Einführung in die Kommunikationstechnik
Einführung in die Kommunikationstechnik
Einführung in die Kommunikationstechnik
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TU - Berl<strong>in</strong> Fachbereich 1<br />
Institut für Kommunikationswissenschaft<br />
Fachgebiet Kommunikationswissenschaftliche Grundlagen von Sprache und Musik<br />
Script<br />
<strong>E<strong>in</strong>führung</strong><br />
<strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Kommunikationstechnik</strong><br />
Teil 2<br />
(von 2)<br />
Version 0.83.<br />
Hrsg.:<br />
Holger Peterson / Peter Ulrich<br />
VI Prof. Dr. M. Krause<br />
überarbeitet (SS 2001/2)<br />
von C. Bradter<br />
(basierend auf Aufl. 3, SS 1993)<br />
1
Inhalt<br />
13. Pegel ............................................................................................................................................3<br />
13.1. Logarithmisches Verhältnis, Dezibel...................................................................................3<br />
13.2. Absolute und relative Pegel .................................................................................................3<br />
14. Spektrale Darstellung elektrischer Größen ..................................................................................5<br />
14.1. Übertragungsfunktion ..........................................................................................................5<br />
14.2. Spektrale Darstellung elektrischer Größen ..........................................................................6<br />
14.3. Abschätzen des Betragsfrequenzgangs ................................................................................8<br />
15. Elektrische Filter........................................................................................................................10<br />
15. 1. Filtertypen..........................................................................................................................10<br />
15. 2. Bereiche des Übertragungsverhaltens................................................................................13<br />
15. 3. Kenngrößen von Filtern .....................................................................................................13<br />
15. 4. Komb<strong>in</strong>ation von Filtern....................................................................................................16<br />
15. 5. Zusammengesetzte Übertragungsfunktionen.....................................................................17<br />
15. 6. Filterentwurf ......................................................................................................................18<br />
16. Frequenzgang von Schw<strong>in</strong>gkreisen ...........................................................................................19<br />
16.1. Kenngrößen des Serienschw<strong>in</strong>gkreis .................................................................................19<br />
16. 2. Impedanz-, Strom- und Spannungsverlauf am Serienschw<strong>in</strong>gkreises. ..............................19<br />
16. 3. Kenngrößen des Parallelschw<strong>in</strong>gkreises............................................................................22<br />
16. 4. Impedanz- und Stromverlauf am Parallelschw<strong>in</strong>gkreises..................................................22<br />
17. Nichtl<strong>in</strong>eare Bauelemente..........................................................................................................25<br />
17. 1. Halbleiter ...........................................................................................................................25<br />
17.2. Die Diode...........................................................................................................................26<br />
17.3. Die Dioden - Kennl<strong>in</strong>ie......................................................................................................28<br />
17. 4. Die Diode als Gleichrichter ...............................................................................................29<br />
17.5. Der Transistor ....................................................................................................................30<br />
16. 6. Transistor-Grundschaltungen.............................................................................................31<br />
18. Verstärker...................................................................................................................................35<br />
18. 1. Verstärkungs-Vierpole.......................................................................................................35<br />
18. 2. Rückgekoppelte Verstärker-Vierpole ................................................................................35<br />
18. 3. Operationsverstärker..........................................................................................................37<br />
18. 4. Der <strong>in</strong>vertierende Verstärker..............................................................................................38<br />
17. 5. Der nicht - <strong>in</strong>vertierende Verstärker ..................................................................................40<br />
18. 6. Anwendungsbeispiele ........................................................................................................40<br />
2
13. Pegel<br />
13.1. Logarithmisches Verhältnis, Dezibel<br />
Neben der direkten Wertangabe können Größen auch als Verhältnis ihres Wertes zu e<strong>in</strong>em def<strong>in</strong>ierten<br />
Referenzwert angegeben werden. Dieses Verhältnis zweier Leistungen, zweier Spannungen oder<br />
zweier Ströme zue<strong>in</strong>ander wird gerne mit e<strong>in</strong>em logarithmischen Maß ausgedrückt. Das hat den<br />
Vorteil, daß man e<strong>in</strong>en weiten Bereich, über mehrere Zehnerpotenzen h<strong>in</strong>weg, mit e<strong>in</strong>fachen, zweioder<br />
dreistelligen Zahlen erfassen kann.<br />
Als Maß für das Leistungsverhältnis wurde <strong>die</strong> Bel-Zahl def<strong>in</strong>iert. Gebräuchlich ist <strong>die</strong> E<strong>in</strong>heit<br />
Dezibel dB. E<strong>in</strong> Bel ist 10 Dezibel.<br />
P<br />
a<br />
P<br />
Bel-Zahl = log ( ) bzw. dB -Zahl =10 · log (<br />
a )<br />
Pe<br />
Pe<br />
Es handelt sich um e<strong>in</strong>e re<strong>in</strong>e Zahlenabgabe (dimensionslos). Daher ist db ke<strong>in</strong>e echte E<strong>in</strong>heit, sondern<br />
e<strong>in</strong>e sog. Pseudoe<strong>in</strong>heit.<br />
Da sich <strong>die</strong> Leistungen an e<strong>in</strong>em Widerstand wie <strong>die</strong> Quadrate der dazugehörigen Spannungen<br />
verhalten, ergibt sich e<strong>in</strong>e weitere Def<strong>in</strong>ition der dB-Zahl. Die Dezibel-Zahl ist gleich dem<br />
Zwanzigfachen des gewöhnlichen Logarithmus des Spannungsverhältnisses:<br />
P<br />
a = (<br />
P<br />
e<br />
U<br />
a )<br />
2<br />
U<br />
e<br />
U<br />
a<br />
dB -Zahl =20 · log ( )<br />
U<br />
e<br />
Verhältnis<br />
Pa<br />
P<br />
e<br />
Spannung:<br />
Leistung:<br />
U<br />
a<br />
dB -Zahl =20 · log ( )<br />
P<br />
a<br />
dB -Zahl = 10 · log ( )<br />
0.01 -40db -20db<br />
0.1 -20db -10db<br />
0.5 -6db -3db<br />
1 0 0<br />
2 +6db +3db<br />
10 +20db +10db<br />
100 +40db +20db<br />
1000 +60db +30db<br />
U<br />
e<br />
P<br />
e<br />
Für Leistungen entsprecht e<strong>in</strong>e<br />
Zehnerpotenz zwischen<br />
Referenzleistung und<br />
Vergleichsleistung 10 db<br />
.<br />
Für Spannungen entspricht e<strong>in</strong>e<br />
Zehnerpotenz zwischen<br />
Referenzspannung und<br />
Vergleichsspannung 20 db.<br />
13.2. Absolute und relative Pegel<br />
Db-Zahlen drücken e<strong>in</strong> Verhältnis aus. Möchte man sich auf absolute Werte beziehen, benutzt man als<br />
Bezug für P e bzw. U e normierte Referenzwerte. Dann erhält man als dB-Zahl sog. Pegelwerte L. Zur<br />
Kennzeichnung erhalten <strong>die</strong>se, bzw. <strong>die</strong> zugehörigen db-Werte e<strong>in</strong>en Index. Gebräuchlich s<strong>in</strong>d:<br />
3
Bezeichnung Kurzzeichen Bezugswert<br />
Absoluter Spannungspegel L u db u (veraltet auch db m ) 0,775V<br />
Absoluter Spannungspegel L V db V (auch dbV, db(V)) 1V<br />
Absoluter Leistungspegel L m oder L P db m 1mW<br />
Möchte man z.B. e<strong>in</strong>e Spannung von 8 Volt als absoluten Pegel ausdrücken, ist der Bezugswert zu<br />
beachten. Es gilt:<br />
L V = 20 · log (<br />
U<br />
U<br />
a<br />
e<br />
8 V<br />
) = 20 · log ( ) = 18 dbV aber L u = 20 · log (<br />
1 V<br />
U<br />
a<br />
8V<br />
) = 20 · log (<br />
U<br />
e<br />
0,775V<br />
Der Leistungspegel L P (db m ) bezieht sich auf 1mW. Bezieht man <strong>die</strong>se Größe auf den im<br />
) = 20,3 db V<br />
Rundfunkbereich früher üblichen Abschlußwiderstand von R = 600 , erhält man e<strong>in</strong>en Bezugswert<br />
für <strong>die</strong> Spannung von 0.775V. Aus <strong>die</strong>sem Zusammenhang erklärt es sich, daß db m sowohl für den<br />
absoluten Leistungspegel (P ref = 1mW) als auch für den absoluten Spannungspegel (U ref = 0.775V)<br />
benutzt wurde. Um Verwechselungen zu vermeiden, wird heute für den absoluten Spannungspegel mit<br />
U ref = 0.775V L u (db u ) geschrieben.<br />
P<br />
a<br />
20W<br />
P a = 20W L P = 10 · log ( ) = 10 · log ( ) = 43 db m<br />
P<br />
0,001mW<br />
P =<br />
U a<br />
2<br />
R<br />
U a =<br />
e<br />
P a<br />
⋅ R = 20W ⋅ 600Ω<br />
= 110V<br />
