Elektrizität und Magnetismus - Physik-Institut - Universität Zürich

Roland Engfer
Physik A
für Naturwissenschaftler
Teil 3: Elektrizität und Magnetismus
UNIVERSITAS
TURICENSIS
MDCCC
XXXIII
Skriptum zur Vorlesung von Andreas Schilling
SS 2005
Physik-Institut der Universität Zürich
September 2004

Inhaltsverzeichnis
1 Einführende Bemerkungen 1
2 Elektrostatik 3
2.1 Das Coulombsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Das elektrische Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Gauss’scher Satz und Poisson’sche Differentialgleichung . . . . . . . . . . 9
2.4.1 Feldlinien oder Stromlinien eines Vektorfeldes † . . . . . . . . . . . 11
2.5 Elektrostatische Felder von geladenen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Elektrische Felder an Spitzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5.2 Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.3 Faradaysches Becherexperiment und van de Graaff Generator . . . . 16
2.5.4 Berechnung der Felder von Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Die Kapazität elektrischer Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6.1 Beispiele von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Isotrope Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7.1 Der verallgemeinerte Gauss’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7.2 Beispiele zu Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7.3 Eine atomistische Interpretation der Dielektrizitätskonstanten † . . 26
2.8 Die Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8.1 Berechnung der Kräfte auf Leiter und Dielektrika aus der Feldenergie 28
2.8.2 Beispiele zur Energie des elektrostatischen Feldes . . . . . . . . . . 29
3 Stationäre elektrische Ströme 31
3.1 Begriffe zur Beschreibung elektrischer Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Die Spannung in einem Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Die elektrische Stromdichte in einem Leiter . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3 Die elektrische Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.4 Der elektrische Widerstand eines Leiters . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.5 Elektromotorische Kraft und innerer Widerstand . . . . . . . . . . 33
3.1.6 Die Kirchhoff’schen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Mechanismus und Charakteristik der elektrischen Leitung . . . . . . . . . 34
3.2.1 Leitung in Metallen † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.2 Halbleiter † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 Leitung in flüssigen Elektrolyten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.4 Leitung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.5 Anwendungen der Gasentladung für Detektoren . . . . . . . . . . . 43
3.2.6 Leitung in Vakuumröhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Magnetostatik 45
4.1 Die Lorentz-Kraft und das ⃗ B-Feld und ⃗ H-Feld im Vakuum . . . . . . . . . 45
4.1.1 Erfahrungstatsachen und Fundamentalgesetze . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2 Die Gesetze von Biot-Savart und Ampère . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.3 Das Vektor-Potential † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Anwendungen der Gesetze von Lorentz, Ampère und Biot-Savart . . . . . . 50
4.2.1 Das magnetische Feld eines Kreisstromes . . . . . . . . . . . . . . . 51
i

4.2.2 Das Magnetfeld einer langen Spule (Solenoid) . . . . . . . . . . . . 52
4.2.3 Magnetischer Dipol im homogenen Magnetfeld (oder Messung des
Erdfeldes mit einer Kompassnadel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.4 Bestimmung der Masse eines Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.5 Das Wien-Filter (elektrostatischer Sparator) . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.6 Der Halleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.7 Bewegung eines geladenen Teilchens im Solenoidfeld . . . . . . . . . 55
4.3 Gedanken zum E- ⃗ und B-Feld ⃗ † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Permeable Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4.1 Erfahrungstatsachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4.2 Magnetisierung und magnetische Suszeptibilität † . . . . . . . . . . 57
4.4.3 Die magnetischen Substanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.4 Die Energie eines magnetische Dipols im B-Feld ⃗ . . . . . . . . . . 60
4.4.5 Vergleich von Medien im elektrischen und magnetischen Feld . . . 61
4.4.6 B- ⃗ und H-Felder ⃗ an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.7 Elektromagnete und Permanentmagnete . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Elektrodynamik 64
5.1 Das Faraday’sche Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1.1 Grundversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1.2 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Anwendungen des Induktionsgesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.1 Der elementare Motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.2 Wechselspannungsgeneratoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.3 Das Betatron † . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.4 Die Unipolarmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2.5 Widerstandsdämpfung beim Galvanometer † . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.6 Magnetfeldmessung mit einer Flipspule . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.7 Wirbelströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.8 Gegenseitige Induktion zweier Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.9 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.10 Energiedichte des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.11 Analogie der Selbstinduktion zur Masse der Mechanik . . . . . . . 73
5.3 Quasistationäre Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.1 Stromkreise mit konstanter EMK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3.2 Die konventionelle Spulenzündung beim Auto † . . . . . . . . . . . 76
5.3.3 Der Thomsonsche Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.4 Harmonische Wechselströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3.5 Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.6 Arbeitsleistung eines Wechselstromes . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Maxwell’scher Verschiebungsstrom und Gleichungen . . . . . . . . . . . . 83
5.4.1 Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.2 Die Maxwell’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
A Physikalische Konstanten Stand 1986 86
ii

B Grössen und Einheiten der Physik 87
B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.1.1 Grösse und Zahlenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.1.2 Grössenart und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.1.3 Grössengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.1.4 Winkel und Raumwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.1.5 Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen . . . . . . . . . . . . . 88
B.2 SI-Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.2.1 Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.T. mit speziellen Namen 91
B.2.2 Verschiedene Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
B.2.3 Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten . . . . . . . . . . . . . 93
B.3 Astronomische Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C Mathematische Hilfsmittel 94
C.1 Mathematische Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.1.1 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.1.3 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.1.4 Inverse Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.1.5 Ableitungen und unbestimmte elementare Integrale . . . . . . . . . 95
C.1.6 Einige bestimmte Integrale, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
C.1.7 Reihenentwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
C.2 Zusammenstellung von Differentialgleichungen in Physik A . . . . . . . . . 97
C.3 Vektorgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
iii

Elektrizität und Magnetismus
1 Einführende Bemerkungen
In der Elektrizitätslehre befassen wir uns mit Phänomenen, die nicht mehr wie in der Mechanik
anschaulich fassbar sind. Eine Masse können wir sehen und anheben; eine Ladung
können wir nur durch ihre Wirkung in einer Messung erfassen.
Früher waren die drei Gebiete Elektrizitätslehre, Magnetismus und die Optik völlig
getrennt und standen nebeneinander. Heute sind die elektrischen und die magnetischen
Felder und damit auch die Optik in der Maxwell’schen Theorie vereinigt. Die Erscheinungen
und Beobachtungen machen uns zunächst Schwierigkeiten im Verständnis, anderseits
ist eine Vereinigung verschiedenster Phänomene in einer gemeinsamen einheitlichen
Theorie das Ziel der Physik, wie dies vor allem die Teilchenphysik verfolgt. Von den vier
uns bekannten fundamentalen Wechselwirkungen der Gravitation, der elektromagnetischen
Wechselwirkung, der schwachen Wechselwirkung und der starken Wechselwirkung
der Quarks, sind bisher nur die elektromagnetische Wechselwirkung und die schwache
Wechselwirkung zur elektroschwachen Wechselwirkung vereinigt. Die Vereinigung mit den
anderen beiden Wechselwirkungen ist ein wesentliches Fernziel der theoretischen und experimentellen
Teilchenphysik (vgl. Physik AI Kap.2.4).
Elektromagnetische Erscheinungen und ihre Gesetze beeinflussen, wie auch die Mechanik,
einen grossen Teil unseres täglichen - nicht nur des technischen - Lebens. Ich werde wie
auch in Physik AI versuchen, die grundsätzlichen Gesetze anhand von Versuchen herauszuarbeiten,
um damit das prinzipielle Verstehen der Gesetzmässigkeiten aufzubauen. Wir
sind dann natürlich immer noch weit davon entfernt, detaillierte und auch technische Fragen
zu lösen, wie z.B. die genaue Berechnung eines Generators oder einer elektronischen
Schaltung.
Mit einfachen Mitteln können Körper in Zustände gebracht werden, in denen sie Kräfte
aufeinander ausüben, die auf nichtmechanische Eigenschaften der Materie hindeuten. Werden
z.B. gewisse Materialien aneinander gerieben, so können die daraus resultierenden
Kräfte von so bedeutender Stärke sein, dass sich deren Wirkungen direkt beobachten
lassen. Man nennt solche Körper elektrisch geladen, oder als Postulat: sie tragen eine
elektische Ladung. Solche Materialien sind einfachste Ladungsquellen. Wird ein Körper
mit einer Ladungsquelle in Berührung gebracht, so wird dieser ebenfalls geladen. Gewisse
Substanzen, insbesondere Metalle, haben ferner die Fähigkeit, elektrische Ladungen durch
Leitung von einem auf einen anderen zu übertragen. Ladung kann somit fliessen;
. Für elektrische Ladungen gilt:
ein elektrischer Strom ist bewegte Ladung
• Erhaltung der Ladung: Die Summe der elektrischen Ladungen ist unter Berücksichtigung
der Vorzeichen in einem abgeschlossenen System streng erhalten. Dies ist
der vierte streng erfüllte Erhaltungssatz der Physik. Er wird in der Quantenelektrodynamik
mit der Eichinvarianz begründet.
• Quantisierung der Ladung: Jede elektrische Ladung Q ist ein ganzzahliges Vielfaches
der Elementarladung e = 1.60217733(49) · 10 −19 Cb (vgl. auch Tabelle 1).
1

Tabelle 1: Zusammenstellung einiger Elementarteilchen mit ihren Eigenschaften.
q = ±1 bedeutet eine positive oder negative Elementarladung. Jedem Teilchen ist ein
Antiteilchen A zugeordnet mit gleicher Masse jedoch entgegengesetzter Ladung. Es gibt
neutrale Teilchen (γ, π 0 ), bei denen Teilchen und Antiteilchen in sich identisch sind. τ
ist die Lebensdauer. 1 MeV/c 2 . = 1.7826627 · 10 −30 kg.
Teilchen Masse Ladung τ Spin
[MeV/c 2 ] [q] [s] [¯h]
Austauschteilchen:
Photon γ 0 0 ∞ 1
Graviton 0 0 ∞ 2
Leptonen:
Elektron e − 0.511 −1 ∞
1
2
Positron A e + 0.511 +1 ∞
1
2
e-Neutrino ν e 0 0 ∞
1
2
e-Antineutrino A ¯ν e 0 0 ∞
1
2
Myon µ − 105.659 −1 2.2 · 10 −6 1 2
Anti-Myon A µ + 105.659 −1 2.2 · 10 −6 1 2
µ-Neutrino ν µ 0 0 ∞
1
2
µ-Antineutrino A 1
¯ν µ 0 0 ∞
2
Mesonen:
Pion π ± 139.57 ±1 2.6 · 10 −8 0
π 0 134.96 0 0.8 · 10 −16 0
K-Meson K ± 493.67 ±1 1.2 · 10 −8 0
K 0 -Meson K 0 497.67 0 0.9 · 10 −10 0
5.2 · 10 −8 0
Baryonen:
Proton p 938.28 +1 ∞
1
2
Neutron n 939.57 0 918
1
2
Lambda Λ 1115.60 0 2.6 · 10 −10 1 2
Sigma Σ + 1189.37 +1 0.8 · 10 −10 1 2
Σ 0 1192.47 0 5.8 · 10 −20 1 2
Σ − 1197.35 −1 1.5 · 10 −10 1 2
• Verknüpfung der Ladung mit Masse: Die Erfahrung und alle Beobachtungen
zeigen, dass Ladung immer mit einem Teilchen einer endlichen Masse verknüpft
ist, sie hat damit einen Substanzcharakter (siehe Tabelle 1). Alle Elementarteilchen
ohne Masse m = 0 haben keine Ladung (Neutrino, γ). Dagegen können Teilchen
mit einer Ladung q = 0 eine endliche Masse m ≠ 0 besitzen (Neutron, π 0 ), sie
haben i.a. auch eine von null verschiedene Ladungsverteilung, die nur im Integral
über das ausgedehnte Teilchen exakt null ergibt. Der Grund liegt in der Struktur
der Baryonen (z.B. Neutron, Proton) und Mesonen (z.B. π 0 ), die aus geladenen
Quarks aufgebaut sind. Der tiefere Zusammenhang zwischen Ladung und Masse
sowie die Tatsache, dass die Ladung des Elektrons und des Protons bis auf das
entgegengesetzte Vorzeichen exakt gleich sind, ist bisher unbekannt.
2

Die Existenz von zwei Ladungen wurde zuerst von Ch. F. de Cisternay du Fay (1698-
1739) festgestellt, jedoch erst 1778 von G. F. Lichtenberg (1742-1799) formuliert. Er demonstrierte
1777 in Göttingen eindrucksvoll das Verhalten verschieder Ladungen mit seinen
Staubfiguren. Die Bezeichnung positive + und negative - Ladung geht auch auf ihn
zurück 1 .
Die ältesten Ladungsquellen sind für Experimente praktisch kaum zu gebrauchen:
negative Ladung = Ladung des geriebenen Bernsteins
positive Ladung = Ladung des geriebenen Glasstabes.
Erst mit den praktischen Ladungsquellen der Batterien 1799 von Volta (1745-1827)
erfunden und der elektromagnetischen Induktion 1831 von M. Faraday (1791-1867) entdeckt,
mit denen noch heute der wesentliche Anteil der elektrischen Energie erzeugt wird,
konnten die ersten Experimente zur Elektrizitätslehre und zum Magnetismus beginnen.
2 Elektrostatik
In diesem Kapitel beschränken wir uns auf das physikalische Verhalten statischer Ladungen.
Es werden im wesentlichen die Kraftwirkungen zwischen ruhenden, geladenen
Körpern diskutiert werden.
2.1 Das Coulombsche Gesetz
Das physikalische Verhalten geladener, ruhender Körper lässt sich auf die folgende fundamentale
Erfahrungstatsache zurückführen:
Werden zwei kleine, kugelförmige Körper durch die gleiche Ladungsquelle geladen, so
stossen sie sich gegenseitig ab. Dabei gilt das Coulombsche 2 Gesetz
⃗F Q 1 Q 2
21
⃗
✛ ❡ ✲ ❡ F12
✲
⃗r F12 ⃗ = const. Q 1 · Q 2
12
r12
2
· ⃗r 12
= const. Q 1 · Q 2
· ⃗e
r 12 r12
2 r12 (1)
Q 1 und Q 2 sind die Ladungsmengen, kurz Ladungen, die die beiden Körper tragen.
const. ist zunächst eine beliebige Proportionalitätskonstante. Werden die beiden Körper
durch verschiedene Ladungsquellen geladen, so ist die Kraft entweder abstossend oder
anziehend. Wir schliessen daraus, dass zwei Arten elektrischer Ladung existieren, denen
nach Lichtenberg das positive und das negative Vorzeichen gegeben wird.
Mit dieser Festsetzung gilt das Coulombsche Gesetz Gl. (1) für beliebige Ladungen 3 .
Damit sind wir in der Lage, eine Ladungseinheit festzusetzen.
Im SI-System wählt man die Einheitsladung, das Coulomb=Cb=As, so, dass zwei
solche Ladungen im Abstand 1m aufeinander die Kraft 8.987552 · 10 9 Nm 2 Cb 2 ausüben.
1 Lichtenberg war der Meinung, dass die Physiker “sich mehr an die Zeichengebung der Mathematiker
als an die der Apotheker” halten sollten. Zu den Lichtenbergschen Entladungsfiguren siehe P.O. Pedersen
Kgl. Danske Videnskab. Selskab. Math.-fys. Medd.I Nr.11 (1919).
2 Charles Augustin de Coulomb (1736-1806).
3 In der Quantenfeldtheorie wird die Coulombkraft durch das Photon als Austauschteilchen mit einem
ungeraden Spin=1 erzeugt. Für die Wechselwirkung zwischen einem Teilchen (z.B. Elektron mit der
Ladung −e) und seinem Antiteilchen (Positron mit der Ladung +e) besteht dann eine anziehende Kraft
und bei zwei gleichen Teilchen und damit gleichen Ladungen eine abstossende Kraft. Bei der Gravitation
mit dem Graviton als einem Austauschteilchen mit geradem Spin=2 ist die Kraft immer anziehend,
unabhängig von den Kombinationen von Teilchen und Antiteilchen.
3

Der genaue Wert ist das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit mal 10 −7 . Damit ist die Proportionalitätskonstante
const. = 8.987552 · 10 9 N m2
Cb 2 .
Setzt man willkürlich (vgl. Fussnote Kap.2.4.) const. = 1
4πε ◦
, dann ist die neue Influenzkonstante
ε ◦ = 8.85418782 · 10 −12 Cb 2 N −1 m −2 und das Coulombsche Gesetz lautet
⃗F = 1 · Q1Q 2
4πε ◦ r 2 · ⃗r r = Q 1Q 2 ⃗r
4πε ◦ r 3 (2)
Für die Umrechnung der mechanischen und elektrischen Einheiten 4 gilt:
1 Nm=1 J=1 Ws=1 VAs.
Das Coulombsche Gesetz Gl. (2) gilt exakt für Punktladungen und für kugelsymmetrische
Ladungsverteilungen, die sich nicht durchdringen, hierbei ist r der Abstand ihrer
Mittelpunkte 5 .
Vergleicht man die Stärke der Gravitationskraft z.B. zweier Protonen mit der Coulombkraft
derselben Protonen, dann erhält man F G
FC
= Γm2 p 4πε◦
= 1.24 ·10 −36 . Damit kann
e 2
für einzelne Teilchen die Gravitation gegenüber der elektromagnetischen Wechselwirkung
vernachlässigt werden; da es jedoch für die Gravitation im Gegensatz zur Coulombkraft
keine Abschirmung gibt, übersteigt die Gravitation bei genügend grossen Massen trotz
ihrer Schwäche jede andere Wechselwirkung und kann dann im Exremfall Neutronensterne
und schwarze Löcher bilden.
2.2 Das elektrische Feld
Eine Ladungsverteilung Q übt eine Kraft auf die Test-Ladung q aus.
★✥
❜
⃗F
Q q
✧✦ ✒
⃗r
✲
Die Kraft kann geschrieben werden als:
⃗ F(⃗r) = q ⃗ E(⃗r)
Das elektrische Feld der Ladungen Q ist unabhängig von
der Testladung q am Ort ⃗r definiert als
⃗E(⃗r) . = ⃗ F(⃗r)/q,
[E] = Kraft
Ladung = N Cb = V m
4 Bemerkung zum cgs-System: Im elektrostatischen cgs-System lautet das Gesetz von Coulomb:
F = q 1q 2
r 2
→ [F] = cm g/s 2 = dyn.
Damit wird die Einheit für q: cm 3/2 g 1/2 s −1 . Es gilt: 1 Cb = 1 As = 10 c cm 3/2 g 1/2 s −1 (c in m/s) =
2.998 · 10 9 esu. Der Nachteil sind gebrochene Exponenten für abgeleitete Grössen.
Im elektromagnetischen cgs-System gilt: 1 Cb = 0.1 cm 1/2 g 1/2 = 0.1 emu.
5 In der Quantenfeldtheorie erhält man ein Potential ∝ 1 r
und damit ein Kraftgesetz ∝
1
r 2 für masselose
Austauschteilchen, für die elektromagnetische Wechselwirkung ist dies das Photon. Daher hat auch die
Gravitation mit dem masselosen Graviton bis auf die Konstante dasselbe Kraftgesetz. Die heutige Grenze
der Photonenmasse ist m γ < 3·10 −27 eV/c 2 = 5·10 −43 g. Ist das Austauschteilchen nicht masselos, dann
muss das Potential modifiziert werden zu ∝ 1 r · e−r mc2 /¯hc , wie bei der schwachen Wechselwirkung mit
den massiven W ± -Bosonen als Austauschteilchen.
4

✛ ❍❨ ❅■ ❆❆❑ ✻ ✁✁✕ ✒
⃗r ❅❘
✟✯ Das Feld einer Punktladung Q ist
✲ +q
✟✙ ❍❥ E(⃗r) ⃗
✠ ❆❆❯ ❅❘
⃗E =
Q⃗r mit ⃗
Q⃗r F = ✁✁☛ ❄
4πε ◦ r 3 4πε ◦ r 3q = Eq ⃗
❆
❍❥ ❅❘ ❆❯ ❄✁☛
✁ ✠ ✟✙
✲ ✛
✟✯ ❍❨
✒
✻ ❅■
✁ ✁✕ ❆❑ ❆
−q
E(⃗r) ⃗
2.3 Das elektrische Potential
Das elektrische Feld einer Punktladung ist ein Zentralfeld ⃗ E = ⃗ E(⃗r). Der Vektor zeigt
(für eine negative Ladung) immer auf denselben Punkt und der Betrag ist eine beliebige
Funktion von r. Das Feld einer beliebigen Ladungsverteilung kann durch Überlagerung
der Zentralfelder der einzelnen Ladungen gebildet werden. Analog zur Mechanik ist das
von den Ladungen erzeugte Feld konservativ und es gelten die folgenden vier äquivalenten
Aussagen über die Coulomb-Kraft:
1. Das Linienintegal
∫2
1
⃗F d⃗r = q
∫2
1
⃗E d⃗r = W 1→2
der Kraft, also die Arbeit, die das elektrische Feld leisten muss,
um die Ladung q vom Punkt 1 nach 2 zu verschieben, ist unabhängig
vom Weg.
2. Das Linienintegral über einen geschlossenen Weg verschwindet
✤2
✒
✣
✜
⃗E
✟ ✟✟✟✟✯
1
✢
✲
als eine Konsequenz von 1.
3. Das elektrostatische Potential
∮
⃗F d⃗r = q
∮
⃗E d⃗r = 0
★✥
⃗E
✟ ✟✟✟✟✯
✘ ✘ ✘ ✘✘✿
✧✦ ✛
✲
Es existiert eine skalare Funktion, aus der durch Gradientenbildung die Kraft ⃗ F
berechnet wird. Während in der Mechanik die Beziehung ⃗ F = −∇V benutzt wird
und V die potentielle Energie ist, verwendet man in der Elektrostatik die potentielle
Energie pro Ladungseinheit, d.h. das elektrostatische Potential 6
⃗E . = −∇V = −
[
⃗i ∂V
∂x + ⃗j ∂V
∂y + ⃗ k ∂V ]
∂z
Die vom elektrischen Feld geleistete Arbeit ist damit
∫2
W 1→2 = q
1
⃗E d⃗r = −q[V (2) − V (1)],
V (2) − V (1) ist die Potentialdifferenz oder die Spannung zwischen 1 und 2.
6 Für das elektrostatische Potential wird wieder der Buchstabe V benutzt, da in diesem Kapitel keine
mechanischen Potentiale behandelt werden.
(3)
5

4. Für das konservative elektrostatische Feld gilt wie auch in der Mechanik
rot ⃗ E = ∇ × ⃗ E = 0
Das elektrostatische Feld ist wirbelfrei und es gibt keine geschlossenen Feldlinien
in der Elektrostatik. Die Feldlinien beginnen in positiven und enden in negativen
Ladungen.
Die Dimension des Potentials ist [V ] =[Feldstärke][Länge]= Nm
As
und die Einheit ist
Volt [V] also
Newton
Coulomb Meter = Volt = N Cb m = N A s m = V
Die Einheit der Feldstärke E kann damit auch als 1
As N = 1 m V geschrieben werden.
Jedem Punkt des elektrostatischen Feldes werden die zwei Grössen der Vektor E ⃗ und
der Skalar V zugeordnet. Wie in der Mechanik ist V nur bis auf eine additive Konstante
bestimmt und es muss ein Bezugspunkt gewählt werden, auf den alle Potentiale bezogen
werden. In der Praxis wird oft ein Punkt im Unendlichen oder ein ausgezeichneter
Punkt (Erde) auf das Potential Null festgesetzt. Im folgenden sind einige Beispiele für
Feldstärken und Potentiale berechnet; beachte, dass viele Beispiele wie 1.-4. einfacher mit
dem Gauss’schen Satz Gl. (7) gelöst werden können.
1. Feld und Potential einer Punktladung Q
Mit dem Coulombschen Gesetz Gl. (2) F ⃗ = 1
✛✘
V (r)
✛ ❍❨ ❅■ ❆❆❑ ✻ ✁✁✕ ✒
✟✯
F
⃗E(⃗r) = ⃗
Q
✲
q = 1 Q ⃗r
4πε
✟✙ ⃗r
✚✙
❆ ❆❯ ❍❥ E ⃗ ◦ r 2 r
✠ ❆❆❯ ❅❘ ✁✁☛ ❄ Das Potential ist mit der vernünftigen Annahme
V ∞ = V (r = ∞) = 0
∫ ∞
V (r) − V ∞ = ⃗E · d⃗r = Q ∫ ∞ ⃗r · d⃗r
= Q
r 4πε ◦ r r 3 4πε ◦ r
4πε ◦
Qq
r 2 ⃗r
r ist
Feld einer
Punktladung Q
⇒ V (r) = 1 Q
4πε ◦ r
Die Aequipotentialflächen sind konzentrische Kugelflächen. Das E-Feld steht als Folge
der Beziehung ⃗ E = −∇V senkrecht auf den Äquipotentialflächen.
2. Das Feld eines ∞ langen, uniform geladenen, geraden Drahtes
dx ′ ✻
❅
❅
❅
❅
r ❅ ✒✲
ϑ
dE
⃗ ❅❘ dE ⃗ ′
R
dx ✻
Aus Symmetriegründen muss ⃗ E für einen positiv geladenen,
∞ langen Draht radial zylindersymmetrisch nach aussen
stehen, E ϕ = 0. Das Feld der Ladung dQ = λdx ′ des Elementes
dx ′ (λ = Ladung/Längeneinheit, As/m) beträgt:
dE ′ =
λdx′ und |dE| 4πε ◦ R ⃗ = 2λ cos ϑ dx
2 4πε ◦ R 2
für das der beiden Stücke dx und dx ′ .
damit ist mit R = r
∫
R dϑ
, dx =
cos ϑ cos ϑ , E =
6
dE =
2λ ∫ π/2
cosϑdϑ =
4πε ◦ r 0
(4)
(5)
λ
2πε ◦ r .

Das Feld nimmt linear mit 1/r ab. V =
λ ln R 1 λ
, V (R) = 0, E =
2πε ◦ r 2πε ◦ r
(6)
3. Potential eines uniform geladenen geraden Leiters (Koaxialleiter)
Das Potential im Abstand R sei 0. Damit ist mit
Gl. (6)
r
R
E =
λ
2πε ◦ r
⇒ V (r) =
λ ∫ R dr
2πε ◦ r r =
λ
2πε ◦
ln R r .
4. Das Feld einer uniform geladenen unendlich grossen Platte
Aus Symmetriegründen steht ⃗ E senkrecht zur Platte.
dE n
In Analogie zu 2. ist dE n = dQ
4πε ◦ R 2 cos ϑ
→
ϑ
r
R
dϑ
E ist unabhängig vom Abstand.
E=0
→
E=E1+E2
+
E=0
-
→
E2
→
→
E1
Q2
Q1
dQ = 2πrσdr, σ = Flächenladungsdichte [As/m 2 ],
r = R sin ϑ,
∫
E =
dr = R dϑ
cos ϑ
(s.Fig.),
dE n = σ ∫ π/2
sin ϑ dϑ = σ
2ε ◦ 0 2ε ◦
V = σd
2ε ◦
, V (0) = 0, E = σ
2ε ◦
Für zwei parallele, entgegengesetzt gleich geladene
Platten (Kondensator) erhält man die anziehende
d✻✻✻ E=σ/ε◦ Kraft: F 12 = E 1 Q 2 = σQ 2
= Q 1Q 2
2ε ◦ 2ε ◦ A
unabhängig vom Abstand, da mit
A = Plattenfläche ≫ d 2 das Feld bis auf Randeffekte
homogen ist. Das Feld der beiden Platten ist die
Vektorsumme zwischen den Platten: E = σ/ε ◦
und ausserhalb: E = 0.
Das E-Feld der unendlichen Platte und das Feld im Kondensator unterscheiden sich
um einen Faktor zwei, da die Platte symmetrisch von den positiven Ladungen ein
E-Feld nach +∞ und −∞ und der Kondensator nur zwischen den Platten E = σ/ε ◦
aber aussen null hat.
5. Beliebig verteilte Punktladungen Q 1 · · ·Q n
Für die konservative Coulombkraft gilt das Superpositionsprinzip. Für n Ladungen
Q n an den Orten ⃗r n ist damit die resultierende Kraft auf eine Ladung q am Ort
⃗r
7

Q i
❝ |⃗r − ⃗r i |
✻❅
❅
⃗r i ❅❅❘q
✟ ✟✟ ✟✯
⃗r
∑
F(⃗r) ⃗ n = ⃗F i = q
i=1
∫ r
V (⃗r) = −
∞
n∑
⃗E i = qE
⃗
i=1
∫ r
⃗E d⃗r = −
∞
n∑ n∑
⃗E i d⃗r =
i=1 i=1
und damit das Potential
V i = 1
4πε ◦ n ∑
i=1
Q i (⃗r i )
|⃗r − ⃗r i |
Feldstärke und Potential sind additiv, wobei für die Feldstärke der Vektorcharakter
zu beachten ist.
6. Kontinuierliche Ladungsverteilungen
Für einen geladenen Körper, bei dem die Ladung kontinuierlich über das ganze
Volumen verteilt ist, kann eine Ladungsdichte
ρ(⃗r Q ) = dQ
dτ
definiert werden.
dQ ist die in einem Volumenelement dτ an der Stelle ⃗r Q enthaltene Ladung.
0
r Q
dτ
r
dQ
r–
r Q
dE
dQ erzeugt am Ort ⃗r die Feldstärke
d ⃗ E = 1
4πε ◦
ρ(⃗r Q )dτ
|⃗r − ⃗r Q | 3(⃗r − ⃗r Q).
Analog zum Ergebnis des vorhergehenden Beispiels erhält man die totale Feldstärke
im Punkte ⃗r mit einer Integration von d ⃗ E über die gesamte Ladungsverteilung des
Körpers, wobei V (r = ∞) = 0 gesetzt wird:
⃗E(⃗r) = 1
4πε ◦
∫
Körper
ρ(⃗r Q )(⃗r − ⃗r Q )
|⃗r − ⃗r Q | 3 dτ ⇒ Potential V (⃗r) = 1
4πε ◦
∫
7. Eine beliebige flächenhafte Ladungsverteilung
Körper
ρ(⃗r Q )
|⃗r − ⃗r Q | dτ.
kann in analoger Weise berechnet werden. Das Flächenelement dA an der Stelle ⃗r Q
der Fläche A enthalte die Ladung dQ und damit die Flächenladungsdichte
dQ
r Q
0 r
dA
⃗E = 1
4πε ◦
∫
r–
r Q
Fläche A
dE
σ(⃗r Q ) = dQ
dA .
dQ erzeugt in ⃗r die Feldstärke
d ⃗ E = 1
4πε ◦
σ(⃗r Q ) dA
|⃗r − ⃗r Q | 3 (⃗r − ⃗r Q)
σ(⃗r Q ) (⃗r − ⃗r Q )
|⃗r − ⃗r Q | 3 dA sowie V = 1
4πε ◦
∫
Fläche A
und
σ(⃗r Q )
|⃗r − ⃗r Q | dA.
Diese direkte Integrations- oder Summationsmethode kann für vorgegebene Ladungsverteilungen
angewendet werden. Als Beispiel berechnen wir das Feld einer
homogen geladenen Kreisscheibe vom Radius a auf der Symmetrieachse.
Ein Flächenelement dA = r ′ dr ′ dϕ erzeugt ein Feld |d ⃗ E| = 1
4πε ◦
σ dA
r 2 .
8

dA'
⇒
→
E
r
ϑ
r'
ϑ
z
ϕ
y
a
x
Wegen der Symmetrie 7 der Anordnung hat das totale
Feld auf der Achse nur eine z-Komponente
∫
E =
∫
dE z =
dE cos ϑ =
mit dA ′ = 2πr ′ dr ′ und cos ϑ = z r =
∫ cos ϑ dA
′ ∫ a
z 2πr ′
= dr ′ z 2π
a
= −
r 2 = 2π
(r ′2 + z 2 ) 3 2 (r ′2 + z 2 ) 1 2
∣
0
0
⇒ E = E(z) = σ (
)
z
1 − √
2ε ◦ a2 + z 2
σ
4πε ◦
∫ cos ϑ dA
′
r 2 ,
(
1 −
z
√
r
′2
+ z 2
)
z
√ .
a2 + z 2
mit den Grenzfällen E(z = 0) = σ und E(a → ∞) = σ
2ε ◦ 2ε ◦
Der zweite Fall entspricht einer unendlich ausgedehnten mit Ladung belegten Ebene,
das von ihr erzeugte E-Feld ist unabhängig vom Abstand von der Ebene.
2.4 Gauss’scher Satz und Poisson’sche Differentialgleichung
In der Mechanik (Phys AI Kap.6.3) haben wir gezeigt, dass für die Coulombkraft, wegen
ihrer r −2 -Abhängigkeit, die Flussregel als ein Sonderfall des allgemeineren Satzes von
Gauss
(auch mit anschaulicher Intuition) gilt:
E
∮
Φ =
∮
⃗E · dA ⃗ =
E n dA = 1 ε ◦
∑
i
Q i = Q innen
ε ◦
(7)
E n
dA
Q
dA
E n
E
A
E n ist die Normalkomponente des E-Feldes an der Stelle
eines Flächenelementes dA einer geschlossenen Fläche 8 .
In Worten besagt die Flussregel: Der Fluss Φ des elektrischen
Feldes durch eine geschlossenen Fläche hängt nur von der eingeschlossenen
Ladung Q ab und ist unabhängig von der Form von
A und der Verteilung von Q, wie dies für den Fluss des Gravitationsfeldes
in der Mechanik (Phys AI Kap.6.3) gezeigt wurde.
Alle nicht eingeschlossenen Ladungen tragen nicht zum Fluss bei
und insbesondere verschwindet der Fluss, wenn die geschlossene
Fläche keine Ladungen einschliesst.
7 Symmetrieüberlegungen können sehr häufig eine Rechnung wesentlich vereinfachen und zum
Verständnis eines Problems beitragen.
Im vorliegenden Fall ist die Scheibe eine Spiegelebene und bezüglich der z-Achse herrscht Rotationssymmetrie,
d.h. eine Drehung um einen beliebigen Winkel ϕ ändert das E-Feld ⃗ nicht. Wäre E y ≠ 0
und E x = 0, dann wäre diese Rotationssymmetrie verletzt. Die Symmetrie verlangt daher E y = 0 und
E x = 0 auf der Symmetrieachse. Ein Drehsinn um die z-Achse ist nicht ausgezeichnet, daher kann es auch
keine geschlossene E ϕ -Komponente um die z-Achse geben, die eine Drehrichtung auszeichnen würde. Im
elektrostatischen Fall ist zusätzlich ∇ × E ⃗ = 0 und die Feldlinien sind nicht geschlossen (wirbelfrei).
8 Bei einer Integration über eine geschlossene Kugelfläche ist A = 4π · r 2 , wegen dieses Faktors 4π
wurde im Coulombgesetz in SI-Einheiten Gl. (2) der Faktor 4π eingeführt, der dann im Gauss’schen Satz
wegfällt. In cgs-Einheiten ist dagegen Φ = 4π Q gewählt worden.
9

R
V
P
E
→
a
Eine Anwendung der Flussregel sei neben den Beispielen 1.-4. S.6 eine
Kugel mit Radius a, die homogen kugelsymmetrisch mit einer
konstanten Ladungsdichte ρ = ρ(r) =konst. belegt ist. Die totale
Ladung ist Q =
∫
Kugel
ρ(r) dτ,
dτ : Volumenelement der Kugel.
Aus der Symmetrie der Kugel müssen die Feldlinien des ⃗ E-Feldes radial verlaufen, d.h.
E = E(r). Mit der Flussregel für eine Kugelfläche mit dem Radius R konzentrisch zur
Kugel a und dem ⃗ E-Feld E n = E(r) gilt
∮
Φ =
∮
E n dA = E(R)
dA = E(R) 4π R 2 = Q ε ◦
und damit für das Feld
E(R) = 1
4πε ◦
Q
R 2 für (R ≥ a)
Dies ist das gleiche Feld wie das einer Punktladung Gl. (4) und wir können das Potential
von Gl. (5) übernehmen:
V (R) = 1 Q
4πε ◦ R
für (R ≥ a) (8)
Diese Ergebnisse gelten für kugelsymmetrische Ladungsverteilungen ρ(⃗r) = ρ(r). Auch in
diesem Fall konnte das Integral der Flussregel (Gauss’scher Satz) unter der Ausnutzung
der Symmetrieeigenschaften gelöst werden.
Für
eine kontinuierliche Ladungsverteilung mit der Dichte ρ(⃗r) lässt sich der Gauss’sche
Satz auch in differentieller Form schreiben. Ist A die Oberfläche eines Volumenelementes
dτ = dx ·dy · dz, das die Ladung dQ = ρ ·dτ enthält, so ist der Feldfluss dΦ Gl. (7) durch
✻ z ✘ ✘ ✻ Ez(z+dz) die einzelnen Oberflächenelemente dieses Würfels:
✏ dx ✏✶ Ey(y+dy)
✲ dΦ = [E x (x + dx) − E x (x)]dydz + [E y (y + dy) − E y (y)]dzdx+
E x(x) ✏✶ dz E Ey(y) x(x+dx)
✑ (x,y,z)
dy
+[E z (z + dz) − E z (z)] dxdy = ρ dxdydz
✏✏✶ y E z(z)
✲x
ε ◦
Dividieren wir durch das Volumenelement dxdy dz und nehmen den Grenzfall
dx, dy, dz → 0, so erhalten wir die partielle Differentialgleichung
∂E x
∂x + ∂E y
∂y + ∂E z
∂z = ρ ε ◦
⇒ div ⃗ E = ∇ · ⃗E = ρ ε ◦
1. Maxwell
Gleichung
Diese 1. Maxwellsche Gleichung ohne Medium formuliert die Tatsache, dass Ladungen
die Quellen des elektrischen Feldes ⃗ E sind 9 .
Das ⃗ E-Feld wurde aus der konservativen Coulomb-Kraft abgeleitet und kann daher
mit dem Gradienten des Potentials V nach Gl. (3) dargestellt werden zu ⃗ E = −∇V .
9 Man vergleiche dieses Ergebnis mit der Kontinuitätsgleichung in der Hydromechanik
(Phys AI Kap.12.3.1.) bei der keine Quellen auftraten und in Analogie ρ = 0 gesetzt wurde.
(9)
10

Verknüpft man die beiden Gleichungen (9) und (3) miteinander, so erhält man wie auch
in der Hydromechanik (Phys AI Kap.12.3.5.):
−∇ · ⃗E = ∇ · ∇V = div grad V = ∂2 V
∂x + ∂2 V
2 ∂y + ∂2 V
= ∆V = − ρ Poisson’
2 ∂z 2 ε ◦ Diff.gl.
(10)
Die beiden Gleichungen (3) und (10) sind differentielle Beziehungen 10 zwischen den Quellen
ρ(⃗r) und den von ihnen erzeugten Feldern ⃗ E(⃗r) bzw. V (⃗r). Es sind die fundamentalen
Differentialgleichungen der Elektrostatik und als solche eine direkte Konsequenz des Coulombschen
Gesetzes.
Aus der Poisson’schen Differentialgleichung 11 kann für eine vorgegebene Ladungsverteilung
im Prinzip das Potential und mit Gl. (3) das elektrische Feld berechnet werden. Für
kugelsymmetrische Verteilungen ρ(⃗r) = ρ(r) sind die Lösungen oft einfach, man beachte
dabei, dass im Aussenraum immer das reine Coulombfeld V (r) ∝ 1/r herrscht 12 . Für nicht
kugelsymmetrische Verteilungen entwickelt man oft das Potential nach Momenten der Ladungsverteilung
(vgl. auch Kap. 2.3), z.B. Quadrupolmomente und Hexadekapolmomente
eines deformierten (nichtkugelsymmetrischen) Atomkerns oder einer nichtkugelsymmetrischen
Elektronenhülle in der Atomphysik (z.B. Quadrupol-Hf-Struktur, NQR).
2.4.1 Feldlinien oder Stromlinien eines Vektorfeldes †
Ein skalares Feld (z.B. Potential einer konservativen Kraft oder eines elektrischen Feldes)
kann direkt dargestellt werden 13 als Flächen mit V =konst. (z.B. Kugelflächen für
eine Punktladung, Ebenen im Parallelkondensator). Der Vektor ⃗ F(⃗r) eines Vektorfeldes
dagegen kann nur am Ort ⃗r als ein Vektor dargestellt werden (z.B. Figur Seite 6). In
der Hydrodynamik (siehe Phys.AI Kap.12.3.3) geben die Stromlinien eines vektoriellen
Geschwindigkeitsfeldes die räumliche Bewegung eines Flüssigkeitselementes wieder. In der
Elektrostatik bezeichnen die Feldlinien die Startrichtung einer ruhenden Ladung in dem
Feld senkrecht zu den Potentiallinien. Feldlinien und auch Stromlinien sind damit die
räumlichen Kurven des Feldes, deren Tangenten dieselben Richtungen (nicht Betrag) wie
die Feldvektoren haben, d.h. es gilt 14 ⃗ F(⃗r) ‖ d⃗r und damit
dr →
P
→
r
→
F(r)
→
⃗F(⃗r) × d⃗r = 0 (11)
Dies ist die vektorielle Differentialgleichung der Feldlinien. In
Komponenten ist F x dy − F y dx = 0, F y dz − F z dy = 0
und F z dx − F x dz = 0 bzw.
dy
dx = F y
F x
,
dz
dy = F z
F y
,
dx
dz = F x
F z
(12)
10 In der Gl. (10) ist, wie schon in der Hydromechanik (Phys AI Kap.12.3.5.), ∇ · ∇ = ∆ der
Laplace Operator.
11 eine inhomogene Potentialgleichung. Die homogene Potentialgleichung wäre ohne Ladungen ∆V = 0.
12 Vergleiche dasselbe Problem für das Gravitationspotential einer homogen mit Masse verteilten Kugel.
13 R.Rothe ’Höhere Mathematik’ Teil III, S.129, 1953 Teubner,
W.R.Smythe ’Static and Dynamic Electricity’ Mc Graw Hill S.7 1968
14 Man kann auch setzen d⃗r = λE, ⃗ wobei λ eine Proportionalitätskonstante ist, damit wird
dx
E x
= dy
E y
= dz
E z
= λ
⇒ dy
dx = E y
E x
usw. in Übereinstimmung mit Gl.(12).
11

