Wellenlehre und Optik - Physik-Institut - Universität Zürich

Roland Engfer
Physik A
für Naturwissenschaftler
Teil 4: Wellenlehre und Optik
UNIVERSITAS
TURICENSIS
MDCCC
XXXIII
Skriptum zur Vorlesung von Andreas Schilling
SS 2005
Physik-Institut der Universität Zürich
September 2004

Inhaltsverzeichnis
1 Eindimensionale Wellen 1
1.1 Gekoppelte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Beispiele zur Fourier-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Wellen in verschiedenen Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Transversale Wellen einer Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Longitudinale Wellen in einem dünnen Stab . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Longitudinale Wellen in Gasen und Flüssigkeiten . . . . . . . . . . 8
1.3.4 Elektrische Drahtwellen (Lecherleitung, Koaxkabel) † . . . . . . . . 9
1.3.5 Der Wellenwiderstand einer Drahtleitung † . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.6 Wasserwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Reflexion und Transmission von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Die Energie und Intensität einer Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Der Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Energiebetrachtung einer harmonischen Welle † . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Ausbreitung von Wellen im Raum 21
2.1 Ebene und Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Elektromagnetische Wellen † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Die Intensität einer elektromagnetischen Welle † . . . . . . . . . . 23
2.1.5 Experimente zur Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.6 Spektren und Erzeugung elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . 25
2.1.7 Die klassisch-atomistische Betrachtung einer Lichtwelle in einem
Gas † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Optik 29
3.1 Strahlenoptik, Geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Lichtstrahlen; das Fermat’sche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.3 Abbildung durch Spiegelung und Brechung . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.4 Abbildung durch dünne und dicke Linsen . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.5 Abbildungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1 Das Huygensche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Interferenz von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Interferenz zweier Wellen. Kohärenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Interferenzrohr von Quincke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.3 Young’scher Interferenzversuch (Doppelquelle) . . . . . . . . . . . . 40
3.3.4 Interferometer von Jamin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.5 Das Michelson Morley Interferenz-Experiment . . . . . . . . . . . . 41
3.3.6 Interferenzen mehrerer Wellen an dünnen Schichten . . . . . . . . . 44
3.4 Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
i

3.4.1 Fraunhofersche Beugung am Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Beugung an kreisförmiger Öffnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.3 Beugung am Strichgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.4 Fresnelsche Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Optische Instrumente und ihr Auflösungsvermögen . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.1 Menschliches Auge und Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.2 Astronomisches Fernrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.3 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.4 Abbildung im Mikroskop mit dem Phasenkontrastverfahren † . . . . 58
3.5.5 Auflösungsvermögen eines Gitterspektrographen † . . . . . . . . . . 59
3.6 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.1 Polarisationsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.2 Polarisation durch Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.3 Polarisation durch Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6.4 Polarisation durch Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6.5 Grundprinzip eines Polarisationexperimentes in gekreuzter Anordnung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.6 Interferenzen im polarisierten Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.7 Magnetische Drehung der Polarisationsebene (Faraday-Effekt) † . . 65
A Physikalische Konstanten Stand 1986 67
B Grössen und Einheiten der Physik 68
B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
B.1.1 Grösse und Zahlenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
B.1.2 Grössenart und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
B.1.3 Grössengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B.1.4 Winkel und Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B.1.5 Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen . . . . . . . . . . . . . 69
B.2 SI-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
B.2.1 Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.T. mit speziellen Namen 72
B.2.2 Verschiedene Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
B.2.3 Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten . . . . . . . . . . . . . 74
B.3 Astronomische Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
C Mathematische Hilfsmittel 75
C.1 Mathematische Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.1.1 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.1.3 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.1.4 Inverse Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.1.5 Ableitungen und unbestimmte elementare Integrale . . . . . . . . . 76
C.1.6 Einige bestimmte Integrale, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
C.1.7 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
C.2 Zusammenstellung von Differentialgleichungen in Physik A . . . . . . . . . 78
C.3 Vektorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ii

Wellenlehre und Optik
In der Mechanik und Elektrizitätslehre wurden Schwingungen eines Massenpunktes
oder eines elektrischen LC-Kreises behandelt. Wir verstehen dabei unter Schwingungen
die periodische Zustandsänderungen an einem Raumpunkt. Auch in den Festkörpern
schwingen Atome ständig um ihre Ruhelage, d.h. der dynamische Zustand ist eigentlich
die Regel. Schwingungen können sich auch im Raum ausbreiten, wenn das schwingende
Medium mit anderen schwingungsfähigen Systemen gekoppelt ist; es können Wellen
als eine räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes entstehen, wie z.B. mechanische,
elektromagnetische, akustische, thermische oder Gavitationswellen. Alle zeigen
allgemeingültige Erscheinungen und Beschreibungen. Im Kapitel 1 werden einfache eindimensionale
und im Kapitel 2 dreidimensonale Wellen behandelt.
1 Eindimensionale Wellen
Harmonische Schwingungen der Mechanik und Elektrizitätslehre, d.h. periodische Änderungen
entsprechender Grössen werden mathematisch mit sin- oder cos-Funktionen btw.
im komplexen mit Exponentialfunktionen beschrieben, wie:
linearer Oszillator x(t) = x ◦ cos(ωt + δ) bzw. x(t) = x ◦ e i(ωt+δ)
mathem. Pendel ϕ(t) = ϕ ◦ cos(ωt + δ) bzw. ϕ(t) = ϕ ◦ e i(ωt+δ)
Wechselspannung V (t) = V ◦ cos(ωt + δ) bzw. V (t) = V ◦ e i(ωt+δ)
Wechselstrom I(t) = I ◦ cos(ωt + δ) bzw. I(t) = I ◦ e i(ωt+δ)
Andere Schwingungstypen können periodisch aber nicht mehr harmonisch schwingen,
wie die im folgenden diskutierten
Beispiele in der
Figur zeigen.
✻ x(t)
✲ t
1.1 Gekoppelte Schwingungen
✞ ☎✞ ☎✞ ☎
✲ t
✞ ☎ ✞ ☎ ✞ ☎
✲ t ✲ t
✝ ✆ ✝ ✆ ✝ ✆
✲ t
Zwei gleiche Oszillatoren mit der Massen m und der Federkonstanten k, die die Eigenfre-
√
k ✎☞ m
k ′ ✎☞ m quenz ω
k
◦ = 2π = k
haben, sind mit einer weiteren
T m
∼∼∼∼∼∼∼∼ ∼∼∼ ∼∼∼∼∼∼∼∼
✍✌ ✍✌ Feder mit der Federkonstanten k ′ miteinander gekoppelt.
x 1 , x 2 sind die Auslenkungen der beiden Massen
✲ x 1 , x 2
x 1 =0 x 2 =0
und x 1 = 0, x 2 = 0 ihre Gleichgewichtslagen.
Die Bewegungsgleichungen sind die zwei gekoppelten linearen Differentialgleichungen:
m d2 x 1
dt 2 = −kx 1 + k ′ (x 2 − x 1 ) (1) m d2 x 2
dt 2 = −kx 2 − k ′ (x 2 − x 1 ) (2)
Ist speziell eine harmonische Bewegung möglich, sollte der Ansatz 1
x 1 (t) = A cos ωt und
x 2 (t) = B cos ωt
1 Der Ansatz liefert eine partikuläre d.h. keine vollständige Lösung (vgl. Kap. ?? Fussnote −3 ).
Einsetzen einer Gleichung in die 2mal differenzierte zweite ergibt eine lineare Dgl. 4.Ordnung
x (4)
1 + 2x (2)
1 (k + ) − x k′ 1 k 2 = 0 und analog für x 2 mit den vollständigen Lösungen.
1

zu einer partikulären Lösung führen. Einsetzen in Gl. (1) und (2) liefert
A
(−ω 2 + k ) )
)
m + k′
+
(− k′
B = 0 und A
(− k′
+B
(−ω 2 + k )
m m
m m + k′
= 0 (3)
m
} {{ } } {{ }
} {{ } } {{ }
a b
b
a
Dies ist ein lineares Gleichungssystem
aA + bB = 0
bA + aB = 0
das für die unbekannten Amplituden A und B nur dann nicht triviale Null-Lösungen hat,
wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix Null ist, d.h.
∣
a b
b a
∣ = 0 ⇒ a2 − b 2 = 0 mit den 2 Lösungen a = −b und a = +b.
Mit Gl. (3) folgen damit die Frequenzen für die beiden Lösungen
ω 1 =
√
k
m gleich der Frequenz ohne Kopplung und ω 2 =
√
k + 2k ′
m .
Das gekoppelte System hat also zwei harmonische Lösungen mit den Eigenfrequenzen
ω 1 und ω 2 . Die Amplituden sind aus Gl. (3) bestimmt zu A 1 = B 1 für ω 1 und zu
A 2 = −B 2 für ω 2 :
√
ω 1 = k , A m 1 = B 1 Normalschwingungen
√
k+2k
ω 2 =
′
, A m 2 = −B 2
In der Normalschwingung ω 1 schwingen beide Massen in Phase ohne eine Beanspruchung
der Kopplungsfeder k ′ , mit ω 2 schwingen sie in Gegenphase, z.B. im Experiment:.
ω 1
ω 2
✟ ✟✟
✉
❍ ✉
❍
❄ ❄ ❍ ✟ ✟✟ ✉
✄ ✄
✄
❄ ❅
❅ ✻ ❅✟ ✉
✟ ✟ oder ✄ ✄
❈❈ ✄
✉✄
✉✄
❈ ✉ ✉✄
✛ ✛
✲ ✛
√ ω 1
ω 2
k+k
Legt man die Grundschwingung fest zu ω ◦ =
′
, indem eine Masse festgehalten wird,
m
d.h. es wirkt die Federkonstante k + k ′ , dann erhält man für den gekoppelten Fall die
beiden zu ω ◦ symmetrischen Normalschwingungen dargestellt als Diagramm in ω:
ω
✻
ω ◦ =
√
k + k ′
m
entkoppelt
❅
❅
❅
gekoppelt
ω 2 =
ω 1 =
√
k + k ′ + k ′
m
√
k + k ′ − k ′
=
√
k + 2k ′
In der Atomphysik ist die Energie eines Zustandes durch seine Eigenschwingung E = ¯hω
gegeben und dieses Diagramm ist dann die Energiedarstellung eines ohne eine Kopplung
entarteten Zustandes zweier gleicher Atome E ◦ = ¯hω ◦ , deren Entartung dann durch
Einschalten einer Kopplung oder Störung [z.B. Magnetfeld (Zeeman-Effekt), elektrisches
m
=
√
k
m
m
2

Feld (Stark-Effekt), Tunneleffekt (Ammoniak-Laser), schwache Wechselwirkung
(K ◦ − ¯K ◦ -Oszillation) Kap. 1.1.1 S.5] aufgehoben oder aufgespalten wird.
Die beiden Normalschwingungen sind als Spezialfall nicht die allgemeine Lösung des
gekoppelten Systems. Nach dem Superpositionsprinzip müssen auch Linearkombinationen
der Normalschwingungen mit den Amplituden A = A 1 = A 2 Lösungen sein, wie man
durch Einsetzen in Gl. (2) überprüfen kann. Mit den goniometrischen Beziehungen gilt:
( ω1 + ω 2
x 1 (t) = A cos ω 1 t + A cos ω 2 t = 2A cos
2
( ω1 + ω 2
x 2 (t) = A cos ω 1 t − A cos ω 2 t = −2A sin t
2
) ( ω1 − ω 2
t · cos
2
)
)
t
( ω1 − ω 2
· sin t
2
Ist die Kopplung nur schwach k ′
≪ k, dann ist |ω 1 − ω 2 | ≪ (ω 1 + ω 2 ), d.h. ω 1 ≈ ω 2 und
der zweite Term in Gl. (4) cos[(ω 1 − ω 2 )t/2] variiert mit der Zeit t viel langsamer als der
erste Term und die Amplitude 2A wird mit der Frequenz (ω 1 − ω 2 )/2 moduliert.
Die Bewegung ist nicht mehr harmonisch aber
x 1
noch periodisch, man bezeichnet sie als eine
Schwebung. Die Amplitude und damit die kinetische
Energie wechselt von der einen zur anderen
t
Masse. Die Periode der Schwebung
τ
x 2π
2
τ =
(ω 1 − ω 2 )/2 · 1
4 = π
ω 1 − ω 2
t
ist um so länger, je kleiner die Kopplung ist; es
braucht mehr Zeit, die Energie zu übertragen.
Geht man von N = 2 zu N = 3, 4, · · · gekoppelten gleichen Oszillatoren über, dann
gibt es (in hier nicht vorgeführter Rechnung) N Normalschwingungen mit N Frequenzen
ω 1 , ω 2 , · · · ω N mit
ωn 2 = 4Z nπ · sin2 , mit n = 1, 2, · · · N,
ml 2N
Z ist der Zug der Feder in der Ruhelage, l der Abstand der Massenpunkte in der Ruhelage.
Für N sehr gross wird mit Nl = L Gesamtlänge, m/l = µ Massenbelegung
ω 2 n = 4Z
ml · n2 π 2
4N 2 = Z µ · (πn)2
L 2 , für n ≪ N (die niedrigeren Schwingungen)
)
.
(4)
ω 1 = π L√
Z
µ ist die Grundschwingung und ω n = n · ω 1 die Oberschwingungen.
Ein System von N Massenpunkten kann in einer Dimension N Normalschwingungen
mit den Eigenfrequenzen ω 1 , ω 2 . . .ω N ausführen.
ω 1
✉
❍❍❍
✟ ✟✟✏✏✏ ✉ ✉
❄ ❄ ❄
ω 2
✟ ✟✟❍ ✉
❍
❄ ❍❍❍❍✟ ✉
✻
✉
✟ ✟
3
ω 3
✟ ✟✟ ✉ ✉
❅❅ ❍ ❍
❄ ✻ ❄ ❍
❅ ✉
Z.B. Transversalschwingung
von 3
gekoppelten Oszillatoren
mit 3 Normalschwingungen
ω 1 , ω 2 , ω 3 .

Die allgemeine Bewegung eines Massenpunktes k ist die Überlagerung aller harmonischer
Normalschwingungen mit beliebigen Amplituden A k1 ...A kN mit der Auslenkung
u k =
N→∞ ∑
n=1
A kn · cos(ω n t + δ kn ) mit ω n = n · ω 1 Theorem von Fourier (5)
Für eine allgemeine periodische Bewegung wie die einer Saite wird N → ∞, es gibt
mathematisch unendlich viele Oberschwingungen. Die Bewegung ist periodisch aber nicht
mehr harmonisch. Gleichung (5) ist das in der Mathematik bekannte Theorem von Fourier,
nach dem eine periodische Bewegung in eine Summe von harmonischen Bewegungen
zerlegt werden kann, deren Frequenzen ein ganzes Vielfaches der Grundfrequenz sind. Voraussetzung
ist die Periodizität der Funktion f(t+T 1 ) = f(t) mit der Periode T 1 = 2π/ω 1 .
Jede Frequenz hat zwei Variable A n und δ n oder mit den goniometrischen Beziehungen
die Koeffizienten B n , C n :
∞∑
∞∑
f(t) = A ◦ + A n · cos(ω n t + δ n ) = A ◦ + [B n · cos(nω 1 t) + C n · sin(nω 1 t)], (6)
n=1
n=1
f(t) ✓ ✏ ✓ ✏
mit 2 C n = 2 ∫T 1
f(t) · sin(nω 1 t) dt,
✻
✄ ✄ ✄ ✄ ✄ ✄
T 1
0
A ◦
✆ ✄ ✞ ✆ ✄ ✞ ✆ ✄
✛ ✲
✡ ✠
T A ◦ = 1 ∫T 1
f(t) dt, B n = 2 ∫T 1
f(t) · cos(nω 1 t) dt.
1 ✡ ✠
T 1 T 1
✲ t
0
0
1.1.1 Beispiele zur Fourier-Analyse
1. Reine sin 2 -Funktion
f(t)
f(t) = sin 2 (ω t + π/4), T 1 = T/2 = π/ω = 2π/ω 1 ,
T 1
1
1
2
2. Sägezahnkurve
f(t)
1 ✻
✁
✁ ❆ ❆
0
-1
❆
❆
❆ ❆✁
✁ ✁ ✁
✛
✁ ✁❆ ❆
❆
t
f(t) = 1 2 (1 + sin 2ω t) = 1 2 + 1 sin 2ω t.
2
Diese Bewegung enthält nur die nullte Schwingung und die
Grundschwingung ω 1 = 2ω.
Mit Gl. (5) und f(t) = 1 − 4t/T 1 für 0 < t < T 1 /2;
sowie f(t) = −1 + 4t/T 1 − 2 für T 1 /2 < t < T 1 erhält man
✲
T 1
✁ ✁❆ A ◦ = 0, B n = 8
❆
π 2 n 2, C n = 0,
✁ ✲ t
❆
❆ ✁ ✁ da f(t) eine gerade Funktion ist, nur cos-Terme
❆✁
f(t) = 8 [cosω
π 2 1 t + 1 9 cos 3ω 1t + 1 ]
25 cos 5ω 1t + · · ·
∫ T1
2 aus ∫ T 1
∫ T1
f(t)dt = A
0 0 T 1 , f(t) · cos(mω
0 1 t)dt = B n T 1 /2, f(t) · sin(mω
0 1 t)dt = C n T 1 /2,
alle Terme mit ungeraden Potenzen von sin und cos in den Summen verschwinden im Integral, und
nur die quadratischen Terme mit m = n ergeben T 1 /2.
4

✻
A(ω)ω
Das Amplitudenfrequenzspektrum der einzelnen Fourier-
Komponenten A(ω) ist durch den Koeffizienten B n = 8
π 2 n 2
mit ω = nω 1 gegeben. Es ist ein Linienspektrum. Die Oberschwingungen
✲ ω
sterben schnell ∝ 1/n 2 aus, die Sägezahnkur-
ve ähnelt einer cos-Kurve.
3. Rechteckkurve
f(t)
1 ✻
✛ T 1✲
Mit Gl. (6) ist A ◦ = B n = 0, C n = 4 , n = 1, 3, 5, ...
n
f(t) = 4 π
[
sin ω 1 t + 1 3 sin 3ω 1 t + 1 ]
5 sin 5ω 1 t + · · ·
0
✲ t
mit ω 1 = 2π
T 1
. Die ungerade Rechteckkurve enthält nur
-1
sin-Terme, mit einer Phasenverschiebung T 1 /4 würde man
dasselbe Ergebnis nur mit cos-Termen erhalten.
A(ω)
✻
Das Amplitudenfrequenzspektrum der Rechteckkurve
nimmt ∝ 1/n langsamer für die Oberschwingungen ab als
das der Sägezahnkurve, da die Rechteckkurve einer reinen
✲ ω harmonischen cos-Kurve weniger ähnlicher ist.
ω 1 3ω 1 5ω 1 7ω 1
4. Analogien in der Atomphysik und Teilchenphysik
Elektronen der Atome eines Festkörpers (z.B. mit regelmässiger Kristallstruktur)
können als eine Kopplung von einer sehr grossen Zahl identischer Oszillatoren angesehen
werden. Sie haben daher eine unendlich dichte Folge von Normalschwingungen, die
das Leitungsband und das Valenzband des Festkörpers bilden (Kap. ??).
N❤
✏ H ❤
❤H ✏ ✏✏✏✏ ✄ ❍ d ❄ ✄ ❍❍❍❍ ✄
H ❤
✄
✏ H ❤
❤H ✏ ✏✏✏✏ ✄ ✻
❍ ✄ ❍❍❍❍ d ✄
❤
✄
N❤
H
Ammoniak NH 3 kann das Stickstoffatom in zwei identischen
Zuständen oberhalb und unterhalb der drei
Wasserstoffatome angeordnet haben. Oben und unten
sind durch die Richtung des elektrischen Dipolmomentes
dieses polaren Moleküles definiert. Durch
den quantenmechanischen Tunneleffekt, analog zu einer
sehr schwachen Feder, tunnelt das N-Atom
zwischen den beiden Zuständen, deren Entartung damit aufgehoben wird. Dieses System
findet als Ammoniak-Maser eine messtechnische Anwendung.
Es gibt etliche ähnliche Systeme wie Methylalkohol CH 3 OH mit 3 entarteten
Zuständen, den Stark-Effekt (Aufspaltung durch Kopplung von Atomzuständen in einem
elektrischen Feld), u.a. In der Teilchenphysik ist die Oszillation zwischen dem neutralen
K ◦ und seinem Antiteilchen K ◦ infolge der schwachen Wechselwirkung als Kopplung ein
bekanntes Beispiel eines Systems mit zwei Zuständen. Nach der Neutrinooszillation ν ↔ ¯ν
wird seit langem gesucht.
1.2 Die Wellengleichung
Eine einseitig befestigte, unendlich lange Kette von gekoppelten
Oszillatoren sei in Ruhe. Sind die Oszillatoren
∼∼∼ ❤ ∼∼∼ ❤ ∼∼∼ ❤ ∼∼∼ ❤ ∼∼∼· · ·
✲ genügend klein, dann gehört zu jeder Ortskoordinate x
x
0
die Gleichgewichtslage des Oszillators.
Wird der 1. Oszillator gestört, aus seiner Ruhelage ausgelenkt, dann überträgt sich die
Störung sukzessive auf die nächsten und sie breitet sich längs der x-Achse mit einer
charakteristischen Geschwindigkeit v aus. Diese zeitliche und räumliche Ausbreitung einer
5

Störung nennt man eine eindimensionale Welle. Sie transportiert Energie, ohne dass
u(x,t)
damit ein Materietransport verbunden ist.
✻ ✒ t ✄ ✄
✂ ✁
Quantitativ beschreibt man die Welle durch eine
t ◦+∆t
✟ ✟✟✟✟✟ ✟ ✟✟✟✟✟
✁ ✂ Funktion u(x,t), die Erregung (siehe die dreidimensionale
Figur). Im obigen Beispiel gibt u(x,t) die
✄ ✄
t ◦ ✂ ✁
✁ ✟ ✂✟
✟✟✟✟✟
✲ Verschiebung des Massenpunktes mit der Gleichgewichtslage
x zur Zeit t an.
x
x ◦ x ◦+∆x
Nimmt man an, dass sich eine Störung in ihrer ursprünglichen Form ungeändert längs der
x-Achse ausbreitet (keine Dispersion), dann muss gelten
∆x
u(x + ∆x, t + ∆t) = u(x, t) mit lim
∆t→0 ∆t = dx
dt = v
der Geschwindigkeit der Welle.
Diese Bedingung wird erfüllt, wenn für jedes x und t die Verknüpfung gilt
u(x,t) = u(x − vt) ,
denn u(x+∆x, t+∆t) = u(x+∆x−vt−v∆t) = u(x−vt). Damit ist (x−vt) =konst. und
dx −vdt = 0, d.h. dx = v. Für eine Welle, die sich in der negativen x-Richtung fortpflanzt
dt
ist analog
u(x,t) = u(x + vt).
Ist die ursprüngliche Störung harmonisch, dann ist die resultierende Welle ebenfalls
harmonisch u(x,t) = A sin[k(x ∓ vt) + δ] = A sin[kx ∓ ωt + δ]
mit dem negativen Vorzeichen für eine nach rechts und dem positiven Vorzeichen für eine
nach links laufende Welle. A ist die Amplitude, das Argument [k(x ∓ vt) + δ] die Phase
und δ die Phasenkonstante.
k ist die Wellenzahl mit der Dimension [1/m]. Da die Erregung u von den zwei
Variablen x und t abhängt, kann die Welle statt wie oben dreidimensional auch mit zwei
Darstellungen skizziert werden:
u(x, t o )
u(x o , t)
T
λ
δ x
ο
k
Momentanbild: t=to = konst.
δ'
ο
ω
Zeitbild: x=x o = konst.
t
u(x,t ◦ ) = A sin(kx − δ ◦ ),
δ ◦ = −(δ ∓ kvt ◦ )
mit der räumlichen Periode λ = 2π/k, also
k = 2π/λ [1/m].
λ ist die Wellenlänge.
u(x ◦ ,t) = A sin(∓ωt − δ ′ ◦),
δ ′ ◦ = −(δ + kx ◦ )
mit der Periode
T = 2π/kv = 2π/ω = 1/ν,
also kv = v · 2π/λ = 2πν = ω.
Die Geschwindigkeit der Welle ist v = λ T = νλ = ω k .
Harmonische Wellen können so beschrieben werden durch
6

u(x,t)=A · sin k(x − vt) bzw. A · cos k(x − vt)
u(x,t)=A · sin (kx − ωt) bzw. A · cos (kx − ωt)
( 2π
u(x,t)=A · sin
λ x − 2π )
( 2π
T t bzw. A · cos
λ x − 2π )
T t
u(x,t)=R { A e i(kx−ωt)} usw.
Da in jeder Welle x und t nur in der Kombination x ∓vt auftritt, kann für u(x,t) eine
partielle Differentialgleichung aufgestellt werden. Mit der Substitution w = x − vt und
zweimal partiell differenzieren von u(w) nach t und x erhält man:
∂u
∂t = du ∂w
dw ∂t
= −v
du
dw ,
∂ 2 u
∂t = −v d2 u ∂w
2 dw 2 ∂t = d2 u
+v2 dw 2,
∂ 2 u
∂x 2 = d2 u
dw 2 . Damit gilt3 die Wellengleichung
∂u
∂x = du ∂w
dw ∂x = du
dw ,
v 2∂2 u
∂x 2 = ∂2 u
∂t 2 v = konst. (7)
Jede Funktion der Form u(x − vt) ist somit eine Lösung der Wellengleichung, sofern die
Geschwindigkeit eine Konstante ist und nicht von der Amplitude (z.B. Wasserwelle) oder
der Frequenz (Dispersion des Lichtes) abhängt.
Für die Wellengleichung (7) werden im folgenden einige Beispiele diskutiert.
1.3 Wellen in verschiedenen Medien
1.3.1 Transversale Wellen einer Saite
u ✻u(x,t)
Eine dünne unbegrenzte Saite mit der Massenbelegung µ in [kg/m]
❄
✛Z ⌢⌣ ✲Z ✲ x
wird durch eine Kraft Z gespannt. Eine Transversalwelle längs
✻ der x-Achse hat das in der Figur skizzierte Momentanbild.
Die Newton’sche transversale Bewegungsgleichung eines Elementes dx der Saite ist
µ dx ∂2 u
∂t 2 = [Z sin α] x+dx − [Z sin α] x (8) und 0 = [Z cos α] x+dx − [Z cos α] x (9)
für die festgehaltene longitudinale Bewegung mit µ dx = dm. Für kleine Auslenkungen ist
u
✻
[Z sin α] x+dx
✛
[Z cos α] ✘✘✘✻ ✲
x
α ❄ [Z sin α] [Z cos α]
✘✾✘ ✘
✘ ✘ ✘✿ Z
Z
x+dx
x
x
x + dx
⇒
✲ x
∂ 2 u
∂t 2 = Z µ
sin α ≈ tanα = ∂u
∂x
, cos α ≈ 1, und mit Gl. (9) ist
Z(x + dx) = Z(x) =konst. eingesetzt in Gl. (8) ergibt
[( )
µ dx ∂2 u ∂u
∂t = Z −
2 ∂x
x+dx
∂ 2 u
∂x 2
Wellengleichung
der Saite
( ) ] ∂u
= Z ∂2 u
∂x ∂x 2dx ;
x
mit der Wellengeschwindigkeit v aus Gl. (7).
Der Ansatz u(x,t) = u(x − vt) = u(w) mit w = x − vt ist, wie mit Gl. (7) gezeigt
wurde, Lösung der Wellengleichung mit einer Geschwindigkeit v ∝ √ Z. Dies zeigen z.B.
die Eigenschaften von Saiteninstrumenten mit stehenden Wellen. Streicher im Orchester
stimmen die Instrumente durch Z-Variation. In der Detektortechnologie kann die mechanische
Drahtspannung von Vieldrahtkammern mit der Drahtfrequenz gemessen werden.
3 identisch für w = x + vt
v =
√
Z
µ
(10)
7

1.3.2 Longitudinale Wellen in einem dünnen Stab
A
σ(x) ✛
u(x)
x
✲
ρAdx
} {{ }
dm
σ(x + dx)
✲
✲ u(x+dx)
✲ x
Ist ρ die Dichte eines dünnen unbegrenzten Stabes mit
dem Querschnitt A und dem Elastizitätsmodul E, dann
ist die Newton’sche longitudinale Bewegungsgleichung
mit σ(x) der Normalspannung im Stab an der Stelle x
und A ≈ konst.
x + dx
∂ 2 u
∂t = [Aσ] 2 x+dx − [Aσ] x = A σ x+dx − σ x
dx
dx
⇒ ρAdx ∂2 u
∂t = A∂σ 2 ∂x dx .
Die Dehnung des Stabelementes dx ist ǫ = ∂u . Aus dem Hook’schen Gesetz mit
∂x
ǫ = ∂u
∂x = σ(x)
E
folgt
∂ 2 u
∂t = E ∂ 2 u
2 ρ ∂x 2
∂σ
∂x = u
E∂2 ∂x 2
und mit der Bewegungsgleichung
die Wellengleichung des
longitudinalen Schalls im Stab v l =
√
E
ρ
Analog ist eine tranversale Welle in einem Stab durch die Wellengeschwindigkeit
(11)
charakterisiert v t =
√
G
ρ
mit dem Schubmodul G =
E
2(1 + m) , Poissonzahl m
In Messing ist z.B. mit E = 9.8 · 10 6
cm N , m = 0.38, G = 3.5 · 10 10 N 2 m , ρ = 8.3 · 10 3 kg
2 m , 3
v t = 2.06·10 3 m/s und v l = 3.52·10 3 m/s in guter Übereinstimmung mit dem gemessenen
Wert v exp
l = 3.33 ·10 3 m/s für die Schallgeschwindigkeit, die damit zehnmal grösser ist als
in Luft.
1.3.3 Longitudinale Wellen in Gasen und Flüssigkeiten
In Gasen gibt es keine Scherspannungen τ, daher können keine transversalen sondern nur
longitudinale Wellen mit Verdichtungen und Verdünnungen auftreten. Der Einfluss einer
Druckänderung auf ein Volumenelement V = a · b · l ist
✏✏ ✟ ✟
dp dV
✲ ✛ b
✟a
l dl
V = abdl
abl
= −k dp = k σ mit k = Gaskompressibilität.
Im Stab [Kap. 1.3.2] war die relative Dehnung ǫ = du
dx = σ E
und v = √ E
, damit ist mit ǫ = dl/l = kσ für das Gas v = √ 1
. Was ist jedoch im
ρ kρ
Gas die Kompressibilität? Da die Schallausbreitung im Gas schnell ist und keine Wärme
ausgetauscht werden kann, ist der Prozess adiabatisch und für ein ideales Gas gilt dann
pV κ = konst.,
κ = c p
c V
⇒ dpV κ + pκV κ−1 dV = 0, dp + pκ dV V = 0
⇒ dp + pκ(−k dp) = 0 ⇒ k = 1
κp
und damit
v =
√
1
kρ = √ pκ
ρ = λν
die Schallgeschwindigkeit
in einem Gas.
8

Schallgeschwindigkeit in einigen Gasen einatomig
κ = 5/3, zweiatomig κ = 7/5, dreiatomig κ = 8/6
Gas ρ κ theor κ/ρ
√
v/v Luft
kg/m 3 m 3 /kg κ/ρ
He 0.178 1.67 9.38 3.06 2.94
H 2 0.090 1.40 15.6 3.95 3.79
CO 2 1.977 1.33 0.67 0.82 0.79
SF 6 6.602 1.33 0.20 0.45 0.43
N 2 1.250 1.40 1.12 1.06 1.02
Luft 1.293 1.40 1.08 1.04 1.00
Freon 5.000 1.33 0.27 0.52 0.50
Für Luft z.B. ist T = 273 K,
p = 1.015 · 10 5 N m 2 , κ = 1.4
ρ = 1.29 kg/m 2 , v = 332 m/s.
Anwendung z.B. akustisches
Thermometer mit Resonanzmessung
einer stehenden Welle zwischen
einem Schwingquarz und
Reflektor v =
√
cp
c V
RT
M = λν,
gut bei T = 2 · · · 20 K mit Korrektur
für reale Gase.
Ist für eine Schallwelle λ < 2·Atomabstand (Hyperschall), dann spricht man auch von
einer Wärmewelle.
1.3.4 Elektrische Drahtwellen (Lecherleitung, Koaxkabel) †
Entlang von zwei langen, parallelen Drähten (Lecherleitung) oder in einem Koaxkabel
können elektrische Wellen übertragen werden. C ′ und L ′ sind die Kapazität und die
❜ ∼∼∼∼∼ ❜
U(x)
L ′ Selbstinduktion des Leiters pro Längeneinheit. Aus den Kirchhoffschen
Regeln folgt für das angegebene Ersatzschaltbild
dx
U(x + dx)
I(x) C ′ dx I(x + dx) mit I = I(x,t), U = U(x,t), I = dQ = ∂U · C ′ dx und
❜
❜
dt ∂t
Lecherleitung ✲ U = −L ∂I [Gl. ??]:
x
∂t
I(x) = I(x + dx) + ∂U(x) · C ′ dx und − L ′∂I(x) dx = U(x + dx) − U(x)
∂t
∂t
[ ]
I(x + dx) − I(x)
⇒ −
= C ′∂U(x) ; und − ∂I(x) = 1 [ ]
U(x + dx) − U(x)
dx
∂t
∂t L ′ dx
und damit
− ∂I(x)
∂x
= C′∂U(x) ; und − ∂I(x)
∂t
∂t
= 1 L ′ ∂U(x)
∂x
Durch differenzieren der beiden gekoppelten Differentialgleichungen nach ∂ ∂t und ∂
∂x und
subtrahieren erhält man eine partielle Differentialgleichung nur für U oder I:
mit
∂ 2
∂t∂x = ∂2
∂x∂t ⇒ − ∂2 I
∂x∂t = C′∂2 U
∂t 2 = − ∂2 I
∂t∂x = 1 L ′ ∂ 2 U
∂x 2 ⇒ ∂2 U
∂t 2 = 1
L ′ C ′ ∂ 2 U
∂x 2 .
Dies ist eine Wellengleichung mit v = 1/ √ L ′ C ′ . Für eine Koaxleitung mit einem zylindrischen
Innenleiterdurchmesser von 2r 1 und einem Aussenleiterdurchmesser von 2r 2
ist
2r 1
C ′ =
C
Länge =
Koaxialkabel Dipolkabel
★✥ ✞
☎
❄ ✻
1 2r 2
✻
✧✦❄
✝
✆
2πε 0ε
ln(r 2 /r 1 ) ; L′ = L
Länge = µ 0µ
2π ln(r 2/r 1 )
⇒ v =
√
1
L ′ C ′ =
1
√
µ0 µε 0 ε = c √ 1 (12) µε
9