U<br />
a<br />
110V<br />
U a = 110V L u = 20 · log ( ) = 20 · log ( ) = 43 db u<br />
U<br />
0,775V<br />
e<br />
Häufig wird der Pegel relativ zu e<strong>in</strong>em beliebigen Referenzwert angeben. Der db-Wert steht dann für<br />
<strong>die</strong> Abweichung zu <strong>die</strong>sem Bezugspegel und kann positive oder negative Werte annehmen. Die<br />
Umrechnung nach z.B. Spannungswerten geschieht nach den o. g. Formeln.<br />
E<strong>in</strong> Beispiel:<br />
Referenzwert U Ref = 15V<br />
U<br />
- 6db = 20 · log (<br />
U<br />
a<br />
Re f<br />
L r = 6db unter Referenzwert = - 6db r<br />
U<br />
) = 20 · log ( a<br />
15 V<br />
)<br />
<br />
− 6 U = log (<br />
a<br />
20 U<br />
f<br />
Re<br />
−6<br />
20<br />
) 10 =<br />
U a<br />
15V<br />
−6<br />
20<br />
U a = 15V · 10 = 7.5V<br />
Der relative Pegel wird gelegentlich mit db r bezeichnet. Es kann auch der Bezugswert mit e<strong>in</strong>fließen<br />
(db(re15V)).<br />
4
14. Spektrale Darstellung elektrischer Größen<br />
14.1. Übertragungsfunktion<br />
Komplexe Netzwerke können auch unter e<strong>in</strong>em systemtheoretischen Ansatz als „Black – Box“ -<br />
Modul, d.h. als unbekannter Kasten mit E<strong>in</strong>- und Ausgängen und e<strong>in</strong>em bestimmten<br />
Übertragungsverhalten verstanden werden.<br />
I I Abb. 14.1.<br />
1<br />
2<br />
„Black - Box“ - Vierpol<br />
R<br />
U<br />
1<br />
2<br />
C<br />
U<br />
Zur Beschreibung des Übertragungsverhaltens von Vierpol – RLC - Netzwerken (je e<strong>in</strong> zweipoliger<br />
E<strong>in</strong>- und Ausgang) wird das Verhältnis von Ausgangs- und E<strong>in</strong>gangsspannung benötigt:<br />
U<br />
V =<br />
U<br />
Weitere relevante Größen s<strong>in</strong>d <strong>die</strong> E<strong>in</strong>gangs- und Ausgangsimpedanz und das Verhältnis von<br />
Ausgangs- und E<strong>in</strong>gangsstrom.<br />
2<br />
1<br />
Die Übertragungsfunktion V läßt sich analog zur Spannungsteilerregel herleiten. Unter der<br />
Voraussetzung, daß der Ausgang nicht belastet ist, gelten folgende Zusammenhänge:<br />
Für ohmsche Widerstände gilt:<br />
Spannungsteilerregel:<br />
R<br />
U 1<br />
1<br />
U2<br />
R 2<br />
U<br />
2<br />
R =<br />
2<br />
U1<br />
R1<br />
+ R2<br />
(vergl. Kap. 4.4.)<br />
Für komplexe Widerstände gilt:<br />
Widerstand – Kondensator - Komb<strong>in</strong>ation<br />
U 1<br />
Z 1<br />
R= C<br />
=<br />
Z 2<br />
U 2<br />
V =<br />
U<br />
2<br />
Z<br />
2<br />
=<br />
U1<br />
Z1<br />
+ Z<br />
2<br />
=<br />
1<br />
jωC<br />
1<br />
R +<br />
jωC<br />
|*<br />
jωC<br />
jωC<br />
V =<br />
1+<br />
1<br />
jωRC<br />
5
Kondensator - Widerstand - Komb<strong>in</strong>ation<br />
U 1<br />
C = Z 1<br />
R<br />
Z =<br />
2<br />
U 2<br />
V =<br />
U<br />
2<br />
Z<br />
2<br />
=<br />
U1<br />
Z1<br />
+ Z<br />
2<br />
=<br />
R<br />
|*<br />
1<br />
+ R<br />
jwC<br />
jωC<br />
jωC<br />
V =<br />
jωRC<br />
1+ jωRC<br />
Das Übertragungsverhalten der Schaltungen kann mit Hilfe <strong>die</strong>ser Formeln abgeschätzt werden, <strong>in</strong>dem<br />
man für Extremwerte ( = 0 (Gleichspannung) bzw. = ∞ (sehr hohe Frequenz)) e<strong>in</strong>setzt.<br />
Für <strong>die</strong> Widerstand - Kondensator – Komb<strong>in</strong>ation gilt:<br />
Gleichspannung<br />
= 0<br />
V =<br />
1<br />
1+ j ⋅0<br />
= 1<br />
U<br />
1<br />
= 1 bzw.<br />
1<br />
U<br />
2<br />
U = U 2<br />
Wechselspannung hoher Frequenz<br />
= ∞<br />
V =<br />
1<br />
1+ j ⋅∞<br />
= 0<br />
U<br />
1<br />
= 0 bzw.<br />
2<br />
U<br />
2<br />
U = 0<br />
Für <strong>die</strong> Kondensator - Widerstand - Komb<strong>in</strong>ation gilt:<br />
Gleichspannung<br />
= 0<br />
V =<br />
j ⋅0<br />
1+<br />
j ⋅0<br />
= 0<br />
U<br />
1<br />
= 0 bzw.<br />
2<br />
U<br />
2<br />
U = 0<br />
Wechselspannung hoher Frequenz<br />
= ∞<br />
V =<br />
j ⋅ ∞<br />
1+<br />
j ⋅ ∞<br />
= 1<br />
U<br />
1<br />
= 1 bzw.<br />
1<br />
U<br />
2<br />
U = U 2<br />
Diese Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator sperrt E<strong>in</strong>gangsspannungen hoher Frequenz<br />
und läßt E<strong>in</strong>gangsspannungen mit niedrigen Frequenzen h<strong>in</strong>durch. Diese Schaltung wird Tiefpaß<br />
genannt. Werden Kondensator und Widerstand <strong>in</strong> Reihe geschaltet, verhält sich <strong>die</strong> Schaltung<br />
spiegelbildlich. Wechselspannung hoher Frequenz passieren sie ungedämpft, niedrige Frequenzen<br />
werden gedämpft. Diese Schaltung heiß Hochpaß.<br />
14.2. Spektrale Darstellung elektrischer Größen<br />
Um Betrag und Phase der komplexen Übertragungsfunktion zu isolieren, wird <strong>die</strong> Formel <strong>in</strong> <strong>die</strong> Form<br />
R + j · X gebracht. Dann können über <strong>die</strong> bekannten trigonometrischen Funktion Betrag und Phase<br />
errechnet werden.<br />
6
Für <strong>die</strong> Widerstand – Kondensator – Komb<strong>in</strong>ation (Tiefpaß)<br />
gilt:<br />
1 1−<br />
jωRC<br />
V =<br />
| ·<br />
1+ jωRC<br />
1−<br />
jωRC<br />
(zur Elim<strong>in</strong>ierung des Operators j im Nenner, vergl. Kap. 8)<br />
=<br />
1 1−<br />
jωRC<br />
1−<br />
jωRC<br />
·<br />
=<br />
1 + jωRC 1−<br />
jωRC<br />
1−<br />
jωRC<br />
+ jωRC<br />
− ( jωRC)<br />
1<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
=<br />
2<br />
ωRC<br />
– j ·<br />
2<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
2<br />
=<br />
1−<br />
jωRC<br />
1−<br />
( jωRC)<br />
2<br />
=<br />
1−<br />
jωRC<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
2<br />
Betrag: V = V =<br />
2<br />
R +<br />
X<br />
2<br />
Phase:<br />
= arctan R<br />
X<br />
V =<br />
=<br />
1<br />
ωRC<br />
(<br />
1+<br />
( ω RC)<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
1<br />
(1 + ( ωRC)<br />
2<br />
2<br />
) + ( − )<br />
2 2<br />
2<br />
)<br />
ωRC<br />
−<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
= arctan<br />
1<br />
2<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
2<br />
= – arctan(¡ RC)<br />
Für <strong>die</strong> Kondensator – Widerstand – Komb<strong>in</strong>ation (Hochpaß)<br />
gilt:<br />
jωRC<br />
V =<br />
1+ jωRC<br />
| ·<br />
1−<br />
jωRC<br />
1−<br />
jωRC<br />
(zurElim<strong>in</strong>ierung des Operators j im Nenner, vergl. Kap. 8)<br />
=<br />
jωRC<br />
1+ jωRC<br />
1−<br />
·<br />
1−<br />
jωRC<br />
jωRC<br />
=<br />
1−<br />
2<br />
jωRC<br />
− ( jωRC)<br />
jωRC<br />
+ jωRC<br />
− ( jωRC)<br />
2<br />
=<br />
jωRC<br />
+ ( ωRC)<br />
2<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
2<br />
2<br />
( ωRC)<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
=<br />
2<br />
ωRC<br />
+ j ·<br />
2<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
Betrag: V = V =<br />
2<br />
R +<br />
X<br />
2<br />
Phase:<br />
= arctan R<br />
X<br />
V =<br />
=<br />
2<br />
( ωRC)<br />
(<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
1<br />
1<br />
(1 +<br />
( ωRC)<br />
2<br />
2<br />
)<br />
)<br />
2<br />
ωRC<br />
+ ( −<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
2<br />
)<br />
2<br />
= arctan<br />
ωRC<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
2<br />
( ωRC)<br />
1+<br />
( ωRC)<br />
2<br />
2<br />
1<br />
= arctan( )<br />
ωRC<br />
Sowohl der Betrag, als auch <strong>die</strong> Phase (Differenz der Phasenw<strong>in</strong>kel von Aus- und E<strong>in</strong>gangsspannung)<br />
des Übertragungsfaktors besitzen demnach e<strong>in</strong>e starke Abhängigkeit von der Kreisfrequenz und<br />
damit von der Frequenz f.<br />
Für <strong>die</strong> graphische Darstellung derartiger Zusammenhänge, wie z.B. komplexe Übertragungsfaktoren,<br />
Spannungen oder Impedanzen, werden sowohl für <strong>die</strong> Betrags- als auch <strong>die</strong> Frequenzachse<br />
logarithmische Skalen verwendet. So kann e<strong>in</strong> großer Frequenzbereich dargestellt werden. Der Verlauf<br />
7
des Betrages der Übertragungsfunktion wird über den Pegel (db Umrechnung) über mehrere<br />
Zehnerpotenzen abgebildet. Diese Art der Darstellung wird Betrags-Frequenzgang genannt.<br />
Abb. 14.3.:<br />
Betrags -<br />
Frequenzgang<br />
für e<strong>in</strong>e RC-<br />
Komb<strong>in</strong>ation.<br />
Da aufgrund der Periodizität trigonometrischer Funktionen ke<strong>in</strong>e Phasenw<strong>in</strong>kel größer ±2<br />
auftreten<br />
können, wird für <strong>die</strong> Darstellung der Phase weiterh<strong>in</strong> e<strong>in</strong> l<strong>in</strong>earer Maßstab gewählt. Die Darstellung<br />
über der logarithmischen Frequenzachse wird Phasen-Frequenzgang genannt.<br />
Abb. 14.3.:<br />
Phasen -<br />
Frequenzgang<br />
für e<strong>in</strong>e RC-<br />
Komb<strong>in</strong>ation.<br />
Die Darstellung von Phasen- und Betragsfrequenzgang <strong>in</strong> <strong>die</strong>ser Form wird Bode-Diagramm genannt.<br />
14.3. Abschätzen des Betragsfrequenzgangs<br />
Häufig reicht es aus den Betragsfrequenzgang abzuschätzen. Dazu werden drei Bereiche betrachtet<br />
und das Verhalten des RC-Netzwerkes <strong>in</strong> den Bereichen durch Geraden angenähert.<br />
Der Betragsfrequenzgang errechnet sich aus:<br />
U 1<br />
U 2<br />
V =<br />
U<br />
a 1 =<br />
2<br />
U<br />
e<br />
(1 + ( ωRC)<br />
)<br />
=<br />
1<br />
(1 + ( ωτ )<br />
2<br />
)<br />
mit ¡ = RC<br />
Bereich 1: £¢ >>1<br />
(Gerade 1)<br />
£¢<br />
U ≈<br />
(Frequenzverhältnisse: Oktave = 1 : 2, Dekade von 1:10).<br />
Abfall 6 db/Oktave bzw. 20 db/Dekade.<br />
U<br />
a<br />