Die Lösungen dieser gekoppelten Differentialgleichungen sind als Funktion einer unabhängigen
Variablen t z.B. mit t = x zu bestimmen. Da in den Gl.(12) nur die Verhältnisse
der Komponenten der Feldvektoren auftreten, sind die Feldlinien unabhängig von
der Stärke des Feldes, das sich längs der Feldlinien ändert.
Vereinfacht nur in der zweidimensionalen x − y-Ebene mit F z = 0, dz = 0 gilt
für die Feldlinien 15
dy
dx = F y(x,y)
F x (x,y) . (13)
1. Das Dipolfeld zweier Ladungen im Abstand 2a
Als ein Beispiel soll das Dipolfeld zweier Ladungen q 1 und q 2 berechnet werden.
y
→
r 1
F(x,y)
4πε ◦ E x = q 1
· x + a + q 2
· x − a , 4πε
r 2
r1
2 r 1 r 2 ◦ E y = q 1
· y + q 2
· y
2 r 2 r1
2 r 1 r2
2 r 2
q a a
x
1 q 2
mit r1 2 = (x + a) 2 + y 2 , r2 2 = (x − a) 2 + y 2
Mit der Substitution u = x + a , v = x − a r1
2 und damit
y y
y = r 2 u2 2
2 +1,
y = 2 v2 +1 (14)
q 1 u
wird 4πε ◦ E x =
y 2 (1 + u 2 ) + q 2 v
3/2 y 2 (1 + v 2 ) 3/2, 4πε q 1
◦ E y =
y 2 (1 + u 2 ) + q 2
3/2 y 2 (1 + v 2 ) 3/2
dy
dx = E y
E x
=
q 1 (1 + v 2 ) 3/2 + q 2 (1 + u 2 ) 3/2
q 1 · u(1 + v 2 ) 3/2 + q 2 · v(1 + u 2 ) 3/2 (15)
Mit Gl.(14) ist x =
a(u + v)
u − v , y = 2a
u − v ,
a(du + dv)
dx = −
u − v
a(u + v)
(du − dv),
(u − v)
2
dy = −
2a
(u − v) 2(du − dv), dy
dx =
dv − du
udv − v du
dv − du
udv − v du = q 1 (1 + v 2 ) 3/2 + q 2 (1 + u 2 ) 3/2
q 1 · u(1 + v 2 ) 3/2 + q 2 · v(1 + u 2 ) 3/2
für u und v
∫
∫
q 1 du
(1 + u 2 ) = − 3/2
du
dv = −q 2 (1 + u 2 ) 3/2
q 1 (1 + v 2 )
Mit Gl.(14) sind dann
und mit Gl.(15) erhält man
und die Differentialgleichung
3/2,
die einfach integriert werden kann
q 2 dv
(1 + v 2 ) = konst. ⇒ √ q 1u
+ √ q 2v
= C
3/2 1 + u
2 1 + v
2
q 1 (x + a)
√
(x + a) 2 + y + q 2 (x − a)
√(x 2 − a) 2 + y = C (16)
2
die Feldlinien des elektrischen Dipols. Gl.(16) muss numerisch gelöst werden mit verschiedenen
Werten für C =konst. Das entspechende skalare Potential V (⃗r) ist numerisch
aus
V (⃗r) = q 1
+ q 2 q 1
= √
4πε ◦ r 1 4πε ◦ r 2 4πε ◦ (x + a) 2 + y + q 2
√
(17)
2 4πε ◦ (x − a) 2 + y 2
15
dy
dx = −F x(x,y)
ist dann die Differentialgleichung der Linien eines Feldes, das senkrecht auf den
F y (x,y)
Feldlinien der Gl.(13) steht und das damit auch das Potential darstellen kann.
12

erechenbar. Die Potentiallinien Gl.(17) stehen senkrecht zu den Feldlinien Gl.(16). In den
Figuren sind die Feldlinien und Potentiallinien für die beiden Fälle q 2 = −q 1 und q 2 = q 1
dargestellt. Man beachte, dass die Orthogonalität in den Figuren nur gewährleistet ist,
wenn die Massstäbe der x- und y-Achse identisch sind.
y/a
y/a
E →
E →
V
+ -
x/a
V
+
+
x/a
Potential und Feld eines elektrischen Dipols
4πε o aV/q→V=0, 1/4, ... 15/4; C/q→C=0, 1/8, ... 2
V=0 entspricht der y-Achse
Feld und Potential zweier gleicher Ladungen
4πε o aV/q→V=3/4, ... 15/4; C/q→C=0, 1/8, ... 2
Die Stärke des Feldes ist proportional zur Dichte der Feldlinien bzw. zur Dichte der
Potentiallinien. Die Potentiallinien für q 1 = q 2 = q sind für V > 2 zwei separate Linien, für
V < 2 eine gemeinsame Linie und für V = 2 zwei separate Linien mit einem gemeinsamen
’Kreuzungspunkt’; die Feldlinien für C = 0 entsprechen der y- und für C = 2 der x-Achse.
2. Berechnung der Feldlinien mit dem Gaussschen Satz
Die Feldlinien für den speziellen Fall von collinearen Ladungen längs der x-Achse und
damit auch für den Dipol mit zwei Ladungen, können mit dem Gaussschen Satz einfacher
als mit der allgemeineren, vorhergehenden Methode aufgrund der Symmetrie der
Anordnung berechnet werden. Die in der x-y-Ebene verlaufenden Feldlinien sind rotationssymmetrisch
um die x-Achse angeordnet.
Der Fluss durch die Fläche A bei x a innerhalb der Rotationsfläche
der Feldlinien ist gleich dem Fluss durch
y Feldlinie (x,y,z) die Fläche B bei x b , da keine Feldlinien durch die Rotationsfläche
austreten. Der gesamte Fluss C durch A
ist gegeben durch den Fluss aller Einzelladungen q i zu
q 1 q 2 q n
α 1 α 2 α n
C = q 1 Ω 1 + q 2 Ω 2 · · · + q n Ω n .
A
B x Er ist eine Konstante für alle x.
Ω 1 Ω 2 Ω n
z
∫ α i ∫2π
sin ϑ i dϑ i dϕ i
x
x b
Ω i =
= 1
a 4π 2 (1 − cosα i)
ϑ i =0 ϕ i =0
sind die auf 4π bezogenen Raumwinkel der Ladungen√
q i mit den Winkeln α i gegenüber
der Fläche A bei x a . Damit ist mit cosα i = (x − x i )/ (x − x i ) 2 + y 2
C =
n∑
i=1
q i
2 (1 − cosα i) ⇒ −C +
n∑
i=1
q i
2 = C′ =
n∑
i=1
q i (x − x i )
√(x − x i ) 2 + y 2,
13

y
q ✻
1 q 2
a a
✲ x
d.h. für zwei Ladungen im Abstand 2a symmetrisch zu x = 0 ist
C ′ =
q 1 (x + a)
√
(x + a) 2 + y + q 2 (x − a)
√
2 (x − a) 2 + y 2
die Gleichung für die Feldlinien in Übereinstimmung mit Gl.(16).
Eine weitere Methode zur Bestimmung der Feldlinien sind
die konformen Abbildungen, wie sie auch in der Hydrodynamik
(vgl. Phys.AI) angewendet werden. Ein Beispiel
für das elektrostatische Feld und Potential eines geladenen
Ellipsoiden ist in der Figur gezeigt.
x 2
cosh 2 a +
x 2
cos 2 a −
y2
= 1 sinh 2 a
y2
= 1 sin 2 a
Potential (Ellipsen)
Feldlinien (Hyperbeln)
2.5 Elektrostatische Felder von geladenen Leitern
Man unterscheidet elektrische Leiter, in denen elekrische Ladungen infolge der Anwesenheit
eines elektrischen Feldes zu fliessen beginnen, wie z.B. Metalle, sowie Isolatoren, in
denen dies nicht der Fall ist. Als erstes behandeln wir nur die elektrostatischen Eigenschaften
von Leitern.
In einem zunächst neutralen Leiter erzeugt eine zusätzlich in den Leiter gebrachte Ladung
ein elektrisches Feld und damit ein Kraft und Bewegung auf die freien Elektronen
des Leiters. Es entsteht ein interner elektrischer Strom, der die Ladungen so lange verschiebt,
bis die internen Felder auf Null reduziert worden sind. Es gibt dann keine Ströme
mehr und ein stationärer Zustand ist erreicht. An der Oberfläche des Leiters kann noch
ein elektrisches Feld existieren, es muss jedoch senkrecht zur Oberfläche stehen, da sonst
Ladungen an der Oberfläche verschoben werden könnten. In diesem stationären Fall ist
die Oberfläche eine Potentialfläche, da diese senkrecht zum E-Feld ⃗ steht.
Das Potential V ◦ an der Oberfläche muss dann auch im Innern des Leiters
herrschen. Bildet man nämlich das Linienintegral des E-Feldes ⃗ längs
E=0 .
E → eines Weges von einem Punkt 1 im Innern zu einem Punkt 2 auf der
1
2
Leiteroberfläche, dann gilt:
V
r
V 1 − V 2 =
∫ 2
1
⃗E innen d⃗s = 0 ⇒ V 1 = V 2 = V ◦ = konst.
Der Ort der Ladungen kann mit dem Gauss’schen Satz bestimmt werden. Ist A die Oberfläche
des Leiters mit der totalen Ladung Q, A ′ eine geschlossene Fläche ausserhalb und
A ′′ eine geschlossene Fläche innerhalb von A, dann gilt:
A''
Leiter
A
A'
∫
Φ(A ′′ ) =
∫
Φ(A ′ ) =
A ′′
A ′
E aussen
n dA = Q ε ◦
,
E innen
n dA = 0, da ⃗ E innen = 0.
14

Diese Beziehungen gelten auch für den Grenzfall A ′ → A und A ′′ → A, d.h. die Ladung
Q sitzt an der Oberfläche mit einer Flächenladungsdichte σ(⃗r) mit Q = ∫ A σ(⃗r)dA.
Den Zusammenhang der Feldstärke E ⃗ ◦ an der Oberfläche und σ erhält man aus dem
Gauss’schen Satz angewandt auf einen infinitesimalen Zylinder mit der Grundfläche
→
innerhalb und der Deckfläche ausserhalb des Leiters, sowie
E o dA →
den Mantelflächen senkrecht zur Oberfläche:
+ +++ +++ ++++ +++
→
+++
E +
1 =0 σ
dΦ = d ⃗ A · ⃗E ◦ = σ dA
ε ◦
, mit d ⃗ A ‖ ⃗ E ◦ ⇒ E ◦ = σ ε ◦
Das Feld an der Oberfläche ist damit der Ladungsdichte an der betreffenden Stelle proportional.
Zusammenfassend:
1. Im Gleichgewicht ist E im Innern gleich null. Die freien Ladungsträger
werden sich im Leiter solange verschieben, bis E = 0.
2. Im Innern eines Leiters gibt es keine Nettoladungen
(sonst wäre E innen ≠ 0).
3. Beim geladenen Leiter sitzt die Ladung an der Oberfläche.
4. Der gesamte Leiter besitzt im Gleichgewicht dasselbe Potential
V 1 − V 2 = ∫ ⃗ E
innen · d⃗r = 0.
5. Das E-Feld steht senkrecht auf der Oberfläche (Äquipotentialfläche).
6. Das E-Feld an der Oberfläche beträgt:
E = σ ε ◦
, σ = Oberflächenladungsdichte [As/m 2 ]
Auf Leitern mit einer unregelmässigen Oberfläche ist die Flächenladungsdichte nicht
konstant wie im folgenden gezeigt wird.
2.5.1 Elektrische Felder an Spitzen
Zwei geladene, weit voneinander entfernte Kugeln, die mit einem dünnen Draht miteinander
verbunden sind, haben das gleiche Potential mit Gl.(8) ist
✓✏ R ★✥ R 2
1
V = 1 q 1
= 1 q 2
⇒ q 1
= R 1
4πε ◦ R 1 4πε ◦ R 2 q 2 R 2
q
✒✑
1 q 2
✧✦ und σ 1 = q 1
, σ
V
V
4πR1
2 2 = q 2
4πR2
2
15

⇒ σ 1
σ 2
= q 1
q 2
· R2 2
R 2 1
= R 1
R 2
R 2 2
R 2 1
= R 2
R 1
oder σ 1 R 1 = σ 2 R 2 .
An scharfen Kanten oder Spitzen mit kleinem R ist also σ und
damit ⃗ E gross. Übersteigt ⃗ E einen Wert von ca. 3 · 10 6 V/m, so
wird die Luft leitend und es bildet sich eine Spitzenentladung
aus. Für grössere Ladungen muss man am Leiter Spitzen und
scharfe Ecken vermeiden.
2.5.2 Influenz
Q=0 - - -
--
+
+ E i =0
- ---
+
+++ +
- - -
--
- ---
+
++++++
+
++++++
Q>0
Die Influenz beruht auf der freien Beweglichkeit der Ladungen
in einem Leiter, d.h. die Trennung von positiver
und negativer Ladung eines anfänglich neutralen Leiters.
Bringt man in die Nähe eines ungeladenen Leiters eine Ladung
Q, so wird auf diesem eine Oberflächenladung durch
die Coulombkraft influenziert. Das resultierende Feld der
Ladung Q und der Oberflächenladungen ∫ Oberfläche σ dA = 0
muss im Innern des Leiters verschwinden. Durch Erden des
Leiters kann Ladung vom gleichen Vorzeichen wie Q abfliessen.
Der Leiter wird dadurch geladen.
2.5.3 Faradaysches Becherexperiment und van de Graaff Generator
+
+
+
- - -
-
-
+ -
+
+ - Q
+ -
- - - - ---
+
+
+
+
+
+
+
+
Q i
+
Q a
+
+
+
+
+
+
+
+ + V + + V + + V
(A) (B) (C) (D)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
In einem Leiter mit einem
Hohlraum muss die
Ladung auf der äusseren
Oberfläche sitzen und
der Hohlraum ist feldfrei.
Nach diesem Prinzip arbeitet
der Faradaykäfig
zur Abschirmung
elektrostatischer Felder sowie das Faradaysche Becherexperiment . Bringt man eine geladene
Metallkugel (Ladung Q) ohne Berühren in eine nicht geladene leitende Hohlkugel,
dann zeigt das Elektrometer die Spannung V an (A), durch Influenz werden die sich vorher
kompensierenden positiven und negativen Ladungsträger separiert. Beim Herausnehmen
wird wieder V = 0 (B). Beim Berühren des Bechers im Inneren zeigt das Elektrometer
aussen wiederum V (C), auch wenn die Kugel wieder herausgenommen wird, die positiven
Ladungen der Kugel und die negativen der Hohlkugel im Inneren haben sich kompensiert.
Die Hohlkugel ist nun mit Q aufgeladen 16 . Der Gauss’sche Satz Gl. (7) mit der Fläche im
Innern des Metalls d.h. ⃗ E = 0 und ausserhalb ⃗ E ≠ 0
ergibt:
∮
⃗E · d ⃗ A =
Q innen
ε ◦
= 0 ⇒ Q i = −Q ⇒ Q a = −Q i = Q.
Die Ladung auf der äusseren Oberfläche ist gleich Q. Dieser Vorgang kann mit zunehmender
Spannung V mehrmals wiederholt werden.
16 Eine einfachere Überlegung: Die Ladung +Q der Kugel verteilt sich beim Berühren im Innern der
Hohlkugel auf ihrer äusseren Oberfläche, so dass im Innern ⃗ E = 0 ist, die Kugel ist entladen.
16

Input
negative ions
Analyzing
magnet
Der Van de Graaff Generator benutzt das Prinzip des Faradayschen Becherexperimentes,
um hohe Spannungen zu erzeugen (vgl. die Figur):
Das nicht leitende Seiden- oder Plastikband wird bei C
A
durch Reibung oder effizienter durch eine Koronaentladung
+
F
aufgeladen und trägt die Ladung in das feldfreie Innere
der Metallhohlkugel A, wo sie bei F kontinuierlich übertragen
wird (hohes E-Feld zwischen Spitzen und Band). Die
Hohlkugel kann so auf rund 1 MV geladen werden. Spannungsbegrenzend
ist nur die Sprühentladung. Durch Betreiben
des Van de Graaffs in trockenem N 2 , CO 2 sowie
bei erhöhtem Druck sind höhere Spannungen bis 15 MV
C
D möglich (am alten Physik-Institut 5.5 MV). Ionen (Protonen
und schwerere ionisierte Kerne mit positiver La-
+20'000 V
~
dung) werden in einem Vakuum-Strahlrohr von der positiven
Elektrode A nach Erde beschleunigt.
Beim
Charging belt Terminal Negative Tandem Van de Graaff werden
vom Erdpotential negative
Deflection
ion
magnet
+ + + + +
source
Ionen zur positiven Elektrode
beschleunigt. In der Hochspannungselektrode
werden + + + + +
negati-
Target
ve Ionen z.B. H − mit einem
Positive ion beam Stripping canal
Stripper umgeladen 17
und darauf auf Erdpotential weiter beschleunigt. Der Tandem kann so kinetische Energien
von rund 30–40 MeV des Ions liefern.
2.5.4 Berechnung der Felder von Leitern
Die Felder geladener Leiter können nicht mehr einfach durch Superposition berechnet
werden, da die Ladungen beweglich sind. Kommt eine weitere Ladung in die Nähe, so
verschieben sich die vorhandenen so, dass die Leiter feldfrei bleiben. Es gibt zwei Typen
von Problemen:
1. Gegeben sind die Leiter 1, 2,. . . n und ihre Potentiale V 1 . . .V n . Gesucht sind die
Ladungen Q 1 . . .Q n . Im ladungsfreien Gebiet gilt die Poissongleichung
∆V = − ρ ε ◦
= 0,
die mit den Randbedingungen, den vorgegebenen Potentialen V 1 . . .V n an den Oberflächen,
gelöst wird. Die Lösung ist eindeutig
V = V (x,y,z) → ⃗ E(x,y,z) → σ i → Q i = ∫ A i
σ i dA.
2. Gegeben sind die Leiter 1, 2,. . . n und ihre Ladungen Q 1 . . .Q n . Die Potentiale lassen
sich in einfachen Fällen mit dem Gauss’sche Satz lösen. Die Lösungen sind wieder
eindeutig.
17 Negative Sauerstoffionen O − können im Stripper im Extremfall vollstädig zu O 8+ ionisiert werden.
Für eine sechsfache Ionisation erreicht man dann mit z.B. 5 MV Beschleunigungsspannung eine Energie
von 5·7 = 35 MeV. Ein weiterer Vorteil des Tandem ist, dass Ionenquelle und der beschleunigte Ionenstrahl
auf Erdpotential liegen.
17

Im allgemeinen sind Probleme dieser Art jedoch oft nicht exakt lösbar, es müssen dann
Näherungsmethoden oder das Experiment mit einem Ausmessen der Felder angewendet
werden. In einfachen Fällen ist der Begriff der Kapazität nützlich.
2.6 Die Kapazität elektrischer Leiter
Ein einzelner geladener Leiter hat ein Potential auf seiner Oberfläche, das proportional
zur aufgebrachten Ladung ist und nur von der Form des Leiters abhängt, d.h. Q ∝ V .
Den Proportionalitätsfaktor bzw. Geometriefaktor definiert man als
C . = Q V
die Kapazität des Leiters (18)
Für eine geladene Kugel ist das Potential Gl. (8)
★✥ V (r) ✎☞r R ✒ V (r) = 1 · Q und an der Oberfläche 4πε ◦ R = Q
4πε
✍✌
◦ r
V (R) = C.
✧✦
C =
Q gibt also die Ladung pro Potentialeinheit und damit das Fassungsvermögen,
die Kapazität des Leiters an 18 .
V (R)
Die gegenseitige Kapazität zweier Leiter ist definiert für zwei Leiter, die entgegengesetzt
gleiche Ladung tragen, wenn ihre Potentialdifferenz unabhängig ist von der Anwesenheit
weiterer Ladungen. Die Potentialdifferenz ist proportional zur Ladung Q und
hängt von der Form der Leiter und ihrer räumlichen Anordnung ab. Die beiden Leiter
bilden einen Kondensator 19 .
Es ist C =
Q
V 1 −V 2
die Kapazität des Kondensators.
+
+ + +
+
+
Ihre Einheit ist 1 Coulomb/Volt=1 Farad=1 Cb/V=1 F.
+ - -
+
+
-
- - -
Q
+ -Q +
+
+
+
+ +
+
+ + V1 - - V 2
Kondensatorsymbol
In der Praxis werden meistens viel kleinere Kapazitäten benützt:
1 µF=10 −6 F, 1 nF=10 −9 F, 1 pF=10 −12 F,
Mit einem Kondensator grosser Kapazität kann man viel Ladung
bei kleiner Potentialdifferenz V 1 − V 2 speichern.
Dies ist wichtig, da wegen der begrenzten Isolationsfähigkeit der Luft das
Potential eines Leiters nicht beliebig gesteigert werden kann. Kondensatoren
spielen in der Technik eine grosse Rolle. Sie können, um die gewünschte
Grösse zu erhalten, in Parallel- oder in Serienanordnung geschaltet werden:
An jedem der n Kondensatoren liegt die
V 1 V 1
gleiche Potentialdifferenz. Die Gesamtladung
gleichen Vorzeichens ist mit der
⇒ C
V 2
Kapazitätsdefinition:
n∑
Q i , C i = Q i
n∑
⇒ Q = (V 1 −V 2 ) C i = C(V 1 −V 2 )
V 1 − V 2
Parallelanordnung (addiere Q)
C 1 C 2 C n
V 2
Q = Q 1 +Q 2 +· · ·+Q n =
i=1
18 Die Kapazität wurde früher wegen dieses linearen Zusammenhanges mit dem Radius der Kugel auch
in cm angegeben: 1 cm=(1/9)·10 −11 F.
19 Die Leydener Flasche, eine innen und aussen mit Goldfolie beschichtete normale Flasche, war der erste
in Leyden im 18. Jh. entwickelte Kondensator. Benjamin Franklin fand heraus, dass die Flaschenform keinen
Einfluss hatte, schaltete beschichtete Fensterscheiben parallel und versuchte mit diesem Kondensator
einen Truthahn zu töten: “I tried to kill a turkey but nearly succeeded in killing a goose.”
Die Kondensatorflasche wurde unabhängig auch von Heinrich Kleist erfunden.
i=1
18

n∑
Die Gesammtkapazität ist C = C i
i=1
für Parallelschaltung
von Kondensatoren
Serienanordnung (addiere V )
C 1 C 2 C n C
⇒
V 1 V 2 V n V n+1 V 1 V n+1
n∑
V 1 − V n+1 = Q
i=1
1
C i
= Q C
Infolge der Influenz trägt jeder Kondensator die gleiche
Ladung Q und die Potentialdifferenz V 1 − V n+1
zwischen Anfang und Ende der n Kondensatoren und
die Gesamtkapazität ist:
⇒
2.6.1 Beispiele von Kondensatoren
1 C = n ∑
1
i=1
C i
für Serienschaltung
von Kondensatoren
1. Der Kugelkondensator besteht aus zwei konzentrischen Kugeln mit den Radien
⃗E(r)
★✥
✛✘
✻✓✏ ✒ R 1 und R 2 mit den Ladungen +Q und −Q.
✻ Das E-Feld ⃗ ist auf den Raum zwischen den beiden Kugeln beschränkt
R 2 R 1
❄ ✧✦
✚✙ ✒✑
(Gauss’scher Satz) und es muss kugelsymmetrisch sein E(⃗r) ⃗ = E(r). ⃗ ❄
Es gilt mit dem Gauss’schen Satz (Gl. (7):
E(r) · 4π r 2 = Q ε ◦
⇒ E(r) = Q
4πε ◦ r 2, V 1 − V 2 =
E(r) = V 1 − V 2
r 2 R 1 R 2
R 2 − R 1
,
∫R 2
R 1
Kapazität des
Kugelkondensators C =
Q
4πε ◦ r 2 dr = Q
4πε ◦
( 1
R 1
− 1 R 2
)
Q
V 1 − V 2
= 4πε ◦
R 1 R 2
R 2 − R 1
(19)
Im Grenzfall R 2 → ∞ erhält man wieder den Wert für die Einzelkapazität
C = 4πε ◦ R 1 der Kugel.
2. Der Plattenkondensator ist der Grenzfall von 1. mit R 2 − R 1 = d, R 1 → ∞ und
r ≈ R 1 ≈ R 2 . Mit Gl. (19) ist E(r) = V 1 − V 2
d
+ + + + + + + + + +
E
- - - - - - - - - -
V
Das Feld ist ausser am Plattenrand im Innern homogen.
Auf der Platte sitzt eine gleichförmige Ladungsdichte
σ = ε ◦ E. Unter Vernachlässigung der Randeffekte ist
mit der Plattenfläche A
Q = Aσ = ε ◦ A V 1 − V 2
, C =
d
Q A
= ε ◦
V 1 − V 2 d
Für A = 1 m 2 und d = 1 cm wird C = 8.85 nF.
Kapazität des
Plattenkondensators
3. Bestimmung der Elementarladung
R.A. Millikan fand 1906 (Nobelpreis 1923), dass die elektrische Ladung von Öltröpfchen
Q ein ganzzahliges Vielfaches einer Elementarladung ist:
Q = ne n = 0, ±1, ±2, ±3,...
Jede Ladung Q besteht also aus einem Überschuss oder Mangel einer ganzzahligen
Anzahl n von Elektronen der Ladung e = −1.6021773(5) · 10 −19 Cb, d.h. Q = ne.
19

Der Versuch von Millikan: Zwischen die Platten eines Kondensators werden mit
einem Zerstäuber mikroskopisch kleine Öltröpfchen geblasen. Die durch Reibung
geladenen Tröpfchen erfahren im E-Feld (E = V/d) eine Kraft qE. Der Versuch
wird in zwei Schritten durchgeführt:
V
❝✻ neE
❄mg
• Durch Variation von V wird das Tröpfchen zum Schweben gebracht.
Es gilt dann: qE = mg = qV/d.
• E abschalten. Das Tröpfchen fällt frei. Die sich einstellende konstante
Fallgeschwindigkeit v ∞ beträgt: 6πηav ∞ = mg.
Zwischen m und dem Radius a besteht die Beziehung: m = 4π 3 a3 ρ. Aus den drei
Gleichungen folgt: q = 9π d √
2η3 v∞
3
V gρ .
Für sehr kleine Tröpfchen müssen als Folge der Brownschen Bewegung Korrekturen
angebracht werden (siehe Praktikumsversuch). Experimentell bestimmt werden die
Dichte des Öles ρ, die Viskosität η der Luft, die Geschwindigkeit v ∞ des Tröpfchens
ohne E-Feld, der Plattenabstand d und die Spannung V , bei der das Tröpfchen
schwebt.
Es ist bemerkenswert ehrlich, dass Millikan in seiner Arbeit [Phil. Mag. J. of Science (London) Vol.6 No.110 1919]
über eine einzige beobachtete 2/3e-Ladung berichtet, wie sie heute für Quarks gefordert wird 20 :
’ ...not agreed with the result of the other observations, and consequently I felt obliged to discard them as it was.
In the third place, I have discarded one uncertain and unduplicated observation apparently upon a singly charged
drop, which gave a value of the charge on the drop some 30 per cent lower than the final value of e. With these
exeptions all of the data in our note-books are given below. ... ’
4. Feld und Potential des elektrischen Dipols (Vgl. Übung 1, Kap. 2.4.1)
V =
q
4πε ◦
( 1
r +
− 1
r −
)
, V (r ≫ l) ≃ 1
4πε ◦
⃗p · ⃗r
r 3 , ⃗ E = − ⃗ ∇V ≃
3(⃗p · ⃗r)⃗r − r 2 ⃗p
4πε ◦ r 5 .
⃗ + +q
-q l
- r
ϕ r +
r -
Das elektrische Dipolmoment (vgl.
Gl. (20) als ⃗p = q · ⃗l mit ⃗ l dem Abstand
zwischen +q und −q.
Monopol: V ∝ 1/r E ∝ 1/r 2
Dipol: V ∝ 1/r 2 E ∝ 1/r 3
Quadrupol: V ∝ 1/r 3 E ∝ 1/r 4
etc.
Beispiele von permanenten
Dipolmomenten
21 p in 10 −30 mAs:
HCl 3.43
CO 0.40
H 2 O 6.2
NH 3 5.0
5. Der Zylinderkondensator besteht aus zwei konzentrischen Zylindern der Länge
l, die gross ist gegenüber den Radien R 1 und R 2 . Das Feld ist axialsymmetrisch und
existiert bis auf Randeffekte nur im Raum zwischen den Zylindern, d.h. E = E(r).
20 Neue Suchen nach freien Quarks mit 2/3 oder -1/3 Ladungen waren bisher alle erfolglos:
Phys.Rev.Letters 38(1977)1011 u. 1255, Phys.Rev.Letters 48(1981)947, Phys.Rev.Letters 51(1983)731,
Phys.Rev.Letters 54(1985)1472, Phys.Letters 153(1985)188, Ann.Rev.Nucl.Part.Sc. 28(1978)327,
Rev.Mod.Phys. 49(1977)717.
21 Veraltete Einheit: 1 Debye = 10 −18 cm 5/2 g 1/2 s −1 = 3.336 · 10 −30 mAs ≃ e · 0.208 Å
20

+Q
V 1
R 1
R 2
-Q
l
V 2
Mit dem Gauss’schen Satz mit R 1 < r < R 2 ist
V 1 − V 2 =
2πrl E(r) = Q ε ◦
⇒ E(r) = Q
2πε ◦ rl
∫R 2
R 1
E dr =
Q
2πε ◦ l ln R 2
R 1
⇒ E(r) = V 1 − V 2
r ln (R 2 /R 1 )
C =
Q l
= 2πε ◦
V 1 − V 2 ln(R 2 /R 1 )
Kapazität des
Zylinderkondensators
-Q
6. Die Methode der Spiegelladung benutzt die Symmetrie der Ebene einer entsprechenden
Anordnung von Ladungen. Zunächst sei das Feld eines elektrischen Dipols,
d.h. zwei Ladungen +Q und −Q im festen Abstand 2d nach dem Superpositionsprinzip
berechnet. Im Punkt P der x-y-Ebene ist dann das Potential
y
S
V (x,y) = 1 ( Q
− Q )
=
S -
4πε ◦ r 1 r 2 ⎛
⎞
x
= Q 1
⎝√
- +
+ +Q 4πε ◦
+Q
(d − x) 2 + y − 1
√
⎠
2 (d + x) 2 + y 2 In der Symmetrieebene mit x = 0 ist das Potential überall
null und die Feldlinien stehen senkrecht zu dieser
r1 r2
P(x,y)
- Ebene. In die Symmetrieebene könnte daher eine leitende
Folie gesetzt werden ohne das Feld zu d d
d
stören.
Dies ist aber das Potential und das Feld einer einzelnen punktförmigen Ladung
gegenüber einer leitenden Platte und die Spiegelladung −Q dient dann nur zur
Berechnung. Auf die Ladung +Q wirkt die anziehende Kraft der Spiegelladung,
diese Kraft spielt eine Rolle bei der Feldemission von Elektronen (Glühkathode).
2.7 Isotrope Dielektrika
Das Coulombsche Gesetz in der Form von Gl. (2) ist nur für die zwei Ladungen Q 1 und Q 2
im Vakuum gültig. Versuche mit der Cavendish-Drehwaage mit flüssigen oder gasförmigen
Isolatoren zwischen den beiden Ladungen ergeben stets Kräfte, die kleiner sind als jene,
die im Vakuum auftreten. Das Medium, der Isolator zwischen den Ladungen, nach M.
Faraday Dielektrikum genannt, hat also einen Einfluss auf die elektrischen Felder.
In der Natur gibt es keine vollkommenden Nichtleiter bzw. Isolatoren, jedoch ist der Ladungstransport
in einem Isolator so gering, dass wir Isolatoren in sehr guter Näherung als
ideale Nichtleiter behandeln können. Isolatoren sind für das elektrische Feld durchlässig,
während Leiter das Feld abschirmen. Man bezeichnet Isolatoren als Dielektrika.
Zum Spannungsbegriff V = ∫ Ed⃗r ⃗ in einem Plattenkondensator mit Dielektrikum:
Für einem Plattenkondensator, in dem in der oberen Hälfte
2 Dielektrikum 1
ein Dielektrikum steckt, muss nach der Definition der Spannung
als Arbeit pro Ladungseinheit W = q ∫ Ed⃗r ⃗ = qV , die
3
4
Spannung zwischen den Punkten 2-1 und 3-4 gleich sein sowie
+ − die Arbeit über den Weg 1-2-3-4 null sein. D.h.:
21

(i) Die Wege 2-3 und 4-1 laufen auf Äquipotentialflächen und die Arbeit ist null.
(ii) Aus der Nichtexistenz des Perpetuum mobile 1. Art muss für die Arbeit gelten
W 1−2 = −W 3−4 .
Die Spannungsdefinition mit oder ohne ein Dielektrikum bleibt damit gleich.
Der Einfluss nichtleitender Materie (Isolatoren, Dielektrika) auf elektrische Felder wurde
in den vorhergehenden Kapiteln nicht betrachtet. Das Experiment zeigt jedoch folgende
Wirkung:
(i) Wird ein Dielektrikum zwischen die Platten eines geladenen Kondensators geschoben,
wobei sich die Ladung nicht ändert, so verkleinert sich die ursprüngliche Potentialdifferenz
V 1 − V 2 , resp. die elektrische Feldstärke ⃗ E oder der effektive Plattenabstand wird
reduziert. Die Verkleinerung hängt vom speziellen Material ab.
+Q
−Q
✤✜
✁
❄E ⃗ ❄
✻ d ✁ ❆ ❆ V 1 − V 2
✣✢= V
+Q
−Q
Q =konst.
✤✜
✁
❄E ⃗ ′ < E ⃗ ✁ ❆ ❆ V 1 ′ − V 2
′
✣✢= V ′ < V
(ii) Wird ein Dielektrikum zwischen die Platten
eines geladenen Kondensators geschoben, +Q ′
✎☞
wobei mit einer angelegten Batterie die Spannung
konstant gehalten wird, dann erhöht sich ❄E
⃗ Q ′ > Q
✍✌
✒ I
die Ladung des Kondensators und es fliesst ein −Q ′
V =konst.
Strom.
Mikroskopisch liegt der Grund darin, dass auch Isolatoren aus positiven und negativen
Ladungen bestehen. Wird nun ein Isolator in ein elektrische Feld gebracht, so können
in den Atomen elektrische Dipolmomente induziert werden oder in Molekülen bereits
vorhandene Dipolmomente werden im Feld ausgerichtet.
⃗ l
❥+
−q +q
✟ ❥−
✟✟✟✯ Das Dipolmoment wird definiert 22 als ⃗p = . q · ⃗l (20)
✻✻✻✻✻✻✻✻⃗E
+σ p
± ± ± ± ± ± ± ± ±
± ± ± ± ± ± ± ± ±
± ± ± ± ± ± ± ± ±
± ± ± ± ± ± ± ± ±
⃗F = −q ⃗ ⃗ l
E
✛ ✟ ❥−
✟✟✟✯
Der Abstand ⃗ l ist ein Mass für die Asymmetrie der Ladungen.
Es werden damit im äusseren elektrischen Feld positive und
negative Ladungen gegeneinander verschoben; die Materie
wird polarisiert. Während sich die Ladungen im Inneren des
Körpers immer noch aufheben, treten an den Oberflächen Ladungen
+σ p , −σ p auf, wobei der Körper als ganzes neutral
bleibt; er besitzt nun ein elektrisches Dipolmoment. Daher
−σ p
❥+ ✲
F ⃗ = qE
⃗
können auch Isolatoren in elektrischen Feldern Kräfte erfahren.
Ein konstantes Feld erzeugt ein Drehmoment ⃗ M = q·⃗l× ⃗ E
und dreht die einzelnen Dipole, während ein inhomogenes
mit dem Ort sich änderndes Feld auf die Dipole eine Kraft ⃗ F = ∇(q ⃗ l ⃗ E) ausübt 23 .
Die Polarisation ⃗ P eines Körpers ist definiert als Dipolmomente pro Volumeneinheit
22 Beachte: Die Richtung des Dipolmomentes ist definiert von der − zur + Ladung.
23 Nach Gl. (32) ist die Energie eines elektrischen Dipols in einem elektrischen Feld W d = −⃗p · ⃗E und
damit ist die Kraft in einem inhomogenen Feld ⃗ F = −∇W d . Oder: Betrachtet man nur die x-Komponente,
dann ist mit ⃗p = q ⃗ l und ∆x = l x ⇒ F x = q (E(x + ∆x) − E(x))
} {{ }
∂
∂x Ex∆x
= q ∂
∂x E xl x .
22

⃗p/τ. Sie hat für isotrope Dielektrika die Richtung des angelegten Feldes ⃗ E, es gilt
⃗P . = χ e ε ◦
⃗ E
[ As
Vm · V ] [ ] Cb
=
m m 2
(21)
χ e ist die materialabhängige elektrische Suszeptibilität 24 . Sie ist dimensionslos und
damit hat ⃗ P die Dimension von ε ◦
⃗ E [Cb/m 2 ]. Betrachten wir nun ein rechteckiges Stück
Dielektrikum der Dicke l und der Fläche A im elektrischen Feld ⃗ E. Das gesamte Dipolmoment
ist Polarisation·Volumen, also P ·τ = P ·Al. Anderseits ist ein Dipolmoment definiert
als Ladung· Abstand der Ladungen, q · l, also muss hier P · A gleich der unbeweglichen
Polarisationsladungen σ p A sein:
−Q
p = −σ p A ✚ ✛
Q p ✲= σ p A
✓ σ ⃗E P ⃗
p
l
P · Al = Q p · l = σ p · A · l d.h.
| ⃗ P | = σ p
σ ist die bewegliche und σ p die feste Polarisationsflächenladungsdichte.
Allgemein gilt P n = σ p . Die Normalkomponente
der Polarisation ist gleich der Flächenladungsdichte an der
Oberfläche eines Dielektrikums. ⃗ P zeigt mit Gl. (20) von −σ p
nach +σ p .
Dies erklärt die Verkleinerung der Potentialdifferenz im Kondensator. Ausser den Ladungen
auf der Kondensatorplatte treten entgegengesetzte Polarisationsladungen σ p auf,
so dass die Feldstärke im Innern des Dielektrikums verkleinert wird. Für einen ebenen
Plattenkondensator gilt: ε ◦ E ′ = σ − σ p , wobei E ′ das effektive Feld ist.
Ganz allgemein modifiziert die Anwesenheit polarisierbarer
Materie das elektrische Feld. Statt nun mit der
Leiter +Q = +σA
++++++++++++++++
− − − − − − − − − − − − − − − − Polarisation und mit Polarisationsladungen zu rechnen,
ist es oft zweckmässig, ein weiteres Vektorfeld ein-
−Q p=−σ pA
❄E
⃗ ⃗D ⃗P ⃗E p Dielektrikum
⃗E Vac
❄ ✻
❄
+Q p=+σ pA
zuführen, die
❄
+ + + + + + + + + + + + + + + +
−−−−−−−−−−−−−−−−
Leiter −Q = −σA
Dielektrische Verschiebung ⃗ D . = ε ◦
⃗ E + ⃗ P (22)
Die Bezeichnung Verschiebung wurde von Maxwell eingeführt, um damit die Verschiebung
der positiven und negativen Ladungen im Dielektrikum durch das äussere Feld zu
charakterisieren. Für den Fall isotroper Dielektrika 25 gilt mit Gl.(21) und (22)
⃗P = χ e ε ◦
⃗ E und mit ε = 1+χe ⃗ D = ε◦ ⃗ E + ⃗ P = ε◦ (1 + χ e ) ⃗ E = ε ◦ ε ⃗ E
[ ] Cb
m 2
Die dimensionslose Materialkonstante ε heisst relative Dielektrizitätskonstante und χ e
die Suszeptibilität; im Vakuum ist χ e = 0, ε = 1 und damit ⃗ D = ε ◦
⃗ E.
Dielektrizitätskonstanten ε und χ e einiger Materialien
bei Normaldruck und 20 ◦ C; es ist immer ε > 1.
24 Die elektrische Suszeptibilität kann mit einer Federkonstanten k zwischen den zwei Ladungen interpretiert
werden kl = F = eE, ⃗p = e ⃗ l = e 2 ⃗ E/k damit ist ⃗ P = e
2 ⃗ E/(k τ) und χe = e 2 /(kε ◦ τ).
25 Isotrope Dielektika sind Gläser, Plastik, polykristalline Materialien und auch kubische Kristalle. Anisotrope
Dielektika sind i.a. nichtkubische Kristalle mit einer Kristallstruktur, die in verschieden Raumrichtungen
nicht gleich ist. Die Dielektrizitätskonstante ε ist dann ein Tensor und ⃗ D steht nicht parallel
zu ⃗ E. Die Dielektrizitätskonstante spielt in der Optik eine wichtige Rolle (z.B. Brechungsindex S.??).
(23)
23

