pdf-Vortrag

Simulation der Himmelsmechanik
18.5.2009 Dr. Christian Anders,
AG Computersimulation und Materialwissenschaften
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Simulation der Himmelsmechanik
1. Keplers and Newtons Gesetze
2. Numerische Lösung: Runge-Kutta-Algorithmus
3. Bahntypen
4. Eingeschränktes Dreikörperproblem
5. Interaktive Simulation des Dreikörperproblems
Trojaner im Sonnenystem, der „2. Mond der Erde”
Kometeneinfang, Voyager
Doppelsternsysteme, Stabilität und Chaos
6. Literatur
2

1. Theorie der Himmelsmechanik:
Keplers Gesetze
Abgeleitet aus Beobachtungen
von Tycho Brahe
I+II [Astronomia nova, 1609]
I. Die Planeten bewegen sich
auf Ellipsen mit der Sonne
in einem der Brennpunkte.
II.
Der Fahrstrahl eines Planeten überstreicht
in gleichen Zeiten gleiche Flächen
( Drehimpulserhaltung)
III. [Harmonices mundi, 1619]
a 3 / T 2 = const (genähert für m p « M s )
Film der Keplerbewegung auf CD in [2]
a
a
3
1
3
2
=
T
T
2
1
2
2
( M
( M
S
S
+
+
m
m
1
2
)
)
(exakt)
3

Theorie der Himmelsmechanik:
• Gravitationsgesetz [Newton, 1687]:
F = -GMm/r 2 , F = ma
• Beschleunigung
von Objekt i:
r
a
= −G
• n Himmelskörper: System von
n Differentialgleichungen 2. Ordnung (xyz->3n)
• Phasenraum: Ort x und Geschwindigkeit v
als unabhängige Variablen, zusammengesetzter Vektor:
∑
• 2n Differentialgleichungen 1. Ordnung (xyz->6n)
für zusammengesetzte Ableitung g(y)
i
r
y
r
dy
dt
=
≡
d
dt
⎛
=
⎜
⎝
²
²
r
x
i
i≠
j
r
m
j
( xi
r
| x −
i
−
r
x
r r r r r r r r
( x,
v),
x = ( x ,..., xn),
v = ( v1,...,
v
r
dx
dt
r
dv
dt
r
⎞ ⎛ v ⎞
⎟ = ⎜ r r ⎟ ≡
⎠ ⎝a(
x)
⎠
j
r
x
|
j
³
1 n
r r
g(
y)
)
)
4

2. Numerische Lösung
• Einfache Euler-Rekursion mit Zeitschritt h:
r r r r
y ( t + h)
= y(
t)
+ hg(
y(
t))
+ o(
h²)
• Runge-Kutta-Algorithmus
[Press et al., Numerical Recipes]
r r r
k1
= h ⋅ g(
y(
t))
r r r r
1
k2
= h ⋅ g(
y(
t)
+
2
k1)
r r r r
1
k3
= h⋅
g(
y(
t)
+
2
k2)
r r r r
k4
= h ⋅ g(
y(
t)
+ k3)
r r r
y(
t + h)
= y(
t)
+
1
6
y(t)
[ ]
4
k + 2k
+ 2k
+ k + o(
h )
1
r
2
r
3
r
4
y(t+h)
Genauigkeit o(h 4 ) durch Zwischentangenten k 1- 4
Erde-Sonne: h = 2d (ohne ,h=T/180, T: Jahr, MD: h=T/50)
• Weitere Verbesserung: adaptiver Zeitschritt h
bei hoher Exzentrizität, Geschwindigkeit und Nähe (Kometen) 5

