11. Übungsblatt zur Vorlesung SS 2013 Theoretische Physik II Prof ...

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11. Übungsblatt zur Vorlesung SS 2013 Theoretische Physik II Prof ...

11. Übungsblatt zur Vorlesung SS 2013

Theoretische Physik II

Prof. H. Päs

Abgabe: bis Donnerstag, 11.07.2013

Aufgabe 1: Spinzustand eines Elektrons

Ein Elektron befindet sich in dem Spinzustand

χ = A

( ) 3i

4

(4 Punkte)

(1)

a) Bestimmen Sie die Normierungskonstante A.

b) Berechnen Sie die Erwartungswerte S x , S y und S z .

c) Bestimmen Sie die Unschärfen σ Sx , σ S y

und σ Sz . (Anmerkung: Diese Sigmas sind

die Standardabweichungen, nicht die Pauli-Matrizen!)

d) Bestätigen Sie, dass Ihre Ergebnisse in Einklang mit allen drei Unschärferelationen

stehen, die gegeben sind durch die folgende Gleichung und ihre zyklischen

Permutationen in x, y und z:

( ) 1 2

σ 2 S x

σ 2 S y


2i 〈iħS z〉 = ħ2

4 〈S z〉 2 (2)

bzw. (3)

σ Sx σ S y

≥ ħ 2 |〈S z〉|. (4)

Aufgabe 2: Spinmatrizen und Spinoren

(3 Punkte)

a) Rechnen Sie nach, ob die Spinmatrizen den fundamentalen Vertauschungsrelationen

für den Drehimpuls gehorchen.

Die Spinmatrizen sind gegeben durch:

S x = ħ 2

( ) 0 1

1 0

S y = ħ 2

( ) 0 −i

i 0

s z = ħ 2

( ) 1 0

0 −1

(5)

Die Vertauschungsrelationen für den Drehimpuls sind gegeben durch:

[S x ,S y ] = iħS z [S y ,S z ] = iħS x [S z ,S x ] = iħS y (6)

( a

b) Berechnen Sie für den allgemeinsten Spinor χ =

b)


〈 〉

S y , 〈Sz 〉, 〈 〈

S 2 x〉 , S 2 y

gilt.

und 〈 S 2 〉 〈 〉 〈

z . Rechnen Sie nach, dass S

2

x + S 2 y

= aχ + + bχ − die Größen 〈S x 〉,


+ 〈 S 2 〉 〈

z = S

2 〉

1


Aufgabe 3: Messung von S y

(3 Punkte)

a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenspinoren von S y .

( a

b) Sie messen S Y an einem Teilchen in dem allgemeinen Zustand χ = = aχ + +bχ − ;

b)

welche Ergebnisse werden Sie mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten? Überprüfen

Sie, ob sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren.

Anmerkung: a und b müssen nicht reell sein!

c) Welche Ergebnisse erhalten Sie mit welchen Wahrscheinlichkeiten, wenn Sie S 2 y

messen?

2