Material ε χ e Material ε χ e
Vakuum 1 0 Luft 1.00059 0.0059
He 1.000060 0.000060 O 2 1.000486 0.000486
Benzol 2.3 1.3 Aceton 21 20
Bernstein 2.8 1.8 TiO 2 40. . . 80 40. . . 80
Paraffin 1.9 . . . 2.2 1.1 Glas 5 . . . 7 4 . . . 6
Wasser 81 80 Eis 3 2
Zusammenfassung der Grundversuche:
V=konstant
V = V Vac
Q = εQ Vac > Q Vac
E = E Vac
D = σ = εε ◦ E = εε ◦ E Vac
C = Q/V = εC Vac = εε ◦ A/d
Q=konstant
V = V Vac /ε < V Vac
Q = Q Vac
E = E Vac /ε < E Vac
D = σ = εε ◦ E = ε ◦ E Vac
C = Q/V = εC Vac = εε ◦ A/d
E Vac , V Vac und C Vac sind die Grössen im Vakuum. Mit einem Dielektrikum kann die
Kapazität eines Kondensators um ε erhöht werden.
2.7.1 Der verallgemeinerte Gauss’sche Satz
Für den Kondensator mit einem Dielektrikum gilt mit dem Gauss’schen Satz Gl. (7) :
Leiter ✻E n L = 0 σ
++++++++++++++++
− − − − − − − − − − − − − − − −
σp
❄ E n
Dielektrikum
+ + + + + + + + + + + + + + + +
−−−−−−−−−−−−−−−−
Leiter
∮
⃗Ed ⃗ A =
∫
E n dA = 1 ∫
(σ − σ p )dA = 1 ∫
(σ − P n )dA
ε ◦ ε ◦
oder mit Q der wahren Ladung ohne Polarisationsladung
∫ ∫ ∫
ε ◦ E n dA + P n dA = σdA = Q
und mit Gl.(22) ⃗ D = ε◦ ⃗ E + ⃗ P ist Dn = ε ◦ E n + P n und damit
der allgemeine Gauss’sche Satz
∮
⃗Dd ⃗ A =
∫
D n dA = Q (24)
sowie differentiell die 1. Maxwell Gleichung mit Dielektrikum ∇ · ⃗D = ρ (25)
Der Fluss des ⃗ D-Feldes durch eine geschlossene Fläche ist gleich der Summe der eingeschlossenen
Ladungen. Die Polarisationsladungen sind im ⃗ D-Feld enthalten und dürfen auf
der rechten Seite der Gleichung nicht mitgezählt werden. Die differentielle Form Gl. (25)
ist die 1. Maxwell Gleichung mit einem Dielektrikum, sie wird analog zur 1. Maxwell
Gleichung ohne ein Dielektrikum ∇ ⃗ E = ρ/ε ◦ abgeleitet.
Elektrostatische Probleme mit Dielektrika können gelöst werden entweder mit den
Grössen ⃗ E, σ, ⃗ P, σp oder mit ⃗ E, σ, ⃗ D. Da die dielektrische Verschiebung ⃗ D die Polarisationsladungen
bereits einschliesst, müssen nur noch die wahren Ladungen berücksichtigt
werden 26 . Die Feldstärke in einem Dielektrikum variiert im atomaren Bereich von Ort zu
Ort, sie kann daher nur als ein Mittelwert über einen grösseren Volumenbereich aufgefasst
werden und nicht atomistisch interpretiert werden.
26 ⃗ D ist i.a. das einfachere Feld zur Berechnung, aus dem dann das physikalische Feld ⃗ E abgeleitet
werden kann.
24

2.7.2 Beispiele zu Dielektrika
Das Verhalten der Feldstärken an den Grenzflächen.
a) Leiter-Dielektrikum Eine geschlossene Gauss’sche Fläche habe die Form einer
Pillenschachtel, mit der Grund- und Deckfläche d ⃗ A parallel zur Grenzfläche. ⃗ E und ⃗ D
stehen senkrecht auf der Leiteroberfläche, im Innern des Leiters sind beide Felder null. Mit
dem allgemeinen Gauss’schen Satz Gl. (24) ∮ ⃗ D d ⃗ A = Q integriert über die geschlossene
Fläche, wobei sich die Flächenintegrale über die Seitenflächen aufheben, gilt
Dielektrikum
−
ε
D · dA = σ · dA also D = D
+ − ✒ ✒
⊥ = σ.
❅ ⃗D E ⃗
+ ❅
− ❅
❅ + − ❅ ✒ ⃗
Daraus folgt mit D = εε ◦ E und D = ε ◦ E + P sowie dass
❅ P ⃗P von −σ p nach +σ p zeigt (| P ⃗ | = −σ p siehe Gl. (20))
❅+ ❅ − ❅
❅ +
❅
❅✏dA
❅ − Leiter E = 0 ❅ + ❅
E = D
− + ❅
σ σ εε = σ
(
⇒ σ p = −P = ε ◦ E − D = −σ 1 − 1 )
◦ εε ◦ ε
p
D = 0
ein Zusammenhang zwischen σ p auf dem Dielektrikum und σ auf dem Leiter.
b) Dielektrikum-Dielektrikum
Trägt die Trennfläche nur Polarisationsladungen d.h.
❅ D
❅
1n
❅
❅ ❅
✒❅ ❅❘ σ p ≠ 0 und σ = 0, so gilt mit Gl. (24), wobei sich die Flächenintegrale
über die Seitenflächen der Pillenschachtel aufheben
❅✏ ⃗D 2 ❅
✏✏✏✶ ❅❅ D1 ⃗
✒ ❅
✟ ✟✟✟✯ ❅
D ❅
D
❅ ε 1n dA − D 2n dA = 0 also D 1n = D 2n bzw. ε 1 E 1n = ε 2 E 2n .
1
❘ 2n
❅ Die Normalkomponente von D ⃗ ist an der Trennfläche stetig. Die
ε 2 ❅
Normalkomponente von E ⃗ ändert sich sprunghaft.
A
❅
D
❅ ❅
✒❅ E
❅
1t
❅ ❅❘
❅✏ ⃗ ❅ ❅ ⃗
E2 ✟✯
✏✏✏✶ E1
❅
❅ ❅ B
✒ ❅
✟ ✟✟✟✟ ❅
❅ ε 1
❅ C
E 2t ❅❘ ε❅
2
Wird ferner ein geschlossener Weg ABCD betrachtet, wobei
AB=CD= l und l parallel zur Trennfläche liegt, so gilt mit
∮ ⃗Ed ⃗ l = 0 integriert über den geschlossenen Weg, wobei sich
die Wegintegrale über die Seitenstrecken senkrecht zur Trennfläche
aufheben (das elektrostatische Feld hat ein Potential und
es gilt ∇ × ⃗ E = 0)
E 1t · l − E 2t · l = 0 also E 1t = E 2t bzw.
D 1t
ε 1
= D 2t
ε 2
.
Die Tangentialkomponente von E ⃗ ist an der Trennfläche stetig. Die Tangentialkomponente
von D ⃗ ändert sich sprunghaft.
Diese Eigenschaft führt zum Brechungsgesetz der Feldlinien an der Trennfläche
✚❃ (vgl. das Brechungsgesetz in der Optik). Es ist
α
✻ E1 ⃗
1
ε 1 E 1n
✚ ✚✚✚ tanα 1 = E 1t /E 1n und tanα 2 = E 2t /E 2n und damit lautet das
✻ ✒ ε 2
tanα 1
α Brechungsgesetz mit E 1t = E 2t = E 2n
= ε 1
.
2
tanα 2 E 1n ε 2
⃗E 2
c) Plattenkondensator mit einem Teil eines Dielektrikums
Um die Durchschlagfestigkeit eines Plattenkondensators bei konstanter Spannung zu
verbessern, steckt jemand ein Dielektrikum zwischen die Platten, das nur einen Teil
E 2n
E 2t
E 1t
25

2 V =konst.
ε ✻
d ε
❄
✻
ε ◦ d
❄
1
des Plattenabstandes füllt. Es gilt für den Abstand d ε ohne Dielektrikum
E 0 = V
d+d ε
und mit Dielektrikum
D 1 = ε ◦ E 1 = D 2 = εε ◦ E 2 ⇒ E 2 = E 1 /ε
V =
∫ 2
1
E ds = E 1 d + 1 (
ε E 1d ε = E 1 d + d )
ε
= E 0 (d + d ε ).
ε
Da ε > 1 folgt E 0 < E 1 d.h. im Luftspalt wird das Feld grösser und dieser so “geschützte”
Kondensator schlägt eher durch, wenn mit E 1 die Durchschlagsfeldstärke erreicht wird.
Statt dessen hätte die Dicke des Dielektrikums so gewählt werden müssen, dass d = 0
erreicht wird.
d) Felder einer Kugel oder einer Punktladung im unendlichen Dielektrikum
können wie die ⃗ E-Felder im Vakuum geschrieben werden, nur indem ε ◦ durch εε ◦
ersetzt wird.
⃗ D =
Q⃗r
4πr 3, ⃗ E =
Q⃗r
εε ◦ 4πr 3
Für zwei Punktladungen Q 1 und Q 2 gilt F ⃗ = E(⃗r12 ⃗ ) · Q = Q 1 · Q 2 ⃗r 12
.
εε ◦ 4πr12
3
Durch das Dielektrikum wird die Kraft zwischen den zwei Ladungen gegenüber der im
Vakuum um den Faktor 1 erniedrigt.
ε
2.7.3 Eine atomistische Interpretation der Dielektrizitätskonstanten †
Eine atomistische Interpretation der Dielektrizitätskonstanten muss im molekularen Bau
der Materie gesucht werden. Es gibt nichtpolare, symmetrische Moleküle (z.B. CO 2 ) und
polare, unsymmetrische Moleküle (z.B. H 2 O) bezüglich ihrer Ladung:
❥O
Nichtpolare Moleküle
1
CH
CO 4
2 ✁ ❆
✐C
✁ ❆
✁1
✏ ✏ ❍ 1
❆1
❥C
❥ O
Die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladungen
fallen zusammen, die symmetrischen Moleküle haben kein
permanentes Dipolmoment. Ein äusseres ⃗ E-Feld verschiebt
die Ladungen und induziert damit einen elektrischen Dipol
proportional zum Feld E ⃗ F am Molekül ⃗p e = p m · ⃗E F , wobei p m die molekulare elektrische
Polarisierbarkeit, eine Konstante des Moleküls, ist. E ⃗ F ist nicht elementar berechenbar,
es hängt vom Einfluss der Nachbarmoleküle ab und kann durch das innere Feld und die
Polarisation ausgedrückt werden E ⃗ F = E ⃗ innen + 1 ⃗
3ε ◦
P für isotrope Substanzen. Für n
Moleküle ist dann
n · ⃗p e = ⃗ P = n · p m ( ⃗ E innen + 1
3ε ◦
⃗ P) ⇒ ⃗ P =
n · p m
1 − n·pm
3ε ◦
⃗ Einnen mit ⃗ D = εε ◦
⃗ E = ε◦ ⃗ E + ⃗ P
und ⃗ P = ε◦ (ε − 1) ⃗ E erhält man
n · p m
= ε − 1
3ε ◦ ε + 2
Clausius-Masotti
Formel
Damit besteht ein Zusammenhang zwischen der makroskopischen Dielektrizitätskonstanten
ε und der mikroskopischen, molekularen elektrischen Polarisierbarkeit p m . Die induzierten
Dipole tragen mit dem Wert ε zum Wert εε ◦ , der absoluten Dielektrizitätskonstanten
des Materials, bei. ε ist nicht von der Temperatur abhängig.
26

❥H
Polare Moleküle
H 2 O HCl
✘ O ❥ ❳ H ❥ ❥H Cl ❥
P
As·m
HCl
. V/m
10 -3 9
1
CH 4
1/T
1 3 5 . 10 -3 °C -1
Die Schwerpunkte der positiven und negativen Ladungen
fallen nicht zusammen. Polare, nichtsymmetrische Moleküle
haben daher ein permanentes Dipolmoment ⃗p = q ⃗ l
mit ⃗ l dem Abstand der beiden Schwerpunkte.
Die zunächst ungeordneten Dipole erhalten im
⃗E-Feld eine Orientierung in der Feldrichtung und erzeugen
damit eine Polarisierung des Dielektrikums. Dieser Polarisierung
wirkt die Wärmebewegung mit zunehmender Temperatur
entgegen und ε ist von der Temperatur abhängig.
Zusätzlich muss noch der Anteil der induzierten Dipole, wie
bei den nichtpolaren Molekülen, berücksichtigt werden.
Eine genaue Berechnung der Temperaturabhängigkeit ist elementar nicht möglich. Die
Frequenzabhängigkeit ε = ε(ω) ist für die Optik wichtig.
2.8 Die Energie des elektrostatischen Feldes
Wird ein Kondensator aufgeladen, dann muss Arbeit geleistet werden. Wird der
einen Platte die Ladung dQ entnommen und der anderen zugeführt, so ist die vom
Integrationsweg unabhängige, zu leistende
V 1
✁ ✁✕ 1
∫
⃗E
1
dQ Arbeit dW = −dQ · ⃗E · d⃗r = dQ(V
❄ ✁
1 − V 2 ) = dQ · V (26)
2
V 2
Die Potentialdifferenz steigt dabei um dV = dQ/C und es gilt für die Arbeit
dW = CV dV . Die totale Arbeit, die erforderlich ist, um einen Kondensator von V = 0
auf die Spannung V aufzuladen, ist demnach mit V = Q/C
W =
∫V
0
dW =
∫V
0
2
CV dV = 1 2 CV 2 = 1 Q 2
2 C = 1 V Q. (27)
2
Da beim Aufladen des Kondensators ein elektrisches Feld aufgebaut wird, stellt W offenbar
die Energie dar, die aufgebracht werden muss, um dieses Feld zu erzeugen. Ein elektrisches
Feld besitzt demnach potentielle Energie, die Feldenergie W e , wobei hier gilt
W e = 1 2 C · V 2
Für den einfachen Fall eines ebenen Feldes in einem Plattenkodensator mit einem
Dielektrikum ist C = εε ◦ A/d und V = E · d und damit die Feldenergie
W e = 1 2 · εε ◦A · d · E 2 = 1 2 εε ◦ · E 2 · τ (τ = A · d Kondensatorvolumen ) ⃗E ✻ ❄
d
❄❄❄❄❄❄
Die Energiedichte w ist die Feldenergie pro Volumenenheit, also mit ⃗ D = εε ◦
⃗ E
A
auch für ein beliebiges Feld
W e
τ
= 1 2 εε ◦E 2 = 1 2 ED = w = 1 2 ⃗ E ⃗ D. (28)
27

In anisotropen Dielektrika müssen ⃗ E und ⃗ D nicht parallel zueinander stehen, ε ist
dann ein Tensor. Die totale Feldenergie eines elektrostatischen Feldes ist demnach
∫
W e =
w dτ = 1 2
∫
⃗E ⃗ D dτ (29)
Beispiel 1: In Luft bei Atmosphärendruck können Felder ohne Durchschlag bis zu
E ≈ 3 · 10 6 V/m erzeugt werden. Die Energiedichte ist dann
w = 1εε 2 ◦E 2 = 1 Cb2 12 V2
8.854 · 10−12 · 9 · 10
2 Nm 2 m = 40 J 2 m . Damit lassen sich in Luft
3
keine grossen Energiebeträge speichern, erst das grosse Volumen eines Gewitters ergibt
insgesamt sehr grosse Energiebeträge.
Beispiel 2: In Molekülen 27 herrscht ein elektrisches Feld von E ≈ 5 · 10 10 V/m und damit
eine Energiedichte von ca 10 10 J/m 3 . Diese Energie kann teilweise durch eine Umgruppierung
von Atomen in einem Molekül bei einer chemischen Reaktion und damit einer
Änderung der elektrischen Felder freigesetzt werden. So werden z.B. bei der Bildung von
1 cm 3 flüssigem Wasser aus Knallgas 1.6 · 10 10 J/m 3 frei.
2.8.1 Berechnung der Kräfte auf Leiter und Dielektrika aus der Feldenergie
Ist die Feldenergie eines Systems von geladenen Leitern und Dielektrika bekannt, dann
können daraus die Kräfte berechnet werden. Dazu denke man sich eine kleine virtuelle
Verschiebung des Körpers um die Strecke d⃗r, dann ist die vom Feld geleistete mechanische
Arbeit dW m = ⃗ Fd⃗r. Es müssen jetzt zwei Fälle unterschieden werden:
a) Das Systen ist abgeschlossen und alle Ladungen sind konstant, d.h. dQ i = 0, damit
ist auch die Gesamtenergie konstant und die Arbeit muss vom Feld aufgebracht werden 28 :
dW e + dW m = 0 d.h. dW m = ⃗ Fd⃗r = −dW e oder F x = −
( ) ∂We
∂x
Q i =konst.
und analog für F y , F z . Als Vektorgleichung ⃗ F = −(∇We ) Qi =konst. (30)
b) Das System ist an eine oder mehrere Batterien angeschlossen, welche die Potentiale
V i konstant halten, indem sie Ladungen dQ i und damit die Energie dW B nachliefern.
Es gilt dann (siehe Gl. (26)) dW e + dW m = dW B und dW B = ∑ i
V i dQ i
für die von der Batterie gelieferte Energie. Mit Gl. (27) W e = 1 V ·Q gilt für die Feldenergie
2
dW e = 1 2
∑
Vi dQ i = 1 2 dW B ⇒ dW m = dW B − dW e = +dW e = ⃗ F · d⃗r
und damit F x = +
( ) ∂We
∂x
V i =konst.
analog für die F y , F z Komponenten.
27 Mit dem Bohrschen Radius eines Atoms von 0.5·10 −8 cm =0.5Å kann das Feld des Coulombpotentials
abgeschätzt werden zu E = e
4πε ◦
1
r 2 =
1.6 · 10 −19
4π · 8.85 · 10 −12 ·
1
(0.5 · 10 −10 ) 2 = 5.7 · 1011 V m .
Felder der chemisch relevanten äusseren Valenzelektronen sind um eine Grössenordnung kleiner.
28 Vergleiche die analoge Überlegung in der Mechanik mit F x = − ∂V
∂x aus ⃗ F = −∇V mech. Pot.
28

Als Vektorgleichung gilt damit ⃗ F = (∇We ) Vi =konst.
(31)
Wenn für einen speziellen Fall die Kräfte aus einer gedachten virtuellen Verschiebung
berechnet werden, dann müssen beide Methoden a) und b) dasselbe Resultat ergeben.
2.8.2 Beispiele zur Energie des elektrostatischen Feldes
1. Die Thomsonsche Waage
Diese von Lord Kelvin vorgeschlagene Anordnung dient zur direkten Messung des
Potentiales in SI-Einheiten. Gesucht ist die Kraft auf eine Platte eines ebenen geladenen
Plattenkondensators. Die untere Platte ist Teil einer Waage und die von der oberen
ausgeübte Kraft wird durch Gewichte kompensiert. Die Kraft kann mit beiden, obigen
x
✻
x
✻
+Q
❄F x
−Q
V
✻
❄
Methoden berechnet werden.
a) Q =konst. Mit Gl. (27) W e = 1 2 Q2 /C und C = ε ◦ A/x ist
−F x = ∂W e
∂x = ∂ ( Q 2 )
x
= Q2
∂x 2ε ◦ A 2ε ◦ A
b) V =konst F x = +
❄F x V
C = ε ( )
◦A ∂We
⇒
x ∂x
V
( ) ∂We
, W e = CV 2
∂x
2
V
= ε ◦AV 2
2
⇒ F x = − Q2
2ε ◦ A = −ε ◦AV 2
2x 2
∂ 1 x
∂x = −ε ◦AV 2
2x 2
Mit dieser Methode kann absolut die Spannung gemessen werden.
= ε ◦AV 2
2x
mit
= − Q2
2ε ◦ A = F x.
2. Steighöhe eines flüssigen Dielektrikums im Plattenkondensator
Wird zwischen die Platten eines Kondensators eine Flüssigkeit gebracht, so wird diese
polarisiert und durch die Kraft des inhomogenen Randfeldes um x angehoben 29 . Das
homogene Feld im Innern des Kondensators übt keine Kraft auf einen Dipol aus. Im
Gleichgewicht ist die elektrische Kraft F x auf das Dielektrikum gleich dem Gewicht
G = ρgxbd der angehobenen Flüssigkeit. Die Feldenergie im
x
d
Kondensator ist, wenn er in die zwei Bereiche mit und ohne
Dielektrikum eingeteilt wird:
dx
x
a
a) alles in Q ausdrücken
b
F x = −
b) alles in V ausdrücken
F x = +
W e = CV 2
( ) ∂We
= − Q2
∂x 2
Q
( ) ∂We
∂x
V
= V 2
2
2
= Q2
2C , mit C = ε ◦b
(xε + (a − x)) und V = E · d
d
( )
d 1
= + Q2
dx C 2
ε ◦ b
2
C 2 d (ε − 1) = +V ε ◦ b(ε − 1)
2d
dC
dx = V 2 ε ◦ b
(ε − 1) = G = ρ g xbd. Daraus folgt
2 d } {{ }
χ e
29 Da im homogenen Feld keine Kraft auf den Dipol ausgeübt wird, kann nur das inhomogene Randfeld
als Angriffspunkt der Kraft interpretiert werden; die Energiebetrachtung macht darüber keine Aussage.
29

die angehobene Höhe x = V 2 ε ◦ b(ε − 1)
2dρgbd
= ε ◦E 2 (ε − 1)
2ρg
Mit dieser Methode kann ε bzw. die Suszeptibilität χ e gemessen werden.
⇒
χ e = 2xρgd2
ε ◦ V 2
3. Die potentielle Energie eines elektrische Dipols im Feld
Die potentielle Energie eines Dipols W d mit dem Dipolmoment ⃗ l im homogenen
elektrischen Feld E ⃗ ist gleich der Arbeit, die geleistet werden muss, um den Dipol in
eine bestimmte Lage zu drehen. Für eine Drehung um den Winkel α gegenüber der
-q
E → E → Ausgangslage α = 0 wird die Arbeit W d gegenüber den abstossenden
elektrischen Kräften geleistet:
l
a ϕ
a
α=ϕ−π/2
+q
W d = 2q E a = 2q E l sin α = −q lE cos ϕ = −⃗p · ⃗E
2
Die Energie eines elektrischen Dipols ist W d = −⃗p · ⃗E (32)
und mit Gl. (30) die Kraft in einem inhomogenen ⃗ E-Feld
⃗ F = −∇Wd = ∇⃗p · ⃗E.
30

3 Stationäre elektrische Ströme
3.1 Begriffe zur Beschreibung elektrischer Ströme
Verbinden wir zwei Leiter 1 und 2 mit verschiedenen Potentialen V 1 und V 2 mit einem
dritten Leiter, so fliesst Ladung, d.h. ein elektrischer Strom ([Cb/s]=[A]) von 1 nach
2 (oder umgekehrt), bis nach einiger Zeit das Potential überall den gleichen Wert hat.
Strom ist bewegte Ladung. Während Ladung fliesst, ist dagegen das Potential von
Ort zu Ort verschieden. Die Feldstärke ⃗ E setzt Ladungen mit der Kraft ⃗ F = q ⃗ E in
Bewegung. Die Geschwindigkeit des Ladungsausgleiches hängt von der Leitfähigkeit der
Leiter ab.
3.1.1 Die Spannung in einem Leiter
Fliesst in einem Leiter unter der Wirkung eines elektrischen Feldes ein Strom, so ist die
Spannung V zwischen den zwei Punkten 1 und 2 (auch Spannungsabfall genannt) definiert
als Potentialdifferenz V
V 1 V 1 − V 2 = V längs des Leiters
2
E →
1 2
V = V 1 − V 2 =
∫ 2
1
⃗E d⃗r.
Die Einheit der Spannung V ist 1Volt [V]. Fliesst ein Strom
unter der Wirkung eines Feldes ⃗ E, muss diesem auch ein Potential V zugeordnet sein.
3.1.2 Die elektrische Stromdichte in einem Leiter
Zur quantitativen Charakterisierung elektrischer Ströme müssen wohldefinierte Stromgrössen
eingeführt werden. Dazu betrachtet man ein gerichtetes Flächenelement dA ⃗ =
⃗n · dA im Innern des stromdurchflossenen Leiters. Die Ladung dq, die im Zeitintervall
j n ✻
✁ ✁✕ ⃗j t bis t+dt hindurchfliesst, hängt vom Ort und der Stellung des Flächenelementes
dA ⃗ ab. Man setzt dq = ⃗j · ⃗n dA dt = j
✁
n dA dt.
✁
⃗n
Der durch diese Beziehung definierte Stromdichtevektor ⃗j oder die
✻✁
Stromdichte, zeigt dabei die Richtung an, in der sich am betreffenden
✁
dA
Ort die positiven Ladungen bewegen. Der Betrag j ist gleich der Ladung,
✁
✁ die pro Sekunde durch die Flächeneinheit senkrecht zu ⃗j hindurchströmt.
Die Stromverteilung innerhalb des Leiters wird somit durch das Vektorfeld ⃗j = ⃗j(⃗r,t)
beschrieben. Ist ⃗j unabhängig von der Zeit, also ⃗j = ⃗j(⃗r), dann nennt man den Strom
stationär. Die Einheit von ⃗j ist [1 Cb/m 2 s]=[Ampère/m 2 ]=[A/m 2 ].
Da keine Ladung verloren gehen kann 30 , gilt für die Stromdichte die Kontinuitätsgleichung
und damit die Ladungserhaltung:
[j x (x+dx)−j x (x)]dy dz+[j y (y+dy)−j y (y)]dxdz+[j z (z+dz)−j z (z)]dxdy = − ∂ρ dxdy dz.
∂t
Dabei ist ρ die Ladungsdichte an der Stelle ⃗r(x,y,z).
30 In der Quantenelektrodynamik folgt aus der Symmetrieforderung der Eichinvarianz die Ladungserhaltung.
In jedem abgeschlossenen System ist die Ladung streng erhalten: ∑ q i =konst. Ladung kann
nicht vernichtet oder erzeugt werden; es können nur Paare von Teilchen mit entgegengesetzten Ladungen,
die sich zu null aufheben, erzeugt oder vernichtet werden. Z.B. Paarerzeugung γ+Kern → e + +e − +Kern
oder Paarvernichtung e + + e − → γ + γ.
31

✻z
✘ ✘✘
dx
✻ j z(z + dz)
✏ ✏ j y(y + dy)
✏✏✶
✲
j x (x) ✏✏✶ dz jx (x + dx)
jy (y)
✑ ✑ (x,y,z)
dy
✏ ✏✶ y j z (z)
✲x
Der netto ausfliessende Strom (Ladung/Zeit) ist
gleich der Abnahme der Ladung pro Zeit. Daraus
erhält man durch Division mit dxdydz als Differentialgleichung
die Kontinuitätsgleichung
∂j x
∂x + ∂j y
∂y + ∂j z
∂z = −∂ρ ∂t
oder
div⃗j = ∇ ·⃗j = − ∂ρ
∂t
∂
Für stationäre Ströme mit
∂t = 0 gilt ∇ ·⃗j = 0.
Vergleiche hierzu die entsprechende Kontinuitätsgleichung Phys AI Gl. (150) ∇ · ⃗v = 0
in der Hydrodynamik und Gl. (9) ∇ · ⃗E = ρ/ε ◦ für das E-Feld. ⃗
3.1.3 Die elektrische Stromstärke
Oft interessiert nicht die Stromverteilung, die durch ⃗j charakterisiert wird, sondern nur
der totale Strom durch einen Leiterquerschnitt A. Ist dA ein Flächenelement von A,
dq
dann ist dq = ⃗j · ⃗n dA dt = j n dA dt bzw.
dt = j n dA.
j n ✻ ⃗j
✁ ✁✁✕
⃗n ✁
✻
✁
✁
dA
A
✁
✁
✁
Die pro Zeiteinheit durch A längs eines Leiters strömende Ladung
ist somit
∫
dq
dt = I =
A
j n dA integriert über die Fläche A.
I nennt man die elektrische Stromstärke.
Sie ist im Gegensatz zu ⃗j eine skalare Grösse und ihre Einheit ist [Ampère]= [Cb/s].
Eigenschaften elektrischer Ströme, die im folgenden behandelt werden, sind:
a) Wärmeerzeugung, sie hängt von der Art des Leiters ab,
b) Materialtransport, wie Ionentransport. Ladung ist immer mit Masse verknüpft.
c) Ströme zeigen magnetische Wirkungen.
3.1.4 Der elektrische Widerstand eines Leiters
Ist die Spannung an einem Leiter vorgegeben, dann ist die Stromstärke I abhängig von
der geometrischen Form des Leiters und dessen Leitfähigkeit. Man definiert
(33)
R . = V I
den elektrischen Widerstand des individuellen Leiters. (34)
R ist im allgemeinen keine Konstante, sondern eine Funktion von I, sowie anderer physikalischer
Grössen des Leitermaterials (z.B Temperatur, Magnetfeld, Lichteinstrahlung,
Druck). In denjenigen Fällen, in denen R konstant ist, nennt man diesen
einen Ohmschen Widerstand und drückt ihn durch das Symbol
V ✻R =konst.
✟ ✟✟✟✟✟ R aus.
✲ I Die Einheit des Widerstandes ist 1 Ohm=1Ω = 1 V A .
32

3.1.5 Elektromotorische Kraft und innerer Widerstand
Um in einem Leiter einen stationären Strom aufrecht zu erhalten, muss in diesem Leiter
dauernd ein elektrisches Feld existieren. Am Leiter liegt dann eine Spannung V = ∫ Ed⃗r. ⃗
Da dauernd Wärme erzeugt wird, muss das Feld die dafür nötige Arbeit leisten und der
Leiter muss an eine Energiequelle eine Spannungsquelle angeschlossen sein, die die entsprechende
Energie liefert. Spannungsquelle und Leiter bilden zusammen einen Sromkreis.
Ein elektrostatisches Feld kann keine Energie leisten, da für eine geschlossene
Kurve ∮ Ed⃗r ⃗ = 0 gilt und es damit nicht möglich ist aus einem elektrostatischen Feld
Spannungsquelle
Leiter
längs eines geschlossenen Weges (Stromkreis) Arbeit zu gewinnen.
Die Arbeitsfähigkeit einer Spannungsquelle beruht auf nichtkonservativen
Prozessen [ ∮ ⃗ Ed⃗r ≠ 0], die chemischer, thermischer, mechanischer
oder elektrischer Natur [Kap. 5.1, Gl. (59)] sein können.
Beispiele:
Primärelement: Chemische Energie → Elektrische Energie
Akkumulator: Elektrische Energie → Chemische Energie → Elektrische Energie
Generator: Mechanische Energie → elektrische Energie
Photozelle: Licht → Elektrische Energie
Thermosäule: Wärme → Elektrische Energie
Kernkraftwerk: Kernenergie → Wärme → Elektrische Energie
Zur quantitativen Charakterisierung einer Spannungsquelle werden die folgenden
Grössen definiert:
a) Die elektromotorische Kraft V m ist die Quellenspannung V ◦ an den beiden
Klemmen 1 und 2 der Spannungsquelle (beachte: es gibt auch −V m = V ◦ ) , sofern sie
unbelastet ist, also V m = V ◦ =
∫2
1
⃗E(⃗r)d⃗r.
Dabei ist ⃗ E
Spannungsquelle
1
✎☞
✁❆
✍✌V ◦
das durch die Quelle im Äusseren erzeugte elektrische Feld.
b) Der innere Widerstand R i : Wird eine Spannungsquelle belastet, d.h. liefert sie
einen Strom, der durch einen äusseren Widerstand R fliesst, so wird die Klemmenspannung
V kleiner als V ◦ = V m . Der Strom fliesst auch im Innern der Quelle
und es entsteht ein Spannungsabfall R i I, so dass gilt
❄
✎☞I
R
V = V m − R i I.
i ↑I ✁❆
✍✌ R
V
R i = R i (I · · ·) ist der innere Widerstand der Spannungsquelle
Bei einem äusseren Kurzschluss wird der Strom durch R i begrenzt. Sind R i und V m
konstant, dann ist der Zusammenhang zwischen V und I linear. Für eine Spannungsquelle
+ R
wird das Symbol
i
Vm benützt. Die Vorzeichen deuten dabei an, dass bei einer
−
äusseren Belastung ein positiver Strom von + nach − fliesst.
3.1.6 Die Kirchhoff’schen Regeln
Spannungsquellen und Widerstände können zu Stromkreisen zusammengeschaltet werden.
Bei vorgegebenen Werten der einzelnen Schaltelemente müssen dann Ströme und
Spannungen berechnet werden. Dabei gelten die folgenden Kirchhoff’schen Regeln:
2
33

a) für einen Knoten in dem n Leiter zusammentreffen, ist die Summe der zugeführten
Ströme gleich der Summe der weggeführten:
n∑
I k = 0,
k=1
I 1❅❘
❄
❅
❅
✟
I n
❅✟✙
zufliessende Ströme werden positiv abfliessende negativ gerechnet.
b) Für eine Masche, einen einfachen geschlossenen Stromkreis, mit m Spannungsquellen
und n Belastungswiderständen ist die Summe aller elektromotorischen Kräfte V m
mit den entsprechenden Vorzeichen gleich der Summe aller Spannungsabfälle:
m∑ n∑
V mj = V i
j=1 i=1
❇
❇ ❇◆
✲ I k
V 1 V 2
V m1
V i V mj
Die Spannungsabfälle über die inneren Widerstände der
Spannungsquellen müssen mitberücksichtigt werden.
Mit den Kirchhoff’schen Regeln werden als Beispiel die Ersatzwiderstände der Parallelschaltung
und der Serienschaltung angegeben:
Parallelschaltung von Widerständen (Ströme addieren)
✲
✲
✻ I
✻I
V
Es ist
I
❄ 1 I
❄ 1 I ❄ n
R = I = ∑ n I i , mit I i = V
i=1
R i
V
⇒
R 1 R 2
· · · · R n
V
R
n∑ 1
I = V = V
i=1
R i R somit 1
R = ∑ n 1
i=1
R i
❄
❄
Serienschaltung von Widerständen (Spannungsabfälle addieren)
✲ I
✻ R 1 R 2 R n
⇒
V
❄
V
✲ I
✻
❄
R
n∑
V = IR = IR 1 + IR 2 + · · · = I R i
i=1
n∑
⇒ R = R i
i=1
3.2 Mechanismus und Charakteristik der elektrischen Leitung
Bewegung von elektrischen Ladungsträgern sind elektrische Ströme. Damit Materialien
Leiter sind, müssen sie bewegliche elektrische Ladungsträger enthalten und ein angelegtes
elektrisches Feld erzeugt dann den Strom.
Dass allein die Bewegung der Ladungsträger entscheidend ist, zeigen folgende Versuche:
✛
I
♠
✒
Q
3
✲
Werden die Platten eines Kondensators mit einer konstanten
Spannungsquelle verbunden, so wird in diesem Stromkreis ein
Strom gemessen, wenn als Ladungsträger eine geladene Kugel
zwischen den Platten bewegt wird; wenn eine Flamme mit Ionen
im Kondensatorraum brennt; wenn eine ionisierende, radioaktive
Quelle in der Nähe der Platten aufgestellt wird.
Es fliesst ein Strom, wenn im Kondensator bewegliche Ladung vorhanden ist. Im folgenden
werden Leitungsmechanismen in verschiedenen Materialien und Anordnungen untersucht.
34

3.2.1 Leitung in Metallen †
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ In den Metallen bilden positive Metallionen, die ein oder mehrere Elektronen
als Leitungselektronen abgegeben haben, einen festen Gitter-
⊖
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
verband, in dem sich die Leitungselektronen relativ leicht bewegen
⊕ ⊕ ⊕ ⊕ können. Das Gitter ist nicht starr, sondern die Ionen schwingen thermisch
um ihre Gleichgewichtslage.
⊖
⊕ ⊕ ⊕ ⊕
Vernachlässigt man die Wechselwirkung der Leitungselektronen untereinander und mit
den Ionen, dann können sie wie ein ideales Gas im Modell des freien Elektronengases
behandelt werden. Die Leitungselektronen bewegen sich ungeordnet mit Zusammenstössen
im Leiter mit einer √ mittleren thermischen Geschwindigkeit (bei Zimmertemperatur) von
v therm = l/τ = 3kT/m ≈ 10 5 m/s. Legt man ein äusseres elektrisches Feld an, dann
driften sie mit einer mittleren Driftgeschwindigkeit v D in der Richtung des Feldes − ⃗ E.
Es gilt nach dem Aktionsprinzip m dv
dt
= eE und damit
eE
m τ = v 2 − v 1 = v D , (35)
mit τ ≈ 10 −12 s der Zeit zwischen zwei Zusammenstössen. ⃗v D ist proportional zu ⃗ E.
Mit dem Hall-Effekt (Kap. 4.2.6) kann die Beweglichkeit b = v D /E = eτ/m (36)
√
3kTm
gemessen werden. Man erhält für die mittlere freie Weglänge l = b
e
Für Silber bei 20 ◦ ist b = 6.4·10 −3 m 2 /Vs, l = 8.3·10 −9 m. Bei einem Feld von E = 1 V/m
erhalten also die Elektronen in Feldrichtung die kleine Geschwindigkeit v D = 6.4 mm/s
und sie legen zwischen den Stössen eine Strecke von rund 30 Atomabständen zurück mit
einer mittleren Flugzeit von τ = 10 −13 s.
In diesem Elektronengas Modell kann man einen Stromdichtevektor ⃗j = ne⃗v D angeben,
mit n der Zahl der Leitungselektronen pro Volumeneinheit. Mit Gl. (35) gilt
⃗j = ne2 τ
m ⃗ E = σ ⃗ E das Ohmsche Gesetz. (37)
σ [Ω m] −1 ist die elektrische Leitfähigkeit , 1/σ = ρ [Ω m] der spezifische elektrische
Widerstand . Mit den Gleichungen (36) und (37) ergibt sich die wichtige Beziehung
Spezifische Widerstände
bei 20 ◦
σ = ne2 τ
= neb (38)
m
Metall ρ [Ωm] σ und ρ sind Materialkonstanten, die unabhängig von E ⃗
Ag 1.5 · 10 −8 und den Abmessungen des Leiters sind, jedoch über die
Cu 1.6 · 10 −8 Flugzeit τ und n von der Temperatur T abhängen. In sehr
Al 2.4 · 10 −8 reinen Metallen mit wenig Fremdatomen gilt
Fe 10 · 10 −8 ρ = 1
Konstantan 50 · 10 −8 σ ∝ T für hohe Temperaturen z.B. 300 K und
ρ = 1 σ ∝ T 5 für niedrige Temperaturen (Fig. S 36).
Das Ohmsche Gesetz Gl. (37) in der mikroskopischen Form ⃗j = σE ⃗ kann mit der phänomenologischen
Schreibweise Gl. (34) V = I · R verknüpft werden.
A ❄ ✛ V ✲ Für ein homogenes, gerades Leiterstück mit dem konstanten
Querschnitt A, der Länge l und der anliegenden Span-
→ E → j
✻✛
l ✲ nung V ist die Stromdichte j = σE = σV/l und die
35

Stromstärke I = A j = V σ A/l = V/R also
R = ρ l A = 1 σ
Der Zusammenhang R = V/I = konst. gilt nur für eine konstante Temperatur. Der allgemeinen
Zusammenhang I = I(V ) wird mit der Strom-Spannungscharakteristik
dargestellt.
I
Gluhlampe
"
I
Metall
✻
V
T 2
✏ T 1
✟✏ ✟✟✟✟✟✟✟✟ T ✏✏✏✏✏✏✏ 2 < T 1
✲ V
ρ
Normalleiter
Metall
T C
Supraleiter
T
Je nach den Wärmeableitungen ergeben sich für verschiedenen
Glühlampen unterschiedliche Kurven. In der Gasatmosphäre der
geschlossenen Glühbirne kann die Joulsche Wärme nur schlecht
abgeleitet werden, so dass die Temperatur und damit der Widerstand
des Wolframfadens ansteigen, die I −V -Charakteristik ist
gekrümmt.
In reinen Metallen wächst der Widerstand linear mit der Temperatur,
wenn diese genügend hoch ist. Mit R ◦ , dem Widerstand
des Metalles bei 0 ◦ C, gilt R t = R ◦ (1 + β t),
β liegt zwischen 1/200 und 1/300 in der Grössenordnung der
Ausdehnungskoeffizienten α = 1/273 der idealen Gase (Elektronengas).
Bei sehr niedrigen Temperaturen T → 0 wird bei
Metallen der Widerstand nicht linear Null, sondern er verläuft
mit ∝ T 5 gegen einen Restwiderstand (Nullpunktsenergie).
Es gibt auch Metalle (Legierungen und Verbindungen z.B.
Nb 3 Sn), deren sezifischer Widerstand ρ unterhalb einer Sprungtemperatur
T c auf exakt Null sinkt. Diese Supraleitung wurde
1911 von Kamerlingh-Onnes entdeckt. In supraleitenden Metallen
können Ströme ohne Ohmsche Verluste, d.h. ohne Energiezufuhr
beliebig lange fliessen 31 .
Bei Isolatoren erhöht sich die Leitfähigkeit mit steigender Temperatur. Z.B. ein normalerweise
isolierender Kochsalzkristall wird bei erhöhter Temperatur leitend, es können
Elektronen eingespritzt werden, welche sich durch den Kristall bewegen.
3.2.2 Halbleiter †
Halbleiter sind Materialien, deren Leitfähigkeit von der guter Metalle bis zu jener guter
Isolatoren reichen kann. Im Gegensatz zu Metallen kann in Halbleitern die Zahl der
Ladungsträger stark variiert werden durch: Temperaturänderungen, Einbau von Fremdatomen
(Dotieren), stöchiometrische Abweichungen, elektrische und magnetische Felder.
Meist nimmt die Leitfähigkeit mit steigender Temperatur zu, da die Zahl der Ladungsträger
wächst [vgl. Gl. (37)].
31 1957 entwickelten John Bardeen, Leon Cooper und Bob Schrieffer die BCS-Theorie der Supraleitung.
Sie kann durch die paarweise Wechselwirkung von Elektronen, die dabei Cooper-Paare (Spin=0 Bosonen,
für die das Pauli-Prinzip nicht gilt) bilden, erklärt werden. Cooper-Paare können sich ungehindert durch
das Metall bewegen. “Hochtemperatursupraleitung” wurde 1986 von K.A. Müller und J.G. Bednorz in
Zürich bei IBM an Perovskiten entdeckt und mit dem Nobelpreis geehrt. Die höchste bisher bekannte
Sprungtemperatur liegt bei 133 K. Der genaue Mechanismus im Hochtemperatursupraleiter ist bisher
noch nicht bekannt.
l
A
36