3. Bahntypen
• Energie eines Planeten im Zweikörpersystem
1 GMm Mm
µ = m: Planet, M: Stern
• Große Halbachse (vis viva Satz) a = - ½GMm/E
• Bahntyp
E > 0 => Hyperbel (nicht gebunden)
E = 0 => Parabel (Grenzfall)
E < 0 => Ellipse
µv²
E
E
2
=
= µv²
= − 1
2
GMm
GMm
r
⇒
=> Kreis für v ⊥ r und
v
−
=
r
GM
r
m +
für m « M
r r²
• Kreis für m→ M im GM M Gm m
v
p
= , vS
=
Schwerpunktssystem r m + M r m + M
Planetennachweis: v s des Sterns via Dopplereffekt
M
6

4.Eingeschränktes Dreikörperproblem
• [Lagrange 1772] analytisch lösbar
zwei schwere Massen M 1 und M 2
mit M 2 < 38,5‰ (M 1 +M 2 )
und m « (M 1 +M 2 )
• Betrachtung im mit Basislinie M 1 -M 2
mitrotierenden Bezugssystem
• Effektives Potential:
r GM GM
2
V (
) = − r r − r r
|
− R | |
− R
1
r
1
• r: Vektor vom Schwerpunkt (COM) zu m
ω: Winkelgschwindigkeit,
G: Gravitationskonstante
R 1 , R 2 Orte von M 1 und M 2
2
|
ω²
−
2
²
Equipotentiallinien
• Instabile Punkte: L 1 , L 2 , L 3
• Stabile Punkte: L 4 , L 5
Korrioliskraft hält Objekt in der Nähe
• [Davies & Greenberg 1978]:
Stability at potential maxima
Bilder: gnuplot
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Trojaner
L 4
L 3 L L 1 2
L 5
M 1
, M 2
und m in L 4
bzw. L 5
bleiben auf gleichseitigem Dreieck, Bild aus [3]
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Ausnutzung der Lagrangepunkte
• Mars + Eureka + 3 weitere Trojaner
• Trojaner von Jupiter (N>2000)
• Saturns natürliches Laboratorium:
Thetys (Ø = 1060 km)
+ Telesto, Calypso (Ø je 26 km),
Dione (1118 km) + Helene (32 km),
Janus + Epimetheus (Hufeisenbahn)
• Neptun + 5 Trojaner
• Asteroid 3753: weiterer „Mond“
der Erde auf Hufeisenbahn:
Nature 387 (1997) Seite 651f und 685f
+2002AA 29
• Raumsonden:
(Dauerbeleuchtung oder Schatten)
SOHO (L 1 ), WMAP (L 2 ),
HERSCHEL+PLANCK (L 2 ), JWST (L 2 ),
DARWIN (L 2 ?)
Bilder von Wikipedia
und [7] (SuW 1/2008)
• Exoplaneten an Trojanerpositionen in
Doppelsternsystemen: zusätzliche Transite
bei bedeckungsveränderlichen Sternen ?
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Simulation im mitrotierenden Bezugssystem
• Gelb: Sonne, weiß: Jupiter, violett: gestörtes Objekt bei L 4 ,
blau, weiß, rot: Objekte in verschiedenen Abständen zu L 5
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5. Simulation
http://www.physik.uni-kl.de/urbassek/research/anders/Gravity/Gravitation.html
6. Literatur
1. Richard Greenberg & Donald Davis: 'Stability at potential maxima:
The L 4 and L 5 points of the restricted three-body problem' in
American Journal of Physics, 46, Vol 10, Oct. 1978. p 1068 ff
2. CD mit Film von Keplerbahn in Kaufmann and Freedmann,
Universe,1999
3. Keller, Kompendium der Astromomie, Stuttgart 2008
4. Oliver Montenbruck, Grundlagen der Ephemeridenrechnung,
Heidelberg 2001 (Praktische Berechnung von Bahnelementen)
5. Nature 387 (1997) p 651f, p 685f
Asteroid 3753 als Begleiter der Erde
6. Press et al., Numerical Recipes in C, Cambridge 1992,
Reprint 1999
7. Sterne und Weltraum 1/2008
(Planck + Herschel Mission)
8. Vorlesung Prof. Urbassek Sonnensystem WS 06/07
9. Trojan Exoplanets: http://www.trojanplanets.appstate.edu
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