Mitschrift

physik.uni.dortmund.de

Mitschrift

Elementarteilchentheorie

Prof. Heinrich Päs

WiSe 2012/13


Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 7

1.1 Historischer Abriß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Substrukturen der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Entdeckungen der kosmischen Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3 Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.4 Neue Hadronen und das Quarkmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.5 Die schwache Wechselwirkung und das Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.6 Neutrinomassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.7 Massenerzeugung und Symmetriebrechung: Neue Physik an der TeV-Skala . . . . 11

1.2 Relativistische Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Lorentz-Transformationen und Vierervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Streuung zweier Teilchen und Mandelstam-Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3 Streumatrix und Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Wirkungsquerschnitt für die 2 → 2-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Wiederholung: Feldquantisierung 25

2.1 Grenzen der relativistischen Quantenphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Übergang zur Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Natürliche Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Das reelle Klein-Gordon-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Der Fockraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7 Quantisierung des komplexen Klein-Gordon-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.8 Quantisierung des Dirac-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Quantenelektrodynamik 39

3.1 Das Diracfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Probleme mit der Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2 Modifikation der klassischen Theorie: Eichfixierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Bestimmung des Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4 Fourierentwicklung und physikalische Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Lokale Eichinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3


4 INHALTSVERZEICHNIS

3.6 Wick-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.7 Feynmanregeln für die Yukawa-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.8 Virtuelle Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.9 Feynmanregeln der QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.10 Møller-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.10.1 Einschub: Spinsummen und Spurtechnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.11 Bhabha-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.12 e − e + → µ − µ + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.13 Regularisierung und Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Starke Wechselwirkung und QCD 79

4.1 Hadronische Reaktionen und Partonmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1 Nukleon-Formfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Inelastische Elektron-Nukleon-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 Innere Symmetrien und Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4 Einschub: Gruppentheorie der SU (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4.1 SU (n − k)-Untergruppen der SU (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4.2 Regeln zur Bestimmung (Ausreduktion) des Tensorprodukts zweier Multipletts . 90

4.4.3 Dimensionsregel/Hakenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.5 Lokale SU (3)-Color-Transformationen und Gluon-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.6 Laufende Kopplungskonstante der QCD und «Asymptotische Freiheit» . . . . . . . . . . . 101

4.7 Feynmanregeln für die QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5 Eichtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung 105

5.1 Fermi-Theorie und intermediäre Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2 Paritätsverletzung und V − A-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3 Der Pion-Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.4 Schwache Wechselwirkung von Hadronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.5 C P-Verletzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.6 Schwache Wechselwirkung und SU (2)-Eichtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.7 Elektroschwache SU (2) × U (1) Y -Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.7.1 Kopplung der W -Felder an linkshändige Leptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.7.2 Kopplungen der Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.7.3 Kopplungen der Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.8 Feynmanregeln der elektroschwachen Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.8.1 Kopplung geladener Fermionen an das elektromagnetische Feld A µ . . . . . . . . . 123

5.8.2 Kopplung an das W -Boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.8.3 Kopplung an das Z-Boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.9 Spontane Symmetriebrechung und Goldstone-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.9.1 Goldstone-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.10 Der Higgs-Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.11 Erzeugung der Eichbosonmassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.12 Erzeugung der geladenen Fermion-Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.13 Neutrinomassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.14 Selbstwechselwirkungen der Eichbosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136


INHALTSVERZEICHNIS 5

5.15 Zerfälle und Erzeugung der W - und Z-Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138


6 INHALTSVERZEICHNIS


Kapitel 1

Einführung

Elementarteilchenphysik beschäftigt sich mit den Eigenschaften und Wechselwirkungen der kleinsten

bzw. elementaren Bausteine des Universums. »Elementar« bezeichnet dabei Teilchen ohne Substruktur.

Die bekannten Elementarteilchen lassen sich klassifizieren als 3 Generationen von Quarks und Leptonen:

Generation

1 2 3 Spin Baryonenzahl Leptonenzahl Ladung

Quarks

Leptonen

u (up) c (charm) t (top) 1/2 1/3 0 +2/3

d (down) s (strange) b (bottom) 1/2 1/3 0 −1/3

ν e ν µ ν τ 1/2 0 1 0

e Elektron µ Myon τ Tau 1/2 0 1 −1

Dazu kommen die Feldquanten der bekannten Wechselwirkungen (ohne Gravitation, die noch nicht

in befriedigender Weise quantisiert werden konnte)

Spin Baryonenzahl Leptonenzahl Ladung

Photon 1 0 0 0

Gluonen 1 0 0 0

Z,W ± 1 0 0 0,±1

sowie das Higgs-Boson, für das es seit Sommer 2012 erste Hinweise gibt, das für die Massenerzeugung

und Symmetriebrechung verantwortlich ist.

Spin Baryonenzahl Leptonenzahl Ladung

Higgs 0 0 0 0

Zusammengenommen ergeben diese Teilchen und Wechselwirkungen das Standardmodell der Elementarteilchenphysik.

Erhaltene Quantenzahlen (Ladungen) der Theorie beruhen auf den Symmetrien der Lagrangedichte

. Im Rahmen von Eichtheorien generieren diese Symmetrien dann auch die Wechselwirkungen

und Dynamik der Teilchen. Die im Standardmodell zusammengefaßten Eich-Wechselwirkungen werden

durch die folgenden Theorien beschrieben:

7


8 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

p

W +

e −

ν e

n

Abbildung 1.1: β-Zerfall durch schweres intermediäres W -Boson.

Wechselwirkung Theorie Ladung Symmetriegruppe

Elektromagnetismus Quantenelektrodynamik e U (1) EM

Starke Kraft Quantenchromodynamik Farbladung SU (3) C

Elektroschwache Eichtheorie der schwachen Wechselwirkung

schwacher Isospin, SU (2) × U (1) Y

Kraft (enthält die

Hyperladung

elektromagnetische

Wechselwirkung)

Um einige der offenen Fragen des Standardmodells zu klären, wurde vorgeschlagen die bekannten

Wechselwirkungen in einer einzigen Theorie mit (im einfachsten Falle) einfacher Symmetriegruppe zu

»vereinigen«. Solche Theorien heißen Grand Unified Theories. Eine (oft bestätigte) Grundidee der Elementarteilchenphysik

ist, daß mit höherer Energie immer kleinere Bausteine der Materie sichtbar werden,

oder weitere verborgene Symmetrien der elementaren Konstituenten sichtbar werden. Deshalb

werden Elementarteilchen durch r e l a t i v i s t i s c h e Quantenfeldtheorien beschrieben und ihre

Wechselwirkungen mithilfe von r e l a t i v i s t i s c h e r K i n e m a t i k. Typische Beispiele für Prozesse

in der Elementarteilchenphysik sind hochenergetische Teilchenkollisionen an Teilchenbeschleunigern

oder im heißen Plasma des frühen Universums sowie seltene Zerfälle, die durch Quantenfluktuationen

in »schwere« intermediäre (Zwischenzustands-)Teilchen verursacht werden.

1.1 Historischer Abriß

1.1.1 Substrukturen der Atome

1897 J. J. Thompson: Entdeckung des Elektrons als geladene Quanten der Kathodenstrahlung

1900 Plancks Erklärung der Schwarzkörperstrahlung mithilfe des Photons

1905 Einsteins Erklärung des Photoeffekts, Photon als Quant des elektromagnetischen Feldes

1909 Rutherfords Streuexperiment ergab, daß die positive Ladung im Atomkern zentriert ist, während

sich die Elektronen in der Atomhülle befinden.

1914 Bohrs Atommodell: Protonen und Elektronen

1923 Comptons Beziehung zwischen Wellenlängen und Photonenergie

1932 Chadwicks Entdeckung des Neutrons


1.1. HISTORISCHER ABRISS 9

1.1.2 Entdeckungen der kosmischen Strahlung

1927 Diracgleichung: Vorhersage von Antitteilchen der Elektronen: »Positronen« als Konsequenz

der Lösungen negativer Energie

1931 Andersons Entdeckung des Positrons in der kosmischen Strahlung

1932 Yukawas Theorie, daß die starke Kraft, die die Atomkerne zusammenhält, durch Mesonen

(Quark-Antiquark-Bindungszustände) beschrieben wird. Die Masse der Mesonen unterdrückt

die Reichweite der starken Kraft,

∆x ∼ ∆t ∼ 1

∆E ∼ 1 M

(für ħh = c = 1) (1.1)

und ist dafür verantwortlich, daß die starke Kraft im Alltag keine Rolle spielt.

1937 Entdeckung von mittelschweren Teilchen in der kosmischen Strahlung

1947 Entdeckung, daß die kosmische Strahlung sowohl Mesonen als auch Myonen enthält.

1.1.3 Neutrinos

1930 Paulis Vorschlag, daß das kontinuierliche Spektrum beim β-Zerfall durch Emission eines

neutralen Teilchens verursacht wird.

1933 Fermis Theorie des β-Zerfalls

1954 Entdeckung des Neutrinos im inversen β-Zerfall ν + p + → n + e + durch Cowan und

Reines bei »Projekt Poltergeist«.

späte 50er Davis und Harmer versuchten zu klären, ob das im β-Zerfall emittierte Antineutrino

dem den inversen β-Zerfall auslösenden Neutrino gleicht.

n → p+ν + e −

?

→ ν + n → p + e −

Die Antwort war negativ und ist durch die Paritätsverletzung der schwachen Wechselwirkung zu erklären,

die nur an linkshändige Teilchen und rechtshändige Antiteilchen koppelt. Die Frage, ob das

Neutrino sein eigenes Antiteilchen ist, ist bisher nicht geklärt.

Das Ergebnis führte zur Einführung der Leptonenzahl (+1 für Leptonen, −1 für Antileptonen),

die bis zur Entdeckung der Neutrinooszillationen (in den 90ern) familienweise erhalten schien.

1962 Entdeckung des Myonneutrinos im π + -Zerfall durch Lederman, Schwarz und Steinberger

ν µ + p → n + µ +

↛ n + e +

1.1.4 Neue Hadronen und das Quarkmodell

1947—1960 schienen die Grundbausteine der Materie gefunden zu sein (e − , e + , p, n,γ,π,ν), nur das

Myon tanzte aus der Reihe. Kurz darauf wurden jedoch die schweren K-Mesonen (1947) und Λ-Baryonen

(1949) gefunden.


10 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

Ab 1952 wurden diese »strange particles« an Teilchenbeschleunigern erzeugt. Die Tatsache, daß diese

Teilchen schnell erzeugt werden (durch die starke Wechselwirkung) und langsam (elektroschwach) zerfielen,

führte zur Einführung der Quantenzahl strangeness, die in starken Wechselwirkungen erhalten

ist, aber in schwachen nicht. Bis 1960 hatte man einen »Zoo« von Teilchen gefunden, die durch Ladung,

Strangeness und Masse klassifiziert wurden.

1961 Gell-Mann und Ne’eman: Klassifikation der Hadronen (=Baryonen und Mesonen) nach Multipletts

der Flavor-Symmetriegruppe SU (3) F .

1964 Gell-Mann und Zweig: Einführung der Quarks als Konstituenten der Hadronen (Mesonen

und Baryonen). u, d, s transformieren sich nach der fundamentalen Darstellung der SU (3) F .

Baryonen sind qqq-Zustände, Mesonen qq-Zustände. Quarks tragen Farbladungen (»rot«,

»grün«, »blau«) und treten nicht einzeln in der Natur auf; alle in der Natur auftretenden Teilchen

sind »farbneutral«. Diese Tatsache heißt Confinement.

1974 Entdeckung des J /ψ-Mesons durch Ting (Brookhaven) und Richter (SLAC), Erklärung als

q ¯q-Bindungszustand des Charm-Quarks

1975 Entdeckung des τ

1977 Entdeckung des Υ als qq-Bindungszustand des b-Quarks

1995 Entdeckung des top-Quarks am Fermilab

2001 Entdeckung des ν τ in ν τ + x → τ + y

Damit waren drei vollständige Familien bekannt.

1.1.5 Die schwache Wechselwirkung und das Standardmodell

1956 T. D. Lee, F. Yang: keine Evidenz für Paritätserhaltung in der schwachen Wechselwirkung

1957 C. Wu: Asymmetrie in der Emissionsrichtung von Elektronen aus dem Zerfall von 60 Co

zeigt, daß die schwache Wechselwirkung nur an Neutrinos mit definierter Helizität koppelt

1958 Goldhaber: Neutrinos sind linkshändig, Antineutrinos rechtshändig

1956/58 E. Sudarshan, Marshak, R. P. Feynman, M. Gell-Mann: V − A-Theorie → schwache

Wechselwirkung koppelt nur an linkshändige Teilchen und rechtshändige Antiteilchen

(Quarksektor komplizierter)

1961—67 Glashow, Salam, Weinberg (GSW): Eichtheorie der schwachen Wechselwirkung, Vorhersage

der Massen der intermediären Vektorbosonen W ± ,Z

1983 C. Rubbia: Entdeckung der W - und Z-Bosonen ⇒ SU (3) C ⊗ SU (2) L ⊗U(1)-Eichtheorie

des Standardmodells


1.1. HISTORISCHER ABRISS 11

1.1.6 Neutrinomassen

Seit den 1960er Jahren Messung des Sonnenneutrinoflusses im Homestake-Experiment von R. Davis:

es wurden weniger Neutrinos gemessen als von theoretischen Sonnenmodellen

vorhergesagt → Sonnenneutrinoproblem

Seit den 1980ern Neutrinodefizit in atmosphärischen Neutrinodetektoren IMB, MACRO,

Kamiokande → Atmosphärisches Neutrinoproblem

1990er Jahre

GALLEX bestätigt das Sonnenneutrinoproblem

1998 Superkamiokande bestätigt das atmosphärische Neutrinoproblem: Evidenz

für Neutrinooszillationen ν µ ↔ ν τ und Neutrinomassen

2001 SNO-Experiment bestätigt Oszillationen von Sonnenneutrinos

2003 Kamland-Reaktor-Experiment bestätigt Sonnenneutrinooszillationen in einem

terrestrischen Experiment.

Die Existenz von Neutrinooszillationen zeigt, daß die Leptonenzahl nicht familienweise erhalten ist

und erfordert Neutrinomassen. Das verlangt ein unter der Standardmodell-Eichgruppe ungeladenes

rechtshändiges Neutrino ν R und/oder die Verletzung der Gesamtleptonenzahl, und weist damit erstmal

auf Physik jenseits des Standardmodells hin. Weiter offen: Frage nach der Flavor-Struktur: leichte

ν-Massen und milde Massenhierarchien sowie große Flavorverletzung bei den Leptonen vs. großen

Quarkmassen mit großen Massenunterschieden und kleinen Flavorverletzungen.

2012 Messung des dritten Mischungswinkels θ 13 → Flavorverletzung bei den 3

Generationen von Neutrinos vollständig vermessen

1.1.7 Massenerzeugung und Symmetriebrechung: Neue Physik an der TeV-Skala

1964 P. Higgs sowie Brout/Englert/Guralnik/Hagen/Kibble schlagen Mechanismus

der Symmetriebrechung durch Kondensat einer skalaren Higgs-Boson-Feldes als

Ursache der Massenerzeugung im Standardmodell vor

seit den 1960ern Astrophysikalische Evidenz für Dunkle Materie

1974 J. Wess, B. Zumino: Vorschlag einer Supersymmetrie zwischen Fermionen und

Bosonen. Diese Symmetrie könnte den Higgs-Sektor gegen Quantenkorrekturen

stabilisieren.

Seit 2008 LHC-Suche nach dem Higgs-Boson und Supersymmetrie sowie alternativen Möglichkeiten

zur Lösung der Probleme an der TeV-Skala

4.7.2012 5σ-Evidenz am LHC für ein unbekanntes Boson → Higgs?

Weitere offene Fragen

• Was ist die Dunkle Energie, die das Universum in einer beschleunigten Expansion auseinandertreibt?

• Wie wurde der in unserem Universum vorhandene Überschuß von Materie zu Antimaterie erzeugt?

• Wie läßt sich die Gravitation in die Teilchenphysik einbinden?

Dies führt auf GUTs, Quantengravitation/Stringtheorie, Kosmologie.


12 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

1.2 Relativistische Kinematik

1.2.1 Lorentz-Transformationen und Vierervektoren

Vierervektoren existieren in kontravarianter Form (p µ = (E,⃗p)) und kovarianter Form (p µ = (E,−⃗p)).

Sie transformieren sich unter Lorentz-Transformationen gemäß

p ′µ = Λ µ ν pν . (1.2)

Die Umwandlung eines kovarianten in einen kontravarianten Vektor (oder umgekehrt) erfolgt durch

Multiplikation mit der Metrik im Minkowskiraum



1 0 0 0

0 −1 0 0

g µν = η µν = ⎜


⎝0 0 −1 0 ⎠

0 0 0 −1

p µ = g µν p ν

p µ = g µν

}{{}

p ν

inverse Metrik

mit g µν g µν = 1 4×4

und für die Minkowskimetrik in kartesischen Koordinaten gilt

g µν = g µν .

Das Skalarprodukt zweier Vierervektoren ist invariant (skalar) unter Lorentz-Transformationen.

Für A µ = (A 0 , ⃗ A) und B µ = (B 0 , ⃗ B) gilt

A· B = g µν A µ B ν = A µ B µ = A µ B µ = A 0 B 0 − ⃗ A· ⃗B.

Damit folgt, daß das Quadrat des Viererimpulses in jedem Bezugssystem dem Quadrat des Viererimpulses

(p R ) 2 = (m,0) 2 = m 2 im Ruhesystem gleicht:

p 2 = p µ p µ = E 2 − ⃗p 2 = ( p R ) 2 = m 2 .

1.2.2 Streuung zweier Teilchen und Mandelstam-Variablen

Bei der Streuung zweier Teilchen a + b → c + d ergibt sich aus der Viererimpulserhaltung im Laborsystem

p a + p b = p c + p d . (1.3)

Wir nehmen an, daß b im Laborsystem (vor dem Stoß) ruht (fixed-target-System). Der Streuwinkel θ c

zwischen den Impulsen der Teilchen a und c ist

cosθ c =

⃗p a ⃗p c

|⃗p a ||⃗p c | . (1.4)


1.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK 13

b

d

a

c

Abbildung 1.2: Streuung zweier Teilchen im Schwerpunktsystem.

d

a

b

c

Abbildung 1.3: Streuung zweier Teilchen im Ruhesystem von b.

Wenn wir dieselbe Reaktion im Schwerpunktsystem betrachten, gilt nach Definition des Schwerpunktsystems

und gemäß Energieerhaltung

⃗p S a + ⃗p S b = ⃗p S c + ⃗p S d = 0 (1.5)

E S a + E S b = E S c + E S d := s (1.6)

mit der Schwerpunktsenergie s. Es folgt, daß die Teilchen nach Kollision mit Impulsen gleichen Absolutbetrages

auseinanderlaufen

(1.5)

→ |⃗p S | = |⃗p S |. (1.7)

c d

Um Labor- und Schwerpunktsystem miteinander in Beziehung zu setzen, führt man die relativistisch

invarianten Mandelstamvariablen s, t und u ein. s ist gerade das Quadrat der Schwerpunktsenergie

Die Energie des Projektils im Laborsystem ist

s (1.6)

= (E S c + E S d )2 = ( p S c + p S d )2 = ( p c + p d ) 2 . (1.8)

s = ( p a + p b ) 2 = p 2 a + 2 p a p b + p2 b (mit ⃗p b = 0)

= m 2 a + 2E a m b + m2 b .


14 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

Dies liefert uns eine Beziehung zwischen Schwerpunktsenergie und der Energie im Laborsystem

E a = s − m2 a − m2 b

2m b

. (1.9)

Im Laborsystem erhalten wir den Dreierimpuls des Projektils zu


|⃗p a | = E 2 − a m2 a

= 1 (s − m 2

2m − a m2 b )2 − 4m 2 a m2 b

b

= 1

2m b

s 2 + m 4 a + m4 b − 2s m2 a − 2s m2 b − 2m2 a m2 b

} {{ }

λ

= 1

λ(s, m 2

2m , a m2 ). (1.10)

b

b

Wir stellen fest, daß die Funktion λ symmetrisch in den Variablen s, m 2 und a m2 ist. Analog gilt

b

|⃗p b | = 1

λ(s, m 2

2m , a m2 ), (1.11)

b

a

|⃗p c | = 1

λ(s, m 2

2m , c m2 ), (1.12)

d

d

|⃗p d | = 1

λ(s, m 2

2m , c m2 ). (1.13)

d

c

Wir betrachten die Energie des Projektils im Schwerpunktsystem.

E S a = E S a

=

E a + E b

s

} {{ }

=1


E

S

a E

S

+ E

S

⃗p S a b

a

⃗0

s

= pS a (pS a + pS b )

s


1.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK 15

Dies ist ein Produkt aus Vierervektoren und damit invariant.

= p a (p a + p b )

s

= 1 s

( p 2 a + p a p b )

= 1 s

( p 2 a + 1 2 ( p a + p b )2 − 1 2 p2 a − 1 2 p2 b )

= 1

2 s (p2 − a p2 + ( p b a + p b

} {{ )2 ).

}

Die Energie im Schwerpunktsystem als Funktion von lorentzinvarianten Größen ist damit

Analog gilt

Der verbleibenden Mandelstam-Variablen t und u sind gegeben durch

=s

E a = 1

2 s (s + m2 − a m2 ). (1.14)

b

E b = 1

2 s (s + m2 − b m2 ), (1.15)

a

E c = 1

2 s (s + m2 − c m2 ), (1.16)

d

E d = 1

2 s (s + m2 − d m2 ). (1.17)

c

t = ( p a − p c ) 2 = ( p b − p d ) 2 (1.18)

u = ( p a − p d ) 2 = ( p b − p c ) 2 . (1.19)

Die Mandelstam-Variablen s, t und u sind aber nicht alle unabhängig, da im Schwerpunktsystem die

Energien und Impulse durch s bestimmt werden können; die verbleibende Variable ist der Streuwinkel

im Schwerpunktsystem θ S , der sich aus t oder u ergibt.

Man findet

t = ( p S a − pS c )2

= m 2 a + m2 c − 2 pS a pS c

= m 2 a + m2 c − 2(E S a E S c − |⃗pS a ||⃗pS c |cosθS

= m 2 a + m2 c − 1 2s (s + m2 a − m2 b )(s + m2 c − m2 d ) + 1 2s λ(s, m2 a , m2 b )λ(s, m2 c , m2 d )cosθS


s ma + m b

16 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

u unterscheidet sich von t nur durch Vertauschung der Teilchen c und d im Endzustand. Da diese

Teilchen im Schwerpunktsystem back-to-back emittiert werden, ist der Streuwinkel ∠ ad = π − ∠ ac =

π − θ S .

u = ( p S a − pS d )2

= m 2 a + m2 d − 1 2s (s + m2 a − m2 b )(s + m2 d − m2 c ) − 1 2s λ(s, m2 a , m2 b )λ(s, m2 c , m2 d )cosθS ,

denn cosθ = −cos(π − θ).

Die Addition s + u + t liefert

s + u + t = m 2 a + m2 b + m2 c + m2 d .

Beweis: t + u = m 2 a + m2 b + m2 c + m2 d

− 1 2s (s + m2 a − m2 b )(s + m2 c − m2 d )

− 1 2s (s + m2 a − m2 b )(s + m2 d − m2 c )

Wenn wir nur die beiden letzten Zeilen betrachten, erhalten wir

= − 1 2s (s + m2 a − m2 b )(2s)

= −s − m 2 a + m2 b

Damit erhalten wir

Q. e. d.

t + u = m 2 a + m2 b + m2 c + m2 d − s.

Kinematisch erlaubter Bereich

Man kann die Mandelstam-Variablen benutzen, um kinematisch erlaubte Bereiche zu definieren. Ein

Prozeß

a + b → c + d

kann n u r ablaufen für

und s m c + m d


1.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK 17

Für den Streuwinkel gilt

0 θ S π

⇒ −1 cosθ S 1

Daraus lassen sich Grenzen für t und u herleiten. Im Hochenergielimes 1 s ≫ m 2, a m2, b m2, c m2 gilt d

t ≃ − s (1 − cosθ) ⇒ 0 t −s

2

u ≃ − s (1 + cosθ) ⇒ 0 u −s

2

Crossing

Wir betrachten Variationen des ursprünglichen Prozesses a + b → c + d, in denen Teilchen auf die

andere Seite der Reaktionsgleichung geschrieben und durch ihre Antiteilchen ersetzt werden.

Die Mandelstamvariablen z. B. für (1.20) sind

und folgen aus den Ersetzungen

a + c → b + d (1.20)

a + d → b + c (1.21)

a → b + c + d (1.22)

s ′ = ( p a + p c ) 2

t ′ = ( p a − p b

) 2

u ′ = ( p a − p d ) 2

p c → − p c

p b → − p b

t → s ′

s → t ′

u → u ′

Die Amplituden der gekreuzten Reaktionen ergeben sich mit diesen Ersetzungen aus den Ursprungsreaktionen.

Die Reaktionen a + b → c + d, (1.20) und (1.21) heißen s-, t- und u-Kanal, da bei ihnen jeweils s, t

und u die Rolle der Schwerpunktsenergie übernehmen.

1 Die Formeln werden sonst sehr unübersichtlich.


18 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

1.2.3 Streumatrix und Wirkungsquerschnitt

Die Wirkungsquerschnitte von Elementarteilchenreaktionen werden durch die Streutheorie beschrieben.

Dabei ist der Wirkungsquerschnitt definiert als die Wahrscheinlichkeit, mit der ein einfallendes

Teilchen in das Raumelement dΩ gestreut wird.

dσ = Übergangsrate/Zeit

Fluß

= d w/T

Φ

(1.23)

Zur Berechnung der Übergangsrate wird das Wechselwirkungsbild (Diracbild) verwendet, in dem der

Hamiltonoperator in der Form

H = H 0 + H I (t)

geschrieben wird, wobei H 0 der freie Hamiltonoperator ist und H I ein zeitabhängiger Störterm; die

Zustände und Operatoren entwickeln sich zeitlich wie folgt:

|ψ D 〉 = e iH 0 t |ψ S 〉 (1.24)

A D (t) = e iH 0 t A S e −i H 0 t , (1.25)

wobei |ψ S 〉,A S die Zustände und Operatoren im Schrödingerbild bezeichnet. Die Zustände ψ D entwickeln

sich also a l l e i n durch die Störung H I , was durch den Zeitentwicklungsoperator U D (t, t 0 ) =

exp(−iH I (t − t 0 )) beschrieben wird

wobei U D der Bewegungsgleichung

|ψ D (t)〉 = U D (t, t 0 )|ψ D (t 0 )〉,

i ∂ ∂ t U D (t, t 0 ) = H I D (t)U D (t, t 0 ) mit U D (t 0 , t 0 ) = 1

unterliegt. Die dazu äquivalente Integralgleichung lautet

∫ t

U D (t, t 0 ) = 1 − i

t 0

d t ′ H I D (t ′ )U D (t ′ , t 0 ) (1.26)

a

d

b

c

Abbildung 1.4: s-Kanal


1.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK 19

und läßt sich durch Iteration lösen

∫ t

U n+1 = 1 − i

t 0

d t ′ H I D (t ′ )U n mit U 0 = U D (t 0 , t 0 ) = 1.

Damit ergibt sich die folgende Entwicklung von U D (t, t 0 ) als Reihe nach Potenzen des Störoperators:

∫ t

∫t

t

∫ 1

t 0 t 0

U D (t, t 0 ) = 1 − i d t 1 H I D (t 1 ) + (−i) 2 d t 1

= 1 +

∞∑

(−i) n

n=1

∫t

−∞

t

∫ 1

d t 1

−∞

t n−1


···

−∞

⎡ ⎛

⎞⎤

∫t

= T⎢

⎣ exp ⎜

⎝ −i d t ′ H I D (t ′ ) ⎟⎥

⎠⎦ ,

t 0

t 0

H I D (t 2 ) + ···

d t n H I D (t 1 )H I D (t 2 )··· H I D (t n )

wobei T das zeitgeordnete Produkt beschreibt. Wir definieren nun die Anfangs- und Endzustände

|i〉 = |ψ D (t → −∞)〉 vor der Streuung,

|l 〉 = |ψ D (t → ∞)〉 nach der Streuung.

Die S-Matrix ist definiert als

⎡ ⎛

∫ ∞ S = lim U

t→∞

D (t) = T⎢

⎣ exp ⎜

⎝ −i

−∞

⎡ ⎛

∫ ∞ = T⎢

⎣ exp ⎜

⎝ −i

−∞

⎞⎤

d t H ⎟⎥

I D ⎠⎦

⎞⎤

d 4 x I (x) ⎟⎥

⎠⎦ . (1.27)

a

d

c

b

Abbildung 1.5: t-Kanal


20 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

Die S-Matrix beschreibt die zeitliche Entwicklung des Ausgangszustands |i〉,

so daß das Matrixelement

|i(t → ∞)〉 = S|i(t → −∞)〉

S f i = 〈f |S|i〉 = δ f i + Streuanteil

= δ f i + i(2π) 4 δ 4 (p l − p i )〈 f |T |i〉

die Übergangsrate |S f i | 2 ergibt. Die T -Matrix T f i beinhaltet dabei die Wechselwirkungsdynamik.

Zur Berechnung von Übergangsraten muß S f i quadriert werden. Dabei stoßen wir auf das Problem,

den δ 4 -Term quadrieren zu müssen. Wir benutzen Fermis Trick: Einerseits können wir immer

schreiben

δ 2 ( p) = δ(p)δ(0);

andererseits können wir dies mit einem Integral darstellen

bzw. im allgemeinen Fall




[(2π) 4 δ 4 ( p f − p i )] 2 = ⎜


d 4 x exp(i ( p f − p i ) x) ⎟

} {{ }

⎠ (2π)4 δ 4 (p f − p i )

V T

0

= V T (2π) 4 δ 4 (p f − p i )

= V T (2π) 4 δ 4 ∑ p f − ∑ p i


,

wobei V T den Raumzeitbereich kennzeichnet, in dem die Reaktion abläuft, und angenommen wurde,

daß das Potential außerhalb von V T adiabatisch abfällt. 2

2 Fermis Trick ist mathematisch sehr unsauber. Die Anwendung von Fermis Trick läßt sich vermeiden, wenn man die Herleitung

mit Wellenpaketen durchführt.

a

b

d

Abbildung 1.6: u-Kanal

c


1.2. RELATIVISTISCHE KINEMATIK 21

als

Die Übergangsrate, korrekt normiert und über die möglichen Endzustände integriert, ergibt sich

d w = |S f i | 2 ∏ i

1

2E i V

∏ 1

f

2E f V


f

d 3 p f V

(2π) 3 2E f

.

Mit Fermis Trick erhalten wir


d w

T

= 1 ⎜


V (2π)4 δ ⎝ p f − ∑ i

f



p i ⎠ 1 ∏ d 3 p f

2E a E b (2π) 3 2E f

f

Der Teilchenfluß Φ ergibt sich im Ruhesystem von b als

Φ = |⃗v a |

V = |⃗p a |

E a V = 1 λ(s, m 2, a m2)

b

E a V 2m b

p = mγ v

E = mγ

E b = m b , da wir uns im Ruhesystem von b befinden.