Diese Wellengeschwindigkeit ist nur scheinbar unabhängig von der Frequenz, i.a. ist
zwar µ = µ(ω) ≈ 1 aber es ist ε = ε(ω) ≠ 1 und damit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit
von der Frequenz abhängig und die elektromagnetische Welle in einem Kabel zeigt √ eine
Dispersion, das Wellenpaket läuft auseinander. Für das Vakuum ist v = c = 1/µ 0 ε 0
[siehe Gl. (24) in Kap. 2.1.3].
1.3.5 Der Wellenwiderstand einer Drahtleitung †
Berücksichtigt man für ein Koaxkabel oder eine Lecherleitung auch die Ohm’schen Widerstände
längs der Leitung R und zwischen den beiden Leitungen R G , dann kann diese
durch das folgende Ersatzschaltbild dargestellt werden 4 :
❜
R ∼∼∼∼∼ ❜
U(x)
L ′ dx
R G C ′ U(x + dx)
dx
I(x)
I(x + dx)
❜
❜
Lecherleitung ✲ x
R ′ , R ′ G, L ′ , C ′ sind die Ohm’schen Widerstände,
Induktivität und Kapazität des Kabels pro
Längeneinheit, es gilt dann mit G ′ = 1/R ′ G
(Ableitung genannt)
U(x) = U(x + dx) + I(x + dx)(R ′ + iωL ′ )dx
und I(x) = I(x + dx) + U(x)(G ′ + iωC ′ )dx und mit lim
dx→0
I(x + dx) = I(x)
⇒ dU(x) = −I(x)(R ′ + iωL ′ ) und dI(x)
dx
dx = −U(x)(G′ + iωC ′ )
Durch differenzieren der ersten Gleichung nach x kann aus den beiden gekoppelten Differentialgleichungen
eine Differentialgleichung für U aufgestellt werden
d 2 U(x)
dx 2 = U(x)(R ′ + iωL ′ )(G ′ + iωC ′ ) mit dem Lösungsansatz (γ komplex)
U(x) = U 1 e γx + U 2 e −γx einsetzen ergibt γ 2 = (R ′ + iωL ′ )(G ′ + iωC ′ ).
U 1 und U 2 werden durch die Randbedingungen (z.B. U(x = 0) = U 0 ) berechnet. Der
Strom ist dann I(x) = − dU
dx (R′ + iωL ′ ) −1 ⇒
I(x) =
γ (
U1 e γx − U
R ′ + iωL ′ 2 e −γx) = 1 √
(
U1 e γx − U 2 e −γx) R′ + iωL
, Z = ′
Z
G ′ + iωC ′
Z ist der Wellenwiderstand (Impedanz) des Kabels. Mit √ vernachlässigbaren Ohm’schen
Widerständen R ′ = 0, R ′ G = ∞ damit G ′ = 0 ist Z = L ′ /C ′ scheinbar unabhängig von
der Frequenz. Der Wellenwiderstand eines Kabels ist wichtig, um einen reflexionsfreien
Abschluss zu gewährleisten.
4 In der Elektrotechnik werden diese Schaltbilder effizient mit der Vierpoltheorie beschrieben. Der
lineare Zusammenhang von U(x + dx) = U 2 , I(x + dx) = I 2 und U(x) = U 1 , I(x) = I 1 kann mit einer
2 × 2-Matrix dargestellt werden. Für die Serien- und Parallelschaltung einer Impedanz Z gilt
❜
❜
❜
Z
U 1 U 2
I 1 I 2
❜
⇒
( ) (
U2 1 −Z
=
I 2 0 1
)(
U1
I 1
)
,
❜
❜
❜
U 1 U 2
Z
I 1 I 2
❜
⇒
( ) (
U2 1 0
=
I 2 − 1 Z
1
Für z.B. ein L-R-Tiefpassfilter gilt mit Multiplikation der beiden Matrizen
❜ ∼∼∼∼ ❜ ( ) ( )( )( ) (
U 1 L U 2 U2 1 0 1 −iωL U1 1
R ⇒ =
I
❜
1 I
❜
2 I 2 − 1 R 1 = ( −iωL
)
0 1 I 1 − 1 R 1 +
iωL
R
) (
U1
I 1
)
)(
U1
I 1
)
10

Das kommerzielle Z = 50 Ω Signalkabel RG-58 hat √ eine Kapazität C ′ = 101 pF/m,
damit L ′ = Z 2 C ′ und eine Wellengeschwindigkeit v = 1/L ′ C ′ = 2·10 8 m/s. Z ist wichtig
für reflexionsfreie Übertragungen schneller Signale (S. 15). Fernsehkoaxkabel haben Z =
60 Ω, und Fernsehdipolkabel Z = 240 Ω.
1.3.6 Wasserwellen
Wasserteilchen einer Wasserwelle bewegen sich näherungsweise kohärent auf separaten
Kreisen ohne einen Transport von Wasser in der Ausbreitungsrichtung. Die Wasseroberfläche
ist keine exakte sin- oder cos-Funktion. Bei dieser Schwerewelle ist die Wassertiefe
h ≫ λ die Wellenlänge. Mit dem Energiesatz eines Wasserteilchens auf einer Kreisbahn
ist ohne Reibung und ohne Oberflächenspannung
v
★✥ 1 ✲= rω 1
✻ 2 mv2 1 + mg2r = 1 2 mv2 2 ⇒ −v1 2 + v2 2 = 4gr
r ✲
v
mit v
✧✦
1 = v − rω, v 2 = v + rω ist
✛
v 2 = −rω
−(v − rω) 2 + (v + rω) 2 = 4gr = 4rωv
√
gλ
⇒ v = g/ω und mit ω = 2πv/λ ⇒ v = Dispersion der Wasserwellen.
2π
Lange Wasserwellen laufen schneller, bei einem Steinwurf in das Wasser erreichen zuerst
die langen Wellen das Ufer und ein ursprünglicher Wellenberg läuft auseinander (Dispersion).
Für h ≪ λ, geringe Wassertiefe, ist v = √ g · h unabhängig von λ und die Welle
hat keine Dispersion, ein Wellenberg bleibt im flachen Wasser erhalten (Solitonen 5 ). Die
an der Küste auflaufenden, relativ niedrigen Wellen des offenen Meeres bauen sich auf,
verstärken sich zusätzlich durch die verschwindene Dispersion und können sich schliesslich
überschlagen (Brandung). An Flussmündungen können Solitonen entstehen, die mit
einigen Meter Höhe viele Kilometer landeinwärts mit 15-25 km/h laufen 6
Bei Kapillarwellen z.B. auf einer Seifenblase ist die rücktreibende Kraft die Oberflächenspannung
σ und die Wellengeschwindigkeit ist
v =
√
2πσ
ρλ
mit
ρ der Dichte.
Die Welle zeigt wieder Dispersion, nur laufen die langen Wellen jetzt langsamer.
Formell kann in den Gleichungen die Wellengeschwindigkeit v beliebig gross gemacht
werden, z.B. auch v > c der Lichtgeschwindigkeit. Nur im Koaxkabel ist mit Gl. (12)
v = c/ √ µε < c begrenzt und erreicht nur für µ = ε = 1 die Lichtgeschwindigkeit c. Erst
durch die Relativitätstheorie sind alle Geschwindigkeiten, die eine Energie transportieren,
5 Scott Russels beobachtete 1834 in einem flachen Kanal eine Soliton-Welle, als ein Reiter in den Kanal
stürzte.
6 Gezeitenboren: Mascaret in der Seine von Le Havre bis Caudebec, im Amazonas, im Turnaginarm
(Alaska), im Severn (Sharpnes bis Gloucester GB) [D.K.Lynch, Spektr.d.Wiss. Dez.1982,100]. Im Genfer
See gibt es die Seichtwasserwellen Seiches bei z.B. Erdbeben. Es sind auch Solitonen in der Atmosphäre
beobachtet worden [M.Springer Spekt.d.Wiss., Febr.1991, 24]
11

mit v ≤ c begrenzt. Die mögliche Phasengeschwindigkeit v Phase > c z.B. in einem Hochfrequenzwellenleiter
wird in Kap. 1.9 diskutiert. Bei Wellen in Materie ist ein beliebig kleines
µ oder ρ mit einer unveränderten Zugspannung oder Elastizitätsmodol nicht herstellbar,
da µ mit Z und ρ mit E miteinander gekoppelt sind. Die Wellengeschwindigkeiten sind
daher auf v ≪ c begrenzt.
1.4 Stehende Wellen
Im Experiment beobachtet man bei einer rechts und links fest eingespannten Saite (Geige)
oder an einem Gummiseil stehende Wellen mit einer Grundschwingung und Oberschwingungen
mit einem ganzzahligen vielfachen der Grundschwingung, diese werden im
folgenden aus Lösungen der Wellengleichung berechnet.
Die Erregung u(x,t) einer eindimensionalen Welle gehorcht der Wellengleichung (7)
∂ 2 u
∂t = u
2 v2∂2
∂x 2
mit den Anfangs- und Randbedingungen.
Die spezielle Form der Lösung u(x,t) = u(x ± vt) hängt von der Art und Weise ab, mit
der die Welle erzeugt wird und auch von der Begrenzung des linearen Gebildes, das die
Welle überträgt. Für eine mit Z gespannte Saite der Länge l und der Massenbelegung
Z
Z
µ ist mit Gl. (10) v =
√
Z
µ .
Da die Saite an den Rändern festgehalten wird, müssen die Lösungen der Wellengleichung
den Randbedingungen u(x = 0,t) = u(x = l,t) = 0 für alle t genügen.
Die partielle Differentialgleichung Gl. (10) hängt von den beiden Variablen x und t
ab, man kann daher mit dem Produktansatz u(x,t) = G(x) · F(t)
versuchen, die Variablen zu separieren. Man erhält durch Einsetzen in Gl. (10) mit
∂u
∂t = G(x)dF dt ,
∂u
∂x = F(t)dG dx ,
⇒ G(x) d2 F
dt 2 = v2 F(t) d2 G
dx 2 mit × 1
v 2 GF
∂ 2 u
∂t = F
2 G(x)d2 dt , 2
⇒
∂ 2 u
∂x = G
2 F(t)d2 dx 2
1 d 2 F
v 2 F(t) dt = 1 d 2 G
2 G(x) dx = 2 −a2 .
Die linke Seite dieser Gleichung hängt nur von t und die rechte nur von x ab; sie kann nur
für beliebige Werte von x und t erfüllt werden, wenn beide Seiten gleich einer Konstanten
−a 2 sind. Damit die Erregung immer endlich bleibt, d.h. keine exponentiell ansteigende
Lösung hat, muss die Konstante negativ sein. Damit erhält man zwei gewöhnliche
Differentialgleichungen für F und G (Anhang C.2 Dgl. Nr.5 ) :
d 2 F(t)
dt 2 + a 2 v 2 F(t) = 0 und d2 G(x)
dx 2 + a 2 G(x) = 0 mit den Lösungen
F(t) = C sin ωt + D cos ωt und G(x) = A sin kx + B cos kx, wobei a = k = ω/v .
Mit den Randbedingungen u(x = 0,t) = 0 und u(x = l,t) = 0 für alle t muss gelten
1. B = 0 wegen cos[k(x = 0)] = 1
2. kl = n · π, n = 1, 2, . . . ganze Zahl, wegen sin[k(x = l)] = 0 mit A ≠ 0.
Die Wellenzahl kann infolge der Randbedingungen nur die diskreten Werte annehmen
√
Z
µ = n · ω 1
k = k n = nπ l
⇒ ω n = k n v = nπ l
12

Dies ist die gleiche Eigenschaft, die wir für gekoppelte Schwingungen mit unendlich
vielen Oszillatoren S. 3 erhalten hatten. Die allgemeine Lösung der stehenden Welle ist
also auch hier eine Überlagerung (Superposition) von unendlich viele Oberschwingungen,
also mit u(x,t) = G(x) · F(t) und F n (t) = C n sin ω n t + D n cos ω n t = A n cos(ω n t + δ n )
∞∑
( ) nπx
u(x,t) = A n cos(nω 1 t + δ n ) · sin , mit ω 1 = π √
Z
n=1
l
l µ . (13)
Die Frequenzen der Obertöne einer Saite sind ganze Vielfache der Grundfrequenz.
Andere schwingungsfähige Gebilde in zwei Dimensionen wie
Platte 7 , Membrane oder in drei Dimensionen wie Stäbe, Kugeln, Seifenbasen,
Hochfrequenzkavitäten, in denen stehende Wellen erzeugt werden
können, besitzen eine zwei- oder dreifach unendliche Manigfaltigkeit von
Obertönen, deren Frequenzen aber im allgemeinen keine ganzen Vielfache
der Grundfrequenz sind. Eine kreisförmige Membran z.B. besitzt die
Eigenfrequenzen ω 1 , 1.59ω 1 , 2.13ω 1 , 2.30ω 1 , 2.62ω 1 , usw. Wird ein solches
System mit einer harmonische Kraft angeregt, dann tritt bei jeder
Eigenfrequenz eine Resonanz auf.
Die Lösung der stehenden Welle Gl. (13) kann umgeformt werden mit
2 cos α sin β = sin(α + β) + sin(α − β) und δ n = 0 in
u(x,t) =
∞∑
n=1
A n
2 [− sin k n(x − vt) + sin k n (x + vt)]
einer nach rechts laufenden und einer nach links laufenden Welle gleicher Amplitude.
Eine stehende Welle kann immer als eine Überlagerung von zwei
gegenläufigen Wellen gleicher Amplitude aufgefasst werden.
1.5 Reflexion und Transmission von Wellen
Treffen Wellen auf eine Diskontinuität im Medium, in welchem sie sich ausbreiten, so
werden sie im allgemeinen teilweise reflektiert und teilweise hindurchgelassen. Als Beispiel
betrachten wir eine Saite, deren Masse pro Längeneinheit µ sich an der Stelle x = 0
7 Die Klangfiguren (Abb.) einer Platte wurden von Ernst Chladni (1756-1827, Prof. in Wittenberg)
vorgeführt. Einen Preis für die Theorie erhielt 1816 Sophie Germain (1.4.1776-1831, Medaille des Institut
de France für Arbeiten zu Fermats Vermutung, die 1997 bewiesen wurde; durfte als erste nicht mit
einem Mitglied verheiratete Frau Vorlesungen der Académie des Sciences zuhören.) unter dem Namen
eines männlichen Kollegen als Pseudonym Antoine-August Le Blanc [S.Singh “Fermats letzter Satz”]. Die
Eigenfrequenzen sind ω nm = πv ph a −1√ n 2 + m 2 mit n,m ganzen Zahlen. Es treten also Entartungen auf
(gleiche Eigenfrequenzen für verschieden Eigenfunktionen). Im Raum führen Entartungen zu Nachhall,
da der Raum dann viele Schwingungsmöglichkeiten hat. Ein guter Konzertsaal vermeidet Entartungen
mit dem Goldenen Schnitt a/b = 1 2 (√ 5 − 1) (Grenzwert der Fibonacci-Folge a b , b
a+b ,...).
Klangfiguren von Geigenböden sind Beurteilungskriterien der Güte eines Instrumentes [C.M.Hutchins,
Spektrum Dez.1981 S.112].
13

✛
A B ✲
µ 1 µ 2
✲ C
sprunghaft ändert. Es ist dann:
v 1 =
√
Z
µ 1
für x ≤ 0 und v 2 =
√
Z
µ 2
für x ≥ 0.
0
✲ x
Eine Welle A, die von links kommt, werde bei x = 0 zum
Teil reflektiert B und zum Teil durchgelassen C.
Es gilt also als Versuch eines Ansatzes 8 der Lösung der Wellengl. (10)
für x ≤ 0 : u 1 (x,t) = A e i(k 1x−ωt) + B e i(−k 1x−ωt)
einlaufende + reflektierte
für x ≥ 0 : u 2 (x,t) = C e i(k 2x−ωt)
durchlaufende Welle.
An der Stelle x = 0 sind die Randbedingungen zu erfüllen u 1 (x = 0,t) = u 2 (x = 0,t) d.h.
Stetigkeit, da sonst die Saite an der Nahtstelle x = 0 der beiden Saiten zerrissen wird,
und eine stetige Tangente
( ) ∂u1
=
∂x
x=0,t
( ) ∂u2
∂x
x=0,t
da sonst die Zugkraft Z ∝ ∂2 u
∂t = u
2 v2∂2 unendlich wird.
∂x2 Einsetzen der Ansätze in die Randbedingungen bestimmt die Konstanten B/A, C/A :
u( 1 (x)
= 0,t) = A e i(−ωt) + B e i(−ωt) = u 2 (x = 0,t) = C e i(−ωt) ⇒ A + B = C und
∂u1
= A ·ik ∂x
1 e i(−ωt) −B ·ik 1 e i(−ωt) = ( )
∂u 2
= C ·ik
x=0,t ∂x
2 e i(−ωt) ⇒ Ak 1 +Bk 1 = Ck 2
x=0,t
⇒ B = A k 1 − k 2
k 1 + k 2
, C = A 2k 1
k 1 + k 2
,
√ µ1
k 1 = ω
Z ,
√ k µ2
2 = ω
Z .
1. B kann gegenüber A das Vorzeichen wechseln (Phasensprung π), wenn k 1 < k 2
oder v 1 > v 2 gilt, also kann für die reflektierte Welle geschrieben werden mit
B < 0, B ′ = −B > 0 und e iπ = −1, B e i(−k 1x−ωt) = B ′ e i(−k 1x−ωt+π)
Dieser Phasensprung gilt ganz allgemein, z.B. für die Reflexion von Lichtwellen am optisch
dichteren Medium (n 2 > n 1 ).
2. Für k 1 > k 2 , d.h. λ 1 < λ 2 oder v 1 < v 2 hat die Amplitude B dasselbe Vorzeichen
wie das der einfallenden Welle d.h. reflektierte und einfallende Welle sind phasengleich.
3. Ist das Ende offen d.h. k 2 = 0, µ 2 = 0, v 2 = ∞ und λ = ∞, dann ist B = A (wegen
k 2 = 0 ist u 2 = 2A e −iωt keine durchlaufende Welle) und es tritt Totalreflexion auf:
u 1 = u 0 + u refl = A[cos(k 1 x − ωt) + cos(k 1 x + ωt)] = 2A cos k 1 x · cos ωt.
Dies ist eine stehende Welle oder Schwingung.
4. Für das Ende als feste Wand mit einer unendlich schweren Massenbelegung gilt
k 2 = ∞, µ 2 = ∞, v 2 = 0, λ = 0 mit einer Phasenumkehr der reflektierten Welle B = −A.
B = A k 1 − k 2
= A k 1/k 2 − 1
k 1 + k 2 k 1 /k 2 + 1
k 2 →∞
=⇒
− A
u 1 = u 0 + u refl = A[cos(k 1 x − ωt) − cos(k 1 x + ωt)] = +2A sin k 1 x · sin ωt,
wieder eine stehende Welle oder Schwingung.
8 Ein analoger Ansatz und analoge Randbedingungen werden in der Quantenmechanik einer Welle zur
Lösung der Schrödinger-Gleichung an einer Potentialbarriere benutzt.
14

x =0
Ende
offen
Das gleiche Resultat findet man auch für
stehende Wellen in Luftsäulen (Pfeifen).
Der Schallwechseldruck ∆p ist proportional
zu ∂u und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit
∂x
beträgt
x =0
Ende
fest
√ pκ
v =
ρ
(14)
und ist damit abhängig von ρ, κ des Gases
sowie p und damit von der Temperatur.
Eine Orgel ist bei einer Temperaturänderung verstimmt. Am gedackten Ende einer Pfeife
ist u = 0, der Druck zeigt einen Bauch ; am offenen Ende ist ∂u = 0, der Druck zeigt
∂x
einen Knoten.
Beispiele:
a) beidseitig geschlossene Pfeife oder Saite
u
x
L = n λ 2 ; ω n = nπ L v = nπ L
√ pκ
ρ ,
b) einseitig offene Pfeife
u
L
L = (2n − 1) λ 4 ; ω n =
(2n − 1)π
v,
2L
x
c) beidseitig offene Pfeife
L = n λ
u
2 ; ω n = nπ L v.
Analoge Beispiele zeigen sich bei allen begrenzten
wellentragenden Medien, wie z.B. in der Op-
x
tik, bei elektrische Drahtwellen in einer Lecherleitung
(2 parallele Drähte) oder in einem Koaxkabel.
In einem Koaxkabel entspricht ein Abschluss mit R = ∞ einem offenen, R = 0 (Kurzschluss)
einem geschlossenen Kabel und ein Abschluss mit R = Z Wellenwiderstand (siehe
Kap. 1.3.5, z.B. R = 50Ω-Kabel RG-58) hat keine Reflexionen am Ende, diese Anpassung
des Abschlusses ist wichtig für die reflexionsfreie Übertragung von schnellen d.h.
hochfrequenten Signalen.
1.6 Die Energie und Intensität einer Welle
Wellen transportieren keine Materie dafür aber Energie. In einem Stab laufe eine
harmonische Welle u(x,t) = A sin(kx − ωt) mit v = ω k
Ein Volumenelement dτ führt eine harmonische Bewegung aus. Seine Energie setzt sich
aus der potentiellen und kinetischen Energie zusammen. Es ist
dW = dE pot + dT = dT max
15

Die maximale kinetische Energie dT max hat es beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage,
in der dE pot = 0 ist und es gilt mit v max , der maximalen Geschwindigkeit von dτ,
dT max = ρ 2 dτv2 max und v = ∂u
∂t = −Aω cos(kx − ωt) ⇒ dT max = ρ 2 dτA2 ω 2
Die Energiedichte im Stab ist somit w = dW dτ = ρ 2 A2 ω 2 .
Die Intensität der Welle, d.h. der Energiefluss pro Zeiteinheit J durch eine senkecht zur
Ausbreitungsrichtung stehende Flächeneinheit ist
J = wv = ρ 2 A2 ω 2 v
mit der Einheit
[ ] Watt
m 2
Für jede Welle gilt:
Die Intensität ist proportional zum Quadrat der Amplitude.
Für eine Schallwelle ist der Überdruck ∆p gegeben durch Gl. (14) und Kap. 1.3.3
∆p = − 1 k
∆V
V
= −κp∆V V
mit
∆V
V
= ∂u
∂x = A2π λ
cos(2πx/λ − ωt) ist
∆p = −κp A 2π cos(2πx/λ − ωt),
} {{ λ}
p
mit p der Amplitude des Schalldruckes. Mit der Schallgeschwindigkeit v =
ω = 2πv/λ folgt p = Aωvρ und für die Schallintensität J = 1 2 vρ
√
pκ/ρ und
Da eine Welle neben Energie auch einen Impuls transportiert, entsteht bei der Absorption
prinzipiell ein zusätzlicher Druck,
der Schallstrahlungsdruck p s = J v = 1 2 v 2 ρ .
Die Empfindung des Schalldruckes wird durch die Druckänderung ∆p = p − p ◦ hervorgerufen.
Da das menschliche Ohr einen grossen Intensitätsbereich wahrnehmen kann,
benutzt man statt der linearen die logarithmische Intensitätsskala Dezibel
( ) ( )
J p
dB = Dezibel = 10 · ln 10 = 20 · ln 10
J ◦ p ◦
p 2
p 2
Der Nullpunkt der Dezibelskala wird festgelegt mit der Wahrnehmungsgrenze des menschlichen
Ohres für den Normalton ν = 1000 Hz zu p ◦ = 2 · 10 −5 N/m 2 mit der zugehörigen
Intensität J ◦ = 0.47 · 10 −12 W/m 2 . Zum subjektiven Lautstärkevergleich von Schall verschiedener
Frequenz benützt man die logarithmische Phonskala.
16

Totale Schallabstrahlung
[Watt]
Ein Schall beliebiger Frequenz besitzt eine Phonzahl
n Phon, wenn er subjektiv (Durchschnittspersonen)
Sprache 7 · 10 −6 ebenso laut empfunden wird wie ein Normalton von
Geige fortissimo 1 · 10 −3 1000 Hz mit einer Intensität von n dB. Da das Gehör
Trompete fortissimo 3 · 10 −1 stark frequenzabhängig ist, besitzt z.B. ein Schall bei
Lautspecher 1 · 10 2 ν = 100 Hz für die subjektive Lautstärke von 60 Phon
Sirene 3 · 10 3 eine Intensität von 80 dB, bei 10 kHz eine solche von
100 dB.
Nach neuen internationalen Normen soll die Phonskala
Lautstärke [Phon]
durch eine ähnlich definierte Schallpegelska-
Flugzeugmotor 120 la ersetzt werden, in der die Frequenzabhängigkeit
in 4 m Abstand
Laute Musik bis 80 der subjektiven Empfindung berücksichtigt wird.
Der Hörbereich des menschlichen Ohres liegt intensitätsmässig
Ticken der Uhr 15
zwischen 0 und 130 Phon (Schmerzgren-
Blätterrauschen 10 ze), frequenzmässig zwischen 15 Hz und 15 kHz bei
jungen und < 10 kHz bei älteren Personen.
1.7 Der Dopplereffekt
Im von Doppler 1842 entdeckten Effekt wird eine Änderung der Frequenz einer Welle
beobachtet, wenn sich der Beobachter und die Quelle gegeneinander bewegen. Wir betrachten
die zwei Fälle:
1. Der Beobachter bewegt sich, 2. die Quelle bewegt sich.
Eine Quelle, die Wellen der Frequenz ν ◦ , der Wellenlänge λ ◦ und der Geschwindigkeit
v aussendet, sei wie auch das umgebende Medium in Ruhe. Ein ruhender Beobachter B
empfängt vt/λ ◦ Wellen in der Zeit t.
1. Bewegt sich jedoch der Beobachter B mit der Geschwindigkeit v B auf die Quelle zu, so
empfängt er in der Zeit v B t/λ ◦ zusätzliche Wellen und die Frequenz ist
✬✩ Q
✛✘
✎☞ ✒
❡ ✛v B
✍✌
✚✙B
✫✪
ν ′ =
Zahl der Wellen
t
ν ′ = ν ◦
v ± v B
v
= vt/λ ◦ + v B t/λ ◦
t
(
= ν ◦
= v + v B
oder
λ ◦
1 ± v )
B
v
Bewegt sich der Beobachter von der Quelle fort, dann ist +v B durch −v B zu ersetzen.
2. Bewegt sich die Quelle mit der Geschwindigkeit v Q auf den Beobachter zu, dann wandert
✬✩ Q während jeder Schwingung die Quelle um v Q /ν ◦ in Richtung Beobachter,
✛✘
✎☞v der ein um diesen Betrag verkürzte Wellenlänge λ beobachtet
Q
❡
✲
✍✌
✚✙B
✫✪
λ ′ = λ ◦ − v Q
= v − v Q
= v − v Q
⇒ ν ′ = v = ν ◦
ν ◦ ν ◦ ν ◦ ν ◦ λ ′ 1 ∓ v (16)
Q
v
Falls sich die Quelle vom Beobachter entfernt, ist −v Q durch +v Q zu ersetzen.
In beiden Fällen wird eine erhöhte Frequenz registriert, wenn sich Quelle und Beobachter
aufeinander zubewegen. Jedoch sind die beiden Formeln nicht symmetrisch bezüglich
der Relativgeschwindigkeit v B und v Q , da für die Ausbreitung der Welle ein Medium notwendig
ist 9 . Der zweite Fall wäre symmetrisch zum ersten, wenn sich das Medium mit
9 Licht im Vakuum hat und braucht auch kein Medium, um sich fortzupflanzen. Es gibt keinen Äther.
(15)
17

der Quelle bewegen würde. Beide Fälle werden symmetrisch für v ≫ v B,G , Gl. (16) kann
dann entwickelt werden zu ν ′ ≈ ν ◦ (1 + v Q
+ v2 Q
+ · · ·)
v v 2
und der Frequenzunterschied macht sich erst im quadratischen Term bemerkbar.
3. Bewegt sich das Medium mit v M gegenüber der ruhenden Quelle und dem ruhenden
Beobachter, dann entspricht dies v Q = −v M und v B = v M . Mit Gl. (15) und (16) ist dann
ν ′ = ν ◦ (1 + v M
v
) −1 · (1 + v M
v
) = ν ◦ , d.h. es gibt keinen Dopplereffekt.
4. Bewegt sich im 1. Falle B nicht auf der Verbindungslinie zu Q sondern unter einem
Winkel δ, dann ist für die Dopplerverschiebung nur die radiale Komponente der
(
⃗v Bδ ❍❨ Geschwindigkeit massgebend und es gilt ν ′ = ν
Q ❍
◦ 1 ± v )
B
B
v cos δ
5. Für v Q = v in Richtung B ist ν ′ = ν ◦ (1−v Q /v) −1 ) = ∞; alle Wellenflächen, die von der
Quelle weglaufen, häufen sich relativ zur Quelle an derselben Stelle und die abgestrahlte
Schallenergie addiert sich in einer Frontwelle auf, dem Überschallknall.
6. Ist die Geschwindigkeit der Quelle grösser als die der Welle v Q > v, dann überholt
die Quelle ihre eigene Wellenfront und es bildet sich ein Mach’scher Kegel mit einem
★✥
✂ ✂✍ v Winkel δ mit sin δ = vt
v Q t = v < 1
v Q
δ
vt ✂
✂ ✎☞
Q(t=0) ✍✌
✏
✧✦
✛ ✲
✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ v Q t
✲ v Q
als Einhüllende aller Kugelwellen. Der Mach’sche
Kegel wird beobachtet bei einem mit Überschall
fliegenden Flugzeug, einer Gewehrkugel oder der
Bugwelle eines Schiffes.
1.8 Energiebetrachtung einer harmonischen Welle †
Eine harmonische Welle u(x, t) = u ◦ sin(kx − ωt) ist exakt monochromatisch und unendlich
ausgedehnt. Sein Energieinhalt ∝ |u| 2 wäre dann unendlich gross, im Widerspruch zur Realität.
Tatsächlich existieren auch bei einem Laser nur endlich ausgedehnte, begrenzte Wellenzüge z.B.
einer einmaligen Erregung oder einer gut angenäherten harmonischen Welle mit einem Anschwingen
und Ausschwingen (in einem Ortsbild). Diese einmaligen Wellenzüge können in einer Fourier-
Analyse in eine Überlagerung unendlich ausgedehnter harmonischer Wellen mit kontinuierlich
verteilten Frequenzen zerlegt werden. Die Fourier-Summe von diskreten Oberschwingungen nω 1
wird also ersetzt durch ein Fourier-Integral mit einer kontinuierlichen Frequenzverteilung ˜f(k)
der Oberschwingungen, da ein begrenzter Wellenzug kein periodischer Vorgang ist. Die Dauer
eines Pulses ∆t ist mit dem Frequenzbereich ∆ω (Bandbreite) verknüpft zu ∆ω · ∆t ≈ 1 bzw.
∆k · ∆x ≈ 1, abhängig von der Definition von ∆ω und ∆t; dies kann als Schwebung innerhalb
des Wellenzuges verstanden werden [vgl. Kap.1.9].
⎧
⎨
u(x, t) = R
⎩
+∞ ∫
−∞
˜f(k)e i(kx−ωt)
dk
√
2π2ω
⎫
⎬
⎭
u(x,t= konst.)
In der speziellen Relativitätstheorie ist dann auch der Dopplereffekt für Licht ν ′ ‖ = ν ◦ 1−v/c , mit v
der Relativgeschwindigkeit zwische Quelle und Beobachter, völlig symmetrisch. Man kann nicht mehr
feststellen, ob sich der Beobachter oder die Quelle bewegt. Weiter tritt ein quadratischer Dopplereffekt
auf, wenn sich die Quelle senkrecht zum Beobachter bewegt ν ′ ⊥ = ν ◦ · √1
− (vc/) 2 [Physik III].
∆x
√
1+v/c
x
18

Ein Klavier hat daher ausser den diskreten Grundund
Oberschwingungen noch ein kontinuierliches
(weisses) Spektrum und ein Geräusch oder Knall
enthält nur ein kontinuierliches weisses Spektrum.
f(ν)
100
10
1
0
500
c (128 Hz) Flugel "
Das Wohltemperierte Klavier
Frequenzen [Hz] bei temperierter Stimmung bezogen auf den Kammerton a 1 = 440 Hz
C 2 =Subkontroktave, C 1 =Kontraoktave, C=Grosse Oktave, c=Kleine Oktave, c 1 =1-gestr. Oktave, ...
1000
ν [Hz]
Tonname C 2 C 1 C c c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6
C 16.35 32.70 65.41 130.8 261.6 523.3 1047 2093 4186 8372
Cis=Des 17.32 34.65 69.30 138.6 277.2 554.4 1109 2217 4435 8870
D 18.35 36.71 73.42 146.8 293.7 587.3 1175 2349 4699 9397
Dis=Es 19.45 38.89 77.78 155.6 311.1 622.3 1245 2489 4978 9956
E 20.60 41.20 82.41 164.8 329.6 659.3 1319 2637 5274 10548
F 21.83 43.65 87.31 174.6 349.2 698.5 1397 2794 5588 11175
Fis=Ges 32.12 46.25 92.50 185.0 370.0 740.0 1480 2960 5920 11840
G 24.50 49.00 98.00 196.0 392.0 784.0 1568 3136 6272 12544
Gis=As 25.96 51.91 103.83 207.7 415.3 830.6 1661 3322 6645 13290
A 27.50 55.00 110.00 220.0 440.0 880.0 1760 3520 7040 14080
Ais=B 29.14 58.27 116.54 233.1 466.2 932.3 1865 3729 7459 14917
H 30.87 61.74 123.47 246.9 493.9 987.8 1976 3951 7902 15804
1.9 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit †
u
u
dx
t
v
t+dt
x
x
Bisher wurde die Ausbreitung von Wellen gleicher Frequenz
behandelt, für die die Erregung eine Funktion von kx − ωt
ist.
Ein Punkt der Welle, dessen Erregung u und damit Phase
kx − ωt konstant ist, bewegt sich mit der
Phasengeschwindigkeit
v P = dx
dt = ω k
(17)
Für den Fall, dass sich zwei Wellen u 1 und u 2 in dem Medium ausbreiten, ist dann die
resultierende Erregung u = 1 2 u ◦[sin(k 1 x − ω 1 t) + sin(k 2 x − ω 2 t)] =
u = u 1 + u 2 = u ◦ sin
(
k1 + k 2
2
x − ω ) (
1 + ω 2 k1 − k 2
t cos x − ω )
1 − ω 2
t
2 2 2
(
u
v G
k1 − k 2
vP
mit A(x,t) = u ◦ cos x − ω )
1 − ω 2
t
x
2 2
(
k1 + k 2
ist u(x,t) = A(x,t) sin x − ω )
1 + ω 2
t .
2 2
A(x,t) ist die Amplitude der resultierenden Schwebung, die sich wegen |k 1 −k 2 | ≪ k 1 und
|ω 1 − ω 2 | ≪ ω 1 nur langsam mit x und t ändert. Die Phasengeschwindigkeit ist mit
(
k1 + k 2
2
)
x − ω 1 + ω 2
t
2
= konst ⇒ v P = dx
dt = ω 1 + ω 2
.
k 1 + k 2
19