e<br />
Bei der Verdoppelung der Frequenz halbiert sich der Pegel<br />
(-6 db). Die Gerade besitzt <strong>die</strong> Steigung 0.5.<br />
8
Bereich 1: £¢
15. Elektrische Filter<br />
15. 1. Filtertypen<br />
Anhand der Art des frequenzselektiven E<strong>in</strong>griffs der verschiedenen Filterschaltungen können vier<br />
verschiedene Filtertypen unterschieden werden:<br />
a. Tiefpaß:<br />
Tiefe Frequenzen werden nahezu unbee<strong>in</strong>flußt<br />
durchgelassen, hohe Frequenzen werden<br />
unterdrückt.<br />
0<br />
-5<br />
Tiefpass 1. Ordnung<br />
-3db<br />
Pegel <strong>in</strong> db<br />
-10<br />
-15<br />
-20<br />
-25<br />
Abfall<br />
6db/Oktave.<br />
20db/Dekade<br />
-30<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
0<br />
Frequenz<br />
-20<br />
Phase <strong>in</strong> Grad<br />
-40<br />
-60<br />
-45 Grad<br />
-80<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Abb. 15.1.: Symbol und Bodediagramm Tiefpaß<br />
b. Hochpaß:<br />
Hohe Frequenzen werden nahezu unbee<strong>in</strong>flußt<br />
durchgelassen, tiefe Frequenzen werden<br />
unterdrückt.<br />
10
0<br />
-5<br />
Hochpass 1. Ordnung<br />
-3db<br />
Pegel <strong>in</strong> db<br />
-10<br />
-15<br />
-20<br />
Abfall<br />
-25<br />
6db/Oktave.<br />
20db/Dekade<br />
-30<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Frequenz<br />
80<br />
Phase <strong>in</strong> Grad<br />
60<br />
40<br />
20<br />
45 Grad<br />
0<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Abb. 15.2.: Symbol und Bodediagramm Hochpaß<br />
c. Bandpaß:<br />
Nur e<strong>in</strong> bestimmter Frequenzbereich wird<br />
durchgelassen, Frequenzen außerhalb <strong>die</strong>ses<br />
Bereiches werden unterdrückt. F u = untere<br />
Grenzfrequenz, f o = obere Grenzfrequenz.<br />
0<br />
-5<br />
Bandpass 1, hier zusammengesetzt aus TP und HP 1. Ordnung mit Grenzfrequenz fu = fo<br />
fu = fo<br />
-6db<br />
Pegel <strong>in</strong> db<br />
-10<br />
-15<br />
-20<br />
-25<br />
-30<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Frequenz<br />
Phase <strong>in</strong> Grad<br />
50<br />
0<br />
-50<br />
fu = fo<br />
0 Grad<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
11
0<br />
Bandpass 2, hier zusammengesetzt aus HP u. TP 1. Ordnung, aber fu = 10 -1 , fo = 10 1<br />
Pegel <strong>in</strong> db<br />
-5<br />
-10<br />
-15<br />
-20<br />
-25<br />
fu, -3db<br />
fo, -3db<br />
-30<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Frequenz<br />
50<br />
fu, 45°<br />
Phase <strong>in</strong> Grad<br />
0<br />
-50<br />
fo, -45°<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Abb 15.3.: Symbol und Bodediagramme zum Bandpaß<br />
d. Bandsperre:<br />
E<strong>in</strong> bestimmter Frequenzbereich wird<br />
unterdrückt, Frequenzen außerhalb <strong>die</strong>ses<br />
Bereiches werden durchgelassen. F u = untere<br />
Grenzfrequenz, f o = obere Grenzfrequenz.<br />
Abb. 15.4.: Symbol und Bodediagramm Bandsperre<br />
12
Der Betragsfrequenzgang von Filtern wird <strong>in</strong> der Literatur auch als Amplituden-Frequenzgang bzw.<br />
Amplitudengang bezeichnet.<br />
Zusätzlich zu den vier Filtertypen unterscheidet man analoge und digitale Filter und Mischformen<br />
(CCD-Filter). Filter werden weiterh<strong>in</strong> <strong>in</strong> aktive und passive Filter e<strong>in</strong>geteilt. Aktiv heißt <strong>in</strong> <strong>die</strong>sem<br />
Zusammenhang, daß sie aktive, <strong>in</strong> der Regel verstärkende oder impedanzwandelnde Bauelemente, wie<br />
Transistoren oder Operationsverstärker enthalten. Passive Filter s<strong>in</strong>d dagegen <strong>in</strong> der Regel<br />
ausschließlich aus RLC-Bauelementen zusammengesetzt. Im folgenden wird nur <strong>die</strong> analoge Filterung<br />
von Spannungen und Strömen beschrieben.<br />
15. 2. Bereiche des Übertragungsverhaltens<br />
Der Amplitudengang der Filter wird <strong>in</strong> verschiedene Übertragungsbereiche e<strong>in</strong>geteilt. Für das Beispiel<br />
des Bandpasses gilt:<br />
Abb. 15.5.: Zu unterscheidende Bereiche e<strong>in</strong>es Bandpaß-Filters<br />
Der Durchlaßbereich ist der Frequenzbereich, <strong>in</strong> dem das E<strong>in</strong>gangssignal das Filter mit m<strong>in</strong>imaler<br />
Dämpfung passieren kann. Der Sperrbereich ist der Frequenzbereich, <strong>in</strong> dem das Signal durch das<br />
Filter um m<strong>in</strong>destens e<strong>in</strong>en bestimmten Faktor abgesenkt wird. Dazwischen liegen <strong>die</strong><br />
Übergangsbereiche, <strong>in</strong> denen das Signal <strong>in</strong> zunehmendem Maße durch das Filter bee<strong>in</strong>flußt wird.<br />
15. 3. Kenngrößen von Filtern<br />
1. Grenzfrequenz:<br />
Die Grenzfrequenz (auch Knickfrequenz) f 0 (bzw. 0) ist def<strong>in</strong>iert als <strong>die</strong>jenige Frequenz, bei der der<br />
Amplituden-Frequenzgang auf e<strong>in</strong>en def<strong>in</strong>ierten Wert abgesunken ist. Üblich, bei e<strong>in</strong>facheren Filtern,<br />
ist<br />
1 (bzw. -3 dB), bei komplexeren Filtern kommen auch andere Werte zum E<strong>in</strong>satz. Dies wird<br />
2<br />
dann angegeben.<br />
Die Betragsfunktion e<strong>in</strong>es Tiefpasses 1. Ordnung lautet:<br />
13
V =<br />
1<br />
1+<br />
( ω<br />
2<br />
0<br />
RC)<br />
=<br />
1<br />
1 + ( ω τ<br />
) 2<br />
0<br />
| mit ¡ = R C<br />
Für <strong>die</strong> Grenzfrequenz gilt:<br />
1<br />
1 + ( ω τ<br />
) 2<br />
0<br />
=<br />
1<br />
2<br />
Damit<br />
1+ ( ω τ = 2 ¡ gilt, muß 0 = 1 se<strong>in</strong>. ¡<br />
2<br />
0<br />
)<br />
1<br />
Für f 0 gilt daher f 0 = 2πτ<br />
=<br />
1<br />
2πRC<br />
Bei Bandpässen und -sperren existiert e<strong>in</strong>e obere und e<strong>in</strong>e untere Grenzfrequenz f u bzw. f o<br />
Mittenfrequenz f m . Die Mittelfrequenz gibt <strong>die</strong> Mitte des Durchlaßbereiches an.<br />
und e<strong>in</strong>e<br />
2. Flankensteilheit<br />
Die Flankensteilheit gibt an, wie schnell im Übergangsbereich der Pegel des<br />
Amplitudenfrequenzganges ab- bzw. zunimmt. E<strong>in</strong> analoger Filter 1. Ordnung hat <strong>die</strong> Flankensteilheit<br />
von 6db/Oktave bzw. 20 db/Dekade. Je größer der db-Wert pro Frequenze<strong>in</strong>heit, desto steilflankiger<br />
ist der Filter. Üblich s<strong>in</strong>d Werte <strong>in</strong> Schritten von 6 db/Okt. (6, 12, 18, 24, 48db/Okt.) entsprechend<br />
e<strong>in</strong>er Kaska<strong>die</strong>rung von e<strong>in</strong>fachen RC-Filtern 1. Ordnung. Es können jedoch auch Filter mit<br />
beliebigen anderen Werte konstruiert werden.<br />
0<br />
unterschiedliche Flankensteilheiten am Beispiel e<strong>in</strong>es Hochpaßfilters<br />
-5<br />
Pegel <strong>in</strong> db<br />
-10<br />
-15<br />
-20<br />
-25<br />
-30<br />
6 db/Okt.<br />
12db/Okt.<br />
-35<br />
-40<br />
-45<br />
18 db/Okt.<br />
24 db/Okt.<br />
-50<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Abb. 15.6.: Flankensteilheiten e<strong>in</strong>es Hochpaßfilters<br />
Frequenz<br />
3. Ordnung<br />
Die Ordnung gibt an, wieviel Filtergrundbauste<strong>in</strong>e oder (z.B. bei digitalen Filtern) Koeffizienten an<br />
der Filterkonstruktion beteiligt s<strong>in</strong>d. Die Angabe der Ordnung bezieht sich somit auf <strong>die</strong> Komplexität<br />
der Filter. Bei e<strong>in</strong>facheren Filtern ergibt sich e<strong>in</strong> direkter Zusammenhang zwischen Ordnung und<br />
Flankensteilheit. Pro Ordnungszahl ist e<strong>in</strong>e Flankensteilheit von 6 db/Okt. anzusetzen. E<strong>in</strong> Filter 4.<br />
Ordnung hat danach e<strong>in</strong>e Flankensteilheit von 24 db/Okt. (Kaska<strong>die</strong>rung von 4 e<strong>in</strong>fachen Filtern 1.<br />
14
Ordnung). Dieser Zusammenhang zwischen Ordnungszahl und Flankensteilheit ist jedoch nur unter<br />
bestimmten Umständen gegeben, da andere Merkmale des Filteraufbaus sich ebenfalls auf <strong>die</strong><br />
Flankensteilheit auswirken.<br />
4. Bandbreite<br />
Beim Bandpaß und der Bandsperre def<strong>in</strong>iert <strong>die</strong> Bandbreite denjenigen Bereich, der durchgelassen<br />
bzw. gesperrt wird. Die Def<strong>in</strong>ition der Bandbreite ist dabei nicht e<strong>in</strong>heitlich. Häufig wird der Bereich<br />
zwischen f u und f o angegeben. Bei der Bandsperre kann sich <strong>die</strong> Bandbreite auch auf Sperrbereich<br />
beziehen. Sie def<strong>in</strong>iert dann den Bereich der maximalen Dämpfung (vergl. Abb. 15.7.).<br />
E<strong>in</strong>e weiter Variante ist der Begriff der äquivalenten Bandbreite. Er steht für e<strong>in</strong> fiktives Filter mit<br />
rechteckförmigem Amplitudenfrequenzgang, bei dem Durchlaß- bzw. Sperrbereich <strong>die</strong> gleichen<br />
Flächen<strong>in</strong>halte wie das zu untersuchende Filter aufweisen.<br />
0<br />
-5<br />
Pegel <strong>in</strong> db<br />
-10<br />
-15<br />
fu<br />
fm<br />
fo<br />
-20<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Abb. 15.7.: Mögliche Bandbreite und äquivalente Bandbreite bei e<strong>in</strong>er Bandsperre<br />
5. Welligkeit, (Ripple)<br />
Bei bestimmten Filterkonstruktionen ergeben sich im Durchlaß- und/oder Sperrbereich mehr oder<br />
m<strong>in</strong>der große Schwankungen im Amplitudenfrequenzgang. Diese Welligkeit (engl. Ripple) wird über<br />
e<strong>in</strong>e db-Zahl angegeben, <strong>die</strong> für <strong>die</strong> maximale Schwankungsbreite im Amplitudenfrequenzgang steht.<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