Damit ergibt sich der differentielle Wirkungsquerschnitt schließlich als

d w 1

dσ = =

T Φ 2λ(s, m 2 , δ 4 (p f − p i ) ∏

a m2 b )(2π)4 f

d 3 p f

(2π) 3 2E f

|〈f |T |i〉| 2 . (1.28)

Der totale Wirkungsquerschnitt in alle möglichen Endzustände ergibt sich als Summe

σ tot =


Impulse


dσ. (1.29)

Die partiellen Zerfallsraten eines Teilchens im Ruhesystem des zerfallenden Teilchens sind gegeben

durch

f

dΓ (a → f ) = 1

(2π) 4 δ 4 (p f − p i )|〈f |T |i〉| ∏ 2

2m a f

d 3 p f

(2π) 3 2E f

. (1.30)

Die totale Zerfallsrate ist

Γ tot (a) = ∑ f

Γ (a → f ), (1.31)

wobei Γ tot (a) −1 = τ(a) die Lebensdauer von a ist.


22 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

Das Verzweigungsverhältnis (Branching Ratio)

B r (a → f ) = Γ (a → f )

Γ tot (a)

(1.32)

charakterisiert die relative Häufigkeit eines Zerfalls in die möglichen Endzustände f . Über nicht beobachtete

Freiheitsgrade wie Spinzustände oder Farbladungen muß im Anfangszustand gemittelt und im

Endzustand summiert werden.

1.3 Wirkungsquerschnitt für die 2 → 2-Streuung

Für den Prozeß a + b → c + d ergibt sich der Wirkungsquerschnitt

1

dσ =

2λ(s, m 2 , a m2) (2π)4 δ 4 d 3 p c d 3 p d

(p c + p d − p a − p b )

|〈f |T |i〉| 2 (1.33)

(2π) 3 2E

b c (2π) 3 2E

} {{ d

}

Phasenraum dQ

Die Phasenraumfaktoren (speziell d 3 p/[(2π) 3 2E]) sind lorentzinvariant, da



d 4 pδ 4 (p 2 − m 2 ) =


d 3 p

d Eδ(E 2 − |⃗p| 2 − m 2 ),



da E d E = d |⃗p| 2 + m 2 = |⃗p| 2 + m 1 2 2

Mit δ(x 2 − a 2 ) = 1

(δ(x + a) + δ(x − a)) ergibt sich

|2a|

∫ d 3 ∫

p

= d E(δ(E + E p ) +δ(E − E p ))

2E p

Damit ergibt sich für den Phasenraum

} {{ }

=0, da E p >0

∫ d 3 p


= , wobei E p = +

2E p

|⃗p| 2 + m 2 .

1

2⃗p d⃗p = ⃗p d⃗p.

|⃗p| 2 + m 2

dQ = (2π) 4 δ 4 d 3 p c d 3 p d

( p c + p d − p a − p b )

(2π) 3 2E c (2π) 3 2E d

= (2π)4

(2π) 6 δ4 ( p c + p d − p a − p b )δ(p 2 d − m2 d )d 4 p d

d 3 p c

2E c

;


1.3. WIRKUNGSQUERSCHNITT FÜR DIE 2 → 2-STREUUNG 23

Integration über p d liefert

mit dem Raumwinkel dΩ um c.

Wähle das Schwerpunktsystem:

= 1

(2π) δ((p 2 c − p a − p d 3 p c

b )2 2E c

d 3 p c

= 1

|⃗p c | 2 d|⃗p c | dΩ

2E c 2E c

= 1

2E c

|⃗p c |E c d E c dΩ = |⃗p c |

2 d E c dΩ

E c → E S c = s + m2 b − m2 d

2 s

|⃗p a | → |⃗p S a | = λ(s, m2 a , m2 b )

2 s

Mit dQ = 1

(2π) 2 |⃗p c |

2 dΩ d E c δ((p c − p a − p b )2 − m 2 d )

dσ = 1

dQ|〈 f |T |i〉|2

2λ(...)

1 1

=

2λ(s, m 2 , a m2) (2π) δ((p 2 c − p a − p b )2 − m 2 )|⃗p c |

d

2 d E c dΩ|〈f |T |i〉|2

b

1.



Mit δ(p 2 − m 2 ) = 1

1

λ(...) d E c δ(...) → 1

2 s

2|⃗p 0 | (δ(p0 − E p ) + δ( p 0 + E p ))

2.

Mit

1

|⃗p a | =

2 s

λ(s, m 2 , a m2) erweitert

b

dσ = 1

8 1 |⃗p c |

s (2π) 2 |⃗p d | dΩ|〈f |T |i〉|2 d E c δ(...)

bzw. dσ

dΩ = 1 |⃗p c |

|〈f |T |i〉| 2

64π 2 s |⃗p d |

}{{}

=1 im Schwerpunktsystem


24 KAPITEL 1. EINFÜHRUNG

Über nicht beobachtete Freiheitsgrade wird wieder im Anfangszustand gemittelt und im Endzustand

summiert.


Kapitel 2

Wiederholung: Feldquantisierung

2.1 Grenzen der relativistischen Quantenphysik

Vorzüge der relativistischen Quantenmechanik:

Vorhersage der Antiteilchen.

Spin, magnetische Eigenschaften des Elektrons,

Probleme: negative Wahrscheinlichkeitsdichten, unbesetzte Lösungen negativer Energie → Strahlungskatastrophe

Interpretation: Unbesetzte Lösungen negativer Energie → Antiteilchen ⇒ Dies weist auf Unvollständigkeit

des 1-Teilchen-Bildes hin. Die Teilcheninterpretation erfordert Lokalisierung:

∆x < ħh/mc

⇒ ∆x∆ p ħh

⇒ ∆E ≃ c · ∆ p > mc 2

Daraus folgt die Möglichkeit der Teilchenerzeugung aus dem Vakuum. Andererseits wissen wir, daß

elektromagnetische Phänomene durch F e l d t h e o r i e n beschrieben werden: Die Ankopplung an

Coulomb- und Vektorpotentiale in der relativistischen Quantenmechanik ist unvollständig (Quantenteilchen

koppeln an klassische Felder).

Lösung: Sowohl Photon als auch Elektron werden als Quanten von Feldern beschrieben (QED). Die

Ausdrücke für die Felder enthalten dann Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für die Teilchen.

2.2 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren am Beispiel des Harmonischen

Oszillators

Lagrangemechanik: Durch verallgemeinerte Koordinaten q und Geschwindigkeiten ˙q werden Zwangsbedingungen

berücksichtigt. Die Dynamik des Systems steckt dann in der Lagrangefunktion L :=

25


26 KAPITEL 2. WIEDERHOLUNG: FELDQUANTISIERUNG

L(q, ˙q). Aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung


δS = δ

L d t = 0

folgen die Bewegungsgleichungen als Euler-Lagrange-Gleichungen


d ∂ L

− ∂ L

d t ∂ ˙q ∂ q = 0.

Dann führen wir die kanonischen Impulse

die Hamiltonfunktion

und die Poissonklammern

p ≡ ∂ L

∂ ˙q ,

H(p, q) = p ˙q − L(q, ˙q)

ein, und die kanonischen Bewegungsgleichungen lauten

[ f 1 , f 2 ] P = ∂ f 1 ∂ f 2

∂ q ∂ p − ∂ f 1 ∂ f 2

∂ p ∂ q

˙q = ∂ H

∂ p = [q, H] P ,

ṗ = − ∂ H

∂ q = [ p, H] P .

Kanonische Quantisierung Die klassischen Observablen p, q werden durch hermitesche Operatoren

mit der Vertauschungsregel [q, p] = i ħh bzw. die Poissonklammer [q, p] P = 1 durch den Kommutator

[q, p] = i ħh[q, p] P ersetzt. Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators können wir

damit schreiben als

H = 1

2m (p2 + m 2 ω 2 x 2 ).

Linearkombinationen von q = x und p ergeben dann die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

(Leiteroperatoren)

a =

a † =

1


2mħhω

(p − i mωx),

1


2mħhω

(p + i mωx).


2.2. ERZEUGUNGS- UND VERNICHTUNGSOPERATOREN 27

Dann können wir die Hamiltonfunktion operatorwertig schreiben als

H = 1 2 ħhω(a† a + aa † )

mit [a,a † 1

i

] = i mω([ p, x] − [x, p]) = (−2i ħh) = +1

2mħhω 2ħh

[H,a] = −ħhωa

[H,a † ] = ħhωa †

Für die Eigenzustände |n〉 von H gilt

H|n〉 = E n |n〉

⇒ Ha|n〉 = (E n − ħhω)a|n〉 → a annihiliert ein Quantum der Energie ħhω,

Ha † |n〉 = (E n + ħhω)a † |n〉 → a † erzeugt ein Quantum der Energie ħhω.

Der G r u n d z u s t a n d ist der Zustand niedrigster Energie |0〉; also »vernichtet« a den Grundzustand

Die Energie des Grundzustandes erhält man damit

a|0〉 = 0.

H|0〉 = 1 2 ħhω(a† a + aa † )|0〉

= ħhω(a † a + 1 2 )|0〉

= 1 2 ħhω|0〉.

In der Quantenfeldtheorie ist der Grundzustand das Vakuum.

Für den e r s t e n a n g e r e g t e n Z u s t a n d gilt

|1〉 = a † |0〉 → Die Energie ist um ħhω größer.

Der n o r m i e r t e n t e a n g e r e g t e Z u s t a n d ist dann

|n〉 = 1


n!

(a † ) n |0〉 mit E n = (n + 1 2 )ħhω.

Der Formalismus läßt sich mit [q i (t), p j (t)] = iδ i j ħh,[q i (t), q j (t)] = 0,[p i (t), p j (t)] = 0 für i, j =

1,...,N auf N Freiheitsgrade verallgemeinern. Im Limes N → ∞ (Kontinuum mit harmonischem

Oszillator an jedem Raumpunkt) erhalten wir eine Feldtheorie.


28 KAPITEL 2. WIEDERHOLUNG: FELDQUANTISIERUNG

2.3 Übergang zur Feldtheorie

Wir ersetzen die verallgemeinerten Koordinaten q, ˙q durch Felder φ, ˙φ, die relativistischen Orts- und

Zeitkoordinaten werden gleich behandelt; dann ersetzen wir die Lagrangefunktion L durch die L a -

g r a n g e d i c h t e :


L =


d 3 x und S =

d 4 x .

= (φ A ,∂ µ φ A ) ist dabei eine Funktion der Felder φ A und ihrer Ableitungen. Der Index A bezeichnet

verschiedene Felder oder verschiedene Komponenten eines (z. B. Vektor-)Feldes.

Systeme von Feldern entwickeln sich in Feldkonfigurationen mit stationärer Wirkung bei kleinen

Feldvariationen, wobei die Felder im Unendlichen verschwinden sollen:

φ A (x) → φ A (x) + δφ A (x)

Nach dem vierdimensionalen Satz von Gauß


∂ µ φ A (x) → ∂ µ φ A (x) + ∂ µ δφ A (x)




⇒ δS = d 4 ⎢

x ⎣ ∂

∂ φ A δφA +


∂ (∂ µ φ A ) ∂ ⎥

µ δφA ⎦

⎡ ⎛ ⎞⎤


= d 4 ⎢

x ⎣ ∂

∂ φ − ∂ ⎜

A µ ⎝

∂ ⎟⎥

∂ (∂ µ φ A ⎠⎦δφ A

)

∫ ⎡

+ d 4 x ∂ µ




∂ (∂ µ φ A ) δφA ⎦ = 0


d 4 x ∂ µ F µ =

µ im Unendlichen

d S µ F −→ 0

Ω

∂ Ω

verschwindet das zweite Integral. Da der erste Summand für beliebige Feldvariationen δφ A verschwindet,

erhalten wir die E u l e r - L a g r a n g e - G l e i c h u n g e n

∂ µ


∂ (∂ µ φ A ) = ∂

∂ φ A

mit den dazugehörigen kanonischen Impulsen

Π A = ∂

∂ ˙φ A .


2.4. NATÜRLICHE EINHEITEN 29

Zur Bestimmung der Π A lassen sich die Ableitungen von φ A , ˙φ A ,∇φ A in Analogie zur Einteilchenmechanik

bestimmen:

Die Hamiltondichte ist dann

∂ ˙q i

= δ i j ⇒ ∂ ˙φB (t,⃗y)

∂ ˙q j ∂ ˙φ A (t,⃗x) = δB δ(⃗x − ⃗y)

A

∂ q i

= 0 → ∂ φB (t,⃗y)

∂ ˙q j ∂ ˙φ A (t,⃗x) = ∂ (∂ k φB (t,⃗y))

= 0.

∂ ˙φ A (t,⃗x)

(φ A ,∇φ A ,Π a ) = Π A ˙φ A − (φ A ,∂ µ φ A ).

Die Poissonklammer zweier Funktionale ist



∂ F1

[F 1 , F 2 ] P = d 3 ∂ F 2

x

∂ φ A (t,⃗x) ∂ Π A (t,⃗x) − ∂ F 1 ∂ F 2

∂ Π A (t,⃗x) ∂ φ A (t,⃗x)

mit

∂ φ B (t,⃗y)

= ⎫

∂ φ A (t,⃗x) δB A δ3 (⃗x − ⃗y)

⎪⎬

∂ Π B (t,⃗y)

= ∂ Π A (t,⃗x) δB A δ3 (⃗x − ⃗y)

⎪⎭ ⇒

∂ φ B (t,⃗y)

= ∂ Π B (t,⃗y) = 0 ∂ Π A (t,⃗x) ∂ φ A (t,⃗x)

[φ A (t,⃗x),Π B (t,⃗y)] P

= ∫

d 3 ∂ φ

z

A (t,⃗x) ∂ Π B (t,⃗y)

− 0 ∂ φ C (t,⃗z) ∂ φ C (t,⃗z)

= ∫ d 3 z (δ Aδ(⃗x − C ⃗z)δC δ(⃗y − ⃗z)

B

= ∫ d 3 z δ A δ(⃗x − ⃗y)

B

2.4 Natürliche Einheiten

ħh = c = 1

Damit haben E, p, m die gleiche Einheit (Energie). Ebenso folgt aus ∆x ∼ ∆p −1 ,∆t ∼ ∆E −1 , daß t, x

die gleiche Einheit haben (Energie −1 ). Das ist sehr intuitiv für Streuexperimente: Eine Auflösung der

Längenskala ∆x erfordert Energie entsprechend

Die Lagrangedichte hat damit die Dimension

∆ p = ħh

∆x = ∆x−1 ⇒ E = ∆x −1 .

[ ] = Energie

Länge 3 = Energie4 .

2.5 Das reelle Klein-Gordon-Feld

Die Lagrangedichte lautet

= 1 2 (∂ µ φ∂ µ φ − m 2 φ 2 ),


30 KAPITEL 2. WIEDERHOLUNG: FELDQUANTISIERUNG

damit hat φ die Dimension 1 bzw. Einheit Energie. Ableiten liefert


∂ φ = −m2 φ


∂ (∂ µ φ) = ∂ µ φ,

und damit lauten die Euler-Lagrange-Gleichungen

∂ µ



∂ (∂ µ φ)


= ∂

∂ φ

⇔ ∂ µ ∂ µ φ = −m 2 φ bzw. □φ + m 2 φ = 0

und das ist gerade die Klein-Gordon-Gleichung. Die Hamiltondichte lautet

= Π ˙φ −

Zur Quantisierung führen wir die Ersetzung

durch und erhalten

= Π 2 − 1 2 ( ˙φ2 − (∇φ) 2 − m 2 φ 2 )

= 1 2 (Π2 + (∇φ) 2 + m 2 φ 2 ).

[ f 1 , f 2 ] P → −i[ f 1 , f 2 ]

[φ A (t,⃗x),Π B (t,⃗y)] } {{ P = δ A

} B δ3 (⃗x − ⃗y)

klassische Felder

→ [φ(t,⃗x),Π(t,⃗y)] = iδ(⃗x − ⃗y).

} {{ }

Feldoperatoren

Dieser Ausdruck ist Lorentz-kontravariant, da links der Skalar φ und Π = ∂ 0 φ, also die Nullkomponente

eines Vierervektors, stehen, genauso wie rechts, da


}{{}

d 4 x δ(⃗x − ⃗y) ∼ d t.

} {{ }

skalar zeitartig

Fourier-Entwicklung des Feldes

φ(x) =


1

(2π) 3/2

d 4 p δ( p 2 − m 2 )A(p)e −i p x , (2.1)

wobei δ(p 2 − m 2 ) sicherstellt, daß φ die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt:


(□ + m 2 1

)φ(x) = d 4 p (− p 2 + m 2 )δ(p 2 − m 2 )A( p)e −i p x = 0.

(2π) 3/2


2.5. DAS REELLE KLEIN-GORDON-FELD 31

Betrachte zunächst ein reelles Skalarfeld

φ(x) = φ † (x) ⇒ A(− p) = A † ( p).

Wir führen die Stufenfunktion



1 z > 0

1

Θ(z) = z = 0

⎩ 2

0 z < 0

ein, mit Θ(p 0 ) + Θ(− p 0 ) = 1. Einsetzen in (2.1) liefert


1

φ(x) = d 4 p δ(p 2 − m 2 )Θ(p

(2π) 3/2 0 )(A( p)e −i p x + A † ( p)e i p x )

Durch Ausnutzen des mathematischen Tricks

δ( f (z)) = ∑ n

δ(z − z n )

,



z=zn

d f

d z

wobei die Summe über alle Nullstellen z n von f läuft, erhalten wir

δ(p 2 − m 2 ) = δ((p 0 ) 2 − ⃗p 2 − m 2 ) = δ((p

} {{ } 0 ) 2 − E 2 ) p

E 2 p

= 1

2| p 0 | [δ( p 0 − E p ) + δ(p 0 + E p )],

wobei E p die positive Wurzel E p = +

⃗p 2 + m 2 bezeichnet; die Nullstellen von (p 0 ) 2 − E 2 p sind p 0 =

±E p .

Mit p µ = (E p ,⃗p) und a(p) = A(p)/ 2E p ergibt sich


φ(x) =

d 3 p

(2π) 3 2E p

(a(p)e −i p x + a † e i p x )

und damit


Π(x) = ∂ 0 φ(x) =

d 3 p i


2E p

2(2π) 3 (−a(p)e−i p x + a † (p)e i p x ).

Wie beim harmonischen Oszillator haben wir die ursprünglichen Oszillatoren φ(x) und Π(x) durch

a( p) und a † (p) ausgedrückt. Aus den Kommutatorrelationen für φ(x) und Π(x) folgt

[a(p),a † (p ′ )] = δ 3 (⃗p − ⃗p ′ ),

[a(p),a(p ′ )] = [a † ( p),a † ( p ′ )] = 0.


32 KAPITEL 2. WIEDERHOLUNG: FELDQUANTISIERUNG

Damit ergibt sich korrekt


[φ(t,⃗x),Π(t,⃗y)] =

i ∫ √√√

E ′

d 3 p d 3 p ′ p

{[a( p),a † ( p ′ )] e −i p x+i py − [a † ( p),a(p ′ )] e i p x−i py }

2(2π) 3 E p

} {{ }

} {{ }

δ(⃗p−⃗p ′ )

−δ(⃗p−⃗p ′ )

= i ∫

d 3 p{e i⃗p(⃗x−⃗y) + e −i⃗p(⃗x−⃗y) = iδ(⃗x − ⃗y)

2(2π) 3


Mit H = d x = 1 ∫

d 3 p E p [a † (p)a(p) + a( p)a † ( p)]

2

erhalten wir

[H,a( p ′ )] = −E p a(p ′ ),

[H,a † ( p ′ )] = +E p a † (p ′ ).

Analog zum harmonischen Oszillator lassen sich a(p) und a † (p) als Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren

verstehen.

2.6 Der Fockraum

Der Grundzustand des Feldes heißt in der Feldtheorie Vakuum. Er ist in Analogie zum harmonischen

Oszillator definiert durch

a( p) |0〉 = 0 für alle p

}{{}

Vakuum

und normiert 〈0|0〉 = 1.

Dabei führt der Erwartungswert des Hamiltonoperators

H = 1 ∫

d 3 p E p [a † (p)a(p) + a(p)a † (p)]

2


= d 3 p E p [a † (p)a(p) + 1 2 δ3 (0)]

für die Energie des Vakuums auf

〈0|H|0〉 = 1 ∫

2 δ3 (0)

d 3 p E p = ∞,

einen unendlichen Wert, der der Summe über die Nullpunktenergien unendlich vieler harmonischer

Oszillatoren entspricht. Die Lösung dieses bei allen Feldtheorien auftretenden Problems ist die R e -

d e f i n i t i o n des Energie-Nullpunktes


: H ::= H − 〈0|H|0〉 = d 3 p E p a † (p)a(p).


2.7. QUANTISIERUNG DES KOMPLEXEN KLEIN-GORDON-FELDES 33

In diesem Ausdruck stehen alle Vernichtungsoperatoren rechts von den Erzeugungsoperatoren. Die

Vorschrift »: · :« heißt N o r m a l o r d n u n g.

Die Erwartungswerte des normalgeordneten Hamiltonoperators sind damit für jeden Zustand ψ


〈ψ| : H : |ψ〉 = d 3 p E p 〈ψ|a † (p)a( p)|ψ〉


= d 3 p E p ||a( p)|ψ〉|| 2 0.

und für den normalgeordneten Vakuumerwartungswert gilt

〈0| : H : |0〉 = 0.

Damit ist der Grundzustand der Zustand niedrigster Energie. Weiter können wir Einteilchenzustände

mit

| p〉 ≡ a † ( p)|0〉,〈p|p ′ 〉 = δ 3 (⃗p − ⃗p ′ )

(ein Quant des Feldes φ mit Inpuls p µ = (E p ,⃗p)) definieren. Analog läßt sich ein N-Teilchenzustand

mit verschiedenen Impulsen p 1 , p 2 ,..., p n definieren als

|p 1 , p 2 ,..., p n 〉 ≡ a † (p 1 )a † (p 2 )···a † (p n )|0〉

sowie ein Zustand von n Teilchen mit demselben Impuls p als

|p(n)〉 ≡ 1


n!

(a † (p)) n |0〉.

Der Vektorraum, der durch das Vakuum, die Einteilchen- und Vielteilchenzustände aufgespannt wird,

heißt F o c k r a u m . Die Teilchenzahl im Fockraum ist gegeben durch den Erwartungswert des

Teilchenzahloperators = ∫ d 3 p a † (p)a(p).

2.7 Quantisierung des komplexen Klein-Gordon-Feldes

Der Lagrangian für das komplexe Klein-Gordon-Feld φ(x) ist gegeben durch

= (∂ µ φ † )(∂ µ φ) − m 2 φ † φ

mit φ(x) = 1

2

(φ 1 (x) + iφ 2 (x))

⇒ =

2∑

A=1

1

2 (∂ µ φ A )(∂ µ φ A ) − 1 2 m2 φ 2 A

,

d. h. der Lagrangian ist gerade der Lagrangian zweier unabhängiger Skalarfelder. Via Fourierzerlegung

können Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren definiert werden mit [a 1 ( p),a † 1 ( p′ )] = [a 2 (p),a † 2 (p′ )] =

δ 3 (⃗p − ⃗p ′ ), alle anderen Kommutatoren sind null.


34 KAPITEL 2. WIEDERHOLUNG: FELDQUANTISIERUNG

Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für das komplexe Feld φ erhalten wir durch Kombination

von a 1 und a 2

a(p) = 1

2

(a 1 (p) + ia 2 (p)), a † (p) = 1

2

(a † 1 (p) − ia† 2 (p))

â(p) = 1

2

(a 1 (p) − ia 2 (p),

â † (p) = 1

2

(a † 1 (p) + ia† 2 (p)).

Wir schreiben nun das Feld als Funktion dieser Erzeuger und Vernichter.


d 3 p

φ(x) =

(a(p)e (2π) −i p x + â † ( p)e i p x )

3 2E p


⇒ φ † (x) =

d 3 p

(2π) 3 2E p

(â(p)e −i p x + a † ( p)e i p x )

mit [a( p),a † ( p ′ )] = [â(p),â † (p ′ )] = δ 3 (⃗p − ⃗p ′ ).

Die Theorie enthält jetzt zwei verschiedene Teilchen, die sich als Teilchen und Antiteilchen interpretieren

lassen. Das folgt aus der Symmetrie von unter

φ → e −iqθ φ,

φ † → e i qθ φ † .

Dies ist der erste Teil der U (1)-Symmetrie der QED. Für infinitesimales θ erhalten wir

dφ = ∂ φ

d q ⇒ dφ = −i qθφ,

∂ q

dφ † = i qθφ † .

Eingesetzt in die Lagrangedichte, die invariant bleibt, erhalten wir

∆ = 0 = ∂

∂ φ (−iqθφ) } {{ }


+ ∂

∂ (∂ µ φ) d(∂ µ φ)

} {{ }

∂ µ (−iqθφ)

+ ∂

∂ φ † (iqθφ† ) +


∂ (∂ µ φ) ∂ µ (iqθφ† )



= −iqθ∂ µ

∂ (∂ µ φ) φ + i qθ ⎣− ∂


∂ φ + ∂ ∂


µ φ + (φ ↔ φ † )

∂ (∂ µ φ)

} {{ }

=0, Euler-Lagrange-Gl.



⇒ ∂ µ −iqθ


+i qθ ∂

φ † ⎜ ∂ (∂ µ φ) ∂ (∂

⎝ } {{ }

µ φ † = 0

) ⎟

} {{ } ⎠

∂ µ φ † ∂ µ φ

} {{ }

=:j µ


2.8. QUANTISIERUNG DES DIRAC-FELDES 35

D. h. es gibt einen erhaltenen Nötherstrom j µ mit ∂ µ j µ = 0 und

j µ = iq[(∂ µ φ)φ † − (∂ µ φ † )φ].

Daraus folgt, daß es eine erhaltene Ladung Q = ∫ d 3 x j 0 gibt mit

dQ

d t


=


d 3 x ∂ 0 j 0 = −


d 3 x ∇ ⃗ j Gauß

= −

∂ Ω

d ⃗ A ⃗ j = 0,

da der Strom im Unendlichen verschwindet. Andererseits ist

∫ ∫

Q = d 3 x j 0 = d 3 x iq[(∂ 0 φ)φ † − (∂ 0 φ † )φ]

= q


d 3 p [a † (p)a(p) − â † (p)â(p)] = q( a − â).

wobei wir die Fourierzerlegung eingesetzt haben. Wenn q die Ladung eines mit a † erzeugten Quants

ist, hat ein mit â erzeugtes Quant die entgegengesetzte Ladung, damit die Gesamtladung erhalten ist.

Wir interpretieren deshalb Quanten erzeugt durch â † als Antiteilchen. Wenn wir die Gleichungen

für φ und φ † betrachten, sehen wir, daß φ ein Teilchen vernichtet oder ein Antiteilchen erzeugt, da es

nur a und â † enthält; entsprechend vernichtet φ † ein Antiteilchen oder erzeugt ein Teilchen. φ erhöht

somit die Ladung um den Betrag q, φ † erniedrigt sie um den Wert q.

Das Vakuum |0〉 ist somit der Zustand, der weder Teilchen noch Antiteilchen enthält,

a(p)|0〉 = â( p)|0〉 = 0 für alle p.

| p〉 = a † (p)|0〉 enthält ein Teilchen mit der Energie E p , |ˆp〉 = â † (p)|0〉 ein Antiteilchen mit Energie E p .

Die normalgeordnete Hamiltonfunktion


: H :=

d 3 p E p (a † (p)a(p) + â † ( p)â( p))

hat Eigenwerte 0, also kein Problem mit negativen Energien mehr.

2.8 Quantisierung des Dirac-Feldes

Die Lagrangedichte des Diracfeldes ist gegeben durch

= ψ(i∂/ − m)ψ

bzw. in Komponentenschreibweise

= ψ α

(i(γ µ ) αβ ∂ µ − mδ αβ )ψ β .


36 KAPITEL 2. WIEDERHOLUNG: FELDQUANTISIERUNG

Wir betrachten ψ und ψ als unabhängige Felder. Die Euler-Lagrange-Gleichung für ψ ergibt die Diracgleichung

⎛ ⎞


∂ µ ⎝

∂ ⎟

⎠ = ∂

∂ (∂ µ ψ α

) ∂ ψ α

} {{ }

=0

⇒ (i∂/ − m)ψ(x) = 0.

Analog ergibt sich aus der Euler-Lagrange-Gleichung für ψ

ψ(i ←− ∂/ − m) = 0,

was durch hermitesche Konjugation und durch Ausnutzen der Eigenschaften der γ-Matrizen in die

Dirac-Gleichung überführt werden kann.

Der Lagrangian ist invariant unter der Transformation der Spinorfelder

mit dem Nötherstrom

j µ = qψγ µ ψ

ψ → e −i qθ ψ

und der erhaltenen Ladung


Q = q


d 3 x ψγ 0 ψ = q

d 3 x ψ † ψ.

Die Fourier-Zerlegung ergibt


d 3 p ∑

ψ(x) =

(f s (⃗p)u s (⃗p)e −i p x + ˆf † (⃗p)v

(2π) 3 s s (⃗p)e i p x )

2E s=1,2 p


d 3 p ∑

bzw. ψ(x) =

(f † (⃗p)u

(2π) 3 s s (⃗p)e i p x + ˆf s (⃗p)v s (⃗p)e −i p x ).

2E s=1,2 p

Um positive Energieeigenwerte zu gewähren, nimmt man an, daß für das Diracfeld die Erzeuger und

Vernichter A n t i v e r t a u s c h u n g s r e g e l n ({A,B} = AB + BA) erfüllen

{ f s (⃗p), f †

s ′ (⃗p ′ )} = { ˆf s (⃗p), ˆf †

s ′ (⃗p ′ )} = δ s s

′δ 3 (⃗p − ⃗p ′ ), (2.2)

während alle anderen Antikommutatoren verschwinden.

Die normalgeordnete Hamiltonfunktion



: H := d 3 p E p [ f † (⃗p)f †

s s (⃗p) + ˆf (⃗p) ˆf s s (⃗p)]

s=1,2


2.8. QUANTISIERUNG DES DIRAC-FELDES 37

hat dann nur p o s i t i v e E i g e n w e r t e ; das Problem mit negativen Energien in der relativistischen

Quantenmechanik ist gelöst. Die normalgeordnete Ladung ist


: Q : = q d 3 x : ψ † ψ :


= q

d 3 p ∑

[ f † (⃗p)f s s

s=1,2

(⃗p) − ˆf


s (⃗p) ˆf (⃗p)];

wie für das Klein-Gordon-Feld tragen die Antiteilchen (erzeugt durch ˆf † ) die entgegengesetzte Ladung

wie die Teilchen (erzeugt durch f † ).

Da alle Antikommutatoren außer (2.2) verschwinden, gilt auch

{ f † (⃗p), f †

† †

(⃗p)} = { ˆf (⃗p), ˆf (⃗p)} = 0

s s s s

= 2 f † (⃗p) f † (⃗p) = 0

s s

⇒ f † (⃗p)f † † †

(⃗p) = ˆf (⃗p) ˆf (⃗p) = 0,

s s s s

d. h. es können keine zwei Teilchen im gleichen Zustand erzeugt werden: die Antikommutatorrelationen

implizieren also das P a u l i - P r i n z i p .