Für die Geschwindigkeit der Amplitude A(x,t) erhält man analog die
Gruppengeschwindigkeit v G = lim
(ω 1 −ω 2 )→dω
(k 1 −k 2 )→dk
ω 1 − ω 2
= dω
k 1 − k 2 dk
(18)
Mit der Gruppengeschwindigkeit breitet sich die Struktur und damit die Energie der
Welle aus.
Ist die Phasengeschwindigkeit in einem Medium von der Wellenlänge abhängig
v P = v P (λ) oder v P = v P (k), dann ist das Medium dispergierend, es tritt eine Dispersion
auf und mit v P = ω/k ist die Gruppengeschwindigkeit
v G = dω
dk = d
dk (kv P) = v P + k dv P
dk
und mit k = 2π λ , dk
dλ = −2π λ 2
ist
v G = v P + k dv P
dλ
dλ
dk = v P − k dv P
dλ
λ 2
2π
⇒
v G = v P − λ dv P
dλ
Die Phasen-und Gruppengeschwindigkeit sind nicht gleich und der Wellenzug läuft auseinander,
da die einzelnen Komponenten entspechend ihrem √ λ verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeit
haben. Bei der Wasserwelle ist z.B. v = gλ/2π und bei der elektromagnetischen
Welle im Medium mit ε = ε(ω) ist v = c 1/εµ [S. 23]; diese Wellen haben eine
√
Dispersion. Ohne Dispersion ist v G = v P .
Tritt zusätzlich noch in einem Medium eine Dämpfung auf, die i.a. auch frequenzabhängig
ist, dann können wie in einem Koaxkabel hohe Frequenzen stärker gedämpft
werden und die hochfrequenten Komponenten sterben aus, ein Signal verliert den schnellen
Anstieg und die schnelle Zeitinformation geht verloren.
In einem rechteckigen Hohlleiter, wie er in der Hochfrequenztechnik für Radar und
Mikrowellen im cm oder mm Bereich benutzt wird, ist v G · v P = c 2 . Anschaulich ist die
Ausbreitung der Phase der Wellenfronten v P = c/ cos α und damit v G = c cos α mit α dem
Winkel unter dem die Welle in einem bestimmten Mode an den Wänden reflektiert wird.
Die Gruppengeschwindigkeit, mit der die Energie transportiert wird, ist damit v G < c
und die Phasengeschwindigkeit v p > c.
20

2 Ausbreitung von Wellen im Raum
Im Kapitel 1 wurden verschiedene mechanische Wellen in einer Dimension behandelt.
Wellen, wie vor allem Licht, breiten sich jedoch auch im dreidimensionalen Raum aus,
diese zusammen mit der geometrischen Optik werden im folgenden behandelt.
2.1 Ebene und Kugelwellen
Breitet sich die Erregung u einer Welle im Raum aus, dann muss die Wellengleichung (7)
auf 4 Variable, 3 Ortskoordinaten und die Zeit, erweitert werden
u = u(⃗r,t) = u(x,y,z,t) mit ∆u = ∂2 u
∂x 2 + ∂2 u
∂y 2 + ∂2 u
∂y 2 = 1 v 2 ∂ 2 u
∂t 2 (19)
Analog zur eindimensionalen Wellengleichung erhält man Gl. (19) auch, indem man
Gl. (20) zweimal nach t und den drei Ortskoordinaten partiell differenziert.
2.1.1 Ebene Wellen
Breitet sich eine Welle nur in einer Richtung aus und ist die Erregung innerhalb einer
beliebigen, senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung stehenden Ebene gleich, dann nennt man
die Welle eben. Flächen gleicher Phase heissen Phasenflächen, sie sind hier Ebenen. Pflanzt
sich eine ebene Welle in der x-Richtung fort und ist sie harmonisch, so gilt
z
✻ Phasenflächen
✟ ✟ ✟ ✟ ✟
✟ ✟ ✟
✟✟✯ y ✲ v
✲ x
✟ ✟ ✟ ✟ ✟
✟ ✟ ✟
u(x,y,z,t) = u ◦ sin(kx − ωt + δ) mit k = 2π λ
Die Phasenflächen in der z-y-Ebene erfüllen die Gleichung
kx − ωt = konst. Ihre Geschwindigkeit ist
v P = dx
dt = ω k
z
✻
⃗ k
❅ ✒
❅
❅
❅
❅
❅ ❅
❅
❅ ❅
❅
❅
γ ✟✯ y
✟ ✟✟ β
α
✲ x
Breitet sich die Welle in einer beliebigen Richtung aus,
dann gehorchen die Phasenebenen der Gleichung
k(x cos α + y cos β + z cos γ) − ωt = konst.,
wobei α, β, γ die Richtungswinkel der Normalen zur Ebene
sind. Der Wellenvektor ⃗ k wird definiert durch
⃗ k
. = ⃗ex · k cos α + ⃗e y · k cos β + ⃗e z · k cos γ und | ⃗ k| = 2π λ ,
|⃗e x | = |⃗e y | = |⃗e z | = 1. Er zeigt die Fortpflanzungsrichtung
der Welle, die damit allgemein geschrieben werden kann
u(⃗r,t) = u ◦ sin( ⃗ k · ⃗r − ωt + δ) (20)
2.1.2 Kugelwellen
Breitet sich eine Welle in einem homogenen Medium von einer punktförmigen
Quelle aus, so sind die Phasenflächen gleicher Erregung Kugelflächen
✬✩ ✻
❅■ ✓✏✒
✛ ❅
✲
✒✑ ❅
✫✪
✠ ❅❘ und es gilt dann u(⃗r,t) = u ◦(ϑ,ϕ)
sin(
❄
r
⃗ k · ⃗r − ωt + δ) (21)
21

für eine Kugelwelle. r,ϑ,ϕ sind die Kugelkoordinaten. Die Amplitude nimmt mit 1/r ab,
da der Energiefluss durch die Kugelfläche Φ ∝ ∫ (u 2 ◦/r 2 )dA = (u 2 ◦/r 2 )4πr 2 = konstant sein
muss.
Wenn u nur von r und t aber nicht von den Polarwinkeln ϑ,ϕ abhängt, vereinfacht
sich die Wellengleichung (19) in Polarkoordinaten zu (vgl. Phys. AI Anhang C.4)
∂ 2 u
∂r + 2 ∂u
2 r ∂r = 1 ∂ 2 u
v 2 ∂t 2
wie man sich durch Einsetzen überzeugen kann.
2.1.3 Elektromagnetische Wellen †
mit der Lösung u(r,t) = u ◦
r
sin(kr − ωt)
Bisher wurden nur Wellen diskutiert, die an ein Medium gebunden sind und deren Erregung
u(x,t) mit der Auslenkung von Teilchen interpretiert wurde. Maxwell erkannte 1871,
dass sich die Eigenschaften des Lichtes verstehen lassen, wenn Licht als eine elektromagnetische
Welle aufgefasst wird, die nicht an ein Medium (Frage nach dem Äther) gebunden
ist, während sich bisher Wellen nur in einem Medium ausbreiten konnten. Aus den
Maxwell-Gleichungen folgt direkt die Wellengleichung mit einer wellenförmigen Ausbreitung
von gekoppelten elektrischen und magnetischen Feldern, d.h. diese Wellengleichung
sagte die Existenz von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit voraus.
Zur Berechnung werden die fünf folgenden, nicht einschränkenden Randbedingungen
gemacht:
1. Ausbreitungsrichtung in der z-Richtung, E ⃗ hängt nur von z ab,
2. Phasenebenen in der x − y Ebene ⇒ ∂ = ∂ = 0,
∂x ∂y
3. keine Ströme und Ladungen ⇒ ⃗j = 0, ρ = 0,
4. homogenes und isotropes Medium mit ε = µ = 1.
Damit folgt aus den vier Maxwell-Gleichungen (??):
∂E z
∂B
= 0 z
= 0
∂z ∂z
x-Komponente y-Komponente z-Komponente
∂E
= ε 0 µ x
∂B x ∂E
0 = ε
∂t
∂z 0 µ y
∂E
0 0 = ε
∂t
0 µ z 0 ∂t
− ∂By
∂z
− ∂Ey
∂z
= − ∂Bx
∂t
∂E x
∂z
= − ∂By
∂t
0 = − ∂Bz
∂t
Aus diesen Gleichungen folgt E z = const ≡ 0, B z = const ≡ 0 (statische Felder 0 gesetzt),
d.h. ein rein transversales Wellenfeld (vgl. die Figur).
5. Das Koordinatensystem wird so definiert, dass E x ≠ 0, E y = 0 ⇒ B x = 0 und
nur B y ≠ 0. Damit ist ⃗ B⊥ ⃗ E und beide stehen senkrecht zur z-Richtung. Mit partieller
Differentiation nach z und t und Kombination der obigen Gleichungen erhält man:
− ∂2 B y
∂t∂z = ε 0µ 0
∂ 2 E x
∂t 2 ,
∂ 2 E x
∂z 2
= − ∂2 B y
∂z∂t ⇒ (22)
die Wellengleichung einer
elektromagnetischen Welle
∂ 2 E x
∂z 2
= ε 0 µ 0
∂ 2 E x
∂t 2 (23)
und analog:
∂ 2 B y
∂z 2
= ε 0 µ 0
∂ 2 B y
∂t 2 mit v = c = 1 √
ε0 µ 0
(24)
Die Lichtgeschwindigkeit wird identifiziert als c = 1/ √ ε ◦ µ ◦ = 2.997 924 58 · 10 8 m s .
22

Für die Lichtausbreitung in Materie mit ε > 1 und µ > 1 ist dann die Lichtgeschwindigkeit
v = 1/ √ εε ◦ µµ ◦ = c/n mit dem Brechungsindex n = √ εµ.
Die Lösung der Wellengleichung für die Ausbreitung in der z-Richtung ist
(siehe die Figur) E x = E 0 e i[ω(z/v−t)+δ] , wobei ω = 2πv/λ nicht begrenzt ist.
B y ist mit E x durch −∂B y /∂t = ∂E x /∂z und −∂B y /∂z = ε 0 µ 0 ∂E x /∂t gegeben:
B y = B 0 e i[ω(z/v−t)+δ] mit B 0 = E 0
√
ε0 εµ 0 µ = E 0 /v bzw. H 0 = E 0
√ε 0 ε/µ 0 µ.
y
x
→
H → E √ε o ε/µ o µ
z
Momentanbild einer ebenen, linear
polarisierten, harmonischen elektromagnetischen
Welle, die sich in der
z-Richtung fortpflanzt.
Auch bei beliebiger Ausbreitungsrichtung stehen die Feldstärkevektoren ⃗ E und ⃗ B
senkrecht aufeinander und bilden mit dem Wellenzahlvektor ⃗ k ein Rechtssystem. ⃗ E
und ⃗ B sind transversale Wellen die mit Gl. (22) in Phase miteinander gekoppelt
sind und damit die elektomagnetische Welle darstellen. Sie ist nicht an Ladungen,
Ströme oder ein Medium gebunden und breitet sich auch im Vakuum aus.
2.1.4 Die Intensität einer elektromagnetischen Welle †
Die Intensität einer elektromagnetischen Welle ist aus der Energiedichte des elektrischen Feldes
w e = 1 ⃗ 2ED ⃗ und des magnetischen Feldes w m = 1 ⃗ 2HB, ⃗ die mit v durch die Flächeneinheit pro
Sekunde strömt, mit H = E √ εε 0 /µµ 0 , v = √ 1/εε 0 µµ 0 gegeben durch:
S = v(w e + w m ) = v 1 2 (εε 0E 2 + µµ 0 H 2 ) = v 1 (
√ )
EH
εε0
εε 0 √ + EHµµ 0 = EH .
2 εε0 /µµ 0 µµ 0
Sie kann durch das Vektorprodukt von ⃗ E und ⃗ H als ein Intensitätsvektor dargestellt werden:
Der Poyntingvektor ⃗ S = ⃗ E × ⃗ H (25)
hat eine Fortpflanzungsrichtung senkrecht zu ⃗ E und ⃗ H.
Für eine harmonische Welle ist der zeitliche Mittelwert
⃗E × ⃗ H = E 0 H 0 cos 2 [ω( z v − t) + δ] = 1 2 E 0H 0 = S = 1 2√ εε0
µµ 0
E 2 0 = 1 2
√ µµ0
εε 0
H 2 0.
2.1.5 Experimente zur Lichtgeschwindigkeit
1. Olaf Römer 10 beobachtete Abweichungen der Umlaufzeit des Jupiter Mondes Io (42h).
Das Auftauchen des Mondes hinter dem Jupiter nach sechs Monaten war im Extremfall
um 22 Minuten falsch. Mit dem damaligen Wert für die doppelte Entfernung Erde Sonne
1 2| nach
nach
Io 6 Mon.
6 Mon.
○ + ✘✛
✘✘✘ ✘
⊙ ○ +
✘✘ ✘ ✘✘✘ ✘ ✘✘✘ ✘ ✘ ✘✿
L ′ ≈ L + D
✲
✲ 1 2|
D = 2.83 · 10 8 km L
Io
von D = 2.83 · 10 8 km
und den Lichtankunftzeiten
t 1 = L/c, t 2 = L ′ /c und
t 2 − t 1 = D/c = 22 Min erhielt
Römer
c = 2.83·1013 = 2.14 ·10 10 cm 22·60 s
10 vgl. M. Berry, Principles of Cosmology and Gravitation p.301, Handbuch d. Phys.24(1956)1 u.v.a.
Ole Römer *25.9.1644 Århus, †19.9.1710 Kopenhagen, 1681 Prof. Er führte den Meridiankreis ein.
23

2. James Bradley (1725) benutzte die Aberration 11 eines Sternes innerhalb eines Jahres.
Ein Stern im Zenith der Erdbahn bewegt sich auf einem Kreis mit dem Durchmesser
⊘ = 40.5 ′′ mit der Periode von einem Jahr. Mit v Erde ≈ 30km/s und
tanα = v Erde /c ≈ α = ⊘/2 = 20 ′′ ist c = 3 · 106 cm/s
20 ′′ /3600 · π/180 = 3.1 · 1010 cm s
(26)
3. Fizeau bestätigte 1849 den Wert von Römer indem er einen Lichtstrahl L 1 an einem
halbdurchlässigen Spiegel reflektierte und nach D = 8633m an einem zweiten Spiegel
zurück in ein Fernrohr schickte. Vor den
A
✘❳
() ✛
S S/2 = D ✲
Spiegel liess er ein Zahnrad mit n=720
R
⌢⌣ L Zähnen rotieren und beobachtete bei einer
Drehfrequenz von ν=12.6 1/s das
1
❈✄ Zahnrad
Q
A 1
✏ ❜ Verschwinden des Lichtstrahles, da dann
❇✘ ❳ ✂
✟ ❇ ✂ ❍ der reflektierte Strahl nach der Zeit t =
T/(2n) (bei A 1 ) einen vorgerückten Zahn
erreicht. Es ist dann c = 2D/t = 4Dnν.
4. J.B. Foucault (1819-1868) verbesserte den Wert der Lichtgeschwindigkeit.
Von einer Lichtquelle S ◦ wird mit einem Strahl
über einen drehbaren Spiegel R auf einem Planspiegel Sp 1 ein
Bild des Spaltes S ◦ projiziert, das über denselben Drehspiegel R
zurück an der Lichtquelle S ◦ ein Bild S 2 erzeugt. Mit einem halbdurchlässigen
Spiegel Sp 2 kann das reflektierte Bild S ′ 2 ohne und
mit Drehung beobachtet werden. Das reflektierte Bild ist infolge
der Drehung von R und der endlichen Lichtgeschwindigkeit
c verschoben, gegeben durch die Frequenz ν des Spiegels, den
Drehwinkel ∆α und die Lichtstrecke 2D. Damit ist die Lichtgeschwindigkeit
c = ∆s
∆t = 2D 4πνD
2πν =
∆α
✻ () L R ω✟ S ◦ = S 2
✲
❅
✛
❅ ❄
S p2
❄
D
✻S 1
S p1
∆α .
5. Das Michelson Morley Experiment
Römer, Bradley, Fizeau und Foucault bestimmten nur einen endlichen Wert für die Lichtgeschwindigkeit
c und lösten damit nicht die Frage nach der Existenz des Äthers als eine
Bedingung für die Ausbreitung des Lichtes bzw. nach den damit zusammenhängenden
unterschiedlichen Lichtgeschwindgkeiten z.B. senkrecht und parallel zu einer bewegten
Lichtquelle. Diese Frage wurde erst im Michelson Morley Interferenz-Experiment 1850
gelöst. Details sind in Kapitel 3.3.5 dargestellt.
Das Ergebnis des Michelson Morley Experimentes zeigte keinerlei Differenzen
der Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Richtungen der bewegten Erde, auch nicht bei
einer Reihe von Messungen mit verschiedenen Wellenlängen, Sternlicht, zu verschiedenen
Jahreszeiten (falls sich der Äther gegenüber der Sonne bewegen sollte), mit verschiedenen
Intensitäten, mit oder ohne elektrischen und magnetischen Feldern.
Folgerung: Es gibt keinen Äther. Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig
von der Geschwindigkeit der Quelle und des Beobachters.
Wird in einem Inertialsystem Licht von einer punktförmgen
Quelle als sphärische Welle (Kugelwelle) emittiert, so erscheint
es als Kugelwelle in jedem anderen Inertialsystem.
11 Die durch den Umlauf der Erde um die Sonne verursachte scheinbare Bewegung eines Sternes.
S ′ 2
24

Dieses Ergebnis ist die Grundlage der Relativitätstheorie (vgl. Fussnote S. 43).
2.1.6 Spektren und Erzeugung elektromagnetischer Wellen
Elektromagnetische Wellen
Bezeichnung Wellenlänge λ Frequenz ν
od. Energie ¯hω
Langwellen 1→10 km 300→30 kHz
Mittelwellen 100→1000 m 3→0.3 MHz
Kurzwellen 10→100 m 30→3 MHz
UKW 0.1→10 m 3000→30 MHz
Radar, Mikrowellen 0.01→10 cm 3000→3 GHz
Infrarot 0.78→100 µm 1.6→0.012 eV
sichtbares Licht 0.40→0.78 µm 3.1→1.6 eV
Ultraviolett 0.01→0.4 µm 120→3.1 eV
Röntgenstrahlung 0.01→10 nm 120→0.12 keV
Gammastrahlung, γ < 0.01 nm > 120 keV
Höhenstrahlung γ
bis 10 14 eV
Das
bekannte
Spektrum elektromagnetischer
Wellen erstreckt sich
über einen enormen Wellenlängenbereich.
Umrechnungen:
Quantisierung des Photons
E = ¯hω = hν,
¯hc = 197.328 58·10 −7 eVcm,
1 eV=2.42·10 14 Hz
λ = c/ν,
1 Kayser=1 cm −1 (alte Einheit).
Elektromagnetische Wellen, d.h. sich ändernde elektrische und magnetische Felder, werden
erzeugt durch beschleunigte (oder verzögerte) elektrische Ladungen 12 . Heinrich Hertz wies
− I(ϑ) ∼ sin 2 ϑ 1888 elektromagnetische Wellen mit einer Dipolantenne
− ϑ
(Figur) nach. Die freien Dipolenden stellen einen Kondensator
dar, in dem die Ladungen und damit der von einem
−
+
Magnetfeld umgebene Verschiebungsstrom mit dem eingekoppelten
harmonischen Wechselstrom oszillieren. Am Di-
I=I o cos ω t
+
pol entstehen daher oszillierende E- ⃗ und B-Felder, ⃗ die in
+
den Raum abgestrahlt werden.
Nach umfangreicher Rechnung erhält man aus den Maxwell-Gleichungen für einen grossen
Abstand r vom Dipol und für r ≫ λ = 2πc/ω sowie eine Beschleunigung a der Ladung q
| E| ⃗ = 1 q
4πε ◦ c 2 r a sin ϑ , | H| ⃗ = 1
4πc
q
r a sin ϑ , mit Gl. (25) S = |⃗ E × H| ⃗ ∝ 1 r 2 sin2 ϑ.
Die Intensität nimmt mit 1/r 2 ab. Für die Strahlung einer Dipolantenne
ist mit u = u ◦ cos ωt der Bewegungsgleichung der Ladungen, dem Dipolmoment
p = qu ◦ cos ωt = p ◦ cos ωt und der Beschleunigung a = d2 u
dt 2 = −u ◦ ω 2 cos ωt = −ω 2 p/q
E ◦ = 1 ω 2 p ◦
sin ϑ, H
4πε ◦ c 2 ◦ = 1 ω 2 p ◦
sin ϑ.
r
4πc r
Die Abstrahlung ist maximal für ϑ = π/2, d.h. senkrecht zum Dipol und null in der
Richtung des Dipols 13 . Die Intensität I der Welle ist durch ihre Geschwindigkeit und den
Mittelwert der Energiedichte u gegeben I = v · u, mit dem elektrischen
u e = 1 4 ⃗ E ⃗ D = εε ◦
2 E2 ◦ und dem magnetischen Anteil u m = 1 4 ⃗ H ⃗ B = µµ ◦
2 H2 ◦,
12 In den Vorlesungen Physik III und Elektrodynamik der theoretischen Physik wird dies aus den
Maxwell-Gleichungen abgeleitet. Verzögerte, abgebremste Elektronen erzeugen Bremsstrahlung oder
Röntgenstrahlung. Eine mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Ladung kann keine elektromagnetischen
Wellen erzeugen, da in einem Inertialsystem mit dieser Geschwindigkeit die Ladung in Ruhe ist und dann
nur ein statisches Coulomb-Feld besitzt.
13 Anschaulich sieht man in der ⃗a-Richtung keine beschleunigt bewegte Ladung.
25

hierbei gilt für den Mittelwert cos 2 ωt = 1 2 .
Energie Wellenlänge
Frequenz
Spektrometer
10 22 10 8 10 −14
[Hz]
[eV] [m]
✻
Magnetspektrometer
10 21
10 20
10 19
10 18
10 17
10 16
10 15
10 14
10 13
10 12
10 11
10 10
10 9
10 8
10 7
10 6
10 5
10 4
10 3
TV
Radio
γ-Strahlung
sichtbares Licht
❄ X-Rays
ultraviolettes Licht
Infrarot
Mikrowellen
Radiofrequenzen
10 7
10 6
✻10 5
❄10 4
✻10 3
10 2
❄10
1
✻
10 −1
❄
✻
❄
✻
❄
10 −2
10 −3
10 −4
10 −5
10 −6
10 −7
10 −8
10 −9
10 −10
10 −11
10 −13
10 −12
10 −11
10 −10
10 −9
10 −8
10 −7
10 −6
10 −5
10 −4
10 −3
10 −2
10 −1
10 0
10 1
10 2
10 3
10 4
10 5
Szintillationzähler
❄✻
✻Halbleiterdetektoren
❄
Kristallgitter
✻
❄
Konkavgitter 100-1800Å
❄
✻ Lichtspektrographen
❄
✻
Infrarot-Gitter
❄
✻
Mikrowellenspektroskopie
❄
✻
direkte Frequenzmessung
Die Intensität der Welle ist mit Gl. (25 )
I =
c ( √ √ )
4 √ µµ◦ εε◦
εε ◦ E ◦ H ◦ + µµ ◦ H ◦ E ◦ = c εµ εε ◦ µµ ◦ 2 E √
◦H ◦ ε◦ µ ◦ = 1 2 E ◦H ◦
und die Intensität I(ϑ) der unter dem Winkel ϑ abgestrahlten Welle ist dann
I(ϑ) = 1 2 E ◦(ϑ)H ◦ (ϑ) = µ √
◦ ε◦ µ ◦ ω 4 p 2
sin 2 ϑ ∝ ω4
32π 2 r 2 r · 2 sin2 ϑ.
Die Intensität der abgestrahlten Wellen ist wegen der ω 4 -Abhängigkeit sehr gering für
Frequenzen unter 1000 Hz. Für höhe Frequenzen unterscheidet und erzeugt man
1. Radio- und Radarwellen: elektrische Wechselströme,
2. infrarot, sichtbares, ultraviolettes Licht: schwingende oder rotierende Elektronenverteilungen
in Atomen, Molekülen, Gasen, Flüssigkeiten, festen Körpern oder Kristallen,
3. Röntgenstrahlung: hochangeregte Atome, Abbremsung beschleunigter Elektronen,
Elektronen auf Kreisbahnen im Magnetfeld (Synchrotronstrahlung),
4. γ-Strahlung: angeregte Atomkerne (quantenmechanisches Problem der Kernphysik),
5. Planck’sche Strahlung: Emission elektromagnetischer Wellen eines schwarzen Körpers
bei einer bestimmten Temperatur in quantenmechanischer Rechnung [Physik III].
26

2.1.7 Die klassisch-atomistische Betrachtung einer Lichtwelle in einem Gas †
Aus der klassischen Vorstellung des Atoms als ein Kern mit auf Kreisbahnen gebundenen Elektronen
kann der Brechungsindex und seine Frequenzabhängigkeit plausibel interpretiert werden 14 .
Annahme: gebundene Elektronen der Atome haben eine charakteristische Eigenfrequenz ω ◦ ,
⃗E = ⃗ E ◦ e iω(z/v−t) ist eine primäre Lichtwelle in z-Richtung, die Bewegungsgleichung eines Elektrons
ist
mẍ + γẋ + mω 2 ◦x = eE ◦ e iω(z/v−t) ⇒ x = eE ◦
m
e iω(z/v−t)
(ω 2 ◦ − ω 2 − iγω/m)
als Lösung (Phys AI Kap. 7.4). Mit dem Dipolmoment ⃗q = e⃗x folgt die elektrische Polarisation
als Dipolmoment pro Volumeneinheit mit N Atomen pro Volumeneinheit
⃗P =
N · e 2 ⃗ E
m(ω 2 ◦ − ω 2 − iγω/m)
für λ > Atomabstand > d (Wechselw. zwischen Atomen).
Mit der elektrischen Verschiebung ⃗ D = ε ◦
⃗ E + ⃗ P = ε◦ ε ⃗ E und v = c/n = c/ √ ε ist
⇒ n =
⃗E
√
(
1 +
ε ◦ +
N · e 2 )
m(ω◦ 2 − ω 2 = εε ◦E ⃗ = n 2 √
ε ◦E; ⃗ n = ε
− iγω/m)
Ne 2 /ε ◦ m
ω 2 ◦ − ω 2 − iγω/m = n ◦ + ik a der komplexe Brechungsindex. (27)
Der zweite Term unter der Wurzel ist klein gegen Eins. Für die Lichtwelle gilt dann
⃗E = ⃗ E ◦ e
z·n◦
[iω( −t)] c
· e (−ω ka c z)
} {{ }
Lichtabsorption
Mit v = c/n ◦ ist n ◦ der normale Brechungsindex und die Intensität I(z) ∝ | ⃗ E| 2 nimmt infolge
des komplexen Brechungsindex k a exponentiell in z-Richtung ab.
kaz
(−2ω
I(z) = I ◦ e c ) = I ◦ e −τz ;
τ = 2ω k a
c
Für geringen Gasdruck kann n in Gl. (27) entwickelt werden.
√ N e2
n = n ◦ + ik a = 1 +
ε ◦m (ω2 ◦ − ω 2 + iωγ/m)
(ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + (ωγ/m) 2 ≈ 1 + 1 2
Schwächungskoeffizient [ 1 m .
N e2
ε ◦m (ω2 ◦ − ω 2 + iωγ/m)
(ω 2 ◦ − ω 2 ) 2 + (ωγ/m) 2
R{n} = n ◦ = 1 + 1 2 N e2 ω◦ 2 − ω 2
ε ◦ m (ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + (ωγ/m) 2 Brechungsindex und
I{n} = τ = 2ω k a
c = N
e2 ω 2 γ
ε ◦ m 2 c (ω◦ 2 − ω 2 ) 2 + (ωγ/m) 2 Resonanzkurve.
Für geringe Dämpfung γ gilt ∆ω = ω − ω ◦ , ω 2 ◦ − ω 2 ≈ −2ω ◦ ∆ω, ω ≈ ω ◦ und
n ◦ ≈ 1 − 1 2 N e2 2ω ◦ ∆ω
ε ◦ m 4ω◦∆ω 2 2 + ω◦(γ/m) 2 2 = 1 − Ne2 m
ε ◦ ω ◦ γ 2 · ∆ω
1 + ( 2∆ωm
γ
) 2
m 2
τ ≈ N e2 ω◦γ
2
ε 2 ◦m 2 c ω◦γ 2 2 ·
14 z.B. A.Sommerfeld “Optik”
1
1 + ( 2∆ωm
γ
) = N e2
2 ε ◦ cγ ·
1
1 + ( 2∆ωm
γ
) 2
27

Der Verlauf des Schwächungsindex τ und des Brechungsindex n ◦ sind in den Figuren schematisch
dargestellt.
Die Grenzwerte sind n ◦ (ω → ∞) = 1, n ◦ (ω → 0) = √ ε(ω = 0) = 1 + 1 2 N e2 . Bereiche
des Brechungsindex mit n ◦ > 1 haben eine “normale” Dispersion, d.h. Licht mit kürzerer
ε ◦mω◦
2
Wellenlänge (blau) wird stärker gebrochen als Licht mit längerer Wellenlänge (rot), wie man es
auch in einem optischen Prisma beobachtet. In den Bereichen mit n ◦ < 1 ist die
Phasengeschwindigkeit des Lichtes v Phase > c,
für den Energietransport der Welle ist jedoch
die Gruppengeschwindigkeit massgebend, für sie
gilt v Gruppe < c.
In der Figur ist der Schwächungskoeffizient τ
und Brechungsindex n ◦ in der Nähe einer Stelle
anomaler Dispersion ω ◦ , die einer Eigenfrequenz
des Atoms entspricht, dargestellt.
In der Realität treten viele verschiedene Eigenfrequenzen
auf mit zusätzlichen Verbreiterungen
infolge der Wechselwirkung benachbarter Atome
im festen und im flüssigen Körper, wie dies
in der zweiten Figur skizziert ist.
In der zweiten Figur ist die Dispersionskurve eines
durchsichtigen Materials schematisch dargestellt.
λ 1 , λ 2 λ 3 sind die den Eigenfrequenzen des
Atoms entsprechenden Wellenlängen.
τ
ω
ω o −γ/2m ο o ω o +γ/2m o
n o -1
normale
Dispersion
anomale Dispersion
starke Absorption
√ε-1
ω o −γ/2m o
ω ο
ω o +γ/2m o
n o c
ω
ω
n o →1
n o
K L
2
1
M
1
2
3
a b c d e
Im Röntgengebiet entsprechen diese Eigenfrequenzen den K-,L-,M-Absorptionskanten; a Röntgen,
b Ultraviolett, c Sichtbar, d Infrarot, e Radiowellen. Im sichtbaren Bereich ist n violett > n rot
und damit f violett < f rot , dies ist die normale Dispersion, die zur chromatischen Aberration führt
(siehe Kap. 3.1.5).
Um die Dispersionskurven genau zu berechnen, müssen die Lagen der Resonanzen und Dämpfungskoeffizienten
der Atome oder Moleküle genau bekannt sein, sie werden daher i.a. genauer
experimentell bestimmt.
Starke Absorption in bestimmten Wellenlängenbereichen spielen eine wesentliche Rolle im
Treibhauseffekt der Erde [CO 2 und H 2 O bei der Absorption der Infrarotabstrahlung der Erde,
O 3 bei der Absorption der UV-Strahlung der Sonne].
log
28

3 Optik
3.1 Strahlenoptik, Geometrische Optik
3.1.1 Lichtstrahlen; das Fermat’sche Prinzip
In der Strahlenoptik wird die eigentliche Wellennatur des Lichtes nicht berücksichtigt.
Statt dessen benutzt man den Begriff des Lichtstrahles als die Bahn, längs derer sich
das Licht ausbreitet. Lichtstrahlen kann man näherungsweise
erhalten, indem man aus einer ebenen Welle einen
Teil ausblendet und die am Rande der Blende auftretenden
Beugungseffekte (siehe Kap. 3.4) ignoriert.
In verschiedenen Medien breitet sich das Licht mit
verschiedener Geschwindigkeit v aus. Mit der Lichtgeschwindigkeit
c in Vakuum kann man für jedes Material
einen Brechungsindex n wie folgt definieren:
n . = c v .
Einige Brechungsindizes n für die
Natrium-D-Linie
λ = 589.3 nm, 20 ◦ C, 10 5 Pa:
Material n
Luft 1.00029
Wasser 1.333
Quarzglas 1.4588
Kronglas K3 1.51814
Flintglas F3 1.61279
Diamant 2.4173
Der Weg, den Lichtstrahlen nehmen, kann aus dem Fermat’schen Prinzip hergeleitet
werden:
✡ Von allen möglichen Wegen, um vom Punkt A zum
❏❏
✡ ❏ Punkt B zu gelangen, wählt ein Lichtstrahl immer
A ✡ ❏
✟ ✟✟ ❍ ❍❍ B denjenigen, der die kürzeste Zeit beansprucht.
✡ ❏
n
n
1 ✡ 2 ❏ n 1 Das bedeutet, mit der Lichtgeschwindigkeit im Medium
v = c/n = dl/dt muss die Zeit t =
∫ B
oder der optische Weg L =
dt =
A
∫ B
Folgerungen aus dem Fermat’schen Prinzip:
A
∫ B
n dl
1. Licht breitet sich im homogenen Medium geradlinig aus.
2. Reflexion
B
✂
A ❍
✂
❈❅
❍❍❍❍❍❍❥✂
✒
❈ ❅
❈ ❅α ✑✑✑✑✸ β ❈❲✑ ✑✑✑✑✑✑✑
✂✍
✂
❅❘ ✂
◗ ❅ Spiegel
X ◗ β
◗ ❅
◗ ❅ ◗
❅ ◗ B ′
A
dl
v = 1 ∫ B
n dl
c A
muss minimal sein.
minimal sein,
Welchen der eingezeichneten Wege wird das Licht von A nach
B wählen, wenn es an einem Spiegel reflektiert wird?
Man zeichnet das Spiegelbild B ′ . Die Strecken AXB und
AXB ′ sind für beliebige X gleich. Der kürzeste Weg AXB
ist folglich auch der kürzeste Weg von A nach B ′ , d.h. die
Gerade AOB ′ . Für die Winkel gilt:
α = β Reflexionsgesetz .
3. Brechung
Fällt eine ebene Welle unter dem Winkel α auf die ebene Grenzfläche zwischen zwei Medien
mit den Ausbreitungsgeschwindigkeiten v 1 und v 2 , so wird sie teilweise reflektiert, teilweise
durchgelassen. Für den reflektierten Lichtstrahles gilt α = β. Welchen Weg nimmt der
durchgelassene Lichtstrahl? Die Laufzeit von A nach B ist:
29