-30<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
-30<br />
Sperrdämpfung<br />
Abb. 15.8.:<br />
-40<br />
10 2 10 3 10 4<br />
-40<br />
10 2 10 3 10 4<br />
Welligkeit im Durchlaßbereich (l<strong>in</strong>ke Graphik) und im Sperrbereich (rechte Graphik) am Beispiel<br />
e<strong>in</strong>es Chebyshev - Hochpaß - Filters 8. Ordnung (l<strong>in</strong>ks 2 db Welligkeit).<br />
6. Sperrdämpfung oder Stopband-Unterdrückung<br />
Bei Filtern, <strong>die</strong> ke<strong>in</strong>en stetigen Abfall des Amplitudenfrequenzganges besitzen, muß angegeben<br />
werden, um welchen Wert der Sperrbereich abgesenkt wird. Diese Sperrdämpfung wird <strong>in</strong> db<br />
angegeben. Abb. 15.7. zeigt <strong>in</strong> der rechten Graphik e<strong>in</strong>en solchen Filter. Die Sperrdämpfung ergibt<br />
sich durch den ungünstigsten Zustand der Welligkeit und beträgt <strong>in</strong> <strong>die</strong>sem Beispiel 30 db.<br />
15
15. 4. Komb<strong>in</strong>ation von Filtern<br />
Filter können zur Konstruktion von komplexeren Filterfunktionen mite<strong>in</strong>ander komb<strong>in</strong>iert werden. Z.<br />
B. ergeben<br />
zwei Hochpässe 1. Ordnung <strong>in</strong> Serie<br />
e<strong>in</strong>en Hochpaß 2. Ordnung<br />
e<strong>in</strong> Hochpaß und e<strong>in</strong> Tiefpaß<br />
e<strong>in</strong>en Bandpaß<br />
Diese Komb<strong>in</strong>ationen funktionieren jedoch nur dann <strong>in</strong> <strong>die</strong>ser Art, wenn <strong>die</strong> Filterbauste<strong>in</strong>e sich nicht<br />
gegene<strong>in</strong>ander bee<strong>in</strong>flussen. Bei der Komb<strong>in</strong>ation von passiven Filtern, also Filtern, <strong>die</strong> lediglich aus<br />
RLC-Bauelementen bestehen, bee<strong>in</strong>flussen <strong>die</strong> nachgeschalteten Impedanzen jedoch <strong>die</strong><br />
vorangehenden und umgekehrt.<br />
U e<br />
C 1<br />
C 2<br />
R<br />
'<br />
1<br />
R 2<br />
U<br />
a<br />
U<br />
a<br />
Abb. 15.9.:Belasteter Spannungsteiler<br />
Dadurch muß z.B. für <strong>die</strong> Übertragungsfunktion des ersten Hochpasses anstelle von R 1 <strong>die</strong><br />
Komb<strong>in</strong>ation aus R 1 , C 2 und R 2 berücksichtigt werden (R 1 || (X C2 + R 2 )) usw.. Die<br />
Übertragungsfunktionen weichen erheblich von denen der e<strong>in</strong>zelnen Filterbauste<strong>in</strong>en 1. Ordnung ab.<br />
Um sicherzustellen, daß ke<strong>in</strong>e Rückwirkungen e<strong>in</strong>zelner Filterbauste<strong>in</strong>e auf andere vorkommen,<br />
werden <strong>die</strong> e<strong>in</strong>zelnen Filter vone<strong>in</strong>ander entkoppelt. Dies geschieht z.B. über aktive Bauelemente<br />
(z.B. Operationsverstärker als Buffer geschaltet), <strong>die</strong> e<strong>in</strong>e gegenüber den Impedanzen der Filter sehr<br />
hohe E<strong>in</strong>gangsimpedanz und e<strong>in</strong>e sehr ger<strong>in</strong>ge Ausgangsimpedanz aufweisen. Damit werden <strong>die</strong><br />
E<strong>in</strong>zelfilter nicht belastet. Jeder Filter verhält sich so, als wäre er alle<strong>in</strong>e angeschlossen.<br />
U e<br />
C<br />
R<br />
U<br />
a<br />
U e<br />
C<br />
R<br />
U<br />
a<br />
Abb. 15.10.: Zwei Filter 1. Ordnung <strong>die</strong> entkoppelt (über Operationsverstärker) kaska<strong>die</strong>rt s<strong>in</strong>d. Der<br />
zweite Opamp am Ausgang des Filters stellt sich, daß der Filter nicht durch weitere<br />
Impedanzen belastet wird.<br />
16
15. 5. Zusammengesetzte Übertragungsfunktionen<br />
Für <strong>die</strong> Beschreibung e<strong>in</strong>facher Filterfunktionen kommt man im wesentlichen mit fünf<br />
Grundfunktionen aus:<br />
K j ¡ ¡ 1 + j ¡ ¡<br />
1<br />
jωτ<br />
1<br />
1+ jωτ<br />
Läßt sich e<strong>in</strong>e beliebige Übertragungsfunktion V als Produkt von Termen <strong>die</strong>ser Form darstellen, so<br />
kann das Bodediagramm durch <strong>die</strong> graphische Addition der e<strong>in</strong>zelnen Produktterme gewonnen<br />
werden.<br />
jωτ<br />
0<br />
E<strong>in</strong> Hochpaß mit : V =<br />
1+<br />
jωτ<br />
0<br />
= V 1<br />
V2<br />
V<br />
1<br />
= ¡ ¡ j 0 und V<br />
2<br />
=<br />
1<br />
.<br />
1+<br />
jωτ<br />
setzt sich zusammen aus<br />
Aus <strong>die</strong>sem Zusammenhang lassen sich <strong>die</strong> Graphen für <strong>die</strong> Betragsfunktion konstruieren:<br />
0<br />
40<br />
Pegel <strong>in</strong> db<br />
20<br />
0<br />
-20<br />
| V1 |<br />
| V2 | | V1 * V2 |<br />
-40<br />
-60<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Frequenz<br />
100<br />
Phi 1<br />
50<br />
Phase <strong>in</strong> Grad<br />
0<br />
-50<br />
Phi2<br />
Phi1 + Phi2<br />
-100<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Abb. 15.11.: Zusammengesetzte Betrags- und Phasenfunktion für e<strong>in</strong>en Hochpaß<br />
1+<br />
jωτ<br />
1<br />
Für e<strong>in</strong>en Bandpaß gilt: V =<br />
1+<br />
jωτ<br />
2<br />
= V 1<br />
V2<br />
V<br />
1<br />
= 1 + ¡ ¡ j 1 und V<br />
2<br />
=<br />
17<br />
setzt sich zusammen aus<br />
1<br />
1+<br />
jωτ<br />
0
10<br />
0<br />
| V2 |<br />
| V1 |<br />
Pegel <strong>in</strong> db<br />
-10<br />
-20<br />
-30<br />
| V1 * V2 |<br />
-40<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Frequenz<br />
100<br />
50<br />
Phase <strong>in</strong> Grad<br />
0<br />
-50<br />
Phi1 + Phi2<br />
Phi2<br />
Phi1<br />
-100<br />
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2<br />
Abb. 15.11.: Zusammengesetzte Betrags- und Phasenfunktion für e<strong>in</strong>en Bandpaß<br />
15. 6. Filterentwurf<br />
Für <strong>die</strong> Konstruktion e<strong>in</strong>es Filters muß zuerst der Filtertyp ausgewählt werden. Die Grenzfrequenz<br />
hängt von den Werten für R und C ab. E<strong>in</strong> Wert wird vorgegeben, nach <strong>die</strong>sem kann der andere<br />
berechnet werden.<br />
Beispiel:<br />
E<strong>in</strong> Hochpaß mit der Grenzfrequenz von 1591 Hz soll berechnet werden. Vorgegeben ist e<strong>in</strong> Wert von<br />
R = 100kR.<br />
Schaltplan für e<strong>in</strong>en Hochpaß:<br />
U<br />
1<br />
C<br />
R U<br />
2<br />
Der Wert für den Kondensator ergibt sich aus: o =<br />
Für C gilt: C =<br />
1<br />
2πf 0<br />
R<br />
=<br />
1<br />
RC<br />
1<br />
2⋅π<br />
⋅1590Hz ⋅100kR<br />
Die Rechenschritt für e<strong>in</strong>en Tiefpaß s<strong>in</strong>d identisch.<br />
= 1 nF<br />
18
16. Frequenzgang von Schw<strong>in</strong>gkreisen<br />
16.1. Kenngrößen des Serienschw<strong>in</strong>gkreis<br />
Kap. 12.4. erläuterte <strong>die</strong> Impedanzverhältnisse von Schw<strong>in</strong>gkreisen. Für den Serienschw<strong>in</strong>gkreis gilt:<br />
Z = R + j ( ωL<br />
-<br />
1 ) mit der Betrag Z = 2 1<br />
R + ( ωL<br />
− )<br />
2<br />
ωC<br />
ωC<br />
Mit der Hilfe der Impedanz lassen sich <strong>die</strong> anderen Grundgrößen ableiten:<br />
I =<br />
U U<br />
=<br />
R<br />
1<br />
R + j(<br />
ωL<br />
− )<br />
ωC<br />
mit der Betrag I =<br />
R<br />
2<br />
U<br />
1<br />
+ ( ωL<br />
− )<br />
ωC<br />
Für <strong>die</strong> Spannungsbeträge, <strong>die</strong> an dem ohmschen Widerstand, dem Kondensator und der Spule<br />
I<br />
anliegen, ergeben sich: U R = I · R U L = I · L U C =<br />
ωC<br />
Die Resonanzfrequenz beschreibt <strong>die</strong>jenige Frequenz, bei der kapazitive Anteil der Impedanz<br />
denselben Betrag wie der <strong>in</strong>duktive Anteil annimmt. Aus L =<br />
mit f 0 =<br />
2π<br />
1<br />
LC<br />
1 ergibt sich <strong>die</strong> Resonanzfrequenz<br />
ωC<br />
. Diese Formel ist für den Serien- und Parallelschw<strong>in</strong>gkreis identisch.<br />
2<br />
16. 2. Impedanz-, Strom- und Spannungsverlauf am Serienschw<strong>in</strong>gkreises.<br />
Am Beispiel zweier Serienschw<strong>in</strong>gkreise, <strong>die</strong> sich lediglich im Betrag für den ohmschen Widerstand<br />
unterscheiden, soll <strong>die</strong> Frequenzabhängigkeit des Serienschw<strong>in</strong>gkreises aufgezeigt werden.<br />
L = 0.2533 H R 1 = 100 U = 12 V<br />
1<br />
f 0 = = 1000 Hz.<br />
C = 100 nF R 2 = 1000<br />
2π LC<br />
Abb. 16.1.: Impedanzverlauf der beiden Serienschw<strong>in</strong>gkreise (x-Achse mit log. Frequenzskala).<br />
19
Der unterschiedliche Betrag des ohmsche Widerstand bewirkt, daß sowohl <strong>die</strong> m<strong>in</strong>imale Impedanz als<br />
auch der Impedanzverlauf um <strong>die</strong> Resonanzfrequenz sich ändert. E<strong>in</strong> größerer ohmscher Widerstand<br />
erzeugt e<strong>in</strong>en flacherer Verlauf der Kurve um <strong>die</strong> Resonanzfrequenz.<br />
Als Maß für den Verlauf der Impedanz um <strong>die</strong> Resonanzfrequenz kann <strong>die</strong> Bandbreite b herangezogen<br />
werden. Sie beschreibt den Abstand der beiden Frequenzen f u und f o vone<strong>in</strong>ander, bei denen der<br />
Widerstand um den Faktor<br />
2 größer ist als <strong>die</strong> Impedanz bei der Resonanzfrequenz.<br />
Es gilt: Z u = Z o = 2 · Z R = 2 · R<br />
Setzt man für Z u bzw. Z o <strong>die</strong> Formel für den Betrag der Impedanz e<strong>in</strong>, lassen sich <strong>die</strong> beiden<br />
Frequenzen errechnen. Es gilt:<br />
R<br />
( ω<br />
1<br />
)<br />
ωC<br />
2<br />
2<br />
+ L − = 2 · R bzw.<br />
für <strong>die</strong> untere Frequenz f u u =<br />
R 1 R<br />
− + + ( )<br />
2L<br />
LC 2L<br />
2<br />
für <strong>die</strong> untere Frequenz f o o =<br />