Der Fockraum ergibt sich aus der Definition des Vakuums:

f s (⃗p)|0〉 = ˆf s (⃗p)|0〉 = 0 für alle ⃗p, s

sowie der Vorschrift zur Erzeugung von Teilchen- und Antiteilchenzuständen

f †


(⃗p)|0〉 bzw. ˆf (⃗p)|0〉.

s s

Da [H, f †(⃗p)]

= E s p f †


(⃗p) und [H, ˆf (⃗p)] = E ˆf s s p † (⃗p), haben sowohl die erzeugten Teilchen wie Antiteilchen

p o s i t i v e E n e r g i e .

s

Die Dirac-Gleichung mit Kopplung an eine Quelle

(i∂/ − m)ψ(x) =

J (x)

}{{}

Quellstrom

läßt sich mithilfe des Dirac-Propagators S F (Greenfunktion) lösen

(i∂/ − m)S F (x − x ′ ) = δ 4 (x − x ′ ),


so daß ψ(x) = ψ 0 (x) ∗ d 4 x ′ S F (x − x ′ )J (x ′ ).

Für den Propagator ergibt sich


iS F (x − x ′ d 3 p

) =

[θ(t − t ′ )(p/ + m)e −i p(x−x′) − θ(t − t ′ )(p/ − m)e i p(x−x′ )

(2π) 3 2E p

(2.3)

bzw. iS F (x − x ′ ) = 〈0|T[ψ α (x)ψ β

(x ′ )|0〉


38 KAPITEL 2. WIEDERHOLUNG: FELDQUANTISIERUNG

mit dem zeitgeordneten Produkt



T[ψ α (x)ψ β

(x ′ ψ

)] = α (x)ψ β

(x ′ ) für t > t ′

⎩−ψ α

(x ′ )ψ β (x) für t < t . ′


Kapitel 3

Quantenelektrodynamik

Die QED beschreibt die Wechselwirkungen der Quarks und Leptonen mit dem quantisierten elektromagnetischen

Feld, d. h. dem Photonfeld.

Literaturempfehlung: Lahiri/Pal: A first course in Quantum Field Theory

3.1 Das Diracfeld

Die elementaren Fermionen wie Quarks, Elektron, µ und τ werden durch Diracfelder beschrieben.

Die Lagrangedichte des Diracfeldes ist

= ψ(i∂/ − m)ψ

a/ := γ µ a µ = γ µ a µ

ψ = ψ † γ 0

Die Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben dann die Dirac-Gleichung

(i∂/ − m)ψ(x) = 0.

Der Lagrangian/die Lagrangedichte ist invariant unter

mit dem erhaltenen Nötherstrom

ψ → e −iqθ ψ

j µ = qψγ µ ψ

und der erhaltenen Ladung


Q = q


d 3 x ψγ 0 ψ = q

d 3 x ψ † ψ

39


40 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

Die Fourierzerlegung des Diracfeldes ergibt


ψ(x) =


ψ(x) =

d 3 p ∑


( f s (⃗p)u s (⃗p)e −i p x + ˆf † (⃗p)v

(2π) 3 s s (⃗p)e i p x )

2E s=1,2 p

d 3 p ∑


( f † (⃗p)u

(2π) 3 s s (⃗p)e+i p x + ˆf s (⃗p)v s (⃗p)e −i p x ),

2E s=1,2 p

wobei u s , v s die entsprechenden Spinoren bezeichnet und die Erzeuger und Vernichter die Antivertauschungsregeln

{ f s (⃗p), f †

s ′ (⃗p ′ )} = { ˆf s (⃗p), ˆf †

s ′ (⃗p)} = δ s s

′δ 3 (⃗p − ⃗p ′ )

erfüllen müssen. Die normalgeordnete Hamiltonfunktion



: H := d 3 p E p [ f † (⃗p)f †

s s (⃗p) + ˆf (⃗p) ˆf s s (⃗p)]


hat nur positive Eigenwerte E p = + |⃗p| 2 + m 2 , die normalgeordnete Ladung ist


: Q := q

s=1,2

d 3 p ∑

[ f † (⃗p)f s s

s=1,2

Der Fockraum ergibt sich aus der Definition des Vakuums

f s (⃗p)|0〉 = ˆf s (⃗p)|0〉 = 0

(⃗p) − ˆf


s (⃗p) ˆf s (⃗p)].

sowie der Vorschrift zur Erzeugung von Teilchen f †


(⃗p)|0〉 und Antiteilchen ˆf (⃗p)|0〉-Zuständen.

s s

3.2 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Die elektrischen und magnetischen Felder ⃗ E, ⃗ B können durch die Komponenten eines Vierervektors 1

A µ = (φ, ⃗ A) dargestellt werden, so daß

⃗B = ∇ × ⃗ A,

bzw. manifest kovariant mit dem Feldstärketensor

⃗E = −∇φ − ∂ ⃗ A

∂ t .

F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ , (3.1)

1 Hierbei kann man A µ nicht nur als Viererpotential interpretieren, sondern auch als Photonfeld.


3.2. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES 41

wobei die Komponenten des Feldstärketensors F µν gegeben sind durch



0 E 1 E 2 E 3

−E

F µν =

0 −B 3 B 2


⎝−E B 3 0 −B 1 ⎟

⎠ .

−E 3 −B 2 B 1 0

Die Maxwell-Gleichungen ergeben sich dann als

∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ + ∂ λ F µν = 0 (3.2)

und ∂ µ F µν = j ν ≡ (ρ, ⃗ j ). (3.3)

Diese Feldgleichungen ergeben sich als Euler-Lagrange-Gleichungen aus der Lagrangedichte

= − 1 4 F µν F µν − j µ A µ .

j µ bezeichnet dabei einen externen Quellterm, z. B.

j µ = −eψγ µ ψ für e,µ,τ

oder j µ = + 2 3 eψγ µ ψ für u, c, t-Quarks

oder j µ = − 1 3 eψγ µ ψ für d, s, b-Quarks

F µν ist invariant unter der Transformation

A µ → A ′ µ = A µ + ∂ µ Θ,

wobei Θ eine beliebige, differenzierbare Funktion von x und t ist. Derartige Eichtransformationen

können A µ an jedem Raumzeitpunkt auf andere Art und Weise ändern und heißen daher l o k a l e

T r a n s f o r m a t i o n e n .

3.2.1 Probleme mit der Quantisierung

Aus (3.3) folgt mit der Definition (3.1)

∂ µ (∂ µ A λ − ∂ λ A µ ) = j µ

⇔ (g λµ □ − ∂ λ ∂ µ )A µ = j λ

Damit folgt für die entsprechende Green-Funktion D µν (x)

(g λµ □ − ∂ λ ∂ µ )D µν (x − x ′ ) = g λ ν δ4 (x − x ′ )


42 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

mit der Fourier-Transformierten

−(g λµ k 2 − k λ k µ )D µν (k) = g λ ν

(3.4)

Die allgemeine Form eines Tensors vom Rang 2, der nur von k abhängt, ist

Eingesetzt in (3.4) ergibt sich

D µν (k) = a g µν + b k µ k ν .

−a 2 k 2 g λ ν + akλ k ν = g λ ν

Aus den Koeffizienten von g λ folgt a = −1/k 2 ; gleichzeitig folgt aus den Koeffizienten von k λ k

ν

ν ,

daß a = 0, also ein Widerspruch. Daraus folgt, daß der Propagator nicht existiert. Der Grund dafür

ist, daß das Potential/das Photonfeld invariant unter Eichtransformationen A µ → A ′ ist, d. h. durch

µ

Anwendung der Greenfunktion auf j µ (x ′ ) müßten wir alle möglichen A µ (x) finden, und eine solche

Greenfunktion existiert nicht. Wir fixieren deshalb in der klassischen Theorie die Eichung.

3.2.2 Modifikation der klassischen Theorie: Eichfixierung

Die Wirkung der Theorie ist gegeben durch

S = − 1 ∫

d 4 x F µν F µν

4

= − 1 ∫

d 4 x [(∂ µ A ν )(∂ µ A ν ) − (∂ µ A ν )(∂ ν A µ )

2

} {{ } ]

Der unterklammerte Term läßt sich umschreiben zu


d 4 x[∂ µ (A ν ∂ ν A µ ) − A ν (∂ µ ∂ ν A µ )]


= d 4 x[∂ µ (A ν ∂ ν A µ ) − ∂ ν (A ν ∂ µ A µ ) + (∂ ν A ν )(∂ µ A µ )]

Dies sind totale Divergenzen, die wir mit dem Satz von Gauß zu Oberflächenintegralen umschreiben

können, so daß der unterklammerte Term entfällt. Damit ist die Wirkung

S = − 1 ∫

d 4 x [(∂ µ A ν )(∂ µ A ν ) − (∂ µ A µ ) 2 ].

2 } {{ }


Wir führen einen Zusatzterm 2

2 GF = Gauge Fixing, Eichfixierung

→ ′ = + GF

mit GF = − 1

2ξ (∂ µ Aµ ) 2 .


3.3. BESTIMMUNG DES PROPAGATORS 43

ein. Die Wirkung ist dann

S = − 1 2




d 4 x (∂ µ A ν )(∂ µ A ν ) − 1 − 1 (∂ µ A µ ) 2 .

ξ

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich als


□A ν − 1 − 1

∂ ν (∂ µ A µ ) = j ν ,

ξ


⇒ g λµ □ − 1 − 1 ∂ λ ∂ µ A µ = j λ . (3.5)

ξ

was für ξ → ∞ in die ursprünglichen Bewegungsgleichungen übergeht. Der Eichterm GF verschwindet

nur dann, wenn ∂ µ A µ = 0, und nur in diesem Fall erhalten wir die ursprünglichen Maxwell-

Gleichungen. Damit ist die Eichfreiheit aufgegeben und die Eichung fixiert.

3.3 Bestimmung des Propagators

Die Gleichung für die Greenfunktion lautet


g λµ □ − 1 − 1 ∂ λ ∂ µ D µν (x − x ′ ) = g λ ν

ξ

δ4 (x − x ′ )

Die Fouriertransformierte ist






g λµ k 2 −

wobei der Propagator immer noch gegeben ist als


1 − 1

k λ k µ ξ

⎥ D µν (k) = g λ , ν

} {{ } ⎦

neu

D µν (k) = a g µν + b k µ k ν .

Daraus folgt

g λ ν


= − g λµ k 2 − 1 − 1

k λ k µ (a g µν − b k µ k ν )

ξ


= −ak 2 g

a

λ + 1 − 1

− 1

ν

ξ ξ b k2 k λ k ν ,

was durch Koeffizientenvergleich gelöst werden kann

a = − 1 k 2 und b = 1 − ξ

k 2 .


44 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

Damit ergibt sich der Propagator als

D µν (k) = − 1


⎣g

k 2 µν − (1 − ξ ) k µ kν ⎤

⎦. (3.6)

+ iϵ

k 2

Der Parameter ξ unterscheidet hier zwischen verschiedenen Theorien, die für ∂ µ A µ = 0 die klassischen

Maxwellgleichungen ergeben. Bei jeder Berechnung physikalischer Größen fällt ξ heraus. Dies bietet

einen Konsistenz-Check, der Rechnung, ermöglicht aber auch, ξ so zu wählen, daß die Rechnung

möglichst einfach wird. Gängige Festlegungen für ξ sind

ξ = 1 ⇒ iD µν (k) = − i g µν

k 2 + iϵ

ξ = 0 ⇒ iD µν (k) = − i


⎣g

k 2 µν − k µ k ⎤

ν


+ iϵ k 2

Feynman-t’Hooft-Eichung

Landau-Eichung

Im folgenden verwenden wir ξ = 1, soweit nicht explizit anders vermerkt.

Die Wirkung ergibt sich zu

S = 1 ∫

d 4 x(∂ µ A ν )(∂ µ A ν )

2

und die Bewegungsgleichungen als □A µ = j µ . Dies entspricht den Bewegungsgleichungen für 4 masselose

Skalarfelder. Deshalb verwenden wir den Quantisierungsansatz analog zu den Skalarfeldern.

3.4 Fourierentwicklung und physikalische Zustände

Die Fourierentwicklung des Photonfeldes ist


A µ (k) =

d 3 k


(2π) 3 2ω k

3∑

r =0

[ϵ µ r (k)a r (k)e−i k r + ϵ ∗µ

r

(k)a † r (k)e ikx ]

mit ω k = | ⃗ k| (3.7)

Die ϵ r sind vier unabhängige sogenannte P o l a r i s a t i o n s v e k t o r e n und bestimmen die

Transformationseigenschaften der A µ unter Lorentztransformationen. Die Lorentz-Invarianz führt auf

die Orthonormalitätsrelationen

ϵ µ r ϵ∗ = −ζ sµ r δ r s (ohne Summe über r )

mit ζ 0 = −1, ζ 1 = ζ 2 = ζ 3 = +1

3∑

Vollständigkeitsrelation: ζ r ϵ µ r ϵ∗ν = −g

r µν

r =0

Eine mögliche Wahl für die Polarisationsvektoren ergibt sich mit ϵ µ 0

zeitartiger Vektor mit Normierung n µ n µ = 1, n 0 > 0 ist.

= nµ , wobei n µ ein beliebiger


3.4. FOURIERENTWICKLUNG UND PHYSIKALISCHE ZUSTÄNDE 45

Wenn ϵ µ 3 in der n-k-Ebene liegen soll, folgt aus ϵ 3µ nµ = 0,ϵ 3 ϵ 3 = −1, daß

ϵ µ 3 (k) = kµ − (k · n)n µ

(k · n) 2 − k 2 .

Die verbleibenden Polarisationsvektoren sind dann orthogonal zur n-k-Ebene und ϵ µ r (k)ϵ∗ (k) = −δ sµ r s

für r, s = 1,2.

Mit n µ = (1,0,0,0) und der dritten Achse ||k erhält man

ϵ µ 0 = (1,0,0,0)

ϵ µ 1 = (0,1,0,0)

ϵ µ 2 = (0,0,1,0)

ϵ µ 3 = (0,0,0,1)

zeitartig: »skalare« Polarisationsmode

transversale Mode

transversale Mode

longitudinale Polarisationsmode

Eine andere mögliche Wahl wäre z. B.

= (0,1,−i,0)/

2

= (0,−1, i,0)/ Linearkombinationen von ϵ µ

2

1,2 ,

ϵ µ i

ϵ µ k

die zirkulare Polarisation beschreiben.

Um die Theorie zu quantisieren, berechnen wir die kanonischen Impulse

und fordern

Π µ =

δL

δ(∂ 0 A µ )

= −A µ +


1 − 1 ξ


g µ0 ∂ ν A ν

[A µ (t,⃗x),Π ν (t,⃗y)] = iδ ν µ δ3 (⃗x − ⃗y)

[A µ (t,⃗x),A µ (t,⃗y)] = 0

[Π µ (t,⃗x),Π µ (t,⃗y)] = 0,

so daß für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gilt

[a r (k),a † s (k′ )] = ζ r δ r s δ 3 (⃗x − ⃗y)

[a r (k),a s (k ′ )] = 0

[a † r (k),a† s (k′ )] = 0.

Das Vakuum ist definiert als a r (k)|0〉 = 0 und normiert als 〈0|0〉 = 1 für alle k und r . Der 1-Photon-

Zustand mit Impuls k und Polarisationsvektor ϵ r ist dann

|k, r 〉 ≡ a † r (k)|0〉.


46 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

Weiteres Problem: Normierung Während beim Klein-Gordon-Feld alle Zustände positive Normen

hatten, ist das hier nicht der Fall. Betrachte Zustand mit Polarisationsvektor ϵ 0

〈k,0|k ′ ,0〉 = 〈0|a 0 (k)a † 0 (k)|0〉

= 〈0|[a 0 (k),a † 0 (k)]|0〉

= −δ 3 ( ⃗ k − ⃗ k ′ ), da ζ 0 = 1

Durch das Minuszeichen ist die Norm also negativ, was negativen Wahrscheinlichkeiten entspricht.

Darüber hinaus existieren v i e r linear unabhängige Polarisationen, während klassische elektromagnetische

Felder nur z w e i Freiheitsgrade besitzen. Der Grund ist, daß wir nicht direkt die Maxwellsche

Elektrodynamik quantisiert haben, sondern eine Theorie, die n u r f ü r ∂ µ A µ = 0 der

Elektrodynamik entspricht.

Wir definieren also für physikalische Zustände ψ,ψ ′

〈ψ ′ |∂ µ A µ |ψ〉 = 0.

Wenn wir A µ = A µ + + Aµ − zerlegen, wobei Aµ + die Annihilations- und Aµ −

die Erzeugungsoperatoren

enthält, ist

automatisch erfüllt. Eingesetzt in (3.6) ergibt sich

〈ψ ′ |∂ µ A µ |ψ〉 = 〈ψ ′ |∂ µ A µ + + ∂ µ Aµ − |ψ〉

wegen ∂ µ A µ +

|ψ〉 = 0 (3.8)

und 〈ψ ′ |∂ µ A µ − = 0 (3.9)

∂ µ A µ + = ∂ µ



= −i

d 3 k


(2π) 3 2ω k

d 3 k


(2π) 3 2ω k

3∑

ϵ µ (k)a r r (k)e−i k x

r =0

3∑

k µ ϵ µ (k)a r r (k)e−ikx

r =0

Mit ⃗ k = k z

⃗e z ⇒ k µ = (ω k ,0,0,ω k ) ⇒ k µ = (ω k ,0,0,−ω k ) ergibt sich

⇒ ∂ µ A µ + (x) = −i ∫

d 3 k ω k

(2π) 3 2ω k

[a 0 (k) − a 3 (k)]e −ikx .

Aus (3.8) folgt a 0 (k)|ψ〉 = a 3 (k)|ψ〉 und aus (3.9) folgt 〈ψ|a † 0 (k) = 〈ψ|a† (k). Das führt dazu, daß die

3

Observablen nur noch von den zwei physikalischen Zuständen mit r = 1,2 abhängen. In der Feynmant’Hooft-Eichung

ξ = 1 sind die kanonischen Impulse dann

Π µ = −Ȧµ


3.4. FOURIERENTWICKLUNG UND PHYSIKALISCHE ZUSTÄNDE 47

und die normalgeordnete Hamiltonfunktion ergibt sich mit (3.6)

: H : = 1 ∫

d 3 x (Π µ Ȧ µ − (A µ ,∂ µ A µ ))

2

∫ ⎡



= d 3 k ω k

⎣ 3 a † (k)a r r (k) − a† 0 (k)a o (k) ⎦,

r =0

wo sich beim Erwartungswert zwischen zwei physikalischen Zuständen ψ ′ ,ψ die Beiträge von a † 3 a 3 und

a † 0 a 0 wegheben, und wir ∫

〈ψ ′ | : H : |ψ〉 =


3∑

d 3 k ω k ψ ′ a † (k)a r r (k) ψ

erhalten.

Die skalare Polarisationsmode (r = 0), die zu negativen Normen führt, trägt genau so wie die

longitudinale Polarisation nicht mehr bei.

Das elektromagnetische Feld A µ wird durch vier Polarisationsvektoren ϵ µ , r = 1,...,4 beschrieben.

r

Die Eigenwerte von Observablen für physikalische Zustände hängen nur von den transversalen Moden

r = 1,2 ab.

Da der Propagator k e i n e Observable ist, hängt er jedoch von allen Polarisationszuständen ab.

In Feynman-t’Hooft-Eichung (ξ = 1) ergibt sich

D µν (k) = −g µν

k 2 + iϵ = 1

r =0

k 2 + iϵ

3∑

ζ µ ϵ µ r ϵ∗ν r

r =0

} {{ }

−g µν

wobei sich der zweite Ausdruck für g µν entsprechend der Vollständigkeitsrelation der Polarisationsvektoren

ergibt.

In dem Bezugssystem mit

wird der Propagator

D µν (k) =

1

k 2 + iϵ [

ϵ 0 µ = (1,0,0,0)

ϵ 3 µ = kµ − (k · n)n µ


(kn) 2 − k 2


ϵ µ r (k)ϵν (k) r

r =1,2

} {{ }

enthält nur transversale Polarisation: Austausch transversaler Photonen



+ 1

(k


µ − (kn)n µ )(k ν − (kn)n ν )

k 2 + iϵ


− n µ n ν ⎥

(kn) 2 − k 2

⎦ ;

} {{ }

]


48 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

der zweite unterklammerte Ausdruck ergibt

1

(kn) 2 − k 2 [kµ k ν + ✘ ✘✘✘✘

(kn) 2 n µ n ν − (kn)(n µ k ν + k µ n ν ) − n µ n ν ( ✟

✟✟

(kn) 2 − k 2 )]

≡ D C µν (k) + D R µν (k)

nµ n ν

mit D µν C (k) =

(kn) 2 − k 2

D R µν (k) = kµ k ν − (kn)(n µ k ν + k µ n ν )

k 2 [(kn) 2 − k 2 ]

Mit n µ = g µ0 und k · n = k 0 ergibt sich im Ortsraum


mit


D µν C (x − x ′ ) =


=

d 3 x e−i⃗q⃗x

4πr = 1

|⃗q| 2

d 4 k

(2π) 4 D C µν (k)e −i k(x−x′ )

d 3 k g µ0 g ν0

(2π) 3 | ⃗ e i⃗ k(⃗x−⃗x ′ )

k| 2

= 1 g µ0 g ν0

4π |⃗x − ⃗x ′ | δ(x0 − x ′0 ).


d k0

(2π) e−i k 0 (x0 −x ′0 )

Physikalisch anschaulich wird die Bedeutung von D C , wenn man einen Streuprozeß betrachtet, bei

dem das Photon als intermediäres Teilchen auftritt. Der D C -Anteil des Matrixelementes



d 4 x

d 4 x ′ j 1 µ (x)D µν (x − x ′ )j 2 ν (x ′ )

ist



d 4 x d 4 x ′ j 1 0 (x) j 0 2 (x ′ )

δ(x 0 − x ′0 )

4π|⃗x − ⃗x ′ |

0 0 j1 j 2


4π|⃗x − ⃗x ′ | d 3 x d 3 x ′

und ergibt das Potential einer Coulomb-Wechselwirkung.

Der D R -Anteil trägt nicht bei, da alle Terme k µ oder k ν enthalten, und für erhaltene Ströme ∂ µ j µ ≡


3.5. LOKALE EICHINVARIANZ 49

k µ j µ = 0 gilt. Die Interpretation des gesamten Propagators ist also

D µν 1

(k) =

k 2 + iϵ [ ∑

ϵ µ r (k)ϵν (k)] r

r =1,2

} {{ }

Austausch transversaler physikalischer Photonen

3.5 Lokale Eichinvarianz

+ D µν C (k)

} {{ }

+ D µν R (k)

} {{ }

.

Austausch v i r t u e l l e r Photonen verschwindet zwischen physikalischen Zuständen

Bei der Diskussion des Diracfelds hatten wir festgestellt, daß die Lagrangedichte des freien Diracfelds

ψ = ψ(i∂/ − m)ψ

invariant unter der Transformation ψ → ψ ′ = ψe −i eQθ ψ ist. Dabei ist θ unabhängig von x, also ein

globaler Parameter. Die Invarianz unter solch einer g l o b a l e n T r a n s f o r m a t i o n impliziert

einen erhaltenen Nötherstrom j µ = eQψγ µ ψ, und die erhaltene Ladung ist q = eQ ∫ d 3 x ψ † ψ. Wenn

wir nun annehmen, daß die Lagrangedichte unserer Theorie ferner unter sog. l o k a l e n E i c h t r a n s -

f o r m a t i o n , also θ = θ(x) invariant sein soll, zeigt sich, daß ψ modifiziert werden muß. Das

ursprüngliche ψ transformiert sich unter lokalen Transformationen als

ψ

′ = ψ ′ (i∂/ − m)ψ ′

= ψ + eQ(∂ µ θ)ψγ µ ψ.

Um eine lokal eichinvariante Lagrangedichte zu erhalten, müssen wir folglich ein neues Feld einführen,

das den Differenzterm zwischen und ′ weghebt. Da sich ∂ µ θ wie ein 4er-Vektor transformiert,

machen wir den Ansatz

= ψ(i∂/ − m)ψ − eQψγ µ ψA µ

mit dem Vierervektor A µ . Mit den lokalen Transformationen

ψ → ψ ′ = e −ieQθ(x) ψ, A µ → A ′ µ

ergibt sich

′ = ψ ′ (i∂/ − m)ψ ′ − eQψ ′ γ µ ψ ′ A ′ µ

= ψ(i∂/ − m)ψ

} {{ }

−eQψγ µ ψA µ

−eQ(A ′ µ − ∂ µ θ)ψγ µ ψ,


50 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

d. h. ist eichinvariant ( = ′ ) für

A ′ = A µ µ + ∂ µ θ. (3.10)

Dabei ist (3.10) genau die Transformation, die die Lagrangedichte des elektromagnetischen Feldes invariant

läßt. Wir können A µ also mit dem Photonfeld identifizieren, und den freien elektromagnetischen

Feldlagrangian addieren. Also ist die L a g r a n g e d i c h t e d e r Q u a n t e n e l e k t r o d y n a -

m i k ( Q E D )

= ψ(i∂/ − m)ψ − 1 4 F µν F µν − eQψγ µ ψ

} {{ }

A µ . (3.11)

j µ

Diese Lagrangedichte enthält gerade die freien Dirac- und Photonfelder sowie den Wechselwirkungsterm

j µ A µ . Durch die Forderung von lokaler Eichinvarianz haben wir somit die vollständige Lagrangedichte

der QED erhalten. Das » e i c h e n « einer global invarianten Theorie führt auf eine wechselwirkende,

lokal invariante Eichtheorie, in der Eichfelder A µ an die erhaltene Ladung q koppeln. In

Eichtheorien erzeugen die Symmetrien somit die Dynamik der Theorie. Dieses sogenannte E i c h -

p r i n z i p 3 funktioniert nicht nur für Fermionfelder. Um das zu sehen, schreiben wir (3.11) als

= ψ(iγ µ D µ − m)ψ − 1 4 F µν F µν

mit der kovarianten Ableitung

Für ein komplexes Skalarfeld

D µ = ∂ µ + ieQA µ .

φ = (∂ µ φ † )(∂ µ φ) − m 2 φ † φ

mit φ → φ ′ = e −ieQθ φ

transformiert sich die kovariante Ableitung als

wenn sich

D µ φ → e −i eQθ D µ φ,

A µ → A µ + ∂ µ θ

transformiert. D. h. die Lagrangedichte bleibt invariant unter lokalen Transformationen mit der m i -

n i m a l e n E r s e t z u n g ∂ µ → D µ . Indem wir das freie elektromagnetische Feld hinzufügen, erhalten

wir die s k a l a r e E l e k t r o d y n a m i k

= (D µ φ † )(D µ φ) − m 2 φ † φ − 1 4 F µν F µν .

3 h i e r die Invarianz unter lokalen Transformationen eine U (1)-Gruppe


3.6. WICK-THEOREM 51

Wir haben also eine Theorie mit Wechselwirkungsterm

int = −eQψγ µ ψA µ .

Um die Prozesse, die in der Theorie möglich sind, zu diskutieren, wird dann die Störungsreihe der

S-Matrix betrachtet:


∞∑

S = T[exp(−i d 4 (−i) n ∫ ∫ ∫

x I (x))] = 1 +

d 4 x 1 d 4 x 2 ··· d 4 x n T[ I (x 1 ) I (x 2 )··· I (x n )]

n!

3.6 Wick-Theorem

n=1

mit I = − : int := e : ψγ µ ψA µ : (3.12)

Jeder Term in der Störungsreihe (3.12) enthält das zeitgeordnete Produkt einer Reihe von Faktoren

I (x), von denen jeder für sich normalgeordnet ist.

Da normalgeordnete Produkte den Vorteil haben, daß ihr Erwartungswert im Vakuum verschwindet,

soll (3.12) als normalgeordnetes Produkt geschrieben werden; dies führt auf das Wick-Theorem.

Wir betrachten zunächst ein Skalarfeld φ(x) und schreiben dieses in der Zerlegung

φ(x) =

mit φ + (x)|0〉 = 0 und 〈0|φ − (x) = 0. Daraus folgt

φ + (x)

} {{ }

+ φ − (x)

} {{ }

Annihilationsanteil Erzeuger

φ(x)φ(x ′ ) = φ + (x)φ + (x ′ ) + φ

} {{ } + (x)φ − (x ′ ) +φ

} {{ } − (x)φ + (x ′ ) + φ − (x)φ − (x ′ ).

} {{ }

normalgeordnet nicht normalgeordnet

normalgeordnet

Das normalgeordnete Produkt ist also

Nun ist

: φ(x)φ(x ′ ) : = φ(x)φ(x ′ ) − φ + (x)φ − (x ′ ) + φ − (x ′ )φ + (x)

= φ(x)φ(x ′ ) − [φ + (x),φ − (x ′ )]

〈0|φ(x)φ(x ′ )|0〉 = 〈0|φ + (x)φ − (x ′ )|0〉

= 〈0|[φ + (x),φ − (x ′ )] |0〉

} {{ }

Zahl

= [φ + (x),φ − (x ′ )]

Wir können also schreiben

φ(x)φ(x ′ ) =: φ(x)φ(x ′ ) : +〈0|φ(x)φ(x ′ )|0〉

⇒ T[φ(x)φ(x ′ )] = θ(t − t ′ )φ(x)φ(x ′ ) + θ(t ′ − t)φ(x)φ(x ′ )

=: φ(x)φ(x ′ ) : +〈0|T[φ(x)φ(x ′ )]|0〉,


52 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

da für Skalarfelder

Der Ausdruck

: φ(x)φ(x ′ ) : =: φ(x ′ )φ(x) :

und θ(t − t ′ ) + θ(t ′ − t) = 1.

〈0|T[φ(x)φ(x ′ )]|0〉 ≡ φ(x)φ(x ′ )

heißt W i c k - K o n t r a k t i o n . Allgemein gilt für zwei Felder (z. B. auch fermionische Φ(x),Φ(x ′ )):

T[Φ(x)Φ(x ′ )] =: Φ(x)Φ(x ′ ) : +Φ(x)Φ(x ′ )

Da die Wick-Kontraktion ein Vakuumerwartungswert ist, verschwindet sie, solange nicht rechts ein

Operator ein Teilchen erzeugt und ein anderer links ein Teilchen vernichtet. Wenn es sich dabei um

dasselbe Teilchen handelt, erhält man gerade i mal den Feynman-Propagator:

φ(x 1 )φ(x 2 ) = i∆ F (x 1 − x 2 )

φ(x 1 )φ † (x 2 ) = φ † (x 2 )φ(x 1 ) = i∆ F (x 1 − x 2 )

ψ α (x 1 )ψ β

(x 2 ) = −ψ β

(x 2 )ψ α (x 1 ) = iS Fαβ

(x 1 − x 2 )

Das Wicksche Theorem kann verallgemeinert werden für eine beliebige Anzahl von Feldern, indem

man sukzessive rechts ein Feld heranmultipliziert und das zeitgeordnete Produkt dann in ein normalgeordnetes

Produkt umschreibt.

Das Ergebnis (via vollständiger Induktion):

T[Φ 1 (x 1 )...Φ n (x n )] =: Φ(x 1 )...Φ n (x n ) :

+ (: Φ 1 Φ 2 Φ 3 ...Φ n : +Permutationen)

+ (: Φ 1 Φ 2 Φ 3 Φ 4 ...Φ n : +Permutationen)

+ ...


