3.¨Ubungsblatt zur Physik II

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3.¨Ubungsblatt zur Physik II

3. Übungsblatt zur Physik II

Prof. Dr. G. Hiller, Prof. Dr. T. Weis

Abgabe am Donnerstag, den 26. April 2007, bis 16:00 Uhr SS 2007

Aufgabe 1 : Modellierung von Ladungsdichten

(4 Punkte)

Ladungsdichten ρ(⃗r) können mit Hilfe der Diracschen δ-Funktion sowie der Θ-Funktion

(auch Heavisidsche Sprungfunktion genannt) Θ(x−x 0 ) = 0 für x−x 0 ≤ 0 und Θ(x−x 0 ) =

1 für x − x 0 > 0, modelliert werden, falls Objekte mit unendlich kleiner Ausdehnung in

einer oder mehreren Dimensionen betrachtet werden. Überlegen Sie sich die Ladungsdichte

ρ(⃗r) für folgende homogen geladene Objekte der Gesamtladung Q

a) eine rechteckige, unendlich dünne Platte mit den Ausdehnungen a und b in kartesischen

Koordinaten,

b) eine unendlich dünne 1.) Kreisschleife mit Radius R und 2.) Kreisscheibe mit Radius

R in Zylinder- und Kugelkoordinaten,

c) ein Hohlzylinder mit 1.) unendlich dünner Wand, Radius R und Länge l und 2.)

äußerem Radius R a , innerem Radius R i und Länge l, in Zylinderkoordinaten,

d) eine Hohlkugel mit unendlich dünner Wand in Kugelkoordinaten,

e) die unendlich dünne Mantelfläche eines Kreiskegels mit der Höhe h und Radius R

der Grundfläche, in Koordinaten Ihrer Wahl,

mit einer entsprechenden Proportionalitätskonstante N. Positionieren Sie die Objekte der

Symmetrie entsprechend günstig im Koordinatensystem. Bestimmen Sie N durch Integration,

so daß die Normierung ∫ R 3 ρ(⃗r)dV = Q erfüllt ist, wobei nun das Volumenintegral

über den gesamten Raum ausgeführt werden muß.

Beispiel: Die Ladungsdichte eines homogen geladenen, unendlich dünnen Drahtes entlang

der x-Achse, der Länge l, sowie Gesamtladung Q und Schwerpunkt im Ursprung des

Koordinatensystems lautet ρ(⃗r) = N Θ(x + l/2)Θ(l/2 − x) δ(y)δ(z), mit N = Q/l.

Aufgabe 2 : Kleines Nabla “1 × 1”

Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Identitäten

a) ∇ ⃗ · ⃗r = 3, b) ∇ ⃗ × ⃗r = 0, c) ∇ ⃗

⃗r r =

r ,

d) ∇φ(r) ⃗ = φ ′ (r) ⃗r r , e) ∇ ⃗

1

r = − ⃗r r 3,

(3 Punkte)

wobei ⃗r der Ortsvektor und r sein Betrag sind, sowie φ(r) ein skalares Feld. Was ist

f) ⃗ ∇ · ⃗∇ 1 r ?

Aufgabe 3 : Methode der Spiegelladungen

(5 Punkte)

Eine Ladung Q sei am Ort x = a, y = b, z = 0 fixiert und befindet sich vor einer leitenden,

geerdeten Winkelplatte mit dem Winkel 90 ◦ (siehe Skizze).

1


a) Geben Sie das elektrostatische Potential

im Bereich x > 0, y > 0 an. Es

bietet sich an die Methode der Spiegelladungen

zu verwenden. Überprüfen

Sie dabei, daß die von Ihnen gewählte

Anordnung der Scheinladungen auch

tatsächlich die Randbedingung für das

Potential auf der Winkelplatte erfüllt.

b) Berechnen Sie die auf die Ladung Q

wirkende Kraft.

c) Berechnen Sie die influenzierte Ladung auf der x − z-Ebene (y = 0, x > 0) der

Winkelplatte.

Aufgabe 4 : Potentialentwicklung

(8 Punkte)

Gegeben sei die folgende Entwicklung eines Potentials Φ(⃗r), das von einer Ladungsdichte

ρ(⃗r) erzeugt wird

Φ(⃗r) = 1 ∫

{

}

d 3 ⃗r ′ ρ(⃗r ′ )

4πε 0 |⃗r − ⃗r ′ | = 1 q ⃗p · ⃗r

+ + 1 3∑ Q ij r i r j

+ . . . (1)

4πε 0 r r 3 2 r 5

mit r = |⃗r|.

I.a) Welche physikalische Bedeutung haben q, ⃗p und Q ij und wie berechnet man sie aus

einer gegebenen Ladungsdichte ρ(⃗r)?

b) Welche Symmetrieeigenschaften besitzt der Tensor Q ij ? Berechnen Sie die Spur

Sp(Q) = ∑ 3

i=1 Qii . Wieviele linear unabhängige Komponenten besitzt Q ij somit im

allgemeinen Fall?

II.a) 2 Punktladungen Q 1 und Q 2 seien an den Orten ⃗r 1 = ⃗a und ⃗r 2 = −⃗a angebracht.

Konstruieren Sie die dazugehörige Ladungsdichte mit Hilfe von Diracschen

δ-Funktionen und bestimmen Sie das Potential für große Entfernungen r ≫ |⃗a| für

den Fall 1.) Q 1 = Q 2 sowie 2.) Q 1 = −Q 2 . Skizzieren Sie Φ(⃗r), vergleichen Sie mit

dem Feld einer Punktladung und berechnen Sie ⃗p.

b) Gegeben sei nun zusätzlich ein äußeres Feld ⃗ E(⃗r), das im Bereich der beiden Ladungen

als räumlich konstant angenommen werden kann. Berechnen Sie die jeweilige

Kraft und das Drehmoment, die auf Grund des Feldes auf die beiden Anordnungen

1.) und 2.) wirken.

III.a) Gegeben seien 4 Ladungen in der x − y-Ebene: q 1 bei ⃗r 1 = (a, 0, 0), q 2 bei ⃗r 2 =

(0, a, 0), q 3 bei ⃗r 3 = (−a, 0, 0) und q 4 bei ⃗r 4 = (0, −a, 0). Die Ladungsverteilung sei

neutral. Konstruieren Sie die resultierende Ladungsdichte mit Hilfe von Diracschen

δ-Funktionen und berechnen Sie q, ⃗p und Q ij dieser Ladungsverteilung.

b) Geben Sie mit Hilfe der Ergebnisse aus III.a) jeweils eine geeignete Konfiguration der

Ladungen an, so daß 1.) ⃗p und 2.) Q ij verschwindet. 3.) Gibt es eine Konfiguration,

bei der sowohl ⃗p als auch Q ij gleichzeitig verschwinden? Falls dies nicht möglich ist,

skizzieren Sie eine einfache andere geometrische Anordnung von Punktladungen, bei

der dies der Fall ist.

i,j=1

2

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