A ❩❩❩❩7
✻ ❩❩❩❩❩
a α β
v 1 ❄ ✚ ✚❃
v 2 ✛ x ✲❆
✻
✛ γ❆
d ❆ ✲
❆❯
❆ b
❆
❆
❆ B ❄
√ √
x2 + a
t =
2 (d − x) 2 + b 2
+
. t wird minimal, wenn
v 1
Da sin α =
dt
dx = 0 =
v 2
x
v 1
√
x2 + a 2 −
x
√
x2 + a 2 und sin γ =
d − x
√
v 2 (d − x) 2 + b .
2
d − x
√
(d − x) 2 + b 2
gilt also
sin α
sin γ = v 1
v 2
= n 2
n 1
= n 12 Snellius’sches Brechungsgesetz .
Dabei ist n 12 der relative Brechungsindex der beiden Medien.
Das Brechungsgesetz gilt für optisch isotrope Medien (z.B. kubische Kristalle). Für
die nichtkubischen Kristallen gehorcht nur der ordentliche Strahl dem Brechungsgesetz.
4. Fata Morgana 15 Die Luft direkt über dem Boden ist sehr heiss und hat
deshalb einen proportional zur Dichte verkleinerten
Brechungsindex. Dem Beobachter erscheint die Palme
am Boden gespiegelt.
5. Sonnenuntergang
3.1.2 Totalreflexion
❏
❏ ✡✡✣
❏ α β ✡
❏ ✡
n n 1 > n 2
1 ❏❫ ✡
n 2 ❩❩❩❩7
γ
Als Folge der Brechung in der Luft mit variierendem
Brechungsidex mit der Höhe ist die Sonne noch nach
dem Verschwinden unter dem Horizont sichtbar.
Trifft eine Welle vom Medium 1 unter dem Einfallswinkel α auf
die Grenzfläche mit einem optisch “dünneren” Medium 2
(v 1 < v 2 , n 1 > n 2 ), so gilt nach dem Brechungsgesetz:
sin γ = n 1
n 2
sin α . Da sin γ ≤ 1 sein muss, erhält man für α:
◗ ◗◗◗◗✑
α k β
n ✑✑✑✑✸
1
n ✲
2 ✌
n 1
n 2
❍ ❍ ❍❍❥ α β
✟ ✟✟✟✯
sin α ≤ n 2
n 1
= v 1
v 2
. Mit dem kritischen Winkel α k bei γ = 90 ◦
d.h. sin γ = 1 und sinα k = n 2
n 1
= v 1
v 2
keinen gebrochenen Strahl mehr, sondern nur eine
100% Totalreflexion.
gibt es für α > α k
15 M.Vollmer, “Gespiegelt in besoneren Düften”, Phys.Blätter 54(1998)10,S903. Viele Beispiele für Spiegelungen,
Fata Morana, Luftspiegelung des Sonnenunterganges mit dem kurzzeitigen, grünen Strahl.
30

Material α k
Einige kritische Winkel α k = arcsin 1 n 1
für Totalreflexion (n 2 = 1)
Wasser 48.6 ◦
Dank der Totalreflexion können lange Lichtleiter hergestellt werden,
welche unter anderem beim Endoskop oder zur Signalübert-
Flintglas F3 38.3 ◦
Kronglas K3 41.2 ◦
ragung eingesetzt werden, oder 90 ◦ -Prismen als Spiegel benutzt
Diamant 24.4 ◦ werden.
3.1.3 Abbildung durch Spiegelung und Brechung
✲ Lichtrichtung
✲ Werden die Lichtstrahlen,
die von einem
Lichtrichtung
abbildendes
Bild Gegendendes
Bild
virtuelles abbil-
reelles
Punkt G eines leuchtenden
Gegenstandes ausge-
Gegenstand
System
stand System
hen, durch ein abbildendes
System zum Schnitt
❳❳3
✚❃
G ✟
✘ ✟✟✯ ✲ B v
✟ ✘ ✟✟
❍ ✘ ✘
❳ ✚ ✚✚
❍ ✘ ✘✿
❳ ✚ ✚✚❃ ✟✟✯
✘✘✿
✒ ❅
❅❘
✲
❩ ❍❍❥ ❳ ❳3 ❩ ❍❍ ❳ ❳ G
❩❩7 ❩❩
❳❳3
✟ ✟✟✯ ✲
❅
❍ ✘ ✘ ✘✿
❳ ✚ ✚✚❃
❩ ❍❍❥ ❩7 ❅
✲ ❍❍ ❳ ❩❩ ❅
❩ ❍❍❥ ❳ ❳3 ✘✘✿
❩❩7 ✟✟✯
❍❍❥
❅ ✛ + ✻ + ❩7
+ ✛
virtuelles Bild ✻ g ❅❘
✒ ✚❃ ✟✟
❳
✘✘✘
B r
gebracht, so nennt man B
✚ ✚✚ den Bildpunkt von G. Je
b ✲ nachdem, ob es sich bei B
✲ + reelles Bild um einen wirklichen oder
scheinbaren Schnitt handelt, spricht man von einem reellen oder virtuellen Bildpunkt.
Sämtliche Bildpunkte ergeben das Bild des Gegenstandes. Reelle Bilder können auf einem
Schirm aufgefangen werden, was bei virtuellen Bildern nicht möglich ist.
Bezüglich der Vorzeichen treffen wir folgende Konvention: Die Gegenstandsweite g
wird vom abbildenden System aus positiv nach links , die Bildweite b entsprechend positiv
nach rechts gezählt. Die Richtungen von Gegenstand und Bild senkrecht zur Achse werden
positiv nach oben gerechnet. Krümmungsradien von brechenden Flächen sind positiv,
wenn die Fläche konvex bezüglich der Seite ist, von welcher her das Licht einfällt.
n 1 n 2
Beispiele
✲
1. Abbildung durch Reflexion
G ❅❆
❍✁ ✁✕
❍
✒
Die Reflexion an einem Spiegel erzeugt ein virtuelles ❆❯✁ ❅❘ ❍❥✟✯
✁✟
✟
Bild B v , das symmetrisch hinter dem Spiegel liegt. B v ✟
✲✟
✁
2. Abbildung durch eine brechende, sphärische Fläche
Kugelflächen sind einfach zu rechnen und herzustellen. r sei der Radius der brechenden
g
M
sin α
b
sin(ϕ 2 − ϕ 3 ) ≈ ϕ 1 + ϕ 2
= n 2
ϕ 2 − ϕ 3 n 1
Fläche. Mit der geometrischen Beziehungen
α = ϕ 1 + ϕ 2 , γ = ϕ 2 − ϕ 3 und der
G
h r 3
2
B Annahme ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ≪ 1 folgt
oder n 1 ϕ 1 + n 2 ϕ 3 = (n 2 − n 1 ) ϕ 2 , für kleine Winkel ϕ 1 = h g , ϕ 2 = h r , ϕ 3 = h b ,
wobei g die Gegenstandsweite und b die Bildweite ist. Damit erhalten wir
n 1
g + n 2
b = n 2 − n 1
r
die Abbildungsgleichung .
Da diese Beziehung unabhängig von α und γ ist, gilt sie für alle achsennahen Strahlen,
die von G ausgehend in B zusammentreffen.
31

Spezialfälle
1. g = ∞; die beleuchtete Fläche sei konvex (d.h. r ist positiv); n 2 > n 1 .
n 1 n 2
Aus der Abbildungsgleichung folgt dann
n 2
b = n 2 − n 1
und somit
r
b =
n 2 r
= konst. = . f 2 > 0 .
n 2 − n 1
f2
F 2
f 2 nennt man die bildseitige Brennweite, F 2 den bildseitigen Brennpunkt des abbildenden
Systems. Parallel einfallende Strahlen treffen im Brennpunkt zusammen, d.h. der Brennpunkt
ist Bildpunkt eines unendlich fernen Punktes. Die Abbildungsgleichung lautet somit
auch
n 1
g + n 2
b = n 2
.
f 2
Dieser Fall entspricht bis auf die geringere Fokussierung durch die Linse der Abbildung
des Auges durch die Hornhaut auf die Netzhaut.
2. g = ∞; die beleuchtete Fläche sei konkav (d.h. r < 0); n 2 > n 1 .
n
n 2
1
F 2 f 2
Analog zu 1. findet man f 2 = n 1 r
< 0 .
n 2 − n 1
3. b = ∞; r > 0; n 2 > n 1 . Aus der Abbildungsgleichung folgt
F 1
g = n 1 r
n 2 − n 1
= konst. . = f 1 > 0 .
f 1 und F 1 sind definiert als gegenstandseitige (oder
objektseitige) Brennweite, bzw. Brennpunkt.
f 1
n 1
n 2
Es gilt offenbar
f 2
f 1
= n 2
n 1
,
d.h. die Brennweiten verhalten sich wie die Brechungsindizes. Die Brennpunkte F 1 und
F 2 liegen auf entgegengesetzten Seiten der brechenden Fläche.
3.1.4 Abbildung durch dünne und dicke Linsen
G
n 1 n 1
B
g
r 1
n 2
b
r 2
Man spricht von einer dünnen Linse, wenn ihre
Dicke klein ist gegen die Krümmungsradien r 1 und
r 2 der beiden Grenzflächen. Die Abbildungsformel
für dünne Linsen ergibt sich durch zweimalige Anwendung
der Abbildungsformel für eine sphärische
Trennfläche.
32

B'
G
n 1 n 2
r 1
Wenn g gegeben ist, so folgt als Bildweite b ′ für die
Brechung an der ersten Fläche:
n 2
b ′ = n 2 − n 1
r 1
− n 1
g .
b'
g
b ′ wird jetzt zur negativen Gegenstandsweite g ′ für
die Abbildung durch die 2. Fläche, d.h.
g ′ = −b ′ . Es gilt also
n 2
g ′ + n 1
b = −n 2
b ′ + n 1
b = n 1 − n 2
r 2
.
B'
r 2
n 1
n 2
B
Einsetzen für b ′ liefert
g'
b
− n 2 − n 1
r 1
+ n 1
g + n 1
b = n 1 − n 2
r 2
oder
1
g + 1 b = n 2 − n 1
n 1
( 1 r 1
− 1 r 2
) . = 1 f
Abbildungsformel
für dünne Linsen
f hat wieder die Bedeutung einer Brennweite, denn für g = ∞ ist f = b und für b = ∞ ist
f = g. Bild- und gegenstandseitige Brennweite sind also gleich, wenn in beiden Räumen
derselbe Brechungsindex vorliegt. Da r 1 und r 2 positiv gerechnet werden, wenn die Flächen
konvex gegen die Gegenstandseite sind, ist für eine Bikonvexlinse (Figur) r 2 < 0.
Die Grösse n 1 /f einer Linse nennt man ihre Brechkraft oder Stärke. Die Einheit der
Brechkraft ist 1 m −1 = 1 Dioptrie. Eine Linse in Luft (n 1 = 1) mit 5 Dioptrien hat also
reelles
Bild
G
Gegenstand
F 1
F 2
B
3. Ein Strahl durch den Brennpunkt verläuft parallel.
G
✻❏
❆
❏ ❆
❏
✛j✲
❆
❏
F ❆ 1 F 2
❏ ❆
✛x 1 ✲❏
❆
❏ ❆ ❏ ❆ ❄ B
✛✲ f 1
✛f 2
✲x 2 ✛
✛ g ✲ ✛ b ✲
eine Brennweite von f = 0.2 m .
Auf Grund der Abbildungsformel wird das Bild geometrisch
konstruiert:
1. Der Mittelpunktsstrahl ist ungebrochen.
2. Ein Parallelstrahl verläuft durch den Brennpunkt.
Dicke Linsen und Linsensystemen können nicht mehr so einfach konstruiert werden.
H 1 H
Gauss hat gezeigt, dass jedes optische System vollständig charakterisiert
werden kann durch die Brennweiten f 1 und f 2 und
2
den Abstand j der Hauptebenen H 1 und H 2 im Abstand j.
f 1 und f 2 sind die Brennweiten von den Hauptebenen aus gerechnet.
Diese Hauptebenen sind dadurch definiert, dass sie
im Verhältnis 1:1 aufeinander abgebildet werden. Lichtstrahlen
werden also wiederum nur an jeweils einer der beiden
Hauptebenen gebrochen. Damit ist eine geometrische Bildkonstruktion
möglich (siehe Figur) und eindeutig.
Wieder ist f 1 = f 2
. = f, wenn gegenstand- und bildseitiges Medium gleichen Brechungsindex
haben. Ferner kann aus der Figur abgelesen werden
|B|
f 1
=
|G| + |B|
g
und
|G|
f 2
=
|G| + |B|
b
, also
f 1
g + f 2
b = 1
33

oder, für f 1 = f 2 = f,
1
g + 1 b = 1 f
Gauss’sche Abbildungsformel .
g und f werden von den Hauptebenen aus gerechnet. Der Spezialfall der dünnen Linsen
ergibt sich aus diesem allgemeinen Fall, da dort j = 0, d.h. H 1 = H 2 = Linsenebene.
Das Vergrösserungsverhältnis m ist ferner
m = |B|
|G| = −b g .
Mit den Abständen x 1 = g − f 1 und x 2 = b − f 2 von den Brennpunkten gerechnet gilt
x 1 x 2 = f 1 f 2 die Newtonsche Abbildungsformel .
3.1.5 Abbildungsfehler
Das Vergrösserungsverhältnis m ist m = − f 1
x 1
= − x 2
f 2
.
In der Praxis zeigen Linsen Abweichungen von den einfachen Gesetzmässigkeiten, die wir
eben behandelt haben. Es handelt sich in der Hauptsache um folgende Fehler:
1. Sphärische Aberration (= Schärfefehler)
Parallel zur Achse einfallende Strahlen schneiden sich nicht
in einem Brennpunkt, weil die äusseren, achsenfernen Linsenzonen
eine kleinere Brennweite haben. Der Grund ist die
Näherung sinϕ ≈ ϕ ≈ tanϕ bei der Berechnung der Abbildungsgleichung
mit sphärischen Flächen. Der Bildpunkt wird
ausgedehnt (Kaustik der Linse). Diese Aberration kann
durch Verwendung nicht-sphärischer Flächen, wie beim Auge, vermieden werden, allerdings
auf Kosten eines grösseren Astigmatismus.
x
b
n
x=b(1-
cosα )
√n 2 -sinα
α
Nicht-sphärische Linsen werden inzwischen industriell hergestellt.
Konvex- und Konkav-Linsen haben eine unterschiedliche gegenläufige
sphärische Aberration; damit behebt eine Kombination von Konvex- und
Konkav-Linsen den Fehler jedoch nur für einen bestimmten Gegenstandsund
Bildpunkt, wie z.B. g = ∞ für Fernrohr, Kamera oder dicht vor
dem Brennpunkt beim Mikroskop. Eine planparallele Platte bewirkt eine
sphärische Überkorrektur (Fig.), daher müssen Mikroskope mit einer
entsprechend korrigierten Dicke des Deckglases betrieben werden.
2. Astigmatismus (Punktlosigkeit) und Bildflächenwölbung Astigmatismus ist
ein Fehler, der bei der Abbildung von Punkten auftritt,
die ausserhalb der Achse liegen. Die von ei-
Linse
Meridianschnitt
r
nem solchen Punkt ausgehenden, die Linse schräg
opt.
M r > ρ
durchdringenden Strahlen treffen sich nicht in einem
Achse
f sagittal < f meridian Punkt, sondern in einer Linie, weil die Brennweiten
ρ
M '
der Linse in den verschiedenen durch die Linsenache
Sagittalschnitt
gehenden Ebenen (z. B. Meridianschnitt und Sagittalschnitt,
Fig.) unterschiedlich gross sind (r > ρ).
34

1. Brennebene
F sagittal
2. Brennebene
F meridian
Ein seitlich der Hauptachse liegender Objektpunkt wird in
zwei zueinander senkrechten, hintereinander liegenden Linienelementen
und nicht als Punkt abgebildet. Zusätzlich ist
die Bildebene gewölbt (Bildflächenwölbung), da verschiedene
Einfallswinkel verschieden weite Brennpunkte haben.
Der Astigmatismus ist gross für Linsen mit kleiner
sphärischen Aberration, daher werden Vielfachsysteme mit einer teilweise gleichzeitigen
Kompensation von Aberration und Astigmatismus gebaut (Anastigmate bei Kameras).
3. Chromatische Aberration Für die Lichtbrechung zeigen alle Materialien mehr
n
oder weniger starke Dispersion, der Brechungsindex hängt
von der Wellenlänge ab (Kap. 2.1.7). Gewöhnlich nimmt
im sichtbaren Gebiet n mit abnehmender Wellenlänge zu.
1
Folglich ist bei jeder Linse
Blende
Linse 1
4000 7000 Å
α
α−β
n
γ
β
δ
α−β
symmetrisches Prisma
Schirm
Linse2
Brechungsindizes H 2 O, 20 ◦ C
λ Linie n Farbe
7682 Å 1.32895 tiefrot
6563 Å C 1.33111 rot
5893 Å D 1.33299 gelb
5351 Å 1.33496 grün
4861 Å F 1.33713 blau
4341 Å 1.34045 violett
n(λ) = sin( δ+γ 2 sin(γ 2
n viol > n rot und f viol < f rot .
Die chromatische Aberration wird bei einem
Prisma als einfaches optisches Spektometer
ausgenutzt. Bei einer symmetrischen
Anordnung, bei der der im Prisma gebrochene
Strahl parallel zur Basis verläuft, ist die
Ablenkung δ minimal und sie wird nur durch
n und γ bestimmt. Es gilt sin α = n · sin β,
δ = 2(α − β), γ = 2β und der einfallende
und gebrochene Strahl verlaufen parallel zu
einem an der Basis total reflektierten Strahl,
wie man ausgehend von einem nichtsymmetrischen
Strahlengang zeigen kann 16 . Der
durch die Blende begrenzte Strahl wird mit
den beiden Linsen auf dem Schirm abgebildet,
die symmetrische Anordnung gilt nur für
den Brechungsindex einer Wellenlänge mit
) , damit kann der Brechungsindex bestimmt werden.
4. Korrektur der Linsenfehler †
Durch Kombination von Linsen aus Gläsern mit verschiedener Dispersion (Achromaten)
kann die chromatische Aberration reduziert werden. Prinzipiell lassen sich Linsenfehler
nicht vollständig beseitigen sondern nur durch Kombinationen von Konvex-, Konkavlinsen
und planparallelen Platten sowie durch Wahl des Brechungsidexes der Glassorten
vermindern. Dieses vieldimensionale Optimierungsproblem der numerischen Mathematik
ist erst mit Hochleistungscomputern in vernünftigen Zeiten lösbar geworden. Mit asphärischen
Linsen, die Computer-gesteuert hergestellt werden können, oder mit Gradientenlinsen,
die eine räumliche Verteilung des Brechungsindizes z.B. n(r) haben, kann die sphärische
Aberration auch korrigiert werden. Die Bildflächenwölbung wird in Spezialkameras
mit gewölbten Filmen korrigiert.
Das Schmidt-Teleskop wird als die bedeutendste optische Erfindung der ersten Hälfte
des 20. Jahrhunderts bezeichnet.
16 sinα 1 = n · sin β 1 , sin α 2 = n · sin β 2 , γ = β 1 + β 2 , δ = α 1 − β 1 + α 2 − β 2 = α 1 + α 2 − γ
35

g(h)
A
∆x
∆y
x
C
F
ϑ
h
ϑ
R=2f
ϑ
deformierte Flache " (stark uberhoht)
" "
.
Um ein lichtstarkes (grosse Öffnung) komafreies (korrigierte
Aberration) Spiegelsystem zu bauen, wurde von
B. Schmidt 17 eine Korrektionsplatte (asphärische Fläche)
berechnet, die die Spiegelfläche und die Korrektur der Wellenfront
räumlich entkoppelt. Der Fokus F für achsennahe
Strahlen ist für achsenferne Strahlen um ∆x und ∆y
in Abhängigkeit von h verschoben. Mit dem Kugelmittelpunkt
C und dem Reflexionswinkel sin ϑ = h können
2f
diese Abweichungen berechnet werden:
∆x = FA = FC − AC = f − f/ cos ϑ ≈ − h2
8f
und ∆y ≈ − h3 .
8f 2
[
Damit erhält man die Dicke der Korrekturplatte g(h) = 1 h 2 h 2
+ ]
n−1 f 2 32f ∆1 2 + g(0).
∆ ist der Abstand des Referenzkugel-Zentrums vom Bildpunkt. Der maximale Dickenunterschied
der Platte für einen 100 cm Spiegel ist 0.08 mm. Ein analoges Verfahren wurde
bei der Korrektur des Hubbel-Teleskopes angewendet.
3.2 Wellenoptik
Wie im Kapitel 3.1 gezeigt wurde, gehorcht das Licht dem Reflexions- und Brechungsgesetz,
ohne dass eine Aussage über die Wellen- oder Teilchennatur des Lichtes gemacht
werden musste. Wird Licht als Teilchen interpretiert, dann gelten diese Gesetze uneingeschränkt.
Die Wellennatur des Lichtes kann erst mit Beugungs- und Interferenzerscheinungen
nachgewiesen werden.
3.2.1 Das Huygensche Prinzip
In seiner einfachsten Form lautet das Huygensche Prinzip:
Jeder Punkt des Raumes, der von einer Welle getroffen wird, ist
Zentrum von sekundären Kugelwellen. Die resultierende Welle
erhält man durch Überlagerung solcher Huygenswellen.
Auf Grund dieser Aussage lassen sich die Wellenfronten konstruieren als Einhüllende aller
Sekundärwellenfronten. Die Wellenfläche eines solchen Systems ist der geometrische Ort
aller Puntke, die gleichzeitig von einer von der Quelle ausgehenden Störung erfasst werden.
Wellenstrahlen sind Linien, die überall senkrecht zu den Wellenflächen stehen.
Beispiele: a) ebene Wellen b) Kugelwellen
Kugelwellen
einfallende
Wellenfront
auslaufende
Wellenfront
17 B. Schmidt, Mitt. Hamburg 7(1932)15, vgl. K. Bahner Handbuch d. Physik XXIX, 247, 272
36

c) Beugung am Loch
k →
Trifft eine Welle auf
einen Schirm mit einem
Loch, dessen
Durchmesser klein
gegen λ ist, so breitet
sich vom Loch eine
Kugelwelle aus.
d) Beugung am
Hindernis
k
Trifft die Welle ein
Hindernis, dessen
Querdimensionen
klein gegen
λ sind, so wird
das Hindernis zu einem
Zentrum einer
Kugelwelle.
Aus dem Huygenschen Prinzip folgt sofort das Reflexions- und Brechungsgesetz.
e) Reflexionsgesetz.
Für die reflektierte Welle können die Phasenebenen
nach der folgenden geometrischen Konstruktion erhalten
werden. Es ist AD = BC = v 1 ∆T .
v 1
D
B
Also sind die Dreiecke ABC und ADC ähnlich,
somit gilt α = β das Reflexionsgesetz .
f) Brechungsgesetz. Für die Phasenebenen der durchlaufenden
Welle ist
sin α
sin γ = v 1 ∆T
v 2 ∆T = v 1
v 2
= n 2
n 1
.
Also gilt
sin α
sin γ = n 2
n 1
Snellius’sches Brechungsgesetz .
A
v 1 ∆t
α
β
v 1
v 1 ∆t
C
v
n 1 t
1
n A
2
v 2
t
v 1 >v 2
n
g) Der gekrümmte Lichtstrahl.
z
n
Werden zwei Flüssigkeiten mit verschiedenem Brechungsindex einander
überlagert, so wird n im Diffusionsgebiet eine Funktion der
2
G
B ?
1
Höhe (siehe Figur). Ein horizontaler, beliebig feiner Lichtstrahl
müsste nach der Strahlenoptik die Flüssigkeit geradlinig durchsetzen,
und zwar für eine beliebige Höhe. Die Erfahrung widerspricht
n dieser Behauptung.
n 2
n 1
z
Im Übergangsgebiet wird der Lichtstrahl gekrümmt.
Die Krümmung ist eine direkte
Konsequenz des Huygens’schen Prinzips und
damit der Wellennatur des Lichtes. 18
Um die Gesamtwirkung in einem Raumpunkt zu erhalten, muss man über alle Sekundärwellen,
die dort eintreffen, unter Berücksichtigung der gegenseitigen Phasenbeziehungen
summieren, vgl. dazu auch die folgenden Kapitel 3.3 und 3.4 über Interferenz und
Beugung.
18 Bei gegebenem Eintritts- und Austrittspunktes des Strahles aus dem Behälter kann man den Verlauf
des Strahles auch mit Hilfe des Fermat’schen Prinzips erklären. Das Fermat’sche Prinzip kann aber
nicht erklären, weshalb der Strahl nicht geradeaus geht. Ähnliches gilt auch für die Fata Morgana oder
die Sonne, die nach dem Sonnenuntergang noch sichtbar ist (siehe Kapitel 3.1.1). Die Sekundär- oder
Huygenswellen besitzen ein festes Phasenverhältnis zur einfallenden Welle.
v 2
B
v 1
C
37

3.3 Interferenz von Wellen
Wie gezeigt wurde, gehorcht Licht dem Reflexions- und Brechungsgesetz, wie dies für Wellen
aus dem Huygenschen Prinzip folgt. Trotzdem ist dies noch kein zwingender Grund,
dass Licht wirklich Wellennatur besitzt. Wenn Licht aus Korpuskeln zusammengesetzt
wäre, so könnten Brechung und Reflexion trotzdem verstanden werden 19 (z.B. mit dem
Fermatschen Prinzip). Der eindeutige Nachweis der Wellennatur des Lichtes gelingt erst
anhand von Beugungs- und Interferenzeffekten.
3.3.1 Interferenz zweier Wellen. Kohärenz
Zwei superponierte Wellen gleicher Frequenz und Wellenlänge können sich je nach ihrer
relativen Phasenlage verstärken oder auslöschen.
u u 1 u 2 Die eine Welle sei u 1 = a cos(k x − ω t) . Ihre Intensität
ist proportional zu I 1 = a 2 . Für die andere
Welle gelte u 2 = a cos(k x − ω t + δ) und I 2 = a 2 .
x
Die resultierende Erregung ist
u = u 1 + u 2 = a [cos(k x − ω t) + cos(k x − ω t + δ)]
= 2a cos δ cos(k x − ω t + δ) = . A cos(k x − ω t + δ).
2 2 2
λδ
Wir erhalten eine Welle gleicher Frequenz und Wellenlänge
mit der 2π
Amplitude
A = 2a cos(δ/2) und der Intensität I = 4a 2 cos 2 δ 2 . (28)
Die Intensität ist also nicht einfach proportional zu (2a) 2 ; die Phasendifferenz δ spielt eine
wesentliche Rolle. Meist rührt δ daher, dass die Wellen vor der Superposition verschieden
lange Wege durchlaufen. Ist die Differenz dieser Wege ∆, so ist die Phasendifferenz
δ = k ∆ = 2π ∆ λ .
Bei der Superposition ergeben sich zwei Grenzfälle:
1. maximale Verstärkung, wenn die Erregungsmaxima der beiden Wellen zusammenfallen:
A = 2a, I = 4a 2 für δ = 0, 2π, 4π,... bzw. ∆ = 0, λ, 2λ,..., mλ (29)
2. Auslöschung, wenn die Maxima der einen Welle mit den Minima der anderen zusammenfallen:
A = 0 = I für δ = π, 3π, 5π,... bzw. ∆ = 1 2 λ, 3
2 λ,..., (m + 1 )λ (m=ganze Zahl) (30)
2
Interferenz kann natürlich nur beobachtet werden, wenn die Phasendifferenz δ am
Messpunkt zeitlich konstant ist. Zwei Wellen, deren Phasendifferenz konstant ist, nennt
man kohärent.
Konventionelle Lichtquellen wie Glühlampen oder die Sonne senden inkohärentes
Licht aus, weil die Elementarprozesse statistisch Licht emittieren, wie z.B. die Rückkehr
eines angeregten Atomes in den Grundzustand.
Die einzelnen Wellenzüge sind zeitlich
⌢⌣⌢⌣⌢⌣ ⌢⌣⌢⌣ ⌢⌣⌢⌣⌢⌣⌢⌣ begrenzt und zufällig verteilt, und haben
daher keine festen Phasenbezie-
⌢⌣⌢⌣ ⌢⌣⌢⌣ ⌢⌣⌢⌣⌢⌣
∆ 1 ∆ 2 ∆ 3
hungen: ∆ 1 ≠ ∆ 2 ≠ ∆ 3 .
19 Die Erklärung des krummen Lichtstrahles basiert allerdings auf der Wellennatur des Lichtes.
38

Die resultierende Intensität wechselt dann rasch und wir beobachten den zeitlichen Mittelwert
I = 4a 2 cos k ∆(t) 2 = 4a 2 1 2 2 = 2a2 = I 1 + I 2 .
Es ist charakteristisch für inkohärente Wellen, dass sich die Intensitäten addieren. Dasselbe
Resultat erhalten wir auch, wenn zwei Wellen verschiedener Frequenz superponiert
werden.
Für kohärente Wellen werden die Amplituden addiert: I = ( ∑ i a i ) 2 .
Für inkohärente Wellen werden die Intensitäten addiert: I = ∑ i(a i ) 2 .
L 1 L 2
L
Kohärente Wellen haben nicht nur die gleiche Frequenz, sondern auch
eine feste Phasenbeziehung.
Um kohärentes Licht zu erhalten, kann man das Licht, das von einem
Emissionszentrum ausgeht, in Teilwellen zerlegen, die dann eine
feste Phasendifferenz haben. Um in einem Raumpunkt interferieren
zu können, darf der Wegunterschied nicht grösser als die Länge eines
Wellenzuges sein. Man nennt die maximal zulässige Wegdifferenz die
Kohärenzlänge.
Licht kann z.B. mit zwei Spiegeln in zwei Teilwellen zerlegt werden, auf
welche ausgeblendete Lichtbündel einer einzigen Lichtquelle L fallen. Die
virtuellen Spiegelbilder L 1 und L 2 stellen dann zwei Quellen dar, die
kohärentes Licht aussenden.
3.3.2 Interferenzrohr von Quincke
x 1
Man betrachtet die Überlagerung zweier Schallwellen gleicher
Frequenz. Die vom Lautsprecher erzeugte Schallwelle wird in
A in zwei Wellen u 1 und u 2 aufgeteilt. In B werden die Wellen,
nach dem Zurücklegen der Wege x 1 und x 2 zur Interfenz
gebracht. Die vom Mikrophon registrierte Störung beträgt:
u B = u 1 + u 2 = A cos(kx 1 − ωt) + A cos(kx 2 − ωt)
A
variabel
B
Gemäss Gleichung (29) tritt konstruktive Interferenz auf,
wenn ∆ = x 1 − x 2 = nλ, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3...
und destruktive Interferenz [gemäss Gl. (30)], wenn
∆ = x 1 − x 2 = (n + 1 )λ, n = 0, ± 1, ± 2, ± 3...
2
Zahlenbeispiel: v = 340 m/s, ν = 1700 Hz.
x 2
Dann beträgt der Wegunterschied zwischen zwei Maxima oder Minima 20 cm = λ.
Eine Unterdrückung von hohem Lärmpegel (5-15 dB) durch destruktive Interferenz
wird bei Kopfhörern für Piloten angewendet 20 .
20 Zeitschr. f. Lärmbekämpfung 1(Jan.1988) Springer Verlag.
39