Für die S-Matrix-Entwicklung hat man dann

⎨ : Φ 1 Φ 2 ...Φ n−1 Φ n : +Permutationen für gerade n

+

⎩ : Φ 1 Φ 2 ...Φ n−2 Φ n−1 Φ n : +Permutationen für ungerade n

T[ I (x 1 )... I (x n )] = T[: AB ...(x 1 ) : ...AB ...(x n )]

Da (Anti-)Kommutatoren am selben Raumzeitpunkt unendlich sind, müssen sie durch eine infinitesimale

Verschiebung vermieden werden:

Φ + (x r ) → Φ + (x 0 r − ϵ r ,⃗x r )

Φ − (x r ) → Φ − (x 0 r − ϵ r ,⃗x r ),

so daß innerhalb jeder normalgeordneten Gruppe automatisch Zeitordnung gegeben ist. und nach Entwicklung

mithilfe des Wick-Theorems am Ende der Übergang ϵ r → 0 bestritten werden kann.


3.7. FEYNMANREGELN FÜR DIE YUKAWA-WECHSELWIRKUNG 53

3.7 Feynmanregeln für die Yukawa-Wechselwirkung

Um die Herleitung der Feynman-Regeln an einem einfachen Beispiel zu verstehen, 4 betrachten wir

zunächst eine Theorie mit Fermionfeld ψ (Elektron mit Masse m), Skalarfeld φ mit Masse M > 2m,

und Wechselwirkungsterm

Der Zerfall

int = −hψψφ

⇒ I = − : int := h : ψψφ :

φ(k) → e − ( p) + e + ( p)

ist kinematisch erlaubt. Der Term 1. Ordnung in der S-Matrix-Entwicklung ist damit


S (1) = T −i


= −i h


d 4 x I (x)

d 4 x : ψψφ :,

denn es tritt nur eine Zeit auf;


= −i h

d 4 x : (ψ +

+ ψ −

)(ψ + + ψ − )(φ + + φ − ).

Dabei sind

ψ +

Positronvernichter

ψ −

Elektronerzeuger

ψ + Elektronvernichter

ψ − Positronerzeuger

φ + Vernichter

φ −

Erzeuger

Wenn wir jetzt das S-Matrixelement zwischen Anfangszustand |φ〉 und Endzustand 〈e + (p ′ )e − ( p)| betrachten,

kann nur φ + das φ-Teilchen im Anfangszustand annihilieren und ψ −

ψ − den Endzustand

erzeugen, d. h. nur


−i h

d 4 x ψ −

ψ − φ +

trägt zum Matrixelement bei, und das entsprechende Feynmandiagramm ist

4 Es handelt sich bei der Yukawa-Wechselwirkung mit einem Skalarfeld jedoch beileibe nicht um ein rein akademisches Spiel;

es handelt sich um die Wechselwirkung, die wir vom Higgsteilchen erwarten.


54 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

fermionische Linie

e − (⃗p)

φ( ⃗ k)

skalare Linie

Vertex

e + (−⃗p ′ )

Elektronlinien werden immer mit einem Pfeil in Zeitrichtung versehen, Positronlinien mit einem

Pfeil entgegen der Zeitrichtung. Da der Positronenimpuls entgegen der Pfeilrichtung fließt, wird der

Impuls mit einem Minuszeichen versehen. Durch diese Pfeilkonvention ist die Ladungserhaltung dadurch

gesichert, daß die Pfeilrichtung kontinuierlich ist.

Wenn wir Terme höherer Ordnung in der S-Matrix-Entwicklung betrachten, sehen wir, daß S (2)

nicht beiträgt. S (2) enthält sechs Feldoperatoren, und da drei Operatoren notwendig sind, um das Anfangsteilchen

zu vernichten und die Endzustandsteilchen zu erzeugen, und die verbleibenden drei Operatoren

nicht kontrahiert werden können, verschwindet der Beitrag: der Prozeß φ → e + e − kann durch

S (2) nicht verursacht werden. Allgemein verschwindet das Matrixelement für alle geraden Potenzen des

Wechselwirkungsoperators.

In dritter Ordnung haben wir

∫ ∫ ∫

S (3) (−i h)3

= d 4 x 1 d 4 x 2 d 4 x 3 T[: (ψψφ) x1

:: (ψψφ) x2

:: (ψψφ) x3

:].

3!

In der Wick-Entwicklung müssen nun alle möglichen Permutationen der Wechselwirkungsterme aufsummiert

werden. Da die Terme bis auf verschiedene Raumzeitpunkte, über die integriert wird, gleich

sind, ergibt diese Summe einen Faktor n!, der den 1/n!-Vorfaktor in der Definition der S-Matrix weghebt.

Da wir weiter drei Feldoperatoren brauchen, um den Anfangs- und Endzustand zu vernichten bzw.

zu erzeugen, müssen sechs verbleibende Operatoren zu Paaren kontrahiert werden, wobei Kontraktionen

von Feldern verschiedenen Typs (z. B. φ mit ψ) verschwinden.

Die relevanten Beiträge ergeben sich wie folgt:

T[: (ψψφ) x1

:: (ψψφ) x2

:: (ψψφ) x3

:]

=: (ψψφ) x1

:: (ψψφ) x2

:: (ψψφ) x3

:

+ : (ψψφ) x1

:: (ψψφ) x2

:: (ψψφ) x3

:

+ : (ψψφ) x1

:: (ψψφ) x2

:: (ψψφ) x3

:

+ : (ψψφ) x1

:: (ψψφ) x2

:: (ψψφ) x3

:

+ : (ψψφ) x1

:: (ψψφ) x2

:: (ψψφ) x3

:


3.7. FEYNMANREGELN FÜR DIE YUKAWA-WECHSELWIRKUNG 55

Der 1. Term wird ausgeschrieben

− φ(x 2 )φ(x 3 )ψ α

(x 1 )ψ β (x 2 )ψ α (x 1 )ψ γ

(x 3 ) : ψ β

(x 2 )ψ γ (x 3 )φ(x 1 ) :

Die Wick-Kontraktionen sind Propagatoren. Die Fermion-Antikommutatoren liefern ein Minuszeichen.

= φ(x 2 )φ(x 3 )ψ β (x 2 )ψ α

(x 1 )ψ α (x 1 )ψ γ

(x 3 ): ψ β

(x 2 )ψ γ (x 3 )φ(x 1 ) :

} {{ }

Der unterklammerte Ausdruck ist der Beitrag, der den Anfangs- bzw. Endzustand vernichtet bzw.

erzeugt.

e − (⃗p)

φ( ⃗ k)

x 1

x 2

x 3

e + (−⃗p ′ )

Die Kontraktionen/Propagatoren entsprechen den i n n e r e n Linien im Diagramm, die nicht in

Anfangs-/Endzuständen auftauchen.

Der 2. Term:

e − (⃗p)

φ( ⃗ k) x 1 x 2

φ x 3

Der 3. Term:

φ

e + (−⃗p ′ )

φ

x 1

x 2

x 3

e − (⃗p)

e + (−⃗p ′ )

Der 4. Term:


56 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

φ

φ

x 2

x 1

x 3

e + (−⃗p ′ )

e − (⃗p)

Der letzte Term hat die Form

+

Solche Vakuumdiagramme wie das zweite im letzten Term tragen nur einen Phasenfaktor bei und

können ignoriert werden. Um die Matrixelemente nun berechnen zu können, ist eine Änderung der

Normierung der durch Anwendung von Erzeugern auf das Vakuum erzeugten Zustände notwendig.

Die durch

erzeugten Zustände

|p〉 = a † ( p)|0〉 mit 〈p| p ′ 〉 = δ 3 (⃗p − ⃗p ′ )

• haben eine vom Vakuum verschiedene Massendimension:

Vakuum hat Massendimension 0

a † hat Massendimension -3/2


[ ] ∼ E V ∼ E 4 ⎢


⎣ 1 2 (∂ µ φ)(∂ µ φ) − 1 2 }{{}

m2

E 2

φ 2 ⎤



Aus dem letzten Term folgt, daß [φ] = E. Wenn wir das mit der Fourierentwicklung vergleichen,

sehen wir daß

∫ d 3 p

φ ∼ a(p)e −i p x

E

E ∼ E 3


E

[a(p)] ⇒ [a(p)] ∼ E −3/2 .

Ähnlich gilt für Fermionfelder

∫ d 3 p

ψ ∼ f s (⃗p)u s (⃗p)e −i p x + ···

E

E 3/2 ∼ E 3


E

[ f s (⃗p)] E ⇒ [ f s (⃗p)] ∼ E −3/2 .


3.7. FEYNMANREGELN FÜR DIE YUKAWA-WECHSELWIRKUNG 57

• haben eine divergierende Norm für ⃗p = ⃗p ′ .

Die Zustände werden deshalb innerhalb eines endlichen Volumens V definiert, für das am Ende der

Rechnung der Limes V → ∞ angenommen wird.

Die Zustände ohne Massendimension korrekt normiert sind dann

und normiert als

|e + (⃗p, s)〉 =


(2π) 3

|φ(⃗p)〉 =

V

a† (⃗p)|0〉


|e − (2π) 3

(⃗p, s)〉 =

V f † (⃗p)|0〉 s


(2π) 3

V

ˆf †

s (⃗p)|0〉

〈φ(⃗p)|φ(⃗p ′ )〉 = (2π)3

V

[a(⃗p),a† (⃗p ′ )] = (2π)3

V δ3 (⃗p − ⃗p ′ )

〈e − (⃗p, s)|e − (⃗p ′ , s ′ )〉 = (2π)3

V δ s s ′δ3 (⃗p − ⃗p ′ )

〈e + (⃗p, s)|e + (⃗p ′ , s ′ )〉 = (2π)3

V δ s s ′δ3 (⃗p − ⃗p ′ )

Um das Problem mit der divergierenden Norm zu lösen, betrachten wir

und schreiben

〈φ(⃗p)|φ(⃗p)〉 = (2π)3

V δ3 (⃗p = 0) (3.13)



δ 3 1

(⃗p) = lim ⎜

V →∞⎝

(2π) 3

⇒ δ 3 (0) = lim

V →∞

V

(2π) 3

V


d 3 x e −i p x ⎟


Dabei hebt sich das Volumen in der Norm (3.13) weg, bevor der Übergang V → ∞ durchgeführt wird.

Aus der Fourierzerlegung der Felder und den Kommutator- und Antikommutatorrelationen der


58 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

Erzeuger und Vernichter folgt dann die Wirkung der Feldoperatoren auf 1-Teilchen-Zustände


φ + |φ( ⃗ k)〉 =


=

=

ψ + |e − (⃗p, s〉 =

ψ −

|e + (⃗p ′ , s ′ )〉 =

〈φ( ⃗ k)|φ − =

〈e − (⃗p, s)|ψ +

=

〈e + (⃗p ′ , s ′ )|ψ − =


d 3 k

a( ⃗ k)e −i k x (2π) 3

(2π) 3 2E

V a† ( ⃗ k ′ )|0〉

p


d 3 k (2π) 3


(2π) 3 2E

V [a(⃗ k),a † ( ⃗ k ′ )]

} {{ }

p

1


2ωk V e−ikx |0〉

1


2E p V u s (⃗p)e−i p x |0〉

1


2E p V v s ′(⃗p′ )e −i p′x |0〉

1


2ωk V e i k x 〈0|

1


2E p V u s (⃗p′ )e i p x 〈0|

1


2E p V v s ′(⃗p′ )e −i p′x 〈0|

δ 3 ( ⃗ k− ⃗ k ′ )

e −ikx

Damit läßt sich das Matrixelement 1. Ordnung für den φ → e + e − -Zerfall berechnen:

e −

φ

e +


S f i = −i h

d 4 x 〈e − (⃗p ′ )e + (⃗p ′ )|ψ −

ψ − φ + |φ( ⃗ k)〉


= (−i h)u s (⃗p)v s

′(⃗p ′ )

d 4 x e i(p+ p′ −k)x

1


2ωk V

1


2E p V

1


2E p

′V


3.7. FEYNMANREGELN FÜR DIE YUKAWA-WECHSELWIRKUNG 59

Im Limes V → ∞ wird


d 4 x e i( p+ p′ −k)x = (2π) 4 δ 4 (k − p − p ′ )


⇒ S (1) = (−i h)[u

f i

s (⃗p)v s (⃗p ′ )](2π) 4 δ 4 (k − p − p ′ ⎜

) ⎝ 1

2ωk V

1


2E p V

1


2E p

′V




Das Diagramm höherer Ordnung

e − (⃗p)

x 1

x 2

φ( ⃗ k)

ergibt sich auf ähnliche Weise

x 3


S (3) = (−i h) 3 f i

d 4 x 1


e + (−⃗p ′ )

d 4 x 2


d 4 x 3

· i∆ F (x 2 − x 3 )iS Fβα

(x 2 − x 1 )i S Fαγ

(x 1 − x 3 )

· 〈e − (⃗p)e + (⃗p ′ )|ψ β (x − 2 )ψγ − (x 3 )φ + (x 1 )|φ(⃗ k)〉

∫ ∫ ∫

= (−i h) 3 d 4 x 1 d 4 x 2 d 4 x 3

∫ d 4 ∫

q 1 d 4 ∫

q 2 d 4 q 3

·

(2π) 4 (2π) 4 (2π) i∆ 4 F (q 1 )e−iq 1 (x 2 −x 3 )

· iS Fβα

(q 2 )e −iq 2 (x 2 −x 1 )

· iS Fαγ

(q 3 )e −iq 3 (x 1 −x 3 )



· ⎣ e−ikx 1 u β

(⃗p)e i p x 2

s


2ωk V 2E p V


v γ (⃗p ′ )e i p′ x 3

s

′ ⎥

⎦,

2E p

′V

wobei die Ausdrücke in den mittleren drei Zeilen Fouriertransformierte sind. Die Integration über die

x i liefert

x 1 -Integration → (2π) 4 δ(k − q 2 + q 3 )

x 2 -Integration → (2π) 4 δ(q 1 + q 2 − p)

x 3 -Integration → (2π) 4 δ(q 1 − q 3 − p ′ )


60 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

was zusammen k = p − p ′ , also die Viererimpulserhaltung liefert. Die q 2 - und q 3 -Integration liefert


S (3) = (−i h) 3 (2π) 4 δ 4 (k − p − p ′ )

f i

d 4 q

(2π) 4

· i∆ F (q)[u s (⃗p)iS F ( p − q)i S F (p − q − k)v s

′(⃗p ′ )]

·

1


2ωk V

1


2E p V

1


2E p

′V

Die Integration ∫ d 4 q/(2π) 4 ist über den unbekannten Impuls q auszuführen, der in der Schleife (Loop)

herumläuft. Allgemein liefern n Loops n Impulsintegrale. Diagramme ohne Loop heißen Tree Leveloder

Baum-Graphen.

Eine weitere interessante Eigenschaft tritt im Diagramm

φ

e −

e +

auf. Der entsprechende Beitrag in der S-Matrix-Entwicklung war

φ(x 2 )φ(x 3 )ψ α

(x 1 )ψ β (x 2 )ψ α (x 1 )ψ β

(x 2 ) : ψ γ

(x 3 )ψ γ (x 3 )φ(x 1 ) :

φ(x 2 )φ(x 3 )ψ α

(x 1 )ψ β (x 2 )ψ α (x 1 )ψ β

(x 2 ) : ψ γ

(x 3 )ψ γ (x 3 )φ(x 1 ) :

= i S Fβα

(x 2 − x 1 )iS Fαβ

(x 1 − x 2 )

= −Tr[iS F (x 2 − x 1 )iS F (x 1 − x 2 )]

→ Ein F e r m i o n l o o p ergibt ein M i n u s z e i c h e n und eine Spur ü b e r d i e u m -

l a u f e n d e n D i r a c - I n d i c e s .

Wir können jetzt unser S-Matrixelement definieren als


S f i = δ f i +i(2π) 4 δ 4 ⎜


⎝ p i − ∑

}{{}

i f

Endzustand=Anfangszustand



∏ 1 ∏ 1

p f ⎠

2Ei V 2E f V

i

f

f i

}{{}

Feynmanamplitude

Das verbleibende Problem ist die Berechnung der Feynmanamplitude. Diese läßt sich mithilfe der

Feynman-Regeln direkt aus den Feynmandiagrammen konstruieren, ohne jedes mal auf die Wick-

Entwicklung zurückgreifen zu müssen.

Für den Tree Level-Graph


3.7. FEYNMANREGELN FÜR DIE YUKAWA-WECHSELWIRKUNG 61

e − (⃗p ′ )

φ( ⃗ k)

ist die Feynmanamplitude

e + (⃗p)

i (1)

f i

= (−i h)u s (⃗p)v s

′(⃗o)

und für den betrachteten Loop-Graphen

e − (⃗p)

k

φ( ⃗ k)

ergibt sich

x 2

x 1

p − q q

p − q − k

x 3

e + (−⃗p ′ )

i (3′ )

f i

= (−i h) 3 ∫ d 4 q

(2π) 4 i∆ F (q)[u s (⃗p)iS F ( p − q)i S F (p − q − k)v s ′(⃗p′ )]

Daraus kann man die folgenden Feynman-Regeln ablesen:

I n n e r e L i n i e n werden durch Propagatoren beschrieben:

→ p

= i∆ F (p)

p = iS F ( p)


62 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

Ä u ß e r e L i n i e n liefern

= = 1

e − (⃗p, s)

e − (⃗p, s)

e + (−⃗p, s)

e + (−⃗p, s)

= u s (⃗p) auslaufendes Spin-1/2-Teilchen

= u s (⃗p) einlaufendes Spin-1/2-Teilchen

= v s (⃗p) einlaufendes Spin-1/2-Antiteilchen

= v s (⃗p) auslaufendes Spin-1/2-Antiteilchen

V e r t i c e s : Jeder Vertex ergibt einen Faktor (2π) 4 mal der δ-Funktion für die Impulserhaltung

und die Kopplungskonstante.

L o o p s : Jedes Loop-Integral ergibt einen Faktor


d 4 q

(2π) 4 ,

d. h. für v Vertices und n innere Linien ergibt das abzüglich der (2π) 4 , die im Vorfaktor (2π) 4 δ 4 ( ∑ i p i −


f

p f ) versteckt sind, einen numerischen Faktor (2π) −4l mit −l = v − n − 1, wobei das l die Anzahl

der Loops im Diagramm ist. Aus den n Impulsintegralen aus den Fouriertransformierten der Propagatoren

werden mit den v δ-Funktionen aus den Koordinatenintegralen der Vertizes, von denen eine

als Gesamt-Impulserhaltung interpretiert wird, n − v + 1 = l Impulsintegrale. Damit trägt jeder Loop

insgesamt einen Faktor ∫ d 4 q/(2π) 4 bei. Die Spinorindizes werden automatisch korrekt abgearbeitet,

wenn man einer Fermionlinie entgegen dem Pfeil folgt, und den Gesamtausdruck als Matrixmultiplikation

interpretiert. In Fermionloops führt diese Vorschrift zu eine Spur über das Matrixprodukt.

Weiter gibt aufgrund der AVR für Fermionen jeder fermionische Loop einen Faktor (−1), und zwei

Diagramme, die sich nur durch den Austausch zweier identischer Fermionlinien unterscheiden, tragen

mit unterschiedlichem Vorzeichen bei. Der Vertex ergibt sich aus dem Wechselwirkungslagrangian ohne

Feldoperatoren mal i, wobei ein kombinatorischer Faktor n! für n identische Felder hinzukommt.

Beispiele für Vertexfaktoren

int = −hψψφ

⇒ −i h

int = λφ 4

⇒ 4!iλ


3.8. VIRTUELLE TEILCHEN 63

3.8 Virtuelle Teilchen

e 1

e − ( p 1 )

e − (p 2 )

φ(q)

e − (p ′ 2 )

e − (p ′)

1

Für den Viererimpuls q des virtuellen φ gilt

q = p 1 − p ′ 2 .

Viererimpulserhaltung ist i m m e r gegeben!

Aus p 2 1 = p′2 2 = m2 e mit der Elektronenmasse m e folgt

Im Ruhesystem von e 1 ist ⃗p 1 = 0 und es gilt

q 2 = ( p 1 − p ′ 2 )2 = p 2 1 + p′2 2 − 2 p 1 p′ 2

= 2p 2 1 − 2 p 1 p′ 2

q 2 = M 2 φ

= 2p 1 q

= 2p 0 1 q 0 − 0

= 2m e q 0

M 2 φ

= 2p 1 q ≡ M 2 φ

⇒ q 0 = > M φ für M φ > 2m e

2m e

Die Energie m e im Anfangszustand wächst also zu M φ Das verletzt die Energieerhaltung.

Erklärung φ ist virtuell: aufgrund der Kurzlebigkeit und der Unschärferelation müssen Teilchen in

inneren Linien n i c h t die Energie-Impuls-Relation q 2 = M 2 erfüllen. Diese Teilchen heißen virtuell

oder off-shell. Teilchen in äußeren Linien (legs) erfüllen dagegen i m m e r die Relation P µ P µ = m 2

und heißen on-shell oder physikalisch. Nur Diagramme, in denen die inneren Linien virtuelle Teilchen

enthalten, können mithilfe von Propagatoren beschrieben werden. In sog. 1-Teilchen-reduzierbaren Diagrammen,

die durch »Zerschneiden« einer inneren Linie in zwei Diagramme zerfallen, können innere

Teilchen auch physikalisch sein, so daß ein komplizierteres Verfahren erforderlich ist.

Als weiteres Beispiel für die Auswertung von Feynmandiagrammen mithilfe von Feynmanregeln

betrachten wir den Prozeß

e − (p 1 ) + e − (p 2 ) → e − (p ′ 1 ) + e− (p ′ 2 )


64 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

e − (p 1 )

e − ( p 1 )

q = p 1 − p ′ 2

e − ( p ′ 2 )

q = p 1 − p ′ 1

e − ( p ′ 1 )

φ

φ(q)

e − (p 2 )

e − (p 2 )

e − ( p ′)

e − (p ′)

1 2

Diese beiden Diagramme unterscheiden sich nur durch die äußeren Fermionlinien und haben deshalb

ein relatives Minuszeichen 5 .

⎛ ⎞

S f i = (2π) 4 δ 4 ⎜

∑ ⎟

∏ 1 ∏ 1

⎝ p i − p f ⎠ i f i

i,f

} {{ } i 2Ei V f 2E f V



= (2π) 4 δ 4 (p 1 + p 2 − p ′ − 1 p′ ) ⎢

2

⎣ 1 1 1 1 ⎥


2E1 V 2E2 V 2E


V

1 2E


V ⎦

2

[u α (p ′ 2 )uβ (p ′ 1 )i∆ F (p 1 − p′ 2 ) − uα (p ′ 1 )uβ (p ′ 2 )i∆ F (p 1 − p′ 1 )]uα ( p 1 )u β (p 2 )

} {{ }

i f i

p − p ′

p − k

p ′

p ′ p− k

e − (p) p

e − (p ′ )

k

Loop

3.9 Feynmanregeln der QED

Die Feynmanregeln der QED folgen auf analoge Weise aus der Wick-Entwicklung und der nachfolgenden

Diskussion. Zu den Vorschriften für freie Fermionen kommen nun hinzu der Wechselwirkungs-

Hamiltonian

int = −eQψγ µ ψA µ

⇒ I = −e : ψγ µ ψA µ :,

5 wg. des Pauliverbotes


3.9. FEYNMANREGELN DER QED 65

so daß der QED-Vertex

A µ

= −ieQγ µ (» int ohne Felder mal i«).

Eine innere Photonlinie wird durch den Photonpropagator beschrieben

µ ν

k

Externe Photonlinien sind durch

g µν

= i D µν (k) = −i

k 2 + iϵ

A µ ( ⃗ k)

: ϵ µ ( ⃗ k)

A µ ( ⃗ k)

gegeben.

: ϵ ∗ µ (⃗ k)


66 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

e − (p 1 )

e − e +

e −

e − (p ′ 1 )

e +

e − (p 2 )

a)

: ψ +

γ µ ψ + A µ + : : ψ − γ µ ψ + Aµ + :

e − (p 1 )

b)

e − (p ′ 2 )

e − e +

e − (p ′ 2 )

e −

e − ( p 2 )

c)

: ψ +

γ µ ψ − A µ − : d) e − (p ′)

e +

1

− γ µ ψ − Aµ + :

e + (p 1 )

e − (p 1 )

e + (p ′ 2 )

e − (p ′ 2 )

e + ( p 2 )

e − (p 2 )

e)

f) e + (p ′)

1

: ψ +

γ µ ψ + A µ − : : ψ − γ µ ψ + Aµ − :

e − ( p ′ 1 )

g) h)

: ψ +

γ µ ψ − A µ − : : ψ − γ µ ψ − Aµ − :

Tabelle 3.1: Wechselwirkungen der QED


3.9. FEYNMANREGELN DER QED 67

Indem wir ψ, ψ und A µ in Erzeuger- und Vernichteranteile zerlegen, erhalten wir die Wechselwirkungen

in Tabelle 3.1

Es stellt sich heraus, daß k e i n e r dieser Vertizes mit rein physikalischen Teilchen auftritt. Das

ist offensichtlich für Prozeß a) und h).

Aber auch allgemein erfordert die Viererimpulserhaltung in allen Vertizes p ′ = ±p ± k

p ′2 = p 2 + k 2 ± 2 pk

Wenn alle Teilchen on-shell wären, gilt

p 2 = p ′2 = m 2 und k 2 = 0

⇒ p · k = 0,

was lorentzinvariant ist und auch im Ruhesystem gilt:

m

0


k0

⃗ k


= 0 ⇒ k 0 = 0

Mit k 2 = 0 folgt ⃗ k = 0, d. h. das Photon existiert nicht. Also treten virtuelle Teilchen auf und wir brauchen

dafür innere Linien. Daraus folgt, daß QED-Prozesse niedrigster Ordnung i m m e r mindestens

zwei Vertizes haben!

Prozesse niedrigster Ordnung mit innerer Photonlinie

e − (p 1 ) e − ( p ′ 1 )

e − (p 1 ) e − (p ′ 2 )

e − e +

e + e − e − ( p 2 )

e − (p ′ 2 ) e − ( p 2 )

e − (p ′ 1 )

e − e +

e −

e + (p 1 ) e + ( p ′ 2 )

e − (p 1 ) e − (p ′ 2 )

e + ( p 2 )

e − ( p 2 )

e + e + (p ′) 1

Bhabha-Streuung

Møller-Streuung

bzw. mit anderen geladenen Fermionen wie Myonen.

e − (p ′ 1 )


68 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

Prozesse mit internen Fermionlinien

e − + γ → e − + γ

e + + γ → e + + γ

e + + e − → γ + γ

γ + γ → e + + e −

Compton-Streuung

Paar-Annihilation

Paar-Erzeugung

Prozesse mit zwei inneren Linien

Solche Prozesse, in denen weder ein Teilchen zerfällt noch zwei Teilchen wechselwirken, heißen Selbstenergiediagramme.

Die Diagramme sind divergent, zu ihrer Auswertung sind Regularisierung und Renormierung

der Theorie erforderlich (Blockkurs von J. Blümlein).

3.10 Møller-Streuung

Als erstes Beispiel für einen QED-Prozeß betrachten wir die Møller-Streuung

e − (p 1 ) + e − (p 2 ) → e − (p ′ 1 ) + e− (p ′ 2 ).

Die entsprechenden Feynmandiagramme sind

e − (p 1 )

e − (p 1 )

e − (p ′ 1 )

e − (p ′ 2 )

A(k a )

A(k b )

e − ( p 2 )

t-Kanal

e − ( p ′ 2 ) e − ( p 2 )

u-Kanal

e − (p ′ 1 )

1.

i a = [u( p ′ 1 )(ieγ µ )u(p 1 )]i Dµν (k a )[u(p ′ 2 )(i eγ ν )u( p 2 )]

mit k a = p 1 − p ′ 1 = p 2 − p′ 2


3.10. MØLLER-STREUUNG 69

2.

i b = [u(p ′ )(ieγ 1 µ )u(p 2 )]iDµν (k a )[u(p ′ )(ieγ 2 ν )u(p 1 )]

mit k a = p 1 − p ′ = p 2 2 − p′ 1

Die Diagramme gehen mit einem relativen Minuszeichen ein.

Im Photonpropagator behalten wir zuerst noch die Energieabhängigkeit

D µν (k) = − 1


⎣g

k 2 µν − (1 − ξ ) k µ k ⎤

ν


+ iϵ

k 2

ξ fällt dann heraus, da für k a = p 1 − p ′ 1

k µ a [u(p′ 1 )γ µ u(p 1 )] = u( p′ 1 )(p/ 1 − p/′ 1 )u(p 1 )

mit der Diracgleichung (p/ − m)u s (⃗p) = 0 ⇒ p/u s (⃗p) = mu s (⃗p)

= u( p ′ 1 )(m − m)u(p 1 ) = 0.

Die Terme proportional k µ im Diagramm a und a

kµ im Diagramm b tragen nicht bei. Wie erwartet ist

b

die Amplitude unabhängig von der Eichfixierung.

Damit ergibt sich für die gesamte Feynman-Amplitude


= a − b = e 2 ⎣ [u 1 γ µ u 1 ][u′ γ µ u

2 2 ]

− [u′ γ 1 µ u 2 ][u′ γ µ ⎤

u

2 1 ]


(p 1 − p ′ 1 )2 (p 1 − p ′ 2 )2

mit u ′ = 1 u(p′ ) usw. 1

Man erkennt hier, daß wir durch das Minuszeichen eine Antisymmetrie unter Vertauschung der

Teilchen im Endkanal haben. Außerdem gilt, da (p1 − p ′) = ( 2 p′ − p 1 2 ), auch Antisymmetrie unter

Austausch der Teilchen im Eingangskanal (p 1 ↔ p 2 ). Das ist genau das, was das Pauli-Prinzip für

Fermionen fordert.

Um den Wirkungsquerschnitt zu berechnen, muß jetzt (im unpolarisierten Fall) über Spins im

Anfangszustand gemittelt und über Spins im Endzustand summiert werden. D. h. das Quadrat der

Feynman-Amplitude muß ersetzt werden

| | 2 1

→ | | 2 =

(2s a + 1)(2s b + 1)

Spins im Endzustand


Spins im Endzustand

| | 2

Für zwei Elektronen mit s a = s b = 1 gibt es vier mögliche Spinrichtungen.

2

= 1 ⎡

∑ e 2

⎣ T ⎤

11

4

4 (p 1 − p + T 22


1 )4 (p 1 − p − T 12 + T 21

⎦.


2 )4 ( p 1 − p ′ 1 )2 (p 1 − p ′ 2 )2


70 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

3.10.1 Einschub: Spinsummen und Spurtechnologie

Die einzelnen Faktoren in den Ausdrücken T i j sind dabei von der Form


(u ′ γ

s ′ µ u s )(u ′ γ µ u

s ′ s )

} {{ }

s,s ′ →( ) ∗ =( ) †

= ∑ s,s ′ (u s ′

a (⃗p′ )γ µab u s b (⃗p))(u s c (⃗p)γ µ cd u s ′

d (⃗p′ )).

Diese Ausdrücke können mithilfe der folgenden Relationen für die Dirac-Spinoren ausgewertet werden

(Übung):


u s (⃗p)u s (⃗p) = p/ + m,

Damit erhält der obige Ausdruck die Form

Auf diese Weise ergibt sich

s


v s (⃗p)v s (⃗p) = p/ − m.

s

= ( p/ ′ + m) da γ µ ab (p/ + m) b c γ µ cd

= Tr[( p/ ′ + m)γ µ (p/ + m)γ µ ].