Für <strong>die</strong> Bandbreite gilt dann:<br />
R 1 R<br />
+ + + ( )<br />
2L<br />
LC 2L<br />
ω ω<br />
b =<br />
− o u R<br />
=<br />
2π<br />
2πL<br />
Dieser Zusammenhang spiegelt sich ebenfalls <strong>in</strong> der Kurve für den Strom wider.<br />
Mit I =<br />
R<br />
2<br />
U<br />
1<br />
+ ( ωL<br />
− )<br />
ωC<br />
Es ergibt sich folgender Verlauf:<br />
2<br />
gilt: I u = I o =<br />
I Re s<br />
2<br />
2<br />
.<br />
Abb. 16.2.: Stromverlauf durch <strong>die</strong> beiden Serienschw<strong>in</strong>gkreise (x-Achse mit log. Frequenzskala).<br />
Der Spannungsverlauf an den Komponenten des Serienschw<strong>in</strong>gkreises ist dadurch gekennzeichnet,<br />
daß an Spule und Kondensator e<strong>in</strong> Vielfaches der angelegten Spannung auftreten kann. Da jedoch <strong>die</strong><br />
20
Teilspannungen an Spule und Kondensator e<strong>in</strong>e Phasenverschiebung von 180 o aufweisen, heben sich<br />
<strong>die</strong>se Spannungen auf (vergl. Kap 12.5.).<br />
Abb. 16.3.: Spannungsverlauf über den Komponenten des Serienschw<strong>in</strong>gkreises. (x-Achse mit log.<br />
Frequenzskala).<br />
Die max. Spannungsüberhöhung der Spannungen von Spule bzw. Kondensator gegenüber der<br />
Spannung am ohmschen Widerstand kann ebenfalls als Kenngröße für <strong>die</strong> Eigenschaften des<br />
Schw<strong>in</strong>gkreises herangezogen werden. Die Güte Q beschreibt das Verhältnis der an den<br />
Bl<strong>in</strong>dwiderständen auftretenden Spannung U L und U C zu der Versorgungsspannung U.<br />
Q =<br />
U 0 L<br />
U = 0 C<br />
ω = 0<br />
L<br />
U U R<br />
Im aktuellen Beispiel ergeben sich folgende Werte für Q:<br />
ω<br />
Q R1 =<br />
Re s<br />
⋅ 0.2533H<br />
=15.92<br />
100Ω<br />
U 0L = U 0C = 12V · 15.92 = 191 V<br />
Q R2 =<br />
=<br />
ω RES<br />
1<br />
ω RC 0<br />
⋅0.2533H<br />
=1.592<br />
1000Ω<br />
U 0L = U 0C = 12V · 1.592 = 19.1 V<br />
1 R<br />
Der Kehrwert der Güte wird als Dämpfung d bezeichnet: d = = Q ω 0<br />
L<br />
= ω<br />
0RC<br />
.<br />
Güte und Bandbreite beschreiben <strong>die</strong>selben Eigenschaften e<strong>in</strong>es Schw<strong>in</strong>gkreise mit Hilfe<br />
unterschiedlichen Zusammenhänge. Deshalb lassen sich Güte und Bandbreite <strong>in</strong>e<strong>in</strong>ander umrechnen.<br />
Es gilt: b =<br />
ω − o<br />
ωu<br />
R<br />
=<br />
2π<br />
2πL<br />
1<br />
= ·d ·¡ 0 = d ·f o<br />
2π<br />
21
16. 3. Kenngrößen des Parallelschw<strong>in</strong>gkreises<br />
Kap. 12.4. erläuterte <strong>die</strong> Leitwertverhältnisse von Schw<strong>in</strong>gkreisen. Für den Parallelschw<strong>in</strong>gkreis gilt:<br />
1<br />
Z G<br />
1 1 1 1 1<br />
= + j ( ωC<br />
- ) mit der Betrag Y = =<br />
2<br />
+ ( ωC<br />
− )<br />
R ωL<br />
Z<br />
2<br />
R ωL<br />
Mit der Hilfe der Impedanz lassen sich <strong>die</strong> anderen Grundgrößen ableiten:<br />
I =<br />
U 1 1 1 1<br />
= U · + j ( ωC<br />
- ) mit der Betrag I = U ·<br />
2<br />
+ ( ωC<br />
− )<br />
Z G R<br />
2<br />
ωL<br />
R ωL<br />
Für <strong>die</strong> Beträge des Stroms, <strong>die</strong> durch den ohmschen Widerstand, dem Kondensator und der Spule<br />
fließen, ergeben sich: I R = R<br />
U<br />
I L = U · C I C =<br />
Die Resonanzfrequenz beschreibt <strong>die</strong>jenige Frequenz, bei der kapazitive Anteil der Impedanz<br />
denselben Betrag wie der <strong>in</strong>duktive Anteil annimmt. Aus L =<br />
mit f 0 =<br />
2π<br />
1<br />
LC<br />
U<br />
ωL<br />
1 ergibt sich <strong>die</strong> Resonanzfrequenz<br />
ωC<br />
. Diese Formel ist für den Serien- und Parallelschw<strong>in</strong>gkreis identisch.<br />
16. 4. Impedanz- und Stromverlauf am Parallelschw<strong>in</strong>gkreises.<br />
Am Beispiel zweier Parallelschw<strong>in</strong>gkreise, <strong>die</strong> sich lediglich im Betrag für den ohmschen Widerstand<br />
unterscheiden, soll <strong>die</strong> Frequenzabhängigkeit des Parallelschw<strong>in</strong>gkreises aufgezeigt werden.<br />
L = 0.2533 H R 1 = 400 U = 12 V<br />
1<br />
f 0 = = 1000 Hz.<br />
C = 100 nF R 2 = 1000<br />
2π LC<br />
Abb. 16.1.: Impedanzverlauf der beiden Parallelschw<strong>in</strong>gkreise (x-Achse mit logarithmischer<br />
Frequenzskala).<br />
22
Der unterschiedliche Betrag des ohmsche Widerstand bewirkt, daß sowohl <strong>die</strong> maximale Impedanz als<br />
auch der Impedanzverlauf um <strong>die</strong> Resonanzfrequenz sich ändert. E<strong>in</strong> kle<strong>in</strong>erer ohmscher Widerstand<br />
erzeugt e<strong>in</strong>en flacherer Verlauf der Kurve um <strong>die</strong> Resonanzfrequenz.<br />
Als Maß für den Verlauf der Impedanz um <strong>die</strong> Resonanzfrequenz kann <strong>die</strong> Bandbreite b herangezogen<br />
werden. Sie beschreibt den Abstand der beiden Frequenzen f u und f o vone<strong>in</strong>ander, bei denen der<br />
Widerstand um den Faktor<br />
1 größer ist als <strong>die</strong> Impedanz bei der Resonanzfrequenz.<br />
2<br />
1 1<br />
Es gilt: Z u = Z o = · ZR = · R<br />
2 2<br />
Setzt man für Z u bzw. Z o <strong>die</strong> Formel für den Betrag der Impedanz e<strong>in</strong>, lassen sich <strong>die</strong> beiden<br />
Frequenzen errechnen. Es gilt:<br />
1 1 1<br />
Y = =<br />
2 2<br />
+ ( ωC<br />
− ) = Z<br />
2<br />
R ωL<br />
R<br />
bzw.<br />
für <strong>die</strong> untere Frequenz f u u =<br />
1<br />
− +<br />
2RC<br />
1 1<br />
+ ( )<br />
LC 2RC<br />
2<br />
für <strong>die</strong> untere Frequenz f o o =<br />
Für <strong>die</strong> Bandbreite gilt dann:<br />
1<br />
+ +<br />
2RC<br />
ω ω<br />
b =<br />
− o u<br />
=<br />
2π<br />
1 1<br />
+ ( )<br />
LC 2RC<br />
1<br />
2πRC<br />
Dieser Zusammenhang spiegelt sich ebenfalls <strong>in</strong> der Kurve für den Strom wider.<br />
Mit I = U ·<br />
1<br />
R<br />
1<br />
+ gilt: I u = I o = I<br />
Res<br />
⋅ 2 .<br />
ωL<br />
2<br />
( ωC<br />
− )<br />
2<br />
Es ergibt sich folgender Verlauf:<br />
2<br />
Abb. 16.2.: Stromverlauf durch <strong>die</strong> beiden Parallelschw<strong>in</strong>gkreise (x-Achse log.Frequenzskala).<br />
23
Der Stromverlauf an den Komponenten des Parallelschw<strong>in</strong>gkreises ist dadurch gekennzeichnet, daß an<br />
Spule und Kondensator e<strong>in</strong> Vielfaches des Stroms auftreten kann. Da jedoch <strong>die</strong> Teilströme von Spule<br />
und Kondensator e<strong>in</strong>e Phasenverschiebung von 180 o aufweisen, heben sich <strong>die</strong>se gegenseitig auf<br />
(vergl. Kap 12.5.).<br />
Abb. 16.3.: Spannungsverlauf über den Komponenten des Serienschw<strong>in</strong>gkreises. (x-Achse log.<br />
Frequenzskala).<br />
Die max. Stromüberhöhung des Teilstroms vom Widerstand zu den Bl<strong>in</strong>dströmen von Spule bzw.<br />
Kondensator bei der Resonanzfrequenz kann ebenfalls als Kenngröße für <strong>die</strong> Eigenschaften des<br />
Schw<strong>in</strong>gkreises herangezogen werden. Die Güte Q beschreibt beim Parallelschw<strong>in</strong>gkreis das<br />
Verhältnis der Teilströme durch Spule bzw. Kondensator I L und I C zu dem Gesamtstrom I bei der<br />
Resonanzfrequenz.<br />
Q =<br />
I0<br />
L<br />
=<br />
I<br />
0<br />
I0<br />
C<br />
=<br />
I<br />
0<br />
R<br />
ω 0<br />
L<br />
Im aktuellen Beispiel ergeben sich folgende Werte für Q:<br />
Q R1 =<br />
400Ω<br />
= 0.251<br />
ωRe<br />
s<br />
⋅ 0. 2533H<br />
I oL = I 0C = I 0 · 0.251= 0.00762 A<br />
Q R2 =<br />
= ω 0<br />
RC<br />
1000Ω<br />
=0.628<br />
ωRe<br />
s<br />
⋅ 0. 2533H<br />
I oL = I 0C = I 0 · 0.628 = 0.00753 A<br />
1 ω<br />
Der Kehrwert der Güte wird als Dämpfung d bezeichnet: d = = 0<br />
L<br />
Q R<br />
=<br />
1<br />
RC .<br />
ω0 Güte und Bandbreite beschreiben <strong>die</strong>selben Eigenschaften e<strong>in</strong>es Schw<strong>in</strong>gkreise mit Hilfe<br />
unterschiedlichen Zusammenhänge. Deshalb lassen sich Güte und Bandbreite <strong>in</strong>e<strong>in</strong>ander umrechnen.<br />
Es gilt: b =<br />
ω − o<br />
ωu<br />
=<br />
2π<br />
1<br />
2πRC<br />
1<br />
=<br />
RC ·f o = d ·f o<br />
ω0 24
17. Nichtl<strong>in</strong>eare Bauelemente<br />
17. 1. Halbleiter<br />
Neben Leitern (Metalle, u.a.) und Isolatoren (Kunststoff, Papier, usw.) existiert e<strong>in</strong>e weitere für <strong>die</strong><br />
Elektrotechnik <strong>in</strong>teressante Art von Stoffen, <strong>die</strong> Halbleiter. Ihre Leitfähigkeit ist kle<strong>in</strong>er als <strong>die</strong> von<br />
Leitern und größer als <strong>die</strong> von Nichtleitern.<br />
Halbleiter haben im Gegensatz zu amorphen (ungeordneten) Stoffen e<strong>in</strong>e Kristallstruktur, d.h. es gibt<br />
e<strong>in</strong> festes Strukturschema für <strong>die</strong> Anordnung der Atome. Beispiele für Halbleitermaterialien s<strong>in</strong>d<br />
Germanium, Selen und Silizium.<br />
Bei Nichtleitern s<strong>in</strong>d <strong>die</strong> Elektronen fest an <strong>die</strong> Atomkerne gebunden. Damit s<strong>in</strong>d ke<strong>in</strong>e<br />
Ladungsverschiebungen und ke<strong>in</strong>e elektrische Ströme möglich. Bei Leitern s<strong>in</strong>d bestimmte Elektronen<br />
zwischen den Atomkernen frei beweglich. Bei Halbleitern s<strong>in</strong>d <strong>die</strong> Elektronen zwar pr<strong>in</strong>zipiell an das<br />
Kristallgitter gebunden, unter gewissen Voraussetzungen kann <strong>die</strong>se B<strong>in</strong>dung allerd<strong>in</strong>gs gelöst<br />