3.3.3 Young’scher Interferenzversuch (Doppelquelle)
x
x Thomas Young (1802) erbrachte den ersten Nachweis von Interferenzerscheinungen
beim Licht. Die Wellen von zwei phasengleichen
r 1
Quellen Q 1 und Q 2 im Abstand d voneinander werden auf einem
Schirm superponiert.
D
Es sei d ≪ D und x ≪ D. Für die Wegdifferenz ∆ = r 1 − r 2 ergibt
r 2 sich dann ∆ = d sin α ≈ d tan α = d x D .
Die Intensität auf dem Schirm ist also nach Gleichung (28):
d Q 1 Q 2
-3π -2π
-π
I
0 π 2π 3π
I = 4a 2 cos 2 k ∆ 2 = 4a2 cos 2 k dx
2D = 4a2 cos 2 π dx
λ D .
k∆
Auf dem Schirm entsteht in dieser Näherung
ein Interferenzmuster von gleichen äquidistanten
hellen und dunklen Streifen, ohne Näherung
nimmt die Intensität bei hohen Ordnungen ab.
3.3.4 Interferometer von Jamin
Quelle Es wird eine ausgedehnte Lichtquelle benutzt, die
einen Spiegel S 1 beleuchtet. Durch Reflexion an dessen
Vorder- und Rückseite wird jeder auftretende
2 S
1
1' “Strahl” in zwei Strahlen aufgespalten. Gleiches geschieht
am zweiten Spiegel S 2 . Bei vollkommener Par-
2
2'
allelität und Gleichheit der Spiegel S 1 und S 2 ergeben
S 1
die beiden Wellen 1 und 2 in P, aber auch 1’ und 2’
in Q immer ein Maximum, da ja die Lichtwege genau
gleich sind mit je einer äusseren und einer inneren
Reflexion 21 . Dies gilt für jeden Einfallswinkel, der
Q P
Schirm S
Schirm S ist also hell.
Eine leichte Unparallelität führt für die verschiedenen Strahlenpaare zu verschiedenen
optischen Wege und in S entsteht ein Interferenzstreifensystem. Phasendifferenzen zwischen
zwei Wellen können auch entstehen, wenn sie gleich lange Wege in Medien mit
verschiedenem Brechungsindex zurücklegen. Statt δ = k ∆ ist dann die Phasendifferenz
δ = k 1 x − k 2 x = 2π x ( 1 λ 1
− 1 λ 2
) .
Ferner gilt v 1 = ν λ 1 = c = ν λ ◦
und v 2 = ν λ 2 = c = ν λ ◦
n 1 n 1 n 2 n 2
wenn λ ◦ die Wellenlänge im Vakuum ist. Wir erhalten damit
δ = 2π
λ ◦
x (n 1 − n 2 ) = k ◦ (n 1 x − n 2 x) .
Die Grösse nx nennt man den optischen Weg. Allgemein bestimmt also die Differenz
der optischen Wege die Phasendifferenz δ.
21 Bei einer äusseren Reflexion am dichteren Medium tritt ein Phasensprung von π auf (Kap. 1.5 Fall
1.) und bei einer inneren Reflexion am dünneren Medium im Spiegel bleibt die Phase erhalten. Dieser
Phasensprung muss bei Interferenzexperimenten berücksichtigt werden.
40

1
2
✛
l
n 1
n 2
✲ Wird z.B. der Weg des Strahls 1 im Jamin-Interferometer
über die Strecke l allmählich evakuiert, so ergibt sich bei
✲gleichen geometrischen Wegen zwischen 1 und 2 eine optische
Wegdifferenz
✲
∆ = l (n 1 − n 2 ) ,
wobei n 2 der Brechungsindex von Luft beim Druck p ◦ und n 1 = 1 + (n 2 − 1) p
p ◦
der
Brechungsindex beim Druck p ist.
Die Wegdifferenz ändert sich beim Evakuieren von ∆ = 0 bis ∆ = l (n 2 −1). Jedesmal,
wenn sie ein ganzes Vielfaches von λ ◦ ist, erscheint ein Maximum im Punkt P. Es wandern
in diesem Punkt also N = l (n 2 − 1)/λ ◦ Streifen vorbei.
So wurde z.B. der Brechungsindex der Luft für Natrium-Licht bei 0 ◦ C und Normaldruck
gemessen zu n = 1.000 292 6 .
3.3.5 Das Michelson Morley Interferenz-Experiment
Römer, Bradley, Fizeau und Foucault (Kap. 2.1.5) bestimmten nur einen endlichen Wert
für die Lichtgeschwindigkeit c und lösten damit nicht die Frage nach der Existenz des
Äthers bzw. der unterschiedlichen Lichtgeschwindgkeiten z.B. senkrecht und parallel zu
einer bewegten Lichtquelle. Diese wurde erst 1881 im Michelson und 1887 im Michelson
Morley Experiment 22 1850 gelöst 23 , in dem angenommen wurde, es gäbe den Äther.
Das Ruhesystem Σ ′ , in dem das Interferometer befestigt ist, bewegt sich relativ zum
Äther mit der Geschwindigkeit der Erde ⃗v = 29.8km/s parallel zu Arm 1.
L
l 2 2
1
l 1
S o
P
S 2
S 1
v
In der Ebene P entsteht ein Interferenzmuster,
wenn L eine ausgedehnte, monochomatische Quelle
und l 2 − l 1 < Kohärenzlänge ist. Der Lichtstrahl
der Quelle L wird an einem bedampften
halbdurchlässigen Spiegel S ◦ in einen durchgehenden
Strahl 1 und einen reflektierten Strahl 2 aufgeteilt,
die jeweils am Spiegel S 1 und S 2 zurückreflektiert
werden und am Schirm P interferieren.
Strahl 1 durchläuft 1× und Strahl 2 3× den Spiegel S ◦ , dieser
Wegunterschied wird mit der planparallelen Platte im Strahl
1 kompensiert. Strahl 1 hat eine zusätzliche äussere Reflexion
am dichteren Medium mit einer Phase π(vgl. Fussnote 21 und
Kap. 1.5), die bei sonst gleichen optischen Wegen zu einem Minimum
am Schirm P führt.
✻S halbdurch-
2 2
❄ S
❅✏✮
✏ lässig ◦
L ✲ ❈
❅
❳❳ ❈ ✛
❳❳✲
1
❅
S 1
❄ ❅
P
22 Michelson and Morley, Am.J.Sci. 34(1887)333,
P. Huber und H. Staub, Einführung in die Physik III. Bd./1.Teil Atomphysik 1970 S.92.
23 Mit seinem Interferometer hat Michelson auch die Länge des Urmeters vermessen. Dazu wurde l 2
um die entsprechende Länge verändert und dabei die Anzahl erscheinender Maxima bei B gezählt. Da
man mit konventionellen Spektrallampen wegen der kurzen Kohärenzlänge keine Gangunterschiede von
2∆l 2 = 2 m erhalten kann, wurden Hilfsnormale von 1/2, 1/4, 1/8 etc. der Urmeterlänge benutzt.
Weiter hat Michelson auch die ersten Versuche zur Messung der Absolutgeschwindigkeit der Erde
durchgeführt.
41

⃗v ✲
✻ ✂✍ ❇
c ′ ✂ ❇
2 c
✂ c ′ ❇
2 c
✂ ❇
✂ ❄✲❇◆
⃗v
Mit der Annahme der linearen Galilei Transformation der Geschwindigkeiten
gilt für das durch den Arm 1 des Interferometers laufende Licht mit
Addition der Äthergeschwindigkeit v im gestrichenen, bewegten System
c ′ 1 = c ∓v. Im Arm 2 kann für c ′ 2 die nebenstehende Geometrie senkrecht
zum Spiegel S 2 berücksichtigt werden. Die Interferenz in P infolge der
Zeitdifferenz der Strecken 1-2 ist dann
(
1. Strecke ∆t = t 1 − t 2 , c ′ 1 = c ∓ v, t 1 = l 1
1 + 1
c−v
2. Strecke c ′ 2 = √ ( )
c 2 − v 2 2
, t 2 = l 2
√
c 2 −v ,
2
)
=
2l 1 c
c 2 −v 2
c+v )
√
c 2 −v 2
∆t = 2
(
l1 c
c 2 −v 2 − l 2
Da die Geschwindigkeit der Erde v Erde nicht geändert werden kann, ist eine solche Verschiebung
für eine Variation von v nicht messbar. Experimentell wird dieses Problem
gelöst, indem die Apparatur um 90 0 gedreht wird und dann die Differenz des Lichtweges
zwischen
diesen beiden Positionen aus der Interferenz bestimmt wird.
L
Das Interferometer (siehe Figur) ist mit seinem Ruhesystem
Σ ′ um die Achse senkrecht zur Figurenebene um 90 0 gedreht
worden. Für die 90 0 Lage ist die Zeitdifferenz ∆t (90)
P
S o
l 1
1
l 2
v
2
S 2
S 1
1. Strecke c ′(90)
1 = √ c 2 − v 2 , t (90)
1 = √ 2l 1
c 2 −v 2
2. Strecke c ′(90)
2 = c ∓ v, t (90)
2 = 2l 2c
,
c 2 −v 2
⇒ ∆t ′ = t ′ 1 − t ′ 2 = 2 ( )
√c l 1
−
l 2c
2 −v 2 c 2 −v . 2
Für den Punkt P ist also die Differenz der Laufzeitdifferenz
in den beiden Lagen
(
) )
δt = ∆t − ∆t (90) 2l 1 c
= √ √
c2 − v 2 c2 − v − 1 2l 2 c
− √
(1 − √ . Mit v ≪ c
2 c2 − v 2 c2 − v 2
c
wird die Wurzel entwickelt √
c2 − v = 1
√
2 1 − v 2 /c = 1 + 1 v 2
2 2 c + 3 ( ) v 4
+ · · ·
2 8 c
⎛
⎞
2 1
δt = √ ⎝√
c 1 − v 2 /c 2 1 − v 2 /c − 1 ⎠ (l 1 + l 2 ) ≈ l (
1 + l 2 v
2
·)
2 c c + · · .
2
δt gemessen in Einheiten der Zeitdifferenz T einer Wellenlänge λ ist δt/T und ausgedrückt
in Einheiten x 0 des Abstandes zweier Maxima
δt
δx = x 0
T = x l 1 + l 2 v 2
0
λ c . 2
Die Geschwindigkeit v der Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne ist v =
29.8 km/s (die Rotationgeschwindigkeit von ≈ 0.5 km/s ist dagegen vernachlässigbar). Mit
l 1 = l 2 = 15 m und λ = 6000 Å erhielte man eine Verschiebung von 0.49 Streifen
42

δx
x 0
= 30
6 · 10 −7 ( 29.8 · 10
3
2.998 · 10 8 ) 2
= 0.49
Perspektivische Darstellung der Apparatur
von Michelson und Morley 22 .
Eines der experimentellen Probleme
des Michelson Morley Experimentes lag
in der Verbiegung und Deformation der
Versuchsanordnung bei der Drehung
um 90 0 , die einen Effekt vortäuschen
würde, sowie eine grosse Empfindlichkeit
gegen Vibrationen.
In der ersten Anordnung wurde daher nur δx/x 0 = 1/5 erwartet. Zur Lösung dieses experimentellen
Problems wurde die Apparatur auf einer massiven Steinplatte auf Quecksilber
schwimmend montiert, und der Lichtweg wurde mit bis zu zehnfacher Reflexion auf 15m
verlängert, um den Effekt δx ∝ l 1 + l 2 zu vergrössern.
Das Ergebnis des Michelson Morley Experimentes zeigte keinerlei beobachtbare
Verschiebung auch nicht bei einer Reihe von Messungen mit verschiedenen Wellenlängen,
Sternlicht, zu verschiedenen Jahreszeiten (falls sich der Äther gegenüber der Sonne bewegen
sollte), mit verschiedenen Intensitäten, mit oder ohne elektrischen und magnetischen
Feldern. Neuere Ergebnisse liefern v(Äther)≤ 30 m/s und für bewegte Quellen und ruhende
Beobachter mit c ′ = c + k · v wurde bestimmt
k ≤ 10 −6 aus astronomischen Daten (Doppelsterne) 24
k ≤ (−3 ± 13) · 10 −5 Experimente bei 5 GeV am CERN mit dem π 0 → γγ Zerfall 25 ,
k ≤ (−4 ± 22) · 10 −2 aus dem π 0 → γγ Zerfall unter 180 0 bei niedriger Energie in einem
PSI Praktikum.
Folgerung: Es gibt keinen Äther. Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig
von der Geschwindigkeit der Quelle und des Beobachters.
Wird in einem Inertialsystem Licht von einer punktförmgen
Quelle als sphärische Welle (Kugelwelle) emittiert, so erscheint
es als Kugelwelle in jedem anderen Inertialsystem.
Diese Ergebnisse waren 1905 die Grundlage und der Ausgangspunkt von Einsteins Relativitätstheorie
26 .
24 H. Thirring, Z. Physik 31(1925)133
25 T. Alväger et al., Phys.Letters 12(1964)250
26 Für eine Kugelwelle gilt x 2 + y 2 + z 2 − (ct) 2 = 0 und in einem bewegten System mit der Relativgeschwindigkeit
v ◦ gilt x ′2 + y ′2 + z ′2 − (ct ′ ) 2 = 0. Damit ist x 2 + y 2 + z 2 − (ct) 2 = x ′2 + y ′2 + z ′2 − (ct ′ ) 2 .
Aus dieser Relation kann die Lorentz-Transformation mit v ◦ ‖ x abgeleitet werden zu (Phys. III)
x ′ =
√ x − v ◦t
1 − v
2 ◦ /c , 2 y′ = y, z ′ = z, t ′ = t − xv ◦/c 2
√
1 − v
2 ◦ /c . 2
Für die Geschwindigkeiten gilt dann
v x ′ =
v x − v ◦
1 − v x v ◦ /c 2 , v′ y = v √
y 1 − v
2 ◦ /c 2
1 − v x v ◦ /c 2 , v′ z = v √
z 1 − v
2 ◦ /c 2
1 − v x v ◦ /c 2 .
Mit v ◦ ≪ c geht die Lorentz-
Transformation in die Galilei-
Transformation über.
43

3.3.6 Interferenzen mehrerer Wellen an dünnen Schichten
a) Haidinger Interferenz an planparallelen Platten
Wir betrachten die Interferenzen an einer planparallelen Platte. Ein von der flächenhaften
Lichtquelle ausgehender Strahl wird mehrfach gebrochen und reflektiert.
flächenhafte
Lichtquelle
1
2
d
n 1
n 2
n 1
0
F
Alle austretenden Strahlen sind parallel und
können durch eine Linse (z.B. Auge auf unendlich
eingestellt) abgebildet werden. Als
Bild in der Brennebene F ergeben sich Kurven
gleicher Helligkeit für alle Strahlen durch
O mit gleichem Winkel α. Die Kurven gleicher
Helligkeit sind also Kegelschnitte der
Brennebene F mit einem Kegel, dessen Spitze
in O liegt und dessen Achse senkrecht auf
der Platte steht.
Da alle reflektierten Strahlen untereinander kohärent sind, interferieren sie. Die optische
Wegdifferenz zwischen aufeinanderfolgenden Strahlen ist
∆ = 2n 2
d
cos γ − n 1 2d tanγ sin α ,
sie kommt also durch verschiedene geometrische Wege und unterschiedliche Brechungsindizes
zustande. Mit n 1 sin α = n 2 sin γ , ist
n 1
n 2
2d tan sin
d
cos
1
2
d
∆ = n 2 2d
cos γ (1 − sin2 γ) = 2dn 2 cos γ . (31)
Der erste reflektierte Strahl 1 ist zusätzlich gegenüber
Strahl 2 um π verschoben, da er an einem optisch dichteren
Medium reflektiert wird. Die gesamte optische
Wegdifferenz zwischen Strahl 1 und 2 ist ∆ ′ = 2dn 2 cos γ + λ 2 ,
während die optische Wegdifferenz zwischen den Strahlen i und i + 1 (i ≥ 2) durch ∆ in
Gleichung (31) gegeben ist. Für den Fall dass ∆ = mλ gilt für die gesamte Amplitude
der reflektierten Welle A refl = −A 1 + A 2 + A 3 + ... . Die genauere Rechnung zeigt, dass
A 1 = A 2 + A 3 + ... . Also gilt
für ∆ = m λ A refl = 0 , wir erhalten Intensitätsminima und entsprechend
für ∆ = (m + 1 2 ) λ : A refl = A max , wir erhalten Intensitätsmaxima.
Von blossem Auge sind Maxima nur bei α ≈ 0 und α ≈ π/2 sichtbar, weil sonst benachbarte
interferenzfähige Strahlen so weit auseinander liegen, dass mehrere davon nicht
gleichzeitig ins Auge gelangen.
Die Dicke der Schicht für senkrechten Einfall ist für das erste Minimum aus
∆ ′ = mλ = 2dn 2 +λ/2 → n 2 d = λ/4. Diese λ/4-Schichten werden zur Linsenvergütung
(Entspiegelung) durch Aufdampfen hergestellt. Die Linse ist dann bei der Wellenlänge λ
reflexionsfrei, d.h. entspiegelt. Mehrere Schichten verschiedener Dicke und Brechungsindizes
können ein breiteres Spektrum angenähert refexionsfrei machen.
44

) Kurven gleicher Dicke
Variiert die Dicke des reflektierenden Films, so sind die interferierenden Strahlen nicht
parallel. Das Interferenzbild liegt praktisch auf der Filmoberfläche und nicht im
d
Virtuelles Bild des
Interferenzpunktes
Unendlichen. Man nennt daher diese Streifen Kurven gleicher
Dicke oder lokalisierte Interferenzstreifen. Sie sind nur bei sehr
dünnen Schichten wahrnehmbar. Ist dann auch der Keilwinkel
klein, so hat man bei nahezu senkrechtem Einfall die gleichen
Bedingungen für Maxima und Minima wie bei der planparallelen
Platte. Für Maxima gilt 2nd cos γ ≈ 2nd = (m + 1 2 )λ .
c) Newton’sche Ringe
Einen besonderen Fall stellen die Newtonschen Ringe dar, welche man von den Luftschichten
erhält, die sich zwischen einer ebenen Platte und einer darauf gepressten,
schwach
Krummung " stark ubertrieben
"
B
n
R
r
3.4 Beugung
d
gekrümmten Linse befinden und als nahezu keilförmig anzusehen
sind. Das Interferenzbild besteht dann mit monochromatischem
Licht aus hellen und dunklen Kreisen, deren Mittelpunkt
in B liegt. Das Zentrum dieser Kreise ist dunkel. Mit
der Figur ist r 2 = d (2R − d) ≈ 2dR mit d ≪ R.
Aus der Maximumbedingung 2nd cos γ = (m+ 1 )λ folgt
2
(mit cos γ ≈ 1) (r 2 ) max = R (m + 1) λ für den Radius
2 n
des Ringes eines Intensitätsmaximums.
Die freie, nicht durch Körper behinderte Ausbreitung des Lichtes können wir entweder
durch Lichtstrahlen beschreiben oder nach dem Huygenschen Prinzip erklären. Danach
entsteht z.B. die geradlinige Ausbreitung des Lichtes von einem Punkte P 1 nach P 2 in
folgender Weise: Von P 1 laufen Elementarwellen in alle Richtungen. Diese
P 2 interferieren mit Elementarwellen, die in anderen Raumpunkten ihren
Ursprung haben. Durch Interferenz werden all diese Wellen ausgelöscht
mit Ausnahme jener Wellen, die geradlinig von P 1 nach P 2 wandern.
P 1
Lassen wir Licht durch einen mit Öffnungen versehenen Schirm gehen, so sind die
Punkte der Öffnungen nach Huygens Zentren von kohärenten Sekundärwellen, die miteinander
interferieren und damit die geradlinige Ausbreitung des Lichtes und die Bildung
scharfer Schatten verhindern. Allgemein tritt dies merkbar in Erscheinung, wenn die Dimensionen
der Öffnungen (oder Hindernisse) von der Grössenordnung der Wellenlänge
sind. Man unterscheidet zwei Arten von Beugungen.
Bei der Fraunhoferbeugung
27 liegen, vom Objekt
Bild 2. Ordnung
her gesehen, sowohl Lichtquelle
wie auch Beobach-
Q
Bild 1. Ordnung
direktes Bild von Q ter optisch im Unendlichen,
Bild 1. Ordnung d.h. paralleles Licht fällt auf
f
das Objekt und parallel gebeugte
Strahlen werden zur
f
Bild 2. Ordnung
Beugungsschirm S
Interferenz gebracht:
27 Joseph von Fraunhofer: * 6.3.1787 in Straubing, † 7.6.1826 in München an Tb, war Sohn eines
45

Q
S
Fresnel
Bei der Fresnelschen Beugung liegen Lichtquelle
und Beobachter in endlicher Entfernung vom Objekt,
die Lichtstrahlen sind divergent.
Die Beugungsphänomene behandeln wir mit dem
Huygenschen Prinzip unter der Annahme, dass von
jedem Punkt der Öffnung dieselbe Kugelwelle ausgeht,
wie wenn der Schirm S nicht existierte.
3.4.1 Fraunhofersche Beugung am Einzelspalt
Der Spalt sei unendlich lang, so dass in jeder Ebene
senkrecht zum Spalt gleiche Verhältnisse herrschen
und wir nur eine Ebene zu betrachten brauchen. Auf
den Spalt falle eine ebene Welle, deren Wellenvektor k
x sin o
dx
r'
mit der Normalen des Schirms einen Winkel α ◦ bildet.
x
1 Wird der Spalt von dieser Welle getroffen, so ist jedes
x sin 1
1 Element dx der Öffnung Zentrum einer Sekundärwelle,
die miteinander interferieren. Uns interessiert die
o
0
resultierende Welle in der Richtung α
r
1 .
Es ist zweckmässig, die komplexe Schreibweise zu benützen, also zu ersetzen
u = A cos(kz − ωt) = R{A e i(kz−ωt) } −→ u = A e i(kz−ωt) .
Die Intensität ist dann I ∝ A 2 = A e +i(kz−ωt) · A e −i(kz−ωt) = uu ∗ ,
mit u ∗ dem konjugiert Komplexen zu u.
Eine durch x = 0 (Rand des Spaltes) gehende Welle legt z.B. den Weg r + r ′ zurück.
Eine parallel dazu durch das Element dx an der Stelle x verlaufende Welle hat dann
bezüglich der durch O gehenden Welle die Phase
δ = k (r + x sin α ◦ + r ′ − x sin α 1 ) − ωt = k (r + r ′ ) + k (sin α ◦ − sin α 1 )x − ωt .
Mit der Abkürzung K = k (sin α ◦ − sin α 1 ) wird δ = k (r + r ′ ) + Kx − ωt ,
und die vom Teil dx des Spaltes in Richtung α 1 ausgehende Welle ist
du = Adx exp(i {k (r + r ′ ) + Kx − ωt}) .
Die gesamte in Richtung α 1 gehende Welle erhalten wir durch Integration über die Spaltbreite
s. Wenn wir den Abstandsfaktor in der Amplitude vernachlässigen, ergibt sich
u(α 1 ) = A
∫ s
∫ s
u(α 1 ) = A e i {k (r+r′ )−ωt}
0
exp(i {k (r + r ′ ) + Kx − ωt})dx . Die Integration nach x liefert
0
e i Kx dx = A e i {k (r+r′ )−ωt} eiKs − 1
iK
I(α 1 ) ∝ uu ∗ = A 2 e i {k (r+r′ )−ωt−k (r+r ′ )+ωt} · e+iKs − 1
iK
. Die Intensität ist also
· e−iKs − 1
−iK =
Glasers. Er überlebte als einziger der Familie mit 11 Jahren einen Hauseinsturz. Als Optiker stellte
er genau vermessene, sehr gute Gläser und Prismen her, entdeckte Absoptionslinien im Sonnenlicht
(Fraunhofer’sche Linien), fand mit dem Prisma, dass Sterne andere Spektren als die Sonne haben, was
lange ignoriert wurde, stellte Drahtgitter zur Spektralanalyse her. Er durfte als Nicht-Akademiker an
Kongressen teilnehmen aber nicht reden.
46

= A2
) 2
( Ks .
2 )2
K 2(1 + 1 − eiKs − e −iKs ) = 2A2
4A2
[1 − cos(Ks)] =
K2 K 2 sin2 ( Ks
2 ) = sin2 ( Ks
(sA)2
Wir fassen (sA) 2 mit einem Proportionalitätsfaktor zu I ◦ zusammen und erhalten
I(α 1 ) = I ◦
sin 2 (Ks/2)
(Ks/2) 2 mit K = k (sin α ◦ − sin α 1 ). (32)
Damit ist die Intensität in jeder beliebigen Richtung α 1 als eine Funktion des Argumentes
sin α 1 bestimmt. I(α 1 ) ist eine periodische Funktion des Argumentes Ks/2, ihre Amplitude
nimmt ab mit wachsendem Ks/2. Bei festem k = 2π/λ und festem α ◦ ergeben sich
also Maxima und Minima der Intensität für verschiedene Winkel α 1 .
I
Für K = 0 hat nach
I 0
der Regel von l’Hospital
sin 2 (Ks/2)/(Ks/2) 2 den
-2π
-π
0 π 2π
Ks
2
Wert 1 und es ist I = I ◦ .
Diese maximale Intensität
beobachtet man, wenn die
gebeugte Welle die gleiche
Richtung wie die einfallende
Welle hat;
dies ergibt das unabgelenkte Zentralbild (Hauptmaximum). Minima der Intensität sind
exakt durch die Nullstellen des Zählers in Gl.(32) gegeben, also für sin 2 (Ks/2) = 0 (mit
Ausnahme von K = 0). Also gilt
Ks
2 = πs
λ (sin α ◦ − sin α 1 ) = ±mπ , m = 1, 2, 3 ...
Minimum-
Bedingung
du
Bei senkrechtem Einfall (α ◦ = 0) erhält man Minima für
sin α
x=s
1 = ± mλ , (m = 1, 2, 3 ...) .
s
k
dx
r Wenn also der Wegunterschied der durch die Ränder des Spaltes
(x = 0, x = s) gehenden Strahlen ein ganzes Vielfaches
1
x=0
der Wellenlänge ist, ist die Wirkung aller gebeugten Elementarwellen
gleich Null.
Speziell für m = 1 (Minimum 1. Ordnung) kann man sagen, dass der von x = 0 ausgehende
Strahl jenen von x = s/2 annulliert. Da dieses Minimum bei sin α 1 = λ/s erscheint, ist sein
Abstand vom Hauptmaximum um so grösser, je schmaler der Spalt ist. Das Zentralbild
ist also gegenüber dem Bild, das man auf Grund der geometrischen Optik erwartet, stark
verbreitert.
Die Maxima der Intensität liegen nicht genau da, wo der Zähler in Gl. (32) sein Maximum
hat, weil die Variable K auch im Nenner auftritt 28 . Angenähert gilt
s (sin α ◦ − sin α 1 ) = (m + 1 2 )λ, m = ±1, ±2, ... Maximum-
Bedingung
28 Bei einer genauen Rechnung muss die Bedingung dI/d sin α 1 = 0 gelöst werden. Mit x = k sin α 1
erhält man dann die transzendente Gleichung x = tanx mit x(m = 1) = 4.493 Näherung 4.712,
x(m = 2) = 7.725 Näherung 7.854, x(m = 3) = 10.904 Näherung 10.996, vgl. Fig. S.47.
47

Die Intensität der Maxima ist (in dieser Näherung) I m =
I ◦
(m + 1 2 )2 π 2 ,
mit zunehmender Ordnung m nimmt sie also stark ab. Der Abstand der Maxima ist
proportional λ und umgekehrt proportional s. Für λ → 0 oder s → ∞ würden alle Maxima
zusammenfallen, und ein Beugungseffekt würde nicht auftreten. In diesen Grenzfällen gilt
also die geometrische Optik. Bei endlichen Werten von λ machen sich Beugungseffekte
am wenigsten bemerkbar, wenn die Dimensionen der Öffnungen (oder Hindernisse) gross
gegenüber λ sind.
3.4.2 Beugung an kreisförmiger Öffnung
Die in Kap. 3.4.1 auf den Spalt angewandten Rechnungen lassen sich auch bei einer
kreisförmigen Öffnung benutzen, die von einer ebenen Welle getroffen wird.
I/I o Bei senkrechtem
Einfall zeigt
0.2
das Beugungsbild
10
Kreissymmetrie:
D
1.Min
Es besteht aus einer
zentralen hellen
3.83
7.02 10.17
Kreisscheibe, umgeben
von abwechselnd
hellen und
KD/2
0.0
0 5 10 dunklen Ringen.
( ) 2
J1 (KD/2)
Die Intensität dieser Ringe ist gegeben durch I(α 1 ) = I ◦ .
KD/2
Hierbei ist J 1 (x) die Besselfunktion 29 l. Ordnung (hier x = KD/2), D der Durchmesser
der Öffnung und K = k sin α 1 . Für das l.Minimum gilt die Bedingung
KD
2
= πD λ sin α 1 ≈ 3.83 oder sin α 1 ≈ 1.22 λ D
1. Minimum
Wiederum ist die Ausdehnung des Zentralbildes um so grösser, je kleiner die Öffnung
ist. Wenn man statt der kreisförmigen Öffnung in einem Schirm eine undurchlässige
kreisförmige Scheibe in den Strahlengang bringt, so hat man eine komplementäre Anordnung,
d.h. beide Anordnungen zusammen würden einen undurchlässigen Schirm ergeben.
Solche komplementäre Anordnungen liefern nach dem Theorem von Babinet (1837) die
gleichen Beugungserscheinungen, wenn man vom Zentralbild absieht. Jede Anordnung
für sich ergibt ausserhalb des Zentralbildes eine Verteilung der Erregungen u (nicht der
Intensitäten!), die dem Betrage nach gleich sind, aber entgegengesetzte Vorzeichen haben.
Denn sind beide komplementären Anordnungen vorhanden, muss sich ja
Dunkelheit ergeben. Da aber I ∝ uu ∗ , kann man den Vorzeichenunterschied
nicht beobachten.
29 z.B. O.Forster, Analysis 3 S.102. y = J p (x) ist Lösung der Dgl. y ′′ + 1 x y′ + (1 − p2
x 2 )y = 0, x > 0
48

3.4.3 Beugung am Strichgitter
Ein optisches Gitter ist eine Reihe N von schmalen, parallelen Spalten (Weite s), die
periodisch mit dem Abstand d angeordnet sind. Das Gitter wird analog zum Einzelspalt
berechnet mit einer Summation über die N Spalte.
d
s
o
r
d
s
n
x 1 3
2
1
0
1
r'
Die Beugungserscheinung am
Gitter, die zuerst von Fraunhofer
(1821) untersucht wurde, kommt
durch Überlagerung der Beugungen
der einzelnen Spalte zustande.
Wir brauchen also zunächst
wieder die Erregung du der Elementarwelle,
die von einem Element
dx an der Stelle x im Spalt
Nr. n ausgeht.
Der Nullpunkt der x-Achse liegt im unteren Rand des jeweils betrachteten Spaltes. Die
Phasendifferenz der durch dx an der Stelle x im Spalt n gehenden Welle gegenüber der
durch den unteren Rand des Spaltes 1 gehenden Welle ist (analog zu Kap. 3.4.1)
k {r + r ′ + ((n − 1)d + x) (sinα ◦ − sin α 1 )} − ωt . Setzen wir wiederum
K = k (sin α ◦ − sin α 1 ) , so wird du = Adx exp(i {k (r + r ′ ) + K ((n − 1)d+x) − ωt}) .
Die gesamte in Richtung α 1 verlaufende Welle erhält man durch Integration über den
Einzelspalt und Summation über alle N Spalte des Gitters:
u(α 1 ) = A e i(k(r+r′ )−ωt)
N∑
∫ s
e iK(n−1) d e iKx dx .
n=1
0
Das Integral ist dasselbe wie beim Spalt, hat also den Wert eiKs − 1
iK .
Die Summe ist eine geometrische Reihe 30
Die Intensität I(α 1 ) der gebeugten Welle ist proportional uu ∗ , also:
N ∑
n=1
I(α 1 ) ∝ A 2 · sin2 (Ks/2)
(Ks/2) 2 · eiNKd − 1
e iKd − 1 · e−iNKd − 1
e −iKd − 1 .
Die letzten beiden Faktoren ergeben
1 + 1 − 2 cos(KNd)
1 + 1 − 2 cos(Kd)
e iK(n−1)d = eN iKd − 1
e iKd − 1 . (33)
= sin2 (KNd/2)
sin 2 (Kd/2)
Führen wir noch einen Proportionalitätsfaktor ein und stecken diesen zusammen mit A 2
in eine Konstante I ◦ , so lautet unser Ergebnis
I(α 1 ) = I ◦ · sin2 (Ks/2)
(Ks/2) 2
· sin2 (KNd/2)
sin 2 (Kd/2)
.
= I ◦ · I 1 · I 2 .
Die Gesamtintensität wird (abgesehen von I ◦ ), durch die zwei Faktoren I 1 und I 2 bestimmt:
I 1 stellt die Intensitätsverteilung des Einzelspaltes dar, I 2 berücksichtigt das
.
30 mit der Summenformel N−1 ∑
n=0
q n = (1 + q + q 2 + ... + q N−1 ) = (qN − 1)
q − 1
49
, mit q = e iKd

I
I
N 2 I o
I 1
N=5,
d/s=4
0 5π
N 2 I o
I 1
N=18,
0 5π
I
Ausschnitt
0 π
d/s=4
I
Ausschnitt
0 π
Kd
2
Kd
2
Zusammenwirken aller
Spalte. Die auch
beim Einzelspalt vorhandenen
Intensitätsminima
bleiben erhalten,
jedoch kommen
neue Minima hinzu,
d.h. die vom Einzelspalt
bekannte Intensitätsverteilung
ist
von dunklen Streifen
durchsetzt.
Bezüglich der Verteilung
der Minima und
Maxima ergibt sich
folgendes Bild.
a) Das Zentralbild
erhält man für K = 0
mit der maximalen Intensität
I = I ◦ N 2 , da
für K = 0 I 1 = 1 und
I 2 = N 2 sind.
b) Minima kommen auf zwei Arten zustande, nämlich einmal auf Grund der Nullstellen
des Zählers von I 1 , d.h. (wie in Kap. 3.4.1) für
Ks
2 = ±m 1 π (m 1 = 1, 2, 3, ...) ,
dann aber auch wegen der Nullstellen des Zählers von I 2 , d.h. für
KNd
2
= ±m 2 π (m 2 = 1, 2, 3, ...) ,
wenn m 2 /N nicht ganzzahlig ist. Ist m 2 /N ganzzahlig, so verschwindet auch der Nenner
von I 2 und es wird I 2 = N 2 .
c) Hauptmaxima treten auf, wenn I 2 maximal ist. Das ist der Fall, wenn gleichzeitig
Zähler und Nenner verschwinden, also für Kd
2 = ±m 3 π (m 3 = 0, 1, 2, ...) ,
oder für
sin α ◦ − sin α 1 = m 3
λ
d
Dann ist I 2 = N 2 , was z.B. sofort aus Gl.(33) folgt, da dann jeder Term der geometrischen
Reihe den Wert + 1 hat. Also ist die Gesamtintensität
I m3 = I ◦ N 2 sin2 (Ks/2)
(Ks/2) 2 . (34)
Gewisse Maxima können ausfallen, wenn I 1 gleichzeitig ein Minimum hat, d.h. wenn das
Verhältnis d/s = m 3 /m 1 , also rational ist (siehe Fig. S. 50 bei Kd/2 = 4π).
50

d) Nebenmaxima ergeben sich, wenn der Zähler von I 2 gleich 1 wird, was für
KNd
2
= (m 4 + 1 2 )π (m 4 = ± 1, ± 2, ...) der Fall ist. (35)
Dann wird die Gesamtintensität I m4 =
sin 2 ( π (2m 4 +1)
) · sin2 (Ks/2)
. (36)
(Ks/2) 2 2 N
Zwischen zwei Hauptmaxima z.B. nullter Ordnung bei K = 0 und jenem erster Ordnung
bei Kd/2 = π liegen also N − 2 Nebenmaxima bei (vgl. Gl. (35))
I ◦
Kd
2 = 3π
2N , 5π (2N − 3)π
, ...,
2N 2N
Kd
und N − 1 Minima bei
2 = π N , 2π (N − 1)π
, ..., .
N N
Erhöht man die Zahl N der Spalte, so nimmt die Zahl der Nebenmaxima ebenfalls zu,
jedoch wächst die Intensität der Hauptmaxima so stark an, dass diese das Interferenzbild
dominieren. Für N ≫ 1 ist die Intensität des 1. Nebenmaximums nach Gl.(36)
I ◦
(in diesem Fall ist K ≈ 0) I m4 ≈
sin 2 ( 3π ) ≈ I 4N 2
◦
9π ≈ 0.04 I 2N 2 ◦ N 2
verglichen mit I ◦ N 2 des Hauptmaximums nullter Ordnung (G1.(34)).
I
Ferner werden die Hauptmaxima mit zunehmendem N immer
schärfer, denn das erste sich an das Hauptmaximum 0. Ordnung
N 2 I o
N 2 I 0
2
1.4
N
π
N
2π
N
Kd
2
anschliessende Nebenmaximum erscheint bei
Kd
2 = π N ,
rückt also immer näher an das Hauptmaximum heran, je grösser
N wird. Dies ist zu vergleichen mit dem Doppelspalt (Youngscher
Interferenzversuch, vgl. Kap. 3.3.3).
Dort tritt das erste Minimum bei π d x
λD = π auf, wobei in der hier benützten Schreibweise
2
K = k (sin α ◦ − sin α 1 ) ≡ 2π (0 − sin α) ≈ λ −2π tanα = λ −2π x
. λ D
Also tritt beim Doppelspalt das erste Minimum bei
Kd
2 = π 2
Gitter mit sehr hoher Spaltzahl (N ≈ 10 5 ) ergeben also sehr intensive und sehr schmale
Hauptmaxima, die Nebenmaxima fallen nicht ins Gewicht.
Da die Lage der Hauptmaxima nur von der Wellenlänge λ der einfallenden Strahlung
und der Gitterkonstanten d abhängt, eignen sich Gitter besonders gut zur Messung von λ
(oder auch d, wenn λ bekannt ist). Um Hauptmaxima einer bestimmten höheren Ordnung
in ihrer Intensität zu verstärken, werden für Strichgitter spezielle optimierte Formen der
Strichfurchen ausgewählt.
Es gibt aber nicht nur Gitter für Beugungserscheinungen im sichtbaren Licht. Der
Aufbau der kristallinen Substanzen stellt ein dreidimensionales Gitter dar mit einer Gitterkonstanten
von einigen Å(10 −10 m). An solchen Gittern wird eine Strahlung gebeugt,
wenn ihre Wellenlänge vergleichbar mit den Atomabständen ist. Das ist z.B. für Röntgenstrahlen
der Fall, mit denen zum ersten Male der periodische Aufbau der Materie
nachgewiesen wurde (M.v.Laue, 1912).
51
auf.