T 11 = Tr[( p/ 1 + m)γ µ ( p/ ′ 1 + m)γ µ ]Tr[(p/ 2 + m)γ ν (p/ ′ 2 + m)γ ν ],

T 2 = Tr[( p/ 2 + m)γ µ (p/ 1 + m)γ µ ]Tr[( p/ 1 + m)γ ν (p/ ′ 2 + m)γ ν ],

T 12 = Tr[( p/ 1 + m)γ µ ( p/ 2 + m)γ µ ]Tr[( p/ 2 + m)γ ν (p/ ′ 1 + m)γ ν ],

T 21 = Tr[( p/ 1 + m)γ µ ( p/ 1 + m)γ µ ]Tr[(p/ 2 + m)γ ν (p/ ′ 2 + m)γ ν ].

Die Spuren lassen sich mithilfe von Spurrelationen ausrechnen, wie sie z. B. in den Anhängen von

Lahiri/Pal, Nachtmann oder Peskin/Schröder gegeben sind. Z. B. gilt

Damit und mit der Impulserhaltung

erhält man

Tr[(a/ + m)γ ν (b/ + m)γ µ ] = 4[a µ a ν + bνa µ − g µν (ab − m 2 )].

p 1 + p 2 = p ′ 1 + p′ 2

p 1 p 2 = p ′ 1 p′ 2

p 1 = p ′ 1 + p′ 2 − p 2

p 2 = p ′ 1 + p′ 2 − p 1

T 11 = 32[(p 1 p 2 ) 2 + ( p 1 p ′ 2 )2 + 2m 2 (m 2 − p 1 p ′ 1 )]

T 22 = 32[(p 1 p 2 ) 2 + ( p 1 p ′ 1 )2 + 2m 2 (m 2 − p 1 p ′ 2 )] (Austausch p′ 1 ↔ p′ 2 )


3.10. MØLLER-STREUUNG 71

Für T 12 nutzt man aus, daß die Spur einer ungeraden Anzahl Anzahl von γ-Matrizen verschwindet,

und dann die Kontraktionen

γ λ γ λ = 4,

γ λ γ µ γ λ = −2γ µ ,

γ λ γ µ γ ν γ λ = 4g µν ,

γ λ γ µ γ ν γ ρ γ λ = −2γ ρ γ ν γ µ ,

so daß

T 12 = −32 p 1 p 2 p ′ 2 p′ 1 + 32m2 (p 1 p ′ 2 + p 1 p 2 + p 1 p′ 2 ) − 32m4

und T 12 = T 21 , da dieser Ausdruck wieder antisymmetrisch unter p ′ 1 ↔ p′ 2 ist;

⇒ T 12 + T 21 = 64[−(p 1 p 2 ) 2 + 2m 2 p 1 p 2 ]

Schließlich können wir die Ergebnisse in die Form für 2 → 2-Streuung einsetzen, wobei im Schwerpunktsystem

|⃗p c | = |⃗p d |


| | 2 = e2

T 11

4 ⎢


(p 1 − p ′ 1

} {{ )4

}

⇒ dσ

dΩ = 1

|

64π 2 |2

s

t 2 +


T 22 T 12 + T 21


(p 1 − p ′ 2

} {{ )4 (p 1 − p ′ 1

}

)2 (p 1 − p ′ 2

} {{ )2 ⎥

} ⎦

u 2

t u

Weiter gilt

s = ( p 1 + p 2 ) 2 = p 2 1 + p2 2 + 2p 1 p 2 = 2m2 + 2 p 1 p 2

= ( p ′ + 1 p′ m→0

)2 −→ 2 p ′ 2 1 p′ m→0

−→ 2 p

2 1 p 2


72 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

und analog

t = ( p 1 − p ′ 1 )2 = ( p 2 − p ′ m→0

)2 −→ −2 p

2 1 p ′ = −2p 1 2 p′ 2

u = ( p 1 − p ′ 2 )2 = ( p 2 − p ′ m→0

)2 −→ −2 p

1 1 p ′ = −2 p 2 2 p′ 1

s

2


⇒ T 11 = 32

4 + u2

4

T 22 = 32

T 12 + T 21 = 64 s 2

s

2

4

4 + t 2

4

⇒ dσ

dΩ = 1 e 2

2π 2 s 4

= e4

32π 2 s


⎡ s 2

⎢ 4 + u2 s 2

4 4

⎣ +

+

t 2

4

+

t 2 u 2


s 2 + t 2

⎢ + s 2 + u 2 2s 2

+

⎣} u

{{ 2

} } {{

t 2

}

u-Kanal t-Kanal


2 ⎥


t u




s 2

t u

}{{}

Interferenzterm

Alternativ können wir die Produkte von Viererimpulsen als Funktion des Streuwinkels Θ = ∠(p ′ 1 , p 2 )

ausdrücken:

gilt im Schwerpunktsystem

Mit p 1 = (E 1 ,⃗p) p ′ 1 = (E ′ 1 ,⃗p′ )

p 2 = (E 2 ,−⃗p) p ′ 2 = (E ′ 2 , ⃗− p ′ )

E 1 = E 2 = E ′ 1 = E ′ 2 = E,

|⃗p| = |⃗p ′ |,

da m 1 = m 2 = m 3 = m 4 ;

⇒ p 1 p 2 = E 2 + ⃗p 2 ,

p 1 p ′ 1 = E 2 − ⃗p 2 cosΘ,

p 1 p ′ 2 = E 2 + ⃗p 2 cosΘ,

so daß man im ultra-relativistischen Limes E ≫ m auf

mit α = e 2 /4π kommt.


dΩ = α2

4E 2

1

sin 4 Θ 2

+ 1

cos 4 Θ 2

+ 1


3.11. BHABHA-STREUUNG 73

Interessant ist, daß der dimensionslos gemachte Wirkungsquerschnitt s dσ

dΩ mit s = 4E 2 nicht mehr

von der Schwerpunktsenergie s abhängt. Dieses Skalenverhalten kann als Indiz für die punktförmige

Natur des Elektrons gewertet werden, da man bei einer Ausdehnung der Größe r eine nichttriviale

Funktion von s r 2 erwartet.

3.11 Bhabha-Streuung

e − (p 1 )

e − ( p 1 ) + e + (− p 2 ) → e − (p ′ 1 ) + e+ (−p ′ 2 )

e − (p ′ 1 )

e − (p 1 )

e − (p ′ 1 )

A(k a )

e + (− p ′ 2 )

A(k b )

e + (−p 2 )

e + (− p ′ 2 )

a) e + (− p 2 ) b)

t-Kanal

s-Kanal

k a = p 1 − p ′ = p 1 2 − p′ = t k

2 b = p 1 + p 2 = p ′ + 1 p′ = s

2

i a = [u(p ′ 1 )(ieγ µ )u( p 1 )]iDµν (k a )[v(p 2 )(ieγ ν )v(p ′ 2 )]

i b = [v(p 2 )(ieγ µ )u(p 1 )]i D µν (k b )[u(p ′ 1 )(i eγ ν )v(p′ 2 )]

Da Diagramm b) aus Diagramm a) hervorgeht, wenn man e + (− p 2 ) in a) mit e − (p ′ ) vertauscht, hat man

1

wieder Fermionaustausch und die AVR ergeben ein relatives Minuszeichen:

= a − b



= e 2 ⎩

[u ′ 1 γ µ v 1 ][u′ 2 γ µ u 2 ]

(p 1 − p ′ 1 )2 − [u′ 1 γ µ u 2 ][u′ 2 γ µ u 1 ]



(p 1 − p ′ 2 )2 ⎭

Die Spinmittelung und Summation ergibt



| | 2 | = e4 T11

4 (p 1 − p + T 22


1 )4 ( p 1 − p − T 12 + T 21


2 )4 (p 1 − p ′ 1 )2 (p 1 − p ′ 2


)2 ⎧


= e4 ∑

⎨[u ′


γ 1 µ u 1 ][u′ γ µ u

2 2 ]

− [u′ γ 1 µ u 2 ][u′ γ µ u

2 1 ] ⎬

4 ⎣⎩

(p 1 − p ′ 1 )2 (p 1 − p ′ 2 )2 ⎭

×

Spins

[u1 γ ν u ′][u 1 2 γ ν u ′]

2

− [u 2 γ ν u′ ][u 1 1 γ ν u ′]


2


( p 1 − p ′ 1 )2 (p 1 − p ′ 2 )2


74 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

mit ∑ s u s (⃗p)u s (⃗p) = p/ + m

⇒ T 11 = Tr[( p/ 1 + m)γ ν ( p/ ′ 1 + m)γ µ ]Tr[(p/ 2 + m)γ ν (p/ ′ 2 + m)γ µ ]

T 22 = ...

T 12 = ...

Die Auswertung der T i j als Spuren ergibt dann

T 11 = 32[( p 1 p 2 ) 2 + ( p 1 p ′ 2 )2 + 2m 2 (m 2 − p 1 p ′ 1 )],

T 22 = 32[( p 1 p ′ 1 )2 + ( p 1 p ′ 2 )2 + 2m 2 (m 2 − p 1 p 2 )],

T 12 = T 21 = −32(p 1 p ′ 1 )2 − 32m 2 [ p 1 p ′ 2 + p 1 p 2 − p 1 p′ 1 ] − 32m4 .

Wieder ergibt sich T 22 aus T 11 durch p ′ ↔ − p 1 2 und T 12 = T 21 wegen der Invarianz von T 12 unter

p ′ ↔ −p 1 2 . In diesen Relationen manifestiert sich die Crossing-Symmetrie.

In der Tat kann man das Ergebnis


dΩ =


e4

u 2 + t 2

32π 2 ⎢

s ⎣} {{

s 2

}

s-Kanal

+ 2u2

t 2

}{{}

Interferenz


+ s 2 + u 2

} {{

t 2 ⎥

} ⎦

t-Kanal

direkt mittels Crossing-Symmetrie durch Vertauschung von u- und s-Kanal aus dem Wirkungsquerschnitt

der Møller-Streuung erhalten.

3.12 e − e + → µ − µ +

Für die Reaktion e − e + → µ − µ + ist in der QED nur der s-Kanal möglich, da die Wechselwirkung den

Teilchencharakter nicht ändert. Der Wirkungsquerschnitt ist dann einfach


dΩ =

e4 u 2 + t 2

.

32π 2 s s 2

Für hohe Energien trägt die Myon-Paarerzeugung zum totalen Wirkungsquerschnitt der e + e − -Streuung

bei. Der Anstieg des totalen Wirkungsquerschnitts jenseits der Produktionsschwelle s > 4m 2 µ

ist deshalb

ein Werkzeug zur Suche nach neuen Teilchen.


3.13. REGULARISIERUNG UND RENORMIERUNG 75

3.13 Regularisierung und Renormierung

Wir betrachten den Prozeß e − (p 1 ) + µ − (p 2 ) → e − (p 3 ) + µ − ( p 4 ) mit dem Feynmangraphen

µ − (p 2 )

µ − ( p 4 )

↑ q = p 1 − p 3

e − (p 1 )

e − (p 3 )

und der Amplitude

= −e 2 [u( p 3 )γ µ u(p 1 )] g µν

q 2 [u(p 4 )γ ν u( p 2 )].

Dazu können wir als Korrekturterm µ − (p 4 ) den folgenden Graphen mit Vakuumpolarisation finden.

µ − ( p 2 )

q − k

↑ q

k

↑ q

e − ( p 3 )

e − (p 1 )

Effektiv erhalten wir daraus eine Modifikation der Elektronladung.

↑ q

↑ q

e − ( p 3 )

e − (p 3 )

e − (p 1 )


e − (p 1 )

= +


76 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK

Die Amplitude für die Vakuumpolarisation ist

⎡∫

= −ie4

[u( p

q 4 3 )γ µ u(p 1 )] × ⎣


d 4 k Tr[γ µ (k/ + m)γ ν (k/ − q + m)]


(2π) 4 (k 2 − m 2 )((k − q) 2 − m) 2

× [u( p 4 )γ ν u(p 2 )]

Die Berücksichtigung der Vakuumpolarisation im ersten Diagramm führt zu

g µν

q → g µν

2 q − i

2 q I 4 µν

∫ d 4

mit I µν = −e 2 k Tr[γ µ (k/ + m)γ ν (k/ − q + m)] −→

k → ∞ ∞

(2π) 4 (k 2 − m 2 )((k − q) 2 − m) 2

≡ −i g µν q 2 I (q 2 ) + q µ q ν J (q 2 )

Der zweite Term trägt nicht bei, da q µ mit γ µ kontrahiert, und

[u(p 3 )q/u(p 1 )] = u(p 3 )(p/ 1 − p/ 3 )u(p 1 ) = u(p 3 )(m − m)u(p 1 ) = 0

Die Funktion I (q 2 ) ist hierbei definiert durch


⎪⎨

∞∫

I (q 2 ) =

e2

d z

12π 2 z

⎪⎩ m

} 2

{{ }

mitf (x) ≈

logarithmische Divergenz


x

5

für x ≪ 1

ln x für x ≫ 1 .

Wir führen einen Cutoff M ein (mit »∞ → M «)

Man bezeichnet dies als Regularisierung.

Damit erhalten wir für die Amplitude

mit p/ 1 u(p 1 ) = mu( p 1 ), u(p 3 )p/ 3 = u( p 3 )m.

∫M 2

m 2

= −e 2 [u( p 3 )γ µ u(p 1 )] f µν

1 − e2

12π 2

ln

∫ 1

⎪⎬

−6 z(1 − z)ln

1 − q2

m z(1 − z) d z

2

0

} {{ }

⎪⎭

endlicher Anteil → f (−q 2 /m 2 )

d z

z = ln M

2

m 2

.

q 2

M

2

m 2

− f

q

2

m 2

× [u(p 4 )γ ν u(p 2 )]


3.13. REGULARISIERUNG UND RENORMIERUNG 77

Renormierung:

absorbiere divergenten Term durch Redefinition in e


e → e R = e


e 2 M

2

1 −

12π ln 2 m 2

Damit ergibt sich für die Amplitude

= −e 2 [u(p R 3 )γ µ u(p 1 )] g

µν

1 + e2 R −q

2


q 2 12π f [u(p 2 m 2 4 )γ ν u( p2)]

Argument: Was wirklich im Experiment gemessen wird, ist n i e die nackte tree-level-Ladung e,

sondern enthält i m m e r Beiträge durch Vakuumpolarisation. ⇒ Die renormierte Ladung e R i s t

die wirkliche Ladung.

Der endliche Anteil ∼ f (−q 2 /m 2 ) ist abhängig von q und kann ebenfalls in die Ladung absorbiert

werden:


e → e R (q 2 ) = e R (0)


e R (0) 2

1 +

12π f − q2

.

2 m 2

Man bezeichnet dies als l a u f e n d e K o p p l u n g e n . Diese Abhängigkeit vom Impulsübertrag

hat ihren Grund darin, daß Vakuumpolarisationen die Ladung abschirmen; e R (q 2 ) wächst also langsam

mit −q, wenn man die Ladungswolke durchdringt.


78 KAPITEL 3. QUANTENELEKTRODYNAMIK


Kapitel 4

Starke Wechselwirkung und QCD

4.1 Hadronische Reaktionen und Partonmodell

Die ersten Hinweise auf punktförmige Konstituenten im Nukleon stammen aus Experimenten zur tiefinelastischen

Elektron-Nukleon-Streuung am Stanford Linear Accelerator Center (SLAC). Diese Konstituenten

wurden Partonen genannt, und ihre Existenz wurde später in Myon- und Neutrinostreuung

sowie e + e − -Vernichtung in Hadronen und Lepton-Paar-Erzeugung in Hadron-Hadron-Kollisionen bestätigt.

Die Eigenschaften der Partonen legten nahe, daß diese mit den hypothetischen Quarks, die

Anfang der 60er Jahre von Gell-Mann und Zweig zur Klassifikation der beobachteten Baryonen und

Mesonen eingeführt wurde, identisch sind. Ein theoretisches Problem ist dabei die Annahme, daß sich

die Partonen im Nukleon wie freie, unabhängige Teilchen verhalten, an denen die Streuung des Leptons

inkohärent erfolgt. Dieses Vorgehen wurde erst durch die asymptotische Freiheit (verschwindende

Quark-Gluon-Kopplung bei hohen Energien) im Rahmen der QCD erklärt.

4.1.1 Nukleon-Formfaktoren

Bei der Elektron-Streuung an einem ortsfesten Potential

ergibt sich die Feynmanamplitude

A 0 = Ze

4πr , ⃗ A = 0


= ie 2 Z u f γ 0 u i d 3 x exp(−i⃗q⃗x)

.

4π|⃗x|

} {{ }

1/|⃗q| 2

79


80 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

Ze

1

q 2

e −

Im Falle einer ausgedehnten Ladungsverteilung wird Ze → Zeρ(x) und

Damit wird die Amplitude zu

e −

∫ ρ(⃗x ′

A 0 )d 3 x ′

(⃗x) = eZ

4π|⃗x − ⃗x ′ |


= iZe 2 u f γ 0 u i ρ(⃗x ′ ) exp(−i⃗q⃗x)

4π|⃗x − ⃗x ′ | d 3 x ′ d 3 x


∫ exp(−⃗q(⃗x − ⃗x ′

= iZe 2 u f γ 0 u i ρ(⃗x ′ )exp(−i⃗q⃗x ′ ))

)

d 3 (⃗x − ⃗x ′ )

4π|⃗x − ⃗x

} {{ }

′ |

} {{ }

Formfaktor F (q)

1/|⃗q| 2

Das Auftreten eines Formfaktors F (q) ≠ 1 weist damit auf eine Ausdehnung des Streutargets hin. Der

Wirkungsquerschnitt eines Elektrons an einem ausgedehnten Streutarget ist


dσ dσ

dΩ = |F (⃗q)| 2 .


Punkt-Target

Um den Formfaktor eines Protons zu bestimmen und dabei auch das anomale magnetische Moment

zu berücksichtigen, betrachten wir zunächst den Strom eines punktförmigen Dirac-Protons

J µ (x) = e u f γ µ u i exp(i( p f − p i )x)

und nutzen die Gordon-Zerlegung (Beweis: Übung)

e(p f + p i ) µ

e

e u f γ µ u i = u f u i + u f

}

2M

{{ }

2M iσ µν qν u i

} {{ }

Bahnstrom-Anteil normales magnetisches Moment

mit σ µν = i 2 [γ µ ,γ ν ] und q = p f − p i . Das Matrixelement für den Übergang eines Protons ψ i → ψ f

unter Einwirkung des elektromagnetischen Felds ist


∼ d 4 x J µ (x)A µ (x).


4.1. HADRONISCHE REAKTIONEN UND PARTONMODELL 81

Mit iq ν exp(iqx) = ∂ ν exp(iqx) folgt aus dem zweiten Term der Gordon-Zerlegung durch partielle

Integration



d 4 x u f iσ µν q ν u i exp(iqx)A µ (x) = −

d 4 x u f σ µν u i exp(i q x)(∂ ν A µ ) + totale Divergenz

gemäß ∫ f ′ g = ∫ f g ′ + ∫ ∂ ( f g) mit f ′ = iq ν exp(i q x) und g entsprechend.

Betrachte nun µ = 1,ν = 2 und µ = 2,ν = 1


σ3 0

⇒ σ 12 = −σ 21 =

0 σ 3

⇒ σ 12 ∂ 1 A 1 + σ 21 ∂ 1 A 2 = σ 12 (∂ x A y − ∂ y A x ) = σ 12 (∇ × ⃗ A) z = σ 12 B z .

Mit dem Vorfaktor e/2M und dem Minuszeichen vor dem Integral ergibt sich

Wenn wir dies mit der Pauligleichung vergleichen

− e

2M σ z B z bzw. −

e

2M ⃗σ⃗ B.

i ħh ∂ φ 1

∂ t = Hφ = 2m (−i ħh∇ + e A) ⃗ 2 + e ħh

2m ⃗σ⃗ B + eΦ φ,

stellen wir fest, daß der Term −e/2M ·⃗σ ⃗ B die potentielle Energie des normalen magnetischen moments

im Magnetfeld beschreibt.

Das gesamte magnetische Moment des Protons ist jedoch gegeben durch

µ p = 2,79 e

e

= (1 + α)

2M 2M ,

wobei α den anomalen Anteil beschreibt.

Um auch diesen anomalen Anteil zu berücksichtigen, addiert man zum Strom des Dirac-Protons

den Anteil

e

u f αiσ µν u i

2M .

Da schließlich sowohl Ladung als auch anomales magnetisches Moment räumlich verteilt sind, gibt es

zwei Formfaktoren und der Strom des realen Protons ist


J µ = e u f γ µ F 1 (q 2 ) + iα


2M F 2 (q2 )σ µν q ν u i exp(iqx).

Für elementare Spin- 1 /2-Teilchen wie Elektronen und Myonen gilt in niedrigster Ordnung QED F 1 (q 2 ) =

1, F 2 (q 2 ) = 0. Anomale magnetische Momente entstehen durch Strahlungskorrekturen, also Loop-


82 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

Diagramme wie

e

e

In der Elektron-Nukleon-Streuung nutzt man üblicherweise die Formfaktoren

G E (q 2 ) = F 1 (q 2 ) − ταF 2 (q 2 ),

G M (q 2 ) = F 1 (q 2 ) + κF 2 (q 2 )

mit τ =

q2

4M 2 .

Der differentielle Wirkungsquerschnitt für elastische Elektron-Nukleon-Streuung (Rosenbluth-Formel)

ist dann



dσ G

2

dΩ (eN → eN) = ·

+ E τG2 M

+ 2τG 2 θ

M


Mott

1 + τ

tan2 .

2

Für das Proton erhält man

für das Neutron

G E (0) = 1 G M (0) = 2,79,

G E (0) = 0

G M (0) = −1,91.

Experimentell ermittelt man Formfaktoren, indem man bei festem q den Wirkungsquerschnitt gegen

tan 2 (θ/2) aufträgt; die Steigung ist dann proportional zu G 2 M , der Achsenabschnitt liefert G2 E .

q 2 -Abhängigkeit: Vergleich mit exponentiell abfallender Ladungsverteilung

Aus der Normierungsbedingung

ρ(r ) = ρ 0 exp(−αr )


∫ ∞

d 3 r ρ(r ) = 4πρ 0 exp(−αr )r 2 d r = 1

0


4.2. INELASTISCHE ELEKTRON-NUKLEON-STREUUNG 83

erhält man

ρ 0 = α3

8π .

Damit folgt für den Formfaktor als Fouriertransformierte der Ladungsverteilung


F (⃗q 2 ) = ρ(x ′ )exp(−i⃗q⃗x ′ )d 3 x ′ 1

= 2

. 1 + ⃗q2

α 2

Innerhalb der Meßgenauigkeit lassen sich die Nukleonen-Formfaktoren schreiben als

G p E (q2 ) = G p M (q2 )

2,79

G n E (q2 ) ≈ 0.

= G p (q2) M

−1,91 = 1


1 +

q 2

(0,71GeV 2 )

Für kleines q 2 wir wenig Energie auf das Nukleon übertragen und q ≈ (0, ⃗q), so daß die Nukleonen

durch eine exponentiell fallende Dichteverteilung beschrieben werden können:

ρ(r ) = ρ 0 exp(−αr ) α 2 = 0,71GeV 2

2

mit mittlerem Radius


∞∫

〈r 2 〉 = √

√4π

0

d r r 4 ρ(r ) =


12 (ħhc)2

α 2

= 0,81fm.

Die Dichteverteilung ähnelt der des Wasserstoffatoms auf einer 100000fach verkleinerten Skala.

4.2 Inelastische Elektron-Nukleon-Streuung

Während elastische Elektron-Nukleon-Streuung Aufschluß gibt über die räumliche Ladungsverteilung

im Nukleon, ist inelastische Streuung notwendig, um zu entscheiden, ob das Nukleon aus kleineren

Bausteinen (Konstituenten) aufgebaut ist. Typischerweise zeigt die Zählrate der gestreuten Elektronen

an einem zusammengesetzten Objekt als Funktion der Energie die folgenden Strukturen (vgl. Abb. 4.1

• ein scharfer Peak bei der Gesamtenergie (→ elastische Streuung)

• möglicherweise weitere Peaks unterhalb der Gesamtenergie (angeregte Zustände)

• ein Kontinuum/breites Maximum bei niedrigen Energien aus der Streuung an kleineren Konstituenten

innerhalb des Streutargets.

Dabei entsteht das Kontinuum aus dem ausgeschmierten Maximum infolge der Fermi-Bewegung der

Konstituenten-Targets.

Messungen an 12 C-Atomen (Hüllenelektronen), Heliumkernen (Kontinuum = Protonen im Kern)

und Protonen (Kontinuum = Partonen/Quarks) zeigen dabei eine ähnliche Struktur.


84 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

Abbildung 4.1: Schematische Zählrate bei der Elektron-Nukleon-Streuung


4.3. INNERE SYMMETRIEN UND QUARKS 85

4.3 Innere Symmetrien der starken Wechselwirkung und das Quarkmodell

Während Elektron-Nukleon-Streureaktionen der QED auf ausgedehnte Nukleonen hinwiesen, die aus

Konstituenten (Partonen) aufgebaut sind, hatten Gell-Mann und Zweig davon unabhängig ein Modell

aufgestellt, in dem die Eigenschaften der beobachteten Baryonen und Mesonen mit Hilfe ihrer Konstituenten,

der Quarks, erklärt werden können.

Dabei sind

• Mesonen: qq-Zustände und

• Baryonen: qqq-Zustände.

Ausgangspunkt war die Beobachtung von Heisenberg (1932), daß

• die Kernkräfte nicht zwischen Protonen und Neutronen unterscheiden und

• die Massendifferenz sehr klein ist.

Proton und Neutron kann man deshalb als zwei Zustände eines I s o s p i n d u b l e t t s auffassen in

Analogie zu den zwei Spinzuständen eines Elektrons. Die Proton- und Neutronwellenfunktion kann

dann als das Produkt

ψ p,n = ψ N

χ p,n

}{{}

Isospinor

mit der Nukleonwellenfunktion ψ N , die die Orts-, Spin- und Zeitabhängigkeit enthält, zusammengefaßt

werden, mit dem Isospinor


1

χ ⎪⎨ p =

0

χ p,n = .

0 ⎪⎩ χ n =

1

Eine Isospintransformation wird durch die 2 × 2-Matrix U vermittelt

Aus der Erhaltung der Norm folgt

χ ′ = U χ .

〈χ ′ |χ ′ 〉 = 〈χ |χ 〉


⇒ U U † = U † 1 0

U = 1 = .

0 1

U ist also eine u n i t ä r e Matrix, womit sich für die Determinante det U = 1 ergibt (bis auf einen

Phasenfaktor). Die unitären Matrizen mit det U = 1 bilden die adjungierte Darstellung (Generatoren)

der SU (2).


86 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

Wenn wir die infinitesimalen Transformationen

U = 1 + iξ

mit den Generatoren ξ betrachten, folgt aus U U † = 1, daß ξ = ξ † , also die Hermitezität von ξ . Aus

det U = 1 folgt, daß die Spur verschwindet, Trξ = 0.

Es lassen sich genau drei linear unabhängige hermitesche 2 × 2-Matrizen finden, wobei die Pauli-

Matrizen

τ 1 =

0 1 0


1 0 2 =

eine mögliche Wahl darstellen. Damit ergibt sich

und für endliche Transformationen

−i

i 0

ξ = 1 2 (ϵ 1 τ 1 + ϵ 2 τ 2 + ϵ 3 τ 3 ),

U = lim

n→∞

1 + i 2

U = 1 + i 2 ⃗ϵ⃗τ

1 0

,τ 3 =

0 −1


⃗τ⃗α n i

= exp

n

2 ⃗τ⃗α .

Die Transformation ψ ′ = ψexp( i ⃗τ⃗α) ist eine Verallgemeinerung der globalen U (1)-Symmetrie der

2

Elektrodynamik, wobei

• SU (2)-Transformationen nicht miteinander vertauschen, sie sind nicht-abelsch;

• es gibt 3 Winkel α j , die die Transformation parametrisieren.

4.4 Einschub: Gruppentheorie der SU (n)

Eine G r u p p e ist eine Menge G von Elementen mit einer Verknüpfung ◦, so daß Abgeschlossenheit

und Assoziativität

g 1 ∈ G, g 2 ∈ G ⇒ g 3 = g 1 ◦ g 2 ∈ G

g 1 ◦ (g 2 ◦ g 3 ) = (g 1 ◦ g 2 ) ◦ g 3

gilt, ein Einselement

∃ : e ∈ G : g ◦ e = e ◦ g = g

und ein inverses Element

∀g ∈ G∃g −1 ∈ G : g −1 ◦ g = g ◦ g −1 = e


4.4. EINSCHUB: GRUPPENTHEORIE DER SU (N) 87

existiert.

In der Quantenmechanik nennt man ein System symmetrisch/invariant unter einer Symmetriegruppe,

wenn mit

ψ : i ħh ∂ ψ

∂ t = Hψ

auch der durch Symmetrieoperation transformierte Zustand ψ ′ = U ψ dieselbe Schrödingergleichung

mit demselben H erfüllt

aber auch

⇒ i ħh ∂ ψ′

∂ t

= Hψ ′ , (4.1)

ψ

{}}{


i ħh ∂ U ψ

= U H U −1

∂ t } {{ }

U ψ

}{{}

H ′ ψ ′

⇒ i ħh ∂ ψ′

∂ t

= U H U −1 ψ ′ .

Ein Vergleich mit (4.1) liefert H = U H U −1 , also muß U mit dem Hamiltonoperator kommutieren

[U, H] = 0. (4.2)

Die SU (n) ist die Gruppe der unitären n × n-Matrizen U mit det U = 1.

Eine D a r s t e l l u n g ist eine Abbildung G → D, so daß

g 1 ◦ g 2 = g 3 ⇒ D(g 1 ) → D(g 2 ) = D(g 3 )

Es gibt Darstellungen verschiedener Dimension. Eine n-dimensionale Darstellung (n × n-Matrizen)

heißt F u n d a m e n t a l d a r s t e l l u n g .

Transformationene lassen sich nach den n 2 − 1 Generatoren entwickeln, die sich nach der n 2 −

1-dimensionalen Darstellung transformieren. Für die SU (n) als halb-einfache Lie-Gruppe existieren

n − 1 Casimiroperatoren, die untereinander und mit allen Gruppenoperatoren und insbesondere mit

dem Hamiltonoperator kommutieren, und deren Eigenwerte als gute Quantenzahlen die irreduziblen

Darstellungen/Multipletts der Gruppe charakterisieren.

Beispiel: SU (2) und die Kopplung zweier Spins

• Ordnung: n 2 − 1 = 2 2 − 1 = 3 ⇒ 3 Generatoren S x , S y , S z .

• Rang: n − 1 = 1 ⇒ Casimiroperator ⃗ S 2 : [H, ⃗ S 2 ] = 0, Eigenwerte S(S + 1)ħh.

• Kopplung zweier halbzahliger Spins s 1 = 1 /2, s 2 = 1 /2

• Dimension des Zustandsraums: 4


88 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

• Bestimmung der Zustände mit definiertem Gesamtspin:

⇒ es existieren zwei Multipletts

S = s 1 + s 2 , s 1 + s 2 − 1,...|s 1 − s 2 | = 1,0

– Multiplett mit S = 1: ⇒ S z = S, S − 1,··· − S = 1,0,−1 Triplett, Dimension 3. Die Zustände

können explizit konstruiert werden, indem man Leiteroperatoren S − mit S − |S, M〉 =

ħh S(S + 1) − S(S − 1)|S, M − 1〉 auf | ↑↑〉 = | ↑〉 + | ↑〉 wirken läßt und unbekannte Konstanten

durch die Forderung nach Orthonormalität festlegt.