werden, so dass freie Ladungsträger entstehen. Dieser Vorgang ist stark temperaturabhängig.<br />
-<br />
Valenzelektron<br />
- -<br />
-<br />
-<br />
-<br />
- -<br />
-<br />
-<br />
-<br />
- -<br />
-<br />
Atomkern mit 14 Protonen<br />
und 14 Neutronen<br />
Abb. 17.1. : Modell e<strong>in</strong>es Siliziumatoms<br />
Durch <strong>die</strong> gezielte Verunre<strong>in</strong>igung e<strong>in</strong>es Halbleiterkristalls mit Materialien, <strong>die</strong> sich nur unvollständig<br />
<strong>in</strong> <strong>die</strong> Kristallstruktur e<strong>in</strong>passen (Phosphor, usw.), kann erreicht werden, daß freie Elektronen<br />
(negative Ladung) im Werkstoff zur Verfügung stehen. Durch <strong>die</strong> Verschiebung <strong>die</strong>ser Elektronen im<br />
Werkstoff kann so e<strong>in</strong> Elektronenstrom entstehen.<br />
Verunre<strong>in</strong>igt man den Halbleiterkristall mit Stoffen wie Alum<strong>in</strong>ium, so bleiben bestimmte<br />
Kristallverb<strong>in</strong>dungen offen, <strong>die</strong> dann besonders leicht freie Elektronen aufnehmen können. E<strong>in</strong>e<br />
derartige offene Verb<strong>in</strong>dung wird Loch (positive Ladung) genannt. Löst sich e<strong>in</strong> benachbartes<br />
Elektron aus dem Kristallverbund, das dann vom Loch e<strong>in</strong>gefangen wird, und spr<strong>in</strong>gt <strong>in</strong> das vom<br />
Elektron erzeugte Loch wieder e<strong>in</strong> Elektron, so kommt es zu e<strong>in</strong>er Ladungsverschiebung <strong>in</strong>nerhalb des<br />
25
Werkstoffs. Diese Ladungsverschiebung wird Löcherstrom genannt, da im wesentlichen <strong>die</strong> Löcher<br />
(fehlende Elektronen, also positive Ladungen) am Ladungstransport beteiligt s<strong>in</strong>d.<br />
Abb. 17.2.: Löcherleitung <strong>in</strong> Halbleitern, l<strong>in</strong>ks n-dotierter Halbleiter, rechts p-dotierter Halbleiter<br />
N-dotierter Halbleiter (n wie negativ Elektronenüberschuss)<br />
Das Arsen-Atom (5. Hauptgruppe) besitzt fünf Valenzelektronen, wovon nur vier für <strong>die</strong> B<strong>in</strong>dungen zu<br />
den Siliziumatomen benötigt werden. Das fünfte Elektron ist daher sehr schwach am Arsenrumpf<br />
gebunden und kann leicht <strong>in</strong> das Gitter wandern (Elektronenüberschuss am Siliziumatom), das<br />
Arsenatom wird zum Arsen+Ion. Es entsteht e<strong>in</strong>e Elektronenleitung.<br />
P-dotierte Halbleiter (p wie positiv Elektronenmangel)<br />
Das Indium-Atom (3. Hauptgruppe) besitzt nur drei Valenzelektronen, d.h., es fehlt e<strong>in</strong> Elektron, um<br />
alle vier B<strong>in</strong>dungen zu den Siliziumatomen aufzubauen. Dieses e<strong>in</strong>e Elektron wird aus der<br />
Valenzschale e<strong>in</strong>es Silizium-Atoms herausgezogen (Elektronenmangel am Siliziumatom), das<br />
Indium-Atom wird zum Indium-Anion. Es entsteht e<strong>in</strong>e Defektelektronenleitung (Löcherstrom).<br />
17.2. Die Diode<br />
Werden zwei verunre<strong>in</strong>igte Stoffe, der e<strong>in</strong>e mit freien Elektronen (n -dotiert), der andere mit freien<br />
Löchern (p-dotiert), zusammengefügt, so wandern <strong>die</strong> Elektronen aus der Umgebung der Kontaktstelle<br />
<strong>in</strong> das Gebiet mit den Löchern. Dieser Ausgleichsvorgang führt zu e<strong>in</strong>er Reduktion der beweglichen<br />
Ladungsträger, so dass e<strong>in</strong>e sogenannte Sperrschicht entsteht. Gleichzeitig führt <strong>die</strong><br />
Ladungsverschiebung zu e<strong>in</strong>er Polarisierung der Sperrschicht. E<strong>in</strong>e derartige Anordnung wird Diode<br />
genannt.<br />
26
Abb. 17.3.: Bildung der Sperrschicht am PN-Übergang<br />
Wird von außen e<strong>in</strong>e Spannung an <strong>die</strong> Diode angelegt, so hängt es von deren Polarität ab, ob e<strong>in</strong><br />
Strom durch <strong>die</strong> Diode fließt oder nicht. Man kann e<strong>in</strong>e Diode <strong>in</strong> Durchlassrichtung oder<br />
Sperrrichtung betreiben.<br />
Schließt man den Pluspol der äußeren Spannungsquelle an das p-dotierte Material an, so werden <strong>die</strong><br />
Elektronen vom M<strong>in</strong>uspol abgestoßen und <strong>in</strong> <strong>die</strong> Sperrschicht h<strong>in</strong>e<strong>in</strong> gedrückt. Wenn <strong>die</strong> Spannung so<br />
groß ist, dass <strong>die</strong> Elektronen durch <strong>die</strong> Sperrschicht h<strong>in</strong>durchgedrückt werden, entsteht e<strong>in</strong> Stromfluss<br />
zum Pluspol. Die Diode leitet. In <strong>die</strong>sem Fall ist <strong>die</strong> Diode <strong>in</strong> Durchlassrichtung geschaltet.<br />
Abb. 17.4.: Fluß der Ladungsträger <strong>in</strong> Durchlassrichtung<br />
Schaltet man den Pluspol der äußeren Spannungsquelle an <strong>die</strong> n-dotierte Schicht an, so werden <strong>die</strong><br />
Elektronen dort abgesaugt und gleichzeitig <strong>die</strong> Löcher im p-dotierten Material durch Elektronen vom<br />
M<strong>in</strong>uspol aufgefüllt. Infolgedessen gibt es ke<strong>in</strong>e freien Ladungsträger mehr im Werkstoff. Die Diode<br />
sperrt. Jetzt ist <strong>die</strong> Diode <strong>in</strong> Sperrichtung geschaltet.<br />
27
Abb. 17.5.: Verbreiterung der Sperrschicht im Sperrbetrieb<br />
17.3. Die Dioden - Kennl<strong>in</strong>ie<br />
p<br />
n<br />
Abb. 17.6.: Symbol und Anschlussbelegung der Diode<br />
Die obere Abbildung zeigt das Symbol und <strong>die</strong> Anschlussbelegung der Diode. Die nächste Abbildung<br />
zeigt e<strong>in</strong>e Messschaltung zur Aufnahme der Widerstandskennl<strong>in</strong>ie der Diode (Spannungs- und<br />
Strommessung). Der Vorwiderstand <strong>die</strong>nt zur Strombegrenzung (s.u.).<br />
Abb. 17.7.: Schaltbild für <strong>die</strong> Aufnahme der Dioden-Kennl<strong>in</strong>ie<br />
Liegt an der Silizium-Diode e<strong>in</strong>e positive Spannung (Pluspol am p-dotierten Bereich), so fließt bis zu<br />
e<strong>in</strong>er Schwellspannung U D > 0,6 V so gut wie ke<strong>in</strong> Strom durch <strong>die</strong> Diode. Überschreitet <strong>die</strong> Spannung<br />
<strong>die</strong>sen Wert, so durchbrechen <strong>die</strong> Elektronen <strong>die</strong> Sperrschicht, und es setzt relativ schlagartig e<strong>in</strong><br />
28
Stromfluss e<strong>in</strong>. Überschreitet <strong>die</strong>ser Strom e<strong>in</strong>en maximal zulässigen Wert, so wird <strong>die</strong> Diode<br />
aufgrund von Überlast zerstört.<br />
Wird e<strong>in</strong>e negative Spannung an <strong>die</strong> Diode angeschlossen, fließt <strong>in</strong>nerhalb e<strong>in</strong>es verhältnismäßig<br />
großen Spannungsbereiches nur e<strong>in</strong> vernachlässigbarer Strom durch <strong>die</strong> Diode. Erst wenn <strong>die</strong> negative<br />
Spannung e<strong>in</strong>en Maximalwert U Z überschreitet, setzt auch <strong>in</strong> <strong>die</strong>sem Fall schlagartig e<strong>in</strong> Stromanstieg<br />
e<strong>in</strong>, der (abgesehen von speziell für <strong>die</strong>sen Zweck entwickelten Z-Dioden) <strong>in</strong> der Regel zur Zerstörung<br />
der Diode führt.<br />
Abb. 17.8.: I,U - Kennl<strong>in</strong>ie e<strong>in</strong>er Silizium-Diode<br />
17. 4. Die Diode als Gleichrichter<br />
Die folgende Schaltung zeigt <strong>die</strong> Diode als E<strong>in</strong>weggleichrichter und <strong>die</strong> Spannungskennl<strong>in</strong>ien an der<br />
Diode:<br />
U<br />
U 1<br />
U 2<br />
Abb. 17.9.: E<strong>in</strong>weg-Gleichrichter-Schaltung<br />
Legt man an <strong>die</strong>se Schaltung e<strong>in</strong>e Wechselspannung U 1, so wird während der positiven Halbwelle <strong>die</strong><br />
Diode <strong>in</strong> Durchlassrichtung betrieben. Wie bei e<strong>in</strong>em Leiter ersche<strong>in</strong>t dann <strong>die</strong> E<strong>in</strong>gangsspannung am<br />
Ausgang als Spannung U 2. Bei der negativen Halbwelle verhält sich <strong>die</strong> Diode wie e<strong>in</strong> Isolator, und<br />
<strong>die</strong> Halbwelle wird nicht an den Ausgang weitergegeben.<br />
E<strong>in</strong>e derartige Funktionsweise wird Gleichrichtung genannt, da nur gleiche Halbwellen (<strong>in</strong> <strong>die</strong>sem Fall<br />
mit positiver Polarität) an den Ausgang weitergegeben werden. Wird mit <strong>die</strong>ser gleichgerichteten<br />
29
Spannung e<strong>in</strong> Kondensator aufgeladen, so kann durch den Speichereffekt aus e<strong>in</strong>er Wechselspannung<br />
näherungsweise e<strong>in</strong>e Gleichspannung erzeugt werden (Kennl<strong>in</strong>ie 3).<br />
Die folgende Schaltung zeigt e<strong>in</strong>e weitere Gleichrichterschaltung, den Brückengleichrichter:<br />
Abb. 17.10.: Brücken-Gleichrichter und Kennl<strong>in</strong>ien<br />
Schaltet man vier Dioden zu <strong>die</strong>ser besonderen Schaltung zusammen, so wird erreicht, daß <strong>die</strong><br />
negative Halbwelle bei der Gleichrichtung nicht e<strong>in</strong>fach ausgeblendet, sondern <strong>in</strong> <strong>die</strong> positive<br />
Richtung 'geklappt' wird. Dies führt zu e<strong>in</strong>er effizienteren Gleichrichtung, da nun beide Halbwellen<br />
zur Aufladung des Kondensators benutzt werden können.<br />
17.5. Der Transistor<br />
Bipolare Transistoren bestehen aus e<strong>in</strong>er Schichtabfolge von npn- bzw. pnp-dotiertem Material. Die<br />
Art der Dotierung und der mechanische Aufbau führen dann zu e<strong>in</strong>em elektronischen Bauteil, das <strong>in</strong><br />
