2.¨Ubungsblatt zur Physik I

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2.¨Ubungsblatt zur Physik I

2. Übungsblatt zur Physik I

Prof. Dr. G. Hiller, Prof. Dr. T. Weis

Abgabe am Donnerstag, den 2. November 2006, bis 16:00 Uhr WS 2006/07

Aufgabe 5 : Drehmatrizen

Gegeben ist die Drehmatrix


cos φ sin φ


0

D φ = ⎝− sin φ cos φ 0⎠ .

0 0 1

(5 Punkte)

a) Berechnen Sie die Determinate von D φ .

b) Berechnen Sie D φ D T φ .

c) Was ist die Inverse von D φ ?

d) Was ändert sich physikalisch, wenn die Drehmatrix folgende Gestalt hat:


cos φ − sin φ


0

D 1,φ = ⎝sin φ cos φ 0⎠ .

0 0 1

e) Zeigen Sie, dass gilt: D φ1 D φ2 = D φ1 +φ 2

.

f) Zeigen Sie, dass die Anwendung einer Drehmatrix auf einen Vektor ⃗a die Länge des

Vektors nicht verändert.

g) Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen zwei Vektoren ⃗a und ⃗ b sich nicht ändert, wenn

beide Vektoren mit der selben Drehmatrix D φ gedreht werden.

Aufgabe 6 : Der ɛ-Tensor

Gegeben ist der ɛ-Tensor mit folgenden Eigenschaften


⎪⎨ 1, wenn i, j, k zyklisch angeordnet sind

ɛ ijk = −1, wenn i, j, k antizyklisch angeordnet sind .

⎪⎩

0, sonst

(7 Punkte)

Ausserdem ist das Kronecker-Delta δ mit folgenden Eigenschaften gegeben:

{

1, wenn i = j

δ ij =

0, wenn i ≠ j .

Hierbei durchlaufen die Indices die Werte 1, 2 und 3.

a) Schreiben Sie alle nicht verschwindenen Komponenten von ɛ ijk auf.

b) Zeigen Sie, dass man das Kreuzprodukt wie folgt darstellen kann:

(

⃗a × ⃗ )

b =

3∑

i=1

3∑

j=1 k=1

1

3∑

ɛ ijk a j b k ê i


c) Zeigen Sie, dass gilt: (Zusatzaufgabe)

∣ δ il δ im δ in∣∣∣∣∣

ɛ ijk ɛ lmn =

δ jl δ jm δ jn

∣δ kl δ km δ kn

d) Berechnen Sie:

e) Zeigen Sie, dass gilt:

f) Zeigen Sie, dass gilt:

g) Berechnen Sie:

3∑ 3∑

3∑

i=1 j=1 k=1

ɛ ijk

3∑

ɛ ijk ɛ imn = δ jm δ kn − δ jn δ km

i=1

3∑ 3∑

ɛ ijk ɛ ijn = 2δ kn

i=1 j=1

3∑ 3∑ 3∑

ɛ ijk ɛ ijk

i=1 j=1 k=1

h) Zeigen Sie mit Hilfe der vorherigen Aufgabenteilen, dass gilt:

⃗a × ⃗ b = − ⃗ b × ⃗a

i)

(

⃗a × ⃗ )

b × ⃗c = ⃗ ( )

b (⃗a · ⃗c) − ⃗a ⃗b · ⃗c

bitte wenden

2


Aufgabe 7 : Koeffizientenvergleich

Betrachten Sie folgende Differentialgleichung 2. Ordnung:

(5 Punkte)

ẍ = −χ 2 x.

Ein Ansatz zur Lösung dieser Gleichung laute auf

x(t) =

∞∑

a n (b · t) n .

n=0

Dabei habe x die Einheit Meter, t die Einheit Sekunde und χ die Einheit

1

Sekunde . Alle a n

haben die selbe Einheit.

a) Welche Einheiten haben a n und b? (Hinweis: Alle a n haben die selbe Einheit)

b) Geben sie b in Abhängigkeit von χ an.

c) Geben Sie eine rekursive Berechnungsvorschrift für die Folge a n an.

d) Es sei ẋ(0) = 0. Geben sie eine Berechnungsvorschrift für die Folgenglieder a 2n+1

an.

e) Es sei weiterhin x(0) = 1 m. Geben sie eine nicht rekursive Berechnungsvorschrift

für die Folgenglieder a 2n an.

f) Es gilt dann: x(t) ≡ a 0 f(bt). Benennen sie die Funktion f.

Aufgabe 8 : Dreiecksbeziehung

(4 Punkte)

Betrachten sie den folgenden Aufbau. Alle Rollen seien reibungsfrei und alle Seile massenlos.

Alle Massen erfahren eine konstante Beschleunigung a = g in −y Richtung.

y

M

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

1

θ θ 2 1

M

P

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

2

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

01

M

3

x

a) Geben Sie die Voraussetzungen an, damit sich Punkt P in einer dynamischen Gleichgewichtslage

befindet.

b) Für die beiden Winkel gelte: θ 1 + θ 2 = θ = π 2 . Geben Sie M 1 und M 3 als Funktion

von θ 1 und M 2 an, wenn P im dynamischen Gleichgewicht ist.

3

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