– Multiplett mit S = 0: ⇒ S z = 0 Singulett, Dimension 0. Bezüglich der SU (2)-Symmetrie

können wir schreiben

2 ⊗ 2 = 1 ⊕ 3.

• Young-Tableaux liefern einfache Methode zur Zerlegung von Produkten von SU (n)-Darstellungen

in Summen irreduzibler Darstellungen. Man erhält Dimension und Symmetrieeigenschaften,

aber nicht die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

– jedes Kästchen entspricht einem Teilchen

– in das Kästchen geschriebene Zahlen ˆ= Zustand des Teilchens

– die Zahlen dürfen von links nach rechts nicht abnehmen und müssen von oben nach unten

zunehmen (keine Mehrfachnennung wg. Asymmetrie)

– die möglichen Zahlen in der SU (n) sind 1,..., n

– die Anzahl der Möglichkeiten Zustände auf Teilchen zu verteilen entspricht der Darstellung

≡ Entartung des Multipletts

– Produkte von Darstellungen entsprechen aus Einteilchensystemen aufgebauten Vielteilchensystemen

(z. B. Addition von Drehimpulsen).

SU (2): In der SU (2) ist ein einzelnes Elektron ein Dublett unter der SU (2)-Spingruppe, d. h. es transformiert

sich unter der fundamentalen Darstellung und höhere Spinzustände können durch Kopplung

mehrerer Elektronen erzeugt werden.

Die zwei Spinzustände lassen sich als

2 = {|+〉 ≡ 1 ,|−〉 = 2 }

Die symmetrischen Zwei-Teilchenzustände (das Triplett) sind dann

3 = {| + +〉 = 1 1 ,| − −〉 = 2 2 ,

1


2

[| + −〉 + | − +〉] = 1 2 }


4.4. EINSCHUB: GRUPPENTHEORIE DER SU (N) 89

Der antisymmetrische Zustand (das Singulett) ist


⎨ 1

1 =


[| + −〉 − | − +〉] =

2


1


2


Die Zerlegung des Tensorprodukts ergibt sich als

2 ⊗ 2 = 1 ⊕ 3

⊗ = ⊕ .

Im Allgemeinen werden n-Teilchensysteme durch n Kästchen beschrieben. Diese Zustände können

gemischte Symmetrie und damit Teilen mit Länge entsprechend der Anzahl der symmetrisch vertauschenden

und Spalten mit Länge entsprechend der antisymmetrisch vertauschenden Teilchen haben.

Das Singulett ist immer ein vollständig antisymmetrischer Zustand: Spalte der Länge n. Solche

Spalten tragen zur Dimension der Darstellung nichts bei und können bei der Dimensionsbestimmung

weggelassen werden, die Kästchenanzahl ist dann allerdings ≠ Teilchenzahl.

Verallgemeinerung auf SU (n) Quarks mit 3 möglichen Flavourfreiheitsgraden u , d , s oder

auch 3 möglichen Farbfreiheitsgraden r , b , g werden als Triplett (Fundamentaldarstellung) der

SU (3) beschrieben. Jetzt kann jedes Kästchen (Teilchen) mit drei Zuständen {1,2,3} belegt werden.

Ein analoges Beispiel zur 2-Spin- 1 /2-Kopplung ist die Zerlegung des Tensorprodukts zweier Quarks:

⊗ = ⊕

3 ⊗ 3 = 3 ⊕ 6

4.4.1 SU (n − k)-Untergruppen der SU (n)

Eine U n t e r g r u p p e ist eine Menge von Elementen ∈ G, die unter Gruppenverknüpfung auf sich

selbst abgebildet wird, das Einselement und inverse Elemente enthält.

⇒ Ein SU (n)-Multiplett enthält mehrere Multipletts der Untergruppen SU (n − k), z. B. enthalten

die SU (3)-Flavour-Multipletts Multipletts der SU (2)-Isospin-Untergruppe.

Deren Dimension ergibt wie folgt: In den SU (n − k)-Untergruppen macht die Belegung eines Teilchens

mit Zustandszahlen > n−k keinen Sinn. Die entsprechenden Kästchen können dann weggelassen

werden und die Rest-Young-Tableaux bestimmen die Dimension der Multipletts.


90 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

Beispiel: Oktett der SU (3) bzgl. SU (2)-Untergruppe

→ Belegung mit «3» macht keinen Sinn → weglassen

1 1

2

SU (3)SU (2) SU (3)SU (2)

1 2

2 = Dublett

1 ✁3

2 = 1 Singulett

1 ✁3

✁3

2 ✁3

✁3 = Dublett

1 1

✁3

1 2

✁3

2 2

✁3 = Triplett

SU (3) → SU (2) : 8 → 1 ⊕ 2 ⊕ 2 ⊕ 3

4.4.2 Regeln zur Bestimmung (Ausreduktion) des Tensorprodukts zweier Multipletts

Zeichne die Tableaux der zu multiplizierenden Darstellungen, wobei jedes Kästchen des zweiten Schemas

mit seiner Zeilennummer gekennzeichnet wird. Füge dann dem ersten Schema die Kästchen des

zweiten Schemas an, unter Berücksichtigung der folgenden Regeln:

• keine Zeile länger als die über ihr liegende

• keine Spalte mehr als n Kästchen

• innerhalb einer Zeile: Zeilennummern vom zweiten Schema dürfen von links nach rechts nicht

abnehmen

• innerhalb einer Spalte müssen die Zeilennummern zunehmen

• längs eines Pfades darf an jedem Punkt die Zeilennummer i (aus dem zweiten Schema) nicht öfter

vorkommen als i − 1.

Beispiel: Tensorprodukt zweier Oktetts in der SU (3)


1 1

2 =

1 1

2 1

⊕ 1 ⊕ 2 ⊕

1 1

2 ⊕

2

1

1 2 ⊕

1 1

1

1 2

= ⊕ ⊕ + + + 1.


4.4. EINSCHUB: GRUPPENTHEORIE DER SU (N) 91

4.4.3 Dimensionsregel/Hakenregel

Zeitsparende Alternative zur Bestimmung der Dimension eines Young-Tableaux mittels Abzählen der

Möglichkeiten Zustände auf Teilchen zu verteilen:


Dimension d = ∏

• z i : Zahlen, die sich ergeben, wenn man auf der Diagonale n einträgt und k Kästchen oberhalb/unterhalb

n ± k

• h i : Zahl der Kästchen, durch die ein Haken verläuft. Haken werden gezeichnet, indem von jedem

Kästchen aus nach rechts und nach unten eine gerade Linie gezogen wird.

i

i

z i

h i

d = 3 · 4 · 5 · 2

1 · 4 · 2 · 1 = 15.

Als wir mit Young-Tableaux anfingen, überlegten wir uns, daß Proton und Neutron als zwei Zustände

eines Isospindubletts aufgefaßt werden können, das sich nach der Fundamentaldarstellung der

Isospin-SU (2) transformiert. Nach der Entdeckung der strange particles wurde die neue Quantenzahl

strangeness eingeführt, deren Erhaltung den schnellen Zerfall über die starke Wechselwirkung verbietet

und so deren lange Lebensdauer erklärt. Als Folge davon wurden die bekannten Baryonen und Mesonen

nach den inneren Quantenzahlen Ladung Q, Baryonenzahl B, Isospin (I , I 3 ), Strangeness S und


92 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

Hyperladung Y = S + B klassifiziert. Es gilt die G e l l - M a n n - N i s h i j i m a - R e l a t i o n

Q = I 3 + Y 2 . (4.3)

In starken Reaktion sind die Quantenzahlen erhalten. Daraus folgt die Symmetrie der starken Wechselwirkung

mit der Symmetriegruppe SU (2) Isospin × U (1) Y . Gell-Mann und Ne’eman verstanden diese

SU (2) × U (1) als Untergruppe der SU (3) Flavour . Sie klassifiziertene alle damals bekannten Hadronen

nach Darstellungen der SU (3) Flavour . Die bekanntesten Mesonen und Baryonen wurden dabei in

Oktetts untergebracht, weshalb man scherzhaft vom «eight-fold way» 1 sprach. Da für exakte SU (3)-

Flavoursymmetrie alle Teilchen massenentartet sein müssen, ist die Symmetrie nur approximativ. 2

Dabei fällt auf, daß keines der bekannten Hadronen sich nach der Fundamentaldarstellung = 3

(Triplett) transformiert. Dies ist ein Gegensatz zur SU (2), bei dem Proton und Neutron ein Dublett

( = 2) bilden. Andere Isospin-Darstellungen lassen sich als Kombination mehrerer Nukleonen aufbauen,

z. B. das Deuteron

d ∼ pn − n p mit I = 0 .

Dies führt Gell-Mann und Zweig 1964 zur Annahme von « Q u a r k s », die sich nach der Fundamentaldarstellung

der SU (3) transformieren. Alle Hadronen werden dann als qqq-Zustände aus diesen

Spin- 1 /2-Teilchen aufgefaßt, die die folgenden Quantenzahlen haben.

I I 3 Y S B Q

u 1/2 + 1 /2 1/3 0 1/3 2/3

d 1/2 − 1 /2 1/3 0 1/3 − 1 /3

s 0 0 − 2 /3 −1 1/3 − 1 /3

1 inspiriert durch den Buddhismus

2 Bildquelle: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Baryon_octet.png, http://en.wikipedia.org/wiki/File:Baryon_decuplet.png


4.4. EINSCHUB: GRUPPENTHEORIE DER SU (N) 93

Die up- und down-Quarks transformieren sich wie Proton und Neutron unter der SU (2)

1

|u〉 =

0

0

|d〉 =

1

Die Auf- und Absteigeoperatoren sowie I 3 werden durch die Paulimatrizen beschrieben

I + = 1 0 1

2 (τ 1 + iτ 2 ) = 0 0

I − = 1 0 0

2 (τ 1 − iτ 2 ) = 1 0

I 3 = 1 1 0

2 τ 3 = 0 −1

⇒ I + |u〉 = 0 I − |u〉 = |d〉 I 3 |u〉 = 1 2

I + |d〉 = |u〉 I − |d〉 = 0 I 3 |u〉 = − 1 2

Hinsichtlich der SU (3) ist dann



1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

0 0

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

|u〉 = ⎝0⎠,|d〉 = ⎝1⎠,|s〉 = ⎝0⎠.

0 0 1

Das Triplett = {|u〉 = 1 ,|d〉 = 2 ,|s〉 = 3 } zerfällt in der SU (2)-Untergruppe in ein Dublett

= {|u〉 = 1 ,|d〉 = 2 } und ein Singulett |s〉.

Eine SU (3)-Transformation ist gegeben durch



U = exp⎝i ∑ j

α j λ j

2




mit den reellen Koeffizienten α j und den Generatoren der SU (3), den Gell-Mann-Matrizen λ j (Verallgemeinerung

der Paulimatrizen). Wegen det U = 1 sind diese Matrizen spurlos; da U unitär sein soll,

müssen sie hermitesch sein. Es gibt genau acht linear unabhängige hermitesche 3×3-Matrizen mit Spur


94 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

0. Diese enthalten die Isospin-Auf- und Absteigeoperatoren:

I + := (λ 1 + iλ 2 )

I − := (λ 1 − iλ 2 )

I 3 = 1 2 λ 3

: I + |d〉 = |u〉,

I + |u〉 = 0 = I + |s〉.

: I − |u〉 = |d〉,

I − |d〉 = 0 = I + |s〉.

: I 3 |u〉 = 1 2 |u〉,

Daraus ergeben sich

I 3 |d〉 = − 1 2 |d〉,

I 3 |s〉 = 0.

⎛ ⎞

0 1 0

⎜ ⎟

λ 1 = ⎝1 0 0⎠, (4.4)

0 0 0

⎛ ⎞

0 −i 0

⎜ ⎟

λ 2 = ⎝i 0 0⎠, (4.5)

0 0 0

⎛ ⎞

1 0 0

⎜ ⎟

λ 3 = ⎝0 −1 0⎠. (4.6)

0 0 0

Weitere Matrizen ergeben sich aus λ 1 und λ 2 durch Vertauschung von Zeilen und Spalten:

⎛ ⎞

0 0 1

⎜ ⎟

λ 4 = ⎝0 0 0⎠, (4.7)

1 0 0

⎛ ⎞

0 0 −i

⎜ ⎟

λ 5 = ⎝0 0 0 ⎠, (4.8)

i 0 0

⎛ ⎞

0 0 0

⎜ ⎟

λ 6 = ⎝0 0 1⎠, (4.9)

0 1 0

⎛ ⎞

0 0 0

⎜ ⎟

λ 7 = ⎝0 0 −i⎠. (4.10)

0 i 0

Mit diesen Matrizen lassen sich die Auf- und Absteigeoperatoren konstruieren, die |u〉 in |s〉 oder |s〉 in

|d〉 überführen. Die verbleibende Matrix λ 8 wählt man


λ 8 = 1 ⎜

1 0 0 ⎞


⎝0 1 0 ⎠, so daß S = λ 8

− 1

3 0 0 −2

3 3 ; (4.11)


4.4. EINSCHUB: GRUPPENTHEORIE DER SU (N) 95

S ist hierbei der Strangeness-operator. Wie erwartet erfüllt er


λ8

S|s〉 = − 1 ⎛ ⎞

0

⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ = −1.

3 3

1

Die infinitesimalen SU (3)-Transformationen sind dann gegeben als

wobei die λ-Matrizen den Vertauschungsregeln

U = 1 + i ∑

α j λ j ,

2

[λ j ,λ k ] = 2i f j k l λ l

erfüllen mit den total antisymmetrischen Strukturkonstanten

f 123 = 1,

f 147 = f 257 = f 345 = f 516 = f 637 = 1 2 ,


3

f 458 = f 678 =

2 .

Da Baryonen aus 3 Quarks aufgebaut sind, ist der Baryonenzahloperator definiert als

j

B = 1 3 1.

Die Antiquarkzustände u, d, s sind die Basisvektoren der 3-Darstellung . Für diese gilt, daß alle additiven

Quantenzahlen Q, S und B das umgekehrte Vorzeichen haben. Aus der Gell-Mann-Nishijima-

Relation Q = I 3 + (B + S)/2 folgt, daß das auch für I 3 gilt. Also ist im Isospindublett der Antiquarks u

die «down-Komponente». 3

3 Bildquelle: http://www.kph.tuwien.ac.at/element/pics/triplett.jpg


96 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

Durch das direkte Produkt der 3- und 3-Darstellungen

⊗ = ⊗ = 1 + 8

(jeweils 9 Zustände für Spin ↑↑ und Spin ↑↓) erhält man die Mesonen als Quark-Antiquark-Bindungszustände.

Der I 3 -Operator im Produktraum ist definiert als

I 3 = I 3 {3}

} {{ }

+ I {3}

3

}{{}

wirkt nur auf q wirkt nur auf q

und analog für Y,B, S,Q, so daß sich die Quantenzahlen eines qq-Bindungszustands als Summe der

Quantenzahlen von q und q ergeben. die Zustände auf dem Rand des Oktetts der pseudoskalaren

Mesonen lassen sich direkt mit K 0 = d s,K + = u s,π − = d u,π + = ud,K − = s u und K 0 = s d identifizieren.

Die Zustände uu, d d und s s mischen und bilden unter anderem eine symmetrische Linearkombination

ψ symm = 1

3

(u u + d d + s s),

die unter beliebigen SU (3)-Transformationen in sich selbst übergeht:


U |ψ symm 〉 = exp i

2 α j λ j

ψ symm




= lim

n→∞

⎝1 + i ∑


α j λ j ⎠

2

= ψ symm .

j

n

ψ symm

ψ symm ist also das SU (3)-Singulett ∼ η ′ (953) bei den skalaren Mesonen. Die Quark-Darstellung des π 0

erhält man durch Anwendung von I + auf π − = d u:

I + |π − 〉 = 2|π 0 〉

= (I {3}

+ + I {3}

3

)|d u〉

⇒ |π 0 〉 = 1

2

(|uu〉 − |d d〉).

Der dritte zu π 0 ,η ′ orthogonale Zustand wird mit

|η〉 = 1

6

(|u u〉 + |d d〉 − 2|s s〉)


4.5. LOKALE SU (3)-COLOR-TRANSFORMATIONEN UND GLUON-FELDER 97

identifiziert.

In einem Multiplett kann man grundsätzlich von einem einem Zustand ausgehend durch Schiebeoperationen

jeden anderen Zustand erreichen. Bei den Vektormesonen (Spin ↑↑) bilden ρ ± ,ρ 0 ,K ∗0 ,K ∗+ ,K ∗0 ,K ∗−

ein Oktett, während die ω- und φ-Mesonen Mischungen aus Singulett- und Oktett-Zuständen sind.

Die Baryonen ergeben sich aus den 3-Quarkzuständen

⊗ ⊗ = ⊕ ⊕ ⊕ = 1 + 8 + 8 + 10.

Das Dekuplett ist total symmetrisch in der Quarkwellenfunktion und wenn die Spins parallel sind, wie

z. B. für

∆ ++ = u u u,↑↑↑,

haben wir eine total symmetrische Wellenfunktion für Fermionen, so daß das Pauli-Prinzip verletzt ist!

Um dieses Problem zu lösen, führt O. Greenberg 1964 eine zusätzliche SU (3)-Quantenzahlen « C o -

l o u r » mit den Zuständen «rot», «grün» und «blau» ein, die dann fundamental wurden für die Entwicklung

der QCD.

Die Hadron-Wellenfunktion ist dann gegeben durch

Man erhält dann mit

ψ =

∆ ++ =↑↑↑ ·∆ ++

Quarks


Quarkkombinationen

ψ Spin ψ Flavour ψ

} {{ Colour .

}

ψ Quarks

und ∆ ++

Quarks = 1

6

(u r u g u b − u g u r u b + u g u b u r − u b u g u r + u b u r u g − u r u b u g )

≡ 1

6

ϵ i j k u i u j u k

eine total antisymmetrische Wellenfunktion und erhält das Pauli-Prinzip. Da es keine experimentellen

Anzeichen für freie Farbladungen (genausowenig wie für freie Quark) gibt, werden Mesonen und

Baryonen als farbneutral angenommen (Colour-Confinement).

4.5 Lokale SU (3)-Color-Transformationen und Gluon-Felder

Die Existenz des Farbfreiheitsgrades bei den Quarks und der Erfolg des Konzepts «Eichtheorie» in

der elektromagnetischen Wechselwirkung führten zur Entwicklung einer SU (3) C -Eichtheorie für die

starke Wechselwirkung, die Quantenchromodynamik (QCD). Diese Theorie erfordert Feldquanten

(Eichbosonen), die die Farbe der Quarks ändern können aufgrund der nichtabelschen Gruppenstruktur

und die Wechselwirkung vermitteln.


98 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

Betrachte die Dirac-Gleichung für ein Quark im Vakuum

(i∂/ − m)ψ = 0,

wobei sich die Gesamtwellenfunktion als Produkt einer Dirac-Wellenfunktion vom Type φ(⃗x, t) und

eines Farbspinors χ c schreiben läßt

ψ = φ(⃗x, t) · χ c

mit



1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

0 0

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

χ R = ⎝0⎠,χ G = ⎝1⎠,χ B = ⎝0⎠.

0 0 1

Invarianz unter SU (3) C -Transformationen erfordert

m R = m B = m G .

Eine lokale SU (3) C -Transformation ist dann gegeben durch


ψ ′ = exp − g

s

2 λ j β j (x) ψ,

wobei

• die Transformation nur auf den Farbspinor χ C wirkt,

• g S die Kopplungskonstante der starken Wechselwirkung ist, und

• es gilt:

λ j β j ≡

8∑

λ j β j

mit den acht unabhängigen Transformationswinkeln β 1 (x),...,β 8 (x).

Die Invarianz der Dirac-Gleichung erfordert, daß man 8 Vektorfelder G µ j einführt und ∂ µ durch

die kovariante Ableitung ersetzt

j =1

∂ µ → D µ = ∂ µ + i g S

2 (λ j Gµ j ).

Infinitesimale Transformationen der Eichfelder sind gegeben durch

Die Invarianz der Dirac-Gleichung

G µ j → G ′ µ j

= G µ j − ∂ µ β j − g S f j kl β k G µ l

(iD/ − m)ψ = 0 ⇒ (i(i D/ ′ − m)ψ ′ = 0 (4.12)


4.5. LOKALE SU (3)-COLOR-TRANSFORMATIONEN UND GLUON-FELDER 99

. folgt dann mit infinitesimalen Transformationen


ψ ′ ≈ 1 + i g

S

2 λ j β j (x) ψ.

Dann ist (4.12) erfüllt wegen



D ′µ ψ =

⎜∂ µ + i g S

⎝ 2 λ j (Gµ j − ∂ µ β j − g S f j kl β k G µ l

} {{ }

)




· 1 + i g

S

2 λ m β m ψ

G ′µ j

= (1 + i g S

2 λ m β m )(∂ µ + i g S

2 λ j Gµ j ) ψ;

} {{ }

D µ

das zweite Gleichheitszeichen wird in der Übung gezeigt werden.

Der Feldstärketensor ist gegeben durch

Die acht Eichfelder G µ j

F µν

j

= ∂ µ G ν − ∂ ν G µ − g

j j S f j kl G µ k Gν.

l

sind die Gluonfelder und die Lagrangedichte der QCD ist

= ψ(iD/ − m)ψ − 1 4 F j µν F µν . (4.13)

j

Im Gegensatz zur QED tritt in der Eichtransformation der QCD ein Zusatzterm auf:

Elektromagnetismus: U (1) EM : A ′µ = A µ − ∂ µ X

Starke WW: SU (3) C : G ′µ

j

= G µ j

− ∂ µ β j − g S f j kl β k G µ l

Der Term ist eine Konsequenz der Nichtvertauschbarkeit der SU (3)-Transformation und damit der

nichtabelschen Eichgruppe. Der Term ist proportional zur Kopplung g S , was impliziert, daß alle Teilchen,

die an Gluonen koppeln, dies mit exakt der gleichen Kopplungsstärke tun.

Aus der kovarianten Ableitung folgt die Quark-Gluon-Kopplung:

(iD/ − m)ψ = 0

⇒ (i∂/ − m)ψ = g S

2 γ µ λ j Gµ ψ = g S

j

2 γ µ Gµ λ

j j φ(⃗x, t)χ C .

Betrachte z. B. einen Vertex, an dem sich ein grünes Quark unter Emission eines Gluons in ein rotes

Quark vewandelt → dieser Übergang wird durch den Schiebeoperator I + = 1 2 (λ 1 + λ 2 ) bewirkt.

Analog gilt

Übergang(blau → grün) : U + = 1 2 (λ 6 + λ 7 ),

Übergang(rot → blau) : V + = 1 2 (λ 4 + λ 5 ).


100 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

Die Vorzeichen sind so gewählt, daß die Aufsteiger im Farbtriplett im Uhrzeigersinn wirken. Die entsprechenden

Absteigeoperatoren haben ein relatives Minus im zweiten Summanden.

Damit folgt

8∑

λ j G µ =

2 I

j

+ (GR) µ + I − (RG) µ + 1 λ 3 G µ 3

2

j =1

+U + (BG) µ + U − (GB) µ + V + (RB) µ + V − (BR) µ + 1

2

λ 8 G 8 µ

wobei die Gluonfelder nach ihren Farben bezeichnet wurden, z. b. ist

(GR) µ ≡ 1

2

(G µ 1 − iGµ 2 ).

Die Matrizen λ 3 und λ 8 vermitteln farbneutrale Übergänge:

⎛ ⎞

1 0 0

⎜ ⎟

λ 3 = ⎝0 −1 0⎠

0 0 0

wirkt nur auf die Farben R und G und das zugehörige Gluon ist durch

G 3 = 1

2

(RR − GG)


,

gegeben (entsprechend dem π 0 im SU (3) F -Oktett der pseudoskalaren Mesonen);

⎛ ⎞

1 0 0

⎜ ⎟

λ 8 = ⎝0 1 0 ⎠

0 0 −2

wirkt mit gleicher Amplitude auf R und G und mit doppelt so großer Amplitude und umgekehrtem

Vorzeichen auf B. Das entsprechende Gluon ist

G 8 = 1

6

(RR + GG − 2BB)

analog zum η-Meson. Die Gluonen transformieren sich als Oktett der SU (3) C (gemäß der adjungierten

Darstellung).

Da Baryonen und Mesonen Farbsinguletts sind, können die starken Wechselwirkungen im Gegensatz

zur QED keine unendliche Reichweite haben. Die Emission eines einzelnen Gluons wäre nur

möglich, wenn das Gluon selbst ein Farbsingulett wäre, da sonst die Reaktion

Hadron → x + Gluon = Singulett → Singulett + Oktett

nicht eichinvariant ist. Die starken Wechselwirkungen finden also innerhalb der Hadronen statt, die

Kräfte zwischen farbneutralen Nukleonen (Kernkräfte) sind vergleichbar mit den van-der-Waals-Kräften

zwischen elektrisch neutralen Molekülen in einer Flüssigkeit, und nehmen wie diese schnell mit dem

Abstand ab.


4.6. LAUFENDE KOPPLUNGSKONSTANTE DER QCD UND «ASYMPTOTISCHE FREIHEIT»101

4.6 Laufende Kopplungskonstante der QCD und «Asymptotische

Freiheit»

In der QED hatten wir gefunden, daß die Renormierung der Kopplungskonstante auf eine Energieabhängige

Kopplung

α(Q 2 ) =

α(µ 2 )

1 − α(µ2 )

3π log

Q

2

µ 2 (4.14)

führt, wobei α(µ 2 ) die Kopplung an einer Referenz-Skala bezeichnet.

Bei kleinen Q 2 erscheint die Kopplung abgeschirmt durch Vakuumfluktuation, zu großen Q 2 niummt

sie zu.

In der QCD ist die Energieabhängigkeit der Kopplung dagegen sehr verschieden: Während die

Struktur (4.14) auch für α S (Q 2 ) gilt, ändert sich der Koeffizient von log(Q 2 /µ 2 ) und damit das Laufverhalten

der Kopplung. Eine Berechnung der Korrekturen zum Gluon-Propagator

→ − − + ···

ergibt den Koeffizienten α S (Q 2 )/4π(− 2 3 n f − 5 + 16) mit der Zahl der Flavours n f . Hier hat der dritte

Koeffizient ein relatives Vorzeichen und dominiert. Er hängt zusammen mit den Beiträgen der «Fadeev-

Popov-Geister», die in der QCD eingeführt werden müssen, um die unphysikalischen longitudinalen

und skalaren Freiheitsgrade der physikalischen Gluonen zu eliminieren. Seine Größe resultiert aus der

großen Zahl von Gluonen (acht) verglichen mit den Freiheitsgraden der Quarks (drei). Damit ergibt

sich

α S (Q 2 α S (µ 2 )

) =

.

1 + α S (µ2 )

12π (33 − 2n f )log Q

2

µ 2

α 2 S (Q2 ) nimmt mit wachsendem Q 2 ab und wird klein für kurzreichweitige Wechselwirkungen, die

Theorie ist «asymptotisch frei». In diesem Regime ist Störungstheorie möglich (Nobelpreis 2004 an

Gross, Politzer, Wilczek), es ist erlaubt, Partonen als freie Teilchen zu beschreiben. Für Q 2 → 0 wird

α S (Q 2 ) groß; dies erklärt das Confinement.

4.7 Feynmanregeln für die QCD

Bei hinreichend kleinem

α S = g 2 S

4π ≪ 1

lassen sich die Feynmanregeln der QCD analog zur QED mittels Störungstheorie herleiten:


102 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD

innere Fermionlinie

i(p/+m)

p 2 −m 2 +iϵ

innere Gluonlinie

q →

−i g µν

k 2 +iϵ

Fermion-Gluon-Vertex

a,µ

−i g S

2 λa γ µ

Einlaufendes Quark

p

u s (p)χ c

Auslaufendes Quark

p

p

u s (p)χ †

c

Einlaufendes Antiquark

v s (p)χ †

c

Auslaufendes Antiquark

p

v s (p)χ c

Einlaufendes Gluon ϵ µ

Auslaufendes Gluon ϵ µ∗


4.7. FEYNMANREGELN FÜR DIE QCD 103

b,ν

3-Gluon-Vertex

a,µ

k 2 ↓

k 1 →

k 3 ←

−g S f ab c [g µν (k 1 − k 2 ) λ + g νλ (k 2 − k 3 ) µ + g λµ (k 3 − k 1 ) ν ]

c,λ

a,µ

b,ν

4-Gluon-Vertex c,ρ

−i g 2 f ab c f cd e [g µν g ρσ + Permutationen]

S

d,σ


104 KAPITEL 4. STARKE WECHSELWIRKUNG UND QCD


Kapitel 5

Eichtheorie der elektroschwachen

Wechselwirkung

5.1 Fermi-Theorie und intermediäre Bosonen

Die erste Theorie der schwachen Wechselwirkung im β-Zerfall wurde 1934 von Fermi in Analogie zur

QED aufgestellt. Sie liefert eine als effektive Theorie im Wesentlichen richtige Niederenergienäherung

der vollständigen elektroschwachen Eichtheorie. Dabei wurde der Neutron-Zerfall n → p + e − + ν e

ähnlich der Abstrahlung eines γ durch ein Elektron e → e ′ + γ behandelt. Die Übergangsrate pro Zeit

ist

d w

dT = 2π| |2 ρ(E 0 ) (5.1)

mit der Zustandsdichte ρ(E 0 ) und der Zerfallsenergie E 0 . Das Matrixelement ist in guter Näherung

impulsunabhängig und das Energiespektrum der β-Elektronen ergibt sich aus dem Phasenfaktor:

für m ν = 0: dN

d E ∼ E

(E 2 − m 2 e )(E 0 − E)2 , (5.2)

für m ν ≠ 0: dN

d E ∼ E

(E 2 − m 2 e )(E 0 − E)2 √ √√√1




E 0 − E

2

. (5.3)

mit ∆m 2 → im Bereich > 1eV identisch!). Momentan nimmt das

23

KATRIN-Experiment Daten, das eine Verbesserung der Obergrenze um eine Größenordnung anstrebt.

Der Myon-Zerfall ist ein rein leptonischer Prozeß

Bisher wurde keine Abweichung von (5.2) gemessen, die daraus abgeleitete aktuelle Obergrenze m ν

2eV ist mit den Untergrenzen aus Neutrinooszillationsexperimenten m ν 0,05eV verträglich (verglichen

wird hier ∑

i |U ei |2 m 2 i

µ − → ν µ e − ν e ,

105


106 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

der analog zum Neutron-β-Zerfall verläuft. Die Analogie zur QED wird deutlicher, wenn man annimmt,

daß das eν-Paar nicht direkt an das Myon koppelt, sondern daß es ein intermediäres Feldquant

Fermi-Theorie Vektor-Boson-Modell

gibt, das W -Boson.

µ

ν µ

e

ν e

µ

ν µ

W e

ν e

Das W -Boson muß in zwei Ladungszuständen vorkommen, um sowohl β − - als auch β + -Zerfälle

zu beschreiben.

1973 wurden am CERN schwache Wechselwirkungen ohne Ladungsänderung beobachtet:

ν µ e → ν µ e,

ν µ p → ν µ X + .