Bändermodell (Festkörperphysik I, s.u.) beschrieben. Es
Spezifischer Widerstand
gibt Halbleiter mit Eigenleitung, in denen durch Wärmebewegung
oder geeignete Bestrahlung ein Bruchteil der
ρ [Ωm] von Halbleitern
Leiter 10 −8 − 10 −6
Halbleiter 10 −4 − 10 7 Elektronen beweglich wird (Übergang vom Valenzband ins
Isolatoren 10 12 Leitungsband). Dazu ist eine minimale Energie notwendig,
die bei tiefen Temperaturen nicht zur Verfügung steht, der
Das elektrische Verhalten von Halbleitern wird durch das
Halbleiter wird im Gegensatz zum Metall ein Isolator.
Si
Durch kontrollierten Einbau von Fremdatomen entsteht die
❢ ❢ ❢ ❢ Störstellenleitung. Im vierwertigen Silizium oder Germanium
kann fünfwertiges Arsen, Phosphor oder Antimon eingebaut werden
❢ ❢ ❢ ❢
(dotieren). Dieser Einbau stört möglichst wenig, wenn das
❢ ❢
As-Atom auch vier Bindungen zu seinen nächsten Si-Nachbarn
❢ ✈ As+ ❢ eingeht. Dabei gibt es sein Valenzelektron ab, das zum Leitungselektron
⊖ Leitungselektron
wird. Solche Fremdatome heissen deshalb Donatoren
❢ ❢ ❢ ❢ und das Material ist ein n-Halbleiter mit negativen Ladungsträgern.
Si
❢ ❢ ❢ ❢
❢ ❢ ❢ ❢
❢ ❢ ❢ ✈ B− ❢
⊕ Defektelektron
❢ ❢ ❢ ❢
Einen p-Halbleiter mit positiven Ladungsträgern erhält man
mit einer Dotierung von Bor, Gallium, Aluminium oder Indium.
Um 4 Bindungen einzugehen muss ein B-Atom ein Elektron
aufnehmen (das Fremdatom ist ein Akzeptor), das einer Si-Si-
Bindung entnommen wird, in der ein Loch (Defektelektron)
entsteht, das wie ein positives Teilchen wirkt. Durch gezieltes
Dotieren können so p- und n-Halbleiter hergestellt werden, die
für die Technik von grosser Bedeutung sind.
p- und n-Halbleiter haben einen Überschuss des entsprechenden Ladungsträgers, zur
Leitfähigkeit σ tragen daher beide bei und mit Gl. (38) gilt dann
σ = σ + + σ − = e (n + b + + n − b − )
n und b sind die Konzentrationen und Beweglichkeite der jeweiligen Ladungsträgersorte.
Da die positiven Defektelektronen oder “Löcher” in Richtung des ⃗ E-Feldes wandern,
tragen sie im gleichen Sinne zum Gesamtstrom bei wie die Elektronen.
Das Bändermodell der Festkörper
In einem einzelnen Wasserstoffatom (Proton+Elektron) ist das Elekton im niedrigsten
Zustand bei E B (1s) =-13.6 eV und im nächst höheren Zustand bei E B (2s, 2p) =-3.4 eV
gebunden 32 . Beide Zustände liegen also weit auseinander (Fig. S.37).
eV(r) r
Nähern sich zwei Atome, so überlappen sich die Orbitale (Potentiale)
etwas und analog zum gekoppelten Pendel (Kap. ?? Fig. S.??)
2s, 2p
-3.4 eV
E(r)
entsteht aus den vorher energetisch identischen,
entarteten Zuständen durch die
entartet
2s
1s
-13.6 eV
Termschema
des H-Atoms
Zustande " im H 2 - Molekul "
Kopplung ein gemeinsames System mit
∆Ε ∼10 eV
1s jeweils zwei dicht beieinanderliegenden
r Elektronenzuständen sowohl für den besetzten
Grundzustand als auch für den
nicht besetzten angeregten Zustand.
32 Nach quantenmechanischer Rechnung mit der Schrödinger-Gleichung ist E B = mc2
2
37
(Zα) 2
n 2

Bei noch geringerem Abstand wird die Entartung immer weiter aufgehoben und die zunächst
um ca 10 eV auseinanderliegenden 1s und 2s Zustände nähern sich wie in der
Figur angedeutet einander an.
eV(x)=E pot
Setzt man in einem linearen Modell
Leitungsband N Atome äquidistant aneinander,
∆E dann erhält man eine Reihe von gleichen
Potentialen, die schwach gekop-
Valenzband
x
pelt sind, und damit eine N-fache
Aufhebung der Entartung 33 zu einer Bandstruktur in einem Festkörper mit einer angenähert
regelmässigen Struktur. Im tieferen Valenzband sind alle Zustände besetzt und
eine Leitung ist wegen des Pauli-Prinzips 34 nicht möglich. Das Leitungsband ist leer,
eine Leitung ist nicht möglich, wenn Elektronen aus dem Valenzband die Energiedifferenz
∆E nicht überwinden können, dieser Festkörper ist ein Isolator. Ist die Bandlücke ∆E
klein, dann ist dieser Festkörper bei tiefen Temperaturen ein Isolator. Bei 300 K kann
nur eine Energie von 0.026=1/40 eV aufgenommen werden. Bei sehr hohen Temperaturen
kann durch die thermische Energie die Bandlücke überwunden werden und es entsteht ein
Eigenhalbleiter. Metalle (gute Leiter), Isolatoren und Halbleiter unterscheiden sich damit
E pot
durch die Bandlücke ∆E:
leeres
Leitungsband Metalle: ∆E < 0, beide Bänder
∆E überlappen und beliebig viele
gefulltes " Elektronen können aus dem Valenzband
im Leitungsband zur
Valenzband
Leiter
Isolator
Leitung beitragen.
Isolatoren: ∆E > 3 eV, das Leitungsband ist leer, es ist kaum Eigenleitung möglich
(∆E ≈7 eV für Diamant).
Halbleiter: 0 < ∆E < 3 eV, es ist eine schwache Eigenleitung möglich (1.1 eV für Si).
Verunreinigungen (Dotierung als kontrollierte Verunreinigung)
verschieben das Valenz- und Leitungsband und
leeres
E pot Leitungsband
- - - - - Elektronen können damit positive (Donatoren, Löcherleitung) oder negative
(Akzeptoren, Elektronenleitung) Ladungsträger, die
+ + + + + + +
Donatoren
- - - - - - Akzeptoren ∆E
+ + + + + + Locher "
nahe (≈ 0.03 eV) an den Bändern liegen, in das Valenzband,
bzw. Leitungsband liefern und damit die Eigenschaft
gefulltes " Valenzband
eines Halbleiters als p- oder n-Leiter erzeugen.
Halbleiterbauelemente
Die Halbleiterdiode
+ Locher "
- Elektronen
- - + - + + +
+
+
-
+
-
+
+
+
- + - -
- -
+
-
-
-
+
+
n-Halbleiter p-Halbleiter
E pot
Leitungsband
n-Seite
+
-
-
ladungsarmer
Ubergang "
Valenzband
p-Seite
In Halbleiterbauelementen wie Dioden und Transistoren sind n- und p-Leiter miteinander
verbunden, zwischen beiden bildet sich eine Übergangszone aus. Wegen der unterschied-
33 Vgl. Zustände gekoppelter Schwingungen Kap. ??.
34 Nach der Quantenmechanik können Teilchen mit einem Spin=1/2 nicht gleichzeitig denselben Zustand
einnehmen. In der Potentialkette kann sich daher netto keine Ladung bewegen, da alle Zustände
des Valenzbandes besetzt sind.
38

lichen Konzentrationen diffundieren Elektronen in den p-Leiter, Löcher in den n-Leiter
und bilden eine Ladungsdoppelschicht, die ähnlich wie beim Kondensator eine Potentialdifferenz
aufbaut.
-
+
n-Seite p-Seite
- - + +
+ - - + - + +
- -
-
+ - + -
+
+
- +
- - + -
+
V
I
Durchlaβrichtung
+
-
n-Seite p-Seite
- + - + -
I
+ +
+
+
- - +
+
+
-
--
-
- +
- + -
+
+
- +
- -
-
+ +
- +
Sperrrichtung
V
Sperrichtung
Durchlaβrichtung
Diese Potentialdifferenz erlaubt nur eine Stromleitung durch diese Diode mit der positiven
Spannung an der p-Seite, wie in der Figur angegeben, mit der entsprechenden Diodencharakteristik.
Erhöht man in Sperrichtung bei einer Diode die Spannung, dann setzt bei der
Durchschlagsspannung durch Stossionisation ein Lawinendurchschlag ein (Zener-Diode
zur Spannungsstabilisierung werden nicht mehr hergestellt).
Die Tunneldiode
V
Leitungsband
gefullt "
leer
Valenzband
Tunneleffekt
ohne Spannung
kleine Spannung
groβe Spannung
Wird bei einer Diode die Dotierung so gross gewählt, dass die
I
Donatoren auf der n-Seite so viele Elektronen liefern, dass der
untere Teil des Leitungsbandes gefüllt ist, und die Akzeptoren
auf der p-Seite soviele Elektronen aufnehmen, dass der
obere Teil des Valenzbandes fast leer ist, dann ist der Übergangsbereich
Tunneldiode V
sehr schmal. Elektronen können dann bei einer
kleinen
Spannung durch den verbotenen Bereich tunneln (Tunneldiode). Die daraus resultierende
Diodencharakterestik mit einem steilen Anstieg wird zur Erzeugung schneller Signale
verwendet.
Die Solarzelle Eine Solarzelle hat eine dünne p-Schicht.
einfallendes Licht
Trifft ein Photon mit einer Energie grösser als die Energielücke
(1.1 eV in Si) auf die p-Schicht, kann es ein Elektron
I
R V
p-Halbleiter
n-Halbleiter
aus dem Valenzband in das Leitungsband anheben, es
kann durch die Übergangsschicht wandern und wird dann
zur n-Schicht beschleunigt. Es fliesst ein Strom, Lichtenergie
wurde in elektrische Energie umgewandelt.
Germanium- und Silizium-Detektoren
Durch Dotierung eines hochreinen Ge- oder Si-Einkristalles auf
ionisierendes Teilchen einer Seite als dünnen n-Leiter und der anderen als dünnen p-
+
- +
- +
- +
γ - C Leiter entsteht, entsprechend der Grösse des Einkristalles (bis
+ - 150 ccm), eine dicke, intrinsische Übergangsschicht mit einer hohen
Sperrspannung (500-1000 V), so dass kein Strom fliessen
e -
intr. R kann. Der Leckstrom wird durch eine saubere Oberfläche und
n V p
Kühlung auf Flüssig-Stickstoff-Temperatur (-196 ◦ C) im Vakuum
extrem reduziert.
Fliegt ein hochenergetisches, geladenes Teilchen durch den Detektor, dann erzeugt es
39

in der intrinsischen Schicht durch Ionisation negative und positive Ladungsträger, die
von der angelegten Spannung abgesaugt werden. Die Grösse dieses an der Kapazität C
abgegriffenen Stromimpulses ist proportional zu der Zahl der erzeugten Ionenpaare 35 und
damit zur abgegebenen Energie. Ein Photon erzeugt durch Photoeffekt ein Elektron in
der intrinsischen Schicht, dessen Energie der Energie des Photons entspricht. Mit diesem
Germanium- oder Silizium-Detektor wird die Energie von geladenen Teilchen oder
von γ-Quanten im Energiebereich 10 keV bis 10 MeV mit hoher Auflösung (≈ 10 −4 )
spektroskopiert.
Der Transistor
Kollektor
Basis
p-Typ
n-Typ
Basis
Kollektor
Kollektor
Basis
n-Typ
p-Typ
Basis
Kollektor
Emitter
p-Typ
Emitter
Emitter
n-Typ
Emitter
pnp-Transistor
npn-Transistor
Der Transistor 36 besteht aus drei Halbleiterschichten, einem Emitter, einem Kollektor
und einer dünnen Basis zwischen den beiden, die vom anderen Typ sind 37 . Die Schaltsymbole
für einen pnp- und npn-Transistor sind angegeben. I K +i K
V EB
-
+
I B
B
I E
I K
K
E
-
+ V K
pnp-Transistorschaltung
Eingangssignal R B B
vein
~ I B +i B
-
V EB
I
+
E
K
E
R V
-
+ V EK
pnp-Transistorverstarker "
Ausgangssignal v aus
In der Figur ist der E-B-Übergang in Durchlassrichtung und der B-K-Übergang in Sperrichtung
geschaltet. Der stark dotierte Emitter emittiert Löcher, die über E-B zur dünnen
Basis und bis in den Kollektor fliessen i K . Die in der Basis rekombinierten Löcher erzeugen
einen Ladungsüberschuss, der den Strom verhindert, was durch die Basisspannung V EB
teilweise verhindert wird. Da I K ≈ I E und I B ≪ I K gilt, erhält man eine
Stromverstärkung I K = βI B mit β = 10...100.
In der einfachen Transistorverstärkerschaltung (Fig. rechts) wird die Eingangsspannung
v ein entsprechend der Widerstände R V und R B sowie des Stromverstärkungsfaktors β mit
der Spannungsverstärkung
v aus
R V
= β verstärkt 38 .
v ein R B + R Bi
Transistoren haben bis auf einige Spezialfälle die Röhrenverstärker vollständig abgelöst.
In der Form der integrierten Schaltung als Chips haben sie drastisch das Anwendungsgebiet
in der Elektronik verändert in Richtung eines minimalen Energieaufwandes
35 Der Energieverlust eines geladenen Teilchens pro erzeugtem Ionenpaar beträgt in Ge und Si 2-3 eV,
d.h. viel weniger als 30 eV in Gas. Damit werden in Ge und Si mehr Ionenpaare bei gleicher Energie des
Teilchens erzeugt und die Auflösung eines Halbleiterdetektors ist wegen der höheren Statistik der Zahl
der Ionenpaare viel besser als in einem Gas- oder NaJ-Detektor.
36 1948 von William Shockley, John Bardeen und Walter H. Brattain erfunden.
37 Diese Anordnung ist analog zur Funktion der Kathode, des Gitters und der Anode einer Röhre.
38 i B = vein
R B+R Bi
, v aus = i K · R V = βi B R V = βR V
v ein
R B+R Bi
, R Bi : Innenwiderst. Basis-Kollektor.
40

(mehr das Problem der Kühlung als des Stromverbrauches), schneller Signalverarbeitung
sowie sehr kleiner, kompakter Bauweise.
3.2.3 Leitung in flüssigen Elektrolyten
Elektrolyte sind Stoffe mit überwiegender Ionenleitung. Feste Elektrolyte sind z.B. AgI,
Alkalisalze, NaCl, KBr,. . . und Glas; flüssige Elektrolyte sind Lösungen von Salzen, Säuren
und Basen. Eine elektrolytische Dissoziation ist der Zerfall eines Moleküls oder Kristalls
in Ionen in der Lösung. Wegen seines grossen Dipolmomentes hat das Wasser eine starke
dissoziierende Wirkung. Je grösser die Dielektrizitätskonstante ε (z.B. ε(H 2 O) = 81) ist,
desto geringer sind die elektrostatische Kräfte zwischen den Ionen, desto grösser also die
spaltende Wirkung des Lösungsmittels.
❥
✒ I
+ −
Pt Pt
✲ ⃗ E
Wird mit Metallelektroden ein äusseres Feld ⃗ E im Elektrolyten erzeugt,
dann bewegen sich die positiven Ionen (Kationen) zur Kathode und die
negativen (Anionen) zur Anode. Die Ladungen der Ionen sind
q + = ν + e und q − = −ν − e, wenn ν + und ν − die entsprechenden
Wertigkeiten sind. Neben der Kraft q ⃗ E wirkt noch eine viskose Reibungskraft,
die proportional zur Geschwindigkeit v der Ionen ist. Im Gleichgewicht
zwischen beiden Kräften ist ⃗v = b ⃗ E. Die Beweglichkeit b
kann nur bestimmt werden, wenn Annahmen über die Reibungskraft gemacht werden
können. Mit dem Stokes’schen Reibungsgesetz und dem Ionenradius r ist
ν eE = 6πη rv und somit b = v E = νe
6πηr .
Die Stromdichte setzt sich aus dem Ionenstrom der Kationen und der Anionen zusammen
j = j + + j − = e (n + ν + v + + n − ν − v − ). Da die Lösung neutral ist, gilt n + ν + = n − ν −
und damit j = n + ν + e (v + + v − ) und mit v = bE folgt j = n + ν + e (b + + b − )E = σE
Damit ist die Leitfähigkeit eines Elektrolyten bei konstanter Temperatur und nicht zu
hohen Feldstärken σ = j E = n +ν + e (b + + b − )
Aus der Messung von σ wird nur die Summe der Beweglichkeiten bestimmt, das Verhältnis
von b + /b − kann jedoch festgelegt werden, wenn die beim Stromdurchgang auftretende
Konzentrationsänderung an den Elektroden gemessen wird. Aus dieser Analyse stammen
Beweglichkeiten [10 −8 m 2 /Vs]
b +
b −
H + 31.5 F − 4.66
Li + 3.34 Cl − 6.55
Na + 4.35 Br − 6.70
K + 6.46 I − 6.65
Rb + 6.75 SO −−
4 6.8
Cs + 6.8 CrO 4 7.2
Ca ++ 5.1 OH − 15.0
die Werte der Tabelle.
Wenn man von den hohen Werten für H + und OH −
absieht, sind die Beweglichkeiten aller Ionen infolge
ihrer Hydration etwa gleich. Ionen können Wassermoleküle
mit ihrem permanenten elektrischen Dipolmoment
binden. Mit dem Stokes’sche Reibungsgesetz
sollte b ∝ νe/r gelten. Kleine Ionen lagern jedoch
Wassermoleküle besser an, so dass ein grösserer Ionenradius
vorgetäuscht wird. Deshalb nimmt in der
Reihe Li + -Na + -Rb + die Beweglichkeit zu, obwohl die
Radien der freien Ionen zunehmen.
Der Strom in Elektrolyten ist mit einem Materietransport verbunden. n Ionen der Masse µ
transportieren eine Ladung I = nνe und eine Masse nν an eine Elektrode. In t Sekunden
41

wird also bei konstanter Stromstärke die Masse m = nµt = I
νe µt
abgeschieden. Mit
µ = Molmasse M folgt m = I M t = I M
[ ] Cb
N ◦ νeN ◦ νF t, F = N ◦e = 96 484.56 .
Mol
F , die Faradayzahl, ist die Ladung eines Mols einwertiger Ionen, aus einem gemessenen
F kann N ◦ bestimmt werden. Elektrolytische Leitung tritt auch bei pseudofesten Körpern
wie Glas ein, erhitztes Glas leitet gut.
3.2.4 Leitung in Gasen
Gase nicht zu hoher Temperatur bestehen aus neutralen Atomen oder Molekülen und sind
damit gute Isolatoren. Werden von aussen Ladungsträger in das Gas gebracht, z.B. durch
Photoemission an Elektroden oder wird das Gas durch Strahlung ionisiert, dann wird
es zum Leiter. Ein angelegtes elektrisches Feld erzeugt einen Strom. Da die Ladungen
✛
✓ d ✲
✏ durch äussere Einwirkungen entstanden sind und die Entladung
I
✻
✒
I
♠
✒
V
✑
nicht von selbst einsetzt, spricht man von einer unselbständigen
Entladung. Bei genügend hoher Spannung, so dass alle Ionen zu
den Elektroden gelangen, wird der Sättigungsstrom erreicht. Ein
kleiner Teil der primär gebildeten Ionen können durch Rekombination
zu neutralen Molekülen umgewandelt werden.
Bei niedrigem Gasdruck (Luft 0.1 Atm) wird die mittlere freie
Weglänge der Gasatome und Ionen grösser und die Ionen werden
auf so hohe Energien beschleunigt, dass sie beim inelastischen
Zusammenstoss neutrale Moleküle ionisieren können und
es entstehen neue Ionen und freie Elektronen, die wiederum ionisieren.
Durch diese Stossionisation entsteht eine selbständige
Entladung, bei der der Strom im wesentlichen durch die
✟
✲ V
V Zünd.
Stossionisation aufrecht erhalten wird. Bei niedrigen Drucken spricht man auch von Glimmentladung
mit der skizzierten Strom-Spannungs-Charakteristik.
Damit eine selbständige Entladung einsetzen kann, muss eine minimale Zündspannung V Z
vorhanden sein, die vom Gasdruck p und Elektrodenabstand d abhängt. Die von den ionisierenden
Elektronen und Ionen zurückgelegte freie Weglänge ¯l ist umgekehrt proportional zu p, d.h.
¯l ∝ 1/p. Man unterscheidet zwei Grenzfälle:
1. Ist ¯l ≪ d, so müssen die Elektronen zwischen zwei Zusammenstössen mit Gasatomen
genügend Energie erhalten, um ionisieren zu können, d.h. eE¯l = e V Z
d
¯l > eVion , mit V ion
der nötigen Spannung zur Ionisation. Die vom Elektron gewonnene Energie eE¯l wird
vollständig ans Gasmolekül abgegeben, also V Z ∝ d/l ∝ pd.
2. Ist ¯l ≫ d und V ≥ V ion , so erhalten die Elektronen genügend Energie eV , um ionisieren zu
können. Die Wahrscheinlichkeit mit einem Gasmolekül zusammenzustossen, ist proportional
zur Dichte der Teilchen und dem vorhandenen Volumen zwischen den Elektroden, also
∝ pd. Je kleiner die Wahrscheinlichkeit einer Kollision, um so grösser muss V Z werden:
V Z ∝ 1
pd . V Z(pd) erreicht ein Minimum bei (pd) ◦ (Gesetz von Paschen).
42

V z,min
V z
(pd) o
pd
Wird die Stromdichte einer Entladung so weit erhöht,
dass die Kathode infolge der Wärmeentwicklung Elektronen
emittiert, dann geht die Glimmentladung in den
Lichtbogen über. Die Charakteristik des Lichtbogens ist
fallend. Zunehmendes I ergibt höhere Wärmeentwicklung
und damit mehr Ladungsträger (Problem der Stabilisierung
eines Lichtbogens z.B. der Bogenlampe).
Anwendungen der Leitung in Gasen sind: Ionisationskammer, Proportionalzähler, Geigerzähler,
Vieldrahtkammer, Funkenkammer, Hochleistungsschalter usw.
3.2.5 Anwendungen der Gasentladung für Detektoren
Ionisationskammer, Proportionalzähler, Geigerzähler, Funkenkammer
ionisierendes Teilchen
C
- +
- +
- + - +
R
- V +
N g
N p
1
1M
Auslosebereich
"
Proportionalbereich
Plateau
teilweise Rekombination V
Eine Ionisationskammer kann als Plattenkondensator oder als
ein zylindrisches Zählrohr mit einem dünnen, zentrischen Kathodendraht
gebaut werden (s. Fig.). Es wird mit speziell ausgewählten
Gasen (CH 4 , Argon) gefüllt. Von einem geladenen durchfliegenden
Teilchen werden im Gas Ionenpaare gebildet, die von der
angelegten Spannung V zu einer Platte oder zum Draht
abgezogen werden und an dem Kondensator C ein
schnelles negatives Signal der Elektronen und ein langsames
positives Signal der Ionen erzeugen. Bei zu niedriger
Spannung rekombinieren etliche Ionenpaare. In einem
Plateau werden alle primär gebildeten Ionenpaare
N p gesammelt (N g ).
Bei einer steigenden Spannung setzt am Kathodendraht durch Stossionisation eine Gasverstärkung
ein proportional zu N p (Proportionalbereich), die dann im Auslösebereich in
eine vollständige Gasentladung unabhängig von N p übergeht (Auslösebereich des Geigerzählers).
Der Strom führt zu einem Spannungsabfall über R und die Gasentladung bricht
ab. Die bei der Entladung gebildeten langsamen Ionen werden durch Löschgaszusätze gebunden,
damit keine ’Nachimpulse’ durch Sekundärelektronen im Detektor auftreten.
Eine Funkenkammer ist ein mit Gas gefüllter Plattenkondensator, mit einer Spannung
knapp unter dem Durchschlag. Ein durchfliegendes geladenes Teilchen erzeugt eine
Ionisationsspur. Mit einem separaten, schnellen Szintillationszähler, in dem das durchlaufende
Teilchen als Trigger nachgewiesen wird, wird die Hochspannung über die Durchschlagsspannung
erhöht und es bildet sich ein Funken aus. Der Funken als Ort des Teilchendurchganges
kann optisch oder akustisch registriert werden. Die Funkenkammer ist
langsam (. . . ms), da nach dem Funken alle Ionen abgesaugt werden müssen, bevor die
Kammer wieder empfindlich ist.
Eine Proportionalkammer ist ein mit Gas gefüllter Plattenkondensator
mit gleichmässig angeordneten dünnen (20-50 µ)
Kathodendrähten, die im Proportionalbereich arbeiten und keine Stossionisation ausbilden.
Der Ort des Teilchendurchganges wird elektronisch durch den Draht, an dem ein
Signal erzeugt wird, identifiziert. Die Proportionalkammer ist schnell (100ns-1µs), da die
Gasverstärkung sich nur an wenigen Drähten ausbildet. Zwei Kammern mit den Drähten
senkrecht oder unter einem Winkel zueinander ergeben die Ortsinformation mit der Genauigkeit
des Drahtabstandes.
43

Bei einer Driftkammer wird mit einem zusätzlichen Detektor die Driftzeit der Elektronen
zu einem Kathodendraht gemessen und damit sehr genau (bis 20µ) der Ort des
Teilchens bestimmt (zukünftige Anwendung für die Tomographie).
3.2.6 Leitung in Vakuumröhren
Die Elektrizitätsleitung in Vakuumröhren ist ein Sonderfall der unselbständigen Entladung
im Hochvakuum. In einem Photomultiplier werden Elektronen mit der Photoemission
durch Licht aus der Kathode herausgelöst und erzeugen einen Strom.
I ♠ Röhren mit geheizter Kathode können durch Thermoemission von
✓ ✏ Elektronen Strom leiten. Bei der Thermoemission wächst mit steigender
Temperatur die thermische Energie der Elektronen, so dass
V A
✞ ☎
die rücktreibenden Spiegelkräfte an der Metalloberfläche überwunden
werden können, Elektronen verdampfen.
Die Stromdichte der Glühemission ist gegeben durch
I
Sättigung
J = AT 2 e −W/kT
Richardson-Gleichung
V A k: Boltzmann-Konstante, A = 6.02 · 10 5 A/m 2 K 2 ist nach
der Theorie für alle reinen Metalle gleich.
Die Austrittsarbeit der Elektronen W ist eine Materialkonstante, die meist in Volt angegeben
wird (Energie=eV vgl. Tabelle). Bei genügend hoher Anodenspannung V A erreicht
der Anodenstrom I den durch die Richardson-Gleichung gegebenen Sättigungsstrom.
Der Anodenstrom kann durch den Einbau eines Gitters als
Metall Austrittsarbeit
[V]
dritte Elektrode gesteuert werden (Triode). Am für Elektronen
durchlässigen Gitter liegt die Gitterspannung V
Pt 5.36
G bezüglich der
Kathode. Betrag und Vorzeichen von V
W 4.53
G bestimmen den Anodenstrom.
Bei einer ausreichenden negativen Gitterspannung
Ba 2.52
V
Cs 1.94 G wird der Anodenstrom I = 0, während bei zunehmender
Gitterspannung I bis zur Sättigung zunimmt.
♠ I
✓ ✏
I
V A
✞ ☎
V G
V A groβ
V A klein
V G
44

4 Magnetostatik
4.1 Die Lorentz-Kraft und das ⃗ B-Feld und ⃗ H-Feld im Vakuum
Im Kapitel 2 wurde gezeigt, dass ruhende Ladungen elektrische Felder ( ⃗ E und ⃗ D) erzeugen.
Der Ausgangspunkt war das Coulombsche Gesetz, das die elektrostatische Wechselwirkung
zwischen punktförmigen Ladungen beschreibt. Die Erfahrung zeigt uns aber, dass
auch Körper existieren, deren Wechselwirkung weder mechanischer noch elektrostatischer
Natur ist. Zwischen zwei Kompassnadeln wirken z.B. Kräfte, deren Ursachen nicht durch
gravitative oder elektrostatische Kräfte erklärt werden können. Um solche Kraftwirkung
zu beschreiben, ist es notwendig, neue Felder, die magnetischen Felder, zu definieren.
4.1.1 Erfahrungstatsachen und Fundamentalgesetze
1. Bewegte Ladungen, d.h. elektrische Ströme erzeugen magnetischen Felder, denn in
der Umgebung eines stromdurchflossenen Leiters wird eine Kompassnadel im allgemeinen
abgelenkt.
2. In einem magnetischen Feld erfährt eine bewegte Punktladung eine Kraft ⃗ F, die Lorentzkraft.
⃗ F steht immer senkrecht zur Geschwindigk ⃗v der Ladung. Ihr Betrag ist proportional
zur Ladung q und zu v.
⃗F
✻
☎
✟ ✟✟✯ B ⃗
✲ ⃗v
+q
Aufgrund dieser Tatsachen kann ein Vektor ⃗ B so bestimmt werden,
dass gilt 39 ⃗ F = konst. · q(⃗v × ⃗ B) (39)
⃗B ist ein magnetisches Feld, genannt magnetische Induktion.
Da die Ladung q schon festgelegt ist, ist ⃗ B in der Gl. (39) eine aus ⃗ F, q und ⃗v abgeleitete
Grösse; in SI-Einheiten wird die Konstante konst.=1 gesetzt. Damit ist die Einheit der
magnetischen Induktion 40 [Tesla] =
[ ] [ ] [ ]
N s Nm s V s
= [T] = = .
m Cb m 2 Cb m 2
Die Einheit von B, ein Tesla, bewirkt eine Kraft von 1 N, wenn ⃗ B und ⃗v = 1 m/s der
Ladung q = 1 Cb senkrecht aufeinander stehen.
Das Kraftgesetz lautet also ⃗ F = q · (⃗v × ⃗ B) Lorentzkraft (40)
Oft wird auch die Lorentzkraft mit der Coulombkraft zusammen zur Lorentzkraft des
elektromagnetischen Feldes zusammengefasst ⃗ F = q · ( ⃗ E + ⃗v × ⃗ B) (41)
Damit haben wir alle Voraussetzungen der Dynamik der elektromagnetischen Wechselwirkung
formuliert.
Da Strom bewegte Ladung ist, erfährt ein Leiter mit einer Stromstärke I in einem
39 Als Merkregel benutzen wir für die Richtung der Kraft die rechte Handregel mit einer positiven
Ladung. Man beachte, dass, wie später in der Teilchenphysik dargelegt wird, die elektromagnetische
Wechselwirkung invariant ist gegenüber Rechts- oder Links-Drehungen (Paritätserhaltung). Da das ⃗ B-
Feld ein Axialvektor ist, muss im Vektorprodukt die rechte Handregel zweimal angewandt werden, um
die Kraft als einen polaren Vektor zu erhalten. Vergleiche Phys AI Fussnote 11 S.9.
40 In SI-Einheiten ist die Lichtgeschwindigkeit in den elektrischen Einheiten enthalten, im cgs-System
tritt sie dagegen in den magnetischen Einheiten auf.
45

⃗F ✻
✟ ✟✯ B ⃗ ✲ ✲ I
d ⃗ l
⃗B-Feld eine Kraft. Ist d ⃗ l ein Leiterelement, so ist diese d ⃗ F = dq (⃗v× ⃗ B),
wobei gilt dq = I dt und ⃗v = d⃗ l
dt
, und damit
d ⃗ F = I (d ⃗ l × ⃗ B) (42)
3. Nachdem durch den Vektor ⃗ B das magnetische Feld definiert worden ist, können wir
auch die Tatsache, dass es keine magnetischen Punktladungen (Monopole) sondern nur
Dipole gibt, durch eine Gleichung zum Ausdruck bringen. Man kann in der Magnetostatik
auch ein Coulomb’sches Gesetz für die magnetischen Polstärken aufstellen. Also kann auch
der Satz von Gauss Gl. (24) auf das ⃗ B-Feld angewandt werden. Da aber in irgendeinem
Volumen die Summe der Polstärken Null ist, muss der Feldfluss Φ des Feldes durch eine
geschlossene Fläche A verschwinden. Damit lautet dieses Fundamentalgesetz
dA
B
∮
Φ mag = Φ =
A
⃗B · d ⃗ A = 0 [Vs] = [Weber] = [Wb] (43)
und differentiell als 2. Maxwell’sche Gleichung
∂B x
∂x + ∂B y
∂y + ∂B z
∂z = div ⃗ B = ⃗ ∇ · ⃗B = 0 .
Das magnetische Feld ist quellenfrei, d.h. es gibt keine magnetischen Punktladungen (magnetische
Monopole). Die Feldlinien sind geschlossen.
Woher kommen dann die magnetischen Felder? - Wir haben unter 1. gesehen, dass
elektrische Ströme Magnetfelder erzeugen. Damit wollen wir uns jetzt genauer befassen.
4.1.2 Die Gesetze von Biot-Savart und Ampère
Ein Magnetfeld übt eine Kraft auf eine bewegte Ladung aus, und da Strom bewegte Ladung
ist, auch auf einen stromdurchflossenen Leiter. Da actio=reactio gilt, muss auch
der stromdurchflossene Leiter auf das Magnetfeld wirken. Ein Magnet wirkt auf einen
anderen Magneten; also muss der stromdurchflossene Leiter (oder eine bewegte Ladung)
auch ein Magnetfeld erzeugen. Weiter überlegt man sich: Wenn ein Strom ein Magnetfeld
erzeugt und zwei Magnete untereinander wechselwirken, müssen auch zwei stromdurchflossene
Drähte über ihre erzeugten Magnetfelder aufeinander wirken. Dies legt nahe, dass
atomistisch auch ein Permanentmagnet durch Ströme erklärt werden kann.
Frage: Wie sieht das Magnetfeld eines gegebenen Stromes (resp. einer bewegten Ladung)
aus? - Die Antwort auf diese Frage wurde durch Ampère mit mehreren Experimenten
gegeben:
Das von einem Leiterelement d ⃗ l mit einem Strom I erzeugte Feld d ⃗ B steht senkrecht
zum Leiterelement d ⃗ l und senkrecht zum Ortsvektor (⃗r − ⃗r l ) zwischen diesem und dem
Ort des ⃗ B-Feldes. Dieser Zusammenhang kann durch das Vektorprodukt d ⃗ l × (⃗r −⃗r l ) beschrieben
werden. Weiter nimmt der Betrag des B-Feldes mit dem Quadrat des Abstandes
ab 41 .
41 Der Fluss durch eine geschlossene Kugelfläche ist konstant.
46

✏ ✏✏✶
✏ I ✞
✏✶ d⃗ l
✲ ✻d B ⃗
❆❑ ⃗r − ⃗r l
❆ ✁ ✁✕ ⃗r l ❆ ✁⃗r
❆❝
✁
Damit ist das vom Strom I im Leiterelement d ⃗ l am Ort ⃗r l erzeugte
Feld d ⃗ B am Ort ⃗r d ⃗ B = konst · I d⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3
Über die Proportionalitätskonstante kann man infolge der Festlegung der ⃗ B-Feldstärke
nicht mehr frei verfügen. Es ist
konst = µ 0
4π = 1 · 10−7 V s
A m ,
Induktionskonstante42 µ 0 = 4π · 10 −7 V s
A m
(exakt).
Somit gilt d ⃗ B = µ 0
4π I d⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3 ,
beziehungsweise B ⃗
µ 0 =
4π
∫Leiter
I d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3
Biot-Savart’sches Gesetz
im Vakuum
Analog zur Elektrostatik ist es wiederum zweckmässig, ein weiteres magnetisches Feld
(im Hinblick auf ein Medium) zu definieren. Man setzt für das Vakuum
⃗ B = µ0 ⃗ H
und nennt ⃗ H die magnetische Feldstärke. Das Biot-Savart’sches Gesetz 43 lautet somit
d ⃗ H = I
4π
d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3 , resp. ⃗ H =
I
4π
Die Einheit der magnetischen Feldstärke 44 H ist
ϕ
→
r
P
→
dH
∫
[ ] Amp
m .
Leiter
d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3 (44)
Wie sieht nun das magnetische Feld eines langen, geraden Leiters 45 mit Strom I aus?
d ⃗ I Wir wenden das Biot-Savart’sche Gesetz an und finden
l ϑ
→
l ρ
bei P |dH| ⃗ = I |d ⃗ l × ⃗ρ|
= I dl sin ϑ
, mit
4π ρ 3 4π ρ 2
ρ =
r
r dϑ
, l = −ρ cos ϑ = −r cot ϑ, dl =
sin ϑ sin 2 ϑ
42 oder absolute Permeabilität.
43 Jean-Baptiste Biot 1774-1863
44 Das “wirkliche” Magnetfeld, das auf bewegte Ladungen ein Kraft ausübt, ist die magnetische Induktion
⃗ B. Die magnetische Feldstärke ⃗ H dagegen kann man aus gegebenen (makroskopischen) Strömen
berechnen. Die Situation ist ähnlich wie in der Elektrostatik. Dort ist das elektrische Feld ⃗ E das “wirkliche”,
welches auf Ladungen eine Kraft ausübt. Die dielektrische Verschiebung ⃗ D hingegen kann aus
einer gegebenen (typisch vom Experimentator vorgegebenen) Ladungsdichte ρ berechnet werden. Die
Namensgebung und die Beziehungen (im Vakuum) ⃗ B = µ 0
⃗ H und ⃗ D = ǫ0 ⃗ E können einen dazu verleiten,
einerseits das ⃗ E- und ⃗ H-Feld und andrerseits das ⃗ D- und ⃗ B-Feld einander zuzuordnen. Man soll das
jedoch auf keinen Fall tun und sich merken: ⃗ E und ⃗ B sind die “wirklichen” Felder, ⃗ D und ⃗ H dagegen
kann man als Hilfsfelder oft einfacher berechnen.
45 Es muss Zylindergeometrie gelten, d.h. |d ⃗ H| ist unabhängig von ϕ.
47

d
I
I
dϕ
r o
ro
d ⃗ l
d cos
d
ergibt sich dH = I sin ϑ dϑ
4π r
und H = I ∫ π
H → 4πr sin ϑ dϑ =
I
0 4π r · 2 = I
2πr .
Die Magnetfeldlinien sind konzentrische Kreise.
H →
H
Mit dem “Umlaufintegral” längs einer Feldlinie ist mit der
Rotationssymmetrie H(ϕ) =konst.
∮ ∫ 2π
⃗H · d ⃗ l = H dϕ r 0 =
0
∫ 2π
0
I
dϕ r 0 = I 1
2π r 0 2π 2π = I
und damit H = I/(2π r ◦ ), wie oben berechnet.
Dasselbe Resultat erhält man auch, wenn der Integrationsweg
eine beliebige Kurve ist:
⃗H · d ⃗ l = H dl cosα = H r 0 dϕ =
I r 0 dϕ = I
2π r 0 2π dϕ.
Also gilt für eine beliebige Kurve das Gesetz von Ampère:
∮
⃗H · d ⃗ l =
∑
I
(elektromagnetische Verkettung)
Hierbei stellt ∑ I die Summe aller Ströme dar, die durch den Integrationsweg eingeschlossen
werden. I ist dabei positiv zu rechnen, wenn die Stromrichtung in Bezug auf die
Integrationsrichtung einer Rechtsschraube entspricht.
Das Ampère’sche Gesetz ∮ C ⃗ H · d ⃗ l = ∑ I der Magnetostatik entspricht (in einem
gewissen Sinne) dem Gauss’schen Satz Gl. (7) ∮ A ⃗ E · d ⃗ A = 1 ǫ 0
∑ Q der Elektrostatik.
Es kann in Spezialfällen (z.B. Symmetriebetrachtung wie oben) zur Berechnung von ⃗ H
benutzt werden.
Diese elektromagnetische Verkettung (Verkettung von Magnetfeld und bewegter Ladung)
wird zur Definition des Ampère benutzt: Wir wollen die Kraft zwischen zwei geraden
und parallelen, stromdurchflossenen Leitern betrachten. Die magnetische Induktion B 1
d
I 1
. dF
I 2
herrührend von I 1 am Ort I 2 ist B 1 = µ 0 I 1
2π d .
Die Kraft dF auf ein Leiterelement dl 2 beträgt nach Gl.(42)
d
d ⃗ l
B 1
dF = I 2 dl 2 B 1 = µ 0 I 1 I 2
2π d dl 2 .
Parallele Ströme ziehen sich an, antiparallele stossen sich ab 46 .
Die gesetzliche Definition des Ampère 47 und damit auch des Coulomb beruht auf dieser
Kraftwirkung. Ist nämlich I 1 = I 2 = I, d = 1 m und beträgt die Kraft pro Längeneinheit
46 vgl. die Stabilisierung eines Elektronen- oder Ionenstrahls gegen die Coulombabstossung
47 André-Marie Ampère (1775-1836) in Polémieux (Rôhne). Der Vater war Händler und Stadtrat in
Lyon, er wurde als Gegner der Republik 1793 unter der Guillotine hingerichtet. Napoléon machte Ampère
zum Professor für Mathematik in Bourg und 1809 in Paris. Da er eine Einladung Napoléons vergass,
sagte man ihm Zerstreutheit nach. Nach Oerstedts Entdeckung der Elektrizität und Magnetismus fand
Ampère nach einer Woche die rechte Handregel und es folgten: die einen Leiter umkreisende Kraft,
48