3.4.4 Fresnelsche Beugung
Wir betrachten einen ebenen Schirm, der
durch paralleles Licht beleuchtet wird. Im
Punkte P ist die Erregung gleich der Summe
der Wellen, die von den Punkten der Ebene
ausgehen. Wir teilen die Ebene in konzentrische
Ringzonen, deren mittlere Huygenswelle
immer um λ/2 phasenverschoben ist.
0. 1. 2. 3. Zone
b+
λ
2
b
b+2
λ
2
b+3
Die Wellen zweier aufeinander folgenden Zonen heben
sich fast vollständig auf. Unterdrückt man z.B. alle ungeraden
Zonen, so tritt eine kräftiges Maximum auf mit
der Amplitude A = A ◦ + A 2 + A 4 + ...
Mit allen Zonen offen beträgt die Amplitude
A = A ◦ − A 1 + A 2 − A 3 + ... = A ◦
2 + (A ◦
2 − A 1 + A 2
2 ) + (A 2
2 − A 3 + A 4
2 ) + ... = A ◦
2 ,
dies ist, wie es sein muss, die normale Beleuchtung.
Der innere Radius der m-ten Zone ist r m =
√
(b + m λ 2 )2 − b 2 ≈ √ m λ b ,
und die m-te Zone besitzt eine Fläche von S m = π λ b (m + 1 − m) = π λ b .
Frenelsche Zonenlinsen werden z.B. als Kondensor für die Hörsaalprojektoren eingesetzt.
P
λ
2
52

3.5 Optische Instrumente und ihr Auflösungsvermögen
Die in Kap. 3.4.1 diskutierten Beugungserscheinungen haben einen grossen Einfluss auf
die Leistungsfähigkeit optischer Instrumente (Lupe, Fernrohr, Mikroskop, Gitterspektrograph)
sowie auch auf das Auflösungsvermögen des Auges. Lupe, Mikroskop und Fernrohr
bewirken in erster Linie eine Vergrösserung des Sehwinkels, unter dem wir einen Gegenstand
sehen. Infolge der Beugung gibt es gewisse untere Grenzen für die Grösse von
Objekten, die wir noch wahrnehmen können.
3.5.1 Menschliches Auge und Lupe
Linsen Aufhängung
F
A.-K. Iris
Pupille
n=1
W
A.-K.
Bindehaut
Netzhautgrube
Linse
G
Hornhaut
Sehnerv
Netzhaut
Ziliarmuskel
Aderhaut
Lederhaut
L
H
n'=1.336
K
W
K'
H'
G
17.06mm 22.80mm
0.25mm
F'
N
Das menschliche Auge
Obwohl das Auge wie eine billige Kamera nur aus
zwei Elementen der Hornhaut und der nichtspärischen
Linse besteht, erzeugt es dank der Bildverarbeitung
im Gehirn ausgezeichnete Bilder. Die beiden Augen
sehen sphärisch (räumlich), kompensieren Fehler,
Unschärfen und das Gehirn korrigiert online verschiedene
Abbildungsmassstäbe (Gleitsichtbrille) verbunden
mit einem riesigen Empfindlichkeitsbereich, mit
dem Intensitätsunterschiede von rund 10 15 wahrgenommen
werden können.
Die abbildende Optik besteht aus der Hornhaut (Kornea),
der Linse, deren Brechkraft durch den Ziliarmuskel
verändert werden kann und der in der gewölbten
Bildebene liegenden Netzhaut (Retina). Das Auge
wird durch die skizzierten zwei Brennweiten mit den
dazugehörigen Hauptebenen und den 2 Knotenpunkten
charakterisiert 31 .
Die Brechstärke der Hornhaut beträgt 40 dpt, diejenige der entspannten Linse nur 20
dpt, d.h. die hauptsächlichste Brechung findet an der Hornhaut statt. Man kann das
wirkliche Auge durch eine reduzierte Optik ersetzen, die aus einer einzigen brechenden
Fläche besteht mit einem red. Hornhautradius = 5.12 mm und red. Brechungsindex =
1.34. Die reduzierte Hornhaut liegt 2.3 mm hinter der wirklichen. Die vordere Brennweite
beträgt dann 16.74 mm, die hintere 20.1 mm.
Es gilt dann:
1
g + n b = n − 1
R
z.B. R = 5.12 mm, g = ∞ → f 2 = 20.1 mm.
Die Hornhaut und Linse sind nichtsphärisch, zusammen mit der gewölbten Netzhaut
werden damit Linsenfehler korrigiert.
Durch eine verstärkende enzymatische Wirkung wird der Na- und K-Ionenhaushalt
der Sehzellen beeinflusst, was zu Membranpotentialen von einigen 10 mV führt 32 . Beim
1.5 mm 2 grossen gelben Fleck (Macula lutea) handelt es sich um die Stelle des schärfsten
Sehens. Die Makula enthält 150000 Zäpfchen pro mm 2 , aber keine Stäbchen. Beim blinden
Fleck verlassen die Sehnerven den Augapfel.
31 z.B. Ludwig Bergmann und Clemenz Schäfer “Lehrbuch der Experimentalphysik” Bd.3 Optik
32 Scientific American, April 1987
53

Krümmungsradius der Hornhaut 7.83 mm
vorderer Linsenkrümmungsradius 5.5–10 mm
hinterer Linsenkrümmungsradius 5.5–6 mm
n Kammerwasser, n Glaskörper 1.3365
n Linse 1.358
Pupillendurchmesser
2–8 mm
vordere Brennweite f 14–17 mm
hintere Brennweite f’ 19–23 mm
Abstand der Hauptebenen h 0.25 mm
Nahpunktentfernung
25 cm
Die Netzhaut enthält ≃ 7 × 10 6 farbempfindliche
Zäpfchen und 1.3 × 10 8
hell-dunkel empfindlichen Stäbche. Die
Zäpfchen enthalten die rasch regenerierenden
Sehpigmente Jodopsin und Zyanopsin,
die Stäbchen das langsam regenerierende
Rhodopsin (’Sehpurpur’).
Die Sehpigmente werden durch das
Licht zersetzt.
Einige Ausdrücke: Myopie = Kurzsichtigkeit, Augapfel ist zu lang, wird durch Zerstreuungslinsen
korrigiert. Hyperopie = Weitsichtigkeit. Akkomodationsvermögen = Fähigkeit
des Auges zum Anpassen der Brennweite. Mit zunehmendem Alter verliert das Auge das
Akkomodationsvermögen. Adaptationsvermögen = Fähigkeit des Auges zur Anpassung an
die Lichtintensität. Die Hellanpassung geht durch die Pupillenverengung sehr schnell vor
sich. Die Dunkeladaptation dauert als Folge der langsamen Regeneration des Rhodopsins
Empfindlichkeit
rot
grün
blau
rund 20 Minuten. Das Farbensehen beruht auf drei
Arten von Zäpfchen mit breiten Farbempfindlichkeiten.
Die maximale Empfindlichkeit der Zäpfchen
liegt, wie die Untersuchung der häufigen Farbblindheit
ergibt, bei: λ max (rot) = 570 nm, λ max (grün) =
535 nm, λ max (blau) = 455 nm.
700 600 500 400 /nm
Das Auflösungsvermögen des Auges
Mit einem nicht akkommodierten Auge wird ein sehr weit entfernter Gegenstandspunkt
auf die Netzhaut abgebildet. Infolge der Wellennatur des Lichtes ist der Bildpunkt aber
kein mathematischer Punkt, sondern das Beugungsbild der Pupille, die den Strahlengang
begrenzt. Nach Kap. 3.4.2 wird das Licht an dieser kreisförmigen Öffnung (⊘ D)
von
P
von
Q
I
0.2
1 1
D
gebeugt und erzeugt auf der Netzhaut ein ringförmiges Interferenzmuster.
Sollen zwei sehr weit entfernte Punkte P
und Q noch getrennt wahrgenommen werden, so nimmt
man an, dass diese Trennung noch gelingt, wenn das Intensitäts-Maximum
O. Ordnung des Punktes P auf das
1. Minimum der Intensitätsverteilung des Punktes Q fällt.
Beide mögen einen Abstand r haben. Für das 1. Minimum
gilt nach Kap. 3.4.2
sin α 1,min ≈ 1.22 λ mit α sehr klein α
D 1min ≈ 1.22 λ . D
Dieser Winkel ergibt die notwendige Winkeldistanz,
damit zwei Objekte noch getrennt wahrgenommen
werden können. Den Kehrwert dieser
Distanz, also die Grösse
U = 1
α 1,min
= 0.82 D λ
definiert man als
Auflösungsvermögen.
0.0
α1,min
0 5 10
α 1
Dem Winkel α 1,min entspricht auf der Netzhaut
eine Distanz von r ≈ fα 1,min , wenn f die
bildseitige Brennweite ist.
54

Mit einer mittleren Wellenlänge λ = 0.5µm = 5 · 10 −7 m und D = 3 mm erhält man
α 1,min ≈ 42 Bogensekunden und r ≈ 4.7µm. Diese Entfernung entspricht auch nach einer
optimalen Anpassung in der Evolution etwa dem Abstand benachbarter Zäpfchen.
G
θ
L
Durch Akkommodation (d.h. zusätzliche Krümmung
der Augenlinse) kann die Brennweite f des Auges verkleinert
werden, so dass auch näher am Auge gelegene
Gegenstände gesehen werden können, und zwar bis
hinunter zu etwa L = 25 cm, der deutlichen Sehweite.
Ein Gegenstand G möge bei diesem Abstand unter einem Winkel θ erscheinen. Dieser
Beobachtungswinkel wird grösser, wenn G näher ans Auge rückt. Das Auge kann aber
Gegenstände innerhalb der deutlichen Sehweite nicht mehr scharf wahrnehmen, da dann
B v
G
F
L
θ'
g
tanθ = G L ,
1
g − 1 L = 1 f
tan θ′ = G g
das Bild hinter die Netzhaut fällt.
Eine Lupe (Sammellinse) muss zu Hilfe genommen
werden, deren virtuelles Bild wieder im Abstand
L unter dem vergrösserten Beobachtungswinkel
θ ′ wahrgenommen wird. Es gilt also
und wegen der Abbildungsgleichung
(L = 25cm) und tanθ ′ = G
( 1
f + 1 L)
Für die durch M = θ ′ /θ definierte Winkelvergrösserung erhält man bei kleinen Winkeln,
(
d.h. für tanθ ≈ θ und tanθ ′ ≈ θ ′ , M = θ′ 1
θ = L f + 1 )
= 1 + L L f
3.5.2 Astronomisches Fernrohr
Fernrohre haben zwei Aufgaben: sie sollen sehr entfernte Gegenstände unter einem grösseren
Sehwinkel erscheinen lassen und dem Auge ein helleres Bild liefern (Nachtfernrohr,
Beobachtung von lichtschwachen Sternen). Das astronomische Fernrohr (J. Kepler, 1611)
enthält zwei Sammellinsen: eine Objektiv-Linse mit grosser Brennweite und eine Okular-
Linse mit kurzer Brennweite, die als Lupe wirkt. Das einfallende Licht ist annähernd
parallel, das austretende Licht soll es wieder sein, damit ein auf ∞ eingestelltes Auge
nicht zu akkommodieren braucht. Deswegen ist der Abstand der beiden Linsen gleich der
Summe ihrer Brennweiten. Das Auge sieht ein umgekehrtes, vergrössertes, virtuelles Bild.
.
Objektiv
θ
Okular
f 2
B'
Mit θ ≈ tanθ = B′
f 1
θ ′ ≈ tanθ ′ = − B′
g ′
wird die Winkelvergrösserung
B
b
θ'
g'
M = θ′
θ ≈ −f 1
g ′ ≈ − f 1
f 2
f 1
Das Auflösungsvermögen des Fernrohres ist wie beim Auge durch U = 0.82·D/λ gegeben,
wobei jetzt D den Objektivdurchmesser bezeichnet. Für ein Fernrohr mit 100 Zoll (2.5
m) Durchmesser und λ = 0.5µm erhält man U = 4.1 · 10 6 . Aus diesem Grunde baut
man Fernrohre mit grossem Objektivdurchmesser. Die Fernrohrvergrösserung M beliebig
hinaufzutreiben, ist sinnlos, da ja auch die Beugungsfiguren entsprechend grösser werden.
55

Infolge der Luftturbulenzen können astronomische Fernrohre nur einen Winkelbereich
von 1” ausnutzen, um eine hohe Auflösung und Lichtstärke zu erreichen, können Teleskope
in Satelliten ausserhalb der Atmosphäre installiert werden. In neuester Zeit wurde die
adaptive Optik entwickelt; mit einem Hohlspiegel, der mit einzelnen, beweglichen, steuerbaren
Segmenten aufgebaut ist, können mit einem nahegelegenen Leitstern die Tubulenzen
on-line korrigiert werden 33 .
3.5.3 Mikroskop
Ähnlich der Lupe sollen mit dem Mikroskop kleine Objekte unter vergrössertem Sehwinkel
betrachtet werden. Objektiv- und Okular-Linse haben einen Abstand, der grösser als die
f 1
Summe ihrer Brennweiten ist. Das Objekt liegt unmittelbar
ausserhalb der Brennweite f 1 der Objektiv-
f 2
G u
R
B'
linse, sein Bild B ′ wird durch das Okular wie durch
eine Lupe beobachtet. Man erhält ein umgekehrtes,
B v
b
virtuelles, stark vergrössertes Bild. Die gesamte Vergrösserung
ergibt sich wie folgt.
L
Das Objektiv bewirkt eine Lateralvergrösserung (Vergrösserung in der zur Achse senkrechten
Richtung) von m 1 ≈ −b/f 1 . Das Okular erzeugt eine Winkelvergrösserung M 2 ≈ L/f 2 .
Die Gesamtvergrösserung ist
M = m 1 M 2 = − bL
f 1 f 2
Q
Kondensor
1 max
Objekt
2 max
Objektiv
Brennebene
f
Q +4
Q +3
Q +2
Q +1
Q 0
Q -1
Q -2
Q -3
x
Bildebene
Zur Untersuchung des Auflösungsvermögens
des Mikroskopes
kann man entweder
selbstleuchtende (H. v.
Helmholtz, 1874) oder nichtselbstleuchtende
Objekte (E.
Abbe, 1873) voraussetzen. Wir
wählen die zweite Betrachtungsweise.
Als Modell für ein
Objekt mit Struktur wählen
wir ein Strichgitter, das mit
parallelem Licht kohärent beleuchtet
wird.
Ohne Gitter würde die Lichtquelle als Punkt Q ◦ in der Brennebene der Objektivlinse
abgebildet werden. Mit Gitter entstehen auch abgebeugte Bilder Q ±1 , Q ±2 etc. der
Lichtquelle. Diese Beugungsmaxima können wir als kohärente Lichtquellen auffassen, deren
Wellen durch Superposition in der Bildebene das uns interessierende reelle Bild des
Gitters erzeugen. Es existiert also eine Beziehung zwischen dem Beugungsbild, das alle
Information über das Objekt enthält, und dem reellen Bild. Ein strukturloses Objekt
würde kein Beugungsbild und damit auch kein Bild erzeugen. Abbe erkannte, dass die
Abbildung einer Struktur an das Vorhandensein von Beugungsspektren geknüpft ist.
Da alle Beugungsbilder zum Aufbau des reellen Bildes beitragen, sind im Prinzip auch
alle notwendig. Schneiden wir also in der Brennebene mit einem Spalt alle Beugungsmaxima
mit Ausnahme desjenigen nullter Ordnung ab, so kann in der Bildebene kein
33 J.Hardy “Adaptive Optik”, Spektrum der Wissenschaft, Aug. 1994,
L.A.Thompson ‘Adaptive Optics in Astronomy”, Physics Today, Dec.1194
56

wahres Bild mehr entstehen. Damit ein Bild erzeugt wird, das eine gewisse Ähnlichkeit
mit dem Objekt hat, muss mindestens noch Licht vom 1. Beugungsmaximum durchkommen,
welches wegen seiner Intensität am wichtigsten ist. Dieses Maximum 1. Ordnung
erscheint unter einem Winkel α 1,max , für den gilt (Kap.3.4.3) sinα 1,max = λ d
wenn d die Gitterkonstante des Objektes ist. Der Abstand ∆x der beiden Maxima
1. Ordnung in der Brennebene ist ∆x = 2f tanα 1,max ≈ 2f sin α 1,max = 2fλ
d .
Damit also ein Bild entsteht, muss für die Spaltbreite S die Ungleichung gelten
2
f
d =
x
2
S > 2fλ
d
.
(37)
Nimmt man als Objekt ein quadratisches Kreuzgitter an, so
verschwinden bei S ≤ ∆x mit vertikalem Spalt die vertikalen
Gitterstriche, bei horizontalem Spalt die horizontalen.
Stellt man den Spalt mit S < 1 · √2
· ∆x unter 45 ◦ , so entsteht im Bild eine 45 ◦ -Streifung
2
senkrecht zum Spalt mit Abständen d/ √ 2, da ja das durchgelassene Beugungsbild gerade
dasjenige eines Strichgitters mit d ′ = d √ 2 ist. Als “Bild” erhält man eine Struktur, die
im
Objekt gar nicht vorhanden ist!
α
Gitter 1.Max
Wir kommen zum Mikroskop zurück. Wir
d
u
wählen als Objekt wieder ein Gitter mit Gitterkonstante
d, auf welches paralleles Licht
1. Ordnung
0. Ordnung senkrecht auffällt. Damit ein Bild erzeugt
wird, muss mindestens das 1. Beugungsmaximum
noch zustande kommen. Das Strah-
R
f 1
lenbündel unter dem Winkel α 1,max muss also
noch durch die Objektivlinse gelangen.
Es muss also gelten α 1,max < u, mit tanu = R f 1
. Mit Gl. (37) ist
sin u > sin α 1,max = λ d
oder d > λ
sin u =
λ ◦
n sin u
n · sin u heisst die numerische Apertur des Objektivs. Da sin u ≤ 1, kann mit einem
Mikroskop kein Abstand d wahrgenommen werden, der kleiner als die Wellenlänge λ des
beleuchteten Lichtes ist.
Um noch kleinere Strukturen beobachten zu können, gibt es folgende Verbesserungsmöglichkeiten:
a) Schiefe Beleuchtung mit α ◦ = 1 2 α 1,max ≤ u. Das 0. und 1. Maximum werden
0. Max
u
α o
α 1. Max
1. Max
gerade vom Objektiv erfasst. Dann ist
λ
= sinα λ
d 1,max ≤ sin 2u, ≤ sin u · cosu < 2 sin u, also
d
d >
λ
2 sin u ≥ λ 2 .
Das Auflösungsvermögen ist um einen Faktor 2 besser.
57

) Bei Immersionsobjektiven wird zwischen Objekt und Objektiv eine Flüssigkeit (Öl)
gebracht mit einem Brechungsindex n > 1. Dadurch wird die Wellenlänge verkürzt,
da ja
λ = λ ◦
n , also d ≥ λ ◦
n .
Objektiv
Immersionsol "
Objekt
c) Die Benützung wesentlich kürzerer Wellenlängen ist für elektromagnetische Strahlen
nur beschränkt möglich, da es für UV- und Röntgenstrahlen keine geeigneten
Linsen gibt (Brechungsindex für diese Wellenlängen n ∼ = 1). Dagegen kann ein Elektronenmikroskop
verwendet werden, da auch Elektronen nach der Quantenmechanik
Wellennatur besitzen mit einer Wellenlänge λ = h mv , bzw. λ − = λ
2π = ¯hc
pc
mit mv = Impuls des Elektrons, h = Plancksche Konstante (¯h = h/2π). Als
Linsen dienen geeignete Konfigurationen elektrischer und magnetischer Felder.
3.5.4 Abbildung im Mikroskop mit dem Phasenkontrastverfahren †
Durchsichtige, dünne Präparate, z.B. in der Medizin oder Biologie, mit nur geringfügig
unterschiedlichen Dicken oder Brechzahlen, haben keinen visuellen Helligkeitsunterschied
im durchfallenden Licht. Die optischen Gangunterschiede sind klein gegenüber der Wellenlänge
(∆ ≪ λ). Anfärben des Präparates ist ein chemischer Eingriff und kann erhebliche
Abweichungen vom Originalzustand erzeugen. Mit dem Phasenkontrastverfahren von
F.Zernicke (1932) 34 können diese geringen Unterschiede ohne einen Eingriff in des Präparat
sichtbar gemacht werden.
Zur Erklärung werden zwei
Grenzfälle betrachtet:
Im reinen Amplitudengitter
ist die Amplitude A ohne
eine Phasenverschiebung
verringert (absorbiert), was
durch eine um 180 ◦ gedrehte
kleine Komponente A ′′ dargestellt
werden kann.
Amplitudengitter
gleiche Phasen nach Durchgang
A
P
A' P'
A'' P''
Phasengitter
Phasen verschoben nach Durchgang
A ′ ist die Amplitude, die ohne Gitter vohanden wäre, sie hat daher kein Beugungsbild und
besteht nur aus der 0. Ordnung. A ′′ enthält dagegen alle Ordnungen des Beugunsbildes
am Gitter.
Das reine Phasengitter verschiebt die Phasen um einen kleinen Winkel ohne den Betrag
der Amplitude zu ändern, was durch eine 90 ◦ Drehung einer kleinen Komponente P ′′
dargestellt werden kann. Dreht man im Phasengitter die Phase der kleinen Komponente
P ′′ oder auch die der ungestörten Komponente P ′ nochmals um 90 ◦ , dann wird der
34 A.Köhler und W.Loos, Naturwissenschaften 29(1941)49
90 o
58

Mikroskop mit
Phasenkontrastverfahren
Phasenplatte
Ringblende
Objektiv
Objektträger
} Kondensor
Phasenunterschied in einen Amplitudenunterschied
umgewandelt. Die Phase des primären Bildes P ′ wird
auch hier nur in der 0. Ordnung vollständig erfasst,
so dass nur die 0. Ordnung um 90 ◦ gedreht werden
muss.
Dies wird mit einer Kreisringblende
als Kondensorblende erreicht,
die das abgebildete primäre Bild in der Brennebene
erzeugt. In der Brennebene kann nun an die Stelle der
0. Ordnung ein Phasenplättchen angebracht werden
(dunkler Kreisring in der Figur), das die 0. Ordnung
um 90 ◦ dreht und alle höheren Ordnungen praktisch
ungeändert lässt. Der Phasenunterschied ist jetzt in
einen Amplitudenkontrast umgewandelt worden.
Neben dem Phasenkontrastverfahren und der Einfärbung des Präparates wird in der Mikroskopie
auch mit polarisiertem Licht mit einem Polarisator in der Beleuchtung (Kondensor)
und einem gekreuzten Analysator (vgl. Kap.3.6.5) im Objektiv gearbeitet.
3.5.5 Auflösungsvermögen eines Gitterspektrographen †
λ
und
λ+∆λ
I(λ)
2.
1.
λ
1.
2.
0.
0.
2.
1.
λ+∆λ
I(λ+∆λ)
1.
Im Kapitel 3.4.3 haben wir gesehen, dass der
Beugungswinkel α 1 der Hauptmaxima der
Intensität (bei senkrechtem Lichteinfall)
durch
sin α 1 = m λ d
2. gegeben ist. Damit kann die Wellenlänge λ
einer Strahlung sehr genau gemessen werden.
Wir nehmen an, Licht mit zwei leicht verschiedenen Wellenlängen λ und λ+∆λ werde mit
einem Gitter untersucht und ergebe die beiden Intensitätsverteilungen I(λ) und I(λ+∆λ).
Die Grenze der Auflösung beider Verteilungen ist erreicht, wenn das Maximum m.
Ordnung von λ + ∆λ auf das 1. Minimum nach dem Maximum m. Ordnung von λ fällt,
wenn also
sin α 1 (m. Max,λ + ∆λ) = sinα 1 ((m + 1).Min,λ).
Für die linke Seite erhalten wir nach Gleichung (38) m(λ + ∆λ)/d. Die rechte Seite
können wir wie folgt bestimmen. Nach Kap. 3.4.3 sind die Minima durch
sin α 1 = m 1λ
Nd
bestimmt. Ist m 1 /N = m, so ist durch α 1 ein Maximum definiert. Das auf dieses Maximum
folgende Minimum ist also durch m 1 + 1 = mN + 1 gegeben und somit durch
sin α 1 =
(mN + 1)λ
Nd
=
(
m + 1 ) λ m(λ + ∆λ)
. Also gilt mit Gl. (38)
N d d
=
(38)
(
m + 1 N
) λ
d .
Der minimale Wellenlängenunterschied ∆λ min , der noch getrennte Maxima ergibt, ist
somit gegeben durch m (λ + ∆λ min ) =
59
(
m + 1 )
λ oder
N
λ
∆λ min
= mN

Dieses Verhältnis nennt man das Auflösungsvermögen des Gitters. Es ist um so grösser, je
grösser die Zahl der Spalte ist (z.B. N ≈ 10 5 ). m ist meist auf Werte bis zu 3 beschränkt.
Denn nach Gleichung (38) ist d ≥ mλ und d muss genügend klein gewählt werden, um N
gross machen zu können, damit das Beugungsbild aus möglichst scharfen Linien besteht.
3.6 Polarisation
3.6.1 Polarisationsformen
Die bislang diskutierten Interferenz- und Beugungserscheinungen haben eindeutig bewiesen,
dass Licht Wellennatur hat. Alle Erscheinungen, die mit der Ausbreitung des Lichtes
und der anderen elektromagnetischen Wellen zu tun haben, können durch die Wellentheorie
erklärt werden. Dagegen braucht man zur Deutung der elementaren Prozesse,
die mit der Entstehung und Vernichtung des Lichtes zu tun haben (vgl. Kap. 2.1.6), die
Quantentheorie, die von M. Planck (1900) begründet wurde.
Es bleibt uns noch zu entscheiden, ob Licht eine longitudinale oder, wie in Kap. 2.1.3
auf Grund der Maxwell-Theorie behauptet wurde, eine transversale Welle ist. Über diese
Frage entscheidet, ob Licht polarisierbar ist (nicht zu verwechseln mit der dielektrischen
Polarisation). Gegenüber longitudinalen Wellen, die nur in einer Dimension schwingen,
kann die Erregung irgendeiner transversalen Welle in einer Ebene schwingen, die senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung steht. Schwingt für verschiedene Raumpunkte z in der
Ausbreitungsrichtung die Erregung längs zu einander parallelen Geraden, also in der gleichen
Ebene, so nennt man die Welle linear polarisiert. Im Falle des linear polarisierten
Lichtes liegt der E-Vektor ⃗ also in einer festen Ebene 35 , und an einem festen Orte z gilt
y ✻ E ⃗ E x = E ◦ cos ϕ cos ωt, E y = E ◦ sin ϕ cos ωt. Dreht sich der
ϕ ✲ x ⃗E-Vektor um die Fortpflanzungsrichtung, so gilt für festes z
✚ ✚✚✚✚✚❃ E x = E ◦ cos ωt, E y = ±E ◦ sin ωt = E ◦ cos(ωt ± π/2),
das Licht ist zirkular polarisiert, und zwar links (rechts) zirkular für +E ◦ (−E ◦ ). Schliesslich
gibt es die Möglichkeit, dass sich der E-Vektor ⃗ in der xy-Ebene dreht, aber dabei seine
Länge ändert, so dass also gilt E x = E ◦ cos ϕ cos ωt, E y = E ◦ sin ϕ cos(ωt + δ).
Eine solche Welle heisst elliptisch polarisiert.
Der allgemeine Polarisationszustand eines elektromagnetischen Wellenzuges ist der
elliptisch polarisierte. Da die einzelnen Oszillatoren (Atome), welche das Licht aussenden,
völlig unabhängig voneinander schwingen, sind in sogenanntem natürlichem Licht viele
voneinander unabhängige Wellenzüge vorhanden. Alle Schwingungsrichtungen in der
y ✻
❆❑
✂ ✂✍
✐
❆
✟ ❆ ✂✟ ✟✟✯ ✲x
✟✙ ✟ ✂❆
✂ ❆❆❯
✂✌
xy-Ebene kommen im Mittel gleich häufig vor, es besteht vollkommene
axiale Symmetrie.
Solches unpolarisiertes Licht ist äquivalent zu zwei senkrecht zueinander
polarisierten Wellen gleicher Amplitude, zwischen denen keine festen
Phasenbeziehungen bestehen.
3.6.2 Polarisation durch Reflexion
Der französische Physiker E.L. Malus (1808) beobachtete, dass Licht, welches an einem
durchsichtigen Medium wie Glas oder Wasser reflektiert wird, seine axiale Symmetrie
35 Man definiert als Polarisationsebene die Ebene, in der der ⃗ E-Vektor schwingt. Man hätte genau so
gut den ⃗ B-Vektor nehmen können.
60

um die Fortpflanzungsrichtung verliert. Dies war der erste Beweis der Transversalität der
Lichtwellen.
Man kann die Lichtreflexion vollständig mittels der Maxwell-Gleichungen erfassen, und
zwar in ähnlicher Weise, wie wir die Reflexion einer elastischen Welle an einer Dichteunstetigkeit
behandelt haben (Kap. 3.2.1). Im Falle des Lichtes sind die Stetigkeitsbedingungen
des ⃗ E-Vektors zu beachten. Man erhält dann Ausdrücke für die Amplituden der reflektierten
und durchgelassenen Wellen und die Verhältnisse dieser Amplituden zur Amplitude
der einfallenden Welle, also die Reflexions- und Transmissions-Koeffizienten R und T.
Dies sind die sogenannten Fresnel-Gleichungen. R und T hängen vom Brechungsindex n,
vom Einfallswinkel α und von der Polarisationsrichtung ab.
unpolarisiertes
einfallendes
Lichtα B
γ
B
keine
Reflexionα E
γ
E
maximale
Reflexionα B
γ
Dies bewirkt, dass reflektiertes Licht teilweise polarisiert ist.
Für einen bestimmten Einfallswinkel, den sogenannten Brewster-
90 o Winkel α B , ist der Reflexionskoeffizient für die Polarisationsrichtung
parallel zur Einfallsebene gleich Null. Es kommt also in der
reflektierten Welle nur die senkrecht zur Einfallsebene stehende-
Polarisation vor, das reflektierte Licht ist vollständig polarisiert.
90 o Dieser Fall tritt ein, wenn reflektierter und gebrochener Strahl
aufeinander senkrecht stehen, also für α B + γ = π mit α
2 B dem
Brewster-Winkel und damit
90 o n = sin α B
sin γ =
sin α B
sin ( π
− α ) = tanα B also tanα B = n
2 B
Dieses Gesetz lässt sich atomistisch wie folgt erklären.
Der ⃗ E-Vektor des einfallenden Lichtes regt die Elektronen in
den Atomhüllen des brechenden Mediums zum Mitschwingen an. Die Elektronen stellen
schwingende Dipole dar, die also Strahlung, die reflektierte Welle, aussenden. Senkrecht
zur Schwingungsrichtung ist die abgestrahlte Intensität maximal, in Schwingungsrichtung
ist sie Null (siehe Kap. 2.1.6). Fällt also die Schwingungsrichtung eines angeregten Elektrons
mit der Richtung des reflektierten Strahls zusammen, so sendet er kein Licht in
diese Richtung aus. Das ist also der Fall, wenn das einfallende Licht in der Einfallsebene
schwingt, also für E ‖ . Ist das einfallende Licht unpolarisiert, hat es auch eine Komponente
E ⊥ senkrecht zur Einfallsebene. Dann strahlen die Elektronen polarisiert sowohl in der
Richtung des reflektierten als auch senkrecht dazu in der des gebrochenen Strahls.
Ist α B +γ ≠ 90 ◦ , dann wird ein Anteil entsprechend der Dipolcharakteristik reflektiert
und der Rest gebrochen mit entsprechenden teilweisen Polarisationen. Mit der elektromagnetischen
Wellentheorie werden quantitativ Intensitäten und Polarisation berechnet.
56. 5 o
1
2
(a)
1
90 o
2
(b)
Lassen wir das durch Reflexion linear polarisierte
Licht nochmals auf einen Spiegel fallen, so wird es
nur reflektiert, wenn der ⃗ E-Vektor des auffallenden
Lichtes eine Komponente E ⊥ senkrecht zur Einfallsebene
der zweiten Reflexion hat. Bilden die beiden
Einfallsebenen einen Winkel ϕ miteinander, so ist
E ⊥ = E cos ϕ und die Intensität des am zweiten Spiegel
reflektierten Lichtes ist proportional E 2 ⊥, also
I(ϕ) = I ◦ cos 2 ϕ
Gesetz von Malus
61