Dafür ist ein neutrales Feldquant erforderlich, das Z 0 . Die Massen der W - und Z-Bosonen sind sehr

groß (80 bzw. 91GeV), daraus erklärt sich die kurze Reichweite der Wechselwirkung

∆x

· ∆E ≈ ħh

c

⇒ ∆x ≈

ħhc

M W c = 2,5 · 2 10−18 m.

Der Photonpropagator muß zur Beschreibung eines massiven Spin-1-Teilchens wie folgt verändert werden:

Die Feynman-Amplitude für die Reaktion

wurde mit dem (noch Paritäts-erhaltenen) Ansatz

= g 2

D µν (q) = −g µν

q 2 + iϵ → −g µν + q µ q ν

M 2

q 2 − M 2 + iϵ . (5.4)

ν µ ( p 1 ) + e − ( p 2 ) → µ − (p 3 ) + ν e ( p 4 )

2 u( p 3 )γ µ u(p 1 )

−g µν + q µ q ν

M 2 W

q 2 − M 2 W

u(p 4 )γ ν u( p 2 ) (5.5)

beschrieben. Für q 2 ≪ M 2 W

kann das W -Boson «ausintegriert» werden

⇒ = g 2

2M 2 W

} {{ }

2 2G F

J µ (Myon)j µ (Elektron.


5.2. PARITÄTSVERLETZUNG UND V − A-THEORIE 107

Da M 2 so groß ist, ist für kleine Energien das Matrixelement im Gegensatz zur QED nicht proportional

1/q 2 , sondern 1/M 2 = cons. ⇒ 1/M 2 kann in die Kopplungskonstante G W W F («Fermi-Kopplungs-

W

Konstante») gezogen werden und das Matrixelement ist durch die große W − -Masse unterdrückt. g ≈

0,65 selbst ist jedoch nicht klein, sondern liegt in der gleichen Größenordnung wie e ≈ 0,30 → Bei

Reaktionen mit |q| 2 > M 2 sind deshalb elektromagnetische und schwache Wechselwirkung von vergleichbarer

W

Stärke.

5.2 Paritätsverletzung und V − A-Theorie

Der Ansatz (5.5) für die Fermi-Theorie ist noch Paritäts-erhaltend, der experimentelle Befund hat aber

gezeigt, daß die schwache Wechselwirkung zwischen links- und rechtshändigen Teilchen unterscheidet.

Das zeigte sich ursprünglich im θ/τ-Rätsel, zwei Mesonen, die entsprechend

τ + → π + π + π − negative Parität, P : t → t,⃗x → −⃗x

θ + → π + π 0 positive Parität

zerfielen, aber beide die gleiche Masse und Lebensdauer haben. Lee und Yang vermuteten 1956, daß

es sich um dasselbe Teilchen τ + = θ + = K + handelte, daß lediglich über verschiedene Zerfallskanäle

zerfällt. Das bedeutet, daß die schwachen Wechselwirkungen die Parität verletzen – die Natur unterscheidet

zwischen Rechts- und Linkssystemen. Diese Vermutung wurde durch das Wu-Experiment

zum β-Zerfall von polarisierten 60 Co-Kernen bestätigt.


↑ ↑ ↑

(ν e ) R

J = 5 → J = 4 +

60 Co

60 Ni · ↑ ⏐

↓ e − L

Das Elektron wurde bevorzugt entgegen der Spinausrichtung des 60 Co emittiert.

Um die Paritätsverletzung in die Theorie einzubauen, erinnern wir uns, daß die Raumspiegelung

eines Dirac-Spinors

P : (t,⃗x) → (t,−⃗x)

durch ψ(x) → ψ ′ (x) = S P ψ(x) = S P ψ(−x ′ , t) mit



1 0 0 0

S P = γ 0 0 1 0 0



⎝0 0 −1 0 ⎠

0 0 0 −1

gegeben ist.

⇒ ψ(x) = u(p)e −i px = φ

E + m ⃗σ⃗p

E+m φ exp(−iE t)exp(i⃗p⃗x)

→ ψ ′ (x) = φ

E + m

− ⃗σ⃗p

E+m φ exp(−iE t)exp(−i⃗p⃗x).


108 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

Leptonen und Quarks werden im Ruhesystem durch die Dirac-Spinoren

u(0) = φ 1 0

2m , φ = oder

0

0

1

beschrieben.

Mit γ 0 φ

0

φ

= folgt: Für A n t i t e i l c h e n gilt wegen

0

v(0) = 0 P

2m → 0

2mγ

χ 0 = −v(0)

χ

→ Antiteilchen haben negative Parität.

Der H e l i z i t ä t s o p e r a t o r ist gegeben durch die Projektion des Spins auf die Impulsrichtung

Für Dirac-Spinoren mit Impuls in z-Richtung gilt:

u 1 mit λ = + 1 2

u 2 mit λ = − 1 2

⃗s · ⃗p

λ =

|⃗p| . (5.6)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

u 1 = 1

0

E≫m

E + m ⎜ ⎟ −→ 1

0

E ⎜ ⎟

⎝p z /(E + m) ⎠ ⎝1⎠

0

0


⎞ ⎛ ⎞

u 2 = 1

0

E≫m

E + m ⎜

⎟ −→ 1

0

E ⎜ ⎟

⎝−p z /(E + m) ⎠ ⎝−1⎠

0

0

Die Helizität ist nicht Lorentz-invariant. Eine Lorentz-invariante Größe «Chiralität» oder «Händigkeit»,

die im ultrarelativistischen Limes in die Helizität übergeht, kann man mit den Projektionsoperatoren



P L = 1 2 (1 − γ 5 ) = 1 1 −1

= 1 1 0 −1 0

0 1 0 −1



2 −1 1 2 ⎝−1 0 1 0 ⎠

0 −1 0 1

P R = 1 2 (1 + γ 5 )

konstruiert werden. Da sich ψγ µ ψ wie ein Vektor und ψγ µ γ 5 ψ wie ein Axialvektor transformiert,

spricht man von einer V − A-Kopplung.


5.3. DER PION-ZERFALL 109

Für die Helizität bei massebehafteten Fermionen betrachtet man

⎛ ⎞

1 − γ 5

u 1 = 1

E + m

1 − p

1

0

⎜ ⎟

2 2

E + m ⎝1⎠

0

⎛ ⎞

und 1 − γ 5

u 2 = 1

E + m

1 + p

0

1

⎜ ⎟

2 2

E + m ⎝ 0 ⎠ .

−1

Der Ausrichtungsgrad ist gegeben durch


P(λ = +1/2) − P(λ = −1/2) 1 −

P(λ = +1/2) + P(λ = −1/2) =

1 −

p

E+m

p

E+m

Die «falsche Helizität» ist also mit v/c unterdrückt.

5.3 Der Pion-Zerfall

2



1 +

2

+


1 +


p 2

E+m

p

E+m

m≪E

2

∼ − p E ∼ − v c = β.

Aufgrund der V − A-Struktur der schwachen Kopplung dominiert im Zerfall der geladenen (skalaren)

Pionen der myonische Zerfall

π − → µ − ν µ ,

während der elektronische Kanal π − → e − ν e stark unterdrückt ist, obwohl der Phasenraumfaktor größer

ist. Dies ist ein Hinweis für die Vektor- bzw. Axialvektorstruktur der schwachen Wechselwirkung

im Gegensatz z. B. zu skalaren oder pseudoskalaren Kopplungen. Hinzu kommt die Drehimpulserhaltung.

Da das Pion ein skalares Teilchen ist, ist vor dem Zerfall der Gesamtdrehimpuls Null. Das Elektron/Myon

und Antineutrino werden diametral emittiert und tragen keinen Bahndrehimpuls. Der

Antineutrino-Spin ist parallel zu seiner Flugrichtung und deshalb erfordert die Drehimpulserhaltung,

daß das auch für den Elektron-/Myon-Spin gilt, d. h. «falsche Helizität». Deshalb ist der Zerfall in die

leichteren Elektronen mit (1 − v e /c)/(1 − v µ /c) unterdrückt.

Der Grund ist die Drehimpulserhaltung vs. Vektor- oder Axialvektorstruktur der Kopplung.

Matrixelement

= G F


2

j µ u(e)γ µ (1 − γ 5 )v(ν)

mit dem Pion-Strom

j µ = f π p µ .


110 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

Der Viererimpuls p µ ist bei einem Skalar der einzige verfügbare Vierervektor. Die Pionzerfallskonstante

f π = 132MeV kann mit Gittereichtheorie berechnet werden.

Im Ruhesystem des Pions gilt p µ = (m π ,⃗0). Das Matrixelement ist dann

Dabei ist

= G F


2

f π m π u(e)γ 0 (1 − γ 5 )v(ν).

dΓ (π − → e − p

ν e ) = | | 2 dΩ, (5.7)

32π 2 m 2 π

wobei p der Elektronenimpuls (= Neutrinoenergie k) im Ruhesystem des Pions ist

p = 1

2m π

(m 2 π − m2 e ).

Wir wählen die z-Achse parallel zu ⃗p; der rechtshändige ν-Spin zeigt also in z-Richtung und ν wird

durch v 2 mit p z = −k beschrieben:

⎛ ⎞

−1


0

v 2 = k ⎜ ⎟

⎝ 1 ⎠ , k = |⃗ k| = p.

0

Aufgrund der Drehimpulserhaltung des skalaren Pions muß das Elektron λ = +1/2 haben.

Die Spinoren für λ = ±1/2 sind

⎛ ⎞

λ = +1/2 : u 1 = 1

0

E + m e ⎜ ⎟

⎝ p/(E + m e ) ⎠ ,

0



λ = −1/2 : u 2 = 0

1

E + m e ⎜


⎝ 0 ⎠ .

− p/(E + m e )

Es gilt 1 ∼ u 1,2 γ 0 (1 − γ 5 )v 2 = 2u † 1,2 v 2 = 2u† 1 v 2 ,

da u † 2 v 2 = 0. Wie erwartet tritt λ = −1/2 für das Elektron nicht auf, die Drehimpulserhaltung ist

automatisch gewährleistet, und mit

u † 1 v 2 = p

E + m e

k − 1 = p( E − m e − E + m e )

E + m e


mit p = E 2 − m 2 =

E + m e E − me .

1 Der Faktor 2 rührt daher, daß der Projektor P L = (1 − γ 5 )/2 ist.


5.3. DER PION-ZERFALL 111

Das Matrixelement wird damit

= 4G 2 F f 2

π m2 π p(E − p) ∝ (E − p) = E 1 − v c

Der Faktor 4 ruht daher, daß (E + m e ) + (E + m e ) − 2 p = 2(E − p).

Einsetzen in (5.7) und Integration über dΩ ergibt

G2 F

Γ = 4πdΓ =

8πm 3 π


; (5.8)

f 2

π m2 e (m2 π − m2 e ) (5.9)

⇒ Γ (π− → e − ν e )

Γ (π − → µ − ν µ

= m2 e (m2 π − m2 e )2

m 2 µ (m2 π − m2 µ )2 = 1,28 · 10−4 .

Dabei kommt die Unterdrückung aus dem Matrixelement

| | 2 (e)

| | 2 (µ = m2 e (m2 − π m2)

e

m 2 µ (m2 − π m2 ) = 5,5 · 10−5 ,

µ

während der Phasenraum proportional zum Impuls des Leptons im Pion-Ruhesystem ist

p e

p µ

=

1

2m π

(mπ 2 − m 2 e )

1

2mπ (m2 − π m2 ) ≈ 2,4.

µ

Das ist zu vergleichen mit alternativen möglichen Skalar- oder Pseudoskalar-Kopplungen:

S : ∼ u(e)v(ν)

P : ∼ u(e)γ 5 v(ν).

Für ein rechtshändiges Antineutrino v(ν) → v 2 (ν) (Argumentation würde aber auch umgekehrt für ein

linkshändiges Antineutrino gelten) folgt

u 2 v 2 = 0 u 2 γ 5 v 2 = −u 2 v 2 = 0

⇒ Elektronen mit λ = −1/2 sind wieder ausgeschlossen.

Andererseits ist jetzt für Elektronen mit λ = +1/2

p

u 1 v 2 = u † 1 v 2 = − E + m e

k ⊕ 1 .

E + m e


⇒ | | 2 ∼ p(E ⊕ p) = pE 1 ⊕ v

c

Γ (π → eν)

⇒ = 5,5 für S- oder P-Kopplungen.

Γ (π → µν

Dies ist ein Widerspruch zum Experiment.


112 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

1. Die schwache Wechselwirkung wird n i c h t durch V - oder A-Kopplungen beschrieben. Genauer:

durch die paritätsverletenzende Kombination V − A (Grund: Wu-Experiment)

2. Erweiterungen des Standardmodells wie z. B. einge Supersymmetrien, die mit P- oder S- Kopplung

zum π-Zerfall beitragen, müssen unterdrückt sein, so daß sie nur kleiner Korrekturen liefern.

Das ist eine Möglichkeit zur Beschränkung neuer Physik!

5.4 Schwache Wechselwirkung von Hadronen, Cabbibo-Winkel

und CKM-Matrix

Fast alle langlebigen/seltsamen Hadronen zerfallen durch schwache Wechselwirkung. Für die nichtleptonischen

Zerfälle gilt dabei die Auswahlregel ∆S = 1. Das ist im Quarkbild durch den Übergang

s → u zu erklären:

Λ → p + π −

S = 1 S = 0

Λ

d

u

s

W

u

d u

d

Der Strangeness-ändernde Übergang macht das Λ langlebig!

Für semi-leptonische Zerfälle gilt für das Hadron ∆S = ∆Q, z. B.

K −

u

π − p

→ π 0 e − ν e

→ π 0 e + ν e

S = 1 S = 0 oder S = 1 S = 0

Q = −1 Q = 0 Q = 1 Q = 0

Zerfälle, die die Regel verletzen, entsprechen der gleichzeitigen Umwandlung zweier Quarks und sind

noch stärker unterdrückt.

→ Zerfälle mit ∆S ≠ 0 sind möglich und entsprechen im Quarkbild dem Übergang s → u.

→ Zerfälle mit ∆S = 1 sind gegenüber Zerfällen mit ∆S = 0, die in etwa die gleiche Kopplung wie

rein leptonische Prozesse haben, um einen Faktor ∼ 20 unterdrückt.

Erklärung: d- und s-Quarks koppeln nicht direkt an den geladenen schwachen Strom, sondern in

der Superposition

K +

d ′ = d cosθ C + s sinθ C


5.4. SCHWACHE WECHSELWIRKUNG VON HADRONEN 113

mit dem Cabbibo-Winkel θ C ≈ 12,8 ◦ .

θ C folgt z. B. aus

u

g


2

Γ (K + → µ + ν µ )

Γ (π + → µ + ν µ ) ∼ tan2 θ C

ˆ= ∆S = 1 ∼ sin2 θ C

∆S = 0 ∼ cos 2 θ C

.

u

g


2

cosθ C

u

g


2

sinθ C

Die Kopplung ist dann

W

W

W

d ′

d

s

Zur Beschreibung der Kopplungen ist es sinnvoll, diese als Übergänge in schwachen Isospin-SU (2)-

Dubletts zu verstehen


νe νµ νττ u c t

e

L − µ

d ′ s ′ b ′ L L L L L

Der geladene schwache Strom dreht dann die 3-Komponente des Isospins I 3 . Die rechtshändigen Leptonen

und Quarks sind Singuletts und wechselwirken nicht. Eine Eichtheorie, in der die W -Bosonen

als Eichbosonen einer SU (2)-Invarianz verstanden werden, erfordert dann wie erwünscht auch die Existenz

eines neutralen Feldquants W 0 . 2

Ein Übergang durch den Operator Γ des neutralen schwachen Stroms würde dann durch

(u d ′ )Γ

u

d ′

=

uΓ u + dΓ d cos 2 θ C + sΓ s sin 2 θ C

} {{ }

∆S=0

+ (dΓ s + sΓ d)cosθ C sinθ

} {{ C Flavor-ändernde neutrale Ströme (FCNC)

}

|∆S|=1

beschrieben werden, was auch «flavor-changing neutral currents» enthält. In der Natur sind allerdings

Übergänge der Art

K 0 L → µ+ µ −

äußerst selten, was auf Graphen höherer Ordnung (Loop-Diagramme, sogenannte Pinguine) hindeutet.

Die Erklärung dafür ist, daß der Tree-Level-Beitrag verboten ist. Das führt uns auf die G l a s -

h o w - I l i o p o u l o s - M a i a n i - oder G I M - H y p o t h e s e (1970). Diese sagt das c-Quark

2 Das W 0 ist nicht identisch mit dem Z 0 ; dieses ist eine Überlagerung W 0 und einem weiteren Boson, das in einer zu Z 0

orthogonalen Überlagerung mit W 0 das Photon ergibt.


114 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

voraus, so daß c mit einer zu d ′ orthogonalen Kombination s ′ ein Isospin-Dublett bildet:



u u

d ′ =

,

d cosθ C + s sinθ C



c c

s ′ =

.

−d sinθ C + s cosθ C

Dadurch wird eine Quark-Lepton-Symmetrie realisiert und FCNCs auf Tree-Level eliminiert:


(u d ′ u


d ′ + (c s ′ c


s ′

= uΓ u + cΓ c + (dΓ d + sΓ s)cos 2 θ C + (sΓ s + dΓ d)cos 2 θ C

} {{ }

∆S=0

+ (dΓ s + sΓ d − dΓ s − sΓ d)sinθ C cosθ C

} {{ }

|∆S|=1, verschwindet.

Damit zerfallen Charm-Hadronen bevorzugt in Teilchen mit strangeness, allgemein sind Übergänge

innerhalb eines Multipletts bevorzugt, FCNCs sind auf Tree-Level verboten.

Die Erweiterung auf drei Familien erfolgt mit der Cabbibo-Kobayashi-Maskawa- oder auch CKM-

Matrix, die die linkshändigen d-, s- und b-Quarks mit den in der schwachen Wechselwirkung auftretenden

linkshändigen Mischzuständen d ′ , s ′ und b ′ verknüpft

⎛ ⎞ ⎛ ⎞


d ′

d


⎝ s ′ ⎟ ⎜ ⎟


V V V ⎞

ud us u b ⎟

⎠ = V CKM ⎝ s ⎠ mit V CKM = ⎝V cd V c s V c b ⎠.

b ′ b

V t d V t s V t b

L

V CKM ist unitär, und experimentell zeigt sich, daß die CKM-Matrix hierarchisch angeordnet ist, die

größten Einträge sind auf der Diagonalen, und die dritte Familie ist fast vollständig entkoppelt. Die

Außendiagonalelemente enthalten einen Phasenfaktor der Form e iδ , der die C P-Verletzung im K 0 -

und B 0 -System erlaubt.

5.5 C P-Verletzung

Ursprünglich war erwartet worden, daß die schwachen Wechselwirkungen zwar C und P verletzen

C

(mit π + → µ + + ν R µL → π − → µ − + ν R µL existiert nicht, es werden keine rechtshändigen Neutrinos

oder linkshändigen Antineutrinos beobachtet), aber nicht die Kombination C P, bis man 1964 C P-

Verletzung im K 0 -K 0 -System (seither auch im B-System) beobachtete:

Für die pseudoskalaren Mesonen K 0 und ihre Antiteilchen K 0 gilt:

P|K 0 〉 = −|K 0 〉 P|K 0 〉 = −|K 0 〉

C |K 0 〉 = −|K 0 〉 C |K 0 〉 = |K 0 〉

→ C P|K 0 〉 = −|K 0 〉 C P|K 0 〉 = −|K 0 〉;


5.5. C P-VERLETZUNG 115

die normierten C P-Eigenzustände sind damit

|K 1 〉 = 1

2

(|K 0 〉 − |K 0 〉) mit C P|K 1 〉 = +1|K 1 〉

|K 2 〉 = 1

2

(|K 0 〉 + |K 0 〉) mit C P|K 1 〉 = −1|K 2 〉

Damit haben diese Zustände die Zerfallskanäle

K 1 → π + π − ,π 0 π 0 mit τ 1 ∼ 10 −10 s;

K 2 → π + π − π 0 ,π 0 π 0 π 0 ,π ± µ ∓ ν,π ± e ∓ ν mit τ 2 ∼ 5 · 10 −8 s.

Bei einem Strahl von Kaonen mit genügend langer Beamline sollte also nur noch die Dreikörperzerfälle

der langlebigen K 2 auftreten.

Es stellt sich aber heraus, daß der langlebige Zustand K L ≠ K 2 kein C P-Eigenzustand ist, sondern

eine Beimischung

1

|K L 〉 = (|K 2 〉 + ϵ|K 1 〉) mit ϵ ∼ 2,3 · 10 −3

1 + |ϵ| 2

enthält.

Wie manifestiert sich C P-Verletzung? Dazu vergleichen wir (ab → cd) und C P . Da ⊂

( }{{} + }{{} † ), folgt für C P = † C P-Invarianz.

i→ f f →i

∼ J µ ca J † µb d ∼ [u c γ µ (1 − γ 5 )V ca u a ][u b γ µ (1 − γ 5 )V b d u d ] †

C P

u i → γ 0 iγ 2 u T

}{{} }{{}

S P S

} C

{{ }

u C

⇒ C P ∼ V ca V ∗ [u d b a γ µ (1 − γ 5 )u c ][u b γ µ (1 − γ 5 )u d ]

= † für reell.

Im 2 × 2-Fall ist V immer reell und wir haben C P-Erhaltung. Im 3 × 3-Fall ist die komplexe Phase in

V parametrisiert und wir haben C P-Verletzung.

Die sog. Wolfenstein-Parametrisierung entwickelt V CKM nach den kleinen Parametern

λ ≈ V us ≈ 0,22 = sinθ C

Aλ 2 ≈ V c b = 0,041



1 − λ2

λ Aλ 2 (ρ − iη)

2 V CKM ∼ ⎜

⎝ −λ 1 − λ2

Aλ 2 ⎟

2 ⎠ + (λ4 ),

Aλ 3 (1 − ρ − iη) −Aλ 2 1


116 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

wo die C P-Verletzung durch η gegeben ist. Aus der Unitaritätsbedingung

läßt sich ein Unitaritätsdreieck konstruieren:

V ud V ∗ ub + V cd V ∗

c b + V t d V ∗

t b = 0

α = arg

− V t d V ∗

t b

V ud V ∗ ,

u b

β = arg

− V cd V ∗

c b

V t d V ∗ ,

t b


γ = arg

− V ud V ∗ u b

V cd V ∗

c b

Für α,β,γ ∈ (0,π) ⇒ η ≠ 0 ⇒ C P-Verletzung. Experimentell findet man

α = 1,57 +0,37

−0,13 ,

β = 0,385 +0,046

−0,042 ,

γ = 1,19 +0,13

−0,34 .

Aufgrund der C PT -Invarianz, die für alle Lorentz-invarianten Quantenfeldtheorien gilt, folgt damit,

daß auch die T -Invarianz verletzt ist. Die C P-Verletzung unterscheidet zwischen Teilchen und

Antiteilchen und ist eine der Bedingungen für die Erzeugung des im Universum beobachteten Überschusses

von Baryonen zu Anti-Baryonen (Baryon-Asymmetrie). Andere Bedingungen für Baryogenese

sind C -Verletzung, B-Verletung und Nichtgleichgewicht).

5.6 Schwache Wechselwirkung und SU (2)-Eichtheorie

Die Wellenfunktionen der Dubletts des schwachen Isospins


u c t

d ′ s ′ b ′ und


νe νµ νττ

e µ


5.6. SCHWACHE WECHSELWIRKUNG UND SU (2)-EICHTHEORIE 117

können analog zum starken Isospin als Produkt einer Quark- oder Leptonwellenfunktion in Abhängigkeit

von Ort, Zeit und Spin und eines Isospinors

1

χ u,c,t = = χ

0

νe ,ν µ ,ν τ

,

0

χ d ′ ,s ′ ,b ′ = = χ

1 e,µ,τ .

Um die schwachen Wechselwirkungen in einer Eichtheorie zu beschreiben, wird die Invarianz unter

globalen Transformationen

ψ ′ = exp

i

2 ⃗τ⃗α

ψ

durch eine lokale Eichtransformation ersetzt

i

ψ ′ (x) = exp

2 ⃗τ⃗α(x) ψ(x)

mit α(x) ≡ gβ(⃗x).

Die Dirac-Gleichung bleibt invariant, wenn man gleichzeitig die kovariante Ableitung

D µ = ∂ µ + i g 2 ⃗τ ⃗ W µ

verwendet und eine Eichtransformation der Felder

mit ⃗τ W ⃗ µ = τ 1 W µ

1 + τ 2 W µ

2 + τ 3 W µ

3

⃗W µ (x) → ⃗ W ′µ (x)

durchführt.

Damit die Dirac-Gleichung auch nach der Transformation erfüllt ist, muß gelten


D ′µ ψ ′ (x) = exp − g 2 ⃗τ β(x) ⃗

D µ ψ(x)

bzw. für infinitesimale Transformationen


∂ µ + i g 2

⃗W

1 ′µ + i g 2 ⃗τ β ⃗

ψ = 1 + i g 2 ⃗τ β ⃗ ∂ µ + i g 2 ⃗τ W ⃗

µ ψ

Daraus folgt in (β) die Transformation für die Eichfelder

⃗W ′µ (x) = ⃗ W µ (x) − ∂ µ ⃗ β(x) − g( ⃗ β(x) × ⃗ W µ (x)).


118 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

5.7 Elektroschwache SU (2) × U (1) Y -Theorie

Da die Kopplung des neutralen schwachen Stromes für geladene Fermionen an das Z 0 nicht rein linkshändig

ist, wie in der SU (2)-Eichkopplung, sondern auch eine rechtshändige Komponente besitzt, kann

W 0 nicht mit Z 0 identifiziert werden. Wir führen deshalb eine Hyperladungs-U (1)-Eichsymmetrie

ein, und verstehen das Photon γ und das Z 0 als Linearkombinationen der neutralen Isospin- und

Hyperladungs-Eichbosonen W µ

0 und Bµ .

Die schwache Hyperladung wird in Analogie zur starken Hyperladung so eingeführt, daß sie die

Gell-Mann-Nishijima-Relation

erfüllt.

Damit folgt

Q = I 3 + Y 2

Y = −1

I 3 = + 1 2

I 3 = − 1 2


νe

e − L

νµ ντ

,

,

µ

L

− τ

L


Y = −2 I 3 = 0 e R ,µ R ,τ R

Y = 1 I 3 = + 1

u c

3

I 3 = − 1 2 d

L

′ ,

s ′

L

t

,

b ′ L

Y = + 4 3

Y = − 2 3

I 3 = 0

I 3 = 0

u R , c R , t R

d ′ R , s ′ R , b ′ R

(Y = 0 I 3 = 0 ν eR ,ν µR ,ν τR falls existent.)

Die SU (2)-Transformation der Art


νe

e − = exp − g

β(x)

L 2 ⃗τ ⃗ νe

e −

werden dann durch die Phasentransformationen der Hyperladungs-U (1)-Gruppe ergänzt:



νe

g



e − = exp i

L

2 Y νe

L χ (x)

e

L


g



e R = exp i

2 Y R χ (x) e R .

Die Eichfelder der SU (2)-Eichsymmetrie bilden ein Triplett W 1 µ ,W 2 µ ,W 3 µ , das Eichfeld der U (1) Y

ist das Vektorfeld B 1 µ .

Die kovariante Ableitung ist

D µ = ∂ µ + i g ⃗ T ⃗ W µ + i g ′

2 Y Bµ mit ⃗ T = I 3 ⃗τ


5.7. ELEKTROSCHWACHE SU (2) × U (1) Y -THEORIE 119

oder speziell für die linkshändigen Leptonen ( ⃗ T = ⃗τ/2,Y = −1)

D µ = ∂ µ + i g 2 ⃗τ ⃗ W µ − i g ′

und die rechtshändigen Leptonen ( ⃗ T = 0,Y = −2)

D µ = ∂ µ − i g ′ B µ .

2 Bµ

Das liefert uns die Kopplung an ⃗ W µ ,B µ in Analogie zur QED.

5.7.1 Kopplung der W -Felder an linkshändige Leptonen

⃗τ · ⃗W µ = 2(τ + W −µ + τ − W +µ ) + τ 3 W µ

3

mit den Isospin-Auf- und Absteigeoperatoren

τ + = 1 0 1

2 (τ 1 + iτ 2 ) = ,

0 0

τ − = 1 0 0

2 (τ 1 − iτ 2 ) = .

1 0

Damit erhalten wir die kovariante Ableitung

⇒ W ±µ = 1

2

(W 1 µ + iW 2 µ ).

D µ = ∂ µ g

+ i (τ + W −µ + τ − W +µ ) + i g

2 2 τ 3 W µ

3 − i g ′

2 Bµ .

Der Übergang 3 e − → ν e wird durch den Isospin-Aufsteigeoperator vermittelt, der Vertex trägt zum

Matrixelement wie folgt bei:

g 1 − γ 5

∼ i u(ν)γ µ τ + u(e)W −µ .

2 2

In der Reaktion e − ν µ → ν e µ − wird der Ausdruck mit dem rechten Vertex multipliziert.

ν e

µ −

τ +

W −

τ −

e − ν µ

3 Dieser Übergang beinhaltet im Endzustand noch ein W − , aber es geht uns hier nur um den Übergang im Dublett.


120 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

Wir erhalten für den rechten Vertex

Damit ergibt sich für das gesamte Matrixelement

g 1 − γ 5

−i u(µ)γ µ τ − u(ν)W +µ .

2 2

∼ − g 2 1

u(νe )γ

8 q 2 − M 2 µ (1 − γ 5 )τ + u(e) · u(µ)γ µ (1 − γ 5 )τ − u(ν µ )

W

} {{ }

q 2 ≪M 2 W

→ − G

F

u(νe )γ µ (1 − γ 5 )τ + u(e) · u(µ)γ µ (1 − γ 5 )τ − u(ν µ )

2

Der neutrale Übergang 4 ν e → ν e wird durch

i g 2 τ 3 W µ und − i g ′

2 Bµ

vermittelt. Zum Matrixelement tragen sie mit den Amplituden

−i g 2 ν L γ µ τ 3 ν L W µ

}{{} 3 und i g ′

2 ν L γ µ ν L Bµ

=ν L

bei.

Das Photonfeld (Überlagerung von W 3 µ und B µ )

A µ = aW 3 µ + bB µ

muß eine verschwindende Kopplung an das Neutrino haben, so daß

⇒ a =


a − g

+ b

2

g



= 0

2

g ′

g

≡ sinθ W , b = = cosθ W

g 2 + g

g ′2 ′2 + g 2

ν e

Z 0 e −

4 z. B. im Streuprozeß e − ν e → e − ν e

ν e e −


5.7. ELEKTROSCHWACHE SU (2) × U (1) Y -THEORIE 121

mit dem W e i n b e r g - W i n k e l θ W

⇒ A µ = B µ cosθ W + W µ 3 sinθ W

und die orthogonale Kombination liefert

Z µ = −B µ sinθ W + W µ 3 cosθ W .

Aufgelöst nach B µ ,W µ 3 erhalten wir

Damit ergibt sich für die Neutrinokopplung

B µ = A µ cosθ W − Z µ sinθ W

W 3 µ = Aµsinθ W + Z µ cosθ W .

−i g 2 u L (ν)γ µ u L (ν)W 3 µ + i g ′

2 u L (ν)γ µ u L (ν)B µ

= i 2 (−g sinθ W + g ′ cosθ W ) u

} {{ } L (ν)γ µ u L A µ

=0

− i 2 (g cosθ W + g ′ sinθ W )u L (ν)γ µ u L (ν)T µ

g 1 − γ 5

= −i u(ν)γ µ u(ν).