der Lage ist, elektrische Ströme (und Spannungen) zu verstärken.<br />
Diodenvergleich<br />
Zonenfolge<br />
Schaltzeichen<br />
Diodenvergleich<br />
Zonenfolge<br />
Schaltzeichen<br />
C = Kollektor<br />
B = Basis<br />
B<br />
C<br />
n<br />
p<br />
B<br />
C<br />
C = Kollektor<br />
B = Basis<br />
B<br />
C<br />
p<br />
n<br />
B<br />
C<br />
E = Emitter<br />
n<br />
E<br />
E = Emitter<br />
p<br />
E<br />
E<br />
E<br />
Abb. 17.11.: Grundstruktur und Symbol des npn - (l<strong>in</strong>ks) und des pnp (rechts) – Transistors<br />
Alle drei Schichten des Transistors s<strong>in</strong>d mit e<strong>in</strong>em elektrischen Kontakt versehen. Dieser Anschlüsse<br />
werden als Emitter (emittere (lat.) aussenden), Basis und Kollektor (collectus (lat.) aufgesammelt)<br />
bezeichnet.<br />
Beim npn-Transistor stellen sich dabei <strong>die</strong> folgenden Zustände e<strong>in</strong>:<br />
30
Abb. 17.12.: Wirkungsweise des npn-Transistors<br />
Legt man zwischen Basis und Emitter des Transistors e<strong>in</strong>e positive Spannung U be > 0,3 V und liegt<br />
zwischen Kollektor und Emitter e<strong>in</strong>e wesentlich größere Spannung, z.B. U ce = 5 V, dann führt e<strong>in</strong>e<br />
kle<strong>in</strong>e Änderung des Stromes I b durch <strong>die</strong> Basis (I b) zu e<strong>in</strong>er großen Änderung des Stromes I c durch<br />
den Kollektor (I c).<br />
Für pnp-Transistoren gilt <strong>die</strong> Funktionsweise entsprechend, nur erhalten Spannungen und Ströme dann<br />
e<strong>in</strong> negatives Vorzeichen.<br />
16. 6. Transistor-Grundschaltungen<br />
Bei der Emitterschaltung liegt der Emitter auf konstantem Potential, bildet also für den Ausgang und<br />
E<strong>in</strong>gang den geme<strong>in</strong>samen Massepunkt. Die Emitterschaltung ist <strong>die</strong> gebräuchlichste<br />
Transistorschaltung, wenn es um <strong>die</strong> möglichst rückwirkungsfreie Verstärkung von Spannungen geht.<br />
Abb. 17.13.: Emitterschaltung<br />
Untersucht man Ausgangsstrom |I c| und Basisstrom |I b| stellt sich heraus, dass das Verhältnis ß = |I c|/|I b|<br />
nahezu über den gesamten Strombereich konstant ist.<br />
31
Abb. 17.14.: Stromverstärkungsfaktor<br />
Der Strom durch den Kollektor I c hängt jedoch nicht nur vom Basisstrom I b sondern auch von der<br />
Spannung U ce zwischen Kollektor und Emitter ab.<br />
Abb. 17.15.: Ausgangs-Kennl<strong>in</strong>ienfeld und Arbeitsgerade<br />
Bei konstanter Versorgungsspannung U b fällt <strong>in</strong> der Emitterschaltung mit steigendem Strom I c e<strong>in</strong><br />
immer größerer Teil der Versorgungsspannung am Widerstand R c ab, so dass U ce immer kle<strong>in</strong>er wird.<br />
Wird I c = 0, so liegt <strong>die</strong> volle Versorgungsspannung an den Klemmen des Transistors. Wird I c so groß,<br />
dass U b vollständig am Widerstand R c abfällt, liegt ke<strong>in</strong>e Spannung zwischen Kollektor und Emitter<br />
(U ce = 0). Aus <strong>die</strong>sen beiden Extrempunkten ergibt sich <strong>die</strong> Arbeitsgerade, <strong>die</strong> alle Zustände<br />
beschreibt, <strong>die</strong> <strong>die</strong> Emitterschaltung <strong>in</strong> Abhängkeit von U b , R c und dem E<strong>in</strong>gangsstrom l b e<strong>in</strong>nehmen<br />
kann.<br />
Damit U ce ,<strong>die</strong> <strong>in</strong> <strong>die</strong>ser Schaltung gleichzeitig <strong>die</strong> Ausgangsspannung U 2 ist, sowohl positiv, als auch<br />
negativ ausgelenkt werden kann, wird e<strong>in</strong> Arbeitspunkt A <strong>in</strong> der Mitte der Arbeitsgerade gewählt.<br />
Aus dem Kennl<strong>in</strong>ienfeld kann abgelesen werden, welcher Basis-Gleichstrom I b0 für den Arbeitspunkt<br />
notwendig wird. Dieser Gleichstrom muss von e<strong>in</strong>er externen Stromquelle geliefert werden.<br />
32
Berücksichtigt man weiter, dass der E<strong>in</strong>gangswiderstand des Transistors R be im Arbeitspunkt im<br />
allgeme<strong>in</strong>en verhältnismäßig konstant ist, so kann <strong>die</strong> Arbeitspunkte<strong>in</strong>stellung auch durch e<strong>in</strong>e Basis-<br />
Gleichspannung U be0 = R be · I b0 vorgenommenen werden.<br />
Überlagert man U be0 mit e<strong>in</strong>er kle<strong>in</strong>en zusätzlichen Signalspannung U l , so führt <strong>die</strong>s zu Änderungen<br />
des Basisstroms I b , und somit zu wesentlich stärkeren Schwankungen des Kollektorstromes I c . Diese<br />
Stromschwankungen führen schließlich zu e<strong>in</strong>em unterschiedlichen Spannungsabfall an R c und damit<br />
zu Änderungen der Ausgangsspannung U 2 .<br />
Das Ergebnis ist e<strong>in</strong>e Schaltung, <strong>die</strong> <strong>in</strong> der Lage ist, Spannungsschwankungen zu verstärken. Es gilt:<br />
∆ = ∆ U − I ⋅ R )<br />
U 2<br />
(<br />
B C C<br />
− ∆I ⋅ R<br />
=<br />
C C<br />
∆ = ∆Ib<br />
⋅ Rbe<br />
U 1<br />
=<br />
Für <strong>die</strong> Verstärkung gilt: V =<br />
∆I<br />
∆I<br />
c<br />
b<br />
∆U<br />
∆U<br />
2<br />
1<br />
R<br />
= - ·<br />
R<br />
E<strong>in</strong>gangswiderstand: R E ≈ R be<br />
Ausgangswiderstand: R A ≈ R c<br />
c<br />
be<br />
=<br />
∆I<br />
−<br />
∆I<br />
c<br />
b<br />
⋅ R<br />
⋅ R<br />
c<br />
be<br />
Die folgende Schaltung nennt man Kollektorschaltung. Der Ausgang liegt <strong>in</strong> <strong>die</strong>sem Falle am Emitter.<br />
Auf Grund ihrer Eigenschaften wird <strong>die</strong> Kollektorschaltung als Impedanzwandler e<strong>in</strong>gesetzt (d.h. V =<br />
1, E<strong>in</strong>gangswiderstand groß, Ausgangswiderstand kle<strong>in</strong>). Damit kann man dann z.B. kaska<strong>die</strong>rte<br />
Übertragungsvierpole entkoppeln.<br />
U<br />
2<br />
Für <strong>die</strong> Verstärkung gilt: V = ≈ 1<br />
U<br />
Abb. 17.16.: Kollektorschaltung<br />
1<br />
33
E<strong>in</strong>gangswiderstand: R E ≈ · R c kann sehr groß se<strong>in</strong><br />
Ausgangswiderstand:<br />
Rbe<br />
R A ≈ β<br />
sehr niedrig<br />
Die dritte Grundschaltung wird Basisschaltung genannt (Die Basis ist der geme<strong>in</strong>same Bezugspunkt).<br />
Aufgrund ihres niedrigen E<strong>in</strong>gangs- und ihres hohen Ausgangswiderstandes, ist <strong>die</strong> Schaltung <strong>in</strong> der<br />
NF-Technik eher unüblich.<br />
Abb. 17.17.: Basisschaltung<br />
Die Verstärkung ist vergleichbar mit der der Emitterschaltung, allerd<strong>in</strong>gs mit positivem Vorzeichen.<br />
R<br />
Für <strong>die</strong> Verstärkung gilt: V = ·<br />
R<br />
c<br />
be<br />
Rbe<br />
E<strong>in</strong>gangswiderstand R E ≈ β<br />
sehr kle<strong>in</strong><br />
Ausgangswiderstand R A sehr groß<br />
Die Verstärkung von Signalen kommt dadurch zustande, daß der Strom e<strong>in</strong>er Hilfsenergiequelle<br />
(Netzteil, Batterie) durch kle<strong>in</strong>e Ströme bee<strong>in</strong>flusst werden kann (Relaiswirkung).<br />
34
18. Verstärker<br />
18. 1. Verstärkungs-Vierpole<br />
Die Übertragung elektrischer Signale ist immer verlustbehaftet, d.h. <strong>die</strong> elektrischen Spannungen und<br />
Ströme werden aufgrund e<strong>in</strong>er endlichen Leitfähigkeit und Isolation der Übertragungsstrecke immer<br />
kle<strong>in</strong>er.<br />
Unabhängig davon wird für <strong>die</strong> unterschiedlichsten Anwendungsgebiete (Verstärkung der Mikrofon-<br />
Ausgangsspannung für <strong>die</strong> Schallwiedergabe über Lautsprecher, usw.) e<strong>in</strong> Gerät notwendig, das <strong>in</strong> der<br />
Lage ist, Spannungen und Ströme zu verstärken, d.h. <strong>in</strong> ihrer Amplitude zu vergrößern.<br />
Die <strong>in</strong> der Systemtheorie für <strong>die</strong>sen Zweck vorgesehenen Schaltungen heißen Verstärkungs-Vierpole.<br />
U e V<br />
U a V =|<br />
U<br />
a<br />
|<br />
U<br />
e<br />
Abb.18.1.: Symbol Verstärkungs-Vierpol<br />
Pr<strong>in</strong>zipiell unterscheiden sich <strong>die</strong> Verstärkungs-Vierpole nicht von den bisher behandelten Vierpolen<br />
(Filter, Widerstands-Netzwerke). Im Unterschied zu ihnen, können nun <strong>die</strong> Ausgangsgrößen<br />
(Spannung, Strom, Leistung, usw.) auch größer se<strong>in</strong> als <strong>die</strong> entsprechenden E<strong>in</strong>gangsgrößen.<br />
18. 2. Rückgekoppelte Verstärker-Vierpole<br />
Führt man den Ausgang e<strong>in</strong>es Vierpols auf den E<strong>in</strong>gang zurück, so erhält man e<strong>in</strong>en Regelkreis. Das<br />
Ziel e<strong>in</strong>es Regelkreises ist <strong>die</strong> def<strong>in</strong>ierte Bee<strong>in</strong>flussung e<strong>in</strong>es Daten- oder Mengenflusses. Erreicht<br />
wird <strong>die</strong>s, <strong>in</strong>dem <strong>die</strong> Ausgangsgröße mit dem E<strong>in</strong>gang des Prozesses verglichen wird und, bei e<strong>in</strong>er<br />
Abweichung von e<strong>in</strong>em Sollwert, <strong>die</strong> E<strong>in</strong>gangsgröße bee<strong>in</strong>flusst wird.<br />
Auf <strong>die</strong> Verstärkungs-Vierpole übertragen bedeutet <strong>die</strong>s, daß e<strong>in</strong>e Rückwirkung der<br />
Ausgangsspannung auf den E<strong>in</strong>gang des Verstärkungs-Vierpols erreicht werden muss. Dafür wird<br />
dessen E<strong>in</strong>gangsspannung aus e<strong>in</strong>er Verknüpfung der E<strong>in</strong>gangsspannung des Reglers und der<br />
rückgeführten Ausgangsspannung gewonnen. In Folge dessen wird das Übertragungsverhalten des so<br />