2 · 10 −7 N/m, so setzt man I = 1 Ampère. Die Induktionskonstante µ 0 bekommt damit
den uns bekannten Wert von µ 0 = 4π · 10 −7 N A 2 oder
Vs
Am
j n
dA
j
dr
C
B
Hat man eine Stromverteilung mit der Stromdichte ⃗j und
ist C wiederum eine geschlossene Kurve, welche die Fläche
A umrandet und ist ferner dA ein Flächenelement von A,
so ist ∑ I = ∫ A j n dA. Sei nun d⃗r ein Linienelement von C;
dann lautet das Ampère’sche Gesetz
∮
C
∫
⃗H · d⃗r =
A
∫
j n dA =
A
⃗j · d ⃗ A
H x (y)
dx
x,y,z
1
j z
dy
4
2
3
H y (x)
dx
H x (y+dy)
Wählen wir für C ein Rechteck in der xy-Ebene
mit infinitesimalen Seitenlängen dx und dy, so
gilt für diesen differentiellen Weg
⃗H · d⃗r = H x (x,y,z)dx + H y (x + dx,y,z)dy
−
H x (x,y + dy,z)dx − H y (x,y,z)dy
z
x
dy
y
H y (x+dx)
= j z dxdy ,
oder
∂H y
∂x − ∂H x
∂y = j z .
Analog gilt ∂H z
∂y − ∂H y
∂z = j x und ∂H x
∂z − ∂H z
∂x = j y ; d.h. rot ⃗ H = ⃗ ∇ × ⃗ H = ⃗j (45)
Die ist die 4. Maxwell’sche Gleichung (vgl. S.85) für stationäre Zustände. Das Magnetfeld
ist also ein Wirbelfeld mit dem elektrischen Strom als Ursache. Existieren elektrische
Ströme, dann sind diese von geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben (vgl. Gleichung
(43)). Da also rot ⃗ H = ∇ × ⃗ H ≠ 0, existiert kein magnetisches skalares Potential,
wie im folgenden Kapitel 4.1.3 diskutiert wird; dies im Gegensatz zur Elektrostatik, wo
rot ⃗ E = ∇ × ⃗ E = 0 gilt.
4.1.3 Das Vektor-Potential †
Die Maxwell-Gleichungen (76) stellen eine reine mathematische Struktur der elektromagnetischen
Wechselwirkung dar. ⃗ E, ⃗ B sind miteinander gekoppelt und sie sind die beiden Observablen
(physikalisch messbare Grössen) dieser Wechselwirkung. Die Lösungen der Maxwell-Gleichungen
mit entsprechenden Randbedingungen sollten alle physikalischen Phänomene beschreiben, wenn
die Grundgleichungen richtig sind. Dabei beschreiben die Randbedingungen ∂/∂t = 0 die Elektrostatik
und Magnetostatik, ∂/∂t ≠ 0 die Elektrodynamik und die Erzeugung von elektromagnetischer
Strahlung, sowie ρ = 0, j = 0 das Verhalten im Vakuum (vgl. Kap. ?? sowie Physik
III und theoretische Physik Elektrodynamik).
Zur Lösung der Maxwell-Gleichungen versucht man das ⃗ E-Feld (polarer Vektor beinhaltet
eine Richtung) und das ⃗ B-Feld (Axialvektor beinhaltet einen Drehsinn) durch mathematische
Grössen darzustellen, die einfacher zu behandeln sind. Mathematisch können physikalische
Anziehung stromdurchflossener Leiter, Kreisströme als magnetische Dipole, Magnetismus als Kreisströme
im Magneten.
49

Grössen durch den Differentialoperator ∇ in der Stufe erhöht oder erniedrigt werden 48 . Diese
Reduktion führte beim ⃗ E-Feld mit Gl. (3) zum skalaren elektrostatischen Potential V (⃗r) und
mit der 1. Maxwell Gleichung (9) zur Poisson’schen Differentialgleichung (10).
Das Axialvektorfeld ⃗ B als nichtkonservatives Wirbelfeld kann nun nicht durch ein skalares
Potential dargestellt werden 49 . Es kann jedoch eine allgemeine Relation des Operators ∇ benutzt
werden zusammen mit der Quellenfreiheit des ⃗ B-Feldes ∇ · ⃗B = 0 (es gibt keine magnetischen
Monopole).
Für jedes Vektorfeld gilt allgemein ∇ · (∇ × ⃗ A) = 0 = div rot ⃗ A. Damit kann (∇ × ⃗ A) = ⃗ B
gesetzt werden und ⃗ B wird durch ein Vektorpotential ⃗ A dargestellt:
⃗B(⃗r, t) = ∇ × ⃗ A(⃗r, t) (46)
Im folgenden ist in der Magnetostatik ∂ ∂t = 0, t wird weggelassen. Das Vektorpotential ⃗ A ist
analog zum skalaren Potential V keine Observable und es kann wie zu V eine beliebige vektorielle
Konstante zu ⃗ A addiert werden. Die Beziehung ⃗ B = ∇ × ⃗ A bleibt auch dann erhalten. Es kann
auch der Gradient eines skalaren Potentials ∇ψ addiert werden, da allgemein gilt ∇ × ∇ψ = 0.
Diese Willkürlichkeit wird i.a. durch eine Zusatzbedingung (Eichung 50 ) von ⃗ A festgelegt, z.B.
mit ∇· ⃗A = 0. Es gilt dann mit der Vektorbeziehung [Anhang C.2] ∇×(∇× ⃗ A) = ∇(∇· ⃗A)−∇ 2 ⃗ A
∇ × B ⃗ = µ ◦
⃗j = ∇ × (∇ × A) ⃗ = ∇ (∇ · ⃗A) −∇ 2 A ⃗
} {{ } ⇒ ∇
2 A ⃗ = ∆A ⃗ = −µ◦ ⃗j
= 0
Diese Gleichung ist die zu V analoge Poissongleichung des Vektorpotentials, die für die Komponenten
A x A y A z als skalare Differentialgleichungen ∆A x = −µ ◦ j x usw. geschrieben werden
kann 51 . Mit entsprechenden Randbedingungen können dann Lösungen der Magnetostatik gefunden
werden.
4.2 Anwendungen der Gesetze von Lorentz, Ampère und Biot-
Savart
Das Ampère’sche Gesetz kann als ∮ C ⃗ H ·d⃗r = ∫ A j n dA(= ∑ I) nur in Spezialfällen besonders
einfacher Geometrie angewandt werden (wenn zum Beispiel ⃗ H entlang dem Integrationsweg
konstant ist). Normalerweise benutze man das Biot-Savart’sche Gesetz oder die
48 Vergleiche die Tensoralgebra. [Skript Physik AI Anhang C.2 und C.4].
49 Es ist ∇ × E ⃗ = 0 damit E ⃗ = −∇V (⃗r) und mit ∇ · ⃗E = ρ/ε ◦ erhält man ∆V (⃗r) = −ρ/ε ◦ . Wegen
∇ × B ⃗ = µ ◦
⃗j ≠ 0 ist dieser Weg für B ⃗ nicht möglich.
50 In der Elektrodynamik ist ∇ · ⃗A+ε ∂V ◦ µ ◦ ∂t
= 0 die Lorentz-Eichung. Hier in der Elektro- und Magnetostatik
ist dann ∇ · ⃗A = 0. Aus praktischen mathematischen Gründen werden auch andere Eichungen
benutzt.
51 In der Relativitätstheorie ist es zweckmässig das vierdimensionale Raum-Zeit-Kontinuum durch
den vierdimensionalen Vektor r µ = (ct,x,y,z) zu beschreiben. Analog ist das Viererpotential
A µ = (V/c,A x ,A y ,A z ). Das E- ⃗ und B-Feld ⃗ kann dann mit dem elektromagnetischen Feldtensor
⎛
⎞
0 −E x −E y −E z
F µν = ⎜ E x 0 −B z B y
dargestellt werden.
⎟
⎝ E y B z 0 −B x
⎠
In SI-Einheiten ersetze
E → √ 4πε
E z −B y B x 0
◦ E und B → √ 4π/µ ◦ B.
Der Feldtensor zeigt in der Vereinheitlichung des magnetischen und elektrischen Feldes zur elektromagnetischen
Wechselwirkung, dass beide Felder verschiedene ”
Ansichten“ der einzigen elektromagnetischen
Wechselwirkung sind.
50

differentielle Form des Ampère’schen Gesetzes ⃗ ∇ × ⃗ H = ⃗j und auch ⃗ ∇ · ⃗B = 0 oder auch
das Vektorpotential mit ∆ ⃗ A = −µ ◦
⃗j. (Vgl. auch die Elektrostatik, in der man eher von
der Poissongleichung als vom Gauss’schen Satz ausgeht.)
4.2.1 Das magnetische Feld eines Kreisstromes
Wir berechnen zunächst das magnetische Feld ⃗ H auf der Achse eines Kreistromes 52
mit Gl.(44) zu
dH ⃗ = I d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
,
4π |⃗r − ⃗r l | 3
dabei ist d ⃗ l ⊥ (⃗r − ⃗r l ). Die Beiträge dH ⃗ der einzelnen Leitungselemente d ⃗ l liegen auf einem
Kreiskegel, dessen Achse die Achse des Kreisstromes ist (z-Richtung). Also liegt
das resultierende dH-Feld ⃗ in der z-Richtung. Es ist
z ϑ →
dH
.
dH z = I dl cos ϑ
4π |⃗r − ⃗r
r → l | ; wobei man aus der Skizze sieht,
2
⃗r − ⃗r l
√
dl ϑ dass gilt |⃗r
.
dϕ
l | = r 0 , |⃗r| = z , |⃗r − ⃗r l | = r0 2 + z 2 ,
r o
⃗r l
r 0
cos ϑ = und dl = r 0 dϕ. Eingesetzt ergibt dies
I
√r0 2 + z 2
dH z = I
4π
r 2 0 dϕ
(r 2 0 + z 2 ) 3 2
, also H(z) =
∫ 2π
ϕ=0
dH z =
I r 2 0
2 (r 2 0 + z 2 ) 3 2
Für den Mittelpunkt z = 0 der Stromschleife gilt H(0) = I/(2r 0 ) . Für Punkte auf der
z-Achse, die weit von der Stromschleife entfernt liegen, also für z ≫ r 0 , erhalten wir
H(z) = I r2 0
2z 3 = I π r2 0
2π z 3 = I A
2π z 3 ∝ 1 z 3 , (47)
wobei A = π r0 2 die vom Strom eingeschlossene Fläche darstellt.
Wir vergleichen dieses letzte Resultat mit der entsprechenden Feldstärke eines
elektrischen Dipols mit dem Dipolmoment ⃗p = q ⃗ l. Für Punkte auf der
✻
z Symmetrieachse ist
✉−q
◦
✉+q
✻ ⃗ l ✻ E(z)
E(z) =
q 1
(
4π ǫ 0 (z − l − 1
2 )2 (z + l)2) = q 1 1
4π ǫ
2 0 z 2( (1 − l − 1
2z )2 (1 + l )2) 2z
Für z ≫ l benutzen wir die Näherungen
(1 − l
2z )−2 ≈ 1 + l z , (1 + l
2z )−2 ≈ 1 − l z
und finden E(z) = q · l
2π ǫ 0 z 3 =
.
p
2π ǫ 0 z 3 ∝ 1 z 3
Der Vergleich mit Gleichung (47) zeigt, dass eine Stromschleife und ein elektrischer Dipol
die gleiche Ortsabhängigkeit der Feldstärken haben. Ausführlichere Rechnungen ergeben
ferner, dass dies nicht nur für Punkte auf der Symmetrieachse, sondern für ganz beliebige
52 Dies ist die klassische Berechnung des magnetischen Dipolfeldes eines in einer Bohr’schen Bahn
gebundenen Elektrons, das in der Atomphysik zur Feinstrukturaufspaltung führt, der Wechselwirkung
des magnetischen Moments des Spins des Elektrons mit dem Dipolfeld der Bahn (Spin-Bahn-Kopplung).
51

Punkte des Raumes der Fall ist, wenn deren Abstände gross gegen l bezw. r 0 sind. Eine
Stromschleife besitzt somit ein magnetisches Dipolmoment 53
→
m m
I
⃗m m = I ⃗ A . (48)
Da das Vorzeichen des Magnetfeldes eines magnetisches Dipols von der Stromrichtung in
der Stromschleife abhängt, kann man das Diplomoment m m auch als Vektor schreiben.
⃗m m steht senkrecht auf der Kreisstromfläche, seine positive Richtung ist durch die Rechte-
Hand-Regel bestimmt.
Das Nah-Feld eines elektrischen Dipols und eines magnetischen Dipols sehen folgendermassen
aus:
Auch ein langes, permanent magnetisiertes
elektrisches Dipolfeld magnetisches Dipolfeld
Stahlstäbchen (z.B. eine Kom-
passnadel) erzeugt in grossen Distanzen
- +
ein H-Feld, ⃗ das äquivalent demje-
nigen eines geeignet gewählten Kreisstromes
ist. Ein solches Stäbchen besitzt
also auch ein magnetisches Dipolmoment.
4.2.2 Das Magnetfeld einer langen Spule (Solenoid)
deren N Windungen dicht nebeneinander liegen und deren Länge l gross gegenüber dem
Durchmesser ist. Dann beobachtet man, dass das Feld ausserhalb der Spule sehr schwach
ist im Verhältnis zum Feld im Innern.
A
Für den eingezeichneten, geschlossenen Weg ABCD gilt
B
D
C
∮ ∫B
⃗H · d⃗r =
⃗H · d⃗r +
∫ C
⃗H · d⃗r +
∫ D
⃗H · d⃗r +
∫ A
⃗H · d⃗r =
A
B
C
D
= 0 + 0 + Hl CD + 0 = Hl CD = nI = N l l CD I
Nach dem Ampère’schen Gesetz ist dieses Integral gleich dem durch das Rechteck fliessenden
Strom, das heisst, wenn n = N l l CD die Anzahl Windungen auf der Strecke l CD
ist, dann ist nI der gesamte Strom durch das Rechteck ABCD, und somit gilt für das
Feld im Innern einer langen Spule
H = N l I . (49)
Dieses Feld ist unter Vernachlässigung der Randeffekte homogen, es ist nicht vom Ort
abhängig.
4.2.3 Magnetischer Dipol im homogenen Magnetfeld (oder Messung des Erdfeldes
mit einer Kompassnadel)
Wir wollen die Bewegungsgleichung eines magnetischen Dipols, z.B. einer Kompassnadel,
in einem homogenen Magnetfeld herleiten. Auf Grund der Ähnlichkeit zwischen elektri-
53 Der Ausdruck “magnetisches Dipolmoment” ist etwas irreführend, da es sich ja nicht um magnetische
Pole handelt, sondern um eine elektrische Stromschleife, deren Magnetfeldlinien bei grossem Abstand den
gleichen Verlauf zeigen wie die Feldlinien des elektrischen Dipols.
52

schen und magnetischen Dipolen denken wir uns die Kompassnadel durch zwei magnetische
“Ladungen” (Polstärken) +p und −p ersetzt, welche den Abstand l haben.
B +F +p
Das Dipolmoment ist also ⃗m m = p ⃗ l, wobei ⃗ l von −p nach +p
weist (wie beim elektrischen Dipol). Die resultierende Kraft
eines homogenen Feldes ⃗ B ist Null, das Feld übt aber ein Drehmoment
aus. Bezüglich des Schwerpunktes gilt (Drallsatz)
-p
I s
d 2 ϕ
dt 2 = M = −F · l · sin ϕ = −Bp · l · sin ϕ = −Bm m sin ϕ .
In Vektorform kann das Drehmoment als M ⃗ = ⃗m m × B ⃗ geschrieben
werden. Für kleine Auslenkungen ϕ gilt
-F
√
d 2 ϕ
B
I s
dt = −B m mm
2 m ϕ mit der Lösung ϕ(t) = ϕ 0 cos(ω 0 t − δ) , wobei ω 0 = .
I s
Diese Schwingung kann man dazu benutzen, das Erdmagnetfeld B E zu messen.
I
√
B BE
S
m m
Man misst zuerst die Kreisfrequenz ω 0 = (50)
I s
B E
der Kompassnadel im Erdmagnetfeld B E . Dann überlagert man
N
dem Erdfeld B E das Feld B S = µ 0 I eines Solenoids in der
l
Weise, dass beide Feldstärkevektoren parallel stehen. Jetzt lautet
die Bewegungsgleichung für die Kompassnadel
I s
d 2 ϕ
dt 2 = −(B E + µ 0
N
l I)m m sin ϕ . Für kleine Auslenkungen
√
ist die Bewegung harmonisch mit der Kreisfrequenz ω =
(B N
E + µ 0 I)m l m
. (51)
I s
Aus (50) und (51) folgt
( ) ω 2 N
B E + µ 0 I =
l
, also B E = µ 0 N I l
ω 0 B E ( ω ω 0
) 2 − 1 = µ 0 N I l
( T 0
T
) 2 − 1 .
Man misst dabei die Schwingungsdauern T, T 0 und für das Zusatzfeld N, l und I.
4.2.4 Bestimmung der Masse eines Elektrons
Wenn die Elementarladung e bekannt ist und das Verhältnis e/m der Ladung zur Masse
m gemessen wird, kann man daraus m bestimmen. Bewegen sich Elektronen (Ladung −e)
in einem Magnetfeld, so wirkt die Lorentzkraft ⃗ F = −e ⃗v × ⃗ B .
Ist ⃗ B homogen und senkrecht auf ⃗v, so bleibt ⃗v ⊥ ⃗ B und es ist F = | ⃗ F | = e v B,
53

Elektronenrohre
"
wobei F ⃗ immer senkrecht zu ⃗v steht. Die Bahnkurve ist deshalb
Heizung
- +
V
- x
F
B
v
x
ein Kreis (Radius ρ)
m v 2
ρ
= e v B , also
e
m = v
ρ B . (52)
Werden die Elektronen mit einer Beschleunigungsspannung V
auf die Geschwindigkeit v gebracht, so ist
√
m
2e V
2 v2 = eV , also v =
m . (53)
Setzt man Gl. (53) in (52) ein, so folgt ( e m )2 = 2e V
m ρ 2 B , also e
2 m = 2 V
ρ 2 B . 2
Ist x die Ablenkung des Elektronenstrahls auf dem Leuchtschirm einer Kathodenstrahlröhre
und l der Abstand des Leuchtschirms vom Eintrittsloch, so gilt
(ρ−x) 2 +l 2 = ρ 2 und l 2 = x(2ρ−x) bzw. ρ = l2 + x 2
2x
d.h.
e
m =
8 x 2 V
B 2 (l 2 + x 2 ) 2 .
Experimentelle Werte [Phys. Rev. D 50(1994)1233]:
e/m = 1.758 805(5) · 10 11 C/kg, m = 9.109 389 7(54) · 10 −31 kg
Analog erhält man für die Masse eines Protons m P = 1.672 623 1(10) · 10 −27 kg .
Die Gleichung (52) kann auch mit dem Impuls p = mv des Teilchen in MeV/c
(1eV= 1.6 · 10 −19 J) als Merkformel der Teilchenphysiker ausgedrückt werden:
3 ist die aufgerundete Zahl der Lichtgeschwindigkeit c.
p · c [MeV] = 3 · B [T] · ρ [cm] (54)
4.2.5 Das Wien-Filter (elektrostatischer Sparator)
Ein geladenes Teilchen (Ladung q) wird mit der Gschwindigkeit ⃗v durch ein gekreuztes
⃗E- und B-Feld ⃗ geschickt, so dass sich die Ablenkungen durch das E- ⃗ und B-Feld ⃗ gerade
kompensieren, d.h. Teilchen mit der gleichen Geschwindigkeit können gefiltert werden.
Beachte: Die Ablenkung in einem Magnetfeld mit F m = q|(⃗v × B| ⃗ = mv 2 /ρ bestimmt
mit dem Krümmungsradius ρ den Impuls mv = qρB eines Teilchens. Die Ablenkung x
in einem elektrischen Feld mit F e = q| E| ⃗ senkrecht zu v längs l bestimmt die kinetische
1
Energie
2 mv2 = 1
4x qEl2 eines Teilchens.
4.2.6 Der Halleffekt
b − > b + I ⃗E
✚ ❄
✻
−
✛E ⃗ +
− H +
❄
−
+
−
+
−✛ ⃗ ✻⃗v −
F L + l
−
+
−
+
−
+
❄
−
❄⃗v +
⃗B
+
✠
✓
✛ a ✲✓✴ ✓✼✓ d
❥
✒ V H
Wird ein stromdurchflossenes Metall in ein Magnetfeld ⃗ B gebracht,
so dass ⃗ B senkrecht zur Stromrichtung steht, so bewirkt
die Lorentzkraft F = q v B auf die Leitungselektronen eine
seitliche Verschiebung der Elektronen. Die + und − Ladungen
werden bei konventioneller Richtung des Stromes I durch die
Lorentzkraft auf dieselbe Seite des leitenden Metalles abgelenkt.
Beachtet man nur die Elektronen, dann entsteht senkrecht zur
ursprünglichen Elektronenbahn (und damit zur Richtung des angelegten
äusseren ⃗ E-Feldes) ein elektrisches Feld E Hall , das so
lange anwächst, bis sich ein Gleichgewicht zwischen der Lorentzkraft
und der Kraft des Hall-Feldes E H (analog zur Bedingung
54

des Wien’schen Filters Kap.4.2.5) einstellt: q E H = q v B und E H = vB.
Senkrecht zum Strom I kann zwischen den gegenüberliegenden, geladenen Flächen des
Metalles die Hallspannung V H gemessen werden: V H = E H a = v − B a.
Mit der Beweglichkeit b − und der Geschwindigkeit ⃗v − = −b −
⃗ E sowie | ⃗ E| =
V
l = IR l
= I
σA
ist
V H = −b − I B
σ · d
und für beide Ladungen
V H = b + − b −
σ
· I B d = c · IB d ,
es gibt nur eine Hall-Spannung, wenn b − ≠ b + ist. Die Hall-Konstante c = (b + − b − )/σ
Hall-Konstante [ ]
m kann positive und negative Werte annehmen und damit zu
2
As
positiven und negativen Hall-Spannungen führen. Der Wert
c(Cu)= −5.3 · 10 −11
für Wismut ist abnorm gross. Da V
c(Bi)= −5.0 · 10 −7
H ∝ B/σ ist, können
mit dem Hall-Effekt Magnetfelder oder die Leitfähigkeit σ
c(Cd)= +6.0 · 10 −11 gemessen werden.
1980 entdeckten Klaus von Klitzing 54 , G. Dorda und M. Pepper, dass in dünnen praktisch
zweidimensionalen Silizium-MOSFET’s bei hohen Magnetfeldern (≈ 20 T) und tiefen
Temperaturen (≈ 1 K) der Hall-Widerstand R H = V H /I = c · B/d als Funktion der
angelegten Spannung (Gatespannung) charakteristische Stufen aufweist, die mit der zweidimensionalen
räumlichen Quantisierung der Elektronendichte erklärt werden können.
Der reziproke Widerstand 1/R H folgt mit 1/B in Stufen genau bei ganzen Zahlen von
h/(e 2 R H ). Mit diesem Quanten-Hall-Effekt konnte mit hoher Genauigkeit die Kombination
der Naturkonstanten h/e 2 oder auch die Feinstrukturkonstante α gemessen werden.
4.2.7 Bewegung eines geladenen Teilchens im Solenoidfeld
x
B → y
x
Einhullende " sin z/2 Die allgemeine Bahnkurve eines geladenen
Quelle=Bild Quelle v z =konst Bild
B →
z
Teilchens in einem homogenen Magnetfeld
ist eine Schraubenlinie (vgl. Praktikumsversuch
e/m). Es ist einfach zu zeigen,
dass ein Solenoidfeld in erster Ordnung
(v z =konst) wie eine Linse für geladene
Teilchen fokussierend wirkt (Fig.).
Mit der Geschwindigkeit des Teilchens ⃗v = (v x ,v y ,v z ), v z =konst und v x ,v y ≪ v z variabel,
v ⊥ = √ vx 2 + vx
2 in der x-y-Ebene ist
qv ⊥ B = mv2 ⊥
R
⇒ v ⊥
R = ω C = qB m die Zyklotronfrequenz, T C = 2πR
v ⊥
= 2πm
(qB)
die Umlaufzeit unabhängig von v ⊥ und R. Damit werden alle Teilchen in der x-y-Ebene
nach der konstanten Zeit T C im Ursprung dem Bildpunkt bei z = v z T C fokussiert 55 .
Laufende Energieverluste des Teilchens durch Ionisation und Anregung im Gas oder
Materie ändern die Schraubenlinie in eine Spirale (siehe Blasenkammeraufnahmen).
54 Klaus von Klitzing Nobelpreis 1985, z.B. Physikalische Blätter 41(1985)357 und 401.
MOSFET: Metal Oxide Semiconductor Field-Effect Transistor
55 Zur Fokussierung geladener Teilchenstrahlen werden vor allem magnetische Quadrupol- und Sextupollinsen
für hochenergetische Teilchen (z.B. PSI, CERN) und in der Elektronenmikroskopie [H.Rose et
al. Phys.Blätter 54(1998)411] benutzt.
55

4.3 Gedanken zum ⃗ E- und ⃗ B-Feld †
Die Lorentzkraft F ⃗ L = q·(⃗v× B) ⃗ ist proportional zur Geschwindigkeit, die jedoch vom gewählten
Inertialsystem abhängt. Man kann ein Inertialsystem wählen, in dem die Ladung in Ruhe ist. Die
Lorentzkraft verschwindet dann. Es müssen jedoch die physikalischen Gesetze unabhängig vom
Inertialsystem sein. Dieses Problem kann man nach Feynman 56 mit einem Gedankenexperiment
lösen.
Wir betrachten eine Ladung −q, die sich mit der Geschwindigkeit ⃗v ◦ neben einem ungeladenen
Draht (ρ − = ρ + ) bewegt. Im Draht fliesst ein Strom I. Wir nehmen an, die Elektronen im
Draht bewegen sich ebenfalls mit ⃗v ◦ und die positiven Ladungen sind in Ruhe.
Laborsystem:
Im Laborsystem ist die Kraft auf −q:
ρ
Leiter +
v + = 0
✛
−q
❡ v✲
◦
✻r
ρ −
✲
v − = v ◦
l
✛
Strom I = ρ − A v ◦ , und die Lorentzkraft F L = q v 2 ◦ µ ◦
ρ − A
Bewegtes System:
−q ❡
✻r
✲
I
F L = | ⃗ F L | = q v ◦ B = q v ◦ µ ◦
I
2π r .
Da die positiven und negativen Ladungsdichten
gleich sind |ρ + | = |ρ − |, gibt es keine Coulombkraft.
Mit dem Drahtquerschnitt A ist der
2π r = q ρ + A
v2 ◦ µ ◦
2π r .
Im Ruhesystem der Ladung −q gibt es keine
Lorentzkraft, sondern nur elektrische Kräfte.
Die Elektronen und die Ladung −q sind in Ruhe.
Die positiven Ladungen bewegen sich mit
⃗v ′ + = −⃗v ◦ nach links.
✛ ρ
Leiter
′ v ′ + ρ ′ − ✛
+ = −v ◦ v − ′ I
= 0
✛ l ′
✲
Wenn −q angezogen werden soll, dann müsste jetzt der Draht geladen sein, um eine Coulombkraft
auszuüben. Die spezielle Relativitätstheorie besagt, dass einem Beobachter die
√
Längsrichtung
eines bewegten Massstabes verkürzt erscheint (= Längenkontraktion): l = l ◦ 1 − v 2 ◦ /c 2 ,
wobei l ◦ = wahre Länge (für einen zum Massstab ruhenden Beobachter) und c die Lichtgeschwindigkeit
ist. Damit ändern sich auch die Ladungsdichten:
ρ =
ρ ◦
√
1 − v 2 ◦ /c 2 , ρ′ + =
ρ
√
+
√ und ρ ′
1 − v 2 ◦ /c 2 − = ρ − 1 − v◦/c 2 2 (= −ρ +
√1 − v◦/c 2 2 )
Die positiven Ladungen rücken zusammen und die Elektronen auseinander. Damit erscheint der
Draht dem bewegten Beobachter als positiv geladen. Die Ladungsdichte ist:
ρ ′ = ρ ′ + − ρ ′ − =
ρ +
√
1 − v 2 ◦ /c − ρ 2 +
√1 − v◦/c 2 2 v
= ρ
◦/c 2 2
+ √
1 − v 2 ◦ /c . 2
Der Draht ist im bewegten System (positiv) geladen und zieht die Ladung −q mit der
Coulombkraft Gl. (6) | ⃗ F ′ C| =
q
2π ǫ 0 r
A ρ + v 2 ◦/c 2
√
1 − v 2 ◦ /c 2
an. Da µ ◦ ǫ ◦ = 1/c 2 erhält man ausser der Wurzel dasselbe Resultat wie oben. Auch die Wurzel
verschwindet, wenn man die Kraft richtig transformiert. Für v ◦ ≪ c sind die beiden Gleichungen
gleich.
Die Lorentzkraft ist in diesem Gedankenexperiment ein Effekt der Relativbewegung in einem
Inertialsystem. Magnetische Kräfte können somit durch eine Transformation auf elektrische
56 Lectures Bd I,13-6, Richard Feynman, Nobelpreis 1965, einer der ganz grossen theoretischen Physiker,
löste neben vielen theoretischen Problemen wie Feynman Graphen das Problem des flüssigen Heliums und
das der Sicherheitsschranken im Manhatten Project in Los Alamos “Surely You’re Joking Mr. Feynman”
56

Kräfte zurückgeführt werden. Die elektrischen und magnetischen Felder sind Komponenten eines
Phänomens – der elektro-magnetischen Wechselwirkung – von verschiedenen Standpunkten
aus betrachtet (vgl. Physik III).
4.4 Permeable Medien
In bisherigen Beispielen berechneten wir mit Hilfe des Ampère’schen Gesetzes aus einem
gegebenen Strom das Magnetfeld ( ⃗ H- oder ⃗ B-Feld) im Vakuum. Was geschieht, wenn wir
den Raum mit Materie ausfüllen? Ähnlich wie ein elektrisches Feld durch die Anwesenheit
polarisierbarer Materie beeinflusst wird, so wird auch ein magnetisches Feld durch
Materie verändert. Im allgemeinen ist Materie magnetisch polarisierbar, man nennt sie
permeabel.
4.4.1 Erfahrungstatsachen
Wird ein stromdurchflossener Leiter in ein unendlich ausgedehntes, permeables Medium
gebracht, so ändert sich die ursprüngliche (d.h. die im Vakuum verhanden gewesene)
magnetische Induktion ⃗ B V ak. . In einem permeablen Medium ist
⃗B perm. = µ ⃗ B V ak. = µ µ 0
⃗ H .
µ ist eine Materialgrösse, die Permeabilität des Mediums. ⃗ H erhält man gemäss Biot-
Savart’schem Gesetz (Gleichung (44)) aus dem Strom I im Leiter:
⃗H = I
4π
∫
Leiter
d ⃗ l × (⃗r − ⃗r l )
|⃗r − ⃗r l | 3 .
Es gibt Materialen mit 0 < µ < 1. Solche Materialien nennt man diamagnetisch.
Beispiele sind Cu, Bi, He, Xe, Ne, H 2 , N 2 , H 2 O, bei ihnen ist also das B-Feld im Medium
kleiner als dasjenige im Vakuum.
Wenn konst= µ > 1 ist, so nennt man das Material paramagnetisch. Beispiele
sind O 2 , FeCl 3 , CuSO 4 , Al. Bei solchen Materialien ist das B-Feld im Medium grösser als
dasjenige im Vakuum.
Bei gewissen Materialien schliesslich ist ebenfalls µ > 1, aber µ ist eine nicht-eindeutige
Funktion des H-Feldes. Solche Materialien nennt man Ferromagnetika. Beispiele sind
Eisen, Nickel, Kobalt (vgl. Kap. 4.4.3).
4.4.2 Magnetisierung und magnetische Suszeptibilität †
Die atomare Erklärung der Permeabilität ist analog zum Fall der Dielektrika, wobei hier
anstelle von Ladungen Kreisströme und anstelle von elektrischen magnetische Dipolmomente
Gl.(48) auftreten. Molekulare Kreiströme werden von Elektronen erzeugt, die in den
Atomen um den positiven Kern “kreisen”. Ferner haben Elektronen einen “Spin”, einen
Eigendrehimpuls, den man sich als Drehung um die eigene Achse vorstellen kann; damit
haben sie als geladenen Teilchen auch ein magnetisches Dipolmoment 57 . Wiederum haben
wir es mit einem winzigen Strom zu tun. Beide Arten von elementaren Strömen erzeugen
57 Diese klassische Vorstellung ist falsch, da ein “punktförmiges” sich drehendes Elektron keinen Kreisstrom
darstellen kann; das magnetische Moment des Elektrons ist nur quantenmechanisch verständlich.
57

auf Grund unserer Betrachtungen im Kap. 4.2.1 ein magnetisches Moment ⃗m m . Alle einzelnen
Atome mit einer ungeraden Zahl von Elektronen, wie z.B. 11 Na oder 83 Bi, haben
damit ein permanentes magnetisches Dipolmoment. In einem Molekül oder Festkörper
kompensieren sich jedoch die magnetischen Momente der Valenzelektronen benachbarter
Atome. Dies sind, zusammen mit Atomen, die abgeschlossene Schalen und kein permanentes
magnetisches Dipolmoment haben, die diamagnetischen Stoffe. Atome mit nicht
abgeschlossenen inneren Schalen, wie die Übergangselemente Cr–Ni, Pt oder die seltenen
Erden, behalten dagegen im Festkörper ihr permanentes magnetisches Dipolmoment. Dies
sind die paramagnetischen Materialien.
In beiden Materialien erzeugt ein äusseres Magnetfeld durch Induktion (siehe Kapitel
5.1) einen kleinen zuätzlichen Strom (Stromschleife), dessen Magnetfeld dem äusseren
Feld entgegengesetzt ist, was zu einer Abnahme des Feldes führt. Bei Diamagneten tritt
dieser Fall rein zu Tage. Bei Paramagneten dagegen geschieht folgendes: Ohne äusseres
Magnetfeld ist die Verteilung der atomaren magnetischen Dipolmomente infolge der
Wärmebewegung der Atome völlig ungeordnet. Die Vektorsumme ∑ i ⃗m mi der einzelnen
Momente verschwindet. Wird ein äusseres Feld angelegt, so übt es ein Drehmoment auf
die atomaren Momente aus (vgl. Kapitel 4.2.3), so dass diese ausgerichtet werden. Da
dem Ausrichten die thermische Bewegung entgegen wirkt, ist die Permeabilität paramagnetischer
Stoffe temperaturabhängig. Bei ganz tiefen Temperaturen sieht man den
überlagerten diamagnetischen Effekt. 58
Ob wir nun ein Material haben, dessen Moleküle permanente magnetische Dipolmomente
haben, oder ein Material, in dem Kreisströme mit den dazugehörigen Dipolmomenten
induziert werden, so entsteht in beiden Fällen eine makroskopische Magnetisierung ⃗ M,
die wir als die mittlere Vektorsumme der Dipolmomente pro Volumeneinheit definieren:
⃗M = n ⃗m m
A
m. m . . . . n. .
Dabei ist n die Zahl der Dipolmomente pro Volumeneinheit. Da gemäss Gleichung (48)
⃗m m die Einheiten A·m 2 hat, wird also die Magnetisierung ⃗ M in A/m gemessen, das heisst
in den gleichen Einheiten wie das ⃗ H-Feld. Damit wird deutlich, dass die Magnetisierung
das von den Molekularströmen erzeugte Magnetfeld (H-Feld) ist.
Kennt man also das Magnetfeld ⃗ H in einem permeablen Medium, so muss man, um die
wirklich vorhandene magnetische Induktion ⃗ B zu erhalten, zum ⃗ H-Feld die im Medium
erzeugte Magnetisierung ⃗ M dazu addieren:
⃗B = µ 0 · ( ⃗ H + ⃗ M) . (55)
Eine resultierende Magnetisierung M ⃗ kommt nur zustande, wenn durch eine Induktion
eines äusseren Feldes die Elementarmagnete ausgerichtet werden. Also liegt es nahe, eine
magnetische Suszeptibilität χ m durch die Gleichung
⃗M = χ m
⃗ H (56)
einzuführen 59 . χ m ist eine vom Material abhängige, dimensionslose Zahl 60 .
58 Vorsicht: Diamagnetismus und Paramagnetismus sind quantenmechanische Phänomene, die wir hier
mit klassischer Mechanik nur unzulänglich erklären können.
59 Dieser Gleichung entspricht im elektrischen Falle die Gleichung ⃗ P = χ e ǫ 0
⃗ E =
χ e
ǫ
⃗ D.
60 Bei Kristallen kann es allerdings vorkommen, dass ⃗ M nicht mehr parallel zu ⃗ H steht. χ m ist dann
ein Tensor (dh. eine 3×3-Matrix).
58

Schliesslich verknüpfen wir die Gleichungen (55) und (56) und erhalten
⃗B = µ 0 · ( ⃗ H + χ m
⃗ H) = µ0 · (1 + χ m ) ⃗ H .
Setzt man die Permeabilität µ = 1 + χ m , so erhält man ⃗ B = µ0 µ ⃗ H , was wir
oben als Erfahrungstatsache hingestellt hatten.
4.4.3 Die magnetischen Substanzen
Diamagnetische Stoffe
diamagnetische
Stoffe χ m
H 2 , gasförmig -2.3 ·10 −9
H 2 , flüssig -1.8 ·10 −6
H 2 O, gasförmig -0.98 ·10 −9
H 2 O, flüssig -8 ·10 −6
Benzol -8 ·10 −6
Wismut, fest -168 ·10 −6
Gold -29 ·10 −6
Kupfer -10 ·10 −6
Für diese ist µ < 1, das heisst χ m < 0,
sie haben kein permanentes Dipolmoment.
Die induzierten Kreisströme erzeugen eine
Magnetisierung, die dem äusseren ⃗ H-
Feld entgegengesetzt steht. Dieser Effekt
tritt in allen Substanzen auf. Da er jedoch
schwach ist, wird er bei Para- und Ferromagneten
überdeckt.
χ m hängt nicht von der Temperatur ab.
Paramagnetische Stoffe
paramagnetische
Stoffe
χ m
O 2 , gasförmig 1.9 ·10 −6
O 2 , flüssig 3400 ·10 −6
Luft 0.37 ·10 −6
FeCl 3 , fest 3758 ·10 −6
CuSO 4 , fest 388 ·10 −6
Chrom 324 ·10 −6
Aluminium 20 ·10 −6
Zinn
2 ·10 −6
Für diese ist µ > 1, also χ m > 0. Diese
Materialien haben ein permanentes magnetisches
Dipolmoment. Die Suszeptibilität
nimmt mit der Temperatur ab χ m ∝ 1 : T
Mit den Boltzmann-Verteilungen für die Einstellung
des Dipolmomentes ⃗m ↑↑ B ⃗ und ⃗m ↑↓ B ⃗
ist die Magnetisierung
M = m m
n
3
(
e mmB/kT − e −mmB/kT ) ≃ m 2 m 2nB
3kT
Ferromagnetische Stoffe Bei ihnen ist µ nicht mehr konstant. In sogenannten “magnetisch
weichen” Stoffen ist µ eine Funktion des Magnetfeldes:
B = µ 0 µ(H) H .
In magnetisch harten Stoffen (Permanentmagnete) kann die Magnetisierung unabhängig
von H sein, also auch ohne äusseres Magnetfeld existieren. Ferromagnete zeigen also
eine Ordnung, die durch eine sehr starke Wechselwirkung zwischen den permanenten
Dipolmomenten dieser Substanzen zustande kommt.
Das ferromagnetische Material ist nicht einheitlich magnetisiert, sonden besteht aus
Weiss’schen Domänen 61 , in denen alle atomaren Dipolmomente vollkommen geordnet
61 P. Weiss, 1907. Die Strukturen der Weiss’schen Domänen können mit verschiedenen Methoden sichtbar
gemacht werden:
Magnetpulver (Teilchen von 10 −5 − 10 −6 cm in Suspension) richtet sich im thermischen Gleichgewicht
auf der polierten und ausgeglühten Oberfläche aus.
Beim magnetooptischen Kerr-Effekt wird die Polarisationsrichtung des reflektierten Lichtes gedreht
und damit werden Weiss’sche Bezirke im Analysator sichtbar.
Der Faraday-Effekt dreht die Polarisationsrichtung bei Durchstrahlung im Magnetfeld [Kap.??].
59

sind. Jeder dieser Bezirke hat eine wohldefinierte Magnetisierung M. ⃗ Die Magnetisierungsvektoren
der einzelnen Domänen sind nicht notwendigerweise parallel, die gesamte
Magnetisierung der Probe kann also bei Abwesenheit eines äusseren Feldes Null sein. In
einem äusseren Feld wird die Magnetisierung dieser Bezirke geordnet. Beim Einschalten
eines äusseren Feldes wird sie sprunghaft ausgerichtet (mit Induktion Gl.(60) hörbarer
Barkhausen-Effekt). Beim Ausschalten des äusseren Magnetfeldes bleibt im allgemeinen
eine Restmagnetisierung M R (Remanenz) übrig. Erst durch Anlegen eines Gegenfeldes,
des sogenannten Koerzitivfeldes H C , kann die Magnetisierung zu Null gebracht werden.
Dieses Zurückbleiben der Magnetisierung gegenüber der Feldstärke nennt man Hysterese
(“Nachwirkung”). Bei grossem H wird Sättigung erreicht B ≈ µ ◦ H.
Die Hysteresisschleife B = µµ ◦ H kann mit einem Oszillographen gemessen werden:
B(H)
Remanenz
M R µ=µ(H) A
B≈µ o H
Sattigung
"
µοµΗ
H
H C
Hysteresisschleife
N 1 , l 1 N 2
VH
I o sinωt
R1
H
R2
C
VV
horizontal Ablenkung
V H ∝ I(t) ∝ H(t) = I(t)N 1 /l 1
vertikal Ablenkung
V V ∝ B(H) = ∫ dB
dt dt
integriert mit dem Kondensator
C mit der Integrationszeit
τ = R 2 C ≈ 1s.
1
0
M S (T)/M S (0)
T C
T [K]
1/χ m
5⋅10 3
ferromagnetische
Stoffe µ max
Nickel 2500
Kobalt 200
Eisen 680
Permalloy 10 5
(78% Ni, 21.5%Fe)
Stoff T C [ ◦ C]
Fe 770
Co 1115
Ni 354
Gd 20
MnAs 45
EuO -196
Oberhalb der Curie-Temperatur T C verschwindet der Ferromagnetismus und geht in den
Paramagnetismus mit T ∝ 1/χ m über.
4.4.4 Die Energie eines magnetische Dipols im ⃗ B-Feld
Dia- und paramagnetische Stoffe können durch die auf sie ausgeübte Kraftwirkungen
in inhomogenen magnetischen Feldern unterschieden werden. Mit Gl. (32) hatte wir die
potentielle Energie W d = −⃗p · ⃗E eines elektrischen Dipols im elektrischen Feld dargestellt.
die entsprechende Formel für einen magnetischen Dipol ⃗m m eines Elektrons im Atom
lautet
W m = −⃗m m · ⃗B potentielle Energie eines
magnetischen Dipols
Ein magnetisierter Stoff wird sich im Magnetfeld so orientieren, dass seine potentielle
Energie minimal wird.
Bei diamagnetischen Stoffen ohne ein permanentes sondern nur mit einem induziertes
magnetisches Dipolmoment ist ⃗m m ↑↓ ⃗ B, das heisst W m = m m B. W m ist also minimal,
wenn B minimal ist. Das bedeutet, dass eine diamagnetische Kugel aus dem Feld herausgestossen
wird. Diamagnetismus ist temperaturunabhängig.
Bei einer paramagnetischen Substanz ist mit einem permanenten magnetischen Dipolmoment
⃗m m ↑↑ ⃗ B, das heisst W m = −m m B. Deshalb ist W m minimal, wenn B maximal
ist. Eine paramagnetische Kugel wird also an den Ort grösster Feldstärke gezogen. Die
60

thermische Bewegung wirkt gegen die Paralleleinstellung des Dipolmomentes im B-Feld,
die Magnetisierung ist daher temperaturabhängig mit einem schwachen diamagnetischen
Effekt.
Aus demselben Grund richtet sich eine
paramagnetische Nadel parallel zum Feld
aus, eine diamagnetische Nadel dagegen
senkrecht zum Feld.
paramagnetische Nadel diamagnetische Nadel
4.4.5 Vergleich von Medien im elektrischen und magnetischen Feld
Dielektrische Medien
Permeable Medien
⃗D = ǫ ◦E ⃗ + P ⃗
⃗P: el. Dipolmoment/Vol
Polarisierung
⃗P = χ e ǫ ◦E
⃗
⃗D = ǫǫ ◦E
⃗
B ⃗ = µ◦H ⃗ + µ◦M
⃗
M: ⃗ mag. Dipolmoment/Vol
Magnetisierung
M ⃗ = χmH
⃗
B ⃗ = µµ◦H
⃗
a) nichtpolare Moleküle a) Diamagnetismus
⃗E induziert elektrischen Dipol H ⃗ erzeugte atomaren Kreisstrom
+q ❥+ ✻∆
−q - ❥ ⃗ l ⃗p = q∆ ⃗ l
✲i
♠ ⃗m m = iA ⃗ magnetischer Dipol
b) polare Moleküle b) Paramagnetismus
⃗E richtet atomare el. Dipole im Feld aus H ⃗ richtet atomare mag. Dipole im Feld aus
temperaturabhängig
temperaturabhängig
c) Ferroelektrika c) Ferromagnetika
⃗D, E ⃗ kein linearer Zusammenhang B, ⃗ H ⃗ kein linearer Zusammenhang
Energiedichte w = 1 2 ⃗ E ⃗ D = 1 2 ǫǫ ◦E 2 w = 1 2 ⃗ H ⃗ B = 1 2 µµ ◦H 2 siehe Kap. 5.2.10
Energie des Dipols im Feld W = −⃗p ⃗ E W = −⃗m m
⃗ B
4.4.6 ⃗ B- und ⃗ H-Felder an Grenzflächen
An Grenzflächen permeabler Medien gelten ähnliche Gesetze für das Verhalten von B- ⃗
und H-Feldern ⃗ wie für elektrische Felder.
µ H 1
1t
∮
Wenn keine Ströme fliessen, ist C H ⃗ · d⃗r = 0 .
µ 2 Auf die gezeichnete Kurve angewandt ist (analog Kap. 2.7.2)
H 2t
B 1n
µ 1
µ 2
B 2n
H 1t = H 2t , das heisst B 1t
µ 1
= B 2t
µ 2
. Aus
folgt B 1n = B 2n , das heisst H 1n µ 1 = H 2n µ 2 .
∮
A
⃗B · d ⃗ A = 0
4.4.7 Elektromagnete und Permanentmagnete
Elektromagnete
61