2cosθ W 2

5.7.2 Kopplungen der Elektronen

Rechtshändige Elektronen koppeln nur an B µ , nicht an W µ 3 (Y = −2, I 3 = 0):

i g ′ u R (e)γ µ u R (e)B µ = i g ′ cosθ W u R (e)γ µ u R (e)A µ

−i g ′ sinθ W u R (e)γ µ u R (e)Z µ .

Da die QED-Kopplung unabhängig von der Chiralität als q = −e herauskommen muß, gilt

ieu R (e)γ µ u R (e)A µ ≡ i g ′ cosθ W u R (e)γ µ u R (e)A µ

⇒ e = g ′ cosθ W = g sinθ W .

Für ein Elektron beliebiger Chiralität gilt

u(e) = 1 2 (1 − γ 5 )u(e) + 1 2 (1 + γ 5 )u(e) ≡ u L (e) + u R (e).


122 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

Für die Kopplung gilt dann

− 1 2 i g u L (e)τ 3 u L (e)W 3 µ + 1 2 i g ′ u L (e)γ µ u L (e)B µ + i g ′ u R γ µ u R B µ

= i 2 (g sinθ W + g ′ cosθ W ) u

} {{ } L γ µ u L A µ + i e u R γ µ u L A µ

2e

− i 2 (−g cosθ W + g ′ sinθ W )u L γ µ u L Z µ

−i g ′ sinθ

} {{ W u

} R γ µ u R Z µ


g ′2 +g 2 sin 2 θ W

Damit können wir den Ausdruck aufteilen in die Kopplung an das Photon

i e u L γ µ u L A µ + ieu R γ µ u R A µ

= ieuγ µ uA µ

und die Kopplung an das Z 0


−i

g 2 + g ′2 sin 2 θ W − 1

u L γ µ u L Z µ + sin 2 θ W u R γ µ u R Z µ

2

g

= −i uγ µ (g e

2cosθ − g e γ V A 5 )uZµ

W

Der Faktor 2 im Nenner stammt aus P L/R = 1 2 (1 ∓ γ 5 ). Die Kopplungsstärken sind

g e V = 2sin2 θ W − 1 2

g e A = −1 2 .

Das Elektron koppelt hauptsächlich über den Axialterm g e A an das Z 0 , da sin2 θ W ≈ 0,25 und g V

daher sehr klein ist.

5.7.3 Kopplungen der Quarks

Analog lassen sich die Kopplungen der Quarks an die neutralen und geladenen schwachen Eichbosonen

herleiten, indem man die Quantenzahlen für den schwachen Isospin und die schwache Hyperladung

einsetzt.

1. Linkshändige Quarks: Y = 1 3 , I 3 = ± 1 2


⇒ D µ = ∂ µ g

+ i τ + W −µ + τ − W +µ + i g

2 2 τ 3 W 3 µ + i g ′

6 Bµ


5.8. FEYNMANREGELN DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG 123

z. B. die Kopplung für d ′ → u

identisch zum eν e -Vertex.

2. Rechtshändige Quarks: Y = 2Q q , I 3 = 0

g 1 − γ 5

−i u(u)γ µ τ + u(d ′ )W −µ

2 2

D µ = ∂ µ + iQ q g ′ B µ

mit der Quarkladung Q q = 2 3 für up- und Q q = − 1 für down-artige Quarks.

3

5.8 Feynmanregeln der elektroschwachen Wechselwirkung

5.8.1 Kopplung geladener Fermionen an das elektromagnetische Feld A µ

5.8.2 Kopplung an das W -Boson

Für den (e − ν e )-Vertex



−1 e − ,µ − ,τ −

2

−iQ f e u f γ µ u f mit Q f = u, c, t

⎩ 3

d, s, b

− 1 3

g 1 − γ 5

−i u(ν)γ µ τ + u(e)

2 2

und identisch für die (µ − ν µ )-, (τ − ν τ )-, (d ′ u)-, (s ′ c)- und (b ′ t)-Vertizes.

5.8.3 Kopplung an das Z-Boson

Neutrinos haben eine rein linkshändige Kopplung

g

1 − γ 5

−i u(ν)γ µ c L u(ν).

cosθ W 2

Für geladene Fermionen (Leptonen und Quarks) erhält man


g

1 + γ 5

−i u f γ µ c R

cosθ W 2

mit den Koeffizienten

+ c L

1 − γ 5

2


u f

c R = −Q f sin 2 θ W

c L = I 3 − Q f sin 2 θ W


124 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

bzw. in Vektor-Axialvektorschreibweise

g

−i u f γ µ [g f

2cosθ − g f γ V A 5 ]u f

W

mit

g f V = c L + c R = I 3 − 2Q f sin2 θ W

g f A = c L − c R = I 3 .

Der Propagator der W - und Z-Bosonen folgt als Fouriertransformierte der Greensfunktion der

Proca-Gleichung

D µν (q) = −g µν + qµ q ν /M 2

(unitäre Eichung)

q 2 − M 2


−i

iD µν (q) =

g

q 2 − M 2 µν − (1 − ξ )q µ q

ν

.

+ iϵ q 2 − ξ M 2

Dabei ist in der Nähe der Z- bzw. W -Resonanz eine Modifikation nötig, die sich aus der endlichen

Lebensdauer ergibt.

Die Feynmanregeln gelten zunächst für die Kopplungen masseloser Fermionen an die masselosen

Eichbosonen der SU (2) × U (1) Y -Eichtheorie. Um massive W - und Z-Bosonen sowie Fermionen zu

erhalten, muß der Higgs-Mechanismus zur spontanen Symmetriebrechung eingeführt werden, der die

Kopplungen ungeändert läßt. Ein einfaches Hinzufügen der W - und Z-Bosonen bricht die Eichsymmetrie,

da die Massenterme in der Proca-Gleichung nicht lokal eichinvariant sind, und würde so zu

einer nichtrenormalisierbaren Theorie führen mit unendlich vielen Parametern (Einführung von neuen

Impuls-Cutoffs in jeder Ordnung Störungstheorie).

5.9 Spontane Symmetriebrechung und Goldstone-Theorem

Man spricht von spontaner Symmetriebrechung, wenn die Grundgleichungen eines Systems (die Lagrangedichte)

eine Symmetrie besitzen, die der Grundzustand nicht zeigt.

Beispiel In einem Ferromagnet richten sich die Teilchenspins der Elementarmagnete für T < T c aus.

Damit bricht der Grundzustand die Rotationssymmetrie.


5.9. SPONTANE SYMMETRIEBRECHUNG UND GOLDSTONE-THEOREM 125

Als Beispiel betrachten wir die spontane Brechung einer globalen U (1)-Symmetrie für ein komplexes

Skalarfeld φ = (φ q + iφ 2 )/ 2. Die Lagrangedichte

ist invariant unter der Phasentransformation

= (∂ µ φ) ∗ (∂ µ φ) − µ 2 φ ∗ φ − λ(φ ∗ φ) 2 mit λ > 0 (5.10)

φ → e iα φ

⇒ = 1 2 (∂ µ φ 1 )2 + 1 2 (∂ µ φ 2 )2 − 1 2 µ2 (φ 2 1 + φ2 2 ) − λ2

Wir können hier einige Fälle unterscheiden:

1. µ 2 > 0: Skalarfelder mit Masse µ und 4-Skalarwechselwirkung

4 (φ2 1 + φ2 2 )2

Grundzustand φ = 0 besitzt Symmetrie unter Phasentransformation

2. µ 2 < 0: Kreis von Minima/Grundzuständen mit

φ 2 + 1 φ2 = 2 v2 mit v 2 = − µ2

λ

v heißt Vakuumerwartungswert (VEV) des Skalarfelds.


126 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

Die Entwicklung von φ um das Minimum φ 1 = v,φ 2 = 0

eingesetzt in (5.10) ergibt

′ =

1

2 (∂ µ ξ )2

} {{ }

+

masseloses Skalarfeld

5.9.1 Goldstone-Theorem

1

φ(x) = 1

2

[v + η(x) + iξ (x)]

2 (∂ µ η)2 + µ 2 η 2

} {{ }


Skalarfeld mit Masse m η =

−2µ 2 +const + (η 3 ) + (ξ 3 ) + (η 4 ) + (ξ 4 ).

Für jede spontan gebrochene existiert ein masseloses Teilchen, ein sogenanntes (Nambu-)Goldstone-

Boson (NGB). Beispiele (hypothetischer) Goldstone-Bosonen sind Majoronen (Leptonenzahl), Pionen

(chirale Flavor-Symmetrie der QCD), Axion (Peccei-Quinn-Symmetrie zur Unterdrückung der

CP-Verletzung in der starken Wechselwirkung), Phononen in Flüssigkeiten, Magnonen in Magneten.

Anschaulich entspricht das Goldstone-Boson den tangentialen Anregungen entlang des Potentialminimums.

5.10 Der Higgs-Mechanismus

Betrachte jetzt eine l o k a l e i c h i n v a r i a n t e

unter

φ → φe iα(x)

U (1)-Theorie. Die Lagrangedichte ist invariant

⇒ ∂ µ → D µ = ∂ µ − ieA µ

mit A µ → A µ + 1 e ∂ µ α

⇒ = (∂ µ + ieA µ )φ ∗ (∂ µ − ieA µ )φ − µ 2 φ ∗ φ − λ(φ ∗ φ) 2 − 1 4 F µν F µν .

Wir nehmen wieder µ 2 < 0 an und entwickeln

φ(x) = 1 [v + η(x) + iξ (x)] ≈ 1 iξ (x)/v

[v + η(x)]e

2 2

⇒ ′ = 1 2 (∂ µ ξ )2 + 1 2 (∂ µ η)2 − v 2 λη 2 + 1 2 e2 v 2 A µ A µ −e vA µ ∂ µ ξ − 1

} {{ }

4 F µν F µν +Wechselwirkungen

} {{ }

Teilchenspektrum

• masseloses Goldstoneboson ξ , (entspricht einer tangentialen Anregung)


• massives Skalarteilchen η (Higgs) mit m η = 2λv 2 , (entspricht einer radialen Anregung)

• massives Vektorteilchen A mit m A = e v (vgl. die unterklammerten Terme).


5.11. ERZEUGUNG DER EICHBOSONMASSEN 127

Problem: Das Vektorteilchen A hat jetzt 3 (einen longitudinalen, zwei transversale) anstatt 2 (nur

transversale) Freiheitsgrade. ⇒ nicht alle Teilchen in ′ sind physikalisch, wir suchen eine Eichtransformation,

die einen der Freiheitsgrade eliminiert.

Eine Eichtransformation mit

α(x) = − 1 v ξ (x)

liefert

φ → 1

2

[v + η(x)],

A µ → A µ − 1

e v ∂ µ ξ (x).

Das entspricht der Wahl einer speziellen Eichung (unitäre Eichung) und liefert

′′ = 1 2 (∂ µ η)2 − λv 2 η 2 + 1 2 e2 v 2 A 2 µ − λvη3

− 1 4 λη4 + 1 2 e2 A 2 µ η2 + ve 2 A 2 µ η − 1 4 F µν F νµ .

Ergebnis Das Goldstone-Boson ist vollständig aus der Theorie eliminiert, die Zahl der Freiheitsgrade

bleibt gleich.

1(Higgs) + 1(Goldstone-Boson) + 2(masseloses A µ )

} {{ }

ungebrochen

= 1(Higgs + 3(massives A µ )

} {{ }

gebrochen

Man sagt: Das Goldstone-Boson wurde von dem Eichfeld «aufgegessen».

In der Natur tritt die spontane Symmetriebrechung der U (1)-Symmetrie des Elektromagnetismus

in Typ-I-Supraleitern auf. Sie erklärt den Meißner-Ochsenfeld-Effekt, der das Photonfeld aus dem Supraleiter

verdrängt. Dem Higgs-Vakuumerwartungswert entspricht dabei ein Kondensat aus Cooper-

Paaren. Die Photonen erhalten so eine Masse und ihre Ausbreitung wird entsprechend exponentiell

∼ exp(−mr) auf die Londonsche Eindringtiefe beschränkt.

5.11 Erzeugung der Eichbosonmassen in der elektroschwachen Theorie

Die einfachste Struktur zur Erzeugung der W - und Z-Massen ist die Einführung zweier komplexer

Felder φ + und φ 0 , die ein SU (2)-Dublett bilden

φ

+

Φ =

φ 0

I = 1 ,Y = 1.

2


128 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

Die Lagrangedichte des Higgs-Feldes ist

Die Lagrangedichte der Eichfelder ist

Higgs = (∂ µ Φ) † (∂ µ Φ) − V (Φ † Φ),

V (Φ † Φ) = −µ 2 Φ † Φ + λ 2 (Φ † Φ) 2 .

Eich = − 1 4 F i µν F i,µν − 1 4 f µν f µν

mit F i µν F i,µν =

3∑

3∑

i=1 µ=0 ν=0

3∑

F i F i,µν

µν

mit F i = ∂ µν µ W i − ∂ ν ν W i − gϵ µ i,j,k W j W k

µ ν

und f µν = ∂ µ B ν − ∂ ν B µ

Die Kopplung zwischen Higgs-Feld und Eichfeldern erhalten wir durch die Ersetzung

Die gesamte Lagrangedichte

∂ µ → D µ in Higgs

mit D µ = ∂ µ + i g 2 ⃗τ ⃗ W µ + i g ′

2 B µ .

= Higgs + Eich

= (D µ Φ) † (D µ Φ) + µ 2 (Φ † Φ) − λ 2 (Φ † Φ) 2

= 1 4 F i µν F i,µν − 1 4 f µν f µν

ist invariant unter lokalen SU (2)-Transformationen


Φ(x) → Φ ′ (x) = exp i g 2 ⃗τ β(x) ⃗

Φ(x),

⃗W µ (x) → ⃗ W ′µ (x) = ⃗ W µ (x) − ∂ µ

⃗ β(x) − g[ ⃗ β(x) × ⃗ W µ (x)]

sowie lokalen U (1) Y -Transformationen

Φ(x) → Φ ′ (x) = exp

i g ′

2 χ (x) Φ(x),

B µ (x) → B ′µ (x) = B µ (x) − ∂ µ χ (x).

Als Vakuumerwartungswert des Higgs wählen wir


〈Φ〉 = 1

2

0

v


5.11. ERZEUGUNG DER EICHBOSONMASSEN 129

(ein nichtverschwindender VEV für φ + würde dem Photon eine Masse geben). Ein Zustand Φ(x) in der

Nähe des Grundzustandes ist dann

Φ(x) = 1

0

.

2 v + η(x)

Radiale Anregungen iξ (x), die den Goldstone-Bosonen entsprechen, können wieder durch Eichtransformationen

«wegrotiert» werden.

Eingesetzt in

(D µ Φ) † (D µ Φ) = 1 2 (∂ µ η)(∂ µ η) + g 2 (v + η) 2

|W 1µ − iW 2µ | 2 (v + η)2

+ |g ′ B µ − gW 3µ | 2

8

8

Eingesetzt in ergibt sich

η≪v

≈ 1 2 (∂ µ η)(∂ µ η) + g 2 v 2 (|W + µ |2 + |W − µ |2 ) + v2


1

=

2 (∂ µ η)(∂ µ η) − µ 2 η 2 − 1 4 F i F i,µν − 1 µν

4 f µν f µν

Der Teilcheninhalt ist jetzt

+ 1 2

g 2 v 2

4 (|W + µ |2 + |W − µ |2 ) + 1 2

8 |g ′ B µ − gW 3µ | 2 .

v 2

4 |g ′ B µ − gW 3µ | 2 . (5.11)

• ein neutrales Higgs-Teilchen η mit m Higgs = 2µ,µ 2 = −v 2 λ. Wenn man den letzten Ausdruck

v

v

als Feynmangraph aufschreibt, erhält man

2


2

m 2 = VEV ,

Higgs

η

λ 2 η

weshalb man von Higgs-«Quartic»-Selbstkopplung spricht. Die Higgsmasse oder -kopplung ist

ein freier Parameter der Theorie.

• die geladenen W -Bosonen haben die Masse

M W = g v

2 .

• der letzte Term kann mit

g ′ B µ − gW 3µ = −

g 2 + g ′2 Z µ = − g

Z µ

cosθ W


130 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

umgeschrieben werden als

1 v 2

2 4 |g ′ B µ − gW 3µ | 2 = 1 g 2 v 2

|Z

2 4cos 2 µ | 2 ,

θ W

so daß

• Das Photonfeld

A µ =

M Z =

g v

=

M W

.

2cosθ W cosθ W

1

g 2 + g ′2 (gB µ + g ′ W 3µ )

bleibt masselos.

Die Bilanz der Freiheitsgrade ist

• ohne Symmetriebrechung

Φ(4) + B µ (2) + 3 × W µ (2) = 12

• mit Symmetriebrechung

η(1) + Z µ (3) + 2W µ (3) + A µ (2) = 12

Die drei Goldstone-Moden aus Φ werden also von Z 0 ,W + ,W − aufgegessen. Die Symmetriebrechung

ist

SU (2) × U (1) Y → U (1) EM .

5.12 Erzeugung der geladenen Fermion-Massen

Die Lagrangedichte für ein Dirac-Feld ist

= psi(i∂/ − m)ψ = ψ L + ψ R (i∂/ − m)(ψ L + ψ R )

= ψ L

i∂/ψ L + ψ R

i∂/ψ R − (ψ L

mψ R + ψ R

mψ L )

wobei 1 = P L + P R ausgenutzt wurde. Ein nichtverschwindender Massenterm

ψ L

mψ R bzw. ψ R

mψ L

flipt die Chiralität und koppelt damit das Dublett ψ L an das Singulett ψ R .

Eichinvarianz erfordert, daß sich der gesamte Massenterm als Singulett unter SU (2)-Transformationen

transformiert.


5.12. ERZEUGUNG DER GELADENEN FERMION-MASSEN 131

SU (2)-Singulett

ψ R

m

ψ L

SU (2)-Dublett

v

⊂ 〈Φ〉,2

⇒ m muß sich nichttrivial 2

transformieren, d. h. m wird durch den Higgs-VEV generiert.

ψ R ,1

˜g


ψ1

ψ L ⊂ ,2

ψ 2

L

m = ˜g v

2

Zu diesem Zweck wird die Yukawa-Wechselwirkung Yuk eingeführt

= Higgs + Eich + Lepton + Yuk

mit Lepton = e R iγ µ (∂ µ − i g ′ B µ )e R +


νe

e

L

⎡ νe

und Yuk = −˜g e e R

Φ † νe

+ ⎣

e

L

Für den Fall verschwindender W - und B-Felder folgt mit

Die Elektronen erhalten eine Masse

iγ µ

∂ µ + i g 2 ⃗τ ⃗ W µ − i g ′

e

L

Φ

φ

+ 0

Φ =

φ 0 → aus

v


e R


∂ ∂

= 0 und

∂ e

= 0

R νe

∂ e

L

⇒ i∂/e L = me R und i∂/e R = me L .

m e = ˜g e v

2

.

⎦.

2 B µ ν

e


L


132 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

Analog erzeugt man die Massen der µ- und τ-Leptonen

m µ = ˜g µ

v

2 und m τ = ˜g τ

v

2 .

Das hat eine interessante Konsequenz: Die Kopplung der Higgs-Teilchen an die geladenen Fermionen

ist proportional zu ihrer Masse; daher sollten Higgs-Teilchen bevorzugt in die schwersten Leptonen

und Quarks zerfallen.

Die Massen der d-artigen Quarks werden analog via

u φ

+

Yuk, d = −˜g d

d φ 0 d R + h. c.

erzeugt, die u-artigen Quarks erhalten ihre Masse mithilfe des konjugierten Higgs-Feldes ˜φ = iτ 2 φ ∗

Yuk, u = −˜g u

u

d


L

L

φ

0∗

−φ −

u R + h. c.

In erweiterten (z. B. supersymmetrischen) Theorien werden auch zwei Higgs-Dubletts φ, ˜φ benutzt,

um den up- und down-artigen Quarks Masse zu verleihen.

5.13 Neutrinomassen

Für massive Neutrinos gilt analog zur CKM-Mischung der Quarks, daß die «Masseneigenzustände» ν i

der freien Theorie nicht den Wechselwirkungs- oder «Flavoreigenzuständen» ν α der schwachen Wechselwirkung

entsprechen müssen,

ν α = ∑ i

(V ν ) αi ν i .

Neutrinomischung via V ν führt zu Neutrinooszillationen, die seit den 1990ern Evidenz für Neutrinomassen

liefern.

e +

ν 1 ∼ e i(E 1 t−p 1 x) ν µ

µ +

U e

U ν

ν 3

W +

ν e

ν 2

W +

für

• nicht-entartete Neutrinomassen,

P(ν e → ν µ ) = |〈ν µ (t)|ν e (t = 0)〉| 2 ≠ 0

• nichtverschwindende Mischung: V ν1

nichttrivial oder besser U = V †

e

V ν, da die Mischung der

geladenen Leptonen V e ebenfalls beiträgt.


5.13. NEUTRINOMASSEN 133

Experimentell

1. Atmosphärische Neutrinos

P(ν µ → ν τ ) = sin 2 2θ atm sin 2 ∆m

2

mit ∆m 2 atm ≡ m2 3 − m2 2 ≈ ±2,4 · 10−3 eV 2 ,sin 2 θ atm = 0,45 («maximale» Mischung).

4E

atm

t

2. Reaktorneutrinos (Daya Bay, Reno, Double Chooz)

P(ν e → νe ) = ✄ sin2 2θ 13 sin 2 ∆m2 13

4E

t

mit sin 2 2θ 13 = 0,1,∆m 2 ≈ 13 ∆m2 23

3. Sonnenneutrinos (resonante Konversion aufgrund von Materieeffekten)

P(ν e → ν µ ,ν τ ) ≈ ☼ 2 θ ⊙

mit ∆m 2 ⊙ = 8 · 10−5 eV 2 ,sin 2 θ ⊙ = 0,3.

Damit ergibt sich für die leptonische (PMNS-)Mischungsmatrix eine nahezu «tri-bimaximale» Form

mit kleiner Störung θ 13

⎛ ⎞

2 1 θ

3 3 13

U ≈ ⎜− 1 1 1 ⎝ 6 3 2

1

− ⎟

⎠ ,

1

6

wobei U = V † V l ν mit den Mischungsmatrizen V l für die geladenen Leptonen und V ν für die Neutrinos.

Für phänomenologische Rechnungen rotiert man oft in die Basis mit V l = 1 und U = V ν .

Die Differenzen der Massenquadrate zusammen mit den oberen Massengrenzen ( ∑ i m i 1eV


(Kosmologie), m ν =

i |U l i

| 2 m 2 < 2eV (Tritium-β-Zerfall)) erlauben für das Massenspektrum

i

3

m 1 = 0—0,3eV,

m 2 = 0,009—0,3eV,

m 3 = 0,05—0,3eV.

Wenn das Elektron-Neutrino hauptsächlich mit dem leichtesten Masseneigenzustand mischt, spricht

man von direkter Hierarchie (a); wenn es hauptsächliche mit dem zweiten Masseneigenzustand mischt,

spricht man von inverser Hierarchie (b). Im Fall von m 2 ≫ 1 ∆m2 spricht man von Massenentartung

atm

(c).


1

2


134 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

Da das Neutrino mindestens 6 Größenordnungen leicht als das leichteste geladene Lepton, das Elektron,

ist, wird vermutet, daß der Mechanismus der Neutrinomassenerzeugung von dem der geladenen

Leptonen verschieden ist. Ein solcher Mechanismus ergibt sich natürlich aufgrund der Möglichkeit,

daß neutrale Teilchen Majoranamassen besitzen können (Seesaw-Mechanismus). So kann man analog

zu den up-Quark-Massen «Dirac-Massenterme» für Neutrinos einführen:

Dirac =


νe

e − L

φ


0

−φ − ν R + h. c.

} {{ }

˜Φ

mit dem neuen r e c h t s h ä n d i g e n N e u t r i n o ν R .


⇒ Für 〈 ˜Φ〉 = 1

2

v

0

ergibt sich ein Massenterm ν L m D ν R + h. c. mit

m D = v

2

˜g ν

〈 ˜Φ〉

mit

v

= 246GeV

≫ m ν .

2 2

ν R

ν L

Alternativ oder zusätzlich kann für neutrale Teilchen der Chiralitätsflip mit einem Übergang vom

Teilchen zum Antiteilchenflip verbunden sein, man spricht von einer « M a j o r a n a - M a s s e », die

die Leptonenzahl verletzt

Maj = (ν c ) L m Maj ν R + h. c.


5.13. NEUTRINOMASSEN 135

Da dieser Massenterm 5 nur die Singuletts (ν c ) L und ν R beinhaltet, ist m Maj ein SU (2)-Singulett und muß

nicht durch den Higgs-Mechanismus via Symmetriebrechung erzeugt werden.

ν R

m Maj

(ν c ) L

Der Majoranamassenterm kann deswegen a priori sehr viel größer als der Dirac-Massenterm sein.

Im allgemeinen Fall

erhält man eine Massenmatrix im ν L -ν R -Raum

Maj + Dirac = ˜g ν ν R ν L 〈 ˜Φ〉 + m M a j

(ν c ) L ν R + h. c.

2

(ν L ) c

ν R

νL 0 mD ,

(ν R ) c m D m Maj

die für m D ≪ m Maj diagonalisiert einen leichten Eigenwert

m νL ≈ m2 D

m Maj

≪ m D ergibt.

Als Diagramm erhält man, wenn man die schweren rechtshändigen Majorananeutrinos ausintegriert,

eine effektive Majoranamasse 〈 ˜Φ〉 für die linkshändigen〈 Neutrinos. ˜Φ〉

(ν c ) R

(ν c ) L

ν L

ν R

×

∼ ˜g 2 ν 〈 ˜Φ〉 2

m Maj

Dieser sogenannte S e e s a w - M e c h a n i s m u s (engl. seesaw Wippe) kann auf natürliche Weise

erklären, warum Neutrinos so leicht sind, ist aber bisher hypothetisch. Zugleich verknüpft er die

Physik der Neutrinomassen mit dem Phänomen der Leptonenzahlverletzung und einer großen Massenskala

m Maj , die mit der Einbettung des Standardmodells in eine umfassendere Theorie (z. b. Grand

Unification) zu tun haben könnte.

5 Der obere Index c beschreibt die Ladungskonjugation.


136 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

5.14 Selbstwechselwirkungen der Eichbosonen

Wir betrachten noch einmal den Feldstärketensor der nicht-abelschen SU (2)-Theorie. Der abelsche

Ansatz

ist unzureichend, da bei einer Eichtransformation

der Feldstärketensor sich transformiert gemäß

was die Kontinuitätsgleichung

F abelsch = ∂

µν µ W ν − ∂ ν W µ

⃗W ′ µ = ⃗ W µ − ∂ µ

⃗ β − g( ⃗ β × ⃗ W µ ) (5.12)

F ′ abelsch

= (∂

µν µ W ν − ∂ ν W µ ) − (∂ µ ∂ ⃗

νβ − ∂ν ∂ ⃗

µ β)

} {{ }

=0

− g (∂ µ [ ⃗ β(x) × ⃗ W ν (x)] − ∂ ν [ ⃗ β(x) × ⃗ W µ (x)])

} {{ }

≠0

≠ F ′ abelsch

,

µν

nicht mehr erfüllt.

Die richtige Form des SU (2)-Feldstärketensors

transformiert sich zu

∂ µ F abelsch = 0 ≠ ∂ µ F ′ abelsch

µν

µν

F µν = ∂ µ

⃗ Wν − ∂ ν

⃗ Wµ − g[ ⃗ W µ × ⃗ W ν ]

was mit (5.12) in (β) ergibt

F ′ µν = ∂ µ ⃗ W ′

ν − ∂ ν ⃗ W ′ µ − g[ ⃗ W ′ µ × W ′

ν ],

F ′ = ∂ ⃗ µν µ W ν − ∂ ⃗ νWµ − (∂ µ ∂ ⃗

νβ − ∂ν ∂ ⃗

µ β) −g(∂ ν ( β ⃗ × W ⃗ ν ) − ∂ ν ( β ⃗ × W ⃗ µ ))

} {{ }

=0

− g[ ⃗ W µ − ∂ µ

⃗ β − g( ⃗ β × ⃗ Wµ )] × [ ⃗ W ν − ∂ ν

⃗ β − g( ⃗ β × ⃗ Wν )]

= ∂ µ

⃗ Wν − ∂ ν

⃗ Wµ − g[ ⃗ W µ × ⃗ W ν ]

} {{ }

F µν

− g ⃗ β × (∂ µ

⃗ Wν − ∂ ν

⃗ Wµ ) + g 2 ( ⃗ W µ × ( ⃗ β × ⃗ W ν ) + ( ⃗ β × ⃗ W µ ) × ⃗ W ν )

⇒ F ′ µν = F µν − g ⃗ β × F µν

} {{ }

?

F µν transformiert sich wie ein Isovektor.


5.14. SELBSTWECHSELWIRKUNGEN DER EICHBOSONEN 137

Die Verallgemeinerung der Kontinuitätsgleichung ∂ µ F abelsch

µν

= 0 ist gegeben durch

∂ µ F µν − g W µ × F µν = 0.

} {{ }

?

Daraus folgt die Wellengleichung

□ ⃗ W ν − ∂ ν (∂ µ ⃗ Wµ ) = ⃗ J ν (5.13)

mit

⃗ Jν = g ⃗ W µ × F µν

= g[ ⃗ W µ × ∂ µ

⃗ Wν − ⃗ W µ × ∂ ν

⃗ Wµ ] − g 2 ⃗ W µ × [ ⃗ W µ × ⃗ W ν ].

selbst im Vakuum erfüllen die Eichfelder keine homogene Wellengleichung, es gibt also keine W - oder

Z- (oder Gluon-)Wellen!

⃗ Jν führt zu einer Wechselwirkung ∼ ⃗ J µ

⃗ W µ , die Vertices mit drei oder vier Eichfeldern erzeugt.

W +

W +

W +

γ

W −

γ

W −

Z

W −

γ

W +

Z

W +

Z

W +

W

W −

γ

W −

Z

W −

W

Dazu kommen die Vertices mit dem Higgs-Boson.


138 KAPITEL 5. EICHTHEORIE DER ELEKTROSCHWACHEN WECHSELWIRKUNG

W +

W +

H

Z

W −

H

W −

H

Z

H

Z

H

H

H

H

Z

H

H

H

H

H

5.15 Zerfälle und Erzeugung der W - und Z-Bosonen

Die W - und Z-Bosonen zerfallen in 2-Teilchen-Endzustände

W : e − ν e ,µ − ν µ ,τ − ν τ , ud ′ , c s ′

Z 0 : ν e ν e ,ν µ ν µ ,ν τ ν τ , ee,µµ,ττ, u u, d d, cc, s s, b b.

Das t-Quark scheidet wegen seiner großen Masse aus.

Die differentielle Zerfallsrate ist

dΓ =

=

| |2

2M d Li p s(M 2 ; p 1 , p 2 )

d 3 p 1 d 3 p 2

2M δ4 (p − p 1 − p 2 )

2E 1 (2π) 3 2E 2 (2π) 3

| |2

= 1

32π 2 | |2 |⃗p 1 |

M 2 dΩ mit |⃗p| = M 2 .

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