Sind also beide Spiegel gekreuzt (ϕ = 90 ◦ ), so wird kein Licht reflektiert.
3.6.3 Polarisation durch Streuung
❜ ❜ ❜ ❜ ❜
❜ ❜ ❜ ❜
Unter Streuung des Lichtes verstehen wir seine Ablenkung
❜ ❜ ❜ ❜ ❜
✲
❜
durch sehr kleine Teilchen, bei der die einzelnen abgelenkten
Strahlen keine festen Phasenbeziehungen haben, also in-
❜ ✙
90
❜
◦
❜ kohärent sind und somit nicht interferieren, im Gegensatz zu
❜
❜ den in Kap. 3.4.2 diskutierten Interferenzphänomenen an kleinen
Scheibchen. Streuung beobachtet man an allen trüben
❄
Stoffen (Rauch in Luft, kolloidale Lösungen in Wasser). Die kleinen Partikel stellen wieder
Hertzsche Dipole dar, die maximal Licht senkrecht zur Schwingungsrichtung abstrahlen.
Also ist das unter 90 ◦ gestreute Licht vollständig polarisiert. Für jeden anderen Winkel
ist die Polarisation nur partiell.
Auch die blaue Farbe des Himmels beruht auf Streuung 36 und zwar auf Streuung an
den Luftmolekülen, die eine Brownsche Bewegung ausführen. Deshalb ist das gestreute
Licht inkohärent, und die von den einzelnen Molekülen gestreuten Intensitäten können
ohne Berücksichtigung von Phasenverschiebungen addiert werden. Die Gesamtstrahlung
ist also wieder die eines Hertz’schen Dipols und somit proportional zur 4. Potenz der
Lichtfrequenz, bzw. umgekehrt proportional zu λ 4 . Das kurzwellige blaue und violette
Licht wird also am stärksten gestreut (“blauer Himmel” ) und dem Sonnenlicht entzogen.
Unmittelbar beobachtetes Sonnenlicht hat also einen rötlichen Farbton, wenn es einen
langen Weg durch die Atmosphäre zurückgelegt hat (“roter Sonnenuntergang” ).
Der oft beobachtete Ringhalo der Sonne bei 22 o und schwächer bei 46 o sowie “Sonnenhunde”
und ähnliche Phänomene werden durch Brechung in Eiskristallen in der Atmosphäre
erzeugt 37 .
3.6.4 Polarisation durch Doppelbrechung
Fällt ein Lichtbündel auf ein anisotropes Medium (in welchem verschiedene Richtungen
physikalisch nicht gleichwertig sind), z.B. Quarz (SiO 2 ) oder Kalkspat (CaCO 3 ), so wird
es im allgemeinen in zwei Teilbündel aufgespalten. Man spricht von Doppelbrechung .
78°
Kalkspat
102°
opt. Achse
Sämtliche Kristalle, die nicht dem kubischen System angehören,
sind doppelbrechend. Es existiert aber mindestens
eine Richtung, in welcher keine Doppelbrechung auftritt.
Eine solche heisst optische Achse. Tetragonale, hexagonale
und trigonale Kristalle haben eine optische Achse; sie
sind uniaxial. Rhombische, monokline oder trikline Kristalle
sind dagegen biaxial.
Betrachtet man einen uniaxialen Kristall, bei dem sich von einem Punkt P aus eine
Welle ausbreitet, so wird die Wellenfläche aufgespalten in eine Kugel und ein Rotationsellipsoid,
d.h. in eine ordentliche und eine ausserordentliche Wellenfläche. Zur ordentlichen
Wellenfläche gehört ein ordentlicher Strahl, zur andern ein ausserordentlicher Strahl.
36 Lord Rayleigh, 1871
37 R.Greenler, “Lichterscheinungen, Eiskristalle und Himmelsarchäologie” Phys.Blätter 54(1998)2,S.133
62

Fällt ein Strahl auf einen solchen doppelbrechenden
A B a.o. Kristall, so spaltet er sich auf 38 . Die zur Doppelbrechung
notwendige Anisotropie kann auch künstlich
o.
erzeugt werden, z.B. durch Druck, Biegung, Temperaturunterschiede,
elektrische Felder.
Polarisator
Analysator
Der ordentliche Strahl ist senkrecht zu derjenigen Ebene polarisiert, die durch den ordentlichen,
gebrochenen Strahl und die optische Achse bestimmt wird. Für den ordentlichen
Strahl gilt das Snellius’sche Brechungsgesetz.
Der ausserordentliche Strahl ist parallel zur Ebene polarisiert, die durch die optische
Achse und den ausserordentlichen Strahl bestimmt wird. Die Polarisationsrichtung ist
tangential zur ausserordentlichen Wellenfläche und nicht etwa zum ausserordentlichen
Strahl. Für diesen gilt das Brechungsgesetz nicht. Wellennormale und Strahlrichtung fallen
nicht zusammen. Das Huygensche Prinzip gilt auch für den ausserordentlichen Strahl,
jedoch sind die Wellenfronten keine Kugeln (anisotropes Medium).
Zur Erzeugung von linearpolarisiertem Licht mit Hilfe der Doppelbrechung muss entweder
der ordentliche oder der ausserordentliche Strahl eliminiert werden.
Beispiele:
a) Nicolsches Prisma als Polarisator.
Werden zwei geeignet geschnittene Kalzitkristalle
zusammengeklebt, so kann der
ordentliche Strahl durch Totalreflexion an
der Klebeschicht ausgelenkt werden.
n ◦ > n ′ ≥ n a.◦. .
68°
P
90°
b) Dichroitische Doppelbrechung in einem Polaroid.
Richtung der optischen Achse
ordentl. Strahl
geschwärzter Rand
Kanadabalsam
ausserordentl.
Strahl
In gewissen doppelbrechenden Kristallen, so z.B. Turmalin (Borat-Silikat), wird der
ordentliche Strahl stark, der ausserordentliche praktisch nicht absorbiert (Dichroismus).
Da eine dünne Schicht genügt, um den ordentlichen Strahl zu unterdrücken,
eignen sich solche Materialien zur Herstellung von Polarisatoren.
Wenn man nicht nur das sichtbare, sondern das gesamte Spektrum berücksichtigt,
sind alle Kristalle dichroitisch.
3.6.5 Grundprinzip eines Polarisationexperimentes in gekreuzter Anordnung
unpolarisiert
Polarisator
Probe
lin. pol.
Intensitat: " 2 2 2
A o cos ϕ sin ϕ
Analysator
Amplitude: A o → A o cosϕ → A o cosϕ sinϕ
A o
ϕ
Polarisatorrichtung
Durchlaβrichtung
der Probe
Analysatorrichtung
Mit einem Polarisator (Polarisationsfolie, Nicolsches Prisma) wird aus unpolarisiertem
Licht ein Strahl linear polarisiertem Lichtes erzeugt. Ein Analysator (z.B. identisch zum
Polarisator) wird in der Polarisationsrichtung senkrecht aufgebaut; es wird dann hinter
dem Analysator kein Licht beobachtet. Eine Probe, die in ihrer Durchlassrichtung unter
38 In biaxialen Kristallen sind die Wellenflächen komplizierter.
63

dem Winkel ϕ aufgestellt ist, lässt nur die Komponente A ◦ cos ϕ hindurch, die im Analysator
weiter um den Faktor sinϕ reduziert wird. Ohne Berücksichtigung von Absorptionen
beobachtet man dann eine Intensität von I = A 2 ◦ · cos 2 ϕ · sin 2 ϕ.
3.6.6 Interferenzen im polarisierten Licht
Wird linear polarisiertes, paralleles Licht, das aus einem Polarisator P austritt, durch
einen zweiten Polarisator geschickt, so hängt die durchgelassene Intensität I von der
relativen Stellung des 2. Polarisators und der Polarisationsebene ab. Dieser wird zum
Analysator A. Ist I = 0, das Gesichtsfeld also dunkel, so nennt man P und A gekreuzt
aufgestellt (siehe Figur). Wird zwischen P und A ein doppelbrechendes Medium, z.B.
eine uniaxiale Platte der Dicke d in den Lichtstrahl gebracht, so wird das Gesichtsfeld
aufgehellt. Es können Interferenzeffekte beobachtet werden, da optische Wegdifferenzen
zwischen dem ordentlichen und ausserordentlichen Strahl entstehen. Dabei können nur
solche Lichtstrahlen interferieren, die in der gleichen Ebene polarisiert sind.
Probe mit Doppelbrechung
unpolarisiert
A
Polarisator
Analysator
A
ϕ A
o.
I=A A * = (A o. +A a.o. ) * (A o. +A a.o. )
A
A o. ϕ a.o.
ϕ . ϕ ∆ = d (n o. -n a.o. )
A a.o.
A →A o. =A cosϕ exp[i(kx-ωt)], A a.o. = A sinϕ exp[i(kx-ωt)] → A sinϕ cosϕ exp[i(kx-ωt)] - A cosϕ sinϕ exp[i(k(x+∆)-ωt)]
Ist ⃗ A die Vektoramplitude des von P kommenden, linear polarisierten Lichtes, so muss ⃗ A
so in die Amplituden ⃗ A ◦ und ⃗ A a◦ des ordentlichen und ausserordentlichen Strahles zerlegt
werden, dass A 2 = A 2 ◦ + A 2 a◦. Der Analysator A lässt nur diejenigen Komponenten von
⃗A ◦ und ⃗ A a◦ durch, die senkrecht zu ⃗ A stehen. Ordentlicher und ausserordentlicher Strahl
haben nach dem Verlassen der uniaxialen Platte einen Unterschied im optischen Weg von
∆ = d(n ◦ − n a◦ ). Die Erregung der durchgelassenen Welle ist also (Figur)
u(x,t) = A cos ϕ sin ϕe i(kx−ωt) − A sin ϕ cos ϕe i[k(x+∆)−ωt] = A cos ϕ sin ϕe i(kx−ωt) [ 1 − e ik∆] .
Die durchgelassene Intensität ist demnach
I ∼ uu ⋆ = A 2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ ( 1 − e ik∆) ( 1 − e −ik∆) = A 2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ(2 − 2 cos k∆)
a.o.
[ ] π
= 4A 2 sin 2 ϕ cos 2 ϕ sin 2 λ (n ◦ − n a◦ )d .
Minima der Intensität ergeben sich für
d =
mλ
(
(m = 1, 2, 3...), Maxima für d = m + 1 )
λ
.
n ◦ − n a◦ 2 n ◦ − n a◦
Im monochromatischen Licht zeigt eine doppelbrechende Platte variabler Dicke helle
und dunkle Streifen. Im weissen Licht erscheinen farbige Streifen. Fällt die optische Achse
mit der einfallenden Richtung zusammen, so wird das Gesichtsfeldes nicht aufgehellt, da
unter diesen Bedingungen n ◦ = n a◦ ist.
Die Anordnung von gekreuztem Polarisator und Analysator eignet sich zur Demonstration
folgender Phänomene:
a) Wachstum doppelbrechender Kristalle
b) Erzeugung von Doppelbrechung durch mechanische anisotrope Deformierung eines Materials
(Mech. Spannungsdoppelbrechung)
64
o.

c) Untersuchung von Spannungszuständen in Gläsern
d) Erzeugung von Doppelbrechung durch Anlegen eines elektrischen Feldes, wobei n ◦ −
n a◦ ∼ E 2 (Kerreffekt)
e) Messung der optischen Aktivität, d.h. des Drehvermögens der Polarisationsebene, in
anisotropen und isotropen Medien
f) Drehung der Polarisationsebene durch Anlegen eines Magnetfeldes (Faradayeffekt).
Weitere Beispiele für Polarisationseffekte:
1) Der Regenbogen ist infolge der Streuung in der Atmosphäre polarisiert 39 . Mit einem
Polarisationsfilter vor der Kamera kann der Regenbogen im Bild verstärkt werden. Auch
Spiegelungen an Scheiben können in der Photographie durch Polarisationsfilter oder mit
einer Polarsationsbrille unterdrückt werden.
2) Das blaue Himmelslicht ist infolge der Streuung polarisiert. Wüstenameisen, die sonst
kaum stabile räumliche Anhaltspunkte haben, und auch Bienen können sich nach der Polarisationsrichtung
orientieren. Bei einigen Schmetterlingen wird die Farbenpracht durch
Interferenzen erzeugt.
3) Interferenzen mit polarisiertem Licht werden zu Strukturuntersuchungen, Materialforschung,
Metalloberflächen, Spannungsdoppelbrechung benutzt.
4) In der Atomspektroskopie wird z.B. im Zeeman-Effekt die Polarisationsrichtung einzelner
Zeeman-Komponenten durch Polarisationfilter nachgewiesen.
3.6.7 Magnetische Drehung der Polarisationsebene (Faraday-Effekt) †
In einer atomistischen Überlegung 40 kann die Drehung der Polarisationsebene im Magnetfeld
klassischen erklärt werden. Mit der Lorenzkraft ⃗ F = −e( ⃗ E +⃗v × ⃗ B) und den Feldern
einer Lichtwelle ⃗ B = µµ ◦
⃗ H, | ⃗ H| =
√ εε◦
µµ ◦
| ⃗ E| ist für eine Geschwindigkeit v
F elektr
= E
F magn vB =
E
vµµ ◦ H =
√ µµ◦
vµµ ◦
√ εε◦
= 1
nβ , mit β = v c ,
d.h. F magn ist bei nichtrelativistischen Geschwindigkeiten vernachlässigbar. Mit einem
äusseren Feld ⃗ Bä kann jedoch der zweite Term bemerkbar werden, und es gilt dann für
die Bewegungsgleichung eines gebundenen Elektrons mit der Rückstellkraft k⃗x:
m¨⃗x + k⃗x = −e( ⃗ E + ˙⃗x × ⃗ Bä), Annahme ⃗ B = ⃗ B
z
ä und ⃗ E,⃗x ⊥ ⃗z, ⃗ B
z
ä ,
das B-Feld ist parallel zum einfallenden Licht in der z-Richtung.
In Komponenten ist ẍ + ω 2 ◦x + e m Bẏ = − e m E x und ÿ + ω 2 ◦y − e m Bẋ = − e m E y
mit ω 2 ◦ = k/m. Mit Addition oder Subtraktion der beiden Gleichungen: (1) ± i(2)
und s ± = x ± iy sowie E zirk = E x ± iE y einer zirkular polarisierten Welle ist
¨s ± + ω 2 ◦s ± ∓ e m iBṡ ± = − e m Ezirk (39)
Linear polarisiertes Licht kann als Überlagerung von zirkular polarisiertem Licht dargestellt
werden mit E x = 1 2 (Ezirk + + E− zirk ), E y = 1 2i (Ezirk + − E−
zirk ) damit ist monochromatisches
zirkular polarisiertes Licht E± zirk = A e i(k ±z−ωt) mit den Anfangsbedingungen
E x = a cos ωt, E y = 0 beim Eintritt in das Medium mit dem Feld B.
39 The theory of the rainbow, H.M.Nussenzveig, Sc. Am. 236(April 1977)116.
40 A. Sommerfeld “Optik” AVG Leipzig 1959, S.89
65

Die Lösung der erzwungenen Schwingung Gl.(39) ist nach dem Einschwingvorgang
[mit Gl.(76) Phys.AI] s ± =
−e/m
ω 2 ◦ − ω 2 ∓ e m
Ezirk ±
Bω
mit einem reellen Nenner 41 , da das Magnetfeld auf das Elektron keine Leistung erbringt.
Die Polarisation des Mediums ist dann völlig analog zur Berechnung des Brechungsidexes
[vgl. Kap.2.1.7]: P ± = P x ± iP y =
N e 2 /m
ω 2 ◦ − ω 2 ∓ e m
Bω
Ezirk ± .
√ √√√
Damit ist der Brechungsindex n ± = ck 1
±
ω = ε
1 + ◦
Ne 2 /m
ω◦ 2 − ω 2 ∓ e , (40)
Bω
m
d.h. es gibt entsprechend der Wellenzahl ⃗ k ± zwei verschiedene Brechungsindizes n ± für
die recht- und links-zirkulare Welle mit n + < n − mit einer nur kleinen Differenz.
Unter Vernachlässigung des Termes ( e m Bω)2 ist dann
n 2 +−n 2 − = Ne2
ε ◦ m ·2 e Bω
m (ω◦ 2 − ω 2 ) . 2
Zerlegt man k ± in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Teil, dann ist
k ± = 1(k 2 + + k − ) ± 1(k 2 + − k − ) mit der Phasendifferenz ϕ = 1(k 2 + + k − )d − ωt nach
der Dicke d und dem Drehwinkel χ = 1(k 2 + − k − )d nach der Dicke d.
Für die beiden zirkular polarisierten Wellen erhält man
E ± = A exp i[ 1(k 2 + + k − )d ± 1(k 2 + − k − )d − ωt], E + = A e iϕ e iχ , E − = A e iϕ e −iχ
und E x = 1(E 2 + + E − ) = A e iϕ cos χ, E y = 1(E 2 + − E − ) = A e iϕ sin χ.
χ dreht immer im Rechtsschraubensinn zum äusseren Magnetfeld, es ist mit dem mittleren
Brechungsindex n = n ++n −
:
2
Polarisator
Spule H
Analysator
I d
Schirm
Probe
Anordnung zum Faraday-Effekt
P
A
r(ω) = ω n + − n −
2c H
χ = r(ω) · d · H
= Ne3 µ ω 2
2nm 2 c ε ◦ (ω◦ 2 − ω 2 ) 2
ist die Verdet’sche Konstante.
Bei Umkehrung des Lichtstrahles über einen Spiegel verdoppelt sich die Drehung durch
den Faraday-Effekt, während bei optisch aktiven Medien (z.B. Zucker, der in zwei chemisch
gleichwertigen Formen vorkommt, die nicht durch eine Drehung zur Deckung gebracht
werden können) ohne ein äusseres Feld sich eine Drehung bei der Umkehrung
aufhebt.
Der Brechungsindex Gl. (40) und damit die Drehung sind frequenzabhängig, die magnetische
Drehung ist also mit einer Dispersion verbunden.
41 Die Absorption mit dem Dämpfungsterm iγω/m ist vernachlässigt.
66

A Physikalische Konstanten Stand 1986
Physikalische Grösse Symbol Wert(Fehler) Einheit Fehler
(ppm)
Lichtgeschwindigkeit c 2.99792458 × 10 8 m s −1 exakt
magn. Feldkonst., Induktionskonst. µ 0 4π × 10 −7 V s A −1 m −1 exakt
el. Feldkonst., Influenzkonst.=1/µ 0 c 2 ǫ 0 8.854187817 × 10 −12 A s V −1 m −1 exakt
Gravitationskonstante G 6.67259(85) × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 128
Standardschwerebeschleunigung g n 9.80665 m s −2 exakt
Fallbeschleunigung Zürich (452 m) g Z 9.80652 m s −2
Plancksche Konstante h 6.6260755(40) × 10 −34 J s 0.60
h/2π ¯h 1.05457266(63) × 10 −34 J s 0.60
¯hc 197.327053(59) MeV fm 0.30
Elementarladung e 1.60217733(49) × 10 −19 A s = C 0.30
magnetische Flussquant, h/2e Φ 0 2.06783461(61) × 10 −15 V s = Wb 0.30
quatisierter Hall-Widerst. h/e 2 R H 2.58128056(12) × 10 4 V A −1 = Ω 0.045
Feinstrukturkonstante, µ 0 ce 2 /2h α 7.29735308(33) × 10 −3 0.045
inverse Feistrukturkonstante α −1 137.0359895(61) 0.045
Atomare Masseneinheit m( 12 C) u 1.6605402(10) × 10 −27 kg 0.59
u 931.49432(28) MeV/c 2 0.30
Spezifische Ladung des Elektrons −e/m e −1.75881962(53) × 10 11 C kg −1 0.30
Elektronenmasse m e 9.1093897(54) × 10 −31 kg 0.59
m e 5.48579903(13) × 10 −4 u 0.023
m e 0.51099906(15) MeV/c 2 0.30
Myonenmasse m µ 1.8835327(11) × 10 −28 kg 0.61
m µ 105.658389(34) MeV/c 2 0.32
m µ /m e 206.768262(30) 0.15
Protonenmasse m p 1.6726231(10) × 10 −27 kg 0.59
m p 1.007276470(12) u 0.012
m p 938.27231(28) MeV/c 2 0.30
m p /m e 1836.152701(37) 0.020
Neutronenmasse m n 1.6749286(10) × 10 −27 kg 0.59
m n 1.008664904(14) u 0.014
m n 939.56563(28) MeV/c 2 0.30
m n /m e 1838.683662(40) 0.022
m n /m p 1.001378404(9) 0.009
Rydberg-Energie, chR ∞ E Ry 13.6056981(41) eV 0.30
Bohrscher Radius, α/(4πR ∞ ) a 0 0.529177249(24) × 10 −10 m 0.045
Compton Wellenlänge, h/m e c λ e 2.42631058(22) × 10 −12 m 0.089
klassischer Elektronenradius, α 2 a 0 r e 2.81794092(38) × 10 −15 m 0.13
Thomson Wirkungsquersch., re8π/3 2 σ e 0.66524616(18) × 10 −28 m 2 0.27
Bohrsche Magneton, e¯h/2m e µ B 927.40154(31) × 10 −26 J/T = A m 2 0.34
Myonmagneton, e¯h/2m µ µ M 4.4852219(15) × 10 −26 J/T 0.34
Kernmagneton, e¯h/2m p µ N 0.50507866(17) × 10 −26 J/T 0.34
g-Faktor Elektron, 2µ e /µ B g e 2 × 1.001159652193(10) 10 −5
g-Faktor Myon, 2µ µ /µ M g µ 2 × 1.001165924(9) 0.009
g-Faktor Proton, 2µ p /µ N g p 2 × 2.792847386(63) 0.023
g-Faktor Neutron, 2µ n /µ N g n −2 × 1.91304275(45) 0.024
Gyromag. Verhältnis Proton B/ω γ p 2π × 42.577469(13) 2π MHz T −1 0.30
Gyromag. Verhältnis Myon B/ω γ µ 2π × 135.538,793(40) 2π MHz T −1 0.30
Magn. Moment Verhältnis µ µ /µ p 3.18334547(47) 0.24
Magn. Moment Verhältnis µ n /µ p −0.68497934(16) 0.24
Magn. Moment Verhältnis µ n /µ e −0.00104066882(25) 0.24
Avogadro (Loschmidt) Konstante N ◦ =L 6.0221367(36) × 10 23 mol −1 0.59
Faraday-Konstante, N ◦ e F 96485.309(29) C mol −1 0.30
Molare Gaskonstante R 8.314510(70) J K −1 mol −1 8.4
Boltzmann-Konstante, R/N ◦ k 1.380659(12) × 10 −23 J K −1 8.5
Molvolumen (273.15 K, 101325 Pa) V M 22.41410(19) × 10 −3 m 3 mol −1 8.4
Wiensche Konstante, λ max T b 2.897756(24) × 10 −3 m K 8.4
Stefan-Boltzmann-Konstante σ 5.67051(19) × 10 −8 W m −2 K −4 34
67

B
Grössen und Einheiten der Physik
B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem
In diesem Kapitel werden die wesentlichen Grundlagen der Einheiten, Zahlenwerte, Dimensionen
und Einheitensysteme zusammenfassend dargestellt [vgl. Kamke, Krämer;
Physikalische Grundlagen der Masseinheiten, Teubner 1977].
B.1.1
Grösse und Zahlenwert
Für eine physikalische Grösse G gibt der Messwert {G} an, wie oft die Einheit [G] in G
enthalten ist:
{G} = G oder G = {G} [G] für Gleichungen.
[G]
Z.B. v = 50 km (ohne [. . . ]), 50 ist hier als Messwert eine reine Zahl. Mit Angabe des
h
Messfehlers schreibt man: v = (50 ± 2) km oder auch v = 50(2) km , wobei der Fehler der
h
h
letzten angegebenen Stellen in Klammern gesetzt wird.
B.1.2
Grössenart und Dimension
Längenangaben, wie z.B. Höhe, Umfang, Dicke, haben die gleiche Grössenart Länge, die
Dimension dieser Grösse ist die Länge. Die Einheiten können sein: 1 m, 1 inch, 1 Lichtjahr,
usw.
Summen und Differenzen sowie Vergleiche (, ≥, =, ≠) können nur zwischen
Grössen gleicher Grössenart und gleicher Dimension gebildet werden.
∆r
Eine Differentiation z.B. v = lim
∆t→0 ∆t = dr [ ] m
dt s
liefert die Dimension der zu differenzierenden Grösse dividiert durch die Dimension des
Differentials und bei einer Integration
r =
∫t
t ◦
v(t ′ )dt ′ [m] durch Multiplikation des Differentials.
Es gibt einige Grössenarten, die die gleiche Dimension haben, wie z.B. der Skalar
Energie oder die Arbeit ∫ ⃗ F · d⃗r [Fl] und der Pseudovektor (Axialvektor) Drehmoment
⃗r × ⃗ F [lF]. Diese Grössen unterscheiden sich jedoch physikalisch durch ihr Stufe (Skalar
S, Pseudoskalar P, Vektor oder polarer Vektor V , Pseudovektor oder axialer Vektor A,
Tensor T).
In Additionen und Subtraktionen dürfen nur Grössen gleicher Stufe verbunden werden.
Für das Produkt von Grössen verschiedener Stufen gelten aus Symmetriegründen
Grundregeln, wie V · V = S, V × V = A, V × A = V (vgl. Fussnote S. ??).
Eine Division ist nur mit Skalaren einfach. Tritt formell der Ausdruck ⃗a/ ⃗ b auf, dann
kann mit einer Erweiterung mit ⃗ b gebildet werden
⃗a ⃗a ·⃗b ⃗a ·⃗b
= =
⃗ b ⃗ b ·⃗ b b . 2
Dieser Rechentrick kann auch für komplexe Zahlen (als 2-dim. Vektoren) angewendet
werden.
68

B.1.3
Grössengleichungen
In Gleichungen, wie F = Γ m 1m 2
muss die Dimension rechts und links identisch sein
r 2
(Dimensionskontrolle). Damit ist die Dimension von Γ [ ]
Nm 2
kg bestimmt.
2
Mathematische Funktionen in Grössengleichungen, wie sin, cos, log, ln, sinh,
exp, müssen als Argument unbenannte (dimensionslose oder Eins-Elemente)
Zahlen (auch komplexe) enthalten, z.B. sin(ωt) = sin(2πνt), sin(2πx/λ),
exp(−t/τ). ..
Diese Regel wird in der Technik und Medizin oft missachtet [z.B. Grössenklasse eines
Sternes m v = −2.5 · log 10 (Luminosität [W/m 2 ]/2.52 · 10 −8 )]. Einheiten und Dimensionen
gehen verloren, es besteht die Gefahr von Rechenfehlern und Dimensionskontrollen können
nicht mehr durchgeführt werden. Die Formel ist keine Grössengleichung.
B.1.4
Winkel und Raumwinkel
ϕ 2
ϕ
s
R=1
ϕ 1
ϕ=0
Ein Winkel wird definiert als das Bogenmass d.h. die Bogenlänge
im Einheitskreis:
ϕ = s R = s
1m
[rad] mit R = 1.
ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = s 2
1 m − s 1
1 m = s 2
R − s 1
R .
Das Bogenmass ist eine dimensionslose Grösse (Verhältnisgrösse) mit der Bezeichnung
rad (Radiant), ein voller Winkel ist ϕ = 2π. Die auch übliche Angabe in Grad ist
Grad= rad · 180 ◦ /π mit 360 ◦ für den vollen Winkel.
Der Raumwinkel ist die auf einer Einheitskugel aufgespannte Kugeloberfläche
A
Ω
R=1
Ω = A
1 m 2 = A R 2 [sr]
mit der Einheit [sr] (Steradiant). Eine Vollkugel hat Ω = 4π sr.
Manchmal wird der Raumwinkel (z.B. eines Detektors) auch in
Einheiten von 4π angegeben.
B.1.5
Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen
Als Bedingungen für ein Einheitensystem können die folgenden aufgestellt werden 42 :
(i) Beschränkung auf ein Minimum an Einheiten
(ii) Die Bildung neuer Grössen (nicht Dimensionen) soll nur durch Multiplikation
und Division bestehender Grössen bestimmt werden. Z.B. Fläche=(Länge) 2 , nicht aber
Länge= √ Fläche mit der Fläche als Basis.
(iii) Die Struktur des physikalischen Begriffsystems ist durch folgende Axiome gegeben:
1. C = A · B Multiplikative Bildung von Grössenarten. Hierbei ist keine der Grössen
A,B,C voreinander ausgezeichnet.
2. Unbenannte Zahlen (1) = A ◦ (Eins-Elemente) ändern die Dimension einer Grösse
nicht, A·(1) = A, z.B. [Länge]·5=[Länge], [Bogenlänge/Radius]=(1) [rad], [Wirkungsgrad
42 Fleischmann, Zeitschrift für Physik 129(1951)377. Hier beziehen sich Produkt, Quotient, Multiplikation,
Division nicht nur auf reine unbenannte Zahlen (dimensionslose Grössen) oder Skalare sondern auf
allgemein benannte Grössen.
69

η= Arbeit/Wärme].
3. Reziproke Grössen A −1 multipliziert mit der Grösse A ·A −1 = (1) ergibt unbenannte
Zahlen, z.B. [Frequenz·Zeit]=(1).
4. Es gilt das assoziative Gesetz A · (B · C) = (A · B) · C und das kommutative Gesetz
A · B = B · A. Die Bedingungen 1.-4. bilden eine kommutative Abelsche Gruppe.
5. Für alle A ≠ (1) und m ∈ IN \ 0 gilt A m ≠ (1), d.h. die Gruppe ist keine Drehgruppe,
sie ist torsionsfrei 43 .
6. Die aus unendlich vielen Grössenarten bestehende Gesamtheit besitzt ein endliches
Erzeugendensystem, d.h. es gibt endlich viele (N)-Elemente C p , C q , ...C r , so dass jedes
Element X sich bildet mit X = Cp
αp · Cq
αq · Cr αr , α i ganzzahlig. Eindeutigkeit besteht,
wenn kein C i durch die anderen ausgedrückt werden kann (unabhängige Erzeugende bzw.
Basis). Eindeutigkeit der Darstellung wird nicht vorausgesetzt, z.B. ist ⃗r × F ⃗ = −F ⃗ × ⃗r.
1.-6. sind das vollständige Axiomensystem der Gruppe, für die gilt:
Satz: Es gibt mindestens eine Basis B 1 ...B n mit n ≤ N.
Für n = 1 gibt es genau zwei Basen B 1 und B1 −1 .
Für n > 1 gibt es unendlich viele, gleichwertige Basissysteme. Ein Basissystem entspricht
den n linear unabhängigen Grundvektoren eines n-dimensionalen Punktgitters.
Die Anzahl der Elemente einer Basis werden durch folgende Bedingungen bestimmt:
Es gebe in einem Gebiet k voneinander unabhängige Gleichungen zwischen l Grössenarten
mit l > k, dann sind n = l − k unbestimmt und damit Grundgrössen (Basis).
Z.B. in der Geometrie ist l eine Grundgrösse mit den Gleichungen A = l 2 , V = l 3 ;
in der Kinematik die zwei Grundgrössen Länge, Zeit mit den Gleichungen v = l/t, a = l/t 2 ;
in der Dynamik mit drei Grundgrössen:
a) Système International d’Unites (SI) {l,Masse,t} mit [m, kg, s]
b) technisches System {l,F,t} mit [m, kp, s]
c) natürliche Einheiten {v, Energie E, Wirkung S} mit c = m e c 2 = ¯h = 1
d) sowie viele andere mögliche Systeme.
Physikalisch sind alle Basen gleichbedeutend, die Einheiten (Masszahlen wie cm, m,
s, Std, Lichtjahre . . . ) sind belanglos, wesentlich ist die Verknüpfung und deren Eindeutigkeit.
Es darf keine zweite, verschiedene, gleichzeitig geforderte Definition geben. Die
Begriffsverknüpfungen (Definfitionen von Grössenarten der Form A · B = C) sind keine
Naturgesetze, sie passen sich jedoch der Naturerfahrung an (wie v = l/t, F = m · b)
ud stehen mit der Physik nicht im Widerspruch. Die Ganzzahligkeit des Exponenten ist
eine reine Zweckmässigkeit, gebrochene Exponenten ( √ E) sind mathematisch einfach ,
physikalisch jedoch problematischer einzuführen.
Vorsicht: Zusatzvereinbarungen, die das n te Basiselement aus den (n − 1) restlichen
definieren, verletzen die Eindeutigkeit.
Z.B. müsste im elektrostatischen cgs-System Q(el. Ladung) ein unabhängiges Basiselement
sein, jedoch ist E · l = Q · Q, Q = √ E · l = l · √Kraft
und im magnetischen
cgs-System ist der Induktionsfluss(Polstärke)= √ E · l = l · √Kraft.
Diese Zusatzforderung
besagt, der Quotient beider Seiten ist dimensionslos, d.h. man kann nur in diesem
Dimensionssystem jede Grösse mit diesem Quotienten multiplizieren ohne die Grössen zu
verändern, jedoch nicht in einem anderen Dimensionssystem. Die Dimensionssysteme sind
damit nicht eindeutig aufeinander abbildbar.
43 Für eine Drehgruppe gilt A m+n = A n mit beliebigen ganzen Zahlen n; eine m-fache Drehung um den
Winkel 2π/m führt zur Identität.
70

