10.¨Ubungsblatt zur Physik I

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10.¨Ubungsblatt zur Physik I

10. Übungsblatt zur Physik I

Prof. Dr. G. Hiller, Prof. Dr. T. Weis

Abgabe am Donnerstag, den 11. Januar 2007, bis 16:00 Uhr WS 2006/07

Aufgabe 37 : Schwingungen des CO 2 -Moleküls

(4 Punkte)

Das CO 2 -Molekül bestehe aus drei Massepunkten, die linear angeordnet sind, wobei sich

das C-Atom mit Masse M in der Mitte und die beiden O-Atome mit Masse m in jeweils

gleichem Abstand b links und rechts davon befinden. Die Bindungskräfte werden durch

Federn der Federkonstante k modelliert, die im entspannten Zustand gerade die Länge b

aufweisen. Wir wollen die longitudinalen Eigenschwingungen des Moleküls bestimmen.

a) Formulieren Sie die Bewegungsgleichungen in den Relativkoordinaten (die Indizes

L, M, R beziehen sich auf die Position des Atoms)

η 1 = x L + b, η 2 = x M , η 3 = x R − b

und bestimmen Sie die Eigenfrequenzen der Schwingungen. Welche Schwingungsmoden

gibt es? Wie kann man die Bewegung mit ω = 0 von Anfang an eliminieren?

b) Wie sieht eine allgemeine Longitudinalschwingung zu gegebenen Anfangsbedingungen

aus? Diskutieren Sie nur die allgemeine Form der Lösung, eine Bestimmung

freier Konstanten aus konkreten Anfangsbedingungen ist nicht erforderlich!

Aufgabe 38 : Lenz-Runge-Vektor

(7 Punkte)

Man betrachte die Bewegung eines Körpers mit Masse m in einem Zentralpotential V (r).

Man nennt

⃗A = ˙⃗r × ⃗ L + V (r)⃗r (1)

mit Drehimpuls ⃗ L den zum Potential V (r) gehörenden Lenz-Runge-Vektor.

a) Für welche V (r) ist der zugehörige Lenz-Runge-Vektor eine Erhaltungsgröße, d.h.

zeitlich konstant?

b) Zeigen Sie:

⃗A 2 = 2L2

m E + V 2 (r)⃗r 2 (2)

sowie

⃗A · ⃗r = L2

m + V (r)⃗r 2 , (3)

wobei E die Energie des Teilchens bezeichnet.

c) Folgern Sie mit Hilfe von b), dass die Bahnkurve eines Teilchens im Gravitationspotential

V (r) = −α/r auf die Form

p

r =

(4)

1 + ǫ cosϕ

gebracht werden kann, wobei ϕ der Winkel zwischen ⃗ A und ⃗r ist. Wie sehen p und

ǫ als Funktion von α, m sowie der Erhaltungsgrößen E, L aus?

Was für eine Kurve beschreibt Gleichung (4) ? Was ist der Unterschied zu der

Ellipsengleichung aus der Vorlesung ?

bitte wenden

1


d) Zeigen Sie, dass dann ferner der Lenz-Runge-Vektor in der Bahnebene liegt und stets

zum Punkt kürzester Entfernung vom Zentralkörper zeigt. Wie viele unabhängige

Erhaltungsgrößen gibt es beim vorliegenden Problem also?

Aufgabe 39 : Stabile Kreisbahnen

(5 Punkte)

Wir betrachten die Bewegung eines Teilchens in einem Zentralpotential V (r). Der Drehimpuls

⃗ l = µ⃗r × ˙⃗r mit reduzierter Masse µ sei dabei fest vorgegeben.

a) Betrachten Sie zunächst die Potentiale

(i) V (r) = r n ,

(ii) V (r) = λ/r.

Zeichnen Sie das effektive Einteilchen-Potential V eff (r) für die Spezialfälle n = 2

(isotroper harmonischer Oszillator) und λ = −1 (Keplerproblem). Welche Bewegungen

kann ein Teilchen in diesen Potentialen ausführen? Zeichnen Sie je ein Beispiel

ein!

b) Was sind allgemein die Bedingungen dafür, dass es bei der Bewegung im Potential

V (r) eine stabile Kreisbahn gibt? Leiten Sie die Bedingungen her, unter denen die

Potentiale aus a) stabile Kreisbahnen zulassen und bestimmen Sie deren Radius R

und deren Energie E 0 als Funktion von l 2 .

Hinweis: Beachten Sie, dass sich eine Kreisbahn u.a. dadurch auszeichnet, dass der

Abstand zum Zentralkörper konstant bleibt.

c) Sei E 0 die Energie einer stabilen Kreisbahn im Potential V (r) und R sei ihr Radius.

Wir betrachten eine kleine Störung der Energie:

E = E 0 + ǫ, ǫ > 0 (5)

Die Störung ǫ sei dabei als klein angenommen, so dass man für das effektive Potential

V eff (r) eine Taylorentwicklung bis zur quadratischen Ordnung in ǫ durchführen und

höhere Terme vernachlässigen darf. Zeigen Sie, dass die Bewegung um die Kreisbahn

oszilliert und bestimmen Sie Frequenz und Amplitude der Schwingung.

Aufgabe 40 : Weihnachtsmann auf Abwegen

(4 Punkte)

Der Weihnachtsmann befinde sich mit seinem Schlitten auf einer Umlaufbahn um die

Erde, deren minimale bzw. maximale Entfernung zur Erdoberfläche h 1 = 100km bzw.

h 2 = 1000km beträgt. Im Punkt P 1 minimaler Entfernung zur Oberfläche, der genau

über dem Nordpol liegen soll, stößt sein Schlitten vollkommen inelastisch mit einem Stück

Weltraumschrott zusammen, das in entgegengesetzter Richtung mit demselben Geschwindigkeitsbetrag

fliegt. Die Masse des gesamten Gespanns sei dabei m und die Masse des umherfliegenden

Schrottstücks m/10. Im Folgenden soll evtl. Luftreibung stets vernachlässigt

werden.

a) Welche Geschwindigkeit hat der Schlitten unmittelbar vor und nach dem Zusammenstoß?

Hinweis: Beachten Sie, dass in den Punkten maximaler bzw. minimaler Entfernung

Orts- und Geschwindigkeitsvektor orthogonal zueinander sind.

bitte wenden

2


) Was für eine Bahnkurve beschreibt der Schlitten samt steckengebliebenem Stück

Weltschraumschrott nach der Kollision?

c) Zeigen Sie, dass der Schlitten auf die Erdoberfläche abstürzt. Wo geschieht dies?

(Breitengrad)

Das Physik I-Team wünscht allen ein frohes Fest und

einen guten Rutsch ins neue Jahr!

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