D
I
r
Wir gehen schrittweise vor.
1. Eine Spule mit der Länge l, dem Durchmesser D und der Windungszahl
N befinde sich im Vakuum und werde zu einem Torus vom Radius r
geformt. Das Magnetfeld ist dabei nur im Innern der Spule eingeschlossen
verschieden von Null. Für D ≪ r gilt nach Gl.(49)
I H = N l I ; d.h. B = µ 0
N
l I .
2. Wird die torusförmige Spule vollständig mit einem Kern aus weichem
Eisen gefüllt, so ist
I
d
H = N l I ; B = µ µ 0
N
l I .
3. Wird der Luftspalt der Breite d aus dem Eisenkern herausgeschnitten,
so folgt nach dem Ampère’schen Gesetz mit der Näherung, dass H i (das
Feld im Innern) über den ganzen Torus konstant ist (keine Streufelder):
H i (l − d) + H 0 d ≈ N I . Da die Normalkomponente des ⃗ B-Feldes stetig
ist [Kap.4.4.6], gilt B i = B 0 , also
µ µ 0 H i = µ 0 H 0 , das heisst H i = H 0
µ . Eingesetzt ergibt dies: H 0
µ (l − d) + H 0 d = N I .
Die Feldstärken im Luftspalt sind somit H 0 =
µ N I
l + d(µ − 1)
und B 0 = µ µ 0 N I
l + d (µ − 1) .
Ist µ genügend gross, so dass dµ ≫ l, so gilt näherungsweise B 0 ≈ µ 0 N
I .
d
Die äussere Spule trägt praktisch nur zum Feld im Luftspalt bei und verstärkt damit das
Feld ohne Eisenkern um den Faktor l/d.
Permanentmagnete
∮
M
Da keine Ströme fliessen, ist ⃗H · d⃗r = 0 . (57)
d
M R
H i
H 0
H
1. In einem geschlossenen Torus ist also H i = 0 und
die Magnetisierung besteht nur aus der Remanenzmagnetisierung
M R .
2. Hat der Torus einen Luftspalt der Grösse d, so folgt
aus Gl. (57) H i (l − d) + H 0 d = 0 . (58)
Man beachte: Für d ≪ l müssen H i und H 0 verschiedene Vorzeichen
haben. Andrerseits gilt an der Grenzfläche (Kap.4.4.6)
B 0 = µ 0 H 0 = B i = µ 0 (H i + M i ) .
B
B i
0
Zusammen mit Gl. (58) wird dann
C
d
µ 0 (H i + M i (H i )) = −µ 0 H i
l − d
d
.
62

M
M i
Also wird M i = − l d H i und tanα = − M i
H i
= l d ,
H i
α
H
und somit B 0 = µ 0 (H i + M i ) = −µ 0 H i ( l d − 1) .
H i ist negativ, es wirkt also entmagnetisierend.
63

5 Elektrodynamik
In den vorhergehenden Kapiteln haben wir elektrische und magnetische Felder mehr oder
weniger getrennt behandelt. Insbesondere waren diese Felder zeitlich konstant. Dass jedoch
eine Verknüpfung beider Felder besteht, haben wir schon gesehen. Ein elektrischer Strom,
der seinerseits durch ein elektrisches Feld erzeugt wird, erzeugt ein magnetisches Feld. Es
erhebt sich sofort die Frage, ob die Umkehrung dieses Sachverhaltes auch gilt, das heisst,
ob ein Magnetfeld unter Umständen auch ein elektrisches Feld erzeugen kann. Diese Frage
wird in Kap. 5.1 und 5.2 behandelt.
Ferner werden wir uns in Kap. 5.3 fragen müssen, welche neuen Erscheinungen sich
ergeben, wenn elektrische und magnetische Felder zeitlich variabel sind.
Probleme dieser Art untersuchte zuerst Faraday 62 (1831). Diese Untersuchungen wurden
vollendet mit der Theorie des Elektromagnetismus durch Maxwell (1873), in welcher
magnetische und elektrische Felder miteinander verflochten sind. Die vollständigen Maxwell’schen
Gleichungen werden im Kapitel 5.4 besprochen.
5.1 Das Faraday’sche Induktionsgesetz
5.1.1 Grundversuche
Wir diskutieren zwei Grundversuche.
1. Man betrachte eine rechteckige, geschlossene Leiterschleife der Fläche A = l x, wobei
l die Länge einer beweglichen Seite sein soll. Befindet sich diese Schleife in einem
homogenen, zeitlich konstanten ⃗ B-Feld, das senkrecht zur Ebene der Schleife steht, und
⃗B ✻✄
✁ R
✁ ✁ ✁ ✁
✁
✁✕✁
✁✁
✲⃗v
l
✁
✁
✁☛
✁
⃗F
✁ ✲dl ✁✁✁☛
✁❡✁
◦ ✲ x
wird die bewegliche Seite l mit der Geschwindigkeit ⃗v (⃗v ⊥ ⃗ B)
verschoben, so erfährt eine Ladung q in diesem Leiterstück eine
Lorentzkraft tangential zur beweglichen Seite [vgl. Hall-Effekt
Kap.4.2.6]:
⃗F = q (⃗v × ⃗ B) .
Ein auf diesem Leiter mitbewegter Beobachter schreibt die Ursache dieser Kraft, da für
ihn q in Ruhe ist, einem induzierten elektrischen Feld zu mit der Kraft
⃗F = q ⃗ E ind und aus einem Vergleich ⃗ Eind = ⃗v × ⃗ B (elementarer Generator).
Bildet man nun das Linienintegral von ⃗ E ind längs der geschlossenen Schleife, wobei die
Integrationsrichtung zusammen mit der ⃗ B-Richtung eine Rechtsschraube ergibt, so gilt
∮
⃗Eind · d ⃗ ∫ l
l = − E ind dl = −E ind l = −v l B .
0
Das Linienintegral ist nicht mehr Null. Das Feld ⃗ E ind ist also ein nicht-konservatives Feld,
d.h. ⃗ E ind ≠ ∇V ind kann nicht durch den Gradienten eines skalaren Potentials dargestellt
werden.
62 Faraday (1791-1867) wurde in England als eines von 10 Kindern eines Schmids geboren. Er machte
eine Lehre als Buchbinder. Dabei las er jeweils die zu bindenden Bücher. Später bat er darum, als Gehilfe
im Labor für Elektrochemie bei Davy arbeiten zu können. 1833 wurde er Professor. In der Chemie
enteckte er das Benzol (1825) und Grundgesetze der Elektrochemie. Seine Verdienste in der Physik sind:
Faraday’sche Konstante, Induktionsgesetz, in der Optik die Faraday’sche Drehung der Polarisationsebene
von Licht, unipolarer Generator.
64

Das Produkt vl kann durch die Änderung der Fläche A = lx ausgedrückt werden.
dA
Es ist
dt = l dx
dt = l v .
∮
Also wird ⃗Eind · d ⃗ l = −v l B = − dA
dt B = − d (A B) = −dΦ
dt dt .
∫ ∫
Dabei ist die Grösse Φ = B n dA = ⃗B·d A ⃗ der Feldfluss von B ⃗ durch die Fläche A.
A
A
Da in unserem Fall ⃗ B konstant ist und senkrecht auf A steht, folgt Φ = A B.
Obwohl das ⃗ E ind -Feld ein nicht-konservatives Feld ist, hält es wie das ⃗ E-Feld einen
Strom aufrecht und es hat das Linienintegral ∮ ⃗ Eind · d ⃗ l die Bedeutung einer elektromotorischen
Kraft (EMK), die wir mit V m,ind bezeichnen 63 . Es gilt
∮
.
V m,ind = ⃗Eind · d ⃗ l = − dΦ
dt . (59)
Die induzierte EMK ihrerseits erzeugt in der Leiterschleife (Widerstand R) einen Strom
R
I ind = + V m,ind
R
= − 1 R
dΦ
dt .
Das Ergebnis von Gleichung (59) ist aus der Argumentation der Lorentzkraft abgeleitet,
das heisst es ist kein neues unabhängiges Gesetz. Es stellt sich nun die Frage, was passiert,
wenn die Fläche A konstant bleibt und das Magnetfeld ⃗ B variiert wird? - Diese Frage
wurde von Faraday untersucht und stellt unseren zweiten Grundversuch dar.
2. Bei der gleichen Anordnung wie oben wird nun die Leiterschleife festgehalten und
dafür das Magnetfeld zeitlich variiert, so dass eine Flussänderung in A auftritt. Dann
wird ebenfalls ein Strom induziert, für den man experimentell wieder das Resultat
I ind = − 1 dΦ
dΦ
. findet, allerdings ist jetzt
R dt dt = A dB
dt .
Dieses Ergebnis können wir nicht mit den gleichen Argumenten herleiten wie im ersten
Grundversuch! Es ist also ein neues Gesetz. Es war Faradays Entdeckung, dass die EMK
wieder durch die Flussänderung gegeben ist, egal ob der Fluss Φ über dA/dt oder dB/dt
geändert wird.
Allgemein ist die Kraft auf eine Ladung F ⃗ = q ( E+⃗v× ⃗ B); ⃗ es gibt keine spezielle Kraft
infolge der B-Änderung. ⃗ Nach Faradays Beobachtung muss eine Beziehung zwischen dem
⃗E-Feld und der Änderung des B-Feldes ⃗ bestehen: ein zeitlich variables Magnetfeld erzeugt
ein elektrisches Feld. Dieses E-Feld ⃗ ist nicht-konservativ.
5.1.2 Das Induktionsgesetz
Gestützt auf weiteres Tatsachenmaterial lassen sich die aus den beiden Grundversuchen
→
B n
gefundenen Ergebnisse verallgemeinern. Ist B(⃗r,t) ⃗ ein beliebiges
Magnetfeld und wird eine geschlossene Kurve C betrach-
B →
A
tet, welche die Fläche A umrandet, so ist der Fluss von B ⃗
dA →
∫ ∫
C
→
E ind
dr →
durch A definiert als Feldfluss Φ . =
A
B n dA =
A
⃗B · d ⃗ A .
63 V m,ind hat zwar die Dimension eines skalaren Potentials, es ist aber keines!
65

Zwischen dem längs C induzierten elektrischen Feld ⃗ E ind , resp. der induzierten EMK, und
der zeitlichen Änderung des Flusses besteht der quantitative Zusammenhang
V m,ind
. =
∮
⃗Eind · d⃗r = − dΦ
dt
Faradaysches
Induktionsgesetz
(60)
Zu beachten ist, dass sich der Fluss auf ganz beliebige Art ändern kann: entweder durch
zeitliche Änderung von ⃗ B bei fester Kurve C, oder Form- und Lageänderung der Kurve
C bei konstantem ⃗ B, oder beides zusammen. Ferner ist die Flussänderung unabhängig
von der speziellen Form der Fläche (bei vorgegebener Berandung C), da der Fluss eines
⃗B-Feldes durch eine geschlossene Fläche auch dann verschwindet, wenn ⃗ B eine Funktion
der Zeit ist.
Leiter
Wird in die Kurve C ein geschlossener Leiter mit Widerstand R gelegt, so entsteht ein
I ind
→
B n
R
dA →
B →
→ dr →
E ind
induzierter Strom I ind = − 1 R
dΦ
dt = V m,ind
R .
Der induzierte Strom hat eine Richtung, so dass das durch
ihn erzeugte, zusätzliche B-Feld die Änderung des Feldflusses
zu hemmen sucht. Dies ist die Lenz’sche Regel 64 .
Sie folgt aus dem Gesetz der Erhaltung der Energie. Denn der induzierte Strom stellt
einen Energievorrat dar, der aus der mechanischen Energie gewonnen werden muss, die
zur Änderung von Φ notwendig ist.
Das Faraday’sche Induktionsgesetz lässt sich auch in differentieller Form schreiben
[vgl. Gl. (45)]. Dazu wendet man es auf eine rechteckige, geschlossene Kurve C mit den
z
x
→
E x (y)
y
→
xyz
dy
E y (x+dx)
→
B z →
E y (x)
dx
→
E x (y+dy)
Seitenlängen dx und dy an. Ist ⃗ B zeitlich variable, so gilt
(E y (x + dx) − E y (x))dy + (E x (y) − E x (y + dy))dx
= − ∂B z
∂t
dxdy . Also gilt
∂E
y
∂x − ∂E x
∂y = −∂B z
∂t
.
Und analog erhält man
∂E z
∂y − ∂E y
∂z = −∂B x
∂t
und
∂E x
∂z − ∂E z
∂x = −∂B y
∂t
,
zusammengefasst also
rot ⃗ E = ⃗ ∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t
Faraday’sches Gesetz
=3. Maxwell Gl.
Das induzierte Feld ist ein Wirbelfeld, es besitzt kein skalares Potential.
Die differentielle Form des Faraday’schen Induktions-Gesetzes stammt von Maxwell.
Sie besagt: “Zeitlich veränderliche ⃗ B-Felder erzeugen ⃗ E-Felder”. Umgekehrt kann man aus
der differentiellen Form des Faradayschen Gesetzes mittels des Satzes von Gauss [Gl. (24)]
wieder das Faradaysche Gesetz in Integralform herleiten, allerdings muss die Kurve C im
Raum fest sein. Also erhalten wir aus dem differentiellen Gesetz das Integralgesetz im Falle
nicht beweglicher Leiter. Anderseits konnten wir für bewegliche Leiter das Integralgesetz
aus der Lorentzkraft herleiten.
Somit haben wir folgende Situation: Das Faradaysche Gesetz in Integralform unterscheidet
nicht, ob die Flussänderung durch bewegte Leiter, veränderliches ⃗ B-Feld oder
64 Lenz, 1834
(61)
66

eides zusammen hervorgerufen wird. Zur Erklärung des induzierten Feldes E ind brauchen
wir jedoch entweder die Lorentz-Kraft Gl. (40)
⃗E ind = ⃗v × ⃗ B oder das differentielle Gesetz rot ⃗ E ind = ∇ × ⃗ E = − ∂ ⃗ B
∂t .
Betrachtet man hingegen das Faradaysche Induktionsgesetz in Integralform Gl. (60) als
das fundamentale Gesetz, können daraus die Beziehung für die Lorentzkraft und das
differentielle Faradaysche Gesetz hergeleitet werden.
Wir können zusammenfassend sagen: Die Kraft auf eine Ladung q ist immer durch
⃗F = q ( ⃗ E + ⃗v × ⃗ B)
gegeben, wobei ⃗ E sowohl von elektrischen Ladungen als auch von veränderlichen Magnetfeldern
entsprechend dem Faraday’schen Gesetz Gl. (61) erzeugt werden kann.
Abschliessend sei bemerkt, dass das Faradaysche Induktionsgesetz in Integralform nur
angewandt werden darf, wenn das Material des Leiters gleich bleibt. Wenn der Weg, den
die Ströme nehmen, sich im Material bewegt, versagt das Integralgesetz.
5.2 Anwendungen des Induktionsgesetzes
5.2.1 Der elementare Motor
Diese “Maschine” ist die “Umkehrung” des Generators, infolge der Induktion bewegt sich
ein Leiter. Wir schliessen eine rechteckige Leiterschleife mit der Fläche A = l x und dem
Widerstand R an eine Batterie mit der EMK V m an. Die eine
Seite l ist beweglich. Ist B ein homogenes Magnetfeld, das senkrecht
zur Leiteroberfläche A steht, so besagt die 2. Kirchhoffsche
Regel: V m + V m,ind = I R . Dabei ist
⃗B ✻
✄
V
✁ ✁ m ✁ ✁ ✁ ✁
✁✕✁
✁
l
✁✕ ✲ d⃗ l
✁ ✁ ✁ ✁✁dF
⃗ ✁❡✁
R ✁✁✁☛
❜ ✲ x
V m,ind = − dΦ
dt
Mit der Lorentz-Kraft Gl.(42) auf den beweglichen Leiter l F =
= −B l
dx
dt , also V m − B l dx
dt = I R . (62)
∫ l
0
dF =
∫ l
0
IB dl = IlB
ist die Bewegungsgleichung für die translatorische Bewegung m d2 x
dt 2 = I l B ,
mit m der Masse des beweglichen Leiterstückes. I wird mit Gleichung (62) ersetzt:
Daraus erhält man
m d2 x
dt 2 = l B 1 R (V m − B l dx
dt ) .
d 2 x
dt 2 + l2 B 2
R m · dx
dt = V m l B
R m , resp. dv
dt + l2 B 2
R m v = V m l B
R m .
Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung für die Geschwindigkeit v = dx des beweglichen
Leiters l. Mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 erhält man als
dt
Lösung
[siehe Anhang C.1 Dgl. Nr.3, 4] v(t) = v ∞ (1 − e −t/τ ) , (63)
67

v(t) wobei v ∞ = V m
l B und τ = R m
l 2 B 2 .
Beim stationären Gleiten mit der Geschwindigkeit v ∞
t
ergibt sich aus Gleichung (62): I = 1 R (V m − B l V m
l B ) = 0 .
Die EMK der Batterie wird durch die induzierte EMK gerade kompensiert. Gleitet die
Seite l nicht reibungslos, so wird ebenfalls eine konstante Endgeschwindigkeit erreicht.
Der entsprechende Strom verschwindet jedoch nicht, da die Batterie mechanische Arbeit
leisten muss.
5.2.2 Wechselspannungsgeneratoren
Mit diesen Maschinen kann grosstechnisch elektrische Energie aus mechanischer Energie
erzeugt werden. Das Prinzip besteht darin, dass ein Leiter in einem Magnetfeld bewegt
wird. Eine flache Spule mit N Windungen der Fläche A werde um eine Achse senkrecht
zu einem homogenen Magentfeld mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω gedreht.
V m, ind
Der magnetische Feldfluss ist Φ = B n A N = B cos φ A N ,
wobei φ = ω t also Φ = B A N cos ωt . Dann wird
B
n
V m,ind = − dΦ
dt = B A N ω sin ωt = V ◦ sin ωt .
Es wird eine Wechselspannung induziert.
Beispiel: Velodynamo, Lichtmaschine, Generator.
5.2.3 Das Betatron †
Das Betatron ist ein Elektronenbeschleuniger, mit dem Elektronen auf eine kinetische
Energie von bis zu 300 MeV beschleunigt werden können. Es wird in der Medizin und
der Materialuntersuchung zur Erzeugung von harten Röntgenstrahlen (Sie entstehen beim
Abbremsen der Elektronen in einem Stück Materie) sowie in der Kernphysik angewendet.
Ein zeitlich veränderliches B-Feld B z (r,t) erzeugt ein beschleunigendes E ind -Feld E ϕ .
Mit dem Fluss Φ = ¯Bπρ 2 ist
B( )
E
z
B= dB
dt
E ind = E ϕ = V m,ind
2πρ = − 1 dΦ
2πρ dt = − 1 ¯B
πρ2d
2πρ dt = −ρ d ¯B
2 dt .
Die Elektronen werden in einem B-Feld auf einer Bahn mit
e - r
konstantem Radius ρ gehalten. Das über die Kreisfläche
v
gemittelte Feld ist: ¯B =
1 ∫ ρ
πρ 2 0 B z(r,t)2πr 2 dr.
Die Bewegungsgleichung für ein Elektron ist: F = dp
dt = −e E ϕ = e ρ d ¯B
2 dt . (64)
Diese Gleichung ist auch relativistisch korrekt. Für die Kreisbahn bei ρ=konst und B(ρ)
mit p = mv ist evB(ρ) = m ρ v2 ⇒ dp
dt = eρdB(ρ) dt
(65)
68

Magnet
Gl. (64) und (65) ergeben die
B
Wideröe’sche 65 Betatron-Bedingung: B(ρ) = 1 2 ¯B
Röhre
Das Führungsfeld B(ρ) muss während der Beschleunigung,
bei der ρ konstant bleibt, immer halb so
gross sein wie das über die Kreisfläche gemittelte
Magnet
Feld ¯B. Die maximale Energie ist mit p =
eρB max (ρ)
und B max (ρ) dem maximalen Führungsfeld 66 :
E tot =
√
√
mc 2 + p 2 c 2 = E kin + mc 2 ⇒ E kin = mc 2 + (c e ρ B max (R)) 2 − mc 2 ,
z.B. für Elektronen ist: mc 2 = 511 keV, ρ = 1 m, B max (ρ) = 1 T → E kin = 300 MeV.
Ein wirklich funktionierendes Betatron muss noch einige weitere Bedingungen erfüllen 67 .
1. Eine azimutale Fokussierung, damit die beschleunigten
Teilchen nicht auf einer Schraubenbahn sofort in die Polschuhe
laufen, wird durch eine Abnahme des B z (r)-Feldes
mit dem Radius r erreicht. Eine kleine horizontale Komponente
B r (ρ, ∆z) ausserhalb z = 0 führt dann zu einer
z-Komponente der Lorentz-Kraft und damit zu einer azimutalen
Fokussierung.
2. Eine radiale Fokussierung wird erreicht, indem das B-Feld
schwächer mit r abfällt als die Zentrifugalkraft.
3. Im Betatron werden i.a. nur Elektronen beschleunigt, da
diese wegen der kleinen Masse hohe Geschwindigkeiten besitzen.
Wegen der Energieverluste durch Synchrotronstahlung
ist jedoch die maximale Energie auf ca 300 MeV begrenzt.
z
Polschuh
B z (r,t)
Sollbahn
Polschuh
F(r)
Lorenzkraft
Sollkreis ρ
Deshalb sind heute fast alle Betatrons von Linearbeschleunigern abgelöst worden.
5.2.4 Die Unipolarmaschine
B r ( , z)
F L
B z ( )
Eine dicker Metallzylinder rotiert um seine Symmetrieachse, parallel zur
Achse liegt ein B-Feld. ⃗ Auf eine freies Elektron, das im Abstand r von
der Drehachse in der Metallscheibe mitbewegt wird, wirkt, da q < 0, eine
nach aussen gerichtete Lorentzkraft | F ⃗ | = q |⃗v × B| ⃗ = q ω r B . Die
zugehörige Feldstärke E ⃗ ind , also die Kraft auf die positive Einheitsladung,
ist dann nach innen gerichtet und hat den Wert Eind ⃗ = −ω r B ⃗r . B
r
Die resultierende EMK wird dann V m,ind =
∫ ρ
0
⃗E d⃗r = −ω B
∫ ρ
0
B z ( )
B r ( ,- z)
Zentrifugalkraft
rucktreibende
"
Kraft
B
r
V m,ind
+ -
⃗r d⃗r = − 1 2 ω B ρ2 ,
65 Rolf Wideröe 11.7.1902 Christiania (N) - 1996 Nussbaumen (CH) entwickelte 1924 das Betatronkonzept,
erster Bau einer Elektronenschleuder 1940. Er hatte viele Patente.
66 Dies ist die relativistische Energie-Impulsbeziehung mit m der Ruhmasse des Teilchens (Phys III).
67 Im Betatron kann nur ein Elektronenpaket bis zur maximalen Energie beschleunigt werden. Zum
nächsten Beschleunigungszyklus wird das B-Feld heruntergefahren. Typische Daten: 50 Hz Wiederholfrequenz,
30 eV/Umlauf, E tot = 30 MeV, Ī = 10−7 A.
69

F
r
B
r
also eine negative Gleichspannung. Der negative Pol der Maschine ist die
Zylinderoberfläche. Da man den Zylinder vor einem Pol eines Stabmagneten
rotieren lassen kann, wurde der Name “Unipolarmaschine” geprägt, sie
wurde 1831 von Faraday als erster Gleichspannungsgenerator gebaut.
Die Unipolarmaschine ist ein Beispiel, in dem die Integralform des Faradayschen Gesetzes
versagt. Zwischen Achse und Zylinderoberfläche wird eine EMK induziert, obwohl der
Stromkreis räumlich konstant bleibt; aber die Ladungsträger der Metallscheibe bewegen
sich im ⃗ B-Feld. Die erzeugte Spannung ist gering und damit schwierig zu messen.
5.2.5 Widerstandsdämpfung beim Galvanometer †
Mit einem Galvanometer werden Ströme und Spannungen gemessen. Eine flache Spule mit
N Windungen der Fläche A = a 2 wird an einem dünnen Faden so aufgehängt, dass sie
Torsionsschwingungen ausführen kann. Dabei bewegen sich die senkrechten Seitenteile der
Spule in einem schmalen Luftspalt, in welchem ein radial gerichtetes Magnetfeld herrscht.
Dieses übt auf den mit I durchflossenen Leiter eine
Skala
Lorentzkraft aus, die zu einer Drehung der Spule um
α ◦ = INa 2 B/k proportional zum Strom I führt 68 . Die
dabei auftretende Drehschwingung um die neue Ruhelage
α ◦ wird durch den bei der Drehung induzierten Strom
I
F
B I ind , auf den eine Lorentzkraft F wirkt, gedämpft. I ind
fliesst durch die Spule und den äusseren Widerstand R.
Es ist
mit Gl. (42) F = |I ind | N a B .
R
Das rücktreibende Drehmoment der Aufhängung sei
−kα. Dann lautet die Bewegungsgleichung der Spule
d 2 α
I ◦ = −kα − F a cos α ,
dt2 I ◦ =Trägheitsmoment um die Aufhängung.
Mit dem Induktionsgesetz ist I ind = − 1 dφ
R dt = − 1 d
(ANB sin α) = −ANB
R dt R
Für kleine Auslenkungen, d.h. |α| ≪ 1, lautet dann die Bewegungsgleichung
cos αdα
dt .
α ο
α(τ)
t
d 2 α
I ◦
dt + N2 A 2 B 2
2 R
dα
dt + k α = 0 .
Mit der Lösung für schwache Dämpfung [Anhang C.1
Dgl. 3] α(t) = A e −λt cos(ωt − δ) mit
λ = N2 A 2 B 2
2 I ◦ R und ω = √
k
I ◦
− ( N2 A 2 B 2
2 I ◦ R )2 .
Die Dämpfungskonstante λ kann mit dem äusseren Widerstand R reguliert werden, i.a.
wird eine kritische Dämpfung gewählt (vgl. Versuch Phys AI). Für grosse Werte von
68 F = 2NIaB, Drehmoment M = Fa/2 = kα ◦ im Gleichgewicht mit dem rückstellenden Drehmoment
kα ◦
70

R ist die Dämpfung sehr schwach. ω = √ k
I ◦
ist die Kreisfrequenz des ungedämpften
Galvanometers.
5.2.6 Magnetfeldmessung mit einer Flipspule
B o
Eine flache Spule mit N Windungen der Fläche A in
einem Magnetfeld ⃗ B ◦ ⊥ A wird in der Zeit τ aus dem
Magnetfeld herausgezogen. Der induzierte Strom ist
B=0
G
R
V m,ind
R
= I ind = − 1 R
dΦ
dt , mit Φ = N A B n .
Wird mit einem Oszillographen oder einem ballistischen Galvanometer der Strom I ind
vom Anfang bis zum Ende des Herausziehens aufintegriert, so gilt
∫ τ
0
I ind = − 1 R
∫ τ
0
dΦ
dt = − 1 R (Φ(τ) − Φ(0)) = − 1 R (0 − N AB n) = N A
R B n = N A
R B .
und es kann das Magnetfeld B gemessen werden. Statt die Spule aus dem Magnetfeld
herauszuziehen, kann sie auch um z.B. 90 ◦ gedreht werden.
5.2.7 Wirbelströme
Wirbelströme treten in massiven Leitern infolge der Induktion auf. Wird eine Metallscheibe
in einem homogenen Magnetfeld translatorisch bewegt, so ist der Fluss durch eine
beliebige Leiterfläche konstant. Es treten somit keine Induktionsströme auf. Ist jedoch
das Feld inhomogen, so sind die Lorentzkräfte auf die Elektronen unterschiedlich gross,
so dass sich ein geschlossener Strom und damit ein induziertes magnetisches Feld bilden
kann. Stärke und Geometrie dieser Wirbelströme hängen empfindlich von der Form des
F AB
A
B
I
B
B
F AB > F CD
C
F CD
D
v
v
Metalles ab. Nach der Lenz’schen Regel hemmen die
Ströme die erzeugende Bewegung. Die Bremsung ist
sehr stark in Leitern wie Al, Ag, Cu mit einer hohen
Leitfähigkeit [vgl. Kap. 5.2.5]. Ein Supraleiter mit
R ≡ 0 schwebt in einem inhomogenen Magnetfeld
(Meissner-Ochsenfeld-Effekt), das äussere Feld wird
vollständig im Innern des Leiters durch das induzierte
Feld kompensiert.
Werden in der Metallscheibe Schlitze angebracht, so werden zwischen den Schlitzen nur
kleinere Ströme induziert 69 , und die Bremsung wird geringer. In der Technik wird die
bremsende Wirkung in der Wirbelstrombremse ausgenutzt.
5.2.8 Gegenseitige Induktion zweier Leiter
Betrachtet man zwei Leiterkreise ❤ 1 und ❤ 2 , wobei in ❤ 2 mit Hilfe einer EMK ein
zeitabhängiger Strom I 2 (t) aufrecht erhalten wird, der ein Feld ⃗ B 2 (t) erzeugt, so gilt
nach dem Biot-Savartschen Gesetz
⃗ B2 (t) = µ µ ◦
4π I 2(t)
∫
Leiter (2)
d ⃗ l 2 × ⃗r
r 3 = ⃗ f I 2 (t) .
69 Um z.B. bei einem Transformator (vgl. Kap.5.3.5) Wirbelströme und damit Verluste zu minimalisieren,
werden Trafobleche (lamelliertes Eisen) oder bei Hochfrequenz Ferritkerne benutzt.
71

I 2 (t)
EMK
~
d 2
2
r
1
A 1
B 2 (t)
Alle nur von der geometrischen Anordnung abhängigen
Grössen stecken im konstanten axialen Vektor f. ⃗
Der Fluss von B ⃗ 2 durch eine von Leiter 1 ❤ berandete
Fläche A 1 ist
Φ(t) =
∫
B 2,n dA = I 2 (t)
A 1
∫
f n dA = I 2 (t) · L 12 .
A 1
Dabei wurde gesetzt
∫
A 1
f n dA = L 12 = µ µ ◦
4π
∫A 1
∫
Leiter (2)
d ⃗ l 2 × ⃗r
r 3 d ⃗ A .
Den Geometriefaktor L 12 nennt man den Koeffizienten der gegenseitigen Induktion. Wird
der Strom I 2 variiert, so ändert sich der Fluss Φ mit der Zeit und in ❤ 1 wird eine EMK
induziert, die nach dem Induktionsgesetz den Wert hat
V m,ind
❤ 1 = − dI 2
dt
∫
A 1
f n dA oder
V m,ind
❤ 1 = −L 12
dI 2
dt .
Analog erhält man, wenn die Rollen von ❤ 1 und ❤ 2 vertauscht werden, auch in ❤ 2 eine
induzierte EMK, wenn sich der Strom in ❤ 1 ändert.
V m,ind
❤ 2 = −L 21
dI 1
dt .
Dabei ist L 21 = L 12 , da in den Ausdrücken für L 12 und L 21 die beiden Leiterkreise
vollkommen symmetrisch vorkommen.
Die Einheit von L 12 ist
5.2.9 Selbstinduktion
1
Volt Sekunde
Ampère
= 1 Henry = 1 H .
Ein Strom I kann natürlich im eigenen Kreis eine EMK induzieren, weil sein Magnetfeld
den eigenen Kreis durchsetzt. Fliesst in einem geschlossenen Leiterkreis ein zeitlich
variabler Strom I(t), so ist dessen Magnetfeld
B(t) ⃗
µ µ ◦ =
4π
∫Leiter
I(t) d ⃗ l × ⃗r
.
r 3
I(t)
B(t)
Der Fluss durch eine Fläche A, die vom Leiter selbst umrandet
wird, beträgt
Φ =
∫
⃗B · d ⃗ A = LI(t) , L =
µ µ ◦
4π I(t) ∫
∫
A Leiter
d ⃗ l × ⃗r
dA
r ⃗ 3
Der Geometriefaktor L heisst Koeffizient der Selbstinduktion. Die vom Strom induzierte
EMK ist dann
V m,ind = −L dI
dt
. Die Einheit von L ist ebenfalls 1 Henry. (66)
Ihr Symbol bei elektrischen Schaltungen ist: ∼∼∼∼∼
L Die induzierte EMK
wirkt der Stromänderung entgegen (Lenz’sche Regel), da beim Einschalten ein Magnetfeld
aufgebaut wird.
72

Als Beispiel berechnen wir die Selbstinduktion einer langen Spule mit N Windungen
der Fläche A und der Länge l (oder eine entsprechende Toroidspule), die sich in einem
Material der Permeabilität µ befindet. Im Innern der Spule ist [vgl. Gl. (49)]
V m,ind = −L dI
dt = −dΦ dt
B = µ µ ◦ H = µ µ ◦
N
l
= −A N
dB
dt = −µ µ ◦
I . Nach dem Induktionsgesetz ist
A N 2
5.2.10 Energiedichte des magnetischen Feldes
l
dI
dt , also L = µ µ ◦ A N 2
. (67)
l
Analog zum elektrischen Feld besitzt auch das Magnetfeld Energie. Mit dem Induktionsgesetz
wird die Energiedichte des magnetischen Feldes für einen Spezialfall berechnet.
Zunächst betrachten wir einen allgemeinen Leiterkreis, in welchem der Strom im
✻
Zeitintervall dt von I auf I + dI erhöht wird.
I
✻ ❄dI
Dabei wird eine EMK
V m,ind = −L dI
dt
✲ induziert, gegen die von aussen eine zusätzliche Arbeit
t
✲ dt✛
dW = −V m,ind I dt = L I dI
geleistet werden muss. Um den gleichen Betrag nimmt die Energie W m des Magnetfeldes
zu: dW m = dW = L I dI . Die Integration ergibt mit I(t = 0) = 0
W∫
m
0
dW m =
∫ I
0
LI dI = W m = 1 2 L I2 .
die Energie des
magnetischen Feldes
Um die Energiedichte zu bestimmen, wählen wir eine lange Spule oder einen Toroiden,
mit Gl. (49)
B = µ µ ◦
N
l
die Energiedichte der Spule
I , und Gl. (67) L =
µ µ◦ A N2
l
w m = W m
A l = µ µ ◦ N 2
2 l 2 I 2 = 1 2
ist dann
B 2
µ µ ◦
= 1 2 ⃗ H · ⃗B .
Wie für das elektrische Feld lässt sich zeigen, dass dieses Ergebnis allgemein gültig ist.
Somit gilt w m = 1 2 ⃗ H ·
⃗B
die Energiedichte des
magnetischen Feldes
formal analog zum elektrischen Fall. Dort war w el = 1 2 ⃗ D · ⃗E, bzw. W el = 1 2 C V 2 für den
Kondensator.
5.2.11 Analogie der Selbstinduktion zur Masse der Mechanik
Mechanik
Magnetismus
F Kraft −V m,ind induzierte Spannung
v Geschwindigkeit I Strom
x Ortsänderung q Ladung
mv Impuls LI
1
2 mv2 1
kinetische Energie
2 LI2 magnetische Feldenergie
m träge Masse L Trägheit des Magnetfeldes
F = m dv
−V m,ind = L dI
dt
dt
Beachte: Gleiche mathematische Gleichungen haben die gleichen Lösungen.
73

5.3 Quasistationäre Ströme
Es werden Stromkreise betrachtet, die Widerstände (R), Spulen (L) und Kondensatoren
(C), sowie elektromotorische Kräfte 70 enthalten. Die Ströme sollen sich so langsam
verändern, dass keine Energie durch Strahlung verloren geht. 71
Die Spannungsabfälle, bzw. elektromotorischen Kräfte über die drei Schaltelemente
sind mit ihren Schaltbildern gegeben durch
V R = I R am Widerstand R R
V C = Q C
V m,ind = −L dI
dt
am Kondensator C
von der Selbstinduktion L.
C
∼∼∼∼∼
Ferner ist für Umrechnungen I = dQ
∫ t
dt , resp. Q(t) = I(t) dt + Q(t = 0) .
0
Betrachten wir einen einfachen Stromkreis, so gilt nach der 2. Kirchhoffschen Regel
∑
∼∼∼∼
✎☞
Vm,ind = ∑ V
L
i d.h. V m − L dI
dt = R I + Q C
V m
✍✌ C
R
oder auch V m = L dI
dt + R I + Q C .
Setzen wir I = dQ
dt
ein, so erhalten wir für Q:
L
L d2 Q
dt 2 + R dQ
dt + Q C = V m(t) (68)
oder dQ = I und differenzieren für I: L d2 I
dt
dt + R dI
2 dt + I C = dV m(t)
. (69)
dt
Die Lösungen siehe im Anhang C.1 Dgl. 7. und 8. Verglichen mit der Mechanik stellt der
Term dVm eine Anregung dar, I dI
eine Rückstellkraft und R eine Dämpfung.
dt
C dt
Mit V m =konst. und damit dVm = 0 beschreibt Gl. (69) eine gedämpfte Schwingung, die
dt
Energie pendelt zwischen W m und W e mit der Ohm’schen Dämpfung (Joule’sche Wärme)
I 2 R [vgl. Gl. (71)]. Mit V m = V ◦ cos ωt existiert eine erzwungene Schwingung [siehe S. 80].
5.3.1 Stromkreise mit konstanter EMK
Sonderfälle ergeben sich, wenn entweder die Kapazitäten C oder die Selbstinduktion L so
klein sind, dass eine gegenüber der anderen vernachlässigt werden kann.
1) L = 0, C ≠ 0
Gleichung (68) reduziert sich auf R dQ
dt + Q C = V m , V m ist konstant (70)
mit der Lösung [Anhang C.1 Dgl. 4.] Q(t) = Q ◦ e −t/(RC) + V m C .
70 z.B. Batterien, Gleichstrom- oder Wechselstromgeneratoren
71 Wir werden später [Kap. 5.4.1] sehen, dass nicht nur (gemäss Induktionsgesetz) veränderliche Magnetfelder
elektrische Felder erzeugen, sondern dass auch umgekehrt veränderliche elektrische Felder Magnetfelder
hervorrufen können. Diese veränderlichen Felder können sich im Raum ausbreiten, das betreffende
System sendet “elektromagnetische Wellen” aus. Die Abstrahlung hängt jedoch stark von der Frequenz
der Wechselfelder ab. Bei Frequenzen bis etwa 1000 Hertz ist der Energieverlust infolge Strahlung vernachlässigbar.
Wir beschränken uns deshalb hier auf solche “langsam veränderliche” Felder und Ströme.
74