realisierten Regelkreises vor allem von der Art der Verknüpfung von E<strong>in</strong>gangssignal und<br />
rückgeführtem Ausgangssignal bestimmt.<br />
35
u r<br />
k r<br />
u a<br />
+<br />
u e k u e e' V<br />
u a<br />
Abb.18.2.: Rückgekoppelter Verstärkungs-Vierpol<br />
u e<br />
V’<br />
u a<br />
Abb. 18.3.: Ersatzschaltbild<br />
k e und k r s<strong>in</strong>d dabei zusätzliche Vierpole, <strong>die</strong> das E<strong>in</strong>gangs- und Ausgangssignal geeignet Formen, so<br />
daß bei der Summation und Verstärkung durch den Verstärkungs-Vierpol der gewünschte Regelkreis<br />
entsteht.<br />
Für <strong>die</strong> Berechnung der rückgekoppelten Verstärkung ergibt sich:<br />
u<br />
u d = a<br />
V<br />
= u e ’+ u r<br />
= k e·u e + k a·u a<br />
1<br />
u a · (<br />
r<br />
V − k ) = k e · u e<br />
V’ =<br />
=<br />
=<br />
u<br />
u<br />
a<br />
e<br />
k<br />
e<br />
1<br />
− k<br />
V<br />
r<br />
k<br />
e<br />
⋅V<br />
1−<br />
k ⋅V<br />
r<br />
Für Verstärkungs-Vierpole mit sehr großem |V| gilt: V’ ≈ -<br />
k<br />
k<br />
e<br />
r<br />
(für V >> 1)<br />
36
18. 3. Operationsverstärker<br />
Für <strong>die</strong> Entwicklung analoger Rechenschaltungen war Ende der sechziger Jahre e<strong>in</strong> Schaltkreis mit<br />
folgenden Eigenschaften entwickelt worden:<br />
• Gleichspannungs-E<strong>in</strong>gang (potentialfreier Differenze<strong>in</strong>gang, d.h. <strong>die</strong> beiden E<strong>in</strong>gangsklemmen haben<br />
ke<strong>in</strong>e Verb<strong>in</strong>dung zur Masse).<br />
• Hohe Verstärkung der Differenz-E<strong>in</strong>gangsspannung (Spannung zwischen den beiden<br />
E<strong>in</strong>gangsklemmen): V > 100000.<br />
• Ke<strong>in</strong>e Verstärkung der Gleich-E<strong>in</strong>gangsspannung (Spannung der E<strong>in</strong>gangsklemmen zur Masse).<br />
• Hohe E<strong>in</strong>gangsimpedanz: Z e > 1 M<br />
• Niedrige Ausgangsimpedanz: Z a < 100<br />
• Integration der Schaltung auf e<strong>in</strong>em Chip.<br />
Nachdem sich herausstellte, daß aufgrund der angeführten Eigenschaften mit <strong>die</strong>sem Chip und<br />
wenigen zusätzlichen Bauteilen nahezu jede beliebige Übertragungsfunktion realisiert werden kann,<br />
setzte e<strong>in</strong>e rasante Entwicklung <strong>die</strong>ser sogenannten Operationsverstärkerschaltungen e<strong>in</strong>. Heute gibt es<br />
kaum noch e<strong>in</strong>e elektronische Schaltung, <strong>die</strong> nicht <strong>in</strong> irgende<strong>in</strong>er Form Operationsverstärker enthält.<br />
U+<br />
+<br />
u e<br />
-<br />
out<br />
u a<br />
U-<br />
Abb. 18. 4.: Schaltsymbol e<strong>in</strong>es Operationsverstärker<br />
Der Operationsverstärker benötigt je e<strong>in</strong>e positive und negative Versorgungsspannung (U+ und U- )<br />
und e<strong>in</strong>en geme<strong>in</strong>samen Masse-Anschluss. Die E<strong>in</strong>gangsspannungen können <strong>in</strong>nerhalb gewisser<br />
Grenzen e<strong>in</strong>en Offset gegenüber Masse besitzen, ohne dass sich <strong>die</strong>ser an der Ausgangsspannung<br />
bemerkbar macht. Die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers wird gegen Masse abgenommen<br />
und kann positive und negative Werte annehmen.<br />
37
18. 4. Der <strong>in</strong>vertierende Verstärker<br />
Z 1<br />
Z 2<br />
-<br />
U+<br />
u e<br />
u d<br />
+<br />
out<br />
ua<br />
Abb. 18. 5.: Schaltbild des <strong>in</strong>vertierenden Verstärkers<br />
U-<br />
Berechnung des Übertragungsfaktors: V' =<br />
u<br />
u<br />
a<br />
e<br />
V’ ≈ -<br />
k<br />
k<br />
e<br />
r<br />
(für V >> 1)<br />
k r =<br />
u<br />
u<br />
d<br />
a<br />
u e ’ = 0 wenn u e = 0<br />
Z 2<br />
u d<br />
Z 1<br />
u a<br />
Abb. 18. 6.: Ersatzschaltbild für u e = 0<br />
k r =<br />
=<br />
u<br />
u<br />
d<br />
a<br />
Z 1<br />
−<br />
Z + Z<br />
1<br />
u e = 0<br />
2<br />
(Spannungsteilerregel)<br />
k e =<br />
u<br />
u<br />
u a = 0<br />
d<br />
e<br />
u r = 0<br />
38
Z 1<br />
Z 2<br />
U e<br />
u d<br />
Abb. 18.7.: Ersatzschaltbild für u a = 0<br />
k r =<br />
=<br />
V’ = -<br />
u<br />
u<br />
d<br />
a<br />
= −<br />
Z 2<br />
−<br />
Z + Z<br />
k<br />
k<br />
e<br />
r<br />
Z<br />
= −<br />
Z<br />
1<br />
1<br />
u a = 0<br />
2<br />
Z 2<br />
Z 1 + Z<br />
Z 1<br />
Z + Z<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Der komplexe Übertragungsfaktor der Schaltung wird demnach nur vom Verhältnis der beiden<br />
Impedanzen Z 1 und Z 2 bestimmt.<br />
Für <strong>die</strong> E<strong>in</strong>gangsimpedanz gilt: Z e = Z 1<br />
Für <strong>die</strong> Ausgangsimpedanz gilt: Z a ist sehr kle<strong>in</strong><br />
(<strong>in</strong> der Regel um e<strong>in</strong> Vielfaches kle<strong>in</strong>er als <strong>die</strong> Ausgangsimpedanz<br />
des Operationsverstärkers)<br />
Die Vorteile der Schaltung s<strong>in</strong>d: Es gibt ke<strong>in</strong>en E<strong>in</strong>gangsspannungs-Offset gegenüber Masse, d.h. e<strong>in</strong>e<br />
eventuelle Restverstärkung der Gleichtakt-E<strong>in</strong>gangsspannung im Operationsverstärker führt zu ke<strong>in</strong>em<br />
Fehler am Ausgang.<br />
Die Nachteile s<strong>in</strong>d: Die Ausgangspannung ist gegenüber der E<strong>in</strong>gangsspannung <strong>in</strong>vertiert (daher der<br />
Name der Schaltung). Die E<strong>in</strong>gangsimpedanz Z e hängt von der Beschaltung (Z 1 ) ab.<br />
39
17. 5. Der nicht - <strong>in</strong>vertierende Verstärker<br />
U+<br />
+<br />
u e<br />
u d<br />
-<br />
out<br />
ua<br />
Z 2<br />
U-<br />
Z 1<br />
Abb. 18. 8.: Schaltbild des nicht - <strong>in</strong>vertierenden Verstärkers<br />
Der Übertragungsfaktor ergibt sich aus: V’ =<br />
Für <strong>die</strong> E<strong>in</strong>gangsimpedanz gilt: Z e ist sehr groß<br />
Für <strong>die</strong> Ausgangsimpedanz gilt: Z a ist sehr kle<strong>in</strong><br />
Z + Z<br />
(<strong>in</strong> der Regel um e<strong>in</strong> Vielfaches kle<strong>in</strong>er als <strong>die</strong> Ausgangsimpedanz des<br />
Operationsverstärkers)<br />
Die Vorteile der Schaltung s<strong>in</strong>d: Aus- und E<strong>in</strong>gangsspannung s<strong>in</strong>d <strong>in</strong> Phase. Die E<strong>in</strong>gangsimpedanz Z e<br />
ist sehr groß.<br />
Der Nachteil ist: Die E<strong>in</strong>gangsspannung des Operationsverstärkers enthält immer e<strong>in</strong>en Gleichanteil<br />
gegenüber Masse. Dieser kann sich ggf. als Offset-Fehler am Ausgang bemerkbar machen.<br />
1<br />
Z<br />
1<br />
2<br />
18. 6. Anwendungsbeispiele<br />
Setzt man für Z 1 den Widerstand R 1 und für Z 2 den e<strong>in</strong>stellbaren Widerstand R 2 e<strong>in</strong>, so erhält man<br />
e<strong>in</strong>en universellen e<strong>in</strong>stellbaren Audio-Verstärker.<br />
R 2<br />
U+<br />
R 1<br />
-<br />
u e<br />
u d<br />
+<br />
out<br />
ua<br />
Abb. 18.9.: Gleichspannungsgekoppelter Audio-Verstärker<br />
U-<br />
40
Für <strong>die</strong> H<strong>in</strong>tere<strong>in</strong>anderschaltung (Kaska<strong>die</strong>rung) von Filterbauste<strong>in</strong>en (z.B. RC-Gliedern) wird e<strong>in</strong>e<br />
Entkopplung benötigt, <strong>die</strong> dafür sorgt, daß das nachgeschaltete Filter durch se<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>gangsimpedanz<br />
nicht das Frequenzverhalten der vorhergehenden Stufe verändert (vergl. Abschnitt 15.4.)<br />
Da bestimmte Operationsverstärkerschaltungen e<strong>in</strong>en sehr hohen E<strong>in</strong>gangswiderstand und e<strong>in</strong>en<br />
niedrigen Ausgangswiderstand besitzen können, kann hiermit e<strong>in</strong>e Entkopplung vorgenommen<br />
werden.<br />
U+<br />
R 1<br />
u e<br />
out<br />
R 2<br />
+<br />
-<br />
u a<br />
U-<br />
Z 2<br />
Z 1<br />
Abb. 18.10.: Operationsverstärker als Impedanzwandler (Entkopplung)<br />
Die Schaltung entspricht vom Pr<strong>in</strong>zip dem nicht<strong>in</strong>vertierenden Verstärker (gestrichelt angedeutet) mit<br />
dem Unterschied: Z 2 = 0 und Z 1 = unendlich. Es gilt: V = 1 +<br />
Z<br />
2 = 1<br />
Die erste Filterstufe wird nur mit dem E<strong>in</strong>gangswiderstand der Operationsverstärkerschaltung (sehr<br />
groß) belastet und damit praktisch nicht bee<strong>in</strong>flußt. Außerdem ist der Ausgangswiderstand des<br />
Impedanzwandlers sehr kle<strong>in</strong>, so dass auch <strong>die</strong> zweite Stufe im Frequenzverhalten nicht verändert<br />
wird. Soll der Ausgang <strong>die</strong>ser Filterschaltung belastet werden, muß e<strong>in</strong> weiterer lmpedanzwandler<br />
folgen.<br />
Durch <strong>die</strong> Entkopplung der e<strong>in</strong>zelnen Stufen können <strong>die</strong> Übertragungsfunktionen der e<strong>in</strong>zelnen Stufen<br />
mite<strong>in</strong>ander multipliziert werden. Für das Bodediagramm bedeutet <strong>die</strong>s, dass das<br />
Übertragungsverhalten aus der graphischen Addition der Amplituden- und Phasen-Frequenzgänge der<br />
e<strong>in</strong>zelnen Stufen gewonnen werden kann.<br />
Für <strong>die</strong> Übertragungsfunktion gilt:<br />
wenn V 1 =<br />
1<br />
1+<br />
jωR1C<br />
1<br />
und V 2 =<br />
V = V 1 · V 2<br />
V =<br />
1<br />
(1 + jω R C ) ⋅ (1 + jωR<br />
=<br />
2<br />
(1 +<br />
1<br />
jωRC)<br />
1 1<br />
2C2<br />
Z<br />
| für R 1 C 1 = R 2 C 2<br />
41<br />
1<br />
1+<br />
)<br />
1<br />
jωR C<br />
2<br />
2
Abb. 18.12.: Bode-Diagramm des Filters 2. Ordnung bei unterschiedlichen Grenzfrequenzen w 1und w 2<br />
42