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7. Übungsblatt zur Vorlesung SS 2009 Einführung in ... - TU Dortmund

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7. Übungsblatt zur Vorlesung SS 2009 Einführung in die Elementarteilchentheorie Prof. G. Hiller Abgabe: bis Dienstag, den 2. Juni 2009 16:00 Uhr Aufgabe 1: e + e − → µ + µ − , Teil 1: Wirkungsquerschnitt Wir betrachten die Annihilation eines Elektron-Positron-Paares in ein Myon-Antimyon-Paar e − (p)e + (p ′ ) → µ − (k)µ + (k ′ ) im Rahmen der QED. a) Zeichnen Sie die Feynmandiagramme aller QED-Prozesse, welche in Ordnung α sowie α 2 zum Wirkungsquerschnitt beitragen. b) Geben Sie mit Hilfe der Feynmanregeln das Matrixelement M = 〈f |T |i〉 in niedrigster nichtverschwindender Ordnung an. Zeigen Sie, dass das spingemittelte Amplitudenquadrat für unpolarisierte Teilchen als Produkt zweier Leptontensoren L αβ (je einer für den Elektron- und den Myonbeitrag) geschrieben werden kann (es ist s = (p + p ′ ) 2 ) |M | 2 = 1 4 ∑Spins |M |2 = e4 4s 2 Lαβ(e) L (µ) αβ . (1) c) Werten Sie den Elektrontensor L (e) αβ mit m e = 0 und den Myontensor L (µ) αβ mit m µ ≠ 0 mit Hilfe der Spurtheoreme aus und zeigen Sie, dass der differentielle Wirkungsquerschnitt gegeben ist durch dσ dΩ = α2 4s √ [ ( ) ] 1 − m2 µ E 2 1 + m2 µ E 2 + 1 − m2 µ E 2 cos 2 Θ . (2) Dabei ist E die Energie der Teilchen und Θ der Streuwinkel im Schwerpunktsystem. d) Integrieren Sie (2) im Hochenergielimes m µ /E ≪ 1 über den Raumwinkel dΩ, um den totalen Wirkungsquerschnitt σ tot zu erhalten. Geben Sie den numerischen Wert für σ tot für eine Schwerpunktsenergie von 1 GeV in Millibarn an. Aufgabe 2: e + e − → µ + µ − , Teil 2: Helizitätsanalyse Ziel dieser Aufgabe ist es, die Winkelverteilung des differentiellen QED-Wirkungsquerschnitts (2) für masselose Fermionen dσ/dΩ ∝ 1 + cos 2 Θ zu erklären. a) Berechnen Sie die Amplitude iM aus Aufgabe 1, Teil b) diesmal für masselose Teilchen mit fester Helizität. Wählen Sie dabei die Impulse p, p ′ (Bezeichnungen wie in Aufgabe 1) entlang der z-Achse und setzen Sie jeweils die expliziten Spinoren sowie die Gamma-Matrizen in der chiralen Darstellung ein. (Den Myonvektorstrom finden Sie am Einfachsten durch Drehung.) Führen Sie die Berechnung für alle Kombinationen der Helizitäten durch, d.h. für e − RH e+ LH → µ− LH µ+ RH , e− RH e+ LH → µ− RH µ+ LH etc, wobei RH (LH) rechts(links)händige Teilchen bezeichnet, und bestätigen Sie damit das Resultat aus 1.c) für m µ = 0. Hinweis 1: Begründen Sie zunächst, warum die Amplitude null ist wenn ein- und/oder auslaufende Teilchen untereinander dieselbe Helizität haben. Beachten Sie, dass ein rechtshändiger Spinor v(p ′ ) einem linkshändigen Antiteilchen entspricht und umgekehrt. Hinweis 2: Unter der Paritätstransformation P wird aus einem linkshändigen Teilchen ein rechtshändiges und umgekehrt. Nutzen Sie dies und die Invarianz der QED unter P um z.B. die Amplitude von e − LH e+ RH → µ− RH µ+ LH durch ihre P-Transformierte auszudrücken. b) Die Teilamplituden haben alle charakteristische Minima und Maxima bei bestimmten Streuwinkeln. Wie kommen diese zustande? Denken Sie an die Helizitätserhaltung! 1

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