Wir untersuchen zwei verschiedene Anfangsbedingungen.
S
R ✲ ❅
I
V m V C
S ′ C
R
a)Aufladen eines Kondensators: Zur Zeit t = 0 sei der Kondensator
ungeladen (d.h. Q(t = 0) = 0) und der Schalter bei S werde
geschlossen: Der Kondensator C wird aufgeladen. Es ist
Q(t = 0) = Q ◦ + V m C = 0 =⇒ Q ◦ = −V m C .
V c
V m
Somit wächst die Ladung gemäss
Q(t) = V m C (1 − e −t/(RC) ) .
τ c
t
Daraus erhalten wir V C (t) = Q C = V m (1 − e −t/(RC) )
V m
R
1Vm
e R
I
und
I(t) = dQ
dt = V m
R e−t/(RC) .
Man nennt τ C = RC die Zeitkonstante (e-tel Wertszeit)
τ c t dieses RC-Kreises. Nach einer Zeit t ≫ τ C ist der Kondensator
aufgeladen und trägt die Ladung V m C.
b) Entladen eines Kondensators: Der Schalter S ′ werde zur Zeit t = 0 geschlossen.
V V c (t)
Es ist V m = 0 und
o Q(t = 0) = Q ◦ = C V m .
τ c
Die Lösung ist Q(t) = Q ◦ e −t/(RC) .
Damit ist V C (t) = Q ❜
◦
C e−t/(RC) = V ◦ e −t/(RC) ❜
V C
RC - Signal
I(t)
t
C R gross
τ c
t
❜
I(t) = dQ
dt = − Q ◦
RC e−t/(RC) = V ◦
R e−t/(RC) .
-V o
R
In der Signaltechnik spielt das RC-Glied eine wichtige Rolle.
Bei Kippschwingungen z.B. tritt kombiniert Laden und Entladen auf:
R ◗ Wird ein Kondensator mit parallel geschalteter Gasentladungsstrecke
(Glimmlampe) über einen Widerstand aufgeladen, so zündet
✗✔ ✄
V
m
C die Glimmlampe für V
✖✕
C = V Z und sie löscht bei V C = V L . Ladungsund
Entladungsphasen lösen sich periodisch ab.
Der Kondensator wird mit der grossen Zeitkonstanten
τ C = RC aufgeladen und mit einer viel kleineren
V c
V Z
Zeitkonstanten entladen, weil der innere Widerstand
V L t
der Glimmlampe viel kleiner als R ist. Ist V Z ≪ V m ,
2) keine Kapazität, d.h. V C = 0 = Q C
erhält man ungefähr eine Sägezahnschwingung.
Die 2. Kirchhoffsche Regel ergibt nach Gleichung (68) L dI
dt + R I = V m .
Diese Differentialgleichung hat dieselbe Form wie Gl. (70) mit der Lösung
I(t) = I ◦ e −(R/L)t + V m /R mit R = R Ω + R L , (R L Widerstand der Spule).
75
R
❜
t

S ✘
S ′
V m
R Ω
R L
≀ ≀≀ L
✻
V L
❄
Wir betrachten wieder die Ein- und Ausschaltvorgänge:
a)Einschalten: Zur Zeit t = 0 sei I(t = 0) = 0 und der Schalter
werde geschlossen (Position S). Dann ist
I(t = 0) = I ◦ + V m
R = 0 =⇒
I ◦ = − V m
R .
I
V m
Somit ist I(t) = V m
R τ L
R (1 − e−(R/L)t ) .
t
Die Zeitkonstante dieses Vorganges ist τ L = L/R .
Der Spannungsabfall an der Spule ist dann
V m
V m
R L
R
V L
τ L
t
V L = V m − I R Ω = V m (1 − R Ω
R + R Ω
R e−t/τ L
) .
Aus R = R Ω + R L folgt
Also wird
1 − R Ω
R = R L
R , R Ω
R = 1 − R L
R .
V L = V m ( R L
R + (1 − R L
R )e−t/τ L
) .
Ausschalten: Der Schalter werde bei t = 0 nach S ′ geschlossen. Nun ist I(t = 0) = V m /R
(d.h. der vorher fliessende stationäre Strom) und V m = 0 für t > 0. Also ist
I(t) = V m
R e−t/τ L
und V L (t) = −R Ω I = −V m
R Ω
R e−t/τ L
.
V m
R
I
+V m
R L
R
V L
V m
t
V m
L
t=0
t
-V m
R Ω
R t=0
10⋅L
Ist L und damit
τ L gross (Spule
R
mit Eisenkern), dann fällt beim Ausschalten die hohe Spannung −V Ω m R
nur langsam ab
und die in der Spule gespeicherte magnetische Feldenergie entlädt sich teilweise mit einem
Abreissfunken oder eine Lampe über dem Schalter leuchtet auf.
5.3.2 Die konventionelle Spulenzündung beim Auto †
Bei der konventionellen Zündung des Ottomotors wird der starke Abreissfunke beim Öffnen
des Unterbrecherkontaktes des Stromkreises Batterie und Zündspule zur Zündung der
Zündkerze ausgenutzt.
Durch den Strom I 1 der Batterie mit V B = 12 V wird in der Primärwicklung der
Zündspule Zs eine Energie W = 1 2 L 1I 2 1 (L 1 ≈ mH, R 1 ≈ Ω) gespeichert.
76

+
−
R V
≀ Start 1 ≀
≀≀ 100
≀ Zs
V B
C
U
❇
Zk
Beim Öffnen des Zündunterbrecherkontaktes U steigt die
Spannung an der Primärspule und um ca 100fach übersetzt
der Sekundärspule und damit an der Zündkerze auf über 1000
V bis zur Zündung an und sinkt dann auf die Brennspannung
von 400 V ab. Der Zündkondensator C unterdrückt zu starke
Funkenbildung am Unterbrecherkontakt und lädt sich beim
Öffnen des Zündunterbrecherkontaktes auf. Bricht der Funke wieder ab, dann schwingt
die restliche Energie in dem Sekundärkreis der Zündspule über seinen Ohm’schen Widerstand
aus. Der Vorwiderstand R V wird nur beim Start zur Anhebung der Startspannung
kurzgeschlossen. Im nicht gezeichneten Zündverteiler wird die Zündung auf die einzelnen
Zylinder umgeschaltet.
Weitere praktische Anwendungen der Induktion sind z.B. die Induktionskochplatte
oder die Induktionslampe, die eine beträchtliche Energie im Haushalt einsparen können.
5.3.3 Der Thomsonsche Schwingkreis
a) Freie Schwingungen eines LC-Kreises (Thomsonscher Schwingkreis)
Beim Thomsonschen Schwingkreis sind L ≠ 0, C ≠ 0, V m = 0. Damit überhaupt ein
Strom fliesst, muss z. B. der Kondensator zur Zeit t = 0 aufgeladen sein: Q C (t = 0) = Q ◦ .
∼∼∼∼ Der Strom in diesem Kreis wird durch Gl. (69) mit V m = 0 bestimmt:
R
L
C
L d2 I
dt 2 + R dI
dt + I C = 0 . (71)
Formal ist diese Differentialgleichung [Anhang C.1 Dgl. 7.] identisch mit der Bewegungsgleichung
für den linearen gedämpften Oszillator der Mechanik und Gl. (71) hat auch
I
L
I o (ω)
I o (ω o )
die gleiche Lösung I(t) = I ◦ e −t/τ cos(ω ′ t + δ)
t
√
mit ω ′ = ω
2π
◦ 2 − 1
τ , 1
2
ω
τ = R 2L und ω2 ◦ = 1
R
W e
R
W m
ω o
C
L C
der Thomson-Formel . ω ◦ ist die Kreisfrequenz der ungedämpften
Schwingung, welche bei verschwindendem Widerstand R auftritt.
1/τ bestimmt den Grad der Dämpfung. Die Schwingung besteht
aus einem Hin- und Her-Pendeln der elektrischen Energie im Kondensator
W e und der magnetischen Energie in der Spule W m . Durch
die im Widerstand R entstehende Joule’sche Wärme I 2 R wird der
Schwingung ständig Energie entzogen, bis sie schliesslich ausstirbt.
ω◦ 2 = 1 ist der kritische Grenzfall und 1 > ω 2 der exponentielle
τ 2 τ 2
Kriechfall. Der Gütefaktor dieses Schwingkreises ist
kleines Q
grosses Q
ω
[vgl. Mechanik Kap. 7.3] Q = τω ◦
2 = 1 √
L
R C .
In einem supraleitenden Schwingkreis wäre R → 0
und damit Q → ∞.
77

) Erzeugung ungedämpfter Schwingungen
Um die Schwingung aufrecht zu erhalten, muss in jeder Schwingungsperiode die in Wärme
umgewandelte Energie wieder ersetzt werden, z.B. durch Elemente mit “negativem” Widerstand
oder durch eine Rückkopplung.
a) Durch Elemente mit “negativem” Widerstand
Beispiele solcher Elemente: Lichtbogen, Dynatron, Tunneldiode (vgl. S.39).
✻V B
Ein Lichtbogen entsteht, wenn an zwei Kohleelektroden
eine Gleichspannung angelegt wird. Der Strom
◗ ◗◗◗◗◗ stat. Kennlinie
dynam. Kennlinie kommt hauptsächlich durch Elektronenemissionen
✟✟✟ I = ✟ (Vm − V B )/R V ) der glühenden Kohle zustande. Durch Stossionisation
wächst der Strom an, so dass der Widerstand
✲
I ◦ + I I B
dV B /dI B negativ wird. Der Lichtbogen ist instabil.
Die statische Strom-Spannungs-Charakteristik zeigt eine fallende Kennlinie. Der Strom
muss stabilisiert werden, indem ein genügend grosser Widerstand R V vor den Lichtbogen
geschaltet wird. Die Drosselspule D sorgt dafür, dass der Speisestrom I ◦ konstant gehalten
wird und Wechselströme nicht über die Spannungsquelle abfliessen.
Der Strom durch den Bogen ist also I
B
B = I ◦ + I, und
es ist dI B = dI. Für den Kreis ABCD gilt nach der 2.
Kirchhoffschen Regel:
+
−
∼∼∼ ✲
A R ∼∼∼
D I ◦
L
✄+
V m ❄✄ V I ✻
− B
C
R V
I B
D
C
dV B
dt
+ L d2 I
dt 2 + R dI
dt + I C = 0 . (72)
Es entsteht eine ungedämpfte Schwingung, wenn sich die Terme mit V B und R
kompensieren, also gilt
dV B
dt
= −R dI
dt = −R dI B
dt .
Der Widerstand R = − dV B
dI B
entspricht einer fallenden Kennline und Gleichung (72)
reduziert sich auf
L d2 I
dt 2 + I C = 0 ,
deren Lösung ist eine ungedämpfte Schwingung mit der Kreisfrequenz ω ◦ =
√
1
LC .
1M
R G
I A
V G
L G
+ -
-
R'
L
+
E o
V A
I
C
b) Durch Rückkopplung mit Transistoren oder Elektronenröhren
hier als Elektronenröhrengenerator.
Nach Kap. 3.2.6 kann man den Anodenstrom I A mit
der Gitterspannung V G steuern. Wählt man eine Gitter-
Wechselspannung, so überlagert sich dem Anodenstrom
ein Wechselstrom, der im angeschlossenenSchwingkreis
eine Schwingung induzieren kann.
78

I
V A
I A
t
t
t
Man kann jedoch durch geeignete Rückkopplung
(A. Meissner, 1913) erreichen, dass der Schwingkreis
die Energiezufuhr selber steuert, auf die Gitter-
Wechselspannung kann dann verzichtet werden. Eine
im Schwingkreis einmal angeregte Schwingung induziert
über die Spule L G eine Gitter-Wechselspannung, welche
I A so steuert, dass im richtigen Takt dem Schwingkreis
Energie nachgeliefet wird. Obwohl heute Transistoren
die Elektronenröhren weitgehend verdrängt haben, werden
letztere für hohe Leistungen noch immer benutzt.
5.3.4 Harmonische Wechselströme
Die Stromkreisanalyse wird vereinfacht, wenn man komplexe Spannungen und Ströme
einführt. Wie bei der Behandlung mechanischer Schwingkreise sind nur die Realteile (bzw.
Imaginärteile) dieser komplexen Ausdrücke die physikalisch messbaren Grössen. Statt der
reellen EMK V m = V ◦ cos ωt schreiben wir also V m = V ◦ e iωt .
1) Ohmscher Widerstand
Es ist V m = V ◦ e iωt = V R = I R ,
♠∼ V ◦ e iωt R
also I = V ◦
R eiωt .
Strom I und Spannung V R haben das gleiche Argument
in der Exponentialfunktion, sie sind also in Phase.
2) Selbstinduktion
Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz ist V ◦ e iωt = L dI
♠∼ V ◦ e iωt L ≀≀
dt ,
∫
≀
also I = dI = V ∫
◦
e iωt dt = V ◦ 1
L L iω eiωt .
✲
I ✻ Führen wir die Abkürzung Z L = iωL ein,
♠∼ V Z
❄ so wird I = V m
= V ◦ e iωt
.
Z L Z L
Z L nennen wir den Wechselstromwiderstand oder Impedanz der Selbstinduktion. Mit
Hilfe des Impedanzbegriffes gestattet die komplexe Schreibweise eine besonders einfache
Darstellung der Strom-Spannungs-Beziehungen. Z tritt bei Wechselströmen an die Stelle
von R. Wollen wir den messbaren Strom erhalten, so müssen wir den Realteil bilden.
V m
I(t)
t
V m
I(t) R{I(t)} = R{ V ◦
iωL (cosωt + i sin ωt)} = V ◦
ωL
sin ωt .
3) Kondensator
t
Der Strom hinkt um π/2 hinter der Spannung nach,
d.h. das Maximum von I folgt zeitlich nach jenem der
Spannung.
V m
∼♠
C
Mit dem Kirchhoff’schen Gesetz ist V ◦ e iωt = V C = Q C ,
und mit
I = dQ
dt
ist iω V ◦ e iωt = I C
79

V m
I(t)
t
also I(t) = iω C V ◦ e iωt und mit der
Impedanz des Kondensators Z C = 1
iω C
wird I = V m
= V ◦ e iωt
.
Z C Z C
Die reelle Lösung lautet R{I(t)} = R{iωC(cosωt + i sin ωt)} = −ωC V ◦ sin ωt .
Der Strom eilt der Spannung um π/2 voraus.
4) Serienresonanzkreis
Alle drei Impedanzen sind in Serie hintereinander geschaltet. Mit dem Kirchhoff’schen
Gesetz ist V ◦ e iωt = I (R + Z C + Z L ) . Die komplexen Impedanzen dürfen addiert
werden wie die Ohmschen Widerstände und damit ist
V ◦ e iωt
∼♠
R
C
≀
L
≀
I(t) =
V ◦ e iωt
R + Z C + Z L
.
Mit den Impedanzen darf in komplexer Schreibweise wie
mit Ohmschen Widerständen gerechnet werden.
Für den Realteil erhalten wir
{
V ◦
R{I(t)} = R
R + iωL + 1
iωC
e iωt }
= R
{
V◦ (R − i(ωL − 1
}
))(cosωt + i sin ωt)
ωC
(R + i(ωL − 1
1
))(R − i(ωL − )) ωC ωC
= V ◦ (R cos ωt + (ωL − 1 ) sin ωt)
ωC
R 2 + (ωL − 1 =
ωC )2
mit (vgl. Anhang C.1.1) tanδ = ωL − 1
ωC
R
V ◦
√
R2 + (ωL − 1
ωC )2 cos(ωt − δ) = I ◦ cos(ωt − δ) ,
und I ◦ =
V ◦
√
R2 + (ωL − 1
ωC )2 (73)
Die Stromamplitude I ◦ hängt in ähnlicher Weise von ω ab wie die Amplitude der stationären,
erzwungenen Schwingung eines linearen, harmonischen Oszillators [Mechanik
Kap. 7.4]. Auch die Wechselstromamplitude I ◦ (ω) zeigt Resonanz.
I ◦ erreicht seinen maximalen Wert
δ
I o max
I o max
2
0
I o
ω ο
∆ω1/2
+π/2
0
−π/2
ω
I ◦ = I 0,max = V ◦
R ,
wenn ωL = 1
ωC , d.h. ω2 = ω◦ 2 = 1
LC .
Die Resonanzfrequenz ist also gerade durch die
Thomson-Bedingung beim ungedämpften LC-
Schwingkreis gegeben. An dieser Stelle ist
δ = 0, d.h. Strom und Spannung sind in Phase. Die Breite der Resonanzkurve wird wie
in der Mechanik durch die Dämpfung, d.h. durch R bestimmt. Der genaue Vergleich von
Gleichung (73) mit der Amplitude der erzwungenen mechanischen Schwingung zeigt, dass
R/L der mechanischen Grösse β/m entspricht. Somit können wir auch die in der Mechanik
80

[Kap. 7.4] hergeleitete Formel für die Halbwertsbreite der Resonanzkurve bei schwacher
Dämpfung übernehmen. Die “gesamte Breite bei halber Höhe” (FWHM = Full Width at
Half Maximum) ist mit Gl. (73)
1
4R = 1
2 R 2 + (ω ′ L − 1/ω ′ C) , und 2 ω′ = ω ◦ + ∆ω für ∆ω ≪ ω ◦ ⇒ ∆ω 1/2 ≈ √ 3 R . L
Anwendung: Mit dieser Resonanz eines Schwingkreises wird bei Radio- oder TV-
Empfängern selektiv eine Sendefrequenz herausgefiltert.
5) Parallelschaltung Die Rechnung läuft analog zum vorherigen Beispiel. Es sei nur
R Ω
≀ noch erwähnt, dass bei der Parallelschaltung von Impedanzen
1
♠∼ C R L
wie bei der von Ohm’schen Widerständen gilt = ∑ 1
.
≀
Z tot i
Z i Als 2. Dämpfung wirkt der Ohm’sche Widerstand R Ω der Spule.
5.3.5 Transformatoren
I p I s der Skizze getrennt gezeichnet), wobei an Spule 1 eine Wechselspannung
Wir betrachten zwei eng übereinander gewickelte Spulen (in
angelegt sei. L 12 sei der Koeffizient der gegensei-
~ L R
V o e i t 2
tigen Induktion. Sein Vorzeichen hängt vom Wicklungssinn
der beiden Spulen ab. Der Widerstand der Spule 1 wird ver-
L 1
L 12
nachlässigt. Dann gilt gemäss Kirchhoff
für Spule 1: V ◦ e iωt dI s
± L 12
dt = L dI p
dI p
1 und für Spule 2: ± L 12
dt
dt = L 2
Diese zwei gekoppelten Differentialgleichungen können mit dem Ansatz 72
I p (t) = I p◦ e iωt und I s (t) = I s◦ e iωt gelöst werden.
dI s
dt + I s R .
Dabei sollen die beiden Amplituden I p◦ und I s◦ komplex sein, d.h. zwischen ihnen kann
eine Phase bestehen. Einsetzen in die Differentialgleichungen ergibt:
V ◦ = L 1 I p◦ iω ∓ L 12 I s◦ iω und 0 = L 2 I s◦ iω ∓ L 12 I p◦ iω + I s◦ R .
Daraus berechnet man
I s◦ = ±
V ◦
R L 1
L 12
+ iω( L 1L 2 −L 2 12
L 12
)
und I p◦ =
V ◦ (R + iωL 2 )
iωRL 1 − ω 2 (L 1 L 2 − L 2 12) . (74)
Für einen idealen Transformator mit Eisenkern gilt:
1. Alle Feldlinien verlaufen im Eisenkern (keine Sättigung oder Streufeld).
2. Es gibt keine Wirbelstromverluste im Eisenkern (z.B. lamellierter Eisenkern).
3. Der Primärkreis (Spule 1) hat keinen Ohmsche Widerstand.
N
Nach Gl. (67) ist dann L 1 = µµ
1A
2 N
◦ und L 2 = µµ
2A
2
◦ .
l
l
L 12 erhält man aus folgender Überlegung. Spule 1 induziert in Spule 2 eine EMK
dI p
V m,2 = −L 12
dt = −N dΦ 1
2
dt
d
= −N 2
dt (AB d
1) = −N 2
dt (Aµµ N 1
◦
l I N 1 N 2 A
p) = −µµ ◦
l
dI p
dt .
72 Die Lösung ist nicht vollständig, es interessiert jedoch nur die harmonische partikuläre Lösung.
Als andere Methode kann man die 2. Differentialgleichung in die 1. einsetzen und erhält dann eine
Differentialgleichung 1. Ordnung (vgl. auch Fussnote 76 zur Lösung gekoppelter Dgl’s).
81

N 1 N 2 A √
Mit L 1 , L 2 ist: L 12 = µµ ◦ = L 1 L 2 und L 12 < √ L 1 L 2 bei nicht idealer
l
Kopplung. Aus Gl. (74) erhält man dann mit L 2 12 = L 1 L 2 , L 1 /L 2 = N1/N 2 2
2
I s◦
= ± V ◦
R L = ± V ◦ N 2
1
L 12
R N 1
I p◦ = V ◦ (R + iωL 2 )
iω R L 1
= V ◦ (−iR + ωL 2 )
ω R L 1
Strom und Spannung in ±Phase (Wickelsinn)
= V ◦
L 1
( L 2
R − i 1 ω ) .
Falls R ≪ ωL 2 , so ist
I p◦ ≈ V ◦ N2
2
R N1
2
Strom und Spannung sind in Phase.
Also wird das Verhältnis der Stromamplituden:
Das entsprechende Verhältnis der Spannungen ist
I p◦
I s◦
≈ ± N 2
N 1
.
V ◦ e iωt
I s R =
V ◦
I s◦ )R = ±V ◦
R
R N 1
V ◦ N 2
= ± N 1
N 2
,
also
V p◦
V s◦
≈ ± N 1
N 2
.
Mit dem Transformator können also z.B. hohe Spannungen, mit denen Elektrizität vom
Erzeugungsort zum Verbraucher transportiert wird, auf niedrige Spannungen am Verbraucherort
umgespannt (transformiert) werden. Zwei Spezialfälle sind
V ◦ L 12 iω
a) Kurzschluss R = 0 ⇒ I s◦ = −
ω 2 (L 1 L 2 − L 2 12) → ∞, I V ◦ L 2 iω
p◦ = −
ω 2 (L 1 L 2 − L 2 12) → ∞.
b) keine Last R = ∞ ⇒ I s◦ = 0, I p◦ = V ◦
keine Leistung bei π/2 Phase.
iωL 1
c) Eine Phasenverschiebung kann durch eine C,L-Kombination kompensiert werden.
5.3.6 Arbeitsleistung eines Wechselstromes
Wird ein harmonischer Oszillator an ein Netzwerk mit einer komplexen Impedanz
angeschlossen, so sind Strom und Spannung im allgemeinen
V(t)
I(t) nicht in Phase. Ist V = V ◦ cosωt und I = I ◦ cos(ωt + ϕ),
so ist die momentane Leistung 73
−ϕ
t
P = IV = I ◦ V ◦ · cos(ωt + ϕ) cos ωt .
Die im Zeitintervall dt vom Generator geleistete Arbeit ist
dW = IV dt = I ◦ V ◦ cosωt · cos(ωt + ϕ)dt = I ◦V ◦
[cos(2ωt + ϕ) + cosϕ]dt.
2
Die über eine Periode gemittelte Leistung ¯P des Generators ist mit T = 2π/ω
IV
+ +
– –
t
¯P = 1 T
∫T
0
also
dW = 1 T
∫T
0
I ◦ V ◦
[cos(2ωt + ϕ) + cosϕ]dt
2
¯P =
I ◦ V ◦
2 cos ϕ = V effI eff cos ϕ
73 Hier darf nicht komplex gerechnet werden da R{I · V } ≠ R{I} · R{V } = P ist.
82

mit V eff = V ◦
√
2
; I eff = I ◦
√
2
= 0.707I ◦ . I eff ist die Stromstärke, die ein Gleichstrom haben
müsste, um dieselbe Leistung abzugeben wie der betreffende Wechselstrom. Der Effektivwert
unseres Elektrizitätsnetzes ist 230 V. Hitzdrahtinstrumente oder Elektrometer,
deren Anzeigen von der Stromrichtung unabhängig sind, geben Effektivwerte an.
I2
o I 2 (t)
Bei Ohm’schen Widerständen ist ϕ = 0 und deshalb
¯P = I eff V eff = 1 2 I ◦V ◦
I eff
2
I o
Bei Selbstinduktionnen oder Kapazitäten ist ϕ = ±π/2,
also ¯P = 0. Dies sind wattlose Schaltelemente. Die in jeder
t
Halbperiode zum Aufbau des Feldes im Kondensator oder
I(t) der Spule notwendige Energie wird in der nächsten
Halbperiode wiedergewonnen. Deshalb nennt man ¯P die Wirkleistung und I eff V eff die
Scheinleistung 74 .
5.4 Maxwell’scher Verschiebungsstrom und Gleichungen
5.4.1 Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom
Das Faradaysche Induktionsgesetz zeigt, dass zeitlich variable Magnetfelder elektrische
Felder induzieren. Es stellt sich die Frage, ob umgekehrt auch zeitlich variable elektrische
Felder Magnetfelder erzeugen können. Diese Frage ist eng mit jener verknüpft, ob
alle Ströme geschlossen sind. Das Ampère’sche Gesetz ∮ ⃗ H d⃗s = I kann nur dann allgemeingültig
sein, wenn der Strom nirgends unterbrochen wird. Stationäre Ströme sind
geschlossen. Bei einem nichtstationären Wechselstrom über einen Kondensator endet der
Leitungsstrom jedoch an den Kondensatorplatten. Maxwell führte deshalb den
Verschiebungsstrom ein:
Der Strom I = dQ in einem Leiter erzeugt ein Magnetfeld H, ⃗ dt
~ H→ A einen Schlauch magnetischer Feldlinien um den Leiter. In einer
Anordnung mit Wechselstrom und einem Plattenkondensator
E →
gilt dies für den Leiter von und zum Kondensator.
H → A D
I
Maxwells Verallgemeinerung: Das H-Feld ⃗ umfasst auch das sich
ändernde E-Feld ⃗ im Kondensator.
Der fliessende Strom ist hier nur durch das sich zeitlich ändernde elektrische Feld dem
Verschiebungsstrom gegeben. Damit wird der Strombegriff erweitert. Es gibt nur geschlossene
Ströme: im Leiter den Leitungsstrom und im Kondensator den Verschiebungsstrom.
Damit wird das Ampére’sche Gesetz formuliert mit einer Kontur C D um den Draht:
∮ ∫
H ⃗ d⃗r = ⃗j dA ⃗ = I
A D
C D
A D ist die von C D umschlossene Fläche. Um den Kondensator mit der Kontur C und der
∮
Fläche A gilt ⃗H d⃗r = I und I = dQ
dt = ∂ ∫
σ dA = ∂ ∫
D n dA
∂t ∂t
C
74 Eine eventuelle Blindenergie wird beim Elektrizitätstarif berücksichtigt: “Wird der Leistungsfaktor
cos ϕ = 0.92 während den Hochbelastungsstunden unterschritten, so ist für jede mehr bezogene Blindkilowattstunde
2.5 Rp/kW zu bezahlen” Gemeinde Zollikon 21.3.1973.
83
A
A

mit σ der Flächenladungsdichte auf einer Kondensatorplatte. Da aus dem allgemeinen
Gaussschen Satz gilt Q = ∫ D n dA und D n = Q/A = σ für den Plattenkondensator, folgt:
∮
C
∫
⃗H d⃗r =
A
∂D n
∂t dA + ∫
A
j n dA sowie differentiell ∇ × ⃗ H = ⃗j + ∂ ⃗ D
∂t
(75)
Dies ist die Integral- und Differentialform der 4. Maxwell’schen Gleichung . Sie ist
eine neue Stromdefinition. Jede zeitliche Änderung eines ⃗ D-Feldes stellt einen Strom dar,
der sich durch seine magnetische Wirkung äussert, die wiederum gleich jener durch die
Leitungsströme ist.
Es gibt auch einen theoretischen Grund, den Verschiebungsstrom einzuführen.
Die Vektoroperation ∇ · (∇ × ⃗ H) = 0
ist nach (Anhang C.2) für ein beliebiges Vektorfeld gültig. Wäre ∇ × H ⃗ = ⃗j vollständig,
so würde folgen ∇ ·⃗j = 0 und die elektrische Stromdichte aus einer Fläche heraus wäre
immer null, im Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung ∇ · ⃗j = − ∂ρ . Der Widerspruch
∂t
kann beseitigt werden, wenn nach Gl. (75) zu ⃗j noch der Term ∂D/∂t ⃗ addiert wird. Es
gilt dann mit ∇ · ⃗D = ρ sowie vertauschen von ∇ und ∂ ∂t
∇ · (∇ × ⃗ H) = ∇ ·⃗j + ∇ · ∂ ⃗ D
∂t = ∇ ·⃗j + ∂ρ
∂t = −∂ρ ∂t + ∂ρ
∂t = 0
Ein direkter Nachweis des Verschiebungsstromes ist schwierig, da in elektrischen Feldern
mit langen Feldlinien keine Verschiebungsströme hinreichender Grösse erzeugt werden
können. Mit Hochfrequenzfeldern treten Probleme auf, da dann der offene Kondensator
als eine Antenne elektromagnetische Wellen abstrahlt (Kap. ??).
5.4.2 Die Maxwell’schen Gleichungen
Damit haben wir vier Maxwell-Gleichungen, mit denen vollständig die Statik und Dynamik
von Ladungen und Strömen mit ihren Feldern ⃗ D = εε ◦
⃗ E und ⃗ B = µµ◦ ⃗ H beschrieben
werden.
ε ◦ = 10 7 /4πc 2 [A 2 /N] = 0.8854188 · 10 −11 [As/V m]
µ ◦ = 4π · 10 −7 [N/A 2 ] = 1.256637 · 10 −6 [V s/Am]
mit c = 1/ √ ε ◦ µ ◦ = 299792458 m/s. c ist seit 1983 definiert und deshalb exakt.
84

Integralform
Differentialform
(76)
D ⃗ = εε◦E ⃗ = ε◦E ⃗ + P ⃗
Gauss’ Satz:
Quellen:
∫
∫ A D ndA = ∫ V ρdτ ∇ · ⃗D = ρ
A B ndA = 0 ∇ · ⃗B = 0
Faraday’ Induktionsgesetz:
Wirbel:
∮C Edr ⃗ = − ∫ A ḂndA ∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗
∂t
Ampère-Gesetz:
∮C Hd⃗r ⃗ = ∫ A j ndA + ∫ A ḊndA ∇ × H ⃗ = ∂ D ⃗
∂t
+⃗j
⃗B = µµ ◦H ⃗ = µ◦ ( H ⃗ + M) ⃗
Kraftgesetz: F ⃗ = q · ( E ⃗ + ⃗v × B) ⃗
Potentiale:
⃗E = −∇V ∆V = −ρ/εε ◦
⃗B = ∇ × A ⃗ ∆A ⃗ = −µµ ◦
⃗j
Materialgesetze:
Kurze Diskussion der Maxwell Gleichungen
1. Die Maxwell-Gleichungen sind gekoppelte, lineare partielle Differentialgleichungen
1.Ordnung in ⃗r und t.
2. ρ(⃗r,t) und ⃗j(⃗r,t) beeinflussen ⃗ E und ⃗ B als “Nahwirkung” über die 1. und 4. Gl. (76).
3. ⃗ E und ⃗ B sind wechselseitig voneinander abhängig: mit ∂ ⃗ E/∂t ≠ 0 folgt ein Wirbelfeld
(∇× ⃗ B ≠ 0) und ∂ ⃗ B/∂t ≠ 0 wird durch ∇× ⃗ E ≠ 0 mit dem Induktionsgesetz kompensiert.
4. Die 1. Gl. (76) beinhaltet die Existenz von Ladungen (Quellen und Senken des elektrischen
Feldes), aus der 2. Gl. (76) folgt, dass magnetische Monopole nicht existieren und
magnetische Feldlinien geschlossen sein müssen.
5. Die Kirchhoffsche Maschenregel wird durch die 3. Gl. (76) ∮ ⃗ C Edr = − ∫ A ḂndA = − ˙Φ
mit beliebiger Masche (Integrationsweg C) und der elektromotorischen Kraft − ˙Φ (z.B.
Batterie, Generator) dargestellt.
6. Die 4. Gl. (76) ∇ × H ⃗ = ˙⃗ D + ⃗j mit ∇ · ⃗j = ∇ · (
∇ × H ⃗ )
−∇ ·
˙⃗D = − ˙ρ
} {{ }
beinhaltet die Knotenregel. Für jede geschlossenen Fläche gilt, sofern sie nicht zwischen
∑
Kondensatorplatten hindurchgeht, Ii = ∫ Jd ⃗ A ⃗ = 0.
7. Der physikalische Raum kann in einen elektromagnetischen Zustand versetzt werden,
der durch das elektromagnetisches Feld beschrieben wird und dessen experimentell prüfbare
Eigenschaften durch die Maxwell-Gleichungen dargestellt werden. Diese formale, mathematische
Struktur vereinigt die elektrischen mit den magnetischen Feldern zu einer
einzigen elektromagnetischen Wechselwirkung. Die Vereinigung der elektromagnetischen
Wechselwirkung mit der Optik, d.h. der Beschreibung der elektromagnetischen Wellen wie
auch des Lichtes durch die Maxwell-Gleichungen wird in folgenden Kapiteln behandelt.
=0
85

A Physikalische Konstanten Stand 1986
Physikalische Grösse Symbol Wert(Fehler) Einheit Fehler
(ppm)
Lichtgeschwindigkeit c 2.99792458 × 10 8 m s −1 exakt
magn. Feldkonst., Induktionskonst. µ 0 4π × 10 −7 V s A −1 m −1 exakt
el. Feldkonst., Influenzkonst.=1/µ 0 c 2 ǫ 0 8.854187817 × 10 −12 A s V −1 m −1 exakt
Gravitationskonstante G 6.67259(85) × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 128
Standardschwerebeschleunigung g n 9.80665 m s −2 exakt
Fallbeschleunigung Zürich (452 m) g Z 9.80652 m s −2
Plancksche Konstante h 6.6260755(40) × 10 −34 J s 0.60
h/2π ¯h 1.05457266(63) × 10 −34 J s 0.60
¯hc 197.327053(59) MeV fm 0.30
Elementarladung e 1.60217733(49) × 10 −19 A s = C 0.30
magnetische Flussquant, h/2e Φ 0 2.06783461(61) × 10 −15 V s = Wb 0.30
quatisierter Hall-Widerst. h/e 2 R H 2.58128056(12) × 10 4 V A −1 = Ω 0.045
Feinstrukturkonstante, µ 0 ce 2 /2h α 7.29735308(33) × 10 −3 0.045
inverse Feistrukturkonstante α −1 137.0359895(61) 0.045
Atomare Masseneinheit m( 12 C) u 1.6605402(10) × 10 −27 kg 0.59
u 931.49432(28) MeV/c 2 0.30
Spezifische Ladung des Elektrons −e/m e −1.75881962(53) × 10 11 C kg −1 0.30
Elektronenmasse m e 9.1093897(54) × 10 −31 kg 0.59
m e 5.48579903(13) × 10 −4 u 0.023
m e 0.51099906(15) MeV/c 2 0.30
Myonenmasse m µ 1.8835327(11) × 10 −28 kg 0.61
m µ 105.658389(34) MeV/c 2 0.32
m µ /m e 206.768262(30) 0.15
Protonenmasse m p 1.6726231(10) × 10 −27 kg 0.59
m p 1.007276470(12) u 0.012
m p 938.27231(28) MeV/c 2 0.30
m p /m e 1836.152701(37) 0.020
Neutronenmasse m n 1.6749286(10) × 10 −27 kg 0.59
m n 1.008664904(14) u 0.014
m n 939.56563(28) MeV/c 2 0.30
m n /m e 1838.683662(40) 0.022
m n /m p 1.001378404(9) 0.009
Rydberg-Energie, chR ∞ E Ry 13.6056981(41) eV 0.30
Bohrscher Radius, α/(4πR ∞ ) a 0 0.529177249(24) × 10 −10 m 0.045
Compton Wellenlänge, h/m e c λ e 2.42631058(22) × 10 −12 m 0.089
klassischer Elektronenradius, α 2 a 0 r e 2.81794092(38) × 10 −15 m 0.13
Thomson Wirkungsquersch., re8π/3 2 σ e 0.66524616(18) × 10 −28 m 2 0.27
Bohrsche Magneton, e¯h/2m e µ B 927.40154(31) × 10 −26 J/T = A m 2 0.34
Myonmagneton, e¯h/2m µ µ M 4.4852219(15) × 10 −26 J/T 0.34
Kernmagneton, e¯h/2m p µ N 0.50507866(17) × 10 −26 J/T 0.34
g-Faktor Elektron, 2µ e /µ B g e 2 × 1.001159652193(10) 10 −5
g-Faktor Myon, 2µ µ /µ M g µ 2 × 1.001165924(9) 0.009
g-Faktor Proton, 2µ p /µ N g p 2 × 2.792847386(63) 0.023
g-Faktor Neutron, 2µ n /µ N g n −2 × 1.91304275(45) 0.024
Gyromag. Verhältnis Proton B/ω γ p 2π × 42.577469(13) 2π MHz T −1 0.30
Gyromag. Verhältnis Myon B/ω γ µ 2π × 135.538,793(40) 2π MHz T −1 0.30
Magn. Moment Verhältnis µ µ /µ p 3.18334547(47) 0.24
Magn. Moment Verhältnis µ n /µ p −0.68497934(16) 0.24
Magn. Moment Verhältnis µ n /µ e −0.00104066882(25) 0.24
Avogadro (Loschmidt) Konstante N ◦ =L 6.0221367(36) × 10 23 mol −1 0.59
Faraday-Konstante, N ◦ e F 96485.309(29) C mol −1 0.30
Molare Gaskonstante R 8.314510(70) J K −1 mol −1 8.4
Boltzmann-Konstante, R/N ◦ k 1.380659(12) × 10 −23 J K −1 8.5
Molvolumen (273.15 K, 101325 Pa) V M 22.41410(19) × 10 −3 m 3 mol −1 8.4
Wiensche Konstante, λ max T b 2.897756(24) × 10 −3 m K 8.4
Stefan-Boltzmann-Konstante σ 5.67051(19) × 10 −8 W m −2 K −4 34
86

B
Grössen und Einheiten der Physik
B.1 Grössenart, Dimension, Einheitensystem
In diesem Kapitel werden die wesentlichen Grundlagen der Einheiten, Zahlenwerte, Dimensionen
und Einheitensysteme zusammenfassend dargestellt [vgl. Kamke, Krämer;
Physikalische Grundlagen der Masseinheiten, Teubner 1977].
B.1.1
Grösse und Zahlenwert
Für eine physikalische Grösse G gibt der Messwert {G} an, wie oft die Einheit [G] in G
enthalten ist:
{G} = G oder G = {G} [G] für Gleichungen.
[G]
Z.B. v = 50 km (ohne [. . . ]), 50 ist hier als Messwert eine reine Zahl. Mit Angabe des
h
Messfehlers schreibt man: v = (50 ± 2) km oder auch v = 50(2) km , wobei der Fehler der
h
h
letzten angegebenen Stellen in Klammern gesetzt wird.
B.1.2
Grössenart und Dimension
Längenangaben, wie z.B. Höhe, Umfang, Dicke, haben die gleiche Grössenart Länge, die
Dimension dieser Grösse ist die Länge. Die Einheiten können sein: 1 m, 1 inch, 1 Lichtjahr,
usw.
Summen und Differenzen sowie Vergleiche (, ≥, =, ≠) können nur zwischen
Grössen gleicher Grössenart und gleicher Dimension gebildet werden.
∆r
Eine Differentiation z.B. v = lim
∆t→0 ∆t = dr [ ] m
dt s
liefert die Dimension der zu differenzierenden Grösse dividiert durch die Dimension des
Differentials und bei einer Integration
r =
∫t
t ◦
v(t ′ )dt ′ [m] durch Multiplikation des Differentials.
Es gibt einige Grössenarten, die die gleiche Dimension haben, wie z.B. der Skalar
Energie oder die Arbeit ∫ ⃗ F · d⃗r [Fl] und der Pseudovektor (Axialvektor) Drehmoment
⃗r × ⃗ F [lF]. Diese Grössen unterscheiden sich jedoch physikalisch durch ihr Stufe (Skalar
S, Pseudoskalar P, Vektor oder polarer Vektor V , Pseudovektor oder axialer Vektor A,
Tensor T).
In Additionen und Subtraktionen dürfen nur Grössen gleicher Stufe verbunden werden.
Für das Produkt von Grössen verschiedener Stufen gelten aus Symmetriegründen
Grundregeln, wie V · V = S, V × V = A, V × A = V (vgl. Fussnote S. ??).
Eine Division ist nur mit Skalaren einfach. Tritt formell der Ausdruck ⃗a/ ⃗ b auf, dann
kann mit einer Erweiterung mit ⃗ b gebildet werden
⃗a ⃗a ·⃗b ⃗a ·⃗b
= =
⃗ b ⃗ b ·⃗ b b . 2
Dieser Rechentrick kann auch für komplexe Zahlen (als 2-dim. Vektoren) angewendet
werden.
87