B.2 SI-Einheiten
Für Grundgrössen und abgeleitete Grössen wurde an der 11. Generalkonferenz für Mass
und Gewicht 1960 ein kohärentes Einheitssystem, das Systeme International d’Unités (SI),
für den allgemeinen Gebrauch empfohlen. Die der Meterkonvention angehörenden Staaten
sind gehalten, das SI durch Gesetz einzuführen. Das SI ersetzt alle früheren Masssysteme,
wie das cgs- (cm g s), das mks- (m kg s), das technische Masssystem etc.
In Klammern: die in diesem Skript i.a. benutzten Bezeichnungen der Grössen.
Masse (m,M)
1 Kilogramm (kg) ist die Masse des aus Pt-Ir bestehenden Urkilogramms , das im Bureau
International des Poids et Mesures in Sevres aufbewahrt wird. Es entspricht ungefähr
der Masse von 1 l Wasser bei 4 ◦ C.
Zeit (t,T)
1 Sekunde (s) ist die Zeitdauer von 9 192 631 770 Schwingungen des Uebergangs zwischen
den beiden Hyperfeinstrukturniveaus im Grundzustand des 133 Cs Atoms.
Länge (l,l)
1 Meter (m) ist die Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer
von 1/299 792 458 s zurücklegt. Veraltet: Urmeter (sollte 1/40 000 000 des Meridians durch
Paris sein), 1 m = 1 650 763.73 Wellenlängen des roten Lichtes, das von 86 Kr bei einem
bestimmten Uebergang emittiert wird. Der Meterstandard zeigt, dass die Einteilung in
Grund- und abgeleitete Einheiten willkürlich ist. Definiert ist heute die Lichtgeschwindigkeit
c = 2.99792458 ×10 8 m/s.
Elektrische Stromstärke (I)
1 Ampére (A) ist die Stärke eines Stromes, der durch zwei im Vakuum im Abstand
von 1 m parallel verlaufende, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbarem
Durchmesser, fliessend, eine gegenseitige Kraft von 2 × 10 −7 Newton pro Meter Länge
hervorruft.
Temperatur (T)
1 Kelvin (K) ist der Bruchteil 1/273.16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes
von Wasser. Die Celsiusskala ist definiert durch: t( ◦ C) = t(K) - 273.15 K.
Schmelzpunkt und Siedepunkt des Wassers unter Normalbedingungen liegen nur ungefähr
bei 0 ◦ respektive 100 ◦ C. Der absolute Nullpunkt ist per Definition 0 K.
Quantität der Materie (n,ν)
1 Mol (mol) ist die Menge eines Stoffes, die gleichviele Teilchen N ◦ (Atome, Moleküle,
Ionen, Elektronen, ...) besitzt, wie Atome in 12 g des Kohlenstoffisotops 12 C enthalten
sind.
N ◦ =
12.000 g/mol
Masse eines Atoms 12 C
Avogadrosche oder Loschmidtsche Zahl,
diese Zahl ändert sich, wenn die 12 C-Atommasse genauer bestimmt wird.
Lichtstärke
1 Candela (cd) ist die Lichtstärke (Intensität I = dΦ/dΩ), mit der 1/60 cm 2 Oberfläche
71

eines schwarzen Strahlers bei der Temperatur des beim Druck von 1 atm erstarrenden Pt
(2024.5 K) senkrecht zur Oberfäche strahlt.
Sämtliche Dimensionen physikalischer Grössen lassen sich auf diese 7 Grundgrössen
zurückführen. Z.B. Beschleunigung m/s 2 , Kraft N = m kg/s 2 . Die 7 Grundgrössen sind
nicht alle fundamentale Basisgrössen. Z.B. wird die Kelvinskala nur eingeführt, weil der
theoretisch existierende Zusammenhang zwischen Temperatur und Energie experimentell
nur schlecht bestimmbar ist. Für die Physik genügen die 4 Basisgrössen m, kg, s und A.
B.2.1
Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.T. mit speziellen Namen
In Klammern: die in diesem Skript i.a. benutzten Bezeichnungen der Grössen.
ebener Winkel (α,ϕ) Radiant = rad = m m −1
Raumwinkel (Ω) Steradiant = sr = m 2 m −2
Frequenz (ν) Hertz = Hz = s −1
Geschwindigkeit (⃗v)
= m s −1
Impuls (⃗p) = kg m s −1 = Ns
Kraft ( F) ⃗ Newton = N = m kg s −2
Druck (p) Pascal = Pa = m −1 kg s −2 = N/m 2
Energie,Arbeit (E,W) Joule = J = m 2 kg s −2 = Nm
Leistung (P) Watt = W = m 2 kg s −3 = J/s
Drehimpuls ( L ⃗ ◦ )
= kg m 2 s −1
Drehmoment ( M ⃗ ◦ ) = kg m 2 s −2 = Nm
Trägheitmoment (I ◦ ) = kg m 2
Wärmemenge (Q) Joule = J = m 2 kg s −2 = Nm
Entropie (S)
= J/K
el. Ladung (q,Q) Coulomb = C = As
elektrische Feldstärke ( E) ⃗ = V/m
dielektrische Verschiebung ( D) ⃗ = Cb/m 2
el. Stromdichte (⃗j) = A/m 2
el. Spannung, Potential (V ) Volt = V = m 2 kg s −3 A −1 = J/C
el. Kapazität (C) Farad = F = m −2 kg −1 s 4 A 2 = C/V
el. Widerstand (R) Ohm = Ω = m 2 kg s −3 A −2 = V/A
el. Leitfähigkeit (σ) Siemens = S = m −2 kg −1 s 3 A 2 = A/V
Induktionsfluss (Φ) Weber = Wb = m 2 kg s −2 A −1 = V s
magn. Induktion ( B) ⃗ Tesla = T = kg s −2 A −1 = Wb/m 2
magnetische Feldstärke ( H) ⃗ = A/m
Induktivität (L) Henry = H = m 2 kg s −2 A −2 = Vs/A
Lichtstrom Lumen = lm = cd sr
Beleuchtungsstärke Lux = lx = lm m −2
Radioaktivität Bequerel = Bq = s −1
absorbierte Strahlungsdosis Gray = Gy = m 2 s −2 = J/kg
72

B.2.2
Verschiedene Einheiten
Grösse (Symbol) SI Einheit
Länge (l) 1 m 1 Parsec = 1 pc = 3.085 72 ×10 16 m
1 Lichtjahr = 1 ly = 9.460 530 ×10 15 m
1 astr. Einheit = 1 AE = 1.496 00 ×10 11 m
1 inch = 1 in. = 2.54 cm (exakt)
1 yard = 1 yd. = 3 feet = 3 ft.= 36 in.
1 Seemeile = 10 Kabel = 1000 Faden = 1852 m
1 mile = 1 mi. = 1760 yd. = 1.609 344 km
1 Ångström = 1 Å = 10 −10 m
1 Fermi = 1 fm = 10 −15 m
Fäche (A) 1 m 2 1 Are = 1 a = 10 2 m 2
1 Barn = 1 b = 10 −28 m 2
Volumen (V) 1 m 3 1 Liter = 1 l = 10 −3 m 3
1 Gallone (US) = 4 Quarts = 8 Pints = 3.785 4 l
1 Gallone (GB) = 4 Quarts = 8 Pints = 4.545 9631 l
Zeit (t) 1 s 1 d = 24 h = 86400 s
1 Jahr = 1 y = 3.155 69 ×10 7 s ≈ π × 10 7 s
Frequenz ν 1 Hz 1 cycle per second = 1 cps = 1 Hz
1 revolution per minute = 1 rpm = 1/60 Hz
Geschwindig. (v) 1 m/s 1 km/h = 1/3.6 m/s
1 Knoten = 1 Seemeile/h
1 mile per hour = 1 mph = 1.609 344 km/h
Masse (m) 1 kg 1 techn. Masseneinh. = 1 TME = 1 kp m −1 s 2 = 9.806 65 kg
1 atomare Masseneinheit = 1 u = 1.660 5655(86) ×10 −27 kg
1 pound = 1 lb = 16 ounces = 16 oz. = 0.453 59237 kg
Kraft (F) 1 N 1 dyn = 1 cm g s −2 = 10 −5 N
1 Kilopond = 1 kp = 1 kg ∗ = 9.806 65 N
Druck (p) 1 Pa 1 Bar = 1 b = 10 3 mb = 10 5 Pa
1 Atmosphäre (phys.) = 1 atm = 1.013 25 ×10 5 Pa
1 Atm. (techn.) = 1 at = 1 kp/cm 2 = 0.980 665 ×10 5 Pa
1 Pound per sq. in. = 1 PSI = 6.894 76 ×10 3 Pa
1 Torr = 1/760 atm = 133.322 37 Pa = 1 mm Hg (0 ◦ C)
Arbeit (W) 1 J 1 Erg = 1 erg = 10 −7 J
Energie (E)
Wärme(Q)
1 kWh = 3.6 ×10 6 J
1 cal (thermoel.) = 4.184 J
1 cal (mittlere) = 4.186 97 J
1 cal (15 ◦ C) = 4.185 5 J
1 cal (IT) = 4.186 84 J
1 eV = 1.602 1892(46) ×10 −19 J
Leistung (P) 1 W 1 Pferdestärke = 1 PS = 75 m kp/s = 735.498 75 W
1 horse power = 1 hp (mech.) = 550 ft lb/s = 745.692 27 W
1 hp (elektr.) = 746 W
Magn. Indukt. (B) 1 T 1 Gauss = 1 G = 10 −4 T
Magn. Feld (H) 1 A/m 1 Oersted = 10 3 /4π A/m
73

B.2.3
Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten
Vorsilbe Abk. Faktor Vorsilbe Abk. Faktor spezielles
Exa E 10 18 Dezi d 10 −1 nur dl, dm
Peta P 10 15 Zenti c 10 −2 nur cm
Tera T 10 12 Milli m 10 −3
Giga G 10 9 Mikro µ 10 −6
Mega M 10 6 Nano n 10 −9
Kilo k 10 3 Piko p 10 −12
Hekto h 10 2 Femto f 10 −15 1 fm=1 Fermi
Deka d 10 1 Atto a 10 −18
B.3 Astronomische Daten
Erde
1 mittl. Sonnentag 1 d = 86400 s
1 Sterntag 86 164.09 s
1 tropisches Jahr 1 y = 365.242 20 d
1 siderisches Jahr 365.256 36 d
mittl. Radius
6 371.0 km
Masse
5.976 ×10 24 kg
mittl. Dichte 5 517 kg/m 3
mittl. Entfernung von der Sonne 1.496 ×10 11 m = 1 astr. Einheit = 1 AE
Mond
Masse
Radius
Entfernung von der Erde
siderische Umlaufszeit
synodische Umlaufszeit (Neumond)
Sonne
Radius
Masse
Oberflächentemperatur
Milchstrasse
Durchmesser
Dicke
Sonne-Zentrum
Masse
7.35 ×10 22 kg = 1/81.3 m E
1 738.2 km
384 400 km (356 400 . . . 406 700 km)
27.321 661 d
29.530 558 d
695 990 km = 109.24 R E
1.989 ×10 30 kg = 3.328 3 ×10 5 m E
5770 K
80 000 Ly
6 000 Ly
32 000 Ly
1.4 ×10 11 m S
74

C Mathematische Hilfsmittel
C.1 Mathematische Formelsammlung
C.1.1
r
✚α
✚✚✚✚✚
x
Trigonometrie
y
sin(α ± β) = sinα cos β ± cos α sin β,
sin α = y/r csc = r/y
cos α = x/r sec = r/x
tan α = y/x cot = x/y
sin 2 α + cos 2 α = 1
cos(α ± β) = cosα cos β ∓ sin α sin β
sin α ± sin β=2 sin ( ) ( )
α±β
2 cos α∓β
2
cos α + cos β=2 cos ( ) ( )
α+β
2 cos α−β
2
cosα − cos β=2 sin ( ) ( )
α+β
2 sin α−β
2
a cos α + b sin α=A · sin(α + δ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ = a oder
b
a cos α + b sin α=A · cos(α − δ ′ ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ ′ = b a
C.1.2
Komplexe Zahlen
✻I{z}
z = a + ib = ρ exp(iϕ) = ρ e iϕ = ρ (cos ϕ + i sin ϕ)
ρ = √ a 2 + b 2 = |z|, tanϕ = b/a, z n = ρ n e iϕ/n , √ z = √ ρ e iϕ/2
da | e iϕ | 2 = e iϕ · e −iϕ = e 0 = 1 liegt e iϕ auf dem Einheitskreis.
b
✬✩
i
ρ z Geometrische Deutung: R{z} = ρ cos ϕ, I{z} = ρ sin ϕ
✚ ✚✚✚❃ ϕ ✲ ⇒ exp(iϕ) = cosϕ + i sin ϕ, exp(−iϕ) = cosϕ − i sin ϕ ⇒
−1 1 a
✫✪R{z}
exp(iϕ) + exp(−iϕ)
−i cos ϕ = = a exp(iϕ) − exp(−iϕ)
, sin ϕ = = b 2 ρ 2i ρ
exp(iπ/2) = e iπ/2 = i, exp(iπ) = e iπ √
= −1,
z n = ρ n e inϕ = ρ n √
(cosnϕ + i sin nϕ), z = ρ e iϕ/2 ,
¯z = a − ib ist das konjugiert komplexe (auch z ∗ ) zu z = a + ib,
Betrag |z| = √ z¯z = √ a 2 + b 2
C.1.3
Hyperbolische Funktionen
sinh x = exp(x)−exp(−x) , cosh x = exp(x)+exp(−x)
2 2
sinh 2 x − cosh 2 x = −1, tanhx = sinh x
cosh x
C.1.4
Inverse Funktionen
sin[arcsin(x)] = x, cos[arccos(x)] = x, sinh[arcsinh(x)] = x, cosh[arccos(x)] = x
ln[exp(x)] = x etc.
75

C.1.5
Ableitungen und unbestimmte elementare Integrale
Für unbestimmte Integrale muss eine Konstante c berücksichtigt werden.
Partielle Integration: ∫ udv = uv − ∫ v du
d
f(x)
dx f(x)
∫ f(x)dx
x n
d
dx xn = nx n−1
∫
x n dx = xn+1
n + 1 , n ≠ −1
x −1
d
dx x−1 = −x −2
∫
x −1 dx = lnx
ln x
∫
d
ln x = x−1
dx
ln xdx = x ln x − x
e x
d
dx ex = e x
∫
e x dx = e x
sin x
∫
d
sin x = cos x
dx
sin xdx = − cos x
cos x
∫
d
cosx = − sin x
dx
cos xdx = sin x
tanx
d
dx tanx =
x
cos 2 x
∫
tanxdx = − ln cosx
cot x
d
dx cotx = − x
sin 2 x
∫
cotxdx = ln sin x
∫
∫
∫
∫
dx
a 2 + x 2
= 1 a arctan(x/a)
dx
= 1 1
arctanh(x/a) oder =
a 2 − x 2 a 2a ln a + x
a − x , (a2 > x 2 )
dx
√
a2 − x 2
= arcsin x
|a|
dx
x √ = − 1 ( √ ) a +
a 2 ± x 2 |a| ln a2 ± x 2
x
∫ √
x2 ± a 2 = 1 2
oder = − arccos x
|a| , (a2 > x 2 )
[
x
√
x2 ± a 2 ± ln(x + √ x 2 ± a 2 ) ]
∫
dx
√
x2 ± a 2 = ln(x + √ x 2 ± a 2 )
76

C.1.6
Einige bestimmte Integrale,
die nicht als unbestimmte Integrale angegeben werden können.
∫∞
0
∫∞
0
∫∞
0
∫π
0
∫∞
0
∫∞
0
∫1
0
∫ 1
0
∫∞
t n p −t n!
dt =
(lnp) , n = 0, 1, 2...,p > 0 dx
n+1 (1 + x) √ x
⎧
0
π
a > 0
a dx
⎪⎨ 2
∫∞
sin mxdx
= 0 a = 0
a 2 + x 2 ⎪⎩ − π x
a < 0
0
2
sin 2 (px)dx
x 2
= πp
2
∫∞
0
∫
= π
sin 2 (mx)dx = π 2
π/2
dx π
= √
a + b cos x a2 − b , a > b ≥ 0 dx
2 a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x = π
2ab
0
e −ax dx = 1 ∫∞
a , a > 0 e −a2 x 2 dx = 1 √ π
2a
0
x e −x2 dx = 1 ∫∞
√ π
x 2 e −x2 dx =
2
4
0
∫1 √
√ π
(lnx) n dx = (−1) n · n!
ln 1/x dx =
2
C.1.7
ln x
dx = −π2
1 + x 12
Reihenentwicklungen
Taylor-Reihe: f(x) = f(x ◦ )+f ′ (x ◦ ) (x − x ◦) 1
1!
0
∫ 1
0
ln x
dx = −π2
1 − x2 8
⎧ π
m > 0
⎪⎨ 2
= 0 m = 0
⎪⎩ − π m < 0
2
+f ′′ (x ◦ ) (x − x ◦) 2
+· · · mit 0 ≤ (x−x ◦ ) < 1
2!
exp(x) = e x = 1 + x + x2 + x3 + · · · ln(1 − x) = x − x2 + x3
2! 3! 2!
sin(x) = x − x3 + x5 − + · · · cos(x) = 1 − x2 + x4
3! 5! 2!
tan(x) = x + x3
3 + 2x5 15
+ · · · cot(x) = 1 −
x2
2 + x4
sinh(x) = x + x3
3!
+ x5
5!
+ · · · cosh(x) = 1 + x2
2!
+ x4
(1 + x) n = 1 + nx + n(n+1) x 2 + n(n−1)(n−2) x 3 + · · ·
2! 3!
1
= 1 − x + 1+x x2 − x 3 + · · ·, (−1 < x < 1)
√ 1 + x = 1 +
x
+ x2 + x3 + · · · , (−1 < x < 1)
2 8 16
√ 1
1+x
= 1 − x + 3x2 + · · · , (−1 < x < 1)
2
− 5x3
8 16
− + · · ·
3!
− + · · ·
4! − + · · · 4
+ · · ·
4!
77

C.2 Zusammenstellung von Differentialgleichungen in Physik A
Differentialgleichung
Lösung
1. y ′′ = a y = 1 2 ax2 + C 1 x + C 2
2. y ′′ + ωy ′ = 0 y = C 1 e −ωt + C 2
3. y ′′ + ωy ′ = g y = C 1 e −ωt + C 2 + g ω · t
4. y ′ + ωy = g y = C 1 e −ωt + g ω
5. y ′′ + ω 2 y = g y = y 0 cos(ωt − δ) + g
ω 2
6. y ′′ − y = cos x y = C 1 e x + C 2 e −x − 1 2 cos x
7. y ′′ + 2λy ′ + α 2 y = 0
√
λ > α y = e −λt (C 1 e ωt + C 2 e −ωt )
ω = + |λ 2 − α 2 | λ < α y = e −λt (C 1 e iωt + C 2 e −iωt )
λ = α y = e −λt (A + Bt)
8. y ′′ + 2λy ′ + α 2 y = f(t)
benutze :
F(x) = ∫ x
dF
0 f(x,y)dy ⇒ x ∂f
dx 0 ∂x
Ansatz :
y = ∫ t
0 g(t − τ)f(τ)dτ
damit :
y ′ = g(0)f(t) + ∫ t
0 g′ (t − τ)f(τ)dτ
y ′′ = g(0)f ′ (t) + g ′ (0)f(t) + ∫ t
0 g′′ (t − τ)f(τ)dτ
Einsetzen in Dgl. : g(0)f ′ (t) + g ′ (0)f(t) + ∫ t
0 g′′ (t − τ)f(τ)dτ + 2λg(0)f(t)
+2λ ∫ t
0 g′ (t − τ)f(τ)dτ + α 2 ∫ t
0 g(t − τ)f(τ)dτ = f(t)
zusammenfassen : g(0)f ′ (t) + [g ′ (0) + 2λg(0) − 1]f(t)
+ ∫ t
0 [g′′ (t − τ) + 2λg ′ (t − τ) + α 2 g(t − τ)] f(τ)dτ = 0
Diese Gleichung wird erfüllt, wenn g(t − τ)
die Dgl. 8. erfüllt mit den Anfangsbedingungen
g(0) = 0 und g ′ (0) = 1
also : λ > α y = 1 ∫ ( t
2ω 0 e−λ(t−τ) e ω(t−τ) − e −ω(t−τ)) f(τ)dτ
λ < α y = − i ∫ ( t
2ω 0 e−λ(t−τ) e iω(t−τ) − e −iω(t−τ)) f(τ)dτ
y = 1 ∫ t
ω 0 e−λ(t−τ) sin ω(t − τ)f(τ)dτ
λ = α y = ∫ t
0 e−λ(t−τ) (t − τ)f(τ)dτ
9. x 2 y ′′ + xy ′ − k 2 y = 0 y = C 1 x k + C 2 x −k
78

C.3 Vektorgleichungen
Skalarprodukt Vektorprodukt Tensorprodukt
⃗a ·⃗b = a x b x + a y b y + a z b z ⃗a × ⃗ b = ⃗e x(a y b z − a z b y ) ⃗a ⊗ ⃗ ⎛
⎞
b = a x b x a x b y a x b z
⎜
⎟
⃗e y (a z b x − a x b z ) ⎝ a y b x a y b y a y b z ⎠
⃗e z (a x b y − a y b x ) a z b x a z b y a z b z
⃗a( ⃗ b ·⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c
⃗a · ( ⃗ b ×⃗c) = ⃗ b · (⃗c ×⃗a) = ⃗c · (⃗a × ⃗ b)
⃗a × ( ⃗ b ×⃗c) = (⃗a ·⃗c) ⃗ b − (⃗a ·⃗b)⃗c
(⃗a × ⃗ b) · (⃗c × ⃗ d) = (⃗a ·⃗c)( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d)( ⃗ b ·⃗c)
∇ × ∇ψ = 0
∇ · (∇ ×⃗a) = 0
(∇ · ∇)ψ = ∇ · (∇ψ) = ∆ψ
∆⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∇ × (∇ ×⃗a)
∇ × (∇ ×⃗a) = ∇ · (∇⃗a) − ∇ 2 ⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∆⃗a
∇ · (ψ⃗a) = ⃗a · ∇ψ + ψ∇ ·⃗a
∇ × (ψ⃗a) = ∇ψ ×⃗a + ψ∇ ×⃗a
∇(⃗a ·⃗b) = (⃗a · ∇) ⃗ b + ( ⃗ b · ∇)⃗a +⃗a × (∇ × ⃗ b) + ⃗ b × (∇ ×⃗a)
∇ · (⃗a × ⃗ b) = ⃗ b · (∇ ×⃗a) −⃗a · (∇ × ⃗ b)
∇ × (⃗a × ⃗ b) = ⃗a(∇ ·⃗b) − ⃗ b(∇ ·⃗a) + ( ⃗ b · ∇)⃗a − (⃗a · ∇) ⃗ b
Ist ⃗x die Koordinate eines Punktes in Bezug auf einen Ursprung mit dem Betrag r = |⃗x|
und ⃗n = ⃗x/r der Einheitsradiusvektor, dann gilt
∇ · ⃗x = 3 ∇ × ⃗x = 0
∇ · ⃗n = 2 r ∇ × ⃗n = 0
(⃗a · ∇)⃗n = 1 r [⃗a − ⃗n(⃗a · ⃗n)] ≡ ⃗a ⊥
r
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung
Im folgenden sind Φ, Ψ, und ⃗ A skalare oder Vektor-Funktionen, V ist ein dreidimensionales
Volumen mit dem Volumenelement d 3 x. S ist eine zweidimensionale, geschlossene
Oberfläche des Volumens V mit dem Flächenelement da und der nach aussen zeigenden
Normalen ⃗n auf da.
∫
∇ · ⃗Ad 3 x = ∫ ⃗A · ⃗nda
Divergenz Theorem
V ∫
S
∇Ψd 3 x = ∫ ψ⃗nda
V S
∫
∇ × Ad ⃗ 3 x = ∫ ⃗n × Ada ⃗
∫
V S
(Φ∇ 2 Ψ + ∇Φ · ∇Ψ)d 3 x = ∫ Φ⃗n · ∇Ψda Green’s 1. Identität
V ∫
S
(Φ∇ 2 Ψ − Ψ∇ 2 Φ)d 3 x = ∫ − Ψ∇Φ) · ⃗nda Green’s Theorem
V
S(Φ∇Ψ
79

Im folgenden ist S eine offene Fläche und C eine sie einschliessende Kontur mit dem
Linienelement d ⃗ l. Die Normale ⃗n zu S ist durch die rechte Hand-Regel in bezug auf das
Linienintegral um die Kontur C definiert.
∫
× A)
S(∇ ⃗ · ⃗nda = ∮ ⃗A · d ⃗ l Stoke’s Theorem
C
∫
⃗n × ∇Ψda = ∮ Ψd ⃗ l
C
S
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen
Mit den orthogonalen Einheitsvektoren ⃗e 1 ,⃗e 2 ,⃗e 3 , die den gewählten Koordinaten entsprechen
und den Komponenten A 1 ,A 2 ,A 3 von ⃗ A gilt für den Nabla-Operator ∇
Kartesische Koordinaten x 1 ,x 2 ,x 3 = ⃗x = x,y,z
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1∂x1 + ⃗e ∂Ψ
2∂x2 + ⃗e ∂Ψ
3∂x3
∇ · ⃗A = ∂A 1
∂x
+ ∂A 2
1 ∂x
+ ∂A 3
2 ∂x 3
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ∂A 3
∂x
− ∂A 2
2 ∂x
) + ⃗e 2 ( ∂A 1
3 ∂x
− ∂A 3
3 ∂x
) + ⃗e 3 ( ∂A 2
1 ∂x
− ∂A 1
1 ∂x
)
2
∇ 2 Ψ = ∂2 Ψ
∂x 2 + ∂2 Ψ
1 ∂x 2 + ∂2 Ψ
2 ∂x 2 3
Zylinder Koordinaten ρ,ϕ,z
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1
∂ρ
+ ⃗e 1 ∂Ψ
2ρ ∂ϕ
+ ⃗e ∂Ψ
3
∂z
∇ · ⃗A = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρA 1) + ρ 1 ∂A 2
∂ϕ + ∂A 3
∂z
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ρ 1 ∂A 3
∂ϕ − ∂A 2
∂z ) + ⃗e 2( ∂A 1
∂z − ∂A 3
∂ρ ) + ⃗e 1 3ρ (∂(ρA 2)
∂ρ
− ∂A 1
∂ϕ )
∇ 2 Ψ = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρ∂Ψ ∂ρ ) + 1 ρ 2 ∂2 Ψ
∂ϕ 2 + ∂2 Ψ
∂z 2
Kugel Koordinaten r,ϑ,ϕ
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1
∂r
+ ⃗e 1 ∂Ψ
2r ∂ϑ
+ ⃗e 1
3
rsinϑ ∂Ψ
∂ϕ
∇ · ⃗A = 1 ∂ r 2 ∂r (r2 A 1 ) +
r sinϑ 1
∂ϑ ∂ (sinϑA 2) +
r sinϑ 1 ∂A 3
∂ϕ
∇ × A ⃗ [
= ⃗e 1 ∂
1
r sinϑ ∂ϑ
(sinϑA 3 ) − ∂A ]
2
∂ϕ
+
[
+⃗e 1
2
r sinϑ ∂A 1
∂ϕ − 1 r ∂r ∂ ] [ (rA 3) + ⃗e 1 ∂∂r
3r (rA 2 ) − ∂A ]
1
∂ϑ
∇ 2 Ψ = 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) + 1 ∂
r 2 sinϑ ∂ϑ (sinϑ∂Ψ ∂ϑ ) + 1 ∂ 2 Ψ
r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2
mit 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) ≡ 1 r ∂2
∂r 2 (rΨ) = ∂2
∂r 2 (Ψ) + 2 ∂
r ∂r (Ψ)
Es werden auch folgende Schreibweisen benutzt:
gradΨ = ∇Ψ div ⃗ A = ∇ · ⃗A rot ⃗ A = ∇ × ⃗ A ∇ 2 = ∆
80

Index
Abbildungsfehler, 34
Abbildungsgleichung, 31
für Linsen, 32
Aberration
Chromatische, 35
eines Sternes, 24
Sphärische, 34
Ammoniak-Maser, 5
Apertur, numerische, 57
Astigmatismus, 34
Astronomische Daten, 74
Äther, 24, 41, 43
Auflösungsvermögen
Auge, 54
Fernrohr, 55
Gitterspektrograph, 60
Mikroskop, 56
Auge, 53
Babinet, Theorem von, 48
Beugung, 45
am Hindernis, 37
am Loch, 37
am Strichgitter, 49
an kreisförmiger Öffnung, 48
Fraunhofer’sche, 45, 46
Fresnel’sche, 46, 52
Bildflächenwölbung, 34
Bildweite, 31
Blauer Himmel, 62
Brechkraft einer Linse, 33
Brechungsgesetz, 30, 37
Brechungsindex, 27, 29
Komplexer, 27
Brennpunkt, 32
Brennweite, 32
Brewster-Winkel, 61
Chromatische Aberration, 35
Dezibelskala, 16
Dichroitische Doppelbrechung, 63
Dioptrie, 33
Dipolantenne, 25
Dispersion, 20, 28
Doppelbrechung, 62
Dopplereffekt, 17
Ebene Wellen, 21
Effekt
Doppler, 17
Faraday, 65
Kerr, 65
Einheit, 68
Elektromagnetische Wellen, 22
Spektrum, 25
Wellengleichung, 22
Elektronenmikroskop, 58
Entartung, 2
Entspiegelung von Linsen, 44
Erde
Geschwindigkeit, 42
Erregung, 6
Experiment
Haidinger, 44
Jamin (Interferenz), 40
Lichtgeschwindigkeit, 23, 41
Michelson Morley, 24, 41
Quincke, 39
Young (Interferenz), 40
Faradayeffekt, 65
Fata Morgana, 30
Fermat’sches Prinzip, 29
Fernrohr, 55
Flöten, Pfeifen, 15
Fourier, Theorem von, 4
Fourier-Analyse, 4
Fraunhoferbeugung, 45, 46
Fresnel-Gleichungen, 61
Fresnelbeugung, 46, 52
Galilei-Transformation, 42
Gauss’sche Abbildungsformel, 34
Gegenstandsweite, 31
Gesetz von
Babinet, 48
Fermat, 29
Fourier, 4
Gauss (Abbildungsformel), 34
Huygens, 36
Malus, 61
81

Newton (Abbildungsformel), 34
Snellius (Brechung), 30, 37
Gitterspektrograph, 59
Grundschwingung, 3
Gruppengeschwindigkeit, 20
Haidinger Interferenz, 44
Halo der Sonne, 62
Harmonische Schwingung, 1
Hauptebenen einer Linse, 33
Huygens, Prinzip von, 36
Brechungsgesetz, 37
gekrümmter Lichtstrahl, 37
Reflexionsgesetz, 37
Immersionsobjektiv, 58
Impedanz, 10
Intensitat einer Welle, 16
Interferenz, 44
von Wellen, 38
Interferometer von Jamin, 40
Io, 23
Jamin, Interferometer von, 40
Jupiter, 23
Kapillarwelle, 11
Kerreffekt, 65
Koaxialleiter, 9, 15
Kohärenz, 38
Kohärenzlänge, 39
Konstanten, 67
Kugelwellen, 21, 24, 36, 43
Lecherleitung, 9
Lichtgeschwindigkeit, 22, 23, 41
Lichtstrahl, 29
Linsen, Abbildungsgleichung, 32
Linsenfehler, 34
Linsenvergütung, 44
Longitudinale Wellen, 8
Lupe, 55
Malus, Gesetz von, 61
Mathematische Hilfsmittel, 75
Michelson Morley Experiment, 24, 41
Mikroskop, 56
Auflösungsvermögen, 56
Immersionsobjektiv, 58
Phasenkontrastverfahren, 58
Newton’sche Ringe, 45
Newtonsche Abbildungsformel, 34
Nicol’sches Prisma, 63
Normalschwingungen, 2
Oberschwingungen, 3
Optischer Weg, 40
Orgelpfeife, 15
Oszillator, linearer, 1
Periode T, 6
Pfeife (Orgel), 15
Phasenflächen, 21
Phasengeschwindigkeit, 19
Phasenkontrastverfahren, 58
Phasensprung, 14
Phonskala, 16
Polarisation von Licht, 60
elliptisch, 60
linear, 60
zirkular, 60
Poyntingvektor, 23
Prisma, Nicol’sches, 63
Produktansatz, 12
Quincke, Interferenzrohr von, 39
Rechteckkurve, 5
Reflexion von Wellen, 13
Reflexionsgesetz, 29, 37
Sägezahnschwingung, 4
Saite, 7, 12
Schallgeschwindigkeit in einem Gas, 9
Schallstrahlungsdruck, 16
Schmidt-Teleskop, 35
Schwächungskoeffizient, 27
Schwebung, 3
Schwerewelle, 11
Schwingungen, 1
Gekoppelte, 1
SI-Einheiten, 71
Snellius’sches Brechungsgesetz, 30, 37
Solitonen, 11
Sonnenuntergang, 30, 62
Sphärische Aberration, 34
Stehende Welle, 12
Streuung von Licht, 62
Totalreflexion, 30
82

Transformation
Galilei, 42
Transmission von Wellen, 13
Transversalwelle, 7
Vierpoltheorie, 10
Wasserwelle, 11
Wellen, 1, 6, 24, 38, 43
Ebene, 21
Energie, 15
Stehende, 12
Wellengleichung, 7, 21
Wellenlänge λ, 6
Wellenwiderstand, 10
Wellenzahl k, 6
Young’scher Interferenzversuch, 40
83