizieren.
(c) Einfluss der Dämpfung – systematische Verschiebung vonκ(bei naiver Verwendung der Resonanzfrequenz),
die bei Kenntnis vonδ vermeidbar wäre, siehe Hausaufgabe 5.
• Wie wirkt sichδ auf das Verhältnisν 2 0 /ν2 R
und damit aufκaus ?
• Schätzen Sieδ ab: Nach Entfernen der Spule klingt die Amplitude der Schwingung in (grob)
0.3 s auf den 1/e-fachen Ausgangswert ab. Im ungünstigsten Fall istν R ≈ 11 Hz.
• Rückschau auf die Größe zuvor betrachteter Fehler. . .
10. Fehlerbetrachtung und -Reparatur für Freiheitsgrade f mess :
Der Einfluss der Behälterwandung (Kalorimeterkonstante ˜K) ist systematisch und reproduzierbar. An
der Apparatur ist ˜K aber nicht angegeben. Sie sollen einen plausiblen Wert für ˜f (und damit auch für
˜K) vorschlagen, übersichtlich tabellieren (vgl. Aufgabe 8) und visualisieren.
4
können Sie im Praktikum erwerben
W9|Seite5von6|2013-10-22 5

• Geben Sie für jedes Gas ein „Toleranzintervall für Freiheitsgrade“ an. Die Intervallgrenzen f min
und f max hatten Sie bereits in Aufgabe 8 berechnet.
• Finden Sie nun heraus, ob sich die drei Freiheitsgrad-Erwartungen f theo mit einem vom Gas
unabhängigen, weil Apparatur-verschuldeten Wert ˜f in Ihre experimentell begründeten Toleranzintervalle
verschieben lassen. Es gibt eine Rangfolge für die Verlässlichkeit von f theo : Argon
ist über alle Zweifel erhaben, Kohlendioxid steht besonders in Frage.
• Erstellen Sie ein Balkendiagramm, das die f -Felder der Tabelle visualisiert – maßstabsgerecht auf
dem Karopapier des Protokollheftes – mit horizontalen „Balken“, die vom linken Diagrammrand
ausgehen: Pro Gas ein dünner Balken mit verdickter Kopfzone (von f min bis f max ). Ein weiterer
dünner Balken soll insgesamt vier Markierungen tragen, nämlich für ˜f und ˜f+ ftheo (Gas) . 5
11. Vergleichende Diskussion: Stellen Sie Ihre experimentellen Befunde für die drei Gasen den jeweiligen
Erwartungen aus der Vorbereitung gegenüber. Diskutieren Sie abschließend hinsichtlich des
in W+ dargelegten Szenarios: Eignet sich das Messverfahren (unbeschadet seiner offensichtlichen
Fehlerquellen) dazu, im Rahmen des Grundstudiums den Übergang von klassischen zu quantenmechanischen
Sichtweisen zu illustrieren?
w9
C.D.Bredl
5
Er repräsentiert also die um ˜f nach rechts verschobenen f theo -Werte.
W9|Seite6von6|2013-10-22 6