B.1.3
Grössengleichungen
In Gleichungen, wie F = Γ m 1m 2
muss die Dimension rechts und links identisch sein
r 2
(Dimensionskontrolle). Damit ist die Dimension von Γ [ ]
Nm 2
kg bestimmt.
2
Mathematische Funktionen in Grössengleichungen, wie sin, cos, log, ln, sinh,
exp, müssen als Argument unbenannte (dimensionslose oder Eins-Elemente)
Zahlen (auch komplexe) enthalten, z.B. sin(ωt) = sin(2πνt), sin(2πx/λ),
exp(−t/τ). ..
Diese Regel wird in der Technik und Medizin oft missachtet [z.B. Grössenklasse eines
Sternes m v = −2.5 · log 10 (Luminosität [W/m 2 ]/2.52 · 10 −8 )]. Einheiten und Dimensionen
gehen verloren, es besteht die Gefahr von Rechenfehlern und Dimensionskontrollen können
nicht mehr durchgeführt werden. Die Formel ist keine Grössengleichung.
B.1.4
Winkel und Raumwinkel
ϕ 2
ϕ
s
R=1
ϕ 1
ϕ=0
Ein Winkel wird definiert als das Bogenmass d.h. die Bogenlänge
im Einheitskreis:
ϕ = s R = s
1m
[rad] mit R = 1.
ϕ = ϕ 2 − ϕ 1 = s 2
1 m − s 1
1 m = s 2
R − s 1
R .
Das Bogenmass ist eine dimensionslose Grösse (Verhältnisgrösse) mit der Bezeichnung
rad (Radiant), ein voller Winkel ist ϕ = 2π. Die auch übliche Angabe in Grad ist
Grad= rad · 180 ◦ /π mit 360 ◦ für den vollen Winkel.
Der Raumwinkel ist die auf einer Einheitskugel aufgespannte Kugeloberfläche
A
Ω
R=1
Ω = A
1 m 2 = A R 2 [sr]
mit der Einheit [sr] (Steradiant). Eine Vollkugel hat Ω = 4π sr.
Manchmal wird der Raumwinkel (z.B. eines Detektors) auch in
Einheiten von 4π angegeben.
B.1.5
Wahl der Basisgrössen in Einheitensystemen
Als Bedingungen für ein Einheitensystem können die folgenden aufgestellt werden 75 :
(i) Beschränkung auf ein Minimum an Einheiten
(ii) Die Bildung neuer Grössen (nicht Dimensionen) soll nur durch Multiplikation
und Division bestehender Grössen bestimmt werden. Z.B. Fläche=(Länge) 2 , nicht aber
Länge= √ Fläche mit der Fläche als Basis.
(iii) Die Struktur des physikalischen Begriffsystems ist durch folgende Axiome gegeben:
1. C = A · B Multiplikative Bildung von Grössenarten. Hierbei ist keine der Grössen
A,B,C voreinander ausgezeichnet.
2. Unbenannte Zahlen (1) = A ◦ (Eins-Elemente) ändern die Dimension einer Grösse
nicht, A·(1) = A, z.B. [Länge]·5=[Länge], [Bogenlänge/Radius]=(1) [rad], [Wirkungsgrad
75 Fleischmann, Zeitschrift für Physik 129(1951)377. Hier beziehen sich Produkt, Quotient, Multiplikation,
Division nicht nur auf reine unbenannte Zahlen (dimensionslose Grössen) oder Skalare sondern auf
allgemein benannte Grössen.
88

η= Arbeit/Wärme].
3. Reziproke Grössen A −1 multipliziert mit der Grösse A ·A −1 = (1) ergibt unbenannte
Zahlen, z.B. [Frequenz·Zeit]=(1).
4. Es gilt das assoziative Gesetz A · (B · C) = (A · B) · C und das kommutative Gesetz
A · B = B · A. Die Bedingungen 1.-4. bilden eine kommutative Abelsche Gruppe.
5. Für alle A ≠ (1) und m ∈ IN \ 0 gilt A m ≠ (1), d.h. die Gruppe ist keine Drehgruppe,
sie ist torsionsfrei 76 .
6. Die aus unendlich vielen Grössenarten bestehende Gesamtheit besitzt ein endliches
Erzeugendensystem, d.h. es gibt endlich viele (N)-Elemente C p , C q , ...C r , so dass jedes
Element X sich bildet mit X = Cp
αp · Cq
αq · Cr αr , α i ganzzahlig. Eindeutigkeit besteht,
wenn kein C i durch die anderen ausgedrückt werden kann (unabhängige Erzeugende bzw.
Basis). Eindeutigkeit der Darstellung wird nicht vorausgesetzt, z.B. ist ⃗r × F ⃗ = −F ⃗ × ⃗r.
1.-6. sind das vollständige Axiomensystem der Gruppe, für die gilt:
Satz: Es gibt mindestens eine Basis B 1 ...B n mit n ≤ N.
Für n = 1 gibt es genau zwei Basen B 1 und B1 −1 .
Für n > 1 gibt es unendlich viele, gleichwertige Basissysteme. Ein Basissystem entspricht
den n linear unabhängigen Grundvektoren eines n-dimensionalen Punktgitters.
Die Anzahl der Elemente einer Basis werden durch folgende Bedingungen bestimmt:
Es gebe in einem Gebiet k voneinander unabhängige Gleichungen zwischen l Grössenarten
mit l > k, dann sind n = l − k unbestimmt und damit Grundgrössen (Basis).
Z.B. in der Geometrie ist l eine Grundgrösse mit den Gleichungen A = l 2 , V = l 3 ;
in der Kinematik die zwei Grundgrössen Länge, Zeit mit den Gleichungen v = l/t, a = l/t 2 ;
in der Dynamik mit drei Grundgrössen:
a) Système International d’Unites (SI) {l,Masse,t} mit [m, kg, s]
b) technisches System {l,F,t} mit [m, kp, s]
c) natürliche Einheiten {v, Energie E, Wirkung S} mit c = m e c 2 = ¯h = 1
d) sowie viele andere mögliche Systeme.
Physikalisch sind alle Basen gleichbedeutend, die Einheiten (Masszahlen wie cm, m,
s, Std, Lichtjahre . . . ) sind belanglos, wesentlich ist die Verknüpfung und deren Eindeutigkeit.
Es darf keine zweite, verschiedene, gleichzeitig geforderte Definition geben. Die
Begriffsverknüpfungen (Definfitionen von Grössenarten der Form A · B = C) sind keine
Naturgesetze, sie passen sich jedoch der Naturerfahrung an (wie v = l/t, F = m · b)
ud stehen mit der Physik nicht im Widerspruch. Die Ganzzahligkeit des Exponenten ist
eine reine Zweckmässigkeit, gebrochene Exponenten ( √ E) sind mathematisch einfach ,
physikalisch jedoch problematischer einzuführen.
Vorsicht: Zusatzvereinbarungen, die das n te Basiselement aus den (n − 1) restlichen
definieren, verletzen die Eindeutigkeit.
Z.B. müsste im elektrostatischen cgs-System Q(el. Ladung) ein unabhängiges Basiselement
sein, jedoch ist E · l = Q · Q, Q = √ E · l = l · √Kraft
und im magnetischen
cgs-System ist der Induktionsfluss(Polstärke)= √ E · l = l · √Kraft.
Diese Zusatzforderung
besagt, der Quotient beider Seiten ist dimensionslos, d.h. man kann nur in diesem
Dimensionssystem jede Grösse mit diesem Quotienten multiplizieren ohne die Grössen zu
verändern, jedoch nicht in einem anderen Dimensionssystem. Die Dimensionssysteme sind
damit nicht eindeutig aufeinander abbildbar.
76 Für eine Drehgruppe gilt A m+n = A n mit beliebigen ganzen Zahlen n; eine m-fache Drehung um den
Winkel 2π/m führt zur Identität.
89

B.2 SI-Einheiten
Für Grundgrössen und abgeleitete Grössen wurde an der 11. Generalkonferenz für Mass
und Gewicht 1960 ein kohärentes Einheitssystem, das Systeme International d’Unités (SI),
für den allgemeinen Gebrauch empfohlen. Die der Meterkonvention angehörenden Staaten
sind gehalten, das SI durch Gesetz einzuführen. Das SI ersetzt alle früheren Masssysteme,
wie das cgs- (cm g s), das mks- (m kg s), das technische Masssystem etc.
In Klammern: die in diesem Skript i.a. benutzten Bezeichnungen der Grössen.
Masse (m,M)
1 Kilogramm (kg) ist die Masse des aus Pt-Ir bestehenden Urkilogramms , das im Bureau
International des Poids et Mesures in Sevres aufbewahrt wird. Es entspricht ungefähr
der Masse von 1 l Wasser bei 4 ◦ C.
Zeit (t,T)
1 Sekunde (s) ist die Zeitdauer von 9 192 631 770 Schwingungen des Uebergangs zwischen
den beiden Hyperfeinstrukturniveaus im Grundzustand des 133 Cs Atoms.
Länge (l,l)
1 Meter (m) ist die Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer
von 1/299 792 458 s zurücklegt. Veraltet: Urmeter (sollte 1/40 000 000 des Meridians durch
Paris sein), 1 m = 1 650 763.73 Wellenlängen des roten Lichtes, das von 86 Kr bei einem
bestimmten Uebergang emittiert wird. Der Meterstandard zeigt, dass die Einteilung in
Grund- und abgeleitete Einheiten willkürlich ist. Definiert ist heute die Lichtgeschwindigkeit
c = 2.99792458 ×10 8 m/s.
Elektrische Stromstärke (I)
1 Ampére (A) ist die Stärke eines Stromes, der durch zwei im Vakuum im Abstand
von 1 m parallel verlaufende, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbarem
Durchmesser, fliessend, eine gegenseitige Kraft von 2 × 10 −7 Newton pro Meter Länge
hervorruft.
Temperatur (T)
1 Kelvin (K) ist der Bruchteil 1/273.16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes
von Wasser. Die Celsiusskala ist definiert durch: t( ◦ C) = t(K) - 273.15 K.
Schmelzpunkt und Siedepunkt des Wassers unter Normalbedingungen liegen nur ungefähr
bei 0 ◦ respektive 100 ◦ C. Der absolute Nullpunkt ist per Definition 0 K.
Quantität der Materie (n,ν)
1 Mol (mol) ist die Menge eines Stoffes, die gleichviele Teilchen N ◦ (Atome, Moleküle,
Ionen, Elektronen, ...) besitzt, wie Atome in 12 g des Kohlenstoffisotops 12 C enthalten
sind.
N ◦ =
12.000 g/mol
Masse eines Atoms 12 C
Avogadrosche oder Loschmidtsche Zahl,
diese Zahl ändert sich, wenn die 12 C-Atommasse genauer bestimmt wird.
Lichtstärke
1 Candela (cd) ist die Lichtstärke (Intensität I = dΦ/dΩ), mit der 1/60 cm 2 Oberfläche
90

eines schwarzen Strahlers bei der Temperatur des beim Druck von 1 atm erstarrenden Pt
(2024.5 K) senkrecht zur Oberfäche strahlt.
Sämtliche Dimensionen physikalischer Grössen lassen sich auf diese 7 Grundgrössen
zurückführen. Z.B. Beschleunigung m/s 2 , Kraft N = m kg/s 2 . Die 7 Grundgrössen sind
nicht alle fundamentale Basisgrössen. Z.B. wird die Kelvinskala nur eingeführt, weil der
theoretisch existierende Zusammenhang zwischen Temperatur und Energie experimentell
nur schlecht bestimmbar ist. Für die Physik genügen die 4 Basisgrössen m, kg, s und A.
B.2.1
Von den SI-Einheiten abgeleitete Einheiten z.T. mit speziellen Namen
In Klammern: die in diesem Skript i.a. benutzten Bezeichnungen der Grössen.
ebener Winkel (α,ϕ) Radiant = rad = m m −1
Raumwinkel (Ω) Steradiant = sr = m 2 m −2
Frequenz (ν) Hertz = Hz = s −1
Geschwindigkeit (⃗v)
= m s −1
Impuls (⃗p) = kg m s −1 = Ns
Kraft ( F) ⃗ Newton = N = m kg s −2
Druck (p) Pascal = Pa = m −1 kg s −2 = N/m 2
Energie,Arbeit (E,W) Joule = J = m 2 kg s −2 = Nm
Leistung (P) Watt = W = m 2 kg s −3 = J/s
Drehimpuls ( L ⃗ ◦ )
= kg m 2 s −1
Drehmoment ( M ⃗ ◦ ) = kg m 2 s −2 = Nm
Trägheitmoment (I ◦ ) = kg m 2
Wärmemenge (Q) Joule = J = m 2 kg s −2 = Nm
Entropie (S)
= J/K
el. Ladung (q,Q) Coulomb = C = As
elektrische Feldstärke ( E) ⃗ = V/m
dielektrische Verschiebung ( D) ⃗ = Cb/m 2
el. Stromdichte (⃗j) = A/m 2
el. Spannung, Potential (V ) Volt = V = m 2 kg s −3 A −1 = J/C
el. Kapazität (C) Farad = F = m −2 kg −1 s 4 A 2 = C/V
el. Widerstand (R) Ohm = Ω = m 2 kg s −3 A −2 = V/A
el. Leitfähigkeit (σ) Siemens = S = m −2 kg −1 s 3 A 2 = A/V
Induktionsfluss (Φ) Weber = Wb = m 2 kg s −2 A −1 = V s
magn. Induktion ( B) ⃗ Tesla = T = kg s −2 A −1 = Wb/m 2
magnetische Feldstärke ( H) ⃗ = A/m
Induktivität (L) Henry = H = m 2 kg s −2 A −2 = Vs/A
Lichtstrom Lumen = lm = cd sr
Beleuchtungsstärke Lux = lx = lm m −2
Radioaktivität Bequerel = Bq = s −1
absorbierte Strahlungsdosis Gray = Gy = m 2 s −2 = J/kg
91

B.2.2
Verschiedene Einheiten
Grösse (Symbol) SI Einheit
Länge (l) 1 m 1 Parsec = 1 pc = 3.085 72 ×10 16 m
1 Lichtjahr = 1 ly = 9.460 530 ×10 15 m
1 astr. Einheit = 1 AE = 1.496 00 ×10 11 m
1 inch = 1 in. = 2.54 cm (exakt)
1 yard = 1 yd. = 3 feet = 3 ft.= 36 in.
1 Seemeile = 10 Kabel = 1000 Faden = 1852 m
1 mile = 1 mi. = 1760 yd. = 1.609 344 km
1 Ångström = 1 Å = 10 −10 m
1 Fermi = 1 fm = 10 −15 m
Fäche (A) 1 m 2 1 Are = 1 a = 10 2 m 2
1 Barn = 1 b = 10 −28 m 2
Volumen (V) 1 m 3 1 Liter = 1 l = 10 −3 m 3
1 Gallone (US) = 4 Quarts = 8 Pints = 3.785 4 l
1 Gallone (GB) = 4 Quarts = 8 Pints = 4.545 9631 l
Zeit (t) 1 s 1 d = 24 h = 86400 s
1 Jahr = 1 y = 3.155 69 ×10 7 s ≈ π × 10 7 s
Frequenz ν 1 Hz 1 cycle per second = 1 cps = 1 Hz
1 revolution per minute = 1 rpm = 1/60 Hz
Geschwindig. (v) 1 m/s 1 km/h = 1/3.6 m/s
1 Knoten = 1 Seemeile/h
1 mile per hour = 1 mph = 1.609 344 km/h
Masse (m) 1 kg 1 techn. Masseneinh. = 1 TME = 1 kp m −1 s 2 = 9.806 65 kg
1 atomare Masseneinheit = 1 u = 1.660 5655(86) ×10 −27 kg
1 pound = 1 lb = 16 ounces = 16 oz. = 0.453 59237 kg
Kraft (F) 1 N 1 dyn = 1 cm g s −2 = 10 −5 N
1 Kilopond = 1 kp = 1 kg ∗ = 9.806 65 N
Druck (p) 1 Pa 1 Bar = 1 b = 10 3 mb = 10 5 Pa
1 Atmosphäre (phys.) = 1 atm = 1.013 25 ×10 5 Pa
1 Atm. (techn.) = 1 at = 1 kp/cm 2 = 0.980 665 ×10 5 Pa
1 Pound per sq. in. = 1 PSI = 6.894 76 ×10 3 Pa
1 Torr = 1/760 atm = 133.322 37 Pa = 1 mm Hg (0 ◦ C)
Arbeit (W) 1 J 1 Erg = 1 erg = 10 −7 J
Energie (E)
Wärme(Q)
1 kWh = 3.6 ×10 6 J
1 cal (thermoel.) = 4.184 J
1 cal (mittlere) = 4.186 97 J
1 cal (15 ◦ C) = 4.185 5 J
1 cal (IT) = 4.186 84 J
1 eV = 1.602 1892(46) ×10 −19 J
Leistung (P) 1 W 1 Pferdestärke = 1 PS = 75 m kp/s = 735.498 75 W
1 horse power = 1 hp (mech.) = 550 ft lb/s = 745.692 27 W
1 hp (elektr.) = 746 W
Magn. Indukt. (B) 1 T 1 Gauss = 1 G = 10 −4 T
Magn. Feld (H) 1 A/m 1 Oersted = 10 3 /4π A/m
92

B.2.3
Vorsilben der Dezimalteilung von Einheiten
Vorsilbe Abk. Faktor Vorsilbe Abk. Faktor spezielles
Exa E 10 18 Dezi d 10 −1 nur dl, dm
Peta P 10 15 Zenti c 10 −2 nur cm
Tera T 10 12 Milli m 10 −3
Giga G 10 9 Mikro µ 10 −6
Mega M 10 6 Nano n 10 −9
Kilo k 10 3 Piko p 10 −12
Hekto h 10 2 Femto f 10 −15 1 fm=1 Fermi
Deka d 10 1 Atto a 10 −18
B.3 Astronomische Daten
Erde
1 mittl. Sonnentag 1 d = 86400 s
1 Sterntag 86 164.09 s
1 tropisches Jahr 1 y = 365.242 20 d
1 siderisches Jahr 365.256 36 d
mittl. Radius
6 371.0 km
Masse
5.976 ×10 24 kg
mittl. Dichte 5 517 kg/m 3
mittl. Entfernung von der Sonne 1.496 ×10 11 m = 1 astr. Einheit = 1 AE
Mond
Masse
Radius
Entfernung von der Erde
siderische Umlaufszeit
synodische Umlaufszeit (Neumond)
Sonne
Radius
Masse
Oberflächentemperatur
Milchstrasse
Durchmesser
Dicke
Sonne-Zentrum
Masse
7.35 ×10 22 kg = 1/81.3 m E
1 738.2 km
384 400 km (356 400 . . . 406 700 km)
27.321 661 d
29.530 558 d
695 990 km = 109.24 R E
1.989 ×10 30 kg = 3.328 3 ×10 5 m E
5770 K
80 000 Ly
6 000 Ly
32 000 Ly
1.4 ×10 11 m S
93

C Mathematische Hilfsmittel
C.1 Mathematische Formelsammlung
C.1.1
r
✚α
✚✚✚✚✚
x
Trigonometrie
y
sin(α ± β) = sinα cos β ± cos α sin β,
sin α = y/r csc = r/y
cos α = x/r sec = r/x
tan α = y/x cot = x/y
sin 2 α + cos 2 α = 1
cos(α ± β) = cosα cos β ∓ sin α sin β
sin α ± sin β=2 sin ( ) ( )
α±β
2 cos α∓β
2
cos α + cos β=2 cos ( ) ( )
α+β
2 cos α−β
2
cosα − cos β=2 sin ( ) ( )
α+β
2 sin α−β
2
a cos α + b sin α=A · sin(α + δ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ = a oder
b
a cos α + b sin α=A · cos(α − δ ′ ), A = √ a 2 + b 2 , tanδ ′ = b a
C.1.2
Komplexe Zahlen
✻I{z}
z = a + ib = ρ exp(iϕ) = ρ e iϕ = ρ (cos ϕ + i sin ϕ)
ρ = √ a 2 + b 2 = |z|, tanϕ = b/a, z n = ρ n e iϕ/n , √ z = √ ρ e iϕ/2
da | e iϕ | 2 = e iϕ · e −iϕ = e 0 = 1 liegt e iϕ auf dem Einheitskreis.
b
✬✩
i
ρ z Geometrische Deutung: R{z} = ρ cos ϕ, I{z} = ρ sin ϕ
✚ ✚✚✚❃ ϕ ✲ ⇒ exp(iϕ) = cosϕ + i sin ϕ, exp(−iϕ) = cosϕ − i sin ϕ ⇒
−1 1 a
✫✪R{z}
exp(iϕ) + exp(−iϕ)
−i cos ϕ = = a exp(iϕ) − exp(−iϕ)
, sin ϕ = = b 2 ρ 2i ρ
exp(iπ/2) = e iπ/2 = i, exp(iπ) = e iπ √
= −1,
z n = ρ n e inϕ = ρ n √
(cosnϕ + i sin nϕ), z = ρ e iϕ/2 ,
¯z = a − ib ist das konjugiert komplexe (auch z ∗ ) zu z = a + ib,
Betrag |z| = √ z¯z = √ a 2 + b 2
C.1.3
Hyperbolische Funktionen
sinh x = exp(x)−exp(−x) , cosh x = exp(x)+exp(−x)
2 2
sinh 2 x − cosh 2 x = −1, tanhx = sinh x
cosh x
C.1.4
Inverse Funktionen
sin[arcsin(x)] = x, cos[arccos(x)] = x, sinh[arcsinh(x)] = x, cosh[arccos(x)] = x
ln[exp(x)] = x etc.
94

C.1.5
Ableitungen und unbestimmte elementare Integrale
Für unbestimmte Integrale muss eine Konstante c berücksichtigt werden.
Partielle Integration: ∫ udv = uv − ∫ v du
d
f(x)
dx f(x)
∫ f(x)dx
x n
d
dx xn = nx n−1
∫
x n dx = xn+1
n + 1 , n ≠ −1
x −1
d
dx x−1 = −x −2
∫
x −1 dx = lnx
ln x
∫
d
ln x = x−1
dx
ln xdx = x ln x − x
e x
d
dx ex = e x
∫
e x dx = e x
sin x
∫
d
sin x = cos x
dx
sin xdx = − cos x
cos x
∫
d
cosx = − sin x
dx
cos xdx = sin x
tanx
d
dx tanx =
x
cos 2 x
∫
tanxdx = − ln cosx
cot x
d
dx cotx = − x
sin 2 x
∫
cotxdx = ln sin x
∫
∫
∫
∫
dx
a 2 + x 2
= 1 a arctan(x/a)
dx
= 1 1
arctanh(x/a) oder =
a 2 − x 2 a 2a ln a + x
a − x , (a2 > x 2 )
dx
√
a2 − x 2
= arcsin x
|a|
dx
x √ = − 1 ( √ ) a +
a 2 ± x 2 |a| ln a2 ± x 2
x
∫ √
x2 ± a 2 = 1 2
oder = − arccos x
|a| , (a2 > x 2 )
[
x
√
x2 ± a 2 ± ln(x + √ x 2 ± a 2 ) ]
∫
dx
√
x2 ± a 2 = ln(x + √ x 2 ± a 2 )
95

C.1.6
Einige bestimmte Integrale,
die nicht als unbestimmte Integrale angegeben werden können.
∫∞
0
∫∞
0
∫∞
0
∫π
0
∫∞
0
∫∞
0
∫1
0
∫ 1
0
∫∞
t n p −t n!
dt =
(lnp) , n = 0, 1, 2...,p > 0 dx
n+1 (1 + x) √ x
⎧
0
π
a > 0
a dx
⎪⎨ 2
∫∞
sin mxdx
= 0 a = 0
a 2 + x 2 ⎪⎩ − π x
a < 0
0
2
sin 2 (px)dx
x 2
= πp
2
∫∞
0
∫
= π
sin 2 (mx)dx = π 2
π/2
dx π
= √
a + b cos x a2 − b , a > b ≥ 0 dx
2 a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x = π
2ab
0
e −ax dx = 1 ∫∞
a , a > 0 e −a2 x 2 dx = 1 √ π
2a
0
x e −x2 dx = 1 ∫∞
√ π
x 2 e −x2 dx =
2
4
0
∫1 √
√ π
(lnx) n dx = (−1) n · n!
ln 1/x dx =
2
C.1.7
ln x
dx = −π2
1 + x 12
Reihenentwicklungen
Taylor-Reihe: f(x) = f(x ◦ )+f ′ (x ◦ ) (x − x ◦) 1
1!
0
∫ 1
0
ln x
dx = −π2
1 − x2 8
⎧ π
m > 0
⎪⎨ 2
= 0 m = 0
⎪⎩ − π m < 0
2
+f ′′ (x ◦ ) (x − x ◦) 2
+· · · mit 0 ≤ (x−x ◦ ) < 1
2!
exp(x) = e x = 1 + x + x2 + x3 + · · · ln(1 − x) = x − x2 + x3
2! 3! 2!
sin(x) = x − x3 + x5 − + · · · cos(x) = 1 − x2 + x4
3! 5! 2!
tan(x) = x + x3
3 + 2x5 15
+ · · · cot(x) = 1 −
x2
2 + x4
sinh(x) = x + x3
3!
+ x5
5!
+ · · · cosh(x) = 1 + x2
2!
+ x4
(1 + x) n = 1 + nx + n(n+1) x 2 + n(n−1)(n−2) x 3 + · · ·
2! 3!
1
= 1 − x + 1+x x2 − x 3 + · · ·, (−1 < x < 1)
√ 1 + x = 1 +
x
+ x2 + x3 + · · · , (−1 < x < 1)
2 8 16
√ 1
1+x
= 1 − x + 3x2 + · · · , (−1 < x < 1)
2
− 5x3
8 16
− + · · ·
3!
− + · · ·
4! − + · · · 4
+ · · ·
4!
96

C.2 Zusammenstellung von Differentialgleichungen in Physik A
Differentialgleichung
Lösung
1. y ′′ = a y = 1 2 ax2 + C 1 x + C 2
2. y ′′ + ωy ′ = 0 y = C 1 e −ωt + C 2
3. y ′′ + ωy ′ = g y = C 1 e −ωt + C 2 + g ω · t
4. y ′ + ωy = g y = C 1 e −ωt + g ω
5. y ′′ + ω 2 y = g y = y 0 cos(ωt − δ) + g
ω 2
6. y ′′ − y = cos x y = C 1 e x + C 2 e −x − 1 2 cos x
7. y ′′ + 2λy ′ + α 2 y = 0
√
λ > α y = e −λt (C 1 e ωt + C 2 e −ωt )
ω = + |λ 2 − α 2 | λ < α y = e −λt (C 1 e iωt + C 2 e −iωt )
λ = α y = e −λt (A + Bt)
8. y ′′ + 2λy ′ + α 2 y = f(t)
benutze :
F(x) = ∫ x
dF
0 f(x,y)dy ⇒ x ∂f
dx 0 ∂x
Ansatz :
y = ∫ t
0 g(t − τ)f(τ)dτ
damit :
y ′ = g(0)f(t) + ∫ t
0 g′ (t − τ)f(τ)dτ
y ′′ = g(0)f ′ (t) + g ′ (0)f(t) + ∫ t
0 g′′ (t − τ)f(τ)dτ
Einsetzen in Dgl. : g(0)f ′ (t) + g ′ (0)f(t) + ∫ t
0 g′′ (t − τ)f(τ)dτ + 2λg(0)f(t)
+2λ ∫ t
0 g′ (t − τ)f(τ)dτ + α 2 ∫ t
0 g(t − τ)f(τ)dτ = f(t)
zusammenfassen : g(0)f ′ (t) + [g ′ (0) + 2λg(0) − 1]f(t)
+ ∫ t
0 [g′′ (t − τ) + 2λg ′ (t − τ) + α 2 g(t − τ)] f(τ)dτ = 0
Diese Gleichung wird erfüllt, wenn g(t − τ)
die Dgl. 8. erfüllt mit den Anfangsbedingungen
g(0) = 0 und g ′ (0) = 1
also : λ > α y = 1 ∫ ( t
2ω 0 e−λ(t−τ) e ω(t−τ) − e −ω(t−τ)) f(τ)dτ
λ < α y = − i ∫ ( t
2ω 0 e−λ(t−τ) e iω(t−τ) − e −iω(t−τ)) f(τ)dτ
y = 1 ∫ t
ω 0 e−λ(t−τ) sin ω(t − τ)f(τ)dτ
λ = α y = ∫ t
0 e−λ(t−τ) (t − τ)f(τ)dτ
9. x 2 y ′′ + xy ′ − k 2 y = 0 y = C 1 x k + C 2 x −k
97

C.3 Vektorgleichungen
Skalarprodukt Vektorprodukt Tensorprodukt
⃗a ·⃗b = a x b x + a y b y + a z b z ⃗a × ⃗ b = ⃗e x(a y b z − a z b y ) ⃗a ⊗ ⃗ ⎛
⎞
b = a x b x a x b y a x b z
⎜
⎟
⃗e y (a z b x − a x b z ) ⎝ a y b x a y b y a y b z ⎠
⃗e z (a x b y − a y b x ) a z b x a z b y a z b z
⃗a( ⃗ b ·⃗c) = (⃗a ⊗ ⃗ b)⃗c
⃗a · ( ⃗ b ×⃗c) = ⃗ b · (⃗c ×⃗a) = ⃗c · (⃗a × ⃗ b)
⃗a × ( ⃗ b ×⃗c) = (⃗a ·⃗c) ⃗ b − (⃗a ·⃗b)⃗c
(⃗a × ⃗ b) · (⃗c × ⃗ d) = (⃗a ·⃗c)( ⃗ b · ⃗d) − (⃗a · ⃗d)( ⃗ b ·⃗c)
∇ × ∇ψ = 0
∇ · (∇ ×⃗a) = 0
(∇ · ∇)ψ = ∇ · (∇ψ) = ∆ψ
∆⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∇ × (∇ ×⃗a)
∇ × (∇ ×⃗a) = ∇ · (∇⃗a) − ∇ 2 ⃗a = ∇ · (∇⃗a) − ∆⃗a
∇ · (ψ⃗a) = ⃗a · ∇ψ + ψ∇ ·⃗a
∇ × (ψ⃗a) = ∇ψ ×⃗a + ψ∇ ×⃗a
∇(⃗a ·⃗b) = (⃗a · ∇) ⃗ b + ( ⃗ b · ∇)⃗a +⃗a × (∇ × ⃗ b) + ⃗ b × (∇ ×⃗a)
∇ · (⃗a × ⃗ b) = ⃗ b · (∇ ×⃗a) −⃗a · (∇ × ⃗ b)
∇ × (⃗a × ⃗ b) = ⃗a(∇ ·⃗b) − ⃗ b(∇ ·⃗a) + ( ⃗ b · ∇)⃗a − (⃗a · ∇) ⃗ b
Ist ⃗x die Koordinate eines Punktes in Bezug auf einen Ursprung mit dem Betrag r = |⃗x|
und ⃗n = ⃗x/r der Einheitsradiusvektor, dann gilt
∇ · ⃗x = 3 ∇ × ⃗x = 0
∇ · ⃗n = 2 r ∇ × ⃗n = 0
(⃗a · ∇)⃗n = 1 r [⃗a − ⃗n(⃗a · ⃗n)] ≡ ⃗a ⊥
r
C.4 Theoreme aus der Vektorrechnung
Im folgenden sind Φ, Ψ, und ⃗ A skalare oder Vektor-Funktionen, V ist ein dreidimensionales
Volumen mit dem Volumenelement d 3 x. S ist eine zweidimensionale, geschlossene
Oberfläche des Volumens V mit dem Flächenelement da und der nach aussen zeigenden
Normalen ⃗n auf da.
∫
∇ · ⃗Ad 3 x = ∫ ⃗A · ⃗nda
Divergenz Theorem
V ∫
S
∇Ψd 3 x = ∫ ψ⃗nda
V S
∫
∇ × Ad ⃗ 3 x = ∫ ⃗n × Ada ⃗
∫
V S
(Φ∇ 2 Ψ + ∇Φ · ∇Ψ)d 3 x = ∫ Φ⃗n · ∇Ψda Green’s 1. Identität
V ∫
S
(Φ∇ 2 Ψ − Ψ∇ 2 Φ)d 3 x = ∫ − Ψ∇Φ) · ⃗nda Green’s Theorem
V
S(Φ∇Ψ
98

Im folgenden ist S eine offene Fläche und C eine sie einschliessende Kontur mit dem
Linienelement d ⃗ l. Die Normale ⃗n zu S ist durch die rechte Hand-Regel in bezug auf das
Linienintegral um die Kontur C definiert.
∫
× A)
S(∇ ⃗ · ⃗nda = ∮ ⃗A · d ⃗ l Stoke’s Theorem
C
∫
⃗n × ∇Ψda = ∮ Ψd ⃗ l
C
S
C.5 Explizite Formen von Vektoroperationen
Mit den orthogonalen Einheitsvektoren ⃗e 1 ,⃗e 2 ,⃗e 3 , die den gewählten Koordinaten entsprechen
und den Komponenten A 1 ,A 2 ,A 3 von ⃗ A gilt für den Nabla-Operator ∇
Kartesische Koordinaten x 1 ,x 2 ,x 3 = ⃗x = x,y,z
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1∂x1 + ⃗e ∂Ψ
2∂x2 + ⃗e ∂Ψ
3∂x3
∇ · ⃗A = ∂A 1
∂x
+ ∂A 2
1 ∂x
+ ∂A 3
2 ∂x 3
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ∂A 3
∂x
− ∂A 2
2 ∂x
) + ⃗e 2 ( ∂A 1
3 ∂x
− ∂A 3
3 ∂x
) + ⃗e 3 ( ∂A 2
1 ∂x
− ∂A 1
1 ∂x
)
2
∇ 2 Ψ = ∂2 Ψ
∂x 2 + ∂2 Ψ
1 ∂x 2 + ∂2 Ψ
2 ∂x 2 3
Zylinder Koordinaten ρ,ϕ,z
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1
∂ρ
+ ⃗e 1 ∂Ψ
2ρ ∂ϕ
+ ⃗e ∂Ψ
3
∂z
∇ · ⃗A = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρA 1) + ρ 1 ∂A 2
∂ϕ + ∂A 3
∂z
∇ × A ⃗ = ⃗e 1 ( ρ 1 ∂A 3
∂ϕ − ∂A 2
∂z ) + ⃗e 2( ∂A 1
∂z − ∂A 3
∂ρ ) + ⃗e 1 3ρ (∂(ρA 2)
∂ρ
− ∂A 1
∂ϕ )
∇ 2 Ψ = ρ 1 ∂ρ ∂ (ρ∂Ψ ∂ρ ) + 1 ρ 2 ∂2 Ψ
∂ϕ 2 + ∂2 Ψ
∂z 2
Kugel Koordinaten r,ϑ,ϕ
∇Ψ = ⃗e ∂Ψ
1
∂r
+ ⃗e 1 ∂Ψ
2r ∂ϑ
+ ⃗e 1
3
rsinϑ ∂Ψ
∂ϕ
∇ · ⃗A = 1 ∂ r 2 ∂r (r2 A 1 ) +
r sinϑ 1
∂ϑ ∂ (sinϑA 2) +
r sinϑ 1 ∂A 3
∂ϕ
∇ × A ⃗ [
= ⃗e 1 ∂
1
r sinϑ ∂ϑ
(sinϑA 3 ) − ∂A ]
2
∂ϕ
+
[
+⃗e 1
2
r sinϑ ∂A 1
∂ϕ − 1 r ∂r ∂ ] [ (rA 3) + ⃗e 1 ∂∂r
3r (rA 2 ) − ∂A ]
1
∂ϑ
∇ 2 Ψ = 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) + 1 ∂
r 2 sinϑ ∂ϑ (sinϑ∂Ψ ∂ϑ ) + 1 ∂ 2 Ψ
r 2 sin 2 ϑ ∂ϕ 2
mit 1 ∂ r 2 ∂r (r2∂Ψ ∂r ) ≡ 1 r ∂2
∂r 2 (rΨ) = ∂2
∂r 2 (Ψ) + 2 ∂
r ∂r (Ψ)
Es werden auch folgende Schreibweisen benutzt:
gradΨ = ∇Ψ div ⃗ A = ∇ · ⃗A rot ⃗ A = ∇ × ⃗ A ∇ 2 = ∆
99

Index
χ e , 23
χ m , 58
µ, 57
µ 0 , 47
ε, 23
ε ◦ , 4
Akzeptoren, in Halbleitern, 37
Ampère, Gesetz von, 48
Anionen, 41
Äquipotentialfläche, 15
Astronomische Daten, 93
Austrittsarbeit, 44
Axialvektor, 49
Bändermodell, 37
Bandstruktur, 38
Barkhausen-Effekt, 60
Betatron, 68
Beweglichkeit, 35
Biot-Savart, Gesetz von, 47
Brechungsgesetz, 25
Cb, 3
Clausius-Masotti, Formel von, 26
Coulomb’sches Gesetz, 3
Curie-Temperatur, 60
Detektor
Germanium, 39
Silizium, 39
Diamagnetismus, 59
Dielektrikum, 21, 29
Dielektrische Verschiebung ⃗ D, 23
Dielektrizitätskonstante, 23, 26
Dipol
Elektrischer, 20
Energie, 30
Magnetischer, 46
Energie, 60
Dipolmoment
Elektrisches, 22
Magnetisches, 52
Dissoziation, elektrolytische, 41
Donatoren, in Halbleitern, 37
Dotieren von Halbleitern, 37
Driftkammer, 44
Effekt
Barkhausen, 60
Hall, 35, 54
Effektivwert, 83
Eigenleitung von Halbleitern, 37
Einheit, 87
Elektrische Ladung, 1
Elektrisches Feld, 4, 56
An Grenzflächen, 25
Energie, 27
Energiedichte, 27
In Leitern, 15
Elektrolyte, 41
Elektromagnete, 61
Elektromagnetische Wellen, 74
Elektromotorische Kraft, 33
Elektronenbeschleuniger, 68
Elektronenmasse, 53
Elektronenröhrengenerator, 78
Elektrostatisches Potential, 5
Elementarladung, 1, 19
Elementarteilchen, 2
EMK, 33
Erde
Magnetfeld, 53
Experiment
Elektronenmasse, 53
Elementarladung, 19
Faraday’sches, 16
Millikan, 19
Thomson-Waage, 29
Farad, 18
Faraday’sches Becherexperiment, 16
Faraday’sches Induktionsgesetz, 66
Faradaykäfig, 16
Faradayzahl(F), 42
Feldlinien, 11
Differentialgl. der, 11
eines Dipols, 12
mit Gaussschem Satz, 13
mit konforme Abb., 14
Ferromagnetismus, 59
Flipspule, 71
100

Flussregel, 9
Freies-Elektronengas-Modell, 35
Funkenkammer, 43
FWHM, 81
Galvanometer, 70
Gauss’scher Satz, 24
Geigerzähler, 43
Generator, 68
Leistung, 82
Gesetz von
Ampère, 48
Biot-Savart, 47
Clausius-Masotti, 26
Coulomb, 3
Faraday (Induktion), 66
Kirchhoff, 33
Lenz, 66
Ohm, 35
Paschen, 42
Richardson, 44
Gleichspannungsgenerator, 70
Glimmentladung, 42
Glimmlampe, 75
Gravitationskraft, 4
Halbleiter, 36
Halbleiterdiode, 38
Hall-Effekt, 35, 54
Handregel, rechte, 45
Henry, 72
Hysterese, 60
Impedanz, 79
Induktion zweier Leiter, 71
Induktionsgesetz, 65
Induktionskonstante µ 0 , 47
Influenz, 16
Influenzkonstante ε ◦ , 4
Ionisation durch Stösse, 42
Ionisationskammer, 43
Isolator, 21
Kapazität, 18
Kationen, 41
Kennlinie, 36
Kirchhoff’sche Regeln, 33
Knotenregel, 34
Koaxialleiter, 7
Kondensator, 18, 74, 75
Impedanz, 79
mit Dielektrikum, 21
Konstanten, 86
Kontinuitätsgleichung, 32
Kugelsymmetrische Ladungsverteilung,
10
L, Koeffizient der Selbstinduktion, 72
Ladungsdichte, 8
Ladungserhaltung, 31
Leiter, Elektrische, 14, 34
Leitfähigkeit, 31, 35
Leitungsband, 38
Lenz’sche Regel, 66
Lichtbogen, 78
Lorentzkraft, 45, 56
Magnetfeld
An Grenzflächen, 61
Energie, 73
Energiedichte, 73
Messung, 71
Magnetfeld ⃗ H, 47
Magnetische Induktion ( ⃗ B), 45, 56
Magnetisierung ⃗ M, 58
Maschenregel, 34
Masse und Ladung, 2
Mathematische Hilfsmittel, 94
Maxwell Gleichungen, 10, 24, 46, 49, 66,
84
Maxwell Gleichungen, Übersicht, 84
Mechanik und Selbstinduktion, 73
Millikan, Öltropfchenversuch, 19
Motor, elementarer, 67
Nichtpolare Moleküle, 26
Ohm’scher Widerstand, 32
Ohm’sches Gesetz, 35
Parallelschaltung, 81
Kondensator, 18
Widerstände, 34
Paramagnetismus, 59
Paschen, Gesetz von, 42
Permanentmagnete, 62
Permeabilität µ, 57
Photomultiplier, 44
Poisson Gleichung, 11
101

Polare Moleküle, 27
Polarer Vektor, 49
Polarisation, dielektrische, 22
Potential, 5
Proportionalzähler, 43
Protonenmasse, 54
Punktladung, Feld und Potential, 6
Quanten-Hall-Effekt, 55
Rechte Handregel, 45
Remanenz, 60
Richardson-Gleichung, 44
Rückkopplung, 78
Sägezahnschwingung, 75
Satz von
Gauß, 24
Scheinleistung, 83
Schwingkreis, 77
Selbstinduktion, 72, 73, 79
Koeffizient L, 72
Serieschaltung, 80
Kondensator, 19
Widerstände, 34
SI-Einheiten, 90
Solarzelle, 39
Solenoid, 52, 55
Spannung, 5, 31
Spiegelladung, 21
Spule, 62, 73, 74, 76, 79
Sromkreis, 33
Störstellenleitung in Halbleitern, 37
Strom-Spannungscharakteristik, 36
Stromdichte, elektrische, 31
Stromstärke, elektrische, 32
Superpositionsprinzip, 7
Supraleitung, 36
Suszeptibilitat
Elektrische χ e , 23
Magnetische χ m , 58
Tunneldiode, 39
Unipolarmaschine, 69
Vakuumröhren, 44
Valenzband, 38
Van de Graaff Generator, 17
Vektor
Axialer, 49
Polarer, 49
Vektorpotential, 50
Verschiebungsstrom, 83
Wechselspannungsgenerator, 68
Wechselstrom, 74, 79
Leistung, 82
Wechselstromwiderstand, 79
Wideroe’sche Betatron-Bedingung, 69
Widerstand, 74
Elektrischer, 32
Innerer, 33
Negativer, 78
Ohmscher, 79
Spezifischer, 35
Wien-Filter, 54
Wirbelfeld, 49
Wirbelströme, 71
Bremse, 71
Wirkleistung, 83
Zündspannung, 42
Zündung beim Auto, 76
Zyklotronfrequenz, 55
Thermoemission von Elektronen, 44
Thomson’sche Waage, 29
Thomson-Formel, 77
Thomson-Schwingkreis, 77
Transformator, 81
Transistor, 40
Triode, 44
102